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Full text of "Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen"

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SIERT 











MATHASEAT. 











ENCYKLOPÄDIE 


DER 


MATHEMATISCHEN 
WISSENSCHAFTEN 


MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN 


SECHSTER BAND: 


GEODÄSIE, GEOPHYSIK 
UND ASTRONOMIE 


Sr 





ENCYKLOPÄDIE 


MATHEMATISCHEN 
WISSENSCHAFTEN 


MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN 


DES SECHSTEN BANDES ZWEITER TEIL 


ASTRONOMIE 


REDIGIERT VON 


[7 FE 
K. SCHWARZSCHILD ; (1904—1916) 


S. OPPENHEIM ; (1919—1928) 


UND 
W, v.Dyck (ab 1929 i. V.) IN MÜNCHEN 


ZWEITE HÄLFTE 





& 


LEIPZIG 
VERLAG UND DRUCK VON B.G. TEUBNER 
1922 —1934 


DAY 
m „Var 
N, \ { 
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nn > 


MATH.= 
STAT. 
LIBRARY 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI], 2. Teil, 2. Hälfte. 


B. Mechanik des Himmels. 
(Fortsetzung.) 


21. Die Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 
Von $. OPPENHEIM (in Wien). 


I. Ältere Literatur. 


E: ne ee re ae 5 
#. Rewion Mad BOyUBs ii, rannte na a 7 
3. Das Maclaurinsche Rotationsellipsoid . . . 2.22 2 2 2 2 en. * ; 
4. Diskussion der Gleichgewichtsbedingung für das ee en EUER: 
5. Diskussion des Rotationsmomentes . . e#*-”. RES R ? ° 
6. Heterogene Flüssigkeiten. Clairauts Theorie... . 2.2.22... Ne | 
7. D’Alembert und die Theorie der Präzession . .. 2.2.2222 .. i. .18 
7a. Laplace und die Theorie der Mondbewegung.. . ... 2... ne ER 
II. Einführung des Potentialbegriffes. 

8. Einführung des Potentialbegriffes. . .. 2... 2... nn cn. 20 
9. Theorie der geschichteten Sphäroide nach Legendre und Laplace ... . 21 
10. Diskussion der Clairautschen Differentialgleichung . . . ....... 23 
11. Integration der Clairautschen Differentialgleichung . . . . . 2.2... 26 
12. Numerische Daten ..... ERBE ER a re re ri 
13. Diskontinuierliche Dichteverteilung RR, a SOLLE ER A u 29 
14. Berücksichtigung der höheren Potenzen der Abplattung. . . ..... 30 
15. Das dreiachsige Ellipsoid als Gleichgewichtsfigur. . . . . 2.22... 32 
16. Das heterogene dreiachsige Ellipsoid . . . »... 2.22 2 2 020. a |) 
III. Stabilitätsuntersuchungen. 

17. Grenzen der Rotationsgeschwindigkeit.. . - . ». .. 2222.20 00. 37 
18. Stabilität der Gleichgewichtsfiguren. Ältere Literatur... . 2.2... 39 
Be TI RE een enteo ee a ea ee 40 
20. Statische Stabilität. Das Energiekriterium. . . . .. 222 2200. 41 
21. Verzweigungs- und Grenzfiguren Fass eh atudnas 43 
22. Die Stabilität der Kugel als Gleichgewichtsfigur . . . . . 2.2.2... 45 
23. Die Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides. . . . 2... 46 
24. Die birnenförmigen und andere Gleichgewichtsfiguren bedingter Stabilität 48 
Br uni Din a ae ie Deere en 50 
IV. Die aeiehpewiehißen: der Monde. 

Br Be nee a br 51 
27. Stabilität der Eibesnichieligur einesMöndes: ii in suiuwitaseimnern 54 


M794660 


VI 


33. 


Po m 


. Zylindrische Gleichgewichtsfiguren 
. Theorie des Saturnringes nach Laplace . . . r 
. Allgemeine Untersuchungen über ringförmige Gleichgewichtsfiguren £ 
. Statische Stabilität der Ringe ne 

. Dynamische Stabilität der Ringe 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


V. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren. 


BSR NE Te Sr A Na RER Er ar ET a Er 


VI Die Atmosphäre der Himmelskörper. 
Gleichgewichtsfigur der Atmosphäre eines Himmelskörpers 


VII. Die Gestalt der Kometen. 


. Gleichgewichtsfigur der Kometen . . ...... 
. Dynamische Theorie der Kometenschweife nach Bessel . 
. Die Bredichinsche Typenteilung der Kometenschweife 
. Die Kometentheorie von Schiaparelli .. .... 


ER feat ylye Were: Sa ar m Be © 


(Abgeschlossen Juli 1919.) 


22. Kritik des Newtonschen 6Gravitationsgesetzes. Von S. OPPEN- 
HEIM (in Wien). Mit einem Beitrag: Gravitation und Rela- 
tivitätstheorie. Von F. KOTTLER in Wien. 


I. Das Newtonsche 6esetz. 


. Bestimmung der Gravitationskonstanten % in astronomischen Einheiten 
. Die Konstante k in absoluten Maßeinheiten (C.-G.-8.-System) . . .. . 


II. Genauigkeitsgrad des Newtonschen Gesetzes aus der Bestimmung 


jo sn ergo) 


12. 
‚ heozie. der Erdgestalt: nic SU REN, 
14. 
15. 
16. 
17. ; 
-Tn60rie der Epbe und Fin. 00 an 
19, 


20. 


der Massenfaktoren. 


. Masse der Planeten aus Mondelongationen . . ». 2... 2 22 22. 
. Masse der Planeten aus Störungen von Planeten . . . 2. 2.2.2.. 
. Masse der Planeten aus Kometenstörungen . . 2.2.2... EN 
.. Masse des Erdmondes 34:4: Jen a eiennahee 


a) aus den Ebbe- und Fluterscheinungen . . ... 2222020. 
b) aus der Präzession und Nutation ‚nis aus 
c) aus Ungleichheiten der Sonnenbewegung. ......... 
d) aus der paralaktischen Ungleichheit der Mondbewegung. .... . 


. Masse der Monde der anderen Planeten . . . 2... 2 2... ee) 
‚‚Prhkang GsE. Ergebnisse: ; 0... ne nee... 
11. 


Masse von. Doppeisternen 1... ee. 


III. Berechnung des Genauigkeitsgrades für die Gültigkeit des 
Newtonschen Gesetzes ‚auf Grund der Abhängigkeit von der Ent- 
fernung. 


Berechnung der Fallbeschleunigung auf der Erde aus der Mondbewegung 


Die Schwere auf der Erde. Das Clairautsche Theorem. . ...... 
Lotabweichungen und Schwereanomalien (Theorie des Geoids) i 
Die Schwerkraft im Erdinnern. Die Clairautsche Differentialgleichung. 
Die Abplattung der Erde aus der Präzession und Mondbewegung. 


Theorie der Lot- und Schwerestörungen durch die Anziehung von Sonne 
7» RR RE RR a 47 
Zusammenfassung der Ergebaisie :.:u rain unse geh lu 


Seite 


57 
58 
60 
64 
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69 


108 
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119 


120 


21. 
22. 
23. 
24. 


25. 


26. 


27. 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte, 


Bere den Blanptans a eier else lu 
PioorteideniKomelanı se en eh era ee 
1 hoomo des: Erdmondes: wen ern ie Dee . 
Theorie der Satelliten der Planeten und der Doppelsteme ..... . 


IV. Versuche zur Erklärung der Bewegungsanomalien auf Grund 
des Newtonschen Gesetzes. 


Hypothetische Massenannahmen . . 2.2... 2.2... 

a) Einwirkung eines unbekannten Planeten oder eines Planstenschwarmes 
b) Elliptizität der Sonne und die Sonnenkorona . DE u 
Be VE en AN N, 
d) Das Zodiakallicht und die Seeligersche Theorie .... 2.2... 
Die Hypothese des widerstehenden Mediums . .. 2.222.220... 
BEE EP DORRE EP E ETERBE TIER, 
Dr Doniiaete This (Eee ler nenn 
WE ER a 
Veränderungen in der Rotationsdauer der Erde... . 2.222... 
BI FREI 0 DE EN EEE Fe I ee 
DE FIemeiban nn na Se 
c) Massenvergrößerung BREI EEG en A 


V. Mögliche Korrektionen des Newtonschen Gesetzes. 


“6. Kuderunses ENDE wu oa er 
RE BEE TIRERE u e e e 
30. Abhängigkeit von der Krümmung des Raumes . . ... 22.2.2... 
31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation .. 2.2.2... . 

a 

b) Die älteren elektrodynamischen Gesetze . . ». . 2.22... 

(Abgeschlossen Februar 1920.) 
22a. Gravitation und Relativitätstheorie. Von Fr. KOTTLER 
in Wien. 
I. Spezielle Relativitätstheorie. 
A. Mechanik. 

1. Mechanik des Massenpunktes in der speziellen Relativitätstheorie. 
2. Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie . . . 
3. Astronomische Anwendungen der relativistischen Form des Newton- 

DOROE IRRE ie an a nen 

B. Optik. 
4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitätstheorie . . 
5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. . .. . 
II. Allgemeine Relativitätstheorie. 
A. Mechanik. 

6. Das Prinzip der allgemeinen Relativität . -. -. 2... 2 22220 
7. Mechanik des Massenpunktes in der allgemeinen Relativitätstheorie. 
8. a Verhältnis der Mechanik des Massenpunktes zur Mechanik der Kon- 

Be 5 ae ae ee aa near na 
Be G0s Behwerefaldes. . . . ; , . . » erweisen 
10. Näherungsweise Integration der Feldgleichungen . . . ... 2... 
#3: Des Feld. diskreter. Massenpunkte ı. «na. il ne ee ee 
12. Die Newtonsche Gravitationstheorie . . . 2. 2: 2220 ren. 


132 


134 
136 


139 
139 
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142 
142 
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173 
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188 
191 


194 
196 
200 
202 


VII Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


Seite 
13. Die Perihelbewegung des Merkur . .. 2... 2 2 2 2 2 a: 206 
14. Strenge Lösungen der Feldgleichungen für das radialsymmetrische sta- 
tische Bohwasamn .. 5 0 RER Ai Sage] 207 
15. Die Perihelbewegung des Merkur (Fortsetzung) . . . . 2.2... u: 210 
EN 0 EEE N 3 A ss ER 
17. Die Bewegung 46. Monden:.. 3 sh ven een 214 
18. Der Einfluß der Rotation der Sonne. „are. 2 ea 2 2200 218 
B. Optik. 
19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne. .. .. 22 .2.. 220 
20. Die Rotverschiebung bei den Fixsternen . . . .. 222 2 2 2 2. 226 
21. Die Ablenkung der Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne .. .. . 229 
22. Die Beobachtungen bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919. . . . 231 
23. Mögliche andere Ursachen für die Lichtablenkung. ... . 2... 234 
(Abgeschlossen am 23. März 1922.) 
C. Stellarastronomie. 
23. Stellarastronomie. Von H. KoBoLD in Kiel. 
I. Die charakteristischen Eigenschaften der Sterne. 

1. Die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse . . . . 2 2. 222200. 241 
2. Die mittelbaren Beobachtungsergebnisse . . . 2: 2: 2: 22200... 246 
II. Das Beobachtungsmaterial. 

3. Alters Blenikalslage . . wi an ee ee 248 
% Fundamsutalkaisloee . ... „0. a ne rei 249 
5. Kataloge der einzelnen Sternwarten SR a DR ren 252 
6. Photographische Plerukntalone: u ie ct se ee 253 
7. BRIRERMURIGEN 2. 0 A 254 
8. Durchmusterungskatalöge . . in en EEE 255 
9. Kataloge von Sternhaufen und Naben 2 elin. or 256 
10. Rtetakartn Ei s. cr .n. Rees Be Er 257 
11. Eigenbewegungsrerseichnisse. .: aha A... se 259 
12. Radielbewegnäuen „4. Sa ea, 265 
13. Parallaxen. Trigonometrische Methoden . ..... a ERITE 268 
14. Parallaxen. Spektroskopische Methoden . .. ... 2222020. 272 
15, Phötometrische Kutalogs . , . o. on SRIEaLun n. 276 
16. Kataloge der Spektraltypen und der Farben der Stene ....... 278 
III. Ergebnisse der Bearbeitung des Beobachtungsmaterials. 

A. Scheinbare Verteilung der Sterne. Die Milchstraße. 

17. Allgemeine Verhältnisse. Der Gouldsche Gürtel. . .. . 2.2.2... 279 
18. Die galaktische Kondensation . . . 2... 222. a 4 281 
19. Die äußere Erscheinung der Milchstraße . . .. .. .. 222... 287 
20. Der Spektralcharakter der Milchstraßensterne. . . . .. 2 2.22 .. 291 
21. Ebenen der scheinbaren Sternverteilung . . ... 2. 2 2.0.0. 293 

B. Die räumliche Verteilung der Sterne, Extinktion. 
BU: Ältere ‚Theorien ri aa SE u RER UI N a u 294 
88. Soeligers Untersuchungen . . ; . 2... DEmER EU DT N Kr 298 
24. Folgerungen aus der Seeligerschen Theorie. . ....... 2... 305 
25. Beziehung zwischen Eigenbewegung, Parallaxe und Leuchtkraft. . . . 308 


26. Schwarzschilds Entwicklungen. . . 2 2 en RT 312 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. IX 


Seite 
27. Charliers Behandlung der Aufgabe. . . . Burn, Ba 4: Bi 
28. Neuere empirische und theoretische Forschungen se ee 
Be xtinktion deu Lichtes Im Warsaum, . .., 0... 20. 0 sen nn 6: BL 
C. Eigenbewegung der Sterne und der Sonne. 
39. Irsie: Vorsuche . 07. lt a TEE | 
81. Neuere Methoden, . ....e. x... ER 5 a 
32. Berücksichtigung der Massen der Sterne . . 333 
33. Kobolds Kritik der Hypothese der Regellosigkeit der Eigenbewegungen 335 
34. Kapteyns Zweischwarm-Hypothese . . . . 2.2.2.2 2 2.. 338 
85. Schwarzschilds Ellipsoidhypothese . . . . 2.2. 222 2.20% 340 
36. Charliers Behandlung des Problems nach ‘den Methoden der Kollektiv. 
DEBIBIB. er EU E e ‚.: 348 
37. Die Exzentrizitätshypothese Oppenheims WRNERRIRTEIIOHENA 30H Arkin 346 
38. Allgemeine kritische Untersuchungen. . . .. 2.2.2... DR er A 
89. Systematische Bewegungen . .. . 2.2.2 2.. ee ee .. 848 
D. Besonderheiten des Bewegungszustandes. 
40. Allgemeine Beziehungen. . . ke ee an year ee ge 
41. Abhängigkeit der Eigenbewegungen PR RR Re EEE . 852 
42. Abhängigkeit der Radialbewegungen.. . RE 
43. Abhängigkeit der Bewegung von der absoluten Helligkeit . ERBE 
44. Die Bewegungen in Beziehung zum Bau des Sternsystems a ET 
45. Erklärung der Bewegungen . . . . 2.2.2.2... RN ae MB 
E. Bewegte Sterngruppen. 

a N ee ee he 2 BU 
ERNST east hr men ar m TOR he ee ee . 362 
F. Bau des Sternsystems 
48. Erste Versuche. .... . ee RE BI th METER 
46. Nenere Theorien u. N EEE N ee |. 
50. Kinematik des Sternsystems. .. 2... ns es 368 

u (Abgeschlossen im Juli 1924.) 
D. Astrophysik. 
24. Thermodynamik der Himmelskörper. Von R. EmpEN in 
München. 
Einleitung. .... . er Ka a . 877 
I. Einfache Umsätze thermischer und mechanischer Energie. 
1. Mechanische Energiequellen der Sternstrahlung . . . . 2... 22... 379 
rn ee er ER Ze | 
3. Eindringen eines Weltkörpers in eine kosmische Staubmasse . . . . . 382 
EB ADRRhlung Ber aa ie 2 een 334 
II. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von 
thermischer Energie und 6ravitationsenergie. 
A. Allgemeinste Sätze über Gas- und rd unge pie 
BD DEE Vase. ie Be ae en öl 
5; Anwendung des: Virialsatsen.cu.:..h Altana ann cn 386 


+ 


17. 
18. 


19. 
20. 


21. 
22. 


. Begriff der polytropen Atmosphäre. EDEN 
. Stabilität polytroper Atmosphären .. . .. I WINE 
. Die fundamentalen Gleichungen polytroper REES Be 
. Periodisch wiederkehrende Irrtümer . . . 2.2. 2 2 2 2 2 2... 

. Dispersionstemperatur. ........ ern? 
. Einfluß der Kondensierbarkeit der Gase 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


B. Die polytropen Kurven. 


. Definition der polytropen Zustandsänderung. . . . . 2 222... SE, 
. Kosmogenetische Zustandsänderung. Kosmogenide. . . . 2 2 2 2.. 
. Energieumsatz bei gleichförmiger Kontraktion 
. Homogene Kontraktion und Strahlung . . . . ..... 


wre en ie ie 


C. Polytrope Atmosphären. 


ae Pr am er Basar San 


D. Gaskugeln. 


Aufstellung der Differentialgleichung. . . . - . 22 22 22 0. 
Lösungen der Differentialgleichung, die 'sich in geschlossener Form 
aunueben lassen... '. is Ana a en ne, 


Über die Differentialgleichung der polytropen Gaskugel RE ee 


Numerische Auswertung der Differentialgleichung . . . . .. 2... 
a) Gaskugeln von endlichem Radius. 
Thermische Energie und ie ae einer EN Gaskugel . 


Konmogmmelische Flächeh =, =. a a a, 


b) Gaskugeln von unendlichem Radius. 


. Die isotherme Gaskugel. .... . a 
. Energetik der isothermen Kugel. . ie ie 
NEROISARSDN ER >> Din. = 0 nie ne a ea aa Fo 


ec) Gemischte Systeme. 


 Gäskugeln in Maine: HUB . . „a2. nn. en 
. Gaskugeln mit starrem Kern. ......... Da 
. Zusammengesetzte Gaskugeln . . . :. 2. v2 22.00, 


E. Abweichung von den Gasgesetzen. 


. Einführung der Zustandsgleichung von van der Waals. ....... 
. Über die Bedeutung der Ergebnisse der Nr. 5—29. ....... Ei 
„ Eine Gaskugel anderer Bauart... . a, AS u 0 ns. 


F. Eingreifen der kinetischen Gastheorie und statistischen Mechanik. 


-Massenverlust. diner Guskugel. ; ; . „.....: seen e. en 
„ Behandlungsweise von Ulne,  .;, 2... oa, 5 u... 


a) Kosmische Staubmassen. 


. Über die Notwendigkeit von Geschwindigkeiten im interstellaren Raum 
. Über'die sultasige Bteingrße u. a N. 
„Bau kosmischer Btaubmassen: 7, 1: an JM IN. en, 
. Grenzverhältnisse und Massenverlust kosmischer Staubmassen. . . . . 
Zähigkelt kösmischer BIRUBMBSBOR. nu. u un. nenn 
Kugelförmige Bternhanfen 2.3... Sms RAN 
. Das Fixsternsystem als kosmische Staubmasse. . . . 2.222 .2.. 


Seite 


388 
391 
393 
394 


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395 
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417 


422 


423 
424 
425 


426 
428 


43; 
Fin :Grenztall ns DREI a EI ZRAn EN 
43. 


44. 
45. 


46. 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


G. Über säkulare Stabilität der Gaskugeln. 
Bioblemstelung WERTE PREIIE BQNE  EREAT 


Anwendung auf gasförmige Gebilde . . . .. 22.22.20. 


H. Freie Schwingungen einer Gaskugel. 


Schwingungen bei konstantem Volumen . . 2... 222er. 
Schwingungen bei konstanter Form (Pulsationen) ... 2... .... 


III. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von 
thermischer Energie, Gravitationsenergie und Strahlungsenergie. 


A. Exkurs über Strahlung. 
Wärmetransport und Wärmequellen . ..» . 2.2... 22,2 2.0 


47&. Größenordnung des Lichtdruckes an der Sonnenoberfläche. . .. . . 


47. 
48. 


49. 
50. 


51. 


57. 


72. 
73. 
74. 


Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. . . . . 2... 
Berücksichtigung des Strahlungsdruckes nach T. Bialobjewski . 


B. Atmosphären im Strahlungsgleichgewicht. 


Temperaturverteilung bei Strahlungsgleichgewicht.. .. . . 2.2... 
Aufbau der Atmosphäre im Strahlungsgleichgewicht ohne Berücksich- 
tigung des Strahlungsdruckes . ... 22.2220 ee nee. 0“ 
Aufbau der Atmosphäre mit Berücksichtigung des Strahlungsdruckes . 


C. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonnenscheibe. 


. Über die bolometrische Helligkeitsverteilung der Sonnenscheibe. 

. Die Helligkeitsverteilung in den einzelnen Wellenlängen. ...... 
. Einfluß der Streuung des Lichtes auf die ne pe 

. Die Näherung von A. Schuster. ee 

. Streuung und EEE 5 2a 3 N en ae a ee 


D. Über das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre. 
Das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre . ...... 


E. Gaskugeln im Strahlungsgleichgewicht. 


. Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht . . . . . 2 222220. 
. Ersatz der Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht durch eine Poly- 


KLODB. 2... Asa fa a ee x 


. Der Faktor 1— ß und seine Berechnung... ..... FEN 

. Energetik bei Strahlungsgleichgewicht . . . . . 2 2 2 22.2... ; 
Typische Hiesonsteen. -.  . a oaiaikreiaraı "ER 
. Behandlung der äußeren Schichten... . . 2.2... Kr 
. Einführung der van der Waalsschen Zustandsgleichung . . . . . 
. Das Molekulargewicht der Sternmaterie . ....... 
s Dior AUSGEDNODEKDBTRERBE RB. . . . . 0. 0... a, 
. Beziehungen zwischen Leuchtkraft und Masse. ... . BE TEN 
. Verhalten hoch ionisierter Gase . . . . . . Be Fire AN 

; Veränässlichkeit‘ der Birma nn ee 
E Zusätze zur Eddinglonsehen Theorie...» ». x. u... irn 
. Rotierende Massen im Strahlungsgleichgewicht . . . . 2.2.2... 


ed DE Wet 


IV. Eingreifen von Atomphysik und Quantentheorie. 
A. Ionisation und Strahlung. 


Tonisationsgleichgewicht. . . .. 0... cn een ee 
Die Untersuchungen Megh Nad Saha’s. .. 22 2200er en 
Verfeinerung der Methode durch R.H. Fowler und E. A. Milne. 


458 
461 


468 


470 


471 
475 


474 
476 
478 
481 
482 


486 


487 


489 
490 
491 
492 
493 
495 
496 
498 
505 
507 
509 
510 
514 


516 
519 
521 


XII Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


Seite 
B. Ionisation und Lichtdruck. 
75. Aufbau der äußersten Schichten einer Sternatmosphäre . . 2. .... 524 
76. Anwendung auf planetarische Nebel . ... . 2.2. 2.2 22 0 2. 529 
77. Fühlbare Lücken der Erkenntnis. . .. 2.2... a en ya 689 
(Abgeschlossen Ende 1925.) 
25. Die Spektralanalyse der Gestirne. Von ADoLF HNnATEK 
in Wien. 
I. Einleitung. 

1. Geschichtlicher: Überblick: . 2m RITTER rs nit 686 
2. Die Aufnahme zur Vermessung geeigneter ER 536 
3. Die Ausmessung der Sternspektren und die Ermittlung der Wellenlängen 539 


II. Die theoretischen Grundlagen. 


4. Die, Strahlungsgesatze..; ;.u:% 4 mn He a et. 543 
Ar Lor Rischnonmene Bela . ,; 7... „Em ninn , 543 
b) Das Stefan-Boltzmannsche Genau a a. . 543 
c) Die spektral zerlegte Strahlung . ....... .. B4B 
d) Die numerischen Werte der Konstanten der Strahlungsformeln . 8581 
B. DAS ’Doppiersche Priasip =. va er a uR7i,: 682 
6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren en ey 557 
I RE OR 557 
b) Die Linienserien von H und Bei... 0.000000 861 
c) Die Linienserien der anderen Elemente . ... . a re NE 572 
d) Das kontinuierliche Spektrum an der Seriengrenze . . . ..... 576 
6) Die Bandenspekizen .:..':5 une ini: ae urn a Bene ee 577 
3.. Die: Ionisaflon: 4 0:2. u. Bi re. 583 
a) Die elektrische Erregung. Erregungspotential und Ionisationspotential 583 
b) Die. thermische. lonisation, =>. „nun I SC HRD 
c) Die Messung der Linienintensitäten . . . 2... 2.2.0. ee. 11 
8. Der Einfluß: yon Druck und Dichte sus bin ie ae sn a. 09 
9. Zeemaneflekt, Btarkefiekt . . . . . «+ 42 2. > BETRITT 596 
III. Die Sonne. 
10. Das mittlere Sonnenspektrum . .. . 2.2.2... ee een 601 
11. Das Spektrum der Sonnenflecken. ...... aß 0. were ER 617 
12. Flash- und Chromosphärenspektrum . . 2. . 2 22m. 1 626 
13. Monochromatische Aufnahmen der Sonne. ‚Spektroheliograph . al 684 
14, Das Spektrum der Protuberanzsen sv m ur Ser RE, 640 
15. Das Spektrum der Sonnenkorona. . . .. 2.2.2... re Sr Se TI 
16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche . , ., . .U!. 2.5... 652 


17. Die spektroskopische Bestimmung der Rotationselemente der Sonne. . 666 


IV. Die Körper des Sonnensystems. 


48: Der Mond... . ... . usähl a. Sn Mae weile 671 
0: Die Planen... .. 2.2... De, 672 
20. Die Versuche zur spektroskopischen Ermittlung der Hoksklenmeiten der 
PisBplen . u a RE we aec. 678 
21. Die Spektren der Kometen . SI Hewalk sh 40 679 
22. Die Spektren der Sternschnuppen und ihrer Schweife ........ 887 
ED. Ina ZOIEEIEMOBE 0: 0 0 et. . 691 


V. Das Fixsternsystem. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. . ... : 222.0. 1725,40) 008 
25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. .. . . FRE 7.108 
26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne . . 2... 2.200 ..  T4 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI], 2. Teil, 2. Hälfte. XIU 


Seite 
27. Die Trennung in Riesen- und Zwergsterne . . . 2. 2 2 ce nenn 721 
28. Die Ermittlung der absoluten Größe der Fixsterne auf spektroskopischem 
Wege. Spektroskopische Parallaxen .. .... 2... 222220. 725 
29. Die relative Häufigkeit der Elemente in den Atmosphären der Fix- 
BUGCDO EHRE en ae een 1729 
2. Die nonsa Blekte. 2,22: 012%, 2... RE OP A 730 
SI, Die VERBGRIOREE IRRE NE Vasen. 743 
2: Die Rosinen dee Mobeillscken:; . :, ae enrgne en 757 
33. Das mittlere Spektrum der Sternhaufen . .. 2... 22 2 2 0 00 764 
34. Das mittlere Spektrum der Milchstraße. . . ... 22 2 2 2 2 22. 765 
35. Kalzium- und Natriumwolken im interstellaren Raum . . . . . 2... 766 
(Abgeschlossen Ende 1928.) 
26. Astronomische Kolorimetrie. Von JosEF HOPMANN in 
Leipzig. Mit Beiträgen von BERNHARD STICKER in Bonn. 
I. Theoretisches und Geschichtliches. 

1. Definition und Aufgabenkreis der Kolorimetrie . . . 2 22 22.0. 770 
2%. Geschiohtliche Bemerkungen. ... u. N. wu er. A: 0008 
II. Die kolorimetrischen Beobachtungsmethoden. 

A. Visuelle Beobachtungsverfahren. 

5: FeRBOBuTHOlsgsehee ee BR ah enge TR 
WO EEE ORREREIIEE 2 en cu ne ne ee en ee 775 
5. Wilsings Rotkeil, Fonsenkolid-Blaukeil:. . . eu. se, 778 
6. Visuelle effektive en es BEE EEE LE 782 
7% VISOBRS FEROOHERORBBE 2 a a ii ea nr 782 
B. Photographische Beobachtungsverfahren. 

5. Poksssenkinchai PRsbenindisenu nn. »i nase dee . 785 
DEE I en 0. er ya Alan re erch 789 
NE en ee a ee 790 
BE NER a ae ee een ee 792 
12. Photographische effektive Wellenlängen. . . .. . 2: 22 22 2 2 0. 792 
C. Elektrische Beobachtungsverfahren. 

Er Tdehtelekirische Farbentndinan, iz 3 20, Zungen rn 794 
14. Die thermoelektrische Methode . . . .. 2: 2: 2 2 222. re; 
EI: Zossen Ubarmichb . pn ge alu, 796 
III. Ergebnisse bei normalen Sternen. 
Or ee Ra ee 798 
ur. Farbe und -Abediute HOiiuiais 230 Um ine BL. . & 800 
18. Farbe und Sternort (interstellare Absorption) . . . 2 2 2: 22 22... 805 
49%, Die Verteilungsfunktion der Farben ..- » . 2.22. eo 2 u. 806 
20. Bolometrische und instrumentelle Größenklassen. in re 808 
Bee and. Sterndurchinosber. . . . nn 0 ai a ne en 809 
IV. Ergebnisse bei veränderlichen Sternen. 

ER Beasskungaroränderliche. 24549. 33:3%.12 4 lamıy) adontıedne leah 810 
BR ANR:U OSB. inne and Anand vens 812 
En EEE GLS 2 aut. ud on Heukinticns 815 
N Dosukke: elmänslkabe: sinn ii aan lan u 818 


XIV Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


29. 
30. 
31. 
32. 


er 


. Kugelförmige Sternhaufen. .. .. . 2. 2.2... 
. Offene Sternhaufen und Milchstraßenwolken 
„Die Nebellleeken ; :;.. > 2. se en 


V. Ergebnisse bei Sternhaufen und Nebelflecken. 


ee nie ern 


Die Bönde, a. wi 5 N TE A 
De Mind... 2... Do ee ne ®} 
Die großen Planeten . . . „is ein Lt =; 
Die Kleinkörper des Sonnensystems yes, 


(Abgeschlossen Dezember 1930.) 


27.Photometrie der Gestirne. Von ERICH SCHOENBERG in Breslau. 


Einleitung. 


. Die Fntwicklung der photometrischen Theorien. . ... 2.2 22... 


2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden . . . . 2 2 2 2 2.2... 


[aomw 


[0 +) 


I. Die Methoden der Astrophotometrie und ihre Grenzen. 


Allgemeine Dalinikionen .. .. .. +:».000.4. say. 
. Die Definitionen der visuellen Photometrie . . . 2. 2 2 2 2 2 2 2 03. 


Das Prinzip des astronomischen Photometers . . . 2... 2 2 2 2 2. 
Die, Grenzen der Sichtbarkalß", , „.... . » are 


. Das Fechner-Webersche psychophysische Gesetz und die Größenklassen 


der: Gestime .. .. nano. oo sn ea ae a rs Re 


. Die Methoden der photographischen Photometrie und die photographische 


Helligkeitsekala : . -.- .. - «u...» » Miele ge ea 


. Die Eigenschaften der photographischen Platten. Die Schwärzungskurve 
<:Farbenindlzes. 1... ee ee a er 
. Die lichtelektrische Methode der Photometrie. . . : . 2 2 2 2 2 u. 
. Der Einfluß der Extinktion auf photometrische Messungen En 
. Die radiometrischen Messungen der bolometrischen Größenklassen und 


Temperaturen der Gestime .... „nun win So HARTE 


I. Theorien und Ergebnisse. 
A. Die Strahlung der Selbstleuchter, der Sonne und der Fixsterne. 


. Das Lambertsche Emanationsgesetz. . . » » ». 2. 2 0 nee. 
. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonne . . 2.2 2222200. 
. Die Gesamtstrahlung der Sonne und der Fixsterne. .... 2.2... 
. Interpolationsformeln für die Randverdunkelung bei Bedeckungsveränder- 


Tichen ‘und bei: der Bonne -.°., 20. So We et 


. Strenge Berechnung der Helligkeitsverteilung aus Finsternisbeobach- 


tungen nach Heckmann und Siedentopf. . .». 2.2.2.2. 222.0. 


B. Die Resonanzstrahlung der Nebel und Kometen. 


. Untersuchungen über die galaktischen Nebel von Hubble ...... 
. Die Theorie der Nebelstrahlung von H. Zanstra. .». .. 2 222.2. 
. Die Helligkeitsverteilung auf elliptischen Nebeln . . .. 2.2.2... 
2. Die Resonanzstrablang der Kometen , „Zw rare nn 


C. Die reflektierte Strahlung der Planeten und Meteore. 


. Die .Lambertsche Formel für diffuse Reflexion...» .» 222... 
. Die Formeln von Seeliger, Lommel, Fessenkow und Schoenberg. . . . 
. Die Helligkeit von eben begrenzten, diffus reflektierenden Flächen und 


von Kugeln. Experimentelle Prüfung der Reflexionsgesetze. . ... . 


852 


854 
858 
862 
8364 
866 


869 


871 
574 
877 


877 


om 


. Die Flächenphotometrie der großen Planeten . . 
. Die Beleuchtung der Planetentrabanten. Das aschfarbene Mondlicht 
. Die Verfinsterung der Jupitertrabanten. . . ...... 


ale MEGBEKRNSUDEONIE 4. 2 2 ea ar 
. Die Lösung des Problems für den Fall einer totalen Bedeckung nach 


RR a RP 
. Entwicklung der Theorien. ........ 
. Methoden der Kosmogonie. .. . . . 


. Zustandsgrößen 
. Zustandsgleichungen der normalen Sterne . . 2.222220... 


Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


. Die Reflexion an farbigen Substanzen und die Polarisation des reflek- 


tierten Lichtes . SE NE WTB EEE SEHE TIER EIG ENTE 3 
Über den Begriff der Albedo . . . . . 22mm nn. 


. Der Reflexionskoeffizient und die sphärische Albedo nach Bond. 
. Die Phasenkurven ....... 
. Die beobachteten Phasenkurven und Phasenkoeffizienten 
. Die Reflexionskoeffizienten von irdischen Substanzen und Mondgebilden 
. Die Bestimmung der Albedo und der Durchmesser der Planeten . . 

. Der Einfluß der Unebenheiten der Oberfläche auf die Lichtverteilung 


auf derselben und auf die Phasenkurve der Planeten 


Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen . 


. Über die Beleuchtung der Planetenatmosphären. .. . . . 

. Die Theorie der Diffusion und Absorption des Lichtes in Gasen vonLL. v. King 
. Die Anwendung der Theorie auf die Erdatmosphäre. . . . . 

. Über die Beleuchtung eines von einer Atmosphäre umgebenen Planeten 
. Die Theorie der Verfärbung bei Diffusion in Eng auf astrono- 


mıs0he Probleme... ,.2 2 are 


. Seeligers Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen... .... 
. Die allgemeine Gleichung der Helligkeit einer beleuchteten Staubmasse 
. Die Beleuchtung des Saturnringes Le er en 

. Die Beleuchtung des Zodsnkallidhlas .  ...... . ar... am; 

. Über die Beleuchtung kosmischer Staubmassen durch Sterne . 


III. Die veränderlichen Sterne. 


FIN. Dussall® , 34 5 un 0 NE 


. Partielle Bedeckungen . ...... EEE 
. Der Einfluß der Randverdunkelung. . ... 2... 

. Bestimmung der Abplattung. . . .. 2.2... 

. Der Einfluß der gegenseitigen Beleuchtung der Komponenten. 
. Der Periastron- Effekt. en Va 

. Die Dichte der Komponenten . . .. . 2.2... 
. Statistische Ergebnisse . . . . 2... ... in 
. Andere Methoden und ungelöste Probleme ..... . 
. Die anderen Klassen der veränderlichen Sterne . a en 
a Ps 1. 7ER SER EEE 
. Die Perioden-Leuchtkraftkurve (PLk) . . . . 2 2.2.2.. 
. Die Perioden -Spektrenkurve (PSk). . . . 2. 2 2 2 2 2.2. 
. Das Leuchtkraft-Spektraltypendiagramm . . . . . 

. Die langperiodischen Veränderlichen. .. . . . ER EN 
. Die halbregelmäßigen periodischen Veränderlichen. .. ...... 

. Die seltenen Typen veränderlicher Sterne: R-Coronae, U- Geminorum 


Et u en De 
ni Sn ee 


aa meer 2° 5 ee ae, 


und Novae. 


(Abgeschlossen im August 1932.) 


28. Kosmogonie. Von H. KıEnLE in Göttingen. 


I. Einleitung. 


a aa, ar We Wen | 
BEE TE ee. A u 


II. Innerer Aufbau und normale Sternentwicklung. 


BE REN: Be le er a I eo are 


XV 


Seite 


902 


988 
990 
992 


993 
998 


XVI Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


Seite 

6. Zustsätsvrti EEE ... 1003 

Tıuhller: ud Befall a 1011 

8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung . . .. 22... 1016 

III. Dynamik der Entwicklungsvorgänge. 

9. Rotationsdeformationen. . . . . 2 2.2.0. ELTERN 3 LOB 
10. :Geseitendeformalionen s . ut en aa A . 1029 
11. Schwingungen und Pulsationen. .. . 2.2... a ee, 1035 
38.:Gezeitenreibung. ... =: 2. us sryrsagaga are Din ner, 1036 
13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen . » » 2» 22 22.. 1039 
14. Massenänderungen und Energieaustausch . . » » 2 2.22.22... 1045 

IV. Die Entstehung des Planetensystenis. 
15. Gesetzmäßigkeiten des Zustandes . . .. . 22 2 2 ne sr ne. 1052 
16. Rotationshypothesen . . » 2». ..... BEER ee ee RE 
17. Katsstrophenhypöthesen: :i.';r. 25 9. .nr aa . 1059 
18. Mondecund Kleinkörper si a se Re le ee 1065 
V. Einzelprobleme. 
19. Doppelsterne . ... . ee. RR TEE EWR t.:.1071 
au: Veranäerliche Hleme....... ... „EIER re, 1075 
21. Novae, Planetarische Nebel und weiße Zwerge. . . 2... 222.0. 1077 
u; Mobel Und Biernsystems ; : . , u. nn TE RE 1079 
(Abgeschlossen im Oktober 1933.) 
Bachr»gister m Band VI, 2. Teil, 2: Halle... sllat., in sehe 1089 


Namensverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, AunddB .... . 22... 1107 


Übersicht 
über die im vorliegenden Bande VI, 2. Teil, 2. Hälfte 
zusammengefaßten Hefte und ihre Ausgabedaten. 


B. Mechanik des Himmels. 
(Fortsetzung ) 


21. Orrexneim: Die Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmels- 
Heft 1. | körper. 
18. IX. 1922 | 22. Orrenneim: Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 
22a. KorrLer: Gravitation und Relativitätstheorie. 


C. Stellarastronomie. 


23. KosoLp: Stellarastronomie. 
Heft 2. 
30. XI. 1926 | D. Astrophysik. 

24. Enpen: Thermodynamik der Himmelskörper. 
ee dit 25. Hnater: Spektralanalyse der Gestirne. 
u | 26. Hormann: Astronomische Kolorimetrie 
ae u 27. ScHoengergG: Photometrie der Gestirne. 

28. Kırsuz: Kosmogonie. 

Heft 6. Titel und Inhaltsverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 
30. VII. 1934. Sachregister zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 
Namensverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, A und B. 


Encyklop. d. matlı. Wissensch. VI 2, B. b 








VI, 21. DIE THEORIE DER GLEICHGEWICHTS- 
FIGUREN DER HIMMELSKÖRPER. 


Von 
S. OPPENHEIM. 


IN WIEN. 


Inhaltsübersicht. 
I. Ältere Literatur. 


1. Einleitung. 

2. Newton und Huygens. 

3. Das Maclaurinsche Rotationsellipsoid. 

4. Diskussion der Gleichgewichtsbedingung für das Rotationsellipsoid. 
5. Diskussion des Rotationsmomentes. 

6. Heterogene Flüssigkeiten. Clairauts Theorie. 

7. D’Alembert und die Theorie der Präzession. 

7a. Laplace und die Theorie der Mondbewegung. 


II. Einführung des Potentialbegriffes. 

8. Einführung des Potentialbegriffes. 

9. Theorie der geschichteten Sphäroide nach Legendre und Laplace. 
10. Diskussion der Clairautschen Differentialgleichung. 
11. Integration der Clairautschen Differentialgleichung. 

12. Numerische Daten. 

13. Diskontinuierliche Dichteverteilung. 

14. Berücksichtigung der höheren Potenzen der Abplattung. 

15. Das dreiachsige Ellipsoid als Gleichgewichtsiigur. 

16. Das heterogene dreiachsige Ellipsoid. 


III. Stabilitätsuntersuchungen. 

17. Grenzen der Rotationsgeschwindigkeit. 
18. Stabilität der Gleichgewichtsfiguren. Ältere Literatur. 
19. Dynamische Stabilität. 
20. Statische Stabilität, das Energiekriterium. 
21. Verzweigungs- und Grenzfiguren. 
22. Stabilität der Kugel als Gleichgewichtsfigur. 
23. Die Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides. 
24. Die birnenförmigen und andere Gleichgewichtsfiguren bedingter Stabilität. 
25. Numerische Daten. 

Eneyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 1 


2  VlIs,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


IV. Die Gleichgewichtsfigur der Monde. 
26. Figur des Mondes. 
27. Stabilität der Gleichgewichtsfigur eines Mondes. 


V. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren. 
28. Zylindrische Gleichgewichtsfiguren. 
29. Theorie des Saturnringes nach Laplace. 
30. Allgemeine Untersuchungen über Anefüpnige Gleichgewichtsfiguren. 
31. Statische Stabilität der Ringe. 
82. Dynamische Stabilität der Ringe. 


VI. Die Atmosphäre der Himmelskörper. 
33. Gleichgewichtsfigur der Atmosphäre eines Himmelskörpers. 


VII. Die Gestalt der Kometen. 


34. Gleichgewichtsfigur der Kometen. 

35. Dynamische Theorie der Kometenschweife nach Bessel. 
86. Die Bredichinsche Typenteilung der Schweife. 

37. Die Kometentheorie von Schiaparelli. 


Literatur. 
a) Lehrbücher. 


J. Newton, Principia mathematica philosophiae naturalis, London 1687, 2.ed. 1714, 
3. ed. 1726. 

©. Maclaurin, A treatise on fluxions, Edinburg 1742. 

4A. Simpson, A mathematical dissertation on the figure of the Earth. London 
1743. 

4.C.Clairaut, La theorie de la figure de la terre, tirde des principes de l’hydro- 
statique, Paris 1743. Deutsche Ausgabe unter dem Titel „Theorie der Erd- 
gestalt nach Gesetzen der Hydrostatik* von Ph. Jordain und A. v. Öttingen 
in Ostwalds Klassikern der Naturwissensch. Nr. 189, Leipzig 1913. 

Lagrange, Mecanique analytique, Paris 1788. In Oeuvres de Lagrange. Tome 11 
u. 12, Paris 1888—89. 

P. S. Laplace, Trait& de m&canique celeste, Tome 1—5, Paris 1799—1827. 

@G. P. Airy, Figure of the Earth. In Encykl. Metropolitana III, London 1835. 

H. Resal, Trait€ &lementaire de mecanique celeste, I. ed. Paris 1865, II. ed. 
Paris 1884. 

W.Thomson and P.@. Tait, Treatise on natural philosophy, 1. ed. Oxford 1867, 
2. ed. 2 Vol. Cambridge 1879 and 1883. 

J. H. Pratt, A treatise on attractions, Laplaces fonctions and the figure of the 
Earth. London 1871. 

@. Schiaparelli, Entwurf einer astronomischen Theorie der Sternschnuppen. Auto- 
risierte deutsche Ausgabe der „Note e rifflessione sulla teoria astronomica 
delle stelle cadente“ von @. von Boguslawski, Stettin 1871. 

A. R. Clarke, Geodesy, London 1880. 

F. R. Helmert, Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren 
Geodäsie, 2 Bände, Leipzig 1880—1884. 


Literatur. 3 


F. Tisserand, Trait& de mecanique celeste, Tome 1—4, Paris 1889—1896. 

S. Krüger, $. J., Ellipsoidale Evenwichtsvormen eener wentelende homogene 
vloeistofmassa, Diss. Leiden 1896. / 

H. Poincare, Figures de l’Equilibre d’une masse fluide. Lecons professees ä la 
Sorbonne en 1900, Paris 1902. 

— Lecons sur les hypotheses cosmogoniques, professdes & la Sorbonne, Paris 1911. 

Th. Bredichins mechanische Untersuchungen über Kometenformen in systemati- 
scher Darstellung, von R. Jägermann, St. Petersburg 1903. 

H.Lamb, Hydrodynamics, Cambridge 1906. Deutsche Ausgabe von Dr. Johann Friedel, 
Leipzig 1907. 

H. Buchholz, Das mechanische Potential, nach Vorlesungen von L. Boltzmann 
bearbeitet, und die Theorie der Figur der Erde, Leipzig, 1. Aufl. 1908, 
2. Aufl. 1916. 

P. Rudzki, Physik der Erde, Leipzig 1911. 

P. Pizetti, Principii della teoria meccanica delle figure dei pianeti, Pisa 1913. 

Vgl. zudem auch die Literaturübersicht in Encykl. VI ı, 7 (Helmert) und 

VI ı, 3 (Pizetti) ferner IV 16, Nr. 4 (A. E. H. Love), besonders die französische Aus- 

gabe der Encykl. IV 18, Nr. 4 (Appell, Beghin und Villat).. Außerdem widmet 

wohl jedes Lehrbuch der analytischen Mechanik oder Hydrodynamik dem hier 
behandelten Problem einige Blätter. Es schien nicht notwendig, jedes einzeln 
hier anzuführen. 

Zur Geschichte des Problems: 

J. Todhunter, A History of the mathematical theories of attraction and the figure 
of the Earth from the time of Newton to that of Laplace, 2 Vol., London 
1873. Zitiert als Todh., Hist. 


b) Monographien. 

F. W. Bessel, Beobachtungen über die physische Beschaffenheit des Halleyschen 
Kometen und dadurch veranlaßte Bemerkungen, Astr. Nachr. 13 (1836). Ge- 
samm. Abh. 1, p. 54, auch abgedruckt in C©. F. Zöllner, Über die Natur der 
Kometen, Leipzig 1872. 

P. @. Lejeume-Dirichlet, Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik. 
Aus dem Nachlasse hergestellt von R. Dedekind, Gött. Nachr. 8 (1860) und 
J. f. Math. 58 (1861). 

@. H. Darwin, 1. On the figure of equilibrium of a planet of heterogeneous 
density. London. Soc. Proceed. 36 (1883). 

2. On figures of equilibrium of rotating masses of fluid, London. Phil. Trans. 
178 (1887). 

3. The theory of the figure of the earth carried to the second ordre of small 
quantities, ebenda 60 (1899). 

4. Ellipsoidal harmonie analysis, ebenda 197 (1901). 

5. The pearshaped figure of equilibrium, ebenda 198 (1902). 

6. The stability of the pearshaped figure of equilibrium of a rotating mass 
of fluid, ebenda 200 (1903). 

: 7. The approximate determination of the form of Maclaurins spheroid, Americ. 

math. Soc. 4 (1903) u. 9 (1908). 

8. On the integrals of the squares of ellipsoidal surface harmonic fonctions, 
London. Phil. Trans. 203 (1904). 

9. The figure and the stability of a liquide satellite, ebenda 206 (1906). 

1* 


4: VIs,21. 8. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


Hamy, 1. Etude sur la figure des corps c6lestes, Thöse. Paris 1887. 
2. Theorie de la figure des planetes, J. p. Math. VI (1890). 

Hayford, The figure of the Earth and isostasy from measurements in the 
United States, Washington 1909. 

K. G. Jacobi, Über die Figur des Gleichgewichtes. Annal. Phys. Ch. 33 (1834). 

H. J. Kiaör, Etudes sur les causes des phönomönes com6taires, Diss. Christiania 
1890. Auszugsweise mitgeteilt in Astr. Nachr. 126 (1891), p. 281. 

S. Kowalewski, Zusätze und Bemerkungen zu Laplaces Rechnungen über die Ge- 
stalt der Saturnringe, Astr. Nachr. 111 (1885), p. 37. 

P. 5. Laplace, 1. Theorie de l’attraction des spheroides et la figure des planttes, 
Paris, M&m. p. 1782 (1785). 

2. Memoire sur la figure de la terre, Paris. M&m. pour 1783 (1786). 

3. M&moire sur la theorie de l’anneau de Saturne, Paris. M&m. pour 1787 (1789). 

A. M. Legendre, 1. Recherche sur la figure des plandtes, Paris, M&m. pour 1784 
(1787). 

2. Suite de la recherche sur la figure des planettes, ebenda pour 1789 (1795). 

Liapounof}, 1. Sur la stabilit&E des formes d’equilibre ellipsoidales d’un liquide 
en rotation (in russischer Sprache), St. Petersb. 1884. Referat hierüber von 
R. Radauw in Bull. astr. II (1885), sodann ins Französische übersetzt von 
Davaux u. veröffentlicht in Ann. Toulouse 1904. 

2. Recherches dans la theorie de la figure des corps ce&lestes, St. Petersb. M&m, 
XIV (1903). 

3. Sur l’&quation de Clairaut et les &quations plus gen6rales de la figure des 
plandtes, ebenda XV (1904). 

4. Sur un probleme de Tschebyscheff, ebenda XVII (1906). 

5. Probleme de minimum dans une question de stabilitE des figures d’equi- 
libre d’une masse fluide en rotation, ebenda XXII (1908). 

6. Sur les figures d’&quilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse fluide 
homog®ne douee d’un mouvement de rotation (in 4 Teilen): 

a) Etude general du probleme, St. Petersb. 1906. 

b) Figures derivees des ellipsoides de Maclaurin, St. Petersb. 1909. 

c) Figures derivees des ellipsoides de Jacobi et Recherches relatives & la 
vitesse angulaire et au moment de quantite de mouvement, St. Petersb. 
1911. 

d) Nouvelles formules pour la recherche des figures de l’equilibre, 
St. Petersb. 1913. 

L. Lichtenstein, 1. Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender 
Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze an- 
ziehen: I. Abh. Homogene Flüssigkeiten, allgemeine Existenzsätze, Math. 
Zeitschr. 1 (1918), p. 229—284, 3 (1919), p. 172—174; II. Abh. Stabilitätsunter- 
suchungen, 5 (1919). 

2. Über einige Eigenschaften der Gleichgewichtsfiguren rotierender homogener 
Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze an- 
ziehen, Berl. Ber. 1918, p. 1120—1135. 

Cl. Maxwell, On the stability of the motion of Saturns’ ring, Cambridge 1859. 
Scient. papers I vol. p. 288. 

B. Globa- Michailenko, 1. Sur une nouvelle figure d’&quilibre d’une masse fluide 
en rotation, Paris C. R. 163 (1916), p. 700—703, und Nouv. Ann. de Math. 16 
(1916), p. 506508. 


1. Einleitung. 5 


2. Sur quelques nouvelles figures d’&quilibre d’une masse fluide en rotation, 
J. de Math. 7 (1916), p. 1—78. 

H. Poincare, a) Sur l’equilibre d’une masse fluide animee d’un mouvement de 
rotation, Act. math. VII (1885). 

b) Sur la stabilit&E de l’equilibre des figures pyriformes, affect6es par une 
masse fluide en rotation, London Phil. Trans. 198 (1902). 

B. Riemann, Ein Beitrag zur Untersuchung über die Bewegung eines flüssigen 
gleichartigen Ellipsoids, Götting. Nachr. 9 (1862). Gesamm. Werke 2. Aufl. 
1892 p. 182. 

E. Roche, a) Recherches sur les cometes, Paris Inst. M&m. XVI. (1848). 

b) Memoire sur la figure d’une masse fluide soumise ä l’attraction d’un 
point @loigne, Montpellier Mem. I (1847—1850), II (1854). 

c) M&moire sur la figure des atmospheres des corps celestes, ebenda II (1854). 

d) Sur les atmospheres des comötes, Paris Obs. M&m. V (1859). 

e) Reflexions sur la theorie des phenomfönes cometaires, Montp. Mem. I 
(1860). 

f) Nouvelles recherches sur la figure des atmospheres des corps celestes, 
Montp. Mem. V (1863). 

g) Essay sur la constitution et l’origine du systeme solaire, ebenda VII 
(1875). 

h) M&moire sur l’&tat interieur du globe terrestre, ebenda X (1881). 

K. Schwarzschild, Die Poincar&sche Theorie des Gleichgewichtes einer homogenen 
rotierenden Flüssigkeitsmasse, Diss. München 1896. 

@G. Stokes, 1. On attractions and on Clairauts Theorem, Cambr. Dubl. math. Journ. 
4 (1849) = Coll. Pap. 2. Vol. Cambridge 1883, p. 108. 

2. Ou the variation of gravity at the Earth, Cambridge Trans. 8 (1849) — Coll. 
Papers, 2 Vol, Cambridge 1883. 

F. Tisserand, 1. M&moire sur l’anneau de Saturne, Toulouse Obs. M&em. I (1880). 

2. Resum& des tentatives faites jusqu’ici pour determiner la parallaxe du Soleil, 
Paris Obs. Mem. XVI (1882). 

P..Veronnet, Rotation de l’ellipsoide heterogene et figure exacte de la terre, J. 
p. Math. VIII (1912). 

Wiechert, Über die Massenverteilung im Inneren der Erde, Götting. Nachr. 
(1897), p. 221. 


l. Einleitung. Die erste Anregung zu theoretischen Unter- 
suchungen über die Gestalt der Himmelskörper, einschließlich der der 
Erde, gab Newton.') Die 1672 zuerst von J. Richer gemachte Beob- 
achtung, daß das Pendel einer Uhr, die von Paris nach Cayenne ge- 
bracht worden war, da um 1”, Pariser Linien?) verkürzt werden 
mußte, um seinen normalen Gang zu erhalten, dürfte Newton zu der 
Anschauung geführt haben, daß die Erde keineswegs eine Kugel sei, 


1) Newton, Prineipia, Sectio XII und XIII des ersten und XVIII—XX des 
zweiten Buches. 
2) Todhunter, Hist., $ 52. 


6  YVI2,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


sondern wie die beiden großen Planeten, Jupiter?) und Saturn, die im 
Fernrohre schon bei ganz mäßiger Vergrößerung nicht als kreisför- 
mige Scheiben, sondern in Form von Ellipsen mit deutlich merkbarer 
Abplattung erscheinen, die Gestalt eines abgeplatteten Rotationsellip- 
soides besitze. Es lag dann der Gedanke nahe, diese eigentümliche 
Gestalt der Erde dem Zusammenwirken der zwei auf ihrer Oberfläche 
wirkenden Kräfte zuzuschreiben, nämlich der Gravitation zwischen 
ihren einzelnen Teilchen und der durch die Rotation um ihre Achse 
entstehenden Fliehkraft. 

So entstand und wurde zum ersten Male ein Problem formuliert, 
das seitdem in intensiver Weise die Mathematik beschäftigte, wie kein 
anderes physikalisches Problem zu ihrer Entwicklung beitrug, eine 
strenge Lösung aber bis heute noch nicht gefunden hat. Es lautet: 

Welches sind die Endformen des relativen Gleichgewichtes, oder, 
wie weiterhin kurz gesagt werden soll, welches sind die möglichen 
Gleichgewichtsfiguren für eine Flüssigkeitsmasse, von der folgende An- 
nahmen gemacht werden: 

1. daß sie im Raume frei schwebe, 

2. daß ihre Teilchen sich gegenseitig anziehen mit Kräften, die 

dem Newtonschen Gravitationsgesetze gehorchen, 

3. daß die ganze flüssige Masse wie ein starrer Körper um eine 

im Raume feste Achse mit konstanter Geschwindigkeit ro- 
tiere.?®) 


3) Darauf weist besonders der Umstand hin, daß Newton sofort, nachdem 
er für die Erde das Gesetz aufgestellt hat, das den Zusammenhang zwischen 
Abplattung, Fliehkraft und Schwere darstellt, es auf die Berechnung der Ab- 
plattung des Planeten Jupiter anwendet und für sie die Größe 1:9,2 findet. 
Todhunter, Hist., 8 29. 

3a) Die Gleichgewichtsfigur der Erde, unter der Voraussetzung, daß sie ur- 
sprünglich nicht flüssig, sondern plastisch war, so daß zu ihrer Bestimmung die 
Gleichungen der Elastizitätslehre in Anwendung kommen, bestimmten: J. H. Jeans, 
„On the Vibrations and stability of a gravitating planet“. London Phil. Trans., 201 
(1908), p. 157, ferner A. E. Love, The gravitational stability of the Earth, ebenda 
207 (1909). Beide wollen mit dieser Annahme gewisse Unregelmäßigkeiten in der 
Verteilung von Land und Wasser auf der Erde, besonders den großen Unter- 
schied zwischen der Nord- und Südhalbkugel der Erde in dieser Richtung, er- 
klären. Hier wären auch zu erwähnen die Untersuchungen über die Figur der 
elastisch-festen Erde und deren Deformation durch Flutkräfte. Vgl. die Dar- 
stellung in F. Klein und Sommerfeld, Die Theorie des Kreisels, Leipzig (1897 bis 
1910), Abschnitt VIIIB: geophysikalische Anwendungen, $ 7, p. 685706. — 
Doch finden diese eine eingehendere Erörterung in Eneykl. VIı,6 (@. H. Darwin 
und 8. $. Hough, Bewegung der Hydrosphäre), besonders Nr.37, p. 61: „Elastische 
'Tiden und die Steifigkeit der Erde“, die auch einen Nachweis der reichhaltigen 
Literatur über diese Frage enthalten. 


2. Newton und Huygens. 7 


2. Newton und Huygens. Die von Newton. gegebene Lösung ist 
nur eine genäherte. Von der Annahme ausgehend, daß die Flüssigkeit 
eine homogene ist, setzt er für sie die Form eines abgeplatteten Ro- 
tationsellipsoides voraus und versucht es, aus dem Verhältnisse zwi- 
schen der Schwere und der Fliehkraft die Größe der Abplattung zu 
berechnen. Als Gleichgewichtsbedingung benutzt er ein Prinzip, das 
seitdem von allen älteren Mathematikern verwendet wurde, ehe in der 
Folge von Olairaut‘), Euler?) und D’Alembert®) die Bedingungsglei- 
chungen in strengerer und analytischer Form aufgestellt und später 
von Legendre und Laplace unter Einführung des Potentialbegriffs ver- 
einfacht wurden. Es lautet: Man denke sich durch die Erde zwei 
Kanäle gezogen, den einen vom Pol bis zum Erdmittelpunkt, den 
anderen von da bis zu einem beliebigen Punkte des Äquators. Beide 
Kanäle seien mit Wasser gefüllt. Im Falle des Gleichgewichtes müssen 
die Wassermassen in ihnen gleich schwer sein. Würde die Erde nicht 
rotieren, so könnte dies nur dann eintreten, wenn beide Kanäle gleiche 
Längen haben. Da aber die Erde rotiert und die aus dieser Rotation 
entstehende Fliehkraft am Äquator am größten ist, während sie am 
Pole verschwindet, so wird dadurch die Wassermasse am Äquator 
leichter erscheinen als die des durch den Pol gehenden Kanals, und 
zwar um einen Bruchteil, der dem Verhältnis zwischen Fliehkraft und 
Schwere gleichkommt. 

Für dieses Verhältnis, für das im folgenden stets das Zeichen p 
gelte und dessen analytischer Ausdruck 


pP — w’a/g 
lautet, wenn & die Rotationsgeschwindigkeit, « der Äquatorradius und 
g die Schwere am Äquator bedeutet, nimmt er den Wert 


9=1:289 
an. In der Tat folgt aus den Zahlen 


0 —= 2n/86164 sec”! 

a = 637 820 000 em 

9 = 978,028 cm sec”? nach Helmert”) 
p — 1:288,367 = 0,0034678.... 


4) Clairaut, Erdgestalt, I. Teil. Allgemeine Lehrsätze zur Auffindung von 
Voraussetzungen, die ein Gleichgewicht der Flüssigkeiten zulassen. 

5) Euler, Principes generaux de l’equilibre des fluides, Berlin, Hist. de 
l’acad. 11 (1755). Einführung des Begriffs des Druckes in die Lehre von den 
Flüssigkeiten. Vgl. auch IV 15 (A. E. H. Love), Nr. 1, p. 50. 

6) D’Alembert, Trait& de l’&quilibre et du mouvement des fluides, Paris 1744. 

7) Helmert, Die Schwerkraft und die Massenverteilung der Erde, Enceykl. 
VIı1,7, p. 9. 


8  VI»,21. $S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


Zur Bestimmung der Schwere jedes der beiden Kanäle hat Newton 
die Anziehung eines Rotationsellipsoides auf den Pol und auf einen 
beliebigen Punkt des Äquators zu berechnen. Diese schwierige Inte- 
grationsaufgabe beschäftigte die Mathematiker seit Newton aufs leb- 
hafteste. Sie bildete einen beliebten Kräftemesser für ihren Wetteifer 
untereinander.®) Newton löste sie nur genähert mit einer Genauig- 
keit, welche einer Berücksichtigung der ersten Potenz der Abplattung 
gleichkommt. Sei diese mit « bezeichnet, d.h. sei, wenn a = b der 
Äquator-, c der Polarradius ist, 
«= (a — c)/a, 
so findet Newton der Reihe nach (bloß nach numerischer Berechnung 
mit «= 1:100): 
1. Anziehung eines Rotationsellipsoides mit den Achsen a=b 
und c auf den Pol im Verhältnis zur Anziehung einer Kugel 


mit dem Radius c =1+ -. 


2. Anziehung einer Kugel vom Radius c im Verhältnis zur An- 
ziehung einer Kugel vom Radius a auf einen beliebigen Punkt 


der Oberfläche -=-—1—a, 
3. Anziehung einer Kugel vom Radius a im Verhältnis zur An- 
ziehung eines Rotationsellipsoides mit den Achsen « —= b und 
c auf einen Punkt des Äquators =]1+ = 


und daraus durch Multiplikation: 

Verhältnis der Anziehungen eines Rotationsellipsoides mit den Achsen 
a— b und c auf den Pol und auf einen Punkt des Äquators, oder, 
was dasselbe ist, Verhältnis des Gewichtes des Polkanals zu dem des 


Äquatorkanals — (1 + =) (1— oe) (1 + ”) —=1+ 2 d.h. ein 
Ellipsoid, dessen Abplattung « ist, zieht einen Punkt am Pol mit 
einer um den - Teil größeren Kraft an als einen am Äquator. Da 


aber die Masse des Polkanals um den «. Teil kleiner ist als die des durch 
den Äquator gezogenen, so bleibt für die Änderung durch die Fliehkraft 


die Differenz « — : = = übrig, welche sagt, um wieviel der letztere 
Kanal länger sein muß als der erstere. Es besteht also die Relation 
p= Aa/5 «= 59/4, 


die das Newtonsche Hauptergebnis. darstellt: Wenn eine homogene 
Flüssigkeitsmasse, die mit gleichförmiger Geschwindigkeit um eine 


8) Burckhardt u. Meyer, Potentialtbeorie, Encykl. IIa 7, Nr. 15, p. 482. 


2. Newton und Huygens. 9 


feste Achse rotiert, als Gleichgewichtsfigur die Form eines Rotations- 
ellipsoides annimmt, so ist die Abplattung 


(1) «= 59/4. 
Für die Erde folgt daraus « = 1:230. 
Für die Änderung der Schwere oder der Länge eines Sekunden- 


pendels leitet er aus der Bedingung, daß gr — const. ist, worin g die 

Schwere für den Endpunkt des Radius r bedeutet, die Formel 
—=9,(l+esin? p) 

ab und gibt eine Tafel?) der Pendellängen für die geographischen Breiten 

von 0° bis 90° von je 5° zu 5°. 

Die gleichen Tatsachen von der Änderung der Schwere auf der 
Erdoberfläche regten auch Huygens!”) zu seinen Untersuchungen über 
die Gestalt der Erde an. Seine Behandlung des Problems unterscheidet 
sich namentlich darin von der Newtons, daß er dessen Art der Be- 
rechnung der Anziehung eines Körpers als Summe der unendlich 
vielen Anziehungen von Teilchen zu Teilchen desselben leugnet, son- 
dern die Schwere als eine konstante Kraft ansieht, die im Erdmittel- 
punkte ihren Sitz habe, der die Fliehkraft entgegenwirke und sie am 
Äquator um den 1:288. Teil ihrer Intensität vermindere. Als Gleich- 
gewichtsbedingung stellt er das Prinzip auf, daß die Oberfläche der 
Gleichgewichtsfigur in allen ihren Teilen auf der Resultierenden zwischen 
der konstanten Schwere und der Fliehkraft, d. i. auf der Richtung 
der Lotlinie oder der scheinbaren Schwere senkrecht stehe. Doch zur 
Berechnung der Oberfläche verwendet er nur wieder das Newtonsche 
Prinzip der gleichschweren Kanäle.!!) Er erhält als Abplattungswert 


(2) «e—=4p und speziell für die Erde « = 1:576 


9) Aus dieser Tafel seien hier die Werte für die geogr. Breiten p = 0°, 45°, 
90° mitgeteilt und zum Vergleiche mit neuen Beobachtungen die nach Helmert 
(Fußnote 7) angesetzt: 

g=0° 1 489,468” — 991,86mm; Helmert 1 = 990,95 mm 
45° 440,428 == 993,53 993,58 
90° 441,387 = 995,69 996,20. 


10) Huygens, Discours de la cause de la pesanteur. Erschienen als An- 
hang zum: Traite de la lumiere, Leiden 1690. Todhunter, Hist., $ 47 ff. 


11) Die direkte Bestimmung der Gleichung der Oberfläche einer rotierenden 
Flüssigkeitsmasse aus der Bedingung, daß sie auf der Resultierenden aus der 
konstanten Schwere und der Fliehkraft senkrecht steht, dürfte auf elementar- 
geometrischem Wege zuerst durchgeführt haben J. Hermann in Basel in seiner 
„Phoronomia, sive de viribus et motibus eorporum et fluidorum libri duo“, Am- 
sterdam 1716, p. 361 ff. 


10 VlI»,21. $. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


und als Gesetz für die Änderung der Schwere auf der Erde 


I—=n(l+esin’p) 

Olairaut‘”) hat zuerst darauf aufmerksam gemacht, daß man der 
Huygensschen Auffassung der Erdanziehung die Deutung geben kann, 
als ob die Erde keine homogene Flüssigkeit sei, sondern ihre Dichte 
von der Oberfläche zum Mittelpunkte hin zunehme und in diesem fast 
einen unendlich großen Wert habe. Denn dann überwiegt dessen An- 
ziehung die aller anderen Punkte, und es hat den Anschein, als ob 
er allein der Sitz der Anziehung sei. Die zwei theoretischen Werte 
der Abplattung können daher als Grenzwerte aufgefaßt werden, von 
denen der erste, Newtonsche («, = 5/4), dem Falle einer homogenen 
Dichte der Erde, der zweite, Huygenssche (&, = p/2), dem Falle ent- 
spricht, als ob ihre Masse fast ganz im Mittelpunkte konzentriert sei. 
Der wahre Wert der Abplattung muß daher für alle Himmelskörper, 
sofern sie nur ellipsoidischer Form sind, zwischen beiden Werten 
liegen. 

Die folgende Tafel!?) mag ein Bild davon geben, inwieweit dieses 
Resultat der Wahrheit entspricht. Sie enthält für die großen Planeten 
des Sonnensystems und außerdem die Sonne alle Angaben, aus denen 
man die Größe p und daraus «, und «, berechnen kann, sowie die 
Abplattungswerte selbst, soweit sie zum Teile aus direkten Messungen, 
zum Teile aus theoretischen Berechnungen (säkulare Störungen der 
Monde) bekannt sind. 


























Tafel 1. 
Der | [uraR Da zer 
Rotations- | | | 
Dich = | ap R .- 
a a Ed ba inne 
Merkur 2m. 2 | 565 | 1:34 |1:975 |1:682 | ? og 24m 
Venus . 24..2 | 541 |1:298 |1:178 | 1:44 | 2? |2 2 
Erde. .| 28 56” | 5,56 rigen 1:280 | 1:576 |1:298|2 2 
Mars. .\ 24 37 | 3,99 | 1:217 |1:174 | 1:434 ‚1:280 2 52 
Füpiker, | 9 56 1 181 11: 118) 1: DAL: 3450 
Saturn | 10 29 | 0,72 E 641: 8,111: 198|1:,11|6 45 
Uranus. | ? | 0,80 | E | _ _ ua. — 
Neptun. | ? | 3,1%. | —_ | — | —_ De | — 
Sonne .| 25% 4 — , 1,42 | 1:46700| 1:37500) 1:9840, — 4 58 
li | | ) ! 





12) Olairaut, An Inquiry concerning the figure of such planets as revolve 
about an axis supposing the density continually to vary from the centre towards 
the surface, London Phil. Trans. 40 (1738). Todhunter, Hist., $ 173. 

13) Die Tafel ist entnommen Tisserand, Mec. cel. II, p. 94. Vgl. auch Lovell, 
On the limits of the oblateness of a rotating planet and the physical deduetions 
of them, Phil. mag. 19 (1910), p. 700. 


3. Das Maclaurinsche Rotationsellipsoid. 11 


3. Das Maclaurinsche Rotationsellipsoid. Der erste, dem die 
Aufgabe glückte, den vollen analytischen Ausdruck für die Anziehungs- 
kräfte eines Rotationsellipsoides von homogener Dichteverteilung auf 
einen Punkt seiner Oberfläche aufzufinden, war Maclaurin.*) Auf 
dieser Grundlage konnte er nunmehr den strengen Beweis dafür geben, 
daß das abgeplattete Rotationsellipsoid die Gleichgewichtsfigur für 
eine rotierende Flüssigkeitsmasse ist. Er findet für die Komponente 
X = Y der Anziehung auf einen Punkt des Äquators 


fr ... . (are sine—ey1 — e) 


und für die auf den Pol 


4nok* 
e8 


Z= c(le— V1-— e are sin e), 


wenn, wie schon oben erwähnt wurde, a = b die Äquator-, e die Polar- 
achse des Ellipsoides, e dessen Exzentrizitätt e=y1— c?/a?, o die 
Dichte der Flüssigkeit und %® die Konstante (Gaußsche Gravitations- 
konstante) im Newtonschen Gesetz bedeuten. Die Gleichgewichtsbedin- 
gung, aufgestellt auf Grund des Newtonschen Prinzips der gleich 
schweren Kanäle, nimmt bei ihm die Form an, 
(X—g9X):Z=c:a 
. 3 — 2e?) arc sine— 3eY1-—e? 
d bt = ( EEE TEE ET ELITE 2 Ze ur ger © Srrereeeng 
BAER ? arc sine—ey1-—e: 
oder in Reihen entwickelt, die, da e<(1 ist, konvergieren, 
| ts 4 
ad Wi 7 17 a 


und daraus durch Umkehrung 


"ae Ste ai Tale 


was, da die Abplattung « genähert — 4 e? gesetzt werden kann, bei 
bloßer Berücksichtigung der Glieder erster Ordnung mit dem Newton- 
schen Resultate « = 59/4 übereinstimmt. 


Führt man statt der Exzentrizitätt e—= Y1 — c/a® die zweite 


& — 


14) Maclaurin, A treatise of Auxions, Edinburg 1742. Todhunter, Hist., 
& 241ff. Vorher hatte schon J. Stirling in seinem Buche „On the figure of the 
earth and the variation of gravity on the surface“, London Phil. Trans. 39 (1735), 
Ausdrücke für die Anziehungskräfte X uud Z gegeben, die bis zu den zweiten 
Potenzen der Exzentrizität gehen, und damit bewiesen, daß bis zu diesem Grade 
der Annäherung das abgeplattete Rotationsellipsoid eine Gleichgewichtsfigur 
sein kann. 


12 VI», 21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


& = Va?je —1 ein, so nehmen die Ausdrücke für x und Z die neue 


Form an 


s” a a[(1 + 8) aretg e — 2] 


Z= iron e(1-H E) (e — arctg e), 


und die Gleichung für p wird 
a. + 8°) arctg 8 — 38 


(d+ MNaredgs— es 
Definiert man ferner die Größe p etwas anders als bisher, nämlich 
als Verhältnis der Fliehkraft am Äquator zur Anziehung einer Kugel, 
deren Radius gleich ist der Äquatorachse des Ellipsoides, d. h. 

RL. 

PT gmkte’ 

so daß die Gleichgewichtsbedingung in - 
(X — oda): Z=ec:a 


übergeht, so wird die transzendente Bedingungsgleichung zur Bestim- 
mung von Ä 
(8) Ay a 





In dieser Form, die allen weiteren Untersuchungen über den Zu- 
sammenhang zwischen p und & zugrunde liegt, kommt die Gleichung 
zum ersten Male bei D’Alembert'”) vor. Sie wurde von Laplace'®) 
in seine Mecanique celeste aufgenommen. Aus ihr folgt 


1. für e<1 
nd NE 152% 
ai > IN a 
und daraus durch Umkehrung 
5p 12 (öp\?2, 148 /5y 
ei er Ge 107) car Zei 
2.für’2 >14 


N 5 ee 
4E 4 8° r] - (2n — 1) (2n — 3) 8?” 


= 2 = (*) IE - (2) 1 ri (128 — 32°) (2) + wor 


ed 





und 


15) D’Alembert, Sur la figure de la terre, Opuscules mathem., Paris 1773. 
Todhunter, Hist., $ 579. 

16) Laplace, M&c. eel., Livre III, ch. 3, s18; vgl. auch Love, Encykl. IV 2, 15, 
Nr. 9, p. 65. 


4. Diskussion der Gleichung (3). 13 


Eine weitere Entwicklungsform, die für &< 1 gültig ist, gibt Ivory'"). 
Sie lautet 


ao 
u % 2 ; 2.4 ..:-(2n— 2) 2n—6 _. 
=, siny+,„sinv— > 5.1. En BT eine 
4 





..(2n+B3) 2 
und ergibt sich aus Gleichung (3) durch die Substitution 


e=tgY 
und die Reihe 


vootgy —1— sin? u 2-.4...(2n— 2) 


ke; - 3-5..." 1) 





sin?” ı. 


4, Diskussion der Gleichung (3). Maclaurin verwertet die Glei- 
chung (3) nur für den Fall, daß p sehr klein ist. Er findet dann in 
Bestätigung des Newionschen Resultates ®—= 39. Eine Tafel ein- 


ander zugehöriger Werte von ae=1-+ .« und 1: Yp gibt .Th. Simp- 
son‘). Aus ihr ersieht man, daß einem gegebenen p zwei Werte 
von «& zugehören. Doch entgeht diese Tatsache Simpson. Dagegen 


findet er, daß für ein 1:Yg ein Minimalwert existiert, dem eine 
obere Grenze für die Rotationsgeschwindigkeit der Gleichgewichtsfigur 


entpricht, nämlich 1: Yp — 1,7226. Aus ihm folgt 
(3a) y ="0,33700,. s —= 2,5292, .e = 0,9289, 


Bezeichnet man die Rotationsdauer der Flüssigkeitsmasse mit 7, die 
kleinste, die dem Grenzwert p = 0,33700 zugehört, mit 7,, so ist 


T, = TY9Y/0,33700, 

17) Ivory, On the figure requisite to maintain the-equilibrium of a homog. 
fluid mass, that revolves upon an axis, London Phil. Trans. 30 (1824), p.141. Todh., 
Hist., $ 1432. 

18) Th. Simpson, A mathem. Dissertation on the figure of the earth, London 
1743. Todh.,; Hist., $ 285. 

19) Laplace, Mec. cel., Livre II, ch. 3, $ 19. Im $ 20 gibt Laplace einen 
Beweis dafür, daß ein verlängertes Rotationsellipsoid keine mögliche Gleichge- 
wichtsfigur einer homogenen Flüssigkeitsmasse ist. Für ein solches hat man 
ie=n zu setzen und erhält 


2 N ER a 
REN RB) a er Bin ee RL 
X Y 20. —, a : In) 


BR 





n° a 
Die Gleichung (3) geht damit über in 
Ei rc ee ee 
NER RW TR, u ’ 


d.h. @ ist negativ, was physikalisch unmöglich ist. Vgl. auch Plana, Sur la 
figure mathem. de la terre, Astr. Nachr. 36 (1853), p. 166. 


14 Vl»,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


und nach dieser Formel sind die in der letzten Kolonne der Tafel I 
unter „Kleinste Rotationsdauer“ mitgeteilten Werte berechnet. 

Die strenge Diskussion der Gleichung (3) führte als erster 
D’Alembert‘°) durch. Sie wurde von Laplace'®) in seine Mecanique 
celeste aufgenommen und lautet: 

So lange p < 0,33700, genügen der Gleichung zwei Werte von 
&, der eine zu berechnen nach der für &<1, der andere nach der 
für <> 1 geltenden Reihe. 

Für p = 0,33700 fallen beide Werte zusammen. 

Für p > 0,33700 ist eine ellipsoidische Gleichgewichtsfigur un- 
möglich. Speziell für die Erde ist 

4-42 -29-1:280, 2 — 680, 
d. h. die eine der möglichen Gleichgewichtsfiguren ein sehr schwach 
abgeplattetes Rotationsellipsoid, die zweite eine sehr breite, flache 
Scheibe. | 
Ist M die Masse der Flüssigkeit gegeben, so erhält man für die 
Achsen des Ellipsoids 
Var "RER N rss Dry ER N nase 
ae dee‘ V- -Vüa+9, e- u Vs 
und damit als Grenzwerte für den Übergang auf p — 0 
=, „=b—=c, d.i. die Kugel, 
& = 0 .=b = x g=(, 
eine unendlich große, aber unendlich dünne Scheibe als mögliche 
Gleichgewichtsfiguren. 

5. Diskussion des Rotationsmomentes. Die Einführung des 
Rotationsmonientes, das nach bekannten physikalischen Sätzen für 
einen rotierenden Körper konstant ist, falls auf ihn bloß „innere“ 
Kräfte einwirken, oder nur solche „äußere“, deren Moment in bezug 
auf die Rotationsachse selbst gleich Null ist, als Bestimmungsgröße 
zur Charakterisierung der Gleichgewichtsfigur an Stelle der Rotations- 
geschwindigkeit & oder der Größe p verdankt man Laplace?®). Be- 
zeichnet man das Trägheitsmoment der Masse um die Rotationsachse 
mit J, so ist das Rotationsmoment 

R= oJ, 
und da für eine homogene Masse 
4 


J=ZeM(i+9), M=-Feel+, 


20) Laplace, Mec. cel., Livre III, ch. 3, $ 21. 


6. Heterogene Flüssigkeiten. Clairauts Theorie. 15 


30°M®T/3M (i-+e?)° 
folgt Lie nt br. 2 Pop V ame ° 
was, in die Gleichung (3) substituiert, auf 
(4) BEm6 pe ee Pt, 
k2M® 7/3M 
worın K= RE ve 


führt. Die Diskussion dieser neuen Gleichung zeigt, daß die Be- 
ziehung zwischen R®/K und & nunmehr eine eindeutige ist. Speziell 
wird die Gleichgewichtsfigur für 
a) R/K—=0: 9—=0, sl, (0, 
eine Kugel, 
b) R/K = 2,3065: 9 = 0,28068, = 1,39457, «= 0,4173, 
das Verzweigungsellipsoid mit Jacobis Ellipsoid, 
ec) R/K = 5,1174: 9 = 0,33700, &= 2,5292, «= 0,6323, 
das Rotationsellipsoid, das dem Maximum von @ entspricht, 
d) R/K = 6,4803: 9 = 0,33016, & = 3,14156, «a = 0,6967, 
das Riemannsche Ellipsoid, 
e) R/K = oo: =, & ==.00, d.==:09, 
die unendliche Scheibe. 


6. Heterogene Flüssigkeiten. Clairauts Theorie. Die Annahme, 
daß die Himmelskörper von homogener Masse sind, entspricht der 
Wahrheit nicht. Schon Newton machte die Bemerkung, daß, wenn 
zwischen der von ihm berechneten Abplattung des Planeten Jupiter 
und dem beobachteten Werte derselben ein Unterschied bestehe, und 
wenn ebenso die Pendelbeobachtungen eine größere Änderung vom 
Pol zum Äquator fordern, als es nach seiner Theorie der Fall sein 
sollte, dies dem Umstande zuzuschreiben sei, daß die Dichte der Pla- 
neten keineswegs konstant ist. Newton glaubte jedoch, daß die Ab- 
plattung eines Planeten um so größer sein werde, je mehr seine 
Dichte von der Oberfläche gegen die Mitte hin zunehme.°!) 

Nach Newton befaßte man sich vielfach damit, eine Theorie der 
Gleichgewichtsfiguren auch für heterogene Flüssigkeiten aufzustellen, 
und zwar unter verschiedenen Annahmen für die Änderungen der 
Dichte in ihrem Inneren. Es haben diese Untersuchungen eine be- 
sondere Bedeutung erlangt in ihrer Anwendung auf die Erde, nament- 





21) Siehe die Kritik von Newton durch Clairaut, Erdgestalt, II. Teil, p. 78, 
107 u. 120. 


16 VI», 21. $. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


lich in ihrer Anwendung auf eine schärfere Ableitung ihrer Abplat- 
tung, eine genauere Bestimmung des Wirkungsgesetzes der Schwer- 
kraft auf ihrer Oberfläche und eine kritische Prüfung der verschie- 
denen über ihre innere Konstitution aufgestellten Hypothesen. In 
dieser Richtung bilden sie einen Hauptgegenstand der höheren Geo- 
däsie??) und sollen hier nur so weit berührt werden, als sie mit dem 
zu lösenden allgemeinen Problem zusammenhängen. 


Die erste Lösung dieses neuen Problems rührt her von Olairaut?). 
Sie beruht auf folgenden Annahmen: 


1. Die Erde oder die Masse, deren Gleichgewichtsfigur bestimmt 
werden soll, besteht aus unendlich vielen Schichten, die alle eine ge- 
meinschaftliche Rotationsachse haben. Ihre Dichte go variiert von 
Schicht zu Schicht, und zwar zunehmend von der Oberfläche gegen 
die Mitte hin, so daß o=f(r) ist, wenn r die Distanz einer belie- 
bigen Schicht vom gemeinsamen Mittelpunkt aller bedeutet, und f 
nicht notwendig eine kontinuierliche Funktion sein muß. 


2. Es ist ebensowenig notwendig, die Annahme zu machen, daß 
alle einzelnen Schichten ursprünglich flüssig waren. Nur die Ober- 
flächenschicht muß als eine solche angesehen werden, die, wie wenn 
sie flüssig wäre, durch die gleichmäßige Rotation eine bestimmte 
Form erlangte und sie beibehielt. Die inneren Schichten können auch 
als von Anfang an fest angenommen werden. Die Lösung des Pro- 
blems schließt daher auch den Fall ein, daß man die Erde als einen 
festen Körper ansieht, der von einer dünnen Wasserschicht be- 
deckt ist. | 


3. Jede dieser einzelnen Schichten hat die Form eines abgeplat- 
teten Rotationsellipsoides von sehr kleiner Abplattung, so daß die 
Berücksichtigung der ersten Potenz derselben genügt. Die Abplat- 
tungen der einzelnen Schichten sind veränderlich, aber kontinuierlich 
veränderlich. 

Olairaut berechnet die Komponenten der Anziehung eines homo- 
genen Ellipsoids auf einen beliebigen Punkt desselben, daraus durch 
Differentiation die Kräfte einer unendlich dünnen, ellipsoidischen 
Schale und durch deren Integration die eines geschichteten Ellip- 
soides. Er erhält, indem er folgende unbestimmt bleibende Integrale 
einführt: 


22) Vgl. P. Pizetti, Höhere Geodäsie, Encykl. VI ı, 3, besonders Nr. 1—9 u. 
47—53; ferner F. H. Helmert, Die Schwerkraft und die Massenverteilung der 
Erde, Eneykl. VIa, 7, besonders Nr. 1—5 u. 25. 

23) Clairaut, Erdgestalt, II. Teil, IV. Abschnitt. Todh., Hist., $ 337. 


6. Heterogene Flüssigkeiten. Clairauts Theorie. 17 


Kr fan E ae N—fedtre), Elek 
(5) 0 0 2 0 0) 
Fr foltar 


in denen r wie oben die Distanz einer beliebigen Schichte vom ge- 
meinsamen Mittelpunkte aller, d. h. den Radius der einzelnen Schich- 
ten, o deren variable Dichte, « die variable Abplattung als Funktion 
von r aufgefaßt, bedeutet, ferner 2:r — sin # gesetzt ist: 





\ 











[ x — Het: = (1—5 sin) — + F) 

4 ck? Dirt 2 
I 7T=--'7,( Hasen ir) 
| ZH, (tr +32 (8-5 sin?) + 4 F) 


und aus ihnen durch Substitution in die Gleichgewichtsbedingung, die 
bei ihm durch Elimination von dx und dz aus den beiden Glei- 


chungen 
(X+o’s)dac+Zds=0, zdc +z(l —2e)de=0 
; X+o?°x ER 2Zu 
die Form ee ey 


besitzt, als erste Beziehungsgleichung zwischen den angenommenen 
Integralen:: 





(7) nn r =der K— N—+»ÖF. 
Ihre Differentiation nach r gibt die zweite Beziehungsgleichung 
50? 1 da 2« 
(8) sm — (rar +) ER 
und deren Rue Differentiation die dritte und Schlußgleichung 
2 d 3 
(9) =+% ser TE + 2« (£ - 5) SE 0, 


das ist eine lineare ne die den Zusammenhang zwi- 
schen og und « und den Differentialquotienten von « darstellt. 

Diese drei Gleichungen repräsentieren das erste Olairautsche Er- 
gebnis. 

Weiter berechnet Clairaut die Schwere auf der Oberfläche des 
Ellipsoids, die er als die in die Richtung des Radiusvektors r fallende 
Komponente der Anziehung unter Hinzufügung der Fliehkraft defi- 
niert. Er findet für sie 


es er (= +% + (1—3 sin? )) — o?r cos? 0, 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 2 





18 VIa, 21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


worin in K,, L, und N, die über das ganze Ellipsoid, also von O 
bis a, sich erstreckenden Werte der Integrale X, ZL und N bedeuten. 
Ist nun g, die Schwere am Pol (sin®—=1), g, die Schwere am 
Äquator (sin 6 —= 0) und wird ferner ®? ersetzt durch g nach 


o?a° 
PT Im,’ 
ferner r—=a(1 — «a, sin? #) substituiert, worin «, die Abplattung an 
der Oberfläche des Ellipsoids vorstellt, so folgt £ 
Ip — a 3N 
x 9 = 20, + op — Ba’, 


Es ist aber, wenn man in der Gleichung (7) die in ihr vorkommenden 
Größen auf die Oberfläche bezieht, 


(7a) N, = Ba’ K,(@, — P/2), 
- und damit ergibt sich 
(10) B= en 2 Sm; 


das zweite Olairauische Ergebnis, das unter dem Namen des „Olai- 
rautschen Theorems“*) bekannt ist. Es gibt für die Variation der 
Schwere auf der Erde die Formel 


%—=9.(1+ Bin? 0). 

i. D’Alembert und die Theorie der Präzession. Auf die Mög- 
lichkeit, aus der Konstanten der Präzession die Abplattung der Erde 
zu berechnen, hat zuerst D’Alembert”*) in seinem grundlegenden 
Werke hingewiesen. Unter der Annahme einer der Clairautschen 
analogen Schichtung des Erdellipsoids berechnet er dessen Trägheits- 
momente zu 


1m BE forar — feed We EN 


= forar +4 er fear De 


woraus für die Präzessionskonstante EAN der Wert ergibt 

C—A 1:0, ws a’M 
BF 5, - (a — 9/2) — u 5,\% — P/2), 
wenn genähert bis auf die erste Potenz der Abplattung M die Masse 
des Ellipsoids = 4xK, angenommen wird. Dies zeigt, daß für ein 


24) Zur reichen Literatur über das Olairautsche Theorem siehe die bereits 
unter Fußnote 22 zitierten beiden Artikel der Encykl. von Helmert und Pizeiti. 

24a) D’Alembert, Recherches sur la precession des @quinoxes, Paris 1749. 
Tod., Hist., $ 3885. 


7a. Laplace und die Mondtheorie. 19 


geschichtetes Ellipsoid wegen des unbekannten E, die Größe (C— A)/C 
unbestimmt bleibt und daher aus der Präzessionskonstanten nicht 


direkt die Erdabplattung berechnet werden kann. Für ein homogenes 
2 
Ellipsoid®®) wird wegen «, = 79 und 4xE, = eh 


(C— A)/C = a, 
7a. Laplace und die Mondtheorie. Wendet man die Clairaut- 
schen Rechnungsergebnisse für die Anziehungskräfte des geschichteten 
Ellipsoids auf einen äußeren Punkt an, dessen Koordinaten z,y,2, dessen 
Distanz vom Mittelpunkte D sein möge, und setzt z—= D sin d, wo Ö 
die Deklination des angezogenen Körpers bedeutet, so erhält man 
nach Substitution des Wertes von N aus (Ta) und mit Rücksicht 











auf R— 0 
2 3%? 2 Ze eg 
an . ee oo 197 (1—5sin?d) 
9 b 2 Po . 
ee ne we P)Y (1 — 5 sin? Ö) 
.2 2 2 ER 5. = 
Bun BE}. er INEZ__ 5 gim® ö). 


Die ersten Glieder in diesen Ausdrücken bedingen in ihrer Anwen- 
dung auf die Bewegung des Mondes unter der anziehenden Kraft der 
Erde dessen reine elliptische Bewegung, die zweiten geben Zusatz- 
kräfte an, die diese Bewegung stören. Laplace?®) war der erste, der 
diese Störung in der Mondbewegung erkannte und darauf hinwies, 
daß aus ihr die Abplattung der Erde berechnet werden könne. 


25) H. Heger, Bemerkungen zu der Bestimmung der Abplattungsgrenzen 
für das Erdsphäroid aus der Nutation, Zeitschr. Math. Phys. 15 (1870), p. 293, 
beweist, daß für ein Ellipsoid mit variabler Dichte, dessen Schichten aber ähn- 
liche Ellipsoide sind, die Trägheitsmomente die Werte haben 


a a 

Ara?(a?-+c 8ra* 

EN ar, 0m Et anr 
0 0 





2 AR 

und daher das Verhältnis ((— A)/C= "—.- 

verteilung im Körper. Aber ein derartiges Ellipsoid erfüllt für jede einzelne 

Schichte nicht die Bedingung des Gleichgewichtes (ist nicht isostatisch) und 

kommt daher für die Erde wohl kaum in Betracht. In der Tat, setzt man in die 

2 

Olairautsche Differentialgleichung (9) = == = = (0, was der Annahme einer aus 

ähnlichen Ellipsoiden bestehenden Schichtung entspricht, so folgt K= 3er‘, 

was nur möglich ist, wenn g konstant ist, d. h. ein homogenes Ellipsoid vorliegt, 
26) Laplace, Mec. cel., Livre III, ch. 4, $ 35; Livre VII, ch. 2; Livre XVII, 

ch. 3. 


unabhängig ist von der Dichte- 


2* 


20 VlIs, 21. 8. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


Die Störungen selbst äußern sich in doppelter Weise, zunächst 
als periodische in der Länge mit der Periode eines Knotenumlaufs 
und in der Breite mit der eines siderischen Mondumlaufs, sodann als 
säkulare im Knoten und in der Länge der Apsidenlinie. Aus ersteren, 
die für den Erdmond etwa 8” in.Länge und 7,5” in Breite betragen, 
fand Laplace die Erdabplattung zu «, = 1:304, Hansen?) zu 1:295 
und 1:298, E. Brown”) in seinen zahlreichen theoretischen Ent- 
wicklungen zur Mondtheorie benutzt den Wert 1:296,8, den 
Hayford?”®®) aus geodätischen Messungen in den Vereinigten Staaten 
von Nordamerika gefunden. 

Die säkularen Störungen sind für den Erdmond gering?®), be- 
deutender dagegen für die Satelliten der anderen Planeten und werden 
zur theoretischen Bestimmung der Abplattung dieser verwertet. °®) 


I. Einführung des Potentialbegriffes. 


8. Einführung des Potentialbegriffes. Eine wesentliche Ver- 
einfachung erlangten die Untersuchungen über die Gleichgewichts- 
figuren durch Einführung des Potentials, das ist der Funktion 


(12) p—-mjt, 


Tr 


die Integration erstreckt über das Volumen der Flüssigkeitsmasse. 
Sie scheint fast gleichzeitig von Legendre und Laplace?!) erdacht 
worden zu sein. 

Die Gleichgewichtsbedingung wird nunmehr 


(13) U=P-+140?(x? + y?) = const., 
und ihr Vergleich mit der angenommenen Gleichung der Oberfläche 


F(&ye) = 0 gibt die notwendigen Beziehungen zwischen der Ro- 
tationsgeschwindigkeit ® und den in F und P vorkommenden Para- 


27) Hansen, Darlegung der theor. Berechnung der in den Mondtafeln an- 
gewandten Störungen, Leipzig Ak. Ber. 9 u. 11 (1862 u. 1864). Vgl. auch die 
kritische Darstellung in Helmert, Höhere Geodäsie II, p. 466. 

28) E. Brown, Theorie des Erdmondes, Encykl. VI 2, Nr. 20; ebenso Pizettt, 
Encykl. VI ı, 3, Nr. 52. k 

28a) Hayford, The figure of the Earth and isostasy from measurements in 
the United States, Washington 1909. 

29) Tisserand, Me. cel. III, p. 147 und Encykl. VI2,17 (Bauschinger), Nr. 8. 

30) K. Laves, Die Satelliten, Encykl. VI, 16, Nr. 15; Laplace, Mec. cel., 
II. Partie, Livre VII, $ 20, u. Livre VIII, $ 27. 

31) Todh., Hist., $ 789; ferner: Burkhardt und Meyer, Potentialtheorie, 
Eneykl. I 7b. 


9. Theorie der geschichteten Sphäroide nach Legendre und Laplace 27 


metern. Man schreibt jedoch die Bedingungsgleichung in der diffe- 
rentiellen Form 


(13a) dU=dP + o’(zdx + ydy) =, 
und ihr Vergleich mit 


oF oF oF 
liefert die zu diskutierenden Relationen ®?) 
oP oP op 
13% Fk Er Ba 
m er 
0x dy 02 


Für die Energie der Flüssigkeitsmasse erhält man den Ausdruck 
w—/[Podr + 10 J—P'+4108J, 
und die Gleichgewichtsbedingung reduziert sich auf 
3 ‚. R a 
öW=8(P+z@’J)—0 oder IW—8(P— ;,) — 0®*) 


nach Einführung des Rotationsmomentes R—= 0J, woraus folgt, daß 
W für den Fall des Gleichgewichtes einen stationären Wert hat. 


9. Theorie der geschichteten Sphäroide nach Legendre und 
Laplace. Die erste Wirkung der Einführung des Potentials in die 
Theorie der Gleichgewichtsfiguren war eine strengere Fassung der 
Clairautschen Untersuchungen. Während Clairaut den einzelnen 
Schiehten direkt die Form von Rotationsellipsoiden mit kleiner Ab- 
plattung zuschreibt, gehen Legendre®®) und Laplace®) von einer all- 
gemeinen Voraussetzung aus. Sie nehmen an, daß sie Sphäroide sind, 


32) Über die formale Reduktion dieser Gleichungen auf eine Funktional- 
resp. Integrodifferentialgleichung siehe P. Appell, Equation fonctionelle pour 
l’&quilibre d’une masse liquide en rotation sous l’attraction Newtonienne, Cireolo 
mathem. 30 (1910), p. 82, und Paris C. R. 156 (1913), p. 587. 

32a) Auf die Unterscheidung zwischen 


2J 
speziell zur Frage der Stabilität der Gleichgewichtsfigur, machte zuerst Schwarz- 


schild (Diss. p.8) aufmerksam, sodann Poincare, Figures, p. 37, ferner: Sur l’&qui- 
libre d’une masse fluide en rotation, Bull. astr. XVI (1899), p.161. Der erste Aus- 


druck gibt für ein konstantes ® aP’+3 o:dJ=0, der zweite fügt noch als 
. (a 
J 


2 2 
s(P + I)i- 0 und (Pr — a7) IR 


x 5 1 
ergänzendes Glied hinzu + z® 


. 88) Legendre, Suite de la recherche sur la figure des plan£tes, Paris, Me&m. 
(1789), p. 372; Todh., Hist., $ 891 ff. 
34) Laplace, Me&c. cel., Livre II, ch. 4. 


22 VlIs»,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


das sind Körper, die nur um kleine Größen erster Ordnung von der 
reinen Kugelgestalt abweichen, und setzen deren Gleichung in der 
Form 
(14) rer N - 
fest, worin & eine kleine Größe bedeutet, deren Quadrat zu vernach- 
lässigen ist, und y eine Funktion der Polarkoordinaten (0 und ») dar- 
stellt, für die die nach Laplaceschen Funktionen fortschreitende Reihe) 
(14a) y-, ++ +rr+°: 
gelte.) Zunächst wird bewiesen, dad Y,= 0 wird bei der Annahme, 
daß für die Oberfläche r,— a ist, wenn a den Radius der Kugel be- 
deutet, dessen Volumen gleich ist dem des Sphäroids, daß ebenso 
Y, =0 gesetzt werden kann bei der Annahme, daß der Schwerpunkt 
des Sphäroids in den Anfangspunkt des Koordinatensystems falle. 
Für das Potential eines derartigen Sphäroides auf einen in der 
Distanz D vom Mittelpunkt desselben, aber in dessen Innern befind- 
lichen Punkt ergibt FOR der PDBRROR 


De rar DS (er 


Hal, ortdr + Aukt 52 fe er (ee 2 


und durch dessen Substitution in die Gleichgewichtsbedingung, die 
Laplace in der Art allgemeiner annimmt, daß er außer der Fliehkraft 
noch andere Kräfte als wirksam voraussetzt, für die eine Reihenent- 


i=» 


wicklung von der Form IZ, gilt: 


i=0 


D D 
Pr A= (ei + DD, forrdr — fe Z6*°Y)ar 
(14b)! ; ö 





— Der fg Fr Y)dr, 
D 


35) Über die Konvergenz dieser Reihenentwicklung vgl. außer den allge- 
meinen Untersuchungen über die nach Kugelfunktionen fortschreitenden Reihen 
die speziellen von Poisson, Me&moire sur l’attraction des spheroids, Conn. des 
temps pour 1829, p. 329; ferner Callandreau, Sur le developpement en series 
du potentiel des spheroides de revolution, Journ. d. l’&cole polyt. 58 (1889), 
p. 128 und Poincare, Figures de l’&quilibre, p. 53—58; namentlich Liapounoff, 
Recherches dans la theorie de la figure des corps celestes, St. Petersb. Mem. 
14 (1903). 

36) Von einer etwas anderen Form für die Gleichung des Sphäroids, nämlich 

r=r,[1+8(4+Bcos®+ (cos?#-+-- -)], 
geht D’Alembert in dem unter Anm. 6 zitierten Buche aus. 


10. Diskussion der Clairautschen Differentialgleichung. 23 


eine Gleichung, die sich im wesentlichen mit der Olairautschen Glei- 
chung (7), deckt. Für die Erde kommt aber nur die Fliehkraft als 


einwirkende Kraft in Betracht, und, da diese durch 
"(+ Ma —"DP, 


darzustellen ist, wo P, die Kugelfunktion zweiter Ordnung 


cos? 4 — 3 
ist, so folgt, daß alle 
Y,=0, vni=3,4...ab 


zu nehmen sind und nur Y, allein in dem Ausdruck für r =r,(1 ty) 
'übrigbleibt. Aber auch in Y,, dessen allgemeine Form durch 


Y, — A, (eo 0 — z) + A, sin 8 cos 0 sin » + A, sin? cos2y 
+ 4, sin 6 cos d cosy + A, sin? 6 sin 2% 


gegeben ist, müssen alle Koeffizienten A bis auf A, verschwinden, und 
der Ausdruk für r erhält als Schlußform 


r— ro|1 ++ 6A, (cos° 1% a) 


in der, wenn man die willkürliche Größe Y,— ; 4, wählt, so daß 
die Gleichung in 

r=r,(1 + 84, c08? 0) 
übergeht, sich &A, als mit der Abplattung « identisch erweist. Da- 
mit fällt Gleichung (14b) vollständig mit (7) zusammen, und aus ihr 
folgt daher auch nach zweifacher Differentiation die Olasrautsche Dif- 
ferentialgleichung (9). 

10. Diskussion der Clairautschen Differentialgleiehung. Schon 
Olairaut?”) zeigte, ohne auf eine direkte Integration der Differential- 
gleichung unter Annahme eines bestimmten Dichtigkeitsgesetzes ein- 
zugehen, durch Ubergang auf eine Differenzengleichung, indem er den 
einzelnen Schichten von innen nach außen genommen die Achsen 
4, @g, ..., @,, die Abplattungen «,, &,...,«, und die Dichtigkeiten 


9; 08, - : , @, zuerteilt, daß 
EesRr 0.5 BRECHEN 
3 + “a 3 (2) 


- [« +0 — 9) (2) ] 


und daher, wegen (=) < 1 unter der Voraussetzung 9, — % >0, 
2 





Fe a 3) 


37) Olairaut, Erdgestalt, p. 134 ff. 


24 VI»,21. $. Oppenheim. Theorie der an en der Himmelskörper. 


— 1>0 und ebenso weitergehend — — —1>0... wird. Die Ab- 


>= 
plattungen der einzelnen Schichten er vom a zur 
Oberfläche hin, vorausgesetzt, daß die Dichten abnehmen. 

Laplace®®) ferner wies nach, daß, wenn der Fall eines unendlich 
großen Wertes von e im Mittelpunkte der Erde ausgeschlossen wird, 


die Differentialgleichung für o = const. das einzige Integral «, = 9 


hat, was dem Newtonschen Ergebnisse entspricht, dagegen für die An- 
nahme go = (), und nur im Mittelpunkte o endlich, aber so, daß doch 


ns n fi or?dr = const. 


wird, das einzige en u= - p sich ergibt, was der Huygensschen 


Hypothese entspricht, so daß, wie schon erwähnt wurde, in Überein- 
stimmung mit Olairaut 


1 5 

9 << ur 
sein müsse. 7isserand®®) gelang es, unter Benutzung der Gleichung (7a) 
durch Einführung der mittleren Dichte der Erde o,, zufolge der Re- 


lation a 
Sera = oa 
0 
und der Dichte an der Oberfläche o, mit Beziehung auf 


a a 
a d 
ai 5 e 
‚fed@e) — 9a — Ira z, dr 
ö 0 
die untere Grenze für «, etwas enger zu fassen, nämlich 





1 
2 7 
“o 3 9 : 
en? 
5 Om N 
woraus speziell für die Erde, für die g,/e,, näherungsweise —=-- ist, 


> p folgt. — Die vollständigste Diskussion führte Radau‘°) 

38) Laplace, Mec. cel., Livre III, ch. IV, $ 34. 

39) Tisserand, Quelques remarques au sujet de la theorie de la figure des 
planötes, Bull. astr. I (1884), p. 417. 

40) Radau, Remarques sur la theorie de la figure des planttes, Bull. astr. 
II (1885), p. 157; ferner Poincare, Sur la figure de la terre, Bull. astr. VI (1889), 
p. 1 u. 49, und die Darstellung in Poincare, Figure de l’Equilibre, p. 91 ff., sowie 
Callandreau, Remarques sur la theorie de la figure de la terre, Bull. astr. V 
(1888), p. 472, u. VI (1889), p. 185. 


10. Diskussion der Clairautschen Differentialgleichung. 35 


durch. Er ersetzt die veränderliche Dichte og durch eine neue -Größe 
d, die durch die Gleichung 


Serar = = dr? 
0 


als mittlere Diehte der einzelnen Schichten vom Zentrum bis zur 
letzten mit dem Radius r definiert wird, und führt in die Differential- 


‚ gleichung die neue Variable 7 — ” == ein, wodurch sie die Form 


d = dd 
hatten), litm—0 
annımmt. Ferner transformiert er den Ausdruck für das Verhältnis 
der Trägheitsmomente 
2 fertdr 
1 ee (& mA 5 BER 
Ser*dr 
ö 


2 fdrtdr 





5 
a Om 


und beweist, daß näherungsweise auf Grund der geänderten Olairaut- 
schen Gleichung a 


2% RER TREE. ltr. 
Dr Evi 
gesetzt werden kann, worin K eine Größe ist, welche für den für die 
Erde in Betracht kommenden Wert von n, zufolge der Gleichung (8) 
einerseits und des Ölairautschen Theorems andererseits, nämlich 
n-2(5)-£-1- 0508. 
zwischen den nur wenig von der Einheit sich unterscheidenden 
Grenzen 1,0003 > K > 0,9996 
eingeschlossen ist. Es ergeben sich daher für J= (C — A)/C zwei 
Werte, ein empirischer aus der Präzessionstheorie und ein theoreti- 
scher aus der Olairautschen Gleichung, deren Übereinstimmung sodann 
einen Maßstab für die Richtigkeit abgibt, mit der die Olairautschen 
Annahmen als ein Abbild der Verhältnisse auf und innerhalb der 
Erde angesehen werden können. 
Schließlich sei noch die Relation erwähnt, die Stieltjes*') aus da 


Gleichung (7a) ableitet, und die eine untere Schranke für die Dichte 
o, im Mittelpunkte der Erde gibt; sie lautet 


65 — Ha). — 0) — BK — Ha) > 0, 
41) Stieltjes, Note sur la densit6 de la terre, Bull. astr. I (1884), p. 465. 


26 VlIs,21. $S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


und aus ihr folet (0. — 9,)° 
g ent em 0° 


50, s; 
ee %) 
worin zur Abkürzung A = K,a?/E, genommen ist, speziell für die Erde 
0,2748... 


11. Integration der Clairautschen Differentialgleichung. Zur 
Integration der Olatrautschen Differentialgleichungen wurden die ver- 
schiedensten Annahmen über die Dichteverteilung im Innern der Erde 


gemacht. Clairaut“?) selbst behandelt den Fall o=o, (=) den 





a 
auch @. H. Darwin*?) einer neuerlichen Untersuchung unterzog. Er 
gäbe für die Dichte im Mittelpunkte der Erde o, einen unendlich 
großen Wert und kommt wohl aus physikalischen Gründen nicht 
weiter in Betracht. 
Wesentlich verschieden von diesem sind die Annahmen von La- 


lace** 3 
u e=n(1+1— 1X), 


dann von Roche*°), Lipschitz*®) und Levy*‘), die sich unter die ge- 
meinschaftliche Form 
Au 
e=e[1—k(z)] 


unterordnen lassen, mit den speziellen Werten =2 und u=1 für 
Roche, u=1 für Lipschite. Sie führen alle auf hypergeometrische 
Reihen als Integrale der Clairautschen Gleichung. Hierher gehört 
auch die rein numerische Entwicklung, die Helmert“) gibt. Nach 


ihr ist is f 10% (2) + 0,275 (2) Re | 


2 .\4 6 

@— 57514 0178 (7) + 0,084 (7) + 0,016 2)+::-]), 

42) Olairaut, Erdgestalt, p. 129. 

43) @. H. Darwin, On the figure of equilibrium of a planet of heteregenous 
density, London Phil. Proceed. 36 (1883), p. 158. 

44) Laplace, Mec. cel., Livre XI, ch. 2, $5; vgl. auch Plana, Note sur 
la densit€E moyenne de l’&corce superficielle de la terre, Astr. Nachr. 35 (1853), 
p. 177 u. 36 (18583), p. 313. 

45) Roche, Note sur la loi de densite & l’interieur de la terre, Paris C. R. 
39 (1854), p. 215; M&moire sur l’&tat interieur du globe terrestre, Montp. Acad. 
Me&m. X (1881), p. 48. 

46) Lipschitz, Die Verteilung der Dichte im Inneren der Erde, J. f. Math. 
62 (1863), p. 1 u. 63 (1863), p. 289. 

47) Levy, Sur la theorie de la figure de la terre, Paris C. R. 106 (1888), 
p. 1270, 1314, u. 1375. 

48) Helmert, Höhere Geodäsie II, p. 481 ff. 


12. Numerische Daten. 27 


und Helmert weist auf die geringe Konvergenz beider Reihen hin, 
die die Ableitung von definitiven Resultaten hindert. 

Eine dritte Form rührt von Legendre®®) und Laplace*”) her. Sie 
lautet sin m (4) 
rg, ld 

m|— 
a 
und Laplace begründet sie durch die physikalische Anschauung, daß 
die Zunahme des Druckes im Erdinnern gegeben ist durch 


f = = const._ 


und andererseits gemäß der Bedingung für die Oberfläche der Gleich- 
gewichtsfigur mit Vernachlässigung von der Abplattung proportionalen 


r a 
2 


Gliedern Ad Ark 
fr = Ef ortdr E= Aal? | ordr 


ö 
sein muß, voraus durch zweimalige Differentiation 


d? 
EN | me 


folgt. In dem Integral dieser Gleichung or = Asin (mr + B) muß 
aber die Integrationskonstante B—= 0) genommen werden, damit nicht 
die Dichte im Mittelpunkte der Erde unendlich, d.h. damit nicht für 
r=0og=x werde. 

12. Numerische Daten. Um den notwendigen Vergleich zwischen 
‘° Theorie und Beobachtung zur Prüfung der Clairautschen Theorie, 
speziell für die Erde, durchzuführen, stehen die folgenden numerischen 
Daten zur Verfügung: 

1. die Dichte an der Oberfläche der Erde o,, für die aus geo- 


logischen Tatsachen 
9% = 2,5 m 2,8 
anzusetzen ist, 
2. die mittlere Dichte der Erde o,, definiert durch die Gleichung 


RK fe rdr = = a°o,, für welche aus direkten Bestimmungen”) im 
ö 


Mittel folgt 0, = 5,513..., 
3. der aus geodätischen Messungen auf der Erde abgeleitete Wert 
für die Abplattung der obersten Schichte°") 
(Bessel) «,—= 1:299,153, (Clarke) «,—= 1:293,465, 
ö | (Hayford) &, = 1:296,8, 
49) Laplace, Mec. cel., Livre XI, chap. 2, $ 6. 


50) Zenneck, Gravitation, Encykl. V 2, Nr. 9, p. 34. 
51) Pizetti, Höhere Geodäsie, Eneykl. VIı, 3, Nr. 50, p. 236. 


28 Vl2,21. 5. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


4. der aus der Mondbewegung sich ergebende Wert derselben 


Größe?) = 1:2918 
5. die Größe 8 im Clairautschen Theorem°?), für die Helmert 
—= 0,005285 
findet, 


6. der aus der Präzessionstheorie sich ergebende Wert für die 
Größe = (C— A)/C=1:305,31 nach Helmert®%), 
=1:304,9... nach Newcomb?°). 


Man kann nun zunächst, mit einem Wert «, beginnend, nach dem 
Clairautschen Theorem ß—=$p — a, sodann die Hilfsgröße 
70 = B/&, — 1 und aus ihr unter Vernachlässigung von K nach dem 
in Nr. 10 angegebenen Verfahren J= (C — A)/C berechnen. So er- 
geben sich die folgenden Zahlen: 


= 1: 296 1:297 1: 298 1:299 
ß = 0,0052913 0,0053025 0,0053138 0,0053250 
1 +7, = 1,56620 1574866 158351 1,59216 


J= 1: 303,65 1:304,95  1:306,24 1:307,51. 
Sie lassen erkennen, daß es nicht möglich ist, sie vollständig mitein- 
ander in Übereinstimmung zu bringen, wenn auch nicht geleugnet 
werden kann, daß die Abweichungen nur sehr gering sind.°®) 


52) Nach Helmert, Diskussion der Hansenschen Mondtheorie, Höh. Geod. II, 
p. 473; vgl. auch E. Brown, On the degree of accuracy of the new lunar theory 
and of the final values of the mean motion of the Perigee and node, Lond. Royal 
Soc. Month. Not. 64 (1904), p. 324, und 68 (1908), p. 450; ferner W. de Sitter, On 
the mean radius of the Earth, the intensity of gravity and the moons parallax, 
Amsterd. Proceed. XVII (1915), p. 1291, und: On isostasy, the moments of inertia 
and tbe compression of the earth, ebenda XVIII (1915), p. 1295. 

53) Helmert, Die Schwerkraft und die Massenverteilung der Erde, Encykl. 
VIı,7, Nr. 4, p. 9. 

54) Helmert, Höh. Geod. II, p. 437. 

55) Newcomb, The fundamental constants of astronomy, Washington 1895. 
Neuestens leitete Praybyllok in: Über eine Bestimmung der Nutationskonstante 
aus Beobachtungen des internationalen Breitendienstes, Berl. Ber. (1916), p. 1257 
den Wert (C— A)/C=1: 304,99 + 0,26 ab. 

56) Vgl. die Diskussion in den in Fußnote 40 zitierten Werken, besonders 
Poincare, Fig. de l’Equil., p. 95. Was das Umkehrproblem anlangt, aus dem Poten- 
tial der Anziehung eines Körpers im Äußeren die mögliche Dichteverleihung im 
Innern des Körpers zu bestimmen, siehe die neueren Arbeiten von Pizzetti; Corpi 
equivalenti rispetto alla attrazione newtoniana esterna, Roma Accad. Lincei 18 
(1909), p. 211, ferner Ann. di math. 17 (1910), p. 225, sowie Lauricella: Sulla 
funzione potentiale di spazio corrispondente ad una assignata azzione esterna, Roma 
Accad. Lincei 20 (1911), p. 99 und 21 (1912), p. 18. 


13. Diskontinuierliche Dichteverteilung. 29 


In gleicher Art kann man auch die Konstanten o, und m in dem 
von Laplace und Legendre angenommenen Verteilungsgesetz für die 
- Dichte innerhalb der Erde auf Grund der Daten über o, und oe, be- 
stimmen und sodann durch Integration die Größen «, und J=(C— A)/C 
berechnen. Zusammenfasssende Angaben über Berechnungen dieser 
Art finden sich bei Legendre®?), Clarke’"), Thomson-Tait??), Harkness’) 
und Tisserand®). Die folgenden Angaben, umgerechnet auf die mitt- 
lere Dichte der Erde o, —= 5,513, sind der Thomson-Taitschen Physik 


entlehnt: 0,— 5,513 

m —= 133° 0, = 2,6547 o,—= 11,009 &, = 1:29,31 
— 134 2,6031 11,130 296,73 
== 155 2,5507 11,254 298,18 
— 136 2,4975 11,381 299,66 

ß = 0,0052835 (U — A)/C = 1: 302,96 

52997 304,75 

53161 306,59 

53327 308,48. 


Auch sie lassen erkennen, daß zwischen den einander zugeordneten 
Zahlenwerten keine volle Übereinstimmung erzielt werden kann, wie- 
wohl die übrigbleibenden Differenzen nur sehr gering sind, etwa 1—2/, 
betragen und möglicherweise innerhalb der durch die Beobachtungs- 
fehler gegebenen Grenzen fallen. 


13. Diskontinuierliche Dichteverteilung. Man versuchte es vor- 
erst, diese wohl kleinen, aber immerhin vorhandenen und konstatier- 
ten Mängel an Übereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung 
durch die Annahme einer diskontinuierlichen Massenverteilung im 
Innern der Erde zu beheben. So geht Roche*) von der Voraussetzung 
aus, daß die Erde aus drei Schichten von verschiedener, aber in jeder 
Schicht konstanter Dichte bestehe. In gleicher Art entwickelt Hamy*!) 
eine neue Theorie, von der Anschauung ausgehend, daß die Erde aus 
einer endlichen Anzahl, d.h. aus »"Schichten von konstanter Dichte ge- 
bildet sei, und wendet die gewonnenen Gleichungen auf die Fälle n—= 2 


57) Clarke, Geodesy, $ 14, p. 86. . 

58) Thomson-Tait, Naturalphilosophy II, p. 407. 

59) Harkness, On the solar parallax and its related constants, Wash. 1891, 
p- 95, auch Wash. Obs. 1885, App. II. 

60) Tisserand, Mec. cel. II, ch. 15. 

61) Hamy, Etude sur la figure des corps celestes, Thöses pres. & la faculte 
des sc. de Paris, 1887. 


30 Vla,21. $. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


und n—=3 an, ohne aber damit eine bessere Übereinstimmung mit 
den bekannten Beobachtungsdaten zu erzielen, als sie durch die An- 
nahme einer kontinuierlichen Dichteverteilung erlangt wird. Tisse- 
rand®?) gibt auf Grundlage der Hamyschen Rechnungen eine neue 
Ableitung der Olairautschen Differentialgleichung durch den Übergang 
auf n = ©. s 

Hierher wären auch die zahlreichen, namentlich der älteren Lite- 
ratur angehörigen Untersuchungen zu zählen, die von der Annahme 
ausgehen, daß die Erde aus einem festen Kerne in ellipsoidischer 
Form und einer darauf lagernden Flüssigkeitsschicht bestehe. Es 
finden sich solche vor bei Maclaurin‘), Olairaut, D’Alembert”®), La- 
place und besonders auch Lagrange in seiner Mecanique analytique; 
in neuester Zeit griff wieder Wiechert®?) diese Hypothese auf und 
kommt zu dem Ergebnisse, daß den bekannten Beobachtungsdaten 
noch am besten genügt werden könne durch die Annahme, daß die 
Erde aus einem starren Kerne (mit der Dichte = 8 (Eisen)) von 
etwa 5 Millionen Meter Radius bestehe, den ein Gesteinsmantel von 
1Y/, Millionen Meter Dicke umgibt. 


14. Berücksichtigung der höheren Potenzen der Abplattung. 
Ein zweiter Weg, Theorie und Beobachtung in bessere Übereinstim- 
mung zu bringen, ist durch die Ansicht gegeben, daß der Fehler auf 
die Vernachlässigung der höheren Potenzen der Abplattung bei allen 
bisherigen Rechnungen zurückzuführen und es daher notwendig sei, 
auch diese zu berücksichtigen. Versuche in dieser Hinsicht beginnen 
mit Laplace und Legendre®®). Letzerer setzt für den Radiusvektor eines 
Meridianschnitts der Erde die Form 


r—=r,(1 + a cos?0 + 3«’ sin? 0 cos? 0) 


fest, oder, was dasselbe ist, er setzt eine bis zu Kugelfunktionen 
4. Ordnung gehende Entwicklung 


r=n(l+eY,+«P,) 
an. Es hat dies die Bedeutung, die Erde als ein Rotationsellipsoid 
aufzufassen, das ein wenig nach einer Kugelfunktion 4. Ordnung 
deformiert ist. Ähnliche Entwicklungen, die bis zu Kugelfunktionen 


62) Tisserand, Mec. cel., Tome II, ch. 14. 

63) Wiechert, Über die Massenverteilung im Innern der Erde, Gött. Nachr. 
1897, p. 221; vgl. ferner die Arbeiten von Wiechert, Geiger und Guttenberg, Über 
die Konstitution des Erdinnern, erschlossen aus Erdbebenbeobachtungen, in Gött. 
Nachr. 1907, 1909, 1912 u. 1914, sowie Phys. Zeitschr. 1910, 1911, 1912 u. 1913, 
und Klußmann, Über das Innere der Erde, Diss. Göttingen 1916. 


14. Berücksichtigung der höheren Potenzen der Abplattung. 31 


höherer Ordnung reichen, finden sich bei Poisson®*) vor. Callan- 
dreau®) geht von der folgenden Annahme für den Radiusvektor aus: 


2 2 1 
Fu ( ne Ber + as'k cos? 0 sin? 9 





1+:? 
und versucht es, die neu eingeführte Größe k so zu bestimmen, daß 
den Beobachtungsdaten besser genügt wird. Er hebt hervor, daß 
seine strengeren, auch das Quadrat der Abplattung berücksichtigenden 
Formeln bei den Planeten Jupiter und Saturn zu verwenden wären, 
bei denen wegen der großen Abplattung der Fehler in der Vernach- 
lässigung der zweiten Potenz merklicher ist als bei der Erde. Doch 
der Erfolg der Rechnung ist ein negativer. Es zeigt sich, daß die 
aus dem hinzugefügten Gliede als einer Kugelfunktion 4. Ordnung 
entstehende Differenz nur 9 m beträgt, was eine zu vernachlässigende 
Größe ist. @. H. Darwin®‘®) schreibt für den Radiusvektor die Form 
r= a[l — : c0os?0 + (f — $ 8?) sin? 6 cos? 0] 
25 , 


und betrachtet fudh=:— zer 4 f 


als die zu bestimmenden Unbekannten. In gleicher Art nimmt Wie- 
chert in der in Anm. 64 zitierten Abhandlung die Entwicklung 
r=a(l— .:c0?0 —}e.sm?20)+f:P, 

an. In beiden entspricht der erste Teil einem Rotationsellipsoid, der 
zweite stellt die Abweichung der wahren Gestalt der Erde von diesem 
dar. Darwin gelangt durch seine Annahme für das Ülairautsche 
Theorem zu dem Ausdruke 

ee. 
Wiechert wiederum findet 

ae 


5 
u ee re 


Helmert verwertet dieses Korrektionsglied in seiner Schlußformel für 
die Schwere, die darnach 


9 = 918,030 (1 + 0,005302 sin?» — 0,000007 sin? 2) 
lautet, und zeigt, daß es eine Depression im Meeresniveau für mittlere 
Breiten g = + 45° um rund 2 m hervorruft, was wiederum eine zu 


64) Poisson, Memoire sur l’attraction des spheroides, Conn. d. Temps pour 
1829 und Addition au m&m. in Conn. d. Temps pour 1831. 

65) Callandreau, Sur la theorie de la figure des planetes, Obs. Paris Mem. 
XIX (1889). 

66) @. H. Darwin, The theory of the figure of the earth, carried to the 
second ordre of small quantities, London astr. Soc. M. N. 60 (1899), p. 82. 


32 VlIs,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper, 


vernachlässigende Größe ist und keineswegs die Mängel der Olairaut- 
schen Erdtheorie zu erklären vermag. Vollständigere, bis zur Kugel- 
funktion 4. Ordnung gehende Formeln für den Radiusvektor r, für 
das Potential und die Schwere g auf der Erde entwickelt Helmert®"), 
nach Lameschen Funktionen fortschreitende Reihen gibt Rudzki ®°). 
Doch ist die Einführung dieser hier von geringerer Bedeutung, da 
sie ja doch nur bis höchstens zu den Gliedern 2. Ordnung benutzt 
werden. 

Indes beschränken sich alle diese Untersuchungen mehr oder 
weniger auf die spezielle Anwendung, auf eine Vervollständigung der 
Clairautschen Theorie der Erde und streifen so das Gebiet der höheren 
Geodäsie, namentlich das Kapitel „Die Schwerkraft und die Massen- 
verteilung der Erde“ (Eneykl. VI1l, 7). Erst wieder Liapounoff”) 
befaßt sich mit dem allgemeineren Problem, inwieweit überhaupt ein 
Sphäroid von variabler Dichte eine Gleichgewichtsfigur sein kann, 
wenn über die die Variation der Dichte darstellende Funktion die 
Annahmen gemacht werden, daß sie von der Oberfläche zum Mittel- 
punkte hin wachse, ohne aber im Mittelpunkte einen unendlich großen 
Wert zu erlangen, daß sie ferner diskontinuierlich sein könne, auch 
nicht notwendigerweise eine analytische Funktion zu sein brauche und 
nicht einmal die Existenz eines ersten Differentialquotienten für sie 
erwiesen sein müsse. Liapounoff gibt ganz allgemeine Formeln an; 
als ein Zwischenresultat erhält er die Clairautsche Gleichung. In 
einer besonderen Abhandlung‘®) beschäftigt er sich mit dieser und 
findet für die Abweichung & des Sphäroids von der reinen Kugel- 
gestalt die nach der Größe p = 30?/4k?o fortschreitende Potenzreihe 


ehrt te +: - 
08 6(&a) 


und analoge Reihen für die abgeleiteten Funktionen 2 und ——, 
cos 6 ca 


deren Konvergenzhalbmesser nur 
p<1:500, 
wahrscheinlich aber 'größer ist, doch steht hierfür der Beweis noch 
aus. Ihre Anwendbarkeit auf die Erde, für die = 1:288 ist, kann 
daher nicht als gesichert gelten. 
15. Das dreiachsige Ellipsoid als Gleichgewichtsfigur. Einen 
wesentlichen Fortschritt in der allgemeinen Theorie der. Gleichge- 





67) Helmert, Höh. Geod. II, Kap. Iu. II. 

68) Rudzki, Sur la determination de la figure de la terre d’apr&s les mesures 
de la gravite, Paris Bull. astr. 22 (1905), p. 49. 

69) Liapounoff, Sur l’&quation de Clairaut et les equations plus generales 
de la theorie de la figure des planötes, St. Pötersb. M&m. XV (1904). 


15. Das dreiachsige Ellipsoid als Gleichgewichtsfigur. 33 


wichtsfiguren brachte die Jacobische Entdeckung”), daß auch ein 
dreiachsiges Ellipsoid die Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüs- 
sigkeitsmasse sein könne. Sie knüpft an an die zuerst von Laplace, 
dann von Ivory, Legendre, Gauß, Chasles und Dirichlet durchgeführte 
Berechnung des Potentials eines Ellipsoids.”!) Sind a, b und c die 
drei Achsen des Ellipsoides, 


| e= Va?/e — 1, s=Vbye®— 1 
die zwei Exzentrizitäten, M die Masse desselben, und die Integrale 


) 
du u’du 
& 


1 
® =} Vatedatsu)’ ° Jyüterupataun’ 
} 0 0 








Be DI, 1.2. EN Em : ne 
Year ° JVormaran 
0 0 
so ist das Potential, bezogen auf einen Punkt der Oberfläche mit den 
Koordinaten x, y und z, gegeben durch 


Para rt vi) 








und aus der Gleichung (13b) als der Bedingung des Gleichgewichtes 
folgt 
(15) 


Dr 3MR Barge? -_ 3:MR? .imb’ — Get, 
Ar & a? u RR b? 


Lagrange"*) gibt ihr die Form 

’ rd. ee Cat ce? ec? w* ce? 
a8) te et 
und schließt, daß, da & und n gleichartige Funktionen der Exzentrizi- 
täten & und &, seien, aus ihnen notwendigerweise 

Den, a=b, = & 

folge, so als ob nur das Rotationsellipsoid als Gleichgewichtsfigur 
möglich wäre. Erst Jacobi machte darauf aufmerksam, daß dieser 


Schluß nicht richtig ist. Durch Subtraktion der beiden Lagrange- 
schen Gleichungen voneinander und nach Substitution der Integrale 





70) Jacobi, Über die Figur des Gleichgewichtes, Annal. Phys. 33 (1834), 
p. 229 — Conn. d. Temps pour 1837 — Jacobi, Gesamm, Werke 2 (1882), p. 19. 
71) Vgl. Burckhardt und Meyer, Potentialtheorie, Encykl. I a, 7 b; ferner 
die Sammlung der bezüglichen Arbeiten in Ostwald, Klassiker der exakten Wis- 
senschaften Nr. 19: Über die Anziehung homogener Ellipsoide. 
72) Lagrange, Mee. anal. I, Sect. VII, $ 26; Todh., Hist., $ 1581. 
Eneyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 3 


34 Vla,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 
für &n und £ folgt ha 


15b ED Pe (a Bes.) ame; au)du _ =; 
ar te £ Va+tswW(a + EuN? 


und diese Gleichung zeigt wohl die eine Wurzel e=:,, die dem 
Rotationsellipsoide entspricht, aber auch das Integral für sich kann 
für gewisse Werte von & und &,, ohne daß e= z, ist, verschwinden, 
wobei, solange & und z, reell sind, für &® oder die daraus abgeleitete 
Größe N; der positive Wert 


AT: 4 dc ul — ud)du 
Far Br > vl Ya s:u2)° en 


ee 1+8# u? (1 — uN)du 
a IVır, Vı+tzuN)(1+ &u°)% 








(15e) 








oder in symmetrischer Darstellung 


uw(l — w)du 


1 
93V en 
0 


folgt. Mit der Diskussion der Bedingungsgleichung (15) befaßten 
sich Liouvidlle"?®), O. E. Meyer“®) und Plana'*). Sie ergab das fol- 
gende Resultat: Damit das Integral in (15b) Null werde, müssen einige 
seiner Teile negativ sein. Solche negative Glieder können, da u<1 
ist, nur aus dem Faktor 1 — e?e?u? entstehen, und zwar nur dann, 
wenn 1. g und &, beide reell sind, und 2. mindestens eine von ihnen 
größer als 1 ist. Die erste Bedingung sagt, daß dann wegen a >c 
und 5b>c die Rotationsachse die kürzeste Achse sein müsse, die 
zweite fordert wegen &e>1 oder ,>1 


a>cy2 oder b>cY?, 
das ist eine sehr große Abplattung, die weder bei der Erde”) noch 


72a) ) Liowvilte, Sur les figures ellipsoidales & trois axes inegaux, qui peu- 
vent convenire ä l’&quilibre d’une masse liquide homogene douee d’un mouve- 
ment de rotation, Conn. d. Temps pour 1846, p. 85; ferner Paris C. R. 16 (1843), 
p. 216 und J. de Math. XVI (1851), p. 241. 

73) O. E. Meyer, De aequilibrii formis ellipsoidieis, J. f. Math. 24 (1824), 
p- 4. 

74) Plana, Sur l’e&tat d’equilibre de l’ellipsoide fluide ä trois axes inegaux, 
Astr. Nachr. 36 (1853), p. 313. 

75) Trotzdem versuchte man es, die Hypothese des dreiachsigen Ellipsoides 
auch auf die Erde auszudehnen, um in der Art die Fehler der Olairautschen 
Theorie zu beheben. Doch mit negativem Erfolge. Es gelang nicht, die zweite 
Äquatorachse mit genügender Schärfe zu bestimmen, noch erzielte man einen 
besseren Anschluß an die Beobachtungen. Vgl. Helmert, Höh. Geod. I, p. 15. 








15. Das dreiachsige Ellipsoid als Gleichgewichtsfigur. 35 


bei den anderen Planeten vorkommt. Speziell für die Erde, für die 
%=1:288 ist, folgen die Werte”) 
a:b:c= 52,4425 : 1,0023134 :1. 


Die Beziehung zwischen den Größen 9, & und &,, wie sie 
durch (15) dargestellt ist, ist eine eindeutige. Einem bestimmten 
Werte von p entspricht nur stets ein Wertepaar von & und &,, die, 
da die beiden Exzentrizitäten miteinander vertauschbar sind, wohl 
zwei, aber nur gegeneinander um 90° gedrehte, also im physikalischen 
Sinne identische Ellipsoide bestimmen. Dies ist der Fall, solange 


9 < 0,28067226. 


Für diesen oberen Grenzwert?”) selbst fallen e und &g, zusammen, die 
zwei Gleichungen (15c) für p gehen über in 


[p— lee ++ @ —2€ + 3) arcig e] 


er _ [— 3: + (&? + 5) arctg e] 

28° » 
und geben zur Berechnung von & die transzendente Gleichung 
(16a) (38 + 148? + 3) aretg e — (132? +3) —= (0, 


deren einzige reelle Wurzel & = 1,394604096 mit dem entsprechen- 
den Abplattungswert «& = — —= 0,4172758 ist. Für die untere 
Grenze = 0 dagegen erhält man 

entweder e&=0 und = oo und damit a=c=( und b= 


oder = und „=0 und dmtb=c=(0 unda=mw, 


d. h. die Gleichgewichtsfigur degeneriert in diesem Falle in eine un- 
endlich lange und unendlich dünne Nadel, die entweder in die Rich- 
tung der X- oder in die der Y-Achse fällt. 

Ebenso ist die Beziehung zwischen dem Rotationsmoment R und 


716) Kostka, Über die Auffindung ellipsoidischer Gleichgewichtsfiguren, Berl. 
Ber. 1870, p. 116, und J. Krüger, S. J., Evenwichtsformen, Leiden 1896, p. 75. 

77) Diese Zahl wurde zuerst von Liouville (siehe Fußnote 72a) berechnet. 
Weitere numerische Angaben über einander zugehörige Werte von g, e und s, 
finden sich bei Darwin, On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of 
fluid, London Royal Soc. Proceed. 41 (1887), p. 319. Die bei Darwin vorkommende 
Größe u steht mit der Größe K in dem Zusammenhang R’/K == 25u?; vgl. auch 
Thomson- Tait, Natur. philosophy II, $ 778”, p. 332; ferner Näherungsrechnungen 
über das Jacobische Ellipsoid von Maithiessen, Über die Gesetze der Bewegung 
und Abplattung von im Gleichgewicht befindlichen Ellipsoiden, Zeitschr. Math. 
Phys. 16 (1871), p. 290. Die oben angegebenen Zahlen mit ihren 7—8 Dezimal- 
stellen rühren her von Kaibura, On the Jacobian ellipsoid, Tokyo Proceed. 
Math. Soc. 4 (1907), p. 99. 

g* 


36 Vls, 21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


den Exzentrizitäten eine eindeutige. Führt man wieder, wie im Falle 
der Maclaurinschen Ellipsoide, die eng 
km /3M 
ee Arer 


ein, so folgt aus (15) die Relation 
(17) RYK—32+. + YA+S(-+E) f en: 


u? d E= B.LLAUEN 
w)®(1 4 eur)? 


und für = &,—= 1,3946... wird RYK = 2,3065... ..„ aber dieser Wert 
ist nunmehr ein unterer Grenzwert, denn für die unendliche Nadel 
als Grenzfigur ist wohl $9=0, aber R/K= oo, so daß die drei- 
achsigen Ellipsoide als Gleichgewichtsfiguren sich bilden zwischen den 
Grenzen 


(18) 0<9<0,28067 und 2,3065...< R/K< oo. 


16. Das heterogene dreiachsige Ellipsoid. Die Theorie des drei- 
achsigen Ellipsoides als Gleichgewichtsfigur bei ungleichförmiger Dichte 
ist noch wenig ausgebildet. Sie hängt, wie die bezüglichen Unter- 
suchungen zeigen, aufs innigste zusammen mit der Frage nach der 
Konstanz der Rotationsgeschwindigkeit der flüssigen Masse. 

Unter der Annahme, daß die Dichte der Flüssigkeit von ihrer 
Oberfläche an bis zum Zentrum entweder konstant abnehme oder 
konstant anwachse, lassen sich einige allgemeine Sätze aufstellen. Der 
erste rührt von Hamy'®) her. Er sagt, daß bei konstanter Rotations- 
geschwindigkeit, die einem permanenten Gleichgewichtszustande der 
Flüssigkeit entspricht”®), die Niveauflächen, welche die Schichten glei- 
cher Dichte voneinander trennen, im Falle sie einzeln die Gleichge- 
wichtsbedingung erfüllen sollen und ihre Hauptachsen zusammenfallen, 
unmöglich Ellipsoide sein können. Damit hängt zusammen, daß auch 
die Clairaut- Laplaceschen Sphäroide keineswegs eine streng ellipso- 
idische Form haben. Analog beweist Poincare®®) den Satz, daß, wenn 
ein fester Kern von beliebiger Form von n Schichten einer flüssigen 
Masse bedeckt wird, das ganze System ferner um eine gemeinschaft- 
liche Achse mit konstanter Geschwindigkeit rotiert, und die äußere 
er sowie die einzelnen Schichten Ellipsoide sind, die Gleich- 


28) Hoi; Etude sur la figure des corps celestes, Thöses pr. ä la fac., Paris 
1887, und Theorie de la figure des plandtes, J. pour Math. VI (1890), p. 69. 

79) Poincare beweist in „Figures d’&quilibre“ p. 28 direkt, daß zum Gleich- 
gewichtszustand eine konstante Rotationsgeschwindigkeit notwendig sei. 

80) Poincare, Sur l’&quilibre d’une masse heterogene, Paris C. R. 107 (1888), 
p. 1571; vgl. auch Volterra, Sur la stratification d’une masse fluide en equilibre, 


Acta math. 27 (1903), p. 105. 


17. Grenzen der Rotationsgeschwindigkeit. 37 


gewichtsbedingung fordert, daß alle diese Ellipsoide homofokal sind. 
Für den inneren Kern gäbe dies, wenn auch dieser flüssig wäre, eine 
unendlich große Abplattung. 

Untersuchungen über veränderliche Rotationsgeschwindigkeiten, 
und zwar sowohl über ihre Variation längs einer Niveaufläche (Dif- 
ferentialquotient von ® nach u = cos 6) sowie innerhalb der Flüssig- 
keit von Schicht zu Schicht (Differentialquotient von ® nach r), 
führte Veronnet°®!) durch. Er hebt deren Bedeutung hervor mit dem 
besonderen Hinweise auf die veränderliche Rotationsgeschwindigkeit, 
die die Beobachtungen an der Oberfläche der Sonne wie auch an den 
beiden Planeten Jupiter und Saturn erkennen lassen. 


Ill. Stabilitätsuntersuchungen. 


17. Grenzen der Rotationsgeschwindigkeit. Poincare®?) hat 
zuerst bewiesen, daß für die Winkelgeschwindigkeit ® eine obere 
Grenze gilt. Er leitet sie aus der Forderung ab, daß die Schwerkraft 
auf der Oberfläche der Gleichgewichtsfigur nach innen gerichtet sein 
müsse, andernfalls die Flüssigkeit keine zusammenhängende Masse 
bilden könnte. Durch Anwendung der al Transformations- 





formel RU RU U 
far 0x: ar oy?: +3 22 Sr 
auf die Gleichgewichtsbedingung er findet er ie a 
(19) SE as = — 4a + 20V, 
worin M wie früher die Masse und V das Volumen der Flüssigkeit 
bedeutet. Da aber ; 
OU 
d 
ist, so muß 
(20) o’V <2rxk?M 
sein, oder, wenn man eine homogene Dichteverteilung voraussetzt, 
o@° 
er) Irk:e = b 


sein. Einen engeren oberen Grenzwert, gültig speziell für Rotationsellip- 
soide, findet Zeipel®®), indem er für die Schwere am Äquator 





81) Veronnet, Rotation de l’&llipsoide homogene et figure exacte de la terre, 
J. pour Math. VIII (1912), p. 331. 

82) Poincare, Sur l’&quilibre d’une masse fluide animde d’un mouvement 
de rotation, Bull. astr. II (1885), p. 100, und Fig. d’6quil., p. 11. 

83) Zeipel, Über das äußere Potential eines heterogenen in Rotation be- 
findlichen Sphäroids, dessen flüssige Oberfläche eine Gleichgewichtsfigur ist, 
Bihang. Akad. Stockholm 24 (1898). ' 


38 VIa,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


a 


ep ; 

Krk 8 

den Ausdruck aufstellt rn ns, 

o 9 arctig & — — 
ER 4zk’oa |1 0 2rkte (+ es a) 

und nunmehr zeigt, daß der bei der Größe »?/2rk?o stehende Faktor 

als Funktion von & betrachtet, den Maximalwert °, hat, so daß, da- 

mit g, stets negativ bleibe, 

(21a) o?/2xk’o >} 

sein muß. Einen noch engeren Grenzwert für konvexe Gleichge- 

wichtsfiguren, welche die Bedingung erfüllen, daß an ihrer Oberfläche 

sich Punkte von der Eigenschaft 
Aus N. 

on 
deren Flächennormale also parallel der Rotationsachse ist, vorfinden, 
leitet Orudeli®) aus der Greenschen Gleichung 


wu fwn  1D)a—feFas 





—=(, 


ab, zu 

(21b) o?/2nk?o <}, 

während oben aus der Diskussion der transzendenten Gleichung (3), 
welche den Zusammenhang zwischen ® und & für das Rotationsellip- 


soid darstellt, 02/2k2g < 0,22467 ... 


folgt. Nach einer Bemerkung von Lichtenstein®) ist die von Orudeli 
als eine Einschränkung gedachte Forderung bei konvexen Gleichge- 
wichtsfiguren immer erfüllt. 

Weitere allgemeine Sätze über homogene Gleichgewichtsfiguren 
leitet Lichtenstein in einer neueren Arbeit ab°%): so z. B.: die Poin- 
caresche Schranke gilt auch noch dann, wenn die Flüssigkeit Zug- 
kräften widersteht oder unter einem beliebig großen konstanten Außen- 
druck sich befindet; ferner: Jede Gleichgewichtsfigur hat eine auf die 
Rotationsachse senkrechte Symmetrieebene. 


84) Orudeli, Nuovo limite superiore della velocitä angolari dei fluidi homo- 
genei, rotanti uniformamente, limitati da figura di equilibrio, Rom. Accad. Lincei. 
19, I (1910), p. 666, und 19, II (1910), p. 41; vgl. auch: Contributo alla teoria 
delle figure di equilibrio di un corpo fluido incompressibile dotato di motu ro- 
tatorio, Nuov. Cim. 17 (1908), p. 168. 

85) L. Lichtenstein, Über einige Eigenschaften der Gleichgewichtsfiguren 
rotierender homogener Flüssigkeitsmassen, deren Teilchen einander nach dem 
Newtonschen Gesetze anziehen, Berl. Ber. 1918, p. 1120—1135. 

86) L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren homo- 
gener rotierender Flüssigkeiten, I. Abh.: Allgemeine Existenzsätze; Il. Abh.: Sta- 
bilitätsbetrachtungen, Math. Zeitschr. 1 (1918) und 5 (1919). 


18 Stabilität der Gleichgewichtsfiguren. Ältere Literatur. 39 


18. Stabilität der Gleichgewichtsfiguren. Ältere Literatur. Die 
Frage nach der Stabilität der Gleichgewichtsfiguren scheint als erster 
D’Alembert?”) aufgeworfen zu haben. Seine Schlußweise, die der 
Analogie mit modernen Entwicklungen nicht entbehrt, ist die folgende. 

Für den Fall des Gleichgewichtes besteht zwischen der Rotations- 
geschwindigkeit der ellipsoidischen Figur und ihrer Exzentrizität & 
die Beziehung as 1 

Ey ua ((€? + 3) aretg & — 38). 
Ihr entsprechen, wie bekannt, solange »?/2xk?e unter einer be- 
stimmten Grenze liegt, zwei Wurzeln. Es sei &, die kleinere, &, die 
größere. Zunächst werde eine Gleichgewichtsfigur angenommen, deren 
Exzentrizität &, ist. Wird ihr Gleichgewicht gestört und damit die 
Figur deformiert, so können, was die Exzentrizität 2 der neuen Figur 
anlangt, zwei Fälle eintreten: 


<= 86 UmMR-E> 6. 


Der erstere Fall involviert eine Vergrößerung des Gewichts des Pol- 
kanals (nach der Newtonschen Vorstellung) gegenüber dem des Äqua- 
torkanals, dadurch ein Herausstoßen des Wassers aus diesem und 
daher a Bestreben, die Exzentrizität e zu vergrößern oder die ur- 
sprüngliche Form der Gleichgewichtsfigur wiederherzustellen. Der 
zweite Fall &> e, bewirkt eine Vergrößerung des Gewichts des Äqua- 
torkanals gegenüber dem des polaren und damit die Tendenz, das 
Wasser gegen die Pole hinzutreiben, d. h. die Exzentrizität der ge- 
störten Figur zu verkleinern und den ursprünglichen Gleichgewichts- 
zustand wiederherzustellen; die Figur mit der Exzentrizität &, ist also 
‚gegen beide Störungen stabil. 

Genau das Entgegengesetzte tritt ein, wenn die Exzentrizität der 
ursprünglichen Figur der größere Wurzelwert &, ist, Diese Figur ist 
daher eine instabile. Der Fall endlich, daß die beiden Wurzeln z,’ 
und z, zusammenfallen, gibt eine singuläre Lösung, die D’Alembert 
dadurch charakterisiert, daß er sie für eine Störung, durch welche 
ihre Exzentrizität verkleinert wird, als eine stabile, dagegen für eine 
entgegengesetzte Störung, welche ihre Exzentrizität vergrößert, als 
eine instabile bezeichnet (partielle Instabilität). 

Die hir Schlußweise wendet auch Laplace®) in seiner Me- 


87) Vgl. Fußnote 15, siehe auch den Streit zwischen Boskouxich und .D’Alem- 
bert: Todh., Hist., $ 470, 567 und 690. 

88) Laplace, Mec. cel., Livre III, ch. IV, p. 27 u. 28; ferner Livre IV, ch. 2: 
De la stabilite de l’&quilibre des mers; vgl. die Kritik durch Poincare, Sur l’&qui- 
libre, $ 6. 


40 Vla,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


canique celeste an, jedoch nur im Hinblick auf die spezielle Annahme, 
daß die Erde aus einem starren Kerne bestehe, den eine Wassermasse 
bedecke, eine Annahme, welche die Grundlage seiner Theorie der Ebbe- 
und Fluterscheinungen bildet. 

Anderweitige Untersuchungen über die Stabilitätsfrage kommen 
in der älteren Literatur nicht vor, und es ist merkwürdig, wenn sich 
Airy?®) über diese Frage dahin äußert, daß die Anschauung, nach der 
von den zwei einer gegebenen Rotationsgeschwindigkeit entsprechen- 
den Gleichgewichtsfiguren die eine im stabilen, die andere im labilen 
Gleichgewichte sein solle, nicht korrekt sein könne; vielmehr müsse 
aus dem Umstande, daß für ein gegebenes Rotationsmoment nur eine 
Gleichgewichtsform resultiere, mit Notwendigkeit gefolgert werden, 
daß ihr Gleichgewicht stets stabil sei. 


19. Dynamische Stabilität. Die modernen Untersuchungen über 
die Stabilität der Gleichgewichtsfiguren teilen sich in zwei Gruppen. 
Die erstere diskutiert die kleinen Schwingungen, die in einer Flüssig- 
keit bei einer Störung ihres Gleichgewichtes entstehen und die, sofern 
man nur die ersten Potenzen berücksichtigt, auf lineare Differential- 
gleichungen führen. Ist der bei der Integration auftretende Zeitfaktor 
von der Form e(*+?9', so sagt man, die Figur habe 

1. gewöhnliche Stabilität, wenn «= (0, 

2. säkulare Stabilität, wenn « <O ist. 

Die allgemeinsten Untersuchungen dieser Art) für den Fall, daß 
die Flüssigkeit die Form eines dreiachsigen Ellipsoides hat, auf ihrer 
Oberfläche ein konstanter Druck lastet und ihre Teilchen aufeinander 
dem Newtonschen Gesetze gehorchende Kräfte ausüben, wurden von 
Dirichlet?‘) und Riemann®?) begonnen. Von den allgemeinen von 
beiden behandelten Fällen interessiert hier nur jener, nach dem eine 
“anfängliche Rotation des Ellipsoids um eine seiner Hauptachsen vor- 
handen ist. .Dirichlet zeigt, daß die Integration der Differentialglei- 
chungen in zwei Spezialfällen gelingt, 1. im Falle eines um die 
Z-Achse symmetrischen, d. h. eines Rotationsellipsoides, 2. für ein 
dreiachsiges, aber nur dann, wenn zwischen den Achsen a, b und c 
eine gewisse Beziehung besteht. Beide Fälle führen auf die p. 33 
und 34 erwähnten Bedingungsgleichungen als Zusammenhang zwi- 
schen diesen Achsen einerseits und der Rotationsgeschwindigkeit & 


89) Airy, Figure of the earth, Encykl. Brit. 1843, Art. 28, p. 180. 

90) Vgl. auch A. E. Love, Hydrodynamik II, IV 16, p. 125. 

91) Dirichlet, Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik, Gött. 
Nachr. 14 (1857) und J. f. Math. 58 (1861). 


20. Statische Stabilität. Das Energiekriterium. 41 


andererseits. In etwas anderer Art behandelt Riemann®?) das Problem. 
Er kommt auf die transzendente Gleichung 

(22) e(7&? +5) — arcig (+ 8° + 3) —= 0 

als Grenzexzentrizität &, bei deren Überschreiten Labilität des Ellip- 
soides eintritt. Die einzige reelle Wurzel dieser Gleichung ist 
& = 3,14156. 

Auch Poincare??) untersucht die Wellenbewegungen auf einem 
dreiachsigen Ellipsoid und beweist, daß bei der Darstellung der Stö- 
rungen durch harmonische Funktionen die den einzelnen Funktionen 
verschiedener Ordnung entsprechenden Bewegungen unabhängig von- 
einander vor sich gehen. Nach der gleichen Methode behandelte 
Bryan”*) die Schwingungen auf einem Rotationsellipsoide, bestimmte 
ihre Perioden für die einzelnen Kugelfunktionen verschiedener Ord- 
nung und gelangt so für die Kugelfunktion P} zur Riemannschen 
Gleichung. 

20. Statische Stabilität. Das Energiekriterium. Die Frage nach 
der statischen Stabilität der Gleichgewichtsfiguren knüpft an das Prin- 
zip von Dirichlet an, nach welchem ein ruhendes mechanisches System 
dann im stabilen Gleichgewicht ist, wenn seine potentielle Energie 
für die Ruhelage kleiner ist als für alle benachbarten Lagen. Thomson 
und 7ait”) haben das Prinzip auch auf den Fall des relativen Gleich- 
gewichtes einer rotierenden Flüssigkeitsmasse ausgedehnt und Poin- 
care”), dann Basset?), Schwarzschild”) und endlich Liapounoff ”) 
vollständigere Beweise für die Übertragung des Prinzipes auf diesen 
Fall geliefert. Darnach lautet es: 

Eine Gleichgewichtsfigur ist stabil, wenn bei unverändertem Ro- 
tationsmoment ihre Energie im Verhältnisse zu allen möglichen be- 
nachbarten Massenanordnungen ein wirkliches Minimum ist, dagegen 
bei geändertem, wenn die neue Figur, die der Bedingung des Mini- 


92) Riemann, Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines 
flüssigen gleichartigen Ellipsoides, Gött. Nachr. 9 (1861) = Ges. Werke, Leipzig 
1876, p. 168: vgl. auch Steckloff, Annal. Toulouse 1902, p. 171. 

93) Poincare, Sur l’Equilibre, p. 363. 

94) Bryan, The waves on a rotating liquid spheroid of finite elliptieity, 
London Phil. Trans. 189 (1889), p. 187. 

95) Thomson-Tait, Treatise II, $ 778”. 

96) Poincare, Sur l’Equilibre, p. 293. 

97) Basset, On the stability of Mauclaurins liquid spheroid, Cambridge 
Proc. Math. Soc. VIII (1892). 

98) Schwarzschild, Die Poincaresche Theorie des Gleichgewichtes einer ro- 
tierenden Flüssigkeitsmasse, Inauguraldiss,, München 1896. 

99) Liapounoff, I u. I. 


42 VI», 21. $. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


mums entspricht, einem größeren Rotationsmoment angehört. Die so 
gefundenen Stabilitätsbedingungen ändern sich jedoch, wenn man 
der Figur außerdem gewisse Bedingungen auferlegt, und man gelangt 
so zu der Vorstellung einer bedingten Stabilität, von der namentlich 
Liapounoff eine größere Zahl spezieller Fälle entwickelt. 

Um den Ausdruck für die geänderte Energie zu berechnen, denke 
man sich auf der Oberfläche der Gleichgewichtsfigur in normaler 
Richtung teils im positiven, teils im negativen Sinne Massenschichten 
von der Dicke £ aufgetragen, so aber, daß durch sie weder das Ge- 
samtvolumen der Flüssigkeit, noch auch die Lage ihres Schwerpunktes 
geändert wird, was die Integrale 


[tas — [ads — /y£as — [#64 — 0 


nach sich zieht. Bei Berücksichtigung bloß von Gliedern, die der 
zweiten Potenz von & entsprechen, erhält der Ausdruck für die zweite 
Variation der Energie W, das ist 6, W, die Form!) 


Era fat fer na) 


In ihr entspricht das dritte Glied einer Variation des Trägheits- 
momentes der Flüssigkeit. Es ist bei einer gleichzeitigen Variation 
der Rotationsgeschwindigkeit ® oder des Rotationsmomentes R durch 


0J ; 
7 or (OR) 
zu ergänzen. 
Als ein spezielles Beispiel der Behandlung dieser Gleichung (23) 
nimmt Liapounofj ‘"') für die Verschiebung & die Form an, die einer 


Rotation um die Z-Achse entspricht. Durch sie nimmt (23) die Form 
Kup hi 
Wear) + ar N), 


an, in der J,, J, und J, die Trägheitsmomente um die drei Haupt- 
achsen X, Y und Z bedeuten; und diese Form zeigt, daß W nur 


100) In dieser Form, mit Ausschluß des dritten Gliedes, das den von der 
Veränderung des Trägheitsmomentes J der flüssigen Masse abhängigen Teil der 
variierten Energie darstellt, findet sich der Ausdruck schon vor bei Liouvslle, 
Formules generales relatives ä la question de la stabilit6 d’une masse liquide, 
doude d’un mouvement de rotation, Add. Conn. d. T. 1855, p. 26; ferner Paris 
©. R. XV (1842), p. 903, und XVI (1843), p. 363; dann Gießen, Über die Stabili- 
tät des Gleichgewichtes einer nur der Gravitation unterworfenen Flüssigkeit, 
Jahresber. über die h. Schulen Opladen 1872—73; Hagen, S. J., Über die Stabili- 
tät des Gleichgewichtes einer auf einem dreiachsigen Ellipsoide mit kleiner Ex- 
zentrizität ausgebreiteten Flüssigkeit, Zeitschr. Math. Phys. 22 (1877). 

101) Liapounoff, I, p. 35. 


21. Verzweigungs- und Grenzfiguren, 43 


dann ein Minimum, oder 6,W>0 sein kann, wenn 

J,>JI, und J,>J, 
eine Bedingung, die aussagt, daß zur Stabilität einer Gleichgewichts- 
figur notwendig ist, daß die Rotationsachse die kürzeste Achse des 
Hauptträgheitsellipsoids sei. Einen anderen Beweis dieses Satzes gibt 
Poincare 2). 

Im singulären Falle, wenn d,W = 0 ist, genügt die bis zu den 
zweiten Potenzen von & gehende Entwicklung nicht, sie muß durch 
die Berücksichtigung der höheren Potenzen ergänzt werden. Ausfüh- 
rungen hierzu geben Schwargschild'®°), Poincare'%) und @.H. Darwin'®) 
im Anschluß an die Behandlung von Poincare, sowie Liapounoff '®) 
und neuerdings L. Lichtenstein®®). 

Durch Einführung von Normalfunktionen 9,, die den Integral- 
relationen 


Sp9,d —=( oder =1, je nachdem i = k oder ik, 


(24) ’ ’ 1 % ’ 9 
| /» ds Eeg@+ Marty) 0,89; 
genügen, und die Annahme einer entsprechenden Reihenentwicklung 


=> A,9p; 
geht der Ausdruck für 6,W über in eine Summe von voneinander 
unabhängigen Quadraten 


(25) ,W = ZB#(1—s). 
Die hierin auftretenden Konstanten 1 — s, nennt Poincard die Sta- 
bilitätskoeffizienten der Gleichgewichtsfiguren. 


21. Verzweigungs- und Grenzfiguren. Solange für eine be- 
stimmte Gleichgewichtsfigur keiner der Stabilitätskoeffizienten aus der 
Reihe 1 — s, zu Null wird, sondern sie alle positiv sind, ist die Gleich- 
gewichtsfigur stabil. Eine Singularität tritt ein, wenn 1—s,—=0 

102) Poincare, Figures, p. 35. 

103) Schwarzschild, Dissert., p. 19: Vollständiger Ausdruck der Energie 
einer deformierten Figur. 

104) Poincare, Sur la stabilite de l’&quilibre des figures pyriformes, London 
Phil. Trans. 198 (1902), p. 333. 

105) Darwin, The stability of the pear-shaped figures of equilibrium, 
London Phil. Trans. 200 (1903), p. 251, ferner: The approximate determination 
of the Form of Maclaurin spheroid, Trans. Americ. Math. Soc. 4 (1903), p. 113, 
und 9 (1908), p. 34. 

106) Liapounof, Probleme de minimum dans une question de stabilite 
des figures d’&quilibre d’une masse fluide en rotation, St. Petersb. M&m. XXII 
(1908). 


44 Vl»,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


wird. Für diesen Fall stellt Poincare”) ein heuristisches Prinzip auf, 
das er das Prinzip des Wechsels der Stabilität nennt. 

Man betrachte eine Gleichgewichtskonfiguration eines mechani- 
schen Systems von n Freiheitsgraden, in dem die Koordinaten von 
einem Parameter abhängen, so entspricht einer jeden ein Punkt in 
einem »-dimensionalen Raum, und ihrer kontinuierlichen Aufeinander- 
folge eine Reihe von solchen Punkten, oder eine Kurve. (In dem be- 
sonderen Falle einer Gleichgewichtsfigur rotierender Flüssigkeiten ist 
die Anzahl » der Freiheitsgrade unendlich groß.) Diese nennt Poin- 
card eine lineare Reihe. Im Allgemeinen wird die Lösung der Gleich- 
gewichtsbedingungen keineswegs eine eindeutige sein. Es folgt dar- 
aus, daß man nicht eine eine Reihe von Gleichgewichtsfiguren dar- 
stellende Kurve, sondern mehrere Kurvenzweige erhalten wird, deren 
jede sich mit dem Parameter kontinuierlich ändert, ohne daß ausge- 
sagt werden kann, wo diese Kurven beginnen, wo sie enden oder ob 
sie sich in irgendwelchen Punkten verzweigen. Die Bedingung der 
Stabilität erfordert nur, daß die zweite Variation von W, d.h. die 
quadratische Form 


iFn..ken 


ee DIRT 


eine definite positive ist oder daß in dem transformierten Ausdruck 
,W= DI B?(1—s) 


alle Stabilitätskoeffizienten 1 — s,> 0 sind. Die Bedingung, daß einer 
von ihnen verschwindet, ist identisch mit der, daß für einen ern 


Wert des Parameters die Funktionaldeterminante der Größen ? Fr F Null 


wird, was wieder nur dann eintreten kann, wenn mindestens zwei der 
Kurvenzweige sich in einem Punkte des Raumes schneiden, d. h. daß 
die zugehörige Gleichgewichtsfigur gleichzeitig zwei Reihen angehört. 

Ist das Verschwinden von 1 — s, gleichzeitig mit einem Zeichen- 
wechsel verbunden, so sind tatsächlich für einen dem betreffenden Para- 
meterwert unendlich benachbarten Punkt zwei Figuren vorhanden, die 
nur unendlich wenig voneinander abweichen und für den bestimmten 
Parameterwert zusammenfallen. In diesem Fall der wirklichen Kreu- 
zung heißt die Figur eine Kreuzungsfigur. Sonst, wenn die eine Reihe 


107) Poincare, Sur l’&quilibre, p. 261ff., ferner: Figures, p. 164. Ferner die 
Vervollständigungen hierzu von Schwarzschild, Dissert., p. 38. Man vergleiche 
hierzu die mathematisch vollkommeneren und strengen Beweise von Liapounoff 
(Fußnote 106) und Lichtenstein (Fußnote 86). 


22. Die Stabilität der Kugel als Gleichgewichtsfigur. 45 


bloß durch einen singulären Punkt hindurch (ohne Zeichenwechsel) 
in die zweite übergeht, eine Grenzfigur. 

Kreuzen sich daher zwei Reihen von Gleichgewichtsfiguren, welche 
beide je einen Kurvenweg für einen positiven und einen negativen 
Wert des Parameters, d.h. zu einem größeren wie einem kleineren Ro- 
tationsmoment entsenden, und die eine Reihe ist vor der Kreuzung 
stabil, nach der Kreuzung instabil, so ist die andere vor der Kreuzung 
instabil und nach ihr stabil. Es findet in der Kreuzung ein Umtausch 
der Stabilitäten statt. Gehört aber der eine Zweig wohl’ zu beiden, 
der andere aber nur zu größeren oder nur zu kleineren Werten des 
Rotationsmomentes, dann findet ein solcher Wechsel der Stabilitäten 
nicht statt. Liegt eine Grenzfigur vor, von der überhaupt nur zwei 
Kurvenzweige ausgehen, so haben beide den gleichen Stabilitätscha- 
rakter, wenn sie verschiedenen Werten des Rotationsmomentes ange- 
hören, sind aber von verschiedenem Charakter bei gleichen . Werten 
von A. 


22. Die Stabilität der Kugel als Gleichgewichtsfigur. Die Sta- 
bilitätskoeffizienten der Kugel als Gleichgewichtsfigur hat zuerst Lia- 
pounoff‘”) berechnet. Indem er für die in (24) eingeführten Normal- 
funktionen @ Kugelfunktionen verwertet, für die den Gleichungen (24) 
A Relationen gelten, nämlich 


far,r, —=( (wenn n==m) und = 


ehr 4a 
und fürniiuu ten 9 


(worin P, dem Flächenelement ds’ der Kugel, deren Radius «a ist, 
angehört, während r den Abstand dieser von einem festen Punkte der 
Oberfläche bedeutet, zu dem wieder die Funktion P, gehört), d. i. die 
Gleichung (23) mit Vernachlässigung des dritten Gliedes in ihr, was 
hier wegen @ — (0 gestattet ist, erhält er mit Berücksichtigung von 


ine . #zek*o 
RE | 


Ge (wenn n = m) 


und der Annahme einer Entwicklung 


[= SAP, 


für die zweite Variation der Energie den Ausdruck 


,W = Brktgtat I) ..”- I a) 


in dem die. Summe I mit n„—2 beginnt, da wegen Unveränder- 


108) Liapounoff, I, chap. 2. La stabilitE de la sphere, p. 39. 


46 VlIs,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


lichkeit des Volumens und wegen der unveränderten Lage des Schwer- 
punktes die Kugelfunktionen 0. und 1. Ordnung nicht in Betracht 
kommen. 

Man sieht, daß die Stabilitätskoeffizienten der Kugel nicht negativ 
werden können. Es ist also die Kugel eine gewissermaßen absolut 
stabile Form. Einen zweiten, mehr anschaulichen Beweis hiefür 
gibt Poincare'®). Er stützt sich auf folgende zwei Sätze: 1. Das 
Newtonsche Potential irgendeines Körpers in bezug auf einen beliebigen 
Aufpunkt ist stets kleiner als das Potential einer Kugel von gleichem 
Volumen in bezug auf ihren Mittelpunkt. 2. Die Energie eines Kör- 
pers von gegebenem Volumen erreicht ihren Maximalwert für jenen, 
dessen Begrenzung eine Kugelfläche ist.'0) 

23. Die Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides. 
Zur Darstellung der Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides 
als Gleichgewichtsfigur eignen sich nach Poincare als Vertreter der 
Funktionen g Lamesche Funktionen. Die für sie eingeführte Schreib- 
weise möge, da sie nicht einheitlich ist, hier zuerst erklärt werden: 

Die Gleichung des ge sei 

at at a 1 
mit der Annahme a<b<(c, so daß ihre drei reellen Wurzeln A, u 
und » als die elliptischen Koordinaten eines Punktes den Ungleichungen 
a<v<b<u<e<i<wo 
genügen. Die Funktionen von A seien mit L(A) bezeichnet, die ihnen 
adjungierten zweiter Art mit K(A), so daß 
Adıh 
RK) — @n + Dia anne 
und endlich die Funktionen von u und v mit E(u) und E(v). Die 
hinzuzufügenden Indizes seien so gewählt, daß, wenn für «—=b das 
dreiachsige Ellipsoid in ein abgeplattetes, und dementsprechend die 
Produkte E(w) E(v) in Kugelfunktionen übergehen, 


Er(u) E*(v) = P,"(#) cosky mit s=2k +1 








und 
Er(u)Er(v) = P(#) sinky mit s—= 2k, 

109) Poincare, Fußnote 82 und Figures, p. 15; ferner: Sur un theor&me de 
M. Liapounoff relativ & l’&quilibre d’une masse fluide, Paris CO. R. 104 (1887), 
p. 622. Die Abhandlung von Liapounoff findet sich in Charkow math. Gesellsch. 
Mitt. I (1884), p. 43 in russischer Sprache. 

110) Für diesen Satz von Liapounoff hat neuerdings P. Carleman einen 
sehr einfachen Beweis gegeben, Math. Zeitschr. 3 (1919), p. 1—7, ebenso Lichten- 
stein, ebenda 3 (1919), p. 8—10. 


23. Die Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides. 47 


wenn #, % die Polarkoordinaten bedeuten unter der Annahme 
22 — a? sin ® sin v 
y—= Vi: — b?sin®# siny 
z—= VAR— cd cos®. 
Mit Berücksichtigung der beiden Liouvilleschen Relationen ''') 
SlasE(w Er) E,(w)E,@) — 0 für m + n, und 


— const.—= c* für mn 
5 E," ! Br ; N n n 
Inds: N) _ ELEOJRa) ER) ENo) für 1 >, 





= lea), (1,) E”(u,) E"(v,) für A, <A, 


ferner der Gleichung 
EL : 
Zu Porn. 5 r K'(A)L: (Ao)/%, ’ 
aus der folgt, daß auf der Oberfläche eines Ellipsoides (mit dem Pa- 
rameter A,) nicht g, sondern gl, konstant ist, und endlich der Annahme 
für die Entwicklung von & in der Form 


= ZSArE*(u)E”(v) ’ 
in der die Summierung mit » —= 2 beginnt, — erhält man für die 
Energie den Ausdruck 


1 
Ö, w=3 a”k?o? Nor (4,")? F K,'(A) L,!(A) — %n = 1 -Ky(A)L/ (a): 
Man sieht, daß der Faktor: 


(26) sK, (A) L ı (A) — an En 7 K, (A) L,"(A) 


die Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides darstellt, doch 
wieder nur mit Vernachlässigung des in (23) auftretenden dritten 
Gliedes. 

Nun lauten die den Gleichungen (15) entsprechenden Bedingungs- 
gleichungen für das Gleichgewicht eines Ellipsoides überhaupt, wenn 
man sie durch Lamesche Funktionen darstellt: 





3@* L,'(A)L,! 
(27) | au ra URN — LU@K,NW) 
27 
; L, L, 
| ERUR ara) — LiaR,a)) 


111) Zur speziellen Literatur über Lamesche Funktionen mit Rücksicht auf 
das Problem der Gleichgewichtsfiguren kämen außerdem in Betracht: Poincare in: 
Sur l’Equilibre, p. 299, ferner Figures, p. 112. Hamy in der Fußn. 61 zitierten 
Abh., Liapounoff, I und II, endlich @. H. Darwin, Ellipsoidal harmonie analysis, 
London Phil. Trans. 197 (1901), p. 461, und 203 (1904), p. 111. 


48 VI», 21. 8. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


Die erste Lösung derselben 

L'=L,, R'=K; 
führt zum Rotationsellipsoid'!?), die zweite, die das Jacobische Ellipsoid 
gibt, deutet mit der aus (26) abzuleitenden Gleichung 
(28) 31. (A) Kı'(A) — 5; LAK) — 0 
auf das Auftreten eines Nullpunktes, und zwar für den n=2 und 
s— 4 angehörenden Stabilitätskoeffizienten hin. Das Jacobische 
Ellipsoid ist daher eine singuläre und, da die weitere Diskussion zeigt, 
daß der Koeffizient für größere Werte von A als die dem Nullwerden 
entsprechenden negativ wird, eine Verzweigungsfigur, die die Reihe 
der stabilen Rotationsellipsoide von ihrem Beginn an, d. i. der Kugel 
abschließt. 


24. Die birnenförmigen und andere Gleichgewichtsfiguren be- 
dingter Stabilität. Mit der Frage nach der Abhängigkeit der Wur- 
zeln der Gleichung (26) 

L;; 1 

;Kı AL!) — „AZ — 0 
von den beiden Ordnungszahlen » und s befaßten sich Poincare, 
Schwarzschild und Liapounoff""?). Sie gab folgende zwei Hauptsätze: 


können zu reellen Wurzeln von (26) keine Veranlassung geben. Sie 
kommen daher zur Aufsuchung singulärer Figuren nicht in Betracht. 
Für die anderen Funktionen ist die Reihenfolge der Wurzeln ihrer 
Größe nach bestimmt durch den Index n. 

Was zunächst die Ordnungszahl » = 2 anlangt, so kommen nur 
die Funktionen E,?, E,? und E,? in Betracht. Die zwei letzteren lassen 
aus dem Rotationsellipsoide dreiachsige entstehen, entsprechend den 
Deformationen &, & xy, die zu E%, und , a? — y?, die zu E,? ge- 
hört. Beide Ellipsoide gehen durch eine Drehung um 90° ineinander 
über und stellen daher nur eine neue Reihe von Gleichgewichtsfiguren 
vor, die sich an die Rotationsellipsoide anschließt. Es sind dies die 
Jacobischen Ellipsoide. 

Zu der Funktion E,?, die ebenfalls eine reelle Wurzel der Glei- 
chung (26) gibt, gehört die Deformation &> (2? + y? — 32°). Sie 

112) Eine direkte Darstellung der Stabilitätskoeffizienten des Rotations- 
ellipsoides durch Kugelfunktionen geben Bryan (vgl. Fußnote 94) und Basset, 
On the Stability of Maclaurin’s liquid spheroid, Cambridge Phil. Proceed. 
VII (1892). 

113) Vgl. die in Fußnote 111 zitierten Abh., ferner die auf Kugelfunk- 
tionen sich beziehende analoge Gleichung p. 45. 


234. Die birnenförmigen u. andere Gleichgewichtsfiguren bedingter Stabilität. 49 


läßt den Rotationscharakter der ursprünglichen Figur intakt und ver- 
größert nur deren Exzentrizität. Ihr entspricht, wie man sich durch 
Ausführung der Integrale K,?, ... überzeugt, das p. 14 erwähnte Grenz- 
ellipsoid, über das hinaus keine ellipsoidischen Gleichgewichtsfiguren 
mehr möglich sind. 

Von den Funktionen dritter Ordnung sind nur E,° und E,? zu 
erwähnen. Die von ihnen abhängenden Deformationen lauten 


Pr y? 2? 2 2 
[ (ee ag zung? ka ae = La Ya 1) mit h als der größeren Wurzel 
3 1 1 
| der Gl. rn Pi ug Fr 7 BER ya 0, 
2° y® Ei . 
ey ( +5 rar 1) mit h als der größeren Wurzel 


1 3 1 
der Gl. TER 5 — Mus — ware == (0. 


Sie bestimmen, da man wieder « und b miteinander vertauschen kann, 
nur eine neue Reihe von Gleichgewichtsfiguren, die höherer Ordnung 
sind als die Ellipsoide Ihrer Form nach wurden sie zuerst von 
Poincare festgestellt und von G. H. Darwin die birnen- oder hantel- 
förmigen Figuren (pear-shaped figures) genannt. Mit ihnen schließt 
die Reihe der Jacobischen Ellipsoide ab (das betreffende Grenzellip- 
soid wurde von Darwin!!) berechnet). Doch über ihre Stabilität 
oder die Art ihrer Verzweigung mit den ‚Jacobischen Ellipsoiden läßt 
sich bis nun noch nichts Entscheidendes sagen. Die Entscheidung 
ließe sich nur durch Bestimmung des Vorzeichens der Koeffizienten 
gewisser höherer Glieder in der Entwicklung von 0, W durchführen. 
Rechnungen in dieser Richtung sind von @. H. Darwin und Liapounof}*">) 
gemacht worden, führten aber zu entgegengesetzten Resultaten. Nach 
Darwin gehören sie einem größeren Rotationsmoment an, wären also 
die stabile Fortsetzung der Jacobischen Ellipsoide, nach Liapounoff 
aber wäre gerade das Entgegengesetzte der Fall. 

Weitere neue aus den Jacobischen Ellipsoiden abzuleitende Gleich- 
gewichtsfiguren unter der Voraussetzung bedingter Stabilität unter- 





114) Darwin, On the pear-shaped figure of equilibrium. London Phil. Trans. 
198 (1902), p. 301. 
115) Darwin, The stability of the pears-haped figure of equilibrium, London 
Phil. Trans. 200 (1903), p. 251; Liapounoff, I und II; vgl. auch Benesch, Über 
das Vorzeichen des Poincareschen Ausdruckes für die Stabilität der birnenför- 
migen Figur, Astr. Nachr. 186 (1911), p. 305, sowie Jeans, Potential of ellipsoidal 
bodies and the figure of equilibrium of rotating liquid mass, London Phil. 
Trans. 214 (1914), sowie N. Mudd, The gravitational Potential and Energy of har- 
monic deformation of any ordre: Messenger Math. 40 (1911), p. 137. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 4 


50 Vla2,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


sucht Liapounoff"°). Zunächst für den Fall der Erhaltung des Ro- 
tationscharakters gelangt er von den Rotationsellipsoiden zu dem durch 
die Funktion E,? bestimmten Grenzellipsoid, von ihm zu der durch 
die Funktion E,* charakterisierten Figur. Die aus ihr folgende De- 
formation & ist gegeben durch 


eat ei ge en). 


wenn für und k die beiden RE Wurzeln der Gleichungen 
4 
— + —— ae ee re 
4 
at sringai as = n_— 1%: 
genommen werden müssen. 

Setzt man aber nach Liapounoff im Anschlusse an das Jacobische 
Ellipsoid E,? die Bedingung fest, daß die neue Figur sowie das gege- 
bene dreiachsige Ellipsoid zwei senkrecht aufeinander stehende Sym- 
metrieebenen um die Rotationsache habe, dann ist diese bestimmt 
durch Es, d. i. eine Deformation 


way ats ii, , ra ER a), 
worin h die nn Wurzel der Be 


a hr en Tach} br a =) 





h?— a 





ist. 
25. Numerische Daten. Die im folgenden mitgeteilten Zahlen, 
die den Arbeiten von @. H. Darwin entnommen sind, mögen ein Bild 
der Reihenfolge der stabilen Gleichgewichtsfiguren, insoweit sie ellip- 
soidischer Form sind, geben: 

1. Kugel: 
Pl ser yE-. 

2. Rotationsellipsoide: 
aaa 0,0364 z—= 0,3145 RY/K= 0,1550 sin v = 0,3 (nach p. 13) 


0,0654 0,4364 0,2938 0,4 
0,1035 0,5773 0,5015 0,5 
0,1510 0,7500 0,8140 0,6 
0,2080 0,9804 1,3034 0,7 


ie) ehräh, I und II; ferner: Sur les figures d’&quilibre peu differentes 
des ellipsoides, 4 Teile, St. Pesch; M&m. 1906, 1909, 1911 und 1913, sowie: 
Sur un probl&me de T'chebycheff, St. Petersb. Möm. XVII (1905). 


26. Figur des Mondes. 51 


9097119 213333 RYK — 2,1488 sin y— 08 


0,2807 1,3946 2,3065 — Verzweigungsfigur, 
0,3281 2,0000 3,8369  Jacobisches Ellipsoid. 
0,3570 2,5292 5,1174 — Grenzellipsoid. 
0,3302 3,1416 6,4803 — Riemannsches Ellip- 
soid. 117) 
0 oo © == die unendlich große u. 


unendlich dünne Scheibe. 
3. Dreiachsige Ellipsoide: 


= 02807 2= 13946 &— 1,3946 R’/K— 2,3065 


0,2718 1,7319 1,1385 2,4555 

0,2489 2,1445 0,9292 2,9019 
0,2130 2,7204 0,7543 3,7942 — Verzwei- 
0,1608 3,734. 0,578. 5,782. ErnE - den 
0,1002 5,667. 0,395. KR nn 
gen Figuren. 
0 oo 0 oo = die unend- 
lich lange u. 


unendlich 
dünne Nadel. 


IV. Die Gleichgewichtsfigur der Monde. 


26. Figur des Mondes. Dem Übergange von der allgemeinen 
Theorie der Gleichgewichtsfiguren auf das speziellere Problem der 
Bestimmung der Gestalt des Erdmondes und der Satelliten der an- 
deren Planeten liegen folgende Annahmen zugrunde: 1. Eine homo- 
gene Flüssigkeit bewege sich als Satellit um einen (starren) Zentral- 
körper derart, daß er ihm stets dieselbe Seite zuwende und seine 
Winkelgeschwindigkeit & bei dieser Bewegung nach dem dritten 
Keplerschen Gesetze gegeben ist, durch 


a1? (M-+ E)/A®, 

117) Die Bedingungsgleichung für das Riemannsche Ellipsoid schreibt sich, 
dargestellt durch Lamesche Funktionen, in der Form (abgesehen von der einen 
durch K,'(4)= K,'(4) bestimmten Wurzel): 

LK) LM K')L'W)— LA {Ra)L'W)— K'aL'a}=0, 
während die analoge für das Jacobische Ellipsoid 

(L, a)? | K, 4) L, “(2) Sr K, “(A) L, “(A) } Si (L; a)? { R, “A) L;, "(A) An K, “() L, “(A) } u 
lautet und infolge der Relation 


(L,'W)°K,'() L,’@) — (L,'W) KR, L,'@) = en DM) 7 r@yL,@) 


in IR,')L'W)—1IK’@A)L’@=0 übergeht. 
4* 


52 VlI»,21. $S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


wenn M die Masse des Mondes, E die des Hauptplaneten und A die 
Distanz ihrer Mittelpunkte bedeutet. 2. Sie stehe unter der Einwir- 
kung der Gravitationskräfte ihrer eigenen Teilchen P und 3. unter der 
Anziehung P, des Zentralkörpers. Zur Berechnung der letzteren werde 
ein Koordinatensystem vorausgesetzt, dessen X Y-Ebene mit der Bahn- 
ebene des Mondes zusammenfällt, und dessen X-Achse nach dem Haupt- 
planeten gerichtet ist. Außerdem werde angenommen, daß die Dimen- 
sionen des Mondes gegen seine Distanz A vom Planeten kleine Größen 
erster Ordnung seien, so daß bei der Entwicklung von 1/A bloß die 
Glieder bis zur zweiten Ordnung angeschrieben werden sollen. Eine 
weitergehende Entwicklung hätte zur Folge, daß dem Monde eine 
Gestalt zugeschrieben würde, die eine Fläche höheren als 2. Grades 
wäre. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich für P, der Ausdruck: 





s k®E 2— ya ME 
(29) 2 ms (1+4+ x n. )— A 
während für P als das Potential eines dreiachsigen Ellipsoides die 
unter 15 erwähnte Form zu substituieren ist. Die Gleichgewichtsbe- 
dingung wird damit 


(30) P+P,+40?(x? + y?) = const.!?) 
und ist mit der Gleichung des Ellipsoides: 
Pr y? RR 
atretam 
zu identifizieren. Laplace diskutiert die daraus sich ergebenden Glei- 
ehungen nur unter der Annahme, daß die Exzentrizitäten des Mond- 


ellipsoides & und z, sehr klein sind. In diesem Falle liefert eine 
Näherungsrechnung für die Integrale &, n und £ in dem Ausdrucke 


118) In dieser Form kommt die Gleichung zum ersten Male vor bei Laplace, 
Mec. cel., Livre III, 8 23. Vgl. auch Giesen, Über die Gestalt eines um einen 
Zentralkörper rotierenden homogenen flüssigen Satelliten, Zeitschr. f. Math. XXI 
(1876), p. 49, ferner Maithiessen, Über die ellipsoidischen Gleichgewichtsfiguren 
der Satelliten der Erde und des Jupiter, Zeitschr. f. Math. XXV (1880), p. 72. 
Die theoretischen Untersuchungen über die Figur des Mondes überhaupt beginnen 
mit D’Alembert. (Vgl. Fußnote 15.) Derselbe stellte das folgende rein mathe- 
matische Problem auf: Eine homogene flüssige Masse rotiere mit gleichförmiger 
Geschwindigkeit um eine beliebige Achse. Sie stehe einerseits unter der Ein- 
wirkung der Gravitationskräfte ihrer eigenen Massenteilchen, anderseits unter dem 
Einflusse der Anziehung eines entfernten Körpers in beliebiger Lage. Es ist die 
Gleichung für die Gleichgewichtsfigur zu bestimmen. Erst Laplace nimmt an, 
daß der entfernte Körper in der Äquatorebene der Flüssigkeitsmasse liege, und 
kommt so zu dem spezielleren Problem der Bestimmung der Gestalt des Erd- 
mondes. Todh., Hist. $ 616 ff. 


26. Figur des Mondes. 53 


für P die Werte: 
—-11- BF +9), — nl Here) 
41-4] 


und mit ihnen erhält man 


5 M+4E /e\> 3 5M+ E/e\® 
ee ee) 
oder mit Vernachlässigung des kleinen Bruches M gegenüber E 
9 E [e\3 5 E /(c\® 
e-10,() in) 


Nach den für den Erdmond gültigen Daten E/M— 81, Ajc= 221 
ergibt sich hieraus 


&? — 0,0000750, &° = 0,0000188, 


Zahlen, welche, wenn man den Radius des Mondes zu 1741 km an- 
nimmt, für die linearen Differenzen seiner drei Hauptachsen die äußerst 
kleinen Werte 
a—c=65m, b—c=16m, 
liefern, die wohl schwer je durch eine direkte Messung der sichtbaren 
Mondscheibe am Himmel konstatiert werden dürften. In der Tat er- 
gaben auch alle Messungen der Mondfigur, die von Wichmann, Schur, 
Hartwig u. a. ausgeführt wurden, für ihren Umriß völlig die Form 
eines Kreises, natürlich bis auf die überragenden Berge. Erst Franz?) 
gelang es, durch Messungen auf Photogrammen, die bei verschiedenen 
Librationsperioden aufgenommen wurden, eine Höhenschichtenkarte 
des Mondes zu entwerfen und die einzelnen Messungen durch An- 
schluß an ein dreiachsiges Ellipsoid auszugleichen. Die Rechnung er- 
gab für die Verlängerung in der Richtung zur Erde 
“= — 0,00114 + 0,00578. 

Anderseits leitet er aus einer Diskussion der Wichmanschen Beob- 
achtungen zur Bestimmung der physischen Libration des Mondes für 
dessen Trägheitsmomente J,, J, und J, die Werte; 


=,” = 0,000300, . — 0.000614, ae = _.0,000314, 


119) Franz, „Die Figur des Mondes“ in Königsberger Sternw. Beob. Bd. 38 
(1899), ferner Mitteil. d. Sternw. Breslau I (1901), II (1903); vgl. auch Hayn, Seleno- 
graphische Koordinaten, Leipzig Abh. Ak. 1902, 1904, 1907 u. 1914, und die 
Referate über diese Arbeiten in Astr. Ges. Vs. Bd. 35, 36 u. 38, ferner Franz, 
Die Randlandschaften des Mondes, Nov. Act. Leop. 99 (1913) und Hayn, Über 
die Abweichung des Mondrandes von der Kreisform, Astr. Nachr. 168 (1903), p. 2. 


54 VlI»2,21. $. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


ab, welche unter der Annahme einer homogenen Schiehtung des 
Mondes direkt dessen entsprechenden Abplattungen proportional sind. 

Theorie und Beobachtung stehen daher soweit miteinander in 
Übereinstimmung, als beide für die Gestalt des Mondes die eines gegen 
die Erde hin verlängerten dreiachsigen Ellipsoides fordern, nur sind 
die theoretischen Werte der Abplattung bedeutend kleiner als die aus 
den Beobachtungen. abgeleiteten '?®), und selbst bei den Rechnungen 
von Franz ist der mittlere Fehler der Messungen größer als ihr Ergeb- 
nis, so daß dieses fast als illusorisch bezeichnet werden kann. 


27. Stabilität der Gleichgewichtsfigur eines Mondes. Mit der 
Diskussion der allgemeinen Gleichung für das Gleichgewicht, durch 
die die Gestalt eines Mondes bestimmt wird, befaßte sich Roche. '?!) 
Er gibt zunächst der Gleichung (30) die Form 


(308) 30? Sl Hm)Ear— Le) ab _ 3 HwW)(nb’— ec’) ab 


ia“ GrWaite cn uwb?+c? e?? 





in der M die Masse des Mondes M— “gabe, u ihr Verhältnis zu 


der des Hauptplaneten u = M/E und &, n und & die unter 15 erwähnten 
Integrale bedeuten, und gelangt damit zu folgenden Ergebnissen: Ist 
die Distanz des Mondes vom Hauptkörper groß und mithin nach dem 
dritten Keplerschen Gesetze seine Rotationsgeschwindigkeit klein, so 
existieren stets zwei Reihen ellipsoidischer Gleichgewichtsfiguren, von 
denen die eine aus weniger abgeplatteten, die andere aus stärker ab- 
geplatteten dreiachsigen Ellipsoiden besteht. Im Grenzfalle ® = 0 ist 
das erste nahe eine Kugel"), das zweite geht in eine unendlich 

120) Laplace, Mee. eel. LivreV, ch. 2, $ 19, bemerkt hierzu: Sans doute les 
hautes montagnes et les autres inegalit6s, que l’on observe ä la surface de la 
lune, ont sur les differences de ces moments d’inertie une influence tr&s sensible 
et autant plus grande que l’applatissement du spheroide lunaire est fort petit 
et sa masse peu considerable Vgl. auch über die Nichtanwendbarkeit der 
Clairautschen Theorie auf den Mond W. de Sitter, The motion of the lunar 


perige and node and the figure of the Earth, Amsterdam. Proceed. XVIII (1915), 
p. 1309. 

121) Roche, La figure d’une masse fluide soumise ü l’attraction d’un point 
eloigne, M&m. Acad. Montpellier I (1850), II (1854). Vgl. auch die Darstellung in 
Tisserand, Mee. cel. II, chap. 8, ferner $. J. Krüger, Evenwichtsformen, p. 30 
und 111. 

122) So finden sich für die 4 großen Jupitermonde die Achsenverhältnisse: 


Ar, BT, u 30?/4mk’g 43.6: b:c 
I 5,933 4070 km 0,00001688 0,00678 1,03390 1,00847 
Il 9,439 3430 0,00002323 0,00024 1,00366 1,00092 
III 15,057 5790 0,00008844 0,00023 1,00114 1,00028 


IV 26,426 4830 0,00004247 0,00005 1.00025 1,00006 


27. Stabilität der Gleichgewichtsfigur eines Mondes. 55 


dünne und unendlich lange nach dem Hauptplaneten gerichtete Nadel 
über. Vermindert sich die Distanz und wächst im entsprechenden 
Maße o, so geht die Kugel in ein mehr und mehr sich verlängerndes 
Ellipsoid über, das um die kleinste Achse rotiert, während die größte 
stets dem Hauptkörper zugewandt ist, das zweite nadelförmige Ellip- 
soid hingegen verkürzt sich. Schließlich vereinigen sich beide Formen- 
reihen zu einem Ellipsoid, über das hinaus keine weiteren ellipso- 
idischen Gleichgewichtsfiguren mehr möglich sind. Die Rotationsge- 
schwindigkeit &, zu der diese Grenzfigur gehört, bestimmt sich aus 
den Gleichungen für den Fall 





u=0 zu: “2 ir < 0,069, 
(31) 
w—1 zu: 209, < 0,108, 
3, ER 
während für u = oo Br a ee ER yore 


welche Gleichung mit der in 15 abgeleiteten und für das Jacobische 
Ellipsoid gültigen identisch ist und 3@?/4 xA?o = 0,28063 gibt. 
Dieser Rotationsgeschwindigkeit entspricht eine gewisse Distanz 
vom Hauptplaneten. Ist die Dichte des letzteren 0, — sein Radius, 
wenn man seine ganze Masse zu einer Kugel zusammenballt, », und 


damit E= ex Or, so folgt für den Fall 
0: 0069<% (2) oder 4,2 2,44 7, Yan/o'®) 
(1) 


w—1: 0108 <2(%) (x) oder 2264 7, Venlo 


123) Auf einem etwas anderen Wege gelangt Vaughan, „On the form of 
satellites revolving at small distances from their primaries“, Phil. mag. XX (1861), 
p- 418, und XXI (1861), p. 269, zu dem gleichen Werte für die Grenzdistanz A, 
eines Mondes. Er stellt die Bedingung auf, daß die Stabilität eines flüssigen 
Satelliten ein Ende erreicht, wenn die Schwere auf ihm einerseits durch die 
Fliehkraft, anderseits durch die anziehende Kraft des Hauptplaneten aufgehoben 
“ wird, betrachtet aber bei der Berechnung der Schwere den Mond als ein verlän- 
gertes Umdrehungsellipsoid, d. h. er setzt , —=0, b=c und verwendet die Fuß- 
note 19 mitgeteilten Werte für die Anziehungskräfte eines solchen Ellipsoides. 
Er kommt so zu der Gleichung 


& (2) A) Ra Ace 


e \4, 4—s? 45° 1-8; ‚28 


8 
deren Grenzwert für reelle Werte bei = —= 0,88 zu ni (2) —= 0,06945 eintritt, 
e {) 


woraus A, = 2,489 r, U /e folgt. 


56 VlI»,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


als die fragliche Grenzdistanz, bis zu welcher ellipsoidische Gleich- 
gewichtsfiguren für einen Satelliten existieren. 

Für den Fall Mond und Erde, in welchem o,/o = 1,63 ist, erhält 
man A, — 2,87 r, während tatsächlich A = 60 r ist. 

Das aus den Rocheschen Entwicklungen folgende Ergebnis, daß 
für eine gegebene Rotationsgeschwindigkeit © eines Mondes zwei 
Formen des Gleichgewichtes existieren, ein weniger und ein stärker 
abgeplattetes dreiachsiges Ellipsoid, welche beide Formen für einen 
bestimmten Wert von ® ineinander übergehen, läßt nach Poincare die 
Deutung zu, daß diese zwei Formen zwei lineare Reihen darstellen, 
die für die Grenzgeschwindigkeit sich vereinigen. Damit entsteht die 
Aufgabe, zu untersuchen, welche von diesen zwei Reihen die stabilen, 
und welche die instabilen Formen enthält, und dann zu entscheiden, 
ob das Ellipsoid, in dem sich beide Reihen begegnen, eine Grenz- 
oder eine Verzweigungsfigur ist. Diese Untersuchung führte Schwarz- 
schild durch.'”*) Er geht von der aus (23) abzuleitenden Energie- 
gleichung 


We + / Par +40°’J/+ to: [dr (22°? — y? — 2?) 
oder w= + / Par +4 o® [dr (32° — 2?) 
aus. Durch Einführung der Deformation & folgt aus ihr 


32) aWw—rjärra—,/ x a 4 40? [dstd— 2) 


Die ersten zwei Glieder dieser Gleichung lassen sich durch Annahme 
einer nach Lameschen Funktionen fortschreitenden Entwicklung in eine 
Summe von Quadraten transformieren und geben die gleichen Stabili- 
tätskoeffizienten wie die ellipsoidischen Figuren überhaupt. Das dritte 
Glied dagegen, das durch die zwei Lameschen Produkte E,?’(u) E,?(v) 
und E,?(u) E,’(v) dargestellt werden kann, bleibt, wie Schwarzschild 
nachweist, für alle Lameschen Funktionen zweiter Ordnung entspre- 
chenden Deformationen stets von Null verschieden und positiv. Es ist 
daher das durch die Grenzdistanz charakterisierte Ellipsoid eine Grenz- 
und keine Verzweigungsfigur, an die sich neue Gleichgewichtsfiguren 
anschließen. 

Beide Untersuchungen, sowohl die von Roche wie die von Schwarz- 
schild, nehmen den Hauptplaneten als einen starren Körper an, d.h. sie 
vernachlässigen die Wirkung, die der Mond durch seine Anziehung auf 
die Gestaltung von dessen Oberfläche haben könnte. Den allgemeineren 





124) Schwarzschild, Diss., p. 46. 


28. Zylindrische Gleichgewichtsfiguren. 57 


Fall zweier sich wechselseitig beeinflussender und um eine gemein- 
schaftliche Achse rotierender Flüssigkeitsmassen behandelt Darwin!®), 
speziell im Hinblicke darauf, daß die zwei Massen sich gegenseitig 
berühren und ineinander fließen (Annahme, daß u ein variabler Para- 
meter ist), und in der Erwartung, damit auf umgekehrtem Wege einen 
Anschluß an die Poincareschen birnenförmigen Figuren zu erzielen. 
Allein das Resultat der Entwicklungen ist ein negatives. Es zeigt 
sich, daß keine von den da entstehenden ellipsoidischen Figuren Sta- 
bilität besitzt, außer wenn ihre gegenseitige Distanz eine sehr große 
ist, was sie wieder den Rocheschen Ellipsoiden vergleichbar macht, 
Eine angenommene Hlliptizität des Hauptplaneten induziert gewisser- 
maßen eine viel rascher eintretende Instabilität der Satelliten als dessen 
reine Kugelgestalt. 


V. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren. 


28. Zylindrische Gleichgewichtsfiguren. Im Anschluß an seine 
Theorie des Saturnringes gibt Laplace'?®) als erster die Berechnung 
des Potentials eines unendlich langen Zylinders, und Matthiessen'?”) . 
wies daraufhin die Existenz zylindrischer Gleichgewichtsfiguren nach. — 
Nimmt man die Z-Achse als Rotationsachse an und setzt die Glei- 
chung eines normal auf sie bezogenen elliptischen Querschnittes in 
der Form b2x? + a?y? fh a?b? 


fest, so hat man für das Potential eines unendlich langen Zylinders 
von diesem Querschnitt auf einen beliebigen Punkt desselben, dessen 
Koordinaten x, y und z2= (0 sein mögen, den Ausdruck 


(83) P— — 2x189 (ba? + ay?)/(a +), 
und die Gleichgewichtsbedingung wird damit 


— 2ukp (ba* -+ ay?)/(a + b) + Fo (@® + y°) — const. 
Ihr Vergleich mit der Gleichung der Ellipse gibt für die Rotations- 
geschwindigkeit © in ihrer Abhängigkeit von den beiden Achsen «a 


125) Darwin, On figures of equilibrium of rotating masses of fluid, Lon- 
don Phil. Trans. 178 (1887), p. 379 und: On the figure and stabilidy of a liquid 
satellite, ebenda 206 (1906), p. 161, siehe auch Moulton, Note on the possibility 
of fission of an contracting rotating fluid mass: Astroph. J. 29 (1909), 
p. 1—13. 

126) Laplace, Mec. cel., Livre II, ch. 6: „De la figure de l’anneau de 
Saturne“. 

127) Matthiessen, Über die Gleichgewichtsfiguren homogener freier rotieren- 
der Flüssigkeiten, Kiel. Univers.-Schrift. (1857). 


58 Vls,21. 5. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 
und 5b den Wert 

RER) a—b V Br}, 
(33a) 2 ah an, oder auch ie 1— ahter 
woraus folgt, daß notwendigerweise 


a? 
zkio <a 


sein muß, wenn ein elliptischer Zylinder eine Gleichgewichtsfigur sein 
soll, und daß für den Kreiszylinder 


o’/ak®o—=1 ist. 

Die Stabilitätskoeffizienten der zylindrischen Gleichgewichtsformen 

und ihre Verzweigungen untersuchte — ganz im Poincareschen Sinne 

— Jeans'”), indem er vom Kreiszylinder ?—=2?-+- y?= a? ausgehend 
Deformationen desselben in der Form 


r=-!+f—-0ad-+ 2a,„r" cosnd 
2 


annimmt, in welcher a, kleine Größen gegenüber a bedeuten und 
gewissermaßen die Störungen der Kreisform des Zylinders vorstellen. 

Den Fall elliptischer Gleichgewichtsfiguren (mit verschwindender 
Z-Achse, im Gegensatze zu den zylindrischen mit unendlich großer 
Z-Achse), d. i. also das reine zweidimensionale Problem der Ebene 
behandelte Insolera.'?”) 


29. Theorie des Saturnringes nach Laplace. Die Theorie der zylin- 
drischen Gleichgewichtsfiguren bildete für Laplace'?®) den Ausgangs- 
punkt seiner Untersuchungen über den Ring des Saturn. Unter der 
Annahme, daß der Ring ein flüssiger Körper und daher als solcher 
die Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüssigkeitsmasse sei, löste 
er als erster die Aufgabe, das Potential eines Ringes zu berechnen, 
indem er dieses Potential mit dem eines unendlich langen Zylinders 


128) Jeans, On the equilibrium of rotating liquid cylinders, London Phil. 
Trans. 200 (1902), p. 67. Hier sind auch die jüngst von B. Globa- Michailenko 
neu gefundenen und Paris C. R. 163 (1916), p. 700, Nouv. Ann. de Math. 16 (1916), 
p. 506, und J. de Math. 7 (1916), p. 1—78 untersuchten Gleichgewichtsfiguren 
zu erwähnen, die die Form von von 2 koaxialen Kreiszylindern begrenzten 
Schichten mit den Radien R, und RR=hR,<R, haben und für die die Gleich- 
gewichtsbedingung zu 

o®  1—h:+hilgh? 
won ce 
sich ergibt. 

129) Insolera, Figure ellittiche di equilibrio di un velo piano liquido ruotante, 
Circ. math. Palermo XVII (1904), p. 16. 

130) Laplace, Mee. cel., Livre II, ch. 6 und Tisserand, Mec. cel., Tome II, 
ch. IX; ferner Todh., Hist. $ 868—870, sowie $ 1118. 


29. Theorie des Saturnringes nach Laplace. 59 


identifiziert, die Lösung ist daher nur eine genäherte, auch fehlt die 
Bestimmung der Grenzen, inwieweit diese Annäherung der Wahrheit 
entspricht. Der Rechnung legt er zwei Koordinatensysteme zugrunde, 
mit parallelen Achsen und den Anfangspunkten für das erste im 
Schwerpunkt des Saturn, für das zweite im Mittelpunkte eines Quer- 
schnittes des Ringes, so daß, wenn die Koordinaten eines beliebigen 
Ringpunktes in dem einen x, y und z, in dem andern &, n, & sind, 
die Relationen 
s=AtE, y-n 3-5 

bestehen, wofern A die Distanz des Ringmittelpunktes vom Mittel- 
punkte des Saturn oder den mittleren Radius des Ringes bedeutet. 

Setzt man als Gleichung der erzeugenden Figur, durch deren 
Rotation der Ring entsteht, die der Ellipse 


2 2 
ri 
fest, so hat man der Reihe nach: 

1. für die Kraftkomponenten der Anziehung eines unendlich 
langen Zylinders auf einen beliebigen Punkt seiner Oberfläche, d.i. in 
diesem Falle des Ringes 
(34) u 1) Pete Auhon cs; 

2. für die Komponenten der Anziehung des Saturn auf denselben 


Punkt nach einer analogen Entwicklung, wie in Gl. (29) im Falle 
der Theorie der Figur des Mondes: 


(34a) —BMH—2) —EMg:; 
3. schließlich die Fliehkrafit 
(34b) 0A +9) 
mit der Gleichgewichtsbedingung;: 
re er 
[ar + 1 Pe rer 

Aus ihr folgen die zwei Relationen 

Perg; 

A° ? 


welche die Rotationsgeschwindigkeit des Ringes identifiziert mit der 
eines Satelliten in der gleichen Distanz vom Mittelpunkte des Saturn, 
und 

(36) M ac(a — ec) AKA —1) 


inedt ” (ataßa te) HD +1) 


60 VI»,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


wenn A=a/c ist. Die Diskussion der letzten Gleichung gibt als erste 
Bedingung 
A>1 oder a>e, 


d.h. die erzeugende Figur des Ringes kann nur eine Ellipse sein, 
deren große Achse nach dem Hauptplaneten gerichtet ist, als zweite 
ferner, daß für 
M< 0054: 
nos 0,0543 026 1?!) 
die Gleichung dritten Grades zwei oder nur eine oder keine positive 
Wurzel hat. 


30. Allgemeine Untersuchungen über ringförmige Gleichge- 
wichtsfiguren. Allgemeine Untersuchungen über ringförmige Gleich- 
gewichtsfiguren mit spezieller Berücksichtigung ihrer Anwendung auf 
die Theorie des Saturn, d.h. abgesehen von dem rein mathematischen 
Problem der Berechnung des Potentials eines Ringes'®?) und ohne 
Einführung der Zaplaceschen Näherung, rühren von Frau Kowalewsii'??) 
und Poincare"”*) her. Frau Kowalewski nimmt als erzeugende Figur 
des Ringes eine Linie an, welche wenig von einer Ellipse abweicht, 
eine Symmetrieachse besitzt, die in ihrer Verlängerung die Rotations- 
achse des Ringes rechtwinkelig schneidet, und außerdem so gestaltet 
ist, daß jede der Symmetrieachse parallele Gerade sie nur in zwei 


131) Ersetzt man in Gl. 36 M durch u. R,’, wo g, die mittlere Dichte 


und R, den mittleren Radius des Saturn bedeuten möge, so folgt 


’/R 8 
0/02 6-14(7) 


Nun ist für den äußeren Ring A = 2,20 R,, und damit wird e > 0,5760,, dagegen 
für den inneren Ring A=1,77R, und e>1,11e,, zwei Resultate, die wenig 
wahrscheinlich sind (vielmehr dürfte für beide Saturnringe g sehr viel kleiner 
sein als g,) und gegen die Hypothese von dem flüssigen Zustande des Ringes 
sprechen. 

132) Berechnungen über das Potential eines Ringes geben u. a: ©. Neu- 
mann, Über den stationären Temperaturzustand eines homogenen Körpers, wel- 
cher von zwei nicht konzentrischen Kugelflächen begrenzt wird, Halle 1862; 
ferner: Theorie der Elektrizitäts- und Wärmeverteilung in einem Ringe, Halle 1864; 
Riemann, Über das Potential eines Ringes, Gesamtw. (1892), p. 431; Hicks, Poten- 
tial of an anchorring or tore, London Phil. Trans. 178 (1887), p. 58; FW. Dyson, 
The potential of an anchorring, London Phil. Trans. 183 (1893), p. 43 und 1401, 
sowie Proceed. London 53 (1893), p. 372. 

133) Frau Sophie Kowalewski, Zusätze und Bemerkungen zu Laplaces Be- 
rechnungen über die Gestalt der Saturnringe, Astr. Nachr. 111 (1885), p. 37. 

134) H. Poincare, Sur l’equilibre d’une masse fluide, animde d’un mouve- 
ment de rotation, Bull. astr. II (1885), p. 109 und 404. 


30. Allgemeine Untersuchungen über ringförmige Gleichgewichtsfiguren. 61 


Punkten trifft. In dem oben angenommenen Koordinatensystem laute 
ihre Gleichung: 
(37) E= — Ascost, 

&= Aop(r) = Acla, sine +, sin?2r-+ a,sindr +), 
und es bedeutet darin r eine reelle Variable, die alle Werte von O 
bis 2x durchläuft, und 6 eine kleine Größe, die andeuten soll, daß 
die Fläche des Querschnittes gegenüber den Dimensionen des Saturn 
sehr klein ist. Die Größe «, stellt die Abplattung des elliptischen 
Ringes vor, und da, wie seit Laplace bekannt ist, die Annahme eines 
solchen schon eine ziemliche Annäherung an die Wahrheit gibt, sollen 
die anderen Koeffizienten «&,, &,, ... gegenüber «, als Größen erster 
Ordnung angesehen werden. Die Rechnung führt auf elliptische In- 
tegrale. Doch Frau Kowalewski zeigt, daß diese in nach cosnr fort- 
schreitende Fouriersche Reihen entwickelbar sind, so daß man hat 
1. für das Potential des Ringes P:: 

P,=Kk?zoA?°0°(v, + v, cost + v, cos2r + v,cosdr—+---), 

2. für das Potential der Anziehung des Saturn P;: 

2 2 
ya Seren lm + m, cost + m, 6c082r -H- +) 


3. endlich für das Potential der Fliehkraft P; 

P,= +0?(A + 8)’ —= Z0?A?(1 + 30° — 20 cost + 30° cos2r); 
und diese drei Potentiale einer Konstanten gleichgesetzt, geben die 
Bedingungsgleichungen für das Gleichgewicht des angenommenen ring- 
förmigen Körpers ab, aus denen die Unbekannten des Problems, o, 6, 
&, &g, :- berechnet werden müssen. Frau Kowalewski beweist, daß 
eine solche Bestimmung möglich ist, wenn sie auch die tatsächliche 
Rechnung nur bis zu dem Koeffisiditen &, in Bon für & angenomme- 
nen Ausdrucke durchführt. !®) 

Nimmt man zunächst «= (0 an, und vernachlässigt ferner die 
zweiten Potenzen von 6, so ergibt sich die Laplacesche Näherung, 
nämlich die Gleichung dritten Grades 


Sag 








(36) a ER da) 
ind! (+) + a9) 

135) Die Kowalewskischen Rechnungen wurden weitergeführt bis zu den 
Gliedern 4. Ordnung von Frl. Klumpke, Contributions ä l’&tude des anneaux de 
Saturne, Ann Obs. Paris XXI (1895). Eine weitere Ergänzung, die an die ellip- 
soidische Gestalt des Saturn anknüpft, d.h. den Ausdruck von P, durch den 
strengeren für das Potential eines Ellipsoides ersetzt, rührt her von Meineke, 
Ringförmige Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeitsmassen bei Anziehung 
durch einen ellipsoidischen Zentralkörper, Inaug.-Diss., Halle 1905. 


62 VIs,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


und aus ihr wieder ein Näherungswert für «,: 
1— a? 943, +17a,?+150,° 
CAD ee ee ne m De Po ee 


8 3 — 9a, — 110,?— 150,° 
Die Laplacesche Gleichung hat, wenn M/4roA?° unter der Grenze 
0,0543 .. liegt, zwei positive Wurzeln. Für die kleinere wird «, po- 
sitiv und daher die Gleichung der Erzeugenden 





&= cost, $=a,sint +, sin2r, 
für die größere ist «, negativ, und damit wird nunmehr die die Form 
der Erzeugenden bestimmende Gleichung 
&E= cost, = au, sint — 0, sin 27. 120) 

In dem Falle, daß ein Ring ohne Zentralkörper als Gleichgewichts- 
figur untersucht werden soll, hat man einzig = m =m, =. —=(0 
zu setzen und die sich da ergebenden Gleichungen zu diskutieren. Es 
zeigt sich, daß auch in diesem Falle den Bedingungen reelle Lösungen 
entsprechen, und damit erscheint die Existenz ringförmiger Gleichge- 
wichtsfiguren selbst ohne einen Zentralkörper nachgewiesen. Die Rech- 
nung selbst liefert das Ergebnis, daß unter dieser Annahme 

o? 
ack®e ’ 
ihrer Größe nach von gleicher Ordnung sein müssen. 

Unabhängig von Frau Kowalewski behandelte Poincare '*) das 
Problem. Er geht von dem Ausdrucke 


88) r=-VE+mM=all+ P,cost + ß, c82T+:-.)=ay(r) 
als Gleichung der Erzeugenden des Ringes aus, wobei er die Größen 
Bir Ba Pa; als kleine Größen ansieht. Die Annahme ß, — ß,— ß, 
—=-..—( führt ihn zunächst auf das Potential eines Kreisringes, so- 
dann zur Vervollständigung des erhaltenen Ausdruckes durch die von 
den ß; herrührenden Beiträge 


D(2xa?ß, cos ir)[i. 


Er untersucht in gleicher Art den Fall zweier voneinander unabhän- 


136) In spezieller Anwendung auf den Ring des Saturn ergibt sich für die 

Laplacesche Gleichung 
.(l— 0) 

A+a)8+%”)' 
deren zwei positive Wurzeln «, — 0,22 und 0,58 sind. Da der Saturnring sehr 
flach ist, so kommt nur der Wert «, = 0,22 für das Achsenverhältnis der Quer- 
schnittellipse in Betracht. Zu ihr gehört der positive Wert «, = 0,851, wenn 
Saturn als Kugel, dagegen der davon sehr verschiedene Wert «, = 11,23, wenn 
Saturn als Ellipsoid mit der Abplattung 1:9,18 angenommen wird. Vgl. Tisse- 
rand, M&c. e@l. II, chap. 9, und Meineke, Diss., p. 27. 


0,04644 — 





30. Allgemeine Untersuchungen über ringförmıge Gleichgewichtsfiguren. 63 


giger Ringe, für deren Dimensionen er a, und a, — und für ihre 
Distanzen vom Mittelpunkte des Saturn A, und A, annimmt. Dazu, 
daß beide Ringe gleiche Rotationsgeschwindigkeit haben, ist erforder- 
lich, dß8 A,— A, gegen A sehr klein sein muß, außer es besteht 
die Relation a, :@a,—= A, : A,."?”) 

Die Frage nach der allgemeinsten Form der Ma die als Leit- 
linien ringförmiger Gleichgewichtsfiguren dienen können, wenn sie 
unter der Einwirkung ihrer eigenen Anziehung sowie der eines Zen- 
tralkörpers stehen, löste Levs-Civita"). Er gewinnt für die Kompo- 
nenten der Anziehung eines solchen Ringes die asymptotischen Aus- 
drücke 


d« „dy 9 dz 
Pl 1g;, (e° z) Y— Rg,, (o° z) Z—#% Is (e’ z) ? 
die es ihm gestatten, die Gleichgewichtsbedingungen, wenn P das 
Potential der Anziehung des Saturn und der Fliehkraft bedeutet, in 
die neue Form zu bringen: 
d dx Pe. d dy ap“ ' 
h’q as (e°57) +00 hg 7, (0°) +07, =, 


0y 
1rg5,(e' 4 3 0 — 9 


mit der Nebenbedingung 
te 


in der man sich die Dichte o als von s abhängig zu denken hat 


und außerdem : } 
i N ala 4fan fe lg, 


ist, wo r den Querschnitt des Ringes, dr, und dr, zwei Elemente 








137) Vgl. auch Matthiessen, Allgemeine Untersuchungen über Gleichge- 
wichtsfiguren rotierender Flüssigkeitskörper, Kiel. Univ.-Chronik (1859); ferner: 
Über Systeme kosmischer Ringe von gleicher Umlaufszeit als diskontinuierliche 
Gleichgewichtsfiguren einer rotierenden Flüssigkeitsmasse, Zeitschr. Math. Phys. 
X (1865), p. 59; endlich die Fußn. 118 zitierte Abhandlung, in der sich auch 
numerische‘ Angaben über Ringe vorfinden und deren Verzweigungen mit den 
ellipsoidischen Gleichgewichtsformen. 

138) Levi-Civitd, 1. Sull’ attrazione esercitata da una lines materiale in 
punti prossimi alla linea stessa, Atti Linc. Rom. 18 (2) (1908), p. 1; 2. Sull’ attra- 
zione newtoniana di un tubo sottile, ebenda p. 413 u. 553; 3. Sulla forma dell’ 
anello de Saturno, Atti Inst. Venet. 68 (1909), p. 557; 4. Sulla gravitazione di 
un tubo sottile con applicazione all’ anello de Saturno, Circ. math. Palermo 33 
(1912), p. 354; ferner Viterbi, Su una classe speziale di forme dell’ anello de 
Saturno, Atti Inst. Venet. 69 (1910), p. 1129. 


64 VI», 21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


desselben und A,, ihre gegenseitige Distanz vorstellen. Aus der Ana- 
logie dieser Gleichungen mit denen für einen elastischen Faden 
folgen, da speziell En — () ist, zwei den physikalischen Sätzen von 
der Erhaltung der Energie und dem Flächenprinzip entsprechende In- 
tegrale, nämlich 
d d 
2k?go + P = const. a — yz) = const. 
Als spezielle Beispiele behandelt Levi-Civits die Fälle ebener Leit- 
kurven, dann rein kreis- wie genähert kreisförmiger Leitlinien. 


31. Statische Stabilität der Ringe. Schon Laplace!?”) wies nach, 
daß ein homogener flüssiger Ring von an allen Stellen gleichem ellip- 
tischem Querschnitt keine stabile Gleichgewichtsfigur einer rotierenden 
flüssigen Masse sein könne. Er fand, daß, wenn der Mittelpunkt des 
Saturn sich nur ein wenig gegen den des Ringes verschiebt, dies eine 
verstärkte Anziehung auf die näheren Teile des Ringes nach sich 
ziehen, damit eine weitere Verschiebung der beiden Mittelpunkte in 
demselben Sinne und schließlich ein Zusammenfallen des Ringes mit 
dem Saturn bewirken würde. Ist p, die anziehende Kraft des Ringes 
auf einen inneren Punkt seiner Oberfläche und A, dessen Distanz vom 
Mittelpunkte des Saturn, ist ebenso 9, die gleiche Kraft auf einen 
äußeren Punkt und A, seine Distanz vom Saturn, so fordert die 
Stabilität des Ringes, daß 


vu k®M 
PR=-A- 7, teAa>0, PR,,=9-— © + 024,<0, 


woraus durch Elimination von o? 


5 k®M 
(39) Pı As — Pad, > RTL (A,;’— A,°) 


folgt, eine Relation, die für die Dimensionen des Saturnringes nicht 
erfüllt ist. 

Eingehender befaßte sich 7isserand‘P) mit dieser Relation. Th- 
dem .er die Größen p, und p, aus der Annahme berechnet, daß der 
Ring einem kreisförmigen Hohlzylinder von der Dicke A,— A, und 


139) Laplace, M&emoire sur la theorie de l’anneau de Saturne, M&m. Paris 
(1787), p.249; ferner Mec.cel., Livre III, ch. VI; T'odh., Hist. $ 866 und 1123. Vgl. die 
kritischen Bemerkungen hiezu von Plana, A Lettre relating the Saturn’s ring, in 
Zach. Mon. Korr. I (1818), p. 346; ferner in neuester Zeit: Bohl, Über die Bewe- 
gungen eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage, J. 
f. Math. 127 (1904), p. 179, sowie: Über ein Dreikörperproblem, Zeitschr. Math, 
Phys. 54 (1907), p. 381. 

140) Tisserand, M&moire sur l’anneau de Saturne, Me&m. obs. Toulouse I 
(1880), p. 64, sowie Me&c. cel. II, chap. 9. 


31. Statische Stabilität der Ringe. 63 


der Höhe h gleichzusetzen sei, kommt er mit den Zahlenwerten 
A, = 13,33”, A, = 19,66” für die Dimensionen, dann wh(A,’— A,’)g 
für die Masse des Ringes und —arcg, für die des Saturn auf die 
der (39) entsprechende Ungleichung 
(39a) 0,535h + 7121h lg, — 8,681° > 0, 
welche, wenn sie eine reelle Wurzel haben soll, fordert, daß 

0 >4% 
wird, ein Resultat, das mit der geringen Masse des Ringes gegenüber 
der des Saturn nicht verträglich ist. 

Zu einem solchen Grenzwert!) für das Verhältnis o/e, gelangt 
man auch auf Grund der Poincareschen Gleichung (21), nach welcher 
für alle Gleichgewichtsfiguren notwendigerweise 

0? < 2nk?o 
sein muß. Setzt man @’= #”’M/A’— Sei (#)), wenn r, den mitt- 


leren Radius des Saturn bedeutet, so folgt 
3 
0> 502) 
woraus für den äußeren Ring A = 2,20r,, o> 0,/16, 
für den inneren Ring A=1,1Tr,, o> 0/83, 
sich ergeben d. s. Werte, welche viel zu groß sind und daher gegen 
die Annahme sprechen, daß der Ring von flüssiger Konstitution ist. 
Die Tatsache endlich, daß für den Fall als M/4#0A°< 0,0543... 
die Laplacesche Gleichung (36) zwei positive Wurzeln hat, welche für 
M/4zo A? = 0,0543 ... zusammenfallen, läßt schließen, daß auch hier, 
wie im Falle der Monde, zwei Reihen ringförmiger Gleichgewichts- 
figuren, die eine mit geringer, die zweite mit stärker abgeplattetem 
Querschnitt, existieren, welche für den speziellen Grenzwert von 0,0543 
eine singuläre Figur geben. Die Frage, ob sie eine Verzweigungs- 
oder eine Grenzfigur ist, beantwortete Poincare‘*?). Er betrachtet in 
dem von ihm angenommenen Ausdruck für den Radius des Quer- 
schnittes 
r=a(l-+ ß,cosz + ß, cos2r + B, cosdr + ---) 
die Koeffizienten f,, ß,,... als die die Deformation seiner rein ellip- 
tischen Form bedingenden Größen, und weist nach, daß sie zu der 





141) Poincare, Note sur la stabilite de l’anneau de Saturne, Bull, astr. II 
(1885), p. 507. 
“ 142) Poincare, Act. Math. VII, p. 287. 
Eneyklop. d. math, Wissensch. VI 2, B 5 


66 VlIa,21. $. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


potentiellen Energie W des Ringes die Zusatzglieder 


= Zr) 


erzeugen, aus denen folgt, daß die Stabilitätskoeffizienten ringförmiger 
Figuren bei der Annahme derartiger Störungen die Werte 


a 


N 


haben. Da keiner derselben verschwindet, so kann über die Stabilität 
der Figuren nichts ausgesagt werden. 


32. Dynamische Stabilität der Ringe. Mit der Frage nach der 
Bewegung des Mittelpunktes des Ringes um den des Saturn und der 
Aufstellung der Bedingungen, wann sie durch eine periodische Funk- 
tion der Zeit darstellbar ist und daher bei einer kleinen anfänglichen 
Störung klein bleibt, wenn sie es ursprünglich war, befaßte sich 
Maxwell‘). Er geht von den bekannten Differentialgleichungen aus, 
die für die Bewegung zweier Punkte gelten, deren Massen M und M’ 
er d!r ds M-+M'dP d/sd9\ M-+AM'’HP 
a a 
wozu als dritte 

Mn®e+n_ yı0? 
dt ok) 


hinzukommt, die die Rotation des Ringes um den Saturn bestimmt, 
wenn in ihnen außerdem r deren Distanz, $ und p zwei Winkel be- 
deuten, die die Verbindungslinie r einerseits mit einer festen durch 
den Mittelpunkt des Saturn gehenden, andererseits mit einer mit dem 
Ringe fest verbundenen Richtung einschließt und M.J* dessen Träg- 
heitsmoment um die Rotationsachse ist. Die Annahme r—r,, = 9,, 
®= ot, wo r, und 9, konstante Anfangswerte vorstellen, führt auf 
eine weitere gleichförmige Rotation des Ringes um den Saturn, wozu 
die Bedingungsgleichungen 
u Bi RE en 
op M or 
lauten. Für den Fall einer kleinen Störung setzt Maxwell 


A 9=MTt Pı $—=0ot+9, 
und betrachtet r,, ®, und 9, als kleine Größen, deren Quadrat zu 
vernachlässigen ist. Dadurch gehen die Differentialgleichungen in 








148) Maxwell, On the stability of the motion of Saturn’s ring, Cambridge 
1859, in Scientif. papers I, p. 285—374. Vgl. hiezu auch COallandreau, Sur les 
calculs de Maxwell au mouvement d’un anneau rigide autour de Saturne, Bull. 
astr. VII (1890), p. 69. 


‚ 32. Dynamische Stabilität der Ringe. 67 


lineare mit konstanten Koeffizienten über, und Maxwell integriert sie 
unter der Annahme einer unregelmäßigen Dichteverteilung in der Form 
(40) u—= I (1 +2f cost+ 5900827 + sh sin2r+ 2i cos(dT + «)--) 
die ihn zu der die Periode n der Bewegung bestimmenden Gleichung 
4. Grades führt: !) 
a1) A) — (144 4fg)wo’ 

+40 AH - Met). 
Der Fall f=g9=h=](, d.i. eines homogenen Kreisringes, gibt wegen 


n""— no? + ot 0 
keine reelle Wurzeln für n, womit seine Instabilität für diese An- 


nahme erwiesen ist. Der Fall A—=g= 0, aber fZ0, d.h. die Vor- 
aussetzung, daß der Ring auf einer Seite dieker ist als auf der an- 
deren, führt zu der Gleichung 
nl f2) — (1 $fYnto! +49 — BP)ot— 0, 
welche nur dann für »n eine reelle Wurzel gibt, wenn 
0,37445 < f? < 0,375. 

Nach dem Anblick des Ringes im Fernrohre aber ist mindestens 
f?< 0,25 anzunehmen, und damit ist wieder seine Instabilität erwiesen. 
Das gleiche ist auch der Fall bei der Annahme, daß der Ring im 
ganzen homogen ist und nur an einer Stelle eine Unregelmäßigkeit 
zeige. Es kommt dies, wie Maxwell beweist, auf den Ansatz h—=(, 
aber 9=3f heraus. Durch ihn transformiert sich die Bestimmungs- 


144) Die Berechtigung zu solchen Vernachlässigungen in den Differential- 
gleichungen bei Anwendung auf Stabilitätsfragen bestreitet v. Seeliger in „Über 
Maxwells und Hirns Untersuchungen über die Konstitution der Saturnringe: 
München Ber. 24 (1894), p. 161, hebt aber gleichzeitig hervor, daß die speziellen 
Annahmen, auf denen das Maxwellsche, Problem beruht und die den tatsächlichen 
Verhältnissen beim Saturnring nicht entsprechen, mit der Frage nach seiner 
Stabilität wenig zu tun haben. Man kommt der Wahrheit viel näher, wenn 
man den Ring als homogen betrachtet, als wenn man ihn anders annimmt, und 
für diesen einfachsten Fall läßt sich seine Instabilität schon aus den strengen 
Differentialgleichungen ableiten durch den Beweis, daß = stets positiv ist, was 
bedeutet, daß der Mittelpunkt des Saturn von dem des Ringes abgestoßen wird, 
und daher ein Zusammenstoß beider unausbleiblich ist. 

Die Frage nach der Stabilität eines festen Ringes, jedoch in Rücksicht auf 
die Beanspruchung seiner elastischen Festigkeit behandelt Hirn in: Le monde 
de Saturne, ses conditions d’existence et de duree: Colmar soc. bull. 1872; siehe 
die kritischen Bemerkungen von v. Seeliger auch hierzu in der eben zitierten 
Abhandlung. 

5* 


68 Vl»,21. 8. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


gleichung für die Periode n der Schwingungen in 


vr ELF EEMIPTFHFT IM MUTON 0 

eine Gleichung, die nur unter der Bedingung 

0,8279 > f > 0,8158 
eine reelle Wurzel für n liefert. Nimmt man f= 0,82 an, so heißt 
dies, daß die auf dem sonst homogenen Ringe aufzulegende Masse 
mindestens 0,82 der Masse des ganzen Ringes sein müßte, um eine 
stabile Bewegung desselben zu ermöglichen, ein Resultat, das der 
Beobachtung, d. i. dem Anblick des Ringes im Fernrohre und der 
Regelmäßigkeit, die er da zeigt, keineswegs entspricht. 

Im zweiten Teil endlich behandelt Maxwell die Annahme, daß 
der Ring von staubförmiger Konstitution ist. Um eine Berechnung 
der Bewegung der einzelnen den ‚Ring zusammensetzenden Monde 
durchführen zu können, erdachte er sich folgende Anordnung der- 
selben und konstruierte auch ein Modell, das die da möglichen Be- 
wegungen veranschaulichen sollte: p Monde von gleicher Masse u 
seien in gleicher Entfernung voneinander, $ — 2/p, in einem Kreise 
vom Radius A angenommen. Eine mögliche Bewegung des ganzen 
Systems ist dann offenbar die, daß jeder dieser Monde sich mit der 
konstanten Geschwindigkeit ® in diesem Kreise drehe, wobei & haupt- 
sächlich von der Anziehung des Saturn nach der Relation o® — 
k?M/A? abhängig zu denken ist. Für diese ungestörte Bewegung 
sind die Polarkoordinaten irgendeines Körpers gegeben durch 


(42) r,=4A, v=y®+ot. 

Für den Fall der Störung ihrer Bewegung durch ihre gegenseitige. 
Anziehung werden diese Koordinaten 

(42a) r,=4A(1 +2), v=y9 toi o,, 

und entwickelt man die Störungsfunktion, deren Potential durch 


u 
u  ——— 
ur z RT ne Ten rer 
gegeben ist, bis zu den zweiten Potenzen der Größen ö und 6, so 


folgt als Endergebnis ein System von 2» linearen Differentialglei- 
chungen, für welche allgemeine Lösungen in der Form 


= 24, cos(nt+ «+ iy®), = SB, sin(nt + « -+ iy®) 
gesucht werden. Maxwell beweist, daß die die Periode der Bewegung 
charakterisierende Zahl n reell wird, wenn man nur die Masse u je- 
des einzelnen der Monde recht klein annimmt gegenüber der Masse M 
des Saturn. Als Grenzwert folgt 

2,30 


up < pr 





83. Gleichgewichtsfigur der Atmosphäre eines Himmelskörpers. 69 


In diesem Resultate, daß up, d.i. die Masse des Ringes, abhängig er- 
scheint von der Zahl » der Körper, liegt, wie Poincard'®) sagt, eine 
Schwierigkeit der Theorie. Man kann sie aber dadurch umgehen, daß 
man die gar zu einfache Annahme einer nahezu regelmäßigen Ver- 
teilung der Körper innerhalb eines Kreises vom bestimmten Radius 
durch die entsprechendere einer Anordnung derselben innerhalb eines 
Ringes von kleiner Dicke, aber endlicher Breite ersetzt. Die Zahl der 
Körper ist dann 9°, und die Bedingung der Stabilität wird nunmehr 


mp <A, 


wo A eine Zahl bedeutet, die einem kleinen Bruchteil der Masse M 
des Saturn gleich anzunehmen ist. 


VI. Die Atmosphäre der Himmelskörper. 


33. Gleichgewichtsfigur der Atmosphäre eines Himmelskörpers. 
Die theoretischen Untersuchungen über die Atmosphäre der Himmels- 
körper beginnen mit D’Alembert"), wurden von Laplace fortgesetzt 
und von Roche“) dahin verallgemeinert, daß sie auch die Kräfte mit 
in Betracht ziehen, die man als bei der Bildung der Kometenschweife 
wirksam anzunehmen genötigt ist, und daher auch den Fall der Gleich- 
gewichtsgestalten der Kometen umfassen. Sie stützen sich auf fol- 
gende Annahmen: Es sei O der Mittelpunkt eines Himmelskörpers, 
und M seine Masse, ferner sei m die Masse eines Teilchens seiner 
Atmosphäre, x, y und z seine Koordinaten in bezug auf O als Koor- 
dinatenanfangspunkt, r seine Distanz von O0, und ® seine Rotations- 
geschwindigkeit, wobei die Z-Achse als Rotationsachse angenommen 
werde. Außerdem sei noch ein zweiter Körper vorhanden, M’ seine 
Masse, 8=A, n=$=0 seine Koordinaten, und es übe dieser Kör- 
per auf das Teilchen m neben der reinen Newtonschen Anziehung, 


145) Poincare, Figures, p. 201. 

146) D’Alembert, Sur les atmospheres des corps celestes, in Opusc. math., 
Vol. VI, Paris 1773; Todh., Hist. $ 637 u. 1126. Die Darstellung D’ Alemberts wurde 
von Laplace in seine Meec. cel., Livre III, ch. 7, übernommen. 

147) Roche, Recherches sur les atmosphöres des corps c6lestes, Par. Obs. 
M&m. V (1859); dann: Reflexions sur la theorie des ph&nomenes come6taires, M&m. 
Montpellier II (1860), und Nouvelles recherches sur les atm. des corps celestes, 
ebenda IV (1862). Vgl. auch Poincare, Les hypothöses cosmogoniques, Paris 
1911, p.15; Tisserand, Mec. cel. IV (1896), chap. 14, und Resal, Trait6 de me&e. cel., 
Paris 1865, p. 163. — Über weitergehende, einerseits thermodynamische, andrer- 
seits kosmologische Fragen, die sich auf das Problem der Atmosphären der 
Himmelskörper beziehen, vgl. die Artikel Encykl. VI 2, 25 (Thermodynamik der 
Himmelskörper) und VI 2, 26 (Kosmogonie) von Emden. 


70 VlI»,21. 8. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


deren Größe durch k?M’/D? dargestellt wird, noch eine abstoßende 
Kraft aus, deren Größe durch — k?M'u/D? in Einheiten der Newton- 
schen Anziehung gegeben ist. Führt man noch die Entwicklung von 


-a-N4y+r 
bis auf Größen 2. Ordnung in A durch, so ist für das Potential aller 
auf das Teilchen m wirkenden Kräfte die Form 


_ EM 1— u)22?— y’—z sie 
NEN EAN 


anzusetzen, und 








P = const. 


ist die allgemeinste Gleichung der Niveauflächen oder der Gleichge- 
wichtsfigur der Atmosphäre eines Himmelskörpers, mit der Einschrän- 
kung, daß weder auf die gegenseitige Einwirkung der einzelnen Teil- 
chen innerhalb der Atmosphäre noch auf die Änderung des Potentials 
infolge der etwa nicht kugelförmigen Gestalt des Zentralkörpers, um 
den die Atmosphäre lagert, Rücksicht genommen wird. 

Die Diskussion der Gleichung knüpft an die folgenden zwei De- 
finitionen an: zunächst an die der Grenzfläche, bestimmt durch die 
Bedingung ö.P/ör = 0, und der durch sie bedingten Teilung der Ni- 
veauflächen in innere und äußere, je nachdem für sie 

2 

= 
ist, sodann an die der freien Oberfläche der Atmosphäre, als jener 
unter den Niveauflächen, für die die Konstante (const.) so gewählt 
ist, daß ihrem größten Radius in der Richtung der X-Achse 

er, y—i—l) 

der kleinste der Grenzfläche entspricht. Sie stellt die äußerste 
Niveaufläche vor, bis zu der sich die Atmosphäre erheben kann, ohne 
vollständig den Zusammenhang mit dem anziehenden Zentralkörper 
zu verlieren, und gibt gleichzeitig die Bedingungen für deren Stabi- 
lität an aus der Lösung der Frage, wann sie eine geschlossene 
Fläche ist. 

Zur Bestimmung der Atmosphäre der Sonne hat man M’=0 
zu setzen und erhält damit als Gleichung der Niveauflächen 


24 ge (+ M)—-C 


(diese sind Rotationsflächen um die Z-Achse), ferner 


2 
Emm 


34. Gleichgewichtsfigur der Kometen. 71 


als Gleichung der Grenzfläche, und 
+z@+n) = 5VYorMm) 

als die der freien Oberfläche. Sie besteht aus zwei ins Unendliche 
gehenden Mantelflächen, die in der X Y-Ebene den Kreis 2? + y’—= 
V(®M/o?)* als Doppelkurve haben und einen geschlossenen linsen- 
förmigen Körper begrenzen, dessen Abplattung, da 2— y— VEMjo® 
für z=0, und? — 3Yk?M/o® für &— y— 0 ist, sich zu 4 ergibt. 

Für den Mond, unter der Annahme, daß seine Atmosphäre auch 
unter dem Einflusse der anziehenden Kraft der Erde stehe, hat man 
M’mitder Masse desselben zu identifizieren, u=0undo’—=k?(M+M”)/A? 
zu setzen. Die Gleichung der Niveauflächen wird 

kKM'’@x—y’— 2) , KM, kM+M)@+y) 








die der Grenzfläche 


Me —yY—e) EM. KOMME +Y) _) 


A° T 24A° f 





und der Wert 
c _3WM {/3M+M 
gibt die der freien Oberfläche. 


VII. Die Gestalt der Kometen. 


34. Gleichgewichtsfigur der Kometen. Bei der Anwendung der 
Gleichung (43) auf die Bestimmung der Gestalt der Kometen wird . 
entweder direkt © = () angenommen. Dies ist der einfachste Fall. 
Die Niveauflächen sind dann Rotationsflächen um die X-Achse, mit 
einem Asymptotenkegel, dessen Gleichung 


Y+2=2(2 — 0), 
ist mit 6 = uA/4(1 — u). Oder man identifiziert © mit der Winkel- 


geschwindigkeit des Kometen um die Sonne und setzt, wenn g seine 
Periheldistanz bedeutet, für Zeiten in der Nähe des Perihels 


0? — 2K?M’/g? 
dagegen wieder @ = (0 fürs Aphel. 
Die Diskussion der hier zur Berechnung der Schnittpunkte mit 
der X-Achse dienenden Gleichung 3. Grades zeigt, daß die freie Ober- 


fläche aus einem geschlossenen Flächenstück besteht, an das sich nur 
an der der Sonne abgewandten Seite ein ins Unendliche sich er- 


72 VIs,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


streckender Mantel anschließt, so daß die ganze Fläche sehr wohl 
‘den Eindruck eines Kometenkernes mit einem Schweife hervorruft. 


35. Dynamische Theorie der Kometenschweife. Die dynamischen 
Untersuchungen zur Theorie der Kometenschweife beginnen mit der 
erst von ÖOlbers') und Bessel#) aufs klarste und bestimmteste aus- 
gesprochenen Erkenntnis, daß sie aus leuchtender Materie bestehen, 
die fortdauernd oder in periodischen Stößen aus dem Kerne gegen 
die Sonne hin ausströmt, dann aber durch eine von dieser ausgehen- 
den Abstoßungskraft in die entgegengesetzte Richtung getrieben wird. 
Darnach sind also die Schweife der, Kometen der Inbegriff der Bah- 
nen, die die einzelnen Kometenteilchen, welche in einem bestimmten 
Augenblicke (Kurven der Isochronen) aus der Wirkungssphäre des 
Kernes ausgeschleudert werden, nunmehr infolge der ihnen erteilten 
Anfangsgeschwindigkeit und unter der Einwirkung der sonst im Kerne 
vorhandenen Massenteilchen sowie der Abstoßungskraft der Sonne 
(Kurve der Syndynamen) beschreiben. 

Sind x, y und z= 0 die Koordinaten des Schwerpunktes (Kern) 
des Kometen, so mögen für seine Bewegung um die Sonne die ge- 
wöhnlichen Gleichungen 


(44) x + M«/r=0, y’+ k®My/r= 0 


gelten, sind ferner X, Y und Z die Koordinaten eines Massenteilchens 


148) Olbers, Über den Schweif des großen Kometen von 1811, Monatl. 


Korresp. XXV (1812), p. 3. 

149) Bessel, Beobachtungen über die physische Beschaffenheit des Halley- 
schen Kometen und dadurch veranlaßte Bemerkungen, Astr. Nachr. 13 (1836), 
p. 186. Über die reiche Kometenliteratur vgl. besonders die historische und kri- 
tische Zusammenstellung über die Arbeiten von Bessel und Bredichin in R. Jä- 
germann, Prof. Dr. Th. Bredichins Mechanische Untersuchungen über Kometen- 
formen in systematischer Darstellung, St. Petersburg 1903. Andere Kometen- 
theorien sind die von W. Peirce, On the theory of the tail of Komet 1858 VI, 
Astr. J. V (1858), p. 186, sowie VI (1859), p. 50, der von der Annahme aus- 
geht, daß die ausgeschleuderten Kometenteilchen sich in dem (konvexen) Hy- 
perbelast bewegen, dessen zweiter Brennpunkt sich in der Sonne befindet, ebenso 
auch W. A. Norton, On the dynamical condition of the head of a comet, Americ. 
J. of Sc. XXX, 1859; Theoretical determination of the dimensions of Donati’s 
Komet, Amerie. J. of Se. XXXII (1861), p. 61. — Der erste, der die Tatsache 
entdeckte, daß anfänglich die Kometenmaterie zur Sonne ausströme, so lange bis 
sie, einen gewissen Abstand vom Kerne erreiche, daraufhin um ihn umbiege, 
zurückkehre und dann erst sich stetig von der Sonne entferne und den leuch- 
tenden von der Sonne abgewendeten Schweif bilde, soll Hooke gewesen sein, 
bei Gelegenheit der mit einem Fernrohre angestellten Beobachtungen der Kometen 


von 1680 und 1682, 


85. Dynamische Theorie der Kometenschweife. 73 


in der Hülle des Kometen, so soll deren Bewegung um die Sonne 
durch 


„ au a U 
(48) X’ +RBMA—W)XR—X, Y+RMU—WYR=-3, 
Z’+ BMA — WZIR=2 


bestimmt erscheinen, wobei u die neben der reinen Anziehungskraft 
der Sonne wirkende Abstoßungskraft derselben und U das Potential 
der störenden Einwirkung der andern im Kerne vorhandenen Massen- 
teilchen bedeutet. Die Verbindung zwischen den Koordinaten X, Y, 
Z und x, y, z# wird hergestellt durch Einführung von Relativkoordi- 
naten &, n und &, die nach Art eines mit variabler Geschwindigkeit 
rotierenden Systems durch die Gleichungen 


(5) X—-a=lrtmyir, Y—y=ly—nalr, Z=5 
definiert werden. Aus der aus ihnen sich ergebenden Relation 

HP +Z-R=(+4S4PR+E 
folgt, daß die Koordinate & in der Richtung des Radiusvektors zwischen 
Kern und Sonne, 7 in der darauf senkrechten liegt, so daß bei An- 
nahme von Polarkoordinaten | 

g=Acosp, „=Asinp * 
A und 9 der direkten Beobachtung einzelner im Schweife des 
Kometen liegender Punkte zugänglich sind und an ihrer Hand daher 
ein Vergleich zwischen Theorie und Beobachtung durchgeführt wer- 
den kann. 
Bessel setzt in seinen Untersuchungen U = (, sowie & = 0, leitet 

dann die folgenden Näherungsgleichungen ab: 

® ie 2 ER 2 
mi Pr ah nn er u T e& a de k a 
(46) „ ä _ EUREN 2 ed 








in denen die Größen p und r sich auf die Bewegung des Kometen 
um die Sonne beziehen, und versucht sie durch nach der Zeit fort- 
schreitende Potenzreihen zu integrieren, deren Konvergenz hier inso- 
weit vorausgesetzt werden kann, als sie nur für vom Momente des 
. Austritts des Teilchens aus dem Kerne nicht sehr weit entfernte Zeiten 
verwertet werden sollen. Mit Vernachlässigung der die Anfangslage 
des Kometenteilchens bestimmenden Konstanten findet er nach Ent- 
wicklung bis zu den dritten Potenzen der Zeit:'?°) 


150) Die Formeln von Bessel wurden teils verbessert, teils auf einen höheren 
Genauigkeitsgrad gebracht von Pape, Untersuchungen über die Erscheinung des 


74 VI», 21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


ee. 
[ 
N RE e_,_ #MuyMp 


Ir! 


worin &, und 7, die a der Ausströmung be- 
deuten. Aus ihnen ist durch Elimination von ? die Gleichung der 
Bahnkurve (Syndyname) des Massenteilchens, durch die die Form 
des Schweifes bedingt erscheint, abzuleiten. Es folgt wieder mit 
einigen Vernachlässigungen 

zE 92: m &yV5 


= ha ——— 37 PAR UURGERBIENL... 
7 70 uM k?uM. Br Yu 


oder noch kürzer unter der Annahme, daß die Geschwindigkeitskom- 
ponente n, der Ausströmung = 0 ist: 


Bu. a CR 
r u 

eine Gleichung, die eine genäherte Berechnung von u aus den der 
direkten Beobachtung zugänglichen Koordinaten 7 und & von Punkten 
in der Schweifachse des Kometen und den aus seinem Laufe bekannten 
p und r gestattet. Ebenso erhält man nach Substitution von 
&, = —908G, 79 —9gsinG und durch Elimination von @ aus den- 
selben Gleichungen die Kurven der Isochronen, als deren Enveloppe 
man den Kopf des Kometen ansehen kann. Für sie erhält man in 
erster Annäherung die Gleichung der Parabel 


e__ 2g°r? Eu 

ng Mus + 7) , 
und ihr zufolge stellt sich der Kopf als das entsprechende Rotations- 
paraboloid dar, so daß, wenn man mit & die Entfernung seines 
Scheitels vom Kern bezeichnet, 


g?r? 
Bu k®?M u 





€ 


großen Kometen vom Jahre 1858, Astr. Nachr. 49 (1858), p. 309; sodann Winneke, 
Pulkowaer Beobachtungen des großen Kometen vom Jahre 1858, M&m. St. Peters- 
burg I (1859); sowie Untersuchungen über die Natur der Kometen, ebenda II 
(1860) u. Astr. Nachr. 52 (1860), p. 255; Marcuse, Über die physische Beschaffen- 
heit der Kometen, Inaug.-Dissert., Berlin 1884; v. Hepperger, Bestimmung der 
Repulsivkraft der Sonne aus Beobachtungen in der Schweifachse von Kometen 
gelegener Punkte, Wien Ber. 88 (1884), p. 7; ferner die Referate von Radau 
über die zwei letzten Abh. im Bull. astr. I (1884), p. 189; Kreutz, Untersuchungen 
über das Kometensystem 1843 I, 1880 I und 1882 II, 1. Teil, Kiel 1888, p. 85. 
Vgl. auch die Entwicklungen von Charler in seiner Mechanik des Himmels, 
Leipzig 1902, I. Teil, p. 194. 


86. Die Bredichinsche Typenteilung der Kometenschweife. 75 


wird, eine Gleichung, die wieder einen Näherungswert für die Aus- 
strömungsgeschwindigkeit 9?—= &,?+ n, - aus der Beobachtungsgröße 
A liefert. 


36. Die Bredichinsche Typenteilung der Kometenschweife. Die 
eingehendsten Untersuchungen über die Schweife der Kometen nach 
der Besselschen Theorie verdankt man Th. Bredichin.‘°') Mehr als 
50 Kometen älterer und neuerer Zeit aus den Jahren 1472—-1902, 
bei denen sich eine Schweifentwicklung gezeigt hat und Beobachtun- 
gen in dieser Richtung vorlagen, unterzog er einer kritischen Be- 
handlung, teils unter direkter Anwendung der Besselschen Näherungs- 
formeln, teils nach Ableitung strengerer Formeln für die hyperbo- 
lische Bewegung der Massenteilchen, teils nach einem mehr graphi- 
schen Verfahren, indem er aus angenommenen Werten für u, g und 
@ die Besselschen Koordinaten & und n berechnet, darnach sich theo- 
retische Schweifkurven zeichnet und diese mit den Beobachtungen 
vergleicht. 

Das Hauptergebnis dieser ausgebreiteten Rechnungen ist die Ent- 
deckung der drei Schweiftypen.'°?) Die aus den Beobachtungen für 
die Größe der Repulsivkraft der Sonne abgeleiteten Zahlenwerte ließen 
eine Einteilung derselben in drei durch größere Zahlenintervalle von- 
einander getrennte Gruppen erkennen, denen ebenso auch drei von- 
einander verschiedene Werte der Anfangsgeschwindigkeit g entsprachen, 
und die für die einzelnen Kometen typisch zu sein schienen, wobei, 
wenn ein Komet mehrere Schweife zeigte, diese verschiedenen Typen 
angehörten. Als endgültige Werte für die jedem Typus zukommenden 
Werte von u und g gibt Bredichin die Zahlen an: 


I. Typus: u— 18 9—= 0,34 — 0,10, 

KU, u zwischen 22 —0,5 g= 0,07 — 0,03, 

BE M 0,3—0,0  g= 0,02 — 0,01. 
Neuere Beobachtungen?) führen jedoch auf Werte für u, die den 


151) Vgl. die Fußnote 149 zitierte Zusammenstellung von Jägermann, ferner 
das Referat von Oppenheim in Ast. Ges. Vjs. 40 (1905), p. 1. Die einzelnen 
Rechnungen von Bredichin erschienen zumeist in den von ihm herausgegebenen 
Annales de l’observatoire de Moscou, und auszugsweise auch in den Astr. 
Nachr. 

152) Die Entdeckung der Typenteilung der Kometenschweife findet sich vor 
in Ann. de l’obs. de Moscou VII (1860), p. 63. Vgl. auch Bredichin, Revision 
des valeurs numeriques de la force röpulsive du soleil, Leipzig 1885. 

153) So findet Jägermann, Die Bewegung der Schweifmaterie des Kometen 
.1892 I, Astr. Nachr. 176 (1906), p. 1, u = 35,2, 9 = 0,056952, ebenso in: Über die 
beim Kometen 1903 IV beobachtete hyperbolische Bewegung der Schweifmaterie, 


76 \VlI2,21. 8. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


für den ersten Typus gefundenen weitaus über- und bis auf u — 89 
ansteigen, wobei die da vorkommenden Zahlenwerte 35—36, 71—72 
und 89—90 auf Vielfache der Zahl 18 hindeuten. 

Die Typenteilung der Kometenschweife führte zur Frage nach 
dem Ursprung der Repulsivkraft der Sonne. Olbers wollte sie auf 
rein elektrische Kräfte zurückführen. Bessel und Bredichin bemühten 
sich mehr in der Richtung, aus ihrer Existenz die Bewegung der 
Teilchen und damit die verschiedenen Formen der Kometenschweife 
abzuleiten. Die Frage nach ihrer Natur stand bei ihnen an zweiter 
Stelle. Erst Zöllner'°*) befaßte sich eingehender mit der elektrischen 
Theorie der Abstoßungskraft der Sonne. Unter Einführung der Größen 
E und e als der Mengen der freien Elektrizität an den Oberflächen 
von Sonne und Schweifteilchen des Kometen, M und m ihrer gravi- 
tierenden Massen, D und d der elektrischen Dichten, r des Radius 
und s der Massendichte des Teilchens leitet er aus u = Ee/k’Mm 
die Relation 


47 urF —_ const. 
Da 


ab. Bredichin gibt dieser Gleichung im Hinblick auf die drei Schweif- 
typen die Form 


4Ta Hafıöı  Enfa 3a... Infa te 
(478) DET DET Da» 
und, indem er nun D, = D,— D,, ebenso d, = d,— d, und schließ- 


lich auch noch als approximativ richtig r,—r,=r, annimmt, findet er 


HS 
oder, wenn m,, m, und m, die Molekulargewichte der den Kometen- 
schweif bildenden gasförmigen Stoffe bedeuten: 


Br IT 7 - 


Möm. St. Petersburg XVI (1905), u—=89; ferner A. Kopff in den Publikationen 
des astrophysikalischen Observatoriums auf dem Königsstuhl III (1909), sowie: 
Über die Bewegung der Schweifmaterie beim Kometen 1903 IV, Astr. Nachr. 176 
(1907), p. 149, u—= 89,4. Neuere kritische Untersuchungen über die Besselsche 
Kometentheorie ferner sind: A. Kopff, Über die Bessel-Bredichinsche Theorie der 
Kometenschweife, Astr. Nachr. 179 (1908), p. 211, und die Entgegnung von 
4A. Orloff, Sur la theorie des queues des cometes, Publ. de l’Observ. de Dorpat 
21 (1911). 

154) Zöllner, Über die Größe und elektrische Dichtigheit der Schweifteil- 
chen eines Kometen, Astr. Nachr. 86 (1876), p. 257 u. 87 (1876), p. 273, und 
Ges. wiss. Abh., II. Bd., II. Teil, Leipzig 1872, p. 752; sowie auch: Über die 
Stabilität kosmischer Massen und die physische Beschaffenheit der Kometen, 
Leipzig Ges. Wiss. Abh. XXIII (1871) wieder abgedruckt in: Über die Natur der - 
Kometen, Leipzig 1872. 


37. Die Kometentheorie von Schiaparelli. 77 


Aus ihr folgen, unter der Voraussetzung, daß die Schweife des ersten 
Typus (u = 18) aus reinem Wasserstoff bestehen, 


für en die Zahlen 8—36, 


nm... 50-100. 

Neuestens versuchte man es, die Existenz der Repulsivkraft der 
Sonne auf den Druck'’5) zurückzuführen, welchen nach der Mazxwell- 
schen Theorie ein strahlender Körper, also auch die Sonne, auf jeden 
absorbierenden oder reflektierenden Körper ausübt. Mit der Frage, 
ob dieser Druck einen so großen Betrag erreichen kann, daß die durch 
ihn hervorgerufene und ihm gleichwertige Sonnenrepulsion, wie es die 
Schweife des Typus I verlangen, 18 mal so groß ist als die reine 
Anziehung der Sonne, befaßte sich Schwarzschild"). Er findet die 
Zahlen 19—20 als oberen Grenzwert für u. Dies steht mit dem Bre- 
dichinschen Ergebnis in bester Übereinstimmung, dafür aber im Wider- 
spruch mit den neuesten bei einigen Kometen gefundenen Werten, 
die bis auf u = 89 ansteigen. 


37. Die Kometentheorie von Schiaparelli. Von der Besselschen 
Theorie der Kometenschweife unterscheidet sich die von Schia- 
parelli“®”) dadurch, daß sie ihr Hauptgewicht nicht auf die Repulsiv- 
kraft der Sonne, d. i. die Größe u, sondern auf die in den Gl. (44a) 
auftretende Größe U legt, der gegenüber in ihrem Verhältnis zur reinen 
Anziehung der Sonne diese die Wirkung haben soll, die Kometen- 
materie in ihrer Annäherung an die Sonne zu zerstreuen und damit 
zur Schweifentwicklung beizutragen. Mathematische Darstellungen zur 
Schiaparellischen Auflösungstheorie der Kometen gaben Üharlier'°®) 
und L. Picart'°°). Sie nehmen einen kugelförmigen Haufen von nur 


155) Lebedew, Über die abstoßende Kraft strahlender Körper, Aun. Phys. 
45 (1892), p. 292; ferner Svante Arrhenius, Über die Ursache der Nordlichter, 
Phys. Zeitschr. II (1900), p. 831 und 97, sowie: Kosmische Physik (1903), p. 206. 

156) Schwarzschild, Über den Druck des Lichtes auf kleine Kugeln und 
die Arrheniussche Theorie der Kometenschweife, München Ber. XXXI (1901), 
p. 204. 

157) Vgl. außer den vielen Originalmitteilungen von Schiaparelli im Bull. 
meteor. dell Osserv. de Coll. Romano die Zusammenfassung derselben von Bo- 
guslawski, Entwurf einer astronomischen Theorie der Sternschnuppen, deutsche 
Ausgabe, Stettin 1871. 

158) Charlier, Formation des courants meteoriques par la desagregation des 
cometes, St. Petersb. Bull. XXXII (1888). 

159) Luc Picart, Sur la desagrögation des essaims met6oriques, Theses de 
fac. de Paris 1892. 


78 VlIs,21. S. Oppenheim. Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 


lose miteinander zusammenhängenden Massenteilchen von der mittleren 
Diehte ö und dem Radius 9, an, die sich gegenseitig anziehen. Dann 
ist, wenn das Teilchen, dessen Bewegung unter dem Einfluß der 
Sonne wie aller seiner Nachbarteilchen untersucht werden soll, inner- 
halb des Kugelhaufens sich befindet: 


2 
U=— — k2g°0 


oder, wenn seine ganze Masse m, = EL) und außerdem A? M = n?a? 
gesetzt wird: 

n?’/a\öm , 1 

U al me zmWor, 
wo Kürze halber v» = ma?/Moe, ist, dagegen für einen außerhalb 
liegenden Massenpunkt: 
Ma km _ n?a?® m 

ee 
und zu den Gleichungen (46) treten, wenn man in ihnen jedoch 
u = 0 annimmt, auf der rechten Seite die Glieder hinzu: 


OU oU 2 

DE —= — vn?& bzw. FT —= — vn?a?/o?, 
oU, OU ; 

u =— vn Fr — — vn’a’n/e®, 
oU, oU, 

De = — vn?& Fr EEE EN vn?a?t/o?. 


Im ersten Falle, und unter der einer ersten Annäherung gleichkom- 
menden Voraussetzung einer Kreisbahn für den Schwerpunkt des 


Haufens, für der =p, = —0, ®M=n?p? ist, folgt ein System 


linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, deren 
determinierende Gleichung als Bedingung seiner Stabilität 


3 
(48) v>3 oder 4>3(&) 


gibt, welche Charlier noch in der Form T> T,y3 ansetzt, sofern 7 
die Umlaufszeit des ganzen Haufens um die Sonne, 7‘, die des Massen- 
teilchens um den Schwerpunkt bedeutet. Wird jedoch keine solche 
gleichförmige Rotation vorausgesetzt, sowie für den zweiten Fall, der 
Geltung der Funktion U,, wird das System zu einem mit periodi- 
schen Koeffizienten, das eine Ähnlichkeit hat mit dem von Hill zur 
Berechnung der als Variation bezeichneten Störungen der Mondbe- 
wegung aufgestellten. Die Diskussion über die Stabilität führt Part 


37. Die Kometentheorie von Schiaparelli. 79 


mit Hilfe der Hilschen Grenzkurve durch. Er gelangt damit zu der 
Bedingungsgleichung 

m a\3 
(48 a) >36); 


worin a’ die große Achse der Bahn bedeutet, die das betrachtete 
Kometenteilchen um den Kern beschreiben würde, wenn die Sonnen- 
anziehung nicht vorhanden wäre, wogegen im Falle einer elliptischen 
Bewegung des Kernes um die Sonne die Stabilitätsbedingung in 


(48 b) >) +eH+.) 


übergeht, in der H eine Funktion der Bahnelemente dieser Bewegung ist. 


(Abgeschlossen Juli 1919.) 


VI 2,22. KRITIK 
DES NEWTONSCHEN GRAVITATIONSGESETZES. 


Von 


S. OPPENHEIM 


IN WIEN. 


MIT EINEM BEITRAG: 
GRAVITATION UND RELATIVITÄTSTHEORIE. 


Von 
F. KOTTLER 


IN WIEN. 


Inhaltsübersicht. 
I. Das Newtonsche 6&esetz. 
1. Das Newtonsche Gesetz. 
2. Das Newtonsche Gesetz und der Raum. 
3. Bestimmung der Gravitationskonstanten in astronomischen Einheiten. 
4. Die Gravitationskonstante in den physikalischen Einheiten des C.G. S.-Systems. 


II. Genauigkeitsgrad des Newtonschen Gesetzes, abgeleitet aus der 
Bestimmung der Massenfaktoren. 


3. Masse der Planeten aus Mondelongationen. 
6. Masse der Planeten aus Störungen von Planeten. 
7. Masse der Planeten aus Kometenstörungen. 
8. Masse des Erdmondes 
a) aus den Ebbe- und Fluterscheinungen, 
d) aus der Präzession und Nutation, 
c) aus Ungleichheiten in der Bewegung der Sonne, 
d) aus Ungleichheiten in der Bewegung des Mondes. 
9. Masse der Satelliten der anderen Planeten. 
10. Diskussion der Ergebnisse. 
11. Masse der Doppelsterne. 


III. Genauigkeitsgrad des Newtonschen Gesetzes in der Abhängigkeit 
von der Entfernung. 


a) Erscheinungen auf der Erde. 


12. Berechnung der Schwerebeschleunigung auf der Erde aus der Mondbewegung. 
13. Theorie der Erdgestalt. 


Literatur. 81 


14. Die Schwere auf der Erde, das Clairautsche Theorem. 

15. Lotabweichungen und Schwereanomalien, Theorie des Geoids. 

16. Die Schwerkraft im Erdinnern. Die Olairautsche Differentialgleichung. 
17. Die Abplattung der Erde aus der Prüzession und Mondbewegung. 

18. Theorie der Ebbe und Flut. 

19. Lot- und Schwerestörungen durch Mond und Sonne. 

20. Zusammenfassung der Ergebnisse. 


b) Erscheinungen am Himmel, 
21. Theorie der Planeten. 
22. Theorie der Kometen. 
23. Theorie des Erdmondes. 
24. Theorie der Satelliten der Planeten und der Doppelsterne 


1V. Versuche zur Erklärung der Bewegungsanomalien auf Grundlage 
des Newtonschen Gesetzes. 


25. Hypothetische Massenannahmen: 
a) Einwirkung eines unbekannten Planeten oder Pruuiitsndchickn 
b) Elliptizität der Sonne. 
c) Ein Merkurmond. 
d) Das Zodiakallicht, von Seeligers Theorie. 
26. Hypothese eines widerstehenden Mediums. 
a) Enckes Annahme. 
b) von Seeligers Theorie. 
c) Lichtdruck. 
27. Ungleichheiten in der Rotationsgeschwindigkeit der Erde. 
a) Theorie. 
b) Flutreibung. 
c) Massenvergrößerung der Erde. 


Y. Mögliche Korrektionen des Newtonschen Gesetzes. 


28. Änderung des Exponenten. 
29. Absorption der Gravitation. 
30. Abhängigkeit von der Krümmung des Raumes. 
31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. 
a) Ältere Theorie. 
b) Die älteren elektrodynamischen Grundgesetze. 


Literatur. 
Monographien. 

Eine spezielle Literatur über das im vorliegenden Artikel behandelte Thema ist 
nicht vorhanden. Es sei daher hier nur auf einige der wichtigsten, im folgenden 
erwähnten Monographien verwiesen. - 

H. Bruns, Die Figur der Erde, Potsdam. geod. Inst. 1878. 
F. Tisserand, Resume des tentatives faites jusqu’ici pour determiner la parallaxe 
du soleil, Paris. Obs. mem. 16 (1882). 


— Note sur l’etat actuel de la theorie de la lune, Paris. Bull. astr. 8 (1891). 
Eneyklop. d. math. Wissensch. VI 2, BR. 6 


82 VI2,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


F'. Tisserand, Confrontation des observations avec la theorie de la gravitation, 
Mee. cel. IV (1896), chapt. 29. 

Abel Souchon, Traite d’astronomie pratique, Paris 1883. 

— Traite d’astronomie theorique, Paris 1889, besonders die Introduction historique. 

W. Killing, Die Mechanik in nicht-euklidischen Raumformen, J.f. Math. 98 (1885). 

W. Harkness, On the solar parallax and its related constants, Washington 1885. 

R. Lehman-F'lhes, Über die Bewegung der Planeten unter der Annahme einer 
sich nicht momentan fortpflanzenden Schwerkraft, Astr. Nachr. 110 (1884). 

J. Bauschinger, Untersuchungen über die Bewegung des Planeten Merkur, Mün- 
chen 1884. 

S. Neweomb, The elements of the four inner planets and the fundamental con- 
stants of astronomy, Washington 1895. 

P. Harzer, Die säkularen Veränderungen der Bahnen der großen Planeten, Leip- 
zig. Preisschrift 1895. 

O. Backlund, Sur la masse de la planete Mercure et sur l’acceleration du mou- 
vement moyen de com2te d’Encke, Paris Bull. astr. 11 (1894). 

P. Drude, Über Fernwirkungen, Ann. Phys. Chem. 62 (1897). 

L. Schulhof, Les cometes periodiques, l’&tat actuel de leurs theories, Paris. Bull. 
astr. 15 (1898). 

E. Wiechert, Über die Massenverteilung im Innern der Erde, Gött. Nachr. 1897. 

H. v. Seeliger, Über das Newtonsche Gesetz, Münch. Ber. 26 (1896). 

— Über Zusammenstöße und Teilungen planetarischer Massen, Münch. Abh. 1891. 

— Über kosmische Staubmassen und das Zodiakallicht, Münch. Ber. 31 (1901). 

— Das Zodiakallicht und die empirischen Glieder in der Bewegung der inneren 
Planeten, Münch. Ber. 36 (1906). 

K. Schwarzschild, Über das zulässige Krümmungsmaß des Raumes, Astr. Ges. 
Vjs. 35 (1900). 

H. Poincare, La mesure de la gravite et la geodesie, Paris. Bull. astr. 18 (1901). 

O Hecker, Beobachtungen an Horizontalpendeln über die Deformation des Erd- 
körpers, Potsdam. geod. Inst. 32 (1907). 

W. Schweydar, Beobachtungen der Änderung der Intensität der Schwerkraft durch 
den Mond, Berl. Ber. 1914. 

— Untersuchungen über die Gezeiten der festen Erde und die hypothetische 
Magmaschichte, Potsdam. geod. Inst. 1912. 

— Harmonische Analyse der Lotstörungen durch Sonne und Mond, ebenda 1914. 

— Theorie der Deformation der Erde durch Flutkräfte, ebenda 1916. 

W. Hayford, The figure of the Earth and isostasy from measurement in United- 
States, Washington 1909. 

W. Bowie, Effect of topography and isostatic compensation upon intensity of 
gravity, Washington 1912. 

F. Helmert, Über die Genauigkeit der Dimensionen des Hayfordschen Erdellip- 
soids, Berl. Ber. 1911. 

— Neue Formeln für den Verlauf der Schwerkraft im Meeresniveau beim Fest- 
land, ebenda 1915. 

K. F. Bottlinger, Die Gravitationstheorie und die Bewegung des Mondes, Münch. 
Diss. 1912. 

— Zur Frage nach der Absorption der Gravitation, Münch. Ber. 1914. 

W. de Sitter, The absorption of gravity and the longitude of the Moon, Amsterd. 
Proceed. 21 (1912). 


1. Das Newtonsche Gesetz. 83 


Vorbemerkung. Dieser Artikel schließt an den unter dem Titel 
„Gravitation“ in dieser Encyklopädie V 2 (1901) erschienenen von 
I. Zenneck (Straßburg) an, mit dem Unterschiede jedoch, daß, während 
dieser in physikalischer Richtung Vollständigkeit erstrebt, der vor- 
liegende die astronomische Seite des Problems bevorzugen soll. 


I. Das Newtonsche Gesetz. 


l. Das Newtonsche Gesetz. Das Grundgesetz der Gravitation 
wurde zuerst von Newton!) erkannt und im dritten Bande seiner 
„Philosophiae naturalis principia mathematica“, Prop. I-VII ausge- 
sprochen. Es lautet: Befinden sich irgendwo in einem Raume in einem 
bestimmten Zeitmomente zwei Massenelemente von den Massen m, und 
m, und in der Entfernung r, so üben sie in demselben Momente (In- 
stantanwirkung) aufeinander eine anziehende Kraft?) aus (d.h, sie er- 
teilen einander eine Beschleunigung), die in der Richtung ihrer Ver- 
bindungslinie wirkt, proportional dem Produkte ihrer Massen zu- und 
im Verhältnisse der Quadrate ihrer Entfernung abnimmt. Der analy- 
tische Ausdruck für die Größe dieser Kraft ist daher gegeben durch 
(1) K= — kKmm, :r, 
worin k? eine universelle, d.h. nur vom angenommenen Maßsystem 
und nicht auch vom Medium, indem die Anziehung erfolgt, abhängige 
Konstante bedeutet und das Zeichen — gewählt ist, um eine An- 
ziehung auszudrücken. 

Newton hat dieses Gesetz aus den von Kepler empirisch gefun- 
denen Gesetzen der Bewegung der Planeten um die Sonne erschlossen 
und es sodann nicht nur auf dieses Hauptproblem der theoretischen 
Astronomie (Mechanik des Himmels) angewendet, sondern auch auf 
andere weitere Gebiete ausgedehnt, wie die Bestimmung der Gestalt 
der Himmelskörper, Ableitung des Gesetzes für die Variation der 
Schwere auf der Erde, Erklärung der Ebbe- und Fluterscheinungen, 


1) Über die Vorgeschichte der Entdeckung des Gravitationsgesetzes durch 
Newton berichtet F. Rosenberger, Isaac Newton und seine physikalischen Prin- 
zipien, Leipzig 1895. Das Buch von Todhunter, History of the mathematical 
theories of Attraction and the Figure of the Earth, 2 Bde., London 1873, schildert 
mehr die mathematische Durchführung des Gesetzes der Anziehung in Hinsicht 
auf die Bestimmung der Gestalt der Erde und die Theorie des Potentials. Eine 
gute Übersicht über die vor-newtonsche Zeit gibt auch Isenkrahe, Das Rätsel 
der Schwerkraft, Leipzig 1879. 

2) Über die Frage nach der Gravitation als unvermittelten Fern- oder durch 
das Zwischenmedium bedingten Nahkraft vgl. den Anhang (Fr. Kottler). 

6* 


84 VI2,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


der Präzession und Nutation, Gebiete, die seitdem alle als zur theore- 
tischen Astronomie gehörig betrachtet werden. 


2. Das Newtonsche Gesetz und der Raum. Der hohe Grad der 
Genauigkeit, der durch die Anwendung dieses Gesetzes auf die er- 
wähnten Probleme erzielt wurde, führte mehrfach zu der Ansicht, als 
ob es schon in unserer Raumanschauung begründet und daher ein 
aprioristisches Erkenntnisresultat?) sei. Sowie die Intensität des Lichtes 
oder des Schalles im quadratischen Gesetze mit der Entfernung vom 
Lieht- oder Schallerreger abnimmt, so besteht auch das gleiche Ver- 
hältnis für die Anziehungsäußerung eines Massenteilchens dadurch, 
daß sie sich auf immer größeren Kugelflächen ausbreitet. In diesem 
Sinne setzt Killing‘) den analytischen Ausdruck für ‚das Anziehungs- 
gesetz bei der Übertragung auf den sphärisch-elliptischen Raum mit 
dem Krümmungsradius R in der Form 
(2) ds iu Bis 


PR EN | 
R’ ein’, 


fest, entsprechend dem Satze, daß in einem solchen Raume die Ober- 


fläche einer Kugel vom Radius r durch 4r R? sin? ,, bestimmt ist. 
Ihm kommt das Potential 

»2, g 
(2a) P= "nt cg,, 


zu. In gleicher Art wird das für einen Raum von » Dimensionen?) 
erweiterte Newtionsche Gesetz zu 


2, - 
TR ER 
r 
1 1 sin“ 1 R 


angenommen. Für das entsprechende Potential P ergeben sich dabei 
zwei verschiedene Ausdrücke, je nachdem n eine gerade oder ungerade 
Zahl ist. Für ein ungerades » wird 


3) I. Kant, Prolegomena zu jeder künftigen Metaphysik: Der Hauptfrage 
2. Teil, $ 38. 

4) W. Killing, Die Mechanik in nicht-euklidischen Raumformen, J. f. Math. 
98 (1885), p. 1—48. Ferner H. Liebmann, Nicht-euklidische Geometrie, Samml. 
Schubert, Leipzig .1912, p. 207; sowie: Die Kegelschnitte und die Planeten- 
bewegung im nicht-euklidischen Raume, Leipz. Ber. 54 (1902), p. 393. Über die 
Zweideutigkeit des Potentials im elliptischen gegenüber dem im sphärischen 
Raume s. F. Klein, Die nicht-euklidische Geometrie, Vorl. Göttingen 1893, IIB, 
p: 206. 

5) E. Schering, Die Schwerkraft im Gaußschen Raume, Gött. Nachr. 1870, 
und Die Schwerkraft in mehrfach ausgedehnten Gaußschen und Riemannschen 
Räumen, ebenda 1873 = Ges. Werke 1, p. 155 u. 177. 


2. Das Newtonsche Gesetz und der Raum. 85 


sin - sin? sin® - 


R R R 
eine aus im: Gliedern bestehende Reihe, in der «, ß,y reine Zahlen- 


Are Be f en Se 


koeffizienten sind; für ein geradzahliges n» dagegen enthält die Reihe 


ER 


n . . . 
nur —, Glieder, zu denen noch ein log hinzukommt: 


P = log etg SE + cos 2 (58 I ie du Y 
ae R 
Hieraus entspringt ein ungleichmäßiges Verhalten der Größe P in 
diesen beiden Fällen für r = m. 

Andererseits ist jedoch das Newtonsche Gesetz eine natürliche 
Konsequenz der folgenden zwei Forderungen®): 

1. die Feldstärke der Gravitation F’ ist wirbellos, und in den 
Raumgebieten, in denen keine Massen vorhanden sind, quellenfrei 
verteilt, d.h. es gilt die Gleichung 
(3) rot F = 0; 

2. wo aber Massen vorhanden sind, ist die Divergenz der Feld- 
stärke in einem bestimmten Punkte des Raumes proportional der dort 
befindlichen Massendichte oe mit dem Proportionalitätsfaktor 4rck?, 
d.h. es gilt die zweite Gleichung 


(3a) dvf= — 4zK?e. 
Beide führen unter Einführung des Potentials P, auf die Laplace- 
Poissonsche Gleichung 


0°P, 0?2P. 0°P. 
(4) F=gradP, %P,= Fr nn dyr P rn —= — 4rk?o. 


Hierbei ist unter der Feldstärke F die auf die Masseneinheit bezogene 
Anziehungskraft verstanden, aus der die zwischen den beiden Massen 
m, und m; wirkende Anziehung durch Multiplikation mit der ange- 
zogenen Masse folgt, etwa K—= m,F. Die einzige Lösung der Glei- 
chung (4) ist, wenn man die Bedingung vorschreibt, daß die Funk- 
tion P im Unendlichen den Grenzwert Null habe, und, da es sich 
nur um Massenanziehung handelt, daher Flächendichten und Doppel- 
schichten ausgeschlossen sind, 


(4a) P:= kim, Sch, 


wo in dem Integrale die akzentuierten Buchstaben solche Stellen des 
Raumes bezeichnen, die von den das Potential P erzeugenden Massen 
besetzt sind. 


6) J. Zenneck, Encykl. V 2, 34. 


86 VIs2,22. 5. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Hiermit im Zusammenhange steht die Frage nach der Ausdeh- 
nung der Gültigkeit des Newtonschen Gesetzes auf den unendlichen 
Raum, wenn er unendlich viel Masse enthält. C. Neumann‘) und 
unabhängig von ihm H.v. Seeliger?) haben zuerst auf die hier auf- 
tretenden Schwierigkeiten aufmerksam gemacht und nachgewiesen, 
daß unter diesen Voraussetzungen sich für das Gesamtpotential die 
gesamte Kraft sowie die Zerrung, darunter der Unterschied der Kräfte 
in zwei unendlich nahen Punkten verstanden, unendliche oder voll- 
ständig unbestimmbare Werte ergeben. Im elliptischen Raume ver- 
schwinden diese Unbestimmtheiten®), und zwar sowohl, wenn man das 


i ä : — k’m,m a 
Newtonsche Gesetz in seiner reinen Form Zn als auch in der 


af . . 
Form — k?m,m, etg — der Rechnung zugrunde legt. Will man sie 


auch im Euklidsehen Raume zum Verschwinden bringen, so muß man 
die Form des Gesetzes ändern.!%) Derartige neue Modifikationen sind: 
der schon von Laplace‘!) herrührende Vorschlag 


+ Mine" 
(ö) KR 
ferner der Neumannsche '?) 

k?m, m, e” *" 

(5 a) P= Eh a 5 


anzunehmen, während das von @. Green"?), dann von A. Hall“) unter- 
suchte Gesetz 

2 4 
(5b) Pe 


„ir 47 


worin 4 eine kleine Zahl bedeutet, die Schwierigkeiten nicht behebt. 
7) C. Neumann, Leipz. Ber. 26 (1874), p. 97. 

8) H. Seeliger, Über das Newtonsche Gravitationsgesetz, Astr. Nachr. 137 
(1895), p. 129—136 und Münch. Ber. 26 (1896), p. 373—400. — Kontroverse zwi- 
schen H. Seeliger und J. Wilsing, hierüber Astr. Nachr. 137 u. 138 (1895). 

9) J. Lense, Das Newtonsche Gesetz in nicht-euklidischen Räumen, Wien. 
Ber. 126 (1917), p. 1037—1063. 

10) Die Einführung von negativen Massen, welche zur Behebung dieser 
Schwierigkeiten A. Föppl, Münch. Ber. 27 (1897), p. 93—99, vorschlägt, dürfte 
wohl in der Astronomie keinen Anklang finden. Vgl. auch C. V. Oharlier, Wie 
eine unendliche Welt aufgebaut sein kann, Lund. Obs. Medd. 22 (1908), Nr. 38. 

11) Laplace, Mee. eel., t. V, livre XVI, ch. 4. 

12) C. Neumann, Allgemeine Untersuchungen über das Newtonsche Prinzip 
der Fernewirkung, Leipzig 1896. 

13) @. Green, Mathematical investigations concerning the laws of the equi- 
librium of fluids, analogous to the electric fluid, Cambr. Phil. Trans. 1883 — 
Math. Papers, London 1871, p. 123. 

14) A. Hall, A suggestion in the theory of Mercury, Astr. J. 14 (1894). 


3. Bestimmung der Gravitationskonstanten % in astronomischen Einheiten. 97 


Aber jede derartige formale Änderung des Newtonschen Gesetzes 
bringt den Nachteil mit sich, daß nun nicht mehr der Kraftfluß, der 
durch eine geschlossene Fläche nach außen strömt, nur den inner- 
halb dieser Fläche vorhandenen Massen seinen Ursprung verdankt, 


denn es wird R a7— [4,Par 2 —4zK (gar, 


so daß es den Anschein hat, als ob der Raum selbst entweder als 
ein die Anziehung absorbierender oder sie verstärkender Faktor 
auftrete. 

3. Bestimmung der Gravitationskonstanten / in astronomischen 
Einheiten. Die in der Astronomie bei der Untersuchung der Be- 
wegung der Planeten gebräuchlichen Einheiten der Zeit, der Ent- 
fernung und der Masse sind: der mittlere Sonnentag”), die mittlere 
Entfernung der Erde von der Sonne, d.h. die halbe große Achse der 
von der Erde um die Sonne beschriebenen Ellipse, und die Masse 
der Sonne. Unter Einführung dieser Einheiten hat zuerst Gauß '®) 
eine Berechnung der Konstanten k in dem analytischen Ausdrucke 
für das Newtonsche Gesetz vorgenommen. Bezeichnet man mit E die 
Masse der Erde, $ die der Sonne (daher S= 1), T ihre Umlaufszeit 
um die Sonne, und a die halbe große Bahnachse, so ist nach dem 
dritten Keplerschen Gesetz N 
i 2a” 

(6) PS gysrn 
und daraus folgt mit den von Gauß angenommenen Werten 
a], 
T = 365,2563835 mittlere Sonnentage, 
E= 1:354710, 
k = 0,01720209895 - - - = 3548,18761- - ", 
lg k = 8,2355814414 - - - = 3,55000665746 - - -. 


Aber schon Leverrier in seinen umfassenden Rechnungen über die Be- 
wegung der großen Planeten und Hansen in seiner Mondtheorie 
konnten über T und E bessere Annahmen machen. Da diese den 
Wert von % einigermaßen ändern, eine solche Änderung jedoch manche 
Unzukömmlichkeit nach sich zöge, namentlich eine Umrechnung der 





15) Über die Definition des mittleren Sonnentages s. Encykl. VIa, 2 (F. Cohn), 
Nr. 2 und VI12,17 (J. Bauschinger), Nr. 13. 

16) ©. F. Gauß, Theoria motus corporum coelestium, Hamburg 1809 — Ges. 
Werke 9, Göttingen 1906, Liber primus, sectio prima, p. 14, und Encykl. VI, 17 
(J. Bauschinger), Nr. 4. 


88  VI2,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


von Gauß berechneten Tafeln erfordern würde, so hat schon Lerer- 
rier‘') sich entschlossen, sie als eine absolute Konstante gelten zu 
lassen und vielmehr die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne, a, 
den neuen Werten 7’ und E entsprechend zu ändern. Mit ihnen 


T = 365,2553574 mittlere Sonnentage, 
E= 1:330000, 
k = 0,01720209895 ..., 
folgt a = 1,000000127..., loga = 0,000000099..... 

Infolge dieser Festsetzung ist nicht mehr die mittlere Entfernung 
der Erde von der Sonne die Einheit der Distanz, sondern diese er- 
scheint durch die Gaußsche Anziehungskonstante festgelegt als jene, in 
welcher ein Massenpunkt von der Masse 1: 354710 in 365,2563835 .. 
mittleren Sonntagen einen vollen Umlauf um die Sonne ($=1) be- 
schreiben oder auch, wenn man in der G1.(6) E—= 0 und 7 ändert), als 
jene mittlere Entfernung, in welcher ein Punkt von der Masse =() in 


T=" — 365,256898400519... mittleren Sonnentagen 


in einer Kreisbahn um die Sonne geführt würde. 


4. Die Konstante /: in absoluten Maßeinheiten (C.-G.-S.-System). 
Um die Konstante k in dem Zentimeter-Gramm-Sekunden-System aus- 
zudrücken, ist sie mit der dritten Potenz der mittleren Entfernung a 
der Erde von der Sonne in cm zu multiplizieren und durch das Pro- 


dukt aus der Masse der Sonne, S, in g und dem Quadrat der Anzahl 


der Sekunden in einem mittleren Sonnentage (86400) zu dividieren. 
Die in diesen Maßeinheiten (em, g, sec) ausgedrückte Konstante, sie 
sei, um sie von der astronomisch gebräuchlichen zu unterscheiden, 


17) U. J. Leverrier, Paris. Observ. Ann. 1 (1855), p. 189. Vgl. hierzu noch 
W. Lehmann, Anfrage an die praktischen Astronomen wegen eines theoretischen 
Bedenkens die Beob. Saturns gegen die Zeit seiner Quadratur betreffend, Astr. 
Nachr. 55 (1861), p. 1 u. 65. Leverrier, Erwiderung darauf: Monthl. Not. 21. 
(1861), p. 193; ferner W’. Lehmann, Exakte Berechnung der Gaußschen Kon- 
stanten /;, Astr. Nachr. 56 (1862), p. 321 und $. Newcomb, Über Dr. Lehmanns 
Neubestimmung der Gaußschen Konstanten, ebenda 37 (1862), p. 66. Der von 
W. Lehmann berechnete Wert ist k = 0,01720712950 lg k = 8,2355807433. Vgl. 
auch .J. J. See, Note on the accuracy of the Gaussian constant of the solar system, 
Astr. Nachr. 166 (1904), p. 90. 

18) Z’h. Oppolzer, Lehrbuch der Bahnbestimmung der Planeten und Kometen 
1, Leipzig 1882, 2. Aufl., p. 49. Einfacher wäre es jedoch, von vornherein k=1 
anzusetzen und dementsprechend die Längeneinheit oder die Zeiteinheit zu ändern. 


3 
Im ersteren Falle wäre die neue Längeneinheit A = (5 - 15,0064876..., im 


zweiten die neue Zeiteinheit t = 58,13244087.. . mittlere Sonnentage. 


4. Die Konstante % in absoluten Maßeinheiten (C.-G.-S.-System). 89 


mit k, bezeichnet, stellt die Größe der Anziehung vor, die zwei Massen 
von je einem Gramm in einer Entfernung von einem Zentimeter auf- 
einander ausüben. i 
Für die erste zur Ausführung der Reduktion notwendige Größe, 

a — der mittleren Entfernung der Erde von der Sonne, hat man, 
wenn man die Horizontal-Äquatorial-Parallaxe der Sonne mit p, und 
den Äquatorhalbmesser der Erde mit R, bezeichnet, 

R, | R, 
sin Po BR, Po 
wegen der Kleinheit des Winkels zu nehmen. Die Reduktion setzt 
also die Kenntnis der Sonnenparallaxe voraus. Der gegenwärtig’) in 
der Astronomie für sie angenommene Wert ist 


20 — 8,800”, 
woraus für a, je nach dem für R, anzusetzenden Werte, folgt 
Bessl: R, = 637739715 cm, a == 1494,81 - 10° cm, 
Hayford: — 637838800 „, — 1495,04. 1010 „, 
Helmert: — 637820000 „, ='1494,99’107* 


Die zweite zur Durchführung der Reduktion notwendige Größe ist die 
Masse der Sonne, S, in g. Sie ist aus der Masse der Erde, E, in g 
und dem astronomisch zu bestimmenden Verhältnis E:S zu be- 


rechnen. Für dieses wird heute 

E:$= 1: 329390 
als der beste Wert anerkannt, während E aus der Beschleunigung 9 
abzuleiten ist, welche freifallende Körper auf der Erde durch sie er- 
fahren. Unter der Annahme, daß die Erde eine Kugel mit dem Ra- 
dius R ist, wäre 
(7) g=ME:R odr ME=gR. 
Zu der gleichen Formel gelangt man auch, wenn man die Erde als ein 
Ellipsoid (Sphäroid) ansieht, hierbei aber für R jenen Halbmesser 
nimmt, für den die in der Anziehung eines Ellipsoids auftretenden 
höheren Glieder, Kugelfunktionen zweiter Ordnung, verschwinden. 
Dies tritt ein für die geographische Breite , die durch 


1 
3 


sin’p — 

19) Seit der „Conference internationale des &toiles fondamentales de 1896 

& Paris.“ Vgl. Proces verbaux Paris 1896. Eine ausführliche Zusammenstellung 

aller maßgebenden Werte für po gibt S. Newcomb, Fundamental constants of 

astronomy Wash. 1893, p. 157 u. 166; eine historische Darstellung des Problems 

ihrer Bestimmung F. Cohn, Encykl. VI2,2, Nr. 9b und VI2,17 (J. Bauschinger), 
Nr.5 u. 25. 


90  NVIe2,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


bestimmt ist. Ferner muß für g die wahre Anziehungsbeschleunigung 
der Erde und nicht die um die Fliehkraft verminderte, sogenannte 
scheinbare Schwere substituiert werden. Bezeichnet man daher die Ab- 
plattung der Erde mit «, so daß 

(8) R=R,(1 — esin?’p) 

die Variation der scheinbaren Schwere G@ mit ß, so daß 

(9) G=6,(1 4 Bsin’g) 

und endlich mit A das Verhältnis der Fliehkraft zur Schwere, so ist 
(10) 9—6,(1 +2) + 6,(8 — 3) sin’y 

anzusetzen und nunmehr in Gl.(8) und (10) sin’p = + zu substi- 
tuieren. Es folgt mit Vernachlässigung der Quadrate und Produkte 


der kleinen Größen, «, $ und A und mit Rücksicht auf die aus dem 
Clairautschen Theorem fließende Relation « = 34 — ß 


(8) BE=gR'—= G,R(1+B— A) ®) = G,Bi(1 +38 —}o). 
Mit dem neuesten Helmertschen Wert?!) 
9 = 978,052 (1-+ 0,005285 sin? ), 


den drei oben angeführten Werten von R, und den entsprechenden 
Werten von « erhält man: 


Bessl: «= 1:299,15, log A? K — 20,60044, 


Hayford: —=1:296,96, — 20,60057, 
Helmert: = 1: 296,7, — 20,60055. 


Eine zuge Gleichung, durch die die beiden Unbekannten Ak, und E 
voneinander getrennt werden könnten, läßt sich nicht aufstellen. Es 
folgt daraus, daß die Reduktion der Konstanten k des Newtonschen 
Gesetzes von den astronomisch verwendeten Einheiten auf die physi- 
kalische des Dyn auf rein astronomischem Wege nicht durchführbar 
ist. Es bedarf hierzu physikalischer Beobachtungen. Man nennt sie 
Bestimmungen der mittleren Dichte der Erde. Ein ausführliches Re- 
ferat über sie enthält der Artikel Gravitation von Zenneck, Encykl. V 2. 
Darnach ist im Mittel aus den besten bisherigen Bestimmungen 


kt = 6,675 . 10-® Dyn, 


20) Diese Formel findet sich bis auf Glieder zweiter Ordnung der kleinen 
Größen ß und 4 entwickelt bei F. Helmert, Höhere Geodäsie 2, p. 460, ferner 
Encykl. VI ı, 7 (Helmert), Nr.3 und VI 2,17 (J. Bauschinger), Nr. 10. 

21) F. Helmert, Neue Formeln über den Verlauf der Schwerkraft im Meeres- 
niveau beim Festlande, Berl. Ber. 1915, p. 676. 


5. Masse der Planeten aus Mondelongationen. 91 


woraus für dieselbe Größe in astronomischen Einheiten: 
(Bessel) k = 0,017128, (Hayford) k = 0,017126, 
(Helmert) k = 0,017126 
folgt, welche Werte gegenüber dem durch rein astronomische Daten 
bestimmten k = 0,017202 


Fehler von 0,43 — 0,44%, bedingen. 


II. Genauigkeitsgrad des Newtonschen Gesetzes aus der 
Bestimmung der Massenfaktoren.??) 


5. Masse der Planeten aus Mondelongationen. Die erste Massen- 
bestimmung von Planeten gelang Newton??) bei jenen (Erde, Jupiter 
und Saturn), die bei ihrer Umlaufsbewegung um die Sonne von einem 
oder mehreren Monden begleitet sind. Sie erfolgte hier aus dem Ver- 
gleiche der Anziehungskraft, die die Sonne auf die Planeten ausübt, 
mit der zwischen ihnen und den Monden wirksamen. Bezeichnet 
man mit P, die Masse eines Planeten, ausgedrückt in der Einheit der 
Sonnenmasse, S=1, mit M, die eines seiner Monde, ausgedrückt 
wieder in der Einheit der Planetenmasse (speziell M die Masse des 
Erdmondes), seien ferner 7, und r, die Umlaufszeiten des Planeten 
um die Sonne und die der Monde um den Planeten, endlich D, und d, 
die mittleren Entfernungen Planet—Sonne sowie Mord—Planet, und 


22) Über die allgemeine Frage nach der Abhängigkeit der Anziehung von 
der Masse vgl. den Artikel von J. Zenneck, Encykl. V 2, Nr. 11—14, p. 37 ff. In 
ihm wird der Einwand von Vicaire, Paris C. R. 1874, p. 790—794, besprochen. 
Nach ihm soll die Anziehung K zwischen den zwei Massenteilchen m, und ın, 
als homogene Funktion von m, und m, in der Form Km,m, = mkf (>) gesetzt 

2 
werden und gilt daher, wenn man f in eine Taylorsche Reihe entwickelt, nur 
in erster Annäherung Km, m, = mt”!m, f’(0). Bessel wiederum (Untersuchungen 
des Teiles planetarischer Störungen, welche aus der Bewegung der Sonne ent- 
stehen, Berl. Abh. 1824 = Ges. Abh. 1, p. 84) stellt eine Reihe von Bedingungs- 
gleichungen auf, denen die Massenfaktoren im Anziehungsgesetz genügen müssen, 
um der Erfahrung und dem Prinzip der Gleichheit von Wirkung und Gegen- 
wirkung nicht zu widersprechen. Er beweist, daß man diesen Gleichungen auch 
noch durch andere Beziehungen zwischen m, und m, als gerade deren Produkt 
genügen kann. Nach der von Mach (Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Leipzig 
1888, II. Kap. $5: Kritik des Massenbegriffes) gegebenen Definition der Masse 
als Verhältnis zwischen Beschleunigung und Kraft sind jedoch beide Einwen- 
dungen belanglos. Über die Unterscheidung zwischen träger und gravitierender 
Masse, d.h. der Masse als Trägheits- und Anziehungskoeffizient, und der neuen 
Äquivalenzannahme Einsteins vgl. die Beilage von Kottler. 

23) Newton, Principia, lib. 3, prop. 8, coroll. 2. 


92  VlI2,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


R, der Äquatorhalbmesser des Planeten, so ist genähert nach dem 
dritten Keplerschen Gesetz, d. i. mit Vernachlässigung der Massen- 


korrektionen VS + P;, und YP,-+ M,, 
2 /D.3 
(11) 1: (#) (> 


[2 


Newton gelangt auf Grund dieser Näherungsformel zu den Werten 
Masse der Erde = 1: 193758, 
Masse des Jupiter = 1: 1067, 
Masse des Saturn = 1: 3021. 

Die strenge Formel für P, hat Bessel”*) aufgestellt. Sie berücksichtigt 


ebenso die Newtonsehe Massenkorrektion im Ausdrucke für das dritte 
Keplersche Gesetz, wie die ellipsoidische Gestalt des Planeten, und lautet: 


2 ,Dya3 1+M, 

a) te 
Für die Erde selbst deckt sich diese Methode der Massenbestimmung 
mit der Vergleiehung der Fallbeschleunigung schwerer Körper auf 
ihrer Oberfläche und der Beschleunigung, welche sie (besser der Schwer- 
punkt von Mond und Erde) durch die Sonne erleidet, das ist nichts 
anderes als Gl. (8a), wenn in ihr die RENATE TERM k2 durch 

a. ee 
a © ai) 
ersetzt wird. Damit wird, wenn noch «= R,:p. angenommen wird, 
mit Vernachlässigung von E gegen S—1 





. E G,T’( —ı 
e Fa ET 
Es zeigt sich, daß die Masse der Erde (be Erde allein) hauptsäch- 
lich von der Annahme über die Sonnenparallaxe p. abhängt, so daß 
diese Gleichung”®) mehr zur Bestimmung dieser Größe aus der ander- 
weitig abzuleitenden Erdmasse verwendet wird. Es fanden: 


U. J. Leverrier*): E —= 44,318: 10-1°p%,, po = 608’ 79 VE, 
(12) F. Tisserand”); = 44,171:10-%p,  —609"49 VE, 
8. Neweomb?*): — 44,162-10-%p&, = 609"51 VE 


© F. W. Bessel, Bestimmung der Masse des Jupiter, Astr. Unters. 2 (1842) 
—= Ges. Abh. 3, p. 348 und Encykl. VI, 17 (J. Bauschinger), Nr. 22. 

25) S. Newcomb, Fund. const., p. 123 und Enceykl. VI 2, 2 (F. Cohn), Nr. 9b 
und VI2,17 (J. Bauschinger), Nr. 15. 

26) Paris C. R. 75 (1872), p. 165. 

27) F. Tisserand, Resume des tentatives faites jusqu’iei pour determiner la. 
parallaxe du soleil, Paris. Obs. M&m. 16 (1882). 

28) S. Newcomb, Fund. const., p. 100 u. 194. 


6. Masse der Planeten aus Störungen von Planeten. 93 


und daraus mit 25 — 8,800” und Berücksichtigung der Masse des 


Monde zu M= sr 

1: E= 327100, = 328190, = 328250 
gegenüber dem von der internationalen Konferenz in Paris 1896 ak- 
zeptierten Wert 1:329390.”) Der große Unterschied des Newton- 
schen Resultates (1:193758) rührt davon her, daß Newton bei seiner 
Rechnung den Parallaxenwert po = 10,5” benutzt. 

Um ein zutreffendes Bild über die bei diesen Berechnungen er- 
zielte Genauigkeit zu erlangen, seien im folgenden neben den von der 
internationalen Konferenz in Paris 1896 angenommenen Werten für 
die Massen .der Planeten, die als Mittelwerte aller vorher durch- 
geführten Bestimmungen angesehen werden können, einige neueren 
Datums angeführt. 

Jupiter 1: 1047,3855 Paris. Conf. internat. 1896. 

1: 1047,30 Cookson, Cape Obs. Ann. (12) 2 (1902). 
: 3501,6 Paris. Conf. intern. 1896. 
: 3493,3 H. Struve, Pulk. Obs. 11 (1898). 
: 3492,1 H. Struve, Astr. Nachr. 162 (1903). 
: 22869 Paris. Conf. intern. 1896. 


Saturn 1 
1 
1 
1 
1: 23383 O. Bergstrand, Upsala Nova acta 3 (1904). 
1 
2 
1 
1 


Uranus 


19700 Paris. Conf. intern. 1896. 
: 18445 J. J. See, Astr. Nachr. 153 (1900). 
:3093500 Paris. Conf. intern. 1896 = A. Hall, Wash. Obs. 1878. 
:3090153 ZH. Struve, St. Petersb. M&m. 8 (1899). 


Neptun 


Mars 


6. Masse der Planeten aus Störungen von Planeten. Schwie- 
riger gestaltet sich das Problem der Massenbestimmung der Planeten 
aus ihren gegenseitigen sowie aus den Störungen, die sie auf die 
kleinen Planeten ausüben. Der Weg für diese Berechnung besteht 
darin, mit genäherten Massenwerten die Störungen zu rechnen und 
sodann die gestörten Koordinaten mit den aus den tatsächlichen Be- 
obachtungen am Himmel sich ergebenden Positionen der Planeten zu 
vergleichen. Die auftretenden Dane (Beob.-Rechnung) dienen zur 
Verbesserung der approximativ angenommenen Massenwerte. 

Angewendet wurde diese Methode zunächst bei den oberen Pla- 
neten, von Jupiter an, aus ihren gegenseitigen: Störungen, dann zur 
speziellen Ableitung der Masse des Jupiter aus den von ihm auf die 
kleinen  \suielön ausgeübten Störungen. Hierher ist auch zu zählen 


29) Hier bedeutet in Gl. 12 E die Masse der Erde allein; will man die des 
Mondes einschließen, so ändert sich bei der Annahme Z= 81,53 M die Kon- 
stante in 60633, 60700, 607”04 gegenüber dem von Bauschinger (a. a. O- 
Nr. 15) errechneten Wert 607”02. 


94  \VI2,22. 8. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


die Berechnung der Masse von Erde und Mond aus den Störungen 
des Planeten Eros.?®) Endlich sind noch zu erwähnen die berühmten, 
von Leverrier®") aufgestellten kritischen Gleichungen, die die Massen 
der vier inneren Planeten, Merkur, Venus, Erde und Mars einerseits 
und außerdem die säkularen Störungen ihrer Bahnelemente, Knoten- 
länge und Bahnneigung, Perihellänge und Exzentrizität als Unbekannte 
enthalten. Es zeigte sich das eigentümliche Resultat, daß man ihnen 
nicht vollständig genügen kann, ohne daß Fehler übrigbleiben, die auf 
verschiedene Anomalien in den Bewegungen dieser Planeten hinweisen. 
Nach D. J. Leverrier befaßten sich F. Tisserand ?'), J. Bauschinger?), 
W. Harkness®®), 8. Newcomb*), P. Harzer?®), A. Hall?) mit ihnen, 
doch stets mit dem gleichen negativen Erfolg. 

Bestimmungen der Jupitermasse aus den Störungen der kleinen 
Planeten sind, abgesehen von einigen älteren Rechnungen, von Nicolai 
(1823, Planet Juno) und Encke (1826, Planet Vesta) nur zwei der 
neueren Zeit angehörige erwähnenswert, Planet Themis durch F. Krue- 
ger°”) und Polyhymnia durch 8. Newcomb.*?) 

Einzelne numerische Angaben sind: 


Jupiter 1:1047,54 F. Krueger (Planet Themis, 1872). 

1: 1047,34 SS. Newcomb (Planet Polyhymnia, 1894). 

1:1047,388  F.@. Hill (Planet Saturn, 1895). 
Saturn 1: 3529,6 Leverrier (Planet Jupiter, 1876). 
Uranus 1: 22000 S. Newcomb (Planet Neptun, 1895). 
Neptun 1: 19700 S. Newcomb (Planet Uranus, 1893). 
Mars 1: 2994710 Leverrier (Planet Erde, 1858). 

1: 2812526 Leverrier (Planet Jupiter, 1876). 


30) @. Witt, Über die Notwendigkeit einer Verbesserung der Masse des 
Systems Erde—Mond, Astr. Ges. Vjs. 43 (1908), p. 295. 

31) Leverrier, Theorie et tables du mouvement de Mercure, Paris. Obs. Ann. 
5 (1850) und de Venus, ebenda 6 (1861). 

32) J. Bauschinger, Untersuch. über die Bewegung des Planeten Merkur, 
München 1884, sowie Schlußdarstellung in Encykl. VI, 17, Nr. 23. 

33) W. Harkness, On the solar parallax and its related constants, Wash. 
Obs. App. 3 (1885). 

34) S. Newcomb, Discussion and results of observations of transits of Mer- 
cury, Wash. Astr. pap. 1 (1882), und The Fund. const., Wash. 1896. 

35) P. Harzer, Die sükularen' Veränderungen der Bahnen der großen Pla- 
neten, Preisschrift. Jabl.-Ges., Leipzig 1895. 

36) A. Hall, Note on the Masses of Mercury, Venus and Earth, Astr. J. 24 
(1905), p. 164. 

37) F. Krueger, Untersuchungen über die Bahn des Planeten Themis, Hel- 
singfors. Finn. Soc. Abh. 1873. 

38) S. Newcomb, On the elements of (33) Polyhymnia and the mass of 
Jupiter, Astr. Nachr. 136 (1894), p. 130. 


7. Masse der Planeten aus Kometenstörungen. 95 


:325700  F. Tisserand (Neureduktion der Leverrierschen 


Erde + Mond 1 
Gleichung, 1881). 
1:327920 G. Witt (Planet Eros, 1908). 
Venus 1:400246 Leverrier (Planet Erde, 1858). 
1:412550 Leverrier (Planet Mars, 1861). 
1:425500 F.Tisserand (aus der Variation der Schiefe der 
Ekliptik, 1881). 
1:408000 Paris. Conf. intern. 1896, 
Merkur 1:5310000 Leverrier (Planet Venus, 1861). 
1:4316547 Leverrier (Planet Mars, 1861). 
1: 7100000| F. Tisserand, Zwei Grenzwerte aus den Lever- 
1: E00] rierschen Gleichungen, 1881. 


1:6000000 Paris. Conf. intern. 1896. 


Was schließlich die Gruppe der kleinen Planeten anlangt, so ist 
klar, daß wegen der Kleinheit ihrer Einzelmassen und wohl auch ihrer 
Gesamtmasse deren direkte Bestimmung aus irgendwelchen Störungen 
auf andere Planeten oder aus ihren gegenseitigen Störungen fast ganz 
ausgeschlossen ist. Einen Versuch in dieser Richtung bedeuten die 
Rechnungen Harzers°®), welcher in die Leverrierschen Gleichungen 
unter Einführung der neuen Reduktionswerte von Newcomb noch die 
Gesamtmasse der kleinen Planeten (sowie eine eventuelle Abplattung 
der Sonne) als neue Unbekannte einbezieht und durch deren Auflösung 


1: 2070000 
findet. Zu einem wesentlich anderen Resultate, nämlich 


1: 296000000, 


gelangt J. Bauschinger‘’) auf Grund eines rein statistischen Verfah- 
rens, in dem er unter der Annahme, daß die Albedo der kleinen Pla- 
neten gleich ist dem arithmetischen Mittel der von Mars und Merkur, 
deren mittlere Radien, sodann deren Gesamtvolumen (= 1:900 der 
Erde) und endlich, deren Dichte gleich der der Erde voraussetzend, 
die Gesamtmasse berechnet. 


7. Masse der Planeten aus Kometenstörungen. Hier kommen 
nur Jupiter und Merkur in Betracht, der erstere wegen seiner großen 
Masse, durch die er auf die periodischen Kometen von der Umlaufs- 
zeit von 5—7 Jahren einwirkt, deren Apheldistanz zwischen 5—6 astro- 


1: 37130000 findet @. Ravene, Über die Masse der Asteroiden, Astr. Nachr. 140 
(1896), p. 355. Doch vgl. hierzu die Bemerkungen von P. Harzer, Astr. Nachr. 
141 (1896), p. 39, sowie A.v. Brunn, Über die Masse des Planetoidenringes, 
Danzig Naturf. Gesellsch. 12 (1910). 

40) J. Bauschinger, Tabellen zur Geschichte und Statistik der kleinen Pla- 
neten, Berl. Rechen Inst. Veröff. 16 (1901). 


96  VIe»,22. 8. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


nomische Einheiten gerade in seine Wirkungssphäre fällt, und der 
zweite nur in betreff des Fnckeschen Kometen. 

Die Jupitermasse wurde berechnet von Axel Möller‘') aus den 
Störungen des Fayeschen Kometen (7 = 7,44 Jahre, a(1-+ e) = 5,93) 
und von E.v. Härdtl*) aus denen des Winnekeschen Kometen 
(T = 5,62 Jahre, a(l + e) = 5,55) und gab die zwei Werte 


1 :1047,788 + 0,185 bzw. 1: 1047,175 + 0,014. 


Die Versuche, aus den Störungen des Enckeschen Kometen die 
Masse des Merkurs zu finden, führten zu keinem genauen Ergebnis. 
Encke‘?) gelangt aus seinen, die Beobachtungen des Kometen von 
1518—1548 umfassenden Rechnungen zu den stark divergierenden 


Werten: 1:3200448 und 1:10252900 


mit 1:4878172 als dem wahrscheinlichsten Mittelwert, E. v. Asten“) 
wieder aus den Erscheinungen (1818—1875) während der in den 
Zeiten 1835 August, 1848 November und 1858 Oktober bemerkens- 
werte Annäherungen an Merkur stattfanden, zu dem mittleren Werte: 


1: 7636400, 
endlich O. Backlund *) zu dem abermals stark davon abweichenden 
Wert 1: 2668 700. 


Eine Neureduktion aller Beobachtungen des Kometen und eine Neu- 
berechnung der Störungen®®) führte zu 


1:9647000 aus den Erscheinungen 1819—1858, 
LS /0MmR  ı ,. x 1878—1891. 


wobei die Störungen in der mittleren Anomalie 


41) A. Möller, Bericht über die Resultate einer neuen Berechnung der 
Elemente des F'ayeschen Kometen, Astr. Ges. Vjs. 7 (1872), p. 85. 

42) E.von Hürdti, Die Bahn des periodischen Kometen von Winneke in 
den Jahren 1858—1886 nebst einer neuen Bestimmung der Jupitermasse, Wien. 
Denkschr. 55 (1888), p. 215 und 56 (1889), p. 150. 

43) J. F. Encke, Über den Kometen von Pons, Berl. Abh. 1842—1857 — Ges. 
Werke 1, p. 23—52. 

44) E.v. Asten, Untersuchungen über die Theorie des Einckeschen Kometen, 
I. Teil: St. P6tersb. M&m. 19 (1871); II. Teil: Resultate aus den Erscheinungen 
1819—1875, ebenda 26 (1878). 

45) O. Backlund, Untersuchungen über die Bewegung des Kometen Eincke 
(1865— 1881), drei Abh. in St. Peterb. Mem. 1881—1886. 

46) O. Backlund, Rechnungen und Untersuchungen über den Enckeschen 
Kometen, fünf Abh. St. Petersb. 1892—1894; ferner der zusammenfassende Be- 
richt, Sur la masse de la plante Mercure et sur l’acc&leration du mouvement 
moyen de la comöte d’Encke, Par. Bull. astr. 11 (1894), p. 473. 


7. Masse der Planeten aus Kometenstörungen. 97 


zwischen 1819—1842 den Betrag von + 3°46”, 
„...1842—1858 „ “ „.+349, 
„.. 1878-181 , ; „+ 059” 


erreichen, so daß die Genauigkeit der Berechnung der Merkurmasse 
aus den älteren Erscheinungen trotz der schlechteren Beobachtungen 
die aus den neueren überwiegt. Backlund weist darauf hin, daß je 
nach dem Aussehen des Kometen in verschiedenen Abständen von der 
Sonne und je nach der verschiedenen Stärke der benutzten optischen 
Instrumente systematische Unterschiede zwischen den Beobachtungen 
entstehen, die es erklärlich machen, daß es bisher noch nicht gelungen 
ist, sämtliche selbst in einer Erscheinung beobachteten Positionen des 
Kometen in befriedigender Weise darzustellen. 

E.v. Härdtl“*) hat die Masse des Merkur aus den Störungen des 
Winnekeschen Kometen in den Erscheinungen 1858, 1869, 1875 und 
1886 gleichzeitig mit der Jupitermasse berechnet und zu 


1:5012842 + 687873 


gefunden. Er geht dabei von dem Näherungswerte 1:5205000 aus 
und leitet deren Korrektion zu + 0,0383331 + 0,1679300 ab, die 
zeigt, daß ihr wahrscheinlicher Fehler größer ist als die Korrektion 
selbst, so daß ihm die erhaltene Zahl von sehr problematischem Wert 
erscheint. Dagegen hält er an dem abgerundeten Wert 1: 5000000 
fest, indem er nachweist, daß weder die größte von v. Asien gefundene 
Zahl 1:2400000, noch dessen kleinste 1:11760000, selbst wenn 
man größere Korrektionen der Massen von Erde, Venus, Mars und 
Jupiter zuläßt und in den Störungsrechnungen etwaige Unsicherheiten 
nicht ausschließt, zu befriedigenden Darstellungen der Beobachtungen 
des Kometen führen. Es ist dieses Ergebnis für ihn Veranlassung, die 
Rechnungen von v. Asten und Backlund zu revidieren. Und da zeigt 
sich ihm das Resultat, daß, wenn man in deren Rechnungen, die als 
Unbekannte die folgenden Größen enthalten: 4M, Korrektion der 
mittleren Anomalie des Kometen, .IJu die der mittleren Bewegung, 
Au die der angenommenen Beschleunigung, und Am,, Am, und Im, 
die Massenkorrektionen von Jupiter, Erde und Merkur, — bloß die 
Größen /u und Am, (Merkur) beibehält, man zu 


1: 5648600 + 2000 


gelangt und daß, wenn man das gleiche Verfahren mit den Backlund- 
schen Gleichungen ausführt, zu dem neuen hiermit in überraschender 
Übereinstimmung stehenden Werte 

1: 5669700 + 60000 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI2,B. 


-ı 


98  VIs,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes, 


kommt. Es unterliegt daher fast keinem Zweifel, daß die Schwierig- 
keit in der Bestimmung der Merkurmasse aus den Störungen des 
Enckeschen Kometen einzig in der gleichzeitigen Berechnung der un- 
bekannten und, wie man heute weiß, keineswegs konstanten, sondern 
diskontinuierlich - veränderlichen Akzeleration seiner mittleren Be- 
wegung liegt. Diese Schwierigkeit, d. i. die Tatsache, daß die Kometen 
in ihrer Bewegung sekundären Kraftwirkungen ausgesetzt sind, macht 
die Massenbestimmung aus ihren Störungen überhaupt fraglich. 


8. Masse des Erdmondes. a) Ebbe und Fluterscheinungen: Die 
erste Massenbestimmung des Erdmondes führte Newton*') durch. Aus 
der störenden Kraft, die die Sonne auf die Bewegung des Mondes 


ausübt, und die er in der Form e in Einheiten der Schwerkraft aus- 
gedrückt ansetzt, berechnet er zunächst durch Division durch 60°, 
entsprechend der Annahme, daß die Distanz des Mondes von der Erde 
60 Erdhalbmesser zählt, die störende Kraft der Sonne auf einen Punkt 
der Erdoberfläche und identifiziert sie mit ihrer „fluterzeugenden“ 
Kraft, Ko, für die damit folgt 


T’g 
Ko— ron 


Die Höhe der Sonnenflut, ho, findet er sodann aus der Überlegung, 
daß die Kraft X. die Höhe der Flut in dem gleichen Maße erzeuge, 
wie die Fliehkraft die Ausbauchung der Erde am Äquator oder deren 
Abplattung an den Polen bewirke. Bezeichnet daher, wie schon oben, 
ı das Verhältnis der Fliehkraft zur Schwere, « die Abplattung der 
Erde, so wird 1... ,@R 

©. 1, A 
oder, wenn man nach dem dritten Keplerschen Gesetz die Umlauts- 
zeiten r (des Mondes um die Erde) und 7’ (der Erde um die Sonne) 


durch sul, Aura} 2. 4ta® 
a nn, 
eg Bird!  1.Hı@BR 

u) NEBEN eo oe 


und der letzte Ausdruck ist, abgesehen von dem Zahlenfaktor ren der 


ohnehin nur wenig von 1 verschieden ist, mit dem aus der Gleich- 
gewichtstheorie*®) folgenden identisch. 

Die fluterzeugende Kraft des Mondes, X«, leitet er aus dem Ver- 
hältnis der Hochflut zur Nippflut ab, für die er aus Beobachtungen 





47) Newton, Prineipia, lib. 1, prop. 66 corr. 19 und lib. 8, prop. 24, 34 und 37. 
48) @. H. Darwin und $. S. Hough, Bewegung der Hydrosphäre, Encykl. 
VIı, 6, Nr. 3. 


8. Masse des Erdimondes; 99 


an der Mündung des Avonflusses unterhalb Bristol 2 annimmt, 


Ke+ Ko 9 
Kı— Ko a 


und nach Anbringung der Korrektionsfaktoren *”) 





% Kr — En, 08 87° 9 
6, c08 22°18°. KR. — K.co37° 5’ 
woraus K« = 4483 Ko 
und schließlich die Masse des Mondes folgt 
M = E: 39,8. 


Wenn man bloß die halbtägigen Gezeiten in Betracht zieht, so 
gibt die Gleichgewichtstheorie für die Höhe der Fluten 





durch die Sonne ho = a KT n2 03 do c08’p 0082 (d— ao), 
(13) 5 Kım 
durch den Mond hk =, 55 FH? cos’ ö. cos’p cos2 (d — a.). 


Diese Ausdrücke gelten für eine ganz flüssige Erde. Wird angenommen, 
daß die Erde aus einem festen Kerne von der Dichte o,, bestehe, den 
eine Wassermasse von der Dichte o, ganz bedecke, so kommt als 


49) Diese Korrektionsfaktoren sind: 1. an Stelle X, ist zu setzen K, cos 37°, 
entsprechend der Anschauung, daß die Hoch- und Nippfluten nicht sofort ein- 
treten, wenn Mond und Sonne in Opposition oder Konjunktion zueinander stehen, 
sondern erst dann, wenn sie beiläufig um 18,5° voneinander entfernt stehen. 
Wie Sommer und Winter ihre größte Macht nicht direkt in den Solstitien, son- 
dern erst dann äußern, wenn die Sonne um etwa ein Zehntel des Kreises von 
ihnen entfernt ist, ebenso findet die größte Flut des Meeres nach dem Durch- 
gang des Mondes durch den Meridian des Ortes statt, wenn Mond und Sonne 
um ein Zehntel des ganzen Zwischenraumes zweier aufeinanderfolgenden Fluten 
voneinander entfernt stehen. Dieser Abstand beträgt 18,5°, und im NE 
des Kosinus dieses doppelten Abstandes, cos 37°, ist die Kraft der Sonne, K„, 
verkleinern. 2. Ebenso ist im Nenner statt K, zu setzen K. cos 22013’, Si in 
den Quadraturen die mittlere Deklination des Mondes 22°13’ beträgt. 3. End- 
lich ist noch auf die Variation der Monddistanz von der Erde, d, Rücksicht zu 
nehmen. Ist e die Exzentrizität der Mondbahn, so ist zu Kr als Faktor hin- 


zuzufügen: 
. im Zähler: 6 — ey V(1— e? cos? zo) zu (j, 
” e? AT up a ee 3 
im Nenner: K _ .) V(1— e? sin? 16) | =6, 
2 EINS E 
wobei 1 —-7 aus Y(1—e?): —( +y1i-.e:) enstanden ist. Doch bestimmt 


Newton die Exzentrizität e aus der Annahme yı -d-n und somit genähert 
e—1:886. 


100 V12,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


ein die Fluthöhen vergrößender Faktor 
30 
| rR=1:1— 
hinzu. Berücksichtigt man auch noch die Tiefe des Meeres h, so tritt 
nach der Laplaceschen Bewegungs- oder der Aöryschen Kanaltheorie 
als neuer Faktor n?R® 
2 = 1 ah u | ”) 


auf, indem n die scheinbare Winkelgeschwindigkeit von Sonne oder 
Mond um die Erde bedeutet und daher für beide Körper nicht den 


gleichen Wert hat. (Es ist genähert x = 30:29.) Durch diesen 
C 


Faktor werden die zwei Fluthöhen ho und h« in verschiedener Art 
beeinflußt, und man muß daher, wenn man aus dem Verhältnis der 
Springfluten Ao + h« zu den Nippfluten A« — ha die Größe hr: ho 
und daraus die Masse des Mondes rechnen will, dessen Wirkung aus 
den beiden A eliminieren.®') Laplace®®) erreicht dies durch Diskussion 
der Höhen h für verschiedene Deklinationen für Mond und Sonne 
und erhält so für die Mondmasse den Wert 
1:74,9. 

Nach seiner Methode fanden andere Rechner die noch immer weit 
voneinander abweichenden Werte 

1:63 bis 1:88. 


Auch die harmonische Analyse, die W. Thomson (Lord Kelvin) ®°) 1866 

zur Vorausberechnung der Fluthöhen in die Theorie einführte, brachte 

keine wesentliche Besserung. Auf ihrer Grundlage gelangt Ferrel 5*) 

zu den Grenzwerten 1:68—1:88 | 
, 


und endlich Harkness ®), der auch eine Zusammenstellung aller bisher 
gefundenen Zahlen gibt, zu 
RR 1: 78,653 + 1,374. 


50) Über die Ableitung aller dieser Formeln s. den Artikel von @. H. Dar- 
win und 8. Hough, Encykl. VI ı, 6, Nr. 5—11. 

51) Airy findet in „Tides and waves“, Encykl. Metrop. 1842, $ 455, daß, 
wenn man die Tiefe des Meeres zu 4 englischen Meilen annimmt, man die Masse 
des Mondes um ein Zehntel, bei 8 Meilen Tiefe um ein Sechstel zu groß fände. 

52) Laplace, Mec. cel., 5. livre 13, chap. 3, $ 10. 

53) Zur Literatur über die harmonische Analyse vgl. Fußnote 32 in dem 
Encykl.-Art. VI 1,6 (@. H. Darwin). 

54) W.Ferrel, On the Moons mass, deduced from a discussion of the tides 
of Boston harbor, U. S. Coast. Surv. Rep. 1870, App. 20 und Tidal Researches, 
ebenda 1874, dann 1878, App. 11 und 1882, App. 17. 

55) Vgl. Fußn. 33, p. 112. 


8, Masse des Erdmondes. 101 


Dazu bemerkt @. H. Darwin°®), daß die allgemeine Tendenz aller dieser 
Bestimmungen dahingehe, der Mondmasse einen zu großen Wert zu- 
zuschreiben. KoR, 

b) Mondmasse aus der Präzessions- und Nutationstheorie: Die 
theoretischen Werte für die Konstanten der Präzession und Nutation 


% 57\. 
sind R p 3 K’S C—A (1+ 35€), 


Ol Er Vaar= udur E; 
3 KM C0—A 3 8: 
(14) P: kn a Far ds <yR Teht cosE (1 =. PY ei + 2. u‘) D 
3 KM C—A i 3 5b; 
N en: gs no 6088 608 Her; (1 Ba — 54), 


Ausdrücke, in denen neben den schon bekannten Zeichen (0, A die 
Hauptträgheitsmom der Erde, e die Exzentrizität der Erdbahn, 
e, die der Mondbahn, %,deren Neigung, Si. deren Knotenlänge, ® die 
Umlaufsgeschwindigkeit ondknotens und & die Schiefe der Eklip- 
tik bedeuten. Die Beobach en geben die Summe Pa + PR =!I, 


als die luni-solare Präzession in ®änge und N als Nutation in Schiefe. 
A 


Aus letzterer berechnet man zuerst gen unbekannten Faktor # I ; 
die sogenannte „mechanische Elliptizität der Erde, mit deren Kenntnis 
sich sodann die Summe 2 in ihre zwei ste P« und Pk zerlegen 


läßt, deren Division endlich zur Bestimmung von = führt. Oppolzer 


findet aus dem Besselschen Wert der allgemeinen Präzession | = 
5023,572”, dem Nyrenschen für die Nutation N = 9,2365” und der 
Leverrierschen Erdmasse E = 1: 330000 

C—A 

— 5, =1:30663, M:E=1:801. 
Aus den Newcombschen?®) Werten ! = 5036,84”, N = 9,210” und 
E = 1:528016 dagegen folgt 

©“ —1:305,52, M:E—1:81,58 + 0,20. 

e) Mondmasse aus Ungleichheiten der Sonnenbewegung: Die Erde 
ist in ihrem Umlaufe um die Sonne einer kleinen Störung ausgesetzt, 
deren Ursache in der Tatsache liegt, daß nicht ihr Mittelpunkt, son- 
dern der Schwerpunkt des Systems Mond-Erde die Bahn um die 


56) Encykl. VI ı, 6, Nr. 36. 

57) Über die Abteilung dieser Formeln vgl. insbesondere Klein und Sommer- 
feld, Theorie des Kreisels, Abschn. VIII; Oppolzer, Lehrbuch der Bahnbestim- 
mung 1, 2. Aufl., $5; Tisserand, Mee. eel. 2, chap. 22—27; Bauschinger, Bahn- 
bestimmung, Abschn. V; sowie auch Encykl. VI, 17, Nr. 9. 

58) S. Newcomb, Fund. const., p. 133. 


102 VlIa»,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Sonne beschreibt. Diese ist, abgesehen von anderweitigen sekundären 
Wirkungen, eine Ellipse, deren lineare Dimension nur von dem Massen- 
verhältnis beider abhängt. Indem man die Koordinaten der Sonne oder 
der anderen Himmelskörper auf ein System bezieht, dessen Anfangs- 
punkt der Mittelpunkt der ruhend gedachten Erde ist, muß sich in 
ihnen eine periodisch verlaufende Ungleichheit zeigen, die der wech- 
selnden Stellung dieses Schwerpunktes der Sonne gegenüber entspricht. 
Zu ihrer Ermittelung sind am besten Sonnenbeobachtungen geeignet, 
die sich über viele synodische Mondumläufe erstrecken müssen. Le- 
verrier®) bestimmte ihre Amplitude zu 6,50” aus Sonnenbeobachtungen 
von Greenwich (1816—1850), Paris (1804—1845), Königsberg (1814 
bis 1830), Neweomb*®) zu 6,53” + 0,03" aus Beobachtungen in Green- 
wich (1851—1864) und Washington (1861—1865). Die große Ge- 
nauigkeit der modernen Meridian- und Heliometerbeobachtungen er- 
zielte es, daß man statt der Sonne auch Positionsbestimmungen der 
kleinen Planeten unter der Voraussetzung ihrer besonderen Erdnähe 
in gleicher Art zu diesem Zwecke verwenden konnte. Dies führten 
D. Gil®") durch unter Benutzung von Heliometerbeobachtungen der 
Planeten Iris, Vietoria und Sappho, ferner A. R. Hinks ®) aus photo- 
graphischen des Planeten Eros (1900—1901). 

Bezeichnen Lo und L. Länge von Sonne und Mond, fc dessen 
Breite, so ist der theoretische Wert dieser Störung in Länge (die 
Breitenstörung kommt, da sie die zu große Periode eines Umlaufes 
des Mondknotens besitzt, weniger in Betracht) 


M sinn, 
(15) Al: a c08 ß« sin (L« — Lo), 


wie man sieht, der unbekannten Größe M: E direkt proportional. °°) 


59) U. J. Leverrier, Theorie of tables du mouvement apparent du soleil, 
Paris. Obs. M&m. 4 (1858). 

60) S. Newcomb, Investigation of the distance of the sun, Wash. Obs. 
1865, App. I. 

61) D. Gill, A determination of the solar parallax and the mass of the 
moon from heliometer-observations of the minor planets, Iris, Vietoria and Sappho, 
2 vol. with cooperation of A. Auwers and W. L. Elkin, Cape Obs. Ann. 6 (1897) 
und 7 (1896); sowie Remarks on the best method of determining the position of 
the planets by observations, Lond. Month. Not. 54 (1894), p. 350. 

62) A. R. Hinks, The mass of the moon derived from the photographic ob- 
servations of Eros 1900—1901, Lond. Month. Not. 70 (1910), p. 63—75; ferner 
Conf. astrophotogr. eirculaires 1—12, Paris 1900—1907; besonders Circ. 8 und 
F. Cohn, Eneykl. VI, 5, Nr. 8 und VI, 3, 17 (J. Bauschinger), Nr. 8. 

63) Vorerst wurde diese Ungleichheit zur Bestimmung der Sonnenparallaxe 
verwendet, erst neuestens auch zur Massenbestimmung des Mondes. Vgl. Kurt 


9. Masse der Monde der anderen Planeten. 103 


Mit dem von S. Newcomb akzeptierten Werte 6,465” als Koeffizienten 
dieser Störung und der Sonnenparallaxe po = 8,800” sowie der des 
Mondes 9 = 57'2,52” folgt 
M:E= 1: 82,033, 
während Gill und Hinks finden: 
M:E= 1:81,702 + 0,141 bzw. 1:81,53 + 0,47. 

d) Mondmasse aus der parallaktischen Ungleichheit der Mond- 
bewegung: In der Bewegung des Mondes tritt ein Störungsglied auf, 
das von dem Unterschied der Sonnenanziehung auf den Voll- bzw. 
Neumond herrührt. Da es zumeist zur Bestimmung der Sonnenparallaxe 
verwertet wird, führt diese Ungleichheit die Bezeiehnung „parallak- 
tische“ Ungleichheit.°) Ihr Shemieligehan Wert ist 
E-M in pa 


(16) AL = — E+M : £ sin pe sin (L— Lo), 


wo F eine nach m = ” fortschreitende Potenzreihe bedeutet. Nach 
C 


Newcomb®) ist der Wert der Konstanten 
E-—-M ip, or_ 
E+M sin Pc 


und berücksichtigt man den Wert von F = 0,241010, so erhält man 
E—M 
ZI 0,9753, d.h. M:E=1:1799. 

Es ist klar, selbst abgesehen von sonstigen bei der Bestimmung des 

Koeffizienten dieser Störung auftretenden Schwierigkeiten, daß diese 

Ableitung der Mondmasse keineswegs in ihrer Genauigkeit an die 

beiden vorgenannten heranreicht. 


— 124,66”, 


9. Masse der Monde der anderen Planeten. Die Massen der 
Satelliten der anderen Planeten als der Erde werden aus den säku- 
laren Teilen ihrer gegenseitigen Störungen abgeleitet. Da sie im all- 
gemeinen, wenn man die Verhältniszahl der Masse des Erdmondes 
1:81 als das Normale ansieht, sehr viel kleiner sind als diese, so 
sind auch die Störungen recht klein und wachsen nur dadurch be- 
deutender an, daß zwischen ihren mittleren Bewegungen eigentüm- 
liche Kommensurabilitätsverhältnisse bestehen, deren aus ihnen ent- 


Laves, Der Koeff. der sogenannten lunaren Gleichung der Erdbewegung, Astr. 
Nachr. 132 (1893), p.177 und On the determination of the principal term of the 
nutation, Astr. Journ. 14 (1895), p. 33. 
64) Delaunay, Theorie du mouvement de la lune 2 (1867), p. 342; Hansen, 
Darlegung, Leipz. Abh. 6 (1862) und Encykl. V12,17 (J. Bauschinger), Nr. 17. 
65) S. Newcomb, Fund. const., p. 190 


104 VIs2,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


springenden Librationen gleichzeitig aber der analytischen Theorie 
vielfache Schwierigkeiten bereiten. 


Für den Planeten Jupiter ist die Theorie der vier ersten schon 
seit Galilei bekannten Monde noch am vollständigsten durchgeführt 
von Laplace‘®), dann von Sowsllart®”) und endlich neuestens von de 
Sitter.®) Die von ihnen gefundenen Zahlen sind: 


Masse des 1.Mondes 10°.m, — 1,13281 3,77267 2,60 ..., 
re NO LE 2,8... 
ind... 10.m,— 8,84972 8,21795 8,04... 
von ky .10%.m,— 426591  2,31333  4,24751 


in Einheiten der Jupitermasse.°) Für den innersten, der Zeit seiner 
Entdeckung nach (9. September 1892), 5. Mond sowie die anderen 
vier, noch später aufgefundenen, sind noch nicht genügende Beobach- 
tungsdaten vorhanden, um aus ihnen die Massen ableiten zu können. 


Das gleiche gilt auch für die zwei, 1877 von Asaph Hall in 
Washington entdeckten Monde des Mars (Phobos und Deimos) sowie 
für die vier Monde des Uranus (Ariel, Umbriel, Titania und Oberon). 
Der Planet Neptun hat nur einen Mond, dessen Masse sich nur aus 
einer eventuell konstatierten Präzession der Rotationsachse des Pla- 
neten berechnen ließe. 


Das System des Saturn besteht aus 10 Monden und einem Ringe. 
Seine Theorie bietet daher noch mehr Schwierigkeiten. Es ist bis 
heute nicht gelungen, die Bewegungen aller 10 Monde unter ihrer 
gegenseitigen Anziehung sowie der des Ringes und des stark abge- 
platteten Saturnellipsoides zu bestimmen. Im folgenden seien nur 
neben den Angaben über die Masse des Ringes noch die des größten 
unter den 10 Monden, „Titan“, angeführt, von dem die zahlreichsten 
Bereehnungen vorliegen. 


66) Laplace, Mec. cel., livre 10. 

67) Sowillart, Tueorıe analytique des mouvements des satellites de Jupiter 
I p., Lond. Astr. Soc. Mem. 45 (1880); II p. Paris. M&m. des sav. etr. 30 (1882); 
ferner Ergänzungen in Paris. Bull. astr. 11 (1894), p. 145 u. 513. 

68) W. de Sitter, Over de massas en de baanelementen der Satelliten van 
Jupiter, Amst. Versl. 16 (1908), p. 579 u. 709. : 

69) Der große Unterschied in den Angaben über die Massen des 1. und 
4. Mondes nach Laplace und Sousllart rührt daher, daß Laplace den aus den 
Verfinsterungen der Monde abgeleiteten Koeffizienten für die Länge des dritten 
Mondes zu 115,73 annimmt, während Souillart ihn nach einer Neubestimmung 
von Damoiseau zu 65,073 ansetzt und so fast auf die Hälfte reduziert. F. Tis- 
serand, Mee. c&l. 4, p. 81. 


10. Prüfung der Ergebnisse. 105 


Masse des Titan: 1:4678 H. Struve, Pulkova Obs. (1888). 
1:4714 @G. W. Hill, Astr. Journ. 8 (1888), 
1:4500 A. Hall, Astr. Journ. 22 (1902). 
1:4172 Eichelberger, Wash. Observ. (1911). 
1:4125 H. Samter, Berl. Ber. (1912). 

1:1118 Bessel, Ges. Abh. 1 (1840), p. 160. 
1:1960 M. W. Meyer, Astr. Nachr. 108 (1884). 
1:1000 Tisserand, Mee. e@l. 4 (1896), p. 103. 
1: 7092 4. Hall, Astr. Journ. 22 (1902). 


alle Zahlen, in Einheiten der Saturnmasse. 


Masse des Ringes: 


10. Prüfung der Ergebnisse. Die für die Masse der Planeten 
mitgeteilten Zahlenwerte geben ein Bild davon, inwieweit die Ab- 
hängigkeit der Newionschen Gravitationskraft von der Quantität der 
Masse und ihre Unabhängigkeit von der Qualität als zutreffend an- 
gesehen werden kann. Die beste Übereinstimmung zeigt sich beim 
Planeten Jupiter, was bei der absoluten Größe der von ihm ver- 
ursachten Störungen nur natürlich ist. Man erhält als Mittelwert’®): 

a) aus den Bewegungen seiner Monde 1:1047,5, 

b) aus den Störungen auf andere Planeten 1:1047,3, Diff. = 0,02), 

c) aus den Störungen auf Kometen 1:10475. 


Weniger gut stimmen die Angaben bei Saturn: 


a) aus den Bewegungen seiner Monde _1:3500, Dit 080) 
b) aus den Störungen auf andere Planeten 1:3530, VO /g 


noch größere Differenzen zeigen sich bei Mars 
a) aus den Bewegungen seiner Monde 1:3092000, 


N Diff. —= 6%, 
b) aus den Störungen auf andere Planeten 1:2904000, 
sowie bei Uranus und Neptun 
a a) 1:18450, _. KR, 
b) 1:23400, DIE 6%, b) 1:19700, DE. 6% 


ebenso auch beim Erdmonde. Aus den Ebbe- und Fluterscheinungen 
folgt seine Masse im Mittel zu 1:78, aus der Präzessionstheorie zu 
1:80—1:82, aus den Ungleichheiten der Sonnenbewegung zu 1:81,7, 
Zahlen, die weit mehr als die für die Jupitermasse angeführten, von- 
einander abweichen. Doch ist hierbei nicht des Umstandes zu ver- 


70) Eine vollständige Zusammenstellung aller bisher für die Masse der 
Planeten abgeleiteten Zahlen findet sich bei Harkness (Fußnote 33), p. 33—35; 
ferner J. J. See, On the degree of accuracy attainable in determining the posi- 
tion of Laplaces invariable plane, Astr. Nachr. 164 (1903), p. 161; ferner in be- 
zug auf Merkur, Astr. Nachr. 156 (1901), p. 362, und auch 167 (1908), p.113 und 
171 (1906), p. 369, endlich Encykl. V12,17 (J. Bauschinger), Nr. 24 u. 26. 


106 VI2,22. 5. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


gessen, daß gerade die Masse des Mondes in inniger Weise mit an- 
deren ebenfalls nur sehr ungenau bekannten Größen, wie der Parallaxe 
der Sonne oder der Erdmasse, verknüpft ist, so daß es erlaubt sein 
dürfte, die Differenzen mehr diesem Abhängigkeitsverhältnisse als 
irgendeiner Verschiedenheit in der Anziehung des Mondes auf Körper 
verschiedener Qualität zuzuschreiben. 


Kommt daher auch die Methode der astronomischen Prüfung der 
Massen zweier sich anziehender Körper keineswegs an Genauigkeit 
den physikalischen!) gleich —, wie solche schon Newton mit Pendeln 
von verschiedenem Material, ferner Bessel nach einem verfeinerten 
Verfahren mit einer Genauigkeit von 1:400°%, ausgeführt hat, und 
neuestens von v. Bötvös‘?) mit der noch empfindlicheren Drehwage unter 
Anwendung der verschiedensten Substanzen bis auf 10-°%, in der 
Gravitationskonstanten % unternommen wurden —, so ist doch nicht. 
zu verkennen, daß auch astronomischerseits das Massengesetz als so- 
weit sichergestellt anzusehen ist, daß in den aus der Anziehung be- 
rechneten Massen höchstens Fehler bis zu 1:50%, ihrer Werte vor- 
kommen dürfen. 


11. Masse von Doppelsternen. Auch die Massen von Doppel- 
sternen, und zwar sowohl von visuellen wie spektroskopischen, sowie 
ferner von jenen veränderlichen Sternen, deren Lichtwechsel man auf 
Verfinsterungserscheinungen zweier umeinander kreisenden Körper zu- 
rückführt (photometrische Bedeckungssterne), können berechnet werden. 
Die Berechnung beruht auf der Annahme, daß die aus deren Bahn- 
bestimmung abgeleitete Anziehungskonstante k mit der in unserem 
Sonnensystem gültigen ihrem absoluten Betrage nach identisch ist. 

Bezeichnen a, die große Halbachse der Ellipse, die zwei Doppel- 
sterne umeinander beschreiben, 7, ihre Umlaufszeit, m, und m, ihre 
Massen, so gilt die dem dritten Keplerschen Gesetz entsprechende 
Gleichun 372 

2 TE lm Hm) 
Andererseits hat man für das System Sonne-Erde, mit Vernachlässi- 
gung der Erdmasse gegenüber der der Sonne 
er ns 


und die Division beider Gleichungen gibt, unter der oben angeführten 


7k) Referat hierüber Zenneck, Encykl. V 1, Nr. 11—13. 
72) v. Eötvös, Math. u. Naturw. Ber. aus Ungarn 8 (1891), p. 64 und Ann. 
Phys. 59 (1896), p- 354. 


11. Masse von Doppelsternen. 107 


Voraussetzung der Gleichheit der beiden %k Werte’®), 
3 2 

a. 
Diese Gleichung enthält neben der Summe der zwei Massen noch eine 
Unbekannte, nämlich die Distanz der Sterne von der Sonne oder ihre 
Parallaxe, deren Kenntnis zur Berechnung von a, in derselben Ein- 
heit, in der a ausgedrückt wird, notwendig ist. Ist diese bekannt und 
gleich p” angenommen und gleicher Art a, in Bogensekunden an- 
gesetzt, so folgt 


m+m, _,a\ (T 2 
(17) Mi ii EEE (>) 7) 
Die aus ihr unter der Annahme m, + m, = 5 resultierende Parallaxe 


P—a(T:7,) 
wird die hypothetische Parallaxe des Doppelsternes genannt. Tritt 
außerdem noch, wie beispielsweise bei veränderlichen Eigenbewegungen, 
die Kenntnis der Bahn jeder der Komponenten hinzu, so gibt der 
Schwerpunktssatz eine zweite Gleichung, in der das Verhältnis m, : m, 
vorkommt, und es gestattet dann Gl. (17) eine getrennte Rechnung 
m 
r 
die Bahnbestimmung nicht die Größe a, allein, sondern nur das Pro- 


von und Fr Bei spektroskopischen Doppelsternen dagegen gibt 


dukt rt wenn i der Neigungswinkel der Bahnebene gegen den Vi- 


sionsradius bedeutet, und die Massengleichung enthält daher eine neue 
Unbekannte. 

Bei veränderlichen Bedeckungssternen gestatten die Beobachtungen 
aus der Dauer des Lichtwechsels, d. i. der Zeit zwischen den beiden 
äußeren Berührungen der Körper, gesehen von der Erde aus, ferner 
aus der Dauer des Minimums als der Zeit zwischen den beiden in- 
neren Berührungen oder aus der Variation der Lichtintensität, sofern 
sich der Begleiter zur Zeit des Minimums ganz auf den Hauptstern 
projiziert und dessen Oberfläche in allen ihren Teilen Licht von glei- 
cher Intensität ausstrahlt, eine Berechnung der Radien der beiden als 
Kugeln angenommenen Körper, R, und R,, im Verhältnis zu a, dem 
Radius ihrer Kreisbahn und damit einen interessanten Schluß) auf 
ihre mittlere Dichte. Sei diese o, die der Sonne g,, so ist 


ae (7) (2) mem 


73) J. v. Hepperger, Bahnbestimmung der Doppelsterne und Satelliten, 
Encykl. VI, 11, Nr. 2. 
74) Encykl. VI2 11 (Hepperger), Nr. 6. 


108 VIs,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


III. Berechnung des Genauigkeitsgrades für die Gültigkeit des 
Newtonschen Gesetzes auf Grund der Abhängigkeit von der 
Entfernung. 


12. Berechnung der Fallbeschleunigung auf der Erde aus der 
Mondbewegung. Schon Newton zeigte, wie man aus der Kreisbewe- 
gung des Mondes um die Erde die Größe der Schwerebeschleunigung 
berechnen könne. Die Beschleunigung, unter der diese nämlich vor 
sich geht, ist gegeben durch 

4®d®’E:vV’(E+M). 
Sie gilt für die Entfernung d der beiden Körper, Mond und Erde 
voneinander. Um sie mit der Beschleunigung der Schwere auf: der 
Erdoberfläche identisch zu machen, hat man sie auf die Entfernung R 
gleich dem Erdradius zu reduzieren und erhält so 


_4w®Reda® E _ IR) wir 
a) E+uTmälr) BEH 


wenn mit n, = = die mittlere Bewegung des Mondes bezeichnet wird. 


Diese Näherungsgleichung ist noch dahin zu korrigieren, daß ein 
Glied hinzugefügt wird, das von der störenden Einwirkung der Sonne 
auf die Bahn des Mondes herrührt. Der Mittelwert dieser Störung ist 
k?Sd? n:d? k?S 
apD8 — a wenn % ne 
deutet, und damit wird nach Reduktion auf die Oberfläche der Erde das 


die mittlere Bewegung der Sonne be- 


Korrektionsglied = = WR(5) so daß die strengere Gleichung folgt: 


1 d\3® E 
LEE oe Pa 
Nunmehr entsteht noch die Frage nach der Bedeutung der Größe g. 
Offenbar ist hier, sowie Nr. 4 bei der Berechnung der Gravitations- 
konstanten % (in Dyn) für sie der von der Fliehkraft, d.h. von der 
Variation der Schwere auf der Erde befreite Teil, zu nehmen. Da- 
mit ist 
g mei He 
1—p+A 
zu setzen, so daß die Schlußgleichung ®) 


I) larger) ma —htm.. 





75) Helmert verwendet diese Gleichung (Höhere Geodäsie II, p. 463) zur Be- 
rechnung von R. Vgl. auch F\. Cohn, Encykl. VI», 2, Nr. 9b. 


13. Theorie der Erdgestalt. 109 


lautet. Mit den Zahlen 


n, = 2: 27,32166 n — 21 : 365,256 it —= 60,2715 

E:E-+ M= 81,45:82,45 = 0,005285 ı = 0,003467 und 
R = 6378200 m 

folgt 9. = 91827 m, 


was gegen den Helmertschen Wert 9,7805 einen Fehler von 0,22 mm 
— 0,022%, bedeutet. Hiermit erscheint das Gesetz des Quadrates der 
Entfernung für die Anziehung für die Distanz Mond—Erde im Ver- 
gleiche zu deren Radius mit einer Genauigkeit von 25 — zu fest- 
gelegt.”®) 

13. Theorie der Erdgestalt. Geodätische Messungen auf der Erde 
lieferten in Bestätigung der Newtonschen Lehre, daß die Figur der Erde 
als Folge des Einflusses der zwei auf ihrer Oberfläche wirkenden 
Hauptkräfte, der Schwere und der Fliehkraft, nicht die einer Kugel, 
als vielmehr die eines Rotationsellipsoides sein müsse, das Resultat, 
daß der Erde tatsächlich eine solche Form zuzuschreiben sei bis auf 
kleine Differenzen (Lotabweichungen als Größen zweiter Ordnung, 
wenn man die Differenzen zwischen Kugel und Ellipsoid als solche 
erster Ordnung auffaßt). Von den vielen sich auf diese Messungen 
stützenden Berechnungen der Konstanten des Erdellipsoids seien hier 
als die wichtigsten und anerkanntesten erwähnt: | 


1. Die Besselsche’”), die R, = 6377397 m Rp = 6356098 m 
gab, woraus für die Abplattung « nach der Definition folgt: 
«= (R,— Re): R, = 1:299,1529. 


76) S. Newcomb (Fund. const., p. 119) meint hierzu: The close agreement 
between the observed parallaxe of the moon (d:: R) and that derived from the 
force of gravitation on the Earth’s surface shows that between two distances, 
one the radius of the Earth and the other the distance of the Moon, the devi- 
ation from the law of square can be only a small fraction of the thousandth 
part, or, we may say — & quantity of the order of the magnitude of the five- 
thousandth part (0,02°/,). Es hängt jedoch der für g, errechnete Wert haupt- 
sächlich von der Mondparallaxe, d: R ab. Die oben angesetzte Zahl gibt 
2. 0°57’2”42. Legt man den Neweombschen Wert 0°57'2”68 der Rechnung 
zugrunde, so zeigt sich eine volle Übereinstimmung, aus der folgt, daß der 
Fehler von 0,02°, nur durch den Unterschied in den Angaben für P. bedingt ist. 
Über die Genauigkeit des Wertes der Mondparallaxe pc vgl. Encykl. VI, 17 
(J. Bauschinger), Nr. 16. 

7) F. W. Bessel, Bestimmung der Achsen des elliptischen Rotationssphä- 
roids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am 
meisten entspricht: Astr. Nachr. 14 (1837), p. 333, 19 (1841), p. 97. 


110 VIs,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


2. Die Clarkesche”®), R,= 6318289 m Rp = 6356515 m ; 
«= 1: 298,465. | 
3. Die Hayfordsche”), R, = 6378388 m R> = 6356909 m 
4 — 1: 296,96. 
4. Die Helmertschen ®°) Mittelwerte, 
 R,= 6378200 Rr— 6356818 und «= 1: 298,3. 


Diesen Beobachtungsergebnissen stehen die Versuche gegenüber, 
die Abplattung auch theoretisch zu berechnen. Sie beginnen gleich- 
falls mit Newion, der als erster das unter dem Namen des Problems 
der Bestimmung der Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüssigkeits- 
masse bekannte Problem aufstellte, das seitdem eine der Hauptauf- 
gaben°®!) der theoretischen Astronomie bildet. Seine Lösung erfolgt 
auf Grundlage der folgenden Annahmen: 

1. Die Erde ist eine im Raume frei schwebende Flüssigkeitsmasse. 

2. Ihre Teilchen ziehen einander mit einer Kraft an, die dem New- 
tonschen Gesetze gehorcht. 

3. Sie rotiere wie ein starrer Körper um eine im Raume feste 
Achse mit konstanter Geschwindigkeit. 

Wird dann angenommen, daß die Erde ursprünglich im feurig- 
flüssigen Zustande war, in diesem die dieser Theorie entsprechende 
Gleichgewichtsform annahm und sie auch bei der späteren Abkühlung 
und Bildung der Oberflächenkruste beibehielt, so erhält man den ge- 
suchten Zusammenhang zwischen den zwei hier hauptsächlich in Be- 
tracht kommenden Größen, der Abplattung der Erde « und dem Ver- 
hältnisse zwischen Fliehkraft und Schwere auf ihr, A. 

Newton?) findet unter der Voraussetzung einer homogenen Dichte- 
verteilung der Erde 


(20a) a 54:4. 


78) A. R. Clarke, Ordnance trigonometrical survey: London (1858), ferner 
On the figure of the Earth, London Roy. astr. soc. Mem. 29 (1859); Phil. mag. 6 
(1878) und das Lehrbuch der Geodäsie „Geodesy‘‘ Oxford (1880). 

79) W. Hayford, The figure of the Earth and isostasy from measurements 
in the United States, Washington (1909), ferner: Supplementary investigations, 
Wash. 1910; vgl. auch F. R. Helmert, Über die Genauigkeit der Dimensionen 
des Hayfordschen Erdellipsoids, Berl. Ber. 1911, p. 10. 

80) F. R. Helmert, Die Größe der Erde, Berl. Ber. 1906, p. 525—537. 

81) S. Oppenheim, Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. 
Encykl. VI, 21. 

82) J. Newton, Prineipia: Sektion XII und XIII des ersten und XVIII—XX 
des zweiten Buches. 


13. Theorie der Erdgestalt. 111 


Huygens*?) dagegen, der das Problem nach Newton aufgriff, auf Grund- 
lage seiner Auffassung der Gravitation als einer vom Mittelpunkte der 
Erde ausgehenden und sonst konstanten Kraft, 

(20b) eA:2, 

Olairaut®‘) weist nach, daß diese zwei Werte als Grenzfälle anzusehen 
sind, zwischen denen der wahre Wert der Abplattung der Erde, so- 
wie jeder ellipsoidischen Gleichgewichtsfigur liege, so zwar, daß der 
Newtonsche dem Falle einer homogenen Flüssigkeit (g — const.), der 
Huygenssche dagegen dem entspricht, als ob die ganze Masse der Erde 
in ihrem Mittelpunkte konzentriert wäre. Es muß daher 


31 >a>4t4 
sein. Inwieweit diese Ungleichheit für jene Planeten, für die A berech- 
net werden kann, erfüllt ist, zeigt die folgende Übersicht: 


T = Rotationsdauer oe = Dichte Ah 21 44 a: Beob. 
Erde..... 23h56” 5,56 11288: .1:230:.  Esbze: 1.298 
Mars .... 24,37” 3,99 192177 1:174° 7 77480 .1:230 
Jupiter #5) ghynm 1,31 1:11,8 1:94 1:235 1:16 
Saturn ... 14729” 0,72 27064: 175% 1:13,38; 1:10 


Sonne.... 2544 1,42 1:46700 1:38000 1:93000 unmeßb. 

Die Untersuchungen Newtons ergänzten Clairaut®‘) und sodann 
Legendre®®) und Laplace®”) durch die allgemeinere Voraussetzung einer 
heterogenen, doch kontinuierlich von der Oberfläche nach dem Inne- 
ren hin zunehmenden Dichteverteilung der Erde, ferner Wiechert®®) 
durch die einer diskontinuierlichen, nämlich einer Teilung der Erde 
in zwei Schichten, einen Kern von der Dichte des Eisens und einen 
darüber lagernden Mantel von der Dichte 2,5—2,8. 

Das Ergebnis der Rechnungen COlairauts ist ein doppeltes, zunächst 
eine Differentialgleichung, welcher die Abplattungen der einzelnen 





83) Ch. Huygens, Trait€ de la lumiere: Anhang Discours de la cause de 
la pesanteur: Leiden 1690. 

84) A. C. Clairaut, La theorie de la figure de la terre, Paris 1743, deutsche 
Ausgabe in Ostwald, Klass. der Naturwiss. Nr. 189 unter dem Titel: Die Erd- 
gestalt. 

85) Die Abplattung des Planeten Jupiter berechnete schon Newton zu 1: 9,8 
aus der der Erde als indirekt proportional dem Quadrate des Verhältnisses der 
Rotationsdauer beider (7?: 7T,?) und dem ihrer Dichten (e:e,), d.i. nach der 
F an 
ormel: &, =« T:o. 

ı 

86) A. M. Legendre, Recherche sur la figure des planttes. Paris, M&m. 1788 
und 1789. 

87) P. 8. Laplace, Mec. celeste, Livre JII, chap. 4. 

88) E. Wiechert, Über die Massenverteilung im Innern der Erde. Gött. 
Nachr. 1897, p. 221. 


112 VIs»,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Schichten gleicher Dichte, in die die Erde zerfällt, genügen müssen, 
wenn jede von ihnen die Gleichgewichtsbedingung erfüllt (isostatische 
Lagerung). In sie geht als Hauptgröße ein das Gesetz, nach welchem 
die Dichte dieser Schichten von der Oberfläche nach dem Inneren zu- 
nimmt, und da dieses Gesetz nicht bekannt ist, läßt sich die Diffe- 
rentialgleichung nicht integrieren, sondern sie gestattet nur wieder die 
Aufstellung von Grenzwerten, für die Abplattung, die jedoch nunmehr 
weitaus enger sind als die den Gleichungen (20) entsprechenden. So- 
dann als zweites, eine Beziehung zwischen der Variation der Schwere 
auf der Erde und dem Oberflächenwerte der Abplattung, die unter dem 
Namen des Clairautschen Theorems bekannt ist. 


14. Die Schwere auf der Erde. Das Clairautsche Theorem. Für 
das Gesetz der Änderung der Schwere auf der Erdoberfläche vom Pol 
zum Aquator setzt Newton die Beziehung fest 


Ip: BR, = const, 


worin g, die Schwere und R, den Radius der Erde für die geogra- 
phische Breite $ bedeuten. Hieraus folgt 
R,=R,1 —esin’p) ,=9,(1+ «sin’p) 

bis auf Glieder zweiter Ordnung in «. Newton gibt darnach eine Tafel 
der Pendellängen für die geographischen Breiten von 0—90° von je 
5 zu 5°, aus der hier die für 9 — 0°, 45° und 90° gültigen umgewan- 
delt in mm mitgeteilt, andererseits des Vergleichs halber die von 
Fr. Helmert gerechneten hinzugefügt seien. 


= 0° Newton 1 = 991,356 mm Helmert 990,95 
45° 993,53 993,58 
90° 995,69 996,20. 


Die strengere Formel fand Olairaut.”) Wird angenommen 


b : h Ig = Ia (1.+B sin’p), 
so gilt die Relation 
(21a) = —a, 


die als das Olairautsche Theorem”) bezeichnet wird. @. Stokes”') fand, 
daß die Gültigkeit des Theorems unabhängig ist von jeder speziellen 


89) A. C. Clairaut, Erdgestalt, Teil II, Abschn. IV. 

90) Zur reichhaltigen Literatur über das Olairautsche Theorem vgl. insbe- 
sondere die beiden Artikel der Encykl. Vlı, 3 (Pizetti), Nr. 4 und 47—53, so- 
wie Vlı, 7 (Helmert), Nr. 1—5 und 25. 

91) @. Stokes, On attractions and Clairauts Theorem: Cambr., Dubl. Math. 
T. 4 (1849) sowie On the variation of gravity at the surface of the earth. Cambr., 
Trans. Phil. Soc. 8 (1849) —= Papers, Cambr. 1883, Vol. II. 


14. Die Schwere auf der Erde. Das Clairautsche Theorem. . 113 


Annahme über die Massenverteilung im Inneren der Erde und nur der 
Bedingung unterliegt, daß die einzelnen Erdschichten im hydrostati- 
schen Gleichgewichte stehen (isostatische Lagerung). Einen neuen Be- 
weis des Stokeschen Satzes gab Poincare®?); eine Erweiterung des 
Olairautschen Theorems durch Ausdehnung auf Glieder zweiter Ord- 
nung Helmert.”?) 

Gibt man der Gleichung (21a) die Form 
(21b) p—-M=1M—a, 
so drückt sie, da $4 die der homogenen Erde entsprechende Abplat- 
tung vorstellt, die Beziehung aus, daß für eine nicht homogene Erde 
die Variation der Schwere auf ihr um soviel größer sich ergibt als 
die Abplattung der homogenen Erde, wie diese größer ist als ihre 
wahre Abplattung. 

Die Gleichung (21a) gestattet eine Berechnung der Abplattung der 
Erde einzig aus Schweremessungen und war damit Veranlassung, ent- 
sprechende Pendelbeobachtungen auf der ganzen Erdoberfläche durch- 
zuführen. Zu diesem Zwecke wurden von den Staaten größere Expe- 
ditionen ausgerüstet, über welche Helmert und Borrass”*) berichten. 


Eine Diskussion aller dieser Beobachtungen gibt F. Helmert”) und 
leitet daraus die Formel ab: 


9, = %1805 (1 + 0,005302 sin?’ p), 
die er später‘) in g, — 9,7805 (1 + 0,005285 sin?) 
umwandelt. Aus der ersteren folgt 

&«=1:297,09 bzw. 1:298,2, 
aus der zweiten «a—=1:29547 „  1:296,7, 


wobei die an zweiter Stelle stehenden Zahlen aus einer Berücksich- 
tigung der Glieder höherer Ordnung folgen, während die ersteren 
dem Clairautschen Theorem in seiner einfachsten Form entsprechen. 
Bowie”) erhält «= 1: 298,4. 


92) H. Poincare in seinem Cours de la physique math. ä la Sorbonne (1886) 
— nach Callandreau, Sur la theorie de la figure des planttes: Paris, Obs. Mm, 
XIX (1889). 

93) F. Helmert, Höhere Geodäsie II, p. 77 und Encykl. VI ı, 7, Nr. 2 und 
VIlı,3 (Pizetii), Nr. 4. 

94) F. Helmert, Höhere Geodäsie II, p. 191 und E. Borrass, Int. Erdmess. 
(1900) II und (1908) II. 

95) F. Helmert, Neue Formeln für den Verlauf der Schwerkraft im Meeres- 
niveau beim Festland. Berl. Ber. 1915, p. 676. 

96) W. Bowie, Effect of Topography and isostatie Compensation upon the 
intensity of Gravity: Washington 1912. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 8 


114 \VlI2,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


15. Lotabweichungen und Schwereanomalien. (Theorie des 
Geoids) Für die beiden erwähnten Methoden zur Berechnung der 
Abplattung, die rein geodätische und die auf Pendelmessungen be- 
ruhende, gilt als Ausgangspunkt die Hypothese”), daß man erstens 
die Oberfläche der Weltmeere ansehen dürfe als Teile einer einzigen 
geschlossenen analytischen Fläche von einfachem Bildungsgesetz und 
daß zweitens die Normalen dieser Fläche in allen bei den Messungen 
in Betracht kommenden Punkten des Erdkörpers zugleich die Rich- 
tung der Schwere angeben. Die Erfahrung lehrt jedoch, daß diese 
zwei Annahmen keineswegs streng erfüllt sind. Zwischen Theorie und 
Messung zeigen sich Widersprüche von solchem Betrage, daß es nicht 
angeht, sie einzig als Beobachtungsfehler zu bezeichnen. Man nennt 
sie, sofern sie sich als Unterschiede in den Richtungen der astrono- 
misch bestimmten Normalen der physischen Erdoberfläche gegen die 
auf Grund eines Rotationsellipsoids (Referenzellipsoid) berechneten 
(geodätisch festgelegten) erweisen, Lotabweichungen, andererseits Schwere- 
störungen, als Unterschiede zwischen den aus den beobachteten Pendel- 
längen und den nach dem Ülairautschen Theorem abgeleiteten g. 

Es unterliegt nun keinem Zweifel, daß diese konstatierten Ab- 
weichungen in Unregelmäßigkeiten der Erdoberfläche ihren Grund 
haben. Berge und Täler, oder die lokale Terraingestaltung, die ge- 
samten Kontinente, im Gegensatze dazu wieder Ungleichheiten der 
Meerestiefe, ungleiche Dichten, die schon die äußere Erdkruste zeigt 
und die sich vielleicht noch ziemlich tief unter diese erstrecken, müs- 
sen sowohl auf die Lotlinien als die Riehtung der Schwerkraft, wie 
auf ihre Größe einen merklichen Einfluß ausüben. Die Annahme da- 
her, daß der Erdkörper ein Rotationsellipsoid ist, dessen Rotations- 
achse mit deren Hauptträgheitsachse zusammenfalle, ist nur wieder 
eine Annäherung, zu der man hauptsächlich auf Grundlage hydrosta- 
tischer Überlegungen gekommen ist. Wie vor Newton die Annahme 
der Kugelgestalt der Erde eine solche war (etwa eine vom ersten Grade), 
ist sie eine zweiten Grades, die durch die Ergebnisse der Beobach- 
tungen nunmehr durch eine dritten Grades zu ersetzen ist. Diese neue 
Approximierung ist jene ideale Erdoberfläche, die als das Produkt der 
Gesamtwirkung aller dieser ungleichmäßig verteilten Elemente aufzu- 
fassen ist. Man nennt sie das @eoid”®) und definiert sie als jene Fläche, 


97) H. Bruns, Die Figur der Erde. Potsdam, Kgl. preuß. geodät. Inst. 
Publ. (1878) Einleitung, und H. Poincare, Les mesures de gravite et la geod6sie. 
Paris, Bull. astr. 18 (1901), p. 5—39. 

98) Vgl. CO. F. Gauß, Über den Breitenunterschied zwischen Göttingen und 
Altona. Gött. 1828. Ges. Werke IX p. 49; dann F. W. Bessel und J. Baeyer, Die 





16. Die Schwerkraft im Erdinnerv. Die Clairautsche Differentialgleichung. 775 


die in allen ihren Teilen, entsprechend dem Hauptgesetz über das 
Gleichgewicht der Flüssigkeiten, die wahren Lotlinien senkrecht durch- 
schneidet. 

Vielfach versuchte man es, aus den auf der Erdoberfläche sicht- 
baren Massen, die Lotablenkungen und Schwerestörungen zu berechnen 
und sie sodann mit den tatsächlich beobachteten zu vergleichen. Eine 
erste gab Hutton®”), wenn er den von Maskeiyne zu beiden Seiten des 
Berges Shehallien 1774 beobachteten Breitenunterschied statt 42,9” zu 
54,6” findet, aber zu 50” berechnet. Über weitere solche Rechnungen 
berichtet Helmert'); danach wurde zwischen den geodätischen Sta- 
tionen Benediktbeuren und München als Lotablenkung beobachtet 


in Breite 19=9,00" (astron.-geod.) = 8,64” (berechnet) 
‚ Amt 44A=— 5,83” 2 = aan 


Bekanntlich hat man solche Beobachtungen, sowie auch die entspre- 
ehenden Beobachtungen von Schwerestörungen!'), bisher mehr dazu 
benutzt, aus ihnen die mittlere Dichte der Erde abzuleiten und dann 
vielfach direkte, diesem Zwecke dienende Messungen angestellt. Sie 
ergaben jedoch Werte, die eine sehr geringe Übereinstimmung unter- 
einander aufweisen und durch die nach anderen Methoden (Labora- 
toriumsarbeiten) durchgeführten weitaus übertroffen wurden.!®) Die 
ersteren schwanken zwischen 4,713—6,566, die zweiten nur innerhalb 
der Grenzen 5,49— 5,57. 


16. Die Schwerkraft im Erdinnern. Die Clairautsche Differential- 
gleichung. Die Olairautsche Differentialgleichung!®) gibt eine Bezie- 
hung zwischen der Zunahme der Dichte, o, in den einzelnen Schichten 
der Erde und der Abnahme ihrer Abplattungen, «, (o und « hierbei 
als kontinuierliche Funktionen des variablen Radius, r, betrachtet). 


Gradmessung in Ostpreußen, Berlin 1836. Den Namen „Geoid“ hat J. B. Listing, 
Über unsere jetzige Kenntnis der Größe und der Gestalt der Erde, Gött. Nachr. 
(1873), eingeführt. 

99) Zitiert nach Todhunter, History of the theories of attraction and the 
figure of the Earth, London 1873 $ 726 und 1607; ferner Airy, The figure of the 
Earth, London 1829, p. 171. 

100) F. Helmert, Höhere Geod. II, Kap. 4. 

101) Plana und Carlini, Pendelbeobachtungen am Fuße und auf der Spitze 
des Mont Cenis: F. Carlini, Milano, Effemeridi astron. 1824 App. und (©. Giulio, 
. Torino, Acc. Mem. 2 (1840), p. 379. 

102) Vgl. Zenneck, Encykl. V 1, Nr. 7 u. 9 und die Zusammenstellung der 
Einzelwerte in Harkness (Fußnote 33) p. 89. 

103) Über ihre Ableitung und die Bedingungen ihrer Gültigkeit vgl. $. ER 
penheim, Encykl. VI, 21, Nr. 6. 

8* 


116 VIs,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Setzt man der Kürze halber 
R 
f E rdr= u, 
so lautet sie ; 


d’a 2er’ d« 2er 6 
(22a) EROHBERE + z]le=0... 


oder in der Radauschen!%) Form 


(22 b) [eve] pie]... 








mit den Abkürzungen $ 
n—7.% und 0 Aforar, 


welche gegenüber der ursprünglichen Clairautschen den Vorteil hat, 


daß der Teil R=(1 +1 — 2): in für die für die Erde in 


Betracht kommenden Werte von n zwischen 0,54—0,56 sich nur we- 
nig von 1 unterscheidet (es ist K für diese zwei Annahmen = 0,999 898 
bzw. 0,999705), so daß in fast genügender Annäherung 


d 2 ee Mr 

a VI) er 
gesetzt werden kann. 

Versuche zu ihrer Integration unter verschiedenen Hypothesen 
über das Gesetz, nach welchem e mit r zunimmt, sind vielfach gemacht 
worden. Die hauptsächlichsten sind: 

DISK r \hı]% 

Roche-Lipschite e=>0, FE —k (z) ] j 
PS ); 
. sın m y 
| R, 

Heimert 9 0,|1—k, (2) + R, (2): .] 
wobei o, die Dichte im Erdmittelpunkte darstellt. Zur Berechnung 
der in ihnen enthaltenen Parameter dienen die folgenden numerischen 
Daten: 


1. Die mittlere Dichte der Erde o, = 5,513... ., 
2. Die Dichte an der Oberfläche g, = 2,6—2,8 ..., 


— A 
z = 1,:805,6...;,, | 
4. Die Konstante ß der Variation der Schwere ß — 0,005285, 


5. Die Abplattung der Erde an der Oberfläche «,=1:298... 





(23) Legendre-Laplae oe = 





3. Aus der Präzessionstheorie g: 


104) R. Radau, Remarque sur la theorie de la figure des planttes, Paris, 
Bull. astr. 11 (1885). 


16. Die Schwerkraft im Erdinnern. Die Clairautsche Differentialgleichung. 777 


Es ist bisher nicht gelungen, ihnen allen vollständig zu genügen. 
Stets bleiben. Reste übrig, die wohl sehr klein sind und hart an der 
Genauigkeitsgrenze dieser verschiedensten Beobachtungen entnommenen 
Angaben liegen!®), aber durch ihr Vorhandensein darauf hinzudeuten 
scheinen, daß die Annahmen, auf denen die Aufstellung der Gleichung 
beruht, doch nicht ganz der Wahrheit entsprechen. Versuche, sie 
durch eine diskontinuierliche Massenverteilung innerhalb der Erde zu 
ersetzen oder durch Berücksichtigung der zweiten Potenz der Abplat- 
tung « zu ergänzen, führten nur zu einem wenig besseren Erfolge. 

Aus der genähert gültigen Gleichung 

R 


I — gr dr 


0 
folgt durch Differentiation 


2 um[o 23a] 


und daraus für die Oberfläche der Erde (Index 0) und für ihr Zen- 
trum (Index ec) 


(3), 4ak? [® CR r 0„|<0 und (= 4a >0. 


Es muß daher im Inneren der Erde einen Punkt geben, für den 
A 
BE 9» 
also g ein Maximum hat ("Theorem von Saigey'®)), so daß die Schwer- 
kraft zunächst von der Oberfläche nach dem Inneren der Erde zu- 
nimmt, bis zu einem Maximalwert, g’, um von da ab erst stetig bis 
zum Mittelpunkte abzunehmen. Nach Helmert ist der entsprechende 
Radius R’ 
R'= 0,82R und die Schwere daselbst g’—= 1,05g,. 


Ihm kommt als Tiefe, von der Oberfläche an gerechnet, 0,18 R—= 1150 km 
zu, während die größte bis heute erreichte Tiefe etwa 1—2 km beträgt. 

Pendelversuche zur Bestimmung der Schwere in ihr rühren her 
von Aöry und .R. v. Sterneck.‘) Doch wurden auch diese mehr zur 
Bestimmung der mittleren Dichte der Erde verwendet und sind we- 
niger zur Beantwortung der Frage nach der Zunahme der Schwere 


105) Vgl. H. Poincare, Figures d’&quilibre d’une masse fluide, Paris 1902, 
p. 94—96; ferner $. Oppenheim, Encykl. VI, 21, Nr. 12—14, 

106) Saigey, Petite Physique du globe terrestre. F. Tisserand, Me&ec. cel. II, 
chapt. 15, sowie Helmert, Höh. Geod. II, p. 492. 

107) Vgl. F. Helmert, Encykl. VI ı, 7, Nr. 21. 


118 NVI»,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


in deren Inneren oder zu einer Prüfung des Genauigkeitsgrades für 
die Gültigkeit des Newtonschen Gesetzes daselbst geeignet. Auch ihre 
Ergebnisse haben gegenüber den aus Laboratoriumsversuchen stam- 
menden nur ein geringes Gewicht.!®) 

17. Die Abplattung der Erde, aus der Theorie der Präzession 
und Mondbewegung. Die Theorie der Präzession (vgl. Nr. 8b) gibt 
einen Wert für die Differenz der zwei Hauptträgheitsmomente der Erde, 
Dis ih ie m 
Für den Fall einer homogenen Dichteverteilung wäre dieses Verhält- 
nis identisch mit der Abplattung «, für eine nicht homogene dagegen 
und bei Berücksichtigung der ‚der Clairauischen Theorie zugrunde 
liegenden Annahmen ist 


1 fra Jearo 


0 fer dr + : [eawo) 


Nach Clairaut läßt sich das zweite Integral durch die für die Ober- 
fläche der Erde gültigen und daher der Messung zugänglichen Werte 
darstellen, nicht aber das erste. Es ist, wenn mit E die Masse der 
Erde bezeichnet wird, wohl 

Ra 


(24a) J od (re) = zu RE (« In 5)» 
0 r 


aber, um auch das erste Integral zu berechnen, muß eine Annahme 
über die Dichte als Funktion von r gemacht werden, und daher ist die 
Kenntnis von (C — A): C nicht geeignet, aus ihr auf die Erdabplat- 
tung zu schließen. 

Dagegen ist das Potential der Anziehung der Erde auf eine außer- 
halb ihr in der Entfernung d von ihrem Mittelpunkt befindliche Masse 
gegeben durch 


(25 a) pia 





(24) 


BLEI 0K0 - A)k? 
d m + 
mit P, als der ihrer Lage entsprechenden Kugelfunktion zweiter Ord- 
nung, und daher mit Rücksicht auf die beiden Ausdrücke für A und C 
und die Gleichung (24a) durch die Oberflächenabplattung « darstellbar, 
k®E Ek?. R% h 
“ r (« Hr 7) 1 od 9: 





un Danger 


108) Zenneck, Encykl. V 1, Nr. 7. 


18. Theorie der Ebbe und Flut. 119 


In der Anwendung auf den Mond sagt dies aus, daß dessen Bewegung 
um die Erde nicht einzig durch das Potential A?E: d geregelt werde, 
sondern daß außerdem noch eine von der Abplattung der Erde her- 
rührende störende Kraft vorhanden ist. Zaplace!”) hat zuerst auf sie 
aufmerksam gemacht und aus ihr « —= 1: 305 gefunden. Neuere Ent- 
wickelungen rühren her von P. Hansen!!), aus dessen Daten Helmert 
«=1:297,8 berechnet, dann von @. W. Hell!!!) und neuestens von 
E. Brown""?), der ursprünglich den Wert 1:297 bevorzugte, aber in 
seiner letzten Veröffentlichung'!?) in einer zusammenfassenden Über- 
sicht über alle seine in verschiedenen getrennten Arbeiten gewonnenen 
Resultate auf 1:294 zurückgreift, und dieser Wahl die Werte der 
seinen neuen Mondtafeln zugrunde liegenden Elemente der Mondbahn 
anpaßt. 
Die hier angeführten Zahlen sind mit den in Nr. 13 und 14 an- 
geführten und aus geodätischen Messungen und Pendelbeobachtungen 
fließenden direkt vergleichbar. 


18. Theorie der Ebbe und Flut. Eine weitere Gruppe von Er- 
scheinungen auf der Erde, die durch die kombinierte Anziehung von 
Sonne und Mond hervorgerufen zur Prüfung des Newtonschen Gesetzes 
herangezogen werden können, sind die der Ebbe und Flut. Schon 
Nr. 8 bei der Berechnung der Mondmasse erwähnt, soll hier ihre 
Theorie mehr in der Richtung verwertet werden, inwieweit die auf 
Grundlage des Newtonschen Gesetzes durchgeführte Vorausberechnung 
der Höhe der Flut und ihrer Eintrittszeit mit den Beobachtungen in 
Übereinstimmung steht. Es ist, sagt jedoch in diesem Sinne @. H. 
Darwin‘), nicht wahrscheinlich, daß es jemals möglich sein wird, 
die Natur der Meeresschwingungen als Ganzes mit einiger Genauig- 
keit zu bestimmen. Das Problem ist ein zu verwickeltes, als daß es 
gelingen könnte, aller die Erscheinungen beeinflußender Nebenum- 
stände, wie der unaufhörlichen Veränderungen der Gezeitenkräfte, der 
komplizierten Umrisse der Meeresküste, der variablen Tiefe des Meeres 


109) Laplace, Mec. cel., Livre 7, chap. 2 und Livre 16, chap. 3 und Encykl. 
V12, 17 (J. Bauschinger), Nr. 10. 

110) P., A. Hansen, Darlegungen, Leipzig. Abh. 6 (1864) und 7 (1865); vgl. 
auch die Kritik von F'. Helmert, Höhere Geod. II, p. 469. 

111) @. W. Wül, Determination of the inequalities of the Moons motion 
which are produced by the figure of the Earth, Astr. pap. 3. (1884) = Works 2. 

112) E. Brown, Eneykl. VI 2, 14, Nr. 20 (1914) und sein Vortrag vor der 
Britt. Ass. for the Adv. of Science: Science 40 (1914), p. 389401. 

113) E. Brown, London Astr. Soc. Month. Not. 75 (1915), p. 508. 

114) @. H. Darwin, Tides and kindred phenomena in the solar system, 
Boston 1899; deutsche Ausgabe von A. Pockels, Leipzig 1902, Kap. XI, p. 175. 


120 \VlI2,22. S. Oppenheim Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Herr zu werden, wenn auch, wie dies Darwin hervorhebt, schon eine 
gelungene Vorherbestimmung als ein Triumph der allgemeinen Gravi- 
tation bezeichnet werden müßte. 

Erst die harmonische Analyse brachte hier eine Wendung. Wohl 
versuchte schon Laplace‘'?) die Phasen der einzelnen Partialfluten und 
ihre Amplituden als Unbekannte in die Theorie einzuführen und sie 
aus Beobachtungen zu berechnen. Es gelang ihm dadurch, eine bessere 
Übereinstimmung zwischen Theorie und Erfahrung zu erzielen, als sie 
die einfache Gleichgewichts- oder seine Schwingungstheorie erreichte. 
Aber diese Methode wies nur da halbwegs Erfolge auf, wo, wie im 
Atlantischen Ozean, die täglichen Ungleichheiten der Gezeiten nur ge- 
ring sind und sich daher diese fast vollständig durch zwei harmoni- 
sche Funktionen, entsprechend den zwei Halbtagsperioden von Sonne 
und Mond, deren Phasen und Amplituden kleinen periodischen Schwan- 
kungen unterworfen sind, darstellen lassen.'!%) Die harmonische Ana- 
lyse erweiterte die Laplacesche Methode dahin, daß sie das Potential 
der fluterzeugenden Kräfte durch Auflösung in eine größere Zahl 
harmonischer Funktionen (Partialtiden) mit verschiedenen, der Bewe- 
gung von Sonne und Mond, der Knoten- und Perigäumlänge seiner 
Bahn angepaßten Perioden vervollständigte'!”) und jeder Partialflut 
von ihnen eine empirisch zu bestimmende Phase und Amplitude zu- 
wies, derart, daß nur deren Perioden der auf Basis der Gravitations- 
lehre entwickelten Theorie entnommen sind. 

Damit wird eine bessere Übereinstimmung zwischen Theorie und 
Beobachtung erzielt, und @. H. Darwin!"?) gibt einige Beispiele für die 
Erfolge der Vorherbestimmung. 


19. Theorie der Lot- und Schwerestörungen durch die Anzie- 
hung von Sonne und Mond. Analoges gilt auch von den fast un- 
endlich kleinen, durch die direkte Wirkung von Sonne und Mond er- 
zeugten Störungen ''”) in der Riehtung des Lotes und der Intensität 


115) Laplace, Meec. cel., Livre 4, chap. 1—4. 

116) @. H. Darwin und $. $S. Hough, Bewegung der Hydrosphäre, Encykl. 
VI ı, 6, Nr. 22. 

117) Über die Zahl und Bezeichnung dieser einzelnen Perioden vgl. Fuß- 
note 116, Nr. 23. 

118) Fußnote 116, Nr. 32 und Fußnote 114, Kap. XIV. 

119) 0. A. F. Peters, Von den kleinen Ablenkungen der Lotlinie und des 
Niveaus, St. Petersb. Bull. III. 1845; dann F. Helmert, Höh. Geod. II, Kap. 5; 
Encykl. VIı, 7, Nr. 25; ferner A. Gaillot, Infiuence de l’attraction lunaire sur la 
direction de la verticale und sur l’intensit6 de la pesanteur. Paris, Bull. astr. 1 
(1884), p. 113 und Consdquences relatives & la marche de la pendule. Ebenda 
p. 217. 


19. Theorie der Lot- u. Schwerestör. durch die Anziehung von Sonne u. Mond. 727 
der Schwere. Für das Potential der fluterzeugenden Kraft gibt die 
Theorie den Ausdruck 


(6) P=uR,g (co&k — 3) + coR,g (cos’fo — 3)... 
mit der Bezeichnung von & und &» als der Zenitdistanz von Mond 
und Sonne für den betreffenden Beobachtungsort, und c« und co zwei 





Faktoren 3 M(R,\: 3.8 (By\® 
«= ,5(7) 0-3, 7): 
deren numerischen Werte 
Ce = 0,0174” ca = 0,0080” 
sind, und daraus folgt für die zwei Komponenten der Lotstörung längs 
der Erdoberfläche pP 
2 Ä oh 
in der Richtung O— W Ego 
(27a). ap 
in der Richtung N — 5 e 


"und endlich für die in vertikaler Richtung fallende, die sich als eine 
Verminderung der Erdschwere äußert, 


(27b) 2=P:g 
mit den Amplituden 
= 9:17800000 Co —= 9: 38800000. 


Lange Zeit bemühte man sich, diese Störungen nachzuweisen, bis 
endlich F. Zöllner auf das Horizontalpendel!?0) als das wegen seiner 
hohen Empfindlichkeit zu diesem Zwecke geeignetste Instrument hin- 
wies. Doch auch diese schlugen anfangs fehl und erst die Arbeiten 
von ©. Hecker'*") und W. Schweydar'??) brachten den gewünschten Er- 





120) Ausführliche Literaturangaben über die Geschichte und Verwendung 
des Horizontalpendels finden sich in @. H. Darwin, Encykl. VI ı, 6, Nr. 21, so- 
wie Fußn. 114, Kap. 5 u. 6. 

121) O. Hecker, Beobachtungen an Horizontalpendeln über die Deformation 
des Erdkörpers, Potsdam, Geodät. Inst., Veröff. Nr. 32 (1907). 

122) W. Schweydar, Ein Beitrag zur Bestimmung des Starrheitskoeff. der 
Erde, Gerland Beitr. Geoph. 9 (1907); dann Untersuchungen über die Gezeiten 
der festen Erde und die hypothetische Magmaschicht (1902), sowie Harmonische 
Analyse der Lotstörungen durch Sonne und Mond (1914) und Theorie der De- 
formation der Erde durch Flutkräfte (1916) in den Veröffentl. des geodät. Inst. 
Potsdam, Nr. 54, 59 u. 60. Hier sind auch zu erwähnen die neuesten Versuche 
von A. A. Michelson und H. @. Gale, ausgeführt mit einem Wasserpendel, das 
die durch die Anziehung von Sonne und Mond infolge der Änderung der Lot- 
rechten verursachten Niveauunterschiede in langen Röhren zu beobachten ge- 
stattet. Astrophys. Journ. 39 (1914), p. 105—138 und 50 (1919), p. 346—355. 


122 VlIs»,22. 8. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


folg. Leider wieder nicht in dem gehofften Ausmaße. Sie zeigten, daß 
die beobachteten Schwingungen des Pendels nur etwa ®/, der theore- 
tischen Amplitude betragen, und daß dieser Faktor nicht für alle 
Partialtiden der gleiche ist. Die Erklärung dieser neuen Erfahrungs- 
tatsache wird in der Anschauung gesucht, daß die Erde nicht völlig 
starr sei, sondern ihr ein bestimmter Grad der Nachgiebigkeit den 
fluterzeugenden Kräften gegenüber zukomme. Aus dem Verhältnisse y 
der beobachteten Amplitude zu der theoretischen, einer starren Erde 
entsprechenden, muß sich daher der Koeffizient ihrer elastischen Nach- 
giebigkeit u (Starrheitskoeffizient) berechnen lassen. 

So findet Schweydar aus den ganztägigen Lotstörungen der in 
der harmonischen Analyse mit K, und O bezeichneten Partialkräfte 
für das Verhältnis y den Wert 


y = 0,827 + 0,036, 
andererseits aus den mit einem Bifilargravimeter während eines ganzen 
Jahres gemessenen Intensitätsänderungen der Schwere '!??) 


yv= 0833... 


Aus dem ersteren ergibt sich in Verbindung mit der Variation der 
Eulerschen von 303 Tagen in die Chandlersche Periode der Schwan- 
kungen der Polhöhe von 434 Tagen 


u = 2,64 - 10% im (0.G.8.-System, 
während sich gleichzeitig aus diesen Angaben die Geschwindigkeit v 
der transversalen Erdbebenwellen ganz entsprechend den Beobachtun- 
gen für die Erdoberfläche'?”) 
zu v = 4 km/sec 


berechnet, eine Übereinstimmung, die sich auf die Variation von u, 
dann o der Dichte der Erde und die daraus abgeleiteten v» erstreckt.'?°) 


20. Zusammenfassung der Ergebnisse. Zur Beurteilung der Frage 
nach der Genauigkeit für die Gültigkeit des Newionschen Gesetzes in 
der Abhängigkeit von der Entfernung der anziehenden Körper von- 
einander kommen die mitgeteilten Ergebnisse in mehrfacher Richtung 
in Betracht. Die Berechnung der Abplattung der Erde aus Pendel- 
messungen auf ihrer Oberfläche und ihr Vergleich mit den geodä- 
tischen Bestimmungen zeigen eine wohl nicht vollständige, aber doch 


123) W. Schweydar, Beobachtungen der Änderung der Intensität der Schwer- 
kraft durch den Mond, Berl. Ber. (1915), p. 454. 

124) Geiger und Gutenberg, Über Erdbebenwellen, in den Gött. Nachr. 1906 
bis 1912. 3 

125) Vgl. Encykl. VI ı,6 (@. H. Darwin u. S. Hough), Nr. 37. 


23. Theorie der Planeten. 123 


innerhalb der für sie abgeleiteten Grenzwerte fallende Übereinstimmung. 
Desgleichen weisen auch die Berechnungen der Lotablenkungen der 
sichtbaren Massenunregelmäßigkeiten auf der Erde und damit im Zu- 
sammenhange die Berechnung ihrer mittleren Dichte aus ihnen und 
deren Vergleich mit den analogen Ableitungen in Laboratorien mit 
Hilfe von Pendeln, dann der einfachen und der Drehwage, bei denen 
die anziehenden Massen in den verschiedensten Entfernungen vonein- 
ander von einigen Metern bis zu mehreren Kilometern standen, nur 
Abweichungen auf, die, zwischen 4,7——-6,6 mit dem wahren Mittelwert 
5,513 liegend, etwa auf 15%, ansteigen, und bis zu gleichem Betrage 
scheint damit das quadratische Gesetz der Entfernung in dem analy- 
tischen Ausdruck für die Anziehung zweier Körper innerhalb der 
Distanzen von einigen Metern bis zum Radius der Erde von 6380000 m 
sichergestellt.!?°) Dagegen werden die störenden Kräfte von Sonne und 
Mond, die sich auf der Erdoberfläche in doppelter Art äußern, zu- 
nächst als periodische Bewegungen der Wassermassen auf ihr, die als 
Ebbe- und Fluterscheinungen, und sodann als periodische Änderungen 
ihrer Niveaufläche, die als Variationen der Lotrichtung und der In- 
tensität der Schwere auftreten, wie auch im entgegengesetzten Sinne 
der störende Einfluß der Erdabplattung auf die Bewegung des Mon- 
des, durch das quadratische Gesetz der Anziehung fast vollständig 
wiedergegeben. Damit erscheint seine Genauigkeit, für die vorher in 
Nr. 12 für die Entfernung des Mondes von der Erde ein Fehler von 
0,02%, gefunden wurde, im gleichen, wenn auch nicht so präzise fest- 
stellbaren Betrage für die Distanz der Sonne von der Erde sichergestellt. 

21. Theorie der Planeten. Eine erste vollständige Durcharbei- 
tung der Bewegungstheorien der großen Planeten rührt, abgesehen 
von älteren theoretisch unzulänglichen Versuchen!?”), her von Za- 





126) S. Neweomb, Coming down to smaller distances, we find that the close 
agreement between the density of the Earth, as derived from the attraction of 
small masses at distances of a fraction of a meter, with the density which we 
might apriori suppose the Earth to have, shows that within a range of distance 
extending from less than one meter to more than six million meters the accu- 
mulated deviation from the law can scarcely amount to its third part. $. New- 
comb, Fund. const., p. 120 (Fortsetzung des Zitates in $ 12). Doch auch hier ist 
za erwägen, daß die Differenzen 4,7—6,6 in den aus den Lotablenkungen abge- 
leiteten Werten für die Erddichte wohl mehr der Schwierigkeit, hierbei alle 
Terrainverhältnisse zu berücksichtigen, als einer Unvollständigkeit des Newton- 
schen Gesetzes zuzuschreiben sind. 

127) Vgl. die Introduction historique in Abel Souchons Traite de, l’astro- 
nomie pratique, Paris 1883, die eine ausführliche Darstellung der Entwickelung 
der astronomischen Tafeln und Ephemeridensammlungen gibt. 


124 VI», 22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


place.) Ihm folgten sodann UV. J. Leverrier"?), S. Newcomb"?°) und 
@G. W. Hill.) Bei Laplace und den auf seine theoretischen Entwick- 
lungen sich stützenden Tafeln sind die Differenzen zwischen Theorie 
und Beobachtungen noch recht groß. Sie steigen bei den Boward- 
schen Tafeln des Jupiter und Saturn bis auf 12” im geozentrischen 
Ort an, teils wegen der noch mangelhaften Reduktionselemente der 
Fixsternörter, teils wohl auch wegen Ungenauigkeiten oder nicht ge- 
rechtfertigter Vernachlässigungen der Theorie. Weitaus kleiner sind 
sie schon bei Leverrier und Newcomb. 


Was zunächst die vier inneren Planeten anlangt, so zeigt die neue 
Diskussion Newcombs'??), daß man allen Beobachtungen derselben, d. s. 
Meridianbeobachtungen und speziell bei Merkur und Venus in Betracht 
kommenden Beobachtungen ihrer Vorübergänge vor der Sonne — 
durch die Theorie mit Ausnahme der folgenden Differenzen zwischen 
den theoretischen Werten der säkularen Veränderungen der Bahnele- 
mente, Neigung i, Exzentrizität e, und Länge der Knoten N, und des 
Perihels x und ihren aus den Beobachtungen abgeleiteten — gerecht 
werden kann. 


128) Die speziellen Theorien der großen Planeten von Laplace, erschienen 
in dessen Mec. celeste, Tome III, Livre VI, chap. 8—14, im Jahre 1802. Auf 
sie gründen sich die Tafeln von A. Bowvard von Jupiter, Saturn und Uranus, 
Paris 1821, J. Delambre, Tables du soleil, Paris 1806 u. a.; vgl. die Zusammen- 
stellung in R. Wolf, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Literatur. 
Ba. II, Zürich 1892, p. 401 und Encykl. VI 2, 17 (J. Bauschinger), Nr. 21. 

129) U. J. Leverriers Planetentafeln erschienen in den M&moires de l’obser- 
vatoire de Paris, und zwar der Reihe nach Erde (bzw. Sonne) Bd. 4 (1858), 
Merkur 5 (1859), Venus und Mars 6 (1861), Jupiter und Saturn 12 (1876), Ura- 
nus und Neptun 14 (1877). 

130) S. Newcomb, An investigation of the orbit of Neptune with general 
tables of its motion; Smiths. Kontributions. XV, 1865 und ebenso Uranus (1870); 
dann die neueren Arbeiten in den Washington Astr. papers 6 (1898): die vier 
inneren Planeten, und 7 (1898) Uranus und Neptun. 

131) @. W. Hill, Tables of Jupiter and Saturn in Wash. Astr. pap. 7 
(1898). 

132) S. Neweomb, Fund. const., p. 109 und 185. Die Zahl der Beobachtun- 
gen, die hierbei in Verwendung kamen, sind: 1676 für die Sonne, 3929 für 
Merkur, 4889 für Venus und 1597 für Mars. — Über eine neue Kritik der New- 
combschen Marstheorie vgl. F. E. Roß, Astr. Journ. 29 (1916), p. 152. Eine gute 
kritische Übersicht über den Vergleich der Planetenbeobachtungen mit der 
Theorie gibt auch F. Tisserand, Mee. cel., Tome 4, chap. 29: Confrontation de 
la loi de Newton avec les observations. Über die im folgenden mitgeteilte 
Fehlertafel vgl. auch Encykl. VI 2,1 (Anding), Nr. 5 und 17 (J. Bauschinger), 
Nr. 23. 


21. Theorie der Planeten. 125 


Beob. Theorie Diff. mittl. Fehler 
Merkur sd + 714” ER LTT + 0,38” + 0,80” 
sinidN — 91,89” — 92,50” +0,61” + 0,52” 
Yu ak u = m Zur + 0,50” 
edz + 118,24” + 109,76” + 8,48” + 0,43" 
Venus di + 3,87” +3,49” + 0,38” + 0,83” 
sinöAdN  — 105,40" — 106,00” + 0,60” + 0,17” 
den rs De =. 9.07% + 0,21” + 0,81” 
(28) ade. ze BB + 0,34” — 0,05” + 0,25” 
Erde de — 8,55” u Ra + 0,02” + 0,10” 
edn + 1948” + 19,38” + 0,10” + 0,13” 
Aa bee ET — 46,89” — 0,38” + 0,27" 
Mars di — 2,26” BR ° 1:1 — 0,01” + 0,20 
sinddN — 72,60” Sa ger + 0,08” + 0,22” 
de + 19,00” a + 0,29 + 0,27” 
edz + 149,55” + 148,80” +0,75” + 0,35”. 


Von diesen Abweichungen zwischen Theorie und Beobachtung ist die 
in der Länge des Merkurperihels die größte. Sie war schon Leverrier 
bekannt, aber noch nicht mit der Genauigkeit, wie nunmehr seit der 
neuerlichen Diskussion Newcombs. Auffälligere Störungen, die gegen- 
über ihren mittleren Fehlern von merklicher Größe sind, seien hier 
noch speziell angeführt. Es sind dies neben der Störung im Merkur- 


perihel: Merkurperihel eAn = + 8,48” + 0,43”, 
Merkurexzentrizität fe = — 0,88” + 0,50”, 
Venusknoten sin? 1N= + 0,60" + 0,17”, 
Marsperihel eArx = + 0,75” + 0,35”. 


Die Theorien von Jupiter und Saturn bieten wegen deren größeren 
Massen und auch wegen der zwischen ihren Umlaufszeiten bestehen- 
den Kommensurabilität (5:2) größere Schwierigkeiten. Doch ist ge- 
rade bei ersteren der Erfolg der umfassenden Rechnungen Leverriers 
ein glänzender. Die Beobachtungen dieses Planeten, die in den Zeit- 
raum 1750—1869 fallen, werden nach ihnen soweit dargestellt, daß 
die übrigbleibenden Fehler in heliozentrischen Längen selten mehr als 
+1” überschreiten. Weniger glücklich war Leverrier bezüglich des 
Saturn. Die älteren Beobachtungen von 1750—1826 weisen Fehler 
auf, die in heliozentrischer Länge + 9” erreichen, die neueren von 
1837—1869 solche von +5”. Es hat nun A. Gaillot!??) einige Irr- 
tümer und Ungenauigkeiten in den Rechnungen Leverriers nachge- 
wiesen und darnach neue Tafeln!) für Jupiter und Saturn konstru- 


. 133) A. Gaillot, Addition & la theorie du mouvement de Saturne par Le 
Verrier, Paris C. R. 120 (1895), p. 26. 
134) A. Gaillot, Tables rectifigses du mouvement de Saturne, Paris, Obs. 
Mem. 24 (1904), und ebenso de Jupiter, ebenda 31 (1913). 


126 V12,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


iert, die eine weit bessere Darstellung der Beobachtungen geben. Die 
Fehler gehen im Maximum auf + 3”, scheinen jedoch auf einen klei- 
nen systematischen Gang hinzudeuten. Die auf die Hansensche Stö- 
rungstheorie sich stützenden Tafeln von @. W. Hill'®!) geben eine 
bessere Darstellung der Beobachtungen, aber auch die hier auftreten- 
den Fehler zeigen einen gleichen systematischen Gang.!®) 

Die Planeten Uranus (entdeckt am 13. März 1781 von W. Herschel), 
und Neptun (am 23. Sept. 1845 von J. @. Galle nach den Rechnungen 
Leverriers) sind gewissermaßen noch zu neu, als daß die theoretische 
Bahnbestimmung für die Elemente ihrer Bahn und ihre säkularen 
Veränderungen die gleiche Sicherheit geben könnte wie für die älteren 
Planeten. Zudem hängen beide wegen der nahen Kommensurabilität 
ihrer Umlaufszeiten (2:1) so innig zusammen, daß nur eine gleich- 
zeitige Behandlung ihrer Bewegungstheorien möglich ist. Trotzdem 
ist der Erfolg der neuesten rektifizierten Tafeln von Gaillot!?) ein 
guter. Immerhin scheint sich auch in den hier übrigbleibenden Feh- 
lern eın systematischer Gang zu äußern, der vielfach zu Untersuchungen 
über einen neuen, noch jenseits des Neptun sich um die Sonne be- 
wegenden Planeten?) Veranlassung gab. 

Was den Schwarm der kleinen Planeten zwischen Mars und Ju- 
piter anlangt, so ist nur von wenigen von ihnen bis heute eine voll- 
ständige Bahnbestimmung und ein sorgfältiger Vergleich aller Beob- 
achtungen mit der Theorie durchgeführt und von diesen wenigen ge- 
nügen alle den Beobachtungen fast vollständig. Als Beispiele seien 
angeführt: die Theorie des Planeten Vesta von @. Leveau'”), die den 
Zeitraum 1810—1880 umfaßt und in der die Beobachtungsfehler zwi- 
schen den Grenzen 1& = + 4,0” bis — 2,2” und 46 = -+ 3,9” bis 
— 1,4” liegen, dann die der Egeria von H. Samter.'??) 





135) G.W. Hill, Comparison of the new tables of Jupiter and Saturne with the 
observations of Greenwich of 1889—1900, Astr. Journ. 24 (1905), p. 60. Die 4J« sind 
meist negativ, die fd wieder positiv und langsam ansteigend bis auf 2” für 1900. 

136) A. Gaillot, Tables nouvelles d’Uranus et Neptune: Paris, Obs. Me&m. 
28 (1910). 

137) Von den zahlreichen Versuchen in der Bahnberechnung dieses soge- 
nannten transneptunischen Planeten seien erwähnt: @. Forbes, Edinburgh, Roy. 
Soc. Proc. 10 (1880), p. 426; dann @. Todd in Americ. Journ. of sc. 120 (1880), 
p. 231; W. H. Pickering, A search for a planet beyond Neptun, Harvard, Ann. 61 
(1909); Gaillot, Contributions ä la recherche des planetes ultraneptuniennes, 
Paris C. R. 148 (1909), p. 754 und P. Lowell, Memoir on a transneptunien planet. 
Lowell, Obs. Mem. 1 (1915). 

138) @. Leveau, Tables du mouvement de Vesta, Paris, Obs. M&m. 21 (1896). 

139) H. Samter, Über die Bahn des Planeten Egeria, Berl. Ber. 1901, 
p. 1239—1251. 


22. Theorie der Kometen. 127 


Zu erwähnen wäre außerdem der Parallaxenplanet Eros®), dessen 
Beobachtungen aus dem Zeitraum von 1893—1907 nach den Rech- 
nungen von @. Witt zu einer; Bestimmung der Erdmasse führten, deren 
Genauigkeit alle früheren Bestimmungen weitaus übertrifft ($: E = 
327920 + 143), wo jedoch, wie hier Witt bemerkt, in den übrig blei- 
benden Fehlern eine Gesetzmäßigkeit zu liegen scheint, die unmöglich 
von den vernachlässigten Merkurstörungen herrühren kann, deren Unter- 
suchung aber erst kommenden Jahren überlassen werden muß. 


22. Theorie der Kometen. Die Beobachtungen der Kometen be- 
sitzen nicht jenen Grad der Genauigkeit wie die der Planeten. Ihre 
unregelmäßige Figur, ihr verwaschenes Aussehen im Fernrohre machen 
sie zur genauen Pointierung und Messung wenig geeignet. Die bei 
einer Bestimmung einer Kometenbahn restlichen Fehler zwischen Theorie 
und Beobachtung sind daher im allgemeinen bedeutend größer als die 
bei den Planetentheorien resultierenden und daher zur Entscheidung der 
Frage nach dem Genauigkeitsgrad des Newtonschen Gesetzes wenig 
tauglich. Dies gilt sowohl von den nur in einer Erscheinung beob- 
achteten Kometen, wiewohl diese wieder in anderer Richtung manches 
Interesse bieten, so etwa Bahnunterschiede aus Beobachtungen vor 
und nach dem Perihel'#), wie auch von den in mehreren Wieder- 
kehren aufgefundenen periodischen. 


Von den bisher bekannt gewordenen Anomalien in den Bewe- 
gungen der Kometen ist die des Enckeschen durch die zu ihrer Er- 
klärung herangezogene Lehre vom widerstehenden Medium im Welt- 
raume populär geworden. Sie äußert sich als eine Beschleunigung 
seiner mittleren Bewegung A/n, erwies sich jedoch bisher nicht als 
eine konstante, sondern, wie aus den umfangreichen Rechnungen von 
Backlund'*!) hervorgeht, als eine diskontinuierlich veränderliche Größe. 
Ihr Betrag war: 


140) Siehe die Bahnbestimmung des Kometen 1886 I von A. Svedstrup, 
Kopenhagen 1905, dessen Beobachtungen vom 1. Dezember 1885 bis 30. Juli 1886 
mit dem Perihel 6. April 1886 reichen und deren Gesamtheit sich nur unter der 
Annahme (k)—= k (1 — 0,0000415), d. i. einer Verminderung der Gaußschen Gravita- 
tionskonstanten, darstellen ließ. 


141) Zur Geschichte des Enckeschen Kometen wären zu erwähnen: die Ar- 
beiten von Eneke, Fußn. 43; dann die unter Fußn. 44, 45, 46 zitierten Abhand- 
lungen von von Asten und O. Backlund, denen noch dessen neuesten Arbeiten 
hinzuzufügen sind: Vergleich der Theorie des Einckeschen Kometen mit den Be- 
obachtungen 1894—1895, St. Petersb. M&m. 16 (1904); La come&te d’Encke 1891 
—1908, ebenda 30 (1911); sowie die Berichte in den Astr. Nachr. 184 (1910), 
p. 89 u. 190, (1912), p. 49. 


128 Vl»,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


1786—1819 . ........4nr= + 0,00167” 
zwischen 1819—1858 . . : 2.2... + 0,102651” 
„...1865—1871 schwankend zwischen 0,00” und 0,06” 
181—185.. ....2.02.% 020. 0,067715” 
1895 —1904 2 222 022.202. 0,048600” 
1008: 2 Hunter re OIZDRE, 


Einen ausführlichen Bericht über den Stand der Rechnungen über 
periodische Kometen und über noch bei einigen anderen vermutete 
Beschleunigungen ihrer mittleren Bewegungen gibt L. Schulhof.“?) 


23. Theorie des Erdmondes. Bedeutend schwieriger als für die 
Planeten gestaltet sich der Vergleich zwischen Theorie und Beobach- 
tung beim Erdmonde.“?) Hier fehlt es zwar nicht an zahlreichen, jeden 
wünschenswerten Grad der Genauigkeit besitzenden Beobachtungen. 
Zudem können auch die älteren Angaben über Sonnen- und Mondes- 
finsternisse, von der die Geschichte berichtet, mit Erfolg dazu benutzt 
werden, um namentlich die säkularen Veränderungen der Bahnelemente 
des Mondes zu berechnen.'“) Dafür aber sind die Schwierigkeiten 
einer vollen analytischen Lösung des Problems bis heute noch nicht 
in einer Weise überwunden, daß sie den Bedürfnissen der modernen 
Astronomie genügen konnte. Von den der neueren Zeit angehörenden 
Theorien sind zu erwähnen: 1. Die Theorie von Hansen’), nach der 
Tafeln gerechnet sind, die heute mit den an ihnen von $. Newcomb 
angebrachten Korrektionen im allgemeinen Gebrauche stehen und die 
Grundlage der in allen astronomischen Jahrbüchern veröffentlichten 


142) L. Schulhof, Les cometes periodiques: etat actuel de leurs theories, 
Paris. Bull. astr. 15 (1898), p. 323—364. 

143) Zur Geschichte des Vergleiches seien erwähnt: Die Introduction histo- 
rique in A. Souchons Trait€ de l’astronom. pratique, Fußn. 127; dann Tisserand, 
Mec. cel. 3 (1894), chap. 19 und Paris. Bull. astr. 8 (1891); dann ein Vortrag 
von S. Newcomb, La theorie du mouvement de la lune, son histoire et son 6tat 
actuel — vor dem 4. internat. Math.-Kongreß in Rom 1908; und der Artikel von 
E. Brown, Encykl. VI», 14 (1915), besonders Nr. 26. 

144) Die Grundlage für diese Verwendung bildet der Kanon der Finster- 
nisse von Th. Oppolzer, Wien. Denkschr. 52 (1887); ferner F. K. Ginzel, Astro- 
nomische Untersuchungen über Finsternisse, Wien. Ber. 85 (1882), 88 (1883) und 
89 (1884); sowie dessen spezieller Kanon über Mondes- und Sonnenfinsternisse 
von 900 v.Chr. bis 60 n. Chr., Berlin 1899. 

145) P. A. Hansen, Fundamenta nova investigationis orbitae verae, quam 
luna perlustrat, Gotha 1838; dann: Die Darlegung der theoretischen Berechnung 
der. in den Mondtafeln angewandten Störungen, Leipz. Ges. Abh. 6 (1862) und 
7 (1864); und Tables de la lune, construites d’aprös le prineipe Newtonien de 
la gravitation universelle, London 1857; und der Vergleich mit den Beob. Lond. 
Astr. Soc. Month. Not. 15 (1854). 


23. Theorie des Erdmondes. 129 


Mondephemeriden bilden, 2. die von C. Delaunay'), nach denen erst 
in den letzten Jahren Tafeln berechnet wurden, und 3. die modernste, 
sich auf die speziellen Untersuchungen @. W. Hills stützende Theorie 
von E. Brown“), nach denen Tafeln in Vorbereitung sind. Die von 
Oppolzer‘?) begonnene Theorie blieb leider unvollendet, ebenso sind 
noch nicht voll entwickelt die Untersuchungen von H. Andoyer.') 

Schon Hansen gibt einen Vergleich seiner Theorie mit allen 
Meridianbeobachtungen des Mondes innerhalb des Zeitraumes von 
1750—1850 und zeigt, daß ihre Fehler im Maximum 1—2” betragen 
und nur vereinzelt auf 2,5” ansteigen. Newcomb"°) dehnte diese Ver- 
gleichungen Hansens 1. auf die neueren Beobachtungen bis 1870 aus 
und weist nach, daß die Fehler der Tafeln langsam bis auf 5” zu- 
nehmen, 2. auf die älteren Beobachtungen vor 1750 und zwar sowohl 
auf vier mit ziemlich genauen Orts- und Zeitangaben von Ptolemäus 
mitgeteilte Finsternisse von 688, 382 und 189 v. Chr. und 134.n. Chr., 
deren Fehler — 18,5’ in Länge beträgt, wie auf drei von Albategnius 
angegebenen arabischen aus den Jahren 850, 927 und 986, deren 
Fehler sich zu — 2,5’ ergibt, und auf ältere Mondbeobachtungen von 
1625— 1750, die absteigende Fehler von — 50” bis 0” aufweisen. Für 
die neueren Beobachtungen vervollständigte Neison!?!) diese bis zum 
Jahre 1885 und fand die Tafelfehler weiter ansteigend bis — 14,8” 
für das Jahr 1884. 


Der Erfolg der Hansenschen Theorie ist daher ein zweifelhafter, 
und man ging natürlich eifrig daran, die Ursache dieses Mangels an 
Übereinstimmung aufzufinden. Dieser schwierigen Aufgabe unterzog 


146) C. Delaunay, Theorie du mouvement de la lune, Par. M&m. 28 (1860) 
u. 29 (1867), mit den neuestens nach ihnen gerechneten Tafeln von Radau: Tables 
de la lune, fondees sur la theorie de Delaunay, Par. Bureau des longit. 7 
(1911). 

147) E. W. Brown, Investigations in the lunar theory, Amer. J. of Math. 
17 (1895), p. 318--358; und Theory of the motion of the moon, London Astr. Soc. 
Mem. 53 (1897 u. 1899), 54 (1900), 59 (1908). 

148) Th. v. Oppolzer, Entwurf einer Mondtheorie, Wien. Ak. Denkschriften 
52 (1886); und nach dessen Tode R. Schram, Zum Entwurf einer Mondtheorie 
gehörende Entwicklung der Differentialquotienten, ebenda 54 (1888). 

149) H. Andoyer, Theorie de la lune, Toulouse Fac. Ann. 6 (1892), 7 
(1893); dann Toulouse Obs. Ann. 3 (1899); Par. Bull. astr. 18 (1901), 19 (1902), 
24 (1907). 

150) $. Newcomb, Researches of the motion of the moon, Wash. Obs. App. 
2 (1875). 

151) E.Neison, London Astr. Soc. Mem. 48 (1884). Weitere Literaturangaben 
über Vergleiche zwischen Theorie und Beobachtungen findet man in: Encykl. 
VI, 14 (E. Brown), Nr. 26. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 9 


130 VIs»,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


sich $. Newcomb."°?®) Er verglich die Sonnenstörungen nach Hansen 
mit denen nach Delaunay. Beide nach ganz verschiedenen Methoden 
gerechnet, stimmen so gut miteinander überein, daß mit Recht gesagt 
werden kann, das Problem der Berechnung dieser Störungen sei durch 
sie praktisch vollständig gelöst. Nur in den Planetenstörungen zeigte 
sich eine Differenz. Hansen hatte hier zwei langperiodische Glieder, 
die von den Störungen der Venus herrühren und die Form 


G, = 15,34” sin (18V — 16 E — 9 + 30,2%)... Periode 273 Jahre 
G, = 21,47” sin (83V — 13E + 4,44°)... Er u 
haben, gefunden, während sie nach Delaunay die Amplituden 
16,34” und 0,27” 


besitzen. Eine zweite Differenz bezieht sich auf die von Halley ent- 
deckte und zuerst von Laplace auf ihre wahre Ursache zurückgeführte 
säkulare Beschleunigung in der mittleren Länge des Mondes. Hansen 
gab für sie den Wert von 12,17”, Delaunay dagegen bloß von 6,18”, 
welcher schließlich nach anderen theoretischen Entwickelungen als der 
richtigere anerkannt wurde.'?) Die Newcombschen Korrektionen der 
Hansenschen Tafeln, als Ergebnis seiner umfassenden Rechnungen, die 
daher als Fehler der Theorie und als gegen die unbedingte Gültigkeit 
des Newtonschen Gesetzes sprechende Anomalien in der Bewegung des 
Mondes aufzufassen wären, erstrecken sich auf folgende Fälle: 

1. Das Störungsglied G, ist weder in der Form von Hansen noch 

in der von Delaunay richtig, sondern durch 
G, = + 12,95” sin (189 — 16E — 9 + 100,6°) = 
+ 12,95” sin (1,31° @ — 1800) + 100,6°) 
zu ersetzen. (Das Glied G, ist fast gleich Null, d.h. von Delaunay 
richtig berechnet.) 

2. Aus einer strengen Ausgleichung aller geschichtlich übermit- 
telten Finsternisse von 720 v. Chr. bis 134 n. Chr. folgt als säkulare Be- 
schleunigung der mittleren Mondlänge 7,96” im Jahrhundert, während 
die besten Theorien für sie nur 6,08” geben, so daß ein bisher uner- 


klärter Rest von 1,88” == 2” übrig bleibt. 

3. Außerdem zeigen sich jedoch in den Abweichungen zwischen 

152) S. Newcomb, s. Fußn. 150; ferner Investigation of corrections to Han- 
sens tables of the moon, Wash. Obs. 1876; On the mean motion of the moon. 
Amer. J. of Math. 1877; A transformation of Hansens lunar theory compared 
with that of Delaunay, Wash. Obs. 1882. 

153) Über die Geschichte dieser Berechnung s. E. Brown, Encykl. VIa, 14, 


Nr. 28. 


24. Theorie der Satelliten und Doppelsterne. 131 


Beobachtung und Rechnung noch kleinere Schwankungen (von New- 
comb Fluktuationen genannt) mit einer Amplitude von 5” und fast zwan- 
zigjähriger, und von 1” in etwa dreijähriger Periode. Ein anschau- 
liches Bild von ihnen gibt 5. Newcomb in der Abhandlung") Fluc- 
tuations in the mean motion of the moon. 

Es sind dies Resultate, die E. Brown'?®) auf Grund eines Ver- 
gleiches der von Neweomb abgeleiteten Mondörter mit seiner eigenen 
Theorie bestätigt, wenn auch die Kurve der Abweichungen nach sei- 
nen mit denen nach Newcombs Bestimmungen nicht voll zusammen- 
fällt. Der Grund hiervon liegt hauptsächlich darin, daß Newcomb den 
Helmertschen Wert der Erdplattung 1: 298,3 seinen Rechnungen zu- 
grunde legt, Brown dagegen den Hayfordschen 1:296, ja sogar auf 
1:294 zurückgreift, und ihm die Werte der Bahnelemente des Mon- 
des anpaßt, auf die seine neuen Tafeln sich stützen sollen. 


24. Theorie der Satelliten und Doppelsterne. Weder die Theorie 
der Satelliten der anderen Planeten als der der Erde, noch die der 
visuellen, dann der optisch nicht trennbaren spektroskopischen Doppel- 
sterne und noch weniger die der photometrischen Bedeckungssterne 
sind zu einem vollgültigen Nachweise für die Genauigkeit des quadra- 
tischen Entfernungsgesetzes in der Newtonschen Formel geeignet. 
Hauptsächlich aus dem Grunde, weil die ihnen zugrunde liegenden 
Messungen nicht den Grad der Präzision besitzen, der denen der Pla- 
neten zukommt. Bei den Doppelsternen tritt außerdem noch die 
Frage hinzu, ob die Newtonsche Gravitationskraft allein imstande ist, 
deren Bewegungen zu erklären. Man gelangt durch diese Frage, wie 
bekannt, zu dem rein mathematischen Problem, aus der beobachteten 
Bahn zweier Körper umeinander das Gesetz der zwischen ihnen wir- 
kenden Kraft zu berechnen, das zuerst von J. Bertrand'°®) ausgespro- 
chen wurde. 

Im großen und ganzen hat sich in diesen Systemen das Newton- 
sche Gesetz bewährt, doch über etwaige kleine Korrektionsglieder, die 
innerhalb unseres Planetensystems zu den unleidlichsten Mißstimmun- 
gen zwischen Theorie und Beobachtung Veranlassung geben würden, 
können sie keine Auskunft geben. Wie es sich nun gar mit der Gül- 
tigkeit des Newtonschen Gesetzes als genauer Formel durch die weiten 


154) London Astr. Soc. Month. Not. 69 (1909), p. 169. 
155) E. Brown, The longitude of the moon, London Astr. Soc. Month. Not. 
73 (1913), 75 (1915); und Encykl. VI 2,14 (1914), Nr. 26. Vgl. als Schlußdar- 
stellung seiner Mondtheorie den Vortrag vor der Britt. Ass. for the Adv. of 
Science: Science 40 (1914), p. 389—401. 
156) Über das Bertrandsche Problem vgl. F. Tisserand, Me&e. cel. 1, chap. 2. 
9* 


132 VIa,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Fixsternräume verhält, darüber liegt bis jetzt auch nicht die geringste 
Erfahrung vor.) Auch die neueren Arbeiten über die Bewegungs- 
verhältnisse in Sternhaufen'°®), die an die Verteilung der Sterne in 
ihnen anknüpfen, können hier keine Änderung bringen. 


IV. Versuche zur Erklärung der Bewegungsanomalien 
auf Grund des Newtonschen Gesetzes. 


25. Hypothetische Massen. a) Einwirkung eines Planeten oder 
eines Planetenringes. Vor allem erregte die größte unter den konsta- 
tierten Bewegungsanomalien der Planeten, die säkulare Störung in der 
Perihellänge des Merkur, die Aufmerksamkeit. Sie beträgt 


eAn = 8”78 und mit Rücksicht auf e = 0,2056 4x = 41”25. 


Schon Leverrier"®) hat den Versuch ausgeführt, sie durch die Ein- 
wirkung eines Planeten oder einer Gruppe von mehreren, d. i. mehr 
oder weniger eines Schwarmes von Planeten nach Art der sich zwi- 
schen Mars und Jupiter bewegenden Asteroiden zu lösen. Die Theorie 
verlangt, daß dieser Planet oder Planetenring zwischen Sonne und 
Merkur liegen müsse, sonst würde er eine ähnliche Störung auf die 
Venus ausüben. Sie verlangt weiter, daß seine Bahnebene nahezu mit 
der des Merkur zusammenfalle, soll nicht in dessen Bahn eine Knoten- 
bewegung entstehen, die die Theorie heute nicht zeigt. Die Frage, 
ob dieser Planet oder Ring von Planeten wirklich existiert, beschäf- 
tigte lange Zeit hindurch die Astronomen!®), doch das eifrigste Nach- 
forschen nach ihm führte bisher zu keinem positiven Ergebnis. 


157) Vgl. Seeliger, „Über Doppelsterne“ im Handwörterb. der Astr., Breslau 
1897, p. 671—696, enthalten in Klinkerfuß-Buchholz, Theoret. Astr., Braunschw. 
1912, 3. Aufl,, p. 776; sowie auch Seeliger, Über das Newtonsche Gesetz, Münch. 
Ber. 26 (1896), p. 383. 

158) Von den hierher gehörigen Arbeiten wären zu erwähnen: A. $. Ed- 
dington, The Dynamic of a globular cluster, London Astr. Soc. Month. Nat. 74 
(1914), 75 (1915), 76 (1916); ferner J. H. Jeans, The kinetic theory of Star- 
cluster, ebenda 74 (1914), 75 (1915); dann ©. V. L. Charlier bes.: Statistical 
Mechanics based on the Law of Newton, Lund. Medd. 14 (1916); E. Strömgren, 
Astr. Nachr. 203 (1916) und J. Lense, ebenda 204 (1917). 

; 159) Leverrier, Par. Obs. M&m. 5 (1859); vgl. ferner J. Bauschinger, Unter- 
suchungen über die Bewegung des Planeten Merkur, München 1884, p. 15 ff.; 
dann F. Tisserand, Mc. cel. 4, chap. 29, p. 525 und P. Harzer, Die säkularen 
Veränderungen der Bahnen der großen Planeten, Leipz. Ak. Preisschr. 1895, p. 68. 

160) Vgl. die Entdeckung des Planeten „Vulkan“ durch den Amateur Les- 
carbault und die an sie sich knüpfenden Rechnungen von Leverrier, Les plandtes 
intramercurielles, Astr. Nachr. 88 (1876), p. 347; dann v. Oppolzer, Elemente 
des Vulkan, ebenda 94 (1879), p. 97 u. 303, sowie eine Entgegnung von (©. H. 


25. Hypothetische Massen. 133 


-Bezeichnet m, die Masse des Planeten, d, seine Entfernung von 
der Sonne und n, seine mittlere Bewegung, so ist die Perihelstörung, 
die er auf einen zweiten Planeten mit den entsprechenden Größen 
m, d und n ausübt, gegeben durch: 


d m, d, „ v 
(29) IR arm‘ [0 — 0,0], 


worin O, und CO, aus dem Säkularteil der Störungsfunktion zu be- 
rechnende Koeffizienten sind. Der Ausdruck enthält zwei Unbekannte 
m, und d, und gestattet es nur für beliebige d, das zugehörige m, 
zu finden. Man erhält 

= 0,23 m, = 1:7000000 größte Elongation 13° 





0,19 1:4700000 von der Sonne 11 
(29a) 0,15 1: 2350000 ) 
0,1426 1: 1992000 9 
0,00466 4% > GBpL 0, 


während für Merkur d = 0,388, m = 1: 6000000 ist. Es folgt somit 
für die Mitte der Distanz Merkur— Sonne eine Masse, welche der des 
Merkur ungefähr gleich kommt, ja vielleicht sie übertrifft, und eine 
Elongation von der Sonne von 10—13°, die, wenn der fragliche Planet 
auch bei gewöhnlicher Durchforschung des Himmels durch die Sonnen- 
strahlen verdeckt würde, ihn doch bei Sonnenfinsternissen als einen 
glänzenden Stern oder bei seinen häufigen Vorübergängen vor der 
Sonnenscheibe als einen scharf begrenzten Punkt hervortreten lassen 
müßte. Nichts von dem allen ist durch die Erfahrung bestätigt, noch 
weniger in den Fällen, wo seine Distanz von der Sonne kleiner wäre 
als 0,19. Die Annahme d, = 0,1426 entspricht der Leverrierschen 
Bahnbestimmung des Eeraniischeniih, Planeten. 

Die Hypothese eines Planeten ist daher unter allen as 
fallen zu lassen und durch die eines Planetenringes zu ersetzen. Für 
die Wirkung eines solchen, ihn in der Form eines Kreises annehmend 


und seine Masse mit m, bezeichnend, findet man!®!) 
7 

(30) In a — km.d, %, 
aus welcher Gleichung, da 4x = 41”25 ist, m, zu berechnen ist. 
Wendet man den so gefundenen Wert auf die anderen inneren Pla- 
:neten an, so erhält man 

für Venus: 4” = 4,6” Erde: 1,5” Mars: 0,34” 

ed = 0,032" 0,025” 0,031”, 

Peters, ebenda p. 303, 321, 337; ferner v. Oppolzer, Vortrag über das Newtonsche 
Attraktionsgesetz in der Vers. deutscher Naturf. u. Ärzte, Salzburg 1881. 

161) S. Newcomb, Fund. const., p. 112. 


134 VI2,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


d. h. eine entsprechend der 5 Potenz der Bahnachse des gestörten 
Planeten so rasche Abnahme der Wirkung, daß sie schon für den 
nächsten, die Venus, als unmerklich angesehen werden kann. 

Will man es gleichzeitig versuchen auch die kleine — aber doch 
scheinbar reelle — Knotenstörung der Venus mit in die Berechnung 
der Masse m, des Planetenringes einzubeziehen, indem man dessen 
Ebene als nicht mit der des Merkur zusammenfallend annimmt, so 
folgt für deren Lage in bezug auf die Ekliptik !%) 

i=PV 2=88, 

aber, this great inclination, meint hierzu Newcomb, seems in the 
highest degree improbable if not mechanically impossible, since there 
would be a tendeney for the planes of the orbits of a ring of planets 
so situated to scatter themselves around a plane somewhere between 
that of the orbit of Mercury and that of the invariable plane of the 
planetary system, which is nearly the same as that of the orbit of 
Jupiter. — Diese Instabilität wäre als der einzige Grund gegen die 
Zulässigkeit dieser Hypothese anzuführen, während für sie ihre rela- 
tive Einfachheit spricht sowie der Umstand, daß im Sonnensystem 
Analoga für sie im Schwarm der kleinen Planeten oder im Ring des 
Saturn vorhanden sind. 

b) Elliptizität der Sonne und die Sonnenkorona. Denkt man sich 
den supponierten Planetenring direkt an die Sonne angelegt und dann 
seine Masse derart vom Äquator gegen die Pole hin verteilt, daß eine 
ellipsoidische Gestalt der Sonne entsteht (in diesem Sinne ist in der 
Gleichung (29a) die 5. Zeile zu verstehen, in der für a, = 0,00466, d. i. 
den Radius der Sonne in astronomischen Längeneinheiten das zuge- 
hörige m, = 1: 1551 berechnet erscheint), so bedeutet jetzt diese Zahl 
ihre äquatoreale Ausbauchung im Verhältnis zu ihrer ganzen Masse. 
Ihr entspricht, wenn man die beiden Radien der Sonne am Pol und 
am Äquator mit r, und r, bezeichnet, nach der Beziehung 

4 47 


8 0 DR $.% 
TEN TI 1551 


genähert der Abplattungswert 
(r,—r,):r, = 1: 3100 
oder auf die scheinbare Größe der Sonne bezogen, eine Differenz der 
Radien im Betrage von 0,32”. 
Der aus der Rotationsgeschwindigkeit der Sonne resultierende 





162) Merkwürdigerweise weicht diese Bahnebene nur wenig von der Rota- 
tionsebene der Sonne ab, für die die entsprechenden Zahlen i = 7°, N = 74° 
lauten. 


25. Hypothetische Massen. 135 


theoretische Wert der Abplattung liegt jedoch zwischen den Grenzen !#°) 
1:37000 und 1:93000. 


Direkte Messungen an der Sonne ergaben, wie dies eine sorgfältige 
Diskussion aller Sonnenbeobachtungen durch A. Auwers!®*) nachge- 
wiesen hat, keine — oder höchstens nur eine — solche Spur, für 
deren obere Schranke 1:50000 anzusetzen wäre. Damit ist auch der 
negative Erfolg dieser Hypothese entschieden. 

Kann so die störende Masse nicht innerhalb der Photosphäre der 
Sonne liegen, so sucht sie nunmehr Harzer!) wiederum außerhalb, 
aber in deren unmittelbaren Umgebung, in der bei Sonnenfinsternissen 
sichtbaren Korona. Die Annahme, daß sie eine mittlere Dichte von 
., des Wasserstoffgases habe, und daß ihr eine vorwiegende Ausbrei- 
tung in der Ebene des Sonnenäquators zukomme, würde genügen, um 
sowohl die anomale Perihelbewegung des Merkur voll zu erklären, 
ohne dessen Knotenbewegung zu ändern, noch auf die entfernteren 
Planeten Venus und Erde eine merkliche Einwirkung auszuüben. Man 
könnte sich dabei die Masse der Korona entweder in einem kreisför- 
migen Ring kondensiert denken, der eine sehr geringe Dicke hat, und 
dessen Mittelpunkt mit dem Schwerpunkt der Sonne und dessen Ebene 
mit dem Äquator der Sonne zusammenfällt, oder in einem Zylinder, 
der mit seinen parallelen Grundflächen die Sonne berührt, und dessen 
Durchmesser etwa viermal so groß ist als der der Sonne. 

Dieser Annahme entsprechend führt Harzer in die Gleichungen 
für die säkularen Veränderungen der Bahnelemente der vier inneren 
Planeten mit den von Newcomb für sie festgestellten empirischen 
Werten als neue Unbekannte ein: 1. Die Differenz der Hauptträgheits- 
momente des Systems Sonne und Korona und 2. die Masse m des 
Schwarms der kleinen Planeten zwischen Mars und Jupiter, diese zu 
dem Zwecke, um gleichzeitig die kleine Anomalie in der Perihel- 
bewegung des Mars von 0,75” herabzudrücken, und findet als Lösung 


für die erste (C—4):S=d=111W18... 


was seiner mechanischen Wirkung nach auf die Bewegung des Merkur 


163) Vgl. S. Oppenheim, Encykl. VI 3, 21, Nr. 2. 

164) A. Auwers, Untersuchungen über den Durchmesser der Sonne, Berl. 
Ber. 1886 u. 1887; sowie Der Sonnendurchmesser und Venusdurchmesser nach 
Beobachtungen an den Heliometern der deutschen Venus-Expedition, Astr. Nachr. 
128 (1891). 

165) P. Harzer, Über die Rotationsbewegung der Sonne, Astr. Nachr. 127 
(1891), p. 17; dann Über die Bewegung der Merkurperihels, ebenda 127 (1891), 
p. 81 sowie in der Preisschrift, p. 70 u. 230. 


136 VIs,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


identisch wäre mit einer Sonne, deren Abplattung 1 : 72000 merklich 
unter die von Auwers für sie vorgeschriebene Grenze fällt, für die 


zweite m —= 1:2070000, 


welcher Wert gegenüber dem aus statistischen Überlegungen gefun- 
denen als zu groß bezeichnet werden muß. 

Unsere Kenntnisse von der Sonne, ja dem ganzen Komplex von 
Erscheinungen, ‘den uns die Sonne mit ihrer Umgebung bietet, fügt 
Harzer hinzu, sind noch zu gering, als daß man über die Zulässig- 
“ keit einer ohnehin nur auf eine sehr genäherte Rechnung sich stüt- 
zenden Hypothese ein klares Urteil fällen könnte. 

c) Ein Merkurmond. Einen neuen Versuch, die Bewegungsano- 
malie des Merkur zu erklären, führt E. Härdil!‘) ein durch die An- 
nahme, der Planet sei von einem bisher noch nicht entdeckten Mond 
begleitet. Durch das Vorhandensein eines solchen erfährt er eine 


Perihelstörung, die genähert durch 


(31) 4: — 4 (0) m 


4 m 


dargestellt wird, wenn m, n und d sich auf den Planeten, m, und d, 
auf den fraglichen Mond beziehen, oder in Zahlen umgesetzt: 

0,41” = 3945000 m,d,?: mad?, 
eine Gleichung, die wieder zwei Unbekannte enthält. Einander zuge- 
ordnete Werte sind 
m,/m = 1:80 d,:d= 0,00295 T = (Umlaufszeit) = 33 Tage 

„ =1:10% „ = 0,00330 e; 39°, 

„ == 1:200 „ = 0,00466 . —=66 „. 
Ungünstig für diesen neuen Versuch ist wie bei den früheren die gar 
zu große Masse, die darnach der Mond haben müßte, um die Störung 
in dem konstatierten Betrage von 41” (nach Leverrier) zu erklären 
und demgemäß auch die große Helligkeit, mit der er in der Nähe des 
Merkur aufleuchten würde, so daß es unwahrscheinlich ist, daß er 
sich bis heute habe der Wahrnehmung entziehen können. Dazu 
kommt noch, daß, um keine Knotenstörung zu erhalten, die in diesem 
Falle retrograd sein würde, die Annahme gemacht werden müßte, daß 


seine Bahnebene genau mit der des Merkur zusammenfalle. 
d) Das Zodiakallicht und die Seeligersche Theorie. Seeliger'*") führt 


166) E. Härdtl, Zur Frage nach der Perihelbewegung des Planeten Merkur, 
Wien. Ber. 103 (1894). Für die Erde beträgt die durch die Anwesenheit des 
Mondes hervorgerufene säkulare Perihelstörung 0,0698’ t?. 

167) Seeliger, Über kosmische Staubmassen und das Zodiakallicht, Münch. 
Ber. 1901; dann Über die sogenannte absolute Bewegung, ebenda 1906, und Das 


25. Hypothetische Massen. 387 


die Erscheinung des Zodiakallichts auf eine fein verteilte Materie 
zurück, die sich symmetrisch um die Sonne gruppiert, wie aus den 
Beobachtungen sich nachweisen läßt, über die Erdbahn hinausragt 
und deren Flächen gleicher Dichtigkeit scheibenförmige Rotations- 
flächen (stark abgeplattete Rotationsellipsoide) sind, deren Dichte mit 
der Entfernung von der Sonne abnimmt. Auf Grundlage dieser An- 
schauung stellt er sich die Aufgabe, Dichte und Bahnlage dieser 
Ellipsoide nicht bloß aus der anomalen Perihelbewegung des Merkur, 
sondern gleichzeitig aus allen Resten zu berechnen, die, wie die New- 
combsche Ausgleichsrechnung zeigt, in den säkularen Variationen der 
Elemente der vier inneren Planeten übrig bleiben (Gleich. (28), p. 125), 
doch, wie leicht erklärlich, mit Ausnahme deren Exzentrizitäten. Ur- 
sprünglich nimmt er fünf solcher Ellipsoide an, in den Distanzen 


010 017 024 060 1,2238. 


Die Rechnung zeigt aber, daß die Koeffizienten, die die den drei 
ersten Ellipsoiden entsprechenden Störungsbeiträge zu den säkularen 
Veränderungen bestimmen, so nahe proportional verlaufen, daß nicht 
daran gedacht werden könne, ihre Wirkungen voneinander zu trennen. 
Die drei Flächen wurden daher zu einer in der Distanz 0,24 ver- 
einigt, dessen Dichte g,, Bahnlage ©, und N, die ersten drei Unbe- 
kannten des Problems bildeten. Ebenso wies der Verlauf der Koeffi- 
zienten nach, daß das 4. Ellipsoid (Distanz 0,60) keinen nennenswerten 
Beitrag zur Darstellung der empirischen Korrektionen liefere. Es 
wurde daher nicht weiter berücksichtigt und blieb nun noch das 5. 
übrig, das zwischen Erde und Mars liegt, in der Distanz 1,224. Für 
dieses wurde die Annahme gemacht, daß seine Äquatorebene mit der 
Äquatorebene der Sonne zusammenfalle und daher bloß seine Dichte 
0, als 4. Unbekannte angesetzt ist. Was die Abplattungen der Ellip- 
soide betrifft, so zeigte sich ebenfalls, daß sie innerhalb weiter Grenzen 
willkürlich angenommen werden konnten, ohne eine wesentliche Ände- 
rung in der Darstellung der empirischen Restglieder zu veranlassen. 
Es wurde für das erste Ellipsoid die Elliptizität A—= 10, für das 
zweite A—=5 angesetzt, denen die Abplattungen 0,9 bzw. 0,8 ent- 
sprechen. Daß diese Annahmen die Massenverteilung im Zodiakallicht 
nur in ganz allgemeinen Umrissen bestimmen, ist klar, aber dies 
spricht, wie hier Seeliger meint, mehr zu gunsten als zu ungunsten 
der ganzen Hypothese. 

Zodiakallicht und die empirischen Glieder in der Bewegung der inneren Pla- 
neten, ebenda 1906, p. 595; sowie Astr. Ges. Vjs. 41 (1906). Vgl. auch den Ar- 


tikel Anding, Encykl. VIs, 1: Über Koordinaten und Zeit, besonders Nr. 5: Me- 
ehanische Bestimmung der Präzessionskonstanten. 


138 VI»2,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Neben diesen vier Unbekannten, o,, i, und N}, für das erste Ellip- 
soid (d, = 0,24) und 9, = 7, A, = 18%, d, = 1,2235) für das 
zweite, wurde jedoch noch eine fünfte eingeführt, die sich zur Dar- 
stellung der Neweombschen Restglieder als wichtig, ja als unumgäng- 
lich notwendig erwies. Es ist dies die Rotationskomponente r (die 
bezüglichen p und q ergaben sich beide als nahezu = 0), die sich auf 
die Orientierung des empirischen Koordinatensystems der Astronomie 
gegen das „absolute“ oder Inertialsystem bezieht und die hundert- 
jährige Drehung dieses Systems um eine auf der Ekliptik senkrechte 
Achse bedeutet, für deren Einführung schon vorher von Seeliger und 
Anding Vorarbeiten durchgeführt worden waren. 

Die Rechnung ergab für die fünf Unbekannten die Werte: 


i, = 6,95 £ 0,91? N = 40,03° + 7,3° 
0, = 2,18 :107% = 0,31 1072 5,6937 1,68" 
und mit ihnen die Darstellung: 


Ellipsoid Beob.- mittlerer 
Newcomb 1; » r Summe Rechn. Fehler 


edx Merkur +8,48” 47,396” —0,108” 41,203” +8,49” — 0,01” +0,43” 
Venus —0,05” 40,015” —0,009” +0,040” +0,05” — 0,10” +0,25” 
Erde +0,10” 40,012” — 0,037” +0,098”° +0,07’ +0,03” +0,13” 
Mars +0,75” 40,014” -+0,033” 40,546” +0,59” +0,16” +0,35” 
iA) Merkur +0,61” — 0,049” — 0,016” +0,713” +0,65” — 0,04” +0,52” 
Venus +0,60” +0,088' 40,144” +0,346” +0,58” +0,02” +0,17” 
Mars -+0,03” +0,014” 40,030” 40,189” +0,23” — 0,20” +0,22” 
Ai Merkur +0,38” 40,574” —0,057°”  — +0,52” — 0,14” +0,80 
Venus +0,38” 40,159” 40,009” — +0,17” +0,21” +0,33” 
Mars —0,01” +0,003’” — 0,020” —_ — 0,02” +0,01” +0,20” 
zeigt, daß alle größeren Differenzen, wie e4x bei Merkur und Mars 
und ©4/N bei der Venus, fast vollkommen verschwunden und die 
an sich kleineren vorhandenen nirgends merklich oder ungebühr- 
lich vergrößert wurden. Damit ist wohl die Aufgabe, die empirischen 
Korrektionen in den Bewegungen der inneren Planeten auf eine stö- 
rende Einwirkung des Zodiakallichtes zurückzuführen, wobei über die 
Verteilung der Massen in ihm ganz plausible, nirgends irgendwie un- 
zulässige oder den Beobachtungen widersprechende Annahmen vor- 
liegen, gelöst, doch entstehen Bedenken über den Einfluß, den sie 
möglicherweise auf die Lage der Ekliptik — als der Bahnebene der 
Erde — und auch der des Erdmondes haben können. Diese Bedenken 
zerstreute W. de Sitter!®), welcher, gestützt auf Rechnungen von 


(32) 


168) J. Woltjer, On the Seeligers hypothesis about the anomalies in the 
motion of the inner planets, und W. de Sitter, Remarks on M. Woltjers paper 
concerning Seeligers hypothesis, Amsterd. Proceed. 17 (1914), p. 23 u. 26. Vgl. 


26. Die Hypothese des widerstehenden Mediums. 139 


Woltjer, findet, daß der Einfluß der zwei Seeligerschen Ellipsoide so- 
wie der von ihm angenommenen Rotation des empirischen Koordi- 
natensystems sowohl auf die Lage der Ekliptik und die Präzessions- 
größe, wie auch auf die der Mondbahn nur unmerklich ist. Die durch 
sie hervorgerufenen Störungen fallen innerhalb der für diese durch die 
Beobachtungen festgelegten Fehlergrenzen. Sie betragen für den Mond 
als hundertjährige Variationen des Perigäums und des Knotens + 2” 
bzw. — 2”. 

26. Die Hypothese des widerstehenden Mediums. a) Enckes 
Hypothese. Die Hypothese des widerstehenden Mediums wurde von 
Encke'®?) eingeführt, um die $ 22 erwähnte Anomalie in der Bewe- 
gung des nach ihm benannten Kometen zu erklären. Die Einführung 
erfolgte auf eine von Olbers gegebene Anregung hin trotz des Wider- 
spruches F. W. Bessels!'®), der den störenden Einfluß auf die Bewe- 
gung des Kometen als eine Art Rückstoß betrachtet wissen wollte, 
den die bei der Schweifbildung tätigen Kräfte auf die Bewegung aus- 
üben. Doch der Erfolg blieb zunächst auf der Seite Enckes. Vom 
Jahre 1786—1865, in den zahlreichen Erscheinungen des Kometen 
während dieses Zeitraumes, war die Übereinstimmung zwischen Theorie 
und Beobachtungen eine so entsprechende auf Grundlage der neu ein- 
geführten Hypothese, daß an ihrer Richtigkeit nicht gezweifelt wer- 
den konnte. Im Jahre 1865 trat die erste Wendung ein. Die von 
da ab nach Enckes Tode von Asten**) fortgeführten — und außerdem 
bis 1819 zurückgreifenden — Bahnberechnungen des Kometen zeigten, 
daß für den Zeitraum von 1865—1871 die Störungen der Planeten 
ausreichend und die Berücksichtigung einer außergewöhnlichen Ano- 
malie nicht notwendig sei, um zwischen Beobachtung und Rechnung 
die erwünschte Harmonie herzustellen, daß aber wieder im folgenden 
Umlaufe 1875 ein besserer Einklang erzielt werde, wenn man die 


auch @. O. James, Relation on the inertial and empirical trihedrion of gravita- 
tional system, Astr. J. 27 (1913), p. 77. 

169) Siehe Fußn. 43. Über das widerstehende Medium, im Zusammenhange 
mit der Theorie des Enckeschen Kometen, und auch vom allgemeinen astrono- 
mischen Standpunkte hat sich eine reiche Literatur gebildet; vgl. Rebeur- Pasch- 
witz, Über eine Bewegung der Kometen im widerstehenden Medium, Berlin 1883; 
ferner L. Picart, Sur l’accel&ration apparente du mouvement de quelques comötes 
periodiques, Par. Bull. astr. 21 (1904); A. Wilkens, Über die kosmogonische Be- 
deutung der durch Auflösung des Kometen entstehende Bewegungsanomalie, 
Astr. Nachr. 196 (1914), p. 57. 

170) F. W. Bessel, Bemerkungen über die mögliche Unzulänglichkeit der 
die Anziehung allein berücksichtigenden Theorie der Kometen, Astr. Nachr. 13 
(1840), p. 345 = Ges. Abh. 1, p. 80. 


140 VI»,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Enckesche Hypothese zu Hilfe nehme; nur sei die Störung bloß 2 der 
von Encke vorher bestimmten. Von da ab blieb, wie der neue Rechner 
O. Backlund®?) nachweist, sie wieder konstant bis 1895 und erlitt da 
eine nochmalige Verringerung um 3, und wie es den Anschein hat, 
eine letzte im Jahre 1908. 

Um diese neuen Unregelmäßigkeiten zu erklären, nimmt Back- 
lund an, daß die säkulare Beschleunigung 4» der mittleren täglichen 


Bewegung des Kometen proportional mit der Zeit, gemäß der Gleichung 
An = An,(l — vi) 


abnehme; eine Neuausgleichung aller Beobachtungen auf ihrer Basis 
gibt jedoch ee: 


Er setzt ferner An= An,(l—pY), 


wobei 7 von den durch die Störungen der Elemente bedingten Ver- 
änderungen abhängig sein soll. Doch auch da wird die beste Dar- 
stellung der Beobachtungen erzielt, für 

v—=(. 

Die Akzeleration der mittleren Bewegung des Enckeschen Ko- 
meten, schließt Backlund, ist eine der bestkonstatierten astronomischen 
Tatsachen. Niemand kann sie leugnen, aber in ihrer Erklärung können 
die Meinungen auseinandergehen. Es scheint durch die Untersuchung 
bewiesen zu sein, daß die einfache Hypothese eines widerstehenden 
Mediums, das in irgendwie regelmäßiger Verteilung um die Sonne 
lagert, und dessen Dichte daher mit der Entfernung von der Sonne 
kontinuierlich nach einem bestimmten Gesetze abnimmt, mit der be- 
obachteten Bewegung des Kometen nicht verträglich ist. Vielmehr 
wären hier diskontinuierliche Störungen anzunehmen, und, wie aus 
den Beobachtungen mit großer Wahrscheinlichkeit folgt, dürften solche 
besonders in den Jahren 


1858, 1868, 1895 und 1908 


stattgefunden haben!"!), Damit wird aber die ursprüngliche Enckesche 
Hypothese auf die Seeligersche von der Erfüllung des ganzen Welten- 
raumes mit kosmischen Staubmassen zurückgeführt. 





171) Man fühlt sich da gedrängt, einen Zusammenhang zwischen diesen 
Störungen und anderen Erscheinungen am Himmel aufzusuchen. Vor allem bieten 
sich die Perioden größerer Aktivität auf der Sonne als geeignetste Vergleichs- 
objekte dar. Vgl. O. Backlund, London Astr. Soc. Month. Not. 70 (1910). Doch 
sind solche Koinzidenzen stets mit großer Vorsicht anzusetzen. Vgl. den Artikel 
J. Holetschek, Über die Bewegungs- und Helligkeitseigentümlichkeiten des Encke- 
schen Kometen, Wien. Sternw. Kalender 1915. 


26. Die Hypothese des widerstehenden Mediums. 141 


b) Seeligers Theorie!'?). Die Massen, welche nach der von See- 
ligerschen Theorie den ganzen Welt-, oder wie hier bloß in Betracht 
zu ziehen ist, den interplanetarischen Raum erfüllen, und hauptsäch- 
lich der Anziehung der Sonne folgend, nach den Keplerschen Gesetzen 
ihre bestimmten Bahnen um sie beschreiben, können in zweifacher 
Richtung auf die sich in ihnen bewegenden Himmelskörper eine stö- 
rende Wirkung ausüben: 


1. in der durch Zusammenstöße mit der Erde und dem Monde 
'erzeugten Vergrößerung ihrer Massen, was für die Erde mit einer 
Änderung ihrer Rotationsdauer verbunden ist, Umstände, auf die zu- 
erst Th. v. Oppolzer‘"?) aufmerksam machte und sie zur Erklärung der 
Unregelmäßigkeit in der mittleren Bewegung des Mondes heranzu- 
ziehen versuchte; von ihr soll weiter unten, Nr. 27c, die Rede sein. 


2. in einer Art von durch diese Staubwolken verursachtem Wider- 
stand, bei dem, wie die bezüglichen Entwickelungen Seeligers es zei- 
gen, die störenden Einflüsse proportional sind dem Quadrate der Ge- 
schwindigkeit des sich bewegenden Körpers (Kometen) und der Dichte 
dieser Massen als ihrer Menge in der Volumseinheit, ein Ergebnis, 
das den Annahmen Enckes über die Wirkungsweise des widerstehen- 
den Mediums vollständig entspricht, so daß hierdurch die Bewegungs- 
anomalie des Enckeschen Kometen nicht nur formal, sondern auch 
durch den Umstand, daß die Verteilung der Massen um die Sonne 
eine ganz unregelmäßige ist, mithin diskontinuierliche Dichtigkeits- 
änderungen in ihnen sehr wahrscheinlich sind, die sonst rätselhaften 
Änderungen in den Widerstandskonstanten ihre Erklärung finden 
könnten. 


172) H.v.Seeliger, Über Zusammenstöße u. Teilungen planetarischer Massen, 
Münch. Akad. Abh. 17 (1891). 


173) Th. v. Oppolzer, Über eine Ursache, welche den Unterschied zwischen 
der theoretisch berechneten Säkularakzeleration in der Länge des Mondes und 
der tatsächlichen bedingen kann, Astr. Nachr. 108 (1884), p. 67, und die Bemer- 
kungen dazu von 0. Braun, ebd. p. 259. Die Oppolzersche Anschauung gab zu 
dem neuen Problem Veranlassung, die Bewegung zweier Körper umeinander für 
den Fall, daß ihre Massen mit der Zeit veränderlich sind, zu untersuchen. 
H. Gylden hat dasselbe zuerst behandelt, Astr. Nachr. 109 (1884), p. 1; dann 
E. 0. Lovett, ebd. 158 (1902), p. 337; J. Meschtschersky, Astr. Nachr. 132 (1892), 
p. 192; 158 (1902), p. 337; vgl. das Referat von R. Radau in Paris Bull. Astr., 
19 (1902), p. 462; dann R. Lehman-Filhes, Astr. Nachr. 145 (1898), p. 353; 
E. Strömgren, ebd. 163 (1903), p. 129; C. Plummer, London Month. Not. 66 (1906), 
p- 83; @. Armellini, Rom. Acc. Lincei 21 (1912), 22 (1913) und 23 (1914) mit dem 
Hinweise auf P. Appell, Mecanique rationelle I, p. 409, und M. Tomaselli und 
F. 8. Zarlatti in Paris Bull. Astr. 31 (1914), p. 150. 


143 VIe,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


c) Der Lichtdruck. Nachdem durch die Experimentaluntersuchungen 
von P. Lebedew u. a. die Tatsache des Lichtdruckes festgestellt worden, 
befaßte man sich auch mit seinem Einfluß auf die Bewegung der 
Himmelskörper und suchte Abweichungen vom Newtonschen Gesetz 
aus ihm abzuleiten. Man betrachtete hierbei den Lichtdruck als nur 
in der Richtung des Radiusvektors zwischen Sonne und dem ange- 
zogenen Körper wirksam und erhielt daher einzig eine Änderung der 
Sonnenanziehung im Verhältnisse!”*) 


ee. 


er’ 

wenn o die Dichte und r den Radius des Körpers bedeuten und r als 
groß gegenüber der Wellenlänge des Lichtes angenommen wird, ferner 
A eine Konstante vorstellt, die von der Form des Körpers (Verhältnis 
seiner Oberfläche zum Volumen) abhängt. 

J. H. Poynting‘”) machte zuerst darauf aufmerksam, daß infolge 
der endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes auch die 
Richtung des Druckes auf den angezogenen Körper durch eine Art 
Aberration geändert werde und H. Seeliger‘) findet sodann, außer der 
erwähnten Störung, noch solche parallel zum und senkrecht auf den 
Radiusvektor. Beide haben eine Ähnlichkeit mit den Störungskom- 
ponenten, welche bei Bewegungen in einem widerstehenden Medium 
auftreten. Eine Überschlagsrechnung ergibt bei passender Wahl von 
oe und r den Betrag der Störung von einer Größenordnung, die wohl 
ganz in die von Backlund für den Enckeschen Kometen gefundene 
fällt, ohne daß aber dabei an eine restlose Erklärung der bei diesem 
Kometen sich zeigenden Bewegungsanomalien zu denken wäre. 


27. Veränderungen in der Rotationsdauer der Erde. a) Theorie. 
Bezeichnet man den konstanten Teil der Rotationsgeschwindigkeit der 
Erde mit @,, ihre Verzögerung mit /o, so daß ihr tatsächlicher Wert 


(33) o—=o, — Jo-t 


174) P. Lebedew, Die physikalischen Ursachen der Abweichungen vom 
Newtonschen Gravitationsgesetze, Astr. Gesells. Vjs. 37 (1902), p. 220. — Der 
Artikel enthält eine ausführliche Literaturangabe über den Lichtdruck überhaupt. 

175) J. H. Poynting, Radiation in the solar system, London Phil. Trans. 
202 (1904), p. 525, und Radiation Pressure, Phil. mag. 9 (1905), p. 393. Poynting 
macht hier auch Berechnungen über den Widerstand, den die Erde bei ihrer 
Bewegung um die Sonne infolge ihrer Ausstrahlung erleidet; weitere Bemer- 
kungen dazu von E. B. Wilson, The revolution of a dark particle about a lu- 
minous centre, Ann. of Math. 1907, p. 134, und Th. H. Brown, The effect of ra- 
diation on a small partiele revolving about Jupiter, ebd. 16 (1914), p. 22. 

176) H. Seeliger, Über den Einfluß des Lichtdruckes auf die Bewegung 
planetarischer Körper, Astr. Nachr. 187 (1911), p. 417. 


27. Veränderungen in der Rotationsdauer der Erde. 143 


ist, so wird jeder Meridian der Erde gegen seinen ungestörten Ort 
um die Größe + dot? 


zurückbleiben. Da aber die Bewegungstheorie der Planeten und des 
Mondes auf ein mit der Erdrotation gleichmäßiges Fortschreiten der 
Zeit gegründet wird, so wird sich dieses Zurückbleiben auf deren Be- 
wegung im Verhältnis zu ihrer Winkelgeschwindigkeit um die Erde 
übertragen und eine scheinbare Beschleunigung derselben hervorrufen. 
Setzt man die mittlere tägliche Bewegung des Mondes speziell gleich 
N, so wird diese scheinbare Beschleunigung zu 


# 
3 Iwngt? 


anwachsen und man hat, da diese ungefähr 2” im Jahrhundert aus- 
macht, für die Unbekannte Jo die Gleichung 


Jon = 2 
aus der sich ergibt Ao = 23,08 - 10", 


ein Betrag, der nach Multiplikation mit 86400 und 36525 dem Vor- 
eilen einer richtig gehenden Uhr gegenüber der Rotationsdauer der 
Erde um 7°265 für ein Jahrhundert entspricht. Dies würde für eine 
vollständig starre Erde gelten, für eine elastisch nachgiebige kommt 
noch eine Veränderung im Verhältnisse zu ihrem Starrheitskoeffi- 
zienten hinzu. Macht man weiter noch die Annahme, daß die Größe 
4o keine konstante, sondern eine periodisch veränderliche Größe ist, 
so würde auch die durch sie hervorgerufene Ungleichheit in der Be- 
wegung des Mondes nicht konstant, sondern periodisch veränderlich 
sein und man wäre damit in der Lage, die gesamten Abweichungen 
in der Theorie des Mondes als scheinbare zu bezeichnen, hervorgerufen 
durch irgendwelche Variationen in der Rotation der Erde. 

b) Flutreibung'"). Schon J. Kant hatte 1754 auf die Flutreibung 
hingewiesen als eine mögliche Ursache für eine Verkürzung der Ro- 
tationsdauer der Erde und damit eine Verlängerung des Sterntages. 
1848 stellte J. R. Mayer in seiner Dynamik des Himmels eine ähn- 
liche Behauptung auf, ebenso H. Helmholtz in seinem Vortrage: Über 
die Wechselwirkung der Naturkräfte und die darauf bezüglichen 
neuesten Leistungen der Physik (1854). Doch erst ©. Delaunay!"®) 
sucht durch sie die Unregelmäßigkeit in der Bewegung des Mondes 


177) Geschichtliches zur Theorie der Flutreibung vgl. den Artikel @. H. Dar- 
win und $. $. Hough, Encykl. VIı, 6, besonders Nr. 41. 

178) C. Delaunay, Sur l’existence d’une cause nouvelle ayant une influence 
sensible sur la valeur de l’&quation seculaire de la lune, Paris C. R. 61 (1865), 
p. 1023, ferner 62 (1866), p. 197, und J. Bertrand, ebd. p. 162. 


144 VI»,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


zu erklären. Da er für diese aus der Theorie nicht erklärte säkulare 
Beschleunigung 6” annimmt, so findet er eine Verlängerung des Tages 
um 22 Sekunden für ein Jahrhundert, ein Resultat, das seitdem in 
viele Lehrbücher Eingang gefunden hat. Am intensivsten befaßten 
sich W. Thomson (Lord Kelvin)‘") und @. H. Darwin"?®) mit dieser . 
Frage. Letzterer weist in seinen Untersuchungen über die Rotation und 
Präzession eines zähflüssigen Ellipsoides nach, daß dessen Rotations- 
geschwindigkeit durch die Einwirkung der Flutkräfte einen ganz un- 
regelmäßigen Charakter habe und außer von dem Grade der Zähig- 
keit noch von den Perioden der Flutkräfte und den Verzögerungen 
der Fluten gegen ihre theoretischen Eintrittszeiten abhänge. Aber 
schon die Ansicht!®!), daß die Erde starr und nur von einer flüssigen 
Wassermasse bedeckt ist, in welcher durch Sonne und Mond Flutbe- 
wegungen hervorgerufen werden, genügt und macht es wahrschein- 
lich, daß ihre Rotationsgeschwindigkeit sowohl säkularen wie perio- 
dischen Variationen unterworfen ist. Eine vollständige Theorie der 
Rotations- und Präzessionsbewegung der Erde, welche allen auf ihr 
tatsächlich vorhandenen Verhältnissen Rechnung tragen will, steht 
daher im innigsten Zusammenhange mit der Theorie der Ebbe- und 
Fluterscheinungen und erst eine vollständige Erklärung der Unregel- 
mäßigkeiten in diesem Erscheinungsgebiete wird einen wesentlichen 
Fortschritt in unserer Kenntnis von den Störungen in der Rotations- 
bewegung der Erde mit sich bringen. In diesem Sinne hängt das 
Problem außerdem noch mit den Polschwankungen und der Umwand- 
lung der freien Eulerschen Periode des Rotationspols der Erde von 
306 in die Chandlersche von 432 Tagen zusammen. Auch diese, der 
elastischen Nachgiebigkeit der Erde zugeschrieben, bedingt eine Ver- 
änderlichkeit des Hauptträgheitsmomentes der Erde in bezug auf ihre 
Rotationsachse, welche eine säkulare wie periodische Verlängerung 
des Tages nach sich zieht, die mindestens einen Teil des Wider- 
spruches in der Mondtheorie lösen könnte.'#?) 


179) W. Thomson und P.Tait, Natural philosophy, 2. Aufl., Cambridge 1883, 
part. 1, app. 9(a). 

180) @. H. Darwin, Scientific papers, Cambridge 1907, Vol. I: Oceanic tides 
and lunar disturbance of gravity; Vol. II (1908): The tidal frietion. Vgl. auch 
die Darstellung in H. Poincare, Les hypotheses ERS; Paris 1911, 
chapt. 7, Theorie de Sir @. H. Darwin. 

181) $. Oppenheim, Über die Rotation und Präzession eines flüssigen Sphä- 
roids, Wien. Ber. 1885. . 

182) Zahlreiche Arbeiten in dieser Richtung enthalten die neuen Bände 
der London. Month. Not. aus den Jahren 1900 u. 1915, von J. Larmor, The ir- 
regularities in the Earths Rotation, dann E. H. Hills und. H. Plauert. 


27. Veränderungen in der Rotationsdauer der Erde. 145 


Die Frage, ob diese veränderliche Rotationsgeschwindigkeit der 
Erde sich auch noch in anderen Erscheinungen am Himmel bemerk- 
bar mache, behandelt am eingehendsten $. Newcomb'??). Zuerst zieht 
er eine Untersuchung von S. Glasenapp'**) heran, welcher eine solche 
Verzögerung aus einer Reduktion einer großen Reihe von Beobach- 
tungen über Verfinsterungen der vier großen Jupitermonde, die er zu 
einer Neuberechnung der Aberrationszeit unternommen hatte, er- 
schließen will. Hierauf versucht er es mit der Bewegung des Mer- 
kur, der in seinen regelmäßigen und in ziemlich rascher Aufeinander- 
folge sich abspielenden Vorübergängen vor der Sonnenscheibe zur 
Entscheidung dieser Frage besonders geeignet ist. Aber trotz man- 
cher Übereinstimmung erzielt er kein befriedigendes Resultat. Das 
Beobachtungsmaterial betreffend die Jupitermonde scheint ihm noch 
zu wenig kritisch gesichtet, das der Merkurvorübergänge führt wohl 
auf eine Rotationsveränderlichkeit, aber diese ist bedeutend kleiner, 
als sie zur vollen Erklärung der Mondanomalie notwendig wäre. Er 
kommt daher zu dem Schlusse, daß zurzeit die Frage nach der Ver- 
zögerung der Rotationsdauer der Erde noch als eine offene bezeichnet 
werden muß. 

c) Massenvergrößerung der Erde. Th. v. Oppolzer!'?) will die säku- 
lare Ungleichheit in der Länge des Mondes — ähnlich wie die des 
Enckeschen Kometen — durch die Bewegung von Mond und Erde 
in einem mit Meteormassen erfüllten Raum (Seeligers Theorie des 
kosmischen Staubes'!’®)) erklären. Doch soll nach seiner Anschauung 
dessen störende Wirkung nicht allein einen Widerstand bedingen (die 
hierdurch hervorgerufene Änderung in der mittleren Länge des Mon- 
des sei AL,), sondern neben diesem auch noch durch eine Vergröße- 
rung der Mondmasse (die dadurch entstehende säkulare Längenstörung 
sei 4JL,), sowie endlich durch eine gleichzeitige der Erdmasse, mit 
der eine Verminderung ihrer Rotationsgeschwindigkeit, damit eine 


183) S. Newcomb, On the possible variability of the Earths axis of rota- 
tion, Amer. J. of. sc. 7 (1874); ferner in seinen Untersuchungen über die Merkur- 
vorübergänge vor der Sonnenscheibe in Astr. Pap. 1 (1882). — Vgl. das Referat 
in Astr. Ges. Vjs. 8 (1874), p. 183, und die Schlußabhandlung: On a desira- 
bleness of a re-investigation of the problem growing out of the mean motion 
of the moon, London Month. Not. 63 (1903), p. 316. 

184) S. Glasenapp, Untersuchung über die Verfinsterungen der Jupitersatel- 
liten in den Jahren 1848—1873, Inaug.-Diss. St. Petersb. 1874 (in russischer 
Sprache) und den Bericht hierüber von A. Downing in The observ. 12 (1889), 
p- 173 u. 210; ferner N. Stoyanoff, Expos& de la methode de M. Glasenapp pour 
la reduction des observations des eclipses des satellites de Jupiter. Toulouse 
Fac. Ann. 5 (1903), p. 151. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI2,B. 10 


146 VIa»,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Änderung des Zeitmaßes und durch deren Übertragung auf die Be- 
wegung des Mondes eine scheinbare Beschleunigung (A41,) verbun- 
den ist. 

Wird angenommen, daß bei der Bewegung von Mond und Erde 
in diesem mit Staub erfüllten Raume die von beiden Körpern auf- 
genommenen Massen auf deren Oberflächen gleichmäßig verteilt wer- 
den und dabei, ihre mittlere Dichte als mit der mittleren Dichte der 
Erde identisch vorausgesetzt, die Schichthöhe h erreichen, so erhält 
man für die Vergrößerung der Erdmasse 


JE=YE, 
für die des Mondes 
U AER)- RE: (a): 
wenn, wie stets $ den Radius der Erdkugel und R’ den des Mondes 
bedeutet, und damit für die ee Gruppen von Per 


A TR 2 
L=-:126- ER SR 1,89 .? = 81: 2, nn 
nö ee 9 3h 81 130 
N ha 
AL=z'zpnt Ba ne, 


was mit den Annahmen E=81M, R®=3R:11 in Zahlen umge- 
setzt, und A in mm ausgedrückt, zu 


AL = 928", Au = 0,817, AL, — 0,68" Ch 
führt. Soll nun die ganze säkulare Störung 2” sein, so wäre h aus 
—= 10,83”% 
zu berechnen. Hieraus folgt für h als die Niederschlagshöhe des kos- 
mischen Staubes auf die Erdoberfläche für ein Jahrhundert A = 0,19 mm, 
eine wohl sehr kleine Zahl, die aber doch sagt, daß das tägliche Quan- 
tum an Staub, daß damit die Erde aufzunehmen hätte, 14,8 Millionen 


Tonnen betragen müßte, eine Zahl wiederum, die viel zu groß und 
daher wenig wahrscheinlich: ist.!#) 

185) Von anderen Versuchen, sowohl die Störungen in dem Laufe des 
Enckeschen Kometen wie in dem des Mondes zu erklären, seien noch erwähnt: 
€. V. Charlier, Über die Akzeleration der mittleren Bewegung der Kometen, 
Lund. Medd. 29 (1906), der von dem Satze ausgeht, daß, wenn zwei Körper sich 
in einer und derselben Bahn hintereinander und in kurzem Abstande voneinander 
bewegen, der vorangehende in seinem Laufe beschleunigt, der nachfolgende ver- 
zögert wird, was eine säkulare Änderung ihrer mittleren Längen hervorruft, die 
es gestatten würde, ihre Massen aus dieser Störung zu berechnen. Aufden Enckeschen 
Kometen angewendet, führt diese Annahme auf die Masse m= 1: 2,57 - 10°. 


28. Änderung des Exponenten. 147 


V. Mögliche Korrektionen des Newtonschen Gesetzes. 


28. Änderung des Exponenten. Schon Newton'?®) bewies, dab, 
wenn die Anziehung zweier Massenteilchen nicht genau das quadra- 
tische Gesetz befolgt, sondern im Potenzexponenten eine geringe Ab- 
weichung von der Zahl 2 vorhanden sein sollte, etwa in der Form, 
daß das Kraftgesetz durch 


(353) K__ Wmm 


y2+4 





gegeben ist, daraus eine säkulare Störung der Perihele der Planeten 
entsteht, von der Größe 

_3 
(35 b) In Ma. 
Er schließt dann aus der Tatsache, daß derartige Perihelungleichheiten 
bisher nicht konstatiert werden konnten, daß eine solche Abweichung 
von der Zahl 2 nicht vorhanden ist, mindestens sehr klein sein müsse. 
Umgekehrt versuchte A. Hall“) diese mögliche Differenz im Newton- 
schen Gesetze dazu zu verwerten, die Anomalie in der Bewegung des 
Merkur"zu erklären. Es wäre damit nur die Abweichungsgröße A aus 


der Gleichung 


y? Z 
= 4125 


zu berechnen, was mit n = 14732,56” als mittlerer täglichen Bewe- 


gung des Merkur, zu 
2 = 15,33 - 10°? 


führt. Die Annahme, daß im Ausdrucke für das Newtonsche Gesetz 


statt des Exponenten 
2 2,0000001533 


steht, würde also genügen, die erwähnte Unregelmäßigkeit in der Be- 
wegungstheorie des Merkur zu beseitigen. Sie würde gleichzeitig in 
den Theorien der anderen Planeten die Störungen: 


Ferner M. Simonin, Sur l’acceleration du mouvement de la comete d’Encke, 
Paris. Bull. astr. 18 (1901), p. 451, der die Störung in dem Laufe des Enckeschen 
Kometen, dessen mittlere tägliche Bewegung 1072” beträgt, zurückführen will 
auf die Annäherung oder den gleichzeitigen Durchgang durch den Schnittpunkt 
der Bahn des Kometen und eines kleinen Planeten, dessen mittlere Bewegung 
ebenso oder doppelt so groß ist. Endlich P. de Saint-Blancat, Action: d’une 
masse intramercurielle sur la longitude de la lune, Toulouse Fae. Ann. 9 
(1907), p. 1. 
186) J. Newton, Prineipia, liber 1, sectio 9. 
10* 


148 VIs,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Venus Is = 16,127  e4x = 0,112” 


Erde IN — 0,166” 
Mars = 5,28" — 0,492” 
Jupiter —= 0,84” — 0,040" 
Saturn == ‚084° —= 0,019” 


hervorrufen, die alle als genügend klein und innerhalb der wahrschein- 
lichen Beobachtungsfehler liegend angesehen werden können und da- 
her nicht weiter in Betracht kommen. 

Wendet man aber die Zahl A —= 15,33 - 10”? auf die Bewegung 
des Mondes um die Erde an, so erhält man die äußerst großen, der 
Genauigkeit der Mondtheorie widersprechenden Störungswerte'?”) 


An=1328 edAn—1,2%", 


die, um sie auf eine halbwegs erträgliche Größe herabzudrücken, als 
welche man 
edsn—=?2' und damit A” = 36,4” 
ansetzen kann, zu ı = 42,1. 10-0 


führen, wodurch aber wieder der Widerspruch in der Merkurtheorie 
ungelöst bleibt. Da ferner durch diese Form des Kraftausdruckes die 
Schwierigkeit in seiner Ausdehnung auf den unendlichen Raum mit 
unendlicher Massenerfüllung nicht behoben wird, so bietet sie im Ver- 
gleich zum reinen Newtionschen Gesetze keine Vorteile und dürfte 
daher endgültig zu verwerfen sein. 


29. Absorption der Gravitation. Eine Absorption der Gravita- 
tion kann auf zwei verschiedene Arten auftreten, ebenso als allge- 
meine (kosmische) Absorption beim Durchgange der einzelnen Gravi- 
tationsstrahlen durch den Raum überhaupt, oder als spezielle (innere 
Absorption oder Abschattung) beim Durchgang der Strahlen durch 
eine Masse von endlicher Dichte, wie etwa bei Mondfinsternissen, wo 
der von der Sonne kommende Gravitationsstrahl erst den Erdkörper 
durchdringen muß, ehe er auf den Mond auffällt. 

Im ersten Falle kommt zu dem analytischen Ausdruck für die 
gravitierende Wirkung zwischen zwei Körpern allgemein der Absorp- 
tionsfaktor e-*” hinzu. Dies kann wieder in doppelter Art geschehen, 
indem der Faktor zur Kraft K oder zum Potential P der Kraft hinzu- 


187) E. Brown, On the verification on the Newtonian law, London. Month. 
Not. 63 (1903), p. 396. Vgl. auch $. Neweomb, Fund. const., p..119, ferner 
P. Harzer, Preisschrift, p. 75, welcher sagt, daß die Änderung des Exponenten 
2 in 2+2 ihn so anmutet, wie die Vorstellung eines Raumes nicht von 3, son- 
dern von 3-+4 Dimensionen. — F. Tisserand, Mee. cel. 4, chap. 29, p. 529. 


29. Absorption der Gravitation. 149 


gesetzt wird. Dementsprechend ergeben sich zwei verschiedene Kor- 
rektionen des Newionschen Gesetzes, entweder 


(36) | za km, m, € 


y? ? 


ar 








wofür das Potential P, sich nicht in geschlossener Form darstellen 
läßt, oder 


% —&r 
(37) P 1a nr ‚ vrus —— k*’m, mye - (1+.,r) 


-&%r 





folgt. Beide Fälle geben in ihrer Anwendung auf die Bewegung der 
Planeten zu Störungen als Abweichungen von deren rein elliptischen 
Laufe Veranlassung, die wohl alle Elemente, merkwürdigerweise aber 
meist die Länge des Perihels betreffen, und daher vielfach zur Er- 
klärung der Anomalie in der Merkurtheorie herangezogen wurden '#®). 
Diese Perihelstörungen sind, die Halbachsen der Bahnen mit a be- 
zeichnet, 


Er 


Gh 
2Ya ’ 
und, sollen sie für den Planeten Merkur 41,25” für ein Jahrhundert 


geben, so folgt 
% —= 396.107, = 10,115 - 10%. 


Für die anderen Planeten berechnet sich aus ihnen: 


Bor CR ep rahrT die Ns 
An =zwn = Am = tatan —!a,’kya, 


Venus 41m —=+302" edam —=+020 Im—=+ 564° edim,—=+ 0,38" 


Erde + 25,7” +0,43” + 61,5” + 1,01” 
Mars + 20,8’ + 1,90” + 81,8" + 7,63” 
Jupiter + 11,3 + 0,55” + 151,8” + 7,33" 
Saturn +8,83 + 0,46” + 205,0” + 11,46” 


Die Zahlen der ersten Gruppe können noch als unmerkliche, den Be- 
obachtungen noch nicht direkt widersprechende Störungsbeträge an- 
gesehen werden, die der zweiten aber nicht mehr und die ihnen ent- 
sprechende Annahme ist daher jedenfalls zu verwerfen. Bei der An- 
era auf den Mond erhält man 


— +0,88” e4n, = 0,048” Az, — 40,006” e 1x, — + 0,0003” 


für ur. Fälle zu vernachlässigende Werte. 

Das Kraftgesetz K, kommt schon bei Laplace'') vor. Er ver- 
wendet es zur Berechnung der Anziehung einer Kugel vom Radius R 
auf einen äußeren Punkt in der Entfernung r und erhält hierfür den 


Ausdruck ya N (1 Sy R). 





4 


188) Das erste Kraftgesetz K, rührt von Seeliger her, vgl. Fußnote 8), das 
zweite von ©. Neumann, siehe Fußnote 12). 


150 VIa,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes 


Da nun die Kraft, die die Erde auf den Mond ausübt, mit einer Ge- 
nauigkeit von 1.10% ihres Wertes durch das Newtonsche Gesetz 
allein bestimmt wird, so schließt Laplace daraus, daß dieser aus der 
Absorption der Gravitation bedingte Unterschied $«, R höchstens 10* 
betragen könne. 

Bei der zweiten Art der Absorption, der materiellen Schwächung 
der Gravitation, wirkt diese nur während der kurzen Dauer einer 
Finsternis wie ein Impuls, der den Lauf des Mondes stört, und um 
den gesamten Verlauf der Störung zu erhalten, ist daher eine Sum- 
mierung dieser Impulse über die Finsternisse einer Periode durch- 
zuführen. K. Bottlinger"°) führt diese Rechnung durch für die Finster- 
nisse vom 9.11I. 1830 bis 15. XI. 1913, W. de Sitter'?) teilt diese 
erst nach der Sarosperiode und summiert dann über 12 Sarosperioden 
von 1703,0 bis 19194. Bottlinger vergleicht die von ihm in einem 
willkürlichen Maße erhaltenen Zahlen vorerst mit der von Newcomb'?*) 
aufgestellten Fehlertabelle der Hansenschen Mondtheorie und erhält 
mit dem Abschattungsfaktor & —= 3 - 10% (im €. G. S. System) eine 
von 1830—1870 reichende recht gute Darstellung der Newcombschen 
Fehler, die aber von da ab ganz ins Gegenteil umschlägt, während 
ein Vergleich mit den von Brown"°) gefundenen Abweichungen über- 
haupt versagte. Zu dem gleichen negativen Ergebnisse kommt auch 
de Sitter. Er findet, daß die Art dieser Störung unabhängig ist von 
einer speziellen Annahme über die Dichteverteilung innerhalb der 
Erde, daß sie sich ferner sehr genähert durch eine Sinuskurve von 
der Periode einer Saros darstellen lasse, daß aber die konstatierten 
Fluktuationen in der Bewegung des Mondes viel unregelmäßiger ver- 
laufen und daher einer reinen Sinuskurve nicht entsprechen. Auch 
die langperiodischen Glieder, die aus einer höheren Kommensurabilität 
zwischen dem drakonitischen Monate von 27,21222 Tagen und dem 
synodischen von 29,53059 entstehen (die Sarosperiode von 18,03 
Jahren entspricht der Kommensurabilität von 223:242, und eine 
höhere wäre 3087 : 3350 identisch mit 249,6 Jahren), zeigen gleiche 
Unstimmigkeiten zwischen Beobachtung und Rechnung, die den Wert 
der Hypothese noch weiter in Frage stellen. 


30. Abhängigkeit von der Krümmung des Raumes. Eine for- 
male Anderung im analytischen Ausdruck für das Newtonsche Gesetz 


189) K. F. Bottlinger, Die Gravitationstheorie und die Bewegung des 
Mondes, Inaug.-Diss., gekr. Preisschrift, München 1912; ferner: Zur Frage der 
Absorption der Gravitation, München Ber. 1914, p. 223. 

190) W. de Sitter, The absorption of the gravitation and the longitude of 
the moon, Amsterdam Proceed. 15 (1913), p. 808. 


30. Abhängigkeit von der Krümmung des Raumes. 151 


kann auch eintreten durch die Annahme, daß der Raum, in dem die 
Bewegung der Planeten um die Sonne stattfindet, nicht ein euklidi- 
scher, sondern etwa ein elliptischer, aber mit konstantem Krümmungs- 
radıus R ist. Mit der Frage nach der Bewegung in einem solchen 
hat man sich vielfach befaßt (vgl. Nr. 2: Das Newionsche Gesetz und 
der Raum)'”), und es ergab sich das Resultat, daß die Bahnen der 
Planeten, von ihren gegenseitigen Störungen abgesehen, sphärische 
Kegelschnitte ohne Perihelbewegung sind, deren Unterschied gegen 
die entsprechenden ebenen Bahnkurven von der Größenordnung R-? 
ist. Man kann aber auch die Frage aufwerfen, wie es sich mit der 
Zentralbewegung verhalten wird, wenn man 

1. das Newtonsche Gesetz formell beibehält, aber einen ellip- 
tischen Raum voraussetzt, 


2 
köm,mg, 


(38) K=— - 25 mit r= Raresin (#) j 


R 


2. oder einen euklidischen Raum annimmt, aber das Newtonsche 
Gesetz entsprechend einem elliptischen ändert, 








2 
(39 a) er 
| Bm sin? 
was bis auf Glieder von der Größe R-? entwickelt, zu 
k?m, m k?m, m k?m, m k?m, m; r 
39) K= — Pr ET öder‘ P— a De 


führt, Man erhält bei demselben Genauigkeitsgrad eine progressive 
Perihelbewegung und zwar in beiden Fällen von gleichem Betrage, 
wie von vornherein zu erwarten war, von der Größe 


Oo kyaaze) 
An Ve 36525 


für ein Jahrhundert. Da nun, will man nicht mit feststehenden astro- 
nomischen Tatsachen bezüglich der Parallaxen und der Verteilung der 
Sterne in Widerspruch kommen, nach Schwarzschild'”?) für R minde- 
stens ein Wert von 100 - 10% Erdbahnradien anzusetzen ist, so wür- 
den daraus 

für Merkur 4” = 26.”10-1, für Neptun 237.710! 





191) Außer den in der Fußnote 4) zitierten Abhandlungen seien noch er- 
wähnt: C. Neumann, Ausdehnung der Keplerschen Gesetze auf den Fall, daß die 
Bewegung auf einer Kugel stattfindet, Leipzig. Ber. 38 (1886), p. 1; dann J. Lense, 
Das Newtonsche Gesetz in nicht-euklidischen Räumen, Wien. Ber. 126 (1917), 
p: 1037. 

192) K. Schwarzschild, Über das zulässige Krümmungsmaß des Raumes, 
Astr. Ges. Vjs. 35 (1900), p. 337. 


152 VI2,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


folgen, das sind durchaus unmerkliche Zahlen. Sollte 4x von beob- 
achtbarer Größe, z. B. 10” für ein Jahrhundert sein, so dürfte R höch- 
stens 1000 Erdbahnradien betragen, nach Schwarzschild eine durchaus 
unzulässige Annahme. Durch Beobachtungen von. Planetenstörungen 
läßt sich also zunächst kein Urteil über die Raumkrümmung fällen. 


31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. a) Ältere 
Theorie. Die älteren Untersuchungen zur Frage, welchen Einfluß die 
Annahme einer endlichen Fortleitungsgeschwindigkeit der Gravita- 
tion!??) auf die Bewegung der Planeten habe und welche Korrektion 
des Newtonschen Gesetzes durch sie bedingt ist, lassen sich in zwei 
Gruppen teilen. Die erste beginnt mit Laplace'*), die zweite mit dem 
von W. Weber in der älteren Elektrizitätslehre aufgestellten elektro- 
dynamischen Grundgesetz und seiner Übertragung auf das astrono- 
mische Problem der Planetenbewegung. Beide Gruppen unterscheiden 
sich wesentlich voneinander. Die erste gibt dem Newtonschen Ge- 
setze Zusatzglieder von der Größe v:c in erster Potenz, wenn v die. 
Geschwindigkeit des Planeten und c die der Fortpflanzung der Gravi- 
tation bedeutet. Damit werden, wenn man c mit der Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit des Lichtes identifiziert, die aus ihnen entstehenden 
Störungen sehr groß oder man muß, um sie auf ein erträgliches, den 
Beobachtungen nicht gar zu sehr widersprechendes Maß herabzu- 
drücken, c als die Fortleitung der Gravitation viele tausende Male 
größer nehmen als die des Lichtes. Die zweite Gruppe enthält in den 
Zusatzgliedern nur das Verhältnis v:c im Quadrat. Deshalb werden 
die durch sie bedingten Störungen, selbst wenn man für c die Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes substituiert, im Gegensatze wie- 
der zu klein. Es sind daher weder die der ersten noch die der zweiten 
Gruppe zugrundeliegenden Annahmen, die aus einer endlichen Ge- 
schwindigkeit der Gravitation fließenden Bewegungsstörungen der Pla- 
neten und des Mondes in Rechnung zu an) geeignet, die da auf- 
tretenden Anomalien zu erklären. 

Merkwürdigerweise zeigt sich zwischen den beiden Gruppen noch 
ein anderer wesentlicher Unterschied. Bei der ersten ergeben die auf- 


193) Vgl. die Referate über diese Frage von: S. Oppenheim, Zur Frage 
nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation, Jahresb. des akad. Gymn. 
Wien (1895); F. Tisserand, M6e. cl. 4, chap. 28 (1896); P. Drude, Über Fern- 
wirkungen, Ann. Phys. Chem. 62 (1897) und J. Zenneck, Encykl. V 2, Nr. 20, p. 44. 

194) Laplace, Me&c. cel. 4, Livre X, chap. 7. Sur les alterations que le 
mouvement des plandtes et des come&tes peut 6&prouver par la transmissions suc- 
cessive de la pesanteur. Vgl. auch: Laplace, Exposition du systeme du monde, 
Livre IV, chap. 17. 


31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. 153 


tretenden Zusatzglieder eine säkulare Störung in der Bahnachse « und 
damit infolge der Relatiou a®n? —= k? auch eine im der mittleren Be- 
wegung n und eine Beschleunigung in der mittleren Länge L. Sie 
schien daher vorzugsweise zur Erklärung des kleinen Fehlbetrages in 
der Mondtheorie geeignet. Bei der zweiten Gruppe dagegen ist der 
säkulare Teil f« = 0 und von den Störungen der anderen Elemente 
die in der Länge des Perihels x am größten. Sie wurde daher bei 
der Erklärung der Merkuranomalie bevorzugt. 

Laplace**) bestimmt den Einfluß der endlichen Fortpflanzung der 
Gravitation durch eine Art Aberration, indem er in die Bewegungs- 
gleichungen eine Störungskomponente S einführt, die auf dem Radius- 
vektor r zwischen anziehendem und angezogenem Körper senkrecht 
steht und dem Produkte aus der reinen Newtonschen Kraft, K, zwi- 


schen beiden in das Verhältnis v:c gleich ist, wobei v — ee d. h. 
der relativen Bahngeschwindigkeit des einen um den anderen gleich 
gesetzt wird: 

en Re Et Fee 
(40 a) a Ver war ra 
Ihr entspricht die Störung der Bahnachse fa und damit eine säku- 
lare Beschleunigung der mittleren Länge 


(40b) da —"", ler 
c 2eya' 

Unter der Annahme c = 3,10° km/sek-! folgt daraus für die Bewe- 
gung der Erde um die Sonne eine tägliche Änderung 4 L — 0,00008” 
und für die des Mondes um die Erde 4L = 0,0558”, beides so große 
Beträge, daß, um sie auf das den astronomischen Beobachtungen nach 
noch zulässige Maß von etwa 1” für ein Jahrhundert zu reduzieren, 
eine mehr als millionenfache Vergrößerung von c erforderlich wäre. 
Eine wesentlich andere Behandlung erfährt das Problem bei 

R. Lehman-Filhes’®°) und J. von Hepperger'*). Bei beiden tritt schon 
der Begriff der infolge der endlichen Geschwindigkeit der Gravitation 
retardierten Kraftwirkung auf, indem die Koordinaten genommen wer- 
den für einen späteren bzw. früheren Zeitmoment, je nach der Zeit, 


2 








195) R. Lehman-Filhes, Über die Bewegung der Planeten unter der An- 
nahme einer sich nicht momentan fortpflanzenden Schwerkraft, Astr. Nachr. 110 
(1884), p. 209, und: Über die Säkularstörungen der Länge des Mondes unter der 
Annahme einer sich nicht momentan fortpflanzenden Schwerkraft, München. Ber. 
25 (1895), p. 371. 


196) J. von Hepperger, Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravi- 
tation, Wien. Ber. 97 (1888). 


154 VI»,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


die die Gravitation braucht, um von dem einen Körper zum anderen 
zu gelangen. Die Entwicklung wird bis zu der ersten Potenz von 
v:c durchgeführt. Hierbei nimmt Lehman-Filhes die Geschwindigkeit 
der Sonne, v. Hepperger dagegen die des Schwerpunktes von Sonne 
und Planet als konstant und mit der Eigenbewegung der Sonne iden- 
tisch an. Bei ersterem kommen daher nur Störungsglieder vor, die 
mit dem Verhältnisse g:ec multipliziert erscheinen, unter g den Vek- 
tor der Sonnenbewegung im Raume mit den Komponenten g,, 9, und 
g, verstanden, bei dem zweiten auch solche, die von der relativen 
Bewegung beider Körper umeinander abhängen. Die einflußreichste 
unter den säkularen Teilen der Störungen ist Ja und damit in Ver- 
bindung die entsprechende 4/n und AL. Aber diese hat hier ein 
negatives Vorzeichen, so daß sie nicht eine säkulare Beschleunigung, 
sondern im Gegenteil eine Verzögerung darstellt. Die Frage nach 
der Erklärung der Anomalie in der Mondbewegung bleibt daher durch 
sie ganz und gar unerledigt. Die Störung selbst ist (Lehman -Filhes) 


3 ae 1 9y ya 
2 


2 
{gr Yggpr ee 
vizey.;’ 





(41a) a Ne AL 
und der von der relativen Bewegung herrührende Teil (v. Hepperger) 


3 2EM an? 
u SDR Papkaruhaknar 9 Ic. 2a 





(41b) ae 2EM 2a?n 


Dieser deckt sich, wie man beim Vergleich mit Gleich. (40b) findet, 
bis auf das Vorzeichen und den Massenfaktor 2EM:(E-+ M)’ mit 
dem Ergebnisse der Laplaceschen Annahme, so daß die dort ge- 
machten Bemerkungen über den absoluten Betrag von c auch hier 
gültig bleiben, zumal der Massenfaktor, der für die Verhältnisse Mond— 
Erde genähert gleich 2:81 ist, nicht genügend klein erscheint, um 
die Störung zu erniedrigen. 

b) Die älteren elektrodynamischen Gesetze. Die der zweiten Gruppe 
angehörenden Untersuchungen reihen sich an das Webersche elektro- 
dynamische Grundgesetz an. (. Neumann'”') versuchte auf eine von 
Gauß gegebene Anregung hin, auf Grundlage einer Art Retardation 
des Potentials, eine Ableitung desselben. Er setzt an Stelle des reinen 
Newtonschen Potentials 

Ph, = hm Mm :r 


wo r, die dem Augenblicke i, der Emission entsprechende Distanz der 


197) O0. Neumann, Prinzipien der Elektrodynamik, Bonn. Univ. Festschr. 
1868, dann die Diskussion mit R. Olausius, Pogg. Ann. 135 (1868) und Newton- 
sches Prinzip der Fernwirkungen (Leipzig 1896), Kap. VIII. 


31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. 155 


beiden sich anziehenden Punkte bedeutet, 

P = kim,m, :r, 
wo r die dem etwas späteren Momente ? entsprechende Distanz vor- 
stellt, in dem das Potential den anderen Punkt erreicht hat, und 
nimmt schließlich, nach Entwickelung bis auf Glieder erster Ordnung 
ne rnit) 


an. So ergibt sich der neue Ausdruck 
1dr idr , 1 /dr 
(42a) P=k’m,m;:r (1—, n) — k’m,m [1+ Ze z ()] 7 
nach einer weiteren Entwicklung bis auf Größen zweiter Ordnung 
in c. Aber bei der Berechnung der Kraft X aus ihm, die nach der 
Lagrangeschen Form durchzuführen ist, 
or d (oP 
K-y br) 
zeigt sich, daß das Glied erster Ordnung = () entfällt, und es da- 
her genügt, 
1 /dr\? 

(42b) P—-Rmm[1+ (5) |: 
anzunehmen, was sich mit dem Weberschen elektrodynamischen Grund- 
gesetze deckt. 

In Anwendung auf die Bewegung der Planeten!) folgt aus ihm 
als bedeutendste unter den säkularen Störungen 

An—=na:c — k}:cYa, 
deren Auswertung unter der Annahme c = 3,10° km/see! für die Pla- 
neten die Zahlen gibt: 
Merkur Az= + 13,65” edx = + 2,89" 


Venus 2,36” 0,02” 
Erde 1,27" 0,02” 
Mars 0,44” 0,04” 
Jupiter 0,02” 0,00”, 


die bis auf Merkur unter die. durch die Beobachtungen konstatier- 
baren Grenzen fallen, aber selbst für diesen an den Betrag von 41,25” 
nicht heranreichen. Wollte man ihn erzielen, so müßte man etwa 
ce= 3,10%: Y3 km/sec”! annehmen. Für die Bewegung des Mondes 
um die Erde folgt 4x = 0,0202” also eine unmerkliche Größe. 








198) F. Tisserand, Sur le mouvement des plandtes autour du soleil d’aprös 
la loi &lectrodynamique de Weber, Paris C. R. 75 (1872), p. 760; ferner @. Holz- 
müller, Zeitschr. Math. Phys. 1 (1870), p. 69, und H. Servus, Inaug.-Diss. Halle 
(1885). 


156 V12,22. $. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. 


Nach dem von Riemann'”) aufgestellten Gesetze ist 


rm 


und aus ihm folgt, in gleicher Weise wie beim Weberschen, neben 
AJa=( als sonstige wichtigste säkulare Störung, 
An = 2n?a?:c? 

das ist ‚genau der doppelte Betrag. Er reicht bei der Annahme 
c = 3,10° km/sec"!' zur Erklärung der Merkuranomalie nicht aus. 
Einem von M. Levy”) gemachten Vorschlage gemäß, die beiden Ge- 
setze Py und P, durch Einführung eines unbestimmten Parameters 
« zu einem in der Form 


P=Pr+ e(Pw — Pr) 
zu vereinen, würde zur Berechnung von « die Gleichung 
13,65” + «(27,30” — 13,65”) = 41,25” 
und aus ihr der Näherungswert « = 2 folgen. Das Potential 


Pe] 


bringt also unter»der Annahme, daß c mit der Lichtgeschwindigkeit 
identisch ist, den vollen Fehlbetrag in der Merkurtheorie zur Dar- 
stellung. 

Eine andere Verallgemeinerung des Weberschen Gesetzes rührt 
von P. Gerber?) her. Er führt in den Neumannschen Ausdruck für 
das Potential (Gleich. (42a)) in dessen Nenner den unbestimmten Ex- 
ponenten « ein: 


(458) P= Bmm ır[1 —22] = Rmm [1 +) ]:r 





und erhält so als säkulare ee um 


__ a(@+1)a’n® a(« +1) 2 
he BE 


aus der, unter der Annahme 4x = 41,25”, für « die zwei Werte 
%=2 und „—=—3 folgen. Das Potential 


2 
(45b) P = Imım,|1 +2) ]:r 
199) B. Riemann, Ein Beitrag zur Elektrodynamik, Ges. Abh. 1867, p. 270. 
Über die Bewegung der Planeten bei Annahme dieses Gesetzes vgl. O. Liman, 
Inaug.-Diss. Halle (1886), dann M. Levy, Paris ©. R. 110 (1890), p. 545. 

200) P. Gerber, Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation, Zeitschr. 
Math. Phys. 43 (1898), p. 93; ferner: Jahresber. Real-Progymn. Stargard (1902), 
wieder abgedruckt Ann. Phys. Chem. 52 (1917), p. 415 und die Entgegnungen 
von Seeliger, ebd. 53 (1917), p. 31 u. 54 (1917), p. 38 sowie Oppenheim, ebd. 53 
(1917), p. 163. 


31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. 157 


würde daher ebenfalls die volle Anomalie in der Merkurtheorie er- 
klären — mit der Annahme c = 3,10° km/secT!. 

Wesentlich verschieden von den beiden bisher angeführten ist 
das Clausiussche?"') Gesetz. Es führt in das Potential an Stelle der 
relativen Geschwindigkeiten deren absolute Werte ein in der Form 


dx, d« dy, dy dz, dz 
(46a) P=kmm|1— ( + +72]: 


und macht damit die Störungen wieder von der Eigenbewegung der 
Sonne DR Sind . 92, 9, und g, wie oben deren Kompo- 


nenten, und en: Eu nd $ — ; die relativen Geschwindigkeiten, so ist 
 ; FH, “de 
z 
a RR und analog für y und z 
Bd 0m an 
dit  mtm dt ö 


zu setzen und man erhält für P den neuen Ausdruck: 
u 2 li) 
m (ge +) +++ M)] 


Dieser gibt als säkulare Störung neben fa—= (0 noch 


m —m, _n?’a 

edn — u ya 
entsprechend dem zweiten Glied, in dem die Störung darstellenden Teil 
von P, während der erste Teil bis auf den Faktor m,m, : (m, + ms)? 
dem Riemannschen Gesetze gleichkommt, und das dritte konstante 
Glied sich in die Gravitationskonstante A? einschließen läßt, die da- 


mit den Wert erhält: 
1 9 
k? 1 re, (92 nn % + ®)] 


Eine eigenartige Stellung in diesen Gravitationstheorien nimmt 
die Jaumannsche Theorie?®) ein. Sie fügt zur Laplace-Poissonschen 
Gleichung, der das gewöhnliche Newtonsche Potential genügt, zwei 
Glieder hinzu: eines, das die Verbreitung des Potential mit der Zeit 
darstellen soll und, da nur der erste Differentialquotient nach der 
Zeit hineinspielt, diese mit der Ausbreitung der Wärme in den Kör- 
pern vergleicht, und das zweite, das der Divergenz des Geschwindig- 


201) R. Olausius, Über ein neues Grundgesetz der Elektrodynamik, Pogg. 
Ann. 150 (1875), p. 657. 
202) @. Jaumann, Theorie der Gravitation, Wien. Ber. 121 (1912), p. 95. 


158 VlI»,22. S. Oppenheim. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzee. 


keitsvektors g des sich bewegenden Körpers proportional ist. Die 
Gleichung lautet daher 
ap ! 
+ Pürlole — 0] + Arne — a) — AP. 
Sie enthält die neuen Konstanten, « als eine Art Wärmekapazität, 
n ein Wärmeleitungsvermögen, o die Dichte des Stoffes an der Stelle 
des Raumes, für die das Potential berechnet ist, o, die des freien 


Äthers, so daß 5% die Verbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation 


vorstellt, und endlich £ eine Materialkonstante, die mit der Gravita- 
tionskonstanten k? in der Verbindung fx = 4nnk? steht. Die Glei- 
chung sagt, daß im freien Äther (e = o,) mit großer Annäherung 
das reine Newtonsche Gesetz gilt, an anderen Stellen aber, wo Ma- 
terie vorhanden ist, treten Abweichungen ein. Ein Versuch jedoch, 
aus der Newcombschen Fehlertafel die numerischen Werte der neu 
eingeführten Konstanten zu bestimmen und sie in bezug auf ihre 
physikalische Möglichkeit zu prüfen, liegt bisher nicht vor. 


Berichtigung. 
p- 83. Fußn. 2 ist zu streichen. 
p. 91. Fußn. 22 Schlußsatz: Über die Unterscheidung... ist zu streichen. 


(Abgeschlossen Februar 1920.) 


VI 2,22. GRAVITATION 
UND RELATIVITÄTSTHEORIE. 


Von 


FRIEDRICH KOTTLER 
ın Wıen.!) 


Inhaltsübersicht. 
I. Spezielle Relativitätstheorie. 
A. Mechanik. 
1. Mechanik des Massenpunktes in der speziellen Relativitätstheorie. 
2. Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie. 
3. Astronomische Anwendungen der relativistischen Form des Newtonschen 
Gesetzes. 
B. Optik. 
4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitätstheorie. 
5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 


II. Allgemeine Relativitätstheorie. 
A. Mechanik. 
6. Das Prinzip der allgemeinen Relativität. 
7. Mechanik des Massenpunktes in der allgemeinen Relativitätstheorie. 
8. Das Verhältnis der Mechanik des Massenpunktes zur Mechanik der Kontinua. 
9. Theorie des Schwerefeldes. 
10. Näherungsweise Integration der Feldgleichungen. 
11. Das Feld diskreter Massenpunkte. 
12. Die Newtonsche Gravitationstheorie. 
13. Die Perihelbewegung des Merkur. 
14. Strenge Lösungen der Feldgleichungen für das radialsymmetrische statische 
Schwerefeld. 


1) In dem vorliegenden Referat wurde aus Platzrücksichten von der ur- 
sprünglichen Ausarbeitung nur das für die astronomischen Anwendungen der 
Relativitätstheorie Nötige beibehalten, dagegen alles Prinzipielle (Relativität der 
Bewegung, Kosmologie usw.), alles Mathematische (Tensoranalysis und Differen- 
tialinvarianten), endlich alles rein Physikalische (Energetik u. dgl.), soweit es 
für die astronomischen Anwendungen entbehrlich ist, weggelassen. Diesbezüg- 
lich sei auf ein bei Teubner in Vorbereitung befindliches Buch des Referenten 
oder auf den Artikel V 19 (Relativitätstheorie) von W. Pauli jr. (auch als Sonder- 
druck bei Teubner erschienen) verwiesen. — Für Verbesserungs- und Ergänzungs- 
vorschläge ist der Referent Herrn W. de Sitter (Leiden), für Mitarbeit an der 
Korrektur Herrn F\ Zerner (Wien) zu herzlichem Danke verpflichtet. 


160 VIs,22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


15. Die Perihelbewegung des Merkur (Fortsetzung). 
16. Zahlenwerte. 

17. Die Bewegung des Mondes. 

18. Der Einfluß der Rotation der Sonne. 


B. Optik. 
19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne. 
20. Die Rotverschiebung bei den Fixsternen. 
21. Die Ablenkung der Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne. 
22. Die Beobachtungen bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919. 
23. Mögliche andere Ursachen für die Lichtablenkung. 


Literatur. 


Es ist hier nur die astronomisch wichtige Literatur aufgezählt. Im übrigen 
siehe die Angaben in V 19 (Pauli). 


A. Spezielle Relativitätstheorie. 


H. A. Lorentz, Abhandlungen über theoretische Physik, Leipzig 1910 (Teubner), 
Nr. XIV, XVII—XX; zitiert als Abh. 

— Das Relativitätsprinzip. Eine Sammlung von Abhandlungen usw. Leipzig 1913 
(Teubner), 3. Auflage 1920. 8. 74—89; zitiert als Samml. 

— Das Relativitätsprinzip. Drei Vorlesungen gehalten zu Haarlem. Leipzig 1914 
(Teubner). 2. Vorlesung; zitiert als Vorl. 

W. de Sitter, On the bearing of the principle of relativity on gravitational astro- 
nomy, London Astr. Soc. M. N. 71 (1911), p. 388—415. 


B. Allgemeine Relativitätstheorie. 


W. de Sitter, Einstein’s theory of gravitation and its astronomical consequences, 
London Astr. Soe. M. N. First paper 76 (1916), p. 699— 728. Second paper 77 
(1916), p. 155—184. [Die dritte Abhandlung 78 (1917), p. 3—28 enthält nur 
Kosmologie]; zitiert als de Sitter I, I und II. 

K. F. Bottlinger, Die astronomischen Prüfungsmöglichkeiten der Relativitäts- 
theorie, Jahrb. d. Rad. u. Elektr. 17 (1920), p. 146—161. 


I. Spezielle Relativitätstheorie. 
A. Mechanik. 


1. Mechanik des Massenpunktes in der speziellen Relativitäts- 
theorie. Die Mechanik der Relativitätstheorie vereinigt die drei Im- 
pulssätze und den Energiesatz zu einer einheitlichen Aussage in einer 
Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, den drei räumlichen plus einer 
zeitlichen. 

In der speziellen Relativitätstheorie (sp. Rel.th.) hat diese Mannig- 
faltigkeit (die sog. Minkowskische „Welt“) eine (pseudo)euklidische Maß- 
bestimmung; bedeuten xyz kartesische Koordinaten, # die Zeit, c die 


1. Mechanik des Massenpunktes in der speziellen Relativitätstheorie. 767 


Lichtgeschwindigkeit, so behandelt man die Zeit i oder besser die Größe 
ctY— 1 wie eine vierte kartesische Koordinate und setzt für das Qua- 
drat des unendlich kleinen Abstands?*) zweier benachbarter „Weltpunkte“ 


4 
(1) dt Ad — dd? — dA? — dd — Dda} 
i=1 


mit ul Beh Bbu2 u =ctV—1. 

Irgend ein Massenpunkt beschreibt vermöge seiner Bewegung in 
dieser „Welt“ seine „Weltlinie“, d. i. den Inbegriff seiner sämtlichen 
Lagen mit den zugehörigen Zeiten. Die Weltlinie bleibt ungeändert, 
wenn das kartesische Koordinatensystem der x,2,2,%, eine orthogonale 
Transformation erfährt. Eine solche ist z. B. die Lorentztransformation 
(vgl. Nr. 4), welche geometrisch eine Drehung der Zeitachse, physika- 
lisch den Übergang zu einem neuen, relativ zum alten gleichförmig und 
geradlinig bewegten Bezugssystem bedeutet. Die sp. Rel.th. behauptet 
überdies noch die Unabhängigkeit aller Aussagen der Mechanik (sowie 
auch anderer Gebiete) von der absoluten Geschwindigkeit des Bezugs- 
systems, ja sie erklärt diese überhaupt für unfeststellbar. Eine ana- 
loge Unabhängigkeit besteht bekanntlich in der Newtonschen Mechanik 
gleichfalls; alle gegeneinander irgendwie gleichförmig und geradlinig 
bewegten Bezugssysteme sind nach deren Relativitätsprinzip gleich- 
berechtigte Systeme (Inertialsysteme) zur Beschreibung der mechani- 
schen Erscheinungen. Der Unterschied beider Relativitätsprinzipe liegt 
nur in der Behandlung der Zeit als Parameters bei Newton, als vierter 
Koordinate in der sp. Rel.th. 

Jene einheitliche vierdimensionale Aussage, welche die drei Im- 
pulssätze und den Energiesatz zum I/mpulsenergiesatz vereinigt, erhält 
man für die Mechanik des Massenpunktes in der sp. Rel.th. aus fol- 
gendem Variationsprinzip: 


2 2 4 
(2) — 0 J emds + fas D/x,%, = (0. 
- 1 1 i=1 
Es tritt an Stelle des Hamiltonschen Prinzips der Newtonschen Mechanik 
3 n 
(22) Sfr — Dar + farlXö2 + Yoy+ 2) —0. 
1 1 


Dabei bedeuten in (2): 
m eine Massenkonstante des bewegten Massenpunktes, 


1a) In Eneykl. V 19 (W. Pauli jr.) wird statt (1) die Form da’+dy?’+ 
+ dz?— c?dt? gewählt, 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 11 


162 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


X,X,X, die drei räumlichen Komponenten der Minkowskischen Vierer- 
kraft, 
X, ihre zeitliche Komponente, die der Arbeitsleistung der auf 
den Massenpunkt wirkenden Kraft proportional ist. 
Die Integration geht längs der Weltlinie des Massenpunktes zwischen 
einer Anfangslage 1 und einer Endlage 2. ds ist das Element des 
nach (1) entlang der Weltlinie gemessenen Bogens. Seine physika- 
lische Bedeutung ergibt sich aus: 


8) ds=Vedt — da? — dy? — de? 
- a Va l 


wo dr offenbar das Element einer Zeit r, der Eigenzeit des Massen- 
punkts, ist, die zu einem ganz bestimmten vierdimensionalen Koordi- 
natensystem, dem KEigensystem oder Ruhsystem des Massenpunktes, 
gehört. Wie der Name sagt, ist dies jenes durch eine passende Dre- 
hung (Lorentztransformation) immer herstellbare System, das diejenige 
geradlinige und gleichförmige Bewegung besitzt, welche der Massen- 
punkt augenblicks hat; in einem solehen System ruht ja der Massen- 
punkt für den Augenblick, d. h. er besitzt die Geschwindigkeit 


da\? (dy\®  /da\® 
Var +R- 

In jedem anderen System muß daher v<c vorausgesetzt werden, da 
dr reell sein muß (Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit). Die 
Variation in (2) ist bei Festhaltung von Anfangs- und Endlage 1 
bzw. 2 zu vollziehen, und zwar so, daß die Eigenzeit r oder der Bo- 
gen s, gerechnet von der Anfangslage 1 bis zur jeweilig zu variieren- 
den Lage, nicht variiert wird. 

Die Bedeutung der Zeichen in (2a) ist wohlbekannt: XYZ ist 
die Newtonsche Kraft, 7 = }mv? die kinetische Energie, U die poten- 
tielle Energie des Massenpunktes. Letztere ist bekanntlich in der New- 
tonschen Mechanik nur bis auf eine additive Konstante bestimmbar, 
welche man, wenn man will, als latente Energie des Massenpunktes 
deuten kann. Die Variation in (2a) betrifft nur die räumlichen Ko- 
ordinaten, läßt aber die Zeit unvariiert. 

So ergibt sich aus (2) der Impulsenergiesatz der Mechanik des 
Massenpunktes in der sp. Rel.th. in der Form: 

(4) io £ (m =) +%=0, ((=1,2,3,4) 
während aus (2a) die Impulssätze der Newtonschen Mechanik des 
Massenpunktes 











1. Mechanik des Massenpunktes in der speziellen Relativitätstheorie. 763 


(m 
dh 20 


(4a) 


a) +X=I 


d/ dy 
= le 


)+ Y= 0, 


ln) +20 


folgen. Vergleichung der drei ersten Gleichungen von (4) mit (4a) 
ergibt, daß die räumlichen Komponenten der Minkowskischen Vierer- 
kraft mit der „Newtonschen Kraft durch 














dt 1 : 
De ag 5 7 Falun; Pay aan 7 & Lehm: 
V: m. V: u) 
(8) : 
2: 
u. 
zusammenhängen. Der Unterschied zwischen den Impulssätzen der 


sp. Rel.th. und denen der Newtonschen Mechanik beruht sonach darauf, 
daß jene an Stelle von (4a) die Gleichungen: 














/ d m dx d m 
Sal, er)tr%70 Sal, Et) +7 0, 
V'-5 V'-3 
al), e®) +Z=0 
\ V: wi 
hat, d. h. eine von der Geschwindigkeit v abhängige „Masse“ 
M—- —- an Stelle der konstanten Masse m. Die „Masse“ M 


2 
v: 
nähert sich für kleine Geschwindigkeiten v <c der Konstanten m, welche 
also die Masse gemessen im Ruhsystem des Massenpunktes oder seine 
Ruhmasse ist. Während daher die Newtonsche Mechanik die Ruh- 
masse als unveränderte Masse für beliebig hohe Geschwindigkeiten 
beibehält, wächst nach der sp. Rel.th. die „Masse“ M mit wachsender 
Geschwindigkeit immer mehr und nähert sich für v—= c dem Werte 
Unendlich. Nach der sp. Relth. kann also ein Massenpunkt höch- 
stens bis auf Lichtgeschwindigkeit und nicht darüber hinaus beschleu- 
nigt werden. 

Die 4. Gleichung in (4) stellt nach dem eingangs Erwähnten den 
Energiesatz dar. Dieser fließt bei der Newtonschen Mechanik als eine 
Folge aus den Impulssätzen (4a) in der Form: 


a) za +RE+ TE +2) —- 9 


während er sich in der Mechanik der sp. Rel.th. als vierte gleichbe- 


rechtigte Gleichung neben die drei Impulssätze stellt. Vergleichung 
11* 


164 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie., 


mit (7a) ergibt, daß die vierte Komponente der Minkowskischen Vierer- 
kraft mit der Arbeitsleistung der Newtonschen Kraft durch 


6 -ı ı a BR IE 
(6) KE+rZ+zE) — 
pı® 
zusammenhängt. Der Unterschied zwischen beiden beruht sonach dar- 
auf, daß erstere an Stelle von (7a) die Gleichung: 
d 


) , zu Bahasa +27)=0 
Zee 





hat; mithin entfällt der Unterschied zwischen kinetischer und poten- 
tieller Energie des Massenpunktes, und es gibt nur einen Ausdruck 
für seine Gesamtenergie E, nämlich 





Für kleine Geschwindigkeiten geht dies über in den Ausdruck 
me? +5 mv?, welcher mit dem Newtonschen Ausdruck U+T für die 
Gesamtenergie zusammenfällt, sobald man dem Massenpunkt eine 
nere Energie“ 


(9) U=med 


zuordnet. Hierin liegt das Gesetz von der Trägheit der Energie, so- 
weit es für den Massenpunkt in Betracht kommt, und die Zurück- 
führung der Masse eines Körpers auf seinen Energieinhalt. 

Die vier Gleichungen (4) der Relativitätstheorie sind nicht unab- 
hängig von einander, ebenso wie in der Newionschen Mechanik der 
Energiesatz aus den Impulssätzen folgt. Denn es besteht die Identität: 


0 mi) +) = 


i=1 


„ın- 





(Minkowskische Orthogonalitätsrelation), welche unter der Voraus- 
setzung, daß — —=( ist, d.h. nach dem Obigen, daß die innere 
Energie des Massenpunkts während der Bewegung konstant bleibt 
(adiabatische Bewegung), einfach bestätigt werden kann. 


2. Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie. 
Um das Newtonsche Gravitationsgesetz der sp. Rel.th. anzupassen, geht 
man am besten von folgenden Annahmen aus: 


a) Die Gravitationswirkung pflanzt sich mit Lichtgeschwindig- 
keit fort. 


2, Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie. 165 


b) Das Newtonsche Gravitationsgesetz ist strenge richtig in einem 
Bezugssystem, in welchem der anziehende Körper momentan 
ruht, welches auch immer die Bewegung des angezogenen Kör- 
pers sei. 

Unter diesen Annahmen gelingt es, durch eine Lorentztransformation 
die Form des Newtonschen Gesetzes in einem beliebigen Bezugssystem 
der sp. Rel.th. anzugeben.?) Man hat hierbei nur alle auf das ursprüng- 
liche Bezugssystem bezogenen Größen durch vierdimensionale, vekto- 
rielle, d. i. vom Koordinatensystem unabhängige Invarianten bzw. Ko- 
varianten auszudrücken, um direkt die auf das allgemeine Bezugs- 
system bezogene Form vor sich zu haben. Man beachte, daß die 
zweite der obigen Annahmen der Beschleunigung des anziehenden 
Körpers keinen Einfluß auf die Anziehungswirkung zugesteht, was 
sicherlich nur angenähert richtig, aber wegen der Kleinheit der astro- 
nomisch vorkommenden Beschleunigungen zulässig ist. 

Die angedeutete Rechnung verläuft im einzelnen wie folgt: Es 
sei m’ die anziehende Masse, ihre Geschwindigkeit v’'—= 0 im Ruh- 
system K° der Masse m’, ihre Koordinaten «’%y'%z’°; die angezogene 
Masse sei m, ihre Geschwindigkeit in K° sei v°, ihre Koordinaten 
x'yP2°. Es bedeute ferner r? — ( — + (y —yYY + (ed — ZN. 
Gemäß der Annahme a) gehört, wenn ?'’ der Zeitmoment ist, in wel- 
chem m’ in x’°y'%2’? betrachtet wird, eine spätere Zeit 2° zu dem Mo- 
ment, in welchem die Wirkung von m’ in der Lage x’y’z° von m 
eintrifft. Und zwar ist: 











an Ph 
Nach Annahme b) wirkt auf m in K? genau die Newtonsche Kraft: 
m na, Pay, 
PER 2.1.2 RP) 


Gemäß der Mechanik der sp. Rel.th. (vgl. (5) und (6)) gehört zu ihr 
der Vektor der Minkowskischen Viererkraft: 


xx er „ Kru Ye EReT | 0 Z° Bu ih 
DU 2 DA 2 9° 2 
Var te a 
z v-i ( od« oay  — Ä 
Kim "(X +7r +Z 76 — 
V: Fer 
2) Vgl. H. A. Lorentz, Vorl., Nachtrag 3, wo allerdings umgekehrt verfahren 


und gezeigt wird, daß unsere Gleichungen (15b) gegen eine Lorentztransforma- 
tion kovariant sind. 











166 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Die Bewegungsgleichungen der angezogenen Masse m lauten daher 
nach (4): 








d (dx km’ h 1 
a) mar) 
Er 
d (Ay __ Krim ‚0 1 
BF 
INT 
d (de k?m’ m 1 
em a 
dr it 
d 1. it ktm y—1 or, &x? ‚nay’ 
FE as a 0 skueir  ar ad (lu r  W)r 


ro, 42° 1 
ea yo“ 
h ec? 
Die rechten Seiten müssen die Komponenten eines Vierervektors bil- 
den. Um diesen anzugeben, bedenke man, daß die Eigenzeit r nach 
(3) eine Invariante der Lorentztransformation ist. Also gehört zu der 








an Berlisseı ; dx’ dy’dz’ . i 
Geschwindigkeit v° mit den Komponenten 7,5 740 „5 ein Vierervek- 
tor mit den vier Komponenten: 

dx’ de 1 dy’ __dy’ 1 
2 Pe 77 ENSy en 2 wende 02? 
y: ER du V: nslies 
C C 
0 0 Fan 0 — 1 
de’ de ER a Aa sea (ren 


dı de 02? dr 02? 
Ks V:-# 
und ebenso zur Geschwindigkeit v’'—= 0 ein Vierervektor: 
da’® dy® dz® EEE 
dt’ = (), dr 0, Ze, V-1e;,=V- te 
Endlich bilden die Differenzen der Koordinaten und Zeiten einen 
Vierervektor: 


2 — a, P—y!, 2 —g%, V-1el® —t)=-Yy—Iir. 
Dann bestätigt man leicht, wenn wieder zur Indizesbezeichnung über- 
gegangen wird: 


E3 4 
1 Ku 1 dad dxz’ 1 Pe dx, dx), 

















FREE PR TAKE RE, dt dr’ 


1 da’? 1 ' de), 
RER > 2) h > STE 
fl ce (20 %, ) dr c (©, %,) dr’ 
h 


h 





wo sich die ohne den Index 0 geschriebenen Koordinaten x auf ein 


2. Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie. 167 


beliebiges Bezugssystem K beziehen. Somit schreibt sich der gesuchte 
Vierervektor, der zur Newtonschen Kraft gehört, in einem beliebigen 
System K: 
dx 
(12) —-— 1): 


[2 wer); a 


Hierin bedeuten natürlich: 
nn ymı-dh, Dyeyoy yon =ı—h) 
Fu ie y— leit —r), 
de, dx 1 da, __dy 1 dx, dz 1 


Be FAT Ihe, dt jr ER np 
Ya Ver Va 
c c 

















dr ! Pr 
za 
de; __ dx 1 de, _dy 1 da; __ das 1 
en ne de FE 
V:-% Ya V:-% 
pe iu. 7 u 





und es besteht die zu (11) analoge Gleichung: 
(11a) t=r7+7, 
da die Gleichung, die mit (11) gleichbedeutend ist, 
4 
(11b) a — a) = 0 —- 2, — 2) 
Ah=1 h 


gegen eine Lorentztransformation (orthogonale Transformation) in- 
variant ist. 

Somit lauten die Bewegungsgleichungen der angezogenen Masse m 
in einem beliebigen Bezugssystem X, in welchem die anziehende Masse 
m' die Geschwindigkeit »’ + 0 besitzt: 

k?m’ 1%) ; s 
lea) 


(13) 4, dt =) au »(i ar c® e 


USW. 


mit den üblichen Bezeichnungen der dreidimensionalen Vektoranalysis. 
Man beachte hierbei, daß die Lage x’y’z’ von m’ nicht gleich- 
zeitig mit der Lage xyz von m ist, sondern entsprechend (11a) zeit- 


BI ER 


lich früher als diese. Wünscht man diejenige Lage «’y”z” von m’, 





168 VlIa, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie 


die mit xyz gleichzeitig ist, zu kennen, so muß man wissen, wie sich 
m’ nach der Zeit Ü bis zur Zeit t bewegt hat. Macht man die An- 
nahme, daß diese Bewegung gleichförmig und geradlinig sei, was bei 
der Kleinheit des Zeitunterschiedes £ — t' (Latenszeit) infolge der ge- 
ringen astronomischen Beschleüunigungen statthaft ist, so kommt: 


G 


r r 
«=x 1.7, y-l'—un d=2:" — u, — 


Bezeichnet man den dreidimensionalen Vektor mit den Komponenten 
2 — x”, y—y”, 2— 2” durch WR, so kommen statt (13) die Gleichungen: 








kim (1 _ =) 
14 a EN le 
( r :dt G RAN EN‘ )” a(Vı-%4+ nn DR X ( )+8% r) 
USw. 


Wie man sieht, weicht dies nur in Größen 2. Ordnung hinsichtlich 
der Quotienten = bzw. Z von der klassischen Form des Newionschen 


Gesetzes: 


(14a) e (#) = — a (2 — x”) usw. 
ab, und geht, wie es nach Annahme b) sein muß, im System K,, d. i. 
für v’= (0, genau in die Form (14a) über. Man beachte, daß in der 
Newtonschen Mechanik der Unterschied zwischen den Lagen «’y'2’ und 
x”y"z” wegfällt, weil dortselbst die Liehtgeschwindigkeit ce, also auch 
nach Annahme a) die Geschwindigkeit der Gravitation, als unendlich 
groß behandelt wird. 

Für die Praxis der Astronomie genügt es, (14) nur bis zu den 


Größen 2. ee genau zu nehmen. Man erhält so: 
1d k* Z vv # 
de) ta) -- Fe- Nr zn 


1 0: d’x 3 (Rv’)? ‚(Rv) 
Ar Fa Tg ns) er, | tab 





. d? ; ; es ' 
wg = FE usw. geschrieben ist. Dafür kann man auch schreiben: 





de k:m’ As (wo) 1 v? 4.0? 3 (Rv’)? 
(dh) ee - E- Aeten e) 
— (I, — 02) ee usw. 


Wünscht man die Gegenwirkung von m auf m’ zu kennen, so hat 
man offenbar eine zu (15) ganz analoge Gleichung, in welcher nur 
die gestrichenen und ungestrichenen Größen vertauscht, sowie das Vor- 


2. Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie. 169 


zeichen von R — (jedoch natürlich nicht das von R) — umgekehrt sind: 





d’x” k’m 7 (vv‘) 1v? 1v? 3 (Ro)? 
(16) - — | - (2 — % (1; ee] 
(u 


Wirkung und Gegenwirkung sind also in der Mechanik der Relativi- 
tätstheorie nicht entgegengesetzt gleich. Der Schwerpunkt beider 
Massen ist also nicht unbeschleunigt. 

Der Ausdruck (12) für die Viererkraft läßt sich übrigens auch 
aus einer Potentialfunktion ableiten, die jedoch nicht nur von den 
Koordinaten der angezogenen und der anziehenden Masse, sondern’ 
auch von deren Geschwindigkeiten?) abhängt. Und zwar ist in (2): 


er = — ofasp, 
wobei ’ i 


ea Due 

so daß also: 

(18) | X, — (:@5) N =. (=1,2,3,4) 
(a) 

Bei der Differentiation in (18) ist zu beachten, daß wegen (11b) die 


x oder besser das 7’ von den x abhängen, und zwar ergibt sich durch 
Differentiation von Die b) die Formel: 


(19) -@- A| Zadar 6-123,9 


Die Formeln (17), Ki sind die relativistische Verallgemeinerung des 
Newtonschen Potentials*), wobei dieses in der Form (für das System KP): 





k’mm’ 1 
0 etz] 
_—. 
. k:m ’ a 
anzusetzen ist (anstatt _— Er) wegen des Unterschiedes von Min- 


kowskischer und Newtonscher Kraft (vgl. (5)). Die Formel (18) kann 
dazu dienen, die Form zu berechnen, die das Newionsche Gesetz bei 
Berücksichtigung eines Einflusses der Beschleunigung der anziehenden 
Masse (also sozusagen der Strahlung) haben würde. Man erhält dann 


: 3) Nach Analogie des sogenannten effektiven Potentials von Riemann; vgl. 
.» Eneykl. V12 (Reif und Sommerfeld), p. 47£. 

4) Wir setzen in diesem Referate die Newtonsche Kraft gleich dem nega- 
tiven Gradienten eines Potentials entsprechend der modernen Bezeichnungsweise. 


170 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


die aus der Elektronentheorie wohlbekannten Formeln von K. Schwarz- 
schild°) für die ponderomotorische Kraft, die ein beliebig bewegtes 
punktförmiges Elektron auf ein zweites ausübt. Von Schwarzschild 
stammt auch die Formel (17), nur in etwas anderer Gestalt. 

Den Umweg über die Elektronentheorie nahmen auch die ersten 
Versuche von H. A. Lorentz, die Form des Newtonschen Gesetzes für 
bewegte Körper zu finden.°) Von diesen und der anschließenden Lite- 
ratur wird in der folgenden Nr. die Rede sein. 


3. Astronomische Anwendungen der relativistischen Form des 
‚Newtonschen Gesetzes. In der genannten Arbeit hatte Lorentz eine 
elektromagnetische Theorie der Gravitation aufgestellt, worüber man 
den Artikel von Zenneck vergleichen wolle”) Er wollte durch die Be- 
rücksichtigung einer endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gra- 
vitation zu einer Korrektur des Newionschen Gesetzes für bewegte Kör- 
per gelangen, bei welchen sich ja (im Gegensatz zu ruhenden Körpern) 
ein Einfluß der endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit zeigen müßte, 
und erhoffte von dieser Korrektur eine Aufklärung der von Leverrier 
entdeckten säkularen Anomalie in der Perihelbewegung des Merkur. 
Vgl. hierüber die Artikel von Zenneck?) und von Oppenheim’). 

Die Arbeit von Lorentz steht noch nicht auf dem Boden des Re- 
lativitätsprinzips. Infolgedessen tritt in der Formel (15a) v’ als ab- 
solute Geschwindigkeit der anziehenden Masse auf; Lorentz, der eine 
ähnliche Formel, wie die rechte Seite von (15a), verwendet, operiert 
daher noch mit der absoluten Geschwindigkeit des Sonnensystems. 
Das Relativitätsprinzip lehrt hingegen, daß in einem mit dem Sonnen- 
system festverbundenen Bezugssystem X, also in heliozentrischen Ko- 
ordinaten, die Geschwindigkeit v’® des Systems gleich Null zu setzen 
ist. Dann reduziert sich die rechte Seite von (15a) auf die klassische 
Form des Newtonschen Gesetzes, d. i. auf die rechte Seite von (14a). 
Der gesuchte Einfluß der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravita- 
tion auf das Newtonsche Gesetz entfällt also, soweit es sich um die 
Beschleunigung eines Planeten m gegen die Sonne m’ gemäß der 
rechten Seite von (15a) handelt. Man könnte nun allerdings meinen, 
daß ein mit der Sonne fest verbundenes System kein im Sinne der 
sp. Rel.th. berechtigtes Bezugssystem sei, indem die Sonne die Gegen- 


5) K. Schwarzschild, Gött. Nachr. 1903, p. 125, 132; vgl. auch Encykl. V 14 
Lorentz), p. 199f. 

6) H. A. Lorentz, Amst. Akad. Versl. 8 (1900), p. 603. 

7) Encykl. V 2 (Zenneck), p. 60. 

8) Encykl. V 2 (Zenneck), Nr. 21—24. 

9) Encykl. VI 2, 22 (Oppenheim), Nr. 31. 


3. Astron. Anwendungen der relativistischen Form des Newtonschen Gesetzes. 771 


beschleunigung des Planeten gemäß der rechten Seite von (16) er- 
fährt, das System daher nicht beschleunigungsfrei wäre. Betrachtet 
man aber die Masse m des Planeten als unendlich klein gegen die 
Masse m’ der Sonne, so kann man die Sonne als in einem berech- 
tigten System ruhend ansehen, und der obige Schluß besteht wieder 
zu Recht. Auf diese Weise reduzieren sich die Gleichungen (14) und 
(15b) auf 


d (dx km’ " 
(14%) ae) = mer) um, 
d? k?m’ „ iv? Ro 
ar) Fler) vr 


d. h. es verbleibt der Einfluß der von der Relativitätstheorie behaup- 
teten Veränderlichkeit der Masse mit wachsender Geschwindigkeit. 
Diesen Einfluß zu berechnen haben A. Wilkens'”) und genauer 
F. Wacker‘‘) unternommen. Ihre Rechnungen sind überprüft von de 
Sitter'?). 

De Sitter behandelte in seiner Arbeit außer der auf (12) zurück- 
gehenden relativistischen Verallgemeinerung des Newtonschen Gesetzes, 
die er Gesetz II nennt, und die in exakter Form zuerst von Poincare 
aufgestellt wurde!?) (wobei Poincare übrigens schon von der Metrik 
(1) der sp. Rel.th. vor Minkowski Gebrauch macht), eine zweite Form, 
die ebenfalls von Poincard herrührt!*) und später von Minkowski selbst 
übernommen wurde®°). Dieses zweite Gesetz I, wie es de Sitter nennt, 
berücksichtigt nicht den Unterschied zwischen Minkowskischer und 
Newtonscher Kraft, und ist daher vom Standpunkt der Mechanik der 
sp. Relth. abzulehnen. Es ergibt sich übrigens aus (12), wenn man 
durch — 4 >’ 2%, welches ja in K° gleich er wird, di- 

h j r 
vidiert. r 

De Sitter bestätigt das Wackersche Resultat, daß der Einfluß der 

Veränderlichkeit der Masse zu einer Perihelbewegung des Merkur im 


10) A. Wilkens, Vierteljahrschr. A. G. 1904 — Phys. Ztschr. 7 (1906), p. 846. 

11) F. Wacker, Phys. Ztschr. 7 (1906), p. 300; Inaug.-Diss. Tübingen (Leip- 
zig 1909). 

12) W. de Sitter, London Astr. Soc. M. N. 71 (1911), p. 388. 

13) H. Poincare, Palermo Rend. Cire. math. 21 (1906), p. 129—175, insbes. 
p. 175, Formel (14). — Diese Arbeit Poincares stammt vom 23. Juli 1905 und 
ist die Ausarbeitung einer Note gleichen Titels aus den Paris C. R. 140 (5. Juni 
1905), p. 1504—8. Hier wurde zum erstenmal, vor Einstein, das „Postulat“ der 
Relativität ausgesprochen. 

14) H. Poincare, 1. c. p. 174, Formel (11). 

15) H. Minkowski, Gött. Nachr. 1908, p. 110 (Anhang), Formel (25). 


172 NVlI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Betrage von etwa 7”2 per Jahrhundert, welehe etwa 6mal kleiner als 
die beobachtete ist, Anlaß gibt. Bei den übrigen Planeten ist der Ein- 
fluß unmerklich. De Sitter berechnet weiter den Einfluß der Beschleu- 
nigung der Sonne, wenn die Masse des Planeten nicht vernachlässigt 
wird, indem er das Bezugssystem nicht in der Sonne, sondern in 
einem beschleunigungsfreien Punkte verankert. Ein soleher ist zwar 
nicht der Schwerpunkt von Sonne und Planet, wie in Nr. 2 schon 
erwähnt ist, jedoch läßt sich ein solcher Punkt unschwer angeben 
(de Sitter, 1. c. p. 399). Man hat dann die Relativbeschleunigung des 
Planeten gegen die Sonne durch Subtraktion der Gleichung (16) von 
(15b) zu berechnen. Die Rechnung nach der Methode der Störungen '*) 
findet man 1. c. p. 403—6. Es ergibt sich für Merkur wiederum 7”15 
Perihelbewegung per Jahrhundert; alles Übrige ist unmerklich. Da- 
durch wird erneut bestätigt, daß der Einfluß der Bewegung der 
Sonne, auf welchen man ursprünglich die Korrektur des Newtonschen 
Gesetzes zu gründen gehofft hatte, Null ist. Es verbleibt nur der von 
der veränderlichen Masse herrührende Effekt der linken Seite von 
(15a).'") Dieser ergibt allerdings eine zu kleine Perihelbewegung des 
Merkur; allein de Sitter bemerkt 1. c. p. 408, daß, wenn die Seeliger- 
sche Theorie des Einflusses der Zodiakallichtmaterie'®) auf die Be- 
wegung der inneren Planeten herangezogen wird, der erwähnte Effekt 
gleichwohl brauchbar wird. Bei Seeliger bleibt nämlich ein unerklärter 
Rest von ungefähr gleicher Größe, den dieser auf eine Rotation des 
empirischen astronomischen Koordinatensystems gegenüber einem rich- 
tigen Inertialsystem zurückführt.'?) Diese Rotation wäre durch die 
Massenveränderlichkeit der sp. Rel.-th. entbehrlich gemacht.'®) 


Schließlich möge bemerkt werden: dieser Einfiuß der Massenver- 
änderlichkeit ist unter ganz analogen mathematischen Verhältnissen 
wie im Sonnensystem bei der Kepler-Ellipse des negativen Elektrons 
im Bohr-Rutherfordschen Atommodell von Sommerfeld?®) zur Erklärung 
der Feinstruktur der Spektrallinien unter Zuziehung der Quantentheorie 
verwendet worden. Auch die Erklärung der Perihelbewegung des 


16) Jedoch von Druckfehlern entstellt, die (zum Teil) in einer späteren Ar- 
beit de Sitters, London Astr. Soc. M. N. 76 (1916), insbes. p. 725, verbessert sind. 

17) Dies ist gegenüber der Darstellung bei Lorentz, Das Relativitätsprinzip, 
Vorl., 1. ec. p. 20 oder in desselben Autors Göttinger Vorträgen, Phys. Ztschr. 11 
(1910), p. 1239 unten (Sammi. „Das Relativitätsprinzip“ p. 80 unten) zu betonen. 

18) H.v. Seeliger, München Ber. 1906, p. 595. 

19) Vgl. auch Encykl. VI 2,1 (Anding). 

19a) Vgl. jedoch W. de Sitier, Amst. Akad. Versl. 22 (1914), p. 1239 und 
W. de Sitter, 1 (vgl. Nr. 16). 


4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitätstheorie. 773 


Merkur geht durch die allgemeine Relativitätstheorie (allg. Rel.th.) im 
wesentlichen auf die gleiche Wurzel zurück wie der hier besprochene 
Effekt, beide nämlich auf das /ds im Variationsprinzip (2). Vgl. 
darüber Nr. 15. 


B. Optik. 


4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitäts- 
theorie. Wir besprechen hier anhangsweise die Gesetze der Optik in 
bewegten Körpern, und zwar zuerst die Gesetze der Lichtstrahlen (geo- 
metrische Optik), hernach die der Wellennormalen (Wellenoptik). Das 
Variationsprinzip (2) bestimmt für den kräftefreien Fall (X, —= 0) die 
Bewegung des sich selbst überlassenen Massenpunktes: 


(20) | afas zo, 


Es bestimmt aber auch die Bahn eines Lichtstrahls, wenn die Neben- 
bedingung 
(21) ds? — ddl? — da? — dy? — da? —=0 


(Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit) hinzugefügt wird. Und zwar 
gelten (20) und (21) für jedes berechtigte Bezugssystem. Hierin liegt 
das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Geht man also 
von einem Bezugssystem zu einem gleichförmig und geradlinig, etwa 
mit der Geschwindigkeit v in der Richtung der x-Achse, relativ zum 
ersten bewegten Bezugssystem über, so kommt man durch das ge- 
nannte Prinzip zu einem Widerspruch gegen die klassische Mechanik. 
Nach dieser ist nämlich irgendeine Geschwindigkeit, beurteilt vom 
neuen System, gleich der geometrischen Differenz der im alten System 
gemessenen Geschwindigkeit und der Translatationsgeschwindigkeit v. 
Wenn also, wie der Versuch von Michelson (Nr. 5) beweist, die Licht- 
geschwindigkeit in jeder beliebigen Richtung in jedem berechtigten 
Bezugssystem immer konstant gleich e sein soll, so muß die klas- 
sische Mechanik reformiert werden, indem an die Stelle ihrer Formeln 
die Formeln der Lorentztransformation gesetzt werden. Bedeuten zyzt 
die alten, x’y’z’t' die neuen Koordinaten, so lautet die Lorentztrans- 


formation: > 
/ ‚ x — vi , h > dur € 
(22) Ve. ayıza2a.ti= 


pe Dies 
c c 


20) A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51 (1916), p. 1. 


174 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


mit der Auflösung: 
+ E 


r ’ 


(23) = FE yy, set, i- z 

Line V:-% 
Dies ist, wie schon in Nr. 1 erwähnt, eine euklidische Drehung der 
Zeitachse in der &,2,-Ebene, wenn wieder ,=2, , —=y, , =2, 
x, = ty —1 gesetzt werden, wobei die Tangente des imaginären Dreh- 
winkels 9gV— 1 den Wert tg(Y— 1p) = r Mar erhält. Für v<c 


erhält man aus (22) durch Grenzübergang die Formeln der soge- 
nannten Galleitransformation: 

(24) verrät year. 

der klassischen Mechanik (mit absoluter Zeit ! = t). 

Zufolge (22) ändert sich tatsächlich das Additionsgesetz der Ge- 
schwindigkeiten in der gewünschten Weise. Während aus (24) ent- 
sprechend der klassischen Mechanik nach Differentiation und Divi- 
sion durch dt 


(26) 











da dx dy _dy di’ de 
ar a Dane Wir NORaE, Mm 
also die geometrische Differenz aus der alten Geschwindigkeit und 
der der Translation folgt, ergibt sich in gleicher Weise aus (22) 
das Einsteinsche Additionsgesetz der Geschwindigkeiten : 





dx dy v zV1-3 
gi an Beer Ya due ren v ara ae 
(25) Bee _ ode’ + Ta ı_.»da 2.20 Eu vde 
e: dt ce? dt ce: dt 


welches für c = oo wieder in (26) übergeht. 

Aus dem Additionsgesetz (25) lassen sich die Gesetze der Strahlen- 
optik in bewegten Körpern, insbesondere das Prinzip der Konstanz der 
Lichtgeschwindigkeit, deduzieren. Wir betrachten folgende Beispiele: 

a) Im System xyzt laufe ein ee ae zur x-Rich- 
tung, etwa in der y-Achse: ze e : =(, u _ = c. Dann folgt für 


das System «’y'z’t 


dx ur; 
au, pa yrohechha 


D. h., der Lichtstrahl erleidet eine Aberration, indem er im „bewegten“ 
System «’y'z’t' eine Zusatzgeschwindigkeit v entgegengesetzt zur Rich- 
tung der Bewegung erhält. Die Lichtquelle,‘ von der er kommt, er- 
scheint daher in Richtung der Bewegung des „bewegten“ Systems 
verschoben. Dies stimmt überein mit der klassischen Theorie der geo- 


4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitätstheorie. 775 


metrischen Optik. Während aber diese eu =—o, wine =c, 0 
hat, also einen Aberrationswinkel @, dessen zu go = gr ist, 
treten in der Relativitätstheorie dafür ze = —ıv,- - = wer en . 


= —=(, so daß (5 =) + (2) + (7) wiederum gleich c? wird. Der 
Unterschied des neuen Aberrationswinkels gegen den klassischen ist 
aber nur eine Größe 2. Ordnung, also unmerklich für die astronomi- 
schen Geschwindigkeiten. 

Durch die bei diesem Beispiel erzielte Konstanz der Lichtge- 
schwindigkeit erklärt sich das Resultat des Versuches von Michelson, 
soweit es sich um den transversalen Arm des Interferometers (d. i. 
den quer zur Erdbewegung liegenden) handelt. 


b) Im System xyzt laufe ein Lichtstrahl parallel zur z-Richtung: 


dz dy de “ PETE . ‚de 
ri © —= =. Im „bewegten“ System «y’z’t wird: = 6, 
Y- s i —=( an Stelle des Resultates der klassischen Theorie 
dx day BR dz’ I 

Fre Drag 


Durch die so erzielte Konstanz der Lichtgeschwindigkeit erklärt 
sich das Resultat des Versuches von Michelson, soweit es sich um 
den longitudinalen Arm des Interferometers (d. i. den längs der Erd- 
bewegung liegenden) handelt. 


c) Man betrachte ein ponderables Medium mit dem Brechungs- 
index n und sehe vorläufig von der Dispersion ab. Dann beträgt die 


Lichtgeschwindigkeit für jede Farbe —. Im System xyzt fasse man 


nun einen in diesem Medium parallel zur x-Richtung laufenden Strahl 
de ce dy _dz 


Bud: a 


=(. Dann folgt für das System «’y'z’t: 


dd m € 1 dy' de 
RN DE eg 


D. h. bis auf Größen 2. Ordnung läuft für den „bewegten“ Beobachter 
im System a’y'z’t!' der Strahl nieht mit der Geschwindigkeit - „, son- 
sern mit der geometrischen Differenz aus - und seiner Translations- 
geschwindigkeit, letztere jedoch multipliziert mit 1 — e ‚ dem Fresnel- 
schen Mitführungskoeffizienten. Er ist Null für den leeren Raum 


176 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


(n = 1) und wird höchstens gleich 1 für ein unendlich stark brechen- 
des Medium. 

Da man natürlich ebensogut das System «yzt als mit der Ge- 
schwindigkeit v entgegengesetzt zur x-Richtung „bewegt“ und das 
System «’y'2’t' als „ruhend“ ansehen kann, so findet man, daß vom 
ruhenden System aus, die Lichtgeschwindigkeit im bewegten ponde- 


. 2. . c . 
rablen Medium als die geometrische Summe aus —- und der mit dem 


Fresnelschen Mitführungskoeffizienten multiplizierten Translationsge- 
schwindigkeit des Mediums ist. Dies erklärt die partielle Mitfüh- 
rung des Lichtes im strömenden Wasser (Versuch von Fizeau, Nr. 5). 
Die klassische geometrische Optik würde volle Mitführung ergeben: 
d« € 
BT 
derable Materie. 

Nach Erledigung der Strahlenoptik werde nunmehr eine ebene 
Welle betrachtet von der Gestalt 


A cosv (t ch Finn, 


wo A die Amplitude, » die Frequenz, «, ß, y die Richtungskosinusse 
der Wellennormalen (@ + P?-+y?=1), V die Wellengeschwindig- 
keit sind. Wir diskutieren wieder folgende Beispiele zur Lorentztrans- 
formation: 


— v, und zwar gleicherweise für den Äther wie für die pon- 


«) Im System zyzt verlaufe eine Welle senkrecht zur x- Achse 
mit der Geschwindigkeit : «&=0, ßB=1, y=0; V=c Gemäß 


(23) wird für das System «’y’z’t': 











Bader 
3 ’ . i 4 2 
eosv(—%) — cos» Br u, — cos | N, 
alıga 
wobei 
, v ; ® ie 4 ; 
=  ——, en Br V: 2 gesetzt ist; = (. 


D. h., wir haben genau wie vorhin in a) die gleiche Aberration, dies- 
mal der Wellennormale anstatt des Strahls; Normale und Strahl fallen 
also in beiden Systemen zusammen. Auch die Wellengeschwindigkeit 
bleibt konstant gleich c. Dafür tritt eine Frequenzänderung, aller- 
dings bloß 2. Ordnung, auf (transversaler Dopplereffekt). 

ß) Im System xyzt verlaufe eine Welle parallel zur «-Achse mit 
der Geschwindigkeit cv a=1,ß=y=0; V=c. Gemäß (23) wird 


4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitätstheorie. 777 


für das System «’y'z’t': 














v® 
+ ‘ ‚ ’ Par, 23 
cosv(t— 2) — cos» EA REP Er ah, — or EU He 
s V v* V v* v 
wobei (1-2) 
v— a “el ey l; V=e. 


D. h.: Zusammenfallen von Normale und Strahl. Konstanz der Wellen- 
geschwindigkeit wie in b). Auftreten des longitudinalen Doppler- 
effekts: Dem „bewegten“ Beobachter erscheint das Licht mit vermin- 
derter Frequenz v’, wenn er sich mit dem Licht bewegt, d. h. wenn 
er sich von der Lichtquelle entfernt. Der klassische Dopplereffekt 


wäre bloß v’ —= (1 2); hier tritt noch ein Unterschied 2. Ord- 
nung auf. 

y) Im System xyzt verlaufe eine Welle im ponderablen Medium 
vom Brechungsindex n parallel zur x-Richtung. Es werde aber jetzt 
im Gegensatz zu c) die Dispersion berücksichtigt; dann ist n» eine 


Funktion n(v) der Frequenz. Die Lichtgeschwindigkeit -- ist daher 
für verschiedene Frequenzen verschieden. Im System xyzf hat man 


e=l,ß=-r,=0; V- ne Gemäß (23) wird für das System z’y’z2’t': 


& v(y 2% 
cosv(t — an) = c08V (t nu 7) 


wo nv c 
1-—— ey 
v —= er V’= "— nal er =]. 
v. Be N, N 
y: er en 
Hierin bezieht sich » auf die Frequenz v, die die Welle im Sy- 
stem xyzt aufweist. Wünscht man die Frequenz v’ einzuführen, die 
die Welle im System x’y'z’t' hat, so hat man einen Brechungsindex 
n', der zu v’ gehört und bis auf Größen 2. Ordnung mittels Taylor- 
scher Reihenentwicklung durch n wie folgt ausgedrückt werden kann: 
n =n(v') = n(v) 1 — Zus® 
Hieraus folgt umgekehrt, bis auf Größen 2. Ordnung: 
N ® dn 
n—=N (1 +7) 
somit bis auf Größen 2. Ordnung: 


Encyklop. d. math. Wissensch VI2, B. 12 


178 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Es zeigt sich mithin eine mit Rücksicht auf die Dispersion et- 
was veränderte Mitführung des Lichts, wenn wieder das System «’y'z't 
als „ruhend“ und das System xyzt mit dem ponderablen Medium als 
„bewegt“ (und zwar mit der Geschwindigkeit v entgegengesetzt zur 
x-Achse) aufgefaßt wird. Zu beachten ist, daß in dem vorliegenden 
Falle, wo Wellennormale und Bewegungsrichtung parallel sind, aber 
auch nur in diesem Falle, Strahl und Wellennormale im bewegten 
ponderablen Medium zusammenfallen. Bei beliebiger Orientierung der 
Wellennormale zur Bewegungsrichtung unterscheiden sich Strahl und 
Wellennormale und ebenso Strahlen- und Normalengeschwindigkeit von- 
einander in ponderablen Medien. 

Bemerkt werde, daß die vorstehende Formel für die vom nicht 
mitbewegten Beobachter gemessene Geschwindigkeit V’ sich aus der 
Zeit berechnet, die er für den Lichtweg zwischen zwei nicht mitbe- 
wegten Punkten beobachtet. Dies sind bei Fizeaus Versuch die Glas- 
flächen, durch welche das Licht in die ruhende Röhre eintritt, in 
welcher das Wasser strömt. Bei der von Zeeman (Nr. 5) vorgenom- 
menen Abänderung des Mitführungsversuchs, wo ein massiver Glas- 
stab als Ganzes bewegt wird, gilt daher die Formel für Y’ nicht ohne 
weiteres, wenn der Lichtweg zwischen den mitbewegten Ein- und Aus- 
trittsflächen genommen wird.?) | 

d. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 
Im weiteren Sinne gehören fast alle Versüche über optische Erschei- 
nungen in bewegten Körpern in das Gebiet der Astronomie, weil es 
sich bei ihnen meist um die Bewegung der Erde bzw. des Sonnen- 
systems handelt. Wir geben darum nachstehend eine Übersicht der 
wichtigsten dieser Versuche in tunlichst chronologischer Anordnung, 
wobei die zeitgenössische Erklärung sowie die heute auf Grund der 
. sp. Rel.th. geltende (letztere durch Hinweise auf Nr. 4) beigefügt 
wird. Man kann hierbei 3 Epochen unterscheiden: A. Versuche, welche 
unter der Herrschaft der Emissionstheorie des Lichtes entstanden. 
B. Solche, welche unter der Herrschaft der elastischen (Äther)wellen- 
theorie entstanden. ©. Endlich solche, mit welchen die Krisis des 
Lichtäthers beginnt, die zur sp. Rel.th. geführt hat. 

A. An erster Stelle steht die Entdeckung der astronomischen 
Aberration durch James Bradley, 1727. Ihre Erklärung auf Grund 
des Additionsgesetzes der Geschwindigkeiten der klassischen Mechanik 
ist unmittelbar evident, sobald die Lichtstrahlen als Bahnen von Kor- 
puskeln angesehen werden, die mit Lichtgeschwindigkeit emittiert wor- 
den sind und von einem mit der Erde mitbewegten Beobachter be- 
trachtet werden. Über die astronomische Behandlung der Aberration 


5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 779 


vgl. VI2,2 (F. Cohn), Nr. fa und VI2,17 (J. Bauschinger), Nr. 6; 
ihre relativistische Erklärung Nr. 4a) bzw. «). 


B. Nach der Aufstellung der Undulationstheorie des Lichtes auf 
Grund der Hypothese des Lichtäthers als eines elastischen Mediums 
durch Augustin Fresnel entsteht die Aufgabe, die Aberration auf Grund 
der Wellentheorie zu erklären. Nimmt man mit Fresnel®') den Äther 
als ruhend an, so ist unmittelbar evident, daß die Wellennormalen 
keine Aberration erleiden können. Wohl aber erleiden die Strahlen- 
bündel eine solche.?®) Denn weil das Licht zu seiner Fortpflanzung 
Zeit braucht, wird man z.B. einen stellaren Lichtstrahl, der eine mit 
der Erde mitbewegte Blende passiert hat, durch eine hinter dieser 
aufgestellte ebenfalls mitbewegte zweite Blende hindurch nur dann 
beobachten können, wenn diese zweite Blende aus der ursprünglichen 
Richtung entgegen der Bewegungsrichtung der Erde um ein Stück 
verschoben wird, welches dem von der Erde zurückgelegten Weg wäh- 
rend der Zeit entspricht, die der Lichtstrahl zum Durcheilen des Zwi- 
schenraumes zwischen beiden Blenden braucht. Die neue Richtung, 
welche die beiden Blenden nunmehr bestimmen, der relative Strahl, 
bildet mit der ursprünglichen Richtung, dem absoluten Strahl, den 
Aberrationswinkel. Der absolute Strahl hat die Richtung der Wellen- 
normale. 

Diese Erklärung stößt auf Schwierigkeiten, wenn die Fortpflan- 
zung des Lichtes in bewegter ponderabler Materie betrachtet wird. 
Die Beobachtungen werden ja nicht mittels Blenden, sondern mittels 
Glaslinsen u. dgl. gemacht. Diese Schwierigkeiten deckte zuerst 
Arago”) auf. 


Versuch von Arago. Arago beobachtete einen Stern durch ein 
Prisma hindurch zu verschiedenen Tageszeiten. Wenn die Geschwin- 
digkeit des zur Beobachtung gelangenden relativen Strahls, wie nach 
dem Vorigen zu erwarten stünde, immer gleich der geometrischen 
Differenz aus der Geschwindigkeit des absoluten Strahls weniger der 
Translationsgeschwindigkeit der Erde wäre, so müßte, da zu verschie- 
denen Tageszeiten diese letztere Geschwindigkeit eine verschiedene ist, 


21) Lettre de Frresnel & Arago, Ann. chim. phys. 9 (1818), p. 57, Oeuvres 
completes de Fresnel 2, p. 627. 

22) Vgl. für das folgende H. A. Lorentz, Arch. neerl. 21 (1887), p. 103 ff. 
oder Abh. I. Nr. XIV, p. 341 ff. 

23) F. Arago, Oeuvres completes 1 (Paris 1854), in der Notice biographique 
sur Fresnel, insbes. p. 156. — Genauere Beschreibung des Versuchs von Arago 
bei J. B. Biot, Trait€ @lementaire d’astronomie physique 5, 3° &d. (Paris 1857), 
p- 364 note. 

y be 


180 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


die Verschiedenheit der Lichtgeschwindigkeit des relativen Strahls im 
Prisma eine verschieden starke Brechung bzw. Ablenkung dieses Strahls 
zur Folge haben; denn die Brechung hängt von der Geschwindigkeit 
ab. Tatsächlich wurde aber von Arago kein Einfluß der Richtung der 
Erdbewegung auf die Größe der Ablenkung beobachtet. 


Mitführungshypothese von Fresnel. Während Arago seinen Ver- 
such nur als Widerlegung der Emissionstheorie, durch die ja ein sol- 
cher Einfluß gefordert würde, betrachtete, gab Fresnel in dem zitierten 
Brief an Arago eine Erklärung des Versuchs auf Grund der Wellen- 
theorie. Darnach würde nur der freie Äther außerhalb der Erde gang 
ruhen, der innerhalb der Erde und aller ponderablen Materie befind- 
liche Äther würde bei der Bewegung zum Teil mitgenommen, und 
zwar im Verhältnisse des Überschusses, den die Dichte des Äthers 
innerhalb der ponderablen Materie gegenüber der Dichte des freien 
Äthers besitze; ein Maß für diesen Überschuß sei der Brechungsexpo- 
nent. Nach der Elastizitätstheorie ergibt sich nämlich für die Wellen- 
geschwindigkeit eine Größe, die proportional ist der umgekehrten 
Quadratwurzel der Dichte des elastischen Mediums. Demgemäß ist 
das Quadrat des Brechungsindex n gleich dem Verhältnis der Dichte 
des Äthers in der ponderablen Materie zu der Dichte des freien Äthers. 
(Von den Schwierigkeiten der Dispersion ist hierbei abgesehen.) Hier- 
aus schließt Fresnel, daß die Geschwindigkeit des relativen Strahls 
gleich ist der Geschwindigkeit des absoluten Strahls in dem betreffen- 
den Medium, vermindert um die mit n multiplizierte Translations- 
geschwindigkeit der Bewegung des Mediums. Dies umfaßt sowohl 
den Fall der Aberration im freien Äther (a — 1), wo die Geschwin- 
digkeit des absoluten Strahls um die volle Translationsgeschwindig- 
keit vermindert wird, wie den Fall der Brechung eines stellaren Licht- 
strahls in einem terrestrischen Prisma, wo infolge der teilweisen Mit- 
führung des Lichtstrahls durch die Materie des Prismas die Geschwin- 


digkeit des absoluten Strahls bloß um das -„fache der Translations- 


geschwindigkeit vermindert wird. Da in dem letzteren Fall die ge- 
wöhnliche Brechung des einfallenden Strahls noch hinzutritt, und 
zwar natürlich im Sinne einer Verminderung der Strahlengeschwindig- 
keit, kompensieren sich beide Effekte — partielle Mitführung und 
Brechung — wie die Rechnung zeigt, genau so, daß die Breehung 
des relativen Strahls unbeeinflußt wird von der Bewegung der Erde. 


Versuch von Fizeau. Die Mitführungshypothese Fresnels ist ex- 
perimentell bestätigt durch H. Fizeaus berühmten Versuch mit strö- 


5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 2787 


mendem Wasser“). Hier wird mit terrestrischen Hilfsmitteln eine 
Bewegung eines ponderablen Mediums — Wasser, das mit 4—7 m 
Geschwindigkeit strömt — hergestellt, und mittels der Interferenz 
zweier Strahlen, von denen einer mit, der zweite entgegen dem Wasser 
läuft, die infolge der Bewegung des Wassers eingetretene Veränderung 
der Geschwindigkeiten beider Strahlen gemessen. Der Versuch ist 
später durch Michelson und Morley?°) mit Strömungsgeschwindig- 
keiten zwischen 5,7 und 8,7 m Geschwindigkeit wiederholt worden 
und ergab eine sehr gute Bestätigung, wobei allerdings der durch die 
Bewegung hervorgerufene Dopplereffekt (vgl. Nr. 4, y) nicht berück- 
sichtigt wurde.?®) Neuerdings hat P. Zeeman?”) die Fresnelsche Theorie 
am bewegten Wasser besonders genau bestätigt. Er hat sodann Ver- 
suche an bewegten festen (Glas)körpern durchgeführt?®), bei welchen 
an Stelle der Formeln Nr. 4 unter c) bzw. y) eine andere Formel 
tritt, da hier der Lichtweg nicht zwischen zwei festen, sondern zwi- 
schen zwei beweglichen Ein- und Austrittsflächen gemessen wird.?”) 


Versuche von Hoek. Nachdem durch Fizeaus Versuch auf ter- 
restrischem Bereiche die Fresnelsche Theorie bestätigt worden war, 
beschäftigten sich zahlreiche Zeitgenossen mit ihrer Kritik und Über- 
prüfung. Den Einfluß der Richtung der Erdbewegung auf die Lage 
des von einem wassergefüllten Fernrohr entworfenen Bildpunkts eines 
irdischen Lichtpunkts untersuchen M. Hoek®®), E. Ketteler®'), Respighi??). 
Es ergibt sich kein solcher Einfluß, wie es der Theorie von Frresnel 
entspricht. Hoek®?) untersucht auch eine Interferenzerscheinung, in- 
dem er zwei Strahlen miteinander interferieren läßt, die ein wasser- 
gefülltes Rohr, das zur Richtung der Erdbewegung parallel steht, in 
entgegengesetztem Sinne durchlaufen haben. Es ergibt sich gleich- 
falls kein Einfluß der Erdbewegung auf die Interferenzerscheinung.**) 





24) H. Fizeau, Paris C. R. 33 (1851), p. 349; Ann. chim. phys. (8) 57 
(1859), p. 385. 

25) A. A. Michelson u. E. W. Morley, Amer. J. Science (3) 31 (1886), p. 377. 

26) H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektr. u. opt. Erscheinungen 
in bewegten Körpern, Leiden 1895, $ 72; Theory of electrons, Leipzig 1909, $ 164. 

27) P. Zeeman, Amst. Akad. Versl. 23 (1914), p. 245; 24 (1915), p. 18. 

28) P. Zeeman, ebenda 28 (1919), p. 1451; P. Zeeman u. A. Snethlage, 
ebenda 28 (1919), p. 1462. 

29) Vgl. M. Laue, Ann. d. Phys. 62 (1920), p. 458ff., $ 3. 

30) M. Hoek, Astr. Nachr. 73 (1869), p. 193. 

31) E. Ketteler, Astronomische Undulationstheorie, Bonn 1873, p. 66. 

32) Respighi, Bologna Ist. Mem. 2 (1862), p. 279. 

33) M. Hoek, Arch. neerl. 3 (1868), p. 180. 

34) Andere Interferenzerscheinungen wurden hinsichtlich des Einflusses der 


182 Vla, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Versuch von Aury. Die Einflußlosigkeit der Erdbewegung auf die 
Brechung des von einer außerterrestrischen Lichtquelle herkommenden 
Lichts bestätigte Aöry®°) nach einer von Boscovich herrührenden Idee, 
indem er die Aberration im wassergefüllten Fernrohr maß und gleich 
der im luftgefüllten Fernrohr fand. Er widerlegte damit gegenteilige 
Behauptungen und Versuche von W. Klinkerfues®®). 


Theorien von Stokes und von Lorentz. Die vorstehend geschilderten 
Versuche behandeln im wesentlichen drei Tatsachen.?”) Erstens die Aber- 
ration; zweitens den Umstand, daß sich auf einen stellaren Lichtstrahl, 
wenn seine scheinbare Richtung und Frequenz bestimmt sind, die Ge- 
setze der gewöhnlichen Optik anwenden lassen, ohne weiter auf die 
Bewegung der Erde zu achten (Arago, Airy); drittens, daß alle von 
terrestrischen Lichtquellen erzeugten optischen Phänomene völlig un- 
abhängig sind von der Erdbewegung (Hoek, Ketteler usf.). 


Zur Erklärung genügt die F'resnelsche partielle Mitführungstheorie 
des Lichtäthers. Dieser Theorie, die den (freien) Äther als einen die 
Materie durchdringenden, also ruhenden festen Körper ansieht, steht 
die Theorie der vollen Mitnahme des Äthers an der Erdoberfläche 
von @. @. Stokes?®) gegenüber, welche den freien Äther als eine (zähe), 
die genügend dichte Materie nicht durchdringende, daher an ihrer 
Oberfläche mitgenommene Flüssigkeit ansieht. Man sieht ohne wei- 
teres, daß dann für terrestrische Phänomene die Erdbewegung ein- 
flußlos sein muß, und daß die Aberration zustande kommt, wenn nur 
die an die Erde angrenzende Ätherschicht volle Mitnahme, die ent- 
fernteren Schichten nach außen zu abnehmende Mitnahme aufweisen. 
Jedoch ist Würbelfreiheit der Ätherströmung zur richtigen Erklärung 
der Aberration erforderlich.) Mit der Wirbelfreiheit ist aber der 
durch die volle Mitnahme geforderte Ausschluß jeder Gleitung des 
Äthers an der Erdoberfläche unverträglich, wenn man nicht Kompres- 
sibilität des Äthers zuhilfe nehmen will‘) Eine Kompressibilität des 
Äthers müßte sich durch eine Variabilität der Lichtgeschwindigkeit 


Erdbewegung untersucht von E. Ketteler, 1. c. p. 67 und E. Mascart, Ann. Ee. 
Norm. (2) 1 (1872), p. 166. 

35) @. B. Airy, London Roy. Soc. Proc. 20 (1871), p. 35. 

36) W. Klinkerfues, Astr. Nachr. 66 (1866), p. 387, Die Aberration der 
Fixsterne nach der Wellentheorie, Leipzig 1867, insbes. p. 53. 

37) Lorentz, Theory of electrons, $ 152. 

38) @. @. Stokes, Phil. Mag. 27 (1845), p. 9; Math. phys. pap. 1, p. 134. 

39) Lorentz, Arch. neerl. 21 (1887), $ 6. 

40) Lorentz, Amst. Akad. Versi. 7 (1899), p. 523 — Abh. Nr. XIX, p. 454; 
Theory of elecetrons, $ 149. 


5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 783 


in der Nähe großer bewegter Körper bemerkbar machen.#!) Infolge- 
dessen scheint die Theorie von Stokes nicht annehmbar. Bemerkt 
werde, daß sie der von H. Hertz“?) aufgestellten Theorie der Optik in 
bewegten Körpern zugrunde liegt. 

Die Theorie von Fresnel ist durch Lorentz?) ausgebaut worden. 
Bei Vernachlässigung der Größen 2. Ordnung zeigt sich, daß die op- 
tischen Phänomene auf der Erde bestimmt werden, wenn man das 
Fermatsche Prinzip der kürzesten Lichtzeit anstatt auf die absoluten 
Strahlen — also auf die „wahren“ Lichtwege — einfach auf die rela- 
tiven Strahlen — also auf die „scheinbaren“ Lichtwege — anwendet, 
und daher mit den letzteren so rechnet, als wären es gewöhnliche 
Strahlen in einem ruhenden Medium. Daß die relativen Strahlen nicht 
mit den zugehörigen Wellennormalen zusammenfallen, wie bereits 
oben erwähnt ist, tut also dabei nichts zur Sache. 


Dopplereffekt. Auf Grund der klassischen Kinematik (Galileitrans- 
formation) ist ohne weiteres klar, daß ein sich einer ruhenden Lichtquelle 
nähernder Beobachter in der Zeiteinheit mehr Wellenzüge empfängt als 
ein ruhender oder gar ein sich entfernender Beobachter, da der erstere 
den Wellen entgegenläuft‘‘). Nach anfünglichen Angriffen (Petzval, 
Klinkerfues u. a.) hat das Prinzip in der Astrophysik die umfassendste 
Anwendung und Bestätigung erfahren *°) (Lockyer, Secchi, Vogel, 
Campbell u. a.). Eine terrestrische Bestätigung des Prinzips, nämlich 
den Nachweis der infolge vielfacher Reflexionen an gegeneinander 
rotierenden Spiegeln eintretenden Dopplerverschiebung lieferten, nach 
Vorversuchen von Belopolsky*), Galitzin und Wilip*"). Sie konnten 
einen Dopplereffekt von ungefähr '/, km/sec”! Geschwindigkeit messen 
und bestätigen. Auch der von Stark“®) an bewegten Kanalstrahlen be- 


41) Eine solche wird zur Erklärung der Ablenkung der Lichtstrahlen an 
der Sonnenoberfläche im Gegensatz zur Einsteinschen Erklärung neuerdings 
herangezogen durch L.Silberstein, Phil. Mag. 39 (1920), p. 161; vgl. Anm. 56, 143). 

42) H. Hertz, Ann. Phys. 41 (1890), p. 369. 

43) Lorentz, Arch. neerl. 21 (1387) = Theory of electrons, $ 150—155. 

44) Ursprünglich ausgesprochen von Ch. Doppler, Abh. d. böhm. Ges. d. Wiss. 
(1842), p. 462, und irrtümlich zur Erklärung der Farbenverschiedenheiten der 
Sterne (Verschiebung des ganzen Spektrums) angewendet. Richtig (für die ein- 
zelne Spektrallinie) formuliert von H. Fizeau, gelesen vor der Societe philo- 
mathique, Paris 1848; gedruckt Ann. chim. phys. 19 (1870), p. 211. 

45) Erste Anwendung am Sirius durch W. Huggins, Phil. Trans. 158 (1868), 
p: 529 zugleich mit einer Bemerkung von Maxwell, ebenda p. 532. 

46) A. Belopolsky, Astroph. J. 13 (1901), p. 15. 

47) B. Galitzin u. Wilip, Astroph. J. 26 (1907), p. 49. 

48) J. Stark, Ann. d. Phys. 21 (1906), p. 401. 


184  VIs, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


obachtete Dopplereffekt kann als terrestrische Bestätigung des Prinzips 
herangezogen werden. 

C. Der wesentliche Punkt der klassischen Fresnelschen Äthertheorie 
ist der, daß die Geschwindigkeit der relativen Strahlen, mit denen ein 
durch den freien Äther hindurch bewegter Beobachter operieren muß, 
die geometrische Differenz aus der Geschwindigkeit des absoluten 
Strahls und der Translationsgeschwindigkeit des Beobachters ist. Da- 
nach hätte man also ein Mittel, durch Messung der Lichtgeschwindig- 
keit in irgendeinem System die Bewegung desselben relativ zum ruhen- 
den Äther (die „absolute“ Bewegung) festzustellen. Darauf hat zuerst 
Maxwell hingewiesen.“”) Und zwar wendet er diese Betrachtung so- 
wohl auf die „absolute“ Bewegung der Erde“?) als auch auf die des 
ganzen Sonnensystems°®) an. _ 

Was die erstere anbelangt, so ist bekannt, daß terrestrische Mes- 
sungen der Lichtgeschwindigkeit wegen der Größe der letzteren sich 
auf einen geschlossenen Lichtweg beziehen müssen. Die Folge davon 
ist, daß im Resultat der Einfluß der Erdgeschwindigkeit, weil er sich 
bei der einen Hälfte dieses Lichtwegs addiert, bei der andern sub- 
trahiert, in erster Ordnung herausfällt und daß also nur ein Effekt 
zweiter Oranung übrig bleibt. Maxwell meinte damals, daß dieser 
Effekt zu klein sei, um beobachtet werden zu können. 

Was die letztere anbelangt, so besitzen die astronomischen Mes- 
sungen der Lichtgeschwindigkeit den Vorzug, sich auf ungeschlossene 
Lichtwege zu beziehen. Infolgedessen bleibt hier ein Effekt erster 
Ordnung bestehen. Maxwell zieht die Römersche Methode der Messung 
der Lichtgeschwindigkeit in Betracht. Man muß hierzu bloß die aus 
den Verfinsterungen der Jupitersatelliten resultierende Lichtgeschwin- 
digkeit in zwei Punkten der Bahn des Jupiters vergleichen, die um 
die halbe Umlaufszeit auseinander liegen und die so beschaffen sind, 
daß die Richtung Sonne—Jupiter in dem einen ungefähr parallel, in 
dem andern ungefähr entgegengesetzt parallel der mutmaßlichen Trans- 
lationsrichtung des Sonnensystems ist. Dabei ist der Einfachheit hal- 
ber der Beobachter auf der Sonne anstatt auf der Erde gedacht. Man 
sieht aus dieser Idee Maxwells, daß die früher viel verbreitete Be- 
hauptung, die Fresnelsche Theorie erkläre das Ausbleiben aller Effekte 
erster Ordnung, unrichtig ist, wofern der eben besprochene Effekt tat- 
sächlich ebenso negativ ausfällt, wie alle andern auf die absolute Be- 
wegung bezüglichen Effekte?!) 


49) J. Cl. Maxwell, London Roy. Soc. Proc. 30 (1879—80). p. 108. 
50) J. Cl. Maxwell, Encycl. Brit., 9% ed., article „Ether“. 
51) Darauf hat zum erstenmal W. Ritz hingewiesen. Recherches critiques 


5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 785 


Versuch von Michelson. Die erstere Idee Maxwells ist experimentell 
verwirklicht in dem bekannten Versuch von Michelson. Es werden zwei 
Strahlen zur Interferenz gebracht, welche beziehungsweise parallel und 
senkrecht zur Erdbewegung verlaufen. Dreht man das Interferometer, 
so daß der zur Erdbewegung parallele Arm und der zur Erdbewegung 
senkrechte Arm ihre Rollen vertauschen, so sollte sich nach der Frresnel- 
schen Theorie eine Verschiebung der Interferenzstreifen in der Größe 
eines Effekts zweiter Ordnung ergeben. Der erste Versuch von Michel- 
son?) hatte Armlängen von 1,2 m. Die erwartete Verschiebung war 
0,08 Interferenz Streifenbreiten. Die beobachtete betrug im Mittel 
0,02. Daraus schloß Michelson auf die Unrichtigkeit der F'rresnelschen 
und auf die Richtigkeit der Stokesschen Theorie. Einwände von Lorentz°?) 
veranlaßten Michelson zu einer Wiederholung des Versuchs®®). Die ge- 
samte Weglänge für den transversalen und für den longitudinalen Strahl 
betrug jetzt 22 m anstatt der früheren 21,2 m. Die erwartete 
Verschiebung betrug 0,4 Streifenbreiten; beobachtet wurden maxi- 
mal 0,02. 

Dieses negative Resultat veranlaßten Lorentz”) und Fitz-Gerald°®) 
zur Aufstellung der Hypothese, daß der longitudinale Arm des Inter- 
ferometers infolge der Bewegung durch den Äther sich kontrahiere, 
wodurch sich die zugehörige Lichtzeit verkürze, die nach Fresnel für 
den longitudinalen größer als für den transversalen Arm gewesen wäre, 
während jetzt beide gleiche Lichtzeit bekämen. Dies führte in der 
Folge Lorentz°”) zu der nach ihm benannten Transformation, nach- 
dem Poincare®®) den ad hoc-Charakter der Kontraktionshypothese be- 


sur l’eleetrodynamique generale. Ann. chim. phys. 13 (1908), p. 145 ff., $ 9 oder 
Oeuvres, Paris 1911, p. 363. 

52) A. A. Michelson, Amer. J. of Science 22 (1881), p. 20. 

53) Lorentz, Arch. Neerl. 21 (1887), $ 25—26. 

54) A. A. Michelson und E. W. Morley, Amer. J. of Science 34 (1887), 
p- 333. 

55) H. A. Lorentz, Amst. Akad. Versl. 1 (1892), p. 74. — Abh. XVII, p. 443f. 

56) @. F. Fitz-Gerald nach O. Lodge, London Phil. Trans. 184 (1893), p. 749. 
Lodge berichtet in dieser Arbeit von seinen Versuchen zur Widerlegung der Stokes- 
schen Theorie. Lichtstrahlen, zwischen rotierenden Scheiben hindurchgeschickt, 
werden nicht abgelenkt, der Äther also durch die Scheiben nicht mitgenommen. 
Dies ließe sich jedoch durch die geringe Masse der Scheiben erklären. Vgl. 
O. Lodge, Phil. Mag. 39 (1920), p. 160 zu der in 41) erwähnten Arbeit von 
L. Siülberstein. 

67) H. A. Lorentz, Amst. Acad. Proc. 6 (1904), p. 809, auch Samml.; die 
Formeln der Lorentztransformation übrigens schon bei W. Voigt, Gött. Nachr. 
1837, p. 41. 


58) H. Poincare, Rapports du Congres de physique de 1900, Paris 1, p. 22. 


186 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


anstandet hatte. Hieraus erstand die sp. Rel.th., indem Poincare®?) 
das „Relativitätspostulat“, Einstein‘) das „Relativitätsprinzip“ auf- 
stellten, wonach die absolute Bewegung relativ zum Äther durch op- 
tische (und elektromagnetische) Mittel unfeststellbar sein müsse. Ein- 
stein schloß hieraus, da danach beliebig gleichförmig und geradlinig 
gegeneinander bewegte Systeme hinsichtlich der optischen (und elek- 
trischen) Gesetze vollkommen gleichwertig sind (Prinzip der Konstanz 
der Lichtgeschwindigkeit), auf die Überflüssigkeit der Vorstellung des 
Lichtäthers, da sich dieser in keiner Weise bemerkbar mache. 

Eine dritte Wiederholung des Michelson-Versuches unternahmen 
noch E. W. Morley und D. ©. Miller®‘) mit dem Ergebnis, daß die 
eintretende Verschiebung jedenfalls kleiner war als der hundertste Teil 
der nach Fresnel erwarteten. (Relativistische Erklärung Nr. 4, a) und 
b) bzw. «) und Bß).) 

Mazxwells Vorschlag zur Bestimmung der absoluten Bewegung des 
Sonnensystems. Wenn das Relativitätsprinzip und das Prinzip der Kon- 
stanz der Lichtgeschwindigkeit richtig sind, folgt natürlich, daß auch 
der zweite obenerwähnte Vorschlag Maxwells, welcher sich auf eine 
astronomische Methode, die Lichtgeschwindigkeit zu messen, bezieht, 
ein negatives Resultat ergeben muß. Dieser Vorschlag ist diskutiert 
von .Burton‘®). Aus 330 photometrischen Beobachtungen der Ver- 
finsterungen des 1. Jupitersatelliten, die an der Harvardsternwarte ge- 
macht worden waren, schätzt er den Fehler, mit dem das nach der 
klassischen Mechanik und nach Firesnel berechnete Resultat für die 
Geschwindigkeit des Sonnensystems behaftet würde, auf + 50 km/sec. 
Bekanntlich schätzt man die Geschwindigkeit der Sonne relativ zum 
Fixsternhimmel (was nicht mit der Geschwindigkeit relativ zum Äther 
zusammenfallen muß) auf bloß 20 km/sec, so daß dermalen noch nicht 
die genügende Genauigkeit der Beobachtungen erreichbar ist, die für 
die Überprüfung dieses Effekts notwendig wäre. 

Bemerkt werde, daß Lorentz das gemäß dem Relativitätsprinzip 
erwartete Ausbleiben dieses Effekts durch die Abänderung des Newton- 
schen Gravitationsgesetzes in der speziellen Relativitätstheorie zu er- 
klären scheint®®). Demgegenüber hat schon Ritz 1. e.’') hervorgehoben, 

59) H. Poincare, Paris ©. R. 140 (1905), p. 1504. — Palermo Rend. Circ. math. 
21 (1906), p. 129. 

60) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17 (1905), p. 891 (auch in der Sammlung 
„Das Relativitätsprinzip“). 

61) E. W. Morley und D.C. Miller, Phil. Mag. 9 (1905), p. 680. 

62) C. V. Burton, Phil. Mag. 19 (1910), p. 417. — Vgl. F. Höffler, Astr. 


Ges. Vjs. 31 (1896), p. 297 und K. F. Bottlinger, Astr. Nachr. 211 (1920), p. 237. 
63) H. A. Lorentz, Phys. Ztschr. 11 (1910), p. 1234 (Samml. p. 80 u. Vorl.p. 20). 


5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. 787 


daß diese Modifikation des Newtonschen Gesetzes für bewegte Zentral- 
körper bloß von der zweiten Ordnung ist (vgl. Nr. 2—3). De Sitter‘*) 
betont, daß das Ausbleiben des Effekts nichts mit dynamischen Ge- 
setzen zu tun hat, sondern eine bloße Folge der Kinematik des Re- 
lativitätsprinzips ist. Betrachtet man nämlich die Bahn des Planeten 
als Kreis in einem mit der Sonne mitbewegten System, so ist sie nicht 
mehr kreisförmig in einem System, relativ zu welchem die Sonne nicht 
mehr ruht, wie es der „Äther“ Maxwells wäre. Daraus folgt, daß die 
Zeiten, die der Planet zu den beiden „Hälften“ seiner Bahn braucht, 
im neuen System ungleich groß sind; dies kompensiert den von Maxwell 
erwarteten Effekt. Die Lichtzeiten und daher die Lichtgeschwindigkeit 
bleiben also auch im neuen System konstant. 

Theorie von Ritz. W. Ritz hat nach dem Sturz der klassischen 
Kinematik durch die sp. Rel.th. zur Vermeidung dieses radikalen Aus- 
wegs die Rückkehr zur Emissionstheorie des Lichts versucht.®) Da- 
nach wäre der negative Ausfall des Michelson-Versuchs auf Grund der 
klassischen Kinematik erklärbar, weil die Lichtkörperchen, welche sich 
Ritz nicht materiell, sondern als Energiezentren denkt, die Geschwindig- 
keit der emittierenden Lichtquelle besäßen. Dadurch erklären sich 
übrigens alle vorgenannten Versuche bis auf die partielle Mitführung 
des Lichts durch die Materie. Diese will Ritz durch eine gewisse Re- 
aktion der geladenen Materie auf die Lichtteilchen erklären. 

Zur Widerlegung der Ritzschen Theorie bemerkt W. de Sitter °°), 
daß die Verhältnisse bei den Doppelsternen das Prinzip der Konstanz 
der Lichtgeschwindigkeit sehr genau bestätigen. Nach Ritz müßte 
sich nämlich die Geschwindigkeit des Begleiters zur Geschwindigkeit 
des uns von ihm zugesendeten Lichts superponieren. Dadurch würde 
das Licht aus einigen Stellen seiner Bahn erheblich rascher als aus 
anderen Stellen zu uns gelangen. Es könnten daher frühere Posi- 
tionen des Begleiters gleichzeitig mit späteren von uns gesehen werden. 

64) W. de Sitter, l. c. p. 13, $ 16. 

65) W. Ritz, 1. c. Fußnote 51, bes. die introduction. 

66) W. de Sitter, Phys. Ztschr. 14 (1913), p. 429 oder Amst. Acad. Proceed. 15 
(1913), p. 1297; auch W. Zurhellen, Astr. Nachr. 198 (1914), p. 1.— Vgl. zur Ritz- 
schen Theorie P. Ehrenfest, „Zur Krise der Lichtätherhypothese‘“, Berlin 1913. — 
Einen Einwand von E. Freundlich, der Phys. Ztschr. 14 (1913), p. 835 [zugleich 
mit P. @uthnick, Astr. Nachr. 195 (1913), p. 265] die auffällige Vorliebe der 
Apsidenlinien bei spektroskopischen Doppelsternen für die Richtung nach der 
Sonne als scheinbar und bedingt durch eine partielle Abhängigkeit der Lichtge- 
schwindigkeit von der Geschwindigkeit der Lichtquelle erklären wollte, widerlegt 
de Sitter, Phys. Ztschr. 14 (1913), p. 1267. — Über angebliche terrestrische Wider- 


legungen der Ritzschen Theorie (Majorana) vgl. den Artikel von W. Pauli V 19, 
Nr. 8. 


188 VlIe, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Dies wäre möglich, weil die Geschwindigkeiten, die man bei spektro- 
skopischen Doppelsternen nach dem Dopplereffekt tatsächlich messen 
kann, von der Ordnung 100 km/see sind.‘”) 


II. Allgemeine Relativitätstheorie. 
A. Mechanik. 


6. Das Prinzip der allgemeinen Relativität. Betrachtungen über 
die Trägheit aller Energie führten Planck®) und Einstein”) auf die 
Frage, ob alle Energie auch schwer sei. Wenn der aus der Galilei- 
Newtonschen Theorie der Gravitation überlieferte Grundsatz von der 
Identität der trägen und schweren Masse auch für den erweiterten 
Trägheitsbegriff der relativistischen Dynamik gilt, so folgerte Einstein’) 
einen „Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichts“, da 
ja das Licht elektromagnetische Energie, also Trägheit besitzt, daher 
auch der Schwere unterliegen muß. 

Dann aber läßt sich im Schwerefeld das Prinzip der Konstanz 
der Lichtgeschwindigkeit, welches der sp. Rel.th. zugrunde liegt, nicht 
mehr allgemein aufrechterhalten; es muß vielmehr auf unendlich kleine 
Bereiche beschränkt werden, innerhalb deren das Schwerefeld nicht 
merklich variiert. Die Maßbestimmung (1) der sp. Rel.th., welche 
jenes Prinzip ausdrückt (Nr. 4), erweist sich daher bloß als ein spe- 
zieller, auf lokale Bereiche beschränkter Fall einer weit allgemeineren 
Maßbestimmung, deren Koeffizienten von Stelle zu Stelle variieren, da 
das Schwerefeld und mithin das von diesem abhängige Gesetz der 
Ausbreitung des Lichts von Stelle zu Stelle variiert. Die allgemeinste 
Maßbestimmung, die solcherart an Stelle der speziellen Maßbestim- 
mung (1) treten kann, ist offenbar gegeben durch eine quadratische 
Differentialform mit variablen Koeffizienten: 


4 
(27) ds? er I dz,da,. (9 9) 


Hierin bedeuten &,2,%, irgend drei raumartige, x, einen zeitartigen 
Parameter, welche zur raumzeitlichen Festlegung eines Ereignisses die- 
nen. Diese Koordinaten x, sind nun im allgemeinen keine kartesischen, 
wie es die vier Minkowskischen bei der euklidischen Maßbestimmung (1) 


67) Hier möge noch auf einen astronomisch vielleicht feststellbaren Effekt 
2. Ordnung, der aus der sp. Rel.th. folgt, hingewiesen werden. Vgl. A. Kopff, 
Phys. Ztschr. 23 (1922), p. 120. Berichtigung hierzu, ebenda, p. 255. 

68) M. Planck, Berl. Ber. 1907, insbes. p. 544. 

69) A. Einstein, Jahrb. d. Radioakt. 4 (1907), $ 11 u. $ 17—20. 

70) A. Einstein, Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 898 ff., insbes. $ 2. 


6. Das Prinzip der allgemeinen Relativität. 189 


waren. Kartesische Koordinaten sind bei einer vierdimensionalen Man- 
nigfaltigkeit mit der allgemeinsten Maßbestimmung (27) überhaupt 
nieht möglich. Die x, sind vielmehr irgendwelche generalisierte Koordi- 
naten im Sinne von Lagrange oder krummlinige im Sinne von Gauß. 

Da es also im allgemeinen Fall (27) kein Koordinatensystem gibt, 
welches, wie im speziellen Falle (1) die kartesischen Koordinaten, durch 
die Maßbestimmung selbst ausgezeichnet wäre, müssen alle möglichen 
Systeme in Betracht gezogen werden. Einstein‘*) formuliert nun das 
Prinzip der allgemeinen Relativität, welches verlangt, daß die Natur- 
gesetge in einer Form ausgesprochen werden müssen, die von der Wahl 
des Koordinatensystems unabhängig ist. Mathematisch gesprochen heißt 
dies, daß die betreffenden Differentialgleichungen usw. invariant sein 
müssen gegenüber beliebigen Transformationen der x, Dabei sind nicht 
nur Transformationen der drei räumlichen x untereinander, sondern 
auch solche, welche die „Zeit“ x, mittransformieren, zugelassen. Diese 
letzteren haben, wie das spezielle Beispiel der Lorentztransformation 
zeigt, kinematischen Charakter, d.h. sie ändern den Bewegungszustand 
des Koordinatensystems. Infolgedessen sagt das Prinzip der allge- 
meinen Relativität unter anderem aus, daß die Naturgesetze vom Be- 
wegungszustand des Koordinatensystems unabhängig sind. Es behauptet 
also die Relativität aller Bewegung, nicht nur die der gleichförmigen 
und geradlinigen Translation. 

Einstein bedient sich bei der Aufsuchung der angekündigten neuen 
Form der Naturgesetze eines mathematischen Apparats, der schon fertig 
ausgebildet vorlag. Es handelt sich dabei im wesentlichen um die 
Übertragung der üblichen Vektor- und Tensoranalysis, d. i. der In- 
variantentheorie der mathematischen Physik, von kartesisch-euklidischen 
Koordinaten wie bei (1) auf allgemeine wie bei (27). Diese Übertragung 
gelingt durch den Grundsatz, daß auch in einer beliebigen Mannig- 
faltigkeit wie bei (27) im unendlich kleinen lokalen Bereiche eine 
euklidische Maßbestimmung (1) eingeführt werden kann, daß also die 
übliche Vektoranalysis auch im allgemeinen Falle in differentiellen Be- 
reichen Geltung hat. Die bezügliche Invariantentheorie, die also zu 
einer Theorie der Differentialinvarianten erweitert werden muß, war an 
geometrischen Verhältnissen auf Grund von Arbeiten von Riemann, 
Christoffel, Lipschitz durch Ricei und Levi-Civita”*) ausgebildet wor- 
den. Auf physikalische Verhältnisse in der Relativitätstheorie war sie 


70°) A. Einstein und M. Großmann, Ztschr. Math. Phys. 62 (1913), auch 
separat bei Teubner unter dem Titel: „Entwurf einer verallgemeinerten Relativitäts- 
theorie und einer Theorie der Gravitation“, Leipzig 1913, zitiert als „Entwurf“. 
71) @. Ricei und T. Levi-Civita, Math. Ann. 54 (1901), p. 125 ff. 


190 Vla, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


bereits durch Kottler'?) angewendet worden, der eine Maßbestimmung 
(1), transformiert auf beliebige generalisierte Koordinaten, betrachtet 
hatte (zwecks Untersuchung der Relativität der beschleunigten Bewe- 
gung), wobei der mathematische Apparat der gleiche wie bei der all- 
gemeinen Maßbestimmung (27) ist. 

Für das Folgende genügt es, den Begriff der kovarianten bzw. 
kontravarianten Vektoren und Tensoren anzugeben. Das Urbild eines 
kontravarianten Vektors ist das Differential der Koordinaten, die un- 
endlich kleine Strecke. Beim Übergang zu andern Koordinaten x,’ 2,232, 
transformieren sich die Differentiale dx, wie folgt: 


4 
0%; . 
da gan dai. (==1,2,3,4) 
Demgemäß wird als ein kontravarianter Vektor 1. Stufe ein Inbegriff 
von vier Größen A!, A?, A?, A? (bezeichnet durch hochgestellte In- 
dizes) definiert, die sich wie die Differentiale dx, transformieren: 


4 
(28) A 4° ga. = 1,2)3,4) 
i=1 r 
(Eigentlich sollten also die dx, auch hochgestellte Indizes als Zeichen 
ihrer Kontravarianz tragen, wie z. B. in Encykl. V 19 (W. Pauli jr.); 
dieses unterbleibt hier, da die x, selbst keine vektorielle Bedeutung 
haben und traditionsgemäß mit tiefen Indizes geschrieben werden.) 
Ganz analog bezeichnet man einen Inbegriff von 16 Größen A!!, 412, 
... A%* mit je zwei Indizes als einen kontravarianten Tensor 2. Stufe, 
wenn diese sich wie die Produkte der Differentiale transformieren: 
(29) An Dan Zar Zeh (,k=1,9,3,4) 
A, u 


’ SR 
0x OL 








Das Urbild eines kovarianten Vektors sind die Differentialquotienten 
einer skalaren (invarianten) Funktion f; sie transformieren sich wie 
folgt: ER of dw, 

PR? > PEARE 
Demgemäß wird als ein kovarianter Vektor 1. Stufe ein Inbegriff von 
vier Größen A,, A,, As, A, (bezeichnet durch tiefgestellte Indizes) 
of 


definiert, die sich wie die Differentialquotienten „_ transformieren: 
(30) A Dan (= 1,2,3,4) 
Pi ı 


Ebenso ist ein kovarianter Tensor 2. Stufe ein Inbegriff von 16 Größen 


72) F. Kottler, Wien. Ber. 121 (1912), p. 1659 ff. 


7. Mechanik des Massenpunktes in der allgemeinen Relativitätstheorie. 797 


Id, ’ 2. Ay, die sich wie die Produkte der Differentialquotienten 


of transformieren: 
7) TC; 


0 0x, iR 
(31) A; - 24 ee (,k—1,2,3,4) 
Einen solchen kovarianten und obendrein symmetrischen (g;,; — 9;,) 
Tensor 2. Stufe bilden die Koeffizienten g,,, da nach dem Prinzip der 
allgemeinen Relativität die quadratische Differentialform in (27) offen- 
bar eine Invariante ist. Man hat also: 


ER n 0x, Ox, 
m— 29 EIER 


(Fundamentaltensor). Zu diesem Tensor läßt sich mittels der Relationen 


l, i=k 
32 1 
299 2, 0, a 
ein reziproker Tensor 2. Stufe mit den Komponenten g’* bilden, wel- 
cher offenbar, da die rechte Seite von (32) invariant ist, kontravariant 
sein muß. Es erweist sich, daß diese g’* je gleich sind den Unter- 
determinanten der Matrix Igel, 1.9.0 


welche zu dem Element g,, adjungiert sind, gebrochen durch die 
Determinante g=|9,,| Wk = 1,2, 3, 4). 

7. Mechanik des Massenpunktes in der allgemeinen Relativitäts- 
theorie. Die vorstehend erwähnte Theorie der Invarianz oder Kovarianz 
(wie man oft kurz statt Kovarianz und Kontravarianz sagt) lieferte 
nun Einstein das Mittel zur Übertragung der schon bekannten Natur- 
gesetze (Mechanik, Elektrizität) auf die allgemeine Raumzeitmannig- 
faltigkeit mit der Maßbestimmung (27), sowie das heuristische Prinzip 
bei der Aufsuchung der noch unbekannten Naturgesetze (Gravitation). 
Wir besprechen in dieser Nummer die BR der Gesetze der 
Mechanik."?) 

Zufolge der Gültigkeit der sp. Rel.-th. im Uhendlich kleinen be- 
deutet ds das Element der (lokalen) Eigenzeit, die ein mit einem 
Massenpunkt mitbewegter Beobachter in einer auf lokalen Bereich be- 
schränkten Maßbestimmung (1) beobachtet; insbesondere gibt ds = 0 
das (lokale) Gesetz der Ausbreitung der Lichtstrahlen an. 

Das Gesetz der Bewegung eines sich selbst überlassenen Massen- 
punktes lautete nach (2), wenn X,— (0 gesetzt wird: 


sfvas—0, 
1 


73) A. Einstein, Ann. d. Phys. 38 (1912), Nachtrag p. 458, ferner Entwurf 
(1913), $ 1 des Ersten Teils. 


192 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


wenn man von (9) Gebrauch macht. U ist die gesamte innere Energie 
des Massenpunktes, gemessen in dem obenerwähnten mitbewegten Sy- 
stem, also sicherlich eine Invariante gegenüber allen Transformationen 
der Koordinaten, ebenso wie ds eine solche ist. Das obige Variations- 
prinzip kann daher gemäß dem Prinzip der allgemeinen Relativität 
ohne weiteres auf den allgemeinen Fall übertragen werden. 

Ist insbesondere die Bewegung des Massenpunktes adiabatisch, so 
ist U== const während der Bewegung, und das Gesetz für einen solcher- 
art bewegten Massenpunkt lautet dann einfach: 


2 
(33) [das — 0, 
1 


wobei gemäß (27) ds — V23: de, da, einzusetzen ist, d. h. die Welt- 
i, 


linie des in einem beliebigen Schwerefeld sich selbst überlassenen 
Massenpunkts ist eine Extremale der Maßbestimmung (27) (Geodätische 
Linie). 

Die Bewegung, die der im Schwerefeld sich selbst überlassene 
Massenpunkt zufolge (33) beschreibt, ist aber natürlich keine gerad- 
linig gleichförmige wie bei der euklidischen Maßbestimmung (1). Sie 
wird vielmehr, wenn der Einfluß des Schwerefeldes auf die Koeffizienten 
der Maßbestimmung (27) richtig bestimmt ist, diejenige beschleunigte 
Bewegung sein, die der Massenpunkt unter dem Einfluß der Massen 
einschlägt, die das Schwerefeld erzeugen. Damit ergibt sich eine Ver- 
einigung von Trägheits- und Schwerebewegung, die ihren prägnanten 
Ausdruck in dem von Einstein formulierten Prinzip der Äquivalenz 
findet. Danach ist jedes Trägheitsfeld, d. h. ein Beschleunigungsfeld, 
das von der Verwendung eines nichtinertialen Bezugssystems herrührt, 
wie z. B. das Feld in einem fallenden Kasten oder auf einer rotieren- 
den Scheibe, einem. Schwerefelde völlig äquivalent. (Aber natürlich 
ist umgekehrt ein beliebiges Schwerefeld einem Trägheitsfeld im all- 
gemeinen nicht äquivalent.) Eine Folge dieses Prinzips und zugleich 
die erste Bestätigung der allg. Rel.th. ist es, daß die Masse U aus 
den Gesetzen der Bewegung des Massenpunkts im Schwerefeld ganz 
herausfällt, d. h. daß der Grundsatz der Identität von träger und schwerer 
Masse hier seine Erklärung findet. 

Die allg. Rel.th. hat daher, sofern die Koeffizienten der Mab- 
bestimmung (27) richtig bestimmt sind, die Mechanik des Schwere- 
feldes zur Folge. Zur Aufstellung der vier Impulsenergiesätze führe 
man die Variation in (33) durch. Man erhält die vier Differential- 
gleichungen: 


7. Mechanik des Massenpunktes in der allgemeinen Relativitätstheorie. 793 


d de 1 Ögp: dx, dam ER 
ds (3 I:p 2) Zah 20 Da, dd (@=1,2, 3,4) 
und nach Ausführung der Differentiation 


(34) Digeagt +» [7] n a PN 
® 


2,9 


a’x, 
Hieraus nach Auflösung nach —.: 


@ a me 


mit den Abkürzungen ’?®) 


= er er) (Christoffel-Symbol der 1. Art) 


i 2\0m, 0% 0%; 





vl > aa (Christofjel-Symbol der 2. Art). 


Die Bewegungsgleichungen (35) unterscheiden sich von den ana- 
logen Gleichungen (10) der sp. Rel.th. (für X,=0) durch den zweiten 
Term der rechten Seite, welcher von den 1. Differentialquotienten der 
Koeffizienten g,, abhängt. Dieser gibt also die „Beschleunigung“ an, 
die das Schwerefeld dem Massenpunkt erteilt. Da diese Beschleunigung 
durch Differentiation der g,,; berechnet wird, nennt man die g,, auch 
die „Potentiale“ des Schwerefelds. Das Einsteinsche Schwerefeld be- 
sitzt hiernach zehn Potentiale, die einen symmetrischen Tensor 2. Stufe 
bilden, an Stelle des einen skalaren Potentials des Newionschen 
Schwerefeldes. 

Für den Fall einer (nicht auf lokale Bereiche beschränkten) Maß- 
bestimmung (1) werden sämtliche g,, konstant. Denn es wird dann: 

li=k) 
(36) ==, i+k]. 
In diesem Fall wird die „Beschleunigung“ des Massenpunkts durch das 
Schwerefeld Null; es ist nach der üblichen Newtonschen Ausdrucks- 
weise kein Schwerefeld vorhanden. Die Maßbestimmung (1) charak- 
terisiert daher den leeren Raum in sehr großer Entfernung von aller 
Materie. Nach der Einsteinschen Auffassung ist diese Ausdrucks- 
weise nicht korrekt. Denn es würde ja dann noch immer eine Träg- 
heitsbewegung des sich selbst überlassenen Massenpunktes, nämlich 
die geradlinig gleichförmige Bewegung resultieren. Jede Trägheits- 
bewegung ist aber prinzipiell mit einer Schwerebewegung äquivalent. 


73a) In Encykl. V 19 (W. Pauli jr.) mit Dips bzw. ie bezeichnet. 
Encyklop. d, math. Wissensch. VI 2,2. 15 


194 NIa, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Sie muß daher durch umliegende Massen bestimmt sein, auch wenn 
diese sehr entfernt sind. Dies führt auf die Machsche Auffassung des 
Trägheitsgesetzes’*) und in weiterer Folge auf eigentümliche Schwierig- 
keiten der Einsteinschen Theorie, da der völlig leere Raum und das 
erwähnte „Machsche Prinzip“ einander widersprechen. So kommt 
Einstein”) zu der Auffassung, daß die Werte (36) als Grenzwerte der 
Koeffizienten für große Entfernung von den Massen abzulehnen sind, 
d. h. daß die Welt als Ganzes nicht leer sein kann. Die Werte (36) 
hätten demnach immer nur lokale, nie universale Geltung. 

8. Das Verhältnis der Mechanik des Massenpunktes zur Mechanik 
der Kontinua. Man ersetze im mitbewegten Eigensystem den Massen- 
punkt durch das Volumelement dV° und setze demgemäß die Energie: 


U=W°’av?, 

wo W° eine ep ist. Definiert man nun 
dx, da, 
(87) mM ds ds’ 


so ist dies sicherlich ein kontravarianter (symmetrischer) Tensor 
2. Stufe, da W° und ds Invarianten des Massenpunktes sind. Aus der 


Identität 
d d Ogpg A&, dx 
01 %' RLD pe @%p q 
Ww Kr (2 Iip ds 2< ; 0% ds ar 


0 . 
er (V3 9;, 7°) — Zen, @=1,2,3,4) 


P,q 2,9 





(38) 


bei deren Ableitung Gebrauch SER ist von der Kontinuitätsgleichung 
der Materie: e= 
a 4 


welche ähnlich wie in abe Hydrodynamik aussagt, daß Masse weder’ 
neu erzeugt noch vernichtet werden kann, folgt wegen (34): 


09 
(29) Die Ver) —z ‚2m Tryg=0, 1 d=12,3,4) 
wobei 1, an Tre 

g 


als „gemischter“ Tensor eingeführt ist. Er ist bezüglich des unteren 
Index kovariant, bezüglich des oberen kontravariant. 
Die Bewegungsgleichungen (39) mit dem Werte (37) des Tensors 


ER: E. Mach, Erhaltung der Arbeit 1871 (Abdruck Leipzig 1909), insbes. 
Note 1; Mechanik, 5. Aufl. (Leipzig 1904), p. 243 —252. 
75) A. Einstein, Berl. Ber. 1917, p. 142. 


8. Verhältnis der Mechanik des Massenpunktes zur Mechanik der Kontinua. 795 


T, die für die Mechanik des starren Volumelements gelten, haben die 
allgemeine Form, die die Impulsenergiesätze in der Mechanik der 
kontinuierlichen Medien annehmen. 

In der sp. Rel.th. wird gezeigt‘P), daß die Impulsenergiesätze für 
die kontinuierlichen Medien die Form annehmen: 


(39 a) Die, Tr—0. (—1,2,3,4) 


Dabei liegt eine universale ee (1) zugrunde, und es be- 
deuten (in kartesischen Orthogonalkoordinaiten): 


Te Pre Tr 2.., T’— Pa No her. 
Te? =P,.; T?=P,,» T’=p,,; Tr 
on IT’ —= ara? Tre = 7 dr 
T= Ve He dEi3 = S, Tf= ae ©, T£=M. 
Hierin bedeuten: 

Die p,,.P,,... die elastischen Spannungen’), z. B. p,, die in der 


x-Richtung auf das zur y-Achse normale Flächenelement aus- 
geübte Spannung. (Es gilt bekanntlich p,, = P,.), 

die 9, 9,9, die Komponenten der auf die Einheit des tatsächlichen 
Volumens (nicht des Ruhvolumens) bezogenen Dichte des 


Impulses, 
die © 65, die auf die Einheit der Oberfläche und der Zeit be- 


zuyNs 
zogene Energieströmung, 


endlich W die Dichte der Energie. 


Der Impuls g wird durch die Symmetriebedingung 7'*— 7*‘, welche in 
der speziellen Relativitätstheorie auch T#= 7,‘ nach sich zieht, de- 


finiert, man findet gi e S 
(Satz von der Trägheit aller Energie). In gewöhnlicher Schreibweise 
lautet (39 a): Fu +" era „+ Fe a eo, ET 


ot 


0%, Fr os, 
+4 +5 


76) M. Planck, Phys. Ztschr. 9 (1908), p. 828. — M. Laue, Ann.d. Phys. 35 
(1911), 524 ff, oder das Relativitätsprinzip, Braunschweig 1911, I. Band, $ 27. 
77) Streng genommen sind die elastischen Spannungen nicht durch die p», 
sondern durch die sogenannten relativen Spannungen bestimmt (Zaue, 1. c. $ küie 
18” 


196 VlIe, 22a. Friedrich Koitler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Die ersten 3 Gleichungen geben die Bilanz des Impulses: Dieser 
ändert sich nur infolge von Spannungen, die auf der Oberfläche des 
Elements angreifen und eine von Null verschiedene Gesamtresultierende 
zur Folge haben (Divergenz des Spannungstensors »p ungleich Null). 
Die letzte Gleichung gibt die Bilanz der Energie: Diese ändert sich 
nur infolge einer Energieströmung, die durch die Oberfläche des 
Elements hindurchtritt und eine von Null verschiedene Gesamt- 
resultierende hat (Divergenz des Energieströmungsvektors & ungleich 
Null). 

In der allgemeinen RENTE SER tritt an Stelle von (39a) 
die Form (39). Diese zeigt, daß die Bilanz von Impuls und Energie 
durch das Schwerefeld gestört wird, da der zweite Term in (39) die 
Ableitungen der Potentiale des Schwerefelds enthält. Auf diese Weise 
ist Einstein”®) dazu gelangt, diesen Zusatzterm zu erklären, indem er 
dem Schwerefeld ebenfalls Spannungen, Impuls und Energie zuschrieb. 
Er erzielte dadurch wieder die Form (39a), indem jetzt zu dem Impuls- 
energietensor der Materie ein solcher für das Schwerefeld hinzutritt. 
Leider ist diese Form nicht mehr allgemein kovariant. Die Einstein- 
schen Überlegungen führen daher auf Abhängigkeiten vom Koordinaten- 
system, welche sich nur beseitigen lassen, wenn an Stelle des Volum- 
elements ein ganzes abgeschlossenes System gesetzt wird. 

Bemerkt werde, daß die einfachen Werte (37) für den materiellen 
Tensor nur bei einem starren Volumelement (Massenpunkt) oder bei 
einem abgeschlossenen System, welches ja einem Massenpunkte dyna- 
misch äquivalent ist, möglich sind. Nur in diesen Fällen ist die 
Trägheit auf einen  Fehinaı Skalar, die Ruhmasse U oder W°, zurück- 
zuführen. Im allgemeinen Fall tragen alle Komponenten T'* des auf 
das mitbewegte System K, bezogenen Tensors insbesondere auch die 
elastischen Spannungen pP. ete. zur Vergrößerung des Trägheitswider- 
standes gegen Beschleunigung bei. Hingegen reduziert sich im Ruh- 
system K, der Tensor (37) auf die Werte: 


alle 7*—0 bis auf Ju — W’. 


Ruhspannungen (und natürlich Ruhimpuls) sind Null. Die Energie- 
strömung in jedem andern Bezugssystem ist daher ein rein konvek- 
tiver Transport der Ruheenergie. 

9. Theorie des Schwerefeldes. Bei der Aufsuchung der noch 
unbekannten Gesetze des Schwerefeldes’”) benützte, wie schon ange- 


78) A. Einstein, Berl. Ber. 1918, p. 448. 
79) A. Einstein, Berl. Ber. 1915, p. 778, 844; Ann. d. Phys. 49 (1916). 


9, Theorie des Schwerefeldes. 197 


deutet wurde, Einstein die Kovarianzforderung der allgemeinen Rela- 
tivitätstheorie geradezu als heuristisches Prinzip. 

Die Einsteinsche Theorie des Schwerefeldes ist eine Verallgemei- 
nerung des Gedankens der Laplace-Poissonschen Potentialtheorie, die 
Abhängigkeit des Schwerepotentials ® von der Massenverteilung u 
durch eine Differentialgleichung (die Laplace-Poissonsche Gleichung) 


AD — Ark?u 


zu beschreiben. An Stelle des skalaren Potentials ® tritt bei Einstein 
der Tensor der 10 Potentiale g,,, anstelle der skalaren Massendichte u 
tritt der Tensor der 10 Spannungen, Impuls- und Energiedichten 7“*. 
Man hat daher 10 partielle Differentialgleichungen zu erwarten: 


EL er 
(40) Gr — — 5 Tu 


(wo x eine universelle Konstante ist)®); diese Gleichungen (Feld- 
gleichungen) beschreiben den Zusammenhang, der zwischen den Wer- 
ten der g,, und der Verteilung der das Schwerefeld erzeugenden 
Materie besteht. Dabei sind die @‘* Differentialausdrücke 2. Ordnung 
in den g,, und ihren Ableitungen. Sie erweisen sich, wie gleich hier 
betont werde, als nichtlinear, so daß das Prinzip der ungestörten 
Superposition zweier Schwerefelder bei Einstein im Gegensatz zur 
linearen Laplace-Poissonschen Theorie nicht mehr besteht. 

Bei der Aufgabe, die Form der linken Seiten in (40) zu be- 
stimmen, leistet die Kovarianzforderung, wie erwähnt, vorzügliche Dienste 
als heuristisches Prinzip. Denn die rechte Seite in (40) ist ein kon- 
travarianter Tensor 2. Stufe; also muß es auch die linke Seite sein, 
und dies genügt zur möglichst eindeutigen Festlegung der @‘*. Es 
zeigt sich, daß es im wesentlichen nur einen einzigen Tensor gibt, 
welcher die g,, und ihre Ableitungen bis zur 2. Ordnung enthält und 
wenigstens in den Ableitungen linear ist. Dieser Tensor ist aus ge- 
wissen Differentialinvarianten bzw. -kovarianten gebildet, welche schon 
Riemann in der Theorie einer »-dimensionalen Mannigfaltigkeit ver- 
wendete, deren Maßbestimmung durch eine allgemeinste quadratische 
Differentialform gegeben wird. Man setze: 


80) Um mit der Bedeutung des Tensors 7 in der sp. Rel.th. (für «, = ctY— 1) 
in Übereinstimmung zu bleiben, haben wir im Gegensatz zu den meisten Autoren 


auf der rechten Seite von (40) = anstatt x geschrieben. Man hätte sonst z. B. 


Ww ER ae > Tan 
T= ru anstatt W (wie in unserer Schreibweise), wenn 2, = ct Y—1 ge- 


nommen wird. 


198 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


R = Rs merRBR. RR 


A BI+3#-0H N=El:] 
dabei gelten die Identitäten: 
(41a) rear 


für alle möglichen ee pgqrs. Der Tensor R ist ein ko- 
varianter Tensor 4. Stufe; aus ihm bilde man einen Tensor 2. Stufe 
durch „Verjüngung“: 


(42) Bor 29 Ba Sun R,- 
Dann hat man 

(43) Gr = 29 R—R, 
mit 

(44) R PR, 


Aus dem kovarianten Tensor G,, folgt endlich der kontravariante 
Tensor 
(45) gr, 

2,9 
Umgekehrt kann man auf diese Weise ähnlich, wie schon bei (39), 
zu dem kontravarianten Tensor 7'* einen reinen (ungemischten) ko- 
varianten 7,, ableiten: 


T;; = 29,497? 
D, 


Zu der erwähnten eindeutigen Festlegung des Tensors @ ist noch 
zu bemerken, daß man am besten von einer Invarianzforderung an Stelle 
einer Kovarianzforderung ausgeht. Dann kommt man°!) auf die In- 
variante R als die einzige Differentialinvariante, welche die g,, und 
ihre Ableitungen 1. und 2. Ordnung (die letzteren linear) enthält. 
(Riemannscher Skalar.) Allerdings ist diese Festlegung nicht eindeutig, 
denn R-++A, wo A eine Konstante ist, ist ebenfalls eine solche In- 
variante. Den Tensor G@,, gewinnt man nun aus der Invariante R 
bzw. R-+, in einfacher Weise, am besten durch ein Variations- 
prinzip.®?) 

Durch die eben besprochene Vieldeutigkeit ist es möglich, an Stelle 
des Tensors G,, den allgemeineren Tensor @,, + 319;, zu setzen, wo 


81) H. Weyl, Raum, Zeit, Materie, Berlin 1921 (4. Auflage), Anhang II. 
82) Vgl. H. Weyl, 1. c. $ 28. 


9. Theorie des Schwerefeldes. 199 


A eine beliebige universelle Konstante ist. An Stelle der Differential- 
gleichungen (40) treten dann Differentialgleichungen: 


? 1 : 1 ki: ’ ER 
(40a) GE + Ag = —(R+ Ag — Rt — — ",T%. 
Der Tensor @,, muß die 4 Identitäten (Zülbert) °?*) 


(46) DVD ann=0 

f) P34 
befriedigen, weil der Tensor 7'* auf der rechten Seite von (40) die 
Impulsenergiesätze (39) befriedigt. 

Daß es überhaupt möglich ist, die Identitäten (46) für den Ten- 
sor @’* zu postulieren, geht auf den tieferen Zusammenhang der 
ganzen Theorie mit einem Wirkungsprinzip zurück, welches sowohl 
für die materiellen Vorgänge, die durch den Tensor 7’ beschrieben 
werden, als auch für die Gravitation, die durch den Tensor @ dar- 
gestellt wird, je ein invariantes Wirkungsintegral enthält. Formuliert 
man die Aussage, daß beide Integrale gegenüber einer infinitesimalen 
Transformation der Koordinaten x invariant sein müssen, so erhält 
man je 4 Identitäten, welche sich als die Impulsenergiesätze (39) 
bzw. (46) erweisen. Diese Invarianzeigenschaft bedingt also den ge- 
meinsamen Ursprung beider Gruppen von Gleichungen und erklärt 
mithin die Möglichkeit, dem Tensor @ von vornherein die Bedingun- 
gen (46) aufzuerlegen. 

Die Folge des Bestehens der Identitäten (46) ist, daß nicht alle 
10 Gleichungen (40) von einander unabhängig sind. Es sind also 
4 Gleichungen eine Folge der übrigen 6. Es scheint demnach, als 
ob das Problem der Bestimmung der Potentiale des Schwerefeldes 
aus der Verteilung der Materie unterbestimmt wäre, da 4 von den 
9;, unbestimmt, also willkürlich bleiben. Tatsächlich müssen aber 4 
willkürliche Funktionen in der Lösung des Problems auftreten, da ja 
das Koordinatensystem zufolge des Prinzips der allgemeinen Relativi- 
tät noch ganz beliebig ist; jede Transformation der Koordinaten. ist 
also zulässig, und dies bedingt das Auftreten von 4 willkürlichen 
Funktionen, entsprechend den 4 willkürlichen Funktionen, welche in 
einer allgemeinen Koordinatentransformation 


2 2) (i wor 1, 2, 3, 4) 
auftreten. 


82a) D. Hilbert, Gött. Nachr. 1915, p. 399, Theorem III. 


200 VlIs, 22a. Friedrich Kotiler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Es werde noch bemerkt, daß auch der Tensor @* + }4g‘* Iden- 
titäten von der Form (46) befriedigt. Die Form (40a) hat Einsiein 
zur Lösung der in Nr. 7 erwähnten Schwierigkeiten des leeren Raums 
im kosmologischen Problem herangezogen. Sie gestatten es, eine 
homogene endliche Welt mit nicht verschwindender mittlerer Dichte 
aufzubauen.°®) Im folgenden wird darauf nicht weiter eingegangen 
werden. Es werden daher nur die Feldgleichungen in der Form (40) 
beibehalten. 


Die Feldgleichungen (40) gestatten noch eine andere Schreib- 
weise. Man hat: 


Rem ED IaT*= Ge ST. 
ik 
Mithin kann man statt (40) auch schreiben: 
(47) pr & (pe Zg7) r1,2,3,4) 


10. Näherungsweise Integration der Feldgleichungen. Für die 
Zwecke der Astronomie genügt es, die Feldgleichungen (40) genähert 
zu integrieren. 

Zu diesem Zwecke machen wir mit A. Einstein‘) die Annahme, 
daß sich die Potentiale g,, nur wenig von den Werten (36), die sie 
vermöge der speziellen Relativitätstheorie annehmen, unterscheiden. 
Es soll also, anders ausgedrückt, der Raum im Großen leer sein und 
nur in der Umgebung der vereinzelt auftretenden Körper soll die 
Maßbestimmung durch diese beeinflußt sein. Der Zweck der nach- 
folgenden Integration ist es, in Verbindung mit dem Variationsprinzip 
(33) der Mechanik zu zeigen, daß durch diese Abänderung der Maß- 
bestimmung die klassische Theorie der Gravitation erhalten wird. 

Wir setzen demgemäß an: 

(48) Ida era (4, k) 
indem wir die g,, nach Potenzen der universellen Konstante x ent- 
wickelt denken, welche auf der rechten Seite von (40) auftritt (Ein- 
steinsche Gravitationskonstante). Es wird sich zeigen, daß diese Kon- 
stante in dem gewöhnlichen cmgrsec-System eine sehr kleine Zahl 
ist. Wir vernachlässigen im folgenden alle Größen von der Ord- 
nung x? usw. 


83) A. Einstein, Berl. Ber. 1917, p."142f.; vgl. auch W. de Sitter, II, p. 3ff. 
— F. Klein, Gött. Nachr. 1918, III. Teil, p. 414—423. — A. Einstein, Berl. Ber. 
1918, p. 270. — H. Weyl, Phys. Ztschr. 20 (1919), p. 31 oder Raum, Zeit 
Materie $ 34. — A. Kopf, Naturwissenschaften 9 (1921), p- 9. 

84) A. Einstein, Berl. Ber. 1915, p. 688. 


10. Näherungsweise Integration der Feldgleichungen. 201 


Demgemäß hat man: 














end at: 3 
a Ar OL Fn, 
% ee ee ‚{7]= #43: 
th 0ya Dita a ln En 
Kim = 5% | PEARL 000% OK ErFR) 6.4 


1 Oypr 6°Y,, 
Bu CD Rupie Eee > (3828; ig Ox40%p 





p p 
I ie.) Re 
(48a) OXxpOLy 02,0%, 
Rt—=R,t.;'; 
sb RE (Om... 0° YoR. jan 
Aerm Zfant he re! a2 
239 2,9 
a er Oyp __ _Ö*ypp 
he Bear Fr RER 
D,q 








1 OP yor u ER O’yir OÖ’ yo» 
2 er 62,0% % OR 3 DRplan eh Al 
» 
Mithin erhält man die Gleichungen: 
OP Ypk °Y, Or O°’ypp 
je u TR (due t Tat) broazen) 
“2 ü 0° 0° N | 
nF OD u > re TB: a (,k=1,2,3,4) 


OXpOxg 0%0% 
2,9 


die Integration dieser linearen Differentialgleichungen reicht mit Aus- 
nahme des Koettizf&gen 94 (Nr. 13) vollkommen für die in der 
Praxis 'erreichbare Genät@gkeit aus und vertritt die Integration der 
nichtlinearen Differentialgleic en (40). 

Die linken Seiten der Gleicküggen (49) sind natürlich nicht un- 
abhängig von einander, sondern erfüll&%»4 Relationen von der Form 
der Impulsenergiesätze, natürlich unter Beätäkung der hier erstrebten 
Genauigkeit (vgl. (46)). Dies kann man dazu behutzen, den y,, 4 Rela- 
tionen aufzuerlegen, welche die Integration vereinfachen. (Festlegung 
des Koordinatensystems bis auf eine enge Gruppe von Transforma- 
tionen.) Als solche Relationen erweisen sich am vorteilhaftesten die 








4 Relationen: Op 100, br 
x Fra: Er == {) 4 1, 2, 3, 4) 

p p 

oder nach Einführung von 
’ 1 
(508) Ya — Yan Fir Yps‘ 
p 
oy. 

(50b) RR 


O%p 
p 


202 VlIs, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Es geht dann (49) über in 
EP RRSERE YERSE 
(51) a: — —T* 


damit ist die Integration der 10 Feldgleichungen auf die Integration 
eines bekannten Typus von partiellen linearen Differentialgleichungen 
2. Ordnung, nämlich des Typus der Wellengleichung, zurückgeführt. 

Man bemerkt natürlich, daß die linken Seiten von (51) die vier 
Relationen 728 ( re) u G—1,2,3,4) 


0x, 09x 
k » 


erfüllen. Vernachlässigt man rechts Größen erster und höherer Ord- 
nung in %, so hat man ebenfalls: 


ß) ‘ 
2,7) m 0. 


Dies ist die Folge der Identitäten (46). Das Koordinatensystem ist 
durch (48) und (50b) bis auf eine orthogonale (Lorentz-)Transforma- 
tion eingeschränkt. D. h. die hier entwickelte Näherungstheorie des 
Schwerefeldes ist invariant gegen eine geradlinige gleichförmige Trans- 
lation des Bezugssystems.°?) 

Das allgemeine Integral von (51) lautet (bei Abwesenheit von 
flächenhafter Verteilung der Materie und bei den Grenzbedingungen 
lim y,, = 0 im Unendlichen): 


(52) ' ie. l, ur 
Pas FRIST err ER dia dy d2. 


Hier ist gemäß der sp. Relth. = 2, = y,. —2,24,— cty— 1 
gesetzt; r bedeutet Yx? + y? + 2°.d. i. die Entfernung des im Ur- 
sprung zu denkenden Aufpunkts von dem Element dx dydez. Die 


Werte von AT, r sind zu nehmen an der Stelle xyz, jedoch nicht 


zur Zeit t, in der die Wirkung im Aufpunkt studiert wird, sondern 
um die Zeit ”- früher (Lichtzeit). Hieraus geht hervor, daß sich die 
Gravitation nach der Einsteinschen Theorie mit Lichtgeschwindigkeit 
fortpflanzen muß. 

11. Das Feld diskreter Massenpunkte. Setzt man in (52) 


dx,da 
() 23 
a ds ds 


d. i. gemäß (37) den Wert des Tensors für ein System diskreter 
Massenpunkte und beschränkt sich auf den Fall, daß die das Feld 


85) Vgl. die Rechnung bei W. de Sitter, II, $ 27. 


11. Das Feld diskreter Massenpunkte, 203 


erregenden Massen in dem bestimmten Koordinatensystem 2,2323%, 


nahezu ruhen (7 = in — — in — =(, - —y— —1), so hat man aus (52): 
ara (y k=F 4) 





‚ 1 w°’av’ 1 M, 
tal r DE 
a 
wo die )) über sämtliche Massenpunkte des Feldes läuft und 
a 


— r F W’dV’ die Masse des a‘ Massenpunktes bedeutet. Ge- 


a 
mäß (50a) ist BT [>37 


also 


1 m £ 
Ya 9 I ad, (,k=+ 4) 


„9 
1 


a 
1 mM, 
44T * Arigz DE 
a 


Somit wird, in der Ordnung x genau, der Fundamentaltensor der 
Maßbestimmung: 


ltd) tn (, k+4) 
(53) N (+4) 
elite 





N a 


also die Maßbestimmung selbst: 
ds — (da? + dy?+ de) (1 + ee) 
a 


+e(1— >. )ar. 


a 
Ruhen die das Feld erzeugenden Massenpunkte nicht, bewegen 
sie sich aber immerhin langsam gegen die Lichtgeschwindigkeit, so 
hat man®®) nach den Methoden der Elektronentheorie bis auf Größen 
2. Ordnung in den Quotienten „Geschwindigkeit eines Massenpunktes 
gebrochen durch die Lichtgeschwindigkeit“ folgende Werte: 


’ ‚ 1 IM En, —1 Sm, ,. 
ya, eh Puze va + Van" I, 6640) 


(54) 





2u 1 RE BR 
a a 


86) W.de Sitter, II, insb. p. 161. 


204 VI», 222. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Ta 
di 
keit des a‘ Massenpunkts bedeutet; », ist diesmal die Entfernung 
des a‘ Massenpunkts vom Aufpunkt zur gleichen Zeit i, nicht zu einer 
früheren Zeit. Somit wird in diesem Fall: 


= — 4 (1 a (+4) 





wm die :® Komponente der gewöhnlichen Geschwindig- 





(6) u Ile (+9 


Pnı  D ae 


a 





L 
Die Maßbestimmung wird: 


(56) dt — (' fı Be (da? + dy? + 42%) 


Mm 

ER Ne 2 "(ide + indy + Ade)dt + © (1 en Die de. 
12. Die Newtonsche Gravitationstheorie. Wir kommen nun zur 
mechanischen Wirkung des Feldes auf einen Massenpunkt. Die New- 
tonsche Theorie setzt die Newtonsche Mechanik voraus, daher muß 
das Quadrat der Geschwindigkeit des Massenpunktes gegenüber der 
Lichtgeschwindigkeit vernachlässigbar sein. (Langsame Bewegung im 
Schwerefeld.) Gemäß (35) hat man für die Bewegungsgleichungen 
des Massenpunktes im Falle des Feldes (53) bei Vernachlässigung der 
Quadrate aller Körpergeschwindigkeiten und der Größen x? zufolge (48a): 


222 0;]% VÄi+l]- 3-0, (+9 
a Ir] v-1+]- 55-0 =(, 
p=4 


denn die Größen g,,, == 4, sind Null und die zeitlichen Differential- 
quotienten der g,, müssen, da die das Feld erzeugenden Massenpunkte 
im System nahezu ruhen, den Geschwindigkeiten derselben pro- 
portional, also klein von der ersten Ordnung gegenüber der Licht- 
geschwindigkeit sein. Es bleiben daher die Gleichungen der klas- 
sischen Gravitationstheorie 








. (= 1,2,5) 


. R M, 5. 
mit 9, = const. + ,, 5 gemäß (53). 
a a 


13. Die Perihelbewegung des Merkur. 205 


Die Einsteinsche (tensorielle) Gravitationstheorie fällt also unter 
den angeführten Voraussetzungen (langsame Bewegung im statischen 
Schwerefeld) mit der Newtonschen (skalaren) Gravitationstheorie zu- 
sammen. Der Koeffizient — $g,,c? spielt dabei die Rolle des skalaren 
Schwerepotentials.*) 

Die Vergleichung beider Theorien führt zu der Relation: 


_ 8rR? 
er BE, 


(57) 
wo k? die gewöhnliche (Newtonsche) Gravitationskonstante 
— 6,68 - 10° cm? sec”? gr=' 

ist und x die universelle Kinsteinsche Konstante. Diese wird tatsäch- 
lich, wie bei (48) vorausgesetzt wurde, eine sehr kleine Zahl: 

x 1587-1072 cm gr“, 
x enthält c® im Nenner und ist daher nach der üblichen Ausdrucks- 
weise eine unendlich kleine Größe 2. Ordnung. 


13. Die Perihelbewegung des Merkur. Wir wenden uns nun 
zum Fall der raschen Bewegung im statischen Schwerfelde (53). Man 
weiß, daß man schon auf Grund der sp. Rel.ih. (Massenveränderlich- 
keit, Nr. 1—3) Abweichungen von der Newtonschen Mechanik er- 
warten kann, wenn die Geschwindigkeit der bewegten Masse so groß 
wird, daß man die Größen 2. Ordnung nicht mehr vernachlässigen 
darf. Es kommt jetzt noch dazu, daß die Einsteinsche Gravitations- 
theorie bei Berücksichtigung der Größen 2. Ordnung auch für langsam 
bewegte Massen von der Newtonschen abweicht. Es wird sich dabei 
zeigen, daß man mit der in (53) gegebenen Näherung, welche bis 
zur ersten Potenz von x, also bis zur 2. Ordnung genau ist, nicht 
ausreicht; vielmehr benötigt man für den Koeffizienten g,, die Kennt- 
nis des mit x? multiplizierten Gliedes, also einer Größe 4. Ordnung. 

Wir schreiben statt (35): 


ade at Sue ierdaltayno, 619,5 


24 


ae »q dap day de, hiyt 
I ara (5) 0. 


P,4 











Hieraus erhält man die Bewegungsgleichungen mit 2,— ct Y—1 als 
independenter Variablen: 


tl re) ee 0. 6=1,2, 3) 


_ Der erste Term ist von der Ordnung zwei; bei der beabsichtigten 
Näherung muß man daher im zweiten Term bis zur Ordnung 4 gehen. 


206  \Vla, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Betrachtet man die Wertep,g—= 1, 2, 3, so hat man, da die Christoffel- 
Symbole nach (48a) den Faktor x tragen, also mindestens 2. Ordnung 
sind, nur den Term 3 
en ud u 
i) dx, da, 
»,g=1 
beizubehalten, denn Fe ; Fe Fr sind je von der Ordnung 1. Hier- 
bei braucht man in 2 offenbar nur das mit «x multiplizierte Glied, 
also die aus (53) folgenden Werte. Betrachtet man sodann die Werte 
—=4,9=1,2,3 odrg=4,p=1,2,5, so sieht man, daß man 


zu nehmen hat: 8 RER 
4 4. x 
20: Ir 1% Pr 
p= 


wobei ebenfalls die Näherung (53) für die Christoffelsymbole ausreicht. 
Betrachtet man endlich p =4, qg=4, so hat man: 


azzaror >} 
Und hier benötigt man offenbar kr bis auf die Größen x#°, reicht 


also nicht mit der Näherung (53) aus, vielmehr muß man, weil 
44) 7. , [442 Ta R 2 H 
| \ } ur | ist, die [7] bis auf Größen 4. Ordnung (x?) ken 


nen. Diese sind aber bei einem statischen Schwerefelde, bei welchem 
alle g,, von der Zeit unabhängig sein müssen, bestimmt durch die 
räumlichen Differentialquotienten von g,,. Also muß man g,, bis auf 
die Größen (x?) genau bestimmen.) 

Diese Bestimmung findet sich durchgeführt bei Droste?) und bei 
de Sitter.°®) 

Statt nun durch die Methode der sukzessiven Approximationen, 
etwa nach Droste, das gesuchte Glied von der Ordnung x? in g,, zu 
bestimmen, ist es vorzuziehen, die Betrachtungen der raschen Bewe- 
gung im statischen Schwerefeld auf das Einkörperproblem als den 
praktisch wichtigsten Fall einzuschränken (Planet von der Masse Null 


86) A. Einstein, Berl. Ber. 1915 p. 831, entwickelt die g,, nur bis zu den 
Größen von der Ordnung x, gibt hingegen die [1 bis zu den Größen x°, was 
auf dasselbe hinausläuft. Überdies enthält sein g,, wegen der Koordinatenwahl 
(58a) (vgl. Nr. 14) keine Glieder höherer Ordnung in x als der ersten. 

87) J. Droste, Amst. Akad. Versl. 25 (1916), p. 460. 

88) W. de Sitter, Amst. Akad. Versl. 25 (1916), p. 232 oder I, $ 11; I, 
$ 21, 22. 


14. Strenge Lösung der Feldgleich. für das radialsym. statische Schwerefeld. 207 


im Felde eines: ruhenden Zentralkörpers). Für diesen Fall gibt es 
aber eine exakte Lösung, die nahezu gleichzeitig von Schwarzschid®?) 
und .Droste”®) gegeben worden ist, und. die sich rascher als die zweite 
Näherungslösung gewinnen läßt; diese soll in der folgenden Nummer 
abgeleitet werden. 

14. Strenge Lösung der Feldgleichungen für das radialsym- 
metrische statische Schwerefeld. Der Zentralkörper soll im Ursprung 
der Koordinaten ruhen. Dann sind die g,, von der Zeit unabhängig, 
und überdies muß jeder dreidimensionale Raum x, = const. radiale 
Symmetrie in bezug auf den Ursprung aufweisen. Wie wir wissen, 
können wir den g,, vier willkürliche Bedingungen auferlegen. Als 
solche wählt man passend, um möglichst mit dem Koordinatensystem 
bei (53) im Einklang zu bleiben, zunächst drei Bedingungen: 


Ir Ia = Ia = I. 
Wenn man in dem jetzt verbleibenden ds? die Bedingung der radialen 


Symmetrie des Raums ausdrückt, so hat man notwendig die Gestalt: 


3 3 
ds? — — gyuda — 1Z da? — (Dada), 
AN: 


wo 4 und Z Funktionen von I x? allein sind. Denn das räumliche 
3 i=1 2 


Element — 2 9:,42;42, in ds? muß gegenüber orthogonalen Drehungs- 


transformationen des dreidimensionalen Raumes mit dem Ursprung als 
Drehungszentrum invariant sein, es muß sich also aus den Invarianten 
der (gewöhnlichen) Vektoren (in kartesischen Koordinaten) mit den 
Komponenten dx, da,dx, bzw. 2%,%,%, zusammensetzen lassen, wobei 
diese Invarianten sich auf die Beträge und das skalare Produkt beider 
Vektoren reduzieren. Das verwendete Koordinatensystem 2,%,2, ist 
natürlich nur angenähert (für x 0) ein kartesisches System. 

Die vierte willkürliche Bedingung für die g,, ermöglicht es nun, 
von den zwei unbekannten Faktoren A, l einen vorzugeben. Schwarz- 
schild hat im Anschluß an das erwähnte von Einstein verwendete Be- 


zugssystem: 

(58a) =1, 
de Sitter hingegen wählt: 

(58b) i=(. 


Es ist klar, daß nur diese letztere Wahl mit dem bei (53) zugrunde- 


89) K. Schwarzschild, Berl. Ber. 1916, p. 189. 
90) J. Droste, Amst. Akad. Versl. 25 (1916), p. 1683. 


208  VI2, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


gelegten Koordinatensystem in Einklang steht. Man hat bei ihr aller- 
dings, wie schon erwähnt®®), den Nachteil, daß das Glied mit »? in g,, 
nicht verschwindet, wie bei den Koordinaten von Einstein- Schwarz- 
schild, so daß es notwendig wird, auf die zweite Näherung einzugehen. 
Man hat aber dafür den Vorteil, daß bei der Berechnung der Planeten- 
bahn gemäß (58b) die elliptischen Integrale vermieden werden, die 
bei (58a) hineinkommen. Die Bahn wird nach (58a) eine gewöhn- 
liche Ellipse, allerdings mit Perihelbewegung. Wir entscheiden uns 
hier für (58a), weil sich die Feldgleichungen einfacher gestalten. (Nach- 
her kehren wir zu (58b) durch Transformation zurück.) 
Man führe am besten Polarkoordinaten #0 mit dem Zentrum 
im Zentralkörper ein. Es wird mit , = etV— 1: 
(59) ds — + f?dt? — h’ar? — 7?(d0? + sin?ddp?), 
wo #=1-+-17? gesetzt ist. f und h sind Funktionen von 7 allein. 
Die Rechnung?!) ergibt bei Verwendung der gemischten Ten- 
soren in leicht verständlicher Indizesbezeichnung: 


TE 


1 2h 1 
Bee 
Alle übrigen G/ sind von diesen beiden abhängig oder identisch Null. 


Befindet man sich außerhalb des Zentralkörpers im materiefreien Raum, 
so sind alle 7#*=0, und somit = — x7T#=0. Man hat daher 


Gi — 


ee 


zunächst aus G/—= (0: = —1-—, wo a eine Integrationskonstante 
7 | 


ist. Damit kommt aus ar 0: f?— const (1-2). Die Konstante 
muß natürlich so gewählt werden, daß (59) im Unendlichfernen (7 = &) 
in die Maßbestimmung der sp. Rel.th. 

ds? — c?dt? — dr? — r?(d6? + sin?0 dp?) 
übergeht. Somit const. —= c?; so daß 


(60, dell — Jar — _ _ 72(d? + sin 9dp°) 


Hieraus kann man leicht durch Transformation eine Form gewinnen, 


welche der de Sitterschen Bedingung (58b) Genüge leistet und daher 
den Vergleich mit der Näherung (53) gestattet: Man setze 


2 @\2 
(61) Frl): 

91) de Sitter, I, $ 10; am elegantesten bei Weyl, l. c. $ 31 mit Hilfe eines 
Variationsprinzips. 


14. Strenge Lösung der Feldgleich. für das radialsym. statische Schwerefeld 209 


Es kommt: 
w EN 2 

(62) da? — | —: di? — (1 E- 5) ar + r?d0? + r? sin?0dy?), 
nu dr 


d. h. tatsächlich = 0, 1 = (1 2 2): Die Schwarzschildsche Form 


(60) und die de Sittersche Form (62) unterscheiden sich also nur 
durch die Art, wie die Entfernung r vom Zentralkörper aus ge- 
messen wird. 

Nunmehr kann man durch Vergleich von (62) mit der Näherung 
(53) die Bedeutung der Integrationskonstante « ermitteln. Man hat 
aus (62), wenn wieder kartesische Koordinaten 2,,2,2,2, = etV— 1 


eingeführt werden: "ld 
4 ag 2: j 
(622) = — {1 + 2) Ya da —— -(&,k=1,2,5) 
ty 


Hierin hat man « als mit « proportional anzusehen, da ja für «= 0 
die Form (62) in die Form der sp. Rel.th. (keine Gravitation) über- 
gehen muß. Entwickelt man demgemäß die obigen Werte (62a) der 
9;, bis zur Potenz «', so hat man 


TS (1 +8 +. ), FRE, gur—(1 ern ) 
Der Vergleich mit (53) ergibt: 
(63) ae tu-"n, 


wenn M die Masse des Zentralkörpers ist. 
In zweiter Näherung ist nach de Sitter”?) aus (62a): 


& a? 
Sag Melt 
Hingegen hat man für Einstein-Schwarzschilds Koordinatensystem (60): 
(608) Iu=— (1 ur 2); It re, a Ta 
Man entnimmt hieraus, wie schon erwähnt, daß die zweite Näherung 
von 9,, in diesem System nichts Neues liefert, da 9,, die Größe «, 
also x nur bis zur Potenz 1 enthält. Für das Folgende bedienen wir 
uns wieder der Koordinatenwahl (58b) nach de Sitter. 


92) Man beachte, daß de Sitter x, = et und nicht ©, = etY— 1, wie wir, 

hat; daher steht bei ihm — g,, statt unseres g,,. Ferner trennt er den Faktor x 
2 2 

von y,, bzw. x? von ß,, nicht ab. Seine Konstanten 4? —= = = - =M"M= BER 

m 2 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 14 


210 Vls, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorıe. 


15. Die Perihelbewegung des Merkur (Fortsetzung). Wir kehren 
zur Betrachtung der raschen Bewegung eines Massenpunktes im sta- 
tischen Schwerefeld zurück. Wir haben also, wenn wir- für einen 
Augenblick ein allgemeines statisches Schwerefeld an Stelle des Feldes 


(62a) ins Auge fassen, folgende Werte der g;, gemäß Nr. 13 und (53) 
zugrundezulegen: 


= — ro HI mM=—1+mrut ba: 
Die weh ig werden mu Nr. 13 und ir a) 


Hy dp Oyss ul 1 (der)? 01 OYas +” Zi da; dxp 
ze Er dx, 0&p 2 dx, 0x, da, da, 











(63) p=1 nn 
+5% u 4% .- u — 0) (i = I 2, 3) 


In ihnen ist nach (53) y„, = Ep das Newtonsche Potential 


5 a 
(bis auf einen bloßen Zahlenfaktor); ferner ß,, die gesuchte zweite 


Näherung für g,,. Für das Einkörperproblem kommt hieraus gemäß 
(62b), (62c) und (63): 


3 3 
r 4&,k?M ; ak? M* x 
(64) +PM% (1 +, 23) — a Dai— 3-0, 
p=1 p=1 


G=1,2,3) 


‘Hingegen hatte die sp. Rel.th. (Nr. 3, Gleich. (15)) in den SRISA Be- 


zeichnungen 
3 3 
& 1 „EMO. - 
(15%) + PMAIL— 328) Dia 0. (1,23) 
p=1 p=1 
Zur Integration von (64) bemerken wir‘): Bei Einführung von Polar- 
koordinaten r®p wird: 





a TE : 3 4k SW. 
r — rsin?d99? — r9°+ F-ru| 22 Aha 








(642) 8 — Zsin?sgt), 
x 2 
+ ip — 2ootg 9 un. d2 0 
- ia 
°+ = + sin$cos®gp? = Fr 





98) Hier steht in der zweiten Zeile die bis auf Größen #* genaue Entwick- 
44 
lung von | ; )- 
94) W. de Sitter, Amst. Akad. Versl. 25 (1916), p- 232, insbes. $ 3; ferner 
1. 8 16-47. 


15. Die Perihelbewegung des Merkur (Fortsetzung). 2311 


Wenn einmal $ — 5 ‚9 = 0 ist, so folgt aus der letzten Gleichung, 
daß dies ständig der Fall ist. Die Bewegung ist eben; wir wählen 


als Ebene die Ebene # —= Z. Es kommt: 


4k2M 1 3 72 


2 a! 
r5 + ec: y2 se ce: 9°), 





‚a . k?M 
Er t r — KM | 
* rs u 
ee 
Die linken Seiten sind hierin wäh mit denen in der Newton- 
schen Theorie; allerdings sind sie hier nicht Null wie bei Newton, 


sondern klein von der 2. Ordnung. Das Integral des Flächensatzes 
lautet jetzt (bis auf Größen 3. Ordnung): 


r9— kyM Vr (1 nr er >)» 


wo p, eine Integrationskonstante (der Parameter der Bahnellipse nach 
Newton, d.i. für c= oo) ist. Das Integral der lebendigen Kräfte 
wird (bis auf Größen 3. N 

k®M k“M?r 3 5 


AG + r?$p?) rg BE | 2a, m gt ar Bee |: 


wo a, eine neue Integrationskonstante (die halbe große Achse der 
Bahnellipse nach Newton, d. i. für c= x) ist. Die Differentialglei- 
chung für die Bahn wird hiernach: 


ar vH 1 k®M 176 2 
& A ee near 


Links stehen wieder die Glieder der Newtonschen Theorie; rechts 
steht anstatt Null, wie bei Newton, ein Ausdruck 2. Ordnung. Das 
Integral wird 

(65) 2 —=1- ecosgp, 

wobei gesetzt ist: 


P=al- (4 


k?M 3kM 1 
a Aa er y=1— 

















k’M at 6kM ı 
ce ec? ey 





em 
Die Bahn ist also eine Ellipse mit positiver Perihelbewegung. Wäh- 
rend eines Umlaufs verschiebt sich das Perihel um 

27 3k?M 1 24r°a,”? 
wo &,, T, die, aus der Newtonschen Theorie bekannte Bedeutung haben. 
Für einen Umlauf kommt im Mittel (die Umlaufszeit hängt hier natür- 
14* 


212 Vs, 224. Friedrich Koitler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


lich von dem Ausgangspunkt ab), wenn 7 die mibklere, Umlaufszeit 
für einen Zuwachs in g um 2x bedeutet: 


sa 19 .3K®M1—3& 
(67) 47, -eulı ] 


8 £ 
€ pP, 


an Stelle des dritten Keplerschen Gesetzes 
2% _72 
4m 1: k?M. 








De Sitter beweist noch, daß der einzige beobachtbare säkulare 
Störungseffekt, wobei er die rechten Seiten der Bewegungsgleichungen 
als störende Kräfte auffaßt, sich auf die Perihelbewegung reduziert. 
Weder im Knoten noch in der Neigung resultieren infolge der allg. 
Rel.th. bemerkbare säkulare Effekte. Es resultiert allerdings noch, 
jedoch nur in den Koordinaten (60), eine säkulare Variation der mitt- 
leren Länge der Epoche dl,» — 2d®, 


die jedoch nicht beobachtbar ist. 
Zum Schlusse werde noch bemerkt, daß die Bewegung des Perihels 
nach der sp. Rel.th. (15*) für einen Umlauf 


1 5 Bu And 
9% bu2 e? er ce T,2(1 — e2)’ 


also !/, des Wertes (66) der allg. Rel.th. ausmacht. 

16. Zahlenwerte. Die Gegenüberstellung der nach Newcomb 
(Astronomical constants p. 109) verbleibenden unerklärten Restglieder 
in den Perihelbewegungen der vier inneren Planeten mit dem Relati- 
vitätseffekt (66) zeigt die folgende Tabelle für ed®: 


Unerklärte Restglieder nach Berechnet nach 


Newcomb Einstein (66) 
Merkur + 8"48 (+ 043) + 8782 
Venus — 0”05 (+ 0"25) + 0"05 
Erde + 0"10 (+ 0713) + 0”07 
Mars + 0775 (+ 0”35) + 0713 


De Sitter findet (Monthly Not. 1. c. $ 19), indem er an Stelle des 
Newcombschen Wertes der Präzessionskonstante für 1850, 5023” 71, 
den Wert 5024”90 wählt und dementsprechend die Newcombschen 
Werte korrigiert, für den säkularen Periheleffekt ed»: 


Beobachtung erhslai HOMER 5 Differenz 
Merkur - 118”00 + 0”40 + 118758 4+0”716 — 0758 + 0"43 
Venus + 0728+0'20 + 073940715 — 0”"11 + 0725 
Erde + 19’46+0"12 + 1945 +0"05 + 0701 + 0713 
Mars + 14944 + 0”7385 + 14893 + 0704 + 0”49 + 0735 


16. Zahlenwerte. Kay 233 


Hieraus schließt de Sitter: Die Seeligersche Hypothese”) der Zodiakal- 
lichtmaterie zur Erklärung der Anomalie des Merkur ist überflüssig. 
Wenn es eine solche Materie gibt, so hat sie höchstens Y,,, der ihr 
von Seeliger zugeschriebenen Dichte. 

Ferner zeigen die jetzt noch verbleibenden Restglieder (ebenso 
die hier nicht mitgeteilten auf die Knotenbewegung bezüglichen) keine 
Bevorzugung eines bestimmten Vorzeichens. Sie können daher, wie 
de Sitter bemerkt, nicht erklärt werden durch die von Anding”) und 
Seeliger”) angenommene Rotation des empirischen Koordinatensystems 
gegenüber einem „Inertialsystem“ um eine zur Ekliptikebene senk- 
rechte Achse. Übrigens sind diese Restglieder, von der Knotenbewe- 
gung der Venus abgesehen, unbedeutend. Über die Möglichkeit ihrer 
Erklärung durch Korrekturen an den Massen der Planeten vgl. de 
Sitter, Amst. Akad. 1. e.”*) Schluß im Gegensatz zu Bauschinger””"). 


Neuerdings ist die ganze Basis dieser Bestätigung der allg. Rel.th., 
nämlich die Rechnung Newcombs, durch Großmann”) angegriffen wor- 
den. Er findet: 

1..Newcomb hat einen Teil der Präzession nicht berücksichtigt, 
wodurch sein d® um ca. 3” zu groß ist. 

2. Es ist auffallend, daß, obwohl sich die definitiven Sonnen- 
elemente nur wenig von den ursprünglichen, wie Merkur sie liefert, 
unterscheiden, die Korrektion der Säkularvariation des Merkurperihels 
sich von — 1”01 auf + 634 ändert. 

3. Die Größe der Venusmasse ist von entscheidendem Einfluß auf 
die Perihellage des Merkur. Newcomb berechnet sie aus den periodi- 
schen Störungen in Länge der Sonne und des Merkur und verwirft 
den aus den säkularen Störungen des Merkur folgenden Wert, der von 
dem ersteren stark abweicht, ohne eine Untersuchung über die Zuver- 
lässigkeit des angenommenen Massenwertes. 

4. Neweomb verwirft ohne ausreichende Begründung die Lösung 
aus den Beobachtungen, welche ausschließlich am Meridiankreis ge- 
macht sind, und verwendet diese nur kombiniert mit den Beobach- 
tungen der Durchgänge des Merkur durch die Sonnenscheibe. Auch 
das hierbei befolgte Rechenverfahren, soweit es “überhaupt durchsichtig 
ist, unterliegt manchem Bedenken. 


95) H.v. Seeliger, München. Ber. 1906, p. 595; se! VI 2,22 (Oppenheim) 
Nr. 25 d). 

96) E. Anding, Encykl. VIs, 1. 

97) J. Bauschinger, Encykl. VI 2, 17, p. 888 ff. 

98) E. Großmann, Ztschr. f. Phys. 5 (1921), p. 280 oder Astr. Nachr. 219 
(1921), p. 41, 195. 





214 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Großmann kommt zu dem Schluß, daß aus den Meridiankreisbe- 
obachtungen allein + 29” und aus den mit den Meridiankreisbeob- 
achtungen kombinierten Durchgängen + 38” für d® folgt (beide auf 
definitive Sonnenelemente korrigiert). 

Die Einsteinsche Theorie fordert hingegen gemäß (60) für d® 
den Wert + 43”, wobei sehr gesicherte astronomische Konstante der 
Rechnung zugrundeliegen. 


17. Die Bewegung des Mondes.””) Zunächst werde das Feld von 
n langsam bewegten Körpern betrachtet. Nach Droste, 1. c.), hat 
man: allgemein, wenn die Geschwindigkeiten als unendlich klein von 
der ersten Ordnung angesehen werden, in der benötigten Näherung 
(9;; bis zur 2. Ordnung, g,, bis zur 3. und g,, zur 4.) mit 


= ctVY—1: 


- m 
u 7 Saaık }? Yrrs iR 
ng ma ®; 
ut Ver ET (,k— 1,2,3) 
a 


(68) 





uhren ae 423% oe 
a 
3 untuninnen ange re Ze 


Diese Größen bestimmen das Feld im Ursprung (alle ». = 0). Wenn 

einer der n Körper im Ursprung sich befindet, so hat man natürlich 

in den _S' diesen Körper auszulassen, hingegen in der I’ ihn mitzu- 
a b 


zählen. Das Koordinatensystem, das zu (68) gehört, ist (Nr. 10) ein 
Inertialsystem (Lorentz-Minkowskisches System, natürlich für x © 0), 
in welchem (Nr. 11) die » Körper nahezu ruhen. Vom Standpunkt der 
Newtonschen Theorie wäre dies also ein im Schwerpunkt der » Körper 
angebrachtes Inertialsystem; in der Relativitätstheorie ist aber be- 
kanntlich (wegen Ungültigkeit des Reaktionsprinzips bei endlicher 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation, Nr. 2) der Schwerpunkt 
nicht unbeschleunigt, also als Ursprung eines Inertialsystems strenge 
nicht brauchbar. Aus (68) folgen für den Körper mit dem Index c 
die Bewegungsgleichungen: 





99) W. de Süter, II, $ 20—26. 


17. Die Bewegung des Mondes. 215 


Ta Akt Be — Fa 
[ö +# > m TEL Mama 
aH+t ab+c 


4k? ul ln: 1 Waage 
+ > m >: — — — yes 
F} a petic 
c n. 


at vol 





- 8 


k? 2% Ps gr 1 .. 


p=1 


Ph re 
er. , "Tpa Ha Wera 
2 Ku c? ur. 


(69) p-1 atc 


er Ar 
+ un - > (pa — Zpe)Lpa 8 











Tea 





(= 1,2,3) 

Die NAAR der einzelnen Glieder ist die folgende: Links stehen 
die Ausdrücke der Newtonschen Theorie. Die ersten drei Terme rechts 
sind die Verallgemeinerung der aus (64) bekannten Wirkungen der 
übrigen n — 1 Massen, auf den als Massenpunkt aufgefaßten c*" Kör- 
per, diese na — 1 Massen noch als ruhend gedacht. Der 4. bis 10. Term 
rührt von der Bewegung dieser n — 1 Massen her. Die beiden letz- 
ten endlich sind dem Problem der n-Körper zum Unterschiede von 
dem Problem eines Körpers in der Einsteinschen Theorie eigentümlich, 
und sind ebenso wie der erste Term rechts nicht linear in den Massen 
der n — 1 Körper, was eine Folge der Nichtlinearität der Binsteinschen 
Feldgleichungen ist. 

Bei der Anwendung von (69) auf die Bewegung der Planeten hat man 
zu bedenken, daß deren Massen gegen die Masse der Sonne als Größen 
1. Ordnung behandelt werden können. Die Folge davon ist, daß nur 
die Glieder in (69) übrig bleiben, welche von der Sonne herrühren, 
während die Einwirkungen der übrigen Planeten sich auf die gewöhn- 
lichen Störungsglieder der Newtonschen Theorie reduzieren. Die Inte- 
gration ist also durch Nr. 15 in Verbindung mit den bekannten Stö- 
rungsrechnungen hinreichend genau erledigt. 

Etwas Neues bietet hingegen die Einsteinsche Theorie bei der 
Untersuchung der Bewegung des Mondes im Felde der Erde und der 


216 VI», 22a. Friedrich Koitler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


7 


Sonne. Hierbei hat man natürlich. die auf der rechten Seite von (69) 
auftretenden Beschleunigungen genügend genau durch die Newtonschen 
Werte, d. i. die gleich Null gesetzten linken Seiten von (69), auszu- 
drücken. Der Ursprung. des Koordinatensystems kann mit gleicher 
Genauigkeit in die, Sonne verlegt werden, so daß man nur die Diffe- 
renz der heliozentrischen Bewegungen des Mondes und der Erde zu 
bilden hat. Die Exzentrizität der Erdbahn kann vernachlässigt wer- 
den, so daß die heliozentrische Entfernung der Erde konstant ist. 
Zunächst betrachtet de Sitter die Bewegung von Erde und Mond 
allein ohne Sonne... Der einzige beobachtbare neue säkulare Effekt ist 
eine Bewegung des Perigäums genau analog zur Bewegung des Peri- 
hels des Merkur (66). Sein Betrag per Jahrhundert ist 006. 
Sodafin betrachtet er die von der Sonne allein herrührende Störung, 
wobei die „Interferenz“ der Felder von Erde und von Sonne, d. i. die Glie- 
der mit den Koeffizienten Sonnenmasse mal Erdmasse in der heliozen- 
trischen Beschleunigung des Mondes bzw. Sonnenmasse mal Mondmasse, 
in der heliozentrischen Beschleunigung der Erde vernachlässigt und 
nur die Glieder mit der Sonnenmasse allein und mit Sonnenmasse 
mal Mondmasse bzw. Sonnenmasse mal Erdmasse in den heliozentri- 
schen Beschleunigungen von Mond bzw. Erde berücksichtigt werden. 


- 2 
Hierbei tritt der Faktor er auf, wo M Sonnenmasse, oe heliozentri- 


sche Entfernung der Erde bedeuten. Er wird in der gewöhnlichen 


Störungstheorie nach dem dritten Keplerschen Gesetz gleichgesetzt 
en wo 7, die mittlere Umlaufszeit der Sonne (Erde) ist. Dies ist 
jedoch in der neuen Theorie unzulässig, wie (67) zeigt. Über den 
resultierenden Effekt der Sonne s. w. u. 

Endlich ergibt sich für die „Interferenz“glieder des Erd- und des 
Sonnenfeldes kein wesentlicher säkularer Term. 

Es verbleibt daher der von der Sonne allein herrührende Effekt, 
welcher als Störung zu dem Erdfeld, beide jedoch nach der allg. Rel.th. 
berechnet, hinzutritt. De Sitter findet für diese Störung die folgenden 
Ausdrücke, wenn $ die radiale, 7’ die transversale, W die orthogonale 
Komponente bedeuten, wobei die aus der Newtonschen Theorie be- 
kannten Ausdrücke weggelassen worden sind und nur die von der 
neuen Theorie (inklusive der Abänderung des dritten Keplerschen 


Gesetzes) herrührenden Terme angeschrieben werden: 


kim;S = — 3k!ma (2) ns, km T = + 3k’mo (2) ru 
5 


Bm; W— -- 3ltm. (%7) a. 


ec? 


17. Die Bewegung des Mondes. 317 


Hierin bedeuten rc9« die Koordinaten des Mondes in seiner Bahn, 
3 die senkrecht zur Ekliptik gemessene Koordinate; no ist die mitt- 
lere Bewegung der Sonne, mo ihre Masse, m;, 0, Masse und mittlere 
heliozentrische Distanz der Erde. 

Die Auswertung ergibt eine neue säkulare Bewegung von Peri- 
gäum, Knoten und mittlerer Länge der Epoche des Mondes unter 
dem Einfluß der Sonne vom Betrag 
(70) u hHK— 44, Lc = 


3 k’mo Ah 

2 c.g, che 

Für = 100 Jahre wird dies gleich + 191. 
Beobachtet ist!) per Jahrhundert: 


Nach Brown, Cowell d,x = + 14643536” + 2”, 
nach Newcomb, de Vos d,n = + 14643530” + 2”, 
nach Newcomb, Brown d,Nn = — 6967944” + 2”. 


Berechnet [inklusive (70)] ist: 

d4®— 14643534” +2" Differenz 1% N I M. # = 
AN = — 65967939” + 2” Differenz —5"” +3”. 
Der Effekt liegt also vorläufig innerhalb der Beobachtungsfehler und 
der theoretischen Unsicherheiten. 

Der hier besprochene neue Effekt hat eine besondere Bedeutung 
vom Standpunkte der Differentialgeometrie der vierdimensionalen 
Welt!P), wie Schouten entdeckt hat. 

Man beachte nämlich, daß (70) die Elemente des Mondes gar 
nicht enthält, sondern nur von der Bewegung der Erde um die Sonne 
herrührt. Zufolge der allg. Rel.th. erfolgt die Revolution (= krumm- 
linige Translation) der Erde in einem nichteuklidischen Raum. Ge- 
nauer gesprochen hätte man allerdings die vierdimensionale Weltlinie 
der Erde in einer nichteuklidischen vierdimensionalen Welt zu be- 
trachten; zum Zwecke der Verdeutlichung des Schoutenschen Gedan- 
kens werde hiervon abgesehen und die dreidimensionale Bahnkurve 
(ohne Rücksicht auf die Zeit) betrachtet. Jede Translation ist eine 
Parallelverschiebung eines starren Gerüsts. Eine solche Parallelver- 
schiebung ist aber ohne weiteres nur im euklidischen Raum möglich 
Im nichteuklidischen muß der Parallelismus erst definiert werden 





100) W. de Sitter, Amst. Acad. Proc. 17 (1915), p. 1309. 

101) J. A. Schouten, Amst. Akad. Versl. 27 (1918), p. 214; ebenda 29 (1921), 
p. 1150; A. D. Fokker, ebenda 29 (1920), p. 611; W. de Sitter, London Astr. Soc. 
M.N. 81 (1920), wo zugleich eine Berichtigung der in II, p. 172 unrichtigen For- 
mel (97) [gleich unserer Formel (70)] gegeben ist. 


218 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


(Levi-Civita 1917 und Schouten 1918).'%) Er führt zu einer Nicht- 
integrabilität der Parallelverschiebung längs geschlossener Bahnen, 
d. h. z. B. die Erdachse ist ihrer früheren Lage nicht mehr parallel, 
wenn die Erde in ihren Ausgangspunkt zurückkehrt. Dadurch entsteht 
also ein neuer Präzessionseffekt außer den wohlbekannten Effekten. Be- 
festigt man daher ein Achsengerüst starr in der Erde, so überträgt sich 
seine Präzessionsbewegung auf die von ihm aus, also geozentrisch be- 
obachteten Gestirne, und dies ist der Grund für das Auftreten des 
Effekts (70) beim Monde, da ja (70) für die geozentrische Bewegung 
des Mondes abgeleitet wurde. 

Wenn also die Unsicherheiten in der gewöhnlichen Lunisolar- 
präzession, die im wesentlichen durch die Unkenntnis der Hauptträg- 
heitsmomente der Erde bedingt sind, bis auf eine weitere Dezimale 
reduziert werden könnten, hätte man in dem erwähnten neuen Prä- 
zessionseffekt eine bedeutungsvolle Möglichkeit zur Prüfung der metri- 
schen Grundlagen der allg. Rel.th. 


18. Der Einfluß der Rotation der Sonne.!®) Wie schon aus der 
Einsteinschen Näherungslösung (52) oder durch Vergleich von (55) mit 
(53) ersichtlich ist, verändert die Bewegung der Körper ihr Schwere- 
feld, da ja die Einsteinsche Gravitationstheorie tensoriell ist, also nicht 
nur von der Massendichte, sondern auch von dem Massenimpuls (über- 
dies auch von den elastischen Spannungen in der Materie) abhängt. 

Wie man aus (52) sieht, hat man, sobald man im Schlußresultat 
nur bis zu den Effekten 2. Ordnung gehen will, einen Einfluß der 
Rotation der Sonne bloß in den 9,499495, zu berücksichtigen. Man 


erhält so: 2 Arien v: & A 
wo in dem Tensor (37) „N — 9 geschrieben wurde. Bei Einführung 
von Polarkoordinaten r®p (Polarachse — Rotationsachse der Sonne 
= g-Achse): 
“—=rsin®cosp y—=Trsin?#sing, 2=Tcos® 

findet man für die Geschwindigkeit eines Punktes im Innern der 
Sonne, wenn 2 ihre Winkelgeschwindigkeit bedeutet, 

= — tsindsnpL, y—=— tsinFcosyL, Z—(. 
Dies führt mit r,9,9, als Koordinaten des Aufpunkts und "= r? + 
+ 79° — 2rr,(c0s® c0os9, + sin$ sin®, cos(p — Y,)) auf: 


”* Vorne e-(— rsin®sinp2) r’drsin9® dYdyp 
BB ER ame Vr? +1? —2r,t(cos®# cos®, + sin®#' sind, cos(p — @,) 








102) Vgl. H. Weyl, Raum, Zeit, Materie (1921), $ 14. 
103) W. de Sitter, I, 88 14, 18. 


18. Der Einfluß der Rotation der Sonne. 219 


und daraus’ bei homogener Dichteverteilung oe und bei ,> R, wo R 
der Sonnenradius ist: 





PSBR 





wo V— ke sin 9, sin @y, 
ebenso 
EM 24 R? 
Hu VIEH, N, 
oder in Polarkoordinaten: 
re a 2 
(71) 4 90, ne) nr 2 ER 


Wenn jetzt der Index 0 für den Aufpunkt wieder weggelassen wird, 
so gibt dies in den Bewegungsgleichungen (64a) die folgenden Zu- 
satzterme zu den rechten Seiten: 


4 ER a: 1 Ei 1 
;ePMZ R? sin?$ 2 . Per?) bzw. .m ZRMZR|- ei 4 2 cotg : | 
bzw. — PM“ R?’sin2# 


Wählt man als Bahnebene die Ebene I — m so. hat man eine radiale 


und transversale Störungskraft vom Betrage: 


4 k?M [) ıkKMYM. 
BMS—=—-; RR: DE Ar. ARVp x 





Put Key ze 5, BM-W=0. 


Hieraus resultiert wieder eine Perihelbewegung 


da——k zen .2 
per Umlauf. Im Vergleich zu (66) hat man 
d, © 3 _R’2 
do — TIBRVMp’ 


was ein sehr kleiner Bruch ist. Für Merkur hat er z. B. den Wert 
2,62.10-*. Der Effekt d,® kann daher gegenüber d® ganz vernach- 
lässigt werden. 

Die Lösung (71) ist später, unabhängig von de Sitter, von en und 
Thirring'®) wiedergefunden und zum Studium des Einflusses der Eigen- 
rotation der Zentralkörper auf die Bewegung der Planeten und Monde 
verwendet worden. Sie finden die gleiche Formel für d,® und über- 
dies einen analogen Effekt im Knoten N) und mittlerer Länge der 
Epoche ZL, nach der Formel: 

(72) 48 = —2d.1= dl. 





104) J. Lense u. H. Thirring, Phys. Ztschr. 19 (1918), p. 156 und J. Lense, 
Astr. Nachr. 206 (1918), p. 117. 


220  VlIs, 22a. Friedrich :Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Sie untersuchen ferner den relativistischen Gesamteffekt, der ‚sich 
aus der Perihelbewegung nach (66) (Typus Merkur, Ursache schnelle 
Bewegung), aus der Knotenbewegung und Perigäumsbewegung nach 
(70)1%) (Typus Erdmond, Ursache Präzessionseffekt im nichteuklidischen 
Raume) und endlich aus der Bewegung von Perizentrum und Knoten 
nach (71) (Ursache Eigenrotation des Zentralkörpers) ergibt, an den 
Monden aller Planeten. Aus ihren Resultaten sei hervorgehoben: 


säkulare Perihelbewegung gemäß Gl. (66) Gl. (70) Gl. (71) 


V. Mond des Jupiter —+ 36'37” — — 3’46” 
Fur. „. Saturn + 546 u —. 4 
Era u, Jupiter + 428 _ — .18 
His. u. Nakarn +33 — — 19 
1% Si 4.8 Mars + 22 + 0"7 = 
ii; „ Mars . = 2 + 0"7 _ 


Die Elemente aller dieser Satelliten sind ‘aber vorläufig noch zu 
ungenau bestimmt, um diese Effekte feststellen zu können. 

Zum Schluß sei eine Zusammenstellung der Formeln für die 
Relativitätseffekte (per Umlauf) gegeben: 

a) Schnelligkeitseffekt (Typus Merkur) nach (66): 


b) Präzessionseffekt (Typus Erdmond) nach (70): 
3 N? A? 
aaa —idh=2R.2 u 

c) Rotationseffekt (Typus Jupitermond V) nach (71): 
sale Rt, 

5 e(1— ed)’ 
Die kleinen Buchstaben auf der rechten Seite beziehen sich dabei auf 
den jeweilig betrachteten Himmelskörper, die großen Buchstaben da- 
selbst’ auf den zugehörigen Zentralkörper. 


2a 1 


B. Optik. 


19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne.!) Die 
im Eigensystem (Nr. 1, Nr.7) gemessenen Größen eines punktförmigen 
Systems sind sicherlich (adiabatische) Invarianten desselben auch ge- 
mäß der allg. Relth. während der ganzen Dauer seiner Existenz. Ins- 
besondere gehört dazu die Eigenzeit ds. Hat man also einen rein 


105) Lense und Thirring bringen hierbei an der Formel (70) de Sitters eine 
Korrektur an, indem sie schreiben d,@—=4d,n%,l.c. p. 162, Anm. 1. Dies be- 
ruht auf einem Irrtum. 


19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne. 2321 


zeitlichen Vorgang in jenem System, wie beispielsweise eine periodische 
Lichtschwingung eines mitgeführten Atoms, so müssen sich die be- 
treffenden Zahlen, hier also die Periode, in jedem Augenblick im mit- 
geführten System ungeändert wiederfinden. Anders ist es in einem 
nicht mitgeführten, sondern beliebigen System. Da die Zeitmessung x, 
in einem solchen System infolge des Vorhandenseins des Schwerefeldes 
vom Orte (und von der Zeit) abhängt, so wird ein und dasselbe Atom 
in dieser Zeit x,, beispielsweise an der Sonnenoberfläche, eine andere 
Frequenz aufweisen als an der Erde. Wenn wir also die Spektral- 
linien der Sonne auf der Erde beobachten und in der Zeit x, messen, 
so sehen wir sie genau in der Frequenz, die ihnen (in dieser Zeit x,) 
auf der Sonne zukommt. Vergleichen wir daher die solaren Spektral- 
linien mit den entsprechenden terrestrischen Linien (ebenfalls auf die 
Zeit x, bezogen), so müssen sich die Sonnenlinien gegen die irdischen 
verschoben vorfinden, da ja auf der Sonne ein mächtiges Schwerefeld 
herrscht, während auf der Erde die Einwirkung desselben schon sehr 
schwach ist. (Das eigene Feld der Erde kommt nicht in Betracht.) 
Die Größe des Hffekts ergibt sich aus der Invarianz der Frequenz in 
Eigenzeit ds; für ein Zeitintervall dx, wird: 


’— + (dad) = + (Im da?) 
oder wegen ,— ctV— 1: 
dis CHR YV- 94)0 


die 7 > ua)E { 


wo v die Frequenz ist; somit nach (53), wenn R der Sonnenradius ist: 





1 CE 
2 da u a Arie k"M 
ie 25. or a 
aner 
MRS 4 k®M 
(73a) re en 


was eine Verschiebung 4» nach Rot im Betrag von rund 2. 10-® 
der betreffenden Frequenz bedeutet. Dies entspricht, mit dem Doppler- 
effekt verglichen, einer radialen Geschwindigkeit von + 0,63 km/see. 
Für Blau von 4000 Ä Wellenlänge gibt dies z. B. eine Rotverschiebung 
von 8-10-®Ä. Der Effekt liegt also gerade oberhalb der Grenze 
der Beobachtungsmöglichkeit, ist aber bisher noch nicht einwandfrei 
konstatiert worden, wie aus dem Nachfolgenden hervorgehen wird. 


106) Literatur: A. Einstein, Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 898 ff. (Sammlung 
„Relativitätsprinzip“); Ann. d. Phys. 49 (1916), $ 22; Theoretisches zur Formel 
(73) (unter teilweise anderer Darstellung) bei M. Daue, Phys. Ztschr. 21 (1920), 
p. 659; Ztsch. f Phys. 3 (1920), p. 389. 


222 N\NlIe, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Mögliche Störungen sind !0*); 

1. Druck (auch elektrische Einflüsse: Poleffekt im Liehibogen).!®®) 
Durch Druck erklärte man früher die im allgemeinen tatsächlich vor- 
handene geringe Rotverschiebung der Sonnenlinien!”). Doch zeigte 
sich!%®), daß diese Verschiebung mit der terrestrisch beobachtbaren 
Druckverschiebung nicht übereinstimmt. Man. untersucht deshalb über- 
haupt am passendsten wenig druckempfindliche Gebiete des Sonnen- 
spektrums, wie z. B. die früher dem Cyan zugeschriebene Stickstoff- 
bande bei A— 3883 A, die nach Laboratoriumsversuchen (in Emis- 
sion) sehr wenig durch Druckänderung beeinflußt wird. 

2. Dopplerefjekt. Dieser befolgt durchaus das gleiche Gesetz wie 
der Einsteineffekt (73) (Verschiebung 4» proportional der Frequenz v), 
ist daher auch bei Heranziehung nicht bloß eines einzigen, sondern 
verschiedener Spektralgebiete nicht ohne weiteres zu eliminieren. Ein 
solcher Dopplereffekt könnte z. B. von einer systematischen vertikalen 
Strömung der leuchtenden Gase in der Sonne aufwärts (Violettver- 
schiebung in der Sonnenmitte, Null an den Rändern) bzw. abwärts 
(Rotverschiebung in der Mitte, Null an den Rändern) oder von einer 
horizontalen Strömung vom Sonnenpol zum Sonnenäquator und um- 
gekehrt (Maximum an den Polen) oder endlich vielleicht von einer 
horizontalen Strömung entlang dem Äquator (Maximum an den Äquator- 
rändern) herrühren. Hieraus folgert Bottlinger'”), daß alle diese syste- 
matischen Strömungen nur ausgeschaltet werden können, indem an 
den Äquatorenden beobachtet und das Mittel aus beiden Enden ge- 
nommen wird. Bemerkt werde, daß Schwarzschild*"), St. John'*!) und 
Evershed'"") am äußeren Rand eine Rotverschiebung beobachteten, 
was durch die erwähnten Strömungen erklärt werden kann (‚Reed 
effekt“ von Schwarzschild; auch „Halm“effekt). 

3. Störung der Linien durch Überlagerung fremder Linien. Schon 
Schwarzschild*'?) erwähnt, daß viele Linien der erwähnten Stickstoff- 
bande mit Nachbarlinien zusammen eine Art Band bilden, indem der 


106 06) Yal. insbes. W. @. Duffield, London Astr. Soc. M. N. 80 (1920), p. 262. 

106b) Ch. E. St. John u. H._D. Babcock, Astrophys. J. 46 (1917), p. 138. 

107) L. E. Jewell, Astroph. J. 3 (1896), p. 89. 

108) J. Evershed, Kodaikanal Observ. Bull. 36 (1914). — Dies veranlaßte 
E. Freundlich, die beobachtete Rotverschiebung allein durch den Einsteineffekt 
(73) zu erklären (Phys. Ztschr. 15 (1914), p. 369). Siehe jedoch die im nachfol- 
genden erwähnte Untersuchung Schwarzschilds. 

109) K. F. Bottlinger, Jahrb. f. Rad. u. Elekt. 17 (1920), $ 3, p. 156f. 

110) K. Schwarzschild, Berl. Ber. 1914, p. 1201. 

111) Ch. E. St. John; Astroph. J. 46 (1917), 249 

112) 1. c. p. 1206. 


19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne. 223 


Zwischenraum zwischen den Linien (in Emission) ebenfalls mit Licht 
erfüllt ist. Andere Linien haben mehr zufällige Begleiter auf der einen 
oder andern Seite. Es zeigte sich, daß jede Unsymmetrie dieser Art 
den Vergleich (des Emissionspektrums) mit der Sonne illusorisch 
macht. Aus diesem Grunde bevorzugen Schwarzschild und St. John die 
schwächeren (feineren) Linien vor den stärkeren (breiteren). Zwecks 
Feststellung der Symmetrie oder Unsymmetrie im Bau der Linien des 
Vergleichs (Emissions-)spektrums haben L. Grebe und A. Bachem*"?) 
dieselben mikrophotometriert, nachdem sie in einer früheren Arbeit!) 
die verschiedene scheinbar schwankende Größe der Verschiebungen bei 
verschiedenen Linien der erwähnten Stiekstoffbande, die auch bei 
Schwarzschild und St. John auffällt, festgestellt hatten. Sie führen als 
eine Ursache die Ungleichwertigkeit der verschiedenen Linien infolge 
der durch die Photometrierung aufgedeckten mehr oder minder großen 
Unsymmetrie innerhalb der Breite der Linie an. Bemerkt werde, daß 
diese Unsymmetrien sich hauptsächlich nur bei dem irdischen Ver- 
gleichsspektrum in Emission, hingegen fast gar nicht bei dem Sonnen- 
spektrum in Absorption bemerkbar machen, weil die Absorptionslinie 
eine vollständige Auslöschung des kontinuierlichen Spektrums ent- 
sprechend der Gesamtbreite der Emissionslinie ohne Rücksicht auf 
deren inneren Bau ist. Bei weitem die wichtigere Ursache ist aber die 
Störung (Anlagerung) durch Nachbarlinien, wie die späteren Unter- 
suchungen von Grebe und Bachem''?) ergeben; solche Störungen sind 
wieder in dem Sonnenspektrum noch häufiger als im irdischen Ver- 
gleichsspektrum. 


4. Anomale Dispersion. Bekanntlich hat W. H. Julius") die bis- 
lang noch bestrittene Hypothese aufgestellt, daß anomale Dispersion 
eine Hauptrolle bei der Intensitätsverteilung in den Fraunhoferschen 
Linien spielt. Diese sind nämlich nach Julius dunkle Banden, die da- 
durch verbreitert worden sind, daß das Licht der betreffenden Wellen- 
längen durch anomale Dispersion der von dem Licht durchsetzten Gas- 
massen weggebrochen wird. Dadurch kommt eine Assymmetrie der 
betreffenden Absorptionslinie zustande, und zwar ergibt sich im all- 
gemeinen, weil der „mittlere Brechungsindex“ der wegbrechenden 


113) L. Grebe u. A. Bachem, Ztschr. f. Phys. 1 (1920), p. 51; 2 (1920), p. 415. 

114) L. Grebe u. A. Bachem, Verh. d. deutschen phys. Ges. 21 (1919), p. 454. 

115) L. Grebe, Phys. Ztschr. 21 (1920), p. 665. 

116) W. H. Julius, Phys. Ztschr. 2 (1901), p. 348; 3 (1902), p. 154; Le Radium 
7 (1910), p. 281. Vgl. E. Pringsheim, Physik der Sonne, Leipzig 1910, p. 278 ff.; 
W. H. Julius u. P. H. van Cittert, Amst. Akad. Versl. 29 (1920); Arch. neerl. 5 
(1921), p. 296; W. H. Julius, Arch. neerl. 6 (1922), p. 92. 


294 VlIs, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Sonnenschicht > 1 ist, eine Rotverschiebung, welche um so ausge- 
prägter ist, je länger der in diesen Schichten zurückgelegte Strahlen- 
weg ist. Dies erklärt nach Julius den „Randeffekt“. Der Gravitations- 
effekt müßte nach Julius noch zu dieser Rotverschiebung addiert wer- 
den, wenn er existiert und wenn nicht zufällige Ursachen im Sinne 
einer Violettverschiebung kompensierend wirken. 
Die Resultate der einzelnen Beobachter sind: 
Schwarzschild"'®): Bande A— 3844 — 3883 A in der Mitte der Sonnen- 
scheibe. 
21 Linien der Intensität (Rowland) 0 und 1 im Mittel: 
Rotverschiebung: 2,2 10-3 + 0,6 -10-3A — 0,17 + 0,05 km/sec; 
13 Linien der Intensität 2—4 im Mittel: 
Rotverschiebung: 4,5 -10-° +1,4-10-3Ä = 0,36 + 0,11 km/sec. 
Die Einsteinsche Theorie würde 8.1.10 A = 0,63 km/sec erfordern. 
Randeffekt: 
Abstand von der Sonnenmittein Sonnenradien 0 0,72 0,86 0,93 0,97 
Rotverschiebung der schwächeren Linien 


in km/sec 0,17 0,09 0,08 0,30 0,41 
Rotverschiebung der stärkeren Linien in 

km/see 0,33 0,19 0,11 0,24 0,17 
Rotverschiebung aller Linien 0,22 0,12 0,08 0,27 0,31 


St. John'!'): Gleiche Bande, Mitte der Sonnenscheibe: 
25 Linien der Intensität O0 und 1 im Mittel: 
Rotverschiebung: —1:10-3 A (+ 0,6. 10-®); 
18 Linien der Intensität 2—4 im Mittel: 
Rotverschiebung: + 1,4: 10-3 A (2,4 - 10°). 
Die eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf direkte Vergleichung 
der N-Linien im Sonnenspektrum und im Lichtbogen, während den 
andern Zahlen auch indirekte Vergleichungen mit Zuhilfenahme von 
Eisenlinien zugrundeliegen. 
Sonnenrand: 17 Linien (0—1) im Mittel: Rotverschiebung: O0 A; 
18 Linien (2—4) im Mittel: Rotversch. 3,6 - 10? A. 
St. John erklärt die geringe vorhandene Rotverschiebung durch verti- 
kale Strömungen aufwärts bzw. abwärts, entsprechend der bzw. ver- 
schiedenen Ursprungslage der starken bzw. schwachen Linien.!”) 
Grebe und Bachem!*): 
Gleiche Bande, Sonnenmitte, 36 Linien O—4 im Mittel: 


j demgegenüber Schwarzschild: 2) 
Rotverschiebung: 0,30 km/seec ( St. John: 0.05) 


117) Vgl. auch J. Evershed u. T. Royds, Kodaikanal Observ. Bull. 39 (1916), 
mit ähnlichen Resultaten, J. Evershed, Observatory 41 (1918), p. 531. 


”„ 


19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne. 325 


Vergleichung von Sonnenmitte und Sonnenrand (0,95 Sonnenradius 
Exzentrizität) ergibt nur kleine Differenzen, die auf Rechnung der 
Unschärfe der Randlinien gesetzt werden. Die Druckunabhängigkeit 
.der Bande wurde im Laboratorium neuerlich geprüft und bestätigt. 
Grebe und Bachem'!'?): Nach Photometrierung werden 27 Linien wegen 
Unsymmetrien im Bau ausgeschieden; die verbleibenden 9 sind ein- 
wandfrei gebaut und liefern im Mittel Rotverschiebung: 0,56 km/see. 
(Die entsprechenden bei Schwarzschild 0,65, St. John 0,32, Evershed 
und Royds 0,67.) Hieraus wird auf das Vorhandensein des Einstein- 
effekts von 0,63 geschlossen. Daß die Störung durch Anlagerung zu 
den früher erwähnten, durchweg zu kleinen, niemals zu großen Rot- 
verschiebungen führt, wird durch die mangelhafte Auswahl bei der 
Zuordnung von Sonnen- und terrestrischen Linien erklärt, bei welcher 
der Einsteineffekt nie in Rechnung’ gezogen wurde, so daß nur die 
Linien als brauchbar beibehalten wurden, bei denen Sonnenlinien und 
terrestrische Linien einander durch die Störung genähert, nicht aber 
die, wo sie durch diese voneinander entfernt sind. — @rebe hat dann''®) 
unter der Annahme, daß die Überlagerungen nach den Zufallsgesetzen 
verteilt sind, also eine hierdurch vorgetäuschte Violettverschiebung 
ebenso Be etse sei wie eine Rotverschiebung unter Verzicht 
auf jede Auswahl die Messungen an der Bande 3883 Ä von Rowland 
im Sonnenspektrum mit denen von Uhler und Patterson im irdischen 
Spektrum verglichen, wobei sich im Mittel die Störung durch Über- 
lagerung herausheben muß. Er erhält als Mittel über 100 Linien von 
3858 bis 3870 A eine Rotverschiebung von 0,6 km/sec, allerdings 
unter Zuhilfenahme des von St. John gemessenen Randeffekts.'!) 

Zu erwähnen ist noch eine Messung von Perot'?®) an der ON- 
Bande A—4197 A. In einer Vorarbeit!?!) war die Beeinflußbarkeit dieser 
Bande und der Bande 3883 durch Druck festgestellt worden (relative 
Vergrößerung der Wellenlänge um 1,6 -10-®, also Rotverschiebung 
von 0,48 km/see in Luft von 2cm Hg gegenüber Luft von Atmosphären- 
druck). Unter Verwendung der Delandresschen Theorie der Spektro- 
heliogramme findet Perot, daß die Bande aus Sonnenschichten nied- 
rigen Druckes stammt, weshalb er die Wellenlänge des irdischen Ver- 





118) L. Grebe, Ztschr. f. Phys. 4 (1921), p. 105. 

119) Zu diesen Fragen vgl. noch E. St. John, Observatory 43 (1920), p. 551; 
J. Evershed, ebenda; L. C. Glaser, Phys. Ztschr. 23 (1922), p. 100, und Jahrb. 
f. Rad. u. Elektr. 1922 (im Erscheinen). 

120) A. Perot, Paris. C. R. 171 (1920) p. 229, 

121) A. Perot, ebenda 170 (1920), p. 988. Vgl. auch A. Perot, ebenda 172 
(1921), p. 578 (Magnesiumlinien); H. Buisson et Ch. Fabry, 172 (1921), p. 1020. 

Encyklop. d. math, Wissensch. VI2,B 15 


226 VI», 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


gleichsspektrums auf niederen Druck durch Vergrößerung um 1,6-10- 
bringt. Die Vergleichung Sonne—Erde ergibt eine Vergrößerung der 
Wellenlänge der Bande 4197 um 2,2 .10®, welche um einen Doppler- 
effekt einer vertikalen Abwärtsströmung von 0,6 -10-® (aus den Helio- 
grammen und einem Randeffekt ermittelt) zu vermindern ist, so daß 
1,6 .10-® Vergrößerung oder 0,48 km/sec Rotverschiebung resultieren. 
Perot findet als Randeffekt gegenüber dem Zentrum eine Violettver- 
schiebung von 0,28. 10-® Wellenlänge in 0,72 Sonnenradien Exzen- 
trizität, Auf Überlagerung der Linien wurde nicht besonders geachtet. 


20. Die Rotverschiebung bei den Fixsternen. Wenn man die 
Formel (73a) auf andere leuchtende Sterne als die Sonne anwendet, so 
findet man: 


a) Ann EM 919 jose[abjele)" 








wo @, bzw. oo die Dichten von Stern bzw. Sonne bedeuten. 


Nun zeigen viele helle Fixsterne einen Dopplereffekt von + 4 bis 
+ 6 km/sec, namentlich die Sterne der weißesten Spektralklasse B 
(Heliumsterne), als Mittelwert aus allen Radialgeschwindigkeiten der 
einzelnen Individuen der betreffenden Spektralklasse. Es scheint bei- 
spielsweise, als ob die Gesamtheit der Sterne der Klasse B in be- 
zug auf das Sonnensystem eine Expansionsbewegung mit einer mitt- 
leren Geschwindigkeit von k—= + 5 km/sec ausführen würde.!??) 
Campbell vermutet, daß die Wellenlängen der einzelnen Linien in 
den B-Sternen z. B. infolge Druckes größer sind, als von den Beob- 
achtern angenommen wird. Freundlich hat diesen „k-Effekt“ als Ein- 
steinsche Gravitationsverschiebung zu deuten versucht.') Er nimmt 
für die mittlere Masse eines B-Sternes M, —= 14 M, (aus Diskussion 
spektroskopischer Doppelsterne) und für die Dichte 0, — 0,10, (aus 
Diskussion der Helligkeitsschwankungen infolge Bedeckungen einer 
Komponente eines Doppelsternes durch die andere). Dies ergibt je- 
doch bloß 17 km/sec, also bloß "/, des beobachteten Wertes. Um 
den richtigen Effekt zu ergeben, müßte man also og, nahezu 30- 
mal größer annehmen, was mit der Diskussion der photometrischen 
Beobachtungen unvereinbar wäre. Oder man müßte, wenn man die 


122) W. W. Campbell, Stellar Motions, Chapter VI, p. 201—205 (insbes. Table 
XII). Dabei ist natürlich die Sonnenbewegung (Apex « = 272°, ö = + 27030, 
V = 17,77 km/sec) bereits mit der Komponente, die in den Visionsradius fällt, 
abgezogen. , 

123) E. Freundlich, Phys. Ztschr. 16 (1915), p. 115 (durch einen Fehler ent- 
stellt); Astr. Nachr. 202 (1915), p. 17. — H. Seeliger, Astr. Nachr. 202 (1916), 
p. 83. — E. Freundlich, ebenda, p. 147. — W. de Sitter I, $ 13. 


20. Die Rotverschiebung bei den Fixsternen. 232% 


Diehte unverändert lassen will, die Masse etwa fünfmal so groß 
nehmen, was mit den Erfahrungen an den spektroskopischen Doppel- 
sternen unvereinbar ist. Freundlich entscheidet sich gleichwohl in 
einer späteren Arbeit!*) für die letztere Eventualität und bringt 
als Stütze für die Möglichkeit größerer Massen vor, daß sich mit 
M,, = ea. T0 M» und o, —= 0,1 0% sowie einer Temperatur von etwa 
13500° aus dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz die absolute Hellig- 
keit und damit und aus der scheinbaren Helligkeit z. B. der in der 
Oriongruppe stehenden B-Sterne angenähert eine richtige Parallaxe 
(0”004) gegen. anderweitig bestimmte (0’005—0”008) ermitteln läßt 
(Größenklasse der Sonne — 0,1 in 1” Parallaxe Entfernung). (Aller. 
dings geht nur die dritte Wurzel des Massenverhältnisses Stern— Sonne 
in das Endresultat ein. Anm. d.Refer.) Gegenüber dieser Vergrößerung 
der Massen bemerkt Bottlinger'), daß man bei keinem Sterne (mit 
einziger Ausnahme des v» Geminorum, der auf 70 Sonnenmassen führt) 
auf mehr als 30 Sonnenmassen schließen darf.!2?) 

Freundlich stützt?) die Anschauung, daß der „k-Effekt“ eine 
Gravitationswirkung ist, überdies dadurch, daß die B-Sterne im Orion- 
nebel eine im Mittel um 6 km/sec größere positive Radialbewegung auf- 
zuweisen scheinen als der Nebel selbst, mit dem sie in organischem 
Zusammenhang stehen. Dieser Zusammenhang wird durch die Eddington - 
sche Theorie des Strahlungsgleichgewichts der Sterne begründet, wo- 
nach Sterne großer Massen und hoher effektiver Temperatur (B- und 
O-Sterne) häufig von feinverteilter Materie umgeben sein müssen, die 
sich von der Hauptmasse infolge des hohen Strahlungsdrucks ablöst. 
Vermöge dieses Zusammenhangs bilden die Orionsterne und der Orion- 
nebel ein System mit gemeinsamer mittlerer Bewegung. Der Über- 
schuß der mittleren Radialbewegung der ersteren über die des letzteren 
kommt daher als Einsteineffekt auf Rechnung der größeren Masse der 
Sterne im Vergleich zu der Nebelmasse. Demgegenüber weist Bottlinger !”) 
auf die Möglichkeit hin, daß es sich doch um einen richtigen Doppler- 
effekt handeln kann, indem die Nebelmaterie durch den Strahlungsdruck 
der Sterne ausgestoßen wurde und sich daher in einer relativen Annähe- 
rung an uns im Visionsradius befindet. Kohl'?®) vermutet einen Doppler- 
effekt infolge Rotation des Nebels, da dessen Radialgeschwindigkeit 
nur für die hellste Stelle in guter Übereinstimmung bestimmt ist, 
während benachbarte Stellen um 15 km/sec schwankende Werte er- 
geben. 


124) E. Freundlich, Phys. Ztschr. 20 (1919), p. 561. 
125) Vgl. H. Ludendorff, Astr. Nachr. 211 (1920), p. 105. 
126) O. Kohl, Phys. Ztschr. 22 (1921), p. 665. 
15 * 


298 VIs, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Freundlich führt ferner die sogenannten ruhenden Kalziumlinien 
in den Spektren mancher B-Sterne, die in bezug auf die übrigen Linien 
periodische Schwankungen um eine Mittellage aufweisen, als Beleg für 
einen Einsteineffekt an. Er sieht diese Kalziumlinien als die Anzeichen 
einer diese Sterne umgebenden weiten Atmosphäre an, was ebenfalls 
durch die Eddingtonsche Theorie begründet wird. Es ergibt sich wieder 
ein Überschuß der Rotverschiebung der betreffenden Sterne von im 
Mittel 6,3 km/sec gegen die Kalziumlinien. 

Endlich ergibt sich aus neueren Rechnungen Gyllenbergs'?”), daß 
nicht nur die B-Sterne, sondern auch die K- und M-Sterne einen 
k-Effekt von + 3,6 bzw. + 5,3 km/sec zeigen. Da es sich hier um 
ganz andere zur Messung benutzte Linien handelt als bei den B-Sternen, 
scheint die Campbellsche Erklärung des %k-Effekts durch Druck wider- 
legt, weil doch hier ganz andere Verhältnisse als dort vorliegen. Gegen 
die Deutung als Relativitätseffekt wendet Bottlinger!”) ein, daß die 
K- und M-Sterne ganz bestimmt noch viel kleinere Dichte als die 
B-Sterne haben, weshalb man bis zu 1000 Sonnenmassen für sie fol- 
gern müßte, um den Effekt als Einsteineffekt deuten zu können. Er 
verweist auch auf die Existenz des k-Effekts bei Spiralnebeln !??) (700 
km/sec), wo man zu ganz unmöglichen Werten für Dichte und Masse 
geführt würde, wenn man ihn als Gravitationswirkung deuten wollte. 

Im Gegensatz zu den Bemühungen Freundlichs, auf statistischem 
Wege die unbekannten Anteile von Dopplereffekt und Einsteineffekt 
an den beobachteten Verschiebungen zu trennen, befaßt sich Kohl'?®) 
mit einem Sternstrom, nämlich dem Taurusstrom (Hyadengruppe), 
bei welcher die Gleichheit und der Parallelismus der Geschwindigkeiten 
aller Mitglieder aus visuellen Methoden (Existenz des Konvergenz- 
punktes der sämtlichen Eigenbewegungen an der Himmelssphäre) fest- 
steht, so daß relative Rotverschiebungen hier auf Rechnung der grö- 
Beren Masse der einzeluen Individuen als Einsteineffekt gesetzt und 
nicht als Dopplereffekt gedeutet werden können. Er trennt die Sterne 
nach der absoluten Helligkeit in Riesen (große Masse, geringe Dichte) 
und Zwerge (kleine Masse, größere Dichte), wobei sich ein größerer 
Gravitationseffekt bei den ersteren als bei den letzteren einstellen 
muß, da die Masse quadratisch, die Dichte nur mit der ersten Potenz 
in die Formel (73b) eingeht. Die Stromgeschwindigkeit der Riesen 
ergibt sich zu + 43,8 km/see, die der Zwerge zu 41,3 km/sec. Die 
Differenz von 2,5 + 0,9 km/see wird daher als Einsteineffekt ge- 
deutet. 


127) W. Gylienberg, Medd. Lund Il, Nr. 13 (1915). 
128) K. Lundmark, Svensk. Akad. Handl. 60 (1920), Nr. 8. 


21. Die Ablenkung der Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne. 229 


Es werde noch bemerkt, daß der schon erwähnte Umstand, daß 
die Spiralnebel eine mittlere Rotverschiebung von 700 km/sec zeigen '??), 
eine Rolle in den kosmologischen Hypothesen von de Sitter'®) und 
Weyl'®*) spielt. 

21. Die Ablenkung der Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne. 
Würde die Newionsche Mechanik auch für Lichtgeschwindigkeit Gel- 
tung haben, so müßte sich aus der Newtonschen Gravitationstheorie 
die Bahn eines Lichtstrahls im Schwerefeld einer punktförmigen 
Masse, wenn er nicht nur träge, sondern auch gleiche schwere Masse 
hätte, wie folgt berechnen: Man hätte das Energieintegral: 


E-T + U- 4) — z const — } e 


und den Flächensatz ro = const, 


- wobei Polarkoordinaten r#p und die Ebene $ — = als Bahnebene 


des Lichtstrahls angenommen sind. Hieraus rechnet sich als Bahn- 
kurve eine Hyperbel, da die Gesamtenergie 4c? positiv ist. (c ist die 
Geschwindigkeit im Unendlichen, also die gewöhnliche Lichtgeschwin- 
digkeit.) 

Nennt man d den Außenwinkel der beiden Asymptoten, so gilt 
a _ EM ı 
b 2E b’ 
wo a die reelle Halbachse der Hyperbel, b die imaginäre (= kürze- 
ster Abstand Asymptote — Brennpunkt) sind. Man hat hieraus 

Ö k®M 1 
BEN and 

oder in erster Näherung, da ö bei nicht zu kleinem b sicher klein 


gegenüber EM ist, für die Ablenkung eines Lichtstrahls im Schwere- 


Ö 


feld der Sonne aus seiner ursprünglichen Richtung: 


(74) nt 4:10 07875, 


wenn b=R (Sonnenradius), M == Sonnenmasse genommen werden.'??) 

129) H. u. M. Shapley, Astroph. J. 50 (1919), Table V auf p. 125. 

130) W. de Sitter, III, p.26 Deutung zugunsten des kosmologischen Systems 
B von de Sitter, in welchem die Lichtgeschwindigkeit im Unendlichen Null wird. 
— Vgl. hierzu auch de Sitter, II, $28, wo aus dem Fehlen einer Violettver- 
schiebung in den Sternspektren eine obere Grenze für die Gesamtmasse des Fix- 
sternsystems hergeleitet wird. 

131) H. Weyl, Phys. Ztschr. 22 (1921), p. 473, $7 zugunsten der Inselwelt- 
hypothese. 

132) A. Einstein, Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 898. 


230 Vla, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Tatsächlich gilt aber die oben zugrundegelegte Newtonsche Me- 
chanik nur für Geschwindigkeiten, die sehr klein gegen die Licht- 
geschwindigkeit sind. Da wir es aber jetzt geradezu mit Licht- 
geschwindigkeit zu tun haben, ist die obige Rechnung falsch, wie 
schon aus der speziellen Relativitätstheorie folgen würde Um also 
die richtigen Werte zu erhalten, muß man die Bewegungsgleichungen 
(34) für das Einstein-Schwarzschildsche ds? (60) oder das de Sitiersche 
ds? (62) exakt integrieren (mit der Nebenbedingung ds = 0). 

Wenn man aber nicht die Bahn des Lichtstrahls, sondern nur 
seine Ablenkung ö kennen lernen will, welche gemäß (74) eine Größe 
2. Ordnung ist, so genügt folgende Näherungsbetrachtung®): Die Be- 
wegung eines Lichtstrahls im statischen Schwerefeld kann auch an- 
statt durch das Variationsprinzip (33) mit der Nebenbedingung ds— 0 
durch folgendes Variationsprinzip (Fermatsches Prinzip der kürzesten 
Lichtzeit) 3 ; 


(74a) 7. 


eg 
1 


gegeben werden. Hierbei ist für ein statisches Schwerefeld 


O9: 
(9 = ==; De _ 0) : 
Fi 
da? — fd? — de, dt — — Dyg,,da,da,. 
k=1 


Die dreidimensionale Form do? bestimmt das Linienelement in 
den Räumen #== const. Genau auf die analoge Form wie (74a) läßt 
sich aber bekanntlich nach Jacobi das Prinzip der kleinsten Wirkung, 
wenn der Satz der lebendigen Kräfte "+ U = cont=KE gilt, 
bringen. Man hat 


2 
(74b) h) fas VE-UT=0, 
1 


wo d$? — dx? + dy? + dz? bedeutet. Für die vorhin durchgeführte 
Berechnung der Bahnkurve des Lichtstrahls im Schwerefeld nach 
Newton hatten wir E= ie, U= — Fe Anderseits gilt nach 
(62) (de Sitters Koordinaten): 


ds? = fd? — 1.48, 





u“ 
1. s 

wf—=d „I (1 + 2\, = Ba Es ist also 
147 


133) T. Levi-Civita, Rom. Line. Rend. 26 (1917, 1. sem.) p. 458, ferner Rivista 
d’Ottica e Mecanica 1 (1920), insbes. p. 199. 


22. Die Beobachtungen bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919. 92317 


do?’— Ad3? und 2 


De ya, 
IT ir | 


1 
in den Koordinaten de Sitters das Fermatsche Variationsprinzip für 
den Lichtstrahl. Bis = Größen höherer Ordnung als der 2” ist dies 


ofastı Her. )=0, 


Anderseits gibt das Jacobische Wirkungsprinzip (74b) nach Division 


durch die Konstante 
V2 


ofasyı Es fas(ı ++). 


Beschränkt man sich also auf Größen 2. Ordnung, so sieht man, 
daß man die Newtonsche Rechnung verbessern oder das Jacobische 
klassische Prinzip beibehalten kann, wenn man nur 2U statt U darin 
einsetzt. D. h. bis auf Größen höherer als 2. Ordnung ist die Ablen- 
kung ö der Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne gemäß der Me- 
chanik der allg. Rel.th. richtig wiedergegeben durch 
(75) N — 175.0) 

22. Die Beobachtungen bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 
1919. Die Ablenkung (75) im Schwerefeld der Sonne kann natürlich 
nur bei totalen Bedeckungen der Sonnenscheibe an Sternen beobachtet 
werden, die der Sonnenscheibe sehr nahe stehen, da der Effekt ver- 
kehrt proportional mit der Entfernung abnimmt. Allerdings haben 
A. und F. Lindemann?) versucht, Sterne in nächster Nähe der Sonne 
bei Tageslicht mit Hilfe des Umstandes zu beobachten, daß die Hellig- 
keitsverteilung im Spektrum eines Sterns gegenüber dem wesentlich 
blauen Tageshimmel einen Unterschied durch das bei dem Stern über- 


134) W. de Sitter, I, $ 14 berechnet den Effekt der Rotation der Sonne auf 
die Ablenkung eines Lichtstrahls im Schwerefeld derselben. Der Lichtstrahl er- 
fährt in erster Näherung nach seiner Formel (45) l. c. in unseren Bezeichnungen, 
wenn er in der Äquatorebene der Sonne aus dem Unendlichen im bzw. entgegen- 
gesetzt zum Sinn der Rotation ankommt, an der Sonnenoberfläche eine Gesamt- 


ablenkung im Betrag von ; 4EMR 
1 ae 2 . T; a N u 
; re 1 
von der Sonne weg bzw. zur Sonne hin. Somit ist = _R 


d 5° c 400000 
135) A. u. F. Lindemann, London Astr. Soc. M. N. 77 (1916), p. 140. 


333. Vls, 22a. Friedrich Koitler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


dies vorhandene Rot aufweist (Verwendung rotempfindlicher Platten!); 
definitive Resultate sind bisher nicht erzielt. Nach verschiedenen nicht. 
geglückten Beobachtungen (1914 Freundlich in Südrußland; 1918 Lick- 
Observatorium) gelang es zwei englischen Expeditionen (Crommelin 
und Davidson in Sobral, Nordbrasilien, einerseits und Eddington und. 
Cottingham auf der Insel Prineipe an der afrikanischen Küste ander- 
seits) den Effekt bei der totalen Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919 
festzustellen.!3°) Diese war besonders günstig wegen der großen Zahl 
heller sonnennaher Sterne (Sternbild des Stiers). 
Das Endresultat ist das folgende: 


Nummer Name des Sterns Größe ae Fertöet y. chtet) 
11 66 Tauri 5,5 0”32 0”20 
10 12 Tauri 5,5 33 4 32 

6 v Tauri 4,5 40 56 
5 Piazzi,.IV 61 , 6,0 53 54 
4 #' Tauri 4,5 75 84 
2 Piazzi, IV 82 5,8 85 97 
3 #° Tauri 5,5 88 1”02 


(Mittel aus 7 Photographien mit vierzölligem (10 em Öffnung) Objektiv 
von ca. 6 m Brennweite in’ Sobral.) Auf die Sonnenoberfläche redu- 
ziert gibt dies 1798 + 0°12 anstatt der 1”75 nach Formel (75). 
Die Expedition in Sobral hatte überdies ein auf acht Zoll (20 cm) ab- 
geblendetes Objektiv von ca. 3,5 m Brennweite des Astrographen von 
Greenwich, welches jedoch während der Sonnenfinsternis vermutlich 
durch Temperatureinflüsse aus der Fokussierung kam und unscharfe 
Photographien lieferte. Die Expedition in Principe hatte das gleich- 
falls auf acht Zoll reduzierte Objektiv des Astrographen von Oxford, 
erzielte jedoch wegen Bewölkung nur zwei brauchbare Platten. Ihr 
Resultat ist 1761 + 0”30 auf die Sonnenoberfläche reduziert. 

Beide Expeditionen hatten leider nicht parallaktische Montierung 
der Fernrohre, sondern fest montierte Fernrohre mit Spiegelzoelostaten. 

Im besonderen möge zu der Reduktion der Photogramme be- 
merkt werden: 

Die Expedition in Sobral konnte ungefähr sechs Wochen später 
die gleiche Himmelsstelle unter ähnlichen Bedingungen hinsichtlich 
der Höhe am Nachthimmel aufnehmen. Dadurch war die Möglichkeit 
zur Vergleichung der während der Finsternis abgelenkten Sternbilder 
und der unabgelenkten gegeben, wodurch die Ablenkung in Rektaszen- 


136) F. W. Dyson, A.S. Eddington u. ©. Davidson, London Phil. Trans. A 
220 (1920), p. 291. 


22. Die Beobachtungen bei der Sonnenfinsternis am 29. Mai 1919. 233 


sion und Deklination vermessen werden konnte. Diese Vermessung 
vermittelte eine Aufnahme des Nachthimmels, die durch die Rückseite 
einer photographischen (Glas)platte hindurch gemacht worden war, so 
daß Vergleichung von Schicht auf Schicht bei den Finsternis- oder 
Vergleichsplatten einerseits und dieser „Bezugsplatte“ anderseits mög- 
lich war. Die resultierenden Ablenkungen Az, Ay in rechtwinkligen 
Koordinaten können herrühren: 1. Von einer Verschiebung der vergli- 
chenen Platte relativ zur Bezugsplatte. Die Koordinaten x, y aller 
Sterne erfahren hierdurch die gleichen Änderungen Ax—=c, Ay=f 
2. Von einer Verdrehung der verglichenen Platte relativ zur Bezugs- 
platte. Die hieraus resultierenden Ablenkungen x bzw. Sy sind y 
bzw. x proportional. 3. Der Maßstab, unter dem eine Bogensekunde 
am Himmel auf der Platte abgebildet wird (Skalenwert), ist für die 
verglichene Platte infolge anderer Fokussierung ein anderer als für 
die Bezugsplatte. Die hieraus resultierenden Ablenkungen wachsen 
mit dem Abstand vom Mittelpunkt; 1x bzw. Iy sind also x bzw. y 
proportional, wobei wegen möglicher Ungleichwertigkeit der beiden 


Richtungen verschiedene Proportionalitätsfaktoren @ bzw. e eingesetzt 
werden. 4. Endlich vom Einsteineffekt, welcher proportional E, = “ 


bzw. E, = Er zu setzen ist, wobei der Proportionalitätsfaktor « sei. 


Man hat daher für jede solche Vergleichung anzusetzen: 
Acs=ax+by+tc-+euE, 
Ay—dateytft a, 

und auszugleichen für die Finsternis- bzw. für die Vergleichsplatten. 

Es ergibt sich dabei auch ein von Null verschiedener Wert von « für 


die Vergleichsplatten, obwohl dort keine Lichtablenkung wirksam war. 
Und zwar ist « im Mittel 


aus Rektaszension für 
Finsternisplatten 0”120, Vergleichsplatten 0”015, Differenz 0”105, 


aus Deklination für 
Finsternisplatten 0”129, Vergleichsplatten 0”031, Differenz 0”098 


in Revolutionen (r) der Mikrometerschraube (17 = 6”25 am Himmel). 
Daß « sich nicht zu Null für die Vergleichsplatten ergibt, ist durch 
die unvermeidlichen Fehler bei der Zwischenschaltung der Bezugs- 
platte zu erklären. Bemerkt werde, daß die Ausgleichung erkennen 
läßt, daß den Beobachtungen in Deklination ein zweimal so großes 
Gewicht als denen in Rektaszension zukommt. Schließlich ergibt sich 
mit einem wahrscheinlichen Fehler von 6%,: 


« = 0r100 = 0"625. 


234 \Vle, 22a. Friedrich Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


Hierbei ist als Einheit der Entfernung r der Abstand von 50’ von 
der Sonnenmitte (scheinbarer Sonnenhalbmesser zur Zeit der Finster- 
nis 15’8) gewählt. Das ergibt am Sonnenrand daher 1”98 + 0”12. 

Durch die Ausgleichung wird der unbekannte Skalenwert (a bzw. 
e für Rektasz. bzw. Dekl.) eliminiert. Es ist aber wünschenswert, den 
Maßstab genau zu kennen, um etwaige systematische Fehler in den 
Beobachtungen unter den geänderten Bedingungen und infolge des 
Transports der Objektive zu eliminieren. Zu diesem Zwecke hat die 
Expedition in Principe ein Kontrollgebiet am Himmel (bei Arcturus) 
aufgenommen und nach ihrer Rückkehr das gleiche Gebiet in Oxford 
photographiert. Bei dem verwendeten Astrographenobjektiv ergab die 
Vergleichung, daß das Kontrollgebiet (wenigstens in Deklination) keine 
nennenswerten systematischen Abweichungen in Prineipe gegenüber 
Oxford zeigt. Der Maßstab erwies sich etwas größer in Principe als 
in Oxford, entsprechend einer etwaigen Vergrößerung der Brennweite 
um ca. 1,2 mm (bei 3,43 m ursprüngl. Brennweite) infolge der er- 
höhten Temperatur. [Es war 1 mm auf der Platte ungefähr 1 Bogen- 
minute am Himmel, der Einsteineffekt daher von der Größenordnung 
200°! mm auf der Platte.] Die Konstanten a, e, ebenso b, d hängen 
auch von den Unterschieden in Brechung und Aberration ab, wobei 
die Unterschiede in geographischer Breite, Druck und Temperatur 
zwischen Oxford und Prineipe zu berücksichtigen sind. Bringt man 
diesbezügliche Korrekturen an, so sollten die resultierenden Werte 
a,e,b,d bzw. den Gleichungen @ —=e’ und ’ + d’= 0 genügen. 
Nur die letztere Gleichung ist angenähert erfüllt, die erstere nicht, 
indem e > a’ wird. Dies geht auf den Einfluß des Zoelostatenspiegels 
oder auf eine Erschütterung der Linsen des Objektives während. des 
Transports zurück. 


23. Mögliche andere Ursachen für die Lichtablenkung. Wenn 
man von Schichtverzerrungen in der photographischen Platte absieht'?”), 
die jedoch kaum imstande sein dürften, den beobachteten Gravitations- 
effekt vorzutäuschen, und wenn man ferner von Einflüssen der raschen 
Temperaturänderungen während der Finsternis auf Zoelostatenspiegel 
und Linsen (vgl. das Verhalten des Astrographen in Sobral) absieht, 
die möglicherweise eine Bildverzerrung zur Folge haben könnten '?®), 
bleiben folgende drei Ursachen, die außerhalb der Apparatur gelegen 
sind und den Effekt vortäuschen könnten: 


137) L. Silberstein, Monthl. Not. 80 (1920), p. 631. Zwecks ihrer Eliminie- 
rung empfiehlt Freundlich, Naturwissensch. 8 (1920), p. 671, auf die Platten vor 
der Aufnahme ein feines Koordinatennetz aufzukopieren. 

138) K. F. Bottlinger, 1. e. 109), p. 149. 





23. Mögliche andere Ursachen für die .Lichtablenkung. 2335 


1. Eine laterale Brechung der von den Sternen kommenden Licht- 
strahlen in der abgekühlten Erdatmosphäre beim Durchgang durch 
den Schattenkegel des Mondes!?®); der Temperaturfall im Schatten- 
kegel müßte jedoch 20 Grad per Minute ausmachen, um angesichts 
der Schnelligkeit von 50 km per Minute, mit der der Schattenkegel 
des Mondes über die Erde hinwegstreicht, einen Effekt von der Größe 
des beobachteten auszumachen. Der wirklich vorhandene Temperatur- 
fall ist höchstens groß genug, um 0”1, d.i. 5%,, des Effekts zu er- 
geben. 

2. Eine Lichtbrechung in einer die Sonne umgebenden Atmosphäre.!*P) 
Dyson, Eddington und Davidson'”®) geben an, daß der Brechungsindex 
der Koronamaferie, wenn diese für den Effekt verantwortlich gemacht 
würde, oder einer sonstigen Atmosphäre 1 + 4,14. 10-°r-! (r Ent- 
fernung vom Mittelpunkt gemessen in Sonnenradien) sein müßte. D.h. 
in der Entfernung von r = 2 (einen Sonnenradius oberhalb der Ober- 
fläche) wäre der Brechungsindex 1 -+ 2,1. 10°; das würde entspre- 
chen: Luft bei '/4, Atmosphären, Wasserstoff bei '/,„ Atım. oder Helium 
bei Y,, Atm. Lindemann'*’) gibt an, daß die Dichte dieser Materie 
10-® bis 10? in 500000 km oberhalb der Sonnenoberfläche (ca. 
%/, Sonnenradien) sein müßte. 

[Die sieben vermessenen Sterne 3, 2, 4, 5, 6, 10, 11 liegen zwi- 
schen 30’ (2 Sonnenradien) und 90’ (6 Sonnenradien) Zentralabstand.] 

Freundlich ‘*) berechnet für ein Gas von "/,gooo Erdatmosphärendichte 
eine Schwächung des Lichtes um 0,2 Größenklassen auf 8-10 km 
Lichtweg. Bei einer Dichte von "/,o Erdatmosphäre tritt dies daher 
schon auf 3.10? km ein. Durchläuft der Strahl also bloß auf einem 
Weg von einem Sonnenradius ein solches Gas, so wird er um 200 
Größenklassen geschwächt, also völlig absorbiert. 

Emden“) berechnet für eine konzentrisch geschichtete, in hydro- 
statischem Gleichgewicht befindliche Sonnenatmosphäre ebenfalls, daß 
der Einsteineffekt auch nicht zu einem merklichen Bruchteil von der 
gewöhnlichen Brechung in derselben herrühren könnte. 

Bottlinger‘”) erörtert, nachdem die uns bekannten Gase, wie ge- 
zeigt, nicht in Betracht kommen, den Einfluß des „Koroniums“ und 
des Wasserstoffs, deren Linien sich oft bis zu 20° Abstand vom Sonnen- 


139) A. Anderson, Nature 104 (1919), p. 354, 393, 436, 563; A. S. Eddington, 
A. C. Orommelin, ebenda p. 372; W. H. Dines, L. F. Richardson, ebenda p. 393; 
A. Schuster, ebenda p. 468, 714; E. Freundlich, Naturwissensch. 8 (1920), p. 672. 

140) F. Lindemann, Observatory 41, p. 323; H. F. Newall, Monthl. Not. 80 
(1919), p. 22; E. Freundlich, Sternwarte Berlin, Beob. Ergebnisse Nr. 15 (1915), 
p. 77; R. Emden, Münch. Ber. 1920, p. 387. 


936 VI», 22a. Friedrich. Kottler. Gravitation und Relativitätstheorie. 


rand, also mitten in dem Beobachtungsgebiet. der Sonnenfinsternis- 
expedition, zeigen; dies wird namentlich im Zusammenhang mit dem 
Folgenden wichtig. 

3. Die jährliche Refraktion (Courvoisiereffekt).!) Nach L. Cour- 
voisier zeigen die Sternorte eine Verschiebung mit jährlicher Periodi- 
zität, also im Sinne einer zirkumsolaren Refraktion. Courvoisier gibt 
für diese Verschiebung die empirische Formel 


0”55 (1 wi Vest), 


wo 9 der Abstand vom Gegenpunkt der Sonne ist. Er verwertet hier- 
bei eigene und fremde Messungen der verschiedensten Sternwarten. 
In 50° Entfernung von der Sonne (g= 130°) z. B. gibt dies noch 
0”19 (beobachtet von Courvoisier an 8 Ursae majoris ist 0"24 + 0”05), 
während der Gravitationseffekt dortselbst schon ganz unmerklich sein 
muß. Am Sonnenrand liefert die empirische Formel ca. 0”6; dies ist 
also wesentlich kleiner, als der Gravitationseffekt an dieser Stelle beträgt. 
Der Courvoisiereffekt scheint also nach einem ganz anderen Gesetze mit 
der Entfernung von der Sonne abzunehmen, sofern er wirklich zir- 
kumsolarer Natur ist.'#) Der Effekt besitzt vermutlich ein Maximum 
in der Nähe der Sonne und nimmt in noch größerer Nähe zur Sonne 
wieder ab. Die empirische Formel Courvoisiers wird demnach am 
Sonnenrande keinesfalls mehr gelten können. Courvoisier hat die Aus- 
gleichungsrechnungen der englischen Expedition unter Hinzufügung 
eines auf die jährliche Refraktion bezüglichen Gliedes wiederholt, um 
festzustellen, ob die Konstante «& (Nr. 22) hierdurch verfälscht sein 
könnte. Denn es könnte ja sein, daß das erwähnte Maximum so nahe 
an die Sonnenoberfläche fällt, daß Einsteineffekt und Courvoisiereffekt 
sich hier verstärken. Das Ergebnis seiner Rechnung ist negativ. Beide 
Effekte können, wie die Ausgleichungsrechnung ergeben hat, nicht zu- 
gleich bestehen. Die jährliche Refraktion muß daher, wenn die bei 
der Sonnenfinsternis beobachtete Ablenkung auf den KEinsteineffekt 
zurückgeht, an der Sonne verschwindend klein sein. Es erwächst aber 
natürlich die Aufgabe, in Zukunft auch sonnenfernere Sterne zu ver- 
messen; denn für diese muß wieder eine verschwindende Ablenkung 
beobachtet werden, wenn anders die bisher beobachteten Ablenkungen 
an ge Bhscndii ausschließlich auf den Einsteineffekt und nicht 


141) L. Courvoisier, Astr. Nachr. 209 (1919), p. 337; 211 (1920), p. 305; 
Naturwissensch. 8 (1920), p. 514; E. Freundlich, Naturwissensch., 1. c. p. 672; 
P. Guthnick, Naturwissensch. 8 (1920), p. 814. 

142) P. Harzer, Astr. Nachr. 4025, leitet die zirkumsolare Natur des Effekts 
aus der Annahme einer Ätherverdichtung an der Sonne theoretisch ab. 


23. Mögliche andere Ursachen für die Lichtablenkung. 2337 


auf den Courvoisiereffekt zurückgehen. Dies erfordert besonders korri- 
gierte Objektive zwecks Vermeidung optischer Abbildungsfehler am 
Rande des Bildes. 

Über die Deutung der jährlichen Refraktion sei nur soviel be- 
merkt, daß die Meinungen zwischen einem physiologischen Ursprung 
(Helligkeitsgefälle am Himmel in der Nähe der beim Courvoisiereffekt 
beobachteten Objekte bedingt beim Beobachter einen systematischen 
Fehler in der Agnoszierung der richtigen Position) und einem physi- 
kalischen Ursprung (leichte Gase, wie Koronium und Nebulium) schwan- 
ken.!®) Die letztere Deutung würde ernstliche Schwierigkeiten für die 
Realität des Einsteineffektes zur Folge haben. 

4. Photographische Effekte. Es wäre denkbar, daß bei den Sonnen- 
finsternisaufnahmen ein photographischer Effekt als Fehlerquelle in 
Betracht käme, da der Himmelsgrund in Sonnennähe ein starkes 
Helliskeitsgefälle hat Darüber sind definitive Resultate noch nicht 
vorhanden. 

Außer an der Sonne könnten noch Ablenkungen der zu uns ge- 
langenden Lichtstrahlen am Rande des Jupiter — nach der Theorie 
im Betrage von 0”016 — beobachtbar sein. Man könnte hierzu den 
Vorübergang des Jupiter vor einem Fixstern wählen, was allerdings 
ein seltenes Ereignis ist. Überdies ist der angegebene Betrag, trotz- 
dem er in die Größenordnung der Parallaxenmessungen fällt, an der 
Grenze der heute möglichen Genauigkeit.'?) | 


143) Zur Erklärung der beobachteten Ablenkung der Lichtstrahlen von der 
Sonne auf Grund einer Ätherverdichtung im Sinne der Stokes-Planckschen Hypo- 
these des kompressiblen an der Materie haftenden Äthers vgl. L. Silberstein, 
Phil. Mag. 39 (1920), p. 161. Diese Theorie hätte nach Silberstein den Vorteil, 
den positiven Ausfall der Beobachtungen über die Lichtablenkung an der Sonne 
mit dem negativen Ausfall der bisherigen Beobachtungen über die Rotverschie- 
bung auf der Sonne zu versöhnen, da sie auf den Gesetzen der klassischen Me- 
chanik ruht. Man vgl. hierüber auch Lorentz, Abhandl. usw. Nr. XV, $ 18, wo 
die Frage einer Lichtableukung in der Nähe des Jupiter durch eine von der 
Rotation dieses Planeten herrührende Bewegung seiner mitgenommenen Äther- 
hülle erörtert wird. 





(Abgeschlossen am 31. März 1922.) 





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VI2,23. STELLARASTRONOMIE. 


Von 
H. KOBOLD 


IN KIEL, 


Inhaltsübersicht. 


I. Die charakteristischen Eigenschaften der Sterne. 


. Unmittelbare Beobachtungsergebnisse. 
2. Mittelbare Beobachtungsergebnisse. 


er 


II. Das Beobachtungsmaterial. 


3. Ältere Sternkataloge. 

4. Fundamentalkataloge. 

5. Kataloge der einzelnen Sternwarten. 

6. Photographische Sternkataloge. 

7. Sammelkataloge. 

8. Durchmusterungskataloge. 

9. Kataloge von Sternhaufen und Nebeln. 
10. Sternkarten. 
11. Eigenbewegungsverzeichnisse. 
12. Radialbewegungen. 
13. Parallaxen. Trigonometrische Methoden. 
14. Parallaxen. Spektroskopische Methoden. 
15. Photometrische Kataloge. 
16. Kataloge der Spektraltypen und der Farben der Sterne. 


III. Ergebnisse der Bearbeitung des Beobachtungsmaterials. 
A. Die scheinbare Verteilung der Sterne; die Milchstraße. 
17. Allgemeine Verhältnisse; der Gouldsche Gürtel. 
18. Die galaktische Kondensation. 
19. Die äußere Erscheinung der Milchstraße. 
20. Der Spektralcharakter der Milchstraßensterne. 
21. Ebenen der scheinbaren Sternverteilung. 


B. Die räumliche Verteilung der Sterne; Extinktion. 


22. Ältere Theorien. 
23. Seeligers Untersuchungen. 
24. Folgerungen aus Seeligers Theorie. 
25. Beziehung zwischen Eigenbewegung, Parallaxe und Leuchtkraft. 
26. Schwarzschilds Entwicklungen. 
27. Charliers Behandlung der Aufgabe. 
28. Neuere empirische und theoretische Forschungen. 
29. Extinktion des Lichtes im Weltraum. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VL2, B. 16 


240 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


C. Eigenbewegung der Sterne und der Sonne. 


30. Erste Versuche. 

31. Neuere Methoden. 

32. Berücksichtigung der Massen der Sterne. 

33. Kobolds Kritik der Hypothese der Regellosigkeit der Eigenbewegungen. 

34. Kapteyns Zweischwarm-Hypothese. 

35. Schwarzschilds Ellipsoid-Hypothese. 

36. Charliers Behandlung des Problems nach den Methoden der Kollektivmaß- 
lehre. 

37. Die Exzentrizitätshypothese Oppenheims. 

38. Allgemeine kritische Untersuchungen. 

39. Systematische Bewegungen. 


D. Besonderheiten des Bewegungszustandes. 
40. Allgemeine Beziehungen. 
41. Abhängigkeit der Eigenbewegungen. 
42. Abhängigkeit der Radialbewegungen. 
43. Abhängigkeit der Bewegung von der absoluten Helligkeit. 
44. Die Bewegungen in Beziehung zum Bau des Sternsystems. 
45. Erklärung der Bewegungen. 


E. Bewegte Sterngruppen. 
46. Einzelne Sterngruppen. 
47. Partialsysteme. 


F. Bau des Sternsystems. 
48. Erste Versuche. 


49. Neuere Theorien. 
50. Kinematik des Sternsystems. 


Literatur. 


F. W. Bessel, Fundamenta Astronomiae pro anno 1755 deducta ex observationi- 
bus viri incomparabilis J. Bradley, Königsberg 1818. 

W. Struve, Etudes d’astronomie stellaire, St. Petersburg 1847. 

0. A. F. Peters, Recherches sur la parallaxe des etoiles fixes, St. Petersburg 1848. 

Ch. Andre, Trait& d’astronomie stellaire I, Paris 1899. 

H. Kobold, Der Bau des Fixsternsystems, Braunschweig 1906. 

W. W. Campbell, Stellar motions with special reference to motions determined 
by means of the spectrograph, New Haven 1913. 

4A. 5. Eddington, Stellar movements and the structure of the universe, London 
1914. 

W. Valentiner, Handwörterbuch der Astronomie, 4 Bände, Breslau 1897—1902. 
Artikel: Eigenbewegung des Sonnensystems von H. Kobold; Sternkataloge 
und -karten von F‘. Ristenpart; Universum von F‘. Ristenpart. 


Für geschichtliche Fragen besonders: 
R. Wolf, Handbuch der Astronomie, 2 Bände, 2. Aufl, Zürich 1890—92. 


1. Die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse. 241 


I. Die charakteristischen Eigenschaften der Sterne. 


Bis in die zweite Hälfte des 18. Jahrhunderts beherrschte die 
Spekulation stellarastronomische Forschungen. Erst die durch Bradleys 
(1692—1762) Wirken eingeleitete Entwicklung der neueren prakti- 
schen Astronomie öffnete sichere Wege, die über den Bereich des 
Sonnensystems hinaus in das Universum führten. Zwei Quellen sind 
es, aus denen unsere Kenntnisse über den Bau und die Vorgänge in 
dem unsere Sonne umgebenden System der Sterne und über seine 
Entwicklung fließen. Sie sind gegeben 1. im Ort der Sterne und sei- 
nen Änderungen mit der Zeit und 2. in dem von den Sternen uns 
zugesendeten Lichte nach Quantität und Qualität. Die Daten und 
charakteristischen Merkmale, die auf dieser Grundlage die praktische 
Astronomie der stellarastronomischen Forschung darbietet, zerfallen in 
zwei Kategorien: Unmittelbare und mittelbare Beobachtungsergebnisse. 


1. Die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse. 

1. Die Zahl der Sterne und ihre Verteilung über den Himmel. 
Diese Daten bilden den Ausdruck des Gesamtbildes des Sternsystems, 
wie es uns erscheint, und ergeben die Grundlage für statistische Unter- 
suchungen über seinen Bau. 

2. Der scheinbare Ort. Er ist bestimmt durch die sphärischen 
Koordinaten der Rektaszension und Deklination oder der Länge und 
Breite, worüber das nähere in dem Kapitel über sphärische Astrono- 
mie Encykl. VI 2,2 (F. Cohn) gesagt ist. 

3. Die Entfernung. Die Methoden der Entfernungsbestimmung 
der Sterne zerfallen, je nachdem welche der beiden Quellen für die 
Erforschung der Eigenschaften der Sterne benutzt wird, in zwei Grup- 
pen. An den Ort des Sterns ist die ältere trigonometrische Methode 
geknüpft, an die physikalischen Eigenschaften des Lichtes, das der 
Stern uns zusendet, die neuere spektroskopische Methode. Die trigono- 
metrische Methode ist schon in dem Artikel Reduktion der astrono- 
mischen Beobachtungen Encykl. VI 2,2 (F. Cohn), Nr. 9e auseinander- 
gesetzt, sie liefert uns die jährliche Parallaxe der Fixsterne oder kurz 
einfach die Fixsternparallaxe als den Winkel, unter welchem vom 
Stern aus gesehen die mittlere Entfernung Erde-Sonne erscheint, und 
auf dem Wege über die Eigenbewegungen (EB.) der Sterne, die Säkular- 
parallaxe als den Winkel, unter dem die jährliche Bewegung der Sonne 
in ihrer als geradlinig angenommenen Bahn im Raume erscheint. 

Die spektroskopische Methode geht aus von gewissen Merkmalen 
der Größe der Leuchtkraft eines Sternes, die in der relativen Inten- 
sität einiger Linien, besonders der metallischen, oder auch bestimmter 

16* 


242 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Stellen des Spektrums zum Ausdruck kommen.!) Sie ermittelt daraus 
die absolute Größe, die der Stern in der Einheit der Entfernung haben 
würde, und berechnet durch Vergleich mit der scheinbaren Größe die 
Entfernung nach dem Gesetz der Abnahme der scheinbaren Helligkeit 
mit dem Quadrat der Entfernung. Die jährliche Parallaxe, die als Aus- 
gangspunkt der Entfernungsbestimmung der Sterne dient, mißt diese 
Entfernung durch ihr Verhältnis zur Entfernung Erde-Sonne. Diese 
letztere Entfernung ist aber im Vergleich zu den Fixsternentfernungen 
zu klein, um als Maßeinheit für sie zu dienen, da sie zu unbequem 
großen Zahlen führte. Man hat deshalb als Einheit der Fixstern- 
entfernungen ein Vielfaches der astronomischen Einheit eingeführt. 
Charlier nennt das 10°-fache der astronomischen Einheit Siriometer. 
Die Siriusweite, mit der Seelöger rechnet, entspricht der zu einer jähr- 
lichen Parallaxe von 0,2” gehörenden Entfernung. Am gebräuchlich- 
sten ist ein Grundmaß, das der zu einer Parallaxe von 1” gehörenden 
Entfernung entspricht. Der Verfasser nennt es Sternweite, Turner 
hat die Bezeichnung Parsee dafür vorgeschlagen. Es ist also eine 
Sternweite —= 1 Parsec = } Siriusweite — 206 265 astronomische Ein- 
heiten = 0,206 Siriometer, und einem Siriometer entspricht die Par- 
allaxe 0,206”. 

4. Die Bewegung. Die Bewegung der Sterne im Raume äußert 
sich in den Beobachtungen zerlegt in zwei Komponenten: einer Orts- 
änderung an der Sphäre und einer Änderung der Entfernung von uns. 
Jene, die Eigenbewegung, auch laterale Bewegung genannt, erfolgt 
. senkrecht zum Visionsradius; diese, die Radialbewegung, in der Rich- 
tung des Visionsradius. Die Ableitung der Eigenbewegungen aus den 
Beobachtungen ist in dem Artikel Reduktion der astronomischen Be- 
obachtungen [Encykl. Vl2, 2 (F. Cohn), Nr. ?b] auseinandergesetzt. Zur 
Kenntnis der Radialbewegung führen die Änderungen, die im Spektrum 
einer Lichtquelle als Folge ihrer Bewegung nach dem Dopplerschen 
Prinzip?) entstehen, das freilich erst in der von Fizeau?) gemachten 


1) Die Methode ist begründet von A. Kohlschütter [Carnegie Yearbook Nr. 12 
(1913), p. 219], der mit Hilfe der auf dem Mt. Wilson Observatory aufgenom- 
menen Spektren von Sternen, deren Entfernung auf trigonometrischem Wege 
bestimmt war und deren wahre Leuchtkraft damit aus der scheinbaren berechnet 
werden konnte, die Kriterien der Leuchtkraftstärke im Spektrum ermittelte. Die 
ersten Anwendungen sind beschrieben Astroph. Journ. 40 (1914), p. 385. 

2) Ch. Doppler, Über das farbige Licht der Doppelsterne, Prag Abh. d. 
böhm. Ges. d. Wiss. (5) 2 (1842), p. 465. 

3) H. Fizeau, Ann. chim. et phys. (4) 19 (1870), p. 211. Abdruck eines am 
12. Dez. 1848 in der Soc. Philomatique gehaltenen Vortrags. Über eine theore- 
tische Begründung des Prinzips vgl. Eneykl. V 19 (W. Pauli jr.), Nr. 6 und VI2, 


1. Die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse. 243 


Anwendung auf einzelne Emissions- und Absorptionslinien zum Ziele 
führte. Die durch die Bewegung bewirkte Anderung der Wellenlänge 
A einer bestimmten Linie ergibt sich durch die Formel 

ar(i Heu: 


© 


Darin bedeutet v die Geschwindigkeit des Lichtes, v,, ist die in die 
Richtung der Verbindungslinie Sonne-Stern fallende Komponente der 
sekundlichen Bewegung des Sterns, v„ diejenige des Beobachters, beide 
positiv gerechnet in der Richtung von der Sonne zum Stern. v„ setzt 
sich zusammen aus den drei dem Beobachter innewohnenden Be- 
wegungen: aus der Drehung der Erde, aus der Bahnbewegung der 
Erde und aus der Bewegung des Sonnensystems im Raume. Der 


Faktor (1 ne) darf stets — 1 gesetzt werden. 


5. Die scheinbare Helligkeit. Sie wird ausgedrückt in Größen- 
klassen und gemessen in Einheiten und Bruchteilen der Größenklasse. 
Die dem freien Auge eben sichtbaren Sterne haben die Größe 6,0” 
(m — magnitudo), und die scheinbare Helligkeit nimmt in den Größen- 
klassen mit wachsender Ordnungszahl derart ab, daß ihr dekadischer 
Logarithmus von Klasse zu Klasse um 0,4 kleiner wird. Die Hellig- 
keit h eines Sterns der scheinbaren Größe 0,0” setzen wir =1, also 
ist logh, —= 0. Für Sterne heller als 0,0% wird die Klassenzahl ne- 
gativ. Allgemein gilt 
(1) logh. = — 0,4 m. 


Wegen der Verschiedenheit der Farbenempfindlichkeit des Auges 
und der photographischen Platte ist die visuelle Helligkeit eines Sterns 
von seiner photographischen zu unterscheiden. 


22a (F. Kottler), Nr. 4 u. 5; praktisch ist es durch Anwendung auf die Sonne 
zur Messung der aus der Rotation folgenden Bewegung von Punkten am Ost- 
und Westrande, sowie durch Messung von auch aus der Bahnbewegung bekann- 
ten Bewegungen an Gestirnen — so beim Kometen 1882Il an den D-Linien 
durch Thollon und Gouy [Paris C. R. 95 (1882), p. 555; 96 (1883), p. 371] — erprobt. 
Auch experimentell ist der Nachweis der Richtigkeit des Prinzips für Lichtwellen 
erbracht durch Versuche von Belopolsky [Astr. Nachr. 137 (1895), p. 33; Astroph. 
Journ. 13 (1901), p. 15] und Galitzin und Wilip [Astroph. Journ. 26 (1907), p. 49] mit 
rasch rotierenden den Lichtstrahl mehrmals reflektierenden und dadurch die Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit merklich ändernden Spiegeln, sowie durch Fabry und 
Buisson [Paris ©. R. 158 (1914), p. 1498] mit Hilfe einer beleuchteten, rasch rotie- 
renden und in einer gegen die Ebene der Rotation nur wenig geneigten Rich- 
tung beobachteten reflektierenden Scheibe und Bestimmung der Wellenlänge der 
von den beiden Enden eines Durchmessers der Scheibe, die eine relative Ge- 
schwindigkeit von 200 m/sec hatten, ausgesendeten Lichtstrahlen. 





244 VIa, 23. 4. Kobold. Stellarastronomie. 


6. Das Spektrum. Nach ihrer Farbe zerfallen die Sterne in drei 
Gruppen, die weißen, die gelblichen und die rötlichen Sterne. Die 
charakteristischen Merkmale des Spektrums dieser Gruppen sind schon 
von Fraunhofer*) erkannt, strenger umschrieben von Secchi®), der 
unter Hinzufügung einer vierten, nur wenig zahlreichen und nur 
schwache Sterne enthaltenden Gruppe, der tiefroten Sterne, vier Haupt- 
sterntypen unterschied: 

Typus I. Weiße Siriussterne 
„ II. Gelbe Sonnensterne 
„ Ill. Rötliche Sterne 
„. IV. Tiefrote Sterne. 
Durch Pickering wurde noch hinzugefügt: 
Typus V. Sterne mit hellen Linien. 


Die Einführung der Photographie ließ jedoch noch feinere Unter- 
scheidungsmerkmale in den Spektren erkennen. Jetzt ist die gebräuch- 
lichste Klassifikation die des Draper-Katalogs. Die Klassen werden 
durch Buchstaben bezeichnet. Beginnend mit den Sternen, die ein 
Gasspektrum mit hellen Linien zeigen und die Klasse O (Wolf-Rayet- 
Sterne) bilden, ist die Reihenfolge der Klassen: 

B = ÖOrionsterne oder Heliumsterne nach den dem Spektrum das Ge- 
präge gebenden starken Heliumlinien; 

A = Siriussterne mit sehr intensiven Wasserstofflinien; 

F = Procyonsterne, Wasserstofflinien weniger auffallend, daneben 
sind die Linien des Kalzium sehr kräftig, Übergang von den 
weißen zu den gelben Sternen; 

@ — Sonnentypus, neben den sehr zahlreichen metallischen Linien 
treten die des Wasserstoffs nicht mehr besonders hervor; 

K = Übergangstypus von den gelben zu den roten Sternen, die 
Wasserstofflinien treten immer mehr zurück und die Kalzium- 
linien überwiegen mehr und mehr, die Absorption nimmt be- 
sonders im violetten Teil zu; 

M = Blau und Violett ist sehr schwach, breite Absorptionsbanden 
mit gegen die violette Kante wachsender Intensität; 

N = größte Intensität der breiten Absorptionsbanden an der roten 
Kante. | 

Eine Übergangsklasse R ist noch zwischen G und N einge- 
schaltet, die Sterne enthält auf einer Zwischenstufe zwischen diesen 
beiden Typen, ebenso wie K eine Zwischenstufe zwischen @ und M 


4) J. Fraunhofer, Gesammelte Schriften, München 1888, p. 143. 
5) Astr. Nachr. 73 (1869), p. 129. 


1. Die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse. 245 


ist. Eine dritte Abzweigung, charakterisiert durch das Auftreten von 
Absorptionsbanden neben Absorptions- und Emissionslinien, hat die 
Bezeichnung $ erhalten. Einzelne eigentümliche, in die beschriebenen 
Typen nicht einzureihende Spektren, sind unter Q vereinigt und mit 
P sind die Spektren der planetarischen Nebel bezeichnet. 

Kleinere Variationen werden im Typus O durch die Unter- 
abteilungen Oa, Ob, Oc, Od, Oe und beim Typus M durch Ma, Mb, 
Me, Md unterschieden, und die allmähliche Entwicklung der charak- 
teristischen Merkmale in den einzelnen Klassen wird durch 10 Stufen 
angedeutet. Es bezeichnet z. B. FO das reine F'-Spektrum, F1@ 
(kürzer F1 geschrieben) ein F-Spektrum, in dem die Eigentümlich- 
keiten des G@-Spektrums schon in sehr geringem Grade angedeutet 
sind, während F5@G, oder F5, ein Spektrum bezeichnet, das in der 
Mitte zwischen dem reinen F- und dem reinen G@-Spektrum steht. 
Ein der Bezeichnung von Klasse und Unterabteilung hinzugefügtes p, 
z.B. AOp, zeigt kleinere Eigentümlichkeiten im Spektrum an, und in 
gleicher Weise gebraucht bezeichnet s scharfe, n verwaschene (neblige) 
Linien. 

Die in dem Spektrum zum Ausdruck kommende Verschiedenheit 
des Lichtes der Sterne gibt sich auch kund in einer Verschiedenheit 
der Einwirkung des Lichtes der Sterne von verschiedenem T'ypus auf die 
Netzhaut und auf die photographische Platte. Es ist daher der Unter- 
schied der visuellen und der photographischen scheinbaren Helligkeit 
eines und desselben Sternes in verschiedenen Spektralklassen verschie- 
den. Die Differenz der photographischen und der visuellen Größe, im 
Sinne photographisch— visuell, wird als Farbenindex bezeichnet. Die 
photographische Größenskala ist gegen die visuelle festgelegt durch 
die Festsetzung, daß beide für die Sterne vom Typus AO bei der 
Helligkeit 6,0% übereinstimmen sollen. Die durch den Farbenindex 
vermittelte Beziehung zwischen den beiden Skalen ist dann folgende: 


Typus 50 55 AO A5 FO F5 
Farbenindex — 0,24” — 0,12” 0,00” + 0,14” + 0,28” + 0,42” 
Typus GO @5 KO K5 M 


Farbenindex + 0,56” +0,78" +1,00” +1,18” +1,35”. 

Statt einer Beschreibung der Farbentönung, in der ein Stern dem 
Auge erscheint, hat man jetzt gleichfalls eine Farbenskala eingeführt. 
Die gebräuchlichste ist die Osthoffsche®), die von 0° bis 9° geht. Es be 
zeichnet 0° Reinweiß, 4° Reingelb, 7° Orange (Gelb und Rot zu glei- 
chen Teilen), 9 Rot. Da das Auge bei schwachen Sternen die Fär- 


6) Astr. Nachr. 192 (1912), p. 85. 


246 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


bung nicht festzustellen vermag, ersetzt man zweckmäßig die Bestim- 
mung des Farbenindex durch die Bestimmung der Wellenlänge des- 
jenigen Lichtes, das im Stern von der größten Wirksamkeit ist, der 
sogenannten Effektiven Wellenlänge, durch Abstandsmessung der durch 
geeignete Gitter erzeugten Beugungsbilder. 


2. Die mittelbaren Beobachtungsergebnisse. Mittelbar führen 
die Beobachtungen zu folgenden Daten: 

1. Der Ort im Raume. Aus dem scheinbaren Ort und der Ent- 
fernung bestimmen sich die rechtwinkligen Koordinaten 


z=00080c0s0d, Yy=osin«cosd, 2=osind, 


die den wahren Ort des Sternes relativ zur Sonne in bezug auf ein 
rechtwinkliges Koordinatensystem mit der Grundebene des Äquators 
und einer auf den Frühlingspunkt zielenden X-Achse bestimmen. Für 
die Zwecke der Stellarastronomie ist es oft vorteilhafter, an die Stelle 
von Rektaszension und Deklination die Länge und Breite in bezug 
auf die Ebene der Milchstraße als Grundebene zu setzen. Die galaktische 
Länge wird vom aufsteigenden Knoten der Milchstraße auf dem Äqua- 
tor aus gezählt im Sinne der wachsenden Rektaszension. 

2. Verteilung im Raume. Sie folgt durch Abzählung aus den 
räumlichen Koordinaten. Mathematisch wird sie ausgedrückt durch 
zwei Funktionen, die Häufigkeitsfunktion der Leuchtkraft :, die durch 
p(i) bezeichnet wird und die Verteilung der Leuchtkräfte auf die 
Gesamtheit der Sterne angibt, und die Dichtefunktion D(e), die die 
Zahl der in der Raumeinheit enthaltenen Sterne in der Entfernung o 
von der Sonne angibt. 

3. Totalbewegung. Sie wird uns bekannt, wenn uns die beiden 
Komponenten der Bewegung, Eigenbewegung und Radialbewegung, und 
gleichzeitig die Entfernung gegeben sind. Sind A«, Ad die jähr- 
lichen durch die EB. bewirkten Änderungen der Rektaszension und 
Deklination, u der Betrag der Eigenbewegung, p ihr Positionswinkel, 
x die Parallaxe des Sterns, Ao seine sekundliche Radialbewegung in 
Kilometern ausgedrückt und v, seine lineare Bewegung in der Zeit- 
sekunde relativ zur Sonne, und ist ferner k der Faktor zur Zurück- 
führung der jährlichen in Bogenmaß ausgedrückten Eigenbewegung 
auf lineares Maß: 





149 500 000 
v- 365,256 - 24:60:60 4,187, 


so Ist 


(2) 


using =Aucosd u” cosp = Ad 
i w” 
u km/see—=hk—_ ve? = uw + (Ao). 


2, Die mittelbaren Beobachtungsergebnisse. » 


4. Leuchtkraft. Die absolute Helligkeit oder die Leuchtkraft 7 
eines Sternes ist seine Helligkeit in der Einheit der Entfernung, sie 


folgt aus der scheinbaren Helligkeit A durch = c n - Die Konstante c 


bestimmen wir so, daß die Leuchtkraft eines Sternes der scheinbaren 
Helligkeit 1, also der Größe 0, in der Entfernung 1 gleich 1 wird, 


dann wird einfach h = » Die Größe, in der ein Stern in der Ent- 


fernung 1 erscheinen würde, nennen wir seine absolute Größe M. Es 
ist dann log 7 = — 0,4M. Die scheinbare Größe der Sonne in der 
wirklichen, der astronomischen Einheit der Entfernungen entsprechen- 
den Entfernung ist = — 26,7”, in der Entfernung einer Sternweite 
wäre die Größe der Sonne = — 0,15”, also logho,-1, = 0,052 oder 
han = Ho = 1,13. Die Leuchtkraft der Sonne stellt also nahezu 
die Einheit dar, nach der wir die Leuchtkräfte messen. Zwischen der 
scheinbaren Größe, der Entfernung und der Leuchtkraft bestehen die 
Beziehungen 
m—=Öloge —?logH, loge = 02m-+ #10gH, 

8) | M=m—5lge=m-+5logr. 

5. Masse, Dichte, Größe, Temperatur. Über Masse- und Dichte- 
verhältnisse der Sterne haben wir Kenntnis erlangt durch das Studium 
der Doppelsternsysteme. Die visuellen Doppelsternsysteme liefern uns 
aus der Umlaufszeit durch das dritte Keplersche Gesetz die Kenntnis 
der Gesamtmasse des Systems und, wenn wir die Lage des Schwer- 
punktes aus seiner Bewegung durch Anschluß an benachbarte an der 
Bahnbewegung des Systems nicht teilnehmende Sterne kennen, auch die 
Kenntnis der Einzelmassen. Bei den spektroskopischen Doppelsternen 


kennen wir durch die Bewegungsgesetze sofort Sa Siena ER (i = Nei- 
(m, + m,) 
gung der Bahnebene gegen den Visionsradius). Ist das Spektrum bei- 
der Komponenten meßbar, so kennen wir m, sin?‘ und m, sin®i. Es 
sind uns also stets Minimalwerte der Masse gegeben. Bei den Be- 
deckungsveränderlichen aber lernen wir m, und m, selbst kennen, 
außerdem aber auch die Radien der Sterne und demnach auch die 
Dichten. Nähere Ausführungen hierüber finden sich in dem Artikel: 
Bahnbestimmung der Doppelsterne, Encykl. VI 2, 11 (Hepperger). Zu 
weiteren Aufschlüssen über die Größen der Sterne gelangen wir auf 
photometrischem Wege. Ist x = die Leuchtkraft des Flächenelements 
einer leuchtenden Sternscheibe vom Radius R, dann ist die Gesamt- 
leuchtkraft des Sterns H = konst. x R? und seine scheinbare Helligkeit 


h, — konst. & 


% 
eo? 





- Führt man als Vergleichsobjekt die Sonne ein, deren 


248 . VI2, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


scheinbare Helligkeit in der Einheit der Entfernung = 1,13 ist, so 
besteht die Beziehung 

ER a eu, van 
(4) log (2) 0,026 — 0,2m — i log >) + log. 

Unter der Voraussetzung der Gleichheit der Leuchtkraft des Flächen- 
elementes bei allen Gestirnen (x — x») gibt diese Gleichung die „äqui- 
valenten Radien der Gestirne“. Die Ermittelung des wahren Wertes 
von # erfordert die Bestimmung der effektiven Temperaturen, d.h. der 
Temperatur des schwarzen Körpers gleicher Strahlungsenergie wie die 
des betreffenden Gestirnes, s. Encykl. VI 2,25 (Guthnick). 


II. Das Beobachtungsmaterial. 


3. Ältere Sternkataloge.’) Als Ausgangspunkt ausreichend ge- 
sicherter Berechnungen dient der aus Bradleys Beobachtungen in 
Greenwich mit den 1750 aufgestellten neuen Instrumenten abgeleitete 
Katalog, dem Bessel®) zu Anfang des vorigen Jahrhunderts die siche- 
ren Grundlagen abgewann, auf denen die neuere praktische Beobach- 
tungskunst sich aufbaut, und der im letzten Viertel des vorigen Jahr- 
hunderts von Auwers?) durch Verbindung mit ihm gleichwertigen 
neueren Katalogen zu einer weiteren Sicherung und Vervollkommnung 
unserer Kenntnis der Sternörter verwertet wurde. Zur weiteren Festi- 
gung dieser Ausgangsepoche von 1750 unterwarf Auwers auch die 
von 1743—1753 mit den älteren Instrumenten in Greenwich ange- 
stellten Beobachtungen einer den neuen Grundlagen einer scharfen 
Reduktion gerecht werdenden Bearbeitung.!?) Dem gleichen Zwecke 
war auch eine Bearbeitung der in der Zeit von 1756 bis 1760 von 
Tobias Mayer in Göttingen angestellten Beobachtungen von Stern- 
örtern durch Auwers gewidmet, deren Genauigkeit allerdings hinter 


7) Eine ausführliche Übersicht über die vom Altertum bis in die neuere 
Zeit veröffentlichten Sternkataloge gibt E. B. Knobel, The chronology of star 
catalogues, London R. Astr. Soc. Mem. 43 (1877). Die neuzeitliche Literatur ist 
zusammengestellt in F. Ristenpart, Fehlerverzeichnis zu den Sternkatalogen des 
18. und 19. Jahrhunderts, Astr. Nachr. Erg.-Heft 16 (1909), und Geschichte des 
Fixsternhimmels herausgegeben von der preußischen Akad. d. Wiss. Abt. 1, Bd. 1, 
Karlsruhe 1922. Bezüglich Sternkataloge vgl. auch Encykl. VI», 2 (F\. Cohn), 
Nr. 4 u. 8. 

8) F. W. Bessel, Fundamenta Astronomiae pro anno 1755 deducta ex obser- 
vationibus viri incomparabilis J. Bradley, Königsberg 1818. 

9) A. Auwers, Neue Reduktion der Bradleyschen Beobachtungen, 3 Bde., 
St. Petersburg 1882, 1883, 1903. 

10) A. Auwers, Bearbeitung der Bradleyschen Beobachtungen an den alten 
Meridianinstrumenten der Greenwicher Sternwarte, 3 Bde., Leipzig 1912, 1913, 1914. 


3. Ältere Sternkataloge. 4. Fundamentalkataloge. 249 


der von Bradley erzielten erheblich zurückbleibt. Mit der weiteren Ver- 
vollkommnung des zur Festlegung der Sternörter dienenden Meridian- 
kreises und der Beobachtungs- und Reduktionsmethoden!!) wuchs auch 
die Zahl der sich der Aufgabe der Bestimmung der Örter der Sterne 
widmenden Sternwarten. 

Als eine zweite mit einem allgemeinen großen Aufschwung der 
beobachtenden Astronomie verbundene Hauptepoche ist der Anfang 
des 19. Jahrhunderts zu betrachten. Sie ist besonders gekennzeichnet 
durch eine außerordentliche Erweiterung unserer Kenntnisse durch 
Ausdehnung der Beobachtungen auf die schwächeren Sterne. Das 
Piazzische Sternverzeichnis!?), das die Positionen von 7646 Sternen 
enthält, und die Zonenbeobachtungen Lalandes'?) und Bessels'*), die 
für die Mehrzahl der schwächeren Sterne bis 9" des nördlichen Him- 
mels einen sicheren Ausgangsort bestimmen, sind die Hauptvertreter 
dieser Epoche. 

Als dritte Hauptepoche ist dann das Jahr 1875 zu betrachten, 
als Epoche des Katalogs der Astronomischen Gesellschaft, der ent- 
standen ist durch Zusammenschluß einer Reihe von Sternwarten 
Europas und Nordamerikas und sich die Beobachtung der Sterne bis 
zur 9. Größe des nördlichen Himmels von —+ 80° bis — 2° Deklination 
nach einem gemeinsamen Plane zur Aufgabe stellte Der Katalog 
wurde später bis — 23° Deklination in gleicher Weise fortgeführt. 
Diese zweite Abteilung ist auf die Epoche 1900 reduziert.) 

Nach der Aufgabe, deren Lösung in erster Linie der Bearbeitung 
zugrunde lag, zerfallen die Kataloge in verschiedene Kategorien. 


4. Fundamentalkataloge. Die Festlegung von Punkten an der 
Sphäre geht aus von einer Anzahl ausgewählter Sterne, deren Ko- 
ordinaten mit möglichst großer Schärfe bestimmt werden durch An- 


11) Vgl. die Zusammenstellung der mittleren Beobachtungsfehler, Encykl. 
VI», 5 (F. Cohn), p. 272. 

12) @. Piazzi, Praecipuarum stellarum inerrantium positiones mediae ineunte 
saeculo XIX, Palermo 1814. 

13) J. de Lalande, Histoire celeste francaise, Paris An IX [1801]. Die 
Beobachtungen sind zu einem 1847 von der Brit. Assoc. for tne Advancement 
of Science herausgegebenen Katalog verarbeitet. Neue Reduktionstafeln von 
v. Asten in Astr. Ges. Vjs. 3, Suppl. (1868), vgl. auch E. Weiß, Ann. d. Wiener 
Sternwarte 5 (1887), p. 124. 

14) Königsberg Beob. 7.—17. Abt. 1822—1835; zu zwei Katalogen verarbeitet 
von M. Weisse: Zone — 15° bis + 15° Dekl. (1846), Zone + 15° bis + 45° (1863). 
Neue Reduktionstafeln von E. Luther in Königsberg Beob. Abt. 37, (1886). 

15) Katalog d. Astr. Ges. 1. Abt. + 80° bis — 2° Dekl. für 1875, 1.—15. Stück, 
Leipzig 1890—1910. 2. Abt. — 2° bis — 23° Dekl. für 1900; 1.—4. Stück (bis 
— 18° reichend), Leipzig 1904—1912. Zone — 18° bis — 23° (Algier), Paris 1924. 


250 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


schluß untereinander und durch Beziehung des ganzen Systems auf 
die Sonne. Den ersten solchen Fundamentalkatalog stellte Maskelyne"®) 
auf. Die von ihm sorgfältig ausgewählten 36 Hauptsterne bilden das 
feste Gerüst für alle späteren Kataloge. Bessel leitete aus Königs- 
berger Beobachtungen die Orter dieser Sterne für zwei Epochen 1815 
und 1825 ab, verband diese mit den Positionen, die er aus den Bradley- 
schen Beobachtungen bestimmt hatte, und gab in den Tabulae Regio- 
montanae!”) bequeme Hilfsmittel zur Berechnung ihres scheinbaren 
Ortes für jeden 10. Tag des Jahrhunderts 1750—1850. Wolfers'?) er- 
weiterte die Zahl der Fundamentalsterne neben den beiden Polsternen 
« und Ö Ursae min., die schon .Bessel hinzugenommen hatte, noch um 
9 und leitete für sie verbesserte Örter ab, indem er durch Vergleichen 
der aus 7 neueren Katalogen entnommenen Positionen der Maskelyne- 
schen Fundamentalsterne mit den Positionen der Tabulae Regiomon- 
tanae die Reduktion dieser Kataloge auf ein gemeinsames System 
und die systematischen Reduktionen der einzelnen Kataloge auf dieses 
System bestimmte. Als dann die Astronomische Gesellschaft die Neu- 
bestimmung der Sterne bis zur 9. Größe des nördlichen Himmels unter- 
nahm, wurde die Aufstellung eines eine hinreichende Anzahl möglichst 
gleichmäßig über den Himmel verteilter Fundamentalsterne erforder- 
lich, um durch Anschluß der einzelnen Deklinationszonen an dieselben 
ein einheitliches System für den ganzen Katalog zu gewährleisten. 
Auwers benutzte bei der Aufstellung dieses Katalogs 336 Sterne der 
Liste von 374 Hauptsternen der Sternwarte Pulkowa und fügte noch 
203 Zusatzsterne hinzu. Die Bewegungen der Sterne leitete Auwers 
ab aus der Verbindung des Ortes für 1755 nach Bradley mit einem 
Orte für 1865 nach neueren Beobachtungen gleichfalls in Greenwich. 
Dieser Katalog von 539 Sternen'®) (A.G.C.) wurde später zur Fort- 








16) N. Maskelyne, Tables for computing the apparent places of the fixed 
stars, London 1774. In dieser ersten Form enthielt der Katalog nur 34 Sterne. 
Die endgültige Form erhielt er in Greenwich Observ. 1802. 

17) F. W. Bessel, Tabulae Regiomontanae reductionum observationum astro- 
nomicarum ab anno 1750 usque ad annum 1850, Königsberg 1830. Die Rekt- 
aszensionen der Tab. Reg. beruhen auf der Verbindung der Bradleyschen Positio- 
nen (8) mit den Positionen des zweiten Besselschen Fundamentalkatalogs für 
1825 [Astr. Nachr. 4 (1825), p. 97], die Deklinationen auf den durch Königs- 
berger Beobachtungen für 1820 bestimmten Örtern [Königsberg Beob. 7. Abt. 
(1822), p. XXXII] und den durch Vergleichung mit den Örtern für 1755 abge- 
leiteten jährlichen Änderungen. 

18) J. Wolfers, Tabulae reduetionum obseryationum astronomicarum, Ber- 
lin 1858. 

19) A. Auwers, Fundamentalkatalog für die Zonenbeobachtungen am nörd- 
lichen Himmel, Astr. Ges. Publ. 14, Leipzig 1879. 


4, Fundamentalkataloge. 251 


setzung der Zonen bis — 23° Deklination um 83 Sterne?) und endlich 
für den ganzen Südhimmel um 480 Sterne?!) erweitert. Mit dem vor- 
läufigen Katalog wurden sämtliche aus der Zeit von 1755 bis Anfang 
des 20. Jahrhunderts vorliegenden Beobachtungsreihen verglichen, die 
systematische Reduktion auf das System des Katalogs??) und die 
relativen Gewichte??) ermittelt und unter Berücksichtigung derselben 
die endgültigen Positionen der einzelnen Sterne im System des Kata- 
logs und die Beziehung des vorläufigen Systems des Katalogs zu einem 
zwischen allen einzelnen Systemen die Mitte haltenden bestimmt. **) 
Durch Übergang auf dieses wahrscheinlichste System und Berücksich- 
tigung der von Newcomb*) bestimmten Korrektion des Äquinoktiums 
des vorläufigen Systems entstand dann das endgültige System, das 
jetzt in einer Auswahl von 905 Sternen nebst 20 Polsternen von 
J. Peters bearbeitet als Grundlage®®) der täglichen Sternephemeriden 
des Berliner Jahrbuchs (N.F.K.) dient. 

Nach gleichen Prinzipien arbeitete auch Neweomb, indem er zu- 
nächst für 29 der Maskelyneschen Fundamentalsterne das beste vor- 
handene Material zur Ableitung von Korrektionen für die Örter der 
Tabulae Regiomontanae ausglich.?’) Das so entstandene Rektaszensions- 
system bildete den Ausgangspunkt aller in gleicher Richtung liegen- 
den Arbeiten jener Periode Für seine Arbeiten in der Planeten- und 
Mondtheorie stellte Newcomb später einen Fundamentalkatalog auf 
unter besonderer Berücksichtigung der Zodiakalsterne.??) Newcomb 
wurde dann 1896 durch die Pariser internationale Fundamentalstern- 
Konferenz zur Aufstellung eines provisorischen Katalogs als Grund- 
lage des geplanten internationalen Fundamentalkatalogs beauftragt. 
Diese Arbeit wurde im Nautical-Almanac-Office in Washington aus- 
geführt und führte zur Erstellung eines Katalogs von 1596 Sternen.) 


20) A. Auwers, Mittlere Örter von 83 Sternen für 1875,0, Astr. Ges. Publ. 17, 
Leipzig 1883. 

21) A. Auwers, Fundamentalkatalog für Zonenbeobachtungen am Südhimmel 
und südlicher Polarkatalog für die Epoche 1900, Astr. Nachr. 143 (1897), p. 361. 

22) Astr. Nachr. 134 (1894), p. 33; 143 (1897), p. 65; 145 (1898), p. 101: 
162 (1903), p. 357. 

23) Astr. Nachr. 151 (1900), p. 225; 162 (1903), p. 357. 

24) Astr. Nachr. 164 (1904), p. 225. 

25) Washington Astr. Papers 8 II (1898), p. 156. 

26) Berliner Rechen-Inst. Veröff. Nr. 33 (1907). 

27) 5. Newcomb, On the right ascensions of the equatorial fundamental stars, 
Washington Obs. 1870, App. III (1872). 

28) Catalogue of 1098 standard clock and zodiacal stars, Washington Astr. 
Papers 1 (1830). 


29) Catalogue of fundamental stars reduced to an absolute system, Washington 
Astr. Papers 8 II (1898). 


252 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Eine dritte Bearbeitung führte Z. Boss aus. Er schuf zunächst 
für Gradmessungsarbeiten in einem 500 Sterne enthaltenden Katalog °®) 
ein eigenes Deklinationssystem und fügte später 179 Sterne südlich 
von — 20° Deklination hinzu.°!) Als Ausgangspunkt für die Herstel- 
lung eines großen, den ganzen Himmel vom Nord- bis Südpol um- 
fassenden Generalkatalogs für das Studium der Sternbewegungen stellte 
er dann einen 627 Sterne enthaltenden Fundamentalkatalog auf.??) 
Diese Bosssche Ausgleichung unterscheidet sich von der Auwersschen 
in einem wesentlichen Punkte, indem sie nämlich den .Bradley-Katalog 
nicht zu dem fast ausschließlich maßgebenden Ausgangspunkt macht, 
sondern ihn einfach mit dem der Sicherheit seiner Positionen ent- 
sprechenden Gewichte in die Reihe der Kataloge einordnet. 

Für das Studium der Sternbewegungen ist die strenge Reduktion 
der Bestimmungen verschiedener Beobachter auf ein einheitliches, von 
den Fehlern des Instrumentes und den persönlichen Fehlern des Be- 
obachters befreites System von größter Wichtigkeit, da die Bewe- 
gungen und diese Fehler Größen gleicher Ordnung sind, vgl. Encykl. 
VI2 (F.Cohn), p.249ff. Die Beziehung des Auwersschen und des 
bossschen Fundamentalsystems zueinander ist von B. Boss im Astron. 
Journ. 26 (1910), p. 126 festgelegt. Die systematischen Reduktionen auf 
das Auwerssche System sind zusammengestellt in Astr. Nachr. Erg.heft 
7 (1904). Weitere Reduktionstabellen auf Auwers gibt H. Batter- 
mann in Beob. Ergebn. der Sternw. Berlin, Nr. 12 (Berlin 1909). 
Für das Bosssche System dienen die Tafeln im Anhang III des P.G.C. 
(vgl. Note 42). Eine Erweiterung derselben durch Einbeziehung der 
späteren Sternkataloge gab A.J. Roy (1921).°) 


d. Kataloge der einzelnen Sternwarten. Für die bei weitem über- 
wiegende Mehrzahl der Beobachtungsreihen am Meridiankreise bildet 
das in den Fundamentalkatalogen niedergelegte Ergebnis sehr umfang- 
reicher Untersuchungen etwas fest gegebenes, sie bedienen sich der in 
diesen Systemen festgelegten ausgezeichneten Punkte am Himmel als 
unveränderlicher Normalpunkte. Natürlich ergeben sie auch wieder 
Material für eine spätere Verbesserung der in den Fundamentalkata- 
logen angenommenen relativen Lage dieser Punkte. Die Zahl dieser 
Beobachtungsreihen ist sehr groß. Knobel”) zählt schon Januar 1876 
527 Sternkataloge auf. Dabei sind aber viele Verzeichnisse mit- 


30) Report of the Northern Boundary Commission, Washington 1879. 

31) Astron. Journ. 19 (1898), p. 121. 

32) Astron.Journ. 23 (1903), p. 17, auch als besondere Publikation: Catalogue 
of 627 Principal Stars erschienen. 

33) Systematie corrections and weights of Catalogues (1921). 


5. Kataloge der einzelnen Sternwarten. 6. Photographische Sternkataloge. 253 


genommen, die nur aus anderen Quellen zusammengetragen sind, oder 
sich auf besondere Objekte, wie Doppelsterne, Sternhaufen, Nebel, be- 
ziehen. Ristenpart*) führt 1899 in einer Übersicht selbständiger, 
stimmfähiger Sternkataloge 313 auf. Es handelt sich dabei um ein 
nach Umfang, wie Inhalt und Anlage sehr ungleichförmiges Material. 
Während bei einzelnen Katalogen ein Plan, der zur Auswahl der be- 
obachteten Objekte geführt hat, nicht erkennbar ist, ist er bei ande- 
ren klar ausgesprochen. Zu nennen wären in dieser Beziehung vor 
allem die Zonenkataloge, die entstanden sind in der Weise, daß der 
Beobachter bei nur innerhalb enger Grenzen in Deklination bewegtem 
Instrumente alle Sterne beobachtete, die das Gesichtsfeld passierten. 
Solche Kataloge sind von Lalande, Bessel, Argelander, Gould und 
Thome hergestellt. Das wichtigste Unternehmen dieser Art ist der 
Katalog der Astronomischen Gesellschaft'?), der für 5° breite Zonen 
die Positionen aller Sterne bis 9. Größe von 4 80° bis — 23° De- 
klination gibt. Nach gleichen Gesichtspunkten werden auch die Sterne 
des Südhimmels auf den Sternwarten in Cordoba®®) und La Plata°®) 
beobachtet. Die Zahl der beobachteten Sterne beträgt jetzt etwa 
180000. Zur Sicherung der Verbindung der einzelnen Reihen des 
nördlichen Himmels untereinander und mit dem Fundamentalsystem 
dient der von Küstner in Bonn in völlig einheitlicher Weise und im 
strengen Anschluß an den Auwersschen Fundamentalkatalog beobach- 
tete Katalog von 10663 Sternen.?”) 


6. Photographische Sternkataloge. Die Festlegung der Örter 
aller Sterne des Himmels bis zur 11. Größe auf photographischem 
Wege ist das Ziel eines anderen internationalen Unternehmens. Der 
Himmel ist in 18 Deklinationszonen etwa gleichen Areals geteilt. 
Die einzelnen Zonen sind von verschiedenen Sternwarten zur Beobach- 
tung übernommen. Es werden mit gleichartigen Instrumenten Auf- 
nahmen, die ein Areal von 2° im Quadrat bedecken, gemacht. Die 
Aufnahmen bedecken den Himmel doppelt, so daß der Punkt, in dem 
vier Platten der ersten Aufnahme zusammenstoßen, die Mitte einer 
Platte der zweiten Aufnahme ist. Jeder Stern kommt zweimal vor. 
Die Platten werden nach rechtwinkligen Koordinaten vermessen®) und 


34) Valentiner Handwörterbuch, Artikel „Sternkataloge und Sternkarten“. 

35) Cordoba Resultados, Vol. 22, 23, 24 (1913, 1914, 1925),. Zone — 22% 
bis — 37°, Fortsetzung bis — 52° in Arbeit. 

36) La Plata Publicaciones 5 (1919), Zone — 52° bis — 57°; Zone — 57° bis 
— 62° vollendet. 

37) Bonn Sternw. Veröff. 10 (1908). 

38) Über Ausführung und Genauigkeit dieser Messungen vgl. Eneykl. VIs, 
5 (F. Cohn), Nr. 4B und Nr. 7. 


254 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


es werden die Hilfsmittel gegeben zur Ableitung der sphärischen Ko- 
ordinaten aus den rechtwinkligen im Anschluß an diejenigen Sterne 
der Platten, deren Koordinaten aus Meridianbeobachtungen bekannt 
sind. Eine nach einheitlichem Plane durch Mitwirkung mehrerer Stern- 
warten durchgeführte Neubestimmung der Koordinaten dieser Anhalt- 
sterne für eine der Zeit der Aufnahme der Platten naheliegende 
Epoche ist mit der Arbeit verbunden. Mehrere der an der Arbeit 
beteiligten Sternwarten geben unmittelbar die sphärischen Koordinaten 
selbst. Erforderlich sind 22000 Platten, die schätzungsweise die Po- 
sitionen von drei bis vier Millionen Sternen liefern werden. Ein 
großer Teil des Materials ist schon zugänglich. ?”) 


7. Sammelkataloge. Wenn das in diesen Katalogen niedergelegte 
Material für die Position eines einzelnen Sternes voll ausgenutzt wer- 
den soll, wäre eine Prüfung aller vorliegenden Kataloge erforderlich. 
Diese Arbeit wird durch verschiedene Sammelwerke geleistet. Be- 
deutendere Werke dieser Art aus neuerer Zeit sind der Astronomical 
Society’s Catalogue*") und der British Association Catalogue (B.A.C.)*) 
von F. Baily, deren letzterer noch jetzt vielfach für Sternbezeichnungen 
benutzt wird. An die Stelle des B.A.C. trat 60 Jahre später der Pre- 
liminary General Catalogue (P.G.C.) von Lewis Boss”), in dem für 
alle Sterne, für die das vorhandene Material ausreichte, die auf Grund 
der vorhin erwähnten Untersuchungen über die systematischen Ab- 
weichungen der verschiedenen Kataloge auf ein einheitliches System 
bezogenen Örter gegeben werden. Die Erweiterung dieses Katalogs 
zu einem etwa 25000 Sterne enthaltenden bis zur 7. Größe reichen- 
den Generalkatalog des ganzen Himmels nach gleichen Gesichtspunkten, 
für die noch ergänzende Beobachtungen erforderlich sind, ist die 
weitere Aufgabe des von der Carnegie Institution unterstützten Unter- 
nehmens. In der Ausführung begriffen ist auch das als „Geschichte 
des Fixsternhimmels“ bezeichnete Sammelwerk der Akademie der 
Wissenschaften in Berlin, das für alle Sterne des Himmels die in 


39) Über den Stand des Unternehmens zu Anfang 1921 wird berichtet in 
London Astr. Soc. Month. Not. 81, p. 327. Die umfangreichen Dokumente und 
Abhandlungen, die in Verbindung mit der Ausführung des Unternehmens stehen, 
sind veröffentlicht in dem Bull. du comit& intern. permanent pour l’ex&cution 
photogr. de la carte du ciel, Paris 1892 ff. 

40) Catalogue of 2881 prineipal fixed stars, red. to Jan. 1 1830, London 1827. 

41) The Catalogue of stars of the Brit. Ass. for the advancement of science, 
red. to Jan. 1 1850, London 1845. Örter von 8377 Sternen nach 32 Quellen mit 
Reduktionskonstanten. 

42) L. Boss, Preliminary General Catalogue of 6188 stars for 1900, Washington 
1910 (im folgenden unter P.G.C. zitiert). 


7. Sammelkataloge. 8. Durchmusterungskataloge. 255 


dem Zeitraum von 1750—1900 angestellten Meridianbeobachtungen 
ohne jede Einschränkung sammeln und auf das Äquinoktium 1875 
reduziert veröffentlichen will.*?) Eine Quellensammlung für alle Sterne 
des Himmels nördlich von — 22° Deklination ist auch auf der Stern- 
warte des Yale College angelegt. 

8. Durehmusterungskataloge. Während in diesen Verzeichnissen 
das Hauptaugenmerk auf die genaue Ortsangabe gelegt ist, tritt in 
anderen die Vollständigkeit bis zu einer bestimmten Grenze mehr in 
den Vordergrund. Argelanders Uranometria Nova (Berlin 1843) und 
Heis’ Atlas Coelestis Novus (Köln 1872) sind Sternverzeichnisse bei- 
gefügt, die alle im mittleren Europa mit freiem Auge sichtbaren Sterne 
enthalten. Behrmanns Atlas des südlichen gestirnten Himmels, Leipzig 
1874, und Goulds Uranometria Argentina“) bieten das Gleiche für den 
Südhimmel. In der Uranometrie Generale von J. ©. Houzeau“?) ist 
eine einheitliche Bearbeitung für den ganzen Himmel versucht. Viel- 
fach benutzt wird das alle Sterne bis zur 6%. Größe enthaltende Stern- 
verzeichnis von Ambronn (Berlin 1907). Die Sterne bis zur Größe 
6,4” enthält ein von Backhouse zusammengestellter Katalog.“®) 

Eine höhere Stufe der Vollständigkeit wird erreicht in den durch 
Argelander ins Leben gerufenen Durchmusterungsarbeiten, die in Bonn 
und in Cordoba ausgeführt sind. Der erste Teil der Bonner Durch- 
musterung (BD.), im wesentlichen von Krueger und Schönfeld beobach- 
tet”), reicht vom Nordpol bis zu — 2° Deklination und enthält 
324188 Sterne; die Vollständigkeit ist erreicht bis etwa zur Größe 
9,2”, das Verzeichnis enthält aber wenigstens außerhalb der Milch- 
straßengegend noch viele schwächere Sterne bis zu 10”. Die von 
Schönfeld ausgeführte Fortsetzung‘*) erstreckt sich auf den Gürtel 
zwischen — 2° und — 23° der Deklination, in dem 133659 Sterne 
verzeichnet sind. In diesem Teile ist Vollständigkeit bis etwa 9,5” 
erzielt. Die Durchmusterung des Südhimmels auf der Sternwarte in 
Cordoba ist bis — 62° Deklination fertiggestellt.) Mit 573802 Ster- 





43) Geschichte des Fixsternhimmels. Abt. I. Der nördliche Sternhimmel, 
Bd. 1, 2, 3, 4, Karlsruhe (1922—1925). 

44) Cordoba Resultados 1 (1879). 

45) Bruxelles Obs. Ann. Nouv. Ser. 1 (1878). 

46) T. W. Backhouse, Cat. of 9842 stars, Sunderland 1911. 

47) Bonner Sternverzeichnis 1.—3. Sektion. Bonn Sternw. Beob. 3, 4, 5 
(1859, 1861, 1862). Anastatischer Neudruck mit Berichtigungen und Zusätzen 
von F. Küstner (1903). 

48) Bonner Sternverzeichnis 4. Sektion, Bonn Sternw. Beob. 8 (1886). 

49) Cordoba Durchmusterung, Cordoba Resultados 16, 17, 18, 21 (1892, 1894, 
1900, 1914), im folgenden mit (C.D.) bezeichnet. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 17 


256 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


nen reicht sie bis zur 10. Größe herab. Für die Südpolarkalotte inner- 
halb des 62. Grades südlicher Deklination liegt jetzt ein einigermaßen 
gleichartiges Material nur vor in der auf der Kap-Sternwarte aus- 
geführten photographischen Durchmusterung des Südhimmels zwischen 
— 19° und dem Südpol.°®) Sie enthält 454875 Sterne. Davon fallen 
61782 Sterne auf das von den visuellen Durchmusterungen nicht be- 
deekte Areal vom Südpol bis zum Parallel — 62°. Die Expositions- 
zeiten sind so gewählt, daß auf den Platten alle Sterne der Bonner 
Durehmusterung gut meßbar seien. Aber wegen der Verschiedenheit 
der visuellen und der photographischen Größen ist ein Vergleich be- 
züglich der Grenzgrößen nicht möglich. Die photographische Grenz- 
größe der Kap-Durchmusterung wird etwa 9,2” sein. Die Gesamtzahl der 
in diesen Durchmusterungen vorkommenden Sterne des Himmels bis 
zu einer zwischen 9” und 10” liegenden, etwas wechselnden Grenz- 
größe ist rund 1100000. 


Eine weitere Hinausschiebung der Grenzgröße für eine Erforschung 
des Himmels ist nur auf photographischem Wege möglich. Sie wurde 
eingeleitet von Gill durch die eben angeführte Kap-Durchmusterung 
und verwirklicht durch das schon erwähnte von Mouchez organisierte 
internationale Unternehmen der photographischen Himmelskarte, das 
aus den 3—4 Minuten belichteten Platten zu einem Katalog der ge- 
nauen Örter aller Sterne des Himmels bis zu 11” photogr. führen 
und in den für die Karte selbst herzustellenden Platten von 40” Be- 
lichtungszeit das Material liefern wird, bis zu einer weit niedrigeren 
Helligkeitsgrenze vorzudringen. 


9. Kataloge von Sternhaufen und Nebein. Für die Bestimmung 
der Koordinaten der Sternhaufen und der Nebelflecke muß im allge- 
meinen der Weg des differentiellen Anschlusses an benachbarte Sterne 
bekannter Position betreten werden. Außer zwei größeren Reihen von 
Ortsbestimmungen von Nebelflecken am Meridiankreise von Engelmann 
in Leipzig°!) und Becker am Dun-Echt-Observatorium°?) finden sich nur 
von einzelnen besonders hellen oder mit sternförmigem Kern versehenen 
Objekten Örter in Sternkatalogen. Dagegen liegt eine beträchtliche An- 
zahl von Reihen von Ortsbestimmungen von Sternhaufen und Nebel- 
flecken auf differentiellem Wege teils unmittelbar am Fernrohr teils auf 
photographischen Platten vor. Der New General Catalogue of nebulae 


50) The Cape photogr. Durchmusterung, Cape Obs. Ann. 3, 4, 5. (1896, 
1897, 1900), im folgenden mit (C.P.D.) bezeichnet. 

51) Astr. Nachr. 104 (1883), p. 193. 

52) Edinburgh Obs. Ann. 1 (1902). 


E/ Kataloge von Sternhaufen und Nebeln. 10. Sternkarten. 257 


and elusters of stars von Dreyer°?) und zwei Ergänzungen dazu geben 
die vollständigste Sammlung von genäherten Örtern dieser Objekte und 
der Quellen, aus denen sie entnommen sind. In den Annalen der 
Straßburger Sternwarte Band IV (1911) sind die aus der großen Straß- 
burger Reihe von Nebelbeobachtungen gewonnenen genauen Positio- 
nen sowie die Neubearbeitung mehrerer anderer Reihen von Wirtz 
mitgeteilt. Größere Reihen von aus der Vermessung photographischer 
Aufnahmen gewonnenen Positionen von Nebelflecken sind in den Ver- 
öffentlichungen der Sternwarte Heidelberg Bd. 6, Nr. 4; Bd. 7, Nr. 6, 8 
enthalten. 

10. Sternkarten. Der den Katalogisierungsarbeiten zugrunde lie- 
gende Zweck einer vollständigen Aufnahme aller Objekte des Himmels 
bis zu einer bestimmten Grenze hat meistens auch zur Anfertigung 
von Karten geführt, die das Bild des Himmels wiedergeben. Aus 
älterer Zeit ist für uns der Bayersche Himmelsatlas wichtig’*), weil 
die Bezeichnungen der helleren Sterne nach Sternbild und Buchstaben- 
zeichen dieses Atlas beibehalten sind. Im 18. Jahrhundert war der 
von Flamsteed herausgegebene Himmelsatlas°), in dem die einzelnen 
Sterne der Sternbilder nach der Reihenfolge der Rektaszension nu- 
meriert waren, maßgebend. Die Flamsteedschen Nummern der helle- 
ren Sterne sind neben den Bayerschen Buchstaben in Gebrauch ge- 
blieben. In selteneren Fällen sind die Sternbezeichnungen den Himmels- 
atlanten von Hevel?®) und Bode°”) entnommen. Für den Südhimmel 
sind die von Lacaille?®) eingeführten Sternbezeichnungen, soweit sie 
bei Bayer zweifelhaft geblieben waren, nach der in der Uranometria 
Argentina“) von Gould vorgenommenen gründlichen Neubearbeitung 
beibehalten. Für die stellarastronomischen Forschungen der neueren 
Zeit waren Karten erforderlich, die auch hinsichtlich der Helligkeits- 
wiedergabe bei den Sternen größere Genauigkeit erreichten. Dieser 
Forderung entsprechen die Karten zu Argelanders Uranometria Nova, 
zu Heis’ Atlas Novus Coelestis, zu Behrmanns Atlas des südlichen ge- 
stirnten Himmels und Goulds Uranometria Argentina. 

Die Entdeckung der kleinen Planeten rief Bestrebungen wach, 
die Beobachter mit Himmelskarten auszurüsten, die auch die telesko- 

53) London Astr. Soc. Mem. 49 (1888). 

54) J. Bayer, Uranometria, omnium asterismorum continens schemata nova 
methodo delineata, Ulm 1603. 

55) J. Flamsteed, Atlas Coelestis, London 1753. 

56) J. Hevel, Firmamentum Sobiescianum, sive Uranographia totum coelum 
stellatum exhibens, Danzig 1690. 

57) J. Bode, Uranographia sive astrorum descriptio, Berlin 1801. 


58) N. L. de Lacaille, Coelum Australe Stelliferum, Paris 1763. 
. 17* 


258 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


pischen Sterne bis zu einer bestimmten Grenzgröße enthielten. So 
entstand der Hardingsche Sternatlas und die auf Bessels Veranlassung 
von der Berliner Akademie der Wissenschaften veröffentlichten Aka- 
demischen Sternkarten des Himmelsgürtels zwischen + 15° und — 15° 
Deklination, die bis zur Größe 9"—10” reichen und deren letztere 
den Anspruch auf Vollständigkeit bis zu dieser Grenze erheben. Dem 
genannten Zweck besonders angepaßt sind die Ekliptikalkarten, die 
von Hind, von ©. H. F. Peters, von Chacornac und den Gebrüdern 
Henry und von Palisa hergestellt sind. Keine von diesen Unter- 
nehmungen ist vollständig durchgeführt, weil die Fortschritte der 
Astrophotographie auch für die Herstellung von Karten schneller zum 
Ziele führende Wege wiesen. In der Tat sind nach Heidelberger Auf- 
nahmen die für die Verfolgung der kleinen Planeten besonders geeig- 
neten Wolf-Palisa-Karten des Ekliptikalgürtels hergestellt. 

Die Durchmusterungsarbeiten in Bonn, Cordoba und auf der 
Kap-Sternwarte haben auch zur Herstellung von Himmelskarten ge- 
dient. In Argelanders Atlas des nördlichen gestirnten Himmels für 
den Anfang des Jahres 1855 (Bonn 1863, zweite berichtigte Ausgabe 
von Küstner, Bonn 1899) und Schönfelds Bonner Sternkarten, Zweite 
Serie, Atlas der Himmelszone zwischen 1° und 23° südlicher Deklina- 
tion für den Anfang des Jahres 1855 (Bonn 1887) ist die Bonner 
Durchmusterung niedergelegt. Für die Cordobaer Durchmusterung sind 
nur die Karten der Zone — 21° bis — 43° (im Jahre 1894) erschienen. 
Ristenpart hat die Gillsche photographische Durehmusterung des Süd- 
himmels benutzt zur Herstellung der Santiaginer Karten des Süd- 
himmels, die alle Sterne bis zur 10. Größe jener Durchmusterung ent- 
halten. Erschienen sind (1911) die vom Südpol bis — 51° reichen- 
den Karten. 

Von den an der Ausführung des Unternehmens der photographi- 
schen Himmelskarte teilnehmenden Sternwarten führt nur ein Teil 
auch die Reproduktion der 40 Minuten belichteten Platten aus, die 
die Sterne bis etwa 14. photographischer Größe zeigen. Die Stern- 
warte Greenwich hat sämtliche Karten für das ihr zugeteilte Gebiet 
von + 64° bis + 90° veröffentlicht. Teilweise liegen die Karten vor 
von der Zone -+ 54° bis + 65° (Rom Vatikan), + 31° bis + 40° 
(Brüssel), — 3° bis + 25° (vier französische Sternwarten), — 2° bis 
— 10° (San Fernando), — 11° bis — 17° (Tacubaya). 

Vollständige photographische Aufnahmen des gestirnten Himmels 
liegen vor in der Harvard Map und in den Franklin- Adams-Stern- 
karten. Die Harvard-Karte besteht aus zwei Serien von 55 bzw. 60 
Glaskopien nach Aufnahmen, die eine Fläche von 30° im Quadrat be- 


11. Eigenbewegungsverzeichnisse. 259 


decken. Die Zentren der einen Serie liegen bei 0°, + 30°, + 60°, + 90°, 
die der andern bei + 15°, + 45°, + 75° Deklination. Die Aufnahmen 
sind teils in Cambridge, teils in Arequipa gemacht. Sie reichen bis 
zur 11., in einzelnen Fällen bis zur 12. Größe.) Der Maßstab der 
Karte ist 1° etwa gleich 5 mm.) Die Franklin- Adams-Karte besteht 
aus 206 Aufnahmen, die aufeinander übergreifend den ganzen Himmel 
bedecken. Die Zentren der Platten liegen auf den Parallelkreisen 0°, 
15°, 30° usw. Der Maßstab der Karten ist der der Durchmusterungs- 
karten, etwa 1°’—=20 mm. Sie reichen bis zur 16. oder 17. Größe.) 

Die Franklin- Adams-Aufnahmen werden nach Vergrößerung von 
der Sternwarte Johannesburg verwandt zur Anfertigung einer Karte 
des Südhimmels. Jede Karte bedeckt ein Areal von 20” in Rekt- 
aszension und 6° in Deklination. 

Besondere Bedeutung für stellarastronomische Untersuchungen 
werden noch die Kapteynschen Auswahlfelder erlangen.) Es sind 
206 gleichmäßig über den ganzen Himmel verteilte Felder, die zu- 
sammen 400 Quadratgrade am Himmel bedecken und für die aus ge- 
eigneten Aufnahmen die Zahl, die visuelle und photographische Hellig- 
keit, die sphärische und die Radialbewegung sowie die Parallaxe der 
in ihnen enthaltenen Sterne und schließlich die Flächenhelligkeit er- 
mittelt werden soll. Hinzu treten noch 46 Sonderfelder, die in erster 
Linie bestimmt sind, der Erforschung der Struktur der Milchstraße 
zu dienen. . 

11. Eigenbewegungsverzeichnisse. Die Entdeckung, daß die re- 
lative Lage der Fixsterne keine unveränderliche, sondern mit der Zeit 
Änderungen unterworfen sei, verdanken wir Halley. Er wies solche 
Eigenbewegungen [Definition der EB. vgl. Encykl. VI 2, 1 (Anding), 
Nr. 2] an vier der hellsten Sterne des Himmels nach.°) Trotz der 
ihm zur Verfügung stehenden großen Zwischenzeit von 2000 Jahren 
zwischen seiner Zeit und der Zeit des Hipparch konnte er wegen der 
Kngeuauigkeil der Ortsbestimmungen nur außergewöhnlich große Be- 


59) Die Grenzgröße für die einzelnen Aufnahmen wird ermittelt durch Ver- 
gleichung mit Karten engbegrenzter Felder, meist der Umgebung veränderlicher 
Sterne, für die genaue photometrische Messungen der in ihnen vorkommenden 
Sterne vorliegen. Dabei muß die Abhängigkeit der Grenzgröße vom Abstand vom 
Plattenmittelpunkte berücksichtigt werden. 

60) Koordinaten der Plattenmittelpunkte und weitere Einzelheiten über die 
Platten in Astr. Nachr. 162 (1903), p. 281 und 200 (1915), p. 418. 

61) Bericht über die Arbeit in London Astr. Soc. Mem. 60 III (1918). 

62) Vgl. J. CO. Kapteyn, Plan of selected areas, Groningen Lab. Publ. 1906. 

63) E. Halley, On the change of the latitudes of some of the principal fixed 
stars, London Phil. Trans. 6 (1718). 


260 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


wegungen erkennen und den Anstoß geben zu weiterer Erforschung, 
Sicher begründete Eigenbewegungen gab erst Tobias Mayer.) Seit- 
dem bildet die Angabe der Eigenbewegung einen zur Vollständigkeit 
unerläßlichen Teil genauerer Sternkataloge. In größerer Menge leitete 
Bessel Eigenbewegungen der Bradley-Sterne durch Vergleich mit dem 
Piazzischen Katalog für 1800 ab, und Argelanders Catalogus Aboensis 
(1835) setzte sich als Hauptaufgabe die Ermittelung zuverlässiger 
Werte der Eigenbewegungen. So bot schon der British Association 
Catalogue!) ein umfangreiches Material an Bewegungen. Die Bradley- 
schen Sterne wurden noch einmal durch Mädler zum Gegenstand eines 
besonderen Studiums ihrer Bewegungen gemacht‘), und ihre Bewe- 
gungen bildeten in der Neureduktion durch Auwers, abgeleitet aus der 
Vergleichung der Bradleyschen Örter mit neueren Greenwicher Be- 
obachtungen um die Epoche 1863 aus einem Zwischenraum von durch- 
schnittlich 110 Jahren einen wesentlichen Bestandteil der Festlegung 
der Fundamentalsysteme.°) In den Fundamentalkatalogen, am aus- 
giebigsten und am besten verarbeitet zur Zeit wohl im Bossschen 
P.G.C.#), findet man das zuverlässigste Material an Eigenbewegungen. 
Die durch Vergleichung mit älteren Beobachtungen bei der Zusammen- 
stellung neuerer Kataloge abgeleiteten Eigenbewegungen sind in der 
Regel in den Katalogen mit angeführt. Zwei größere, aus der Ver- 
gleichung aller in den verschiedenen vorhandenen Katalogen ange- 
gebenen Positionen jedes einzelnen Sternes hervorgegangene Kataloge 
von Eigenbewegungssternen gab J. Bossert®) heraus. In den Bänden 
der Geschichte des Fixsternhimmels®?) wird das bis zum Ende des 
19. Jahrhunderts angehäufte Material für solche Eigenbewegungs- 
bestimmungen in übersichtlicher Form geordnet dargeboten werden. 
Eine Zusammenstellung aller Sterne der Durchmusterungen, für die 
bislang Eigenbewegungen abgeleitet wurden, ist enthalten in dem 
Eigenbewegungslexikon von Schorr (Hamburg 1923). Es enthält 


64) T. Mayer, De motu fixarum proprio commentatio [1760]. Op. inedita, 
Göttingen (1775). 

65) Dorpat Beob. 14 (1856). 

66) Die Auwersschen Eigenbewegungen der Bradley-Sterne sind zusammen- 
gestellt und bearbeitet von H. Kobold, Halle Nova acta 64, Nr. 5 (1895). In ihre 
Komponenten in bezug auf die Richtung der Sonnenbewegung zerlegt sind sie 
von Kapteyn in Groningen Lab. Publ. 7 (1900) und nach Reduktion auf die 
Newcombsche Präzessionskonstante und Befreiung von den systematischen Fehlern 
der Sternörter der beiden verglichenen Kataloge in Groningen Lab. Publ. 9 (1902) 
angegeben. 

67) Paris Obs. ann., observ. 1888 (1896) und Paris Obs. ann., m&m. 29 (1920); 
letzterer Katalog nach Bosserts Tode von L. Schulhof herausgegeben und erweitert. 


11. Eigenbewegungsverzeichnisse. 261 


21455 Sterne; doch sind die Zonen + 90° bis + 64°, + 32% bis 
—+ 24°, — 40° bis — 52° in dieser Zusammenstellung nicht berück- 
sichtigt, weil für sie vollständige Verzeichnisse der Eigenbewegungen 
vorliegen.) Zieht man diese drei Kataloge hinzu, so verfügt man 
über alle verläßlich bestimmten Eigenbewegungen. 

Eine Liste der Sterne, deren Eigenbewegung mindestens 0,5” ist, 
stellte Bossert 1890 auf.°”) Sie enthält 269 Sterne. Eine ähnliche 
Zusammenstellung von Kobold 1906 '%) umfaßt 307 Sterne, Van 
Maanen‘') zählt 1916 schon 531 und Luyten'?) 1922 749 Sterne 
mit Eigenbewegung über 0,5”. Das Cineinnati-Observatorium hat sich 
die Ableitung der Eigenbewegungen und die Beobachtung von Sternen 
mit merklicher Eigenbewegung zur besonderen Aufgabe gewählt und 
mehrere Verzeichnisse solcher Sterne veröffentlicht.) Eine Zusam- 
menfassung dieser Beobachtungen und die Ableitung der aus der Ver- 
bindung mit den vorhandenen älteren Beobachtungen sich ergebenden 
Eigenbewegung ist im 18. Bande der Publ. of the Cineinnati Obs. 
(Cineinnati 1915—1922) gegeben. Der aufgestellte Katalog enthält 
3164 Sterne. Berücksichtigt sind nur Sterne, die nicht schon im 
Bossschen P.G.C. vorkommen, und nur solche, deren Bewegung 10” 
im Jahrhundert beträgt, und für die eine Zwischenzeit von wenig- 
stens 50 Jahren zur Verfügung steht. Das Eigenbewegungsmaterial 
des Bossschen Katalogs ist von ©. V. L. Charlier in Lund Meddelanden 
(2) Nr. 9 (1913) zu einer in vielen Fällen sehr nützlichen Übersicht 
verarbeitet. Die Sphäre ist in 48 inhaltsgleiche Felder symmetrisch 
zum Äquator geteilt, und für jedes der Felder werden die mittleren 
Bewegungen in RA. und Deklination sowie die Charakteristiken der 
Verteilung, die Dispersion und die Korrelationskoeffizienten gegeben, 
und zwar getrennt für die Sterne heller als 4”, für die Sterne der 4., 
die der 5. Größe und für alle Sterne bis 6,0”. 

Durch eine systematische Neubeobachtung der älteren Kataloge, 
soweit ihnen eine genügende Sicherheit der Örter beigelegt werden 
darf, ist eine besonders große Ausbeute an Eigenbewegungen zu er- 


68) Astrographic Catalogue 1900.0, Greenwich section + 64° to +90°, Vol.4, 
London (1921). Greenwich Catalogue of stars for 1910.0, P. II Zone + 24° to + 32°, 
London (1920). A Catalogue of 8560 Astrographic standard stars betw. decl. —40° 
and — 52° for 1900, London 1906. 

69) J. Bossert, Paris Bull. astr. VII (1890), p. 98. 

70) H. Kobold, Bau des Fixsternsystems, Braunschweig 1906. 

71) Astroph. Journ. 41 (1915), p.187 nebst Verbesserungen und Zusätzen, 
ebenda 43 (1916), p. 248. 

72) Liek Obs. Bull. 11 (1922), p. 1. 

73) Cineinnati Obs. Publ. 13 (1895); 14 (1898); 15 (1905); 19 (1922). 


262 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


warten. Solche Neubeobachtungen sind durchgeführt für die Bradley- 
schen Sterne außer in Greenwich auch in Pulkowa, für die Tobias 
Mayer-Sterne in Gotha, für die Piazzi-Sterne in Cineinnati und auf 
dem Lick-Observatorium, für die Lalande-Sterne zu Paris, für die 
Groombridge-Sterne in Greenwich. Alle Sterne bis zur 9. Größe und 
schwächere, wenn ältere Beobachtungen vorlagen, sind in die Zonen 
der Astronomischen Gesellschaft aufgenommen, so daß bis zu dieser 
Grenze eine gewisse Vollständigkeit unserer Kenntnis der Eigen- 
bewegungen für den Nordhimmel erreicht ist. Für den Südhimmel 
wird durch die Neubeobachtung der Lacaille-Sterne am Kap-Observa- 
torium wegen der Unsicherheit der Ausgangsörter das Gleiche noch 
nicht erreicht werden können. 

Die Bestimmung der Bewegung der Sterne, die unterhalb der den 
Meridiankreisen erreichbaren Helligkeitsgrenze liegen, kann nur auf 
mittelbarem Wege erfolgen. Nach W. Struves Vorgang werden schwache 
Sterne in der Nähe hellerer Sterne an diese angeschlossen und aus 
der relativen Bewegung durch Abzug der bekannten Bewegung des 
hellen Sternes die Bewegung des schwachen abgeleitet.) Statt der 
mikrometrischen Vergleichung am Fernrohr kann man aber auch eine 
photographische setzen. Man mißt zwei zu verschiedenen Zeiten auf- 
genommene Platten der gleichen Gegend aus, oder besser man macht 
auf ein und derselben Platte zu zwei verschiedenen Zeiten Aufnahmen 
der zu untersuchenden Gegend und ermittelt durch mikrometrische 
Ausmessung der beiden Aufnahmen die relative Lage der einzelnen 
Sterne Zweckmäßig erzeugt man in jeder der beiden Epochen zwei 
oder drei Bilder der Sterne nebeneinander auf der Platte zur Erzielung 
größerer Sicherheit des Resultats. Der Vorteil dieser Methode besteht 
darin, daß man gleichzeitig für die Gesamtheit der Sterne der Platten 
deren Bewegungen erhält und daraus die Bewegungen der schwachen 
Sterne relativ zum Mittel der Bewegungen aller auf der Platte vor- 
kommenden Sterne bekannter Bewegung ermitteln kann. Auf diesem 
Wege sind besonders von Kapteyn und seinen Mitarbeitern) Eigen- 
bewegungsbestimmungen ausgeführt. Für die Sterne der Kapteynschen 
Auswahlfelder kommt diese Methode auch zur Verwendung. 

74) Eine 166 Sterne umfassende Liste nach Messungen von W. und O. Struve 
in Poulkova Obs. 10 (1893). Weitere Beobachtungsreihen dieser Art in: Engel- 
hardt Observ. 2 (1890), p. 34; 3 (1895), p. 171; Washburn Obs. Publ. 12, 14 von 
Comstock; Straßburg Ann. 4 (1911), p. 177 von Wirtz; Astr. Nachr. 185 (1910), 
p. 213 von Lau; Washington Carnegie Inst. Publ. 168 (1913) von Burnham. 

75) Kapteyn und de Sitter Groningen Lab. Publ. 19 (1908) (3300 Sterne); 


Kapteyn und Weersma ebenda 25 (1914) (3714 Sterne); Kapteyn und van Rhijn 
ebenda 28 (1918) (2380 Sterne). 


11. Eigenbewegungsverzeichnisse. 263 


Die Vergleichung zweier zu verschiedenen Zeiten mit dem glei- 
ehen Instrument aufgenommenen Platten eines Sternfeldes kann auch 
mit dem Stereokomparator erfolgen. Dabei erkennt man die bewegten 
Sterne durch das räumliche Vortreten ihrer Bilder und mißt die Be- 
wegung relativ zu benachbarten unbewegten Sternen. Solche Messungs- 
reihen sind von Wolf’), Innes’”), Furuhjelm”'®) und von Turner und 
Bellamy'®) ausgeführt. 

Für die Erforschung der Bewegungen der Sterngruppen, Stern- 
haufen und Nebelflecke sind Beobachtungen am Meridiankreise oder 
unmittelbare mikrometrische Vermessung nur in beschränktem Maße 
anwendbar. Die Eigenbewegung der hellen Sterne der Plejadengruppe 
ist aus Meridianbeobachtungen zuverlässig bekannt. Schon von .Bessel 
ist aber eine Vermessung der sämtlichen seinem Heliometer zugäng- 
lichen Sterne des Haufens ausgeführt”®), und durch die Wiederholung 
und Erweiterung dieser Vermessung in späterer Zeit®®) sind die Be- 
wegungen dieser Gruppe sehr sicher bestimmt. Das Hauptaugenmerk 
bei diesen Messungen ist aber gerichtet auf die relativen Bewegungen 
innerhalb der Gruppe und weniger auf die Bewegung der Gruppe als 
Ganzes. 

Die Bestimmung der Eigenbewegung der Sternhaufen und Nebel- 
fleeken muß sich jetzt noch fast ausschließlich stützen auf die Ver- 
gleiehung der aus älteren mikrometrischen Anschlußbeobachtungen 
mit den aus neueren gleichartigen Messungen oder Ausmessungen 
photographischer Platten gewonnenen Positionen. Die früheste Reihe 
genauer Nebelörter ist die von Schultz®') für die Epoche 1865.0. Sie 
ist von Wirtz in einer mit verbesserten Sternörtern ausgeführten Neu- 
bearbeitung mit neueren photographischen und mikrometrischen Posi- 
tionen für die Epoche 1900.0 verglichen®?), und aus den der Zwischen- 
zeit von etwa 40 Jahren entsprechenden Differenzen sind die Bewe- 


76) Heidelberg Sternw. Veröff. 7 (1919), Nr. 10, 1053 Sterne. Weitere Listen 
in den Astr. Nachr. 

77) Johannesburg Union Obs. Circ. 28, 35, 37, 39, 43, 46—49, 55—56, 
58, 59 (1915—1923). 

77a) Acta Soc. Fenn. 48, Nr. 1 (1916). 

78) London Astr. Soc. Month. Not. 69 (1909), p. 57, 491; 71 (1910), p. 45, 582; 
72 (1911), p. 65; 74 (1913), p. 26, 27; 75 (1915), p. 425; 76 (1916), p. 102, 428, 538, 
657; 78 (1918), p. 471, 591. 

79) F. W. Bessel, Astr. Untersuch. I, Nr. 5, Königsberg 1841. 

80) Über das vorhandene Beobachtungsmaterial vgl. F. Hayn, Die Plejaden, 
Leipzig Ges. Wiss. Abhdl. 38, Nr. 6 (1921); auch Astr. Nachr. 209 (1919), p. 355; 
211 (1920), p. 233. 

81) Upsala Nova acta (3) 9 (1874), H. 2. 

82) Astr. Nachr. 203 (1917), p. 197, 293. 


264 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


gungen abgeleitet. Wegen des Einflusses der systematischen Beob- 
achtungsfehler und der Eigenbewegung der Vergleichsterne®®) sind 
diese Bewegungen mit einer erheblichen Unsicherheit behaftet, die erst 
behoben werden wird, wenn photographische Aufnahmen mit größerer 
Epochendifferenz verglichen werden können. In der Tat besteht ein 
erheblicher Widerspruch zwischen den aus dieser Vergleichung ab- 
geleiteten Bewegungen und den für ein paar der Nebel von van Maanen®*) 
aus zur Parallaxenbestimmung benutzten photographischen Aufnahmen 
gewonnenen. 

Systematische Fehler der Eigenbewegungen üben, wie schon Gauß 
(Brief an Ölbers 5. April 1838) hervorhebt, einen sehr bedeutenden 
Einfluß auf die Bestimmung der Bewegung der Sonne im Raume aus, 
weil beide Bewegungen Größen gleicher Ordnung sind. Es bieten 
deshalb die Resultate für die Richtung der Sonnenbewegung, die sich 
bei einer Teilung der Sterne nach der Größe der Eigenbewegung aus 
den verschiedenen Klassen ergeben, ein Kriterium für die Freiheit der 
Eigenbewegungen von systematischen Fehlern. Bis in die neuere Zeit 
ist man aber von falschen Voraussetzungen ausgegangen bezüglich 
des Charakters der Eigenbewegungen, so daß eine Vermischung der 
beiden Fehlerquellen eintrat. In Frage kommen nur systematische 
Fehler der Deklinationen und der Eigenbewegungen in Deklination. 
Eine Untersuchung des Bossschen P.G.C. durch J. ©. Kapteyn®) führte 
zur Ableitung einer Korrektion der jährlichen Bewegungen in Dekli- 
nation im Betrage von + 0,0130” und dieses Resultat ward von 
H. van den Bos®®) durch Vergleichung der Bossschen d-Bewegungen 
mit den von 8. Burnham auf mikrometrischem Wege bestimmten, also 
von den die systematischen Fehler der Deklinationen erzeugenden 
Fehlerquellen unabhängigen Bewegungen bestätigt. W. B. Varnum®") 
findet auf gleichem Wege, indem er in die Bewegungen ein von t 
abhängiges Glied einführt, das aber kein wirklicher Bestandteil der- 
selben sein, sondern nur der allmählichen Anpassung des Fundamental- 
systems an die wahren Verhältnisse Rechnung tragen soll, eine Kor- 
rektion der jährlichen ö-Bewegungen von + 0,0046”. Ein anderer 
Weg führt nach P. J. van Rhijn®) zur Bestimmung der systemati- 
schen Korrektion der d-Bewegungen aus den relativen Eigenbewegungen 





83) Astr. Nachr. 203 (1917), p. 299, 305. 

84) Mt. Wilson Obs. Contrib. Nr. 237 (1922), p. 12. 
85) Bull. Astr. Inst. Netherl. 1 (1922), p. 69. 

86) Bull. Astr. Inst. Netherl. 1 (1922), p. 155. 

87) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 241. 

88) Bull. Astr. Inst. Netherl. 1 (1923), p. 209. 


12. Radialbewegungen. 265 


der helleren Sterne bezüglich der Sterne zweier höherer Größenklassen, 
etwa 10” und 13”. 


12. Radialbewegungen. Die ersten Versuche auf Grund des 
Doppler-Fizeauschen Prinzips, die Bewegungen der Sterne in der Rich- 
tung der Gesichtslinie (Ag) zu ermitteln, wurden von Secchi?”) und 
Huggins”) 1867 unternommen, waren aber erfolglos. Die Wider- 
sprüche in den Einzelwerten Huggins’ waren so groß, daß sie den 
Zweifeln mancher Physiker an der Anwendbarkeit des Prinzips auf 
Liehtwellen selbst neue Nahrung gaben. Weitere 20 Jahre lang blie- 
ben alle Bemühungen in England und Deutschland, auf visuellem Wege 
zuverlässige Resultate zu erlangen, vergeblich. In Greenwich gelang 
es nicht, den mittleren Fehler einer Beobachtung unter + 15 englische 
Meilen, also + 23 km?!) herabzudrücken, ganz abgesehen von großen, 
unbekannten systematischen Fehlern. Die Hilfsmittel waren der Auf- 
gabe nicht gewachsen, da einer Bewegung von 1Okm/see nur eine Ver- 
schiebung der Natriumlinie D im Betrage von 0,02 uu = 0,00000002 mm 
entspricht. Erst 1890 vermochte Keeler mit dem 36”-Refraktor und 
den sonstigen Hilfsmitteln des Lick-Observatoriums auf visuellem Wege 
an drei Sternen Werte zu erhalten, die Vertrauen verdienten. Er 
fand für & Bootis Ag = — 6,8, « Tauri Ao = + 55,2, « Orionis 
Ao= + 15,8 km/sec. Gleichzeitig dehnte er die Beobachtungen 
auch aus auf die Nebelflecken. Für den Örionnebel ergab sich 
Ao = + 17,7 km/sec, und für 13 planetarische Nebel folgten Werte 
zwischen + 48 und — 65 km/see.??) Die weitere Verfolgung dieser 
Arbeiten unterblieb aber, da inzwischen H. ©. Vogel, unterstützt durch 
J. Scheiner, mit Hilfe des von ihm erbauten Spektrographen unter Aus- 
nutzung der großen Fortschritte, die die Astrophotographie seit der 
Erfindung der Trockenplatten (1875) gemacht hatte, die große Über- 
legenheit der photographischen Methode für die Bestimmung der Ao 
praktisch nachgewiesen hatte. 

Die 1892 veröffentlichten mit dem 12”-Refraktor des Potsdamer 
Observatoriums erlangten Werte der Radialgeschwindigkeiten von 
52 Sternen”) beruhten auf Messungen, bei denen der w. F. einer 
Messung nur noch —+ 2,6 km/sec betrug, und es war klar, daß die 
Methode eine noch größere Sicherheit zu erlangen gestattete, wenn 


89) A. Secchi, Die Sterne, Leipzig 1878, p. 199. 

90) London Astr. Soc. Month. Not. 41 (1880), p. 119. 

91) Vgl. H. Homann, Beiträge zur Untersuchung der Sternbewegungen, Diss., 
Berlin 1885. 

92) Lick Obs. Publ. 3 (1894), p. 195, 217. 

93) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 7, T. 1 (1892). 


266 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


ein entsprechend großes Instrument benutzt werden konnte. So ging 
die weitere Ausnutzung des großen Erfolges zunächst auf die über 
größere optische Hilfsmittel verfügenden Institute über. Mitte der 
90° Jahre wandte A. Belopolsky den 30”-Pulkowaer Refraktor mit 
schönem Erfolge zur Messung veränderlicher Radialgeschwindigkeiten 
an, und bei dem von Campbell besonders für die Bestimmung der 
Radialgeschwindigkeiten konstruierten, die Einflüsse der Biegung und 
der Temperaturänderung möglichst unschädlich machenden Spektro- 
graphen in Verbindung mit dem 36” Refraktor der Licksternwarte 
ging der w. F. einer Bestimmung auf + 0,5 km/sec unter günstigen 
Verhältnissen zurück. Durch die spektrographische Bestimmung be- 
kannter Geschwindigkeiten, wie der Rotationsgeschwindigkeit der 
Sonne, der Bewegung der Planeten und besonders durch den Nach- 
weis, daß der mit der Stellung der Erde gegen den Stern sich än- 
dernde Einfluß der Bewegung der Erde in ihrer Bahn, der in günsti- 
gen Fällen auf —+ 30 km/sec sich beläuft, in den gemessenen relativen 
Bewegungen seinem wirklichen genauen Betrage nach zutage tritt, 
wurde die Richtigkeit des Prinzips der Methode und die Freiheit der 
Resultate von erheblichen systematischen Fehlern überzeugend dar- 
getan. Die Hauptschwierigkeit, auf die man stieß, war die ganz un- 
erwartete Feststellung der großen Häufigkeit von Doppel- und mehr- 
fachen Sternsystemen, die so eng sind, daß eine Trennung der Kom- 
ponenten die auflösende Kraft der zur Verfügung stehenden optischen 
Hilfsmittel übersteigt, oder deren eine Komponente nichtleuchtend oder 
so schwach leuchtend ist, daß sie sich weder dem Auge noch der 
photographischen Platte verrät, während ihr Einfluß in der Veränder- 
lichkeit der Bewegung des sichtbaren Sternes sich bemerkbar macht. 
Bei den helleren Sternen ist der Prozentsatz an spektroskopischen 
Doppelsternen zu etwa 30%, zu veranschlagen. Es können daher 
immer erst mehrere Beobachtungen entscheiden, ob veränderliche 
Radialgeschwindigkeit anzunehmen ist. Den w. F. einer einzelnen 
Radialgeschwindigkeitsbestimmung bei einem günstigen Stern vom 
zweiten Typus gibt Plaskett”) zu + 0,5 km/see an bei Anwendung 
eines 3-Prismen-Spektrographen. Der Fehler steigt aber bei den Ster- 
nen der früheren Typen und Anwendung nur eines Prismas auf -- 2km 
und kann bei starker Verwaschenheit der Linien bis + 11 km/see an- 
wachsen. Neben den Messungsfehlern sind offenbar noch physikalische 
Fehlerquellen in den Sternatmosphären vorhanden, die zur Vorsicht 
in der Interpretation der Linienverschiebung als Ausdruck der wirk- 


94) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 230. 


12. Radialbewegungen. 267 


lichen Bewegung des Sterns im Raume zwingen. Frost”) hebt per- 
sönliche Messungsfehler selbst bei einwandfreien Aufnahmen hervor, 
die bei den gleichen Aufnahmen Differenzen von + 1 km/sec erzeugen 
können und bei Anwendung verschiedener Instrumente noch größere 
Beträge annehmen. Im einzelnen wurden die systematischen Differen- 
zen zwischen den Resultaten der vorzüglichsten Quellen für Radial- 
bewegungen der Sterne von Ludendorff”) und Adams’) untersucht. 

Die Verwendung des Objektivprismas zur Bestimmung von Radial- 
geschwindigkeiten kommt in erster Linie für statistische Zwecke in 
Frage. Pickering”) schlug für die Messung von Radialgeschwindig- 
keiten auf solchen Aufnahmen eine Reversion des Prismas und Be- 
nutzung von Sternen der Platte mit bekannter Radialbewegung zur 
Bestimmung der normalen Lage einer bestimmten Linie in den beiden 
Bildern des Spektrums der einzelnen Sterne vor. Die Theorie dieser 
Methode wurde von Schwarzschild?”) entwickelt. Hamy!”) beschreibt 
ein Verfahren zum Aufkopieren eines Vergleichsspektrums auf die 
Platte. Nach einem Vorschlage von Wood!) verwendet man zur Er- 
zeugung einer künstlichen Vergleichsabsorptionslinie bekannter Wellen- 
länge ein Neodymchloridfilter vor dem Objektiv. Diese Methode ge- 
stattet die Bestimmung von Radialgeschwindigkeiten bei Sternen 9. Größe 
bis auf etwa + 10 km/sec genau. !®) 

Das in den Veröffentlichungen der Sternwarten, die an der Arbeit 
der Bestimmung der Radialbewegungen der Sterne beteiligt sind, zer- 
streute Beobachtungsmaterial!®) ist von Voüte in einem Gesamtkataloge 
zusammengetragen.!%) Dieser Katalog enthält die Radialgeschwindig- 
keiten von 2071 Objekten, unter denen sich 148 Nebel und Stern- 
haufen befinden. W. Gyllenberg hat für die 48 Charlierschen Felder 


95) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 377. 

96) Astr. Nachr. 197 (1914), p. 1. 

97) Astroph. Journ. 42 (1915), p. 185. 

98) Astr. Nachr. 142 (1897), p. 105; 171 (1906), p. 137. 

99) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 23, Nr. 69 (1913). 

100) Paris C. R. 158 (1914), p. 81. 

101) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 376. 

102) Astr. Nachr. 184 (1910), p. 201. 

103) Größere Zusammenstellungen sind gegeben vom Lick Observatory in 
Lick Obs. Bull. 6 (1911), p. 101; 7 (1912), p. 19,113; von Küstner in Astroph. Journ. 
27 (1908), p. 301; vom Mt. Wilson Obs., ebenda 42 (1915), p. 172; vom Cape 
Observ. in Cape Obs. Ann. 10, P. 1 (1911), P. 5 (1921); Astroph. Journ. 48 (1918), 
p- 261; 50 (1919), p. 161; vom Dominion Obs. Ottawa in Publ. 4 (1919), p. 331; 
vom Victoria Observ. Vict. Publ. 2, Nr. 1 (1921). 

104) J. Voüte, First Catalogue of Radial Velocities; Natuurkundig Tijdschrift 
voor Ned.-Indi& 80, Nr. 2, Weltevreden 1920. 


268 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


des Himmels unter Benutzung von 1640 Sternen, deren Eigenbewegung 
und Radialbewegung bekannt ist, mittlere Werte dieser Bewegungen 
zusammengestellt in Lund Meddelanden (2) Nr. 13 (1915). 

Über die Radialbewegungen der Gasnebel liegt eine erschöpfende 
Bearbeitung von Oampbell und Moore im Teil IV des der Erforschung 
der Nebel gewidmeten 13. Bandes der Publications of the Lick Ob- 
servatory (1918) vor. Die Untersuchungen erstrecken sich auf 125 
ein Spektrum von hellen Linien besitzende Nebel, von denen 17 der 
Großen, 1 der Kleinen Magellanischen Wolke angehören. 

Mit der Bestimmung der Radialbewegung der Spiralnebel hat 
sich besonders Slipher auf dem Lowell Observatory zu Flagstaff Ariz. 
beschäftigt. Die bis 1914 erzielten Resultate sind in Publ. III der 
American Astr. Society (1918), p. 100, zusammengestellt.1%) Die ge- 
fundenen außerordentlich großen Linienverschiebungen sind durch 
weitere Beobachtungen an derselben Sternwarte sowie am Lick und 
Mount Wilson Observatory bestätigt worden und können zur Zeit 
nicht anders erklärt werden als durch die Annahme, daß sie auf 
Grund des Doppler-Fizeauschen Prinzips der Ausdruck einer Bewegung 
seien. Auch für 16 Kugelsternhaufen sind die Radialbewegungen durch 
Slipher bekannt geworden. '!°®) 


13. Parallaxen. Trigonometrische Methoden. Die Entwicklung 
der Methode der trigonometrischen Parallaxenbestimmung ist schon 
in Eneykl. VI 2, 2 (F. Cohn), Nr. 9e dargestellt mit Nachweis der 
Quellen für die Resultate. Der um die Zeit dieses Berichtes (1905) 
vorliegende Stand der Frage der Fixsternentfernungen wurde auch 
durch Kostinsky'P") einer historisch-kritischen Besprechung unterzogen. 
An hinreichend zuverlässigem Material aus der Zeit, seit durch Halleys 
Entdeckung der Eigenbewegungen die Endlichkeit der Entfernungen 
der Fixsterne erwiesen und seit im Jahre 1838 gleichzeitig für drei 
Sterne von Bessel, Struve und Henderson die Aufgabe der Entfernungs- 
bestimmung auf drei verschiedenen Wegen gelöst war, lagen neben 
einigen Einzelwerten nur die Heliometerreihen vom Kap'”®), von 
New Haven!) und Leipzig'!®) vor mit völlig gesicherten Werten 





105) Weitere Werte von Radialgeschwindigkeiten von Spiralnebeln finden 
sich London Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 766. 

106) Die Werte sind angegeben London Astr. Soc. Month, Not. 84 (1924), 
p- 752. 

107) Poulk. Obs. Centr. Nic. Publ. (2) 17 II (1905). 

108) Cape Obs. Ann. 8, Part 2 (1900). 

109) Yale Univ. Obs. Trans. 1, Part 6 (1902). 

110) Leipzig Ges. d. Wiss., Abhandl. 22, Nr. 4; 24, Nr. 3; 27, Nr. 6 (1895—1902). 


13. Parallaxen. Trigonometrische Methoden. 269 


der Parallaxen der hellsten Sterne und der Sterne mit größter Eigen- 
bewegung des Himmels und außerdem eine Anzahl mit größerer Un- 
sicherheit behafteter, aber doch innerhalb dieser Grenzen noch zuver- 
lässiger Bestimmungen nach der zuerst von Auwers angewandten, 
später von Kapteyn'!') ausgebildeten und von Flint!'?) ausgiebig an- 
gewandten Methode der Rektaszensionsdifferenzen. 

Seit der Zeit jenes Berichtes ist nun aber die photographische 
Methode der Einzelbestimmung von Parallaxen soweit entwickelt, daß 
sie jetzt als die erfolgreichste Methode anzusehen ist. Die bei den 
ersten Anwendungen der Methode durch Rutherford“'?) und in einer 
großen Beobachtungsreihe von Pritchard!'*) erhaltenen Parallaxen- 
werte hatten sich als mit sehr erheblichen systematischen Fehlern be- 
haftet herausgestellt.) Besonders auffällig traten solche Fehler in 
die Erscheinung bei einer Untersuchung Wiülsings"!e) über die Par- 
allaxe von 61 Cygni mit Hilfe von 116 Aufnahmen. Kapteyn'!") er- 
kannte als Ursachen dieser Fehler 1. den Einfluß ungleicher Hellig- 
keit des zu untersuchenden Sterns und der Vergleichsterne und 2. den 
einer Verschiedenheit der Fernrohrlage. Das Zusammenwirken dieser 
beiden Fehlerquellen mit der Dispersion in der Atmosphäre und den 
Unvollkommenheiten in der Nachführung des Fernrohrs erzeugt die 
als „Führungsfehler“ und als „Stundenwinkelfehler“ bezeichneten 
Quellen systematischer Fehler. Der Stundenwinkelfehler ließ sich 
durch Beobachtung in der gleichen Lage des Instruments in der Nähe 
des Meridians leicht beseitigen, zur Unschädlichmachung des Führungs- 
fehlers führte die Abschwächung des helleren Sternes. Russell!8) er- 
zielte die Abschwächung durch eine vor der photographischen Platte 
angebrachte Glasplatte, die einen gelb gefärbten Gelatinefleck trug, 
durch den das Licht des helleren Sternes passieren mußte. Schlesinger!"®) 
verwandte mit noch größerem Erfolge ein vor der photographischen 
Platte befindliches rotierendes Scheibchen mit einem Sektor- Ausschnitt 
von verstellbarer Größe, der das Licht des helleren Sternes nur für 
einen bestimmten Teil der Gesamtbelichtungsdauer auf die Platte wir- 


111) Leiden Sternw. Ann. 7 (1897). 
112) Washburn Obs. Publ. 11, Madison (1902). 
113) Columbia Coll. Obs. Contr. 5, 6 (New York 1893, 1895); Astron. Journ. 
13 (1893), p. 37. 
114) Oxford Univ. Obs., Observ. Fasc. 3, 4 (1889, 1892). 
. 115) Astr. Ges. Vjs. 28 (1893), p. 117. 
116) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 11, Nr. 36 (1897). 
117) Groningen Lab. Publ. 1 (1900). 
118) Astron. Journ. 26 (1910), p. 147. 
119) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 384. 


270 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


ken ließ. Durch Verwendung geeigneter nur für Strahlen einer be- 
stimmten Wellenlänge empfindlicher Platten bei nicht speziell für 
photographische Zwecke berechneten Objektiven oder auch von Farb- 
filtern wurden scharfe und so sicher zu messende Bilder gewonnen, 
daß es gelang, Resultate zu erzielen, bei denen der zufällige Fehler 
einer Einzelparallaxe nur noch + 0,017”120) beträgt. Durch den Zu- 
sammenschluß einer Reihe von Sternwarten zu gemeinsamer Arbeit 
ist seitdem schon ein sehr umfangreiches Material!?!) an photographisch 
bestimmten Parallaxen von großer Zuverlässigkeit für mehr als 1000 
Sterne angesammelt. 

Die Heliometermessungen wurden ebenfalls in Leipzig'??) und in 
New Haven!*) fortgeführt und ergaben durch die Aufnahme schwä- 
cherer, stark bewegter Sterne in das Programm wertvolles Vergleichs- 
material. Der am Schluß des zweiten Bandes der Yale Observations 
gegebene Gesamtkatalog umfaßt 243 Sterne. 

Für die Bestimmung von Parallaxen durch Rektaszensionsdiffe- 
renzen am Meridiankreise schien durch die Einführung des Repsold- 
schen selbstregistrierenden Mikrometers ein Mittel gegeben zu sein, 
die Beobachtungsgenauigkeit wesentlich zu vergrößern und systema- 
tische Fehler zu vermeiden. Das führte in der Tat zu einer Fort- 
führung der Beobachtungsreihe von Flint!) sowie zur Aufnahme 
gleichartiger Beobachtungen von mehreren anderen Seiten.!?) Gross- 
mann schlug vor, diese Methode zu einer Parallaxen-Durchmusterung 
des Himmels zu verwenden, und bestimmte die relativen Parallaxen 
von 231 Sternen bis 6,5” der Zone + 15° bis + 20° durch An- 
schluß an 534 schwache Sterne aus der gleichen Zone.'?) Die er- 


120) Vgl. @. Schnauder, Astr. Nachr. 217 (1923), p. 5. 

121) Zusammenstellungen der Resultate: Allegh. Obs. Publ. 4 (1919), 5 (1920); 
Astron. Journ. 33 (1921), p. 136, 171; Dearborn Obs., Paris C.R. 168 (1919), p. 1095; 
172 (1921), p. 1016; Greenwich Obs., London Astr. Soc. Month. Not. 75 (1915), 
p. 592; 81 (1920), p. 32; 82 (1921), p. 34; 83 (1922), p. 64; Leander Mc Cormick 
Obs. Publ. 3 (1922); Mt. Wilson Obs. Contr. 6 (1915), p. 131; 7 (1917), p. 189; 
8 (1918), p. 235; 9 (1919), p. 175; 10 (1921), p. 93; Sproul Obs. Publ. 4, 5, 6 
(1919—1922); Yerkes Obs. Publ. 4, Part 1 (1917); Part 3 (1920); Astron. Journ. 33 
(1920), p. 92. Weitere Zusammenstellungen von Resultaten der amerikanischen 
Sternwarten im Astron. Journ. 34, 35. 

122) Leipzig Ges. d. Wiss. 30, Nr. 4 (1908); 38, Nr. 1 (1920). 

123) Yale Univ. Obs. Trans. 2 (1912); am Schluß Zusammenstellung aller 
am Yale Univ. Obs. bestimmten Parallaxen. 

124) Washburn Obs. Publ. Vol. 13, P. 1, Madison (1919). 

125) Heidelberg Veröff. 4 (1906), Beob. Jost; Rom Össerv. Coll. Rom. (3) 5, 
Part. 2 (1912), Beob. Adetti; Charkow Obs. Ann. 3 (1912), Beob. Jewdokimov ; 
Königsberg Beob. 43, Nr. 4 (1919), Beob. Jost. 

126) München Sternw. Neue Ann. 5, Heft 1 (1917). 


13. Parallaxen. Trigonometrische Methoden. si 


haltenen Parallaxen sind mit einem aus der inneren Übereinstimmung 
abgeleiteten m. F. von + 0,043” behaftet, und in ihrer Gesamtheit 
sind die Resultate der Beobachtungsreihe als reell anzusehen und 
lassen die Methode als für eine parallaktische Durchmusterung und 
zur Bestimmung von Durchschnittswerten der Parallaxe geeignet er- 
scheinen, während die erhaltenen Einzelwerte der Parallaxe nicht ver- 
bürgbar sind und das Ziel auf photographischem Wege sehr viel schneller 
und auch sicherer erreichbar ist. Daß aber auch bei Anwendung 
des Registriermikrometers und von Abblendung noch kein ausreichen- 
der Schutz gegen Auftreten erheblicher systematischer Fehler ge- 
geben ist, bewies eine Beobachtungsreihe von Courvoisier'?”), die für 
die Sterne y, d, & Ursae maj. zu ganz unzulässig großen Werten 
führte. 

Auch auf photographischem Wege wurde die Bestimmung der 
relativen Parallaxe von Sterngruppen oder ganzer Sternfelder mehr- 
fach ausgeführt. Nach Aufnahmen von Küstner in Bonn leiteten 
Kapteyn und de Sitter'??) auf diese Weise für die mittlere Parallaxe 
der Hyadengruppe den Wert 0,023” + 0,0038” ab. Aber bei der 
Massenbestimmung'?”) der Parallaxen von 10 ausgewählten Sternfeldern 
nach von Donner in Helsingfors aufgenommenen Platten ergab sich, 
daß bei einem m. F. von + 0,035” der einzelnen Parallaxe unter den 
3650 Einzelwerten größere positive, unmittelbar als Parallaxe verbürg- 
bare Werte nicht vorkamen; es konnte nur als erwiesen gelten, daß 
in der Darstellung der Beobachtungen ein einem w. F. von + 0,017” 
entsprechender Einfluß einer durchschnittlichen Parallaxe zum Vor- 
schein kommt. Von den Feldern der nach dem Kapteynschen Plan 
der selected areas gemachten Aufnahmen wurdeh mehrere vermessen 13°), 
und es zeigte sich auch hierbei, daß die durch den Einfluß der Par- 
allaxe bewirkte Abweichung der Kurve der übrigbleibenden Fehler von der 
reinen Fehlerkurve durch den störenden Einfluß anderer den Aufnahmen 
noch innewohnender systematischer Fehler überdeckt wurde und daß 
den errechneten Einzelparallaxen eine reelle Bedeutung nicht beigelegt 
werden könne. Als Grenze der mit den jetzigen Hilfsmitteln noch 
bestinnmbaren trigonometrischen Parallaxen dürfen wir 0,05” betrach- 
ten, unsere Kenntnis der wirklichen Größenverhältnisse und Entfer- 
nungen wäre demnach auf einen Bereich von 20 Sternweiten be- 
schränkt und über diesen Bereich hinaus wären nur die indirekten 


127) Berlin-Babelsberg Sternw. Veröff. 1, H. 4 (1915). 
128) Groningen Lab. Publ. 23 (1909). 
129) Groningen Lab. Publ. 20 (1908). 


130) Astr. Nachr. 201 (1915), p. 15; 202 (1916), p. 203; 210 (1920), p. 329. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2,B. 18 


272 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Methoden noch anwendbar. Wenn wir aber aus der Beobachtung 
einen Wert = —= 0,05” finden, so berechtigt uns das nur zu sagen, 
daß die Parallaxe des betreffenden Gestirns zwischen den Grenzen 
0,03” und 0,07” liegt, und sie kann so uns nur zu einer rohen Ab- 
schätzung der linearen Bewegung, der absoluten Größe und der Leucht- 
kraft dienen. 

14. Parallaxen. Spektroskopische Methoden. Weiter hinaus in 
den Raum tragen uns die neueren spektroskopischen Methoden. Die 
Kohlschütter-Adamssche Methode, die die absolute Helligkeit in Be- 
ziehung zu der relativen Stärke bestimmter Linien des Spektrums 
setzt, ist beschränkt auf die Sterne der späteren Typen F bis M. 
Die Eichung der für jeden Typus gesondert aufzustellenden Ent- 
fernungsskala nach der relativen Linienintensität war auszuführen mit 
Hilfe derjenigen Sterne des gleichen Typus, deren Parallaxe trigono- 
metrisch bestimmt war, und es zeigte sich bald, daß die erste Eichung 
der für fünf Gruppen?!) FO — F6; FT— GT; @8— K4; K5 — K9; 
M abgeleiteten Kurven!??) verbesserungsbedürftig sei.!?”) Für die end- 
gültige Ableitung der Parallaxen ist unter Benutzung eines reich- 
haltigen Materials an trigonometrischen Parallaxen und unter Hinzu- 
ziehung von dynamischen und Säkularparallaxen in Astroph. Journ. 53 
(1921), p. 14 eine neue Skala aufgestellt, auf der die im Anschluß 
mitgeteilte Tabelle von 1646 spektroskopischen Parallaxen beruht. 

Zur Erweiterung der Methode auch auf das Gebiet der A- und 
B-Sterne benutzt Lindblad'**) als Kriterium für die absolute Hellig- 
keit die relative Intensität bestimmter nebeneinander liegender Stellen 
des Spektrums sowie die Intensität der Cyanbanden und bestimmt 
den Korrelationskoeffizienten für die Beziehung der absoluten Größe 
zu dem Verhältnis der zur Erzielung gleicher Schwärzung dieser 
Stellen erforderlichen Expositionszeiten für die Typen A, B mit Hilfe 
von Sterngruppen bekannter Parallaxe und für die späteren Typen 
durch Sterne gegebener Entfernung. Adams und Joy'?°) benutzen zu 
einer strengeren Klassifizierung der A- und B-Sterne die Intensität 


131) Die Klassifizierung der Spektren ist dabei vorgenommen -nach dem 
Intensitätsverhältnis der Wasserstofflinien H, und H, zu einer Reihe metallischer 
Linien, meist Eisenlinien, die nur geringe Änderungen der Intensität in den 
Spektralklassen F bis M zeigen, unter möglichst strenger Wahrung des An- 
schlusses an die Harvard-Klassifizierung. 

132) Washington Nat. Acad. Proc. 2 (1916), p. 147. 

133) Vgl. L. Boss, Astron. Journ. 33 (1920), p. 17. 

134) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 85. 

135) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 242; vgl. auch D. L. Edwards, London 
Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 47; 84 (1924), p. 366 und 85 (1925), p. 439. 


14. Parallaxen. Spektroskopische Methoden. 273 


der Linien der Metalle und der Heliumlinien 4026, 4471 und erhalten 
mit Hilfe von Sternen bekannter absoluter Helligkeit aus der Taurus- 
und Ursa maj.-Gruppe eine gut verwendbare Beziehung zwischen der 
absoluten Helligkeit und dem Spektrum, nach der sie die Parallaxe 
von 544 Sternen der Klassen A und B8, B9 bestimmen. 


Auch Aufnahmen mit dem Objektivprisma sind verwendbar zur 
Bestimmung der absoluten Helligkeit und daraus der Parallaxe nach 
den Prinzipien der Kohlschütter- Adamsschen Methode. Shapley und 
Lindblad wandten dieses Verfahren an zur Bestimmung der Ent- 
fernung von 50 Sternen mit den Platten des Draper-Katalogs.'?°) 
Pannekoek'?") machte darauf aufmerksam, daß die physikalische Ur- 
sache, die der Klassifikation der Spektren bei der spektroskopischen 
Methode der Entfernungsbestimmung zugrunde liegt, nicht die Leucht- 
kraft des Sterns allein ist, sondern daß sie eine Funktion von Leucht- 
kraft und Masse ist, so daß das Verhältnis der mittleren Masse der 
zur Eichung der Skala benutzten Sterne zu der Masse des einzelnen 
untersuchten Sterns eingeht. 


Für die Verwendung der durch die Beobachtung ermittelten Par- 
allaxenwerte für stellarstatistische Zwecke ist im Auge zu behalten, daß 
einerseits die trigonometrischen Parallaxen wegen des bei der Auswahl 
der zu beobachtenden Sterne angewandten Prinzips und wegen der den 
Beobachtungen gesetzten Grenze immer die großen positiven Werte 
bevorzugen werden und daß andererseits die spektroskopische Methode 
bei den Sternen von kleiner scheinbarer Helligkeit wieder die Sterne 
großer Leuchtkraft bevorzugen wird. Wegen der notwendigen Eichung 
der Skala bei der spektroskopischen Methode mit Hilfe der trigono- 
metrischen Parallaxen wird ferner das Verhalten dieser letzteren auch 
auf jene übertragen. 


Von verschiedenen Autoren wurde versucht, aus dem Gesamt- 
material an Parallaxenwerten systematische Reduktionen der einzelnen 
Reihen abzuleiten. Flint'?®) leitet unter Berücksichtigung eines Ein- 
flusses des Spektrums und der Größe der Eigenbewegungen für die 
Heliometer-, Meridiankreis- und photographischen Reihen die Abhängig- 
keit von der Jahreszeit ab. Er hält die Heliometerreihen für die am 
besten gesicherten und das Auftreten kleiner systematischer Fehler 
in den photographischen Reihen für möglich. Hertzsprung'?) ver- 


136) Harvard Obs. Circ. 228 (1921). 
137) Bull. Astr. Inst. Netherlands 1 (1922), p. 115. 
138) Astron. Journ. 29 (1916), p. 189; 33 (1920), p. 95. 
139) Astr. Nachr. 208 (1919), p. 89. 
18* 


274 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


glich die beobachteten Parallaxen mit den nach der empirischen Formel 


l 
log x = a + 0,44 


O7 m,AQ 





für die zur Eigenbewegung u und Radialgeschwindigkeit Ao bei 
gleichförmiger Verteilung der Richtungen der absoluten Bewegungen 
gehörenden Parallaxen und leitete daraus den bei verschwindender 
Eigenbewegung zu erwartenden systematischen Fehler der Parallaxe 
ab zu + 0,020” + 0,008”. Boss'4°) gleicht für die trigonometrischen 
Reihen die Abweichungen der Einzelwerte von dem Mittel mehrerer 
Beobachter aus nach dem sin und cos der einfachen und doppelten 
Rektaszension und bestimmt aus den nach Anbringung dieser Re- 
duktion übrigbleibenden Abweichungen die Gewichte. Er findet eine 
Überlegenheit der spektroskopischen Methode, bei der der zufällige 
Beobachtungsfehler mit der Parallaxe selbst wächst, über alle andern. 
Nach der Beziehungsgleichung zwischen absoluter Größe, scheinbarer 
Größe und Parallaxe: M = m + 5 logx besteht zwischen der wahren 


Parallaxe x, der spektroskopisch gefundenen x, und der Korrektion 


$ 
der ihr zugrunde liegenden absoluten Größe die Beziehung x — z,e’ ne 


Ist also =, die trigonometrisch bestimmte Parallaxe, Az, ihre Kor- 


rektion, so it , + Az, = ie Die mit Hilfe dieser Gleichung 
sich ergebenden Bedingungsgleichungen zwischen den systematischen 
Fehlern der trigonometrischen Parallaxen und den Verbesserungen der 
spektroskopisch bestimmten absoluten Helligkeiten verwendet Ström- 
berg'*!) zur Bestimmung der systematischen Korrektionen, wobei die 
Verläßlichkeit der spektroskopischen Parallaxen zum Ausdruck kommt. 
Die mittlere Parallaxe als Funktion von Größe und Eigenbewe- 
gung stellt Kapteyn dar durch den Ausdruck 
z=ab"w, oder legr—=loga+ mlogb + clogu, 
wo a, b, c Konstante sind. Yan Maanen und Wolfe‘) verglichen die 
beobachteten Parallaxen x, mit den nach dieser Formel mit den Kapteyn- 
schen Werten der Konstanten berechneten Werten x, und bestimmen 
sodann aus Bedingungsgleichungen der Form 
dloga + mdlogb + logude— Hd 

verbesserte Werte von a, b, c. Die Mittel der für die einzelnen Reihen 
übrigbleibenden Fehler sind die systematischen Fehler dieser Reihen. 
Für die großen photographischen Reihen werden kleine konstante 


140) Astron. Journ. 33 (1920), p. 17. 
141) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 11. 
142) Mt. Wilson Obs. Contr. Nr. 189 (1920). 


14. Parallaxen. Spektroskopische Methoden. 275 


Werte gefunden, während für die Meridiankreis- und die Yale-Helio- 
meterreihen und zwei photographische Reihen eine Abhängigkeit von 
der Größe auftritt. In einer Bearbeitung von @. Schnauder'?) werden 
die fünf großen photographischen Reihen untereinander ausgeglichen 
und dann die Abweichungen der anderen Reihen gegen dieses System 
erster Ordnung bestimmt. 

Verzeichnisse der beobachteten Werte der Parallaxen verlieren 
bei dem jetzigen schnellen Anwachsen unserer Kenntnis der Fixstern- 
entfernungen sehr schnell an Wert. Solche Zusammenstellungen aller 
jeweils bekannten Parallaxen wurden gegeben von Oudemans 18891), 
Kapteyn 1901'#), Bigourdan 1909'*) (vollständigste Sammlung der 
Beobachtungen), Kapteyn und Weersma 1910.) Eine Liste der 20 
der Sonne nächsten Sterne nach unserer Kenntnis zu Anfang 1922 
teilt E. Hertzsprung in Bull. Astr. Inst. of the Netherlands I, Nr. 5 
mit. J. Haas stellt in Veröff. Sternw. Berlin-Babelsberg, Bd. 3, Heft 3 
(1923) die Sterne innerhalb eines Bereichs von 15 Sternweiten um 
die Sonne zusammen mit allen Angaben über Entfernung, Größe, 
Spektrum, Bewegung. 

Die Bestimmung der Parallaxen der Nebelflecken durch unmittel- 
bare Messungen ist nur ausführbar beim Vorhandensein einer stern- 
artigen Verdichtung oder eines Zentralsternes. Solche sind bei der 
größeren Mehrzahl der planetarischen Nebel vorhanden. Die Par- 
allaxe des Ringnebels in der Leier wurde mehrfach durch Newkürk 4°) 
zu bestimmen gesucht. Seinen letzten aus Aufnahmen auf der Lick- 
Sternwarte abgeleiteten Wert x = 0,015” betrachtet er selbst nur 
mit Einschränkung als Ausdruck einer Parallaxe. Van Maanens Be- 
stimmungen der Parallaxen von 16 planetarischen Nebeln“”) geben 
für den Lyra-Nebel den Wert x = 0,001” + 0,008”. Das Mittel der 
16 Werte van Maanens ist für die relative Parallaxe der planetari- 
schen Nebel x = 0,012”. Diesem Werte würde eine wahrscheinliche 
absolute Parallaxe von 0,014” entsprechen. | 

Bei den Spiralnebeln fehlt es fast ausnahmslos ganz an einem 
Anhaltspunkte für die Entfernungsbestimmung durch Messung. Für 





143) Astr. Nachr. 217 (1923), p. 1. 

144) Astr. Nachr. 122 (1889), p. 193. 

145) Groningen Lab. Publ. 8 (1901). 

146) Paris Bull. Astr. 26 (1909). 

147) Groningen Lab. Publ. 24 (1910) [ergänzt durch Walkey in J. Brit. Astr. 
Assoc. 27 (1917)]. 

148) Diss. München 1902; London Astr. Soc. Month. Not. 66 (1906), p. 444; 
Lick Obs. Bull. 9 (1917), p. 100. 

149) Mt. Wilson Obs. Contrib. 237 (1922). 


276 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


den großen Andromedanebel führten Heliometermessungen von Franz'°®) 
unter Benutzung des Neuen Sterns im Nebel, Mikrometermessungen 
von Barnard'°!) und photographische Aufnahmen von Bohlin'?) zu 
ganz widersprechenden Resultaten. Van Maanen'“) findet für diesen 
Nebel eine relative Parallaxe von 0,006” + 0,008”. Die noch an 
zwei anderen Spiralnebeln ausgeführten Messungen gestatten nur als 
obere Grenze der Parallaxe den Wert 0,001” festzusetzen. 

Man hat auch versucht, beim Fehlen anderer Anhaltspunkte durch 
Zuhilfenahme der stellarstatistischen Gesetze zu einer Vorstellung 
der Entfernungsverhältnisse zu gelangen. Setzt man die Kenntnis 
der Zahl der Sterne als Funktion der absoluten Helligkeit voraus, so 
kann man zu der an einer bestimmten Stelle des Himmels durch 
direkte Abzählung ermittelten Zahl der Sterne einer bestimmten schein- 
baren Helligkeit, wenn man annehmen darf, daß die Entfernung dieser 
Sterne im wesentlichen gleich ist, die ihnen zukommende absolute 
Helligkeit auf Grund jener Beziehung zwischen der Sternzahl und der 
absoluten Helligkeit bestimmen und durch den Vergleich der schein- 
baren und der absoluten Helligkeit die Entfernung ermitteln. Die 
Voraussetzungen dürften am ehesten bei den Sternhaufen erfüllt sein 
und sind auch in der Tat zur Bestimmung der Entfernung derselben 
benutzt. 

A. Pannekoek“°) hat den gleichen Weg eingeschlagen, um auch 
in die Struktur der Milchstraße einzudringen. Das Verfahren muB 
aber zu Trugschlüssen führen, wenn die Voraussetzung, daß in dem 
speziellen Gebiete und bis zu den Entfernungen des untersuchten 
Raumteils hin die gleichen Verhältnisse gelten wie in dem Raume, 
auf dessen Auszählung das allgemeine statistische Gesetz der absoluten 
Helligkeiten beruht, nicht völlig gesichert ist, worauf A. Kopff”°*) und 
©. Easton”) hinweisen. 


15. Photometrische Kataloge. Änderungen in der scheinbaren 
Helligkeit der Sterne wären eine notwendige Folge der Bewegungen, 
die wir festgestellt haben, wenn unsere Beobachtungen einen aus- 
reichenden Zeitraum überspannen. Helligkeitsangaben für die dem 
freien Auge sichtbaren Sterne besitzen wir schon in dem ältesten 
Fixsternkataloge, dem des Ptolemäus. Die Sterne sind dort in nahe 


150) Astr. Nachr. 118 (1888), p. 123. 
151) Astroph. Journ. 9 (1899), p. 184. 
152) Astr. Nachr. 176 (1907), p. 205. 
153) London Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 500. 
154) Astr. Nachr. 216 (1922), p. 325. 
155) London Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 215. 


15. Photometrische Kataloge. 9277 


richtiger Weise nach dem Verhältnis ihrer scheinbaren Helligkeit in 
die sechs gebräuchlichen Größenklassen eingeteilt. Die Helligkeitsan- 
gaben sind im allgemeinen nur nach vollen Größenklassen gemacht; 
für einen Teil der Sterne ist aber durch den Zusatz „heller“ bzw. 
„schwächer“ eine größere Genauigkeit erstrebt, die für uns sehr 
wertvoll wäre, wenn nicht viele Zweifel an der Zuverlässigkeit der 
überlieferten Angaben beständen. Eine wesentlich zuverlässigere Quelle 
für die Helligkeit der helleren Sterne besitzen wir erst in der Re- 
vision der Größenangaben des Pfolemäus durch Al-Süfi (964), der 
‚gerade in der Helligkeitsschätzung seine Hauptaufgabe erblickte. 


Für ein tieferes Eindringen in die Struktur des Fixsternsystems 
geeignete Grundlagen wurden erst durch Argelanders Arbeiten ge- 
schaffen. Die schon früher erwähnten Werke: Argelander, Neue Urano- 
metrie, Gould, Uranometria Argentina sind die wichtigsten Urkunden 
über die Helligkeit der dem freien Auge sichtbaren Sterne für die 
Zeit der Mitte des vorigen Jahrhunderts, und in den gleichfalls schon 
angeführten großen Durchmusterungskatalogen von Bonn und Cordoba 
ist die Katalogisierung der visuellen Helligkeiten der Sterne erweitert 
bis zu den mit kleinen Fernrohren und bei direkter Beobachtung am 
Instrument erreichbaren Grenzen. Eine Verfeinerung und Sicherung 
dieses großen Materials im einzelnen wird durch die Bearbeitung der 
Zonen der Astronomischen Gesellschaft und ihrer südlichen Fortsetzung 
dargeboten. 


Von denjenigen Katalogen, deren Helligkeitsangaben auf genauen 
photometrischen Messungen beruhen, kommen für stellarastronomische 
Zwecke besonders die Potsdamer photometrische Durehmusterung'’*®) 
in Betracht, die alle Sterne des nördlichen Himmels bis zur Größe 
7,5” enthält, und die Revised Harvard Photometry ®°) mit 9110 Ster- 
nen des ganzen Himmels, hauptsächlich bis 6,5”. Ein weiterer vom 
Harvard College Observatory herausgegebener Katalog'®) enthält die 
photometrischen Größen von 36682 Sternen schwächer als 6,5” bis 
10”, und in einem dritten Katalog werden die photometrischen Größen 
aller Sterne der Bonner Durchmusterung aus 10° breiten und um 5° 
voneinander abstehenden Zonen zwischen 0° und + 85° Deklination 
aufgeführt. 1°°) 


Photographische Helligkeitsverzeichnisse größeren Umfangs liegen 


156) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 17 (1907). 
157) Harvard Obs. Ann. 50 (1908). 
158) Harvard Obs. Ann. 54 (1908). 
159) Harvard Obs. Ann. 70 (1909). 


278 VIe, 23. HM. Kobold. Stellarastronomie. 


vor in der schon angeführten Cape Photographie Durchmusterung'!‘°) 
und in den Katalogen der Zonen der photographischen Himmelskarte, 
die nach ihrer Vollendung alle Sterne bis zur photographischen Größe 
11” verzeichnen werden. Größeren Ansprüchen an die Genauigkeit 
der Angaben der photographischen Größe entsprechen die Göttinger !#') 
und die Yerkes-Aktinometrie.1°) Erstere enthält die photographischen 
Helligkeiten der Sterne bis 7,5” zwischen dem Äquator und dem 
Parallel von + 20°. Die Yerkes-Aktinometrie hat den gleichen In- 
halt für die Sterne zwischen + 73° Deklination und dem Nordpol. 
In beiden Katalogen wird auch der Farbenindex für die Sterne an- 
gegeben: im Göttinger Katalog nach Vergleichung mit den Größen- 
angaben der Potsdamer photometrischen Durchmusterung, im Yerkes- 
Katalog als Differenz der photographischen und der gleichzeitig mit 
einem geeigneten Filter photographisch bestimmten photo-visuellen 
Größen. !#°) 

16. Kataloge der Spektraltypen und der Farben der Sterne. 
Als Hauptquellen für die Angaben des Spektraltypus der Sterne sind 
unter Beschränkung auf die jetzt allgemein zur Anwendung kommende 
Cannonsche Klassifikation die vorhin schon aufgeführten photometri- 
schen Kataloge des Harvard College Observatory zu nennen. Außer- 
dem kommen in Betracht der grundlegende Draper-Katalog in Har- 
vard Annals 27 (1890) und die strengere Klassifikation von 3165 
Sternen durch Miss Cannon in Harvard Annals 56 (1912). Das ganze 
auf der Harvard-Sternwarte vorhandene Material an Sternspektren- 
Photogrammen mit dem Objektivprisma ist schließlich in dem großen 
die neun Bände 91—99 der Harvard Annals füllenden Henry Draper- 
Katalog gesammelt, der neben der in einheitlicher Weise durch- 
geführten Klassifikation der Spektren von 225300 Sternen auch die 
photometrische und die photographische Größe nach den besten vor- 
handenen Angaben enthält. Weiteres Material über die Spektren 
besonders schwacher Sterne enthalten die nach im wesentlichen 
gleichen Grundsätzen ausgeführten zur spektroskopischen Parallaxen- 
bestimmung benutzten Spektralklassifizierungs-Arbeiten am Mt. Wilson- 
Observatorium. 


160) Die Größen der C.P.D. sind durch Anschluß an die bekannten visuellen 
Helligkeiten von Sternen bei jeder einzelnen Platte festgesetzt, wodurch eine 
Ungleichförmigkeit der Angaben entstanden ist. Vgl. eine Kritik von $. Neweomb 
in Astron. Journ. 21 (1901), p. 153. 

161) Göttingen Ges. d. Wiss. Abhdl. N. F. 6, Nr. 6 (1910); 8, Nr. 4 (1912). 

162) Astroph. Journ. 36 (1912), p. 169. 

163) Ein ausführliches Literaturverzeichnis über Sterngrößen gibt H. Nort 
in Utrecht Obs. Recherches 7, App. IB (1917). 





16. Kat.d.Spektraltypen u. Farben. 17. Allg. Verhältnisse. Gouldscher Gürtel. 279 


Über die Farben der Sterne gibt Aufschluß die vorhin angeführte 
Potsdamer photometrische Durchmusterung.'*) Von der Specola Astro- 
nomica Vaticana in Rom sind in den Bänden 3, 7, 8, 15 ihrer Ver- 
öffentlichungen besondere Kataloge der Farben der Sterne heraus- 
gegeben nach Beobachtungen von Sestini (1844—1846), Krüger, Ost- 
‚hoff und Franks. Das ganze Material ist vereinigt in dem als neunter 
Band der Veröffentlichungen der Vatikan-Sternwarte erschienenen Index- 
katalog von Krüger, der die Farben von mehr als 6000 Sternen nörd- 
lich von — 30° enthält. Der Katalog ist vollständig bis 6,5”, wäh- 
rend die Sterne zwischen 6,5% und 7,5” nur zum Teil beobachtet sind. 


III. Ergebnisse der Bearbeitung des Beobachtungsmaterials. 
A. Scheinbare Verteilung der Sterne. Die Milchstraße. 


17. Allgemeine Verhältnisse. Der Gouldsche Gürtel. Aus dem 
Bilde des Fixsternsystems, in dem es uns im gestirnten Himmel ent- 
gegentritt, müssen die Gesetze seines Baues abzulesen sein. 

Eine erste Anwendung der Lehren der Statistik auf die Stern- 
zahlen machte Michell!®), indem er die Wahrscheinlichkeit berech- 
nete, daß bei regelloser Verteilung der Sterne irgendwo am Himmel 
eine Anordnung von hellen Sternen vorkäme, wie wir sie im Stern- 
bild der Plejaden erblicken. Die Anwendbarkeit bloßer Sternzählungen 
als eines Hilfsmittels zur Erforschung des Baues des Sternsystems 
zeigte zuerst W. Herschel!°) durch seine Sterneichungen, Zählung der 
an verschiedenen Stellen des Himmels in gleich großen Flächen sicht- 
baren Sterne.!°”) Aus diesen Zahlen ging die ziemlich regelmäßige Zu- 
nahme der scheinbaren Sterndichte von dem nördlichen Pole der Milch- 


164) Die alten Überlieferungen können nur mit großer Vorsicht benutzt 
werden, wie das Beispiel des Sirius lehrt, dem man im Altertum eine rote Farbe 
beigelegt haben soll, während er jetzt rein weiß ist. Es liegt hier vermutlich 
eine irrtümliche Auslegung der Angaben der alten Schriftsteller vor. Vgl. 
@. Schiaparelli, Acad. d. Agiati Atti 2, 3 (1896, 1897) sowie die 2 Abh. von 
J. Holetschek im astron. Kalender der Sternwarte in Wien (Jahrg. 1918): Über 
2 Sternfragen aus alter Zeit, die Farbe des Sirius und das Gestirn der Magier 
und (Jahrg. 1920): Über Sternfarben und Verzeichnisse von farbigen Sternen. 

165) London Phil. Trans. 57 (1767), p. 243. 

166) London Phil. Trans. 75 (1785), p. 221. 

167) Die 683 Eichungen W. Herschels sind von E. $. Holden in Washburn 
Obs. Publ. 2, Nr. 10 (1883) erneut publiziert. Anschließend teilt Holden in Nr. 11 
die Resultate von 405 früher nicht publizierten Eichungen nach den Herschel- 
schen Manuskripten mit und fügt noch über 2000 Zählungen auf neueren Kar- 
ten hinzu. Vgl. auch: Stargauges by W. and J. Herschel, edited by C. V. L. Charlier, 
Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 30 (1923). 


280 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


straße gegen die Mitte dieser Zone des Himmels hin hervor. J. Herschel'‘®) 
führte die Arbeit für den Südhimmel weiter mit entsprechendem Er- 
gebnis. Das so in den Gesamtzügen festgestellte Bild wurde in den 
Einzelheiten genauer ausgefüllt durch die Arbeiten W. Söruves'®), der 
die Besselsche Zone zwischen + 15° und — 15° benutzte und die 
Sterne jeder Größenklasse in den einzelnen Rektaszensionsstunden ab- 
zählte. Unter Hinzuziehung der Eichungen Herschels erkennt er, daß 
die Zunahme der Dichte gegen die Milchstraße um so stärker hervor- 
tritt, je schwächer die Sterne sind. Daß auch für die helleren, dem 
freien Auge sichtbaren Sterne diese Anhäufung gegen die Milchstraße 
noch vorhanden ist, wies Houzeau an den in seiner Uranometrie 
generale*?) vorkommenden Sternen nach. Eine Bemerkung J. Herschels 
über eine Anordnung der hellsten Sterne des Südhimmels in einem 
gegen die Milchstraße geneigten Kreise verfolgend, bestimmte Gould!”®) 
als Mittellinie des Gürtels der stärksten Anhäufung der Sterne bis 
4” einen gegen die Milchstraße um 17° geneigten Kreis, „Gouldscher 
Gürtel“. Schiaparelli'"') ging voran mit einer seitdem häufig an- 
gewandten bildlichen Darstellung der scheinbaren Sternverteilung, 
indem er in einer durch Stunden- und Parallelkreise in Trapeze ge- 
teilten Himmelskarte in die einzelnen Trapeze die für sie gefundene 
Dichte der Sterne bis 6” eintrug und diese Dichte dann durch Kolo- 
rierung in verschiedener Tiefe hervortreten ließ. In ausgedehnterem 
Maße verwandte dieselbe Darstellungsweise unter Ausdehnung auf alle 
Sterne der Durchmusterungen Stratonoff*"?) in zwei Atlanten, die die 
Anhäufung der Sterne in Wolken hervortreten lassen, deren größte 
auf der Nordhalbkugel mit dem Zentrum im Cygnus liegt. In der 
Milchstraße sind die Wolken am dichtesten gedrängt und greifen in- 
einander über. Die anderen Wolken sind bogenförmig um die Haupt- 
verdichtung angeordnet. Die Sonne gehört der größten Wolke an. 
Das Mischungsverhältnis der Sterne bis zur Grenzgröße 6,75” 
nach ihrer scheinbaren Helligkeit fand Pickering‘®) für den ganzen 
Himmel auch innerhalb der Milchstraße gleich, und zwar ist der 

Prozentsatz der einzelnen halben Größenklassen 

heller als 4" 4A=m .4,5” 5m 5,9” 6” 6,5” 

3,0 2,3 4,3 82 ' 14,5 24,8 42,9°%,,. 


168) Cape Results of astr. obs. made 1834—1838, London 1847. 

169) W. Struve, Etudes d’astronomie stellaire, St. Petersburg 1847. 

170) Amer.Journ. ofscience (3)8(1874), p.325; Cordoba Resultados1(1879), p.355. 
171) Milano Osserv. di Brera Pubbl. 34 (1889). 

172) Taschkent Publ. de l’Obs. 2, 3 (1900, 1901). 

173) Harvard Coll. Obs. Ann. 48, Nr. 5 (1903). 





18. Die galaktische Kondensation. 281 


18. Die galaktische Kondensation. Durch die Arbeiten Seeligers, 
der auf Schiaparellis Grundlagen weiterbaute, wurde die Erforschung 
der Anordnung der Sterne in neue Bahnen gelenkt. Das diesen Ar- 
beiten zugrunde liegende Material umfaßte 1. die Durchmusterungen '"*), 
2. eine von Üeloria!") ausgeführte Abzählung der Sterne bis 11,5” 
zwischen dem Äquator und + 6° Deklination und 3. die Herschel- 
schen Eiehungen. Seeliger machte dieses Material durch Ausgleichung 
der aus der Verschiedenartigkeit seiner Entstehungsweise folgenden Un- 
gleichheiten möglichst homogen und zeigte dann, daß die Zunahme der 
Sternzahl mit der Größenklasse um so stärker hervortritt, je mehr man 
sich der Milchstraße nähert. Für die helleren Sterne bis 6” schien 
das Gesetz nieht zu gelten.!”) Eine strengere Untersuchung durch 
Seeliger“) an der Hand photometrischer Kataloge bestätigte es indes 
auch für diese Sterne. Einen Versuch zu noch schwächeren Sternen 
vorzudringen, als die Herschelschen Eichungen enthalten, machte 
Kapteyn“'®), indem er für 184 Felder die Zahl der Sterne bis 16” 
aus den zur Verfügung stehenden Blättern der photographischen 
Himmelskarte und anderem Material entnahm. Er stellt die mittlere 
Anzahl der Sterne auf einen Quadratgrad von den hellsten bis zur Größe 
m dar durch die empirische Formel 

0,0323 m 


5 log W2 — 28,69 erde 0,6407 h 
( 5% 
\Vr J 


—-n0 


Zur Bestimmung der mittleren Sternzahl auf 1 Quadratgrad in 
der galaktischen Breite b dient der gleiche Ausdruck mit Werten der 
numerischen Konstanten, die empirisch als Funktionen von b festgelegt 
sind. Ein sehr auffälliges Ergebnis dieser Untersuchung war der Wert, 
den sie ergab für das Verhältnis der Sterndichte in der galaktischen 
Zone zwischen + 20° und — 20° gal. Breite zu der Sterndichte in 


174) Die Resultate der Seeligerschen Abzählungen der Durchmusterungs- 
sterne für 5° breite und 40” in AR. umfassende Zonen sind mitgeteilt für die 
Bonner Durchmusterung des Nordhimmels in München Sitz.-Ber. 14 (1884), 
p. 521—548; für die Schönfeldsche südliche Fortsetzung in München Sitz.-Ber. 
16 (1886), p. 220—251. Die unmittelbaren -Abzählungsergebnisse beider Durch- 
musterungen sind veröffentlicht in München Sternw. Ann. 2 (1891). Die Reduktion 
auf ein festes photometrisches System ist ausgeführt in München Sitz.-Ber. 28 
(1898), p. 147—180. 

175) Milano Osserv. di Brera Pubbl. 13 (1877). 

176) Vgl. Astr. Ges. Vjs. 34 (1899), p. 212 und München Sitz.-Ber. 29, 
(1900), p. 364. 

177) München Sitz.-Ber. 1912, p. 489. 

178) Groningen Lab. Publ. 18 (1908). 


282 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


der die Pole unıgebenden Zone + 40° bis + 90° gal. Breite, von 
Kapteyn „Galaktische Kondensation“ genannt. Sie ergibt sich nach 
p Bl;ik:ci 


Galakt. Kondens. für die Sterne bis 9,5” 14,5” 18,5” 
2,4 6,7 23,8. 

Mit einigen anderen Untersuchungen der Sternverteilung in ein- 
zelnen Zonen der photographischen Himmelskarte!"”) schien diese 
außerordentlich starke Zunahme des Wertes der galaktischen Konden- 
sation mit der Sterngröße schwer vereinbar. So ergeben sich aus einer 
Arbeit Stroobants'?°) über die Verteilung der Sterne in dem zwischen 
den Deklinationen + 24° und — 9° liegenden Gürtel nach den Auf- 
nahmen auf den Sternwarten Paris, Bordeaux, Toulouse, Algier, 
San Fernando: 


Gal. Kond. für die Sterne bis 11,5” nach dem Katal. = 3,7 
13,5” nach den Karten = 5,5. 


Die von Kapteyn gefundenen Zahlen der Sterne der einzelnen 
Größenklassen kann man wie Schwarzschild'?) zeigte, völlig ausreichend 
darstellen durch einen Ausdruck der Form 


(6) log A„= log (A, 41 — U) = «+ Bm — ym? 

mit den numerischen Werten « = 0,596, ß = 0,5612, y = 0,0055. 
Wenn diese Formel auch über den Bereich der beobachteten Werte 
hinaus bis zu beliebig großen Werten von m gilt, so zeigt sie, daß 
die Zahl der Sterne der scheinbaren Helligkeit m mit wachsendem m 
einen Maximalwert annimmt und dann wieder abnimmt bis zum 
Werte 0, mit dem wir zu der endlichen Zahl W, der Gesamtheit aller 
Sterne gelangen. Der Zusammenhang zwischen W, und X, wird aus- 
gedrückt durch 


4 k(m — m*) f 
(7) A. Usr' a fe*az, 


x 


wo die Konstante k - Vi die Streuung der scheinbaren Größen 


und m* = a der Zentralwert der Sterngrößen, d. h. diejenige schein- 


bare Größe bedeutet, bis zu der man zählen muß, um die Hälfte aller 
Sterne zu umfassen, so daß also A, + —= +4. wird. 








179) Ohristie behandelte in The Observatory 22 (1899), p. 268, die Green- 
wicher, Bellamy in London Astr. Soc. Month. Not. 60 (1899), p. 12, die Oxforder 
und Pariser Zone. 

180) Bruxelles Obs. Ann. N. $. 11,.2 (1908). 

181) Astr. Nachr. 185 (1910), p. 85. 


18. Die galaktische Kondensation. 233 


Diesen Gedankengang verfolgte auch Charlier.'?®) Er teilte den 
Himmel in 48: inhaltsgleiche durch Stunden- und Parallelkreise be- 
grenzte Areale ein und entnahm für sie der B.D. die Sternzahlen 
für die Grenzgrößen 5,9 vis. = 5,87 phot. und 9,2 vis. = 9,62 phot. 
und den Blättern der photogr. Himmelskarte die Sternzahlen für die 
Grenzgröße 13,89 phot. Die Anwendung der Formel auf ein in der 
Milchstraße gelegenes Areal ergibt 


Anzahl aller Sterne im Areal = 30 Millionen, Zentralgröße = 20,1” 
und für ein zweites den Pol der Milchstraße enthaltendes Areal 
Anzahl aller Sterne im Areal = 630000, Zentralgröße = 17,6". 


Die Behandlung weiterer sieben Areale des Gürtels zwischen 6 = 0" 
und ö6 —= + 30° gibt für die Sternzahl Werte zwischen 600000 und 
5 Millionen, für die Zentralgröße Werte zwischen 16,9” und 19,9” 
Die Streuung der scheinbaren Größen ist nahe übereinstimmend etwa 3,0”. 

Ein einheitliches Bild der Sternverteilung bis zu den Sternen der 
photographischen Größe 11” gewann Henie'?°) durch Verwendung der 
p. 258 erwähnten Harvard Map of the Sky, indem er je 100 Fel- 
der von 1 Diem Größe, entsprechend 25 bis 3D°, auf jeder der 
55 Platten abzähltee Die graphische Darstellung der erhaltenen 
Sternzahlen auf den Quadratgrad, die den Verlauf der Grenzlinien 
der Zonen gleicher Sterndichte wiedergibt, läßt den ganz unregel- 
mäßigen Charakter dieser Zonen und die wolkenförmige Art der 
Sternanhäufungen gut erkennen. Eine weitere Verwendung fand dieses 
Material nach Prüfung seiner Zuverlässigkeit durch H. Nort.'®%) Die 
Sterndichte wird dargestellt durch d = 14,6 + 31,0 cos!?b oder 
log d = 1,096 + 0,522 cos?b. Weiter findet Nort 


Galakt. Kond. für die Sterne bis 11” — 2,6. 


Die Anwendung der Formeln 5, 6 ergibt als scheinbare Zentralgröße 
18,32”. 

Das bis zu den Sternen 17” reichende Material der Franklin- 
Adams-Karte des Gesamthimmels (s. p. 259) verwerteten Chapman 
und Melotte, indem sie für 750 über den Nordhimmel verteilte Felder 
die Sterne von 12” bis 17,5” abzählten und zur Ergänzung für die 
helleren Sterne anderes schon vorhandenes Material benutzten. Die in 
der Originalarbeit!#°) abgeleiteten Resultate sind durch eine fehlerhafte 
Anordnung der Zählmethode systematisch verfälscht. Nach Berichti- 


182) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 8 (1912). 

183) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 10 (1913). 

184) Utrecht Obs. Recherches 7 (1917). 

185) London Astr. Soc. Mem. 60, Part 4 (1914). 


284 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


gung derselben'*) ergeben die Zählungen für die galaktische Kon- 
densation die Werte 
Galakt. Kondens. für die Sterne bis 5” 16m 17,6” 
2,1030: 
Aus Zählungen auf 88 auf dem Mt. Wilson Observatory aufgenom- 
menen Kapteynschen Auswahlfeldern leitete F. H. Seares'?”) die Stern- 


zahlen bis 17,5” (photogr.) auf den Quadratgrad ab. Diesen Zahlen 
entspricht nach van Rhijn der Wert 


Galakt. Kond. für die Sterne bis 17,6” — 10,2. 


65 Aufnahmen der Kapteynschen Auswahlfelder vom Harvard 
Coll. Obs. bilden auch für die Sterne von 10” bis 15” die Grundlage 
einer Bearbeitung der Sternverteilung in ihrer Abhängigkeit von der 
galaktischen Breite durch P. J. van Rhijn“*®), die für die Sterne von 
6,5” bis 8,5” durch schon vorhandene Zählungen in der Greenwicher 
Zone + 64° bis + 90° des Astrographischen Katalogs, für die Sterne 
5,9” bis 7” durch solche in der Göttinger Aktinometrie ergänzt wird, 
während für die Sterne bis 5,5” die Harvard Photometry nach Re- 
duktion ihrer Größenangaben auf die photographische Skala benutzt 
wurde. Als Darstellung der Sternzahlen gemäß Formel (6) findet 
van Rhijn 
(8) log A„—= — 0,007 + 0,6686m — 0,01311m?. 

Analytisch ist diese Darstellung gleichwertig mit dem Ausdruck 
By Ai a C=336.10° R—=0,1737 m, — 25,50. 
7 
Die Diskussion in bezug auf die Galakt. Kond. ergibt 
Galakt. Kond. für die Sterne bis 10” 16” 
Be. DD. 

Es wird auch gezeigt, daß die von Kapteyn bei der ersten Be- 
arbeitung (Gron. Publ. 18) gefundenen Werte nach Übergang von der 
visuellen Größenskala, für die sie gelten, auf die photographische Skala 
und unter Berücksichtigung der bekannten größeren aktinischen Wirk- 
samkeit der Milchstraßensterne sich den neueren Werten völlig an- 
schließen. 

Während man sich bei den Versuchen zur Darstellung der Stern- 
zahlen in der Regel darauf beschränkte, sie als Funktion der galakti- 
schen Breite aufzufassen, und die Abhängigkeit von der galaktischen 








186) London Astr. Soc. Month. Not. 78 (1917), p. 66. 
187) Washington Nat. Acad. Proc. 3 (1917), p. 217. 
188) Groningen Lab. Publ., Nr. 27 (1917). 


wi 
18. Die galaktische Kondensation. 285 


Länge als gesetzlos betrachtete, versuchte H. ©. Plummer'?®) eine Dar- 
stellung der Henieschen Sternzahlen nach der Harvard Map of the Sky 
durch Kugelfunktionen der galaktischen Länge und Breite und wurde 
dadurch zu einem Gradienten der Sterndichte mit einem Minimum in 
«= 113%, 6 = + 55° und einem Maximum im gegenüberliegenden 
Punkte der Sphäre mit einer Amplitude von 20 Sternen auf den 
Quadratgrad, sowie zu Andeutungen eines Zusammenhangs der Stern- 
verteilung mit der Zweischwarmtheorie der Sternbewegungen, die auch 
Nort'®®) schon bemerkt hatte, geführt. 

Mit einer Darstellung der Seeligerschen Sternzahlen der B.D. 
bis 9,5” durch Kugelfunktionen in ÄR. und Deklination hatte sich 
schon A. Prey!) zur Ermittelung eines mathematischen Ausdrucks 
der Gesetze der Sternverteilung beschäftigt. 

Versuche, wie sie schon von Duner!?!) unternommen sind, den 
Aufbau des Gesamtsystems auch in seinen einzelnen Teilen, den 
Spektralklassen, zu verfolgen, konnten nicht zum Ziele führen, bevor 
ein ausreichendes Material zu Gebote stand. Dies ward aber erst 
durch den ersten Draper-Katalog (Harv. Ann., Vol. 27) zugänglich, 
und bei der Diskussion und der Zerlegung und Ordnung der Angaben 
dieses Katalogs über die Spektren der Sterne!??) durch Pickering traten 
auch sofort die wesentlichen Züge der Gliederung des Systems in der 
Verteilung der Spektralklassen zutage, und es verblieb der weiteren 
Forschung nur noch die Aufgabe der Klärung und Vertiefung. Picke- 
rings Schlußfolgerung, daß die Sterne, deren Spektrum dem der Sonne 
ähnlich ist, gleichförmig über den Himmel verteilt sind, die Milch- 
straße aber eine Anhäufung von Sternen des ersten Typus darstellt, 
wurde durch J. .M. Boraston'‘”?) graphisch illustriert und, allerdings 
ohne gesicherte Ergebnisse, zu einer Zusammenfassung der Sterne zu 
zusammengehörigen Gruppen zu verwerten gesucht. In gleicher Weise 
wie die allgemeine Sternverteilung stellte Stratonoff'”*) auch die Ver- 
teilung der Sterne des ersten und zweiten Spektraltypus bildlich dar 
durch Karten, in denen die Zonen gleicher Dichtigkeit in verschieden 
tiefer Färbung zur Anschauung gebracht werden. Dabei trat nun be- 
sonders bei den Siriussternen ein dem Draper-Katalog anhaftender 
Mangel hervor, der in einer verschieden langen Belichtungszeit der 


189) London Astr. Soc. Month. Not. 78 (1918), p. 668. 

190) Wien Denkschr. 63 (1896). 

191) Stockholm Akad. Handlingar 21, Nr. 2 (1884), p. 126. 
192) Harvard Obs. Ann. 26 (1891), p. 145. 

193) Astr. und Astroph. 12 (1898), p. 57. 

194) Taschkent Obs. Publ. 2 (1900). 


” 


286 VI2, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


äquatorialen und der polaren Himmelszonen besteht und zu einer 
systematischen Verfälschung der berechneten Dichte Anlaß geben 
kann. McOlean stand bei einer Untersuchung!”) der Verteilung der 
Spektralklassen ein einheitliches mit dem gleichen Objektivprisma er- 
langtes Material des nördlichen und des südlichen Himmels zur Ver- 
fügung, das allerdings nur die 276 Sterne bis 3,5” umfaßt. Geordnet 
nach den fünf Pickeringschen Typen läßt es die starke galaktische 
Kondensation der Heliumsterne und die nahe gleichförmige Verteilung 
der anderen Typen erkennen. Ein reichhaltigeres Material benutzte 
Kobold!) zur Feststellung der Verteilung bei Ordnung nach den 
Vogelschen Spektralklassen mit dem Ergebnis, daß die stärkste Ver- 
diehtung auftritt bei den Wolf-Rayet-Sternen, die bis auf einen weni- 
ger als 9° galaktische Breite haben, dann folgen die Sterne des Typus 
IIIb (Secchis-Typus IV, Klasse N) und darauf die Heliumsterne. Eine 
merkliche Verdichtung ist noch beim Typus Illa (Klasse M) vorhan- 
den. Die Sterne der Typen Ia (Siriussterne) und Ila (Sonnensterne) 
sind gleichförmig über den Himmel verteilt. Die Revised Harvard 
Photometry (Harvard Annals, Vol.50) gibt für die Sterne bis 6,5” 
des ganzen Himmels auch die Spektralklasse in der jetzt üblichen Ein- 
teilung, und im Anschluß an dieselbe ist die Verteilung der Spektral- 
klassen von Pickering'”) untersucht. Eine zweite Arbeit Pickerings 
benutzt das ganze in Cambridge und Arequipa gesammelte Material 
an Sternspektren!”), aus dem bei Teilung der Sphäre in zwei gleiche 
Teile, einen galaktischen Gürtel von 60° Breite und zwei Polarkalotten, 
folgende Zahlen für die Sterne der einzelnen Klassen sich ergeben: 


B A F G K M 
+ 30° bis — 300 370 13190 2851 1358 3883 215 
+ 30° bis + 90° 25 3617 2396 919 ' 3090 ° 168. 


T. E. Espin) vervollständigte das Material noch durch die Hin- 
zunahme der Sterne mit besonderen Spektren (P), der Wolf-Rayet- 
Sterne (O) und der Sterne mit hellen Wasserstofflinien 7 und fand 
dann als Prozentsatz der in den Gürtel von + 30° bis — 30° gal. 
Breite fallenden Sterne der betreffenden Klasse 


Gal. Breite OB BB, Bo wu. KR Br 
+ 30° bis — 30° 100,0 93,8 91,6 86,3 78,5 56,6 55,6 54,3 59,7%, 
0° bis — 90° 70,9 66,3 71,2 68,2 50,9 56,8 57,9 57,3 51,7%. 
195) Astroph. Journ. 7 (1898), p. 367. 
196) Bau des Fixsternhimmels, Braunschweig 1906. 
197) Astr. Nachr. 180 (1909), p. 147, Harvard Obs. Cire. 147. 


198) Harvard Obs. Ann. 56, Nr. 1 (1912). 
+199) Journ. Astr. Soc. Canada 7 (1913), p. 79. 


19. Die äußere Erscheinung der Milchstraße. 287 - 


Er findet weiter, daß bei allen Klassen ein überwiegender Prozentsatz 
der Sterne auf der Südseite der Milchstraße sich befindet, und zwar 
in um so stärkerem Maße, je stärker die Kondensation der Klasse ist. 
Aus den von Kapteyn und van Rhijn®) gegebenen Sternzahlen der 
Spektralklassen erhält man für die Galaktische Kondensation bei den 
einzelnen Klassen der Sterne bis 8” die Werte 


B Pe en el u A; 
Gal. Kondens. 187 44 13 11.16 190. 


Die Gesamtzahl aller Sterne wird angegeben: 
Sterne bis 6,75” nach Pickering — 11004 strenge Auszählung 


= 4 ® ».....Henie —= 1013328 nach Teilzählungen auf 
der Harvard Map 
H N „ :.Nort = 1075200 nach Teilzählungen auf 


der Harvard Map 
11,5 „  Stroobant = 2676000 nach Teilzählungen im 
Astrograph. Katalog 
r „13,5 „  ÖStroobant = 9854000 nach Teilzählungen auf 
der Astrograph. Himmelskarte 
Mr „ Grenze der Herschelschen —= 20 Million. nach Herschels Schät- 


” ” 


Teleskope zung 
. „ Grenze der Herschelschen = 27 Million. nach Seeligers Diskus- 
Teleskope sion der Herschelschen Eichungen 


s „16” nach van Rhön = 32 Million. nach Ausgleichung 
der Zählungen 


u 7 » Chapman = 54,9 Million. nach Teilzählungen 
u. Melotte auf der Franklin- Adams-Karte 
. „17—18 „ Gore — 64 Million. nach Zählungen auf 


Aufnahmen von Roberts _ 

n. „A=0 „ Seeliger = 10 Milliarden nach Ausgleichung 
der Zählungen 

” „H=m „ van Rhijn = 3,36 Milliarden nach Ausgleichung 
der Zählungen 


r „A=oo „ Chapman = 1-—2 Milliarden nach Ausglei- 
u. Melotte chung der Zählungen 

3 „H=®x „ Het- =-7Milliarden nach Ausgleichung 
sprung der Zählungen. 


19. Die äußere Erscheinung der Milchstraße. Diese haben ver- 
: schiedene Beobachter in bildlichen Darstellungen festzuhalten versucht. 


200) Groningen Lab. Publ. 30 (1920). ; 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2,B. 19 


988 VIsa, 23. HZ. Kobold. Stellarastronomie. 


Einen Überblick über die älteren hierher gehörigen Arbeiten gibt Haston 
in seiner sogleich anzuführenden Monographie. Im Atlas Coelestis Novus 
von Heis und der Uranometria Argentina von Gould ist gegenüber sonsti- 
gen Himmelskarten, die sich mit einer rohen Andeutung des Laufes der 
Milehstraße begnügen, eine treue Wiedergabe des Bildes der Milchstraße 
angestrebt. Houzeaus Zeichnung in der Uranometrie generale sucht 
den Verlauf der Linien gleicher Helligkeit, Isophoten, festzuhalten. 
Der Milchstraße allein, der Darstellung der Lichtabstufungen, der 
Verästelungen und Durchbrechungen in ihr sind die Arbeiten von 
Boeddicker?°') und Easton®?) gewidmet. Die Milchstraße des südlichen 
Himmels in photographischen Aufnahmen von großer Schönheit ist 
in den Harvard Annals 72, Nr. 3 von 8. I. Bailey wiedergegeben. Dem 
Auge nie erreichbare Wunder in dem Sternenmeer der Milchstraße 
enthüllten durch die Photographie Wolf?) und .Barnard.°%) In ein- 
heitlicher, sich in der Wiedergabe den Originalen möglichst treu an- 
schließender Darstellung vereinigte in Umzeichnungen zu bequemer 
Gegenüberstellung und Vergleichung der Auffassungen F. @00s?®) die 
Arbeiten von Heis, Gould, Easton, .Boeddicker, Houzeau und Wolf in 
einem Atlas der Milchstraße. 

Isophotenkarten der Milchstraße wurden außer dem schon er- 
wähnten ersten Versuch von Houzeau noch hergestellt von Pannekoek?°) 
auf Grund umfassender langjähriger Stufenschätzungen, von Graf?) 
und Hopmann?”®) nach genauen Photometermessungen und an sie sich 
anschließende Stufenschätzungen. Hopmanns Arbeit berücksichtigt den 
ganzen Umfang der Milchstraße, während Pannekoek und Graff nur 
die nördliche Milchstraße erforschten. 

Schiaparelli und Stratonoff””°) waren durch ihre bildlichen Dar- 
stellungen der Verteilung der dem freien Auge sichtbaren, beziehungs- 
weise der Durchmusterungssterne zu dem Schlusse gekommen, daß die 
Hauptzüge des Milchstraßenbildes sich schon in der Verteilung dieser 


201) O. Boeddieker, The milky way from the north pole to 10° of S. Decli- 
nation, London 1892. 

202) ©. Easton, La voie lactee dans l’h&misphöre bor&al, Dordrecht, Paris 1893. 

203) M. Wolf, Die Milchstraße, Leipzig 1908. 

204) E. E. Barnard, Photographs of the milky way and of comets, Lick 
Obs. Publ. 11, Sacramento 1913. Ein Atlas of the Milky way mit Reproduktionen. 
von 50 Aufnahmen aus der Milchstraße soll demnächst erscheinen 

205) F. @00s, Die Milchstraße, Hamburg 1921. 

206) Leiden Sternw. Ann. 11, 3. Stück (1920). 

207) Hamburg. Sternw. in Bergedorf, Abh. 2, Nr. 5 ie 

208) Astr. Nachr. 219 (1923), p. 188. 

209) Vgl. Note 171, 172. 


19. Die äußere Erscheinung der Milchstraße. 289 


helleren Sterne erkennen ließen. Plassmann und Arncke?') stellten durch 
Summation des Lichtes der einzelnen Sterne bis 9” in den Trapezen der 
Seeligerschen Abzählungen der Durchmusterungssterne eine Karte der 
Verteilung des Gesamtlichtes dieser Sterne her und folgerten aus dem 
Vergleich mit Milchstraßenzeichnungen gleichfalls, daß schon die An- 
ordnung der helleren teleskopischen Sterne durch die das Phänomen 
der Milchstraße erzeugenden Ursachen bedingt sei. Auf gleichem 
Wege, aber ünter Trennung der Sterne nach vier Helligkeitsgruppen: 
heller als 6,5”, 6,6”— 8,0”, 8,1”—90= und 9,17—9,5”, schließt 
Easton ?''), daß eine Korrelation zwischen der Intensitätsverteilung in 
der Milchstraße und der Sterndichte von den Sternen unter 6,5” ab 
bestehe. Andererseits berechnete Seeliger”"?) aus seinen Sternzählungen 
die Sterndichte in den durch die galaktischen Breitenkreise + 10°, 
+ 30% + 50°, + 70%, + 90° begrenzten Zonen relativ zu der mitt- 
leren Zone 5, die die Milchstraße selbst enthält und deren Sterndichte 
=] gesetzt wird. Die Differenz der Sterndichte der galaktischen 
Zone und des Mittels der Sterndichten der außergalaktischen Zonen 
nennt er den Gradienten und er findet für diesen Gradienten Werte, 
die zwar mit abnehmender Helligkeit langsam wachsen, aber doch so 
klein bleiben, daß sie eine Erklärung der Erscheinung der Milchstraße 
als einer durch die Verteilung der Durchmusterungssterne hervor- 
gerufenen optischen Erscheinung nicht zulassen. Um tiefer in die 
Einzelheiten einzudringen, zählte Easton*"?) für einzelne Stellen der 
Milchstraße, wo helle und schwache Partien derselben dicht beieinan- 
der liegen, die Sternzahlen nach der Durchmusterung, nach den 
Eichungen Herschels, Epsteins und Celorias und nach Blättern der 
photographischen Himmelskarte ab. Er findet, daß im allgemeinen 
keine engere Beziehung zwischen der Verteilung der Sterne bis 8,5” 
und der Milchstraße besteht und daß erst die Sterne schwächer als 
8,5” anfangen, zu dem Lichte der Milchstraße beizutragen. An ein- 
zelnen Stellen, namentlich in der Cygnusgegend, scheinen ällerdings 
auch die helleren Sterne eine deutliche Verknüpfung mit der Milch- 
straße zu besitzen, indem die Sternzahlen für alle Helligkeitsstufen 
von den hellsten bis zu den Sternen 14” mit der Helligkeit der 
Milchstraße gleichlaufend wächsen. Daß diese Erscheinung aber nur 
lokale Bedeutung haben könne, geht nach Seeliger?'*) hervor aus einer 


210) Mitt. d. Verein. v. Freund. d. Astr. u. kosm. Phys. 3 (1893), p. 102. 
211) Amsterdam Akad. Verhandl. 8, Nr. 3 (1903). 
212) München Sitz.-Ber. 14 (1884), p. 521 und 16 (1886), p. 920. 
213) Astr. Nachr. 137 (1895), p. 81. 
214) München Akad. Abh. 19, 3 (1898), p. 619. 
19* 


290 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Gegenüberstellung der Sternzahlen der Durchmusterungssterne und 
derjenigen der Eichungen der beiden Herschel für zwölf Stellen der 
Milchstraße, an denen die Eichungen große Unterschiede aufweisen. 
Diese kommen in den Sternzahlen der Durchmusterungen nicht zum 
Vorschein. Nort?") diskutiert die Henieschen Sternzahlen der Harvard 
Map auch nach dieser Richtung. Er stellt eine der Eastonschen Iso- 
photenkarte der nördlichen Milchstraße entsprechende Karte auch für 
die südliche Milchstraße her und vergleicht nun eine Karte der Stern- 
dichten bis 11” in der in 216 Felder geteilten Zone zwischen den 
galaktischen Breitenkreisen + 18° und — 18° mit diesen Karten. Er 
kann dann bei der nördlichen Milchstraße eine ziemlich gute Über- 
einstimmung in dem zwischen den Längen 135° und 180° liegenden 
Teile feststellen; im übrigen Verlauf ist die Ähnlichkeit der beiden 
Darstellungen geringer und fehlt teilweise gänzlich. Auf der Süd- 
halbkugel entsprechen sich die beiden Darstellungen noch weniger. 
Trennt man die Sterne 9,0” bis 11” ab, so zeigt sich, daß diese sich 
ebenso verhalten wie die Gesamtheit der Sterne bis 11”, daß also 
auch die Verteilung der Sterne 9,0” bis 11” nicht in engerer Be- 
ziehung zur Intensitätsverteilung in der Milchstraße steht. 

Die teilweise sich widersprechenden Resultate der verschiedenen 
Bearbeiter bezüglich der Stellung der helleren Sterne zur Erscheinung 
der Milchstraße veranlaßten neuerdings J. C. van de Linde?) zu einer 
nochmaligen Erörterung der Frage unter völliger Loslösung der dem 
freien Auge sichtbaren Sterne von den schwächeren teleskopischen, 
was besonders deshalb nötig erscheint, weil den absolut hellen Ster- 
nen eine durch besondere ihnen innewohnende Eigenschaften charak- 
terisierte abgesonderte Stellung zuzuweisen sein dürfte. Es wird die 
nach der Prüfung als bis zur Größe 6,5” für den Nordhimmel und 
bis 6,4” für den Südhimmel als vollständig anzusehende Revised 
Harvard Photometry zugrunde gelegt und die Verdichtung der dem 
freien Auge sichtbaren Sterne in der Milchstraße als Verhältnis der 
durch graphische Ausgleichung der Abzählung von 10° breiten galak- 
tischen Zonen gewonnenen maximalen Sterndichte zu der minimalen 
im galaktischen Pol auftretenden zu 2,73 gefunden. Aus van Rhins 
Sternzahlentafel wird in gleicher Weise der Wert 3,18 abgeleitet. 


LOB cr... 
F 1,85, @ 1,93, K 1,52, M 1,17. Die Zone größter Dichtigkeit der 
Sterne bis 6,5” wird bestimmt durch Aufsuchen der Maxima der 


Für die einzelnen Typen ergeben sich die Zahlen: B 


215) Vgl. Note 184. 
216) De Verdeeling der heldere Sterren, Rotterdam 1921. 


20. Der Spektralcharakter der Milchstraßensterne. 291 


Sterndichte in 36 Zonen, die zwischen 10° voneinander abstehenden 
Längengraden enthalten sind, und Ausgleichung durch eine Sinuskurve. 
Es wird ein gegen den galaktischen Äquator unter 7° geneigter Kreis 
mit dem Pol « = 182%, ö = + 28° und dem sphärischen Radius 92,4° 
gefunden. 

In der galaktischen Kondensation kommt das Licht der Sterne 
der Milchstraße nur in verkleinertem Maße zur Geltung. Das überaus 
starke Anschwellen des Wertes dieser Größe bei den allerschwächsten 
Sternen, etwa von 16” ab, zeigt indes, daß diese Sterne im wesent- 
lichen zum Bau der Milchstraße beitragen. 


20. Der Spektralcharakter der Milchstraßensterne. Kapteyn?') 
machte bei der Diskussion der südlichen photographischen Durch- 
musterung die Wahrnehmung, daß die Sternzahl der photographischen 
Durchmusterung in und in der Nähe der Milchstraße diejenige der 
Bonner südlichen Durchmusterung und die der Cordobaer Durch- 
musterung im gleichen Areale überträfe und daß sie gegenüber den 
beiden visuellen Durchmusterungen eine fortschreitend um so kleinere 
Zahl liefere, je näher die betrachteten Flächen dem galaktischen Pole 
liegen. Hierfür konnten zwei Erklärungen gegeben werden: Die Sterne 
gleicher optischer Helligkeit sind in der Milchstraße blauer, also rei- 
cher an aktinischen Strahlen, als außerhalb der Milchstraße (Kuapteyn- 
sches Phänomen) oder: Die Größen der Bonner Durchmusterung und 
der Cordobaer Durchmusterung sind abhängig von der Sternfülle. 
Ähnliche Verhältnisse fand auch Scheiner bei einer Vergleichung der 
Bonner Durchmusterung mit den Platten der Potsdamer Zone der 
photogr. Himmelskarte. Er bemerkte?!?) ein Wachsen des Dichte- 
verhältnisses in der Karte und in der B.D. proportional mit der 
Dichte selbst und eine um so größere Anzahl von Sternen unter 9,5” 
in der B.D., je kleiner die Sternzahl der betreffenden Fläche ist. Ein 
dem Kapteynschen Phänomen entsprechendes Verhalten der Stern- 
zahlen bei sternarmen und sternreichen Gegenden der B.D. und der 
Himmelskarte tritt auch nach Scheiner?!?) außerhalb der Milchstraße 
auf, und er hält deshalb die Sternfülle für die direkte Ursache der 
Erscheinung, während die galaktische Breite nur indirekt eingeht durch 
die Abhängigkeit der Sterndichte von derselben. Außerdem kommt 
das Purkinje-Phänomen zur Geltung, nach dem die Empfindlichkeit 
des Auges für die roten Strahlen zunimmt mit abnehmender Hellig- 
keit der Lichtquelle. Für die erste Erklärung des Kapteynschen Phä- 

217) Bull. de la carte du ciel 2, p. 131, Paris 1895. 


218) Astr. Nachr. 147 (1898), p. 1. 
219) Astr. Nachr. 149 (1899), p. 165. 


292 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


nomens sprach dagegen eine von Tucker?) ausgeführte Vergleichung 
mit der Cordobaer Durchmusterung, die ergab, daß die Sterne in der 
Kap-Durchmusterung in der Milchstraße zu hell, außerhalb der Milch- 
straße zu schwach geschätzt seien, und weiter die Feststellung Picke- 
rings?®‘), daß von den im Draper-Katalog vorkommenden Milchstraßen- 
sternen etwa 5 zum Spektraltypus A gehören. Trotzdem fand A. Fath?®) 
bei einigen hellen Wolken der Milchstraße ein dem Sonnentypus ent- 
sprechendes, also @-Spektrum, und man muß also annehmen, daß das 
Pickeringsche Phänomen nur für die näheren Sterne in der Milch- 
straße gilt, daß aber die ferneren, schwachen Sterne, die im wesent- 
lichen den Lichtschimmer erzeugen, wieder den späteren Typen an- 
gehören. Dies wurde von Fath auf Aufnahmen mit rotempfindlichen 
Platten und mit Farbfiltern auch bestätigt gefunden. Ein Überwiegen 
der weißen Sterne in der Milchstraßenzone und nahe gleichförmige 
Verteilung der gelben und roten Sterne über den Himmel wurde auch 
von Müller und Kempf durch eine Diskussion der Farbenschätzungen 
der Potsdamer photometrischen Durchmusterung festgestellt.???) 


21. Ebenen der scheinbaren Sternverteilung. Für die Bestim- 
mung der Lage der Ebene der Milchstraße und der Hauptebenen der 
Sternverteilung kann man ein von einer genäherten Annahme der 
Koordinaten des Poles der gesuchten Ebene ausgehendes Verfahren 
benutzen, wie es Houzeau?*) beschrieben hat. Eine strenge mathe- 
matische Behandlung der Aufgabe wurde von Newcomb??) gegeben. 
Auch das Verfahren der Entwicklung nach Kugelfunktionen und Be- 
stimmung der Lage der Hauptebenen aus den Koeffizienten der Ent- 
wicklung durch Aufstellung der Maximumbedingung ist mehrfach an- 
gewandt. 


220) Astroph. Journ. 7 (1898), p. 330. 

221) Vgl. Note 198. 

222) Astroph. Journ. 36 (1912), p. 362. 

223) Astr. Nachr. 180 (1909), p. 249. 

224) Bruxelles Obs. Ann., Nouv. Ser. 1 (1878), p. 18. Houzeau geht aus von 
Näherungswerten der Koordinaten des Poles der Milchstraße und verbessert sie 
durch ein Näherungsverfahren mit der Bedingung, daß die Abstände von 33 Punkten 
maximaler Helligkeit der Milchstraße von dem gesuchten Punkte möglichst nahe 
— 90° werden. Bezüglich der Lösung der Aufgabe vgl. auch die Ausführungen 
über die Bestimmung des Zielpunktes der Sonnenbewegung nach der Bessel- 
Koboldschen Methode in Nr. 33. 

225) S. Newcomb, On the position of the galactie and other principal planes 
towards which the stars crowd, Washington 1904. N. stellt die Gleichung 
dritten Grades auf, deren drei Wurzeln die Hauptebenen einer räumlichen Ver- 
teilungsfunktion bestimmen. 


21. Ebenen der scheinbaren Sternyerteilung. 293 


Die hauptsächliehsten Bestimmungen der Koordinaten des nörd- 
lichen Poles und ihres von diesem Pole aus gerechneten sphärischen 
Radius für die Milchstraße und für einige andere Hauptebenen der 
scheinbaren Verteilung der Sterne sind: 


Milchstraße. 
Pol 
AR. D. Radius 
Heis??®) 1900 ° 27° 909 
Houzeau ?°') 192,3° + 27,5° 90,3° 
Gould ’®) 190,3° + 27,3° 90° 
Newcomb ??°) 192,80 + 27,20 91,74 
Kobold ?°®) 191,2° +28,0° 91,24 
Graf **) 192,6° —+26,7° 90,0° 


Äquin. 
1855 
1880 
1875 


1900 


1880 
1925 


Hauptebene des Sternsystems. 


Ristenpart?°”) 196,6° + 18,7° 


95,50 
91,90 
92,10 
91,30 
91,60 


1855 Sterne bis 6” 
6” bis 8” 
8” bis 9,5” 
1855 6” bis 9% 
Sterne bis 11” 


Gouldscher Gürtel. 


Prey?°°) 199,35° + 17,99 
Nort?®*) 191° °+27° 
Gould *®) 171,2° +30° 
Newcomb ??°) 179,6° + 26,4 


181,2° +17,4° 

180,0° + 21,5 
Kobold ??°) 191,99? —+.41,20 
van de Linde?!) 182° 28° 


226) Atias coelestis novus, p. VIH. 


227) Vgl. Note 224, p. 21. 


83,80 
92,40 


228) Uranometria Argentina, p. 371. 


229) Vgl. Note 225, p. 17. 
230) Vgl. Note 196, p. 184. 


231) Astr. Nachr. 213 (1921), p. 27. 


1875 

1900 36 hellste Sterne 
1900 alle Sterne bis 2,5” 
1900 alle Sterne bis 3,5” 
1900 40 hellste Sterne 
1900 alle Sterne bis 6,5” 


232) Untersuchungen über die Konstante der Präzession und die Bewegung 
der Sonne im Fixsternsystem, Straßburg Diss., Karlsruhe 1892. 


233) Vgl. Note 190. 
234) Vgl. Note 184. 


294 Vila, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Andere Symmetrieebenen. 


Hertzsprung?®) 182,1° + 27,99 — 1900 1402 Heliumsterne 
189,10 + 26,3 — 1900 98 c- und ac-Sterne 
190,7° + 26,99 — 1900 87 Typus V-Sterne 
194,20 +274 — 1900 228 Typus IV-Sterne 
192,70 +281° — 1900 130 Gasnebel 

Wolf?) 193,4° 428,70 — 1875 Dichtemax. d. Nebel- 

flecke. 


B. Die räumliche Verteilung der Sterne, Extinktion. 


22. Ältere Theorien. Bei der Unzulänglichkeit des zur Ver- 
fügung stehenden Materials hinreichend sicher gemessener Stern- 
entfernungen können wir eine Vorstellung über die räumliche An- 
ordnung der Sterne nur erlangen auf Grund ausreichender, die Be- 
obachtungen verbindender und in Beziehung setzender Hypothesen. Die 
scheinbare Verteilung der Sterne über die Sphäre wird hervorgerufen 
durch die Anzahl und die scheinbare Helligkeit der in einer bestimm- 
ten Richtung erscheinenden Sterne. Abgesehen von der Helligkeit 
wäre sie nur bestimmt durch die Funktion 
D(e) = Anzahl der Sterne in der Volumeneinheit in der Entfernung o. 

Der Einfluß der absoluten Helligkeit der Sterne auf das Bild wird 
bestimmt durch die Funktion 


p(H)dH = Anzahl der Sterne in der Volumeneinheit, deren Leucht- 
kraft zwischen den Grenzen H und H + dH liegt, aus- 
gedrückt in Teilen von D(e). 


Danach ist D(o)-p(H)dH die Anzahl der Sterne in der Volumen- 
einheit, deren Leuchtkraft zwischen den Grenzen H und H+dH 
liegt, und die Zahl der im Areal © an der Sphäre erscheinenden in 
der Entfernung o befindlichen Sterne der absoluten Helligkeit H wird 
(10) 7 — ogtde Die) P(H) AH. 

W. Herschel, der Begründer der modernen Stellarastronomie, ging 
aus von den einfachsten Vorstellungen gleicher absoluter Leuchtkraft 
aller Sterne und gleichförmiger Verteilung der Sterne im Raume ent- 
sprechend der Annahme D(e)-p(H)dH = Konst. Mit Hilfe ein- 
fachster geometrischer Vorstellungen entsprechend einer gleichförmi- 
gen Verteilung der Sterne in äquidistanten Ebenen berechnet er die 


235) Astr. Nachr. 192 (1912), p. 263. 
236) Königstuhl-Heidelberg Publ. 1 (1902), p. 174. 


22. Sternverteilung. Ältere Theorien. 295 


Anzahl der in einem Kegel vom Öffnungswinkel p, dessen Grund- 
ebene um das (n — l)fache des Abstandes zweier Sterne vom Auge 
entfernt ist, zu n?tg?!p, woraus seine Grundformel für die Ent- 
fernung der Grenzschicht, wenn man alle im Gesichtsfelde mit dem 
Radius @ sichtbaren Sterne = v zählt, folgt: 
(11) s— ctg?3p — 1. 

Die dieser Formel zugrunde liegende Annahme Herschels, daß das 
Sternsystem ein begrenztes sei und daß er mit seinen Instrumenten 
bis zu dieser Grenze in den Raum einzudringen vermöge, war mit 
seinen späteren Erfahrungen unvereinbar und führte ihn auf einen 
anderen Weg zur Bestimmung der Entfernungen der Sterne. Er er- 
mittelte durch Versuche an irdischen Gegenständen für seine Fern- 
rohre deren „raumdurchdringende Kraft“, d. i. das Verhältnis der Ent- 
fernungen, in welchen einerseits das betreffende Instrument und an- 
dererseits das freie Auge den gleichen Gegenstand zu unterscheiden 
vermögen, und bestimmte dann mit Hilfe zweier Instrumente, deren 
raumdurchdringende Kraft in einem bestimmten Verhältnis steht, unter 
der Annahme, daß die durchschnittliche Leuchtkraft der Sterne kon- 
stant sei, die mittleren Entfernungen der Sterne 2'*, 3'* usw. Größe 
im Verhältnis zur Entfernung der Sterne erster Größe. Er setzte 
danach die schwächsten dem freien Auge sichtbaren Sterne in die 
12fache Entfernung der Sterne erster Größe und glaubte mit seinem 
größten Instrument bis zu einer Entfernung gleich dem 2300fachen 
der Entfernung der Sterne erster Größe in den Raum eindringen zu 
können. Bezüglich der räumlichen Anordnung der Sterne gewann 
‚Herschel aus seinen Forschungen schließlich die Vorstellung einer längs 
der Ebene der Milchstraße bis in unermeßliche Entfernungen sich er- 
streckenden dünnen Schicht in lockerem Zusammenhang stehender 
Haufen von Sternen, deren einem unsere Sonne angehört. 

Diese Vorstellung bildet auch die Grundlage der Arbeiten 
W. Struves, der in der Richtung der Milchstraße eine konstante Dichte 
annimmt, in der Richtung senkrecht zur Milchstraße aber eine ab- 
nehmende Dichte Er stützt sich bei seinen Arbeiten?®”) auf die 
Besselschen Zonenbeobachtungen zwischen — 15° und + 15° Dekli- 
nation, die einen zur Hauptebene der Milchstraße schrägen Schnitt 
durch den mit Sternen erfüllten Raum darstellen. Das Verhalten der 
Sternzahlen in den einzelnen Rektaszensionsstunden dient ihm als 


237) Vorrede zu M. Weisse, Positiones med. stell. fix. in zonis Regiomon- 
tanis a Besselio inter — 15° et + 15° decl. obs., St. Petersburg 1846, und er- 
weitert in F. W. G. Struve, Etudes d’astronomie stellaire, St. Petersburg 1847. 


296 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Rechtfertigung seiner Hypothese. Er berechnet dann unter Hinzu- 
nahme der Herschelschen Eichungen die Sternzahlen als abhängig von 
der galaktischen Breite d, stellt dieselben dar durch einen Ausdruck 
der Form A-+ Be0s2b+ O cos4b 
er 1+Pcos2b+y cos4b 
und entnimmt diesem Ausdruck für die Dichte o der Sternverteilung 
als Funktion des Abstandes x von der Grundebene der Milchstraße 
den Wert i+ax°+bxt+ca2° +da® 
Tea Fee: 

Aus der Zahl der in der Richtung der Milchstraße in einem be- 
stimmten Areal erscheinenden Sterne der einzelnen Größenklassen 
folgen vermöge der angenommenen gleichförmigen Verteilung in die- 
ser Richtung die relativen Sternentfernungen aus den Kubikwurzeln 
der Zahlen. Söruves Schlußfolgerungen gehen weit über den wirk- 
lichen Inhalt der zugrunde gelegten Beobachtungsdaten hinaus. Gauß 
nennt in seinen Briefen an Schumacher Struves Schrift eine Phantasie- 
spielerei. Kritisch beleuchtet und ablehnend beurteilt sie auch Encke??®?) 
und neuerdings wieder E. Anding.””) Das Verdienst, durch vielseitige 
Verwendung statistischen Materials der Forschung einen neuen Weg 
erschlossen zu haben, kann aber Struve nicht bestritten werden. 

Argelanders Durchmusterungsarbeiten wurden für die Kenntnis 
der räumlichen Verteilung der Sterne bald von fundamentaler Bedeu- 
tung. K. v. Littrow**P) stellte nach den Bonner Sternverzeichnissen die 
erste Zählung der Sterne des nördlichen Himmels nach Größenklassen 
und nach Zonen der Deklination her und benutzte die erlangten Zahlen 
zur Prüfung der grundlegenden Anschauungen. Mit der photometri- 
schen Konstante, dem Verhältnis der scheinbaren Helligkeiten zweier 
aufeinanderfolgender Größenklassen, die nach Gleichung (1) definiert 
ist durch 
(12) log p? = 0,4 


würden bei gleichförmiger Verteilung und gleicher Leuchtkraft der 
Sterne die Sternzahlen in der Beziehung stehen 


(13) e. . Un ı = ’p° log (U, , A,_-ı) Bat 0,6 
” Y.=c:.h,' log U, = e’ + 0,6m. 


238) Astr. Nachr. 26 (1847), p. 337. 

239) Kritische Untersuchungen über die Bewegung der Sonne durch den 
Weltraum, 2. Abschnitt, Kap. II, Leipzig 1910. 

240) Wien Sitz.-Ber. 59 (1869), p. 569; 61 (1870), p. 263. Die Sternzahlen 
finden sich auch Astr. Nachr. 62 (1864), p. 357, und in endgültiger Form 73 
(1869), p. 201. 








= 


22. Sternverteilung. Ältere Theorien. 297 


Littrow findet eine ausreichende Darstellung der Zahl der Sterne 
des Nordhimmels bis zur scheinbaren Größe m durch den Ausdruck 


A, 1,3039 (3,5295). 


Das Verhältnis der Entfernungen der Sternklassen wäre unter 
den gleichen Voraussetzungen 


(14) Om: Om-ı 7 P = 2512 log (Om ° Be) = 02, 
während Littrow findet 
0, = 0,657 (1,523)”, 
ausgedrückt in Einheiten der die Sterne bis zur ersten Größe um- 
schließenden Sphäre. 

Den Littrowschen Zahlen entspricht der Wert 0,3651 der photo- 
metrischen Konstante. 

Eine strengere Darstellung dieser Verhältnisse war erst möglich, 
als man photometrische Größen der Sterne einführen konnte. Der 
Draper-Katalog gab E. C. Pickering Gelegenheit dazu. Er findet, in- 
dem er von halber zu halber Größenklasse abzählt und zur Größe m 


die Sterne zwischen m — 1; und m + i rechnet, aus den Sternen bis 
zur Größe 6,75” den Ausdruck **!) 


A, 4,15 (3,24)”. 


Durch Hinzuziehung weiteren bis etwa zur 13. Größe reichenden 
Materials schließt Pickering auf eine Abnahme des theoretisch zu 3,98 
anzunehmenden Verhältnisses A: W,,_, von 3,34 für m — 0 auf 2,86 
für m = 9,0 und 2,05 für m = 13,0, und R. H. Tucker”) fand durch 
Sternzählungen mittels des 36”-Refraktors der Liek-Sternwarte bei den 
Sternen zwischen 16” und 17” den noch kleineren Wert 1,49. Das 
Nichterfülltsein der Gleichung (13) zeigt, daß es nicht erlaubt ist, 
D(e): p(H)d(H) = Konst. zu setzen. 

Schon (C. A. F. Peters hatte aber die Unvereinbarkeit der Annahme 
auch nur durchschnittlich gleicher Leuchtkraft der Sterne mit der Er- 
fahrung erkannt) und hatte den theoretischen Ausdruck der Stern- 
zahlen aufgestellt unter der Annahme, daß die Leuchtkraft der Sterne 
liege zwischen den Grenzen O0 und einem Maximalwert H und daß für 
jeden einzelnen Stern jede zwischen diesen Grenzen liegende Leucht- 
kraft gleich wahrscheinlich sei. Da dann die größte Entfernung, in der 


ein Stern noch die scheinbare Helligkeit h,, haben kann, -y# ist, 


241) Harvard Coll. Obs. Ann. 48, Nr. 5 (1903). 
242) Astroph. Journ. 7 (1898), p. 330. 
243) Astr. Nachr. 28 (1849), p. 228. 


298 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


so erhält er die Grundformeln für die Zahl der Sterne X, von den 
hellsten bis zur scheinbaren Helligkeit }, und für die mittlere Ent- 
fernung 9, der Sterne der brbeinbaren Helligkeit h,, 


* 
2 


D ist die Anzahl der Sterne in der Volumeneinheit. 

Die Grundformel Herschels und Struves, nach der die Entfernungen 
der Helligkeitsklassen wachsen mit der Kubikwurzel aus den Stern- 
zahlen, blieb also auch bei dieser Annahme bestehen. 

Daß die Proportionalität der mittleren Entfernungen der Größen- 


klassen mit dem reziproken Wert der Quadratwurzel aus der schein- 
konst. 


Vhm 

homogener Mischung der absoluten Helligkeiten zeigte Schiaparelli **) 
in anschaulicher Weise. 

H. Gylden*®) ließ auch die von Peters noch vorausgesetzte gleiche 
Wahrscheinlichkeit aller Leuchtkräfte fallen und stellte zuerst die be- 
züglich der Leuchtkraft allgemeine Formel auf 
# 


hm 


U. oD Jan | pineYe'ae 


ho? als Unabhängige einführend, zeigt Gylden, weil wegen der Kon- 
stanz von H der Wert des nach ho? genommenen Integrals von h 
unabhängig ist, daß wieder die Gleichungen bestehen 


Ei 
23. Seeligers Untersuchungen. Die weitergehende Verallgemei- 
nerung auch in bezug auf die Verteilung nimmt Seeliger vor, gleich- 
zeitig die mathematische Behandlung des Problems auf die breiteste 
Grundlage stellend. 


baren Helligkeit, 0, = auch noch gilt bei willkürlicher aber 


244) Milano Osserv. di Brera Pubbl., Nr. 34 (1889). 
245) Stockholm Akad. Förhandl. 1872, Nr. 7. 


23. Seeligers Untersuchungen. 299 


Die den Beobachtungen zu entnehmenden gegebenen Daten sind 
die scheinbare Verteilung der Sterne und ihre mittlere Entfernung. 
Sie sollen dienen zur Bestimmung von drei unbekannten Funktionen: 
der räumlichen Anordnung der Sterne nach ihrer Anzahl und ab- 
soluten Helligkeit, also der Dichtefunktion und der Leuchtkraft- 
funktion, und dann der Beziehung zwischen scheinbarer Helligkeit 
und Leuchtkraft mit Rücksicht auf eine etwaige Absorption des 
Lichtes. Die Beobachtungsdaten und die gesuchten Funktionen sind 
miteinander verbunden durch die beiden Integralgleichungen für die 
Sternzahl und für die mittlere Parallaxe. 

Bezüglich der Leuchtkräfte wird von vornherein die Annahme ge- 
macht, daß eine bestimmte obere Grenze H der Leuchtkräfte bestehe. 
Während bei gleichförmiger Verteilung, gleicher Leuchtkraft aller 
Sterne und einer dem photometrischen Gesetz entsprechenden Ab- 
nahme der scheinbaren Helligkeit mit dem Quadrat der Entfernung 
die Beziehungen gelten 


A„=c-h,’, log4,=e-+0,6m, loge„—1log (An: 4, _1) —=0,3, 
2 


vo|co 


(15) S 
x,„=I Yh,, log x,=Y— 02m, logp,= log (m i Fark) —=(0,1, 
findet Seeliger aus den tatsächlichen Sternzahlen der Durchmuste- 
rungen *®) 
3—4 


Dabei ist A eine von der scheinbaren Helligkeit unabhängige, mit 
der galaktischen Breite sich langsam vom Werte 0,535 in der galak- 
tischen Zone bis 0,775%7) in der Polzone ändernde Größe. 

Im schematischen Sternsystem ist A konstant = 0,655, im typischen 
System ist es dagegen abhängig von der galaktischen Breite, nicht 
aber von der Länge, indem die in letzterer Hinsicht auftretenden Än- 
derungen als nicht gesetzmäßig angesehen werden. Bei der ersten 
grundlegenden Untersuchung war der Gang folgender. Nach der Celoria- 
schen*®) Abzählung der Zone 0° bis + 6° verhalten sich die Sterne 
bis 11,2” so wie die Durchmusterungssterne, die aus den Herschel- 
schen Eichungen folgenden Zahlen W,,, befolgen aber ein anderes 
Gesetz. In der galaktischen Zone verhalten auch die schwachen Sterne 
sich nahezu wie die helleren, außerhalb der Milchstraße dagegen nimmt 


246) München Akad. Abh. 19, Nr. 3 (1898) und mit den endgültig angenom- 
menen Sternzahlen, München Sitz.-Ber. 42 (1912), p. 451—509. 

247) Die Angaben sind der letzten Bearbeitung München Sitz.-Ber. 1920, 
p. 87, entnommen. 

248) Milano Osserv. di Brera Pubbl., Nr. 13 (1877). 


300 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


ihre Zahl sehr viel langsamer zu als die der helleren. Eine Bestäti- 
gung dieser letzteren Folgerung fand Seeliger später**®) in den Stern- 
zahlen W,,ı, und Wyss, die er aus dem Kapteynschen Material in 
Groningen Publ. 18 ableitete. In seiner letzten sich auf die Ab- 
zählungsresultate van Rhijns in Groningen Publ. 27 stützenden Be- 
arbeitung betrachtet Seeliger das Gesetz der scheinbaren Sternverteilung 
als gegeben durch 

1-3 vu weg. 





YW—ch®!, lg, = cd — — m, 
log A, — 0,164 + 0,4700 (m — 9,5) — 0,0048 (m — 9,5)? 
am) gültig bis 9,5", 
log A,, —= 0,764 + 0,4700 (m — 9,5) — 0,01734(m — 9,5)? 
| für Werte m > 9,5. 


(U, bezieht sich auf die Fläche eines Quadratgrades.) 

Der theoretische Ausdruck für die Sternzahl in größter Allge- 
meinheit wird erhalten, wenn man einführt: Die Dichte als Funktion 
der Entfernung D(e), die Helligkeitsverteilung als Funktion der Leucht- 
kraft und der Entfernung p(H, o), die maximale Leuchtkraft als Funk- 
tion der Entfernung H(o) und den Absorptionsfaktor Y(e). Außer An- 
satz bleibt ein Einfluß der Zeit auf den funktionalen Zusammenhang 
der Größen, ebenso die Abhängigkeit vom scheinbaren Ort im schema- 
tischen Sternsystem. Dagegen wird die Möglichkeit ins Auge gefaßt, 
daß das Sternsystem ein begrenztes ist. Liegt die Grenze in der Ent- 
fernung P und ist A, die scheinbare Helligkeit der absolut hellsten 
Sterne an der Grenze 
H(P) p(P) 

"Pp8 ’ 
so ist die Sternzahl bis zur scheinbaren Größe m im scheinbaren 
Areal » für 


h,— 





H(o) 
( m<n „— o[Dioeae| pa, dan o<P 
hm? 
v(e) 
(18) (und für f 
H(e) 


m>n 1u= o[Dio)erägfpih, cart 


hm 9? 
v(e) 


Die Entfernung 6, in der die absolut hellsten Sterne die schein- 
bare Helligkeit h,, haben, ergibt sich aus 


H (6) % (6) Pe A 
Pr m 


249) München Abh. 25, Nr. 3 (1909) und Astr. Nachr. 182 (1909), p. 229. 








25. Seeligers Untersuchungen. 301 


Die mittlere Parallaxe der Sterne der scheinbaren Größe m ist 
nach den gleichen allgemeinsten Annahmen für 


D 2 oe’ a Am? d 

J ee 

(19) m<n = — 
Div: __.pfm Na 

f ee 

Wenn m >n, so ist als obere Grenze statt 6 zu setzen P. 

Da das vorhandene Material zur Lösung der Aufgabe in dieser All- 
gemeinheit nicht ausreicht, müssen Beschränkungen eintreten. Setzt 
man die Helligkeitsggrteilung als unabhängig von der Entfernung, also 
überall im Raume daSgelbe Mischungsverhältnis der Leuchtkräfte vor- 


aus, und betrachtet demef%gprechend auch H als unabhängig vom Orte, 
so ergibt sich mit ® 


0, 
LBEOIR Tal U(e) 
77%) md Aka), D(e) Ye) — te W‘(e)? 

















u 
2 





so daß A(e’) die scheinbare, noch %%, Binfuß der Absorption ent- 
haltende Dichte ist %s 
a’ H 
’ 9% [4 x ’ H 
20) 4,=oJAle)o””do Sean, 6 -Vr- 
0 me’? 


Mit der den Beobachtungen entnommenen innerhalb der Unsicher- 
heit der Beobachtungen bis etwa 10” geltenden Beziehung (17) 
2-8 
Y,=c-h?: 
ist dieser Ansatz, Stetigkeit vorausgesetzt, nur zu vereinigen, wenn 
MM) Aey—r-eit,. : Dry Or 


TORE 
gesetzt wird. Läßt man schließlich auch die Absorption außer Be- 


tracht, so vereinfachen sich die Formeln weiter in 
f Dre), ; 
Au o | Dio)e:ao [piH)au 

ö 


hm 0? 
N 


22,1 men. = Doeaofomean, a zu 
0 Am 


0’ 


SP e'p(n,.e) de 
0 





’ 





JS» (ey ep (he?) de 
1) 


302 VIsa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


für m>n ist als obere Grenze des Integrals nach o einzuführen 
Pr H 
o6 = Vr 
1238 

Soweit die Relation Y\),—=c-h ? gilt, wird 
wobei I’ unabhängig von h,,, aber Funktion von p(H) und A ist. Die 
so erhaltenen Parallaxen nennt Seeliger normale Parallaxen. Die Ver- 
gleichung der normalen Parallaxen mit den mittleren Parallaxen 
hätte zu entscheiden, ob die drei VorauSekzungen der Formeln: p(H) 

—3 

Da die Parallaxen zu wenig bekannt sind, kommen für die Unter- 
suchung der Konstitution des Fixsternsystems nur die Gleichungen 
für X, in Betracht und die Gleichung für =, kann nur zur Kon- 
trolle dienen. 

Aus einer von @. C. Comstock?) zusammengestellten Liste von 
235 sicher bestimmten Fixsternparallaxen leitet Seeliger?°') den bis 
M = 6 den Beobachtungen sich genügend anschließenden Ausdruck 

p(m,) = 15,55 (1 + 0,266 m, — 0,002 m?) 
ab, worin m, die zu == 0,2” gehörende absolute Helligkeit ist. 
Daraus folgt für die zu H gehörige größte absolute Helligkeit — 3,62 
oder für die Sternweite als Entfernungseinheit mit m = M + 3,495 


M,= - 112. 
Comstock hatte aus der Diskussion des Parallaxenmaterials weiter 
geschlossen, daß p(H) sehr genähert dargestellt werden kann durch 


(24) KA)—T 7:18 (7): 

Bei Einführung dieses Ausdrucks für die Leuchtkraftfunktion in 
die Integralgleichung für WA, erhält man für die Grenzgröße den Wert 
n = 11,91” und damit eine genügende Darstellung der beobachteten 
Sternzahlen, und zwar auch der Werte Y,,;, und Y,sı. Dagegen 
lassen sich die mit diesen Annahmen berechneten normalen Parallaxen 
mit der Kapteynschen empirischen Formel nur bei Annahme einer 
gänzlich unzulässig großen Absorption in Einklang bringen, aus der 
eine außerordentlich starke Zunahme der Sterndichte gegen die Grenze 


des Sternsystems folgen würde. Der zur Bestimmung der Dichtefunktion 
1-8 


benutzte Ausdruck Y\|=c-h ? schließt sich den beobachteten Stern- 





250) Astron. Journ. 25 (1907), p. 172. 
251) München Abh. 25, Nr. 3 (1909), p. 21. 


23. Seeligers Untersuchungen. 303 


zahlen mit A= 0,43 nur bis m = 11,2 genügend an, während die 
Werte W,,;0 und Y,,s, nicht mehr dargestellt werden, sondern das in 
der zweiten Gleichung (17) auftretende Zusatzglied erfordern. Es kann 
daher der für m > n geltende Ausdruck für W,, nach den Gleichungen 
(18) zu einer Bestimmung von p(H) herangezogen werden. 

Die Darstellung der beobachteten mittleren Parallaxen kann nur 
erzielt werden durch eine Erweiterung des Ausdrucks für D(e), die 
jedoch nur für kleine Werte von g zu merklichen Änderungen der 
Dichteverhältnisse führen wird. Mit dem erweiterten Ausdruck von 
D(e) wird sich der Ausgangswert von p(H), für das der Ansatz gilt 


ee) al) 


ändern. Damit ist ein Weg sukzessiver Näherung gegeben, der 
Seeliger?°‘®) zu einer genügenden Darstellung sowohl der Sternzahlen, 
wie auch der mittleren Parallaxen durch die Ansätze 


1 
26) Dieo)—rye-eli — 0580 3), 


(27) (H)= e 02001 (16 (4) )- .. 10s(7) er = Hr e ) 18384 +0,04) # 


führte. Das zweite Glied des Ausdrucks von p(H) kommt dem ersten 
gegenüber nur bei M, sehr naheliegenden Werten von M in Betracht. 

Aus dem nach Kapteyn angenommenen Werte x, .m = 0,0383” 
bestimmt sich dann aus der Integralgleichung für =,, deren Inte- 
gration für die „normale Parallaxe“ auf den Ausdruck führt 
1.55" hr, 


(28) | 


|10g 7. = 0,1460 + 0,2(M, — m), 
die absolute Maximalgröße zu M,—= — 8,11, die in der endgültigen 
Rechnung zu M,= — 7,3 angenommen wird. 


Die aus der Formel (28) sich ergebenden Parallaxen schließen 
sich den mittleren Parallaxen, die J. ©. Kapteyn [Astr. Nachr. 146 
(1893), p. 107] abgeleitet hatte und die dargestellt werden durch die 
Formel 

log x, = — 0,975 — m - 0,1505 
nicht an. Dieser Anschluß wird aber”?) erreicht durch Einführung 
des geänderten Dichtegesetzes nach den Ausdrücken (26), (27) in die 
Integralgleichung für x,. In der folgenden Tabelle sind die den ver- 


2513) München Sitz.-Ber. 41 (1911), p. 413—461. 
252) München Sitz.-Ber. 50 (1920), p. 87—144. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 20 


304 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


schiedenen Annahmen entsprechenden mittleren Parallaxen für einige 
Größenklassen zusammengestellt: 

2m 4m 6m gm 10m 
Formel (28) 7, = 0,0611” 0,0243” 0,0097” 0,0033” 0,0015” 
Seeligers Endwerte 0,0482 0,0264 0,0136 0,0065 0,0029 
Kapteyn 0,0530 0,0265 0,0133 0,0066 0,0033: 


Die Grenzgröße, unter der die absolut hellsten Sterne an der 
Grenze des schematischen Sternsystems erscheinen, wird bei der An- 
wendung auf das neuere Zahlenmaterial zu 9,5” angenommen. Der 
Abschwächung von — 7,8” auf 9,5” entspricht nach Formel (3) eine 
Parallaxe von 0,00035” oder eine Entfernung von 2884 Sternweiten. 
Der numerische Ausdruck der Dichte im schematischen Sternsystem 
ist nach Seeligers letzter Bearbeitung (bei Einführung der Sternweite 
als lineare Entfernungseinheit) 





(29)  10g.D(g) — 1,212 — 0,655 logg + log (1 — 7 
e 
Die Bestimmung des typischen Sternsystems?°®) erfolgt in der 
Weise, daß die den einzelnen galaktischen Zonen entsprechenden Werte 
von Y, mit m <n zur Bestimmung der Konstanten der Dichtefunktion 


1 
unter Beibehaltung des Zusatzfaktors — 0,580 ? benutzt werden und 
daß dann die Grenzgröße den Werten A, mit m >n angepaßt wird. 
Das sich bei Verwendung des neueren Materials ergebende stark ab- 
geplattete Ellipsoid, dessen Grenze in der Ebene der Milchstraße in 
etwa viermal größerer Entfernung liegt als in der Richtung nach den 
Polen der Milchstraße, ist durch folgende Werte charakterisiert 


[d 0-+10 +30°— +50° + 70° — + 90° 
A 0,535 0,715 0,775 
(30) 
n 10,0 85. 7,0 
IP 3625 1800 900 





Die der ganzen Darstellung noch anhaftende Unwahrscheinlichkeit: 
einer bevorzugten Stellung der Sonne, derart, daß die Verteilung der- 
Sterne in bezug auf die Sonne als Nullpunkt nach allen Richtungen 
symmetrisch sei, behebt Seeliger?°*) durch eine Darstellung der Grund- 
zahlen, die auf der Annahme beruht, daß die Sonne in einem bis zu 
der Entfernung a = 25 Sternweiten sich erstreckenden Raume mit der 
gleichförmigen Dichte A = y stehe und daß erst über die Grenze die- 


253) München Sitz.-Ber. 42 (1912), p. 451—509. 
254) Astr. Nachr. 201 (1915), p. 3. 


24. Folgerungen aus der Seeligerschen Theorie. 305 


ses Bereichs hinaus die Dichte dem Gesetze A — (2) folge. Mit 


= 0,45 wird eine ausreichende Darstellung der Sternzahlen und mitt- 
leren Parallaxen erhalten. Weiter ergibt sich, daß im typischen Stern- 
system die für die einzelnen galaktischen Zonen gefundenen Werte 
der Konstanten der Dichtefunktion in der Tat zu nahe konstanten 
Werten der Dichte bis e—= 25 führen, so daß die Annahme, die Sonne 
stehe im Mittelpunkt des Systems, bedeutungslos wird. 


24. Folgerungen aus der Seeligerschen Theorie. Eine charakte- 
ristische Eigenschaft des Sternsystems ist die für die verschiedenen 
Spektraltypen festgestellte verschiedenartige Verteilung in bezug auf 
die Milchstraße. Eine Erklärung dieser Tatsache ergibt sich nun, 
wenn man voraussetzt, daß den einzelnen Spektralklassen zwischen 
bestimmten Grenzen A,, H, liegende absolute Leuchtkräfte der Sterne 
entsprechen, und wenn man im typischen Sternsystem mit den Aus- 
drücken (26), (27), also einer überall gleichen Häufigkeitsfunktion der 
Leuchtkräfte und einer mit dem Orte sich ändernden Dichte — [die 
Rechnung wurde auch mit dem Schwarzschildschen Ansatz 

Dom nerzttent 

(vgl. p. 313 Gl. (39)) durchgeführt] — und den A-Werten der einzelnen 
galaktischen Zonen die Anzahl der Sterne bis zur scheinbaren Größe 
6,25 berechnet, die zwischen den Grenzwerten A, und H, der Leucht- 
kraft liegen. Seeliger erhält”°°) für die verschiedenen Spektralklassen 
eine Verteilung, die der von Pickering aus dem Draper-Katalog?°*) 
abgeleiteten Verteilung der Sterne bis 6” der verschiedenen Typen 
nahe entspricht, wenn er für die absoluten Helligkeiten die Grenzen 
wählt: 


Typus B A FG K M 
My — 43 — 3,52 — 2,0 + 0,0 + 2,0 
Mm, — 3,52 — 2,0 — 0,0 + 2,0 +. 


Seeliger hält sich durch das Ergebnis dieser Rechnung zu dem 
Schluß berechtigt, daß mit den für das typische Sternsystem gemachten 
Annahmen die Verteilung der einzelnen Sterntypen in bezug auf die 
Milchstraße sehr nahe dargestellt werden könne. Eine mit der An- 
näherung an die Milchstraße stark zunehmende prozentuale Häufigkeit 
der großen Leuchtkräfte würde demnach als ein Hauptmoment bei der 
Sternverteilung wirken. 

Auch die durch die Beobachtung festgestellte Beziehung zwischen 


255) Astr. Nachr. 193 (1912), p. 161; 194 (1913), p. 187. 
256). Harvard Coll. Obs. ann. 64, Nr. 4 (1912). 
20* 


306 VI 2,23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


den Radialgeschwindigkeiten oder den daraus folgenden totalen Ge- 
schwindigkeiten der Sterne mit der scheinbaren Helligkeit findet sich 
durch die Theorie bestätigt, wenn man die nachgewiesene Zunahme 
der Geschwindigkeiten mit dem Spektralcharakter von 9,0 km/see für 
Typus B bis 16,7 km/sec für Typus M hinzuzieht. Ordnet man den 
Spektraltypen wieder eine mit der Reihenfolge B bis M abnehmende 
mittlere Leuchtkraft 7 zu, die absoluten Helligkeiten von — 1,3” für 
B bis + 6,0” für M entspricht, so lassen sich die beobachteten Ge- 
schwindigkeiten darstellen durch 


vm)—692(5) 


und die Auswertung der Integralgleichung 

= U. VA) 

a 
führt zu Werten der mittleren Totalbewegungen, die mit abnehmender 
scheinbarer Helligkeit zunehmen, wie es die Beobachtung verlangt. 
Eine dritte notwendige Folge der theoretischen Ausdrücke der 
‚Dichte- und Leuchtkraftfunktion ist eine Abhängigkeit der mittleren 
Parallaxen von der galaktischen Breite. Nach Gleichung (23) ist =, 
ein Produkt aus Yh, in einen Faktor, der abhängt von p(H) und 4. 
Wird @(H) als unabhängig vom Orte angenommen, so bleibt die Ab- 
hängigkeit von w,, von A, also von der galaktischen Breite bestehen, 
derart, daß die mittleren Parallaxen der Sterne einer bestimmten 
scheinbaren Helligkeit in der Milchstraße kleiner sind als am Pol der- 
selben. Die numerische Auswertung mit den Konstanten der Aus- 


drücke (28) ergibt”) für das Verhältnis #,,;:# ychstrage — 9 die 
Wertereihe 

m — 3,0” 5,0” 10= Re 10,0” 

q=16 1,9 2,2 2,3 25. 


Bei Gleichheit der linearen Eigenbewegungen der Sterne würden 
die scheinbaren Eigenbewegungen in der Milchstraße nur etwa halb 
so groß sein wie am Pol derselben. Die von Boss”°®) für die Sterne 
von der Größe 5,9” und die von Comstock?) für Sterne der Größe 
9,5” abgeleiteten Bewegungen zeigen in der Tat ein entsprechendes 
Verhalten. 

Die Hauptstützen der Seeligerschen Theorie bestehen hiernach 
darin, daß die Sternzahlen A, bis etwa 9,2” eine geometrische Reihe 


257) Astr. Nachr. 193 (1912), p. 175. 
258) Astron. Journ. 26 (1910), p. 122. 
259) Washburn Obs. Publ. 12 (1908), p. 22. 


24. Folgerungen aus der Seeligerschen Theorie. 307 


bilden, was bis zur Größe 7,0” am sichersten durch die Potsdamer 
photometrische Durehmusterung erwiesen erscheint®), und daß in der 
Reihe der W, etwa bei 10” eine Diskontinuität auftritt. Ein wich- 
tiger Punkt ist weiter die Annahme einer endlichen maximalen Leucht- 
kraft H. Aus dem Verhalten der 4, folgt dann unmittelbar das 
Dichtegesetz unabhängig vom Verlauf der Verteilungsfunktion g(H) 
und die Endlichkeit des Sternsystems. Die Beweiskraft des Zahlen- 
materials Seeligers sowohl hinsichtlich der Abzählungsresultate als auch 
besonders hinsichtlich der Größenangaben wird durch W. J. A. Schouten 
'bestritten.?®) Nach letzterem nimmt der Quotient «, zweier aufein- 
anderfolgender Werte der W_-Reihe nach der Bearbeitung van Rhijns?®) 
regelmäßig in allen galaktischen Zonen ab, allerdings in der Milch- 
straße langsamer als in höheren galaktischen Breiten. In van Rhijns 
Tafel der Sternzahlen bleibt aber in Wirklichkeit trotz einer Ver- 
besserung derselben durch den Autor?®) die Unstetigkeit doch be- 
stehen.?%) Die ursprünglichen Zahlen van Rhijns lassen sich nach 
@. Deutschland?®) nicht durch eine einzige quadratische Interpolations- 
formel darstellen [vgl. auch die Seeligerschen Formeln (17) selbst], son- 
dern verlangen zu einer hinreichenden Darstellung zwei solcher For- 
meln, die in dem Gebiete zwischen 6,5” und 9,5” ineinander über- 
gehen, indem die erste für die Sterne unter 9,5”, die zweite für die 
Sterne heller als 6,5” unzulässige Abweichungen ergibt. 

Die Frage der Zulässigkeit unendlich großer Leuchtkräfte und 
der Unbegrenztheit des Systems hatte Seeliger selbst schon eingehend 
geprüft?) und war zu dem Schlusse gelangt, daß bei Annahme be- 
liebig großer Helligkeiten eine eindeutige Lösung des Problems der 
Bestimmung der räumlichen Verteilung der Sterne nicht vorhanden 
sei und daß, wenn die Entfernung der Grenze des Sternsystems ins 
Unendliche rückt, in den mittleren Parallaxen kaum zulässige Ver- 
hältnisse auftreten. 

In dem in Groningen zusammengestellten, die Forschungen der 
letzten Jahre voll ausnützenden Zahlenmaterial findet Seeliger ?°’) seine 
früheren Schlußfolgerungen dem Inhalte nach durchaus bestätigt, wenn 





260) München Sitz.-Ber. 1920, p. 89. 

261) W. J. A. Schouten, On the determination of the principal laws of 
statistical astronomy, Diss. Groningen, Amsterdam 1918. 

262) Groningen Lab. Publ. Nr. 27 (1917). 

263) Astr. Nachr. 213 (1921), p. 45. 

264) Astr. Nachr. 214 (1921), p. 145. 

265) Astr. Ges. Vjs. 54 (1919), p. 117. 

266) München Sitz.-Ber. 42 (1912), p. 453. 

267) München Sitz.-Ber. 1920, p. 87. 


308 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


auch die numerischen Werte der Konstanten teilweise nicht unerheb- 
liche Änderungen erfahren. Insbesondere entspricht das Dichtegesetz 
D(e)=yo”* im großen und ganzen den wahren Verhältnissen in 
hinreichender Annäherung, und die Unstetigkeit im Gange der W,- 
Zahlen tritt trotz weitgehender Ausgleichung der den Beobachtungen 
unmittelbar entnommenen Zahlen und trotz einer gerade in der Nähe 
der Unstetigkeitsstelle vorhandenen Störung anderer Art mit großer 
Bestimmtheit auf. Aus einem bei der Größe n auftretenden Sprunge 
A in dlogx und d?logW, kann man, wenn nur die Leuchtkraft A 
beim Werte H einen starken Abfall oder direkt eine Unstetigkeit 
zeigt, die Entfernung der Grenze eindeutig finden nach der Gleichung 


(a. a. O. p. 101) dlogr dlogA,\” 
a( din ° dn 1 


d’log A, 
a( dn? ) 





1 
Pr 1+ 








und man wird auf diesem vollkommen unabhängigen Wege bei der 
Annahme eines Sprunges von 0,068, 0,048 und 0,028 in (8 In h der 


dn? 
nach dem vorliegenden Material durchaus annehmbar erscheint, auf 
Entfernungen der Grenzschicht von 3000, 2300 und 1800 Sternweiten 
geführt (a. a. O. p. 133). 


25. Beziehung zwischen Eigenbewegung, Parallaxe und Leucht- 
kraft. Die Erkenntnis, daß für die Beurteilung der Entfernungen der 
Sterne die Größe der Eigenbewegung ein der scheinbaren Helligkeit 
an Bedeutung wenigstens gleichkommender Faktor ist, verwertete zu- 
erst Gylden.?®®) Er schloß 16 gemessenen Parallaxenwerten die Formel an 





worin x,, die aus der scheinbaren Helligkeit allein folgende Parallaxe, 
relativ zur Parallaxe der Sterne 1. Größe, und w,, die mittlere Eigen- 
bewegung der Sterne der scheinbaren Größe m ist. Die Konstante « 
wird etwa 0,08. Das weitere Material machte bald Versuche zur 
Verbesserung dieser Formel notwendig, und diese führten Gylden **) 
zunächst auf den Ausdruck 


Be 0,204” e- 0,215 m g0,2Ym u h 
logx = — 0,690 — 0,0934m + 0,0870ym - u, 


der aber auch noch nicht zu einer genügenden Darstellung ausreichte. 


268) Astr. Ges. Vjs. 12 (1877), p. 299. 
269) Astr. Nachr. 136 (1894), p. 289. 


25. Beziehung zwischen Eigenbewegung, Parallaxe und Leuchtkraft. 309 


Kapteyn ging bei seinen Versuchen, dem Beobachtungsmaterial 
eine mathematische Formel anzuschließen, aus von dem Ansatz 
%, = %,k", dessen Konstanten er zuerst aus den bei der Diskussion 
der Eigenbewegungen der Sterne des Bradley-Katalogs gefundenen 
Säkularparallaxen ermittelte.?’°) Bei einer zweiten eingehenderen Be- 
‚handlung?"!) zieht Kapteyn auch die unmittelbar gemessenen trigono- 
metrischen Parallaxen in die Diskussion ein, fügt denselben den aus 
der Gesamtheit der Bradley-Sterne mit EB. < 0,30” durch die Säkular- 
parallaxe sich ergebenden Wert = 0,0135”, geltend für m = 5,5 und 
u = 0,0656”, hinzu und bestimmt nun in doppelter Annäherung die 
Konstanten des Ausdrucks x — z,k”u*, der die mittlere Parallaxe ab- 
hängig macht einerseits von der Größe der Eigenbewegung u, andrer- 
seits von der scheinbaren Helligkeit m. Er erhält für die mittlere 
Parallaxe der Sterne der scheinbaren Größe m 


(31) z,= 0,0158” - 0,78” 5%, log, = — 1,208 — 0,108m 
und für die mittlere Parallaxe der Sterne der scheinbaren Größe m 
und der Eigenbewegung u 


32 | Kmzu Aug (0,0387 u)ı2 0,905 55, 2 
(32) log #,,.—= — 0,166 — 0,0434m + 0,712 log u. 


Bei seinen weiteren Rechnungen wandte Kapteyn die verbesserten 
Formeln (Groningen Publ. 11, p. 18) an 


| Zn. = (0,0419 u) 978 0,8 7,5%, 
“n log &,,. = — 0,684 — 0,0605m + 0,738 log u. 


Beim Versuch der Hinzuziehung des durch die spektroskopischen 
Parallaxenbestimmungen gewonnenen Materials zur Bestimmung der 
Konstanten der Kapteynschen Formel fand @. Strömberg?"?), daß man, 
um eine genügende Darstellung zu erzielen, die Eigenbewegungen um 
einen konstanten Betrag vermehren, also setzen müsse #— n,k” (u + c)*, 
weil bei den Sternen mit kleiner Eigenbewegung sich die Parallaxe 
nahezu unabhängig von der Größe der Bewegung zeigt. Für c ergab 
sich ein Wert von etwa 0,1” für die außergalaktischen und von 0,1” 
bis 0,2” für die galaktischen Sterne. Ob diese erweiterte Formel An- 
spruch auf allgemeinere Bedeutung erheben kann, muß zunächst noch 
unentschieden bleiben, weil das für die spektroskopischen Parallaxen- 
bestimmungen benutzte Material nach besonderen Gesichtspunkten aus- 
gewählt ist. 


270) Astr. Nachr. 146 (1898), p. 107. 
271) Groningen Lab. Publ. Nr. 8 (1901). 
272) Astroph. Journ. 47 (1918), p. 7. 


310 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Die Anpassung einer mathematischen Formel an die Beobach- 
tungen kann nur zu einem mittleren Werte der Parallaxe der Sterne be- 
stimmter scheinbarer Größe und bestimmter Größe der Eigenbewegung 
führen. Die individuellen Werte der Parallaxe werden um diesen mitt- 
leren Wert gesetzmäßig verteilt sein. Kapteyn?'®) macht bezüglich 
dieser Verteilung zunächst die Annahme, daß die Logarithmen der 
wahren Parallaxen der Sterne bestimmter Helligkeit gegen einen Wert 
log, verteilt seien gemäß dem Gaußschen Fehlergesetz, eine An- 
nahme, deren theoretische Berechtigung er später zu begründen ver- 
mochte. Aus einer Anwendung der Hypothese auf das vorhandene 
Material an zuverlässig bestimmten Parallaxen schloß Kapteyn dann, 
daß die Art der Verteilung einem wahrscheinlichen Fehler von 0,19 
entspreche und daß zwischen dem als „wahrscheinlichste Parallaxe“ 
bezeichneten Werte x, und der empirisch ermittelten mittleren Par- 
allaxe x die Relation bestehe 


(34) = 0,8108. 


E. Hertzsprung?‘*) stellt den Zusammenhang zwischen den 3 Größen: 
Entfernung, Eigenbewegung und scheinbare Helligkeit dar mit Hilfe 
der auf einen festen Wert der Eigenbewegung reduzierten scheinbaren 
Größen. Die auf u = 1” reduzierte scheinbare Größe eines Sterns ist 


Mm,» = m +5 logu. 
Andrerseits ist nach (3) 
M=m,-„—=m—-5lge=m+Ö5logxr, 
also wird 
(35) M= IE Mund log ou. 
Wäre die mittlere relative Bewegung der Sterne in bezug auf die 


Sonne unabhängig von der Entfernung, so wäre das Produkt ou kon- 
stant. Dieser Annahme entspricht der Ansatz 


Mn = Mu + ß, 
log, u. = ;ß — +(1—o)m + «logu. 

Aus dem in Groningen Publ. 24 zusammengetragenen Material 
von Sternen bekannter Parallaxe und Eigenbewegung leitete Hertz- 
sprung die Ausdrücke ab 
| M.-1r = 0,75m,-1, — 5,00, 


(6) log &,.—= — 1,000 — 0,05m + 0,75 logu. 


273) Groningen Lab. Publ. Nr. 8 (1901), p. 21. 
274) Astr. Nachr. 208 (1915), p. 91. 


25. Beziehung zwischen Eigenbewegung, Parallaxe und Leuchtkraft. 311 


W. J. Luyten?") erweiterte diese Untersuchungen durch Hinzu- 
ziehung auch der auf spektroskopischem Wege bestimmten Parallaxen. 
Er erhielt den Ausdruck 
Mao = — 0,69 + 0,54m,_o1" oder M,-. = + 0,54m,_ı — 2,99, 
woraus folgt 

log #,,. = — 09,598 — 0,092m + 0,54 log u. 

Für die F- und G-Sterne herrscht ausreichende Übereinstimmung 
der aus den trigonometrischen und der aus den spektroskopischen 
Parallaxen berechneten Werte der Konstanten der Formel, während 
bei den K- und M-Sternen systematische Unterschiede auftreten, die 
dem spektroskopischen Parallaxenmaterial zur Last zu legen wären. 
Eine Behandlung seines Katalogs?") von 749 Sternen mit Eigen- 
bewegungen über 0,5” führte Luyten zu den Ausdrücken 


M 0,1. = 6,62 + 0,858 (m, 0,1, — 12,18) 
oder M = m,_ "= 0,858 m, _ 1, — 4,54, 
also log a, u = — 9,908 — 0,028m + 0,858 log u. 


Dem Material wird aber auch genügend entsprochen bei sym- 
metrischer Verteilung der Abweichungen durch die einfache Formel 
M=m,-ı— 5,6. 

Nach (35) wäre dann logou = 1,12 oder nach Formel (2) die 
mittlere lineare Tangentialbewegung der Sterne relativ zur Sonne 
62 km/seec. 

Die Kenntnis des Gesetzes der =, ermöglicht nun eine empi- 
rische Auswertung der die Verteilung der Sterne nach ihrer Leucht- 
kraft bestimmenden Funktion g(H)dH und der Dichtefunktion D(o). 
Kapteyn?") ordnet die Sterne des Auwers-Bradley-Katalogs nach 
Klassen der scheinbaren Helligkeit und innerhalb dieser Klassen nach 
der Größe der Eigenbewegung, bestimmt für jede dieser Gruppen mit 
den ihr entsprechenden Werten von m und u die mittlere Parallaxe 
%,,„ und verteilt nun nach den über den Verlauf der Parallaxen ge- 
machten Annahmen die Sterne jeder Gruppe dem Mittelwert der 
Parallaxe und dem Fehlergesetz gemäß auf Entfernungsgruppen. Die 
Grenzen dieser Entfernungsgruppen wählt er gemäß der Beziehung 
On+1:9"=V2512, so daß sie um je eine Größenklasse wachsende 
Stufen der absoluten Helligkeit bestimmen. Durch Zusammenfassen 
der aus den einzelnen Gruppen der scheinbaren Helligkeit in jede 


275) Lick Obs. Bull. 10 (1922), p. 135. 
276) Lick Obs. Bull. 11 (1928), p. 22. 
277) Groningen Lab. Publ. Nr. 11 (1902). 


312 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


der Entfernungsgruppen entfallenden Sterne erhält er die Zahl der 
Sterne, die aus der Gesamtzahl der Bradley-Sterne in die durch die 
einzelnen bestimmten Entfernungsgrenzen begrenzten Kugelschalen 
fallen, und durch Zusammenfassen der aus den einzelnen Entfernungs- 
zonen in jede der Klassen der absoluten Helligkeit fallenden Sterne 
die Verteilung der Sterne nach ihrer absoluten Helligkeit unter der 
Voraussetzung, daß diese Verteilung für alle Entfernungen die gleiche 
ist. Die erstere Reihe von Werten bestimmt nach Division mit dem 
Rauminhalte der Kugelschalen die Dichtefunktion D(e), die zweite 
Reihe unmittelbar die Leuchtkraftfunktion. 

Kapteyn versuchte dann die so empirisch gefundene Verteilung der 
Sterne in der Volumeneinheit nach Stufen von 1” der absoluten Hellig- 
keit durch einen analytischen Ausdruck wiederzugeben und erlangte 
eine ausreichende Darstellung?’®) durch die Annahme 


A(O)p(M)dM nn Se e @(logH— 1,400) 
1° 


wo A(0) die Dichte in der Umgebung der Sonne = 0,111 für die 
Kubiksternweite und «== 0,385 ist. Numerisch wird: 


log[A(0) 9(M) dM] = 0,692 — 0,532 log H — 0,167 (log H)?. 
Da die für die Stufen von 1” gefundene Beziehung auch für die 


unendlich kleinen Intervalle gelten muß, hat man als Ausdruck der 
Häufigkeitsfunktion der absoluten Helligkeiten 


(37) p(M) Nah 4 e- @ (log H— 1,400) 


wofür man, wenn man H durch M ausdrückt, auch schreiben kann: 
PM) — (ye-erur-un. 

26. Schwarzschilds Entwicklungen. Die Begründung der von 
Kapteyn auf empirischem Wege gefundenen Darstellung der Stern- 
verteilung und der Häufigkeit der absoluten Helligkeiten aus den all- 
gemeinen Integralgleichungen der Stellarstatistik wurde von K. Schwarz- 
schild?"?) gegeben. Durch Transformation der Gleichungen für die Stern- 
zahl gegebener scheinbarer Größe und für die mittlere Parallaxe der 
Sterne gegebener scheinbarer Größe 


(38) A, 4z/D(o)g‘p(h,9*) do, A,%,— 4 /D(e)e’p(h„e?)de 
0 0 


und Anwendung des Fourierschen Integralsatzes in komplexer Form 
gelingt ihm unter Voraussetzung eines unendlichen Sternsystems die 


278) Astron. Journ. 24 (1904), p. 115; vgl. auch Astr. Nachr. 183 (1910), p. 313. 
279) Astr. Nachr. 185 (1910), p. 81. 





26. Schwarzschilds Entwicklungen. 313 


allgemeine mathematische Lösung der Aufgabe, die zu analytischen 
Ausdrücken führt, die bei gegebenem p(H) die Dichtefunktion D(o) 
ergeben aus der Gleichung für A,,, und die Dichte- und Leuchtkraft- 
funktionen D(e) und p(H) gleichzeitig aus den beiden Gleichungen 
für A, und x,. Durch Einführung der in den Gleichungen (6) und 
(37) gefundenen Darstellung von A, und p(M) entsteht der nume- 
rische Ausdruck 


(39) log D(e) = — 0,674 — 0,174 (ioge — 0,75)°, 


nach dem die Sterndichte für logo = 0,75, oe = 5,6, also m = 0,18” 
ein Maximum erreichte. Bei der kleinen Zahl von Sternen mit x > 0,15” 
ist es aber, ohne den Sternzählungen Zwang anzutun, gestattet, D(e) 
bis eo = 5,6 als konstant zu betrachten. Numerisch wird 


oe 56 20 100 300 1000 10000 
x 0,18” 005” 001” 0,0083” 0,0010” 0,0001” 
D 0212 0187 0,118 0,064 0,028 0,008. 


In der Entfernung 5,6 wären in einem kubischen Raum von 
10 Sternweiten Seitenlänge 212 Sterne enthalten. Für logx,, geben 
Schwargschilds Entwicklungen aus D(o) und p(M) 


(40) log #,— — 1,009 — 0,159m. 


Die Vergleichung dieses aus der Verteilung der Sterne nach Zahl 
und Leuchtkraft theoretisch abgeleiteten Ausdrucks der mittleren Par- 
allaxe mit dem aus den Beobachtungen abgeleiteten Ausdruck (31) 
zeigt einen systematischen Gang der Unterschiede; bei m = 3,9 fallen 
beide Reihen zusammen, für die schwachen Sterne sind die beobach- 
teten Parallaxen erheblich zu groß. 

Nach dem so theoretisch begründeten Ansatz (39) und nach dem 
von Kapteyn empirisch gefundenen Ausdruck (37) kann man D(e) 
und p(H) ausdrücken als reine Exponentialfunktionen und gewinnt 
dadurch die Möglichkeit, die Integration in einfachster Weise zu be- 
werkstelligen. Schwarzschild fügt diesen beiden Funktionen noch als 
dritte die in ähnlicher Weise wie p(H) definierte Häufigkeitsfunktion 
der Geschwindigkeiten hinzu, indem er mit y(V)dV den Prozentsatz 
der Sterne jeder Leuchtkraft in der Volumeneinheit, deren Geschwin- 
digkeit zwischen den Grenzen V und V -+-dV liegt, bezeichnet, und 
ermittelt dann*®®) die Abhängigkeit der für die Stellarstatistik wich- 
tigsten Beziehungen, die die Anzahl, die Entfernung und die absolute 
Helligkeit mittels dieser drei Funktionen verbinden mit der schein- 


280) Astr. Nachr. 190 (1912), p. 361. 


314 VI, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


baren Helligkeit und der scheinbaren Bewegung, bzw. beiden Eigen- 
schaften zugleich. Durch Einführung der Ansätze 


D(e) = 10" -aR-aR’, (H)—= 10% a4) Y(V)—= 109-0026, 
wobei 

R=—5,0 logo, M=—25logH, G=—5,0logV 
gehen die ee über in das RER Integral 


Se Are )g — (* In.)  0%+7 (ei ) 


und man erhält für die zu bestimmenden Größen quadratische Aus- 
drücke, die abhängen von m und g—=—5logu und deren Koeffi- 
zienten ausgedrückt sind durch die Koeffizienten der drei Funktionen 
D(e), g(H) und y(V). Für die drei so entstehenden Ausdrücke 


log ME U TEE (0 m, 
lgx„ = PR, Pım, 
log 7, „= BB — Rım — R,9 


betrachtet Schwarzschild die Werte der Koeffizienten als gegeben durch 
die Beobachtungen mit Ausnahme des die Abhängigkeit der mittleren 
Parallaxe von der scheinbaren Helligkeit ausdrückenden, durch das Be- 
obachtungsmaterial nicht zuverlässig bestimmten Koeffizienten R, und 
berechnet dann unter Zugrundelegung der beobachteten Werte von 
&y; &ı5 &, Pos Pı, Ro, R, die Koeffizienten der Entwicklung der drei 
Verteilungsfunktionen: 


log D(e) = 0,488 + 0,485 logo — 0,22 (logo), 
(41) ılogp(H) = — 2,879 + 0,737. M — 0,0147.M?, 
jo v(V) = — 0,922 + 0,825 log V — 1,452 (log V)%. 


Ergebnisse neuerer Forschungen lassen eine Abhängigkeit der Ge- 
 schwindigkeit der Sterne von ihrer Leuchtkraft vermuten, wodurch 
eine Ergänzung der Ansätze erforderlich werden würde. Schwarzschild 
führt zu dem Zwecke an Stelle der beiden Funktionen p(H) und y(V) 
eine Funktion ®(H, V) ein durch den Ansatz 


®(H, V) = 10%- 54 4-0? - 16-0@?- aUG 


deren letztes Glied, 10-=#€, die Korrelation zwischen der mittleren 
Geschwindigkeit und der Leuchtkraft zur Geltung bringt. Wenn man 
nun wieder die Integralgleichungen für A,,, %,, X, auflöst, so er- 
hält man die Koeffizienten der Entwieklungen dieser Größen als Funk- 
tion der Koeffizienten der Ausdrücke von D(e) und ®(H, V) und 


kann dann in der gleichen Weise wie vorhin diese letzteren Koeffi- 


27. Charliers Behandlung der Aufgabe. 315 


zienten bestimmen. Schwarzschild benutzt diesen Weg, um eine Er- 
klärung zu suchen für den Widerspruch, daß die Beobachtungen eine 


Abhängigkeit des Quotienten Em von der scheinbaren Helligkeit er- 


m 


geben, während er als Ausdruck der mittleren Geschwindigkeit der 
Sterne konstant sein müßte, wenn die mittlere Geschwindigkeit der 
Sterne unabhängig vom Orte und von der Leuchtkraft wäre. 

27. Charliers Behandlung der Aufgabe. Als Ausgangspunkt 
seiner Arbeiten über die räumliche Verteilung der Sterne diente 
©. V. L. Charlier”®‘) die durch die Arbeiten Kapteyns als gegeben zu 
betrachtende Tatsache, daß die Funktionen A, und p(H) durch ge- 
wöhnliche Fehlerfunktionen dargestellt werden können. Charlier stellt 
sich nun die Aufgabe, die den Beobachtungen sich am besten an- 
schließenden Werte der Parameter dieser Funktionen zu ermitteln. 
Für =, gilt der Ausdruck x, = K,e*". K, und A sind Konstanten. 
K, soll bestimmt werden durch Anschluß der Formel an die un- 


h, - 0,2 
mittelbar gemessenen Parallaxen, A = -"—- aus den Eigenbewegungen. 
mod. 


Das Verteilungsgesetz der letzteren wird bei einer Einteilung des 
Himmels in 48 Felder für die Sterne heller als 4”, 4” bis 5”, 
5” bis 6” und für alle Sterne bis 6” ermittelt. Die für die Sterne 
4. Größe und 5. Größe erhaltenen Werte der Momente der ersten Ord- 
nung der Verteilungsfunktion benutzt Charlier zur Bestimmung der 
Sonnenbewegung, wobei er für die aus der mittleren Entfernung 
dieser Sterne senkrecht gesehene Sonnenbewegung bei den Sternen 
4. Größe 0,05236” und denen 5. Größe 0,04768” findet. Daraus folgt 


log (*) — 0,24, — 0,0406, also A, — 0,2030. Mit dem Werte 
5 


6 — 20 km/sec für die lineare Sonnenbewegung folgt dann die mittlere 
Entfernung der Sterne 5. Gr. — 29,53 Siriometer und x, , — 0,01126” 


und weiter für die Konstante X, der Wert log K,—= — 1,725 und 
damit 
(42) log x, = — 1,125 — 0,0406 m. 


Zwischen x, und g,, besteht die Beziehung x,, = 4 De Ba. 


stimmung der Konstanten X, und A, ist sehr unsicher. Die Kapteyn- 
schen Parallaxenwerte würden A, = 0,65 ergeben. 

Um die Dichtefunktion D in völliger Allgemeinheit als abhängig 
von der Entfernung o und den galaktischen Koordinaten A und ß, 
also als Funktion des Ortes im Raume zu bestimmen, schlug C'harlier *®®) 


281) Lund Obs. Medäel. (2) Nr. 8, 9 (1912, 1913). 
282) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 14 (1916). 


316 VI2, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


folgenden Weg ein. Er verwendet die Relation 
logo — 0,2m + logYH. 

Setzt man YH = R, so ist R die Entfernung, in der der betreffende 
Stern die scheinbare Größe 0,0” haben würde. Für Sterne auf glei- 
cher Entwicklungsstufe, d. h. vom gleichen Typus, kann man H als 
konstant ansehen. Bestimmt man es aus Sternen des betreffenden 
Typus, für die og bekannt ist, oder auf anderem Wege, so werden die 
individuellen o aller Sterne dieses Typus bekannt, und man lernt un- 
mittelbar die räumliche Anordnung des Systems der Sterne des be- 
treffenden Typus kennen. So konstruierte Charlier selbst das System 
der B-Sterne, das die Gestalt eines abgeplatteten Sphäroids hat, dessen 
Äquatorebene nahe mit der Ebene der Milchstraße zusammenfällt. 
Der äquatoriale Halbmesser mißt 970, der polare 290 Sternweiten. 
Das Sonnensystem steht in einer Entfernung von 88 Sternweiten vom 
Zentrum des Haufens in der Richtung auf den Punkt 19,7% + 55,6° 
im Sternbild des Cygnus. 

Nach gleichen Gesichtspunkten bearbeitete W. Gyllenberg?®°) das 
System der O-Sterne, K. @. Malmquist”®*) dasjenige der A-Sterne und 
©. F. Lundahl?®°) das der F-Sterne. 


28. Neuere empirische und theoretische Forschungen. Das in 
den letzten Jahren gesammelte umfangreiche neue Material veranlaßte 
Kapteyn zu einer Revision seiner ersten Bestimmung der Leuchtkraft- 
funktion. Die schon p. 284 angeführte Arbeit van Rhijns gab durch 
die Formel (8) einen zuverlässigen Ausdruck für die Sternzahlen in 
Abhängigkeit von der scheinbaren Größe reichend bis 15”. Die 
Säkularparallaxen lagen vor**®) für die Sterne bis 11”, und es konnte 
ihre Abhängigkeit von der galaktischen Breite wie auch vom Spektral- 
charakter der Sterne berücksichtigt werden. Sie werden im Mittel 
ohne Berücksichtigung des Spektrums dargestellt durch 


log (2) — — 0,428 — 0,096 cos 2b — 0,1373m, 


logr„ = — 1,042 — 0,096 cos2b — 0,1373 m. 
Für die Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes der Parallaxe 
' aus der mittleren Parallaxe der Sterne gleicher scheinbarer Helligkeit. 
wurden die Beziehungen gefunden: Wahrscheinlicher Fehler der Ver- 


233) Ark. Mat. Astr. Fys. 11, Nr. 28 (1916—1917). 

284) Ark. Mat. Astr. Fys. 11, Nr. 29 (1916—1917). 

285) Ark. Mat. Astr. Fys. 11, Nr. 30 (1916—1917). 

286) J. C. Kapteyn, P. J. van Rhijn, H. A. Weersma, The secular parallax 
of the stars of different magnitude, galactie latitude’and spectrum. Groningen 
Lab. Publ. Nr. 29 (1918). 


(43) 


28. Neuere empirische und theoretische Forschungen. 317 


teilung der logrx = 0,32 
(44) 7, = 0,5518. 

Die Kenntnis der Eigenbewegungen war durch die Sicherung der 
fundamentalen Grundlagen und durch Neubestimmungen besonders für 
die schwächeren Sterne sehr erweitert. Dies gestattete die Herstellung 
einer Tafel”), die für jeden Spektraltypus getrennt nach galaktischen 
Zonen die wahre Zahl der Sterne auf den Quadratgrad für die ein- 
zelnen Größenklassen bis 9” (bis 12”, wenn alle Spektren zusammen- 
gefaßt werden) und für von 0,02” zu 0,02” oder bei den größeren 
Werten schneller fortschreitende Stufen der jährlichen Eigenbewegung 
angibt. Bei der Aufsuchung des Zusammenhangs zwischen der mitt- 
leren Parallaxe und der Eigenbewegung stützten Kapteyn und van 
Rhijn*®®) sich allein auf die unmittelbar gemessenen Parallaxen. Sie 
erhalten für den Koeffizienten aus 146 Sternen von 3,5” bis 6,5” den 
Wert 0,630 und aus 123 Sternen unter 6,5” den Wert 0,659. Die 
Konstante des Ausdrucks von 7, , und den Koeffizienten des Hellig- 
keitsgliedes leiten sie aus den Säkularparallaxen ab. Der schließlich 
gefundene Ausdruck ist 
(45) log x. = — 9691 — 0,0682 m + 0,645 log u. 

Mit Hilfe dieser Formel führt nun der früher beschriebene rein 
empirische Weg zur Kenntnis einerseits der Anzahl der Sterne der 
einzelnen Stufen der absoluten Helligkeit und andrerseits der Zahl 
der Sterne in der Raumeinheit. Die so bestimmte Leuchtkraftfunktion 
lautet numerisch 
(46) logp(M) = — 2,394 + 0,1858 M — 0,03450.M?. 

Sie schließt sich mit sehr großer Annäherung einer Fehlerkurve 
mit dem mittleren Werte M,= + 2,7 an und ist durch die Beobach- 
tungen festgelegt für Werte von M von — 12” bis + 9=, Die Stern- 
dichte nimmt vom Werte 1 in der Umgebung der Sonne ab bis auf 
0,089 bei m = 0,00118”. Für größere Entfernungen wird die Dichte 
durch Einführung des gefundenen Ausdrucks von p(M) in die Inte- 
gralgleichung für 4, ermittelt. Da die X, Funktionen der galak- 
tischen Breite sind, ist das gleiche bei A(o) der Fall: 





(Gal. Br. 0° logA(e)=— 2,532 + 2,478 log oe — 0,593 (log 0)? 
30° — 2,256 + 2,381 — 0,655 
(47) 4 60° — 4,005 + 4,048 — 1,060 
90° — 6,219 + 6,120 — 1,538 
\ 40°—90° — 3,425 + 3,526 — 0,943. 








287) Groningen Lab. Publ. Nr. 30 (1920). 
288) Astroph. Journ. 52 (1920), p. 23. 


318 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Die Gültigkeit der Leuchtkraftfunktion ist zunächst nur für den 
Bereich zwischen dem Pol der Milchstraße und 40° galaktischer Breite 
erwiesen. Die Ausdrücke für 0° und 30° würden sich ändern, wenn 
in der Nähe der Milchstraße die Verhältnisse der absoluten Hellig- 
keit der Sterne andere wären. Die Linien gleicher Dichte im Stern- 
system wären hiernach in der Richtung der Milchstraße langgestreckte, 
flache Ellipsen um die Sonne als Mittelpunkt. 

Der Verlauf der Dichtefunktion nach der Bestimmung von Seeliger 
(29), von Kapteyn (47T) und von Schwarzschild (41) wird durch die 
folgende kleine Tabelle veranschaulicht, die die Zahl der Sterne in 
der Kubiksternweite in verschiedenen Entfernungen angibt. 























Entfernung — | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 ' 3000 | 10000 
pam mn wmnmame > mr mn ann ernennen m Bon > Spas Bram m armen wm an an I ren. men 5 
Baligea  , E | 1,71 | 0,90 | 0,66 | 026 | 0,17 | 0,06 | 0,04 
Kapteyn b=0°..... 0,28 | 0,92 | 1,18 | 0,68 | 0,37 | 0,08 | 0,01 
b=40° 90°. | 0,14 | 0,69 | 0,71 | 0,17 | 0,05 | 0,00 ) 0,00 
Schwareschild . . . . . iur |as ISA ls 109 | 08. |.01 


In der Entfernung von 3000 Sternweiten, wo nach Seeliger die 
Grenze des Systems liegt, geben auch die beiden andern Formeln, die 
das System als unbegrenzt annehmen, eine verschwindend kleine Dich- 
tigkeit. ?®°) 

Eine Darstellung des durch die Sternzahlen Seelögers (nach München 
Abh. 25, Nr. 3) und die mittleren Parallaxen Kapteyns (nach Astron. 
Journ. 24, p. 115) gegebenen Beobachtungsmaterials durch möglichst 
einfache Annahmen versuchte auch E. Hertzsprung.?”) Er erreicht 
ein völlig befriedigendes Resultat bezüglich der Parallaxen und die 
Wiedergabe der Hauptzüge bei den Sternzahlen durch die Ausdrücke 
1Tlogi — 4,52 ]? 
pe 


D,\ _ __ /0,00185”\? a -afeet- 
(48) 108 (22) N ( H ) ‚, g@)=1486e ?L 1% 
A, ,m = 570000. 








289) Ein Überblick über die Methoden und die Forschungsergebnisse von 
Seeliger, Kapteyn und Schwarzschild über die Struktur des Fixsternsystems 
und die sie bestimmenden Gesetze ist in der Groninger Dissertation von 
W. J. A. Schouten, On the determination of the principal laws of statistical 
astronomy, Amsterdam 1918, gegeben. Die Arbeit enthält außerdem eine An- 
wendung der Schwarzschildschen und der Kapteynschen Methode auf ein nach 
galaktischen Zonen getrenntes Material unter Verwendung der neuen in Groningen 
zusammengetragenen Daten. Die gegen die Grundlagen und die Resultate der 
Seeligerschen Untersuchungen vorgetragenen Bedenken weist dieser in München 
Sitz.-Ber. 1920, p. 94 ff., zurück. 

290) Astr. Nachr. 185 (1910), p. 89. 


28. Neuere empirische und theoretische Forschungen. 319 


Die Verteilung der absoluten Größen der Sterne entspricht hier- 
nach einer Gaußschen Fehlerkurve mit dem Zentralwert + 7,7” und 
einer mittleren Abweichung von —+ 3,0”. Die scheinbar schwachen 
Sterne ergeben eine erheblich kleinere Streuung um den Zentralwert 
der absoluten Größe als die scheinbar hellen. 

Den Verlauf der Häufigkeitsfunktion für die auf einen bestimm- 
ten Betrag der scheinbaren Eigenbewegung reduzierten Helligkeiten 
ermittelte W.J. Luyten für die Sterne mit großer Eigenbewegung, 
u > 0,5". Er findet?”") 


log p(m,-0,.) = 2,143 — 0,0244 (m, _o1”, — 13,20), 
woraus folgt 
log 9 (m. -0,1.) = 3,160 — 0,153 (m, _ 0.1, — 1,64)?. 


Die absoluten Helligkeiten der Sterne wären um den mittleren 
Wert — 7,64” mit einer Streuung von 2,98” verteilt. 


Die Verteilung der scheinbaren Eigenbewegungen der Sterne ist 
bedingt durch die Verteilung der Sterne im Raume und die Verteilung 
der linearen absoluten Bewegungen. Ist letztere bekannt, so kann man 
aus der beobachteten Bewegung die Funktion D(o) bestimmen. Diesen 
Weg betraten unabhängig voneinander F. W. Dyson®”?) und A. $. Ed- 
dington.”®) Die Häufigkeitsfunktion der absoluten Bewegungen kann 
für die im gleichen Entwicklungsstadium stehenden Sterne voraus- 
gesetzt werden in der Form (3: e-”"e-P”, wo V der allen Sternen 
gemeinsame Teil der Bewegung ist, und das Verteilungsgesetz der 
Sterne im Raume wird angenommen in der Form f(r) = 2h?l?re-"*#*, 
Dann wird die Zahl der Bewegungen zwischen den Grenzen — ni 


und + nk: R(n) = Ve e !+”, wor=hPV ist, und aus der 
beobachteten Verteilung der Bewegungen lassen sich die Konstanten 
h und %k bestimmen. 


Eddington bearbeitete nach dieser Methode die den Typen A und 
K angehörenden Sterne‘ des Bossschen Katalogs und fand bei den 
K-Sternen die zu erwartende schnellere Dichtigkeitsabnahme in höhe- 
ren galaktischen Breiten bestätigt, während bei den A-Sternen ein 
Überwiegen der Sternzahlen in den mittleren Entfernungen zutage 
tritt. Dyson findet aus den Eigenbewegungen der Sterne des Carrington- 





291) Lick Obs. Bull. 11 (1923), p. 23. 

292) London Astr. Soc. Month. Not. 73 (1913), p. 334, 402. 

293) London Astr. Soc. Month. Not. 73 (1913), p. 346. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2,B. 21 


320 VI2, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Katalogs eine Anhäufung dieser Sterne in den Entfernungen von 
200-650 Sternweiten. 

Weitere Anwendungen dieser Methode wurden gemacht von 
R.J. Pocock?*) auf die Oxford-Zone des astrographischen Katalogs 
und von H. W. Unthank””) auf die helleren der zwischen den Parallel- 
kreisen + 38° und + 65° liegenden Sterne. 

Die Annahme einer regelmäßigen Struktur des Sternsystems kann, 
wie der Anblick des gestirnten Himmels unmittelbar lehrt, der Wirk- 
lichkeit nur in großen Zügen entsprechen. Einen Versuch zur Be- 
antwortung der Frage, ob sich an der Hand des verfügbaren Materials 
Widersprüche gegen die Annahme einer regelmäßigen Abnahme der 
Dichte vom Mittelpunkt des Systems nach außen hin feststellen lassen, 
machte A. Pannekoek.?”°) Er benutzte die Sternzahlen der Durch- 
musterungen und der Auswahlfelder Kapteyns und konstruierte damit 
für einen mit der Ebene der Milchstraße zusammenfallenden Schnitt 
durch das Sternsystem die Kurven gleicher Dichtigkeit. Wegen der Un- 
zulänglichkeit des Materials für die Südhalbkugel ist nur eine lücken- 
hafte Feststellung des Verlaufs der Kurven möglich. Die stärkste 
Verdichtung erscheint in der Richtung nach dem Sternbild Scorpio 
um einen Punkt in etwa 150 Sternweiten Entfernung gelagert, und 
in der Riehtung nach dem Cygnus prägt sich in allen Entfernungen 
eine Häufung der Sterne aus. 

Die innige Verknüpfung der Gesetzmäßigkeiten der Sternzahlen 
mit der Erscheinung der Milchstraße scheint unmittelbar zu beweisen, 
daß diese letztere ein mit dem Bau des Sternsystems innig verbun- 
denes Gebilde ist. Pannekoek?”') erhält für Kapteyns Sternzahlen in 
Gron. Publ. 18 die Darstellung 

log X —= — 0,350 + 0,49 (m — 7). 

In Seeligers Formel (17) wäre also A = 0,55 und nach (21) das 
Dichtegesetz ohne Rücksicht auf Absorption D(e) = ye”%”". In der 
Milchstraße nähme die Diehte etwa proportional mit Ye ab. Für die 
außergalaktischen Zonen findet Pannekoek 

log A = — 0,52 + 0,49 (m — 7) — 0,007 (m — )?, 
log 4 = — 0,60 + 0,47 (m — 7) — 0,009 (m — T)?. 

Die Sternzahl nimmt außerhalb der Milchstraße noch langsamer 

zu, die Dichte nimmt also in noch stärkerem Maße ab als in der 


294) London Astr. Soc. Month. Not. 76 (1916), p. 421. 
295) London Astr. Soc. Month. Not. 76 (1916), p. 529. 
296) Amsterdam Akad. Proc. 24 (1921), p. 56. 
297) Amsterdam Akad. Proc. 13 (1910), p. 239. 


29. Extinktion des Lichtes im Weltraum. 321 


Milchstraße. Die Erscheinung der Milchstraße widerspricht aber der 
Annahme einer regelmäßigen Abnahme der Dichte. Aus den Stern- 
zahlen für m = 6,5, 8, 9, 11,73 (Epsteins Eichungen), 12,5 und 13,2 
(Carte du ciel), 13,9 (Herschels Eichungen) leitet Pannekoek den nume- 


rischen Wert von vänie ab. In besonders glänzenden Stellen der 


Milchstraße tritt ein schnelleres Anwachsen der Sternzahlen als im 
Durchschnitt der galaktischen Zone bis zur 9. Größe, dann eine langsame 
Abnahme des Gradienten und über 12” hinaus eine sehr starke Zunahme 
auf. Daraus wäre zu schließen, daß es sich um durch einen weniger 
dicht gefüllten Zwischenraum von der Hauptmasse getrennte Stern- 
anhäufungen handelt, die erst bei den Sternen unter 12” hervortreten. 


29. Extinktion des Lichtes im Weltraum. Die Wahrnehmung, 
daß die Zahl der Sterne nicht dem Gesetze folgt, das dem einfachen 
photometrischen Gesetze unter der Annahme gleichförmiger Verteilung 
der Sterne und gleichen Mischungsverhältnisses der absoluten Hellig- 
keiten überall im Raume entspricht, kann an sich mit gleichem Recht 
wie durch eine abnehmende Dichte auch durch eine Extinktion des 
Lichtes im Weltenraume erklärt werden. Hingewiesen wurde auf die 
Möglichkeit des Vorhandenseins einer solchen Extinktion durch einen 
Weltäther zuerst von J. P. Loys de C'heseaux.””®) Die Bedeutung der 
Hypothese für die Stellarastronomie wurde zuerst erkannt durch 
W. Olbers®”), welcher zeigte, daß, wenn das Licht beim Durchlaufen 
einer Siriusweite „,, seiner Intensität durch Absorption einbüße, Sterne 
von der absoluten Helligkeit des Sirius, die in einer Entfernung von 
mehr als 30000 Siriusweiten sich befinden, keinen Lichteindruck auf 
unser Auge mehr machen könnten. 


Nach F. G. W. Struve’®®) wäre die tatsächlich beobachtete Stern- 
zahl mit der Annahme gleichförmiger Verteilung und gleicher Leucht- 
kraft der Sterne zu vereinigen bei Voraussetzung des Wertes 0,8724 
für den Durchlässigkeitskoeffizienten A des Weltraumes in dem Aus- 
druck der unter dem Einfluß der Extinktion stattfindenden schein- 
baren Helligkeit 


(49) m— iR, m = M’ + 5loge — 25 log, 





298) J. P. Loys de Cheseaux, TraiteE de la com£te, qui a paru 1743—44, 
Lausanne 1744, p. 223 ff. 

299) W. Olbers, Über die Durchsichtigkeit des Weltraums, Berl. Jahrb. für 
1826, p. 110, Berlin 1823. 

300) W. Struve, Stellarum dupl. et multipl. mensurae mier., Petersburg 1837, 
p. XCH. 


nr? 


322 VI2,23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


wenn H° die absolute Helligkeit, M° die absolute Größe bezeichnet, die 
der Stern in der Entfernung 1 haben würde, wenn keine Extinktion vor- 
handen wäre, Später berechnete Siruve durch Vergleich derjenigen Ent- 
fernungen, die aus der scheinbaren Helligkeit der Sterne mit Hilfe der 
raumdurchdringenden Kraft der Fernrohre Herschels folgen, mit jenen, 
die den beiden eben erwähnten Annahmen entsprechen, den Durchlässig- 
keitskoeffizienten des Raumes zu 0,98669?0%) und an anderer Stelle?) zu 
0,99065. Als Entfernungseinheit diente dabei die mittlere Entfernung 
der Sterne erster Größe. @. V. Schiaparelli?”) bestimmte mit denselben 
beiden Annahmen aus der Vergleichung der photometrischen Konstante, 
wie sie aus den Sternzahlen der Harvard Photometry folgt, mit dem 
theoretischen Werte den Durchlässigkeitskoeffizienten zu 0,9190 be- 
zogen auf die mittlere Entfernung der Sterne erster Größe. @. ©. Com- 
stock?) konnte den Widerspruch zwischen den aus den Eigenbewe- 
gungen sehr schwacher Sterne folgenden Entfernungen dieser Sterne 
und den aus der Kapteynschen empirischen Formel (31) folgenden, 
wenn er nicht eine sehr viel geringere absolute Leuchtkraft der 
scheinbar schwachen Sterne zulassen wollte, nur erklären durch die 
Annahme eines Extinktionskoeffizienten von 8-107® für die mittlere 
Entfernung Erde-Sonne, was einem Transmissionskoeffizienten von 
0,0837 für die Sternweite entspricht. Auch E. ©. Pickering sieht zu- 
nächst die plausibelste Erklärung seines Ergebnisses®”), daß aus den 
Sternzahlen bis 6,75” für die photometrische Konstante statt des 
theoretischen Wertes 0,40 der erheblich kleinere 0,34 folgt, in der 
Annahme einer beträchtlichen Extinktion des Lichtes, hält diese Er- 
klärung aber nicht mehr für zulässig, als er später?) fand, daß die 
Spektralklassen sich in dieser Hinsicht verschieden verhielten, indem 
die photometrische Konstante für Typus A und F auch aus den Stern- 
zahlen zu 0,40, für die Typen @, K, M hingegen zu 0,34 folgte. Im 
Anschluß an diese Untersuchungen von Comstock und Pickering zeigte 
Kapteyn?”), daß das statistische Material eine Entscheidung nicht ge- 
statte, ob die Erklärung des Verhaltens der Sternzahlen in einer Ex- 
tinktionswirkung oder in einer Änderung der Sterndichte zu suchen 
sei, daß aber jedenfalls so große Extinktionswerte, wie Comstock sie 
annehmen wolle, auf physikalisch unmögliche Folgerungen führe. 


301) M. Weisse, Pos. med. stell. fix. ex zonis Reg., Petersburg 1846, p. XLVII. 
302) W. Struve, Etudes d’astr. stell., Petersburg 1847, p. 88. 

303) Milano Osserv. Pubbl. 34 (1889), p. 25. 

304) Astron. Journ. 24 (1904), p. 47. 

305) Harvard Coll. Obs. Ann. 48, Nr. 5 (1903). 

306) Harvard Coll. Obs. Circ. 147 (1909). 

307) Astron. Journ. 24 (1904), p. 115. 


29, Extinktion des Lichtes im Weltraum. 323 


Seeliger betrachtet zwei Möglichkeiten: Einmal eine Schwächung 
des Lichtes durch im Raume verteilte Materie, deren Dichte der Dich- 
tigkeit der Sternverteilung selbst proportional ist, und zweitens eine 
allgemeine Absorption des Lichtes im interstellaren Raume und ent- 
wickelt?) den theoretischen Zusammenhang der scheinbaren Dichte 
A(o), wie ihn die mit Absorption behafteten Beobachtungen ergeben, 
mit der wahren Dichte D(e). Es ergibt sich dann, daß unter der 
Voraussetzung, daß eine Zunahme der wahren Dichte in großen Raum- 
teilen nicht eintreten soll, die Annahme vorgelagerter Massen eine 
Lichtschwächung an der Grenze des Systems um 0,34” und eine Ver- 
kleinerung des Systems um + bewirkt, während die Annahme einer 
allgemeinen Absorption zu einer Lichtschwächung um 0,27” an der 
Grenze und zu einer Verkleinerung um 5 führt. Der Absorptions- 
koeffizient wäre 0,0003086, der Durchlässigkeitskoeffizient also 
0,9996914 für die Siriusweite oder 0,9999383 für die Sternweite. 

Die Ursache einer Absorption des Lichtes im Weltraum wäre 
in fein verteilter Materie, dem kosmischen Staube, zu suchen, dessen 
Vorhandensein die Millionen teleskopischer Sternschnuppen bezeugen, 
die im Laufe eines Tages die Erde treffen. Weiter muß das Vor- 
handensein solcher Materie als sehr wahrscheinlich gelten als Folge 
der Wirkung des Lichtdrucks auf die Teilchen der Atmosphären selbst- 
leuchtender Körper und auf die Ausströmungen der Kometen. Eine 
auswählende Absorption, wie sie dann auftreten müßte, würde sich 
durch direkte Beobachtungen feststellen lassen, und da mit der Ab- 
sorption eine Zerstreuung des Lichtes notwendigerweise verknüpft 
sein wird, so ergeben sich noch weitere Prüfungsmöglichkeiten. 
@. A. Tikhoff schlug zunächst°””) eine Vergleichung der Kurven der 
visuellen Lichtänderung und der Kurven der Radialgeschwindigkeiten 
bei spektroskopischen Doppelsternen, die zugleich Veränderliche sind, 
vor und glaubte in den Phasenunterschieden eine Wirkung der Dis- 
persion erblicken zu können. Dieser Weg konnte nicht zum Ziele 
führen, dagegen war eine zweite Methode, die in der Vergleichung 
der mit Filtern für Licht verschiedener Wellenlängen aufgenommenen 
Kurven der Radialgeschwindigkeiten bei Doppelsternen bestand, ge- 
eignet, die vermutete Wirkung, die nach dem Rayleighschen Gesetz 


308) München Abh. 25, Nr. 3 (1909), p. 45; München Sitz.-Ber. 1911, p. 4583. 
— Die Theorie der Extinktion ist von E. Anding ausführlich entwickelt in 
Kritische Untersuchungen über die Bewegung der Sonne durch den Weltraum II, 
Kap. III, Leipzig 1910. 

309) Mem. Spett. Ital. 27 (1898), p. 41. 


321 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


nachzuweisen, indem eine Dispersion des Lichtes im Weltenraume bei 
Strahlen verschiedener Wellenlänge verschiedene Geschwindigkeiten im 
gleichen Augenblicke hervorrufen muß. Die Anwendung dieser Me- 
thode von A. Belopolsky und Tikhoff?”) ergab in der Tat den zu er- 
wartenden Effekt. Einen andern Weg schlug Ch. Nordmann und un- 
abhängig nahe gleichzeitig auch T7ikhoff?!!) ein. Er besteht in der 
Festlegung der Lichtkurve kurzperiodischer Veränderlicher im Licht 
verschiedener Wellenlänge auf visuellem Wege (Nordmann mit hetero- 
chromem Photometer) oder durch photographische Aufnahme mit Fil- 
tern oder auf Platten, die für Licht verschiedener Wellenlänge empfind- 
lich gemacht sind (T'ikhoff) oder auch durch photographische Aufnahme 
des Spektrums.?!?) Auch hier entsprachen die Resultate dem Sinne nach 
der zu erwartenden Wirkung. Das Hineinspielen unbekannter physi- 
kalischer Vorgänge in den Sternsystemen und die Möglichkeit einer 
Absorption in den Atmosphären der Sterne macht aber strenge Schlüsse 
aus den Beobachtungen unmöglich, wie im einzelnen P. Lebedew°"?) 
nachwies. Als wahrscheinliche Folge einer auswählenden Absorption 
im Weltenraume wäre weiter eine Verschiedenheit des Exponenten p 
im Schwärzungsgesetz photographischer Sternbilder S—= JT? für 
Licht verschiedener Wellenlänge zu erwarten, die in der Tat auch von 
Tikhoff?**) nachgewiesen wurde. Allein auch hier wird das Resultat 
zweifelhaft gemacht durch die Möglichkeit eines verschiedenen Ver- 
haltens der verschiedenen Plattensorten. Außerdem würden Verschie- 
denheiten im Typus der Sterne gleiche Wirkungen erzeugen.”'?) Eine 
auswählende Absorption müßte aber auch zum Ausdruck kommen in 
einer Abhängigkeit der Farbentönung von der Entfernung bei Sternen 
des gleichen Typus, und dieser Weg hat bei den neueren Unter- 
suchungen zu ziemlich zuverlässigen Aufschlüssen geführt. Kapteyn 
stellte bei seinen nach dieser Methode ausgeführten Untersuchungen?) 
die Farbentönung (Color index) dar als Funktion der scheinbaren 
Größe m, der absoluten Helligkeit M und der Entfernung als Maß 
der Stärke der Absorptionswirkung. Die Entfernung wird nach schein- 
barer Größe und Größe der E.B. gemäß Formel (32) angesetzt. Das 
benutzte Material gestattet nicht den Einfluß der absoluten Helligkeit 


310) Pulkowa Obs. Mitteil. 3 (1909), p. 101. 

311) Paris Bull. Astr. 26 (1909), p. 5; Pulkowa Obs. Mitteil. 2 (1908), p. 141. 
312) A. Hnatek, Astr. Nachr. 184 (1910), p. 305. 

313) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 101. 

314) Pulkowa Obs. Mitteil. 3 (1909), p. 31, 75. 

315) Vgl. H. E. Ives, Astroph. Journ. 31 (1910), p. 157. 

316) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 46; 30 (1909), p. 284, 398. 


29. Extinktion des Lichtes im Weltraum. 325 


und den der Entfernung genügend zu trennen. Ist c die Änderung 
der Farbentönung für eine Stufe der absoluten Helligkeit, d die Än- 
derung für die Einheit der Entfernung (10 Sternweiten), so ist Kap- 
teyns Endresultat d = 0,0031” + 0,25c. Mit Hilfe des Rayleigh- 
schen Gesetzes ergibt sich dann für die visuellen Strahlen ein Verlust 
von 0,0028 der Gesamtintensität bei Durchlaufen eines Weges von 
10 Sternweiten, für die photographischen Strahlen ein Verlust von 
0,0056. Der Durchlässigkeitskoeffizient für die Sternweite als Einheit 
wäre hiernach 0,99972 für visuelles, 0,99944 für photographisches 
Lieht. Zu ähnlichen Zahlen gelangt H. S. Jones.?'") Sein Resultat ist 
d = 0,00473” + 0,00035; ce = + 0,0336 + 0,0053. ce muß hiernach 
als verbürgt gelten, also muß bei den absolut helleren, d. h. heißeren 
Sternen bei gleichem Spektrum und gleicher Entfernung das Maxi- 
mum der Lichtemission gegenüber den schwächeren Sternen gegen 
Violett verschoben sein. P. J. van Rhijn®'?) dagegen gelangt zu einem 
wesentlich kleineren Betrage der Absorption; er findet für die Stern- 
weite als Einheit d = 0,00015” + 0,00003, entsprechend dem Durch- 
lässigkeitskoeffizienten 0,999 862. 

Das gesamte unter diesen Gesichtspunkten zusammengetragene und 
von Kapteyn®'”) diskutierte Material schien als durch die Beobachtung 
festgestellte Tatsachen zu erweisen, daß die scheinbar schwächeren 
Sterne im Durchschnitt röter seien als die helleren und daß bei gleichem 
Spektrum und gleicher scheinbarer Helligkeit die Sterne im Durch- 
schnitt um so röter seien, je ferner sie sind. Daraus war auf eine 
zwar sehr geringe, aber doch merkliche Absorption zu schließen, und 
zwar der Größe nach unabhängig von der Richtung in bezug auf die 
galaktische Ebene. Dagegen hatte F.@..Brown®?®) aus der Vergleichung 
der Flächenhelligkeiten kleiner und ausgedehnter Nebel und aus Stern- 
zählungen in den verschiedenen Richtungen auf das Vorhandensein 
eines absorbierenden Mediums schließen zu können geglaubt, das in 
Gestalt eines verlängerten Rotationsellipsoids angeordnet wäre, dessen 
große Achse zusammenfiele mit der kleinen Achse des Sternsystems. 
H. Shapleys®?") Untersuchungen über die Farbentönung der Sterne in 
einer größeren Zahl von Sternhaufen verglichen mit derjenigen, die bei 
den einzelnen Sternen im allgemeinen vorhanden ist, sind indessen 

317) London Astr. Soc. Month. Not. 75 (1914), p. 4. 

318) Groningen Diss., Derivation of the change of colour with distance and 
apparent magnitude 1915. 

319) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 187. 

320) London Astr. Soc. Month. Not. 72 (1912), p. 195, 718. 


321) Astroph. Journ. 45 (1917), p. 128; Washington Nat. Acad. Proceed. 3 
(1917), p. 267. 


326 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


nur mit einer vollkommenen Durchlässigkeit des Raumes für Licht- 
strahlen vereinbar. Die Farbentönung ergab sich dem absoluten Be- 
trage nach, wie auch nach der Verteilung auf die einzelnen Farben- 
klassen für die Sternhaufen gleich derjenigen bei den isolierten Sternen, 
obwohl die Entfernung jener ein Vielfaches der Entfernung dieser 
letzteren sein muß. Vor allem kommen auch unter den Sternen der 
Sternhaufen Sterne mit großem negativen Wert des Farbenindex in 
gleicher Häufigkeit wie bei den isolierten Sternen vor. 

Von größter Tragweite für die Frage der Extinktion des Lichtes 
im Weltraume und für die von ihr abhängenden Schlüsse über die 
Entfernung und die Verteilung der Sterne müßte das Vorhandensein 
ausgedehnter, nicht leuchtender Nebelmassen sein, die nach J. @. Hagens 
Beobachtungen den Raum rings um das Milchstraßensystem wie ein 
Netzwerk, am dichtesten an den Polen der Milchstraße und von da 
gegen die Milchstraße hin immer weniger auffällig werdend, einhüllen. 
Einzelne solcher Nebelwolken waren schon W. Herschel und E. E. Bar- 
nard bekannt. Auch M. Wolf schließt aus Sternzählungen in der 
Umgebung von & Cygni, beim sogenannten Amerikanebel, auf die Exi- 
stenz ausgedehnter, lichtabsorbierender Materie, deren Wirkung schon 
in der mittleren Entfernung der Sterne 9. Größe merklich wird und 
dann bei den Sternen 12. Größe in verstärktem Maße einsetzt [Astr. 
Nachr. 223 (1924), p. 89]. 


G. Eigenbewegung der Sterne und der Sonne. 


30. Erste Versuche. Als in der Mitte des 18. Jahrhunderts die 
Erkenntnis gewonnen war, daß das Auftreten von Bewegungen bei 
den Fixsternen nicht eine vereinzelte Erscheinung sei, sondern eine 
allgemeine Eigenschaft der Fixsterne, begannen auch bald die Be- 
mühungen, Gesetze in diesen Bewegungen aufzudecken. Das Vor- 
handensein einer fortschreitenden Bewegung der Sonne im Welten- 
raum forderte J. de Lalande®”?) als notwendig verbunden mit der 
Rotation und P. Prevost???) als Folge gegenseitiger Attraktion der 
Massen im Universum. Mit der Aufgabe der Bestimmung der Be- 
wegung des Sonnensystems aus den beobachteten Eigenbewegungen 
der Fixsterne beschäftigte sich zuerst J. H. Lambert in seinen „Kos- 
mologischen Briefen“ (1761). 7. Mayer’), der den ersten Eigen- 
bewegungskatalog, beruhend auf der Vergleichung seiner eigenen Be- 


322) Paris M&m. de l’Acad. 1776. 

323) Berlin M&m. de l’Acad. 1781, p. 418 (in der Akademie vorgelesen am 
3. Juli 1783). 

324) T. Mayer, De motu fixarum, Op. inedita, Göttingen 1775. 


30. Eigenbewegungen. Erste Versuche. 327 


obachtungen mit denen von Roemer und Lacaille, aufstellte, erkannte, 
daß wenigstens bei den größeren Bewegungen die parallaktische Be- 
wegung zurücktritt gegenüber den Spezialbewegungen. Auf Grund- 
lage der 7. Mayerschen Eigenbewegungen bestimmte P. Prevost®?°) 
den Zielpunkt der Sonnenbewegung, indem er eine dieser Hypothese 
entsprechende Verteilung der Richtung der Bewegungen in Rekt- 
aszension und Deklination zu erzielen suchte. Einige Monate früher 
schon war die erste der Arbeiten W. Herschels®?°) erschienen, die in 
sicherer Begründung die Theorie der Bewegung der Sonne und der 
Sterne zu einem dauernden Bestandteil astronomischer Forschung ge- 
macht haben. 

Wenn auch diese ersten Versuche das Vorhandensein einer Be- 
wegung des Sonnensystems im Raume außer Zweifel zu stellen ge- 
eignet waren, so schien die Bestimmung der Richtung dieser Be- 
wegung, zu der sie führten, doch von sehr zweifelhaftem Werte und 
wurde vielfach gänzlich abgelehnt. 

Die in der Folge bei der Behandlung des Problems angewandten 
Methoden zerfallen in solche, bei denen nur die beobachtete Richtung 
der Bewegung benutzt wird, und in solche, die auch die Größe der 
Bewegung berücksichtigen. Die Hauptschwierigkeiten bei der mathe- 
matischen Behandlung bestehen in unserer völlig unzureichenden Kennt- 
nis der Entfernungen der Sterne und in dem hohen Prozentsatz von 
Sternen, deren Bewegung der parallaktischen Hypothese völlig wider- 
spricht (retrograde Bewegungen). 

Es mögen folgende Bezeichnungen gelten: 


180° + A, — D Koordinaten des dem Zielpunkt der Sonnenbewegung 
(Apex) gegenüberliegenden Punktes, des Antiapex; qg = lineare 
Größe der Sonnenbewegung und AX,AY, AZ ihre rechtwink- 
ligen Koordinaten. 

«, 6,0 Koordinaten und Entfernung des Sterns. 

&,n, & rechtwinklige Koordinaten, A&, An, A& rechtwinklige Ge- 
schwindigkeiten des Sterns relativ zur Sonne. 

ko cosöda, kodö, do Komponenten der Eigenbewegung des Sternes 
(in linearem Maß) nach der Richtung des Parallels, des De- 
klinationskreises und des Visionsradius. 

u,v, w Komponenten der dem Sterne selbst anhaftenden Spezialbe- 


325) Berlin M&m. de l’Acad. 1781, p. 440 (vorgelesen am 11. Sept. 1783) und 
unter Benutzung verbesserter Bewegungen, ebenda 1801, p. 118 — Berl. astr. 
Jahrb. 1805, p. 113. 

326) London Phil. Trans. 1783, p. 247; 1805, p. 233; 1806, p. 205. 


328 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


wegung (in linearem Maß) nach der Richtung des Parallels, 
des Deklinationskreises und des Visionsradius. 
® sphärischer Abstand des Antiapex vom größten Kreise der 
EB. des Sternes. 
4 Länge, y Positionswinkel des sphärischen Bogens Stern-Anti- 
apex, so daß sin ® =sinysin (p — »). 
a, d Koordinaten des Poles des größten Kreises der EB. des Ber 
6, vr Komponenten der EB. des Sterns in der Richtung nach dem 
Antiapex (parallaktische Bewegung) und senkrecht zu dieser 
Richtung (Querbewegung); 6 = u cos(p — Y), r= usin(p — v). 
Herschels Bestimmung der Sonnenbewegung sucht auf graphischem 
Wege für die benutzten Sterne des 7. Mayerschen Verzeichnisses die 
Abstände ® in ihrer Gesamtheit möglichst klein zu machen, also 
mathematisch ausgedrückt der Forderung zu genügen 
(50) D’{are sin [sin y sin (p — %)]}?= Minimum. 
Herschel findet (Phil. Trans. 1806) graphisch als wahrscheinlichsten 
Ort des Apex A= 245,9°%, D= + 404° Als wahrscheinlichste 
Größe der Sonnenbewegung betrachtet Herschel einen Wert, der in 
der Mitte der mit seiner Annahme aus den beobachteten EB. folgen- 
den motus peculiares liegt, wenn die Entfernungen umgekehrt propor- 
tional den scheinbaren Helligkeiten gesetzt werden. Herschel findet 
q= 0,75” gesehen aus der Entfernung der Sterne erster Größe. 


31. Neuere Methoden. F. W. Argelanders Bestimmung der 
Sonnenbewegung aus 390 Eigenbewegungen über 0,2” seines Aboer 
Katalogs®?”) verfolgt den gleichen Weg. Unter der Voraussetzung, 
daß die motus peculiares der Sterne den Charakter zufälliger Fehler 
haben, also regellos erfolgen, werden Verbesserungen angenommener 
Näherungswerte für die Koordinaten des Antiapex gesucht, die die 
Bedingung erfüllen 


(51) > (sin?y - (9 — w)?) = Minimum. 

Die Argelandersche Bedingung macht also neben der Voraussetzung 
über den Charakter der motus peculiares die weitere, daß die (p — v) 
und damit die ® kleine Winkel sind, so daß ihr sinus mit dem Bogen 
vertauscht werden darf. Die ausgedehnteste Anwendung dieser Arge- 
landerschen Methode machte H. Mädler, indem er nach ihr 2163 Sterne 
des Bradley-Katalogs behandelte.) Er fand 


A— 261,6%, D— + 39,9°. 
327) St. Petersburg M&m. 3 (1837), p. 561 auch Astr. Nachr. 16 (1839), 


p. 43; 17 (1840), p. 209. 
328) Dorpat Sternw. Beob. 14 (1856), p. 227. 


31. Eigenbewegungen. Neuere Methoden. 329 


F. W. Bessel”*®) wählte als einfachen Ausdruck der Richtung der 
Eigenbewegung den Pol des größten Kreises, in dem sie erfolgt, und 
zwar denjenigen der beiden Pole, von dem aus gesehen die Bewegung 
von der Rechten zur Linken vor sich geht. Die Pole paralleler 
Eigenbewegungen liegen auf einem größten Kreise, und der Zielpunkt 
ist der Pol dieses Kreises, der der Gleichung (50) streng Genüge 
leistet.°°) Bei der Anwendung dieser Methode auf 71 Sterne mit 
EB. > 0,5” findet Bessel die Herschelsche Folgerung nicht bestätigt. 
Es treten mehrere Punkte auf, auf welche die Bewegungen einer 
größeren Zahl von Sternen gerichtet sind, aber es bleiben, welchen 
Punkt man auch wählen mag, immer allzu viele retrograde Bewe- 
gungen übrig. Gauß’ Arbeiten über diese Frage sind bislang nur 
soweit bekannt, als sie im Briefwechsel mit Olbers®®”') erwähnt wer- 
den. Bei einer ersten Rechnung bedient er sich der Bedingungs- 
gleichung I’sin’® = Minimum und wird mit den 71 Besselschen 
Sternen auf einen Zielpunkt A = 259,7°, D = — 3,8° geführt. Dieser 
Punkt kann aber nicht als wirklicher Zielpunkt betrachtet werden, 
da nach Gauß die Sterne mit retrograder Bewegung für die Bestim- 
mung überhaupt nicht mitsprechen dürfen. Sie müssen fortgelassen 
werden, und man kann nur durch wiederholte Näherungen, indem 
man bei jeder Näherung immer diejenigen Sterne fortläßt, die sich 
bei der letzten Näherung als retrograd ergeben hatten, zum Ziele 
gelangen. Der Forderung, daß der wahre Zielpunkt der Sonnenbe- 
wegung die beobachteten Eigenbewegungen so darstellen müsse, dab 
die übrigbleibenden motus peculiares möglichst klein seien, entspricht®”?) 
für die direkten Bewegungen die Forderung I'sin? © = Minimum, 
für die retrograden aber $'sin?y = Minimum, und der Zielpunkt 
wäre zu bestimmen durch die Bedingung I'sin? @ + S'sin? „= Mini- 
mum, wobei die erste Teilsumme nur die direkten, die zweite nur die 
retrograden Bewegungen umfaßt. Auf Grundlage der Zielpunkte der 
Eigenbewegungen der Sterne wäre nach einer anderen Formulierung 
der Aufgabe durch Gauß der Zielpunkt der Sonnenbewegung zu be- 
stimmen als Pol eines größten Kreises, der die Sphäre in zwei eine 
möglichst ungleiche Anzahl von EB.-Zielpunkten enthaltende Halb- 
kugeln teilt. Gauß bestimmt®”?) diesen Punkt als Zielpunkt der 


329) F. W. Bessel, Fundamenta Astronomiae, Königsberg 1818, p. 309. 

330) Vgl. Astr. Nachr. 132 (1893), p. 323. 

331) C. Schilling, Wilhelm Olbers, sein Leben und seine Werke, Bd. 2 
(1909), p. 148, 154, 157, 161, 676, 680. 

332) Ebenda p. 161. 

333) Ebenda p. 158. 


330 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Riehtung nach dem im Inneren der Kugel gelegenen Schwerpunkt 
der auf den größten Kreisen der Eigenbewegung der Sterne 90° vom 
Sternort entfernt liegenden Punkte A*D* und erhält so 

A = 266,35°, D= + 34,8°. 

Eine von W. Olbers®”*) benutzte Methode läßt sich ableiten aus 
den allgemeinen Ausdrücken für die Komponenten der EB., nämlich 
kousinpg=ko cos dda—=u--gcos D sin (« — A) 

(52) \koucosp = kodö =v— q[cosö sin D — sin d cos D cos (@a— A)] 
de = w — q[sin d sin D + cos d cos Deos(« — A)]. 





Durch Elimination von g aus den ersten beiden Gleichungen folgt 
die Olbersche Bedingungsgleichung 


(58) | ko cos dd«|cos d sin D — sin d cos D cos (« — A)] 
% + kodö cos Dsin (« — A)= — usingcosp - vsinysiny. 


Wird gemäß der Methode der kleinsten Quadrate die Summe der 
Quadrate der rechten Seite zum Minimum gemacht, so folgt aus 
82 Sternen A = 269,4°%, D= + 68,7%, während eine andere Auf- 
lösung der Gleichungen, die die einfache Summe der Glieder auf der 
rechten Seite für die 36 Sterne mit positivem Werte von d« einer- 
seits und diejenige für die 46 Sterne mit negativem Werte von de 
andererseits zu null macht, auf A = 276,4%, D= + 15,2° führt. 
Auf der unmittelbaren Verwendung der ersten beiden Gleichungen 
(52) beruht die von @. B. Aüry?®°) angewandte Methode. Die Auf- 
lösung der Bedingungsgleichungen führt Aery einmal aus unter der 
Annahme, daß die «, v den Charakter zufälliger Fehler haben, also 
die Summe ihrer Quadrate zum Minimum zu machen sei, und ein 
anderes Mal unter der Voraussetzung, daß überhaupt keine motus 
peculiares auftreten, vielmehr die cosdd« und dd nur hervorgehen 
aus der Bewegung der Sonne und Beobachtungsfehlern. Diese Beobach- 
tungsfehler setzen sich zusammen aus zufälligen Fehlern und kon- 
stanten Fehlern. Auf den großen Einfluß eines konstanten Fehlers 
der Deklinationen in den zur Bestimmung der Eigenbewegungen ver- 
glichenen Katalogen war schon Gauß?”®) aufmerksam geworden durch 
den Umstand, daß bei einer Trennung der Sterne nach der Größe der 
Bewegung die kleinen Bewegungen zu einem erheblich südlicher ge- 


334) Ebenda p. 140, 151; auch Briefwechsel Olbers-Bessel von A. Erman 
2 (1852), p. 220. 

335) London Astr. Soc. Mem. 28 (1860), p. 143 — London Astr. Soc. Month. 
Not. 19 (1859), p. 175. 

336) In dem in Fußnote *°*') zitierten Buche p. 678. 


31. Eigenbewegungen. Neuere Methoden. 331 


legenen Zielpunkte führten als die großen. An die Stelle der Größen 
w und v in (52) treten also Größen, die zusammengesetzt sind aus 
den zufälligen Fehlern der beobachteten Werte von cos dd« und dd, 
aus den aus dem Fehler der angenommenen Präzessionskonstante her- 
vorgehenden Einfluß auf die berechneten Werte dieser Größen und 
aus dem Fehler des angenommenen Aquinoktialpunktes bzw. des 
Deklinationssystems, und bei der Ausgleichung ist die Summe der 
Quadrate der Beobachtungsfehler zum Minimum zu machen. 

Die Aörysche Methode wurde in der Folge sehr häufig angewandt. 
Sie liegt auch der Verwertung des umfangreichen und durch große 
Zuverlässigkeit ausgezeichneten, im P.G.C. gesammelten Eigenbewe- 
gungsmaterials zugrunde, die wir L. Boss®?”) verdanken. Die Lage 
des Zielpunktes der Sonnenbewegung ist nach dieser auch eine Ver- 
besserung der Konstanten der Präzession berücksichtigenden Bearbei- 
tung, die als der Schlußstein der durch Herschels Arbeiten eingelei- 
teten Periode zu betrachten ist, gegeben durch 


nach 5413 Sternen mit EB. < 0,2”, A= 270,52°%, D= -+ 34,28° 
Ba 3) REN in int 0, 272,03°, + 34,53°. 


Weil aber, wenn man den Sternen Bewegungen zuschreibt, das 
Bestehen der Milchstraße, wenigstens als eine nicht bloß vorüber- 
gehende Erscheinung, nur möglich erscheint, wenn man in diesen 
Bewegungen eine mit der Milchstraße eng verbundene Gesetzmäßig- 
keit voraussetzt, schien es naheliegend, in die Bedingungsgleichungen 
zur Darstellung der beobachteten Eigenbewegungen noch weitere, einer 
solchen Hypothese ®®) Rechnung tragende Glieder aufzunehmen. 
E. Schönfeld?) ging dabei von der Annahme aus, daß die Be- 
wegungen der Sterne in parallelen Ebenen mit konstanter Winkel- 
geschwindigkeit um einen gemeinsamen Mittelpunkt erfolgen. Die Be- 
dingungsgleichungen, zu denen man geführt wird, gestatten nicht die 
Bestimmung sämtlicher 11 Unbekannten des Problems, da diese Un- 
bekannten zum Teil in unlösbaren Verbindungen auftreten. Selbst 
wenn man die Ebene der Rotation als gegeben, nämlich als zusammen- 





337) Astron. Journ. 26 (1910), p. 95, 111. 

338) Als Anzeichen einer allgemeinen Rotation des Sternsystems um eine 
zur Ebene der Milchstraße senkrechte Achse in rückläufigem Sinne führt ©. D. 
Perrine [Washington Acad. Proc. 2 (1916), p. 292] die systematische Verschie- 
denheit der Eigenbewegungen in den beiden um 90° von der Apexrichtung ab- 
stehenden Punkten der Milchstraße bei den B-Sternen und die Verschiedenheit 
des Resultates für die Größe der Sonnenbewegung, je nachdem ob man sie aus 
nördlichen oder aus südlichen Sternen berechnet, an. 

339) Astr. Ges. Vjs. 17 (1882), p. 255. 


332 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


fallend mit der Ebene der Milchstraße betrachtet, kann man Richtung 
und Größe der Winkelgeschwindigkeit der Sonne nicht trennen von 
der allgemeinen Rotationsbewegung des Gesamtsystems. Die mit hypo- 
thetischen Sternentfernungen ausgeführten Rechnungen nach den Schön- 
feldschen Formeln haben zu wenig übereinstimmenden Werten für die 
Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Sternsystems geführt. Es 
fanden für den auf das Jahr bezogenen Wert der Konstante dl 


F. Rancken) . . . di= + 0,0422” 
m. .DoRe®)., un — 0,0050” 
L. Bude)... — 0,0041” 
F. Ristenpart®) . . — 0,0128” 
7 ae -+ 0,0191”. 


Die Hypothese ist deshalb als ungeeignet für eine genügende Dar- 
stellung der beobachteten Eigenbewegungen zu betrachten. Als Re- 
sultat der nach Fallenlassen der Hypothese übrigbleibenden einfachen 
Gleichungen ist dann etwa das von L. Struve aus den EB. von 
2509 Sternen des Bradley-Katalogs abgeleitete zu betrachten: A = 
273,4°%, D= + 27,3°, q = 0,0436” gesehen aus der mittleren Ent- 
fernung der Sterne 6. Größe. 

Die dritte der Gleichungen (52) wurde zuerst von H. Homann *°) 
angewandt auf die in der Zeit von 1875 bis 1884 in Greenwich auf 
visuellem Wege bestimmten Radialbewegungen. Ein brauchbares Re- 
sultat konnte auf diesem Wege erst erzielt werden, als durch die 
Einführung der photographischen Methode durch H. ©. Vogel) zu- 
verlässige Werte der Radialbewegungen zu erlangen waren. Das von 
W. W. Campbell”") aus 1193 Radialbewegungen von 1180 Sternen 
und 13 Nebeln, die über den ganzen Himmel verteilt sind, abgeleitete 
Resultat A = 2685%, D= + 255°, q= 19,5 km/sec. durfte eine 
große Zuverlässigkeit beanspruchen. Neuere Bestimmungen nach 


340) F. Rancken, Astr. Nachr. 104 (1882), p. 149. 

341) W. Bolte, Untersuchungen üb. die Präzessionskonstante, Diss. Bonn 1883. 

342) L. Struve, Petersburg Akad. Me&m. (7) 35, Nr. 3 (1887). 

343) F. Ristenpart, Untersuchungen über die Konstante der Präzession, 
Diss. Straßburg (Karlsruhe 1892). 

344) Astr. Nachr. 140 (1896), p. 117. 

345) H. Homann, Beiträge zur Untersuchung der Sternbewegungen, Diss. 
Berlin 1885. R. Kövesligethy hatte schon früher einen ähnlichen Versuch ge- 
macht, Astr. Nachr. 114 (1886), p. 327. 

346) Ein Versuch P. Kempfs, Astr. Nachr. 132 (1893), p. 81, schon den 
Vogelschen 51 Bewegungen Ao ein Resultat abzugewinnen, scheiterte an der 
Dürftigkeit des Materials. 

347) Lick Obs. Bull. 6 (1911), p. 125. 


32. Berücksichtigung der Massen der Sterne. 333 


dieser Methode führten in der Tat zu wenig geänderten Werten. 
@G. Forbes®*®) leitete mit 1922 sich nur auf isolierte Sterne beziehenden 
Radialbewegungen die Werte A=270°, D= + 27°, q= 22,00 km/see 
ab, und J. $. Paraskevopoulos**”) bestimmte die Sonnenbewegung aus 
den Radialbewegungen von 537 Sternen des Nordhimmels und 743 Ster- 
nen des Südhimmels zu A = 271,6°%, D —= + 30,3°, q = 23,33 km/seec. 
Die nördliche Hemisphäre allein gibt q = 20,7 km/see, die südliche 
allein qg = 25,4 kmjsec. 

Mit der Forderung, daß die auf die Sonne zu und die sich von 
ihr wegbewegende Gesamtmasse gleich sein solle, glichen B. Fessenkoff 
und (©. Ogrodnikoff?°) die Radialbewegungen der B-Sterne des Voüte- 
schen Katalogs aus. Die Sternmassen sollten nach der kinetischen 
Energie abgeschätzt werden, so daß mv? — konst. ist, und wurden um- 
gekehrt proportional dem Quadrat der vom Einfluß der Sonnenbewe- 
gung mit einem Näherungswert befreiten Radialbewegung gesetzt. Der 
Einfluß der großen Bewegungen auf das Resultat ist durch diese Ge- 
wichtsbestimmung sehr eingeschränkt. Aus 237 Sternen der galak- 
tischen Zone folgte A = 267,2°%, D—= + 35,4°, q = 20,93 kmj/sec. 


32. Berücksichtigung der Massen der Sterne. Die grund- 
legende Vorstellung für alle bisher besprochenen Versuche, die Sonnen- 
bewegung zu bestimmen, war die der Regellosigkeit der den Sternen 
selbst innewohnenden Bewegungen. Von dieser Voraussetzung frei 
ist ein auch in dieser ersten Periode der Bearbeitung der Frage schon 
betretener Weg, der die Bewegungen auf den Schwerpunkt des ganzen 
Systems der sichtbaren Sterne zu beziehen sucht. Wenn m die Masse 
eines Sternes in Einheiten der Sonnenmasse ist, so lauten die Grund- 
gleichungen der Methode 


(1-+ Em) gcos D cos A+ Z(mA$) = 0, 
(54) (1 + Zm)geos Dsin A+ Z(mAn) =0, 
(1 + Zm)gsin D + Z(mAd) =0. 
Der erste Versuch der Anwendung dieser Gleichungen von 
A. Bravais®®') mußte, den nur die lateralen Bewegungen umfassenden. 
Kenntnissen der damaligen Zeit entsprechend, auf sehr unvollkom- 


menen Grundlagen, nämlich auf den Annahmen der Gleichheit aller 
Massen und aller Entfernungen ausgeführt werden. Auf ein besser 





348) London Astr. Soc. Month. Not. 82 (1922), p. 174. 
349) Astron. Journ. 34 (1922), p. 181. 

350) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 113. 

351) Journ de Math. 8 (1843), p. 435. 


334 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


geeignetes, sehr umfangreiches Material wandte HZ. A. Weersma °°°) die 
Bravaissche Methode an. Er fand unter der Annahme, daß die Re- 
sultante der Ao, soweit sie hervorgehen aus den den Sternen selbst 
innewohnenden Bewegungen, verschwinde, mit empirisch als Funktion 
der scheinbaren Eigenbewegungen angenommenen Entfernungen und 
als gleich vorausgesetzten Massen, was der Ersetzung des dynamischen 
durch den geometrischen Schwerpunkt entspricht, als Resultat A= 267 ,7°, 
D= + 314° Eine Aufteilung des Materials nach Deklinations- 
zonen führte zu erheblich verschiedenen Werten für die Deklination 
des Apex als Folge systematischer Fehler der Eigenbewegungen. Die 
Reduktion derselben auf Auwers bewirkte eine bessere Übereinstim- 
mung, 

Mit auf Beobachtungen beruhenden Werten der Radialbewegungen 
und Parallaxen rechnete zuerst H. Kobold°?”), indem er die totalen 
rechtwinkligen Geschwindigkeitskomponenten von 29 Sternen relativ 
zur Sonne ableitete und die Formeln anwandte 


de RT 1 1 t 


Die beobachteten Parallaxen erwiesen sich aber nur für 11 Sterne als 
zuverlässig, so daß sich nur die Bewegung der Sonne relativ zu dem 
geometrischen Schwerpunkt dieser 11 Sterne in der Nähe der Sonne 
bestimmen ließ. Das schon hierbei bemerkte Überwiegen mit der 
Sonnenbewegung paralleler, teils gleich gerichteter, teils entgegenge- 
setzt gerichteter Sternbewegungen tritt auch bei dem jetzt zur Ver- 
fügung stehenden, unvergleichlich reichhaltigeren Material zutage. 
G. Strömberg?*) standen für eine Berechnung der relativen Totalbe- 
wegungen etwa 1300 Sterne zu Gebote. Er findet ohne Berücksich- 
tigung der Massen für 800 Riesensterne A —= 272,7%, D—= + 36,9°, 
q = 18,8 km/sec und für 415 Zwergsterne A = 280,8°, D—= + 29,5°, 
q=31,T km/see und folgert, daß die großen Bewegungen in der 
Regel durch Summation der Sonnenbewegung und entgegengesetzt 
gerichteter Sternbewegungen entstehen. Auch W. Dziewulski und 
K. Iwaszkiewiez°?) bearbeiteten in dieser Weise das Problem. Ersterer 
benutzte 394 Sterne mit trigonometrisch bestimmten Parallaxen, und 
letzterer fügte noch 761 Sterne hinzu, für welche spektroskopische 
Parallaxen gegeben waren. Um den Einfluß der stark bewegten 


352) Groningen Lab. Publ. 21 (1908). 

353) Halle Nova Acta 64 (1895), p. 269; Valentiner, Handwörterbuch 3 II 
(1899), p. 102. 

354) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 265. 

355) Wilna Obs. Bull. Nr. 2 (1922). 





33. Kobolds Kritik der Hypothese der Regellosigkeit der EB. 335 


Sterne auf das erlaubte Maß zurückzuführen, wurden durch ein gra- 
phisches Verfahren die mittleren Werte der 3 Geschwindigkeitskom- 
ponenten für die einzelnen Gruppen des in 91 solche Gruppen zu- 
sammengefaßten Materials gebildet. Es ergab sich aus den Sternen 
mit trigonometrischen Parallaxenwerten A — 274,1°%, D= + 30,6°, 
q=21,2km/sec und aus den Sternen mit spektroskopischen Parallaxen- 
werten A = 274,4°, D= -+ 30,2°, q = 16,7 kmjsec. 

Nachdem durch die Forschungen der jüngsten Zeit uns auch die 
Sternmassen als Funktion des Spektraltypus und der absoluten Hel- 
ligkeit bekannt geworden sind, war eine von jeder Hypothese freie 
Anwendung der Bravaisschen Methode möglich. Da zwischen der 
Masse und der Geschwindigkeit eine Korrelation besteht, derart, daß 
je kleiner die Masse um so größer die Geschwindigkeit ist, so äußert 
sich die Einführung der Massen in die Bedingungsgleichungen beson- 
ders in einer Verminderung des Einflusses der großen Bewegungen. 
I. Balanowsky und N. Samoilova®°®) verwenden zu einer Untersuchung 
auf dieser Grundlage 911 Sterne und finden als Zielpunkt der Sonnen- 
bewegung A = 265,7°, D == + 30,4°, q = 15,5 km/sec. Scheidet mah 
mit Rücksicht auf die bekannte Tatsache, daß die stark bewegten 
Sterne eine besondere Gruppe mit einer gemeinsamen Bewegung zu 
bilden scheinen, die Sterne mit Geschwindigkeiten über 80 km aus, 
so tritt auch eine weitere Verkleinerung des Wertes der Sonnenge- 
schwindigkeit ein. Die Verfasser betrachten die Werte A = 270°, 
D=-+50% g=15 km/sec als die plausibelste Annahme für die 
Bewegung der Sonne in bezug auf den Schwerpunkt der hellen Sterne 
vom Spektraltypus F—M. Etwa das gleiche Material behandelte 
auch F. K. Nevermann?®”) nach denselben Prinzipien. Die Gesamt- 
heit der nach Ausscheidung der Sterne mit Geschwindigkeiten über 
100 km/sec. verbleibenden, bis auf vereinzelte A- und M-Sterne aus- 
schließlich den Klassen F' bis K angehörenden 730 Sterne ergibt 
A = 276,2°, D= + 33,9%, g= 18,18 km/sec. Trennt man nach 
Größe der Masse und nach Entfernung — es sind nur spektrosko- 
pische Parallaxen verwertet — so tritt ein systematischer Gang auf, 
der auf eine verschiedene Bewegung der Schwerpunkte dieser Teile 
des Gesamtmaterials deutet. 


33. Kobolds Kritik der Hypothese der Regellosigkeit der EB. 
Der gemeinsame Ausgangspunkt aller Bestimmungen der Sonnenbe- 
wegung in der ersten, von Herschels Zeit bis in die 90er Jahre des 

356) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 289. 

357) Astr. Nachr. 223 (1924), p. 1. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, B. 22 


336 VI 2,23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


vorigen Jahrhunderts reichenden Periode, war die Annahme, daß die 
Sonnenbewegung die alleinige Quelle von den beobachteten Eigenbe- 
wegungen selbst anhaftenden Gesetzmäßigkeiten sei. Als notwendigste 
Bedingung der damit vorausgesetzten regellosen Verteilung der motus 
peculiares muß gleiche Wahrscheinlichkeit positiver und negativer 
Abweichungen der Richtungen der Eigenbewegungen von der Rich- 
tung der parallaktischen Bewegung gelten. Daß diese Bedingung aber 
nicht erfüllt ist, ergab sich als unabweisbare Folgerung aus Unter- 
suchungen von H. Kobold®°®) unter Verwendung der Polmethode. Die 
bei Benutzung der Auwersschen Eigenbewegungen des Bradley-Kata- 
logs mit großer Deutlichkeit auftretende Zone größter Dichtigkeit der 
Pole verlangt die Annahme von Vorzugsrichtungen der scheinbaren 
Bewegungen auf den Punkt A —= 268°, D—= — 3° und in entgegen- 
gesetzter Richtung; sie ist völlig unvereinbar mit den bis dahin gel- 
tenden grundlegenden Voraussetzungen, entspricht vielmehr einer ge- 
meinsamen Bewegung der Sonne und der Sterne ihrer Umgebung in 
gleicher Richtung aber mit verschiedener Geschwindigkeit, derart, daß 
die Sonne hinter der Mehrzahl der Sterne zurückbleibt, eine große Zahl 
aber auch überholt. So entstehen die direkten auf den Antiapex, 
und die retrograden auf den Apex gerichteten Bewegungen. An den 
Bewegungen von 893 über den ganzen Himmel verteilten Sternen ließ 
sich überzeugend nachweisen®®®), daß die Annahme des Vorherrschens 
zweier einander entgegengesetzter Richtungen der motus peculiares 
eine sehr viel befriedigendere Darstellung der Richtungen der EB. 
'bewirke als die Annahme gleicher Wahrscheinlichkeit aller Rich- 
tungen in diesen Bewegungen. 

Die Bestimmung der beiden Zielpunkte der Vorzugsrichtung der 
Bewegungen®®®), d. i. der Pole der Mittellinie der Zone größter Dich- 
tigkeit der Pole der Eigenbewegungen, des parallaktischen Äquators, 
erfordert, wenn x, y, z die rechtwinkligen Koordinaten der Pole der 
Eigenbewegungen auf der Sphäre vom Radius 1, #, T, Z die gleichen 
Größen für den Apex oder Antiapex sind, die Auflösung der Glei- 


ee [ra] 8 + [ay] P + [2] z= 8 
(56) ye]&+ Ws] T+ lv] z—=Ar 
kalä+ley] P+ [se] zZ, 
welche zunächst auf die kubische Gleichung in A 
(57) — 4?+ 42%? — Bi+(C=0 
358) Astr. Nachr. 125 (1890), p. 65; Halle Nova Acta 64 (1895), Nr. 5. 


359) Astr. Nachr. 153 (1900), p. 282. 
360) Vgl. P. Harzer, Astr. Nachr. 133 (1893), p. 79. 


83. Kobolds Kritik der Hypothese der Regellosigkeit der EB. 337 


führen. Mathematisch ist, wie schon Gauß (Brief an Olbers vom 
15. Januar 1822) bemerkte, die Aufgabe gleichbedeutend mit der Be- 
stimmung der 3 Hauptachsen eines Ellipsoids.’') Ein Material von 
1579 Sternen mit sicher bestimmten Eigenbewegungen wurde dadurch 
vom Einfluß der ungleichen Sternverteilung befreit, daß die Sphäre 
in 122 inhaltsgleiche Stücke geteilt und den » Sternen aus jedem 


dieser Stücke ein Gewicht u rg erteilt wurde, so daß das System 


der Normalgleichungen aus 122 Gleichungen vom Gewicht 1 bestand. 
In dieser Weise behandelt?®?) ergab es die dreifache Lösung 
4, = 269°40,7', o—= — 014; = 179°39,1', Di—= — 50°45,6’; 
Ay = 179°41,9, Dg = + 39°14,6”. 
Der erste Punkt gehört zu dem kleinsten Werte A, er bestimmt das 
Minimum der Summe der Quadrate der Abweichungen der Richtungen 
der Eigenbewegungen. Der dritte Punkt dagegen gehört zum größten 
Werte A. Die Punkte 1 und 2 liegen in der Milchstraße, der Punkt 3 
in der Nähe des Pols der Milchstraße. Einer zweiten Bearbeitung ®*®?) 
wurden 905 Sterne mit Eigenbewegungen über 0,02” zugrunde ge- 
legt, es wurde aber bei gleicher Einteilung des Himmels wie vorhin 
für jedes der 122 Gebiete eine mittlere Bedingungsgleichung aufge- 
stellt, dann folgen die drei Richtungen 
4A, = 2709817, DoD=-+17°46,1°; Au 21839,8°, Do = — 62°46,4'; 
As —= 113028,3’, Do = + 19°56,0”. 
Die Grundgleichungen der Polmethode werden von W.T. OCarrigan®**) 
in anderer Weise abgeleitet als Ausdruck der Bedingung, daß die 
Richtung der Sonnenbewegung gleichzeitig allen Ebenen angehören 
muß, in denen die beobachteten Bewegungen der Sterne erfolgen. 
Gesetzmäßige den Sternen selbst innewohnende Bewegungen 
müßten zum Ausdruck kommen in merklichen Beträgen der höheren 
Glieder bei einer Entwicklung der scheinbaren Bewegungen in Reihen 
nach Vielfachen der Rektaszension und Deklination oder nach Funk- 
tionen dieser Koordinaten. H. Gylden?®) zeigte auf diesem Wege, 


361) Vgl. Fußnote 331). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauß p. 155. 
Die Aufgabe tritt auch auf in der Theorie der quadratischen Massenmomente: 
Vgl. @. Jung, Geometrie der Massen, Encykl. IV 4, Nr. 17 (1903). 

362) Astr. Nachr. 144 (1897), p. 40; am angegebenen Orte ist nur die der 
kleinsten Wurzel entsprechende Lösung angeführt. 

363) Astr. Nachr. 150 (1899), p. 271. 

364) Astron. Journ. 24 (1904), p. 107. 

365) Stockholm Öfvers. 1871, Nr. 8; Astr. Ges. Vjs. 9 (1874), p. 173 (Re- 
ferat von H. Schultz). 

22* 


338 VI, 23. H. Kobold. Stellarastronomie 


daß wenigstens Andeutungen gesetzmäßigen Verhaltens der eigentüm- 
lichen Bewegungen bestehen, und wies auf die Beziehungen des Pro- 
blems der Bestimmung der Sonnenbewegung aus den Eigenbewegungen 
mit dem der Ableitung der Bewegung der Erde aus beobachteten 
Bewegungen anderer Körper des Sonnensystems hin. Gleichartige 
Untersuchungen in größerem Maßstabe führte O. Hecker?‘®) aus und 
wies durch dieselben noch bestimmter nach, daß neben den die Sonnen- 
bewegung enthaltenden Gliedern andere mit der Annahme der Regel- 
losigkeit der Sternbewegungen unvereinbare Glieder in den Entwick- 
lungen auftreten. Eine Deutung derselben konnte auf diesem Wege 
nicht erzielt werden. Den Punkt des Verschwindens der Eigenbewegung 
in beiden Koordinaten legte Hecker nach A = 270°, D= + 9,9°. 


34. Kapteyns Zweischwarm-Hypothese. Das eingehende Studium 
der Richtungen der Eigenbewegungen in den einzelnen Gebieten der 
in 28 Teile geteilten Sphäre, nachdem die Bewegungen jedesmal auf 
den Mittelpunkt des betreffenden Gebietes übertragen waren, ließ 
J. ©. Kapteyn?®") das Auftreten von zwei Vorzugsrichtungen in allen 
Gebieten erkennen, die zwei Punkte am Himmel als gemeinsame 
Schnittpunkte der beiden Bewegungsarten bestimmen. Diese beiden 
scheinbaren Zielpunkte der Sternströme, gelegen der eine 7° südlich 
von « Orionis, der andere 2° südlich von n Sagittarii, nennt Kapteyn 
die „scheinbaren Vertizes“. Bezüglich des Schwerpunktes des ganzen 
Sternsystems können die beiden Vorzugsbewegungen nur genau ent- 
gegengesetzte Richtungen haben, und die beobachteten scheinbaren 
Richtungen sind die Komponenten der Sonnenbewegung und der 
wahren Sternbewegungen. Der wahre Zielpunkt der Bewegung, der 
wahre Vertex, wird bekannt, wenn wir die Verteilung der Sterne auf 
die beiden Bewegungsrichtungen oder den mittleren Betrag der bei- 
den Bewegungen kennen. Kapteyn legte den wahren Vertex nach 

—=1° D'= + 13,5°. 

Die mathematische Theorie dieser Zweischwarm-Hypothese ent- 
wickelte A. S. Eddington®®), indem er das einfache Maxwellsche Ge- 
setz der Verteilung der Geschwindigkeiten durch ein zweigliedriges 
für die Sternströme ersetzt in der Form 


N,h? a h? 
az — N rue au, do; + a 


et) Ju,dv,. 
2 PLAZ 


366) Über die Darstellung der EB. der Fixsterne und die Bewegung des 
Sonnensystems, Diss. München 1891. 

367) Brit. Astr. Ass. Rep. 1905, p. 257. 

368) London Astr. Soc. Month. Not. 67 (1906), p. 34. Eine analytische Lö- 
sung gibt Eddington, Month. Not. 68 (1908), p. 588. Die mathematischen Grund- 
lagen der Kapteynschen Theorie finden sich Month. Not. 72 (1912), p. 743. 


34. Kapteyns Zweischwarm - Hypothese. 339 


Die Annahme von u? + v?—= Ao?-+ 2AoVcos® + V? und Integration 
bezüglich Ao von — oo bis + oo führt für jedes der zwei Glieder 
auf den Ausdruck 


(88) dZ= ".do e-# 7° (+ -+ hV eos® er? V? cos? © e*di) 


—hVco8s od 


als Häufigkeitsfunktion der Sterne von der Geschwindigkeit V und 


der Bewegungsrichtung ©. Die Konstante h hängt mit der mittleren 


Geschwindigkeit ® der Sterne zusammen nach der Formel & = un 
7 


Da zwei Vorzugsbewegungen vorausgesetzt werden, so hat man mit 
zwei angenommenen Wertepaaren N,, AV, 9, und N,, hV,, ©, wo 
N, + N,= N = der Gesamtzahl der betrachteten Sterne ist, die Ver- 
teilungsfunktion zu berechnen und diese fünf Konstanten zu variieren, 
bis man eine der beobachteten entsprechende Verteilung erhält. 

Die Anwendungen der Theorie, besonders durch Eddington und 
F. W. Dyson erwiesen die Hypothese als geeignet, eine durchaus be- 
friedigende Darstellung der beobachteten Bewegungsverhältnisse zu 
erzielen. Bezüglich eines einzelnen Sternes läßt sich, da die beiden 
Ströme einander völlig durchdringen und wesentliche Unterschiede 
der beiden Ströme bezüglich der Helligkeit, des Spektrums und der 
Entfernung nicht bestehen, nicht sagen, welchem der beiden Ströme 
er angehört. Es läßt sich nur die Verteilung der Sterne in einer 
bestimmten Gegend auf die beiden Ströme ermitteln. Nach Edding- 
tons Untersuchung °®®) der Sterne des Bossschen P.G.C. gehören 60°, 
der Sterne dem Strome I mit dem scheinbaren Vertex in A’—= 90,8°, 
D’= — 14,6° und 40°/, dem Strome II mit dem scheinbaren Vertex 
in A’—= 287,8, D’—= — 64,1° an. Die mittlere Geschwindigkeit der 


Sterne des Stromes I ist 1,52 , die der Sterne des Stromes II 0,86: 


Eine Ausnahmestellung scheinen die Orionsterne, d. h. die Sterne 
vom Typus B, einzunehmen. Sie sind durch sehr kleine Bewegungen 
ausgezeichnet und zeigen, wie schon E. B. Frost und J. ©. Kapteyn®”®) 
nachgewiesen haben, ein besonderes Verhalten, darin bestehend, daß 
sie in der Umgebung des Apex die Sonnenbewegung 10 kmj/sec. 
kleiner ergeben als beim Antiapex. $. 8. Hough und J. Halm°”), die 
die Zweischwarm - Theorie auf die Radialbewegungen übertrugen, 
fanden neben Anzeichen von Ungleichheiten der Verteilung der Sterne 





369) London Astr. Soc. Month. Not. 71 (1910), p. 4. 
370) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 83, 
371) London Astr. Soc. Month. Not. 70 (1909), p. 85. 


340 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


auf die beiden Ströme in einzelnen Regionen der Sphäre und einer 
Zusammendrängung der Sterne des II. Stromes auf der auf der Süd- 
seite der Milchstraße gelegenen Hälfte der Sphäre?"®), auch das be- 
sondere Verhalten der Orionsterne deutlich ausgesprochen, und Halm °"°) 
nahm zur Erklärung desselben das Vorhandensein eines dritten Stromes O 
an, dessen Sternen eine sehr geringe Bewegung sowohl gegenseitig 
als auch bezüglich der Gesamtheit aller Sterne innewohnt. Teilt man 
die Sterne in Gruppen nach der Rektaszension, so zeigt sich nach 
Elimination der Sonnenbewegung sowohl bei den Radialbewegungen 
wie auch bei den Eigenbewegungen eine doppelte Periodizität, die 
zugunsten der Theorie zweier in ungleichem Verhältnis untermischter 
Sternströme spricht. Die Verteilung der Sterne nach der Richtung 
der Eigenbewegung läßt sich am besten darstellen durch die Drei- 
schwarm-Hypothese, allerdings bleiben, besonders bei der Trift II, 
starke Unregelmäßigkeiten übrig. 

Eine besondere Untersuchung der Sterne mit großer Eigenbe- 
wegung durch F. W. Dyson®"*) ließ die Teilung in zwei Schwärme 
bei diesen Sternen in besonders ausgesprochener Weise hervortreten. 
Andrerseits zeigte J. CO. Kapteyn?”), daß das Phänomen keineswegs 
auf diese vermutlich nächsten Sterne beschränkt ist, sondern auch 
nachweisbar ist für Nicht-Helium-Sterne mit sehr kleiner Bewegung, 
also Sterne in durchschnittlich der gleichen Entfernung wie die B- 
Sterne. Dagegen findet wieder ©. D. Perrine?"®), daß das Auftreten 
der Vorzugsbewegung beschränkt sei auf die Sterne heller als 3,0” 
mit Eigenbewegungen über 0,05”. 

Bei der Untersuchung der Eigenbewegungen der Sterne des 
Greenwich Catalogue for 1910 fanden F. W. Dyson und W. G. Thacke- 
ray?) eine starke Verschiedenheit der Deklination des Zielpunktes 
der Sonnenbewegung, + 36° für Typus B und A, + 50° für Typus 
F5—K0, + 68° für Typus K2—M, und suchen die Erklärung für 
diese Erscheinung in ungleicher Verteilung der Sterne der einzelnen 
Typen auf die beiden Schwärme. 


35. Schwarzschilds Ellipsoidhypothese, Mit dem Anblick des 
gestirnten Himmels, insbesondere mit der Erscheinung der Milch- 
straße, ist eine strenge Scheidung der Fixsternwelt in zwei besondere 


372) London Astr. Soc. Month. Not. 70 (1910), p. 568. 
373) Ebenda 71 (1911), p. 610. 

374) Edinburg Roy. Soc. Proc. 28 (1908), p. 231. 

375) Amsterdam Proc. 14 (1911), p. 524. 

376) Astroph. Journ. 46 (1917), p. 266. 

377) London Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 201. 


35. Schwarzschilds Ellipsoidhypothese. 341 


. Schwärme schwer zu vereinigen, und wenn man nun auch die Zwei- 
schwarm-Theorie nicht so streng aufzufassen hat, daß sie ein Zer- 
fallen des Gesamtsystems in 2 verschieden bewegte Teile bedeute, 
sondern nur das Vorherrschen zweier Bewegungsrichtungen in der 
Gesamtheit der Sterne, so wird man trotz der guten Darstellung, die 
man durch diese Theorie erzielt, doch einer einfacheren und natür- 
licheren Vorstellung, die die Einheitlichkeit des Systems unbedingt 
gewährleistet, den Vorzug zu geben geneigt sein. Daß man dieses 
Ziel mit der Annahme nur einer gemeinsamen Bewegung der Sterne 
neben der Sonnenbewegung erreichen kann, hat K. Schwarzschild?"®) 
gezeigt. An Stelle der Maxwellschen Verteilung der Geschwindig- 
keiten setzt er eine Verteilung voraus, die geometrisch zu veran- 
schaulichen wäre durch ein Ellipsoid in der Form: 
dZz = ber@wrretee) Qudvdw. 

Doch ergibt sich schon eine den tatsächlichen Verhältnissen genügende 
Darstellung bei Annahme eines Rotationsellipsoids, b = c, entsprechend 
der Voraussetzung, daß die Bewegungen in der Richtung der Rota- 
tionsachse vorherrschen, in der dazu senkrechten Richtung aber von 
gleicher Wahrscheinlichkeit sind. Das Ellipsoid projiziert sich auf die 
Sphäre als Ellipse.””®) Sind $&, 7 die Komponenten der den Sternen 
eigenen Bewegungen, u, v die Komponenten der Sonnenbewegung 
nach der Richtung zweier konjugierter Durchmesser der Geschwindig- 
keitsellipse, A = gsiny die Projektion der Sonnenbewegung auf die 
Sphäre am Orte eines Komplexes von N Sternen, dann ist die Zahl 
der Bewegungen &, n gegeben durch 


(59) des = . Ne-&+n? e-m+ dedn. 


Durch Integration erhält man für die Zahl der Bewegungen in den 
vier Winkelräumen zwischen den konjugierten Durchmessern mit 
Hilfe des Wahrscheinlichkeitsintegrals 


t 
N 
= 7 f ee dt 
die Ausdrücke Ä 


ol Ya) PR@)], 3=iNll+-PW]LL+P@)], 
ae NU1+H9WIU—P@)], 4=4NI— yla]Il+ PD): 

378) Göttingen Nachr. 1907, p. 614; 1908, p. 191. 

379) J. Lense zeigte später, Astr. Nachr. 210 (1919), p. 59, daß die Achsen 
der Geschwindigkeitsellipsen verschiedener Stellen der Sphäre sich nur dann in 
einem Punkte der Sphäre schneiden, wenn das Verteilungsellipsoid der Stern- 
geschwindigkeiten Rotationssymmetrie hat. Der gemeinsame Schnittpunkt ist 
der Zielpunkt der Rotationsachse. 


342 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


In der hieraus folgenden Beziehung z, - 2,— 2, 2, und in Verbindung . 
mit der Eigenschaft der Hauptachsen der Ellipse, daß sie das einzige 
Paar konjugierter und zueinander senkrechter Durchmesser sind, hatte 
Schwarzschild ein einfaches Mittel zur Bestimmung der Richtung #,, 
9, dieser Achsen gefunden. Man zählt, von einer beliebigen Anfangs- 
richtung # beginnend, die in die Winkelräume & bis & + 90°, 
® + 90° bis & + 180%, # + 180° bis & + 270%, & + 270° bis # 
fallenden Bewegungen ab und führt nun die Anfangsrichtung # über 
den Kreisumfang weg. Derjenige Wert #y, der zur Erfüllung der 
Bedingung 2,2, = 25: 2, führt, bestimmt die Richtung der großen 
Achse der Ellipse, also die Richtung nach dem Vertex. Andrerseits 
ist derjenige Wert 9,, der ,+23=2,+ 2, macht, die Richtung 
zum Apex, wenn daneben , + 2,<2%,-+ 2, ist. Bestimmt man dann 
vw und v aus 


9 


u v 
2 M 1 2 R 1 
jene +2,—2 —2,) je at) 
MwıvET AT ST ara 
V vr, 


n 


so ist 
(61) = 


h 
5 — = v cosec (dd — Pr). 


ß 


Ist das Geschwindigkeitsellipsoid überall im Raume das gleiche und 
sind seine Achsen überall gleichgerichtet, so müssen zwischen seinen 
Achsen a, b—=c und den Achsen der Ellipse, in der es sich auf die 
Sphäre projiziert, wenn y, der Abstand des Mittelpunktes der Ellipse 
vom Vertex ist, die Beziehungen bestehen 


®__p% ran NE 
Zr = —— sin? 4, ß=b 


= u Sec (du— Pr), 


und a und b sind die mit Y2 multiplizierten mittleren Sterngeschwin- 
digkeiten in der Richtung zum Vertex bzw. senkrecht dazu, während 
die Sonnengeschwindigkeit durch 

gsiny= TI 
gegeben ist. 

Die Anwendung dieser Theorie durch Schwarzschild?®) auf die 
Eigenbewegungen des Groombridge-Katalogs, durch K. Rudolph’®') auf 
den Bradley-Katalog, durch S. Beljawsky°®) auf den Porterschen Kata- 
log und durch H. Raymond®®?) auf den Bossschen P.G.C. führten zu 


380) Göttingen Nachr. 1907, p. 624. 
381) Astr. Nachr. 183 (1910), p. 1. 

382) Astr. Nachr. 179 (1909), p. 293. 
383) Astron. Journ. 29 (1915), p. 25. 


36. Charliers Behandl. des Problems nach den Meth. der Kollektivmaßlehre. 343 


einer völlig befriedigenden Darstellung der beobachteten Verteilung 
der Eigenbewegungen. Das Achsenverhältnis des Geschwindigkeits- 
ellipsoids ergab sich zu 1:2 bis 3:5. Das reiche und sichere Ma- 
terial des P.@.C. ermöglichte es Raymond auch nach Gesetzmäßig- 
keiten im Verhalten bestimmter Klassen von Sternen zu forschen. 
Bezüglich des Spektraltypus ergab sich eine ziemlich regelmäßige 
Anordnung der Vertizes der Klassen längs der Milchstraße von 
ı = 173,0°%, ß = — 1,3° für Typus F bis A = 148,9°%, ß = + 10,3 
für Typus M. Nur die G-Sterne mit dem Vertex in A = 148,99, 

— — 3,4° fallen heraus. Auch mit der Größe der Eigenbewegung 
ändert sich die Lage des Vertex von A = 169,5°, ß = + 0,99 für 
die schwach bewegten Sterne bis A = 158,4°, $ = 0,0° für die stark 
bewegten Sterne. Teilt man die Sphäre durch den galaktischen Äqua- 
tor oder auch durch die galaktischen Längenkreise 0°-180°, oder 
90°-270° in zwei Hälften, so verhalten diese sich gleich. Teilt man 
die Sterne durch die Breitenkreise + 30° in galaktische und außer- 
galaktische, so ergibt sich, daß die Verschiedenheit der Vertizes durch 
die außergalaktischen Sterne bedingt ist, während die galaktischen 
Sterne aller Typen sich gleich verhalten. Das Geschwindigkeits- 
ellipsoid ist für die früheren Typen und für die stark bewegten 
Sterne bei den außergalaktischen Sternen stärker verlängert als bei 
den galaktischen Sternen. 

Die Schwarzschildsche Theorie ist durch Einführung eines drei- 
achsigen Geschwindigkeitsellipsoids von J. Lense verallgemeinert°*); 
sie führte dann bei einer Anwendung auf die Bewegungen des Groom- 
bridge-Katalogs, die also nur in ihren Richtungen zur Verwendung 
kommen, auf ein Ellipsoid, dessen mittlere Achse nach dem Pol der 
Milchstraße weist, während die beiden anderen in die Milchstraße 
fallenden Achsen eine sichere Deutung und Beziehung auf die Re- 
sultate anderer Theorien vorläufig nicht zulassen. 


36. Charliers Behandlung des Problems nach den Methoden 
der Kollektivmaßlehre. Während die Schwarzschildsche Theorie allein 
Abzählungen der Sterne nach den Richtungen der lateralen Bewe- 
gungen zur Lösung heranzieht, entwickelte C. V. L. Charlier?®°) eine 
Theorie des Geschwindigkeitsellipsoids, die sowohl Richtung wie auch 
Größe der lateralen Bewegungen darzustellen sucht. Er leitet, wie 
schon p. 315 angedeutet wurde, nach statistischen Rechenmethoden 
aus der Verteilung der beobachteten scheinbaren Bewegungen die- 


384) Astr. Nachr. 210 (1920), p. 249. 
385) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 9 (1913). 


344 VIe, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


jenige der linearen Bewegungen ab. Die Momente erster Ordnung 
bestimmen den Apex, die Momente der zweiten Ordnung (oder die 
Streuungen nach Bruns) das Geschwindigkeitsellipsoid nach Gestalt 
und Orientierung. Unter Benutzung der Eigenbewegungen des P.G.C. 
berechnet Charlier den Apex aus den Sternen 4” zu 267,2°-+- 34,6° 
und aus denen 5” zu 273,2°-+- 31,2°. Die große Achse des ver- 
längerten Rotationsellipsoids der Sterngeschwindigkeiten zielt auf 
282,80 — 19,4°, das Achsenverhältnis ist 1:0,51. Die Momente 
höherer Ordnung im Ausdruck der Verteilungsfunktion der linearen 
Geschwindigkeiten haben aber merkliche Werte, so daß die Zwei- 
schwarm-Hypothese zu einer vollständigen Erklärung nicht ausreicht. 
Während Charlier bei seinen Rechnungen als Geschwindigkeitsellipsoid 
der Sterne ein Rotationsellipsoid voraussetzte, verallgemeinerte $. D. 
Wicksell?®) die Theorie durch Einführung eines dreiachsigen Ellip- 
soids. In den Entwicklungen tritt noch eine Konstante g aus dem 
Ausdruck der Dichte der Sternverteilung auf, die zur Zeit noch nicht 
sicher bekannt ist, da sie abhängt von der Größe A, (vgl. p. 315), für 
die sich Werte zwischen 0,2 und 0,6 ergeben haben. Mit einem 
empirisch bestimmten Werte derselben, der so gewählt ist, daß für 
die Momente höheren Grades der Verteilung der Geschwindigkeiten 
kleine Werte folgen, wie es andere Ergebnisse verlangen, nämlich 
d‘=qg"—= 0,75, werden für die Sterne bis 6” des P.G.C. als Ziel- 
punkte der drei Achsen des Geschwindigkeitsellipsoides gefunden: 


Geschwindigkeitsellipsoid der lateralen Bewegungen 
273,90 — 18,2°, 158,80 — 53,6%, 194,8° + 31,0°, 
und als Halbachsen mit 19,4 km/sec als Sonnengeschwindigkeit 
27,8 18,6 16,7 km/sec. 


Die kleinste Achse steht also senkrecht zur Ebene der Milch- 
straße. 

Auf die Radialbewegungen wurde O'harliers Theorie durch W. Gyllen- 
berg®®‘) übertragen, wobei mit 1640 Radialbewegungen unter Aus- 
schluß von 44 mit Ao > 66,3 km/sec als Lage des Apex A = 270,5°, 
D= + 28,6° mit einer Sonnenbewegung von 19,3 km/sec erhalten 
wurde. Das gesamte Material ergibt weiter mit q’ —= 0,75: 


Geschwindigkeitsellipsoid der radialen Bewegungen 
264,1° — 5,2° 156,50 — 59,5° 157,1° + 29,9 
20,1 14,5 17,83 km/see. 


386) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 12 (1915). 
387) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 13 (1915). 


36. Charliers Behandl. des Problems nach den Meth. der Kollektivmaßlehre. 345 


Bei Trennung nach Spektralklassen treten keine wesentliche Unter- 
schiede zutage. Die Hauptachsen sind wenig verschieden, die Exzen- 
trizität ist am größten bei den F- und G-Sternen, am kleinsten bei 
den K- und M-Sternen. Nur die B-Sterne verhalten sich abweichend. 
Bei diesen entspricht die Verteilung der Radialgeschwindigkeiten einem 
zur Ebene der Milchstraße abgeplatteten Rotationsellipsoid, während 
bei den anderen Klassen sich dreiachsige Geschwindigkeitsellipsoide 
ergeben, deren größte und kleinste Achse in der Ebene der Milch- 
straße liegt. Bei den B-Sternen ist also in den Radialbewegungen 
eine Vorzugsrichtung nicht vorhanden; diese ist am stärksten aus- 
geprägt bei den A-Sternen. Charlier und Gylienberg haben das Ge- 
schwindigkeitsellipsoid mit Trennung nach dem Spektraltypus auch 
für die lateralen Bewegungen ausgerechnet. Sie erhalten ®7*) mit 
g = 0,75 Ellipsoide mit ähnlicher Orientierung der Achsen wie bei 
den Radialbewegungen, die aber bei allen Spektraltypen merklich ab- 
geplattet sind gegen die Milchstraßenebene und die Vorzugsrichtung 
der Bewegungen klar hervortreten lassen. W. Gylienberg®®®) hat dann 
auch noch in gleicher Weise das Geschwindigkeitsellipsoid der totalen 
Bewegungen aus einem Material von 144 solcher Bewegungen als Ro- 
tationsellipsoid mit zur Ebene der Milchstraße senkrecht stehender 
kleiner Achse und einem Achsenverhältnis von 5,9: 8,6 berechnet. 

Man kann das Geschwindigkeitsellipsoid auch mit Hilfe der von 
8. Newcomb®??) für die Untersuchung der Sternverteilung angewandten 
Formeln berechnen, wenn man die große Achse definiert als die Rich- 
tung, die die Summe der Quadrate der in sie fallenden Komponenten 
der Sternbewegungen zum Maximum macht, während für die kleinste 
Achse die Summe ein Minimum ist. So behandelt H. Raymond®*°) 
die Bewegungen des P.G.C. und erhält für die Sterne mit einer EB. 
<0,2” ein Ellipsoid, dessen große Achse auf 95° 4° gerichtet ist, 
während die kleine Achse auf den Pol der Milchstraße zielt. Die 
mittlere Achse zeigt eine größere Unsicherheit in der Orientierung. 
Das Achsenverhältnis ist ziemlich stark verschieden bei den verschie- 
denen Typen. Aus dem Gesamtmaterial kommt es etwa zu 2:3:4 
heraus, während die kleinen Bewegungen allein etwa auf 4:5:7 
und die großen auf 5:6:10 führen. Der Apex ergibt sich aus dem 
Gesamtmaterial zu A = 269°, D—= -+ 32°. In bezug auf die Bewegung 
relativ zur Sonne kann man die Sterne in zwei Gruppen teilen. Die 





387a) Ark. Mat. Astr. Fys. 14. Nr. 18 (1919). 
388) Ark. Mat. Astr. Fys. 10, Nr. 18 (1914). 
389) Vgl. Note 225. 

390) Astron. Journ. 30 (1917), p. 191. 


346 VIs, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


A- und F-Sterne geben A = 265°, D —= + 27°, die K- und M-Sterne 
A= 272°, D=-+-42° und nahe ebenso die B-Sterne: A —= 274°, 
D=--39. Die @-Sterne weichen erheblich ab: A = 256°, D— + 46°. 
Die all diesen Berechnungen zugrunde liegende Annahme, daß 
sich die Verteilung der Eigenbewegungen überall durch ein und das- 
selbe Geschwindigkeitsellipsoid wiedergeben lasse, benutzt E. von der 
Pahlen®”‘), indem er für zwölf gleichförmig und symmetrisch zur Milch- 
straße über die Sphäre verteilte Punkte aus der beobachteten schein- 
baren Verteilung der Richtungen der Eigenbewegungen die räumliche 
Verteilung der Sterngeschwindigkeiten bestimmt, was genähert möglich 
ist, um auf empirischem Wege durch Verbindung dieser zwölf Einzel- 
werte der Funktion den Ausdruck für die Gestalt des Geschwindig- 
keitskörpers ohne jede weitere Voraussetzung zu ermitteln. 


37. Die Exzentrizitätshypothese Oppenheims. Die Erklärung des 
systematischen Teiles in den Eigenbewegungen der Fixsterne suchte 
S. Oppenheim in der Wirkung, die auf die Bewegungen im Fixstern- 
system durch eine exzentrische, aber noch innerhalb des Systems ge- 
legene Stellung des Beobachters ausgeübt werden muß. Die auf Grund 
dieser Hypothese sich ergebende Auffassung vom Bau des Fixstern- 
systems ist weiter unten (Nr. 49) zu besprechen. Den analytischen 
Ausdruck für die Verteilung der Sternbewegungen leitet Oppenheim ®”'*) 
ab unter der Annahme, daß die baryzentrischen Bewegungen dem 
Maxwellschen Gesetze streng folgen und daß man den Unterschied 
der vom Mittelpunkt der Bewegungen aus gesehenen baryzentrischen 
gegen die vom Standort des Beobachters aus gesehenen heliozentrischen 
Bewegungen vernachlässigen dürfe. Es ergibt sich dann der Ausdruck 


(62) dN—= Ne"w+m)dudv- F 


wo F' der von der exzentrischen Stellung der Sonne abhängige Faktor 
ist, der den Übergang von der auf den Bewegungsmittelpunkt be- 
zogenen Verteilung auf die heliozentrische vermittelt und dessen geo- 
metrische Bedeutung aus der nachstehenden Fig. 1 hervorgeht. Dieser 
Faktor F' ist gegeben durch 


7/1 - (2) oe] [bien —])" 


& ist der Winkel zwischen den Richtungen vom Zentrum der Bewe- 
gungen nach der Sonne und nach dem betrachteten Punkte der Sphäre 


eose = sind sinD + cosö cosD cos (A—.«). 


391) Astr. Nachr. 197 (1914), p. 337. 
391a) Wien Denkschriften 97, Nr. 7 (1919). 





37. Die Exzentrizitätshypothese Oppenheims. 38. Allg. krit. Untersuchungen. 347 


R ist der Abstand der Sonne, e der der Grenzfläche des Sternsystems 
vom Zentrum, (® — 9) der Positionswinkel der Bewegungen gegen 
die Richtung nach dem Sonnenort auf der Sphäre Da o, «, ö un- 
bekannt sind, ist die weitere 
Annahme zu machen, daß man 
diese Größen näherungsweise 
ersetzen dürfe durch die ent- 
sprechenden heliozentrischen 
Größen. Bei der Berechnung 
des ersten die baryzentrische 
Bewegung darstellenden Fak- 
tors des Ausdruckes (62) folgt 
Oppenheim ganz dem Vor- 
gange Eddingtons. Die An- 
wendung der Formeln auf 
die Bewegungen des P. G.C. 
ergibt eine Darstellung, die 
der durch die Zweischwarm- 
oder die Ellipsoidhypothese 
erzielten gleichwertig ist. 
Gesetzmäßigkeiten in der Verteilung der Eigenbewegungen, die 
zur Stütze dieser Auffassung dienen könnten, wies schon H. Kobold? ®) 
nach. Die Sterne mit direkter Bewegung sind über die Sphäre ziem- 
lich gleichmäßig verteilt, überwiegen aber stark in einer vom Nord- 
zum Südpol über den Herbstpunkt gehenden Zone. Die retrograden 
Bewegungen sind besonders häufig in der Gegend des Frühlings- 
punktes, wo sie ebenso zahlreich sind wie die direkten Bewegungen. 





Fig: 1. 


38. Allgemeine kritische Untersuchungen. Die Grundlagen und 
die Voraussetzungen des Problems der Apexbestimmung erörtern 
E. Anding’®?), der damit eine kritische Gegenüberstellung der durch 
die älteren sphärischen Methoden gewonnenen Resultate verbindet, und 
©. V. L. Charlier®”®), der die verschiedenen Theorien anwendet zur Be- 
stimmung der Parameter der Verteilungsfunktion der Bewegungen in 
einem ausgewählten Felde, um in den Resultaten die wesentlichen 
Gesichtspunkte der Theorien zum Ausdruck zu bringen. Der Gegen- 
satz zwischen der Polmethode und den andern in der ersten Periode 
der Erforschung der Sonnenbewegung angewandten Methoden, der in 


391b) Astr. Nachr. 150 (1899), p. 261. 

392) E. Anding, Kritische Untersuchungen über die Bewegung der Sonne 
durch den Weltraum, München 1901. 

393) Ark. Mat. Astr. Fys. 12, Nr. 10 (1917). 


348 VI, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


dem Streit um die Berechtigung der Annahme der Regellosigkeit der 
Sonderbewegungen der Sterne von ausschlaggebender Bedeutung war, 
wurde eingehend erörtert von H. @. van de Sande Bakhuyzen’**), 
H. Kobold?”) und E. Anding.?”) Die Häufigkeit retrograder Bewe- 
gungen, die bei dieser Diskussion im Mittelpunkt steht, hatte schon 
Gauß in Betracht gezogen®””) und unter Voraussetzung regelloser 
Sonderbewegungen gedeutet als Folge einer der Größe nach unter dem 
Mittelwerte der Sternbewegungen liegenden Sonnenbewegung. 


39. Systematische Bewegungen. Die neuen Theorien setzen an 
die Stelle der Annahme regelloser Sternbewegungen die Vorstellung 
eines gesetzmäßigen Charakters dieser Bewegungen. Die Gesetzmäßig- 
keit betrifft aber nicht nur das Sternsystem als Ganzes, sie greift tief 
ein in den Aufbau des Systems und führt eine Gliederung desselben 
herbei, die sich in Gemeinsamkeit der Bewegung zu erkennen gibt. 
So wies H. Kobold?”®) unter den Sternen mit großer Eigenbewegung 
eine besondere Gruppe nach mit einer auf den Punkt « = 159,6°, 
ö = — 54,7°, d.h. auf den Zielpunkt der mittleren Achse des Ge- 
schwindigkeitsellipsoids gerichteten Bewegung. Ein tieferes Eindringen 
in die in den Bewegungen herrschenden Gesetzmäßigkeiten ist nur 
möglich, wenn man im Besitz der Kenntnis der Totalbewegungen ist. 
Die ersten Resultate in dieser Richtung erzielte H. Kobold’®°), ein 
umfangreicheres Material behandelten R. Klumak*®) und H. Wilson“) 
Bei diesen Untersuchungen trat deutlich das Überwiegen der der Ebene 
der Milchstraße parallelen Komponenten bei den großen Bewegungen 
zutage, eine Eigenschaft, die auch für die Sterne mit großen Radial- 
bewegungen durch W.S. Adams und A. H. Joy?) nachgewiesen wurde. 
G. Strömberg‘'®) findet aus dem jetzt zur Verfügung stehenden um- 
fangreichen Material, daß die Sterne mit Bewegungen bis 60 km/sec 
die Sonnenbewegung nach der gewöhnlichen Annahme des Zielpunktes 


394) Paris Bull. Astr. 12 (1895), p. 97. 

395) Astr. Nachr. 132 (1893), p. 315; 137 (1895), p. 389. 

396) E. Anding, Beziehungen zwischen den Methoden von Bessel und Arge- 
lander zur Bestimmung des Sonnenapex, München 1895. 

397) Brief an Argelander vgl. Astr. Nachr. 183 (1910), p. 185. Den von 
Gauß ohne Beweis angeführten Ausdruck leitet H. ©. Plummer ab in Astr. Nachr. 
193 (1912) 261. 

398) Astr. Nachr. 166 (1904), p. 8. 

399) Astr. Nachr. 138 (1895), p. 243. 

400) Astr. Nachr. 200 (1915), p. 89. 

401) Lick Obs. Bull. 7 (1912), p. 48. 

402) Astroph. Journ. 49 (1919), p. 179. 

403) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 265. 


39. Systematische Bewegungen. 349 


A —= 270°, D= + 30° zeigen, daß bei den stärker bewegten Sternen 
aber eine systematische Bewegung in einer der Sonnenbewegung ent- 
gegengesetzten Richtung vorhanden ist. Der Zielpunkt dieser Be- 
wegung liegt nach @. Merton*) in « = 135°, d = — 49°. J.H. Oort?®) 
findet eine ausgesprochene Trennung bei einer Radialbewegung von 
62 km/see. Die kleineren Bewegungen sind gleichförmig verteilt, die 
Zielpunkte der größeren liegen auf einer Hälfte der Sphäre mit dem 
Mittelpunkt « = 125°, ö = — 44° (31° vom Antiapex entfernt) ver- 
eint. W.J. Luyten*®) untersucht die Bewegung von 749 Sternen mit 
EB. > 0,50” nach der Aöryschen Methode, indem er die Entfernungen, 
soweit nicht bekannt, nach Helligkeit und Spektrum annimmt. Sie 
geben als Ort des Apex A = 289,3°%, D —= + 40,6° und als Ort des 
Vertex A’ = 104,6°, D’ = + 12,0%. Die Sonnengeschwindigkeit wird 
29,3 km/sec. Der Zielpunkt des Systems der stark bewegten Sterne. 
liegt in « = 163°, ö = — 43° (Autor gibt + 43° an). Aus diesen, 
Verhältnissen ergibt sich eine Abhängigkeit der Lage des Apex vom 
Prozentsatz der zur Berechnung hinzugezogenen schnell bewegten, 
Sterne, und da dieser bei den schwachen Sternen größer ist als bei 
den hellen, muß der Apex verschieden gefunden werden. Die Ver- 
schiedenheit ist besonders auffällig bei den Sonnensternen, Klasse F 
und @ (.D. Perrine??") schließt auf eine Verschiedenheit in der 
Größe der parallaktischen Verschiebung bei den Sternen der Nord- 
und der Südhemisphäre, und zwar erscheint sie geringer bei den Nord- 
sternen. Nach A. von Flotow*®) ist in den Totalbewegungen von 
116 Sternen eine Teilung in zwei Gruppen ausgesprochen. Bei der 
einen sind die Bewegungen parallel zur Ebene der Milchstraße und 
auf den Antiapex gerichtet, bei der anderen sind sie parallel zu einer 
zur Milehstraße senkrechten Ebene und zielen auf den Vertex. 

Auch für diese systematischen Bewegungen ganzer Sterngruppen. 
hat demnach die Milchstraße die Bedeutung einer Fundamentalebene. 
Es trat das auch schon darin zutage, daß die Bestimmungen des Ziel- 
punktes der Sonnenbewegung als einer sich den verschiedenen Be- 
wegungen möglichst anpassenden mittleren Bewegung immer auf Punkte. 
führten, die, wie Kobold?) zeigte, längs des Nordrandes der sicht-. 
baren Milchstraße verteilt sind. 








404) Observatory 46 (1923), p. 20. 
405) Bull. Astr. Inst. of Netherlands 1 (1922), p. 133. 
406) Lick Obs. Bull. 11 (1923), p. 1. 
407) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 286; 44 (1916), p. 103; 45 (1917), p. 108. 
408) Astr. Nachr. 213 (1921), p. 97. 
409) Astr. Nachr. 137 (1895), p. 393; vgl. auch @. ©. Comstock, Science N. S. 
25 (1907), p. 567. 


350 " VIa,23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Die Erforschung der Eigenbewegungen der schwächeren Sterne 
ist zur Zeit noch nicht soweit fortgeschritten, daß eine sichere Be- 
stimmung der Sonnenbewegung relativ zu dem System der schwachen 
Sterne möglich wäre. @. ©. Comstock*'®) hat das von ihm durch An- 
schluß schwacher Sterne an benachbarte helle, ihrer Bewegung nach 
bekannte Sterne gewonnene Material zu einer Bestimmung des Ziel- 
punktes nach der Aöryschen Methode unter Verwendung von der 
Kapteynschen Formel entsprechenden Entfernungen verwandt. Das 
Material ist aber, wie W. Keil*!') nachgewiesen hat, für diesen Zweck 
nicht geeignet, es kann nicht als typisch für die Gesamtheit der 
schwächeren teleskopischen Sterne gelten. Die Wolfschen Eigen- 
bewegungssterne, die im wesentlichen nahe, schwache Sterne, also 
Sterne von kleiner Masse umfassen dürften, führen nach CO. Wirtz und 
P. Hügeler*'?) auf einen Apex in A= 2945°, D= + 32°, einen 
Vertex in 4’ — 97°, D’— + 15°, mittlere Geschwindigkeit in der 
Vertexrichtung 15,9, senkrecht dazu 5,2 km/sec. Ein anderer Versuch 
von ©. Wirtz*"?) beruht auf 539 Sternen unter 8”, deren Eigenbe- 
wegungen aus am Kap aufgenommenen Platten in Groningen Publ. 28 
angegeben sind. Das Resultat ist A = 283%, D—= + 28°; A4’—= 80°, 
D’= + 13,5°; mittlere Geschwindigkeiten 26,3 : 11,6 km/sec. 

Offenbar sind auch von den physikalischen Eigenschaften der 
Sterne, die in dem Spektraleharakter zum Ausdruck kommen und die 
auch bei der räumlichen Verteilung der Sterne eine Rolle spielen, ab- 
hängige Sonderbewegungen vorhanden, die zu einer Verschiedenheit 
der relativen Bewegung der Sonne führen. In den Eigenbewegungen 
des P.G.C. wies B. Bosst!*) dieses Verhalten nach. Die Sterne der 
Typen A, F ergeben als galaktische Koordinaten des Apex 22,2° + 22,1°, 
die der Typen K, M dagegen 34,8° + 21,7%. Für dieselben beiden 
Sterngruppen folgt aus den Radialgeschwindigkeiten als Apex 
12,6° + 26,2° bzw. 21,5 + 20,9°. Es ist also der Zielpunkt längs der 
Milchstraße bei den beiden Spektralgruppen sowohl, wie auch bei den 
beiden Bewegungsarten um etwa 10° verschoben. Bei den B-Sternen 
herrscht dagegen Übereinstimmung wohl als Folge kleiner Sonder- 
bewegungen. Eine ähnliche Verlagerung des Apex finden auch 
F. W. Dyson und W. @. Thackeray*”) aus den Eigenbewegungen der 


410) Astron. Journ. 25 (1907), p. 119; 28 (1913), p. 49. 

411) W. Keil, Die Bewegung der Sterne von der 10. Größe, Diss., München 1918. 
412) Heidelberg Sitz.-Ber. 1918, Nr. 9. 

413) Astr. Nachr. 211 (1920), p. 373. 

414) Astron. Journ. 28 (1914), p. 163. 

415) Greenwich Cat. of Stars for 1910,0. London 1920, p. BXXVI. 


40. Allgemeine Beziehungen. 351 


Zone + 24° bis + 32°. Die galaktischen Koordinaten des Apex sind 
für die Spektralklassen Bund 4 28,5° + 27,9%, F5 bis KO 45,0° + 28,1°, 
K5 bis M 65,3° + 26,2°. Die Erklärung wird in dem Wachsen des 
prozentualen Anteils von Sternen des Stromes II an der Gesamtzahl 
der Sterne beim Fortschreiten zu den späteren Typen gesucht. 

Die Auswahl der Sterne muß wegen der Ungleichheiten im Stern- 
system für die Bestimmung des Apex von Einfluß sein. Dieser Ein- 
fluß ist aber, wenn nur an sich das aufgestellte System von Be- 
dingungsgleichungen zur Bestimmung der gesuchten Größen geeignet 
ist, im allgemeinen von untergeordneter Bedeutung. Man befreit das 
Resultat von einem aus ungleicher Sternverteilung zu befürchtenden 
Einflusse am einfachsten empirisch®!®) dadurch, daß man bei einer 
planmäßigen Einteilung der Sphäre in gleich große Felder, die den 
einzelnen Feldern entsprechenden Gleichungen in geeigneter Weise 
zusammenfaßt. Diesem Zweck sollen auch die Kapteynschen Auswahl- 
felder dienen. 


D. Besonderheiten des Bewegungszustandes. 


40. Allgemeine Beziehungen. Die Hypothese der Sonnenbe- 
wegung reicht zur Darstellung der beobachteten Bewegungen der Fix- 
sterne nur als erste Näherung aus. Eine zweite Näherung ergibt die 
Darstellung durch Sonnenbewegung und Strom- oder Vorzugsbewegung 
oder auch exzentrische Lage der Sonne. Auch diese zweite Näherung 
führt noch nicht zu einer genügenden Darstellung, sondern es bleiben 
noch Gesetzmäßigkeiten in den Bewegungen übrig, die den einzelnen 
Sternen selbst anhaften müssen und an den Ort im Raume oder an an- 
dere Eigenschaften der Sterne geknüpft sein müssen. Sie äußern sich 
in einer Korrelation zwischen Bewegung und den anderen charakteri- 
stischen Eigenschaften der Sterne. Unter der Voraussetzung, daß die 
eigentümlichen Bewegungen der Sterne gesetzlos sind, bestehen zwi- 
schen den absoluten Werten der verschiedenen Bewegungsarten nach 
einem von .J. Kleiber‘'") begründeten Theorem die Beziehungen 





(3) kodacsd—koeAd - Ag —!5, =l-i — 1273-5, 


die uns gestatten von den der Beobachtung zugänglichen Werten von 
u und Ao auf die wahren Bewegungen v zu schließen. 


416) Mathematisch behandelt den Einfluß der Sternverteilung bei den sphä- 
rischen Methoden E. Anding in der unter 392 angeführten Schrift und in Astr. 
Nachr. 140 (1896), p. 1; vgl. auch Astr. Nachr. 139 (1895), p. 65. 

417) Astr. Nachr. 127 (1891), p. 209. 

Enceyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 23 


352 VI2, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


41. Abhängigkeit der Eigenbewegungen. Bei den ersten Ver- 
suchen zum Eindringen in die Bewegungsverhältnisse standen der For- 
schung nur die Werte der scheinbaren Helligkeit und der Eigen- 
bewegung zu Gebote. Eine Gegenüberstellung beider*!®) schien eine 
einfache gegenseitige Abhängigkeit zu verraten in dem Sinne, daß 
mit abnehmender Helligkeit auch die Eigenbewegungen abnehmen 
würden, so daß das Produkt mu nahe konstant bliebe. Eine besonders 
eingehende Diskussion über die Gültigkeit des Gesetzes mu — konst. 
findet sich bei A. Auwers in der Einleitung zum Katalog der A. @. 
11. Stück Zone + 15° bis + 20°, p. (140)—(143). Auwers findet eine 
langsame Zunahme des Produktes mu mit abnehmender Helligkeit. 
Es wurde aber bald klar, daß die Erklärung dieser Tatsache durch die 
gemeinsame Abhängigkeit beider Eigenschaften von der Entfernung 
nicht ausreiche. Die spätere Erkenntnis, daß für die scheinbare Hellig- 
keit die im Spektrum zum Ausdruck kommende physische Natur der 
Sterne eine wesentliche Rolle spiele, stellte die Forschung auf eine 
neue Grundlage, die zu den Ausdrücken für die Entfernung als ab- 
hängig von scheinbarer Größe, von der Größe der Eigenbewegung 
und vom Spektralcharakter führten, auf die in Nr. 25 hingewiesen ist. 

Auf.eine Abhängigkeit der Größe der Eigenbewegung vom Spek- 
tralcharakter wurde zuerst W. H. S. Monck aufmerksam. Er fand bei 
den Sternen des Auwers- Bradley-Katalogs eine sehr kleine durch- 
schnittliche Eigenbewegung bei den Sternen des I. Typus, eine sehr 
viel größere bei den Sternen des II. Typus. Die genauere Klassifizie- 
rung mit Hilfe des Draper-Katalogs bestätigte diese Bemerkung“?), 
indem sie zeigte, daß größere Eigenbewegungen bei den B-Sternen sehr 
selten sind, während, wenn die Bewegungen der Sterne ihrer schein- 
baren Helligkeit gemäß auf die photometrische Helligkeit 0” redu- 
ziert werden, mehr als die Hälfte der Sterne des Sonnentypus eine 
Eigenbewegung > 0,5” zeigt. J. ©. Kapteyn“?°) wurde nahe gleichzeitig 
zu dem gleichen Ergebnis geführt. Die prozentuale Verteilung der 
Sterne verschiedener Größe der Eigenbewegung auf die Klassen A bis 
D (Typus I) und E bis L (Typus II) folgt aus dem Bradley-Katalog für 
u < 0,03” zu1:0,6, für u = 0,08” etwa zul:1 und steigt dann bis zu 
1:19 für «> 0,5”. Monck und Kapteyn schließen daraus, daß unter 
den helleren Sternen die Sterne des Typus II in der Umgebung der 
Sonne überwiegen, während in größeren Entfernungen Sterne des 
Typus II zu schwach sind, um wahrgenommen zu werden. Kapteyn 


418) Vgl. z. B. Mädler, Dorpat Beob. 14, p. 216. 
419) Astr. and Astroph. 11 (1892), p. 874; 12 (1893), p. 8, 513. 
420) Amsterdam Verslag. 1 (1893), p. 133. 


41, 42. Abhängigkeit der Eigenbewegungen bzw. der Radialbewegungen. 353 


wies an dem angegebenen Ort auch eine Abhängigkeit der Größe 
der Eigenbewegung von der Lage der Sterne zur Ebene der Milch- 
straße für die helleren Sterne nach. Die Sterne mit u > 0,055” sind 
gleichmäßig über die Sphäre verteilt. Bei den kleineren Eigen- 
bewegungen zeigt sich eine Konzentration gegen die Ebene der Milch- 
straße, die um so stärker ist, je kleiner die Eigenbewegung ist, und 
die auch beim Typus I mehr hervortritt als beim Typus II. Um die 
Frage auch für schwächere Sterne zu prüfen, diskutierte S. Newcomb#*) 
die von Auwers und Boss abgeleiteten Eigenbewegungen der Sterne 
der Zonen + 1° bis +5° und + 15° bis + 20°, also ein Material, das 
Vollständigkeit für alle meßbaren Eigenbewegungen der Sterne bis 9” 
anstrebt. Newcomb fand dabei auch bei den schwach bewegten Sternen 
eine gleichförmige Verteilung über die Sphäre. @. CO. Comstock und 
C. Wirtz verwerteten nach dieser Richtung auch das von ihnen (vgl. 
p. 350) zur Bestimmung der Sonnenbewegung benutzte Material*??) von 
Eigenbewegungen für schwache teleskopische Sterne und finden eine 
starke Zunahme der Häufigkeit der bewegten Sterne in höheren galak- 
tischen Breiten, entsprechend der Annahme, daß die Sterne uns dort 
näher sind als in der Milchstraße. 


42. Abhängigkeit der Radialbewegungen. Einfachere Verhält- 
nisse finden wir bei den Radialbewegungen, weil bei ihnen der Ein- 
fluß der Entfernung fortfällt. Bei den 51 Vogelschen Bewegungen 
konnte Monck???) einen Unterschied für die beiden Typen nicht nach- 
weisen. W. W. Oampbells erste sich auf 280 Radialbewegungen von 
Sternen bis 4” stützende Untersuchungen‘) ließen bei einer rohen 
Trennung der Sterne nach dem Typus mit Hilfe des Farbenindex 
ebenfalls einen deutlichen Unterschied der Typen nicht hervor- 
treten. Bei 136 weißen Siriussternen ist die durchschnittliche Radial- 
bewegung 18,04 km/sec, bei 144 Sternen des Sonnentypus ist sie 
16,12 km/sec. E.B. Frost und W.$. Adams wurden dann bei der 
Bestimmung der Radialbewegungen von 20 Sternen des Oriontypus*®) 
auf Werte geführt, die erkennen ließen, daß die nach Abzug der 
Sonnenbewegung übrigbleibenden eigentümlichen Bewegungen dieser 
Sterne sehr klein sein mußten. Eine tiefere Einsicht in diese Ver- 
hältnisse wurde indes erst möglich, als W. W. Campbells Bestimmung 
der Radialbewegungen von mehr als 1000 Sternen des ganzen Him- 


421) S. Newcomb, The stars, 1902, p. 252. 
422) Washburn Obs. Publ. 14 (1922), p. 18 und Astr. Nachr. 211 (1920), p. 381. 
423) Astr. and Astroph. 11 (1892), p. 700. 
424) Astroph. Journ. 13 (1901), p. 84. 
425) Yerkes Obs. Publ. 2 (1904), p. 247. 
23* 


354 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


mels vorlagen.*?°) Zwar gelangte auch J. ©. Kapieyn*?”) unter Verwen- 
dung eines Materials von 210 aus verschiedenen Quellen entnommenen 
Radialbewegungen nahe gleichzeitig mit Campbell zu wesentlich den 
gleichen Resultaten, aber das nicht nur reichhaltigere sondern auch 
völlig gleichartige Material Campbells wirkte doch mehr überzeugend. 
Bei den radialen Spezialbewegungen trat mit großer Entschiedenheit 
beim Typus I eine erheblich geringere Streuung um den Mittelwert 
hervor als beim Typus II. Große Gesehwindigkeiten treten nur beim 
Typus II in größerer Zahl auf. Der Mittelwert der Spezialbewegungen 
ist für Typus II nahe O, bei Typus I aber durch starkes Überwiegen 
der Zahl der positiven Bewegungen erheblich nach der positiven Seite 
verschoben, entsprechend einer scheinbar vorherrschenden Bewegung 
der Sterne nach außen. Besonders auffällig ist diese Erscheinung bei 
den B-Sternen, sie würde hier eine Expansion des Systems dieser 
Sterne im Betrage von fast 5 km in der Sekunde bedeuten. Will man 
diese unwahrscheinliche Annahme nicht gelten lassen, so muß man 
die Erklärung der Erscheinung in systematischen Fehlern der Messung 
oder in Fehlern der zur Reduktion der Messungen verwandten Wellen- 
längen der Spektrallinien als Folge von Druckwirkungen in den Stern- 
atmosphären suchen. Näheres darüber ist im Kapitel Astrophysik 
nachzusehen. 

Die Verschiedenheit in der Streuung um den Mittelwert kommt 
auch deutlich zum Ausdruck in einer Zusammenstellung der extremen 
Werte der relativen Radialbewegungen in J. Voütes Katalog‘”*) von 
2071 um 1920 bekannten Radialbewegungen: 


Extremwerte der Ao 


Klasse B - 102 — 38 
A + 9% — 170 
F + 339 — 325 
G + 301 — 242 
K + 177 — 132 
M + 98 — 185. 


Bei Gruppierung der Sterne nach der Harvard Klassifikation der 
Spektren erhielt Campbell?) schließlich die in der nachstehenden 
Tabelle gegebene Übersicht über die durchschnittlichen absoluten 


426) Lick Obs. Bull. 6 (1911), p. 125; W. W. Campbell, Stellar motions 
(1913), p. 198. 

427) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 259. 

428) Vgl. Note 104. 

429) Stellar motions, p. 209. 


43. Abhängigkeit der Bewegung von der absoluten Helligkeit. 355 


radialen Spezialbewegungen der Sterntypen. Unter K ist der Mittel- 
wert der Bewegungen angegeben. Hinzugefügt sind noch die von 
W. Gyllenberg*°) aus einem noch etwas reichhaltigeren Material ab- 
geleiteten Werte 


Campbell Gyllenberg 
Klasse K Aoabs. Zahl Aoabs. Zahl 
km/sec km/sec km/sec 
B + 4,07 „6,52 225 7,01 247 
A + 0,95 10,95 177 11,73 263 
F + 0,06 14,37 185 14,43 237 
@G — 0,20 14,97 128 15,78 208 
K + 2,82 16,8 382 15,88 486 
M + 3,93 17,14 73 17,19 85 
Planetar. Nebel 25,3 12 


Bei den Sternen mit sehr kleinen Eigenbewegungen, die also in 
großer Entfernung sich befinden, beobachtete W. 8. Adams") ein 
wesentlich langsameres Anwachsen der Geschwindigkeit mit dem Typus. 
Weder Campbell noch Gyllenberg fanden bei einer Ordnung der Sterne 
nach der Helligkeit ohne Trennung nach den Spektralklassen eine Ab- 
hängigkeit der Größe der Bewegung von der scheinbaren Helligkeit 
deutlich ausgesprochen. 


43. Abhängigkeit der Bewegung von der absoluten Helligkeit. 
Nun stellten aber J. C. Kapteyn und W. S. Adams*””) eine Abhängig- 
keit der absoluten Radialgeschwindigkeiten von der Eigenbewegung 
bei gleicher scheinbarer Helligkeit fest, derart, daß einer Zunahme 
der Eigenbewegung auch ein Wachsen der absoluten Radialgeschwin- 
digkeiten entspricht. Durch Berechnung der der Kapteynschen empi- 
rischen Formel (45) entsprechenden Entfernungen ließ diese Beziehung 
eine Abhängigkeit der absoluten Radialgeschwindigkeit von der ab- 
soluten Helligkeit bei den Sternen vom Typus F, @, K, M erkennen. 
Einer Abnahme der absoluten Leuchtkraft um 1” würde eine Zunahme 
der Radialgeschwindigkeit um 1,1 km/sec entsprechen. Das von 
©. D. Perrine*??) bemerkte Anwachsen der wahren Geschwindigkeiten 
mit abnehmender scheinbarer Größe liegt in demselben Sinne, wenn 
man die Entfernungen der Gruppen als annähernd gleich annimmt. 

Mit Hilfe der spektroskopischen Parallaxen wurde die Frage von 


430) Lund Obs. Meddel (2), Nr. 13 (1915). 

431) Washington Proc. Nat. Acad. 1 (1915), p. 417. 
432) Washington Proc. Nat. Acad. 1 (1915), p. 14. 
433) Astroph. Journ. 41 (1915), p. 315, 395. 


356 VI, 23. MH. Kobold. Stellarastronomie. 


W. $S. Adams und @. Strömberg***) und später, auf noch erweitertes 
Material gestützt, von den gleichen Forschern mit A. H. Joy verbun- 
den behandelt.‘®%) Bei 1350 Sternen der Spektraltypen F, G, K und 
M werden die kleinsten Geschwindigkeiten, und zwar sowohl hin- 
sichtlich der totalen räumlichen Geschwindigkeit, als auch hinsichtlich 
der Querbewegungen und der Radialgeschwindigkeiten, bei den absolut 
hellsten Sternen festgestellt. Bei den Sternen der absoluten Größe 
— 7” ist die mittlere räumliche Geschwindigkeit im Durchschnitt für 
die vier Spektralklassen 22 km/see, und dieser Wert steigt auf 75 km/see 
für die Sterne der absoluten Größe + 5”. Im Mittel entspricht einer 
Abnahme der absoluten Helligkeit um 1” eine Zunahme der räum- 
lichen Geschwindigkeit um 3 km/sece und der radialen Geschwindigkeit 
um 1,2km/sec. Bei den helleren Sternen ist eine geringe Zunahme 
der Geschwindigkeit mit dem Spektrum beim Übergang von F zu M 
vorhanden. Bei den schwächsten Sternen, den Zwergsternen der 
Klassen X und M, ist die Geschwindigkeit sehr wenig verschieden. Die 
Verteilung der stellaren Geschwindigkeiten entspricht nicht dem Max- 
wellschen Gesetze, indem die Zahl der großen Geschwindigkeiten viel 
zu groß ist. Die Logarithmen der Geschwindigkeiten lassen sich in- 
dessen durch eine normale Gaußsche Fehlerhäufigkeitskurve empirisch 
darstellen. 

Den Unterschied der tatsächlichen Verteilung der stellaren Ge- 
schwindigkeiten von der dem Mazxwellschen Gesetz entsprechenden 
hatte schon K. Schwarzschild*?®) aus seinem theoretischen Ausdruck 
für die Häufigkeitsfunktion der scheinbaren Eigenbewegungen bei 
einer Darstellung der Kapteynschen empirischen Ausdrücke für die 
Zahl der Sterne einer bestimmten scheinbaren Helligkeit bzw. der 
Sterne bestimmter scheinbarer Helligkeit und Eigenbewegung fest- 
gestellt. 

Die Beziehung zwischen dem Spektraltypus und der Geschwin- 
digkeit unter Benutzung der scheinbaren Eigenbewegungen wurde an 
dem Material des P.G.C. von L. Boss*?”) untersucht. Unter der Vor- 
aussetzung regelloser Verteilung der Richtungen und symmetrischer 
Anordnung in bezug auf die Größe der Spezialbewegungen ergibt das 
Verhältnis der mittleren scheinbaren Querbewegung r zur mittleren 
parallaktischen Bewegung 6 für Sterne eines bestimmten nicht zu aus- 
gedehnten Areals am Himmel das Verhältnis der mittleren Quer- 


434) Astroph. Journ. 45 (1917), p. 293; 47 (1918), p. 7. 
435) Astroph. Journ. 54 (1921), p. 9. 

436) Astr. Nachr. 190 (1912), p. 361. 

437) Astronom. Journ. 26 (1911), p. 187. 


44. Die Bewegungen in Beziehung zum Bau des Sternsystems. 357 


bewegung in linearem Maß zur Sonnenbewegung. Unter Annahme 
einer Sonnenbewegung von 20 km/see findet Boss 


Typus 6 T 
B 2,13” 0,86” = 6,3 km/sec 
A 4,08” 2,07” = 10,2 km /sec 
F 4,99” 4,03” = 16,2 km/sec 
G 3,12” 2,39” = 18,6 km/sec 
K 4,03” 3,04” = 15,1 km/sec 
M 3,29” 2,82” — 17,1 km/sec. 


Zur Ermittelung der die Abhängigkeit der Sterngeschwindigkeiten 
vom Spektraltypus erzeugenden inneren Ursachen kann eine gesonderte 
Behandlung der Bewegungen der Sterne jedes Typus dienen. So stellte 
B. Boss“?®) bei den B-Sternen das fast ausnahmslose Fehlen größerer 
Eigenbewegungen fest. Die systematische Bewegung dieser Sterne ist 
als reine Wirkung der Sonnenbewegung zu erklären. Vorzugsbewe- 
gungen treten nach L. Boss“) erst bei den A-Sternen auf und sind 
im wesentlichen auf diese beschränkt. Bei den späteren Typen über- 
wiegen mehr und mehr die regellosen Bewegungen. Es lassen sich 
vier Strömungsriehtungen unterscheiden: 1., 2. Richtung auf Vertex 
und Antivertex; 3. sehr kleine Bewegung auf den Apex; die hierher- 
gehörigen Sterne sind besser als Ruhesterne zu charakterisieren; 
4. Richtung auf den Antiapex; diese Strömung ist ausgeprägt bei ge- 
wissen besonderen Sterngruppen, die noch näher zu behandeln sind. 

44. Die Bewegungen in Beziehung zum Bau des Sternsystems. 
Die Kenntnis der wahren Spezialbewegungen der Sterne erfordert eine 
Befreiung der beobachteten Bewegungen sowohl von der parallakti- 
schen Bewegung als auch von den Strombewegungen. Nach A. S. Ed- 
dington*'®) muß man für Typus A die mittleren Bewegungen, die man 
aus den Resten der nur von der Sonnenbewegung befreiten Bewegungen 
berechnet, im Verhältnis 1: 1,30 verkleinern, um die wahren mittleren 
Spezialbewegungen zu erhalten. Bei den anderen Typen ist die Re- 
duktion kleiner, da das Geschwindigkeitsellipsoid weniger stark ver- 
längert ist. Beim Typus B ist eine Reduktion nicht nötig. 

Empirisch untersuchten den Einfluß der Strombewegung J. 0. Kap- 
teyn und W. S. Adams“) an den Ao von Sternen mit sehr verschie- 
dener Eigenbewegung der Typen F, @, K, M, indem sie die Sterne 





438) Astronom. Journ. 26 (1911), p. 163. 

439) Astronom. Journ. 27 (1912), p. 83. 

440) Stellar mouvements, p. 157. 

441) Washington Proc. Nat. Acad. 1 (1915), p. 14. 


358 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


nach dem Abstand vom Vertex in zwei Gruppen (Abstand < 50°, Ab- 
stand 50°—90°) teilten. Die nur von der Sonnenbewegung befreiten 
Geschwindigkeiten verhalten sich in den beiden Gruppen sowohl bei 
den Sternen mit großer wie auch bei denen mit kleiner Eigenbe- 
wegung wie 1,4: 1. Der Einfluß der Strombewegung erstreckt sich also 
bis zu den kleinsten Eigenbewegungen, also bis in die größten uns 
zugänglichen Entfernungen. 

Die Ebene der Milchstraße gibt sich deutlich als Vorzugsebene 
der Spezialbewegungen der Sterne des Typus A zu erkennen durch 
das entgegengesetzte Verhalten der Querbewegungen und der Radial- 
bewegungen in der galaktischen und außergalaktischen Zone. Bei den 
späteren Typen ist der Unterschied nicht so ausgesprochen. Die 
B-Sterne stehen weit überwiegend in der galaktischen Zone Nach 
L. Boss**?) und W. W. Campbell“) sind die mittleren Bewegungen 


| T Ao 
Typen OP bis-+ 30° -+ 30° bis + 90° | 0° bis-+ 30° -+ 30° bis + 90° 
2.7086 ui | 71 5,6 km/sec 
BR Rh We 2,60 Be 8,4 km/see 
F-M 2,86” 3,68” 16,3 15,3 km/see. 





Beim Schwarzschildschen Geschwindigkeitsellipsoid kommt die 
Vorzugsebene der Spezialbewegungen in der Lage der kleinen Achse 
zum Ausdruck. Nach A. S. Eddington und W. E. Hartley*“*), die die 
Radialbewegungen mit der Bedingung &| V | = Min. bzw. Max. statt 
2V° = Min. bez. Max. ausglichen, um den entstellenden Einfluß ein- 
zelner großer Werte abzuschwächen, fällt der Zielpunkt der kleinen 
Achse des Geschwindigkeitsellipsoids der A-Sterne mit dem Pole der 
Milchstraße zusammen, während bei den anderen Typen eine mehr 
oder weniger große Verschiedenheit auftritt. Die A-Sterne bewegen 
sich also parallel zur Ebene der Milchstraße, die AO-Sterne, deren 
Geschwindigkeitsellipsoid ein abgeplattetes Rotationsellipsoid mit zur 
Ebene der Milchstraße normaler Rotationsachse ist, bevorzugen in der 
Ebene der Milchstraße keine besondere Richtung. Bei den @-Sternen 
ist der Einfluß der Spezialbewegungen gegenüber der Strombewegung 
zu groß, so daß die Vorzugsrichtung nicht zum Ausdruck gelangt. 
Sehr große Bewegungen sind den @-Zwergen eigen. 


45. Erklärung der Bewegungen. Die Entstehung der Spezial- 
bewegungen der Sterne hat man auf Grund dieser Ergebnisse der For- 


442) Astronom. Journ. 26 (1911), p. 193. 
443) Lick Obs. Bull. 6 (1911), p. 130. 
444) London Astr. Soc. Month. Not. 75 (1915), p. 521. 


45. Erklärung der Bewegungen. 359 


schung in zwei Riehtungen gesucht. Da der Spektralcharakter als 
Bild des Entwicklungszustandes angesehen wird, so war die nächst- 
liegende Annahme die, daß die Bewegungen mit dem Entwicklungs- 
zustande fortschreiten. Im Zeitpunkte des Entstehens sind die Sterne 
im Zustande der Ruhe, allmählich nehmen sie Bewegung an, die mit 
zunehmendem Alter immer mehr anwächst. Die Kraft, die die Bewe- 
gung erstmalig erzeugt und weiter vergrößert, wäre in der Gravitations- 
wirkung entweder der Gesamtmasse des Sternsystems oder der ein- 
zelnen Sterne bei gegenseitigen Annäherungen zu erblicken. Gegen 
diese auf den Parallelismus zwischen Bewegung und Spektralcharak- 
ter sich stützende Auffassung ist besonders eingewandt, daß die Ent- 
fernungen im Fixsternsystem für die Entstehung von Bewegungen der 
beobachteten Größe Zeiträume von schwer verständlichem Ausmaße 
erfordern würden. Weiter steht die Erklärung im Widerspruch mit 
dem Vorkommen von Sterngruppen, die sich mit gleicher und, soweit 
wir wissen, unveränderlicher Geschwindigkeit in parallelen Bahnen 
innerhalb des Gesamtsystems und mitten zwischen anderen in keiner 
Beziehung zu ihnen stehenden Sternen hindurch bewegen. Auch das 
Auftreten der größten Geschwindigkeiten bei den Nebeln, das diese 
an das Ende der Entwicklung stellen würde, scheint unvereinbar mit 
der Erklärung. Weil nun der Entwicklungsgang eines Sternes ab- 
hängt von seiner Masse, das B-Stadium nur von Sternen großer Masse 
erreicht werden kann, so will J. Halm“) die Beziehung zwischen 
Spektralcharakter und Geschwindigkeit ersetzen durch eine Abhängig- 
keit der Geschwindigkeit von der Masse, derart, daß die Geschwindig- 
keit umgekehrt proportional dem Quadrat der Masse, also das Pro- 
dukt Mv? konstant ist. 

Die weiteren Ausführungen über diese Frage sind im Abschnitt 
Astrophysik nachzusehen. 

Auf mechanischer Grundlage könnte man eine Erklärung der Be- 
ziehung zwischen mittlerer absoluter Geschwindigkeit und Leucht- 
kraft, weil für die Sterne bis zu einer bestimmten scheinbaren Hellig- 
keit die mittlere Entfernung der Leuchtkraftklassen zunehmen muß 
mit abnehmender Leuchtkraft, suchen in der Lage der Sterne zum 
Mittelpunkt des Sternsystems. Dann müßte die Geschwindigkeit 
Funktion der Entfernung sein. A. S. Eddington, der diesen Gedanken 
aussprach, verwarf ihn wieder“), da die Ordnung der A-Sterne nach 
der Größe der Eigenbewegung eine Beziehung zwischen mittlerer Eigen- 
bewegung und Radialgeschwindigkeit nicht erkennen läßt. 


445) London Astr. Soc. Month. Not. 71 (1911), p. 610. 
446) Stellar mouvements, p. 161. 


360 VI, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


E. Bewegte Sterngruppen. 


46. Einzelne Sterngruppen. Schon Bessel**") hatte bei mehreren 
am Himmel weiter voneinander abstehenden Sternen Gemeinsamkeit 
der Eigenbewegung bemerkt und daraus auf einen physischen Zusam- 
menhang der betreffenden Sterne geschlossen. Mädler*?) wies hin auf 
die nahe Gleichheit der Bewegungen der helleren Plejadensterne, wo- 
durch die Zusammengehörigkeit zu einer besonderen Sterngruppe be- 
zeugt würde. Daß auch über einen größeren Teil des Himmels zer- 
streute Gruppen von Sternen durch die gleichen charakteristischen 
Merkmale als zusammengehörend sich zu erkennen gäben, bemerkte 
zuerst R. A. Proctor**”), der besonders auf das System ß, 9, d, 8, & 
Ursae maj. und auf eine Sterngruppe im Taurus aufmerksam machte. 
Größere Bedeutung für die Erkenntnis der Struktur des Sternsystems 
erlangten diese Sterngruppen, als W. Klinkerfues*°’) den in solcheu 
Systemen bestehenden Zusammenhang zwischen den Bewegungen und 
Parallaxen hervorhob. Ist @ der scheinbare Winkelabstand eines der 
Sterne des Stromes vom Radiationspunkt der Konvergenz der Eigen- 
bewegungen der Gruppe, V die gemeinsame totale lineare Bewegung 
der Gruppe relativ zur Sonne, so bestehen die Beziehungen 
(64) VsnQ—ku:ro, VeosQ—=Ao, 74%. 00180. 

Die Kenntnis nur eines Wertes von Ag oder x genügt, um die 
Berechnung der räumlichen Bewegung, der Entfernungen und der 
Leuchtkräfte aller Glieder der Gruppe zu ermöglichen. Klinkerfues 
erweitert an dem angegebenen Orte auch den Inhalt der bis dahin 
geltenden Auffassung solcher Sternsysteme, indem er die räumliche 
Abgeschlossenheit derselben, die Beschränkung auf einen begrenzten 
Raum im allgemeinen System fallen läßt und die Vorstellung einan- 
der durchdringender Sternströme in Analogie zu den Meteorströmen 
an ihre Stelle setzt. Das ganze Sternsystem würde man sich aus 
einer Schar solcher Sternströme gebildet denken können. 


Die Parallelität der Bewegungen erkennt man daran, daß die 
scheinbaren Eigenbewegungen sich in einem Punkte der Sphäre schnei- 
den, oder daß die Pole der Eigenbewegungen auf einem größten Kreise 


447) Fundamenta Astronomiae p. 310. 

448) Astr. Nachr. 24 (1846), p. 221. 

449) London Proc. Roy. Soc. 18 (1870), p. 169. 

450) W. Klinkerfues, Über Fixstern-Systeme, Parallaxen und Bewegungen, 
Göttingen 1873. 


46. Einzelne Sterngruppen. 361 


liegen.‘°0®) Diese Bedingung allein reicht aber nicht aus, um die Zu- 
sammengehörigkeit der Sterne zu erweisen. Vielmehr muß neben der 
Parallelität noch die Gleichheit der Bewegungen in linearem Maß ge- 
fordert werden, oder es müssen die Eigenbewegungen in RA. und Dekl. 
und die Radialbewegung bei allen Sternen des Systems sich darstellen 
lassen als Komponenten der gleichen räumlichen Bewegung relativ zur 
Sonne. Die mathematische Aufgabe ist die gleiche wie die der Be- 
stimmung der Sonnenbewegung, wenn an die Stelle der Größe und 
Richtung der Sonnenbewegung die für den Sternstrom geltenden Werte 
gesetzt werden. 

Die Ergebnisse der Erforschung der einzelnen bewegten Stern- 
gruppen sind übersichtlich zusammengestellt in einer Monographie 
von N. H. Rasmuson, A research on moving clusters. Lund, Medde- 
landen (2), Nr. 26 (1921). Es sind vorzugsweise Sterne der Typen 
B und A, die sich in solehen Gruppen vereinigt finden. Die absolu- 
ten Bewegungen erfolgen in der Regel näherungsweise parallel zur 
Ebene der Milchstraße. Die scheinbare Bewegung ist bei der großen, 
auch die Hyaden umfassenden Sterngruppe im Stier, die aus A-Sternen 
besteht, auf den Vertex gerichtet, während sie bei den aus Sternen 
vom Typus B bestehenden Gruppen nahe mit der Richtung auf den 
Antiapex der Sonnenbewegung zusammenfällt. 

Aus dem Aufbau und der Dichte der Haufen scheint zu folgen, 
daß sie sich in einem sehr verschiedenen Zustande der Entwicklung 
befinden. Hinsichtlich der Gestalt wurde bei mehreren Haufen eine 
Abplattung parallel zur Ebene der Milchstraße festgestellt, während 
andere Haufen sich in der Bewegungsrichtung abgeplattet zeigen. 
J. H. Jeans*°') hat den Einfluß des beim Zusammentreffen und Sich- 
durchdringen zweier Sternhaufen aus der Wirkung der Anziehung der 
übrigen Sterne des Haufens, der Sterne außerhalb des Haufens und 
drittens der bei einem Zusammenstoß entstehenden Kräfte auf den 
Bewegungszustand der Haufensterne untersucht und folgert daraus, 
daß nach einer großen Zahl von Zusammenstößen sich eine sphärische 
Geschwindigkeitsverteilung in den schließlich völlig aufgelösten Haufen 
ausbilden müsse. 


450a) 5. Oppenheim, Astr. Nachr. 204 (1917), p. 427 vermutet auf Grund der 
Wahrnehmung, daß sich die Pole der Eigenbewegung für die einzelnen Stern- 
gruppen (Bärenschwarm, Taurusgruppe) nicht über den ganzen Himmel verteilen, 
sondern Häufungsstellen um gewisse Punkte aufweisen, das Vorliegen von Ver- 
hältnissen derart, daß die Sterne nicht bloß parallele, sondern sogar identische 
Bahnen am Himmel beschreiben. 

451) London Astr. Soc. Month. Not. 76 (1916), p. 552; 82 (1922), p. 132. 


362 Vls, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


47. Partialsysteme. W. W. Campbell stellte bei den A-Sternen 
eine Abhängigkeit der mittleren absoluten Radialgeschwindigkeiten 
von der galaktischen Breite fest: 


Gal. Breite 0° bis + 30° + 30° bis + 60° +- 60° bis + 90° 
Ao abs. 13,0 92 5,6 km/see. 


Diese Abhängigkeit findet eine Erklärung durch die Annahme, 
daß die Bewegungen dieser Sterne parallel zur Ebene der Milchstraße 
vor sich gehen. H. 0. Plummer“??) benutzte die als Ausdruck dieser 
Hypothese sich ergebende Bedingung, daß die zur Ebene der Milch- 
straße senkrechte Komponente der absoluten Bewegung verschwinden 
solle, zur Bestimmung der Entfernung bei den A-Sternen bekannter 
Eigenbewegung und Radialgeschwindigkeit und bei den nach Art ihrer 
Bewegung zu den A-Sternen zu rechnenden Sternen vom Typus B8 
und 59. Die Resultate der Rechnung zeigen, daß viele der Sterne 
sich der einfachen zugrundeliegenden Hypothese nicht fügen, daß diese 
Hypothese im allgemeinen sich aber doch bewährt. Die Gesamtheit 
der A-Sterne scheint in eine Reihe von Teilschwärmen aufgelöst, un- 
ter denen auffälligerweise kein dem Kapteynschen Strome II entspre- 
chender vorkommt. Da die B-Sterne an der Bewegung der großen 
Sternströme nicht teilnehmen, sondern eine dritte Strömung für sich 
zu bilden scheinen, darf man sie vielleicht als zu einem mit kleiner 
Geschwindigkeit sich bewegenden Sternhaufen zusammengefügt be- 
trachten und, da die Anordnung der B-Sterne in so ausgesprochener 
Weise die Milchstraße bevorzugt, annehmen, daß das Gleiche auch 
bei ihren Bewegungen der Fall ist, was eine Anwendung der Plummer- 
schen Hypothese auf dieselben rechtfertigen würde. Bei der Aus- 
führung®°?) findet Plummer für die mittleren Parallaxen und die ab- 
soluten Größen die Werte 


Klasse B— B2 B3 — B5 BS — BJ A— 48 
n 0,0094” 0,0127” 0,0185” 0,0217” 
M — 7,3” — 5,8” — 5,6” — 3,9", 


Die B— B5 Sterne erscheinen in der Nachbarschaft der Sonne 
ziemlich gleichförmig in der Ebene der Milchstraße verteilt, während 
für größere Entfernungen (x < 0,01”) das Material offenbar unzurei- 
chend ist. Da man bei den B-Sternen verschwindend kleine eigentüm- 
liche Bewegungen voraussetzen, also die beobachteten scheinbaren Be- 


452) Lick Obs. Bull. 7 (1912), p. 30; London Astr. Soc. Month. Not. 72 (1912), 
p. 170, 555. 
453) London Astr. Soc. Month. Not. 73 (1913), p. 174. 


47. Partialsysteme. 363 


wegungen als die Projektion der Sonnenbewegung auf die Sphäre 
betrachten kann, so hat man in dieser Bewegung ein einfaches Mittel 
zur Bestimmung der Entfernung der einzelnen Sterne dieser Gruppe, 
das von Kapteyn**) benutzt wurde und zur Vorstellung eines deutlich 
begrenzten Haufens der B-Sterne führte. 

Auf einem anderen Wege suchte ©. V. L. Charlier in die räum- 
liche Anordnung der Einzel-Sternsysteme einzudringen. Die schein- 
bare Helligkeit eines Sternes wird bestimmt durch den seine Tem- 
' peratur wiedergebenden Spektraltypus, seinen Durchmesser und seine 
Entfernung. Bei den Sternen vom Typus B variiert der Durchmesser 
nur innerhalb sehr enger Grenzen, so daß man für ihre Entfernung 
setzen kann | 


(65) o—= R- 10%", 


wo R den Abstand bezeichnet, in welchem der Stern die scheinbare 
Größe 0,0” haben würde. Durch Einführung von oe in den Ausdruck 
der Eigenbewegung erhält man die lineare Eigenbewegung als Funk- 
tion von R und kann durch Vergleichung mit der in die Richtung 
des Visionsradius fallenden Projektion der Sterngeschwindigkeit schließ- 
lich R bestimmen. Das System der B-Sterne wird nach Charker*”) 
aus zwei Gruppen gebildet, den B1- und B2-Sternen mit R = 36 
Sternweiten und den BO-, B3- und B5-Sternen mit R = 16 Stern- 
weiten. Die B-Sterne bilden einen Haufen, dessen Diehte nach außen 
langsam abnimmt. Das Zentrum liegt in der Richtung « — 115°, 
ö = — 56° in einer Entfernung von 88 Sternweiten. Die Ausdehnung 
des Haufens ist in der Ebene der Milchstraße dreimal so groß wie 
senkrecht dazu. Die Sonne steht 19,4 Sternweiten oberhalb der Milch- 
straßenebene, von ihr aus gesehen erscheint das Zentrum in « = 311°, 
ö = + 47,5° im Sternbilde Cygnus. 

Unter den gleichen Gesichtspunkten wurde von W. Gyllenberg‘*?®) 
das System der O-Sterne, von K. @. Malmquist*”) das System der 
A-Sterne und von (. F. Lundahl“®) das System der F-Sterne be- 
handelt. Zur Bestimmung der Konstante R mußte dabei teilweise auf 
andere Methoden zurückgegriffen werden, weil das Eigenbewegungs- 
und Radialbewegungs-Material nicht ausreicht. Es wird ‘dazu die Größe 


454) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 43. 

455) Upsala Nova acta (4) 4, Nr. 7 (1916); Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 14 
(1916). 

456) Ark. Mat. Astr. Fys. 11, Nr. 28 (1916). 

457) Ark. Mat. Astr. Fys. 11, Nr. 29 (1916). 

458) Ark. Mat. Astr. Fys. 11, Nr. 30 (1916). 


364 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


der Sonnenbewegung, die Lage der Sonne zum Mittelpunkt des Systems 
und zur Ebene der Milchstraße herangezogen. Das mittlere Ergebnis 
für R ist bei den O-Sternen R = 17,4, bei den A-Sternen R= 8,5, 
bei den F-Sternen R = 3,3 Sternweiten. Aus dem benutzten nur die 
helleren Sterne umfassenden Material kann die räumliche Anordnung 
der A- und F-Sterne nicht erschlossen werden. Bei den @-Sternen, 
mit denen sich B. Fänge*°”) beschäftigt, muß eine besondere Methode 
zur Berechnung von R angewandt werden, weil wegen des Auftretens 
zahlreicher großer Eigenbewegungen die Bestimmung auf dem gewöhn- 
lichen Wege zu unsicher ist. Der wahrscheinlichste Wert der Ent- 
fernungen der Sterne wird bestimmt unter der Bedingung, daß die 
einer gegebenen Lage des Apex entsprechende Verteilung der linearen 
Querbewegungen möglichst derjenigen entspreche, die ein Geschwindig- 
keitsellipsoid der absoluten Bewegungen bei gegebenem Vertex er- 
fordert. 

Auch @. Strömberg*®®) behandelt das System der A-Sterne, dem 
er die Sterne vom Typus BT — F2 zurechnet, auf Grund der abso- 
luten Bewegungen und spektroskopischen Parallaxen von 332 Sternen. 
Es zerfällt in drei Gruppen. Die Zentralgruppe, Halms O-Sterne, 
Eddingtons Antiapex-Strom, umfaßt 69%, aller Sterne. Zu ihr gehört 
die Mehrzahl der scheinbar helleren Sterne. Das Zentrum der Gruppe 
liegt in der Richtung « = 92°, öd = — 31°. Die zweite Gruppe, deren 
Zentrum in der Richtung « = 306°, d —= — 26° liegt, wird von der 
Ursa major-Gruppe gebildet; sie umfaßt 23%, der Sterne. Zur dritten 
Gruppe, die mit der Taurus-Gruppe zu identifizieren ist und deren 
Zentrum in der Richtung « = 110°, ö = + 6? liegt, gehören 8%, der 
Sterne. Innerhalb des Systems der A-Sterne entspricht die Ursa major- 
Gruppe Kapteyns Strom II, die Taurus-Gruppe Kapteyns Strom I. Bei 
den späteren Typen ist die Taurus-Gruppe viel weiter ausgebreitet als 
bei den A-Sternen. Die größte Achse des Geschwindigkeitsellipsoids 
der ersten Gruppe ist nach der Vertex-Richtung, die der zweiten 
Gruppe nach der Normalen zur Ebene der Milchstraße orientiert. 


F. Bau des Sternsystems. 


48. Erste Versuche. Der induktive Weg für die Erforschung 
des Baues des Fixsternsystems wurde erst erschlossen durch die Er- 
kenntnis von Gesetzmäßigkeiten in den Eigenbewegungen, er mußte 
aber in die Irre führen, solange falsche Vorstellungen über den 


459) Lund Obs. Meddel. (2), Nr. 25 (1921). 
460) Astroph. Journ. 57 (1923), p. 77. 


48, 49. Bau des Sternsystems. Erste Versuche. Neuere Theorien. 365 


Charakter der Bewegungen die Forschung beherrschten; erst als der 
Sonnenbewegung der ihr gebührende Platz als der eines untergeord- 
neten Gliedes im großen System angewiesen wurde, war das Ziel er- 
reichbar. 


Über die äußere Gestalt des Systems gelangte schon W. Herschel 
durch seine Eichungen zu der im wesentlichen richtigen Vorstellung 
eines linsenförmigen Körpers, dessen größte Erstreckung in der Ebene 
der Milchstraße erfolgt. Aufgebaut dachte Herschel sich das System 
aus einer eine verhältnismäßig dünne Schicht bildenden Zahl von 
Sternhaufen, von teils lockerem, teils dichtem Gefüge, die sich in der 
Richtung der Milchstraße in unermeßlich große Entfernungen erstreckt. 
Die Dynamik des Sternsystems konnte erst nach dem sichern Nach- 
weis der Sonnenbewegung durch Argelander in den Bereich mathe- 
matisch-naturwissenschaftlicher Forschung eintreten. Einen im Mittel- 
punkt der Bewegung stehenden, möglicherweise dunklen Zentralkörper 
suchte Argelander*®') in einer zur Richtung der Sonnenbewegung senk- 
rechten, in der Ebene der Milchstraße liegenden Richtung, die auf 
das Sternbild Perseus zielt. J. H. Mädler*‘?) nahm eine Zentralsonne 
in den Plejaden an, weil er glaubte nachweisen zu können, daß die 
Größe der Eigenbewegung mit dem scheinbaren Abstande von der 
keine Bewegung zeigenden Gruppe der Plejadensterne gesetzmäßig an- 
wachse. Von 0. A. F. Peters*°?) und W. Kowalski‘) ward dieser Hypo- 
these der Boden entzogen. 


49. Neuere Theorien. Das durch die stellarstatistischen For- 
schungen der Neuzeit wohl endgültig festgestellte Bild des Stern- 
systems ist in erster Näherung in dem früher ausführlich besproche- 
nen, die durchschnittliche Verteilung der Sterne im Raume wieder- 
gebenden schematischen Sternsystem Seeligers gezeichnet. Einen Schritt 
weiter geht das typische System Seeligers, das dem den Bau des Stern- 
systems beherrschenden Einfluß der Milchstraße Rechnung trägt. 
©. V. L. Charliers (vgl. p. 315) die Sternverteilung an das Wahrschein- 
lichkeitsgesetz knüpfende Untersuchungen stehen im gleichen Range 
und führten im wesentlichen zu dem gleichen Ergebnis. In zweiter 
Näherung wird der Inhalt unserer jetzigen Kenntnis über die räum- 
liehe Anordnung und die Bewegungen der Sterne in vollständigster 

461) St. Petersburg Me&m. pres. 3 (1837). 

462) J. H. Mädler, Die Centralsonne, Dorpat 1846 (2. Aufl. Mitau 1847); 
auch Astr. Nachr. 24 (1846), p. 213. 

463) Astr. Nachr. 28 (1849), p. 198. 

464) Kasan Obs. Recherches 1859, p. 59. 


366 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Weise in der von J. ©. Kapteyn*‘°) entworfenen dynamischen Theorie 
des ganzen Systems niedergelegt. Um die Bedingungen des Gleich- 
gewichts zu ermitteln, denkt er sich das System aus zehn konzen- 
trischen Schalen, deren Oberflächen von Rotationsellipsoidlächen ge- 
bildet werden, zusammengesetzt. Die Polarachsen der Ellipsoide sind 
5,1 mal kleiner als die Äquatorachsen. Der Gleichgewichtszustand in 
diesen Schalen erfordert eine Rotation um die Polarachsen. In der 
Richtung dieser Achsen stehen die Sterne nur unter dem Einfluß der 
Anziehung aller Massen des Systems, in allen andern Teilen des 
Systems dagegen unter dem Einfluß der Resultante aus Anziehung 
und Rotation. Nimmt man an, daß das System sich im dynamischen 
Gleichgewichtszustand befindet und daß in ihm das Mazxwellsche Ge- 
setz der Verteilung der Geschwindigkeiten in einer im isothermischen 
Gleichgewicht befindlichen Gasmasse gilt, so kann man für eine an- 
genommene mittlere Masse der Sterne die Anziehung in jedem Punkte 
berechnen. Die Dichtigkeitsverteilung in der Richtung der Polarachse 
führt zu einem durchaus plausiblen Wert der mittleren Masse: 
1,4 Sonnenmassen in der äußersten, 2,2 Sonnenmassen in der zweiten 
Schale. Für die Rotationsgeschwindigkeit führen die Gleichgewichts- 
bedingungen auf eine langsame Zunahme mit der Entfernung von der 
Rotationsachse bis etwa 2000 Sternweiten, dann bleibt die Geschwindig- 
keit nahe konstant, und zwar etwa gleich 19,5 km/sec. Die Beobach- 
tungen lassen eine einfache Rotationsbewegung des Systems nicht er- 
kennen (vgl. p. 332), wohl aber die beiden Strombewegungen parallel 
zur Ebene der Milchstraße mit einer relativen Geschwindigkeit von 
40 km/sec, und diese würden eine ungezwungene Erklärung finden, 
wenn wir sie als Rotationsbewegungen in entgegengesetzten Rich- 
tungen auffaßten. Kapteyn setzt hiernach das Zentrum des Stern- 
systems in eine Entfernung von 650 Sternweiten in der Richtung der 
galaktischen Länge 77° auf das Sternbild Cassiopeia zu. Die von 
Kapteyn selbst als nicht einwandfrei betrachtete Annahme des Max- 
wellschen Verteilungsgesetzes der Geschwindigkeiten für die Sternen- 
welt ist nach J. H. Jeans*®®) nicht erforderlich für die Erklärung der 
Sternbewegungen. Er erlangt unter alleiniger Voraussetzung eines 
dynamischen Gleichgewichtszustandes im System bei gegebener Kennt- 
nis der Verteilung der Sterne eine der Kapteynschen Lösung ähnliche 
Lösung der Aufgabe. Die Entfernung des Zentrums des Systems 
würde 700 Sternweiten sein, die mittlere Sternmasse wäre gleich 
2,4 Sonnenmassen und man müßte, wenn die mittlere Masse eines ein- 


465) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 302. 
466) London Astr. Soc. Month. Not. 82 (1922), p. 122. 


49. Bau des Sternsystems. Neuere Theorien. 367 


zelnen Sternes zu 0,3 Sonnenmassen angenommen wird, jedem leuch- 
tenden Stern zwei dunkle Sterne zuordnen. - 

Eine dritte Näherung an die tatsächlichen Verhältnisse im Stern- 
system hätte auch den mit der galaktischen Länge, also der exzen- 
trischen Lage der Sonne verknüpften Ungleichheiten Rechnung zu 
tragen. Die Analyse wird hier noch erschwert durch die vermuteten 
Wolken dunkler das Licht der Sterne absorbierender Materie im Taurus 
und auf der anderen Seite im Ophiuchus, Scorpius und Sagittarius. 
H. Shapley*®") betrachtet die Sonne als ein Glied eines besonderen im 
Sternenheer des großen Milchstraßensystems eingebetteten und sich 
durch dasselbe hindurchbewegenden Haufens. Die helleren Sterne vom 
Typus B und A gehören diesem Haufen an. Im Haufen stehen auch 
Sterne aller übrigen Typen; es ist aber schwer zu entscheiden, ob sie 
dem Haufen direkt angehören oder dem großen Gesamtsystem. In noch 
weiter reichender Weise hat A. Pannekoek*%®) die nähere Umgebung 
der Sonne aufzulösen versucht. Er nimmt in dem die Sonne bis zu 
einer Entfernung von 600 bis 1000 Sternweiten umgebenden Raume 
mehrere kleine und größere Kondensationen von Sternen an. Der 
größte der Haufen ist der Cygnus-Haufen, der bis in die unmittelbare 
Umgebung der Sonne reicht. Den Cygnus-Haufen betrachtete schon 
C. Easton‘) als den Kern einer großen das Milchstraßensystem bil- 
denden mehrarmigen Spirale, deren einer Zweig die Sonne fast um- 
schließt. 

Auf einem andern Wege wird ein Verstehen der scheinbaren Be- 
wegungen im Fixsternsystem von $. Oppenheim versucht. Geht man 
aus von der Vorstellung eines mechanischen Systems, in dem eine 
Zentralkraft die Bewegungen bestimmt, so ist man berechtigt, in den 
scheinbaren von der Sonne aus gesehenen Bewegungen der Sterne 
ähnliche Verhältnisse anzunehmen wie in den geozentrischen Be- 
wegungen der Planeten. Der mit Hilfe von Entwicklungen der schein- 
baren Eigenbewegungen und der Radialbewegungen nach Kugelfunk- 
tionen durchgeführte Vergleich *’°), für den sich besonders die B-Sterne 
eignen wegen ihrer den Verhältnissen bei den Planeten analogen Ver- 
teilung über einen Gürtel parallel zur Milchstraße, fordert einen in 
der Richtung & = 20°, ö = + 34°, im Sternbild Andromeda, liegen- 
den Bewegungsmittelpunkt. Der Pol der Bahnebene der Sternbe- 


467) Nature 110 (1922), p. 545, 578. 
468) Amsterdam Astr. Inst. Publ. 1 (1924). 
469) Astroph. Journ. 12 (1900), p.136; 37 (1913), p. 105 (mit erläuternder Karte). 
470) Wien Denkschr. 87 (1911), p. 297; 92 (1915), p. 227; 93 (1916), p. 307; 
97 (1919), p. 269. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 24 


368 VIa, 23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


wegungen liegt in « = 145°%,9 — + 38°, also etwa 40° vom Pole der 
Milchstraße entfernt. Die Bewegung der Sonne ist gerichtet auf den 
Punkt « = 266°, d = + 32°. Die Gleichung dritten Grades, auf die 
man bei der Bestimmung der Vorzugsrichtungen der Sternbewegungen 
geführt wird, bestimmt ein Ellipsoid, dessen Hauptachse auf den Apex 
der Sonnenbewegung zielt, in völliger Analogie mit dem Resultate der 
gleichen Rechnung, angewandt auf die scheinbaren Bewegungen der 
Planeten. Hinsichtlich der beiden andern Achsen aber kommt eine 
Zweiteilung des Materials zum Ausdruck. Bei den galaktischen Ster- 
nen kann die kleinste Achse, bei den außergalaktischen dagegen die 
mittlere Achse als die zur Bahnebene der Bewegungen senkrechte 
Richtung gedeutet werden. Berechnet man im Sinne der zugrunde 
liegenden Hypothese der gleichartigen Deutung der Sternbewegungen 
und der Planetenbewegungen die den mittleren Bewegungen entspre- 
chenden Entfernungen bei den Sternen mit positiver und denen mit 
negativer Bewegung in Rektaszension, so entspricht das Resultat nur 
bei den galaktischen Sternen der als Folge der Stellung in Konjunk- 
tion und in Opposition zu erwartenden Differenz. Die Zweiteilung des 
Sternsystems kommt auch zum Vorschein, wenn man das die Vertei- 
lung der Sternbewegungen darstellende Ellipsoid berechnet. Bei ihm 
zielt die kleinste Achse sowohl bei den galaktischen wie auch bei den 
außergalaktischen Sternen auf den Vertex. In die Richtung nach dem 
Pole der Milchstraße aber fällt bei den galaktischen Sternen die größte, 
bei den außergalaktischen die mittlere Achse. Auch aus der Stern- 
verteilung selbst folgen zwei um 90° um die kleinste, auf den Pol 
der Milchstraße zielende Achse gedrehte Ellipsoide Diese Verhält- 
nisse werden vielleicht verständlich dadurch, daß die Sternverteilung, 
für die die Milchstraße Hauptebene ist, und die gesetzmäßige Be- 
wegung in einer anderen Bahnebene in die Rechnung als bestimmend 
eingehen. Von diesem Gesichtspunkte aus würde die Vertexrichtung 
als die Projektion der Richtung nach dem Zentrum des Ellipsoids aus 
den Bewegungen zu deuten sein. Zu einer klaren, eindeutigen Ant- 
wort hat der Versuch noch nicht geführt. 


50. Kinematik des Sternsystems. Eine Anwendung der klassi- 
schen Methoden der Himmelsmechanik auf das Problem der Bewegungen 
im Fixsternsystem ist unausführbar wegen Mangels der notwendigen 
Grundlagen. Man hat aber versucht durch die Methoden der statisti- 
schen Mechanik zum Verständnis der Gesetze der Sternbewegungen 
vorzudringen. Da die kinetische Theorie der Gase von andern Grund- 
gesetzen ausgeht als dem Newtonschen Gravitationsgesetze, muß sie 
für eine Übertragung der grundlegenden Anschauungen der Mazwell- 


50. Kinematik des Sternsystems. 369 


schen Theorie auf das Sternsystem entsprechend umgestaltet werden. 
Die fundamentale Gleichung des Problems, die die Abhängigkeit der 
Sternzahl von den im System vor sich gehenden Zustandsänderungen 
und Bewegungen ausdrückt, lautet 


(66) T-/W)+OR), 


wobei F' eine Funktion der Zeit, der Koordinaten und der Geschwin- 
digkeiten ist, V die die Häufigkeit des Eintritts von nahen Vorüber- 
gängen bestimmende Funktion bezeichnet und UI die gleiche Bedeu- 
tung für Zusammenstöße hat. C©. V. L. C'harlier*'') behandelt die Auf- 
gabe unter der Annahme, daß F eine normale Häufigkeitsfunktion 
sei. Die Bahnen, die die Sterne beschreiben, werden bedingt durch 
die Anziehung der Gesamtmasse des Systems. Eine Reihe von Vor- 
gängen im System erfolgt dagegen nach den einfachen Gesetzen der 
dynamischen Theorie der Gase, oder es gelten für sie diese Gesetze 
doch in erster Annäherung. Um sie zahlenmäßig auszudrücken, legen 
Charlier*'?) und J. Lense*?) eine von H. Poincare*'*) entwickelte Vor- 
stellung über die Verteilung der Massen im Sternsystem zugrunde. 
Ausgehend von der Annahme durchschnittlicher Gleichheit der Stern- 
massen mit der Masse der Sonne denkt er sich diese über den Raum 
einer Kugel, deren Radius dem kleinsten Abstande zweier Sterne 
10° astronomische Einheiten (A. E.) — 4,85 Sternweiten gleich ist, ver- 
teilt und setzt die Zahl der Sterne gleich 10°, den Radius des sphä- 
risch vorausgesetzten Weltalls gleich 10°A.E. Man erhält dann bei 
Zugrundelegung der von W. Gylienberg‘'°) aus den Radialbewegungen 
abgeleiteten mittleren totalen Sterngeschwindigkeit von 27,39 km/sec: 
Mittlerer Abstand zweier Sterne: 1611000 A.E. 


= 7,81 Sternweiten. 
Sterndichte: 0,00210 Sterne in der 


Kubiksternweite. 
Zahl der Zusammenstöße eines ein- 

zelnen Sterns — 5,32 . 10-2 im Jahr. 
Mittlere freie Weglänge = 5,27 - 101° Sternweiten. 
Mittlere Wegzeit = 1,88 - 10?! Jahre. 
Umlaufszeit in der Bahn — 10° Jahre. 


471) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 16 (1917). 

472) Ark. Mat. Astr. Fys. 10, Nr. 29 (1915). 

473) Astr. Nachr. 207 (1918), p. 161. 

474) H. Poincare, Legons sur les hypotheses cosmogoniques, Paris 1913, 
p. 259. 

475) Lund Obs. Meddel. (2) Nr. 13 (1915), p. 30. 


24* 


370 VIa,23. H. Kobold. Stellarastronomie. 


Zahl der Zusammenstöße im ganzen 


System —= 5,32 . 10"? im Jahr. 
Mittlere freie Weglänge allgemein == 44,0 Sternweiten. 
Mittlere Wegzeit allgemein — 1,57 . 10° Jahre. 


Mit einem Radius der Wirkungssphäre gleich 4 des mittleren Stern- 
abstandes nach Lense, findet sich noch 


Zahl der Durchgänge durch die Wir- 
kungssphäre eines Sternes — 6,38 - 10-7 im Jahr. 

Es sind das Zahlen und Größen, die gegenüber den für das Gesamt- 
sternsystem anzunehmenden klein genug sind, um die Anwendbarkeit 
der statistischen Gesetze für berechtigt halten zu dürfen. Für die zur 
Erreichung des inneren Ausgleichs im System, der die gleiche mitt- 
lere Geschwindigkeit aller Sterne bedingt, erforderliche Zeit, die 
Relaxationszeit nach Maxwell, findet Charlier 3,583 - 10'% Jahre. 
J. H. Jeans*‘®) war auf einem die gleichen Gesichtspunkte verfolgen- 
den, aber von etwas anderen Annahmen über die Sterndistanzen und 
Sterngeschwindigkeiten ausgehenden Wege, zu einer Relaxationszeit 
von der Ordnung von 10! Jahren gelangt. 

Läßt man die Zusammenstöße beiseite, so ist die Sternzahl nur 
abhängig von der Sternverteilung und den Geschwindigkeiten. Die 
fundamentale Gleichung wird also: 

(67) =. 

Befindet das System sich im Gleichgewicht, so erfolgen die Be- 
wegungen unter dem alleinigen Einfluß der Gesamtanziehung des 
Systems und es ist auch 


(68) oF_ 


De: 
Die Integration der Bewegungsgleichungen in einem Systeme, in 
dem die Sterne symmetrisch um eine Achse angeordnet sind, führt 
in diesem Falle nach Oharlier*") zu der Folgerung, daß die Geschwin- 
digkeitsfläche ein Rotationsellipsoid sein muß, dessen Achse senkrecht 
zur Richtung nach dem Zentrum des Systems steht. Da die nach der 
Schwarzschildschen Theorie aus den Beobachtungen abgeleitete Ge- 
schwindigkeitsfläche in der Tat dieser Folgerung entspricht, wäre das 
Zentrum des Sternsystems in einer vom Vertex um 90° abstehenden 
Richtung in der Milchstraße zu suchen. Zu dem gleichen, für die 
dynamische Theorie des Sternsystems wichtigen Resultat gelangt auch 


0. 


476) London Astr. Soc. Month. Not. 74 (1913), p. 109. 
477) Ark. Mat. Astr. Fys. 12, Nr. 21 (1917). 


50. Kinematik des Sternsystems. 371 


J. H. Jeans*'®), indem er die Bedingungen sucht, denen das Gravi- 
tationspotential & genügen muß, wenn bei einem gegebenen Gesetz 
der Geschwindigkeitsverteilung die Gleichung (67) erfüllt sein, also 
ein stabiler Zustand des Systems erreicht sein soll. Wenn nur das 
Energieintegral 
(69) 4 (u? + v? + w?) — 8 = const. 
existiert, so muß die Funktion F' die Form haben 

F=gl}W+4 + w— 29). 
_ Das würde aber eine sphärische Geschwindigkeitsverteilung fordern, 
die unserm Sternsystem bestimmt nicht innewohnt. Sternströme oder 
eine elliptische Geschwindigkeitsverteilung können nur auftreten, wenn 
neben dem Energieintegral noch andere von der Zeit unabhängige 
Integrale existieren. Setzt man die Geschwindigkeitsverteilung als ge- 
geben durch einen Ausdruck zweiten Grades voraus, so treten in dem- 
selben 15 Konstanten auf, über die man verfügen kann. Macht man 
keine speziellen Annahmen über die Form von 2, so kann man nur 
durch eine sphärische Geschwindigkeitsverteilung die Bedingungsglei- 
chung erfüllen. Reduziert sich dagegen das Gravitationspotential auf 
eine Funktion zweiten Grades, so ist ein dreiachsiges Geschwindigkeits- 
ellipsoid nur möglich, wenn die Flächen gleichen Potentials Kugel- 
oberflächen sind. Bei einer sphäroidischen Gestalt des Sternsystems, 
die allein mit den Beobachtungen vereinbar ist, muß die Geschwindig- 
keitsfläche ein Rotationsellipsoid sein, dessen Äquatorebene eine Me- 
ridianebene des Universums ist. 

Diese Forderung widerspricht einer zuerst von O0. Stumpe*"®) in 
Betracht gezogenen, später von H. H. Turner“*®) eingehender behan- 
delten, von A. 8. Eddington*®') zum Aufbau einer Theorie eines Stern- 
systems verwandten Hypothese, nach der die Bewegungen der Sterne 
in Schwingungen in langgestreckten fast geradlinigen durch den Schwer- 
punkt des Sternsystems hindurchgehenden Bahnen bestehen sollten, 
die also das Zentrum in der Vorzugsrichtung der Bewegungen vor- 
aussetzt. Diese Hypothese erscheint demnach als unvereinbar mit den 
in unserm Sternsystem beobachteten Verhältnissen. 

Unter Voraussetzung eines ellipsoidischen Verteilungsgesetzes der 
Geschwindigkeiten leitet Eddington“®?) aus den drei Bedingungsglei- 


478) London Astr. Soc. Month. Not. 76 (1915), p. 70. 
479) Astr. Nachr. 140 (1896), p. 188. 

480) London Astr. Soc. Month. Not. 72 (1912), p. 387. 
481) London Astr. Soc. Month. Not. 75 (1915), p. 366. 
482) London Astr. Soc. Month. Not. 76 (1915), p. 37. 


372 VI», 23. H. Kobold. Stellarastronomie, 


chungen der Bewegung in einem Gravitationsfelde mit Hilfe der Glei- 
chung (67) zwölf Differentialgleichungen zwischen den Koordinaten, 
den Geschwindigkeiten, den Achsen des Geschwindigkeitsellipsoids und 
der Sterndichte ab. Neun der Gleichungen enthalten weder die Dichte 
noch auch die das Gravitationsfeld bestimmende Funktion und sie be- 
stimmen die Geschwindigkeitsflächen im stabilen Zustande des Systems 
als konfokale Flächen zweiten Grades. Eine Achse der Geschwindig- 
keitsellipsoide muß, wenn das System eine Symmetrieebene hat, zu 
dieser Ebene senkrecht stehen. Finden die Bewegungen nur statt 
unter der Wirkung der Massen des Systems selbst, so ist, auch wenn 
eine Rotation des Systems hinzukommt, nur eine sphärische Dichtig- 
keitsverteilung möglich. Eine ellipsoidische Verteilung der Dichte er- 
gibt sich aber, wenn man annimmt, daß die Bewegungen in dem 
System erfolgen unter dem Einflusse einer kugelförmig angeordneten 
Masse von gleichförmiger Dichte, eine Annahme, die in unserm Stern- 
systeme etwa erfüllt wäre, wenn das abgeplattete System der Sterne 
der früheren Typen beherrscht würde durch das nahe kugelförmige 
System der späteren Typen. Die Verbindung verlängerter Rotations- 
ellipsoide, deren größte Achse in der Milchstraßenebene liegt, als Ge- 
schwindigkeitsflächen mit einer Rotation des Systems gibt theoretisch 
die beste Grundlage für ein den beobachteten Verhältnissen entspre- 
chendes System. 


(Abgeschlossen im Juli 1924.) 


VI2,24. THERMODYNAMIK DER HIMMELS- 
KÖRPER. 


Von 
R. EMDEN 


IN MÜNCHEN. 


Inhaltsübersicht. 
Einleitung. 


I. Einfache Umsätze thermischer und mechanischer Energie. 


1. Mechanische Energiequellen der Sternstrahlung. 

2. Sternschnuppen. 

3. Eindringen eines Weltkörpers in eine kosmische Staubmasse. 
4. Die Abkühlung der Erde. 


II. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von ther- 
mischer Energie und Gravitationsenergie. 


A. Allgemeinste Sätze über Gas- und Staubmassen. 


5. Der Virialsatz. 
6. Anwendungen des Virialsatzes. 


B. Die polytropen Kurven. 


7. Definition der polytropen Zustandsänderung. 
8. Kosmogenetische Zustandsänderung. 

9. Energieumsatz bei gleichförmiger Kontraktion. 
10. Gleichförmige Kontraktion und Strahlung. 


C. Polytrope Atmosphären. 
11. Begriff der polytropen Atmosphäre. 
12. Stabilität polytroper Atmosphären. 
13. Die fundamentalen Gleichungen polytroper Atmosphären. 
14. Periodisch wiederkehrende Irrtümer. 
15. Die Dispersionstemperatur. 
16. Einfluß der Kondensierbarkeit der Gase. 


D. Gaskugeln. 
17. Aufstellung der Differentialgleichung. 
18. Lösungen der Differentialgleichung. 
19. Über die Differentialgleichung der polytropen Gaskugel. 
20. Numerische Auswertung der Differentialgleichung. 


374 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


a) Gaskugeln von endlichem Radius. 


21. Thermische Energie und Eigenpotential einer polytropen Gaskugel. 
22. Kosmogenetische Flächen. 


b) Gaskugeln von unendlichem Radius. 
23. Die isotherme Kugel. 
24. Energetik der isothermen Kugel. 
25. Polytrope Kugeln für n >35. 


c) Gemischte Systeme. 
26. Gaskugeln in starrer Hülle. 


27. Gaskugeln mit starrem Kerne. 
28. Zusammengesetzte Gaskugeln. 


E. Abweichung von den Gasgesetzen. 
29. Einführung der van der Waalsschen Zustandsgleichung. 
30. Über die Bedeutung der Darlegungen der 88 5—29. 
31. Eine Gaskugel anderer Bauart. 


F. Eingreifen der kinetischen Gastheorie und statistischen Mechanik. 


32. Massenverlust einer Gaskugel. 
33. Behandlungsweise von Milne. 


a) Kosmische Staubmassen. 


34. Über die Notwendigkeit von Geschwindigkeiten im interstellaren Raume. 
35. Über die zulässige Steingröße. 

36. Bau kosmischer Staubmassen. 

37. Grenzverhältnisse und Massenverluste. 

38. Zähigkeit kosmischer Staubmassen. 

39. Kugelförmige Sternhaufen. 

40. Das Fixsternsystem als kosmische Staubmasse. 


G. Über die säkulare Stabilität der Gaskugeln. 


41. Die Problemstellung. 
42. Ein Grenzfall. 
43. Anwendung und gasförmige Gebilde. 


H. Freie Schwingungen einer Gaskugel. 


44. Schwingungen bei konstantem Volumen. 
45. Schwingungen bei konstanter Form. Pulsationen. 


III. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von ther- 
mischer Energie, Gravitations- und Strahlungsenergie. 


A. Exkurs über Strahlung. 
46. Wärmetransport und Wärmequellen. 
47 a. Größenordnung des Lichtdruckes an der Sonnenoberfläche. 
47. Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. 
48. Berücksichtigung des Strahlungsdruckes durch Bialobjewski. 


Inhaltsübersicht. Vorwort. 375 


B. Atmosphären im Strahlungsgleichgewicht. 
49. Temperaturverteilung bei Strahlungsgleichgewicht. 
50. Aufbau einer Atmosphäre ohne Berücksichtigung des Strahlungsdruckes. 
51. Aufbau einer Atmosphäre mit Berücksichtigung des Strahlungsdruckes. 


C. Die Helligkeitsverteilung der Sonnenscheibe. 
52. Über die bolometrische Helligkeitsverteilung der Sonnenscheibe. 
58. Die Helligkeitsverteilung in den einzelnen Wellenlängen. 
54. Einfluß der Streuung des Lichtes auf die Helligkeitsverteilung. 
55. Die Näherung von A. Schuster. 
56. Streuung und Absorption. 


D. Über das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre. 
57. Das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre. 


E. Gaskugeln im Strahlungsgleichgewicht. 


58. Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht. 

59. Ersatz der Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht durch eine Polytrope 
60. Der Faktor 1— ß und seine Berechnung. 

61. Energetik bei Strahlungsgleichgewicht. 

62. Typischer Riesenstern. 

63. Behandlung der äußeren Schichten. 

64. Einführung der van der Waalsschen Zustandsgleichung. 
65. Molekulargewicht der Sternmaterie. 

66. Der Absorptionskoeffizient. 

67. Beziehungen zwischen Leuchtkraft und Masse. 

68. Verhalten hoch ionisierter Gase. 

69. Veränderlichkeit der Sternmasse. 

70. Zusätze zur Eddingtonschen Theorie. 

71. Rotierende Massen im Strahlungsgleichgewicht. 


IV. Eingreifen von Quantentheorie und Atombau. 


A. Ionisation und Strahlung. 
72. Iopisationsgleichgewicht. 
73. Die Arbeiten Megh Nad Sahas. 
74. Verfeinerung der Methode. 


B. Ionisation und Lichtdruck. 
75. Aufbau der äußersten atmosphärischen Schichten. 


76. Anwendung auf planetarische Nebel. 
77. Fühlbare Lücken ’der Erkenntnis. 


Vorwort. 


Die Tatsache, daß die Temperatur in den Problemen der Astrophysik eine 
50 hervorragende Rolle spielt, daß die Thermodynamik zur Aufschließung weiter 
Forschungsgebiete erforderlich ist, verbunden mit dem Umstande, daß der Um- 
fang der einzelnen Beiträge zu dieser Encyklopädie nach Tunlichkeit einge- 


376 VIa, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


schränkt werden soll, erforderte eine sorgfältige Begrenzung und Behandlungs- 
weise des zu besprechenden Stoffes. Ich habe mich deshalb entschlossen, nur 
die theoretischen Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten einer Thermodyna- 
mik der Himmelskörper darzustellen, die Anwendung selbst den weiteren in Be- 
tracht kommenden Spezialartikeln wie der Photometrie, Spektralanalyse und 
Kosmogonie zu überlassen. Werden trotzdem an einigen Stellen die Forschungs- 
ergebnisse selbst besprochen, so geschieht es, um die theoretischen Unterlagen 
klarer hervortreten zu lassen. Aus diesem Grunde wurde auch auf eine Wieder- 
gabe berechneter Zahlentabellen und von Diagrammen verzichtet. 


Literatur. 


An Schriften, welche größere Forschungsgebiete zusammenhängend be- 
handeln, seien angeführt: 

A. Ritter, Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische Pro- 
bleme: 6 Abhandlungen, enthaltend Untersuchungen über die Konstitution 
gasförmiger Weltkörper, Leipzig 1882. 

— Untersuchungen über die Höhe der Atmosphäre und die Konstitution gas- 
förmiger Weltkörper: 14 Abhandlungen. 

— Untersuchungen über die Konstitution gasförmiger Weltkörper: 5 Abhand- 
lungen. 

Die 19 Abhandlungen in bunter Reihenfolge erschienen in Wiedemanns 
Ann. Phys. Chem. V (1878) bis XXXVI (1889). 

R. Emden, Gaskugeln. Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kos- 
mologische und meteorologische Probleme, Leipzig 1907. 

H. Poincare, Legons sur les hypotheses cosmogoniques, Paris 1911. 

J. H. Jeans, Problems of Cosmogony and Stellar-Dynamics, Cambridge 1919. 

M. Milankovich, Theorie math&matique des phenomenes thermiques produits 
par la radiation solaire, Paris 1920. 

J. Bosler, L’Evolution des 6toiles, Paris 1923. 

C. H. Payne, Stellar atmospheres. A Contribution to the observational study of 
high Temperature in the reversing Layers of Stars, Cambridge U.S.A. 1925. 

A. S. Eddington, The internal Constitution of Stars (Unter der Presse), Cam- 
bridge 1926. 


Außerdem seien noch erwähnt: 
R. Mayer, Sur la production de la lumiere et la chaleur du soleil, Paris C. R. 
23 (1846), p. 544. 

— Beiträge zur Dynamik des Himmels, in populärer Darstellung, Heilbronn 1843. 

— Kleinere Schriften und Briefe, herausgegeben von J. J. Weyrauch, Stuttgart 
1893. ; 

H. v. Helmholtz, Über die Wechselwirkung der Naturkräfte und die darauf be- 
züglichen neuesten Ermittlungen der Physik. Ein populär-wissenschaftlicher 
Vortrag gehalten am 7. Feber 1854 in Königsberg in Preußen. — Wieder ab- 
gedruckt in Vorträge und Reden, I u. II, Braunschweig 1884. 

W. Thomson (Lord Kelwin), Baltimore Lectures. Deutsche Übersetzung von 
B. Weinstein, Leipzig 1909. 


Literatur. Einleitung. 377 


Einleitung. 

Die Forschungsergebnisse auf dem Gebiete der Thermodynamik 
haben zur Aufstellung dreier Sätze umfassenden Inhaltes geführt. 

1. Der 1. Hauptsatz (Energieprinzip). Die Erkenntnis, daß eine 
bestimmte Wärmemenge stets einer bestimmten Menge mechanischer 
Energie gleichwertig ist, gestattet, das auf den übrigen Gebieten der 
Physik geltende Energieprinzip auch auf thermodynamische Prozesse 
auszudehnen. Wird einem Körper (oder Körpersystem) bei einer kleinen 
Zustandsänderung eine Energiemenge dU, die auch Wärmeenergie 
enthalten kann, zugeführt, und durchläuft der Körper einen Kreis- 
prozeß, so ist folglich stets SdU—= 0. Geht der Körper aus einem 

2 


Zustande 1 in einen Zustand 2 über, so ist au unabhängig vom 
1 


Wege und gilt die Beziehung 
Jar=U—-U. 
T 


Die auf diese Weise festgelegte Funktion U der den Zustand fixieren- 
den Variabeln nennt man nach Lord Kelvin die „Energie“ des Körpers 
(oder Körpersystemes). Bei der üblichen, im Laboratorium geltenden 
Behandlungsweise der Thermodynamik wird, von seltenen Ausnahmen 
abgesehen, von kinetischer Energie nicht molekularer Bewegung und 
von potentieller Energie der Gravitationskräfte abgesehen, so daß die 
Energie U eines Körpers durch molekulare Kräfte geliefert wird. Sie 
wird deshalb vielfach auch als „innere“ Energie bezeichnet. (Für voll- 
kommene Gase z. B- ist U=c,T.) Werden n Körper, von denen jeder 
die Energie U enthält, zu einem Körper vereinigt, so wird dessen 
Energie zu n- U angesetzt. Diese Schlußweise ist auf weiten Ge- 
bieten der Astrophysik nicht zulässig. Denn Massenanhäufungen, wie 
sie in den Sternen vorliegen, repräsentieren einen Vorrat Gravitations- 
energie, der von gleicher Größenordnung wie die innere Energie sein 
kann, und dessen Änderung bei Volum- und Gestaltsänderung mit be- 
rücksichtigt werden muß. Es ist deshalb erforderlich, den Energie- 
vorrat eines Körpers oder Körpersystems in zwei Teile zu zerlegen; 
in einen Teil. &, den Betrag potentieller Energie der Gravitations- 
kräfte, welcher anderen Anwendungsgebieten der Thermodynamik fremd 
ist, und in einen 2. Teil U, herrührend von den Molekularkräften. 
Um Irrtümern vorzubeugen, werden wir diesen Teil U stets als „ther- 
mische“ Energie bezeichnen. Für Körper von der Größenordnung, wie 
sie bei Laboratoriumsversuchen vorliegen, kann der Teil & vermach- 
lässigt werden. Auf welche Weise und in welchem Maße die Berück- 


378 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


sichtigung der Gravitationsenergie & die Ergebnisse des Laboratoriums- 
experimentes abzuändern vermag, wird aus dem in Nr. 4 besprochenen 
Abkühlungsproblem der Erde besonders deutlich hervorgehen. 

2. Der 2. Hauptsatz (Entropieprinzip). Wird einem Körper oder 


Körpersysteme eine Wärmemenge d@ zugeführt und durchläuft der- 


selbe einen umkehrbaren Kreisprozeß, so ist stets er —=0. Geht 


ein Körper auf einem umkehrbaren Wege aus einem Zustande 1 in 
2 


einen Zustand 2 über, so ist ee unabhängig vom Wege und 
1 


3 
‘a 
1 


Die auf diese Weise festgelegte Funktion $ der den Körperzustand 
fixierenden Variabeln nennt man nach R. Clausius die Entropie. Der 
Entropiesatz sagt aus, daß in einem abgeschlossenen Systeme, also 
U-+ 2 = const., Veränderungen, welche mit einer Abnahme der En- 
tropie verbunden wären, ausgeschlossen sind. Führt aus dem Zu- 
stande 2 kein Weg in Zustand 1 zurück, so kann das Entropieprinzip 
keine sinngemäße Anwendung finden. Durch das Entropieprinzip wird 
die Entwicklungsrichtung der Himmelskörper eingeschränkt. 

Geht im Laboratoriumsversuch, in Übereinstimmung mit dem En- 
tropiesatz, Wärme von einem heißeren zu einem kälteren Körper über, 
so wird deren Temperaturdifferenz verkleinert. In mehr oder minder 
unklarer Verallgemeinerung dieses Vorganges hat sich die Sage von 
einem Wärmetod des Universums in die Literatur eingeschlichen. 
Allein eine Ausdehnung dieser Verhältnisse auf Massen, wie sie in 
den Fixsternen vorliegen, ist wegen der dann hinzutretenden Energie- 
größe X unstatthaft. Gibt, in Übereinstimmung mit dem Entropie- 
satz, eine hinreichend massige Gaskugel durch Strahlung Wärme an 
eine niedriger temperierte, hinreichend massige Gaskugel ab, so werden 
(Nr. 8, 9), falls ein- oder zweiatomige Gase vorliegen, die heißere 
Kugel durch den Schrumpfungsprozeß geheizt, die kältere Kugel durch 
Expansion abgekühlt. Der Übergang von Wärme von warm nach kalt 
steigert hier, im Gegensatz zum Laboratoriumsexperiment, den Tem- 
peraturunterschied. Der gegenseitige Strahlungsprozeß der Sterne führt 
also nicht zu Temperaturausgleich und Wärmetod, sondern schafft 
Temperaturgegensätze, deren schließliche Folgen sich jeder Beurteilung 
entziehen. 

8. Der 3. Hauptsatz. Der von W. Nernst im Jahre 1906 aufge- 
stellte Satz lautet in einer von .M. Planck erweiterten Fassung: Beim 


1. Mechanische Energiequellen der Sternstrahlung. 379 


Nullpunkt der absoluten Temperatur besitzt die Entropie eines jeden 
chemisch homogenen festen oder flüssigen Körpers den Wert Null. 
Damit kann die additive Konstante der Entropie und ihr absoluter 
Wert bestimmt werden. Für die Astrophysik gewinnt der Satz Be- 
deutung durch die im 4. Abschnitte besprochenen Probleme. 


Die drei Sätze können sinngemäße Anwendung nur in endlichen, 
eindeutig abgegrenzten Gebieten finden, weitergehende Verallgemeine- 
rung ist, wie namentlich H. Poincare in seiner Thermodynamique dar- 
legt, unstatthaft. Die bekannten Sätze: 1. Die Energie der Welt ist 
konstant. 2. Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu, sind 
die Schlußwendung eines Vortrages von R. Clausius, gehalten 1865 in 
der naturforschenden Gesellschaft in Zürich. Sie finden sich nicht 
mehr in der 2., umgearbeiteten Auflage (1876) seiner mechanischen 
Wärmetheorie und sollten auch aus der übrigen Literatur verschwin- 
den. Man hüte sich anderseits vor Anwendung der Sätze auf allzu 
künstlich stilisierte Probleme. Betrachtet man z. B. das Verhalten 
einer isoliert im Weltenraum schwebend gedachten, ausstrahlenden 
Kugel, so versagt das Entropieprinzip, denn es führt kein Weg von 
einem späteren Zustande in den Ausgangszustand zurück. Die Natur- 
gesetze gelten eben für die Natur, wie sie ist, und nicht wie sie sein 
könnte. Beachtet man ferner, daß die Strahlung eines Himmelskörpers 
von den übrigen Himmelskörpern nicht vollständig abgefangen wird, 
sondern weiter nach außen entweichen kann, so folgt, daß die Ge- 
samtheit der strahlenden Körper des Fixsternsystems Strahlung nach 
außen abgibt. Hier versagen die drei Hauptsätze; vielleicht kann die 
allgemeine Relativitätstheorie Klarheit schaffen. Für die im folgenden 
zu besprechende Anwendung der Thermodynamik auf die Himmels- 
körper genügt es, daß die drei Hauptsätze, angewendet auf endliche, 
eindeutig abgegrenzte Gebiete stets klaren Sinn behalten und zu un- 
zweideutigen Ergebnissen führen. 


I. Einfachste Umsätze thermischer und mechanischer 
Energie. 


l. Mechanische Energiequellen der Sternstrahlung. a) Meteo- 
ritentheorie. Aufgestellt von R. Mayer.‘) Liegt die Masse m auf einer 
Kugel von der Masse M und dem Radius R, so enthält dieses System 
potentielle Energie im absoluten Betrage von 


EM 
FM M Erg. 


1) R. Mayer, Beiträge zur Dynamik des Himmels, Heilbronn 1848. 


380 VIe, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Bei Fall der Masse m aus sehr großer Entfernung mit der An- 
fangsgeschwindigkeit 0 wird deshalb eine Wärmemenge von 


_ EM 1 
4,19. 10’ R MR 


verfügbar, bei Fall auf die Sonne 4,44.10°.m cal. Da bei einer 
Solarkonstanten 2 cal/cm?min die Sonne jährlich 2,95 - 10% cal aus- 
strahlt, müssen im stationären Zustande jährlich 


6,64 - 10% & = 3,43 - 10”° Sonnenmassen 


meteoritische Massen einstürzen. Massen in diesem Betrage stehen 
aber nicht zur Verfügung. a) Kommen sie in gleiehmäßiger Ver- 
teilung von außerhalb der Erdbahn, so wird ein Teil derselben von 
der Erde aufgefangen. Wie die Rechnung zeigt, ist die hierbei ent- 
wickelte Wärme 213 mal kleiner als wie die beim Sturze auf die 
Sonne erzeugte. Da die von der Erde aufgefangenen Mengen Sonnen- 
strahlung und meteoritischer Massen aber gleiche Bruchteile sind der 
gesamten Ausstrahlung und der gesamten einstürzenden Massen, müßte 
die Erde durch Meteoritenfall eine Wärmemenge = ;ı, der Sonnen- 
strahlung erhalten, ein Betrag, der sicher um viele Zehnerpotenzen zu 
hoch ist. b) Die in den Bereich der Erdbahn eintretenden Massen 
würden ferner die Dauer des derzeitigen Jahres um 2,2 sec vergrößern. 
Da auch Änderungen der Umlaufszeiten der inneren Planeten um ähn- 
liche Beträge ausgeschlossen sind, müßte der Meteoritensturz dauernd 
aus innerhalb der Merkurbahn vorhandenen Mengen gespeist werden. 

Die Bedeutung des Meteoritenfalls auf andere Fixsterne entzieht 
sich der Beurteilung. 

b) Komtraktionstheorie. Aufgestellt von H. Helmholtz.”) Sammelt 
sich die Masse M aus hinreichender Verdünnung zu einer konzentrisch 
geschichteten Kugel vom Radius R, so würde durch Abnahme der 
potentiellen Energie bekanntlich eine Energiemenge 

[0 A BR 

4,19 .10’R 

verfügbar. a ist ein Zahlenfaktor, der durch die schließliche Dichte- 
verteilung längs des Radius bestimmt ist. Er ist bei konstanter Dichte 
— 2 und steigt für eine Gaskugel im Strahlungsgleichgewicht auf > 
(vgl. Nr. 61). Auch andere annehmbare Dichtekonzentrationen nach 
dem Mittelpnnkt zu ändern seine Größenordnung nicht. Durch Auf- 
bau der Sonne zu einer Kugel konstanter Dichte bzw. einer Kugel im 
Strahlungsgleichgewicht werden folglich Energiemengen im Betrag von 


5,17. 10% cal resp. 1,29 - 10% cal 


cal 


2) H.v. Helmholtz, Vorträge und Reden, Bd. I (1884), p. 415. 





2. Sternschnuppen. 381 


verfügbar, hinreichend, um die gegenwärtige Sonnenstrahlung für 
1,75.10° resp. 4,37. 10° Jahre 


zu decken. Da aber die Geologie für die Entwicklung der Erdkruste 
in den drei letzten großen Zeitaltern allein Zeiten von der Größen- 
ordnung 10° Jahre erfordert, kann die Zusammenballung der Sonne 
nur einen kleinen Betrag der erforderlichen Wärmemenge geliefert 
haben. 

Kontrahiert sich die Kugel um den Betrag AR, so wird eine 
Energiemenge 

GM AN 

RN R 
verfügbar. Für die Ausstrahlung ist aber nur ein Bruchteil, der bei 
einem dreiatomigen vollkommenen Gase bis auf 0 abnimmt, verfüg- 
bar, während der Rest zur Heizung der Kugel verwendet werden muß 
(vgl. Nr. 9). 

Zur Speisung der Sonnenstrahlung können Gravitationskräfte nur 
in verschwindend geringem Maße beitragen. (Die Verbrennung einer 
Sonnenkugel aus Steinkohle könnte die gegenwärtige Sonnenstrahlung 
nur für rund 5000 Jahre decken, daher sind auch Quellen chemischen 
Ursprungs ausgeschlossen.) Da die Sonne unter den Fixsternen keine 
gesonderte Stellung einnimmt, dürfte auch in der Energiebilanz der 
letzteren die Kontraktion nicht merklich zur Geltung kommen. Nur 
mit der Möglichkeit mechanischer Energiequellen rechnend, kam Lord 
Kelwin?) zu dem verhängnisvollen Schluß: „Nun besitzen wir aber 
unwiderlegliche Hinweise dafür, daß die gesamte Lebensdauer unserer 
Sonne als Selbstleuchter nur eine mäßige Anzahl Millionen Jahre, 
wahrscheinlich weniger als 50 Millionen, möglicherweise zwischen 50 
und 100 Millionen beträgt.“ Das Rätsel nach dem Ursprung der 
Sternstrahlung wird unter Nr. 46 nochmals berührt.®) 


Erg 


2. Sternschnuppen. Wird eine in die Erdatmosphäre mit der Ge- 
schwindigkeit v eindringende Masse m durch Luftwiderstand auf die 
Endgeschwindigkeit v, abgebremst, so ist eine Wärmemenge 

i1mw— u)’ 


3 210.107 cal 


3) Lord Kelvin, Baltimore Lectures, Chapt. XVI, $ 14, oder in der deutschen 
Übersetzung, p. 225. 

2 gcal 
em? min 
strahlung in Erdentfernung von 4,65-10-° Erg/cm® und somit ein Druck der 
Strahlung auf eine vollkommen spiegelnde oder vollkommen schwarze Fläche im 
Strahlungsgleichgewicht von 9,3 - 10-° Dyn/cm?, 


4) Der Solarkonstanten 





entspricht eine Energiedichte der Sonnen- 


382 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


verfügbar. Setzt man zwecks Überschlagsrechnung v — 40 km/sec, 
o= + 30 km/sec, so ist die pro Gramm verfügbare Wärmemenge 
5,85. 10° cal resp. 1,19. 10% cal. 
Unbestimmt bleibt ihre Verteilung auf die einzelnen Schichten des 
Meteoriten und die atmosphärischen Massen, so daß sich Tempera- 
turen nicht angeben lassen. Die Bewegung einer Kugel in einem 
widerstehenden Medium variabler Dichte (Atmosphäre) hat Schiapa- 
relli?) theoretisch behandelt. Da aber veraltete und namentlich für 
die in Betracht kommenden hohen Geschwindigkeiten gänzlich un- 
sichere Luftwiderstandsgesetze benutzt werden, sind die ermittelten 
quantitativen Beziehungen wahrscheinlich bedeutungslos. Auf Grund 
dieses Luftwiderstandsgesetzes wurde auch die Maximaltemperatur der 
adiabatisch komprimierten Luftmassen an der Stirnseite des Meteo- 
riten abgeschätzt. Die Temperaturen der höchsten Schichten der 
Atmosphäre im ungestörten Zustande zu — 150°, also wahrscheinlich 
viel zu tief angesetzt, ergeben sich Temperaturen bis zu 42500°, die 
aber aus den angeführten Gründen außerordentlich zweifelhaft sind. 
In seiner 16. Abhandlung hat A. Ritter sich ebenfalls mit dem 
Sternschnuppenproblem befaßt, doch erregt seine Behandlung eben- 
falls Mißtrauen und dürfte mit den Untersuchungen Riemanns®) „Über 
die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Amplitude“ schwer- 
lich vereinbar sein, so daß die von ihm berechneten Lufttemperaturen 
von 3,7 .10%° höchst zweifelhaft sind. Das Sternschnuppenproblem 
dürfte somit kaum über die allerersten thermodynamischen Ansätze 
hinausgekommen sein. 


3. Eindringen eines Weltkörpers in eine kosmische Staubwolke. 
Die Begegnung eines großen Weltkörpers mit einer Gas- oder Staub- 
masse ist ein ungleich verwickelterer Vorgang als das eben behan- 
delte Sternschnuppenproblem, da ein Zweikörperproblem angesetzt und 
der Formänderung der Staubmasse Rechnung getragen werden muß. 
Dies Problem ist von H. v. Seeliger”) eingehend behandelt worden 
unter der Voraussetzung, daß die einzelnen Teilchen der Staubmasse 
sich unabhängig voneinander und in sehr großer anfänglicher Ent- 
fernung mit gleicher und gleichgerichteter Relativgeschwindigkeit V, 
bewegen. In bezug auf den konzentrisch geschichteten Weltkörper 


5) J. V. Schiaparelli, Entwurf einer astronomischen Theorie der Stern- 
schnuppen. Deutsch von $. Boguslawski, Stettin 1871, Note I u. II. 

6) Vgl. H. Weber, Partielle Differentialgleichungen, Braunschweig 1901, 
Bd. 2, Abschn. 22. 

7) H.v. Seeliger, Über das Eindringen eines Weltkörpers in eine kosmische 
Staubwolke, Astr. Nachr. 181 (1909), p. 81. 


3. Eindringen eines Weltkörpers in eine kosmische Staubwolke.. 383 


von der Masse M und dem Radius R beschreiben dann diese Teil- 
chen Hyperbeln von der großen Halbachse a = GM/YV,? mit par- 
allelen Asymptoten, aber verschiedener Exzentrizität. Die Teilchen, 
deren Anfangsgeschwindigkeit nach dessen Mittelpunkt gerichtet sind, 
erlangen die größte Geschwindigkeit, und nach dieser Richtung von 
beiden Seiten herandrängend werden die Teilchen die Staubmasse in 
Richtung des ankommenden Weltkörpers zapfenförmig ausbuchten. 
Der eindringende Weltkörper wird infolgedessen nicht nur die Teil- 
chen treffen, die in einem Zylinder vom Querschnitt zR? liegen, son- 
dern, wie die Rechnung zeigt, in stationärem Zustand alle Teilchen, 
die in großer Entfernung den Querschnitt 


2a 
(a) a8, +1) 
ausfüllen. 
Für Y,= 30 km/sec, M — Sonnenmasse, R = ;), Entfernung 


Sonne—Erde ist der Vergrößerungsfaktor = +1= 401. Bezeich- 


net d, die konstant angenommene Dichte der Staubwolke in großer 
Entfernung, so wird im stationären Zustand sekundlich eine kine- 
tische Energie der Teilchen im Betrag 


(b) L=-zRaoN(G +1) Erg 


vernichtet. (Nichtberücksichtigung des Vergrößerungsfaktors + h, 


wie von anderer Seite geschehen, wirkt also verhängnisvoll.) Um 
zu Temperaturen überzugehen, sind weitere Annahmen notwendig. 
Setzt man R — 695000 km, M — Sonnenmasse, V, = 28,3 km/sec, 
D 
rer! 
seines Materiales und nimmt man an, daß sich die entwickelte Wärme 
gleichmäßig auf den Bruchteil f seiner Masse verteilt, so resultiert 
eine Temperaturerhöhung der äußersten Schichten im Betrage von 
134 
Ar 
Dringt die Wärme 700 km tief ein und setzt man y=1, so ist 
f-y rund = „,. Wegen der nach dem Stefanschen Gesetz vor sich 
gehenden Ausstrahlung wird diese Temperatur nicht erreicht Setzt 
man D=1,4,öd—5:-10-°, so wäre die maximale Temperatur von 
148 000° erreichbar. Mit Rücksicht auf die Ausstrahlung wird sie auf 
119000° herabgesetzt, welche Temperatur von einer Anfangstempe- 
ratur 2200° ausgehend in 11 Stunden erreicht wird. Der eindringende 


Himmelskörper, bolometrisch von der Größenklasse 17,3, würde somit 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 25 


10-®, D Dichte des Himmelskörpers, 7 die spezifische Wärme 


384 VIa, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


in 11 Stunden zur Größenklasse — 2,3 aufsteigen. Ist in der Wahl 
der der Berechnung zugrunde liegenden Zahlenwerte immerhin ein 
weiter Spielraum vorhanden, so dürfte doch die Thermodynamik der 
Seeligerschen Annahme, die das Auftreten neuer Sterne auf das Ein- 
dringen eines großen Weltkörpers in eine Gas- oder Staubmasse 
zurückführt, keinerlei Schwierigkeiten begegnen. Diese Annahme läßt 
auch die Erklärung, daß Sterne in jedem Entwicklungsstadium sich 
zu Novas entwickeln können, zu. 


4. Die Abkühlung der Erde. Die Zeit, die von der Erstarrung 
der Erde bis zur Erreichung der derzeitigen Oberflächentemperatur 
verstrichen ist, wurde als reines Wärmeleitungsproblem vielfach be- 
handelt, zuerst wohl von Lord Kelvin. Näheres darüber bei H. Poincare®) 
und namentlich bei O. Heaviside.”) Die Zeiten verschiedener Bearbeiter 
schwanken zwischen 20 Millionen und 65000 Millionen Jahren! Diese 
Behandlungsweise als reines Wärmeleitungsproblem ist aber nach 
R. Emden’) unzulässig, da durch einen mit der Ausstrahlung ver- 
bundenen Schrumpfungsprozeß der Erde durch Arbeit der Gravitations- 
kräfte (vgl. Nr. 1b) Wärmemengen erzeugt würden, die nicht vernach- 
lässigt werden dürfen. Wird einer kleinen Eisenkugel (Dichte 7,7, 
Wärmekapazität ce = 0,114) 0,114 cal/g entzogen, so kühlt sie sich 
um 1° ab und der Radius verkürzt sich um 1,2-10-° seiner Länge. 
Die geleistete Gravitationsarbeit ist zu vernachlässigen. Übertragen 
auf eine Eisenkugel vom Radius der Erde würde eine Wärmeabgabe 
von 0,114 cal/g = 9,51 10% cal eine Verkürzung des Radius um 
1,2. 10° ‚seines Wertes — 7,64 : 10° cm zur Folge haben. Durch Ar- 
beit der Gravitationskräfte würden dann aber 1,25 - 10°" cal verfüg- 
bar, also das 1,3fache der entzogenen Wärmemenge. Für eine Eisen- 
kugel vom Radius der Sonne würde dieses Verhältnis auf den Wert 
15 700 ansteigen, für eine Kugel mit der Wärmekapazität c und dem 
3 EM« 
5 4,19-.107.c-R 
das Verhalten der Erdsubstanz thermodynamisch nicht faßbar ist, kann 
nicht entschieden werden, ob Wärmeentzug Abkühlung oder, wie bei 
den Gaskugeln, Erwärmung der Erde zur Folge hat. Der wahrschein- 
lichere Fall der Abkühlung darf deshalb nicht als reines Wärme- 
leitungsproblem behandelt werden. 


Ausdehnungskoeffizienten « auf den Wert 





Solange 


8) H. Poincare, Lecons, p. 209. 

9) O. Heaviside, Mathematics and Physics of the Earth. Electromagnetic 
Theory. London 1899, II, Chapt. 5. 

10) R. Emden, Gaskugeln, Kap. XVII, 8 21. 


4. Die Abkühlung der Erde. 5. Der Virialsatz. 385 


I. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von 
thermischer Energie und Gravitationsenergie. 


Soll eine hinreichend plastische Masse, kurz gesagt eine Flüssig- 
keit, unter der Wirkung von Kräften, die durch ein Potential 2 aus- 
gezeichnet sind, im Gleichgewichte sein, so muß bekanntlich an jeder 
Stelle die Bedingung R REN 
erfüllt sein. Bedingen als Materialeigenschaften der Druck p und die 
Dichte o sich gegenseitig eindeutig, so ist bei gegebenen Grenzbe- 
dingungen die Anordnung eindeutig bestimmt, derart, daß Flächen 
gleichen Druckes und gleicher Dichte Flächen gleichen Potentiales 
sind. Tritt aber in der Zustandsgleichung der Flüssigkeit noch die 
Temperatur auf, wie bei Gasen, so ist der Aufbau unbestimmt. In 
einer konzentrisch geschichteten Gaskugel lassen sich z. B. bei belie- 
biger Dichteanordnung längs des Radius durch geeignete Temperatur- 
verteilung die Drucke so bestimmen, daß jede Schicht das Gewicht 
der äußeren Massen äquilibriert. Für diesen Fall, ja unter noch all- 
gemeineren Verhältnissen, ergeben sich bereits einige allgemeine Sätze 
über Gas- und kosmische Staubmassen. Sie folgen in Nr.5 u. 6. Zum 
Aufbau von Gaskugeln oder Atmosphären werde in erster Linie voll- 
kommenes Gas verwendet (über Verhalten nach der van der Waals- 
schen Zustandsgleichung siehe Nr. 29) und der Aufbau eindeutig ge- 
macht durch Festsetzung der Gaszustände, die längs des Radius vor- 
handen sein sollen; oder anders ausgedrückt: Verschiebt sich ein Gas- 
teilchen längs des Radius derart, daß es in bezug auf Temperatur, 
Druck und Dichte mit dem jeweils verdrängten Gasteilchen überein- 
stimmt, so sollen seine Zustände einer vorgeschrieben thermodynami- 
schen Weggleichung gehorchen. Als solche kommen in erster Linie 
und fast ausschließlich die überaus anpassungsfähigen polytropen Zu- 
standsänderungen in Betracht. (Ein Aufbau unter ganz anderer Vor- 
aussetzung wird in Nr. 31 besprochen.) Die sich so ergebenden poly- 
tropen Gaskugeln und ihre Beziehungen zu den kosmischen Staub- 
massen und zur Sternstatistik sollen in den Nrn. 17—45 besprochen 
werden. Das Auftreten des Strahlungsdruckes als mittragendes Prinzip, 
sowie die sich daraus ergebenden Folgerungen folgen im Abschnitt II. 


A. Allgemeinste Sätze über Gas- und Staubmassen.'!) 
5. Der Virialsatz. Bezeichnet m die Masse eines Teilchens, 
x,y,2 seine Koordinaten und X, Y, Z die Komponenten der auf das- 


11) H. Poincare, Legons, $ T4ff.; J. H. Jeans, Problems, Chapt. VIII, 8 188—189. 
25* 


386 VIa, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


selbe wirkenden Kräfte, so ist 





1 d?’(mx?) dx\2 
(2) San =m(z) +rX 
und wird über die drei Achsen und alle Teilchen summiert, so folgt 


1 d?’® 
(b) 5 ge =? I+2.@X+yY+:)=2L-+4V.. 
Hier bedeuten ® das Trägheitsmoment, Z die kinetische Energie der 
fortschreitenden Bewegung und I(xX +yY-+zZ2)=)J, das Virial 


des ganzen Systems. Ist das System in Gleichgewicht, @ = const,, 


“ . d 
oder verändert es sich so, daß Se 


(1) 2L+V,=0. 
Schwankt das System um einen mittleren Zustand, so gilt dieselbe 
Beziehung für die zeitlichen Mittelwerte von ZL und V,. Das Virial 
berechnet sich aus den zwischen den einzelnen Teilchen wirkenden 
Kräften und aus den ÖOberflächendrucken. Wir nehmen an, daß kein 
fester Kern und keine feste Oberfläche vorhanden sind, so daß der 
zweite Anteil verschwindet. Wir nehmen weiter an, daß die einzelnen 
Staubteilchen oder Massenelemente vollkommener Gase mit Newton- 
schen Gravitationskräften aufeinander wirken. Dann ergibt sich 


() N-DaeXtyY4+:9=-—-DDrm—n. 


Tjk 


= const., so ist in jedem Moment 


2, die aufgespeicherte potentielle Energie (das Eigenpotential des 
Systems) und der in Betracht kommende Virialsatz lautet sohin: 
(2) LAG: 

6. Anwendung des Virialsatzes. a) Kosmische Staubmassen. Zur 
Virialgleichung tritt hinzu die Energiegleichung 


(8) L+2=E, 

wo E die gesamte mechanische Energie ist, mit der Folge 

(a) L=—E, 2=2E. (b) 
Erfolgen die Zusammenstöße vollkommen elastisch, so bleibt 

L = — E und infolgedessen auch & konstant. Es kann also niemals 


zu Zusammendrängung der Teilchen, zu Kondensation kommen. Er- 
folgen die Zusammenstöße nicht vollkommen elastisch, so geht mecha- 
nische Energie verloren, E nimmt ab, also nimmt auch & ab und 
Kondensationserscheinungen müssen eintreten. Gleichzeitig aber nimmt 
L, die kinetische Energie des neuen Zustandes, zu. Es ergibt sich 
so der scheinbar paradoxe Satz (der entsprechend auch bei Gaskugeln 
auftreten wird), daß Verlust an kinetischer Energie zur Steigerung 


6. Anwendung des Virialsatzes. 387 


der kinetischen Energie führt, ein Seitenstück zu dem Satze, daß ein 
widerstehendes Mittel die kinetische Energie eines Planeten vergrößert. 
| b) Vollkommene Gase. Für einatomige Gase gelten diese Betrach- 
tungen unverändert. Bei mehratomigen Gasen aber ist zu beachten, 
daß auch kinetische Energie der intramolekularen Bewegung in einem 
zur kinetischen Energie der fortschreitenden Bewegung konstanten 
Verhältnis vorhanden ist. Bekanntlich ist pro Masseneinheit eines 
SOLNEREDRREN: Gases die kinetische Energie der fortschreitenden Be- 


wegung =, Im Be n T= 2 (e, — e,) T und die thermische Ener- 


gie u=c,T, so daß = (x — 1)u wird, für x — =, Bezeichnet U 


v 


die gesamte thermische Energie der Gasmasse, so ergibt der Virialsatz 


(2) 3“ —- DUHRA=0 

und die gesamte aufgespeicherte Energie E ist 

(3) U+2=E 

mit der Folge 

ge Pe) ER E20 ,8 (b') 


[für einatomige Gase mit x = ? in die Formel unter (3a) übergehend]. 
Aus diesen Beziehungen ergeben sich die fundamentalen Folgerungen: 

I. Für dreiatomige Gase, «= #, ist E unabhängig von 8, und 
die Dauer der Radialschwingung einer solchen Gaskugel wird deshalb 
unendlich (Nr. 45). Bilden wir eine lineare Serie von Gaskugeln mit 
x als variablem Parameter, so tritt bei <= $ ein Wechsel von Sta- 
bilität und Instabilität ein. Da der Virialsatz 2 —=0 für «—=1 er- 
gibt, also keine stabile Anordnung zuläßt, folgt: Stabile Gaskugeln 
lassen sich nur aus Gasen mit x» > +, also nur aus ein-, zwei- und 
dreiatomigen Gasen aufbauen. (Dieser Beweis dieses wichtigen Satzes 
ist von Jeans gegeben.) 

II. Nimmt & durch Kontraktion um A ab, so muß nach (b) 
die gesamte aufgespeicherte Energie um AE abnehmen. Diese Energie- 
menge wird durch Strahlung abgegeben und nach (a’) nimmt dabei 
U zu. Ausstrahlung hat demnach Erhöhung der thermischen Energie 
U, also der Temperatur zur dan Denn von der Kontraktionsarbeit 


wird nur der Bruchteil AE = nor ausgestrahlt, und der Rest 
(1 — Er — 1) AQ—= SET = Fr zur Temperatursteigerung der 
Gasmassen. 


III. Werden in einer Gasmasse alle linearen Abmessungen im 
Verhältniss A verkleinert, so steigen die thermische Energie und damit 


. 383 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


die Mitteltemperatur (bei Staubmassen die kinetische Energie) im 
gleichen Verhältnisse. | 

Für :Atmosphären gelten diese Sätze nicht mehr. Bei ihrer Be- 
handlung muß bei Berechnung des Virials der Druck auf die Unter- 
lage mit berücksichtigt werden. Solche Untersuchungen scheinen nicht 
vorzuliegen. (Ist ein Gas in einem Gefäß vom Volumen V einge- 
schlossen und wird von äußeren und inneren Gravitationskräften ab- 
gesehen, so nimmt das Virial den Wert 3» V an und daraus folgt die 
bekannte fundamentale Beziehung L=}pV.) 


B. Die polytropen Kurven. 


Die für den Techniker unentbehrlichen polytropen Zustandsände- 
rungen dürften zuerst von @. Zeuner!?) (1872) eingehend behandelt 
worden sein. In Problemen der kosmischen Physik scheint sie zuerst 
A. Ritter ausgiebig verwendet zu haben; doch treten sie hier als ver- 
allgemeinerte Adiabaten auf, indem formell der Exponent % als stetig 


variabler Parameter behandelt wird. Spezialisierung von k = x —. 
liefert dann adiabatische Kugeln. Auch in der neuen Literatur wird 
öfters nicht zwischen polytrop und adiabatisch aufgebauten Gasmassen 
unterschieden. Zu eigentlicher Wirksamkeit gelangen die Polytropen 
aber erst, wenn sie nicht formal durch die Beziehung pv*— const. 
eingeführt, sondern als durch physikalische Beziehungen ausgezeich- 
nete, thermodynamische Wege definiert werden. Der fundamentale 
Unterschied zwischen ihrem Exponent % und der Größe x —-. tritt 


v 


dann klar hervor, und scheinbar überraschende Eigenschaften poly- 
troper Gaskugeln erweisen sich schon durch diese Definition begründet. 
Polytrope Gaskugeln von beliebigem % können aus Gasen von be- 
liebigem x aufgebaut werden. 


%. Definition der polytropen Zustandsänderung. Eine Polytrope 
ist ein umkehrbarer Weg konstanter Wärmekapazität. Bezeichnen wir 
die Wärmekapazität mit y,„ oo <Zy<-+t m», so folgen auf jedem 
Wegelement für die pro Gramm zugeführte Wärmemenge dQ und 
zugeführte Entropie dS 

aT 
(4) aQa=yal; dS=YyT' 
Die Entropie steigt oder sinkt mit der Temperatur, je nachdem y > 
oder <(. 





12) @. Zeuner, Technische Thermodynamik I (Leipzig 1887), p. 142, sowie 
M. Schröter und L. Prandtl, Technische Wärmetheorie, Encykl.V 1, Nr. 5, p. 248. 


7. Definition der polytropen Zustandsänderung. 389 


Aus der Grundgleichung des 1. Hauptsatzes der Wärmelehre 
dU=dQ-+dW 
folgt für vollkommene Gase, dU = c,dT, c,— const., bei polytroper 


Änderung 
caT=ydT+dW; 


also gilt 

®) Q9=-rh—- T)=(UG— U,) 
7 ’ Bd. di 

(6) ms, Vi I Dmeazsl: 


Auf jeder Polytropen ist die zuzuführende Wärme proporlional der 
thermischen Energie und proportional der zuzuführenden Arbeit, die 
die Zunahme der thermischen Energie proportional der zugeführten 
Arbeit. 

Die Wege p= const., v—= const., 8 = const. (Isentrope), 
U—= const. (Isotherme) ergeben sich als Spezialfälle der Polytropen 
mty=c,=6,=0 resp =+_. 

Schreibt man die obenstehende Grundgleichung in der Form 

dQ=c,dT + Apdv, 
so läßt sie sich bei vollkommenen Gasen, pv = En fürdQ=yaT 


sofort integrieren und liefert je nach der Wahl der Veränderlichen 
die Gleichung der Polytropen 


(7) po*—= pv*— const.; T*p!-"— const., Tv!-!= To!-*—= const. 


Cp— k— 
(8) mid, yo: 
Für k=x folgt selbstverständlich die Gleichung der Adiabate (Isen- 


trope). (Der Exponent % der Polytropen ist scharf von x — 2 zu 





unterscheiden) Die pv Ebene ist von oo! Polytropen mit gleichem 
k bedeckt, die sich durch Werte dieser Konstanten unterscheiden. 
Sie können nach R. Emden (Gaskugeln p. 26) vorteilhaft unter- 
schieden werden durch die Temperatur, welche der Stelle g = 1 g/cm? 
zukommt. Diese werde polytrope Temperatur genannt und mit ©, 
bezeichnet. (Weiterhin mit ©,.) Dann gilt offenbar 
(9) Tot—=9-1=9,. 
Als Spezialfälle ergeben sich die adiabatische Temperatur für k— x 
und weiterhin die kosmogenetische Temperatur für k = #. 
[In seiner Arbeit über atmosphärische Bewegungen unterscheidet 
Helmholtz'?) die verschiedenen Adiabaten durch die Temperatur, die 


13) H.v. Helmholte, Berl. Ber. 1888, p. 647 = Gesamm. Abh., Leipzig 1895, 
Bd. I. 


390 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


sie bei einem Normaldruck angeben, und bezeichnet diese Temperatur 
als „bleibenden Wärmegehalt“. Auf Anregung von Bezold'*) wurde 
statt dessen die Bezeichnung „potentielle Temperatur“ eingeführt, die 
sich in der Meteorologie eingebürgert hat. Hier, wo in erster Linie 
Druck beobachtet wird, ist diese Einführung angezeigt. Bei allge- 
meineren Untersuchungen erweist sich die Zurückführung auf die 
Dichte 1 bei gleichzeitiger Verallgemeinerung auf Polytrope ungleich 
zweckmäßiger.] 

Setzen wir 


(10) ou, N 2 


u FR, 
so ergibt sich nach R. Emden die für weitere Anwendungen zweck- 
mäßigste Gleichung der Polytropen in Parameterdarstellung 


EN. 
(11) DEE IR 


»o=W T=u®,.: 

n wird Klasse der Polytropen genannt. Es gibt deshalb für jedes Gas 
oo? Polytropen, unterschieden durch die Klasse » und die polytrope 
Temperatur ©,. Die Zweckmäßigkeit der Parameterdarstellung er- 


weist sich u. a., daß sich der in hydrodynamischen Untersuchungen 


stets auftretende Ausdruck er übersichtlich = (n + 1) = 9,du 
—=(n-+ ben dT schreiben läßt, und die Bedingung mechanischen 








z Ä d GM, _. 
Gleichgewichts eb = —9=— , wird 
du dT 1: we @M, 
(12) a TREE 


Weiterhin gelten auch für Polytropen die wichtigen linearen 
Energiebeziehungen 


(13) 9 wirken) "SP 1 Er AI en 
AU o, k-1! AW 0-7 x-—-1’ AW »—1 





Berechnen wir mit Hilfe der Gleichung der Polytropen die zur 
Änderung von ®, erforderliche Wärmemenge, so folgt 


dQ= c,dT + Apdv = c,T(0,-'"d®,+ (k — x)o”'do) 
und daraus durch Integration als Beziehung zwischen Entropie und 
polytroper Temperatur 
(14) S= c,lg9,+(k —a)lgo + const. 
Für adiabatische Änderung, k— x, ergibt sich $ = e,lg@, + const. 
Wärmeentzug hat stets ein Sinken, Wärmezufuhr ein Steigen der 


14) W. v. Bezold, Zur Thermodynamik der Atmosphäre, Berl. Ber. 1888, 
p. 1189 — Gesamm. Abh., Braunschweig 1906. 


8. Kosmogenetische Zustandsänderung. Kosmogenide. 391 


adiabatischen Temperatur zur Folge. Für polytrope Temperatur gilt 
dies nicht allgemein. Sie sinkt oder steigt, je nachdem das durch 
den Wärmeaustausch bedrängte Wegelement steiler oder geneigter 
verläuft wie die Tangente an die Polytrope k. 

Für kosmogenetische Zustandsänderung k—=3 wird, wichtig 


3 
durch den Vorzeichenwechsel bei =}, 


(15) S= .c,1g9, — ( “7 >) lgo + const. 
3 


Da nur Polytropen k >1 sich von physikalischem Interesse er- 
weisen, beschränkt sich die Untersuchung auf die Klassen’) 0 <n< w. 





8. Kosmogenetische Zustandsänderung. Kosmogenide. Defini- 
tion: Die Kontraktion einer kongentrisch geschichteten Kugel werde 
gleichförmig genannt, wenn bei Änderung ihres Radius durch keine in 
ihr gelegte Kugelfläche AR (4 = einer Konstanten) ein Transport von 
Masse stattfindet, oder anders ausgedrückt: der gegenseitige Abstand je 
zweier Teilchen ändere sich wie der Radius der Kugel. Daraus folgt 
unmittelbar: die Dichte an jeder Stelle ändert sich umgekehrt wie 
die 3. Potenz des Radius. 


(15a) 0-R— og, R,’—= const. 


Diese Kugel werde durch gleichförmige Kontraktion aus einem 
beliebigen Gleichgewichtszustand in einen neuen Gleichgewichtszustand 
übergeführt. Da die Oberfläche jeder Kugelschale quadratisch mit 
dem Radius ab-, das Gewicht eines jeden weiter außen liegenden 
Teilehens aber in demselben Verhältnis zunimmt, folgt für einen 
neuen Gleichgewichtszustand: Der Druck an jeder Stelle ändert sich 
umgekehrt wie die 4. Potenz des Radius. 


(15b) PR! — p,R,* = const. 
Aus beiden Gleichungen folgt unmittelbar für vollkommenes Gas 
(15e) TR—=TR, —= const. 


Wir haben also den Satz: Geht eine konzentrisch geschichtete Kugel 
eines vollkommenen Gases aus einem beliebigen Gleichgewichtszustand 
durch homogene Kontraktion in einen neuen Gleichgewichtszustand über, 
so ändern sich an jeder Stelle, also auch im Mittelpunkt, Dichte, Druck 
und Temperatur umgekehrt wie die 3., 4. resp. 1. Potenz des Radius. 
In dieser allgemeinsten Form ist der Satz zuerst (1902) von P. Rudzki"®) 
ausgesprochen worden, für adiabatische Kugeln (1869) von Homer Lane 


15) Weiteres über Polytropen siehe bei R. Emden, Gaskugeln, Kap. Il. 
16) P. Rudzki, Note sur la loi de la temperature dans un corps celeste 
gazeux, Bull. astr. 19 (1902), p. 134. 


392 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


(vgl. Fußn. 33), sodann (1878) von A. Ritter in seiner zweiten Ab- 
handlung. Unmittelbar folgt: Der Gehalt an thermischer Energie inner- 
halb einer Kugelschale ändert sich umgekehrt wie deren Radius. Aus 
den 3 angegebenen Beziehungen folgt ferner: 
<.» r 


16 v—2 — const; 7 — const. = const. 
(16) AN is rn | 
d. h., in jeder Gaskugel, die sich durch eine Reihe von Gleichgewichts- 
zuständen hindurch gleichförmig kontrahiert oder expandiert, machen 
alle Teilchen eine polytrope Zustandsänderung vom Esxponenten k = 5 
also der Klasse n=3 durch. Diese Zustandsänderung wird nach 
Ritter, der sie zuerst aufgedeckt, kosmogonische (kosmogenetische) 
Zustandsänderung, der Weg kurz eine Kosmogenide genannt. Be- 
achten wir weiter die Definitionsgleichung der polytropen Temperatur, 


so folgt für Bewegung auf der Kosmogeniden 








n —3 

(17) OR — const.; ©,R " — const. 
d®, n—3 AN 
(17a) 8, Tem 


und sinngemäß interpretiert der für Strahlungsprobleme wichtige Satz: 
Bei gleichförmiger Kontraktion steigen an allen Stellen gleichbleiben- 
der Dichte die Temperatur und der Druck, je nachdem n größer oder 
kleiner 3 ist. Bei Strahlungsgleichgewicht wird sich ein Aufbau 
durch eine Polytrope der Klasse » = 3 ergeben; hier fallen also auf- 
bauende Polytrope und alle Kosmogeniden zusammen, kommen also 
bei Kontraktion stets Stücke derselben Polytropen zur Abbildung. 
An Stellen des sich verlängernden oder sich verkürzenden Radius, die 
durch dieselbe Dichte ausgezeichnet sind, finden sich unveränderte 
Werte von Druck und Temperatur. 


Da die Entropie der Polytropen bestimmt ist durch dS = N 
=y ee =c, dans = , ergibt sich für Bewegung auf der Kosmogeniden 


(18) iS=-—0,4—3n)% 


gleich für alle Teilchen. Sie enthält den für die Sternentwicklung 
fundamentalen Satz: 

Die durch den 2. Hauptsatz der Wärmelehre vorgeschriebene Zu- 
nahme oder Konstanz der Entropie tritt bei gleichförmiger Kontraktion 
nur ein, falls für das aufbauende Gas das Verhältnis der Wärme- 
kapasität » größer oder gleich $; ist. 

Wegen 
(18a) AQ=Tis— — 0,Ta— 3) 


9. Energieumsatz bei gleichförmiger Kontraktion. 393 


folgt ferner der Satz: Bei Bewegung auf der Kosmogeniden beteiligt 
sich jedes Teilchen an der Wärmebilanz proportional seiner augenblick- 
lichen Temperatur. Bei gleichförmiger Kontraktion und Zunahme der 
Entropie muß Wärme abgegeben werden. 


9. Energieumsatz bei gleichförmiger Kontraktion. Wird in den 
in Nr. 7 abgeleiteten Beziehungen k — ;; gesetzt, so ergibt sich bei 
gleichförmiger Kontraktion aus beliebigem Gleichgewichtszustand 


AU 3 A 4— 3% 
(19) en a 

Damit sind die in Nr.6 aus dem Virialsatz abgeleiteten Beziehungen 
wiedergefunden mit dem Unterschied, daß sie dort nur integral, hier 
aber auch für jedes einzelne Massenelement Geltung haben. Für 
adiabatische Kugeln sind sie zuerst von A. Ritter in seiner 3. Ab- 
handlung aufgestellt und auf den Kontraktionsprozeß der Sonne, be- 
stehend aus zweiatomigen Gasen, angewendet worden. Schreiben wir 
die Gleichung für zwei- und dreiatomige Gase an, so ergeben sich 


F 5 7 4 
ln 3 5 3 
AQ 1 1 
Aw TE er ı u 
AU 1 5 
a auarı I 1. 


Von der geleisteten Kontraktionsarbeit kann also im günstigsten Falle 
die Hälfte ausgestrahlt werden. Bei einem dreiatomigen Gas muß sie 
vollständig zur Temperatursteigerung verwendet werden, ohne daß ein 
Bruchteil zur Ausstrahlung zur Verfügung steht. Bei noch höherer 
Atomzahl ist Kontraktion nur bei Zustrahlung möglich, andernfalls 
stürzt die Kugel bei Ausstrahlung zusammen. Daraus ergibt sich 
wieder (vgl. oben Nr. 6): Gaskugeln können nur aus ein- und zwei- 
atomigen, an der Grenze dreiatomigen Gasen aufgebaut werden. In 
der Helmholtzschen Theorie der Erhaltung der Sonnenstrahlung (Nr. 1) 
ist deshalb die Atomzahl des aufbauenden Gases zu berücksichtigen. 
Läßt das Spektrum eines kosmischen Gebildes auf höhere zusammen- 
gesetzte Moleküle schließen, so kann dieses, falls keine anderen 
Energiequellen vorhanden sind, nicht im Gleiehgewichte sein. Der 
physikalische Grund dieser Verhältnisse liegt darin, daß von der dem 
einzelnen Moleküle zuzuführenden Energie ein mit wachsender Atom- 
zahl zunehmender Bruchteil intramolekular verbraucht wird, so daß 
schließlich ein nicht mehr genügender Teil zur erforderlichen Druck- 
(Temperatur-)steigerung und eventueller Ausstrahlung übrigbleibt. 


394 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


10. Homogene Kontraktion und Strahlung. Aus der Beziehung 


(18a) AQ=— c,T(4 — 3x) 2 folgt, falls nn die Kontraktion 


pro Sekunde beträgt, für die von der Teilkugel vom Radius r und 
der Masse M, für die in der Sekunde abgegebene Wärmemenge 


AR AR 
(199) AQ = — (4 — 3%) an TAU= — (4 — 32) 


und daraus für die sekundlich abgegebenen Wärmemengen 


(20) in Re 


AQR Typ’ 
wenn R den Gesamtradius, U, die in der Teilkugel am Radius r auf- 
gespeicherte thermische Energie bedeuten. 

Da für Wärmetransport in Gaskugeln lediglich Strahlung in Be- 
tracht kommen wird und die dann pro Sekunde und cm? beförderte 








Wärmemenge © — Tu er beträgt (Nr. 47), wird 
(b) AQ, u, er, z— zZ .r? EZ cal/em? see 
und somit 
U, _/(T sarı(T son-ı 
er et EIhETE. Zus 


Für jeden polytropen Aufbau ist (Nr. 19) nz ein Maß der bis zum 
Radius r eingeschlossenen Masse M, und da bei homogener Kontraktion 
für jedes Teilchen 7 konstant bleibt — @_,, so folgt: 

[J SF 


Bei homogener Kontraktion einer Gaskugel bleibt die von jeder Teil- 
kugel vom Radius r als auch die von der Gesamtkugel durch Strahlung 
abgegebene Wärme konstant.') 


Bei homogener Kontraktion bleibt also auch 27 „ konstant. Zu 
beachten ist, daß in Gleichung (21) der für jedes Teilchen konstant 
bleibende Ausdruck - längs des Radius sich ändert, bedingt durch 
den Aufbau nach der Klasse n Nur für n=3, welcher Aufbau 
sich bei Strahlungsgleichgewicht ergeben wird, ist auch Z längs des 
Radius konstant und folgt 


AaQ, ER U, iss M, 
(20a) ee 3 





17) J. H. Jeans, The evolution and radiation of gaseous stars, London Astr. 
Soc. Month. Not. 78 (1918), p. 36 sowie Problems, $ 193—199. 


11. Begriff der polytropen Atmosph. 12. Stabilität polytroper Atmosph. 395 


Die wichtigsten, die Entwicklung polytroper Gaskugeln bei homo- 
gener Kontraktion regelnden Gesetze ergeben sich somit unmittelbar 
aus den Begriffen der Polytropen und der homogenen Kontraktion. 

Der Beweis, daß jede Gaskugel, die je nach derselben Poly- 
tropenklasse aufgebaut bleibt, gleichförmig kontrahiert oder expan- 
diert, wird in Nr. 19 geliefert. 


C. Polytrope Atmosphären. 


11. Begriff der polytropen Atmosphären. Die Bedingung mecha- 
nischen Gleichgewichtes in konzentrisch geschichteten Medien 


dp _ Ks 
edr a FR Alam Br“ © 
lautet für polytropen Aufbau nach der Klasse n 
RarT 
(22) n+1n20, = (n HIST 


Es ist üblich, von einer die Kugel vom Radius A, umgebenden Atmo- 
sphäre zu sprechen, wenn von ihrer inneren Gravitation abgesehen 
und sie nur durch die Anziehung der innerhalb NR, liegenden Masse 
zusammengehalten betrachtet wird. Dann folgt der Satz: In jeder 
polytropen Atmosphäre ist der Temperaturgradient proportional dem 
Werte g einer konstanten Masse und proportional dem Molekulargewicht. 
Für vielerlei Zwecke der Anwendung kann von der Krümmung der 
Schichten abgesehen werden. Dann folgt: In einer eben geschichteten 
polytropen Atmosphäre herrscht konstantes Temperaturgefälle. Dadurch 
kann umgekehrt jeder Vorgang, der sich längs der Vertikalen mit 
konstantem Temperaturgefälle abspielt, als in einer ebenen, polytropen 
Atmosphäre vor sich gehend behandelt werden, wodurch sofort die 
zugehörigen Druck- und Dichteänderungen gegeben sind. Beliebiger 
Temperaturgang kann durch einen Sehnenzug geradliniger Temperatur- 
gefälle geeigneter n ersetzt werden. 


12. Stabilität polytroper Atmosphären. Die Stabilität ist be- 
dingt durch den Aufbau und die Art der Störung. Der Aufbau ist 
stabil, wenn bei der Störung Arbeit gegen die Schwerkraft geleistet 
werden muß. Von Wichtigkeit sind in erster Linie die folgenden 
beiden Spezialfälle. 

a) Die Atmosphäre sei aufgebaut nach einer Polytropen n. Bei 
Verschiebung seien die Gasmassen gezwungen, einer Polytropen n, zu 
folgen. Herrschen im Ausgangsniveau die Werte og, und p,, so gelten 
in einem höheren Niveau für p und o die Beziehung 


n 


(a) (2) —t. 


PD, (2) 





396 VIse, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Wird von dem Ausgangsniveau eine Gasmasse bis zu diesem Druck p 
emporgehoben, so gilt für diese Verschiebung 


(b) (ey a. 


Soll Stabilität herrschen, so muß offenbar, damit die verschobenen 
Teilchen wieder in die Ausgangslage zurückdrängen, 0, > o sein, also 
muß sein 

aT, aT 


(23) RT 


d. h. der der Verschiebung zukommende Temperaturgradient muß größer 
sein als der ursprünglich vorhandene. Erfolgt die Verschiebung adia- 


batisch, so ist n, = an und Stabilität ist vorhanden für 


einatomige Gase, wenn n > 1,5, 
zweiatomige Gase, wenn n > 2,5, 
dreiatomige Gase, wenn n > 3. 


Eine Atmosphäre n = —— befindet sich gegenüber Verschiebung, die 


adiabatisch vor sich geht, im indifferenten Gleichgewicht, auch konvek- 
tiwves Gleichgewicht genannt. Den Begriff des konvektiven Gleichge- 
wichtes verdankt man Lord Kelvin."?) 

Der Temperaturgradient der Erdatmosphäre bei konvektivem 


Gleichgewicht, n = 2,5, beträgt somit _ — 9,71.10° /em. 


Da für Atmosphären der Begriff der homogenen Kontraktion 
wegfällt, können auch mehr als dreiatomige Gase stabile Atmosphären 
aufbauen. 

b) Eine Atmosphäre (oder auch eine Gaskugel) sei durchweg 
nach derselben Polytropenklasse n, aber in Schichten verschiedener 
polytroper Temperaturen ®, aufgebaut. An der Grenze kann ®, 
Funktion der Höhe (des Radius) sein. Für Aufbau aus inkompressibler 
Flüssigkeit muß die Schicht geringerer Dichtigkeit stets höher liegen. 
Für kompressible Flüssigkeiten ist, wie leicht ersichtlich, der Satz so 
zu fassen, daß von 2 Schichten, die nach ihrer Polytropen auf den- 
selben Druck gebracht sind, die leichtere Schicht höher liegt, oder 
mit Rücksicht auf die Definition der polytropen Temperatur: Bei 
‚stabilem Gleichgewicht muß die polytrope Temperatur nach oben zunehmen. 
Dieser Satz erweist sich von fundamentaler Wichtigkeit für die Dynamik 


18) W. Thomson (Lord Kelwin), On the convective equilibrium of tempera- 
ture in the atmosphere, Manchester Phil. Soc. Mem. Serie 3, Vol. 2 (1865), auch 
Papers, Tome III, App. E., p. 255. 


13. Die fundamentalen Gleichungen polytroper Atmosphären. 397 


der Erdatmosphäre, doch ist er hier in Anbetracht der Erdrotation 
dahin zu modifizieren, daß die Richtung „nach oben“ ersetzt wird 
durch Richtung „nach dem Himmelspol“, 


13. Die fundamentalen Gleichungen polytroper Atmosphären.'”) 
Für die wichtigsten Anwendungszwecke genügt es, g als konstant an- 
zusetzen, dann ergibt die Gleichgewichtsbedingung den Temperatur- 
gradienten 


29 m WFUR 
speziell = — nn °/em für die Erdatmosphäre; und für konvek- 
tives Gleichgewicht (n - _—- 2,5) — — 9,17.10-5 Yem, und bei - 
konstanter Dichte (n = 0) = — 3,42 .107* Yem. 

Integriert wird 


Als bequemes Rechensymbol erweist sich die Höhe der polytropen 
Atmosphäre $,, als die Höhe, in welcher die Atmosphäre endigt, in- 
dem 7’ und p gleichzeitig auf Null herabgehen. Es ergibt sich un- 
mittelbar 


(25) LEDER DHL eh)] 


mg 


wenn mit Ö$ die Höhe der homogenen Atmosphäre n —= 0, 0 — const. 
für die Ausgangstemperatur = 0" eingeführt wird. Für die Erdatmo- 
sphäre beträgt die Höhe der homogenen Atmosphäre 7992 (1 + «t,)m, 
die Höhe bei konvektivem Gleichgewicht ist (2,5 + 1) mal größer, 
also 27970 (1 -+ «ti,) m. Nach Einführung der Größe 9 ergeben 
sich unmittelbar die Fundamentalgleichungen der polytropen Atmosphäre 


T=-T(1- E 5) 
(26) elle) 


Sr 5,4 RE) et ) \ 


und als Grenzfall für Isothermie, d.i. n= m», folgt durch Grenz- 
übergang 





h h 
(26a) = 9e HA tat), p=pe Hair+asi)y 


19) R. Emden, Beiträge zur Thermodynamik der Atmosphäre, 1. Mitt. Meteor. 
Ztschr. 33 (1916), p. 251. 


398 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


welche Beziehung auch aus der bei Isothermie geltenden Gleichge- 
wichtsbedingung ee an. 
edh mpdh 
gewonnen werden kann. Die Grenze dieser Atmosphäre liegt selbst- 
verständlich im Unendlichen. Die Werte mit dem Index O0 beziehen 
sich auf das Ausgangsniveau A=0. Die polytropen Beziehungen 
gestatten Druck und Dichte explizit in jeder Höhe anzugeben, falls 
die Ausgangswerte und der Temperaturgradient (Polytropenklasse) 
vorliegen. 
Die Umkehr von (26) liefert die polytrope Höhenformel 


(27) "= $,(1+ eb) E — ey] 


Po 
während die bisher allein gebräuchliche (isotherme) Höhenformel 
(27a) h=&(1- af) ie 


sich durch Umkehr von (26a) ergibt. Sie ist zuerst von Halley?) 
angegeben. Verfeinerungen derselben, namentlich mit Rücksicht auf 
die Variabilität von g, Wasserdampfgehalt, Krümmung der Schichten 
werden praktisch illusorisch, da es meistens nicht möglich ist, die 
Mitteltemperatur ? genau genug zu ermitteln. Selbst wenn bei streng 
linearem Temperaturgefälle diese Mitteltemperatur als arithmetisches 
Mittel angesetzt wird, ergeben sich Werte von oe und p, die von den 
richtigen Werten, wie sie durch die polytrope Beziehung geliefert 
werden, abweichen. Die Anwendbarkeit der polytropen Höhenformel 
hat H. Cramer*') behandelt. 

Nimmt die absolute Temperatur im gleichen Verhältnis zu wie 
der Wert von g, so bleiben die Höhe der homogenen Atmosphäre 
und damit die Beziehungen (26) unverändert. Auf der Sonne ist 
g9= 21,2 größer als auf der Erde. In einer Sonnenatmosphäre, die 
über einer Schicht von 27,2-.273 — 7425° liegt, gelten quantitativ 
dieselben Beziehungen, wie in einer Erdatmosphäre von t = 0° Boden- 
temperatur. 

Durch Integration über odh findet sich die Masse der Atmosphäre 
unabhängig von n zu 


(28) M—= (1 + at)H g/em? 


20) E. Halley, London Roy. Phil. Soc. Trans. (1686). 
21) H. Oramer, Zur Anwendung der polytropen Höhenformel, Meteor. 
Ztschr. 34 (1917), p. 87. 











14. Periodisch wiederkehrende Irrtümer. 399 


und die Höhe des Schwerpunktes zu 


1 
(28a) H,— nn, H(1-+ et,) em. 
Für eine beliebig aufgebaute Atmosphäre, die in einer Höhe H endigt, 


ergeben sich die thermische Energie 





H HA 
1 2 
(29) U c,Tdm = wu” pdh Erg/cm’ 
0 0 
und die aufgespeicherte potentielle Energie 
H H HA 
(30) 2—= (ghdäm =— | hdap =|[ pdh Erg/em?, 
rel 
so daß hier als Seitenstück zu der Gleichung (3°) die Beziehung gilt 
1 
(31) U= — 2. 


Für polytropen Aufbau lassen sich die Integrale sofort angeben 


(294) T— er IMHA + ct,) = —9MEH, Erg/cm? 








x»—1in-+2 
(302) A-NTZIMH + at) — 9MH,Erg/om’ 
und für die gesamte vorhandene Energie folgt 
(31a) E=U+2— ._— 9MH, Erg/em?.?®) 


14. Periodisch wiederkehrende Irrtümer. a) Der Temperatur- 
gradient einer Atmospäre im konvektiven Gleichgewicht ergibt sich 
einfach wie folgt: In der Beziehung 


(a) dQ=c,dT+ Apdv — «AT — A—-dp 


wird adiabatisch IQ = 0 gesetzt; da die Gleichgewichtsbedingung 
stets o"!dp = — gdh lautet, folgt 


(b) T+4Agh = const. = c,T, + Ayh,. 
Dies gibt, dd A=(,— 0)5; den oben angegebenen Temperatur- 


gradienten. Es ist aus dieser Ableitung unmittelbar klar, daß die 
Abkühlung das Äquivalent der Expansionsarbeit der aufsteigenden 
Gasmassen darstellt. Doch gelangten Guldberg und Mohn??) irrtüm- 


22) Diese wichtigen noch wenig beachteten Beziehungen sind zuerst von 
4A. Ritter in seiner 4. und 5. Abhandlung aufgestellt, auf allgemeinere und über- 
sichtlichere Weise von R. Emden abgeleitet worden. 

23) Guldberg und Mohn, Über die Temperaturänderung in vertikaler Rich- 
tung der Atmosphäre, Meteor. Ztschr. 13 (1878), p. 113. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VL2, 2. 26 


400 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


lich zu einer anderen Interpretation des Vorganges. Nach ihnen wird 
die dem Glied c,7' entsprechende Abkühlung nicht zur Expansions- 
ärbeit, sondern zur Vermehrung der potentiellen Energie Agh, also 
zur „Hebearbeit“ verwendet. Dieser Irrtum hat leider Wurzel gefaßt 
und die Gleichung (b) wird infolgedessen unmittelbar gemäß dieser 
Überlegungen angeschrieben (obwohl unbestimmt bleibt, welches c 
anzusetzen ist), statt aus (a) abgeleitet. Auch die Arbeiten Ritters 
sind von diesem Irrtum nicht frei. Es wird übersehen, daß im luft- 
leeren Raum ein durch eine gewichtslose Hülle abgegrenztes Quantum 
von selbst nicht aufsteigt, in einer Atmosphäre aber nur dann, wenn 
das verdrängte Luftquantum schwerer ist, so daß gegen die Schwer- 
kraft überhaupt keine Arbeit geleistet, sondern von dieser gewonnen 
wird. In einer vertikal durchgerührten Quecksilbermasse müßte sich 
wegen der Kleinheit der Wärmekapazität ein gewaltiger Temperatur- 
gradient ausbilden, während sie infolge der Inkompressibilität isotherm 
bleibt. In eindringlicher Weise hat Bezold**) diesen Irrtum dargelegt. 


b) Da die absteigenden Gasmoleküle kinetische Energie gewinnen, 
die aufsteigenden einbüßen, bildete sich die Anschauung aus, als müßte 
sich in einer anfangs isothermen Atmosphäre durch Wirkung des 
Schwerefeldes ein Temperaturgradient ausbilden und sich schließlich 
konvektives Gleichgewicht einstellen. Trotzdem bereits J. ©. Maxwell”) 
nachwies, daß diese Auffassung in Widerspruch mit dem 2. Hauptsatz 
steht, hat sich über dieses Problem eine lebhafte Diskussion ent- 
wickelt. Eine endgültige Lösung wurde durch L. Boltzmann?®) ge- 
geben, der aus dem H-Theorem nachwies, daß äußere Kräfte das 
Maxwellsche Verteilungsgesetz und damit die Temperatur nicht be- 
einflussen. Unter ihrem Einfluß ändern sich in jedem Volumelemente 
wohl Druck und Dichte, aber so, daß der Quotient, also die Tempe- 
ratur, konstant bleibt. Auch neuerdings ist die irrtümliche Auffassung 
wieder aufgetaucht.?”) 


In einer durch Gravitationskräfte zusammengehaltenen Gasmasse 
können diese allein niemals Temperaturdifferenzen schaffen oder vor- 
handene Temperaturdifferenzen aufrecht erhalten. Zur Erzeugung und 
Unterhaltung von Temperaturdifferenzen ist stets ein besonderer Mecha- 


24) W. Bezold, Über die Temperaturveränderung auf- und absteigender 
Ströme, Meteor. Ztschr. 33 (1898), p. 441. 

25) J. ©. Maxwell, Theory of heat, London 1896, p. 320. 

26) L. Boltzmann, Vorlesungen über kinetische Gastheorie I., Leipzig 1896, 
Absch. 2, $ 19, sowie L. Boltzmann und T. Nabl, Kinetische Theorie der Materie, 
Enceykl. VI, Nr. 8 und 12. 

27) Vgl. die Referate von W. Conrad in Phys. Ber. 1924, p. 1240. 


14. Periodisch wiederkehrende Irrtümer. 401 


nismus notwendig, seien es Quell- oder Sinkpunkte für Wärmemengen, 
Strahlungsvorgänge oder Konvektionsströmungen. Erfolgen letztere 
andauernd adiabatisch, so ist konvektives Gleichgewicht die Folge, 
polytropes Gleichgewicht, falls sie mit Wärmezufuhr AQ proportional 
AT begleitet sind. 

ce) Da die isotherme Atmosphäre sich bis unendlich erstreckt, 
suchte man ihren Aufbau genauer darzustellen, indem man nicht, wie 
oben, g konstant setzt. Die einfachste Annahme scheint zu sein, die 
Masse der Atmosphäre gegenüber der Masse des Kerns zu vernach- 
lässigen und g quadratisch mit der Entfernung abnehmen zu lassen. 
Dann folgt die Gleichgewichtsbedingung 

d RTä OR? 

@ Be _ ar 
wobei sich der Index 0 auf die Kernoberfläche bezieht. Die Inte- 
gration liefert 








_ MI0Ro 7 — Ro _R,r Ro 
(b) "nel | os ee 
Geht man zu immer größeren Entfernungen, so ergibt sich 
Ro 
(e) imo= oe ® 


und speziell für die Erdatmosphäre lim og = 0,10%. 

Dieselbe Beziehung folgt selögjyerständlich für den Druck. 

Die Masse der Atmosphäre wirdl}50 unendlich, und Druck und 
Dichte nähern sich mit abnehmender nung nicht dem Werte 
Null, sondern endlichen Grenzwerten. DieseRgsultat wurde zuerst 
von E. Zöllner”) gefunden und seither wieder neu abgeleitet. 
An dem Umstand, daß danach im Weltenraum Dru@%gznd Dichte 
nicht gleich Null werden, sondern unter der Einwirkung Rt Atmo- 
sphären der Himmelskörper von endlicher Größe bleiben, wurden die 
kühnsten Hypothesen geknüpft. Daß diese ganze Betrachtungsweise 
unrichtig ist, hat zuerst M. Thiesen?®) gezeigt. Denn geht man auf 
diese Weise immer weiter nach außen, so nimmt, da og einem end- 
lichen Werte zustrebt, die innen liegende Masse, die zum Werte von 
9 beiträgt, im Verhältnis zur Kernmasse immer mehr zu, so daß nicht 
mit einem Werte von g gerechnet werden darf, der bloß quadratisch 
mit der Entfernung abnimmt. Die Gleichung gilt daher nur solange, 


als von der inneren Gravitation der Atmosphäre abgesehen werden 
darf. 


28) E. Zöllner, Über die Stabilität kosmischer Massen, Leipzig Ber. 1871, 
p. 173. 


29) M. Thiesen, Über die Verbreitung der Atmosphäre, Berlin 1878. 
26* 


402 VIe, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


d) Das Daltonsche Gesetz sagt kurz gefaßt aus, daß in einem 
Gemisch von Gasen kein Gas sich um die Anwesenheit des anderen 
kümmert; dem zuzusetzen ist „bei Isothermie“. Eine Weasserstoff- 
und eine Stickstoffatmosphäre, beide von gleicher Temperatur isotherm 
können ineinander geschoben werden. Liegen aber polytrope Atmo- 
sphären, etwa eine Wasserstoff- und eine Stickstoffatmosphäre in kon- 
vektivem Gleichgewicht vor, die beide mit 0° Temperatur endigen, 
die erste aber in rund 14mal größerer Höhe, so läßt sich das Resultat 
des Ineinanderschiebens nicht ohne weiteres überblicken. Eine sich 
selbst überlassene Gasmasse stellt sich eben auf Isothermie ein; jede 
Abweichung muß durch äußere Einwirkung erzwungen werden. (Vgl. 
oben b.) 


15. Dispersionstemperatur. Bildet man unter der Voraussetzung, 
daß die Masse der Atmosphäre klein ist gegenüber der Masse des 
Kerns, die Gleichgewichtsbedingung für ein g, das quadratisch mit 
der Entfernung abnimmt, so ist anzusetzen 





a NEE. m HR“ 
(a) en n+ı)R r? Br; 


wobei sich der Index 0 auf die Kernoberfläche bezieht, und daraus 
ergibt sich 

R/1 1 
(b) T=-21- 25] 


RER Mg, 
wo = nIDR T. 


Die Grenze der Atmosphäre 7= 0 ist somit gegeben durch 


die Höhe der polytropen Atmosphäre bedeutet. 


R 
(32) R-—; RN 
au ee 1 | 





d. h.: Ist die Masse eines Himmelskörpers groß gegen die Masse seiner 
Atmosphäre und ist seine ÖOberflächentemperatur so hoch, daß die 
Höhe 9, einer polytropen Atmosphäre von der Klasse % bei kon- 
stantem Werte von g, berechnet gleich seinem Radius wird, so er- 
streckt sich letztere in Wirklichkeit bis in die entfernteste Region. 
Ein Überschreiten dieser Oberflächentemperatur würde eine Zerstreuung 
dieser Atmosphäre zur Folge haben. Für jeden Weltkörper gebt es 
eine Oberflächentemperatur, bei deren Überschreitung seine Anziehungs- 
kraft nicht mehr hinreicht, eine Atmosphäre vom nicht zu großer Masse 
von bestimmter Gasart und Polytropenklasse um sich zu halten. Diesen 
Satz hat zuerst Ritter in seiner 7. Abhandlung für Atmosphären in 
konvektivem Gleichgewicht aufgestellt. Für die homogene Atmosphäre 


15. Dispersionstemperatur. 16. Einfluß der Kondensierbarkeit der Gase. 403 


Ö 


BT, 


0 





und Wasserstoff ergeben sich z. B. folgende Werte für 
Erde 7Z,=15 :10% 


Jupiter — 4,08.10° 
Sonne —= 4,47.10° 
Mond = 695°, 


Für Polytropen der Klasse » sind diese Zahlen durch +1 zu 
dividieren, für andere Gase im Verhältnis zu dem Molekulargewicht 
zu vergrößern. Diese Grenztemperaturen sind für eine Wasserstoff- 
atmosphäre im konvektiven Gleichgewicht für den Mond — 75° C, 
für den Mars 590° C und für die Erde 4560° C. 

Diese Zahlen gewinnen an Bedeutung bei Erörterung der Tempe- 
ratur, die ein abkühlender Weltkörper erreicht haben muß, ehe eine 
Scheidung in Kern und Atmosphäre möglich ist. | 


16. Einfluß der Kondensierbarkeit der Gase. Die fundamen- 
talen Gleichungen der polytropen Atmosphären (Nr. 13) sind abge- 
leitet unter Voraussetzung vollkommener Gase für das ganze Tempe- 
raturintervall von 7 bis 0. Praktische Gültigkeit haben sie nur, 
solange diese Voraussetzung noch erfüllt ist, wobei die Höhen der 
polytropen Atmosphäre als bloße Rechensymbole aufzufassen sind. 
Ob den so berechneten Höhen als wirkliche Grenzhöhen der Atmo- 
sphäre tatsächliche Bedeutung zukommt, hängt davon ab, ob bei den 
zu erwartenden tiefen Temperaturen sich die Kondensierbarkeit der 
Gase geltend macht. (Strahlungseinflüsse, welche das Zustandekommen 
dieser tiefen Temperaturen möglicherweise ändern können, sollen bei 
dieser Betrachtung selbstverständlich ausgeschaltet bleiben.) Der Auf- 
bau einer Erdatmosphäre aus Stickstoff im konvektiven Gleichgewicht 
unter Berücksichtigung seiner Kondensierbarkeit ist von Goldammer ®®) 
untersucht worden. Die Genauigkeit der Rechnung dürfte die in 
Betracht kommende Größenordnung richtig ergeben. Als Bodenwerte 
sind angenommen 9, —= 760 mm, 7, = 2%W= 17°C. Als wichtigstes 
Resultat ergibt sich, daß die Adiabate des vollkommenen Gases die 
Dampfspannungskurve des flüssigen Stickstoffes nicht schneidet. Die 
Phase des vollkommenen Gases geht also unmittelbar in die Phase 
des festen Stickstoffes über, bei einer Temperatur 7 = 50,4 und einem 
Drucke von p=1,9 mm. Die Atmosphäre endigt in einer Höhe 
von 62 km. Die Höhe einer entsprechenden Sauerstoffatmosphäre 
schätzt Goldammer auf 70—75 km. Dieser theoretische Nachweis 








30) D. A. Goldammer, Über die Natur der flüssigen Luft, Festschr. für 
L. Boltzmann, Leipzig 1904, p. 410 


404 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


der Möglichkeit festen Stickstoffs und Sauerstoffs in den höchsten 
Schichten der Atmosphäre erlangt Bedeutung für neuere Ansichten 
über die Entstehung des Nordlichtes, immer vorausgesetzt, daß sich 
trotz Einfluß der Sonnenstrahlung diese tiefen Temperaturen einstellen. 

Überlegungen über die Höhe einer Wasserdampfatmosphäre finden 
sich bei A. Ritter in seiner 7. Abhandlung. 


Von großer Bedeutung für die Meteorologie ist das Verhalten 
aufsteigender feuchter Luft. Diese Untersuchungen dürften abgeschlossen 
sein durch Arbeiten von H. Hertz?!) und O. Neuhoff??) mit reichen 
Literaturangaben. 


D. Gaskugeln. 


17. Aufstellung der Differentialgleichung. Der Wert von g im 
Abstand von r ist bestimmt durch die tiefer liegenden Massen. In- 
folgedessen schreibt sich die Bedingung mechanischen Gleichgewichtes 
im Innern einer Gaskugel mit Hilfe der Gleichung (11) 





d 2 de PR 
a) dag en free; eu, 
h 


und daraus folgt durch nochmalige Differentiation als Differential- 
gleichung der polytropen Gaskugeln 


2 du N An am kile 


d?u n 
0) at tee; 2 Ta ss. WO. 


Diese Gleichung ist zuerst von A. Ritter veröffentlicht in seiner 3. Ab- 
handlung (1878), doch ist die mathematische Fassung des Problems 
bereits gegeben durch Homer Lane®??) durch zwei Gleichungen, welche 
die Gleichung (I) ersetzen (1869). Auch hat bereits Laplace®*) sich mit 
Problemen ähnlicher Art beschäftigt, und scheint diese Differential- 
gleichung gekannt zu haben (Nr. 18). Lord Kelvin?) ersetzt den 

31) H. Hertz, Graphische Methoden zur Bestimmung der adiabatischen 


Zustandsänderungen feuchter Luft, Meteor. Ztschr. I (1884), p. 421 = Gesamm. 
Werke I, Leipzig 1895. 

32) O. Neuhof, Adiabatische Zustandsänderung feuchter Luft und deren 
rechnerische und graphische Bestimmung, Berlin, Meteor. Inst. Abh. I (1909), 
Nr. 6. 

33) Homer Lane, On the theoretical temperature of the sun, Amer. Journ. 
of sc. 4 (1887), p. 57. 

34) Thomson and Tait, Natural Philosophy II, Cambridge 1908, $ 824. 

35) Lord KeWwin, The Problem of a spherical gaseous nebula, ergänzt 
durch G. Green, Phil. mag. 15 (1908), p. 687, sowie 16 (1908), p.1. 





17. Aufstellung der Differentialgleichung. 405 


Radius durch den reziproken Wert 2 = —, wodurch sich die schein- 


bar einfachere Form 
d’u au” 


dx? 2 


=) 


ergibt. Ist die Gasart (m) gegeben, so kann die Polytropenklasse n 
und die polytrope Temperatur ®, beliebig gewählt werden, und da 
die Differentialgleichung zwei Integrationskonstante zur Verfügung 
stellt, scheinen oo* Kugeln möglich. Da aber im Mittelpunkt g und 


somit —. —0 sein müssen, reduziert sich die Anzahl auf &°. Für 


den Mittelpunkt ergibt sich 


d’u A E 
(> RE u bo. 


gleich dem reziproken Werte des Krümmungsradius. 


Soll die Kugel im Endlichen endigen, so muß selbstverständlich 
die Temperatur für endliches r auf 0 abnehmen. 

Die Differentialgleichung der isothermen Gaskugel ergibt sich, 

1 1 

wenn man rYn an Stelle von r und eg” — er? ansetzt und den 
Grenzübergang für n = © ausführt, oder bequemer durch besondere 
Behandlung. Bei Isothermie lautet nämlich die Bedingung mecha- 
nischen Gleichgewichtes 


gs? 


* 


® dp RT Ad 4nG 
(3) an Me __ ge fsagar, 


9 





und hieraus folgt die gesuchte Differentialgleichuug der isothermen Gas- 
kugel 


(U) +2 +Be=0, Br "7ER em}, v= logo. 


Die Anzahl der möglichen Kugeln bei gegebener Gasart ist 00%. Der 
Radius ist selbstverständlich unendlich, da eine Gasmasse im End- 
lichen nicht mit endlicher Temperatur endigen kann. 


Für den Mittelpunkt muß wiederum 62 = () sein und damit er- 
. ” 2 . 
gibt sich (=), — 3 ß?e” als reziproken Wert des Krümmungs- 


radius. Die weitere Untersuchung muß für n < oo und n = getrennt 
geführt werden. 


406 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


18. Lösungen der Differentialgleichung, die sich in geschlos- 
sener Form angeben lassen. 

1.n=0, Dichte oe konstant. Der Druck ist proportional der 
Temperatur. Dann ergibt sich unmittelbar die Lösung 





(34) „-0,+2—-7,; (6-0). 


Druck und Temperatur nehmen mit wachsendem Radius ab und be- 
stimmen durch Null den Grenzradius, bei gegebener Gasart bestimmt 
durch den Wert von Druck oder Temperatur im Mittelpunkt. Die 


Dichte springt beim Durchschreiten der Oberfläche von ihrem kon- 


stanten Wert auf Null. Der Temperaturgradient Ar = — 2 er r 


erzwingt konstante Dichte, ein Seitenstück zu dem Temperaturgra- 





dienten = = — en, der konstante Dichte einer Atmosphäre erzeugt. 
2. n=1; p=-0@29, T=ug,—90, 
Die Lösung ist 
siner cosar 
(35) uw-o—=(, Zr +6 EN (=). 


Die Annahme von Proportionalität des Druckes mit dem Quadrat der 
Dichte wird auch als Laplacesche Hypothese über den Aufbau des 
Erdinnern bezeichnet. Die Folgerungen sind ausführlich bei Thomson 
und Tait”) entwickeit. Zu seiner Annahme wurde Laplace nicht 
durch physikalische Betrachtungen, sondern durch den Umstand ge- 
führt, daß sich die Differentialgleichung (I) in geschlossener Form 
integrieren läßt. Aus diesem rein formalen Grund ist auch der Auf- 
bau von Gasmassen und Staubwolken nach diesem Gesetz mehrfach 
untersucht worden. °®) 


Der Grenzradius R = — ist unabhängig von den Verhältnissen 


im Mittelpunkt, einzig durch ®,, das ist die Temperatur für die 
Dichte 1 bestimmt. 
20 a 
3. n=5; p=o m Tu 0°6,. 


Für eine vollständige Gaskugel ohne Singularität im Mittelpunkt, 
also unter der Beschränkung = —=( fürr=(), ist das Integral 


3U, 
(36) eisen Vi ee 








36) Am eingehendsten von J. T. See, Astr. Nachr. 167 (1905), p. 113. 


18. Lösungen d. Differentialgl., die sich in geschloss. Form angeben lassen. 407 


wohl zuerst von A. Schuster?”) angegeben. Der Radius der Kugel ist 
unendlich. Die Gaskugeln werden sich weiterhin von endlichem oder 
unendlichem Radius ergeben, je nachdem n<5 oder n>5. Die 
Masse dieser Kugel ergibt sich zu 


er VER 
u m Ur ya 8 
also endlich. Wächst » von seinem Minimalwerte O0 an, so werden 
fürn =D die Radien vollständiger Gaskugeln (ohne Singularität im 
Mittelpunkte) unendlich, während ihre Masse erst für »n>5 unend- 
lich wird. Die Gaskugel » = 5 ist ausgezeichnet dadurch, daß sie mit 
endlicher Masse sich ins Unendliche erstreckt. 


Verzichtet man auf die Mittelpunktsbedingung n —= (), so wird 


man für n—=5 (siehe unter Nr. 39) auf elliptische Funktionen ge- 
führt. Dieser Fall wird bei Behandlung der kugelförmigen Sternhaufen 
Bedeutung erlangen. 

In seiner 8. Abhandlung gibt Ritter an, daß die Gaskugel n=5 
nur aus einer unendlich dichten, punktförmigen Masse besteht. Der 
Irrtum ist dadurch entstanden, daß Ritter als unabhängige Variable 


nicht den Radius r, sondern das Verhältnis 5 


der hier unendlich wird, benutzt. Seine weitere Folgerung „wenn 
die Größe k zwischen den Grenzwerten # und 1, (n>5) liegt, gibt 
es weder einen adiabatischen noch einen indifferenten Gleichgewichts- 
zustand“, ist in seiner zweiten Hälfte nur richtig, wenn k als Ver- 
hältnis der Wärmekapität x angesehen wird. Als Polytropen aufgefaßt, 
ist jeder Wert ° <k<1 zulässig zu einem stabilen Gleichgewichts- 
zustand, falls nur x > 2. 


N der Grenzradius, 


4. Die Differentialgleichung (I) besitzt ferner die singuläre Lösung 


RS 
ii m-i 


(37) en Fr mr] ’ 


die namentlich für Gaskugeln mit oo Radius, nS 5, Bedeutung er- 
langen wird. Aus ihr geht bereits eine ausgezeichnete Eigenschaft der 
Klasse n = 3 hervor. 

Entsprechend besitzt die Differentialgleichung (II) die wichtige. 
singuläre Lösung 
(37a) (-e—- ae 





p*r? 


37) A. Schuster, On the internal constitution of the sun., Brit. Ass. Rep. 
1883, p. 497. 


408 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


19. Über die Differentialgleichung der polytropen Gaskugel. 
Da die Gleichung (I) sich nur in den wenigen angegebenen Fällen 
durch bekannte Funktionen integrieren läßt, ist man größtenteils, so 
auch in dem Falle »—= 3, der sich von hervorragender Bedeutung er- 
weisen wird, zur Auswertung durch mechanische Quadratur gezwungen. 
Um den nötigen Überblick zu gewinnen, hat man das rein mathema- 
tische Problem vor sich, Einblick in die Lösungssysteme dieser nicht- 
linearen Differentialgleichung zu erhalten. Die folgenden Andeutungen 
dieser subtilen Untersuchungen müssen hier genügen; eingehende 
Behandlung ist gegeben bei R. Emden, Gaskugeln, Kap. IV, IX, X, 
XI, XIH und in gedrängter Darstellungsweise in der Besprechung 
dieses Buches durch K. Schwarzschild in der Vierteljahrsschrift der 
Astron. Gesellschaft 43 (1908), p. 26. 


1. Setzt man vu = Uu,, Uder Wert von u fürr—=0 undr = i 


n—i 
au? 
so ergibt sich an Stelle von (I) die von « befreite Gleichung 


; d?u, 2 du, BER 
(38) dx? Fu di, uU” = 0, 


die nur für «, =1 für r, = 0 zu behandeln ist. Aus deren Lösungs- 
kurve u, = f{(t,) folgen die gesuchten Lösungskurven in der Form 





L; 


n—i1 
(39) u= U:f(«U?:r). 
Im Abstand »r = EL t; finden sich die Werte 
« ur—1i 


(40) e= UN, T=Uu9, 2 U"rtiu"r! en 9,, 


und mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung ergeben sich leicht 





(41) a) ,- — er "m 
b) Sy zn 
1 du 
c = — 30" — 
) 0, In 98 udn’ 


0, die mittlere Dichte bis zum Abstande r. 
Aus der letzten Beziehung folgt weiter 


3 du, 
u. dy’ 


d) 


2 |eı 


also unabhängig von den Verhältnissen im Mittelpunkte nur bedingt 
durch die Polytropenklasse Daraus folgt unmittelbar der schon wieder- 


19. Über die Differentialgleichung der polytropen Gaskugel. 409 


holt benutzte Satz: Die Kontraktion einer Gaskugel, die nach derselben 
Polytropenklasse aufgebaut bleibt, erfolgt gleichförmig. 

2. Nach einem bekannten Satz von Sophus Lie kann die Ordnung 
der Gleichung (38) erniedrigt werden. Setzt man 

dz 2 
y=e/V/=et, wur az, 
so folgt die Gleichung 1. Ordnung 
dy , 5— 23 — f 

(42) Et tn mete—0, 
für n—=0 ist sie leicht integrierbar. Die Spezialfälle n = 3 und 
n=5 treten deutlich hervor. 

Der vor allem wichtige Fall »n = 3 (Nr. 59) liefert die einfache 
Gleichung 





d 
yatyte-=0, 


die direkter Lösung sich bis jetzt unzugänglich erwiesen hat. 


[Setzt man n—= 3 in der Thomsonschen Form der Gleichung (I), 
so folgt die homogene Gleichung 


d’u u\3 
tel) 0, 
die auf die Gleichung erster Ordnung 


dp a?t? 
dt p—ti 





reduziert werden kann, aber weiteren direkten Lösungsversuchen 
ebenfalls unzugänglich scheint. 


3. Der Fall n=5 läßt sich sofort integrieren und liefert 
P—12+;37’=const.—— e. 
Setzt man = (0), so wird man auf die oben angegebene Lösung 
mit Ze —=() im Mittelpunkt geführt. Mit Zulassung der Singularität 


im Mittelpunkt ist die Lösung von H. v. Zeipel?®) gegeben. Durch 
die Substitution 


& 





a : — 
) ® I-p 
ergibt sich für » die Beziehung 


b) (5) - 4p®? —ap-+b 


38) H. v. Zeipel, Recherches sur la constitution des amas globulaires, Stock- 
holm Ak. Handl. 5) (1913), Nr. 5. 


410 VIs,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


der elliptischen Funktionen und weiterhin die Lösung 
5 


\ a8 
(43) dl u Er 2 2 
die bei Behandlung der kugelförmigen Sternhaufen (Nr. 39) von 
Wichtigkeit sein wird. 

4. In allen anderen Fällen ist man auf die qualitative Diskussion 
der Lösungskurven y = f(z) angewiesen. Indem man die Kurven 


dy 


gleicher Fortschreitungsrichtungen , — const. entwirft, lassen sich 
2 


von irgendeinem Punkt der y, z-Ebene ausgehend die Lösungskurven 


zeichnen. Es ergibt sich so ein ausgezeichnetes Beispiel zu Poincares 
topographischer Untersuchung von Lösungskurven. 
Die singulären Punkte sind A durch die Bedingungen 


son 
(a) y-0; tete, 
die für n< 3 nur den einen reellen Din 0 
(a) By 0, eo 0, 


für n>3 noch einen zweiten Punkt O, 
1 


Z (nm —3 n—1i 
(a ) Ken 0, Be Fe n =Z 
ergeben. Aus diesen beiden singulären Punkten ergeben sich sofort 
die singulären Lösungen (37) 


1 
2(n — 3) 1 m-1 
at Mesa 0, has Zrmar‘ 42 1)? =] n 





Die Untersuchung des Verhaltens der Lösungskurven in den singu- 
lären Punkten bietet keine Schwierigkeit. Zeigt die Kurve u, = ft) 
für r, = 0 keine Singularität, so verlassen die y-Kurven den Punkt 0 


in Richtung der Geraden y + -—— z2=0. Aus dem Verhalten der 


übrigen Kurven läßt sich nmgekehrt der wichtige Satz folgern: Für 
t,—=0 ist u, allgemein von der Form 


C, 
(b) u, PM 


Bei dieser Untersuchung tritt ein-neuer kritischer Wert von r 
auf als Wurzel der Gleichung 


(e) Tn?—22n —1=0; n = 3,18763, 


der aber für Gaskugeln ohne Singularität im Mittelpunkt keine Be- 
deutung erlangt. 


19. Über die Differentialgleichung der polytropen Gaskugel. 411 


Die für Gaskugeln ohne Singularität im Mittelpunkt (vollständige 
Gaskugeln) in Betracht kommenden Lösungskurven verlassen den sin- 
gulären Punkt O in Richtung des 4. Quadranten, wenden sich dann 
nach links, um bei z>Z die z-Achse senkrecht zu durchsetzen. 
Weiterhin tritt der kritische Wert n — 5 in Erscheinung. Für n<5 
geht die Kurve zu kleineren z, um in den positiven Teil der y-Achse 
einzumünden bei Ordinaten, die mit » abnehmen. Für » = 5 mündet 
die y-Kurve, eine symmetrische Schleife bildend, wieder in den Aus- 
gangspunkt O ein. Für n>5 werden die Kurven durch den 2. sin- 
gulären Punkt 0, (y=0, 2=Z) abgefangen, den sie in immer enger 
werdenden, links gewundenen Spiralen umschlingen. (Daraus ergibt 
sich unendlich oft der Wert der Abszisse 2 = Z.) 

Ist die Differentialgleichung erster Ordnung hiermit erledigt, so 
ist aus den Lösungskurven y = f(z) zurückzuschließen auf die Lösungs- 
kurven u, =f(t,) der Differentialgleichung (38). 

dz 


Aus der Beziehung t, —e J Y und der Form der y-Kurven er- 
gibt sich sofort, daß längs einer y-Kurve r, beständig zunimmt. Ein 
Schnitt der y-Kurve mit der Ordinatenachse hat (abgesehen von dem 
Falle r, = 0) immer einen Schnitt der «,-Kurve mit der r,-Achse zur 
Folge. Da aber mit u, auch Temperatur, Druck und Dichte gleich 
Null werden, ist durch diesen Schnitt die Oberfläche der Kugel be- 
stimmt. 

Das Einmünden der y-Kurve in die y-Achse hat stets endliches, 
das Einrücken in die 2-Achse bei endlichem z stets unendliches r, 
zur Folge. Daraus folgt für vollständige Gaskugeln: n<5 die Gas- 
kugeln endigen mit endlicher Masse im Endlichen; na >5 die Gas- 
kugel endigt im Unendlichen. Da die Spirale der y-Kurve die Z- Achse 
unendlich oft bei dem Werte z —= Z schneidet, folgt, daß die u,-Kurve 

1 
a wo ie; diese unendlich 
oft schneidend, als asymptotischer Lösung immer mehr anschließt. 
Daraus läßt sich leicht folgern, daß diese Kugeln mit 7,2, og = 0 
im Unendlichen endigen. Während aber die Kugeln a <5 mit end- 





sich der singulären Lösung u, 


h d \ i 
lichen Werten von . also auch von = endigen, laufen die Kugeln 
1 


n >5 in bezug auf er asymptotisch aus. Die Bedingung mechanischen 
1 

Gleichgewichtes ergibt dann: Der Wert von g an der Oberfläche einer 

Gaskugel ist für n < 5 endlich, für n>5 gleich Null. Für n<5 haben 


die Kugeln eine scharf ausgeprägte Oberfläche; in der geringsten 
endlichen Tiefe sind 7, p, og > 0; fürn > 5 laufen sie asymptotisch aus. 


412 VI, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Da die Masse gr’ = r? N ist, folgt: Die Masse der Gaskugeln 


ist für n< 5 endlich, für n > 5 unendlich. Die Gaskugel n = 5 ver- 
mittelt den Übergang; ihre Masse ist noch endlich [wie ihre direkte 
Berechnung Gl. (36a) zeigt]. 


20. Numerische Auswertung der Differentialgleichung. Hat 
man in der Differentialgleichung (I) die Gleichung 
d’u, 2 du SER 
(38) PER, Se di, + u, —=( 


reduziert, so ist deren Lösung für u —=1 und a — 0 biy=0 
1 


numerisch festzulegen. Auswertungen durch mechanische Quadratur 
liegen für einzelne » mit mehr oder minder großer Genauigkeit 
vor von Homer Lane??), W. Thomson®), Ritter und W. Voigt.*”) 
Für die Werte n=0, 05, 1, 15, 2, 2,5, 3, 4, 45, 4,9, 5 und 6 
hat R. Emden“) nach einem Verfahren von Kutta, das den üb- 
lichen Methoden der mechanischen Quadratur hier weit überlegen 
ist, die Lösung mit fünfstelliger Genauigkeit ausgewertet. Weitere 
Werte für » = 6,5, 7, 7,5 und 8 sind von H. v. Zeipel??) angegeben. 
Werte mit vierstelliger Genauigkeit berechnet, finden sich in einer 
unvollendeten, durch G.Green ergänzten Arbeit von Lord Kelvin.°?) 


a) Gaskugeln von endlichem Radius. 


21. Thermische Energie und Eigenpotential einer polytropen 
Gaskugel. In Nr. 6 ergab sich bereits zwischen thermischer Energie 


. h h U 1: AN » 
und Eigenpotential einer Gasmasse „ — — 36T)’ wobei in einer 


konzentrisch geschichteten Kugel 2—= — G 4 a zu setzen ist. 


Da zuerst E. Betti*'), dann auf einfachere Weise A. Ritter (in der 
8. Abhandlung) für adiabatische, und weiterhin W. Voigt?) für poly- 
trope Gaskugeln eine zweite Beziehung zwischen U und 2 abgeleitet 
haben, gelingt es, diese Größen einzeln zu berechnen. Diese zweite Be- 
ziehung ergibt sich wohl am einfachsten wie folgt. Da allgemein 


R 
(a) —- TdaM, = = (#,7— [m,ar), = ir afaar Erg, 
0 


0 


39) W. Voigt, Thermodynamik I, Leipzig 1903, $ 86. 

40) R. Emden, Gaskugeln, Kap. V. 

41) E. Betti, Sopra l’equilibrio di una massa di gas perfetto isolata nello: 
spazio, Nuovo Cim. 7 (1880) p. 26. 


22. Kosmogenetische Flächen. 413 


und speziell für polytropen Aufbau die Gleichgewichtsbedingung 








(n +1) = dT = — gdr erfüllt sein muß, folgt weiter 
G M? MdM\R 
7 Nere.7, itoar - er ae 
(b) 
1 GM? 
Tem dR>D I I 22). 


Somit ergibt sich für polytrope Gaskugeln mit endlichem Radius 
L EM’ U 








er eg Vi ne Wecc 
und speziell für konvektives Gleichgewicht 

BERN. 3(& — 1) EM? 
4) Ua 2 ne 


Das Eigenpotential der polytropen Kugel ist (selbstverständlich) un- 
abhängig von der Natur des aufbauenden Gases. Wandelt sich eine 
polytrope Kugel bei konstantem Energieinhalt um in eine Kugel von 
anderer Polytropenklasse, so kann aus (44) der neue Radius abgeleitet 
werden. 

Für n—=5 wird der Radius unendlich. Da sich aber in diesem Falle 
die Differentialgleichung I in geschlossener Form integrieren läßt, 
erhält man durch direkte u... des Integrales 


9z R 
U-.. EIN; 2 — 7m hl 


wo 7, die ini: bedeutet. 


22. Kosmogenetische Flächen. Liegt für ein bestimmtes n die 
Lösungskurve u, = f(t,) vor, also für die Mittelpunktsdichte 1 und 
«= 1, so sind, wenn die Mittelpunktsdichte U” und «? gegeben, zu 
setzen ; 

w-U, tr}, 


n—1l 


a 





und der Aufbau der Kugel ist somit eindeutig bestimmt. Es gibt daher 
bei gegebener Gasart und Polytropenklasse oo? Gaskugeln. Eine dieser 
Gaskugeln ist demnach durch zwei unabhängige Daten völlig be- 
stimmt. Aus diesen zwei Daten läßt sich jede gewünschte dritte An- 
gabe über die Gaskugel ableiten. Die so entstehende Beziehung zwi- 
schen je drei Bestimmungsstücken einer Gaskugel wird von R. Emden 
als kosmogenetische Flächengleichungen bezeichnet. Sie erleichtern 
ungemein die Anwendung der Theorie auf einen gegebenen Fall. Sind 
für eine Gaskugel und bei gegebener Gasart von bestimmter Poly- 


414 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


tropenklasse zwei der Größen Masse WM, Radius R, Mittelpunktstem- 
peratur 7,, Mittelpunktsdichte o,, Mittelpunktsdruck p,, polytrope 
Temperatur ®,, thermische Energie U oder Selbstpotential 2 gegeben, 
so lassen sich die übrigen sechs Größen sofort angeben. Zwei dieser 
Beziehungen sind in den Gleichungen (44) bereits angegeben. Als 
weitere Flächengleichungen ergeben sich 

GR’ 


TR N* 
(45) x = Ei nl 


Damit sind die Mittelpunktswerte, Druck, Temperatur und Dichte aus 
M und R bestimmt, und damit auch das Übersetzungsverhältnis der 
Kurven f(t,) in die Kurven f(r), wodurch der Aufbau der Kugel in 
absolutem Maße gegeben erscheint. Die Konstanten der kosmogene- 
tischen Flächengleichungen sind von R. Emden mit fünfstelliger Ge- 
nauigkeit angegeben in Gaskugeln, Kap. VII. 

Von Wichtigkeit ist die Flächengleichung 

(9) — 0 

men" 
mit der Folge: Zieht sich eine Kugel konstanter Masse zusammen, so 
werden an Stellen gleicher Dichte für n > 3 höhere, für n < 3 niedri- 
gere Temperaturen (Drucke) angetroffen. (Damit ist eine von W. Thom- 
son‘?) besonders betonte Ausführung richtigzustellen.) 

Für n=3, welcher Fall sich weiterhin bei Einführung des 
Strahlungdruckes von Bedeutung ergeben wird, bleibt ®,, also Tem- 
peratur und Druck an Stellen gleicher Dichte, unabhängig vom Ra- 
dius R. Für gegebene polytrope Temperatur und gegebene Masse 
lassen sich dann Kugeln von beliebigem Radius aufbauen. Kosmo- 
genide und aufbauende Polytropen fallen zusammen, und es kommen 
beim Kontraktionsprozeß lediglich verschiedene Stücke der aufbauen- 
den Polytropen n—= 3 auf dem Radius zur Abbildung. 








b) Gaskugeln von unendlichem Radius. 


23. Die isotherme Gaskugel. Obwohl von geringerem Interesse, 
denn ihre Masse ist unendlich, wurde die isotherme Gaskugel mehr- 
fach untersucht. Die Gewohnheit, die Erdatmosphäre mit Rücksicht 
auf die barometrischen Höhenmessungen isotherm anzusetzen, legte es 
nahe, den Aufbau isothermer Gasgebilde auch mit Berücksichtigung 


42) W. Thomson (Lord KeWwin), Über die Wärme der Sonne. Populäre 
Vorträge, deutsche Übersetzung, Berlin 1881, p. 281. Es betrifft den in der An- 
merkung, Paradoxon, geschilderten Tatbestand. 





23. Die isotherme Gaskugel. 415 


innerer Gravitation zu behandeln. Die sich ergebende Differential- 
gleiehung ist in Nr. 17 und 15 angeführt, ebenso die singuläre 
Lösung, Oe e = Zi x 

Bei geeigneter Wahl der Einheiten ergibt sich 


d?v, 2 dv, 
—+et—(. 


(ET) Br. Zu 


Ihre Ordnung läßt sich auf verschiedene Weise erniedrigen. Setzt man 


dz 
a) En vlg, =—2lgy +2, 


so ergibt sich die Gleichung 1. Ordnung als Seitenstück zur Glei- 
chung (42) 


(48a) Y > —y—2+e=0 [Emden]. 
Andere Substitutionen ergeben 

b) 2ay — (a +y+1)—0 [Thiesen].*) 
e) | var ta+y—2—0 [Au]“) 

d) Yy er — (— 2y—D)=0 [v. Seeliger].*) 


Die Gleichungen von der Form a) und b) wurden mit Hilfe der topo- 
graphischen Methode von Emden und Thiesen?”) untersucht. In der 
Darstellung a) tritt nur ein singulärer Punkt auf 

y0) e=2; 
in ihm laufen alle Lösungskurven zusammen. Er liefert die singuläre 
Lösung 
(49) = edı — 


| 6) 


T 


mo 


Die der Mittelpunktsbedingung t, = 0, v, = logge, — 0 entsprechenden 
y-Kurven entspringen bi z= — x, y=2 mit d8 —= (0), umkreisen 


den singulären Punkt in links gewundenen, enger werdenden Spiralen, 
um nach unendlich vielen Umläufen in denselben einzumünden. Da- 
bei kommt es zu unendlich vielen Schnitten mit der Ordinate im sin- 
gulären Punkt, Schnittpunkten der Hauptlösung und singulärer Lösung 
entsprechend. Außer dieser ausgezeichneten Lösung gibt es noch einen 
zweiten Typus von Lösungskurven; sie entspringen sämtlich bei 





43) @. W. Hill, On the interior constitution of the Earth, Ann. of Math. 
II (1888), p. 19. 
44) H.v. Seeliger, Vorlesungen über die Figur der Himmelskörper. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 27 


416 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


2Z=— %, y= —- oo. Diese gewinnen Bedeutung bei Gaskugeln mit 
starrem Kern (Nr. 27). Aus der ausgezeichneten Lösung y = f(2) 
kann auf das Verhalten der gesuchten Lösung o, = f(t,) geschlossen 
werden. Es ergeben sich folgende Resultate: 

Druck und Dichte einer isothermen Gaskugel werden erst für un- 
endlich große Werte des Radius gleich Null. Für immer größer wer- 
dende x, schmiegt sich die Hauptlösung der singulären Lösung, die sie 
an unendlich vielen Stellen durchsetzt, immer enger an. Je größer t,, 


desto genauer kann o, durch = dargestellt werden. Für t, = © ist die 
1 


Übereinstimmung vollständig. 

Die Masse einer isothermen Gaskugel von endlicher Mittelpunkts- 
dichte ıst unendlich. 

Der Wert von g, ebenso die mittlere Dichte nähern sich mit 
wachsendem r, asymptotisch dem Werte Null.*) 

24. Energetik der isothermen Kugel. Von homogener Kon- 
traktion und ihren Konsequenzen kann hier selbstverständlich nicht 
mehr die Rede sein. Auch ist die innere Energie U der ganzen 
Gasmasse, c, ih TadM unendlich. Doch ergibt eine einfache Rechnung 


das Verhältnis zum Selbstpotential, 


2 U 1 
(50) N a TE 





an Stelle von — En 

#—1) 
Da wir stets dQ=dU—dW=dU-+dR haben, folgen die den 
Gleichungen (19) entsprechenden Beziehungen 


bei polytropen Kugeln mit endlichem Radius. 


3 d 3 — 2% d 

Ändert sich durch Temperatursteigerung der Energiegehalt und das 

Selbstpotential, so kann eine Wärmeabgabe nur eintreten, solange 

#>3. Dies ist nur möglich für 1-atomige Gase, während für poly- 

trope Kugeln vom endlichen Radius auch 2-, an der Grenze noch 
45) Mit fünfstelliger Genauigkeit ist die Lösungskurve dv, = f(t,) ausge- 

wertet von R. Emden (Gaskugel, Kap. 9). In guter Übereinstimmung damit steht 

eine numerische Auswertung von @. Green®°); Zahlenwerte sind auch angegeben 

von A. Ritter (13. Abh.). Ist die Mittelpunktsdichte e=P und die Temperatur 7' 

gegeben, so sind die berechneten g, im Verhältnis P zu erhöhen und an Stellen 

r, die Abszisse A 

a 

Er BYP yPe 4rmG 


zu setzen. Über eine weitere numerische Auswertung siehe @. W. Hill. *°) 


r 


26. Gaskugeln in starrer Hülle. 417 


3-atomige Gase dazu befähigt sind. Die Steigerung der Temperatur bei 


i 1 
Massenumlagerung verzehrt hier den 30T) 
1 


Kugeln den de Teil der geleisteten Arbeit. 


25. Polytrope Kugeln n > 5. Ihre charakteristischen Eigen- 
schaften sind bereits in Nr. 18 angegeben. Da ihr Radius unendlich, 
kann von homogener Kontraktion nicht gesprochen werden. Bei 
Energieabgabe verschieben sich nur die Massen auf dem Radius. Wie 
die Masse ist auch der Gehalt an innerer Energie unendlich, doch 
läßt sich auch hier das Verhältnis U zum Selbstpotential & (das eben- 
falls oo ist) berechnen. Es wird 


Teil, bei polytropen 


U n—1 1} 








(52) BPrerTsann ’RHeW 
für n—= 5 in den auch für n< 5 geltenden Wert 65 und für 
N = % in den für isotherme Kugel berechneten Wert — en über- 
gehend. Da stets 49 = dU— daW=dU-+dLR gibt, folgt 
AA AU _M- DVD (n+1)2a—1) 
Ne mat aan 
{ AAN eurer Anz ul er BA. 
(93b) ee NE 


Während für n<5 und n—= x der Energieumsatz nur durch das 


Verhältnis x = = bedingt ist, kommt für 5 <n < oo auch die Poly-. 


tropenklasse in Betracht. Damit bei zugeführter Arbeit Wärme ab- 
gegeben werden kann, muß x > a, sein. 


2(n +1) 


ce) Gemischte Systeme. 


26. Gaskugeln in starrer Hülle. Nimmt man von einer Gas- 
kugel, die außerhalb des Radius r liegenden Gasmassen weg und er- 
setzt sie durch eine starre.Hülle, so bleibt der Kern unverändert im 
Gleichgewicht, da die Hülle, ohne Kraftlinien ins Innere zu senden, 
den Gasdruck äquilibriert. Wir können deshalb die Aufgabe stellen 
einen kugelförmigen Hohlraum in starrer Hülle derart mit Gas zu 
füllen, daß dasselbe unter Einfluß innerer Gravitation im Gleich- 
gewicht bleibt. Das Studium von Weltkörpern, deren Oberfläche er- 
starrt, deren Inneres mit einem Medium erfüllt ist, in welchem der 
Druck einer beliebigen Potenz der Dichte proportional ist, führt zu 
diesem Problem. 


47° 


418 ' VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Aus jeder vollkommenen Gaskugel lassen sich durch Wahl des 
Schnittradius oo viele unvollständige Gaskugeln herstellen. Um diese 
unvollständige Gaskugel zu bestimmen, sind demnach nicht mehr zwei, 
sondern drei Bestimmungsstücke erforderlich, für welche man am 
besten Masse M, Radius A und polytrope Temperatur ® wählt. 
Während nun Gaskugeln mit Polytropen n< 5 nichts Besonderes 
bieten, indem es nur darauf ankommt, ein geeignetes Teilstück r, auf 
dem Radius R abzubilden, kommen für n>5 die Oszillationseigen- 
schaften zur Geltung, die sich aus der spiraligen Umkreisung des 
singulären Punktes 0, durch die Lösungskurve y=f(2) (Nr. 19) er- 
geben. Es zeigt sich, daß die drei angeführten Bestimmungsstücke 
den Aufbau nicht mehr eindeutig bestimmen. Diese Verhältnisse sind 
zuerst untersucht von A. Ritter (13 Abh. Nr. 53). Die vollständige 
Lösung ist gegeben von R. Emden (Gaskugeln). 

Die wichtigsten Ergebnisse sind: Mittelpunktsdichte, Oberflächen- 
dichte und mittlere Dichte werden mit 9,, oe und 9 bezeichnet; be- 
quem erweist sich die Einführung der Höhe, der an der Oberfläche 
errichtet gedachten homogenen Atmosphäre, 

n— 5 a“ Se 

a) Isotherme Kugel. Eine gegebene Gasmasse W kann als iso- 
therme Gaskugel in starrer Hülle vom Radius R bei oo vielen Tem- 
peraturen und dadurch bedingten unendlich vielen verschiedenen An- 
ordnungen der Masse im Gleichgewicht sein. 

Eine isotherme Gaskugel von gegebener Masse und Radius in 
starrer Hülle kann auf unendlich viele verschiedene Arten so aufgebaut 
werden, daß die Höhe der homogenen Atmosphäre Sy gleich dem 
halben Radius wird. 

Die tiefste Temperatur, bei welcher eine isotherme Gaskugel in 
'starrer Hülle bestehen kann, ist dadurch bedingt, daß die Höhe der 
homogenen Atmosphäre Hy = 0,39688 R ist. 

Die Temperatur kann also nie kleiner werden als 
(54a) 0,39688 5°, , dabei ist © — 10,697; © — 32,090. 

Die Oberflächendichte kann nie kleiner werden als 


(54b) 0,26250 = wobei so 18,914, = 300,66, 


ebenso der Oberflächendruck nie kleiner als 


(54) 0,34476 © nn. wo > — 35,766, a — 131,44. 





26. Gaskugeln in starrer Hülle. 419 


Dieser letzte Satz erlaubt eine wichtige Folgerung. Die starre Hülle 
kann ersetzt werden durch das Gewicht einer aufgelagerten Kugel- 
schale von der Masse M_, deren Druck mit abnehmender Dicke selbst- 
verständlich zunimmt und schließlich durch den berechneten Minimal- 
druck getragen werden muß. Daraus läßt sich folgern: 

Bezitzt eine Gaskugel einen isolhermen Kern, so kann die Masse 
derselben nicht mehr betragen als 76,933°, der Masse der ganzen Kugel. 
Der Energieinhalt U einer isothermen Gaskugel in starrer Hülle 
kann nie kleiner werden als 





0,39688 EM? 
(558). a 
Für das Selbstpotential folgt 
(55b) 2 — 47R’p — 3(x — U. 
Die Beziehung der vollständigen Kugel 2 = — men gilt also 


nicht mehr. 

b) Die polytrope Kugel. n>5, Masse Wi und Radius R sind ge- 
geben. Dann sind unendlich viele Werte der polytropen Temperatur 
®, möglich, die stetig angeordnet, vom Werte unendlich ausgehend, 
einen Kurvenzug bilden, der mit unendlich vielen (abnehmenden) 
Maxima und (zunehmenden) Minima einem endlichen Werte zustrebt 
derart, daß die Maxima stets größer, die Minima stets kleiner sind 


wie dieser. Die kleinste polytrope Temperatur wird bedingt durch 
die Stelle, in welcher in G1. (38) die Bedingung u, — ° = erfüllt 
ist. Wird einer dieser Sattelwerte gewählt, so gilt stets e = anea, 
so daß für n = 0 sich die oben angegebene Beziehung für die Kugel 





niederster Temperatur wiederfindet. Der Ausdruck = pendelt mit un- 
endlich vielen Maxima und Minima immer enger diesem Grenzwerte 


zu. Die Stelle des ersten Minimums (absolut kleinster möglicher Wert 


von 2) muß den numerisch berechneten Tafeln durch Interpolation 


entnommen werden. Ebenso pendeln Oberflächendruck und Oberflächen- 
temperatur Grenzwerten zu, gegeben durch die Bedingungen 





” j ıin—3 EM? 
für den Druck: SnfiimM 
in—im EM 


für die Temperatur: re ri 
Für n= oo folgen wieder die Beziehungen der isothermen Kugel. 
Die Stellen minimalster p- und 7-Werte müssen durch Interpolation der 
Lösungskurve u, = f(t,) entnommen werden. 


420 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


c) Anwendung auf das Erdinnere. 1. Für den Laplaceschen 
Ansatz p © og? (Nr. 18) fand sich die Lösung in geschlossener Form 


siner 





0=% Setzt man in Anwendung auf die Erde die Ober- 


flächendichte — 2,55, die mittlere Dichte gleich 5,50 g/em?, so ergeben 
sich 0, = 11,215, «R = 2,529 — 144054’ und für den Druck im 
Mittelpunkt 3,33 - 1012 Dyn/em? = 3,29 . 10° Atm. Druck und Dichte 
sind für jedes r gegeben. Dadurch ist, falls ein vollkommenes Gas als 
aufbauendes Material verwendet wird, auch dessen Temperatur an jeder 
Stelle bestimmt. 

2. Macht man andererseits die Annahme, daß im Erdinnern der 
Druck der Dichte direkt proportional ist, so ergibt sich für Gase 
Isothermie und die Dichteverteilung ist durch die Differentialglei- 
chung II gegeben. Die in Nr. 23 erwähnte numerische Auswertung 
derselben kann den jeweiligen Grenzbedingungen angepaßt werden. 
Im Gegensatz hierzu hat G@. W. Hill“) diese Differentialgleichung un- 
mittelbar numerisch ausgewertet, lediglich mit Rücksicht auf das vor- 
liegende Problem, indem die Lösung dadurch eindeutig gemacht wurde, 
daß für die Erdoberfläche der vorgeschriebene Wert o = 2,70 g/cm? 
angenommen wird. Das Rechenverfahren ist nicht angegeben. Für den 
Erdmittelpunkt erhält Hill og = 21,69 g/cm? für das Verhältnis der 
Öberflächendichte zur mittleren Dichte der Wert von 0,48. Der Druck 
im Mittelpunkt wird 6,03 - 101? Dyn/em? = 6 - 10° Atm. Wird gas- 
förmiges Erdinneres angenommen, so ist dessen Temperatur gegeben 


durch 7 — 2,78. 10!! em?/sec?. 
mM 


27. Gaskugeln mit starrem Kern. Die Behandlung dieses Pro- 
blems gestaltet sich ungleich schwieriger wie dasjenige der vollstän- 
digen Gaskugel oder der Gaskugeln in starrer Hülle.. In diesen letzten 
Fällen darf für den Mittelpunkt die Lösungskurve keine Singularität 
aufweisen. Dies hat zur Folge, daß für jede Polytropenklasse nur eine 
Lösungskurve «, — f(t,) durch mechanische Quadratur ermittelt wer- 
den muß, aus welcher sich alle übrigen durch Ähnlichkeitstransfor- 
mation ableiten lassen. Ist hingegen ein fester Kern vorhanden, so ist 
durch die Temperatur seiner Oberfläche eine Ordinate der uv=f(r)- 
Kurve, durch die Anziehungsbeschleunigung an seiner Oberfläche der 

du 


zugehörige Wert 7, bestimmt, wodurch die Lösungskurve festgelegt 
ist. Diese Lösungskurve rückwärts bis r = 0 verlängert, braucht hier 
nicht mit ie — 0), also ohne Singularität, einzuschneiden und ist dann 


unter den früher ermittelten Lösungskurven nicht enthalten. Aus ihr 


27. Gaskugeln mit starrem Kern. 421 


können, wie sich zeigen läßt, immer noch oo! Lösungskurven durch 
Ähnlichkeitstransformation abgeleitet werden; da aber oo? Lösungs- 
kurven möglich sind, müßten für jede Polytropenklasse oo! Lösungs- 
kurven durch mechanische Quadratur gewonnen werden, um die Lö- 
sung der Aufgabe vollständig wiederzugeben. Dieser Weg ist nicht 
gangbar und man ist darauf angewiesen, durch Studium der Topo- 
graphie der Lösungskurven (Nr. 19) Einblick in die neu auftretenden 
Gesetzmäßigkeiten zu gewinnen.‘°) 

Von Wichtigkeit sind in erster Linie folgende Ergebnisse: 

Der Kern sei bestimmt durch Masse M,, Radius R, und Ober- 
flächentemperatur T,,. 

a) Gegeben sei nur die polytrope Temperatur der Atmosphäre 
und die Klasse n. Dann folgt: Für n< 5 liegt die Oberfläche der 
Atmosphäre wie bei der vollständigen Gaskugel stets im Endlichen. 
Während aber bei dieser für n>5 die Oberfläche im Unendlichen 
liegt, ergibt sich, daß auch hier die Oberfläche der Atmosphäre für 
n>5 stets im Endlichen liegt, solange 

1 m EM, 
(56) L<;r1 RB Rn 


Die an der Oberfläche des starren Kerns errichtete Höhe 9, der 


1 RT, EM, 
homogenen Atmosphäre ist 9, = Wi Euler daß die ge- 
fundene Bedingung eleganter geschrieben werden kann 

(56a) R>(n+ 19. 


Der Wert der polytropen Temperatur ®, der Amosphäre kommt hier 
nicht zur Geltung. Ist die Bedingung (56) nicht erfüllt, so, liegt die 
Oberfläche immer noch im Endlichen, solange ©, einen durch 7, und 
R, bedingten kritischen Wert nicht übersteigt. Wird dieser über- 
schritten, so kann Endlichkeit auch nicht durch Massenzunahme des 
Kerns erzwungen werden. Andrerseits endigt bei richtiger Wahl von 
©, jede Atmosphäre n < oo auch über einer starren Hohlkugel im 
Endlichen. Die Gaskugel » = 5 über einer starren Hohlkugel endigt 
stets im Endlichen, während die vollständige Kugel sich stets bis 
unendlich erstreckt. Für n = © liegt die Oberfläche stets im Un- 
endlichen, 

b) Gegeben sei die Masse des gesamten Systens, Kern plus Atmo- 
sphäre, sowie Radius uud Masse des Kerns; der naheliegende Schluß, 


46) In bezug auf diese subtilen Untersuchungen muß auf die‘ Original- 
arbeit von R. Emden, Gaskugeln, Kap. 13 verwiesen werden. Ansätze zu diesen 
Untersuchungen finden sich auch bei A. Ritter in seiner 9. Abhandlung, 


492 VIa, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


daß der Gesamtradius R mit T, wächst, ist unrichtig. Vielmehr strebt 
die Temperatur 7, mit wachsendem R einem endlichen Grenzwerte 
zu, wobei sie einen Maximalwert, möglicherweise mehrere überschreitet. 
Daraus läßt sich folgern: Besteht ein Weltkörper aus Atmosphäre 
und festem Kern, so existiert für letzteren eine maximale Oberflächen- 
temperatur, nach deren Überschreitung sich die Atmosphäre nicht 
mehr im Gleichgewicht halten kann. Diese maximale Temperatur 
braucht nicht mit dem maximalen Gesamtradius R zusammenzufallen; 
für eine Reihe von Temperaturen kann die Atmosphäre auf zwei 
verschiedene Arten in Gleichgewicht sein. Wir kommen somit auch 
bei Berücksichtigung der inneren Gravitation der Atmosphäre zu einer 
Zerstreuungstemperatur des festen Kerns. In Nr. 15 wurde dargelegt, 
daß bei Vernachlässigung der inneren Gravitation die Atmosphären- 
höhe mit steigender Oberflächentemperatur stets zunimmt, wodurch 
sich ebenfalls eine Zerstreuungstemperatur ergab. Diese Vernachlässi- 
gung wird um so weniger fehlerhaft, als die Masse des Kerns die der 
Atmosphäre übertrifft; damit die beiden oben erwähnten Gleichgewichts- 
zustände möglich sind, darf das Verhältnis Kernmasse zur Gesamt- 
masse eine gewisse Grenze nicht überschreiten. 

In numerischer Auswertung wurde der Einfluß innerer Gravi- 
tation auf der Erdatmosphäre von R. Emden‘) dargelegt. Sind nur 
die Werte p, oe und 7 an der Erdoberfläche gegeben, so bleibt nicht 
nur die Masse der Atmosphäre, sondern auch die Entscheidung, ob 
sie endlich oder unendlich ist, unbestimmt. Zur Festlegung der Ver- 
hältnisse muß der Wert der Polytropenklasse längs der ganzen Er- 
streckung der Atmosphäre gegeben sein. 


28. Zusammengesetzte Gaskugein. Gasförmige Weltkörper wer- 
den in Wirklichkeit nicht oder doch nicht einheitlich nach einer Po- 
lytropen aufgebaut sein. Da aber bei polytropem Bau der Tempera- 
turgradient stets dem Werte von g proportional ist, kann man’ den 
. Verhältnissen wirklicher Gaskugeln gerecht werden, indem man nach 
verschiedenen Polytropenklassen geschichteten Aufbau annimmt. Man 
hat dann Stücke für Lösungskurven der Differentialgleichung I und 
II, mit verschiedenen n und « zusammenzufügen. Da für jedes neue 
Lösungsstück nur die Oberflächentemperatur und die Oberflächenbe- 
schleunigung der innerhalb liegenden, sowie der Druck der außerhalb 
liegenden Massen in Betracht kommt, reduziert sich die Aufgabe im 
wesentlichen auf die kombinierte Anwendnng der bei starrer Hülle 
und starrem Kern auftretenden Überlagerungen. Annäherung an die 


47) R. Emden, Gaskugeln, Kap. 17, Nr. 7—10. 


29. Einführung der Zustandsgleichung von van der Waals. 423 


Wirklichkeit erreicht man unter Umständen schon dadurch, daß man 
eine Atmosphäre bestimmter Polytropenklasse einem isothermen Kern 
auflagert. Gibt man diesem die niedrigste mögliche Temperatur, so 
kann seine Masse nie mehr betragen wie 9,76953 der Gesamtmasse.“*) 


E. Abweichung von den Gasgesetzen. 


29, Einführung der Zustandsgleichung von van der Waals. Be- 
handelt man die Zwergsterne als Kugeln vollkommener Gase, so wird 
man auf Mittelpunktswerte von Druck und Temperatur geführt von 
gänzlich anderer Größenordnung als unseren Laboratoriumserfahrungen 
entspricht, und zu Werten der Dichte, die mit unserer Vorstellung 
eines vollkommenen Gases unvereinbar scheinen. (Über die prinzipielle 
Seite dieser Frage wird in folgender Nr. 30 die Rede sein.) Es lag 
deshalb der Gedanke nahe, die Zustandsgleichung vollkommener Gase 
aufzugeben und die van der Waalssche Gleichung 


(a) v+H)e@-)=,T 


einzuführen. In dieser Form erweist sie sich zu unhandlich. Sie wird 
modifiziert, indem nur die beim Zusammenstoß auftretenden Kräfte, 
die im Koeffizienten b zum Ausdruck kommen, beibehalten, die Kräfte 
aber mit welchen die stark genäherten Moleküle sich beeinflussen, 
gegenüber den großen Drucken vernachlässigt werden. Mit Hilfe der 
so vereinfachten Gleichung 


(b) Pe—)-,T 


hat Nils Eikholm*”) den Bau der Sonne nach der Adiabate eines 
zweiatomigen Gases behandelt. Durch Masse und Radius ist der Bau, 
vollkommene Gase vorausgesetzt, eindeutig bestimmt; daran kann auch 
das Auftreten einer Konstanten b in der Zustandsgleichung nichts 
ändern. Daß die Einführung der neuen Zustandsgleichung von zweifel- 
hafter Güte ist, zeigt sich daran, daß die Einsetzung eines Wertes 
für b, wie er durch Laboratoriumsexperimente ermittelt ist, (für die 
Druckeinheit 1 Megadyne meistens größer als 1 g7!-cm?, für Wasser- 
stoff 9,3 g°!- em? nicht angängig ist. Vielmehr muß der Anschluß 
durch ein weiteres Beobachtungselement, das zur rechnerischen Be- 
stimmung von b ausreicht, gewonnen werden. Ekholm setzt deshalb 


48) Nähere Ausführungen in R. Emden, Gaskugeln, Kap. 13. 
49) N. Ekholm, Über den Energievorrat, die Temperatur und Strahlung der 
Weltkörper, Stockholm Ak. Handl. Bih. 26 (1909), Nr. 1. 


424 VIs,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


notgedrungen schätzungsweise den Radius der Photosphäre 
r = 6,920 : 10'°em, p = 0,1-10° Dyn/em?, go = 4- 10° g/em?, T—=6825°. 


Dann ergibt sich - — 1,5156 g/em?, also außerordentlich groß und für 


den Mittelpunkt 
0, — 1,486 g/cm?, 2, = 1,3948 - 10% Dyn/em?, 7, = 5402 000°, 


während sich für den Aufbau aus dissoziertem Wasserstoffgas als 
vollkommenes Gas 
9% = 8,271 g/em?, 2, = 8,2313 - 10% Dyn/em?, 7,= 12069000° 

ergibt. Ekholm benutzte ein Gas von der ungefähren Dichte des 
Stiekstoffes; wird ein vollkommenes einatomiges Gas von dieser Dichte 
angenommen, so bleiben die Druck- und Dichtewerte unverändert, die 
Temperatur sinkt im Verhältnis der Dichten. Die Größenordnung 
der Mittelpunktsdichten hat sich durch Einführung der van der Waals- 
schen Zustandsgleichung nicht geändert; sie sind außerdem bedingt 
durch die lediglich geschätzten Werte an der Photosphäre, von denen 
ausgehend sie durch mühsame Integration gewonnen wurden. 


30. Über die Bedeutung der Ergebnisse der Nr. 5—29. Die 
Differentialgleichung der polytropen Gaskugel ist unter Annahme der 
Zustandsgleichung vollkommener Gase abgeleitet. Wird ihre nume- 
rische Auswertung benützt, um den Aufbau von Gaskugeln von Stern- 
masse und Sternradius darzustellen, so ergeben sich Dichten, welche 
die des Platins weit übertreffen können. Schon für die mittlere Dichte 
der Sonne, die > 1, schien die Annahme dieser Zustandsgleichung 
unzulässig, und eine zugehörige Mittelpunktsdichte, für n—=3 z.B. 
> 54, unmöglich. Man war gezwungen, diese für das Sterninnere be- 
rechneten Werte lediglich als Hilfsgrößen zu betrachten, um die äußern 
der Beobachtung zugänglichen Schichten einfacher behandeln zu können- 
Versuche mit der van der Waalsschen Zustandsgleichung erweitern 
den Gültigkeitsbereich nur unwesentlich in Anbetracht der zu den 
Sterndichten geringen, durch das Volumen der Moleküle bedingten 
Grenzdichten. 

Die Forschungsergebnisse der letzten Jahre haben dies Problem 
auf eine völlig veränderte Basis gestellt. In dem Abschnitt III E. 
wird sich zeigen, daß Sterndiehten auftreten können, die die des Platins 
um das 1000fache übersteigen. Die Atomphysik kann sie in Anbe- 
tracht der hohen Temperaturen fast einwandfrei begründen, und be- 
weist, daß trotzdem die Zustandsgleichung vollkommener Gase selbst 
da noch zu Ergebnissen führt, die durch die Beobachtung bestätigt 
werden. Bis zu diesen Dichten kann also die Differentialgleichung 


31. Eine Gaskugel anderer Bauart. 425 


und ihre numerische Auswertung unbedenklich benützt werden, falls 
nur, was in der praktischen Anwendung stets der Fall sein wird, 
die sich ergebenden hohen Dichten von entsprechend hohen Tempe- 
raturen begleitet sind. 

Verzichtet man auf den Begriff Temperatur, so gelten die er- 
mittelten Beziehungen so lange, als Druck und Dichte des aufbauenden 

n+1 

Materials in der Beziehung p © oe" o stehen. Als Beispiel diene 
der in Nr. 20ec besprochene Aufbau der Erde nach dem Laplaceschen 


Ansatze p » 0%.) Mit p © o ist dann auch jede Funktion 7’ = f(p, 0) 


bestimmt, also auch die Funktion 7 — = = das ist die Zustandsgleichung 


vollkommener Gase. Den Anschluß an die Thermodynamik liefert 
dann die Beziehung für die thermische Energie dU = c,dT, c,— const. 


31. Eine Gaskugel anderer Bauart. Gelegentlich einer Unter- 
suchung, über welche in Nr. 33 berichtet wird, behandelt Miine°!), 
um die Grenzwerte auftretender Oberflächenintegrale zu ermitteln, den 
Aufbau einer Kugel vollkommener Gase, deren Bau durch das Gesetz 


@ (6) 


[1] 


bestimmt sein soll. Diese Kugel unterscheidet sich von den bisher 
behandelten Kugeln prinzipiell dadurch, daß ihr Bau durch die 
Temperaturverteilung bestimmt wird. Sie erstreckt sich selbstver- 
ständlich bis unendlich. Es ergibt sich ferner, daß die Druckvertei- 
lung und dadurch auch die Dichte durch die Differentialgleichung 


(b) a, en (r— 


geregelt wird, welche für v—(0 in die Differentialgleichung II der 
isothermen Kugel übergeht. Sie läßt sich auf eine Gleichung ersten 


Grades NE — (v — 1)] — e:— (v—1)(2v+2)=0 reduzieren, 


die nach topographischer Methode untersucht werden kann. Zahlen- 
werte wurden nicht ermittelt. Als gesuchtes Resultat ergab sich, daß 
die Masse für v>1 endlich, für v < 1 unendlich wird. 





50) Es steht nichts im Wege, auch den Einfluß der Rotation mit ihren 
Folgeerscheinungen zu untersuchen; siehe die Behandlung des Laplaceschen Pro- 
blems in Thomson and Tait, loc. cit. Fußn. 34. 

51) E. A. Mine, The escape of molecules from an atmosphere with spe- 
cial reference to the boundary of a gaseous star, Cambridge Phil. Soc. Trans. 23 
(1927), Nr. 26. 


426 . VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


E. Eingreifen der kinetischen Gastheorie und statistischen Mechanik. 


Die hydrodynamische Behandlung eines Gases als Kontinuum, das 
der Zustandsgleichung vollkommener Gase bis zu beliebig kleiner 
Dichte (Druck und Temperatur) gehorcht, liefert eine mathematisch 
völlig definierte Oberfläche einer Gaskugel. Den physikalischen Be- 
dingungen mehr Rechnung tragend verwischt die kinetische Gastheorie 
diese scharfe Begrenzung und läßt auch außerhalb derselben in dem 
Maße, wie die Zusammenstöße seltener werden, Moleküle auftreten, 
die freie Kegelschnitte beschreiben, die sich bis unendlich erstrecken 
können. Der so auftretende Massenverlust der Kugel wird in den 
Nr. 32 u. 33 erörtert werden Es sei speziell darauf aufmerksam ge- 
macht, daß die erforderliche hyperbolische Geschwindigkeit nicht durch 
den Wert der Schwerkraft, sondern durch den des Schwerpotentiales 
bestimmt ist; sie ändert sich also beim Übergang vom Riesen- zum 
Zwergstern nur linear, nicht quadratisch mit dem Radius. Stehen hin- 
reichende Massen, Raum und Zeiten zur Verfügung, so können die 
Gasmoleküle von Meteoritengröße angenommen werden und es resul- 
tiert eine kosmische Staubmasse, die in Nr. 36 eingehender behandelt 
wird; schließlich können diese Betrachtungen auf ganze Fixstern- 
systeme (kugelige Sternhaufen) übertragen werden (Nr. 39) und da- 
mit ergibt sich umgekehrt die Möglichkeit, Staubmassen und Fix- 
sternsysteme hydrodynamisch als Kontinua zu behandeln. 

32. Massenverlust einer Gaskugel. Ist vom Radiusr die Masse M, 
eingeschlossen, so ist diesem Abstand eine hyperbolische Geschwindig- 
keit q 
(57) zp— CH 


r 





zugeordnet. Die Erreichung dieser Geschwindigkeit gibt einem Gas- 
moleküle die Möglichkeit, sich dauernd von der Gaskugel oder Atmo- 
sphäre loszulösen. Da aber nach dem Maxwellschen Verteilungsgesetz 
bereits bei den geringsten Temperaturen Moleküle mit dieser Ge- 
schwindigkeit auftreten, ist Massenverlust unvermeidlich, und die Pro- 
blemstellung präzisiert sich dahin, dessen Größe oder wenigstens Größen- 
ordnung festzustellen. Auf diesen Massenverlust scheint zuerst Stoney’?) 
(1898) hingewiesen zu haben. Seine unzulängliche Behandlungsweise, 
die auf das Maxwellsche Verteilungsgesetz keine Rücksieht nimmt, 
wurde von C00k°®) richtiggestellt. Einblick in die tatsächlichen Ver- 





52) @. Johnstone Stoney, On atmospheres upon planets and satellites, Astroph. 
Journ. 7 (1898), p. 25, sowie 9 (1898), p. 316. 

58) 8. R. Cook, On the escape of gases from planetary atmospheres, Astroph. 
Journ. 11 (1900), p. 36. 


32. Massenverlust einer Gaskugel. 427 


hältnisse geben Untersuchungen von Jeans’*) und Milne’') Die ent- 
sprechende Untersuchung an kosmischen Staubmassen von R. Emden, 
welche die Jeanssche Lösung schon in verallgemeinerter Form ent- 
hält, wird in Nr. 37 besprochen. 

Werden die Moleküle gezählt, welche die Kugelschale im Ab- 
stand r mit Geschwindigkeiten gleich oder größer dieser hyperboli- 
schen Geschwindigkeit nach außen durchsetzen, so bestimmt sich ihre 
Masse zu®) 

KAT: nt) 

(58) AMN=-- ray; 7 (1 = a) e "T gisee 

mit 7? als dem durch die Temperatur bestimmten mittleren Geschwin- 
digkeitsquadrat. Mit Annäherung an die Oberfläche gehen g und 7 
nach Null und wird, namentlich infolge der Exponentialgröße, diese 
Masse ebenfalls Null. Allein in dem Maße, wie die Zusammenstöße 
seltener und die freie Weglänge groß gegen den mittleren Abstand 
werden, erlischt die Gültigkeit dieses Ausdruckes. Erstreckt sich der 
Bereich strenger Gültigkeit bis zum Abstande r und würden außer- 
halb r die Zusammenstöße vollständig fehlen, so wäre der Massen- 
verlust durch diese Gleichung bestimmt. 

Im Anschluß an diese Gleichung hat Jeans’‘) den Massenverlust 
einer Atmosphäre, insbesondere der Erdatmosphäre, näher untersucht. 
Bezeichnen wir den Radius, mit welchem die Stratosphäre beginnt, 
mit r,, die zugehörige Dichte mit o, und wird oberhalb r, mit ge- 
nügender Genauigkeit Isothermie angenommen, so ist die Dichte im 


Abstande r (Nr. 14c), (go 3 angesetzt) 


m rk; | + (, -) 


R'T\r IE, © a A 


Bor ui Er 
so daß die durch die Kugelschale r(r >r,) mit hyperbolischer Ge- 
schwindigkeit hindurchtretende Masse von Molekülen durch 


3G@M 
-n 4 ° 32 3 m 3GM ? 
(5°) AM= > a Be Au ee. (1 -- = ) g/sec 








bestimmt wird. Diese Masse ist noch abhängig von r; allein die 
Größenordnung ist gegeben durch die Exponentialgröße, also nur be- 
dingt durch r,. Zur Beurteilung der Größenordnung kann deshalb 
r —= r, gesetzt werden und es ergibt sich für die Zeit {, die not- 
wendig ist, damit eine Schicht von der Dieke 1 em und der Dichte 9, 


54) J. H. Jeans, Dynamical theory of gases, 2. edition, London 1916, chapt. 15. 
55) R. Emden, Gaskugeln, Gleichung 254. 


428 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


durch die Kugelschale » hindurchtritt, unabhängig von », zu 
SG M 

5 ! er? sec — A Fa sec 

G .3eH z (1 en i 


4 ro9- 








(60) = Vor: 


Diese Schicht geht der Atmosphäre in der Zeit i, verloren, falls außer- 
halb der Kugelschale keine Zusammenstöße stattfinden. Nun ist die 


im Abstande r erreichte Höhe der homogenen Atmosphäre 5 — ? 


90 

72 

- BIER ben und die Zeit, die nötig ist, damit die ganze oberhalb 
oSso 0 


der Troposphäre liegende Masse verlorengeht, beträgt deshalb, falls 
der Massenverlust mit unveränderter Geschwindigkeit andauert, 














Di 3 90ro 
1,45 - 4 nn 
(61) Bere, et 8ec. 
+) 
Setzt man die Temperatur der Stratosphäre konstant — 53,5°, so ist 
für Wasserstoff 7 = 1,65 - 10° em/see, ze ”° — 70 und daraus 


ti, = 9,4 - 10% sec = 3 - 10° Jahre; t, = 2,8 - 10% Jahre also groß 
gegen die für die Entwicklungsgeschichte der Erde in Betracht kom- 
menden Zeiten. Für Sauerstoff ist 7? 16 mal kleiner, dadurch ergeben 
sich für £, Zeiten von der Größenordnung 10“ Jahre, und es wäre 
nach Jeans die Möglichkeit gegeben, die Armut der Atmosphäre an 
Wasserstoff (und Helium) zu erklären. Dieses Rechnungsverfahren 
leidet an dem Übelstande, daß die Exponentialgröße außerordentlich 
temperaturempfindlich ist. Die für Wasserstoff und für — 53,5° be- 
rechneten Zeiten t, stellen sich für 0°, resp. — 100° auf 10'° und 
10% Jahre. In bezug auf die Ausdehnung dieser Betrachtung auf 
die atmosphärischen Verhältnisse anderer Glieder des Sonnensystems 
kann auf die zitierte Quelle bei Jeans verwiesen werden. 


33. Behandlungsweise von Milne. Auch Milne?!) geht aus von 
Gleichung (58), doch wird den Zusammenstößen durch die folgende 
Überlegung Rechnung getragen. Wenn ein Beobachter in einer Atmo- 
sphäre aufsteigt und es wären ihm die einzelnen Moleküle als Scheib- 
chen wahrnehmbar, so würde ihm in tieferen Schichten der Ausblick 
auf den freien Himmel durch diese Scheibehen, oft in Überdeckung, 
abgeschirmt. Er wird allmählich ein Niveau erreichen, in welchem 
sie den Himmel ohne Überdeckung gerade noch vollständig abdecken. 
Bei weiterem Aufstieg wird sich im Zenit der Himmel klären, außer- 
halb einer gewissen Zenitdistanz aber vollständig bedeckt bleiben. In 
dem Maße, wie diese Zenitdistanz der Bedeckung, der „molekulare 
Horizont“ sich erweitert und der freie Himmel sich öffnet, steigt für 


33. Behandlungsweise von Milne. 429 


Moleküle hyperbolischer Geschwindigkeit die Wahrscheinlichkeit, ohne 
Zusammenstöße davon zu kommen. Da aber ihre Zahl mit der Höhe 
abnimmt, stellt sich die Maximums- und Minimumsaufgabe, Radius, 
Dichte und Temperatur derjenigen Schicht zu bestimmen, welche den 
größten Massenverlust erleidet. Sie wird von Milne eingehend be- 
handelt für eine Gaskugel, die nach den in Nr. 31 dargelegten Ge- 
setz aufgebaut ist; doch darf der Aufwand an rechnerischer Analyse 
im Hinblick auf die mannigfachen Vereinfachungen nicht darüber 
täuschen, daß es sich nur um eine „rohe Approximation“ handelt. 
Numerische Rechnungen werden ausgeführt für Riesensterne, die nach 
Eddington im Strahlungsgleichgewicht sind. Als Gas wird einatomiger 
Wasserstoff angenommen, als Moleküldurchmesser der Durchmesser 
des zweiten Bohrschen Kreises. Es ergibt sich, daß von allen Sternen, 
deren effektive Temperatur 3000° und darüber ist, der Riesenstern 
von 0,855 Sonnenmasse und 3000° effektiver Temperatur das Wasser- 
stoffgas rascher abgibt als ein anderer Stern Wasserstoff oder ein 
anderes Gas. Der Massenverlust ergibt sich von der Größenordnung 
2.10-®79, g/sec = 6 - 10”"%0, g/10° Jahre 
wobei das o, der in Betracht kommenden Schichten von der Größen- 
ordnung 10-7 anzusetzen ist; d.h. ein Massenverlust durch zu rasche 
Gasmoleküle kann für alle Sterne vollkommen außer Betracht bleiben. 
Diese Untersuchungen von Milne und Jeans ergeben in Über- 
einstimmung, daß von einem Massenverlust von Gaskugeln und Atmo- 
sphären durch Moleküle mit hyperbolischer Geschwindigkeit abge- 
sehen werden kann. Die Frage nach Beobachtungsmaterial zur Prü- 
fung dieses Satzes in der Entwicklungsgeschichte dieser Erde scheint 
noch nicht angeschnitten zu sein. Weitere Untersuchungen dieser 
Verhältnisse erscheinen äußerst wünschenswert angesichts eines ver- 
muteten Zusammenhangs zwischen Alter und Masse der Sterne (Nr. 69) 
Da der Verlust an Wasserstoff zu vernachlässigen ist, kann von 
einem Verlust schwerer Moleküle erst recht abgesehen werden. Allein 
in einer heißen Atmosphäre ist mit Ionisierung zu rechnen und der 
Verlust an ungleich leichteren Elektronen kann beträchtlich werden. 
Er wird vermindert dadurch, daß so die Atmosphäre positive Ladung 
annimmt. Milne dehnt seine Betrachtungsweise auch auf diese Ver- 
hältnisse aus. Es ergibt sich, daß im stationären Zustand das Poten- 
tial der Sonne positiv sein muß und zwar kleiner als 1900 und 
größer als 30 Volt, da sonst der Verlust an positiven Wasserstoff- 
kernen oder negativen Elektronen den 1. resp. 2. Wert reduzieren 
würde. Das Potential eines Riesensterns wird zwischen + 15 und 
+ 44 Volt abgeschätzt. 


430 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


a) Kosmische Staubmassen. 


Angeregt durch Bemerkungen von Lockyer hat @. H. Darwin°®) 
zuerst die Frage erörtert, ob nicht unter Umständen Gasmassen, ins- 
besondere der Gasball der Kant-Laplaceschen Nebularhypothese, durch 
Ansammlungen kosmischen Staubes ersetzt werden könnten, ohne zu 
unwahrscheinlichen Vorstellungen zu führen. In mühsamer mecha- 
nischer Quadratur wurde der Aufbau einer Kugel kosmischen Staubes 
als isotherm-adiabatisches System (Nr. 36) ausgewertet. Ist diese Zu- 
lässigkeit aber nachgewiesen, so kann durch einfache Ähnlichkeits- 
transformation eine jede Kugel l-atomigen Gases durch eine ent- 
sprechende Kugel kosmischen Staubes ersetzt werden. Polytrope Ku- 
geln von der Klasse » entsprechen qualitativ Kugeln kosmischen 
Staubes von der Klasse ». Die in den Nr. 17—20 angeführten Sätze 
und numerischen Auswertungen lassen sich sinngemäß auf kosmische 
Staubmassen übertragen. Die einzelnen Teilchen einer kosmischen 
Staubmasse sollen im folgenden stets als Steine bezeichnet werden. 
Über die zulässige Masse und Größe derselben wird in Nr. 35 zu 
sprechen sein. Von Steinen, deren Masse nach Grammen sich be- 
mißt, geben die auf die Erde niederfallenden Meteoriten Kunde; ande- 
rerseits können ganze Fixsternsysteme als kosmische Staubmassen, 
die einzelnen Sterne als Steine aufgefaßt, behandelt werden (Nr. 40). 


34. Über die Notwendigkeit von Geschwindigkeiten im inter- 
stellaren Raum. Es ist klar, daß eine kosmische Staubmasse, deren 
Steine sich in gegenseitiger Ruhe befinden, keine Beständigkeit haben 
kann. Die Wolke bestehe aus N gleich großen Steinen von der 
Masse m, und sei als Kugel vom Radius WR so aufgebaut, daß die 
Steine sich an den Ecken gleich großer Würfel von der Kanten- 
länge A befinden. Die Zahl N sei genügend groß, so daß wir mit 
einer Raumdichte go dieser Ansammlung rechnen können. Ein Stein 
im Abstand r vom Zentrum erleidet eine zentrale Beschleunigung 


4 Gro 
3 


proportional dem Abstand r. Die Zusammenziehung erfolgt also gleich- 

förmig, wie die einer polytropen Gaskugel, und niemals kommt es 
5 po!ytrop se, 

zu einem Zusammenstoß zweier Steine, wenn wir von ihren Dimen- 


Der Weg ist zentral gerichtet und seine Länge pro Sekunde 








56) @. H. Darwin, On the mechanical condition of a swarm of meteorites 
London Royal. Soc. Trans. 180 (1889), p. 1. 

57) Die Untersuchungen Darwins, sowie die im folgenden zu besprechenden 
Ausführungen sind teils gekürzt, teils erweitert dargestellt in R. Emden, Gas- 
kugeln, Kap. XIV. 


34. Über die Notwendigkeit von Geschwindigkeiten im interstellaren Raum. 431 


sionen absehen, außer im Zentrum. Lord Kelvin®®) hat die zum Zu- 
sammensturze notwendige Zeit berechnet. Befindet sich der Stein in 
der Ruhe (Ausgangslage) im Abstand r,, so liefert das Energieprin- 
zip seine Geschwindigkeit q im Abstand r 


(a) ; = LATE dort -,) -V-(@ 7% } 


woraus die Differentialgleichung folgt 


u! : 
(b) dt dr Vo a 
Die Integration liefert die Zeit bis zur Ankunft im Mittelpunkt, also 
die zum Zusammensturze notwendige Zeit: 


70° PARTEIEN las: 37 
(83) Fe Vsen - Ye este 


Sie ist gleich für alle Steine und nur bedingt durch die anfängliche 
Dichte der Ansammlung. 

Wir nehmen den Kant-Laplaceschen Gasball an, an Masse gleich 
der Sonne, an Radius — 50 Erdbahnradien = $ Neptunbahnradien 
und o = 1,11 - 10-2 g/em?; so folgt für die Steinmasse 1 g 
= 9,06:10°cm und t = 1,99 - 10° sec = 63,4 Jahre. Also eine 
Zeit von einer 0 ET ER daß wir unmöglich von einer An- 
sammlung ruhender Steine Undiehen können. 

Wir machen noch mit Lord Kelvin eine Anwendung auf den 
ganzen Fixsternkomplex, den wir annehmen als Kugel, aufgebaut aus 
1000 Millionen Sonnen und einem Radius entsprechend einer Parallaxe 
von 0,001” = 3000 Lichtjahren. Dann folgt oe = 1,57. 10°? g/em?, 
) = 4,98 : 10° cm, einer Parallaxe von rund 1” entsprechend, und 
wird: 








t = 5,31 - 10% sec = 16,8 - 10° Jahre. 


Berechnen wir noch die Geschwindigkeiten. Die Kugel sei bis 20,7 Erd- 
bahndurchmesser zusammengeschrumpft (Uranusbahn), og = 1,57. 10”? 
g/cm?, so daß der ganze Fixsternkomplex noch hinreichend Platz findet. 
In diesem Moment ist an der Begrenzung die Geschwindigkeit q 
— 2,89 . 101% cm/sec erreicht und die Zeit i= 5,31 - 10" — 7,11 - 10° 
sec verflossen. Die Begrenzung der Kugel hat also Lichtgeschwindig- 
keit erlangt, der Kontraktionsprozeß hat 16,8 Millionen Jahre weniger 
711. 10° sec gedauert; nach rund 2 Stunden ist der Zusammensturz 
erfolgt. Lord Kelvin benutzt diese Zahlen, um die bei Fixsternen 


58) Lord Kelvin, On the clustering of gravitational matter in any part of 
the universum, Baltimore Lectures, App. D. p. 532. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, 2. 283 


432 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


beobachteten Geschwindigkeiten zu erklären, doch dürfte die Lebens- 
dauer von 16,8 Millionen Jahren von unmöglicher Größenordnung sein. 


Lassen wir die Bd an, so daß die Dauer einer Umdrehung 


= 2 —= 96 Millionen Jahre 


beträgt, so wäre für jeden Stein in der Äquatorebene die zentrale 
Beschleunigung aufgehoben; in der Richtung der Achse blieben aber 
unmögliche Lebensdauern bestehen. 

Der Widerspruch dieser Lebensdauer mit unseren Anschauungen 
ist schwerlich darin begründet, daß wir die Anzahl der Massen und 
Distanzen von falscher Größenordnung angesetzt haben, sondern da- 
durch bedingt, daß wir von einer ursprünglichen Eigenbewegung der Fix- 
sterne, allgemein der Steine, abgesehen haben. Verteilungen nach dem 
Mazxwellschen Gesetz können, wie in folgenden Nr. 36, 37 dargetan 
wird, unter Umständen stabile Verhältnisse schaffen. 


35. Über die zulässige Steingröße. Die kinetische Gastheorie setzt 
voraus, daß die geradlinigen Bahnen zweier Teilchen sich erst dann krüm- 
men, wenn die beiden Teilchen sich auf eine durch die Wirkungssphäre 
gegebene Minimaldistanz nähern, d.h. ein „Zusammenstoß“ stattfindet. 
Bei Übergang zu Staubmassen setzen wir fest, daß die Wirkungssphäre 
der kugelförmig angenommenen Steine mit ihrer geometrischen Ober- 
fläche zusammenfällt, und folglich die Krümmung ihrer Relativbahnen 
auch dann noch unmerklich sein soll, falls sie noch mit streifender Inzi- 
denz aneinander vorbeigleiten. Dadurch ist bei gegebener Dichte ö der 
einzelnen Teilchen die noch zulässige Größe des Durchmessers 6 und 
deren Masse u bestimmt. Beschreibt ein Teilchen um das andere eine 
Hyperbel von der Exzentrizität & und der Halbachse a, so ist im 
Augenblick der Berührung o—=a(s— 1) und, ist die Geschwindigkeit 
der Steine also ihre relative Geschwindigkeit im großen Abstand 7, 
so liefert das Gesetz der Zentralbewegung a = G(u + uw)-7”° 


’ 


so daß wir haben & = 2 + 1. Ist die Hyperbel sehr flach, & sehr 


groß, so ist der zwischen der Asymptote und y-Achse gelegene Winkel - 


oder die in Graden gemessene Halbablenkung — = - —= N. 





Daraus folgt 
4° 1 
(64) —=7qT Vene 3, 5-10? ei em; = röog. 


Nimmt man eine Ablenkung von 10° noch als hinreichend klein an 
und setzt die Dichte der Steine rund — Erddichte = 5 g/cm?, so 


36. Bau kosmischer Staubmassen 433 
folgt — 5:10°.7 em. 
Unter annehmbaren Verhältnissen (Nr. 36) berechnet sich 7 zu rund 
54 km/sec und damit 

o—=2,15.10®cm, u—=2- 10% g — „; Erdmasse. 

Da wir in den in Betracht kommenden Staubmassen kaum mit Steinen 
von dieser Größenordnung zu tun haben, können wir unbedenklich 
den Aktionsradius gleich ihrem wirklichen Radius setzen und sie 
weiterhin als Gasmoleküle behandeln. 

Es liegt nahe dieselbe Betrachtung auf Fixsternsysteme auszu- 
dehnen. Rechnen wir in Ermangelung anderer Kenntnisse mit Fix- 
sterngeschwindigkeiten, wie sie in unserer Milchstraße auftreten, setzen 
also 7 rund 55 kmj/sec, so folgt 

Li 
| vs 

Da die Sonne mit ö—=1,4 zu den dichteren Sternen gehört, 
wird man durchschnittlich mit kleinen ö rechnen können und kommt 
so zu dem Ergebnis, daß in diesen Staubmassen Fixsterne von der 
Masse der Sonne noch als Gasmoleküle behandelt werden dürfen. 

In allen Fällen besteht aber ein wichtiger Unterschied zwischen 
Gas- und Staubmassen. Die kinetische Gastheorie kennt nur voll- 
kommen elastische Zusammenstöße, während in Staubmassen bei Zu- 
sammenstößen im gewöhnlichen Sinn des Wortes durch unvollkommene 
Elastizität und etwaige Zertrümmerung derselben ein Verlust an kine- 
tischer Energie eintritt. Doch treten Zusammenstöße dieser Art, wie 
sich zeigen wird, äußerst selten auf, vgl. unten Nr. 36. 





36. Bau kosmischer Staubmassen. Die kinetische Gastheorie 
liefert hierzu die folgende Beziehungen. Aus Gasdruck p und Gas- 
dichte g berechnet sich das mittlere Geschwindigkeitsquadrat 


(a) =3 . sec?/cm?. 


Der mittlere Abstand je zweier Moleküle von der Masse u wird 


(b) A -yV* cm 


und ist o der Durchmesser der Wirkungssphäre, so ist die mittlere 
freie Weglänge 


a A 
x nn era oaya 


und die zugehörige freie Zeit 


(d) TI Vr sec 





28* 


434 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Ist eine polytrope Kugel vollkommenen Gases gegeben, so ist an jeder 
Stelle p und o bestimmt und damit auch das Verhalten der einzelnen 
Moleküle nach diesen Beziehungen. In einer kosmischen Staubmasse 
ergibt die entsprechende Behandlung an jeder Stelle » und ge. Ein 
Molekulargewicht und der Begriff der Temperatur kommt nicht in 


n+1 
Frage (sondern nur die Beziehung pe * , vgl. Nr. 30), und durch 
die vier angegebenen Beziehungen ist das Verhalten der einzelnen 
Steine bestimmt. Dabei ist der Durchmesser der Wirkungssphäre 
durch den Steindurchmesser zu ersetzen. Haben die einzelnen Steine 
eine Dichte d und setzt man, für Überschlagsrechnung zweckmäßig, 
0 — 5,9683 also etwas geringer als die Dichte des Eisens an, so wird 

weg. 

Für o=1, 10, 100 cm wird u= 3, g, kg, t usw. Die Größe 6 ist 
gemäß Nr. 35 nach oben begrenzt. Zweckmäßig wird o6—=1cm 
angesetzt, die Umrechnung für andere Dimensionen vollzieht sich 
mühelos. 

Die allgemein übliche Betrachtungsweise der kinetischen Gas- 
theorie oder allgemein gesprochen, die statistische Behandlungsweise 
beruht auf drei Voraussetzungen. 1. Die Anzahl der Teilchen ist sehr 
groß oder anders ausgedrückt, die Gesamtmasse ist sehr groß gegenüber 
der Masse der einzelnen Teilchen. 2. Die Dimensionen des Systems sind 
hinreichend groß gegenüber der freien Weglänge. 3. Die in Betracht 
kommenden Zeiten sind hinreichend groß gegenüber der freien Weg- 
zeit. (Dazu kommen die in Nr. 33 erörterten Verhältnisse über die 
gegenseitige Einwirkung der Teilchen.) Voraussetzung 1 bedarf keiner 
näheren Besprechung. Allein die Behandlung der Kugel als Kon- 
tinuum liefert für die Oberfläche o=0, mit Annäherung an sie 
wachsen % und 7 bis oo und die statistische Behandlungsweise ver- 
Sagt. Für die Grenzen ihres Anwendungsbereichs stellt Darwin zwei 
Kriterien auf. 

1. Die Zeit T muß klein sein gegenüber einer Zeit, die durch 
das System selbst näher definiert ist. Als diese Zeit wählt Darwın 
die Zeit einer Grundschwingung der Kugel (Nr. 44) 


RR ya 
a = 
T, aV in?" 7 


und erhält so sein erstes Kriterium 


Ben ie Ba : 
(a) RT V: ie klein gegen 1. 


2. In der Zeit T fällt ein Stein gegen das Zentrum um die 
Strecke D= }9T?, die, da die Bahn geradlinig sein soll, klein gegen 





36. Bau kosmischer Staubmassen. 435 


® bleiben muß. Dies liefert sein zweites Kriterium 


; D 1 ; 
(b) Age 5 ir klein gegen 1. 





Mit Annäherung an die Oberfläche werden die Kriterien nicht mehr 
erfüllt und muß die statistische Behandlungsweise aufgegeben werden. 
Die weiter außen auftretenden Verhältnisse sind in Nr. 37 näher dar- 
gelegt. 

Sucht man an Hand von Spezialfällen besseren Einblick zu er- 
halten in die numerischen Verhältnisse, so geht man mit Darwin 
zweckmäßig näher ein auf die kosmischen Staubmassen, die den Gas- 
ball der Kant-Laplaceschen Hypothese ersetzen können. Ihre Masse 
wird gleich der Sonnenmasse — 1,94 - 10°° g gesetzt und ihr Radius 
zu 44,563 Erdbahnradien (Neptunbahn = 30) angenommen. Die 
mittlere Dichte beträgt dann o = 1,5687 - 10-'? g/cm?. Bei R. Emden, 
Gaskugeln, Kap. XIV, finden sich die Fälle n = 0 und = 1,5 (Adiabate 
einatomigen Gases), sowie der von Darwin behandelte Fall eingehend 
ausgeführt. Für n=0 ist die Staubmasse überall von gleicher 
Dichte og und für Steine von 1 cm Durchmesser, Gewicht 3!/,g wird 
durchgehend der mittlere Abstand A = 1,258 - 10° em und die mitt- 
lere freie Weglänge & —= 4,454 . 10"! cm — dem zwölffachen Abstand 
(Mond—Erde) = „„;, Gesamtradius. Im Zentrum, an der Stelle leb- 
haftester Bewegung, beträgt die mittlere freie Zeit 9,018 - 10° sec und 
erleidet also ein Stein etwa alle 10 Tage einen Zusammenstoß, bei 
einer Fluggeschwindigkeit von 5,397 km/sec. Bei einem Steingewicht 
von 3!/, kg würde die freie Weglänge um das zehnfache zunehmen 
und die Zusammenstöße zehnmal seltener eintreten. Die kritischen 
Werte sind noch im Abstand 0,9 R von der Größenordnung 10° bzw. 
10%; nimmt man 10-? als größten zulässigen Wert an, so können 
auch Steine im Gewicht von 3!/, kg zugelassen werden. Bei 3!/, t 
Gewicht hingegen würde die statistische Behandlungsweise schon von 
r—=04NR an versagen. Für die adiabatische Staubmasse betragen 
im Mittelpunkt: die Dichte 9,413 - 10-12 g/em?, die mittlere Geschwin- 
digkeit 5,60 - 10° em/sec, die freie Weglänge 7,473 . 101° em und die 
freie Zeit 1,448 - 10° sec. Darwin nimmt isotherm adiabatischen Auf- 
bau (vgl. oben Nr. 28) an. Äußere störende Ursachen, welche die 
Steine in radialer Richtung durcheinander wirbeln, schaffen hier kon- 
vektives Gleichgewicht; mit zunehmender Tiefe erlischt ihre Wirkung 
und muß sich Ausgleich der Geschwindigkeit (Isothermie) einstellen. 
Der Übergang wird so rasch angenommen, daß eine mathematisch 
faßbare Grenze eintritt. Hier treten die in Nr. 26 dargelegten peri- 
odischen Verhältnisse besonders auffallend in Erscheinung. Nimmt 


436 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


man eine hinreichend große Zahl vollkommener elastischer Bälle in 
starrer Hülle an, die unter innerer Gravitation stehen, und kann die 
statistische Behandlungsweise Platz greifen, so gibt es eine mittlere 
Geschwindigkeit, die mehrfache Anordnung in konzentrischer Schich- 
tung, und eine Geschwindigkeit, die unendlich viele Arten konzentri- 
scher Schichtung zuläßt. Darwin benutzt den Minimalwert der „Tem- 
peratur“, welche noch eine Lösung zuläßt (Nr. 26). Er ist gegeben 
durch die Beziehung 
7-32 1- 3.039088 
M, sowie R, Masse und Radius des isothermen Kerns. Dadurch ist das 
ganze System eindeutig bestimmt und es betragen für den isother- 
men Kern 
, 41033 
gn.— 1,943: 10 


— 1,19064 - 9,R, cm?/sec?. 


— 8,942 . 10% g 





Tag 
N nn — 2,392 . 10% cm — 16,000 Radien der Erdbahn 
7? — 1,1906 m — 2,9631 - 1011 em?/see? 
0, = 10,697 hr — 1,669 - 10-29 g/em?. 


Im isothermen Teil beträgt die mittlere Geschwindigkeit rund 5!/, km/sec, 
um im adiabatischen Teil bis auf Null abzunehmen. Die mittlere freie 
Weglänge wächst von 42000 km im Zentrum bis auf 1.10% km im 
Abstand von 16 Erdbahnradien und auf 62. 10° km im Abstand von 
42 Erdbahnradien. Die Zeit zwischen zwei Zusammenstößen beträgt 
im Zentrum 2'/, Stunden, im Abstand 16 Erdbahnradien 13 Tage und 
steigt im Abstand 40 Erdbahnradien auf 1,35 Jahre an. Die hydro- 
dynamische Behandlung scheint bis 0,9 Radien zulässig. 

Die Energetik einer kosmischen Staubmasse entspricht der Ener- 
getik einer Ansammlung einatomigen Gases. Für eine Gaskugel ist 


(Nr. 21) = = — a und für einatomiges Gas = — u, Der 


Energie U entspricht bei der Staubmasse der Gesamtinhalt an kineti- 
scher Energie L der als Massenpunkte behandelten Steine, so daß die 


Beziehung besteht = — — > Geht durch Zusammenstöße keine 


kinetische Energie verloren, so bleibt auch 2 konstant und es findet 
keine Kontraktion statt. Andernfalls erfolgt gleichförmige Kontraktion 
und wird die Hälfte der Arbeit verwendet zur Erhöhung der kineti- 
schen Energie der Steine. Die andere Hälfte, die bei Gasmassen in 
Form von Strahlung abgegeben wird, dient hier zur Erwärmung und 


37. Grenzverhältnisse und Massenverlust kosmischer Staubmassen. 437 


zur Zertrümmerung der Steine. Dabei können lokal sehr hohe Tem- 
peraturen auftreten, so daß es, wie bei den Sternschnuppen, zu 
Verdämpfungs- und Leuchterscheinungen kommt. Auf diese Weise 
können auch Staubmassen als selbstleuchtende Gebilde in Erschei- 
nung treten. 


37. Grenzverhältnisse und Massenverlust kosmischer Staub- 
massen. In der Nähe der Oberfläche versagen selbstverständlich die 
beiden Darwinschen Kriterien und damit auch die statistische Be- 
handlungsweise. In jeder kugelförmigen Staubmasse existiert ein 
Grenzradius A, außerhalb dessen das Maxwellsche Verteilungsgesetz 
nicht mehr angewendet werden darf. Um diese Verhältnisse zu unter- 
suchen, wird mit Darwin der Grenzfall angenommen, daß außerhalb 
A überhaupt keine Zusammenstöße mehr sich ereignen, so daß die 
Steine freie Kegelschnitte beschreiben. Die Schwerkraft an jeder 
Stelle der Bahn ist bestimmt durch die Masse, die sich innerhalb 
einer Kugel befindet, deren Radius gleich ist dem Abstand des Steines 
vom Kugelzentrum; und diese Masse hängt von der Dichteverteilung 
des Schwarmes ab. Dieses allzu schwierige Problem wird auf Grenz- 
fälle vereinfacht. Im ersten Fall wird angenommen, daß die außer- 
halb A liegenden Massen nicht mehr anziehend wirken. Im zweiten 
Fall wird außerhalb A anziehende Masse angenommen, deren Dichte 


wie (#), also sicher langsamer wie in Wirklichkeit, abnimmt. Beide 


Annahmen führen praktisch zu gleichen Resultaten: Die Kugel er- 
streckt sich theoretisch bis unendlich, allein außerhalb A nimmt die 


Dichte rascher ab wie (>) e so daß bald praktisch zu vernachlässigende 


Dichten angetroffen werden. Das Aufhören der Gasgesetze hat also 
nur zur Folge, daß die scharfe Begrenzung der Masse verwischt und 
weiter hinausgerückt wird. An Stelle der Dichte ge — 0 der isotherm 
adiabatischen Staubmasse findet sich jetzt Dichte von der Größen- 
ordnung 10-13 g/em?. 

Um die mit Abnahme der Zusammenstöße verbundenen Massen- 
verluste zu bestimmen, geht man aus von Gleichung (58), welche die 
Mengen Steine bestimmt, die mit hyperbolischer Geschwindigkeit die 
Kugelschale A durchsetzen. Fehlen außerhalb die Zusammenstöße 
vollständig, so ist diese Menge gleich dem Massenverlust und ist da- 


mit die obere Grenze des möglichen Massenverlustes bestimmt. Die 
_3CHM (r) 
Größenordnung ist bestimmt durch die Exponentialgröße e 7 
Nun ist SEN en 
rg rp 








dimensionslos, in den Variablen «,, t, 


438 VIsa,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


du, 
L—<- 
(Nr. 19) ausgedrückt = — en 


u, = f(t,) für jede Klasse » und für jede Stelle », entnommen werden, 
die in Wirklichkeit auf die Strecke r gestreckt wird. Dabei darf 
aber nur bis zu solchen Werten r und damit r, fortgeschritten wer- 
den, als mit hydrodynamischer Behandlungsweise verträglich ist. Legt 
man in der betrachteten isotherm-adiabatischen Staubmasse diese Kugel- 
schale um 4,32 Erdbahnradien tiefer wie die theoretische Oberfläche 
(es ist dies der äußerste, durch mechanische Quadratur errechnete 
Punkt), so beträgt der höchstmögliche Massenverlust 4 . 10! g/sec, 
also im Lauf einer Million Jahre 102° g bei einer Gesamtmasse von 
10% g. Bei weiterem Hinausrücken nimmt die Exponentialgröße und 
damit der Massenverlust rapid ab. Damit werden die oben (Nr. 32) 
erhaltenen Resultate, daß von einem Massenverlust der Gaskugel ab- 
gesehen werden kann, durch die entsprechenden Verhältnisse bei Staub- 
massen bestätigt. In Wirklichkeit wird aber noch ein weiterer Um- 
stand beachtet werden müssen. Die Erde empfängt sekundlich durch 
niederfallende Meteore einen Massenzuwachs von niedrig gerechnet 
10-16 g/em?; der oben berechnete Massenverlust der Staubmasse be- 
trägt aber sekundlich 10-1? g/em?. Würden sich in der Umgebung 
der Staubmasse Meteoriten in gleicher Dichte herumtreiben wie in der 
Umgebung der Erde, so wäre der Massenzuwachs größer als der Massen- 
verlust. 

38. Zähigkeit kosmischer Staubmassen.°”) Der Ausgleich der 
Geschwindigkeiten bei lamellarer Bewegung einer reibenden Flüssig- 
keit ist geregelt durch die Differentialgleichung 

09 0°q 


1.4: HETLHEN. | 
et ef 0x? 


v? ein durch die Zähigkeit (Viskosität) der Flüssigkeit bestimmter 
Koeffizient. Durch dieselbe Differentialgleichung wird auch der Tem- 
peraturgang geregelt, wobei »® durch das Temperaturleitungsvermögen 
bestimmt ist. In Gasen stehen bekanntlich beide Koeffizienten in 
der Beziehung 


und kann die numerische Auswertung 








(a) Vrsmpirstileiiung —=]1 ‚602 7 V’Reibung 
und dabei ist 

1524/88 
(b) V’Reibung = — LG = cm?/sec. 


In Staubmassen, als vergröberte Gase aufgefaßt, gelten dieselben Be- 








59) R. Emden, Gaskugeln, Kap. 14, $ 12. 


38. Zähigkeit kosmischer Staubmassen. 439 


ziehungen, v®remperaturleitung regelt den Ausgleich des mittleren Ge- 
schwindigkeitsquadrates der Steine, V’Reibung den Ausgleich ihrer Mo- 
mente. Ist der Bau der Staubmasse ermittelt, so sind 2 und 7 und 
dadurch die beiden v? bestimmt. In der mehrfach betrachteten Staub- 
masse, diese aufgefaßt als Kugel in konvektivem Gleichgewicht, er- 
reichen die v? enorme Beträge. Sie sind von der Größenordnung 10'° 
und 10!' (während für Luft von Normaldichte VReivung = 0,13 cm?/sec 
beträgt). Dieses auf den ersten Blick überraschende Ergebnis wird 
sofort verständlich durch die Größe der freien Weglänge und Flug- 
geschwindigkeit der Steine, wodurch ein Stein seine Wirkung in kurzer 
Zeit an weit entfernten Stellen zur Geltung bringen kann. 

Die Wirkung von Zähigkeit und Wüärmeleitung läßt sich durch 
folgende Betrachtung abschätzen: Zwei genügend ausgedehnte Staub- 
massen grenzen in der Ebene x — (0) zusammen; zur Zeit = soll 
im Reibungsproblem die eine Masse ruhen, die andere sich mit kon- 
stanter Geschwindigkeit q, parallel der Grenzfläche verschieben; im 
Temperaturproblem seien die Massen von konstanter Temperatur 0° 
und 7,°. Der Ausgleich wird geregelt durch die Beziehung 


(65) = a (1 == 7z cap) 


Nach unendlich langer Zeit hat sich durchweg die Geschwindigkeit 


0 
E bzw. Temperatur u eingestellt. Die Abweichung von diesem 


Endzustand ist durch das Integral bestimmt. Setzen wir 


& 
AT — 0,09 bzw. 0,01, 





so erhalten wir eine Abweichung vom Endzustand im Betrage von 
10,13°/, bzw. 1,13°%,. Soll der Ausgleich im Abstand x bis auf rund 


10°/, erfolgen, so haben wir zu setzen 
2 


0,18%. 72 


t sec 


(Ausgleich auf 1°/, würde die Zeit um das 81fache vergrößern). Setzen 
wir <= 1,5:10% gleich dem Radius der Erdbahn und »?, wie oben 
angegeben, von der Größenordnung 10, so ergibt sich für # eine 
Zeit in der Größenordnung von Jahrtausenden. In solchen Zeiten, 
die für die Entwicklung der Weltkörper überhaupt keine Rolle 
spielen, würde sich in diesen und ähnlichen Staubmassen etwa vor- 
handene Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenzen bis auf Ent- 
fernungen — 1 Erdbahnradius bereits bis auf 10°), ausgeglichen 


440 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


haben. Daraus folgt, daß in kosmischen Staubmassen weder mit Ge- 
schwindigkeitsdifferenzen (Winkelgesch windigkeitsdifferenzen) noch mit 
Temperaturdifferenzen zu rechnen ist, es sei denn, daß diese immer 
wieder neu erzeugt werden. Isotherme kosmische Staubmassen aber 
sind an Masse unendlich. Reibungen und Wärmeleitung würden des- 
halb jede kosmische Staubmasse zerstreuen. Würden Geschwindig- 
keits- und Temperaturdifferenzen unterhalten durch äußere Einwirkung, 
die nach der Tiefe zu erlischt, so resultiert ein isothermer Kern in 
einer Hülle, deren Polytropenklasse durch die Besonderheit dieser 
Einwirkung bestimmt ist. Sollen die noch möglichen Temperatur- 
differenzen ein Minimum sein, so resultiert der isotherme Kern klein- 
ster Temperatur, also ein System, wie es oben nach Darwin behandelt 
wurde. 

Diese Betrachtungen lassen sich unmittelbar auf Gaskugeln über- 
tragen. Reibung und Wärmeleitung wirken dissipativ, sie lösen jede 
Gasmasse auf. Eine Gaskugel von endlichem Radius ist nur möglich 
unter Einwirkungen, die Temperaturdifferenzen schaffen oder aufrecht- 
erhalten. Diese Rolle übernimmt die in Abschnitt III behandelte 
Strahlung. 


39. Kugelförmige Sternhaufen. Nachdem die Methoden ent- 
wickelt waren, aus der beobachteten Flächenverteilung die räumliche 
Verteilung der Sterne eines kugelförmigen Sternhaufens unter Vor- 
aussetzung konzentrischer Schichtung zu berechnen, stellte sich die 
Aufgabe, die Sterndichten als Funktion des Radius festzustellen. Aus 
naheliegenden Gründen sucht man Anschluß an die Gesetzmäßigkeit, 
die sich für das Dichtegesetz polytroper Gaskugeln ergab. Die Stern- 
haufen & Centauri und M, wurden von AH. v. Zeipel®?) mit isothermen 
Gaskugeln verglichen. In den inneren Partien konnte so die Stern- 
verteilung genügend genau dargestellt werden, für die äußeren Par- 
tien ergab sich die beobachtete Sterndichte zu groß. Hingegen fand 
Plummer‘®), daß sich für & Centauri die Diehte sehr gut durch die 


Beziehung 

SE UBS. 
darstellen ließ, also durch das Dichtegesetz der polytropen Gaskugeln 
n —=5 (Nr. 18); für M, hingegen versagte diese Art der Darstellung. 
In sorgfältiger Untersuchung hat v. Zeipel?®) den Aufbau der Stern- 


haufen M,, M,, M,, und M,, behandelt. Da die Lösungskurve 
u, — f(t,) der vollständigen Gaskugel, also die Lösungskurven der 


60) W. ©. Plummer, London Astr. Soc. Month. Not. 65 (1905), p. 810. 


39. Kugelförmige Sternhaufen. 441 


Differentialgleichung I (Nr. 17) ohne Singularität im Mittelpunkt 





( - —=0 für, 0) nur bis zum Maximalwerte » = 6 vorlagen 
1 


(Nr. 20), wurden durch mechanische Quadratur noch die Lösungs- 
kurven für n—=[1,8,9 ermittelt. Mit vollständigen Gaskugeln ver- 
glichen, ergaben sich nach der Methode der kleinsten Quadrate be- 
rechnet, die Polytropenklassen 


M, n = 5,010 + 0,048 


M, 6,396 + 0,122 
M, 5,480 + 0,044 
M,. 5,601 + 0,096 


Werte n=*, #2 und 3 sind, wie ein Vergleich der beobachteten 
Dichtigkeitsverteilung in den Kurven «= f(r,) unmittelbar zeigt, 
vollkommen ausgeschlossen. Die Differenz Rechnung—Beobachtung 
ist bei M,, M, und M,, klein und vom Charakter zufälliger Fehler. 
Diese können mit genügender Genauigkeit vollständigen Gaskugeln 
mit entsprechenden n gleichgesetzt werden. Hingegen sind die Dif- 
ferenzen bei M,, beträchtlich und zeigte sich in ihnen ein systemati- 
scher Gang, so daß der Vergleich mit einer vollständigen Gaskugel 
bedenklich erscheint, ganz abgesehen davon, daß sich für »>5 un- 
endlich große Masse ergibt. Nun zeigt aber die Verteilung der Sterne 
verschiedene Helligkeit, daß diese Sternhaufen nahe dem Zentrum auf 
besondere Weise aufgebaut sind. Es erscheint deshalb angezeigt, 
diese zentralsten Partien auszuschließen und nur den Bau außerhalb 
einer kleinen Kugel zu untersuchen. Es wird damit der Vergleich 
mit einer vollständigen Gaskugel aufgegeben, mathematisch gesprochen, 
es wird eine Singularität im Mittelpunkt zugelassen. Dann tritt in 
der Lösungskurve «= f(r) der Differentialgleichung I eine zweite 
Integrationskonstante auf, die mit Beseitigung der Singularität bei 
r=( verschwindet. H.v. Zeipel behandelt nun die Aufgabe, auch 
diese zweite Integrationskonstante, von ihm mit « bezeichnet, und 
gleichzeitig den Exponenten » unter Anwendung der Methode klein- 
n+i1 


ster Quadrate neu zu berechnen. Setzt man k = 2 50 muß sich 





k=+—=12 für n=5 ergeben. Es ergaben sich für 


M, k= 1,194 + 0,014 
M, 1,198 + 0,011 
M,, 1,203 + 0,010 
M,, 1,197 + 0,022. 


442 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Und im Mittel (mit entsprechenden Gewichten) 

k = 1,198 + 0,007, 
also mit außerordentlicher Genauigkeit (Zuverlässigkeit des behan- 
delten Beobachtungsmaterials vorausgesetzt) k=1,2,n = 5. Ergebnis 
dieser Untersuchung ist somit Aufbau dieser vier kugelförmigen Stern- 
haufen nach einer Polytropen n = 5, wozu mit gleichem Resultat noch 
co Centauri anzufügen ist. In Abschnitt II B. haben wir darauf hingewiesen, 


daß eine Polytrope k aus Gasen von beliebigem # = = aufgebaut 


v 


werden kann, und in dem Spezialfall =» die Polytrope in eine 
Isentrope übergeht. H. v. Zeipel (er spricht durchweg nur von adia- 


batischen Gasmassen) hat nur letztere Möglichkeit im Auge und sieht 


: 2 . ea ce 6 
in diesen Sternhaufen Massen eines „Gases“ mit einem x = = — 


im konvektiven Gleichgewicht, die physikalische Seite dieser Frage 
nicht weiter berührend. Hierzu ist folgendes zu ergänzen. Die Ele- 
mente eines Gases mit «x —= müssen offenbar zehn Freiheitsgrade be- 
sitzen®!); ein Doppelstern besitzt als Ganzes 3+3 = 6 Freiheits- 
grade; dazu kommen weitere zwei, wenn seine Komponenten in par- 
allelen Achsen senkrecht zur Verbindungslinie rotieren und nochmals 
zwei für deren Zentralbewegung; zusammen die erforderlichen zehn 
Freiheitsgrade Läßt man solche oder andere geeignete Bausteine 
gelten, so hätte man sich noch immer mit dem Satz abzufinden, 
daß Gase mit «=, also <$, kein stationäres Gebilde liefern 
können. Nimmt man andererseits als Bausteine einfach Sterne, denen 
je nach dem Verhältnis der Energie der Rotation zu der der Transla- 
tionsbewegung ein x = * oder $ beizulegen ist, so ist (wegen des nega- 
kn 
k—ı 
welche aus der Isentrope die Polytrope k—= } herstellen und unter- 
halten. Spekulationen dieser Art liegen weit außerhalb des Rahmens 
dieses Berichtes, der lediglich das ermittelte Gesetz des Aufbaus fest- 
stellen soll. 


tiven y=c, —= c,(6 — 5x)) nach der Wärmequelle zu suchen, 


40. Das Fixsternsystem als kosmische Staubmasse. In Nr. 34 
wurde das Fixsternsystem stilisiert als Ansammlung von 10° Fix- 
sternen von Sonnenmasse, welche eine Kugel von 3,1: 10?cm — 2 10° 
astronomische Einheiten = 0,001 Parallaxe in gleichmäßiger Anord- 
nung erfüllt. Die Fixsterne stehen in den Ecken von Würfeln von 
der Kantenlänge A = 4,98 - 10! cm = rund 3 - 10° astronomische Ein- 





61) Siehe L. Boltzmann und J. Nabl, Kinetische Theorie der Materie, 
Encykl. V 1, 8, Nr. 28. 


40. Das Fixsternsystem als kosmische Staubmasse. 443. 


heiten, entsprechend einer Parallaxe von rund 1”; die mittlere Dichte 
dieser Massenanordnung beträgt 1,47: 10-2 g/cm?, Wie in Nr. 35 
gezeigt, können Steine von Sonnenmasse noch als Gasmoleküle an- 
gesehen werden und als Seitenstück dieser Ansammlung ergibt sich 
die polytrope Gaskugel n —= 0. Die mittlere freie Weglänge berechnet 


sich aus der Beziehung & = rs e Day und setzen wir den Durchmesser 
der Sterne gleich dem ndurchun er so folgt & = 1,5 - 10°? cm. 
Selbst wenn wir die Sterne auftreiben zu Kugeln vom Radius der 
Neptunbahn, bleibt 2 noch von der ER 102° cm, also 
außerordentlich groß gegen die Dimensionen des Gesamtvolumens. 
Damit ist aber eine der Grundlagen der herkömmlichen kinetischen 
Gastheorie verletzt. Das Fixsternsystem ist zu vergleichen mit dem 
Inhalte einer so hoch evakuierten Röntgenröhre, daß die freie Weg- 
länge der Gasmoleküle außerordentlich groß gegen die Dimensionen 
der Röhre geworden ist. Zusammenstöße und deren Folgen fehlen 
beinahe vollständig, so daß das betrachtete Fixsternsystem nicht mehr 
ohne weiteres als vergröberte Gasmasse behandelt werden kann. Da 
anfängliche Ruhe der Steine zu Zusammenstürzen des Systems in 
kürzester Zeit führen muß (Nr. 35) bleibt nichts anderes übrig als 
die Annahme, daß sie freie Kegelschnitte, speziell Ellipsen beschreiben. 
Zur Abschätzung der Größenordnung dürfte folgende vereinfachte Be- 
trachtungsweise genügen. °?) 

Im Innern einer Kugel homogener Dichte erleidet ein materieller 
Punkt eine Anziehung proportional seinem Abstand vom Zentrum. 
Er beschreibt eine Ellipse und das Integral der kinetischen Energie 
ergibt sich zu 
(a) ”+ PB’r— const; B=+nGoe. 

Ist r, der maximale Abstand, und entspricht diesem die Geschwindig- 
keit v—=0, so folgt 

(b) Yun) 

und für die Geschwindigkeit beim Passieren des Zentrums v = fr,. 
Setzt man r, gleich dem Radius des betrachteten Fixsternsystems und 
o gleich dessen Dichte, so wird v = 65 km/sec. Unser Sonnensystem 
liegt angenähert im Zentrum unseres Milchstraßensystems, und die 
berechneten Geschwindigkeiten sind von der Größenordnung der Ge- 
schwindigkeiten der nächsten Sterne. 

Mit dem Fehlen der Zusammenstöße erlischt der Begriff der Tem- 
peratur und liegen Erörterungen dieser Verhältnisse nicht mehr im 


62) H. Poincare, Legons, chap. 12, sowie H. Kobold, Stellarastronomie, 
Eneykl. VI2,B,23, Nr. 50, Kinematik des Sternsystems. 


444 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Rahmen dieses Berichtes. Über eine kinetische Gastheorie ohne Zu- 
sammenstöße, das zugehörige Geschwindigkeitsverteilungsgesetz und 
den Aufbau von Sternsystemen unter dieser neuen Bedingung sei auf 
die Untersuchungen von Eddington‘?) und Jeans®*) verwiesen. Schwierig- 
keiten, wie sie sich hier darbieten, würden naturgemäß auch dann 
auftreten, wenn eine hinreichend kurze Momentaufnahme der Mole- 
küle eines wirklichen Gases zu interpretieren wäre. 


6. Über säkulare Stabilität der Gaskugeln.®) 


Dieser Gegenstand, der mehr in die Theorie der Gleichgewichts- 
figuren der Himmelskörper®®) gehört, berührt seiner Auswirkung nach 
auch das kosmologische Problem und sei hier nur insoweit behandelt, 
als der prinzipielle Unterschied einer inkompressiblen Flüssigkeit und 
eines Gases als aufbauendes Material hervortritt. 

Während die Theorie der Gleichgewichtsfigur inkompressibler Flüs- 
sigkeit durch zahlreiche Arbeiten in Etappen, die etwa durch die Namen 
Maclaurin, Jacobi, Poincare, Darwin, Lichtenstein charakterisiert werden 
können, zu einem gewissen Abschluß gelangt ist, sind die Probleme 
für gasförmige Himmelskörper (im weitesten Sinn des Wortes), von 
einzelnen Vorläufern abgesehen, erst durch Jeans‘) in Angriff ge- 
nommen worden. Wir halten uns im folgenden an dessen Aus- 
führung. 

41. Problemstellung. Die Störungen, die ein sich entwickelnder 
Himmelskörper erleiden kann, lassen sich im wesentlichen in drei 
Gruppen teilen, die als 

1. Rotationsproblem, 2. Gezeitenproblem und 3. Doppelsternsystem 
für vorliegende Zwecke hinreichend charakterisiert sind. Bezeichnet 
V, das Potential der Masse des zu behandelten Gebildes, das mit der 
Winkelgeschwindigkeit © um die 2-Achse rotiert, und V, das Po- 
tential der von außen wirkenden Kräfte, so handelt es sich bekannt- 
lich um Untersuchung der Flächenschar 


(66) 8=PV,+V,+10?(2? + y?) — const,, 


speziell um Bestimmung der Fläche, welche gerade die gegebene 


63) A. 8. Eddington, Stellar movements and the structure of the universe, 
Cambridge 1914, chap. XII. 

64) J. H. Jeans, Problems, chap. 10. 

65) Über den Begriff der sükularen Stabilität vgl. W. Thomson und Tait, 
Treatise of natural philosophy I, $ 345 sowie H. Lamb, Hydrodynamik, deutsche 
Übersetzung, Leipzig 1907, $ 204 und 352. 

66) 8. Oppenheim, Theorie der Gleichgewichtsfiguren, Encykl. VIa,B, 21. 

67) J. H. Jeans, Problems, chap. 7. 


41. Problemstellung. 42. Ein Grenzfall. 445 


Masse M des Gebildes umschließt, also der freien Oberfläche. Es 
ist klar, daß im Falle der Kompressibilität die Bestimmung von V, 
ungleich schwieriger ist wie im Falle g= const. Die Bedingung 
hydrostatischen Gleichgewichtes ist dp = —— od® mit der Folge, daß 
die Flächen gleichen Potentials stets Flächen gleichen Drucks und 
gleicher Dichte sind. Ist die Dichte variabel, so ist, um den Aufbau 
eindeutig zu machen, eine Beziehung zwischen p und o, also ein 


thermodynamischer Weg anzugeben. Auch hier erweist sich die 
ae 
elastische polytrope Beziehung p = o ” überaus zweckmäßig. Sie 
liefert (Nr. 7) 
R 


ap _ R . et we aıntt 
ie Rn DE 2 


Die Flächen ® = const. bestimmen Flächen « —= const. und es 
ergibt (entsprechend Nr. 17) sich für den Aufbau die Differential- 
gleichung 


(67) (n +14 0414 +47Ge — 20}, 


d.i. für o=0 die Differentialgleichung I (Nr. 1%); für n= (0 und 
n = © die Spezialfälle oe — const. und 7’ == const. enthaltend. 

Ist der Himmelskörper aus inkompressibler Flüssigkeit aufgebaut 
und wachsen die störenden Ursachen, V_ und », vom Werte Null an, 
so durchläuft er, von Kugelgestalt ausgehend, eine Reihe von Gleich- 
gewichtsfiguren, bis mehr oder minder plötzliche Instabilität eintritt. 
Sie wird eingeleitet, indem sich im Rotationsproblem und Doppel- 
sternproblem nur eine, im Gezeitenproblem unter Umständen mehrere 
Einschnürungen bilden. Von diesem Augenblick an hört die rech- 
nerische Behandlung auf und der weitere Verlauf der eintretenden 
Katastrophe läßt sich nur nach allgemeineren Gesichtspunkten be- 
urteilen. Wir schließen, daß ein aus inkompressibler Flüssigkeit auf- 
gebauter Himmelskörper sich schließlich stets durch Spaltung in einen 
oder mehrere Körper von gleicher Größenordnung teilt. 


42. Ein Grenzfall. Wegen der Schwierigkeiten, die sich im Falle 
kompressibler Flüssigkeit bei der Berechnung von V, ergeben, kon- 
struiert man einen Grenzfall. Es sei die Masse einer Atmosphäre so 
klein gegenüber der Masse eines Zentralkörpers, daß die von ihr aus- 
gehenden Gravitationskräfte vernachlässigt werden können. Setzt man 
den Zentralkörper als Kugel von der Masse M an, so ist zu unter- 


suchen die Form der Flächen 


(68) = N +V,+ 2 0° (x? + y?) = const. 





’ 


446 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Diese Anordnung ist bekannt als Modell von Roche. Ist V, und o 
gegeben, so ist ® als Funktion der Koordinaten z, y, 2 eindeutig be- 
stimmt, und zwei verschiedene Äquipotentialflächen können sich niemals 
schneiden. Als freie Oberfläche muß aus der Schar dieser Flächen 
diejenige herausgesucht werden, welche die gegebene atmosphärische 
Masse gerade umschließen kann. Diese Eindeutigkeit von ® hat zur 
Folge, daß es hier niemals, wie im Falle inkompressibler Flüssig- 
keit sieis, zu einem Teilungsprozeß kommen kann. Denn Bedingung 
für einen Teilungsprozeß ist, daß sich zwei verschiedene Gleich- 
gewichtskonfigurationen berühren. Lassen wir die Störungen V, und o 
von Null an wachsen, so werden dadurch Äquipotentialflächen be- 
stimmt, die immer mehr ihre Kugelgestalt verlieren und schließlich 
von geschlossenen zu offenen Formen übergehen. Ist ein kritischer 
Punkt überschritten, so existiert keine geschlossene Fläche mehr, 
welche die ganze Masse enthalten kann, und in der Weiterentwick- 
lung des Gebildes tritt eine Katastrophe ein. Von welcher Art sie 
ist, läßt sich beurteilen, wenn auch von der Störung V_ abgesehen 
und das reine Rotationsproblem 

(682) 9- + za@ 4 M)-C 

untersucht wird.%)®) Überschreitet € den kritischen Wert 2(Mo)°, 
so sind keine geschlossenen Äquipotentialflächen mehr vorhanden und 
keine Gleichgewichtsfigur mehr möglich. Die Meridiankurve der kriti- 
schen Fläche hat symmetrisch zur Rotationsachse zwei Doppelpunkte, 
die Fläche selbst in der Äquatorebene eine scharfe Kante. Ihr Äqua- 
torialradius ist 7, = (=), und es ist leicht ersichtlich, daß außer- 





halb einer Kugel von diesem Radius keine Masse mehr liegen kann, 
da die Zentrifugalkraft die Anziehungskraft überwiegt. Die Abplattung 
der kritischen Fläche beträgt ein Drittel. Zieht sich das Gebilde durch 
Ausstrahlung zusammen, so muß ® zunehmen; der Radius r, nimmt 
ab, die freie Oberfläche zieht sich zusammen, und da alle linearen 
Dimensionen im gleichen Verhältnis abnehmen, nimmt auch ihr Vo- 
lumen ab. Die überschüssigen Gasmassen gleiten auf diesen Flächen 
von den polaren nach den äquatorialen Gegenden ab und werden hier 
durch die sich öffnenden ®-Flächen gleichsam abgeblasen, gleichmäßig 
längs des ganzen Umfangs, oder im Gezeitenproblem in bestimmten 
ausgezeichneten Punkten. 


43. Anwendung auf gasförmige Gebilde. Wir sehen, daß die 


Katastrophe auf zwei verschiedene Weisen eintreten kann: bei Him- 
melskörpern inkompressibler Flüssigkeit durch Teilung, bei Bauart 


43. Anwendung auf gasförmige Gebilde. 447 


nach Rocheschem Modell durch Auswurf von Materie längs des Äqua- 
tors. Und dieser fundamentale Unterschied tritt nicht nur beim Ro- 
tationsproblem, sondern auch beim Gezeiten- und Doppelsternproblem 
in Erscheinung. Je nach diesem Verhalten unterscheiden wir Bau- 
typen A und B, A also aus inkompressibler Flüssigkeit gleicher 
Dichte, B bestehend aus punktförmigem Kern unendlich großer Dichte, 
umgeben von einer Atmosphäre verschwindend geringer Dichte. Wir 
suchen nach einer allgemeinen Bauart, welche die Modelle A und B 
als Grenzfälle enthält, also nach Modellen, die in stetiger Änderung 
der Bauart den Übergang von A nach B vermitteln. Dieses kann 
auf zwei verschiedene Weisen geschehen, einmal durch Modell C, be- 
stehend aus einem homogenen Kern inkompressibler Flüssigkeit, end- 
lichem Volumen und endlicher Dichte, umgeben von einer Atmo- 
sphäre vernachlässigbarer Dichte. Bezeichnen wir das Verhältnis 
Volumen der Atmosphäre : Volumen des Kerns mit s (also s—=0 für 
A, s=w für B), so ergibt die Jeansche Rechnung die kritischen 
Werte s—= } beim Rotationsproblem und s—=,, beim Gezeiten- 
problem; je nachdem s kleiner oder größer ist, verhält sich das Mo- 
dell C wie Modell A oder B. Thermodynamisch von Interesse ist 
die weitere Möglichkeit, die in einem Modell D zum Ausdruck kommt: 


Der Himmelskörper sei aufgebaut aus Gas im polytropen Gleich- 
gewicht. An jeder Stelle stehen Druck und Dichte in der Beziehung 


po, n= m die Klasse der Polytropen. Der Spezialfall n = 0 


liefert konstante Dichte, also Verhalten nach dem Modell A. Bauen 
wir Gaskugeln mit zunehmendem n, so konzentriert sich ihre Masse 
immer mehr nach dem Mittelpunkt.) Das Wachsen von » ist aber 
durch den Wert n=5, k= + begrenzt, da die Masse für n>5 
unendlich wird. Allein » — 5 gibt schon außerordentliche Massen- 
konzentrationen nach dem Mittelpunkt. Denn die Funktion u, (Nr. 8) 


ist = Vs und da die Dichte vu}, gilt für große r die 


Abnahme u, » a Wir folgern, daß polytrop aufgebaute Gebilde 


für n=0 sich wie Modell A, für n—=5 sich wie Modell B ver- 
halten. Wächst » bis 5, so muß ein kritischer Wert auftreten. Jeans 
hat ihn nur für das Rotationsproblem bestimmt. Er ist n=#, 
k—= 2,2, also folgt: Gaskugeln, die durch Schrumpfung ihre Rotations- 
geschwindigkeit steigern, zerfallen schließlich für O<n<} in zwei 
Teile von annähernd gleicher Größenordnung, während für 2.<n<d 


68) Vgl. die Tafel II in R. Emden, Gaskugeln, Kap. 5, p. 89. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 29 


448 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


das überschüssige Gas am Äquator abgeblasen wird. Für das Ge- 
zeiten- und Doppelsternproblem wurde dieser kritische Wert von n 
nicht näher bestimmt. Der Formelmechanismus läßt aber schließen, 
daß sich auch hier ein kritischer Wert n ergeben wird, der die Ka- 
tastrophen der zwei Modelle A und B trennt. Für kosmische Staub- 
massen, polytrop gebaut, gelten dieselben Gesetze. 

Gaskugeln im Strahlungsgleichgewicht befolgen die Bauart n = 3. 
Sie endigen also nicht durch Teilung, sondern durch Abblasen des Gases 
längs des Äquators (Ringbildung) oder an einzelnen ausgezeichneten 
Stellen (Spüralnebel). 

Für adiabatischen Aufbau, k=x, kommen nur ein- oder zwei- 
atomige, an der Grenze nur dreiatomige Gase in Betracht, n = 1,5, 
2,5 bzw. 3, so daß für konvektives Gleichgewicht die säkulare Stabilität 
nicht durch Teilung, sondern durch Entweichung vom Gas endigt. 

Das Vorhandensein zahlreicher Doppelsterne stellt die Frage, wie 
ein Aufbau von Gasmassen n <>, an der Grenze konstante Dichte, 
physikalisch zustande kommt. 


H. Freie Schwingungen einer Gaskugel. 


Die Schwingungen einer Atmosphäre haben für die Astronomie 
noch keine Bedeutung erlangt und fallen deshalb außerhalb des Rah- 
mens dieses Berichtes. Der Geophysiker findet hinreichend Orientie- 
rung bei Lamb.) Die Schwingungsmöglichkeiten einer Gaskugel sind 
ungleich mannigfaltiger als diejenige einer Kugel inkompressibler 
Flüssigkeit; sie sind nieht an die Bedingung konstanten Volumens 
gebunden, und gerade die so neu hinzukommenden radialen Schwin- 
gungsmöglichkeiten sind in erster Linie für die Astrophysik von 
Interesse, da die mit den Dichte- und Druckänderungen verbundenen 
Temperaturänderungen in einem periodischen Lichtwechsel in Er- 
scheinung treten können. 


44. Schwingungen bei konstantem Volumen. Die freien Schwin- 
gungen einer Kugel inkompressibler Flüssigkeit durch Wirkung innerer 
Gravitation, unter Voraussetzung bleibender Rotationssymmetrie, sind 
zuerst von W. T'homson'®) (1862) behandelt worden. Die Kugelober- 
fläche r = R verwandelt sich in die Sphäroidfläcke r=R-+ h 


(a) h=hPR,+hPR+hBR+ =IhP,. 

69) Lamb, Hydrodynamik, Kap. 10, $ 302—304. 

70) W. Thomson, Dynamical problems regarding elastic and spheroidal shells 
and spheroids of incompressible liquide (oscillations of a liquide sphere), London 
Roy. Soc. Trans. (1863) — Papers III, p. 384. 





44. Schwingungen bei konstantem Volumen. 449 


P, die zonale Oberflächen-Kugelfunktion von der Ordnung i und A, 
so kleine Längen, daß ihre Produkte: vernachlässigt werden können. 
(Deformation der Kugeloberfläche nach sektoriellen Kugelfunktionen 
dürfte stets zur Instabilität führen; Poincare.")) Die Schwingungen 
gehorchen einem Geschwindigkeitspotential 9, das durch eine Reihe 
räumlicher Kugelfunktionen 


) ‚- 2 
darstellbar ist. Da die Radialbewegung eines Teilchens sowohl als 


Eu als durch — - für r—=N darstellbar ist, folgt 


ap, 0 
(e) m Eh 


Das Potential dieser so deformierten Kugel für r—=R-+h ist be- 
kanntlich 


(d) 2 = —39(% +), 9=zroON. 


Wird weiter in der bekannten, aus der Eulerschen Gleichung folgenden 
Bedingung 


d 

(e) Pe — ) + eonst. 
p an der Kugelfläche r—= NR durch seinen Wert 
(f) p=ogJh—= o9Zh,P, 
ersetzt, so folgt unmittelbar 

2(W er » 4% 
(8) gh, Piz i 92i R was 
und daraus in Verbindung mit (c) die Schwingungsgleichung 
; a 9 Midi —1) 
(69) ae RB 5; 
und für die Schwingung von der Ordnungszahl i die Periode 





RN 2: +1 u +1 
9 Hd) 9% = 11 897 Br ra sec. 









(70) „w=2n 


Dieselbe Schwingungsdauer würde sich für eine polytrope Gaskugel 
von der Klasse n —= 0 ergeben. Für n > 0) muß die Polytropenklasse 
in die Schwingungsdauer eingehen und die exakte Lösung würde 
große Schwierigkeiten ‘bereiten. Allein es zeigt sich’®), daß für 
n größer als 0, und die praktisch allein in Betracht kommenden 
Kugeln haben n > 1,5, sich das Problem außerordentlich vereinfacht. 


71) H. Poincare, Sur l’&quilibre d’une masse fluide animde d’une mouve- 
ment de rotation, Acta math. 7 (1885), p. 259. 
72) R. Emden, Gaskugeln, Kap. 18, $ 42, 43. 
29* 


450 VIe, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Denn diese Kugeln endigen mit der Dichte o=0 und der Dichte- 
gradient nach innen nimmt mit wachsendem n ab. Die zwischen der 
ursprünglichen Kugelfläche r = NR und der Sphäroidfläche R + h ver- 
schobenen Massen sind deshalb von außerordentlich geringer Dichte, 
so daß ihr Beitrag zum Potential & in (d) vernachlässigt werden und 
dieses = g®R angesetzt werden kann. An Stelle der Gleichungen (e) bis 
(g) treten die einfacheren 


() 2ER, 
(#) a b 
@ RE 


Die Schwingungsgleichung vereinfacht sich zu 


a2 5, ; 
(69a) 58 





die Schwingungsdauer wird, unabhängig von der Polytropenklasse, 


(70a) An 224° Mn 11 897 5 sec. 


Die Periode = 2: ist gleich der Umlaufszeit eines Trabanten, 


der an der Oberfläche dahingleitet. Der Fall © = 1 liefert kein brauch- 
bares Resultat; es resultiert bekanntlich eine gleich große, lediglich 
verschobene Kugel. Bei gleicher Ordnungszahl erweist sich die 
Schwingungsdauer bei Inkompressibilität größer, da die Anziehungs- 
kräfte der über N hinausgehobenen Teilchen nicht vernachlässigt 
werden dürfen, und diese somit ein Feld geringeren Potentialgefälles 
durchlaufen. Für wachsende © gehen beide Schwingungsdauern (wie 
erforderlich) ineinander über. Das Verhältnis beider Schwingungs- 
dauern beträgt im Maximum (für die Grundschwingung i—= 2) 1,58. 
In beiden Fällen ergibt sich die Schwingungsdauer gleicher Ordnungszahl, 
unabhängig von Masse und Radius, umgekehrt proportional der Wurzel 
aus der mittleren Dichte. Für eine polytrope Gaskugel von der mitt- 
leren Dichte 1 wird 


= 11897 seo — 1917 + 
und für die Grundschwingung <= 2 wird 


rt —= 8412” — 220m 198, 


45. Schwingungen bei konstanter Form (Pulsationen). 451 


Es seien noch einige Werte der Grundschwingung angegeben: 


Dichte o=1,3784g/cm? (Sonnendichte) = 7T166sec—= 1Y:59m26* 
0,01 84120 „= 232 
0,001 266020 „ — 34 1h54m 
0,0001 841200 „ — 9417R40m. 


Bei annehmbaren Dichten ergeben sich Perioden von gleicher 
Größenordnung, wie sie im Lichtwechsel der Cepheiden-Sterne beob- 
achtet werden. Da aber diese Schwingungen lediglich in einer Form- 
änderung bei konstanter mittlerer Dichte bestehen, dürften sie direkt 
schwerlich in Erscheinung treten. 


45. Schwingungen bei konstanter Form (Pulsationen). Die 
radialen Schwingungen einer Gaskugel sind zuerst von A. Ritter in 
seiner 5. Abhandlung im Jahre 1879 untersucht worden. Sein Ver- 
such, zur Erklärung des Lichtwechsels veränderlicher Sterne die mit 
den Dichteänderungen einer pulsierenden Gaskugel verbundenen Tem- 
peraturschwankungen beizuziehen, muß angesichts der damaligen Ent- 
wicklung der Stellarphysik als kühne Hypothese bewundert werden. 
In neuester Zeit sind diese Untersuchungen mit gleichem Endzwecke 
von A. Eddington, allerdings in ungleich strengerer mathematischer 
Behandlung, wieder aufgenommen worden.”®) 

1. Die Untersuchungen Ritters. Seine erste Untersuchung beschränkte 
sich auf die Behandlung hinreichend kleiner Schwingungen einer Kugel 
konstanter Dichte, unter der Voraussetzung 

a) daß die pulsierende Kugel von räumlich konstanter Dichte 

bleibt, 

b) daß die Teilchen während der Schwingung der Poissonschen 

Gleichung p © g* gehorchen. 

Diese beiden Sätze widersprechen sich, da anfängliche räumliche 
Konstanz der Dichte nur bei Bewegung längs einer Kosmogenide er- 
halten bleiben kann. Bei hinreichend kleinen Schwingungen dürfte 
diese Ungenauigkeit kaum in Betracht kommen. Die Rechnung ge- 
staltet sich wie folgt: 


73) Betrachtungen dieser Art finden sich ferner in einer Arbeit von 
F. R. Moulton, doch ist das von ihm berechnete Ergebnis, daß eine radiale 
Schwingung der Sonne, die ihren Radius nur um 0,1” ändert, die Strahlung zur 
Zeit des Maximums das 2,56fache zur Zeit des Minimums sein läßt, auffallend 
und mit Beobachtungen von Cepheiden-Sternen und den nachfolgenden Resul- 
taten Eddingtonscher Untersuchungen schwerlich vereinbar. F. R. Moulton, On 
certain implications of possible changes in the form and dimensions of the sun 
and some suggestions towards explaining certain phenomena of variable stars, 
Astroph. Journ. 29 (1909), p. 257. 


452 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Größen, die sich auf den Ruhezustand beziehen, tragen den In- 


dex 0. Das im Abstand r, gegebene Teilchen hat verschoben den 
Abstand 


(a) r=n+$:=r(l+ 0), 
und da die Kugel von konstanter Dichteanordnung bleibt, also gleich- 
förmig kontrahieren soll, wird im Abstand r 


(b) g=H1l+ 0»), e=H(1l+ 0), r=r,(1+0), 


und nach der Poissonschen Gleichung 


(©) nl) —nUter”. 
0 
Die Schwingungsgleichung lautet 


d? 1d 
(d) eg 
und da 
1.,\@ 1 dp, 8% 3x 
OB U SE SR Er EEE 


wird die Schwingungsgleichung 
- d® i us 
(70) = _g[ld +2 (14 0)-]. 


Für kleine Schwingungen sind höhere Potenzen von & zu vernach- 
lässigen, und wegen 


I® Te a Ara a Ne 
wo 9, und R, sich auf die Oberfläche RR wird 
d? 
(708) = 86: 9 
und somit die Schwingungsdauer 
TIERE Mr 
(71) = 2a) 4 2) Fe — 11 397 y 7 sec. 


Für «—= $ wird die Schwingungsdauer selbstverständlich unendlich, 
da dreiatomige Gase keine stabilen Gaskugeln aufbauen. Für ein- 
und zweiatomige Gase ergeben sich Zeiten, die der Größenordnung 
nach mit den in Nr. 44 behandelten Grundschwingungen überein- 
stimmen. Für den Lichtwechsel der periodisch Veränderlichen ergibt 
sich somit nach Ritter der Satz: 

Die Dichtigkeit der Fixsterne verhält sich umgekehrt wie die Qua- 
drate ihrer Lichtwechselperioden. 

In seiner elften Abhandlung erweitert Ritter diese Betrachtungen 
auf Schwingungen von endlicher Amplitude. Setzen wir1+o= 9, 
so wird die Schwingungsgleichung 


R, d’p 1 1 
(72) 5 7 rm a Er a 


45. Schwingungen bei konstanter Form (Pulsationen). 453 

und deren 1. Integral 
OR, fdg\? 2 2 1 

(73) €em= rn (3) = r7 — 3@— 1) pa-d = const. 
Die Konstante bestimmt sich durch den Wert & beim Durchgang durch 
die Gleichgewichtslage, also wird 
ri Ba. 5.6 FE 2 1 o 31 —4 
(13a) (a) Ei 3% — 1) p@=D r 2 Re YA St 
Damit ergeben sich zwei verschiedene Arten von Bewegung, je nach- 


dem &, größer oder kleiner 2n- 
die nach außen gerichtete Bewegung zum Stillstand. Ist &, und da- 
mit die kinetische Energie, mit welcher die Massen die Gleichgewichts- 
lage nach außen passieren, zu groß, so stiebt die Kugel auseinander. 
Darauf gründet Ritter seine Aufsehen erregende Einteilung der Him- 
melskörper in zentrifugale und zentripetale Gebilde.”*) 

Diese Theorie Ritters dürfte sich aber nicht halten lassen. Die 
oben mitgeteilten grundlegenden Formeln sind, wie bereits bemerkt, 
abgeleitet unter den beiden Annahmen, daß die Teilchen einer pulsie- 
renden Kugel der Poissonschen Zustandsgleichung folgen, die Kugel 
aber von räumlich konstanter Dichte bleibt. Diese zweite Annahme 
(© unabhängig von r,) ist aber nicht nur gänzlich willkürlich, son- 
dern wie aus der strengen Behandlung von Eddington (siehe unten) 
hervorgeht, mit der angenommenen adiabatischen Zustandsänderung 
unvereinbar. Durchläuft die Kugel mit räumlich konstant bleibender 
Dichte eine Reihe von Gleichgewichtszuständen, so müssen die Teil- 
chen kosmogenetische Zustandsänderung p - v* = const., k = 3 zurück- 
legen; es ist gänzlich willkürlich, die Teilchen unter der Annahme 
p-v* == const. dieselbe Dichte erreichen zu lassen und die veränderten 
Druckwerte als die den Schwingungsprozeß treibenden Kräfte anzu- 
sehen. 

2. Die Untersuchungen A. Eddingtons.”°) Die Werte in der Gleich- 
gewichtslage seien wieder durch den Index O0 ausgezeichnst. Bei der 
Verschiebung gehen Druck, Dichte und Abstand vom Zentrum über in: 


P=pnl+p) e=-aol+ta), r=n(l+9), 
mit 9,, 0, und & als so kleinen Größen, daß deren Produkte und 
höhere Potenzen vernachlässigt werden können. Der Aufbau der Kugel 





Nur im zweiten Fall kommt 





74) Vgl. auch den Art. Kosmogonie in Valentiners astronomischem Wörter- 
buch, Breslau 1897—1902. 

75) A.S.Eddington, On the pulsations of a gaseous star and the problem of 
the cepheid variables, London Astr. Soc. Month. Not. 79 (1918), Part I, p. 2; 
II, p. 177. 


454 VI 2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


in der Gleichgewichtslage bleibt vorderhand willkürlich, die schwin- 
genden Teilchen aber sollen adiabatische Zustandsänderung pv’ = const. 
befolgen, so daß die Beziehung gilt p, = yo,. Während aber bei 
Ritter über die Größe & willkürliche Annahmen [& unabhängig von r,| 
gemacht werden, um auf eine Schwingungsgleichung, die & als Funk- 
tion der Zeit liefert, zu erhalten, wird bei Eddington das Problem 
umgekehrt. Die Kugel soll Schwingungen ausführen von einer Periode 


ı, N= nr, und gesucht wird die Funktion, die dann & im der Ab- 


hängigkeit von r, darstellt. An der Oberfläche der Kugel muß & selbst- 
verständlich gewissen Bedingungen genügen; und durch Erfüllung 
dieser Randwerte wird die bis dahin unbestimmt gelassene Periode 7 
berechnet. In Durchführung der Rechnung ergibt sich für die Be- 
ziehung zwischen & und r, die Differentialgleichung zweiten Ordnung 








HET) ä]-0 
Io Yo ®o 


mit u = als einer reinen Zahl. (Setzt man mit Ritter & unab- 


Eu 
3y—4 9 

Der Aufbau der Kugel im Gleichgewichtszustand kommt in dem 
Faktor u zum Ausdruck. Aufbau der Kugel nach einer polytropen » 


ergibt (Nr. ) u=(n-+]1) aa, der Betrag kann den Zahlen- 


tabellen von R. Emden entnommen werden. Die Gleichung selbst 
kann nur durch mechanische Quadratur numerisch behandelt werden. 
Eddington behandelt speziell den Aufbau nach der Polytropen n = 3, 
die sich für Strahlungsgleichgewicht ergibt. Zu diesem Zwecke wird 
an die Stelle von r die unabhängige r, eingeführt, die für r, = 6,9 
die Oberfläche der Kugel bestimmt (Nr. 19). Dann ergibt sich 


0 





hängig von r,, so ergibt sich sofort seine Periode P = 22V 





d?& 4— ud a? au Ar 
(14a) PrrY7 3 ı, re nt, 
a EV Rai N 
aan Y ka en, A i Y’ 


wobei (&) sich auf das Zentrum der Kugel vom Radius R bezieht. 


0 


Unbestimmt ist der Wert von y. Er wird (siehe unten) in der Nähe 


von x = = liegen, so daß für ein-, zwei- bzw. dreiatomige Gase a in 


v 


der Nähe von 0 bis ? variiert. Zu einer Reihe von y-Werten werden 
durch numerisches Abtasten die zugehörigen »-Werte gesucht, welche 
die Differentialgleichung derart erfüllen, daß der erste Schwingungs- 
bauch, gekennzeichnet durch die Bedingung p,2, = 0, an die Ober- 


45. Schwingungen bei konstanter Form (Pulsationen). 455 


fiäche der Kugel zu liegen kommt. Es ergibt sich so mit hinreichen- 
der Genauigkeit die Beziehung ®® = ‘a, so daß sich für die Schwin- 
gungsdauer 7 die Lösung ergibt 








Kr C 270,R 7/10 
(75) T Ve, Br Yra’ Gm 68% 3p, 2 
Für den typischen Riesenstern Eddingtons (vgl. unten Nr. 62) wird 
C= 25080 0.68; Yo, Tage. 
Vra 


Die einfache Theorie Ritters liefert das gleiche formale Gesetz, doch 
hat die Konstante den Einheitswert 11897 sec. [Die Behandlung 
solcher Schwingungsprobleme führt stets auf die Wertbestimmung 


2 
eines Ausdruckes z?o,, welcher dem Ausdruck ER entspricht, auf 


den Rotationsprobleme führen.] Damit ist die mathematische Seite 
des Problems erledigt. r kann unmittelbar beobachtet werden; 9, ist 
für n—= 3 (Strahlungsgleichgewicht) = 54 - 9, og die mittlere Dichte 
die durch Masse und Radius, welche Größen aus Größenklasse und 
effektiver Temperatur abgeschätzt werden können, bestimmt ist. Un- 
bestimmt bleibt aber der Exponent y in der adiabatischen Beziehung 
pv’ —= const. Da hier p die Summe von Gasdruck und Strahlungs- 


druck bedeutet, ist y nicht gleich « — -?. Wie Eddington zeigt [l. e. 


Gleichung (24)] läßt sich y aus x und der Masse der Kugel bestimmen. 
Unbestimmt bleibt noch der Wert « der hoch dissoziierten und ioni- 
sierten Masse. Der Maximalwert ist höchst wahrscheinlich auch hier }, 
der Minimalwert größer als +. Läßt man x von 5 +5 bis 5 +3 
variieren und berechnet den Mittelwert von e, für neun typische 


Cepheiden-Sterne, so berechnet sich 
2,88 d<r<N22d, 


während im Mittel für diese neun Sterne 5,37 d beobachtet wurde. 
Für diese schwankt das Produkt ro, innerhalb der Grenzen 0,70 
bis 1,12 um den Mittelwert 0,88, so daß der oben angeführte Satz 
Ritters z Yo, — const. für Riesensterne im Strahlungsgleichgewicht hin- 
reichende Genauigkeit erlangt. 

Berücksichtigt man bei Aufstellung der Differentialgleichung noch 
die Glieder zweiter Ordnung, so läßt sich zeigen, daß der Schwin- 
gungsvorgang nicht mehr rein harmonisch, sondern von Typus 


a, cos nt — 2a, cos 2nt 


verläuft, wodurch die bekannte Assymmetrie der Lichtwechselkurve 
der Cepheiden-Sterne qualitativ wiedergegeben wird. 


456 VIe, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Die Amplitude OR der Schwingung kann der Beobachtung ent- 
nommen werden, denn sie ist gleich dem Elemente a sin‘ einer hypo- 
thetischen Kreisbewegung. Für die untersuchten Cepheiden-Sterne 


schwankt = zwischen 5°/, und 11°/,. Der Betrag des Lichtwechsels 


ist angenähert gleich dieser relativen Änderung des Radius. 

Es sei noch daran erinnert, daß man es bei dieser Betrachtung 
stets mit freien Schwingungen zu tun hat, die einmal erregt, ab- 
klingen. Bei den unter Formänderung vor sich gehenden Sphäroidal- 
schwingungen existiert ein durch die Zähigkeit bedingtes logarithmi- 
sches Dekrement. Nach H. Lamb‘®) berechnet sich die Zeit, in wel- 


cher das Geschwindigkeitspotential auf den Wert — sinkt, für die 
Teilschwingung i zu 
(76) =- EHEN. ” sec. 

@—NV(2i +1) v 
Für eine Kugel von der Größe der Erde (# = 6,7: 10° cm) und der 
Zähigkeit des Wassers (v = 0,0178) folgt 7 = 1,44 - 10"! Jahre. Selbst 
wenn man mit Darwin für v die Zähigkeit des Harzes, v—=1,3-10°g, 
g —= 980 setzt, ergeben sich noch 180 Stunden. Im Gegensatz hierzu 
erlöschen die radialen Pulsationen der Gaskugel durch Ausstrahlung 
der Schwingungsenergie. Für Cepheiden-Sterne erlöschen die Schwin- 
gungen nach Eddingtons Abschätzung in Zeiträumen von der Größen- 
ordnung 1500 Jahre. Unbestimmt bleiben die Ursachen des ersten 
Anstoßes und namentlich der Umstand, daß nicht alle Sterne, sondern 
nur gewisse, einstweilen noch nicht faßbare Sterne, im Laufe ihrer 
Entwicklung, wenn auch nur vorübergehend, Cepheiden-Charakter an- 
nehmen. 


III. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von 
thermischer Energie, Gravitationsenergie und Strahlungsenergie. 


In dem vorangehenden Abschnitte wurde das Verhalten der Him- 
melskörper behandelt, ohne auf den Strahlungsprozeß Rücksicht zu 
nehmen. Daß deren Aufbau und die Strahlung in Wechselwirkung 
stehen müssen, hat (1894) R. A. Sampson”) betont, ohne aber diese 
Beziehungen quantitativ fassen zu können; und bereits früher hat 
A. Ritter diese Verhältnisse wiederholt gestreift, ohne zu nennens- 
werten Resultaten zu gelangen. Dies ganze Gebiet wurde 1906 in 


76) H. Lamb, Hydrodynamik, Kap. 11, $ 338. 
77) R. A. Sampson, Rotation and mechanical state of the sun, London Astr. 
Soc. Mem. 51 (1904), p. 62. 


Aufbau der Himmelskörper mit Rücksicht auf Strahlung. 457 


einer kurzen, aber grundlegenden Arbeit von K. Schwarzschild'®) auf- 
geschlossen. Während bisher der Aufbau eindeutig gemacht wurde 
durch eine vorgeschriebene Bedingung zwischen Druck und Dichte, 
und, falls eine Zustandsgleichung des aufbauenden Materiales vorlag, 
sich die Temperatur gleichsam als Nebenprodukt ergab, tritt sie nun, 
da die Strahlung mit der 4. Potenz verknüpft ist, mit den mechani- 
schen Größen gleichberechtigt auf. Das Hauptergebnis dieser Arbeit 
besteht in dem Nachweis, daß der Aufbau ebenfalls eindeutig gemacht 
werden kann durch die Bedingung, daß in Folge der Strahlungsbilanz 
kein Teilchen seine Temperatur ändert, welcher Zustand seither nach 
Schwarzschild mit „Strahlungsgleichgewicht“ bezeichnet wird. Der 
Strahlungsdruck wird weder erwähnt noch berücksichtigt; da aber 
nur der Aufbau von Sternatmosphären behandelt wurde, ist diese 
Unterlassung, wie sich zeigen wird, ohne wesentliche Bedeutung und 
kann nachträglich leicht ausgeglichen werden. In Anwendung ergab 
sich eine mit den Messungen vorzüglich stimmende Helligkeitsver- 
teilung der Sonnenscheibe. Dies Problem wurde von anderen Autoren 
eingehender behandelt, namentlich mit Rücksicht auf das Verhalten 
in den einzelnen Wellenlängen und mit Rücksicht auf die Streuung 
des Lichtes. Über diesen Fragenkomplex wird in den Nrn. 52-56 
berichtet. Den Strahlungsdruck, erstmals von J. ©. Maxwell auf Grund- 
lage der elektromagnetischen Lichttheorie erschlossen und durch die 
Relativitätstheorie, welche der Strahlung Bewegungsgröße beilegt, der 
Anschauung leichter zugänglich gemacht, zuerst als tragendes Prinzip 
mitberücksichtigt zu haben, ist das Verdienst von T. Bialobjewski"®), 
dessen Arbeit (Nr. 48) merkwürdigerweise keine Beachtung gefunden 
zu haben scheint. Seine Behandlungsweise steht gewissermaßen in 
direktem Gegensatze zu Schwarzschild: Es wird wohl der Strahlungs- 
druck berücksichtigt, hingegen ist von Strahlungsgleichgewicht nicht 
die Rede. Der Aufbau geschieht nach einer Polytropen von der Klasse 
n, der tragende Druck aber setzt sich aus Gasdruck und Lichtdruck 
zusammen. Bialobjewski zeigt die außerordentliche Vereinfachung, die 
sich ergibt, wenn n—=3 gesetzt: wird, welcher Spezialfall ausgear- 
beitet wird, und kommt hierdurch, obwohl unbewußt, auf Strahlungs- 
gleichgewicht, welches, wie sich zeigen wird, für die Hauptmasse mit 
der Polytropen n=5 sich deckt. Daß der Spezialfall n = 3 diese 
ausgezeichnete Rolle spielt rührt daher, daß die Temperatur nach dem 


78) K. Schwarzschild, Über das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre, Göt- 
tingen Ges. Nachr. 1906, p. 1. 

79) T. Bialobjewski, Sur l’equilibre thermodynamique d’une sphere gazeuse 
libre, Cracowie Acad. Bull. 1913, p. 64. 


458 VI2, 24. R. Emden. 'Thermodynamik der Himmelskörper. 


Stefanschen Gesetze in der Potenz n+1=4 auftritt. Das vor- 
liegende Problem durch Zusammenfassung von Strahlungsgleiehgewicht 
und Strahlungsdruck im Prinzip endgültig gelöst zu haben, ist das 
Verdienst von A. S. Eddington.®) Die Bedeutung dieser Untersuchungen 
für die gesamte Fixsternphysik wird erhöht durch den Umstand, daß 
Rücksicht genommen wird auf Energiequellen, weiterhin mit & be- 
zeichnet, die notwendigerweise vorhanden sein müssen, um die Strah- 
lung zu decken; deren Natur uns zwar vorderhand unbekannt ist 
deren Auswirkung sich aber trotzdem mathematisch fassen läßt. In 
der Nr. 67 wird sich zeigen, daß sich die endgültige Lösung dieses 
Problems zuzuspitzen scheint auf die Erkenntnis des Absorptions- 
koeffizienten k, oder anders ausgedrückt, der Art und Weise, wie die 
ausgetriebenen Lichtquanten das Sterninnere durchsetzen. Ein tieferes 
Eindringen in die Physik der Fixsterne wird nur dadurch ermöglicht, 
daß in ihnen in Folge der außerordentlich hohen Temperaturen die 
Materie in Atomreste und Elektronen aufgespalten vorliegt, so daß 
neuere Anschauungen über Atombau zur Auswirkung gelangen können. 
Der Weg zum Fixstern führt über das Atom. 


A. Exkurs über Strahlung. 


46. Wärmetransport und Wärmequellen. Es läßt sich leicht 
überschlagen, daß die von den Sternen, speziell der Sonne, ausge- 
stahlten Energiemengen nicht durch Wärmeleitung gemäß dem Fourier- 


schen Gesetze AQ=7] Fr aus dem Sterninnern nach der Oberfläche 


transportiert werden können. Für die Sonnenoberfläche, die Solar- 
konstante = 2 cal/em? min angenommen, wird AQ=1,5 10° cal/cm? sec; 
für Wasserstoff von Atmosphärendruck und 0? ist n = 0,00032 cal/cmsec 
und bei Anstieg proportional der Temperatur — 32 für T = 10°, so 


daß unter dieser Bedingung n- —= 47°/em erforderlich wäre. Für 


das Sonneninnere eine Temperatur von 7-10° und lineares Tempe- 
raturgefälle angenommen, ergibt sich, für die äußeren Schichten viel- 


AT 7.108 h Ei 0 

fach zu hoch, —— = — —, = 10?%/em. Für die äußeren Schichten 
Ax 7-10 ” 

des Eddingtonschen Riesensternes (Nr. 62) wird sich a von der 


80) A. S. Eddingion, On the radiative equilibrium of the stars, London Astr. 
Soc. Month. Not. 77 (1916), p. 16, sowie: further notes, ebenda p. 597. — In ab- 
gerundeter Darstellung: Das Strahlungsgleichgewicht der Sterne, Ztschr. f. Phys. 
7 (1921), p. 351, und in kürzerer Wiedergabe: On the condition in the interior 
of a star, Astroph. Journ. 48 (1918), p. 205. 


46. Wärmetransport und Wärmequellen. 459 


Größenordnung 10° erweisen. Da die erforderlichen und vorhandenen 
Temperaturgradienten von gänzlich unvereinbarer Größenordnung sind, 
ist Wärmetransport durch Leitung ausgeschlossen. Auch Konvektions- 
ströme dürften infolge der großen Zähigkeit des die Sterne aufbauen- 
den Materials (vgl. Nr. 38) zum Wärmetransport wenig beitragen. 
Diese für die Sonne geltenden Verhältnisse können auf die überwälti- 
gende Masse der Fixsterne übertragen und so geschlossen werden, 
daß die Wärme auch im Sterneninnern lediglich durch Strahlung 
transportiert wird. 

In Nr. 1 wurde gezeigt, daß die von der Sonne und deshalb 
höchstwahrscheinlich auch von den übrigen Sternen ausgesandten 
Energiemengen nicht aus Quelle mechanischen oder chemischen Ur- 
sprungs gedeckt werden können. Diesem Umstande Rechnung tragend, 
hat A. 5. Eddington®®) die vielfach bewährte Annahme eingeführt, daß 
die gesamte ausgesandte Strahlung gedeckt wird durch Energiequellen 
vorderhand unbekannten, wahrscheinlich atomaren Ursprungs von einer 
Ergiebigkeit 4x Erg/gsec = 4rso Erg/em?sec. Die gesamte ausge- 
sandte Strahlung L eines Sterns von der Masse M wird gesetzt 
(77) L=4nsM, 


wo & ein Mittelwert von & ist; und diese Energiequellen sichern die 
Konstanz der Temperatur der strahlenden Teilchen. Für die Riesen- 
sterne hat R. Emden®!) Axs& zu rund 8,5 - 10° cal/g sec = 35 Erg/g sec, 
also 2 zu rund 3 Erg/gsec abgeschätzt.#) E. A. Milne®) gibt = zu 
rund 200 Erg/gsec an, eine in Anbetracht der Unsicherheit des der 
Schätzung zugrunde liegenden Beobachtungsmaterials genügende Über- 
einstimmung. Diese Energiemengen sind verschwindend klein gegen 
die Energiemengen, welche die isolierte Masseneinheit Sternmaterie 
auf Grund des Kirchhoffschen Gesetzes ausstrahlt. Da die Massenein- 
heit von der Temperatur 7’ bekanntlich 4ks 7* cal/sece aussendet (% als 


m für k nur 
= 1 und 7= 10° von der Größenordnung 10-13. Trotzdem ist die 
Konstanz der Temperatur gesichert. 

Über die Art und Weise, wie diese Energiequellen im einzelnen 


arbeiten, sind vorderhand zwei verschiedene Auffassungen möglich. 


Absorptionskoeffizient), ergibt sich dies Verhältnis 


81) R. Emden, Über Strahlungsgleichgewicht, Ztschr. f. Phys. 22 (1924), 
pP: 166, 

82) Für die Capella wird sich (Nr. 66) genauer € —=4,77, Ans = 59,9 Erg/sec g 
ergeben. | 
83) E. A. Milne, On the equation of transfer of radiation and their appli- 
cation to the interior of a star, Cambridge Phil. Soc. Proceed. 21 (1923), p. 701. 


460 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


In der Behandlungsweise von Eddington®®) liefert jedes Volumen- 
element 1. thermische Strahlung von der Temperatur 7, 2. Strahlung 
der Energiequelle &, beide von verschiedener sehr kurzer Wellenlänge, 
die beide auf der Wanderung von benachbarten Volumelementen 
bald absorbiert und in thermische Energie umgesetzt werden. Die 
Temperatur berechnet sich unabhängig von der Existenz der Energie- 
quellen z gemäß dem Kürchhoffschen Gesetze aus der absorbierten 
Strahlung. Im Gegensatz vertritt E. A. Milne®) die Ansicht, daß 
die Energiemengen & bereits in dem aussendenden Volumelement ab- 
sorbiert und in thermische Energie umgesetzt werden, also von 
höherer Temperatur als der absorbierten Zustrahlung entspricht. Die 
Energiequellen & würden z. B. bei radioaktivem Ursprung im Sinne 
Eddingtons, hingegen durch Kontraktionsenergie geliefert im Sinne 
Melnes wirken. Die Verschiedenheit des mathematischen Ansatzes 
wird sich in der folgenden Nr. 47 ergeben. Da, wie gezeigt, die 
Energiequellen & im Verhältnis zur Körchhofjschen Strahlung außer- 
ordentlich klein sind, führen beide Ansätze praktisch zu gleichem 
Ergebnis. 

Als Energiequellen e dürften ausschließlich atomare Prozesse in 
Betracht kommen.®*) In radioaktiven Vorgängen stehen nach Labora- 
toriumsphysik ungeheure Energiemengen zur Verfügung, allein nach 
Astrophysik müssen diese anders eingeschätzt werden. 1 g Radium 
liefert bei seinem Zerfall wohl 10° eal, aber um die verhältnismäßig 
geringe Sonnenstrahlung zu decken, müssen jährlich 10% g Radium 
—= 10? Sonnenmassen zum Zerfall kommen. 1 g Uran im Gleich- 
gewicht mit seinen Zerfallprodukten liefert stündlich rund 10% cal.; 
eine Sonne aus Uran würde ihren Strahlungsbedarf also beinahe 
decken. Da eine Steigerung der radioaktiven Tätigkeit bis Temperaturen 
von 10° wahrscheinlich ausgeschlossen ist, dürften sich diese Zahlen 
auch bei vielfach höherer Fixsterntemperatur nur unwesentlich ändern. 
Einen Ausweg aus diesen Schwierigkeiten würde z. B. die Annahme 
liefern, auf den Sternen ungleich radioaktivere Stoffe anzunehmen, 
die in der stark gealterten Erdkruste bereits verschwunden sind.®) 
Gewaltige Energiemengen stehen ferner zur Verfügung, falls sich ein 
Atomgewicht ändert. Bei der Bildung von Helium aus Wasserstoff 
sinkt das Atomgewicht des letzteren von 1,0077 auf 1, so daß bei 
der Umwandlung von 1 g Wasserstoff 0,0077. 9.10% Erg — 1,7. 10% cal 


84) Auf die Bedeutung radioaktiver Prozesse für die Energiebilanz der 
Sonne hat bereits H. Poincare (Lesons $ 162—163) hingewiesen; die Hypothese 
uns’ unbekannter Elemente stärkster Radioaktivität wird von W. Nernst, Das 
Weltgebäude im Lichte neuerer Forschung, Berlin 1921, vertreten. 


47a. Größenordnung des Lichtdruckes an der Sonnenoberfläche. 461 


zur Verfügung stehen. Zur Bestreitung der Sonnenstrahlung müßten 
also jährlich 10% g = 10”! Sonnenmassen zur Umwandlung kommen. 
Noch gewaltigere Energiemengen würde die sehr hypothetische An- 
nahme liefern, daß Elektronen vollständig mit den Atomkernen zur 
Vereinigung kommen würden. Eine Deckung der Strahlung auf Kosten 
der Sternmasse wird in Nr. 69 besprochen. Die Frage nach der Natur 
dieser Energiequellen &, die notwendigerweise vorhanden sein müssen, 
bleibt, namentlich in Rücksicht auf unsere Unkenntnis der absoluten 
Zeitskala kosmogonischer Vorgänge, offen. 


47 a. Größenordnung des Lichtdruckes an der Sonnenoberfläche. 
Es ist für die folgenden Betrachtungen von Nutzen, Größe und Wir- 
kung des Strahlungsdruckes in einem anschaulichen Bilde beurteilen 
zu können. Dazu dient ein von A. $. Eddington®) gegebener Spezial- 
fall. Ein Strahlungsstrom, der & Erg/see cm? befördert, entwickelt 
(Nr. 47) bei vollständiger Bremsung (Absorption) einen Lichtdruck von 


- Dyn/em?. In diesem Sinne entspricht einer Solarkonstante von 


1,93 cal/em?min an der Sonnenoberfläche ein Lichtdruck von rund 
2 Dyn/em?. Dieser Solarkonstanten entspricht eine effektive Tempe- 
ratur von rnnd 6000° Nimmt man an, daß aus einer Sonnenschicht 
von der Temperatur rund 11000° bereits schwarze Strahlung aus- 
bricht, so entspricht dieser ein Lichtdruck von rund 30 Dyn/cm?. 
Da die Masse 1 g an der Sonnenoberfläche 26700 Dyn. wiegt, kann 
also hier durch die Strahlung eine Gasmasse, welche sie vollständig 
absorbiert, in der Mächtigkeit von nur 1 mg/cm? schwebend erhalten 
werden. Betrachtet man eine Protuberanz von 10000 km Erstreckung, 
so darf, falls sie durch Lichtdruck getragen werden soll, ihre Mäch- 
tigkeit nicht mehr als 1 mg/em?, ihre Dichte also nicht mehr wie 
10-12 o/em? betragen. (Über die Absorption eines Gases von dieser 
Verdünnung vgl. Nr. 75.) Soll die Korona vollständig durch Licht- 
druck getragen werden, so kann ihre Dichte zu < 10"? g/cm? abgeschätzt 
werden. Dichten gleicher Größenordnung ergeben sich für einen Ko- 
meten, falls die Repulsion vollständig durch Lichtdruck erfolgt. Seine 
Entfernung von der Sonne spielt dabei keine Rolle, da Lichtdruck 
und Anziehung beide quadratisch mit der Entfernung abnehmen. 
Der Lichtdruck an der Sonnenoberfläche erweist sich so äußerst 
klein, und verschwindend klein, gegen die hier vorhandene Schwer- 
kraft; da aber bei seiner Berechnung die Temperatur in vierter Potenz 
eingeht, kann er im Sterninnern doch zu gewaltigen Beträgen ansteigen. 


85) A. S. Eddington, Radiation pressure in solar phenomena, London Astr. 
Soc. Month. Not. 80 (1920), p. 723. 





462 VI, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


47. Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. Die 
Untersuchung des Energiestroms, der durch das ungleich temperierte 
Sterninnere hindurch durch Strahlung transportiert wird, ist enthalten 
in dem allgemeinen Strahlungsproblem: Gegeben sei ein Körper, der 
ganz oder teilweise von schwarzen, auf verschiedener Temperatur ge- 
haltenen Flächen begrenzt ist oder auf vorgeschriebene Weise bestrahlt 
wird; es soll der Strahlungszustand in jedem Punkte desselben fest- 
gelegt werden. Obwohl der Prozeß durch die allgemeinen Strahlungs- 
gesetze und nur zwei Materialkonstanten, die Fortpflanzungsgeschwin- 
digkeit des Lichtes ce und den Absorptionskoeffizienten k, vollständig 
bestimmt ist, stellen sich der Lösung, selbst wenn nicht auf die Ver- 
hältnisse in den einzelnen Wellenlängen näher eingegangen wird, 
außerordentliche Schwierigkeiten entgegen, die sich nur in den Grenz- 
fällen sehr starker oder sehr schwacher Absorption bewältigen lassen. 
Bezüglich der Erörterung dieser Verhältnisse sei auf die Unter- 
suchungen von Hilbert®®) und Jaffe?) hingewiesen. Den stationären 
Zustand bei starker Absorption und bei konzentrischer Schiehtung 
hat A. 8. Eddington®®) behandelt. Zur Klärung der Verhältnisse ge- 
nügt die folgende Behandlung der Strahlung bei ebener Schichtung. 
Auf das Verhalten in den einzelnen Wellenlängen soll erst später 
eingegangen werden. Untersucht wird lediglich der stationäre Zustand, 
kurz als Strahlungsgleichgewicht bezeichnet, definiert durch die Bestim- 
mung, daß infolge der Energiebilanz kein Teilchen ungeachtet des 
Energietransportes seinen Zustand ändert. Sind keine Energiequellen & 
vorhanden, so müssen für jedes Teilchen absorbierte und emittierte 
Energiemengen gleich sein; im allgemeinen Fall müssen sie in die 
Energiebilanz einbezogen werden. 


Das Medium sei senkrecht zur x-Achse eben geschichtet, eine 
Richtung s sei durch den Winkel ® mit der positiven «-Richtung 
gegeben. Es bezeichne J(#)dw den Betrag an Energie, die in Rich- 
tung ® in den Winkelraum do fließt. Die Strahlung J(9) wird 
(gleichbedeutend mit der Entwicklung nach Kugelfunktion von einem 
Argumente bei Eddington®®)) in die Reihe entwickelt gedacht 


(a) J(9) = A+ Beos$® + Cco®?# + Deos®’# + --- 


Die Koeffizienten sind Funktionen von &. Dann wird in Richtung 


86) D. Hilbert, Begründung der allgemeinen Strahlungstheorie, Physik. 
Ztschr. 13 (1912), p. 1056. 

87) G. Jaffe, Grundriß einer 'Theorie der anisotropen Strahlungsfelder, Ann. 
Phys. Chem. 68 (1922), p. 583. 


47. Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. 463 


+20<»s< > die Flächeneinheit durchsetzt von der Energiemenge 


w|N 


(b) he ort + t+Ft+t) 


Se 
B 
& 


<#Zn von der Energiemenge 


wo| A 


und in Richtung — x, 


B C 
a 


(e) &-— [10000 do = 2x(7 — = + = 


+) 


Jede Schicht wird also durchsetzt von der Gesamtstrahlung 
C 
(d) + —=-23(4+,+:) 


und der Nettostrom ©, der die Flächeneinheit durchsetzt, ist gegeben 
durch 


n ’ B D 
(8) S—=-6r— 65 - /7) cos» do —= 42( HH ) 
N 
Die Strahlungsdichte ergibt sich zu 
“ 4 1 
(79) u 1./4(9)do — 744204.) 
0 


Obwohl ein lineares Problem vorliegt, darf die Nettoströmung nicht 
als parallele Strahlung aufgefaßt werden; sie ist diffus nach einem 
Gesetz, das durch die Koeffizienten A, B,C... bestimmt ist. (Für 
vollkommen schwarze Strahlung würde sich die Reihe auf das erste 
Glied reduzieren.) Es soll die Schwächung der Nettostrahlung auf 
der Strecke dx bestimmt werden. Ist %k, der Absorptionskoeffizient 
für parallele Strahlung, so ist Ä 


D 


ix | 


döt— — 1,0 f 70) c0s9 2,0 
0 


—= — 2nk,od« A+3B+3C+4D...), 
dS-— — k,o | J(9) 09 I do 


2 
— — 2ub,gdu(A—IB-+1C—ıD+..)- 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, B. 30 


464 VIe, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Dadurch ergibt sich 








a ED MAD t+ nn 
Nee e = ee Lın, kodx 
sowie der Absorptionskoeffizient k der Nettostrahlung zu 

NE, RE 
(81) mn 


2 IB Dr... 

Er hängt also ganz von dem Gesetze ab, nach welchem diese diffus ist; 
für vollkommen schwarze Strahlung ist S= (0 und damit wird der 
Koeffizient für schwarze Strahlung ®) 


(82) Kuchware —2 hi: 


Die Schwächung der Strahlung hat das Auftreten eines Strah- 
lungsdruckes zur Folge, der sich nach dem Momentensatze, wie folgt, 
ergibt: 


Die Strahlung J(#)cos®d®o wird um den Bruchteil u 


geschwächt. Um die in Richtung x wirkende Kraft zu finden, ist 
mit 





® zu multiplizieren und somit wird die Druckdifferenz 


nz 
— dp, = lan code les, 
ne , ne 

N 
Hierbei ist »n der Brechungsexponent. Er soll für das folgende = 1 
gesetzt werden. Dann folgt 

ee Be wi Ba 
(83) re me 0 
(Obwohl die Strahlung © diffus ist, tritt in der Gl. 83 der Absorp- 
tionskoeffizient k, für parallele Strahlung auf. Der größeren Schwä- 
chung in schiefer Richtung entspricht wohl eine sec# mal größere 
Kraft, von der aber nur die &-Komponente in Wirksamkeit tritt.) Und 
schließlich ergibt die Kontinuitätsgleichung, die bei Strahlungsgleich- 
gewicht selbstverständlich erfüllt sein muß, 

d&S 1 dB 1 dD 

Sp, ET Weg 5 he! ) 


097 


Die Bedeutung von & ist in Nr. 46 gegeben. 

Um die dem Strahlungsgleichgewicht entsprechende Temperatur 
zu finden, suchen wir die Bedingung stationären Zustandes. In dem 
Zylinder von der Länge ds in Richtung $® wird die Strahlung 
k,edsJ(#)do absorbiert. Da die Volumeinheit die Energiemenge 


88) Auf andere Weise bereits von K. Schwarzschild’®) und R. Emden*') 
abgeleitet. 


47. Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. 465 


4k,gE, E=sT* emittiert, sendet sie in den Winkelraum do die 
Einergiemenge 2" don Gemäß der Bedingung des Strahlungsgleich- 


gewichtes muß dieses Element eine Temperatur annehmen (in der 
Auffassung von A. Eddington, siehe Nr. 46), daß die emittierten 
und absorbierten Energiemengen gleich werden. Die Energiequellen 
4rxsods liefern in den Winkelraum dw eine Energiemenge sodsdo. 


Da aber ds — ergibt sich bei Strahlungsgleichgewicht in jeder 








cos®? 

Richtung # die Energiebilanz 
| cos st) — cos s( 260 sa ++. ) 
(a) 
| — — bla + none 1 ae ee 
woraus zwischen dem Koeffizienten die Beziehungen folgen 
E 

(b) 2 Ko Trans; % —=(, 

da dA dB dc 
2 Bert van ST 
und weiter 

1 dB 1 dD 
ER BE ae ne 
; 4E 
(86) Kar 
e dm _ 1 dA 1 dA 
(87) u. were 
a /1 1 
(8) 4reg—4n,,(,B+,D+ ) 
d /1 dA 1 d’A 
AT Aue ne ): 


Ist & eine Materialkonstante oder, wie in allen in Betracht kommenden 
Fällen, wie oben gezeigt, klein gegen E, so da A= = gesetzt 


werden kann, so können alle Koeffizienten durch E und dessen Ab- 
leitungen ausgedrückt werden. 

Die Absorption werde als stark angenommen, wenn jeder der Koeffi- 
zienten A, B, C, D,... klein gegen den vorangehenden ist. Zur Schätzung 
von = = — de seı daran erinnert, daß k,eAxr—=1 ist für 
eine Strecke, in welcher der Wert der Strahlung auf den Bruchteil 
n herabgeht. Da die Strahlung infolge der hohen Innentemperatur 


der Sterne sehr kurzwellig ist, wird sich Ax für Gasschichten von 
30* 


466 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


normaler Dichte kaum von der Größenordnung 1 m ergeben. Die 
Änderung dE auf dieser Strecke ist selbstverständlich außerordentlich 
klein gegenüber dem Werte von E im Sterninnern, der längs des 
Radius auf kleine Werte herabsinkt. Dasselbe ergibt sich für die 
Quotienten der aufeinanderfolgenden Koeffizienten. 

Physikalisch betrachtet liegen die Verhältnisse so, daß die in 
eine Schicht eindringenden Lichtquanten im Falle starker Absorption 
schon auf sehr kurzer Strecke absorbiert und durch neue, gleichmäßig 
nach allen Seiten ausgeworfene ersetzt werden. Selbst parallel ein- 
fallende Strahlung wird dann rasch in gleichmäßig diffuse, in schwarze 
Strahlung umgewandelt. Nur in diesem Falle gelten die Gl. (89)—(91), 
welche Strahlungsdruck und Temperatur verknüpfen; sie werden offen- 
bar sinnlos in einem Strahlenbündel, welches sich ohne Absorption 
ausbreitet. Der Grenzfall schwacher Absorption möge in den ange- 
führten Arbeiten von Hilbert und JaffeE nachgesehen werden. Ein 
anderes, zweckmäßigeres Verfahren, wie die höchsten, äußerst ver- 
dünnten Schichten der Sternatmosphären behandelt werden müssen, 
wird in Nr. 75 angewendet werden. 

Also folgt, da für den Fall starker Absorption, der allein für 
den Sternenaufbau, abgesehen von den äußersten Schichten, in Be- 
tracht kommt, nur die beiden Koeffizienten A und B beibehalten 
werden müssen: 


(89a) J@)—=A+Booss, ; A-Z, (896) 
2: 1% dE ke le W303 
(89) S+1&-—23n4A=2E, 
a ou 41 WE 2: -.60:0D 
ee LT 
(898) k= ah 


woraus die Differentialgleichung des Strahlungsgleichgewichtes folgt 


d/4 1 dE d 2 dE 
Ar? 
oder E durch p, ersetzt 
d e"@p, 7 
(91) Az Ex ee) -- 4r:0 —=(, 
Da in den Gl. 89 und damit in der Differentialgleichung tatsächlich 
erst der vierte Koeffizient D und die folgenden vernachlässigt sind, 


ist dem Gültigkeitsbereich dieser Gleichungen großer Spielraum ge- 
geben. 


47. Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. 467 


Grenzbedingungen. Die beiden auftretenden Integrationskonstanten 
sind durch die Grenzbedingungen bestimmt. Die x-Achse sei von 
der Oberfläche einwärts gerichtet, die durch den Wert 2—=0 aus- 
gezeichnet ist. Findet keine Zustrahlung von außen statt, so ist 
S+—=0 und © bedeutet die austretende Strahlung, welcher eine 
bestimmte Solarkonstante entspricht. Als effektive Temperatur 7’, sei 
definiert die Temperatur eines schwarzen Strahlers, welcher eine aus- 


tretende Strahlung © —= E, liefert. So ergibt sich schließlich die 
Grenzbedingung 


0 
(92) S-E- 2. (ran)... 
(98) Tt— 17%, 


Im Gegensatze zu 7, bedeutet somit 7, keine bestimmte Gastem- 
peratur, sondern lediglich eine Eigenschaft der ausgesandten Strahlung. 


Da an der Grenze stets A — 8 = en wird für die austretende 
Strahlung 
(94) J(#) = 4A — Bcos# — (140088), 


wo ® auch den Winkel mit der Austrittsnormalen bedeutet. Die 
Grenzbedingungen sind von K. Schwarzschild”®) aufgestellt; über Gl. (94) 
wird in Nr. 52 ausführlicher die Rede sein. 

Im allgemeinen Fall, d. i. wenn alle drei Koordinaten berück- 
sichtigt werden, folgt nach Milne 


2a Bl } d:/&.1 dB PR a 
(8) le +nt (Giaaz) + tree — 0 


und für konzentrische Schichtung die Gleichung (erstmalig angegeben 
durch Eddington®®)) 


d /4r? 
(96) F- (ar - =) + Aare — 0. 


Die Lösung der Differentialgleichung wird für den größten Teil der 
Sternmasse genügend genauen Aufbau nach einer Polytropen n = 3 
liefern. 

Da Strahlungsgleichgewicht gleichbedeutend ist mit stationärem 
Zustand, wird man bei Aufbau von Gasmassen mit Berücksichtigung 
des Strahlungsdruckes diejenige thermodynamische Weggleichung zu- 
grunde legen, die sich im Anschluß an die Differentialgleichung für 
E ergibt. 

In obiger Entwicklung sind die Energiequellen e gemäß der Auf- 
fassungsweise von A. Eddington®®) angesetzt; im Sinne von A. Milne®) 
behalten die entwickelten Gleichungen ihre ren we falls E durch 


E-- — ersetzt wird. 
p 





| 468 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Wir notieren nochmals 
E=st=7T, s= 5,245 . 10-5 Erg/cm? see 
und bei starker Absorption 
u=afT, ,-IM— Tr. 


48. Berücksichtigung des Strahlungsdruckes nach T. Bialob- 
jewski.'”) Das Gewicht einer äußeren Schicht wird getragen durch 
einen Druck P=p-+p, p der Gasdruck, p, der Strahlungsdruck 
gemäß der Gleichgewichtsbedingung 


(97) u - 20% forar u = BR 


Als thermodynamische Weggleichung zwischen p, e und 7 wählt 
Bialobjewski polytropen Zusammenhang nach einer Klasse n. Dann 
folgt mit Hilfe der Parameterdarstellung (Nr. 7) 
i > SR hi MU 5, 

(98) Te rk 
variabel durch das Sterninnere hindurch und es ergibt sich leicht 
als Seitenstück zur Differentialgleichung I der polytropen Gaskugel 
(Nr 17) 

d 


oo) Zrfa+n2or ua) de] —inGwr, 


welche Gleichung sich weiterer Behandlung zu spröde erweist. Bialob- 
jewski entdeckt die große, von Eddington später wiedergefundene Ver- 
einfachung, die sich für den Falln = 3 ergibt. Dadurch wird (98) zu 


Pr _ Mag 
(98 a) 2, 


konstant durch das Sterninnere hindurch und die Gl. (99) geht über 
in die Differentialgleichung (I) der polytropen Gaskugel n = 3 





d’u 2 du ; 
M TE ER 9 
«'? == R An —— er ra Be BeR. 
Bär __ @4 et 
m a 3 is + p 


Damit ist das Problem vollständig gelöst. Wie eine einfache Über- 
legung zeigt, gelten alle für eine Gaskugel von der Klasse n = 3 
und dem Molekulargewicht m für p, o, 7 gefundenen Beziehungen 
unverändert für P=p-+p»,, 0, T so, als ob das Molekulargewicht 
Bm wäre. 


48. Berücksichtigung des Strahlungsdruckes nach T. Bialobjewski. 469 


Aus dem Übersetzungsverhältnis (Nr. 19) r = en Be: A 


Ue any’ 
% & 
folgt, da der Grenzradius der Kugel n—=3 durch t, = 6,9 bestimmt 
ist und die Mittelpunktsdichte o, = 54,369 ist 


PAR. 6 AWO pi: =, 
Er R a 4 ee oe (#) AR: 54 hy (5 , 
ee... 








Diese Gleichung vierten Grades für @ ersetzt die Eddingtonsche Glei- 
chung vierten Grades für $ (Nr. 60). Im Gegensatz zu Eddington ist 
aber zu achten, daß keine Energiequellen & vorhanden sind, also die 
ganze augenblickliche Strahlung vollständig durch thermische Energie 
bestritten werden soll. Aus einigen durchgerechneten Beispielen sei 
angeführt, daß in der Sonne für Aufbau aus atmosphärischer Luft 


a — 5,8, für Aufbau aus dissoziiertem Wasserstoff = —2,65.10-° 


wird. Das Molekulargewicht geht wie später bei Eddington in die 
Bestimmung von ß in vierter Potenz ein. Die auf den ersten Augen- 
blick fragliche Beziehung, den Strahlungsdruck der transportierten 


Strahlung durch p, = =T* wiederzugeben, die in aller Strenge nur 


für schwarze Strahlung gilt, wird bei stärkerer Absorption durch die 
Ausführungen der vorigen Nr. 47 gerechtfertigt. 

Trotzdem hier von Energiequelle s und Strahlungsgleichgewicht 
nicht die Rede ist, und letzteres tatsächlich auch nicht vorhanden ist, 
da infolge der Ausstrahlung die Temperatur eines jeden Teilckens 
steigt, ergeben sich bereits die wichtigsten Beziehungen der Eddington- 
schen Theorie (Nr. 58, 59), Aufbau nach einer Polytropen » = 3 und 


2 —= const. Während aber bei Eddington dies Verhältnis durch die 


Energiequellen & und den Absorptionskoeffizienten k gegeben ist, wird 
es hier, wo beide Größen nicht auftreten, durch die polytrope Tem- 
peratur © bestimmt. Die Polytrope n=3 tritt dadurch in Er- 
scheinung, daß p, » 7*t! und n+1=4 ist. 


B. Atmosphären im Strahlungsgleichgewicht. 


Entsprechend den Festsetzungen in Nr. 19 sei eine Atmosphäre 
definiert als die äußere Schicht eines großen Gasballes von so ge- 
ringer Mächtigkeit, daß die Gravitationswirkung ihrer Masse gegen- 
über der Anziehung der innenliegenden Massen vernachlässigt werden 
kann. Angesichts der Sterngrößen kann von einer Krümmung dieser 
Schichten abgesehen und ein ebenes Problem angesetzt werden, in 


470 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


dem naturgemäß mit einem konstanten Wert der Anziehungsbeschleu- 
nigung 9 zu rechnen ist Ebenso können die der Atmosphärenmasse 
proportionalen Energiequellen & gegenüber den aus tieferen Schichten 
zugestrahlten Energiemengen vernachlässigt und in der Differential- 
gleichung des Strahlungsgleichgewichts &—= 0 gesetzt werden. Doch 
soll hier aus theoretischen Erwägungen die Berücksichtigung von & 
kurz gestreift werden. Das ermittelte Gesetz der Temperaturschich- 
tung wird gestatten, außer dem Aufbau der Masse auch die Hellig- 
keitsverteilung der Stern- speziell der Sonnenscheibe abzuleiten. Diese 
Untersuchung wird erweitert dahin, daß neben der Absorption auch 
die Zerstreuung der Strahlung in der Atmosphäre, diese als trübes 
Medium aufgefaßt, in die Strahlungsbilanz einbezogen wird. Im An- 
schluß an diese Untersuchung wird auch auf die Aufstellung der 
Energiebilanz mit Berücksichtigung des Verhaltens in den einzelnen 
Wellenlängen eingegangen werden. 


49, Temperaturverteilung bei Strahlungsgleichgewicht. Die 
Atmosphäre sei horizontal geschichtet, die &-Achse von der äußeren 
Begrenzung x = 0) senkrecht nach abwärts gerichtet. Sieht man, wie 
festgesetzt, von den Energiequellen e ab, so ergibt sich durch Lösung 
der Differentialgleichung sofort das Temperaturgesetz 


(100) E=am+b, m— fodk, 
0 


wo die Konstante b= E,—=+E, ist. Zur Bestimmung von «a dient 
die Beziehung für die aufsteigende Strahlung 


5 see E, DE 
so daß schließlich wird 
101) EF= 4 k,E,m +4+E,=;kE,m+ IE; k= a 


Diese Gleichung ist zuerst von K. Schwarzschild”®) in seiner grund- 
legenden Arbeit über Strahlungsgleichgewicht aufgestellt worden. Seine 
Ableitung ist überaus instruktiv, leidet aber an einer Ungenauigkeit, 
die weiterhin Verwirrung gestiftet hat. Bezeichnet k einen Absorp- 
tionskoeffizienten schlechthin, so gelten nach Schwarzschild für die 
ab- und aufsteigenden Strahlungsströme die Beziehungen 


daS do” 
meist 7, =tıS—kE 


(£ ge) 4a 


mit den Folgerungen 


me... LE 6) a 1 +&-)+2KE. 


dm m 


50. Aufbau der Atmosphäre im Strahlungsgleichgewicht usw. 471 


Im stationären Zustand muß 

d(&+ — © e 

EN 0, 2E=k(& +) 
sein. Also folgt, da von außen keine Strahlung auffällt, &+ — ©- 
— — E, und damit die Schwarzschildsche Lösung 


+ — 1kE 
a 
©&- == 3kE,m == E, 


Trotz ihrer überzeugenden Einfachheit ist diese Behandlungsweise 
ungenau, da die Natur des Absorptionskoeffizienten k vollständig un- 
bestimmt bleibt. Streng genommen müßten für die beiden Strahlungen, 
die nach verschiedenen Gesetzen von der parallelen Strahlung ab- 
weichen, verschiedene Koeffizienten k angesetzt werden. Schwarzschild 
setzt weiterhin in ungenauer Motivierung für k den Absorptions- 
koeffizienten für schwarze Strahlung k—= 2k, an. Die strengere Be- 
handlungsweise zeigt, daß der Absorptionskoeffizient k des Netto- 
stroms bei starker Absorption, die für astrophysikalische Probleme 
allein in Betracht kommt, k—= 3%, anzusetzen ist. Der Schwarz- 
schildsche Irrtum wird sich bei Behandlung der Helligkeitsverteilung 
der Sonnenscheibe (Nr. 52) verhängnisvoll zeigen. 

Sucht man die durch die effektive Temperatur 7, ausgezeichnete 
Schicht, indem man in Gl. (102) E= E, setzt und bezeichnet mit m, 
die darüberliegende Masse, so ergibt sich 
(103) km,—1, 

d. h. über der durch die effektive Temperatur ausgezeichneten Schicht 
liegt die absorbierende Masse 1. Die von dieser Schicht ausgehende 
Strahlung E, wird durch die Absorptionswirkung der äußeren Schichten 
auf den Wert E,e-'! herabgedrückt und durch deren Ausstrahlung 
wieder auf den Wert E, gehoben. Die durch die effektive Temperatur 


T, ausgezeichnete Schicht darf also nicht als Ausgangspunkt der Strah- 
lung betrachtet werden. 


E=1kEm-+1!E,. 


50. Aufbau der Atmosphäre im Strahlungsgleichgewicht ohne 
Berücksichtigung des Strahlungsdruckes. Da p = + gm, ergeben 
sich aus (100) und (101) und der Zustandsgleichung vollkommener Gase 

99 (DM m 2% T—T 
(104) 2-7 (m); 005 We 7 > ae 
Die durch die effektive Temperatur 7, bestimmte Schicht ist also 
durch die Werte 


I m 1 
(105) „nt, 0=-4-1., 


ausgezeichnet, deren numerische Bestimmung an der Unkenntnis des 


472 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Wertes vonk=;k, scheitert. Für die Sonne ist 
I 2,7» wu 2,7. ne Al 


a - - Dyn/cm? — 
Da (Nr. 66) sich für ‘ ein Wert von der a 10 — 10°? 
ergibt, sind p, und o_, sehr klein. Für die mechanische Gleich- 
gewichtsbedingung ergibt sich 


ae a RUuTaT 
(106) . ga——- gh-— m— u’ 
Setzt man (in Widerspruch mit Strahlungsgleichgewicht), 7, = 0, so 
zeigt sich eine polytrope Atmosphäre n—=3 und ihre Höhe zu 








also endlich, 7’ als Temperatur der Grundschicht. Auf der Sonne, 
9 = 272.980 g, endigt sie bei der Ausgangstemperatur von 
T= 212.273 —= 1400°, falls eine Atmosphäre vom Molekular- 
gewicht m = 2 angenommen wird, in einer Höhe von 463 km, der- 
selben Höhe, die sich auf der Erde bei einer Ausgangstemperatur von 
0° ergibt. 

Setzt man aber Strahlungsgleichgewicht entsprechend 7, — di Fe, 
so ya 


(107) F 9 = 7,[25 -+1lo 0 — 2arctg nr —- const. 


und die Atmosphäre erstreckt sich bis oo. In Tiefen, bei denen die 
Temperatur 7 gegenüber der Temperatur 7, genügend groß wird, 
stimmt ihr Aufbau mit der endlichen polytropen Atmosphäre n = 3 
genügend genau überein. Mit Hilfe der Gl. (106) läßt sich der Auf- 
bau der Atmosphäre in der Nähe der durch die Werte 7',, p, und o, 
ausgezeichneten Schicht überblicken. Geht man von dieser einwärts, 
bis eine Temperatur 7= 67, angetroffen wird, so ist der Druck auf 
den Wert 2591p, und die Dichte auf den Wert og —= 4320, an- 
gestiegen. Dadurch ist auf der Sonne für m =2 eine Strecke von 
rund 3,10° cm zurückzulegen, während einem Winkel von 1” von der 
Erde aus gesehen eine Strecke von 7,2-10° cm entspricht. Vergleicht 
man den Temperaturgradienten mit dem für polytropen Aufbau von 
der Klasse %, so findet man (Nr. 12), daß für die Stabilität gegenüber 


entsprechender Störung -E — )] B: Era 
daß gegenüber adiabatischer Störung Atmosphären im Strahlungs- 
gleichgewicht stabil sind, falls sie aus ein-, zwei-, an der Grenze drei- 


atomigen Gasen aufgebaut werden.°®) 





sein muß, also folgt, 


89) Für die Sonnenatmosphäre gibt Gl. (107) nach D. Brunt [Anomalous 
dispersion in solar phenomena, London Astr. Soc. Monthl. Not. 73 (1913), p. 568] 


51. Aufbau der Atmosphäre mit Berücksichtigung des Strahlungsdruckes. 473 


5l. Aufbau der Atmosphäre mit Berücksichtigung des Strah- 
lungsdruckes. Setzen wir den gesamten wirkenden Druck P=p-+p9, 
so lautet die Bedingung mechanischen Gleichgewichtes d&P=d(p-+-p,) 
—= gdm und integriert 

P=p+p,=gm + const; const.—p,- 
Die Druckverhältnisse gleichen denen in einer Flüssigkeit, auf welcher 
ein Oberflächendruck 9,, lastet An der Grenze m = 0 verschwindet 
wohl der Gasdruck p, nicht aber der Strahlungsdruck p,, der durch 


die Temperatur 7‘, bestimmt ist. Daraus folgt in Verbindung mit 
Gl. (101) für Strahlungsgleichgewicht 








a kE, 
(108 a) Ye pas A ae 2,0) u Ir (1 Big ß) 2 BP,o5 
2 kE, 
u er eg. 
(108b) p=PB(P— 20: 
(108 e) =; (pP, — 2,0): 
Ebenso findet sich leicht die Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht 
(109) P— ze — PT, 
mi. Bi 
nn “ BIATBAGE 
und daraus die Bedingung mechanischen Gleichgewichtes 
dp R1 .4T'aT 
en rg gar ga — Tom 


folgenden Aufbau. Dabei ist für k der Absorptionskoeffizient der Erdatmo- 
sphäre 0,6 angenommen. 
h h (Winkel von der 


(km) Erde gesehen) = eE 
oo co 5 050 u: 
210 000 5° “ 10-1836 
42 000 1’ 5 3 RE 
3 500 5” N 10-31 
397 0,5’ 5 051 3.10% 
275 0,4” 5 060 3.10-° 
0 0 6 000 3.107° 
— 4.085 zug 101 000 3.10 


Die Dichte im Ausgangsniveau ist älteren Anschauungen entsprechend um 
einige Zehnerpotenzen zu hoch angesetzt; doch ergibt sich eine so außerordent- 
liche Dichteabnahme nach oben, die mit dem Aussehen der Korona nicht ver- 
einbar sein dürfte. Dies läßt vermuten, daß eine hebende Kraft, welche der 
Massenansammlung nach der Tiefe entgegenwirkt, der Strahlungsdruck, nicht 
mit in Ansatz gebracht wurde. Darüber wird die nächste Nr. Aufschluß geben. 


474 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Für den Temperaturgang folgen dieselben Gleichungen wie Nr. 50 
mit dem einzigen Unterschiede, daß an Stelle des Molekulargewichtes m 
das Molekulargewicht dm anzusetzen ist; d. h. für 7, = 0 wiederum 
Aufbau nach einer Polytropen n =, falls der Gasdruck durch den 
Druck P ersetzt wird. Für $/=1 bleibt der Strahlungsdruck kon- 
stant = p,,, so daß unter allen Umständen 1—ß<1 sein muß, 
da sonst negativer Gasdruck wirksam sein müßte. Also muß sein: 
>kE,—=k,E,<.cg und für die Sonne, für die E,— 6,18 - 10!% Erg/cm? sec 
wird, k, = 13000 em?/g, welche Bedingung leicht zu erfüllen ist. Da 
für die Sonne $—= 1 — k,/13000 wird, so kann, falls unwahrschein- 
lich hohe Werte für k, auszuschließen sind, ö nahezu gleich 1 gesetzt 
werden. Es bleibt daher auch mit Berücksichtigung des Strahlungs- 
druckes die Fußnote 89 angegebene Tabelle gültig. Ihre Unstimmig- 
keit ist darin begründet, daß in den äußerst verdünnten Schichten der 
Fall starker Absorption, der den Zusammenhang zwischen », und 7 
lieferte, nicht mehr vorliegt. In Nr. 63 und 75 wird gezeigt werden, 
wie diese Schichten zu behandeln sind. Mit Berücksichtigung der 
Strahlungsquellen gibt Gl. (101) 


E=—akem’+4kE, m + 5E&,. 
Das Glied in m? macht es unmöglich, durch Vernachlässigung der 


Oberflächentemperatur selbst in tieferen Schichten zu einem Aufbau 
nach der Polytropen n—= 3 zu gelangen. 


C. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonnenscheibe. 


In seiner ersten grundlegenden Arbeit hat K. Schwarzschild®) 
nachgewiesen, wie bei bekannter Temperaturzunahme nach der Tiefe 
die bolometrische Helligkeitsverteilung der Sonnenscheibe berechnet 
werden kann, und in einer zweiten ebenso grundlegenden®®) den Weg 
der Untersuchung erschlossen, falls nicht nur auf das Verhalten in 
den einzelnen Wellenlängen eingegangen, sondern auch die Streuung 
der Strahlung, die Atmosphäre als trübes Medium aufgefaßt, berück- 
sichtigt wird. 

52. Über die bolometrische Helligkeitsverteilung aufder Sonnen- 
scheibe. Für die in Richtung $ mit der Vertikalen aufsteigende, (also 
im Sinne — x) sich bewegende Strahlung J(#) do gilt (Gleichung 
(89a) in Nr. 47) die Beziehung 


49) at. 
a u = _ (8) 


/ 90) K. Schwarzschild, Über Diffusion und Absorption in der Sonnenatmo- 
sphäre, Berlin Ber. 47 (1914), p. 118. 


52. Über die bolometrische Helligkeitsverteilung auf der Sonnenscheibe. 475 


und damit für die aus der Atmosphäre austretende Strahlung 
(110) J(®) = fee” ER sechdm. 
ö 


Also folgt für den Fall des Strahlungsgleichgewichtes, da 
e E=3E,(1-+ km) (61.101) und k=$%, 
ist, 


(111) I) (14,009) z&(1 +7 008®). 


Damit ist, selbstverständlich! nur die Gleichung (94) der Nr. 47 wieder- 
gefunden. Die zugehörige Helligkeitsverteilung 


2 3 
(111a) H-;(1+; cos ®) - H, 


angegeben von R. Emden?'), stimmt überraschend genau mit den von 
Müller (Photometrie der Sterne) angegebenen Messungen überein. 
An Stelle von Gleichung (111) hat Schwarzschild die Beziehung J(#) 
— + 2c0s®#) gegeben, mit der Beobachtung immer noch ge- 
nügend übereinstimmend, aber mit dem Ubelstande behaftet, daß sie 


die pro Flächeneinheit austretende Strahlung an Stelle von E, zu e E, 
liefert. Der Fehler liegt darin, daß Schwarzschild die Nettostrahlung 


als schwarze Strahlung behandelt und mit dem Absorptionskoeffizien- 
ten k—= 2%, ansetzt, während ihr der Wert k = = k, (Nr. 4) zu- 
kommt. In der Form J(#) = + Zu —+2.c0s#) erscheint Gleichung (111) 
bei Jeans”?), für die austretende Strahlung den unrichtigen Wert zE, 
liefernd. Vergleiche dazu die Ausführungen bei E. A. Mülne.”?) Die 
Unstimmigkeiten verschwinden, wenn beobachtet wird, daß stets mit 
einem durch die Diffusität der Strahlung bedingten Absorptionskoeffhi- 


q 
zienten k zu operieren ist. Setzt man Jo E= Be J,(k,m)? so er- 
1 


hält man nach Emden”) für die Nettostrahlung einen Absorptions- 


koeffizienten k—= Ä, ri speziell J = J,k,m, so kann q 


SER EN Jg q+2 


91) R. Emden, Über Strahlungsgleichgewicht und Helligkeitsverteilung in 
der Sonnenatmosphäre. Festschr. für v. Seeliger. Berlin (1924), p. 347. 

92) J. Jeans, The equation of radiative transfer of energy, London Astr. 
Soc. Month. Not. 78 (1917), p. 28. 

93) E. A. Milne, Radiation-equilibrium in the outer layers of a star, 
London Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 361. 

94) R. Emden, Über Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung, 
München Ber. (1913), p. 55. 





476 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


durch eine Polytropenklasse ausgedrückt werden; die Annahme 
n+1 


mop» T+t!oE* liefert g— und folgt k = ante. pr 


4 
n+1 n+5? 
schwarze Strahlung (n—= &©) wird k—= 2k, und für Strahlungsgleich- 
gewicht (n—=3) k=}k,. Für den Aufbau nach einer Polytropen 


BER es 
wird (Jo En pt! Om"t!) 





+ 


IN) — CI („ s) (cos Hr +! 
mit der Helligkeitsverteilung 
4 
H = H, (eos s)* +. 


Diese Helligkeitsverteilung, die sich für die Polytrope n = 3 ergibt, 
(die sich nur in den tieferen Schichten mit Strahlungsgleichgewicht 
deckt), ist ausgeschlossen. Die äußersten lichtspendenden Schichten 
können also nicht nach einer Polytropen n = 3 aufgebaut sein. Weitere 
Untersuchungen über die durch Gleichung (110) gelieferte Helligkeits- 
verteilung finden sich bei .R. Dietzius.”) 


53. Die Helligkeitsverteilung in den einzelnen Wellenlängen. 
Es liegen vor in erster Linie zwei Arbeiten: von Milne”°) und Lind- 
blad.?') Ausgangspunkt beider Untersuchungen sind die bei Strahlungs- 
gleichgewicht für die austretende Strahlung geltenden Gleichungen 


(110) J($) = 2 N Enme” se. 7m sec 9 dm 
0 
a - 
er E> (m' cos 9) € m 
4b —-zlitgk p m) = ae m’). 


Diese Beziehung wird auf das Verhalten in den einzelnen Wellenlängen 
ausgedehnt, d.h. es wird Strahlungsgleichgewicht auch in den einzelnen 
Wellenlängen angenommen. Bei schwarzer Strahlung (Isothermie) ist 
dies selbstverständlich, in dem vorliegenden Problem aber, wo die Strah- 
ung ungleich temperierte Schichten durchläuft, nach neueren Ansichten 


95) R. Dietzius, Die Verteilung der Helligkeit auf der Sonnenscheibe und 
die Temperaturschichtung in der Sonnenatmosphäre, Wien Ber. 131 (1922), p. 15. 

96) E. A. Miülne, Radiative Equilibrium, London Royal. Soc. Proceed. 223 
(1922), p. 201. 

97) B. Lindblad, On the distribution of intensity in the continous spectra 
of the sun and the fixed stars, Upsala Univ. Arsskrift 1920. 


53. Die Helligkeitsverteilung in den einzelnen Wellenlängen. 477 


über den Emissions- und Absorptionsprogeß zum mindesten zweifelhaft. 
Untersuchungen, mit welcher Genauigkeit diese Ausdehnung selbst 
im Falle starker Absorption zulässig ist, scheinen vollständig zu fehlen. 


Da bekanntlich 
2he?ı-> 
E=sT%; E=7, y 
drT_i 





so ergibt sich für die austretende Strahlung 


x 


(112) J,(0) — KT5o /R ech 


e® (1 + an cos 9) 2 1 





K = h 2 Ü == 


x 


? ET Rgm’ 
f(a,p) = «° I 
e* (I+pm) 4 1 


0 





ist von Milne untersucht. Sie steigt mit 9 und ihr Maximum ver- 
schiebt sich in Richtung wachsender «, also abnehmender Wellenlänge. 
Die Helligkeitsverteilung ist, falls J,(0) die Strahlung im Mittelpunkt 
mißt, gegeben durch das Gesetz 
he 3 

(113) no _ er 2) 

J:(0 he 3 

0) Ar Hy ’ 3) 
Die Helligkeitsverteilung hängt also nicht von A und 7, einzeln ab, 
sondern nur vom Produkt AT,. Ist das Gesetz für alle Wellenlängen 
in einer bestimmten Temperatur ermittelt, so ist es allgemein be- 





kannt. Da — Ys ®) mit wachsendem « abnimmt, wird der Kontrast: 
‚2 


von Scheibenrand gegen Scheibenmitte um so ausgeprägter, je kleiner 
AT,. Für eine gegebene effektive Temperatur 7’, steigt der Kontrast mit 
abnehmender Wellenlänge, und für ein bestimmtes A mit abnehmender 
Temperatur. Mit wachsendem 47, erreicht der Kontrast den Grenz- 
wert 0,817. Dies ist zugleich der Kontrast in allen Wellenlängen, 





für welche ii hinreichend groß ist. 


Für die integrale Strahlung ergab sich die Helligkeitsverteilung 
unabhängig von der Temperatur. Mit steigender Temperatur wird 
deshalb der mit steigender Wellenlänge abnehmende Kontrast genau 
kompensiert durch den steigenden Kontrast in abnehmender Wellen- 
länge. Vergleiche von roten und blauen Sternen müssen in allen 


478 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Wellenlängen abnehmenden Kontrast zeigen, während integral sich 
derselbe Wert ergibt. 

Die so errechnete Helligkeitsverteilung in den einzelnen Wellen- 
längen wurde verglichen mit den bekannten Messungen von Abbot, 
Fowle und Aldrich an der Sonnenphotosphäre. Der Rechnung liegt 
ein Wert der Solarkonstanten 1,932 cal/em?min und der Stephanschen 
Konstanten der von Coblentz ermittelte Wert s = 5,70 - 10”? erg/cm? see 
zugrunde, wodurch sich die effektive Sonnentemperatur 7, = 5740° 


und die Grenztemperatur 7, —= 4830° ergibt; der zugehörige Wert von 


u“ ist 1,4325 cm. Der Beobachtungsbereich A erstreckt sich von 


3230 A--12250 A und cos $ von 0—0,312; letzterer entspricht einem 
Austrittswinkel des Strahls von 72° im Abstand von 0,95 des Radius 
der Photosphäre. Beobachtung und Rechnung zeigen in ihrem Gang 
gute Übereinstimmung. Doch sind mit Ausnahme der Wellenlänge 
4330 A die berechneten Werte systematisch zu klein, so daß sich fast 
durchwegs ein etwas zu großer Helligkeitsabfall ergibt. 

B. Lindblad?') benutzt im Prinzip dieselbe Methode, doch leiden 
seine Zahlen an dem Übelstande, daß er von dem Schwarzschildschen 


E, { E. 
Ansatze E=°(1+ 2%,m) mit der Folge J®)=,_ (1 +2 e08®) 


ausgeht, die wie oben bemerkt (Nr. 52), eine unrichtige Energiebilanz 
liefert. Es wird in jeder Wellenlänge die Temperatur 7, der Grenz- 
schichten gesucht, welche die beste Übereinstimmung mit den Messungen 
von Abbot, Fowle und Aldrich liefert. Im Mittel ergab sich 7, = 5430. 
Infolge der unrichtigen Energiebilanz führt dies zu effektiver Tempe- 
ratur 7’, = 6720, welche beinahe den doppelten Wert der beobachteten 
Solarkonstante liefert. 

In bezug auf weitere Einzelheiten muß auf die beiden Original- 
arbeiten verwiesen werden. Doch ist zu beachten, daß die Ergebnisse 
vielfach modifiziert werden, wenn neben Absorption auch die Zer- 
streuung des Lichtes in die Energiebilanz einbezogen wird. Davon 
handelt die nächste Nr. 


54. Einfluß der Streuung des Lichtes auf die Helligkeitsver- 
teilung. Die Streuung des Lichtes ist nicht thermodynamischen Ur- 
sprungs und soll deshalb hier nur so weit behandelt werden, als sie die 
Helligkeitsverteilung thermodynamischen Ursprungs beeinflußt. Der 
Einfluß der Streuung auf die Helligkeitsverteilung einer Sternatmo- 
sphäre wurde unter vereinfachten Annahmen zuerst von A. Schuster ”?) 


98) A. Schuster, Radiation through a foggy atmosphere, Astroph. Journ. 2 
1905), p- 1. 


54. Einfluß der Streuung des Lichtes auf die Helligkeitsverteilung. 479 


untersucht; die exakte mathematische Fassung des Problems hat 
K. Schwarzschild®) gegeben. Während in einer Reihe von Arbeiten ®”) 
die Helligkeitsverteilung in erster Linie auf Absorption zurückgeführt 
wird, wie in voriger Nr. dargelegt wurde, werden in anderen Unter- 
suchungen!) die optischen Erscheinungen der Sonnenatmosphäre in 
erster Linie auf Streuung des Lichtes zurückgeführt. Durch zwei 
neuere Arbeiten von E. A. Milne'®!) und R. Lindblad') dürfte das 
Problem die nötige Klärung gefunden haben. Er ergibt sich genügend 
Übersicht, wenn die zuerst von Schwarzschild gegebene Integralgleichung 
aufgestellt und dann hauptsächlich nach Lindblad diskutiert wird. 
Diese letztere Behandlungsweise ist dadurch charakteristisch, daß sie 
nicht von einem speziellen Aufbau (Strahlungsgleichgewicht) ausgehend 
die Helligkeitsverteilung berechnet, sondern umgekehrt aus der be- 
obachteten Helligkeitsverteilung zwei Funktionen, die „Emissivity“ 
(Ergiebigkeit nach Schwarzschild) und die „Collustrivity“ berechnet, 
welche den Aufbau bestimmen. 


Der Betrag zerstreuten Lichtes ist bekanntlich Funktion der 
Wellenlänge (> %) , multipliziert mit einem rein trigonometrischen 


Faktor 14 c0s?#; & der Winkel mit der Richtung des einfallen- 
den Lichtes. Ist das Streuvermögen der Atmosphäre so groß, daß die 
Helligkeitsverteilung der Unterlage in allen Wellenlängen hinreichend 
unterdrückt wird, so ergibt sich für das austretende Licht für alle 
Wellenlängen dieselbe Helligkeitsverteilung der Scheibe. Die Inten- 
sität der austretenden Strahlung ist kleiner in kurzen wie in langen 
Wellenlängen, während das Verhältnis der Intensitäten in zwei ge- 
gebenen Richtungen unverändert bleibt. Dadurch kann Streuung prin- 
zipiell von Absorption unterschieden werden. Erstere ergibt dieselbe 
Helligkeitsverteilung in allen Wellenlängen, letztere steigert den Kon- 
trast von rot nach violett. An diesen Verhältnissen ändert sich offen- 
bar nichts, wenn der trigonometrische Faktor unterdrückt wird, was 
im Interesse der Durchführbarkeit der mathematischen Analyse er- 





99) E. Öpik, Zur Theorie der Sonnenstrahlung, Astr. Nachr. 198 (1914), p. 48. 

100) A. Defant, Über Diffusion und Absorption in der Sonnenatmosphäre, 
Wien. Ber. 125 (1916), p. 125, ferner J. J. Spiüjkerboer, Lichtstreuung und Hellig- 
keitsverteilung auf der Sonnenscheibe, Dissert. Utrecht 1917; sowie H. van Groot, 
Strahlungsdruck in Verbindung mit dem Sonnenspektrum, Physica I (1921), p. 7 
und 49 (die beiden letzten Abhandl. in holländischer Sprache). 

101) E. A. Milne, Radiative equilibrium and spectral distribution, London 
Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 375. 

102) R. Lindblad, On the radiation and temperature of the external pho- 
tospheric layers, Astroph. Journ. 58 (1923), p. 113. 

Encyklop. d.math. Wissensch. VI2, 2. 31 


480 VI, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


forderlich ist. Diese Schwächung im Verhältnis 1:2 für verschiedene 
Richtungen macht aber wenig aus, solange die Strahlung wenigstens 
aus einer Hälfte der ein Teilchen umgebenden Kugel einigermaßen 
gleichförmig erfolgt, was in dem zu behandelnden Problem, solange 
wir der Oberfläche nicht zu nahe kommen, in der Hauptsache zutrifft. 

Eine horizontal geschichtete Atmosphäre sei zwischen den Ebe- 
nen x = 0) (obere Begrenzung) und x = H eingeschlossen. Wir fassen 
Strahlung einer bestimmten Wellenlänge A und einer bestimmten 
Richtung i ins Auge und unterscheiden absteigende Strahlung a und auf- 
steigende Strahlung db, indem wir © nur von 0—90° zählen. Die 
Strahlung des senkrecht zum Strahle stehenden Flächenelementes ds 
bei der Koordinate x sei in Richtung © innerhalb des Raumwinkels do 


(a) a(z,i)dods für die absteigende Strahlung, 


(b) b(z,i)dads ,„ ,„ aufsteigende r 


Auf der Strecke 1 soll durch Absorption der Bruchteil xa resp. xb, 
dureh Streuung der Bruchteil oa resp. ob verloren gehen, wo x der 
Absorptionskoeffizient und 6 der Diffusionskoeffizient ist. Wird cos 
mit & bezeichnet, so geht zwischen den Ebenen x und + dx von 
der absteigenden Strahlung der Bruchteil 


(©) ra (a, ) + 00a, 9% 


verloren. Die thermische Emission der Volumeinheit beträgt 4x E 
und in den Winkelraum do hinein *" do. Die von dem Volum- 


element dv gestreute Strahlung ergibt sich!®) zu 


P44 zt 


2 cry 
() 6-2xdv| fa(a, i) sinidi +/b(ei)sinidi| — 6-27dv A. 
0 0 


In den Winkelraum do wird also gestreut dv-do- a (Die Funktion = 


wird von Lindblad mit @ bezeichnet und „Collustrivity“ genannt.) 
Die gesamte von dem Volumelement in den Kegelraum do ausge- 
sandte Strahlung beträgt somit 


(114) do dv [e$+»2]= do dvd. 
4xJ wird von Schwarzschild als „Ergiebigkeit“ bezeichnet (von Lindblad 


103) Vgl. M. Plank, Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung, 
Leipzig (1913), $ 22. 


55. Die Näherung von A. Schuster. 481 
Emmisivity genannt). Somit ergibt sich 
r .d .db 
(115) ei =- —atNatI, wi, =autnb—d, 


(a und b abhängig von x und i, J nur von 2). 

Zu dieser Differentialgleichung des Problems kommen die Grenz- 
bedingungen: Für = 0 ist a=(, für — H ist b—= B der Strah- 
lung eines schwarzen Körpers. (Dieselbe Gleichung ergibt sich, wenn 
man unter x nicht die Entfernung von der oberen Grenze, sondern 
die über x liegende Atmosphärenmasse versteht). Somit wird 


(116a) a(z, ?) — [IE er +a&-nmei db: seo v. 
6 


HA 
(116b) bie, ) — Berta e-Hmi +[7® et @-Dueidk:.seci. 


Daraus kann die Streuung A gerechnet werden. Es ergibt sich, sec; 
= n gesetzt 


© H © 
(117) A=B gerrae-m + [oa f®" e-@+o)l&-eln, 
1 0 al 


und folgt schließlich die zur Berechnung von J dienende Integral- 
gleichung 


H © oo 
h d ie Ba BR FA Fein 
(118) Ia)— ar [tee IE "=—+zB ih )@-H)n, 
ö i i 


Für den Grenzfall reiner Absorption ist 6 = 0 zu setzen, woraus die in 
der vorigen Nr. untersuchte Lösung J (x) — nr folgt. Für den Grenz- 


fall reiner Streuung ist «= (0 zu setzen und daher die austretende 
Strahlung 


(119) b(03) — er* Zwei 4 (I($)ertweid&seei. 


55. Die Näherung von A. Schuster.”®) A. Schuster hat davon 
abgesehen, die Strahlung verschiedener Richtungen zu trennen, die in dem 
Koeffizienten cosi der linken Seite der Gleichungen (115) zum Ausdruck 
kommt; die gesamte Strahlung wird durch einen mittleren Absorptions- 
koeffizienten und Streuungskoeffizienten ausgezeichnet. (Dies ist streng 
genommen unstatthaft, da die auf- und absteigende Strahlung nach 
verschiedenen Gesetzen diffus ist.) Die Ausrechnung ergibt für den 
Fall reiner Streuung mit den Grenzbedingungen a=0 für 0 

81* 


482  VI»2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 
uddd=1fürx=H 
" __. 0,54 cos: -0Hsec; 95 — C08 i 
(119) OT EN cHrU 
Dies ist die Schustersche Näherung. Die Helligkeitsverteilung ist gleich 
in allen Wellenlängen. In mühsamer Analyse bestimmt Schwarzschild 
die Korrektur, die an dieser Schusterschen Näherungsformel anzu- 
bringen ist, um die strenge Lösung zu erhalten. Es zeigt sich aber, 
daß dieses Korrekturglied einen so kleinen numerischen Wert erhält, daß 
die tatsächliche Helligkeitsverteilung durch die Näherungsformel hinreichend 
streng dargestellt wird. Ist 6 H > 2, so genügt schon der einfache Ansatz 
‚ " __ 0,5 + cos® 
Für den Fall reiner Absorption gilt (Nr. 52,53) die Helligkeitsverteilung 
bO0ı)=a-+ > eosi 


wenn dem Strahlungsgleichgewicht entsprechend FE = «a + bx gesetzt 
wird, abhängig von der Wellenlänge. 

Schwarzschild wendet diese Formeln auch an auf das Verhalten 
von Spektrallinien. Außerhalb einer Spektrallinie hat x den Wert x, 
um bis zur Mitte der Linie auf x, zuzunehmen. Darn ist die Intensität 


in der Mitte ©= 0° am Rande i = 90° 
5% b 
(120) | außerhalb der Linie a+ “ a 
innerhalb der Linie a a. 
\ 1 





Im Falle der Absorption verschwinden also alle Linien am Rande 
Im Fall der Streuung sei innerhalb der Linie 6 = 6,, außerhalb 
6 == 6,, und ergibt sich somit die Intensität 











in der Mitte <= 0° am Rande ; = 90° 
DR 1,5 0,5 
(120)! außerhalb der Linie IH I cH 
| innerhalb der Linie IH re 


Das Aussehen des Spektrums ändert sich im Falle reiner Streuung von 
der Mitte bis zum Rande hin nicht. Die Gesamthelligkeit des ganzen 
Spektrums sinkt dabei auf den Wert 1. Messungen von (. F. Bottlinger”) 
ergaben für die H- und K-Linien für Streuung bessere Annäherung 
an das wirkliche Verhalten im Sonnenspektrum. 


56. Streuung und Absorption. Hier kommt außer der bereits 
zitierten Arbeit von Milne”®) die Untersuchung von R. Lindblad'”) 
in Betracht. Der gegebene Ansatz von Schwarzschild wird mit ge- 


56. Streuung und Absorption. 483 


ringer Modifikation beibehalten.!%) Die Strahlung wird nicht mehr 
je nachdem iS 90° in ab- und aufsteigende Strahlung a und b zer- 
legt, sondern nur eine Strahlung J(x, i) in Richtung £, 0 <i<xz, 
eingeführt. Wird weiterhin cosöi—=5 gesetzt, so gehen die Glei- 
chungen (115) der Schwarzschildschen Untersuchung über in die 
Grundgleichung I von Lindblad. 


RACE ZI TOR IOIEICHE: 


(120) ji 
| + [nd E,@) + 0) &a] 


zt 1 
(120a) G(e)= RA cosi) sinidi = Re E)dE. 
N =i 


G, die „Collustrivity“ ist die von Schwarzschild eingeführte Funk- 


tion Sr Ersetzt man x durch die optische Masse 


zart — (In, (2) + 9,(2)ldz, 


so folgt die Differentialgleichung 

(121) E97 —-J=-—H Hm)- neh 

Die Funktion H,(m) die „Emmisivity“ entspricht der von Schwarzschild 
eingeführten Ergiebigkeit der Schicht m. Nimmt man die Mächtig- 
keit der Atmosphäre genügend groß an, so ergeben sich die Integral- 
gleichungen 


m 


(121a) J(m,&) = a = e !dm; Strahlung auswärts &8> 0, 





121b) J(m,&) = — e® A e "dm; Strahlung einwärts &E<0. 
E g 
0 


Die austretende Strahlung ist durch die Messungen von Abbot, Fowle 
und Aldrich gegeben. Für die Untersuchungsmethode von Lindblad 
‘ist charakteristisch, daß nicht durch Annahmen über den Aufbau der 
Atmosphäre ein H(m) gebildet wird, das die Beobachtungen be- 


104) In den Arbeiten von Schwarzschild und Lindblad ist versehentlich die 
von der Volumeinheit sekundlich gelieferte Strahlung zu 4zkE an Stelle von 
4k E angesetzt; E=sT', s die Stefansche Konstante. Die Formeln Schwarzschilds 
der Nr. 52, 53 sind daraufhin korrigiert. Am Endergebnisse wird dadurch 


nichts geändert. Wie der Faktor x die numerischen Rechnungen Lindblads be- 
einflußt, läßt sich nicht übersehen, 


484 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


friedigt, sondern umgekehrt aus diesen durch rein mathematische Me- 
thode das zugehörige H(m) bestimmt wird. Die Lösung ist durch den 
Satz ermöglicht: Wird die beobachtete Funktion J(0,&) und die ge- 
suchte Funktion H(m) in Potenzreihen entwickelt 


TO) —- 28, Hm) —Iam, 


so besteht zwischen den Koeffizienten die Beziehung 


b; 
Rn 


ZT) 
Die vorliegenden Messungen von J,(0, &) werden für jedes A durch 
eine Reihe bis zum Gliede &* dargestellt und mit Hilfe dieses Koefhi- 
zienten-Satzes die Ergiebigkeit H,(m) durch eine Reihe bis zum 
Gliede m* dargestellt. Dann kann mit Hilfe der Integralgleichung 
J,(m, &) und endlich die Funktion G,(m) aus ihrer Definitionsgleichung 
ebenfalls berechnet werden. Messungen liegen vor für die Wellen- 
längen 0,323 u — 2,097 u; sie gestatten Tabellen für J,(0, &) zu be- 
rechnen, welche einen Einblick in die tatsächlich vorliegenden Ver- 
hältnisse gestatten. Die Analyse zeigt: 

a) Liegt nur Streuung vor, so ist = 0 zu setzen und wird in- 
folgedessen H,(m) = @;,(m). Dabei zeigt die weitere Untersuchung, 
daß beide Funktionen unabhängig von der Wellenlänge sein müssen. 
Die tabellarisch berechneten Werte zeigen, daß dies nicht der Fall ist. 
Reine Streuung kommt also nicht in Betracht. 

Es liegt die Möglichkeit vor, daß wenigstens eine obere Schicht 
0O<m<m' rein streut. Dann müssen nur innerhalb dieser H,(m) 
und G,(m) übereinstimmen. Wenn das streuende Medium der Sonne 
in seinen optischen Eigenschaften mit der Erdatmosphäre überein- 
stimmt, ist das fragliche Intervall = 0,15 im sichtbaren Spektrum 
und = 1,25 im äußersten Ultraviolett zu setzen. Die tabellarischen 
Werte zeigen so beträchtliche Unterschiede, namentlich im Ultraviolett, 
daß auch diese Annahme nicht in Betracht kommt. 

b) Liegt reine Absorption vor, so ist 6—=( zu setzen und folgt 
H;,(m) = E,(m) und kann, da H;(0) vorliegt, E,(0) berechnet werden. 
Da die Planksche Formel in absoluten Einheiten i 











1,77.10-5 
E, = i 1,43 a BE 
15(e*T_— 1) 


liefert, kann aus E,(0) die Temperatur 7, der äußersten Schichten 
bestimmt werden und muß sich selbstverständlich unabhängig von der 
Wellenlänge ergeben. Die numerische Rechnung zeigt, daß das nicht 
der Fall ist. Für 0,380 u > 2 > 2,097 u variiert die berechnete 


56. Streuung und Absorption. 485 


Oberflächentemperatur unregelmäßig zwischen 4580 und 5040°. Ent- 
sprechende Verhältnisse folgten aus der Behandlung von Milne (Nr. 53). 
Für 2 = 0,323 u folgt der besonders niedrige Wert 4300°. Lindblad 
führt diese Unstimmigkeit auf Ungenauigkeit des experimentellen 
Beobachtungsmaterials zurück, demgegenüber dürfte nach Meinung des 
Ref. auch die Ausdehnung der thermodynamischen Wärmebilanz auf 
jede einzelne Wellenlänge einer eingehenden Prüfung bedürftig sein, 
die nicht nach thermodynamischen Prinzipien, sondern auf Grund 
neuerer Anschauung über Lichtemission und Absorption zu führen ist. 
Als wahrscheinlichen Wert der Grenztemperatur setzt Lindblad weiter- 
hin 4500° an, bei Gültigkeit von Strahlungsgleichgewicht zu niedrig, 


des n= 4 T, liefert, also 7, — 5160° resp. 4890°, für T,— 61300 
2 
resp. 5820°., 


c) Nimmt man Streuung neben Absorption an, so ist zu beachten, 


dß E=H (1 _— an niemals < 0 werden kann. Also ist stets 
6<x 0 speziell 6 < 0,867 k für A— 0,323 u, und weiterhin 


6, 69395 7). Also folgt, die Extinktion an der Sonne ist ent- 
weder durch reine Absorption oder durch Verbindung dieser mit 
Streuung innerhalb der gegebenen Grenzen verursacht. In jedem 
Falle kann die Streuung nach rot immer mehr vernachlässigt werden. 

In $ 6 seiner Abhandlung gelingt es Lindblad Extinktions- 
Koeffizienten abzuleiten. Der größte angegebene Wert findet sich für 
)= 0,323 u in einer durch 6100° ausgezeichneten Schicht. Ist 
Streuung ausgeschlossen, so ist dies der Absorptionskoeffizient x,, 
andernfalls ist er aus x, und 6, zusammengesetzt. So ist es möglich, 
für x, einen Minimalwert 1,87, für 6, einen Maximalwert 1,63 fest- 
zustellen. 

Ist Strahlungsgleichgewicht vorhanden, so muß der Energiege- 
winn durch Absorption gleich dem Energieverlust durch Emission 
sein, also 


© © 


0 0 

Das Verhältnis 

(b) Syn #,(@, — 2) da: #,E,dA \ 
0 0 


ist ein Index für die Abweichung vom Strahlungsgleichgewicht. In 
den Schichten von 5300° bis 6500° ergeben sich durch graphische 


486 VI a, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Integration für q die Werte — 0,019 bis — 0,034, also so kleıne 
Werte, daß der Ausgangspunkt der ganzen Betrachtung, Strahlungs- 
gleichgewicht, wiedergefunden wird. 

Wegen weiterer Einzelheiten muß auf die Originalarbeiten von 
Lindblad und Mile hingewiesen werden. Es scheint, daß solange 
nicht atomtheoretische Behandlungsweise der Strahlung ergriffen wird, 
auf diesem Wege kaum weiter zu kommen sein dürfte. 10) 


D. Über das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre. 


57. Das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre ist in das 
Kapitel Geophysik einzureihen und für den Astronomen von un- 
wesentlichem Interesse; es soll deshalb hier nur in aller Kürze ge- 
streift werden. Ein erster Versuch, die Temperatur der Stratosphäre 
zu berechnen, von Humphrey‘) führt zu richtigen Zahlenwerten — 54°, 
legt der Betrachtung aber eine unrichtige Energiebilanz zugrunde. 
Eine erste strenge Lösung ist gegeben von R. Emden.”*) Sie beruht 
im Prinzip darauf, daß das hauptsächlich durch den Gehalt an Wasser- 
dampf bestimmte Absorptionsvermögen der Atmosphäre für auf- und 
absteigende Strahlung verschieden angesetzt wird. Es ergibt sich 
dann eine Zweiteilung der Atmosphäre in eine instabile Schicht 
(Troposphäre) und eine darüberliegende, beinahe isotherme Schicht 
von rund — 54° (Stratosphäre), deren Temperatur nach oben zu 
ansteigt bis zu einem Grenzwerte, der in der Nähe von — 19° liegen 
dürfte. Eine Behandlungsweise von E. A. Milne!”) unterscheidet sich 
dadurch, daß die Sonnenstrahlung nicht gleichmäßig über die Erde 
verteilt angenommen, sondern die Erde innerhalb des von der Sonne 
eintreffenden parallelen Strahlenbündels rotierend angenommen wird. 
Von weiteren Untersuchungen kommen in erster Linie in Betracht 
Arbeiten von E. Gold!®), K. Schwarzschild!”), H. Hergesell""”) und 

105) In einer Reihe von Arbeiten haben W. H. Julius und seine Schüler 
den Einfluß anomaler Brechung und Streuung auf die Sonnenstrahlung behandelt. 
Da diese Untersuchungen durch rein qualitative Betrachtungen Anschluß an die 
Beobachtungen suchen und in keinerlei Beziehung zur Thermodynamik stehen, 
fallen sie außerhalb des Rahmens dieses Berichtes. 

106) W. J. Humphrey, Vertical temperaturegradient of the atmosphere, 
especially in the region of the upper inversion, Astroph. Journ. 29 (1909), p. 14. 


107) E. A. Milne, Radiative equilibrium, the insolation of an atmosphere, 
Phil. mag. 45 (1922), p. 872. 

108) E. Gold, "The isothermal layer of the atmosphere and atmospheric 
radiation, London Roy. Soc. Proceed. 82 (1909), p. 43. 

109) K. Schwarzschild, Bemerkungen zur Berechnung des Strahlungsgleich- 
gewichtes der Atmosphäre, Meteor. Ztschr. 48 (1913), p. 454. 

110) H. Hergesell, Lindenberg, Observ. Abh. XII (1919). 








58. Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht. 487 


M. Milankowitch."*) Anwendungen auf den Wärmehaushalt der Erde, 
den täglichen Temperaturgang und die Bestimmung des Strahlungs- 
vermögens der Atmosphäre liegen außerhalb des Rahmens dieses Be- 
richtes. Angesichts der gänzlich veränderten Bedingungen ist der 
Wert der letzteren für das Strahlungsvermögen der Sternatmosphären 
bedeutungslos. 


E. Gaskugeln im Strahlungsgleichgewicht. 
58. Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht, Bei konzen- 
trischer Schiehtung lautet die Differentialgleichung des Strahlungs- 
gleichgewichtes (Nr. #7) 


d (4r: dE 
=) +4rer oe =0 





dr 
und ihr erstes Integral wird 
GE ___ 3 koiroM, 
dr 4 r? 


worin &, den über die Masse M, gemittelten Wert von & bedeutet. 
Aus dem Atominnern stammend, wird s vermutlich wenig durch die 
Temperatur beeinflußt; aber selbst wenn & der Temperatur direkt 
proportional sein sollte, könnte &, angenähert konstant angesetzt 
werden, da die Mittelpunktstemperatur sich nur 1,7 mal größer er- 
geben wird als die mittlere Temperatur der ganzen Kugel. Auch k, 
wird sich längs des Radius variabel ergeben, doch wird weiterhin nach 
Eddington®®) 

(122) k,- &, = const. 


angenommen. (In den Arbeiten von Eddington wird = = n gesetzt.) 
R 


Es besteht selbstverständlich die Möglichkeit, mit Hilfe mechanischer 
Quadraturen Lösungen abzuleiten, in welchen &, und k, nach irgend- 
einem Gesetz variabel angenommen werden. Die Rechtfertigung des 
gewählten einfachen Ansatzes besteht einzig und allein in der guten 
Anpassungsfähigkeit der so errechneten Resultate an die Beobachtung. 
Dann folgt weiter die Lösung 


oo 


(123) Buch, tz ahBB—lE 


Pr a #.- 





Eine Gaskugel von endlicher Oberflächentemperatur erstreckt sich 
(selbstverständlich) bis oo. Aus der Bedingung mechanischen Gleich- 


gewichtes BER TERR ER EM, zar 


r: 





.111) M. Milankowitch, Theorie, Paris 1920, chap. IV 


488 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


folgt, da im unendlichen nur p nicht aber p, verschwindet!!?), 








(124) P=-G(rdr+p. 
und damit { 
3 3,%k 
(125) gti HE, 
und da 
4 E 4 sT* a 4 
le re er 
(126) »,=(1—B)P+ BPp« 
(127) vr=Pß(P— 2%) 
(128) 1 B— Fr — const. 


längs des Radius. Somit ergibt sich die Weggleichung bei Strahlungs- 
gleichgewicht 


(129) Be ei; at), 


Diese Gleichungen gelten sämtlich ohne Rücksicht auf die Zustands- 
gleichung des aufbauenden Materials. Für o = const. lassen sie sich 
leicht weiter behandeln.®) Folgt das aufbauende Material der Zu- 
standsgleichung vollkommener Gase, so ergeben sich weiter 

ß ma T'—T} 








(130) ner 

und die Gleichung mechanischen Gleichgewichtes 
daP GM, BIATtAT 

(131) vs nor pr) dr = mß T'— Ts ' 


Durch diese Gleichungen ist der Aufbau der Kugel eindeutig bestimmt. 
Numerische Werte müssen durch mechanische Quadraturen gewonnen 
werden. Für die ausgestrahlte Liehtmenge aber ergibt sich unab- 
hängig von der Zustandsgleichung des aufbauenden Materials (G1.(77)) 


(132) RD N 
p 


Die Beziehung (128) &,k,— const.— c@ (1 — ß) erweist sich weiterhin 
von fundamentalster Bedeutung; die unbekannten Energiequellen 
können so durch den leichter zugänglichen Absorptionskoeffizienten k, 
ausgedrückt werden. 


112) Diese Annahme, daß der Gasdruck der in den äußersten, außerordent- 
lich verdünnten Schichten spärlich vorhandenen Moleküle gegenüber dem Drucke 
der ausfliegenden Luftquanten vernachlässigt werden kann, wird in Nr. 75 näher 
begründet werden. 


59. Ersatz der Weggleichung bei Strahlungsgleichgew. durch eine Polytrope. 489 


59. Ersatz der Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht durch 
eine Polytrope. Abstrahiert man mit Eddington®”) von dem Einfluß 
der äußersten Schichten, indem man nur Massen betrachtet, für welche 
T*> T!, indem man T, und pP, = 0 setzt, so gehen die Gleichungen 
(126), (130) und (133) in die Weggleichung der Polytropen »n—3 über: 


1 
(133) j ale Er u Tt, 
1 
(134) eo = 70 er = T3 
und 
z dp -4R 
(135) eg an 


mit der Folge: 

Alle für die Gaskugel vom Molekulargewicht m geltenden be- 
ziehungen in p, 0, T bei Aufbau nach einer Polytropen n = 3 gelten 
unverändert in P, o, T für die Hauptmasse einer Gaskugel vom Mole- 
kulargewicht Bm in Strahlungsgleichgewicht. Die für die polytrope 
Kugel n = 3 vorliegenden Zahlenwerte können so unmittelbar benutzt 
werden. Der so berechnete Druck P ist im Verhältnis $:1 — ß in 
Gasdruck und Strahlungsdruck zu zerlegen und wird 
(135) Ü is "7 — const. 
längs des Radius. Für die polytrope Kugel n—= 3 sind Mittelpunkts- 
dichte 54,36 mal größer als die mittlere Dichte und die Mittelpunkts- 
temperatur 1,7 mal höher als die mittlere Temperatur der ganzen 
Masse Für die wichtige potentielle Temperatur dieser Gaskugel er- 
gibt sich ä: 

z) 1 ea R 3 3 
(136) BR (7: = =) .118) 
113) Instruktiv ist folgende, von Eddington gegebene Ableitung der Gl. (132) 
bis (135). Die Bedingung mechanischen Gleichgewichts gibt 
dp d ; GM, 
(a) Ee— Pr, = 
und da die Kugel M, die Strahlung 4”=®,M,, aussendet, ist bei starker Absorption 








(b) dp, _ __kpe , 4w8,M, 








dr ce Amer? 
und damit wird 
d(p+m) _ Ge 
(©) eb _ 
dps kpe, 
Ge 1 ; 
Setzt man —— = const. = ————_., so wird 
kpe, 1 — ß 
d ERTEN R 
(d) need een 1 u ie 


da für r=00 wohl p, nicht aber T und damit 9,%—=0 wird. — Da aber bei 


490 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


60. Der Faktor 1— ß und seine Berechnung. Definitionsge- 
mäß gilt 
(128) 1-5 


und die Integration der Differentialgleichung beruht auf der Voraus- 
setzung &,k,—= const. innerhalb des ganzen Sterns (soweit die Ab- 
sorption der Bedingung „stark“ genügt), wobei die Konstante von Stern 
zu Stern wechseln kann. Stets aber muß sein 


(137) &,k,—= @e(l — B) = 2000(1 — $) em?/g sec? 
(E,Kp)max < 2000. 


Dürften e, und k, als Materialkonstante behandelt werden, was in erster 
Annäherung wohl zutrifft, so besitzt 1— ß für alle Sterne im 
Strahlungsgleichgewicht denselben Wert. Für (Nr. 46) = 3 Erg/g sec 


würde %, im Maximum — 666 sein. Es sei daran erinnert, daß die 
Strahlung auf den Wert 4 sinkt bei Durchsetzen einer Gassäule von 


k,eAr=1, für k= 100 bei Durchsetzen einer Luftsäule bei nor- 
maler Dichte von 7,7 cm Länge. Schwarze Strahlung von der 
Temperatur 10% hat ihr Amax bei 29 Ä. Die Unkenntnis des physi- 
kalischen Verhaltens des Sternmaterials, also der Größen & und k, 
zwingt zur Berechnung von ß den umgekehrten Weg einzuschlagen. 
Dazu wird der Stern betrachtet als Gaskugel von der Masse M und 
dem Radius R, aufgebaut nach der Polytropen n. Dann besteht 
zwischen ©, M, NR die kosmogenetische Flächengleichung (Nr. 22) 


Die Konstante kann den von R. Emden berechneten Tabellen ent- 
nommen werden. Für n—=3 ist ©, unabhängig vom Radius ein- 
deutig durch die Masse bestimmt, Kosmogenide und aufbauende Poly- 


vollkommenen Gasen und starker Absorption stets 


_3R eo 
(e) = am m Pe 
folgt in Verbindung mit (d): kann von 9% abgesehen werden, so ist nr 


konstant und damit eine Polytrope n=3 gegeben; andernfalls ist ga + const. 


dps 
dr 
ist der Aufbau stationär und herrscht Strahlungsgleichgewicht. In den Arbeiten 
von Eddington wird durchwegs 9: = 0 gesetzt und damit auf die Behandlung 
der äußeren Schichten verzichtet. 


und eine Polytrope n—= 3 ausgeschlossen. Ist unabhängig von der Zeit, so 


61. Energetik bei Strahlungsgleichgewicht, 491 


trope fallen zusammen. Zusammen mit Gl. (136) und mit Rücksicht 
darauf, daß m durch ßm zu ersetzen ist, folgt | 
(138) 2B: 0,00257 ; (2) e u)" 
M und B bestimmen sich gegenseitig eindeutig. (Eddington setzt neuer- 
dings, modernere Werte für die Gaskonstante (8,29.. statt 8,2962 - 10°) 
und die Sonnenmasse (1,991 statt 1,94 - 10°?) benutzend, den Zahlen- 
faktor — 0,00308. Der Unterschied ist für die weitere Rechnung 
bedeutungslos.) Daraus folgt: Wären & und %k, Materialkonstante, 
so wäre die Sternmasse nicht mehr willkürlich: alle Sterne im Strah- 
lungsgleichgewicht und mit gleich aufbauendem Material müßten an 
Masse gleich sein. Dadurch würde sich erklären, daß die Massen 
aller Sterne von gleicher Größenordnung sind. Diese Konstanz der 
Sternmasse würde auch folgen, falls nur das Produkt ©,%k, von 
Stern zu Stern konstanten Wert besitzt. Eddington erweitert diese 
Verhältnisse. Mit der Masse ist z nn 5 eindeutig bestimmt, mit 
der Masse steigt L— ß und damit das Verhältnis Lichtdruck zu Gas- 
druck. Da ein Überwiegen des Lichtdruckes, der bei Störungen mit 7% 
variiert, höchstwahrscheinlich unsolide Bauverhältnisse schaffen würde, 
ist die Sternmasse nach oben begrenzt. Für m = 2,8, M = 9 Sonnen- 
massen wird bereits (1— ß)/ß>1. Die Sterne können also der 
Masse nach nicht von höherer Größenordnung sein wie die Sonne. 
61. Energetik bei Strahlungsgleichgewicht. Das Potential der 


Gravitationskräfte = — @ M,„dM, 





” und die thermische Energie U 


der polytropen Gaskugel n = 3 Hunde sich nach Nr. 21 berechnen, 
ihre Summe stellte bisher die ganze vorhandene Energie dar. Bei 
Einführung des Strahlungsdruckes ist aber nach Eddington zu be- 
rücksichtigen, daß in dem von der Kugel eingenommenen Raum 
Strahlungsenergie HM vorhanden ist im Betrage von aT7T* Erg/cm?, 
die mit steigender Temperatur gegenüber der Molekularenergie U, die 
c,oT Erg/cm? beträgt, immer mehr zur Geltung kommt. & und U 
lassen sich nach Nr. 59 aus den früheren Werten ableiten, indem der 
Gasdruck p durch den gesamten Druck P und das Molekulargewicht 
m durch ßm ersetzt wird. Somit sie sich für n=3 


(139) 6 fra -a frar, Bautg 


a a, in ß 
(140) T- „Tode [rar 
0 


e 
0 


492 VI, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


R NR 
(14) B=eleorıa=3i1— a frar = SUR DR 


ö 
und daraus das Verhältnis 


H 1—ß P Ps 

u BORN peu CNN RES 
(142) 7 = 3% ) 3 3(% 1) 
mit steigender Masse ansteigend, für irdische Massen verschwindend 
klein, für Fixsternmassen von der Größenordnung 1. Die gesamte 


Energie E wird 


(143) E=2+U+H=-—B,,_n,2 
las 


Zur vollständigen Aufstellung von E müßten noch die Energiequellen & 
in Ansatz gebracht werden. Da diese aber von Temperaturänderungen 
außerordentlich wenig beeinflußt werden, können sie in erster An- 
näherung konstant gesetzt werden. Dann zeigt sich, daß die einer 
Arbeitsleistung — d®2 entsprechende Zunahme der Energiemenge 
U-+ H zu groß ausfällt, falls x<5. Daraus folgt, daß auch bei 
Berücksichtigung des Strahlungsdruckes stabile Gaskugeln nur aus 
einem Gase aufgebaut werden können, dessen «>. 


62. Typischer Riesenstern. Eddington®®) führt als Typus eines 
Riesensterns einen Stern von 1,5 Sonnenmassen ein. Für ein Moleku- 


largewicht 2,8 (darüber Nr. 65) wird 1 — ß = 0,174 und a — 0,211. 


Der Radius kann noch willkürlich festgesetzt werden. Für g = 0,002 g/cm? 
wird X= 17.101! em. Dadurch ist der Aufbau nach der Polytropen 
n—= 53 eindeutig bestimmt. Unbestimmt bleibt die ausgesandte Licht- 
menge, die nicht durch das Produkt &,%,, sondern durch &, einzeln 
bestimmt wird. Setzt man den Stern mit Eddington von der Größen- 
klasse m = — 0,3 an (Sonne m = 5,1), so emittiert er sekundlich 
5,9 - 10% Erg und seine effektive Temperatur wird 6500°. Setzt man 
anderseits &4 — 3 Erg/see, so wird die ausgesandte Strahlung 1,09 - 10°° 
Erg/sec, die Größenklasse + 1,5 und 7,—=4280°. Für 3 —= 3 Erg/g sec 


ME A 008 —= 116; für die nach Eddington ausgesandte Strah- 


lungsmenge wird &% — 15,1 Erg/gsec und k,— 23. Ist aber k beson- 
deren, etwa durch og und T bestimmten Bedingungen unterworfen, so ist 
eg, und damit L, mitbestimmt. (Siehe Nr. 67.) 

Für &2—= 3 Erg/gsec ergeben sich für die durch die effektive Tem- 
peratur 7, ausgezeichnete Schicht 


63. Behandlung der äußeren Schichten. 493 


T,—=4280°, P,= 2,672 Dyn/em? = 2,7 - 10-° Atm,, 

2,. = 0,192 Dyn/cm? = 8. 107" Atm., 

», = 1,880 Dyn/cem? = 1,9. 10-® Atm., 

o,—= 1,483 - 107"! g/cm?. 
Für die effektive Temperatur Kddingtons sind die Drucke mit 5,32 
und die Diehte mit 3,50 zu multiplizieren. Die außerordentlich ge- 
ringe Dichte zeigt an, daß die ausgesandte Strahlung nicht von dieser 
Schicht ausgeht.) (Vgl. Nr. 49.) 

63. Behandung der äußeren Schichten. Für diese kann Strah- 

lungsgleichgewicht nicht mehr nach der Polytropen n —= 3 ersetzt 


werden und gilt hier nicht mehr die Beziehung 2 — const. Will man 


nicht ein ebenes Problem ansetzen, wobei sich zeigt, daß über der 
durch die effektive Temperatur ausgezeichneten Schicht die optische 
Masse 1 liegt, so kann man nach R. Emden’) wie folgt verfahren. 
Die Ergebnisse der Nr. 58—60 gelten für den Fall starker Absorption; 
d. i. wenn (Nr. 47) jeder der Koeffizienten A,B,C,... klein gegen 
den vorangehenden ist. In den äußersten, außerordentlich dünnen 
Schichten trifft dies nicht zu. Bildet man aber für die durch die 


effektive Temperatur 7, ausgezeichnete Schicht das Verhältnis = so 


114) Es sei an dieser Stelle vor der irrigen Anschauung gewarnt, es würde 
der Aufbau der Hauptmasse der polytropen Kugel n= 3 von Fixsterndimensionen 
durch Einführung des Strahlungsdruckes wesentlich geändert. Sind Masse und 
Radius gegeben, so ist die Anordnung der Hauptmasse mit und ohne Strahlungs- 
druck dieselbe. Durch Einführung des Strahlungsdruckes werden nur die Tem- 
peraturen im Verhältnis ß, für den typischen Riesenstern ß — 0,826, geändert. 
Ohne Berücksichtigung der Strahlung ergibt sich dessen Mittelpunktstemperatur 
= 8,005 -10°; Strahlungsdruck drückt dieselbe nur auf 6,61.10° herab. Der 
Unterschied ist praktisch belanglos. Im Mittelpunkt herrscht stets ein „Druck“ 
= 2,61-10!1? Dyn/cm?, während er im ersten Falle reiner Gasdruck ist, teilt er 
sich im andern Falle im Verhältnis 1— ß:ß in Strahlungsdruck (0,45 - 101%) und 
Gasdruck (2,16 -10'1%) auf. Auch beliebig gesteigerte, durch die Energiequelle = 
gedeckte Ausstrahlung ist auf diesen Aufbau ohne Einfluß; nur wird jeweils die 
Temperatur einer anders gelegenen Schicht gleich der zugehörigen effektiven 
Temperatur. Durch diese Verhältnisse wird weder die theoretische noch praktische 
Bedeutung der Eddingtonschen Theorie im geringsten herabgesetzt. Sie zeigt, daß 
von 00 vielen möglichen Bauarten lediglich die Polytrope n=3 in Betracht 
kommt. Und durch die Einführung der Energiequellen = und des Absorptions- 
koeffizienten k wird, wie aus den folgenden Nummern hervorgehen wird, die ge- 
samte Fixsternphysik auf eine neue Basis gestellt. 

Durch Einführung des Strahlungsdruckes werden lediglich die Verhältnisse 
in den äußersten Schichten von relativ sehr geringer Masse, allerdings voll- 
kommen, geändert, indem sich der Radius bis 00 erstreckt und die Kugel iso- 
therm ausläuft. 


494 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 
ergibt sich hierfür, da über dieser (Nr. 49) die optische Masse 


Be 
k,oAx = 1 liegt, ein Wert von der Größenordnung er Da 
aber in den maßgebenden Gleichungen der Koeffizient € nicht auf- 
trat und erst der Koeffizient D vernachlässigt wurde, folgt, daß auch 
Schichten in dieser Gegend der Bedingung starker Absorption noch 
entsprechen. Setzt man die Gleichungen der Nr. 58 für die weit 
außen liegende durch die Temperatur 7 = qT, ausgezeichnete Schicht 
an, so ergeben sich die Beziehungen 

















(144a) ty TH, 
(144 b) ET, 
(144) Pu le‘ ERBEN N 
(1444) er, 
a ms Ei it .ar, 
u j 
(144f) 2! ee 


ß 


Das Verhältnis Pr ist nicht mehr const. = sr wie im Falle der 


polytropen Darstellung, sondern hat für die durch die effektive Tem- 
peratur 7’, ausgezeichnete Schicht bereits den doppelten Wert erreicht. 
Von dieser Schicht ausgehend läßt sich der Aufbau entwickeln; dabei 
kann mit genügender Genauigkeit der für die Hauptmasse des Sterns 
ermittelte Wert von ß angesetzt werden. Die Lage dieser Schicht als 
Funktion von r läßt sich nicht bestimmen; einen wichtigen Anhalts- 
punkt liefert aber der Umstand, daß über ihr die optische Masse 


5 f kodr =1g/cem? liegt. Setzt man 7, = 6000° (effektive Sonnen- 
temperatur), so werden 


p,, = 3,05 Dyn/cm? —= 3,01 - 10-° Atm, 
2, = u 1,52 Dyn/cm? = u 1,51 - 10° Atm, 
0 a nr a «m + 3,07 . 10° g/m’. 

Die äußersten, außerordentlich verdünnten Schichten werden fast 
ausschließlich durch den Druck p, der ausfliegenden Liehtquanten ge- 


tragen; mit zunehmender Tiefe (Dichte) steigt der Gasdruck p, bis 





sich das Verhältnis 5 — 1ZP_ eonst. einstellt. Für q=3 ist dies 


64. Einführung der van der Waalsschen Zustandsgleichung. 495 


bereits mit einer Genauigkeit von 6%,, erreicht. In Nr. 74 wird sich 
zeigen, daß in den Schichten, in welchen die Absorptionslinien der 
Spektren ausgebildet werden, ein Gasdruck von der Größenordnung 
10”* Atm herrscht. Sie liegen also tiefer und sind höher temperiert 
als die durch 7, ausgezeichnete Schicht. 


64. Einführung der van der Waalsschen Zustandsgleichung. 
In den Zwergsternen sind bekanntlich Dichten vorhanden, in welchen 
nach Laboratoriumsverhältnissen die Zustandsgleichung vollkommener 
Gase gänzlich ausgeschlossen ist. An ihrer Stelle haben Kddington®®) 
und A. Kohlschütter‘"?) die van der Waalssche Zustandsgleichung an- 
gesetzt in der vereinfachten Form (vgl. Nr. 29). In bezug auf die 
Durchrechnung kann um so unbedenklicher auf die Originalarbeiten ver- 
wiesen werden, als sich (Nr. 67) zeigen wird, daß sich die Sternmaterie 
angesichts der hohen Temperatur in einem Zustand befindet, für wel- 
chen diese Zustandsgleichung illusorisch wird. Die neuesten, unten 
zu besprechenden Untersuchungen von Eddington‘!‘) lassen vielmehr 
schließen, daß auch in den Zwergsternen die Zustandsgleichung voll- 
kommener Gase angesetzt werden darf. 


Durch die Zustandsgleichung tritt neben dem Absorptionskoeffi- 
zienten k, neu das sog. Covolumen, bedingt durch den Maximalwert 
o, der Dichte auf. Durch Laboratoriumsversuche ermittelte Werte 
müssen außer Betracht bleiben, da sie unterhalb der mittleren Dichte 
der Sonne liegen. Die Übereinstimmung zwischen Rechnung und Be- 
obachtung wird bei Eddington in zwei Punkten erzwungen, nämlich 
für den typischen Riesenstern (indem man den Wert für k bestimmt) 
und für die Sonne (indem man o, bestimmt). Als Ergebnis dieser 
Rechnung wird für m = 2,3 der Zusammenhang zwischen Masse, 
effektiver Temperatur und mittlerer Dichte in einem Diagramm gra- 
phisch dargestellt. Für das Molekulargewicht 2/2 — 2,8 resp. 4 er- 
gibt sich 9, =4 bzw. 3,3 g/em?. Weiter zeigt sich, daß mazimale 
effektive Temperaturen für mittlere Dichten erreicht werden, die nach 
der Masse des Sterns zwischen 0,1 und 0,6 liegen. Die maximale 
effektive Temperatur ist angenähert der Quadratwurzel aus der Masse 
proportional. Die absolute Helligkeit bleibt im aufsteigenden Ast der 
Entwicklung konstant. Die effektive Temperatur der Sonne z. B. könnte 
niemals mehr als 9000° betragen, ihre Entwicklung niemals den Spek- 


115) A. Kohlschütter, Über das Strahlungsgleichgewicht der Sterne, Potsdam 
astrophys. Observ. Publ. 25 (1922), Nr. 78. 
116) A. 8. Eddington, On the relation between the masses and luminosities 
of the stars, London Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 300. 
Eneyklop. d. math. Wissensch. VI2, B. 32 


496 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


traltypus A erreicht haben. In einer weiteren Arbeit hat Eddington'"”) 
diese Untersuchungen wieder aufgenommen, indem für k, ein mit der 
Dichte und Temperatur variabler Ausdruck (Nr. 66) eingeführt wurde. 
Dadurch steigt o, angenähert auf den Wert 12,8 und sinkt bei der 
Sonne die maximale effektive Temperatur auf den Wert 6600. 


Die Untersuchung Kohlschütters weicht von derjenigen Eddingtons 
in fundamentaler Weise dadurch ab, daß hier &, die pro Masseneinheit 
freiwerdende Energie, nicht konstant gesetzt wird, sondern propor- 
tional der Temperatur, entsprechend dem Energiegewinn durch Kon- 
traktion (Nr. 9). Wesentlich für die Ableitung der Beziehung zwi- 
schen 7,, M und 9 ist, daß der Anschluß an die Beobachtung nicht 
wie bei Eddington in zwei Punkten, sondern nur in einem Punkt ge- 
wonnen wurde, indem für die Sonnenmasse = 1 und die mittlere 
Dichte = 1,58 die effektive Temperatur 6000° angesetzt, dafür aber 
durch verschiedene Skalenbezifferung den verschiedenen Werten von 
0, Rechnung getragen wurde. Für einen typischen Zwergstern vom 
Molekulargewicht 18 ergab sich o, = 1,5 g/em? und der Absorptions- 
koeffizient k, = 251. Dieser zeigt außerordentlich starke Abhängig- 
keit von dem Molekulargewicht und auch von dem Werte o,. Variiert 
bei der Sonne das Molekulargewicht von 1 bis 54 und die Konstante 
ge, von 1,41 bis 2,11, so variiert k, von 3,4. 10° bis 2,1. 10°. 


65. Das Molekulargewicht der Sternmaterie. Der Aufbau eines 
Sternes im Strahlungsgleichgewicht wird in erster Linie durch die 
Größe ß bestimmt, bei deren Berechnung (Gl. (138)) das Molekulargewicht 
in der 4. Potenz eingeht. Variiert die Sternmasse von 0,5 bis 50 Sonnen- 
massen, so variiert 1 —ß für m—=2,8, 4 resp. 54 von 0,036 bis 
0,791; 0,106 bis 0,850 resp. 0,920 bis 1. Da aber (Nr. 60) Werte 

a 


ee 1 mit größter Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen sind, 


können nur kleine Werte des Molekulargewichtes in Betracht kommen. 
Dieses kleine Molekulargewicht steht scheinbar in Widerspruch mit 
der Gleichartigkeit der alle Himmelskörper aufbauenden Materie; es 
erklärt sich aber dadurch, daß bei hohen Temperaturen starke Ionisa- 
tion eintritt und die abgesprengten Elektronen als unabhängige Mole- 
küle von einem mittleren Atomgewicht in Rechnung zu setzen sind. 

Ist A das Atomgewicht und N die Ordnungszahl des Elementes, 
und werden alle Elektronen abgesprengt, so verteilt sich die Masse A 
auf N + 1 voneinander unabhängige, frei bewegliche Teilchen, so daß 


117) A. 8. Eddington, Applications of the stellar-absorptions - coöffizient, 
London Astr. Soc. Month. Not. 83 (1922), p. 98. 


65. Das Molekulargewicht der Sternmaterie. 497 


der Mittelwert des Molekulargewichtes m — wird. Setzt man 


angenähert A=2N, so ergibt sich mit Ausnahme des Wasserstoffes 
ein mittleres Molekulargewicht von nahezu —2. Sind nicht alle 
Elektronen abgesprengt, so daß die Anzahl der freien Elektronen pro 


Atom 7 beträgt, so wird m = aNE 


ICH 

Es ist das Verdienst von J. Eggert'"?), in einer grundlegenden 
Arbeit die Gesetze über Dissoziationsgleichgewicht auf lonisations- 
vorgänge übertragen und dadurch der Astrophysik ein ungemein 
fruchtbares, namentlich von Megh Nad Saha mit größtem Erfolge 
weiter ausgebautes Forschungsgebiet aufgeschlossen zu haben. (Dar- 
über wird im 4. Abschnitte eingehender zu sprechen sein.) Fggert 
behandelt speziell die Ionisation des 26 Elektronen tragenden Eisen- 
atoms. Die Abspaltung der äußersten 8 Elektronen des N-Niveaus 
tritt unter einem Drucke von 10° Atm bei einer Temperatur von 
10°—10°% ein. Damit auch die 8 Elektronen des M-Niveaus abge- 
trennt werden, muß die Temperatur um eine 10. Potenz steigen und 
stimmt dann der Größenordnung nach mit den in Riesensternen an- 


zutreffenden Temperaturen überein. Der Faktor + wird =16 und 


f 
das zugehörige Molekulargewicht a nn 3,1. Trotzdem nur 16 Elek- 


tronen abgespalten sind, sinkt das Molekulargewicht von 54 auf 3,1. 
In seinen ersten Arbeiten nimmt Eddington an, daß der Wert m = 4 
den tatsächlichen Verhältnissen am besten entsprechen dürfte. Nun 
ist aber zu beachten, daß Eggert über keinen experimentell ermittelten 
Wert der in Betracht kommenden lonisationsspannung verfügte, son- 
dern diese aus der potentiellen Energie des Atomaufbaues berechnen 
mußte, wobei damaliger Anschauungen entsprechend die X-, L-, M-, 
N-Elektronen auf zugehörigen Kugelschalen unter sich gleichwertig 
angenommen wurden. In folgender Nummer wird sich zeigen, daß 
das Molekulargewicht mit dem leichter faßbaren Absorptionskoeffi- 
zienten eng verknüpft ist. Auf diese Weise berechnet Eddington "?) 
für 12 Elemente, deren Ordnungszahlen von 3—63 ansteigen, die 
Molekulargewichte, die den zu erwartenden Verhältnissen im Innern 
der Capella (7, = 9,56 - 10°, go, —= 0,1414) entsprechen. Sie steigen 
von 1,6 auf 2,8, woraus als wahrscheinlichster Mittelwert m = 2,2 





118) J. Eggert, Über den Dissoziationegrad der Fixsterngase, Physik. Ztschr. 
20 (1919), p. 570. 


119) A. $. Eddington, The absorption of radiation inside a star. Second 
paper. London Astr. Soc Month. Not. 84 (1924), p. 103. 


32* 


498 VIs, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


abgeleitet wurde. Nimmt man schließlich an, daß in Folge zunehmen- 
der Temperatur die lonisation nach innen zunimmt, so wird nach 
Eddington der Mittelwert von m etwas herabgedrückt, so daß sich 
für das Molekulargewicht der weiterhin benutzte Wert m = 2,11 er- 
gibt. Dann sind außer dem K-Ring alle Elektronen abgeschält. Eine 
Ausnahme bildet ionisierter Wasserstoff. Dieser ist mit einem Mole- 
kulargewicht — } anzusetzen. Gaskugeln, überwiegend aus Wasser- 
stoff aufgebaut, erfordern besondere Durchrechnung. 

Den zu erwartenden lonisationszuständen nach Methoden der 
statistischen Mechanik Rechnung tragend, haben R. H. Fowler und 
E. A. Guggenheimer'?’) gezeigt, daß innerhalb weiter Temperatur- und 
Dichtigkeitsintervalle das mittlere Atomgewicht der Stermmaterie, bei 
unveränderter Zusammensetzung nahezu konstant bleibt. So schwankt 
z. B. innerhalb des Temperaturintervalles 10°—10® und des Dichtig- 
keitsintervalles oe = 0,005—400 die Zahl der vom Eisenatom abge- 
gebenen Elektronen nur zwischen 21 und 25. Würde die Hauptmasse 
der Sterne aus O bestehen, so ergäbe sich ein mittleres Atomgewicht 
1,9—2,0, für Ag 2,4—2,9, für Fe 2,2—2,4. Beimischung von sehr 
viel H würde diese Werte auf rund 2,0 herabdrücken, Beimischung 
in annehmbaren Grenzen aber nur unwesentlich beeinflussen. Für 
Capella ergibt sich ein mittleres Molekulargewicht 2,33; es könnte 
nicht gut auf 2,1 oder nur auf 2,2 herabgehen, außer bei einer Zu- 
sammensetzung aus Elementen im Mittel leichter als Eisen. 


Die Berechnung von 1 — ß enthält so keine astronomische Kon- 
stante, alle benötigten Daten werden durch Laboratoriumsversuche ge- 
wonnen. „Ein Physiker in einem von undurchdringlichen Wolken 
eingeschlossenen Planeten würde in der Lage sein vorauszuzehen, dab 
etwas Ungewöhnliches zu erwarten ist für Gaskugeln, deren Massen 
zwischen 10% und 10% liegen“ (Eddington). 


66. Der Absorptionskoeffizient k. Der in den Nr. 58 behan- 
delte Aufbau der Sterne im Strahlungsgleichgewicht beruht auf der 
Annahme, daß das Produkt @,k, durch die ganze Kugel einen kon- 
stanten Wert besitzt. Diese Annahme läßt sich nicht begründen, sie 
wird hauptsächlich gestützt durch die Ergebnisse, zu denen sie führt. 


Unter dieser Voraussetzung ergab sich auch 1—$ = ee konstant 


durch die Hauptmasse hindurch und für die gesamte ausgestrahlte 


120) R. H. Fowler and E. A. Guggenheimer, Application of statistical Me- 
chanics to determine the properties of matter in stellar interiors, London Astr. 
Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 897. 





66. Der Absorptionskoeffizient k. 499 


Energiemenge folgte, unabhängig von der Natur des aufbauenden 
Materiales 





(138) L-ıaM— re: DEIS 
k,, definiert durch 95 = — k,odr - ©, anzusetzen für die äußersten 


Schiehten. Wäre herkömmlicher Anschauung entsprechend %k, eine 
Materialkonstante, die durch Laboratoriumsversuche bestimmt wer- 
den kann, so würde auch schließlich Z und damit die Energie- 
quellen &, Gleichartigkeit des Sternmaterials und ein vollkommenes 
Gas vorausgesetzt, durch Masse und Molekulargewicht bestimmt sein. 
Unter dieser Annahme wäre bei konstant bleibendem Molekular- 
gewicht die Gesamtstrahlung eines Riesensterns ausschließlich Funk- 
tion seiner Masse und unbeeinflußt durch Änderung der Dichte im 
Laufe der Entwicklung. Dieses Resultat entspricht der wohl be- 
kannten Tatsache, daß die Riesensterne in allen Spektralklassen in 
erster Annäherung die gleiche absolute Helligkeit zeigen. Die Schwan- 
kung von k, von Stern zu Stern wird wahrscheinlich bedeutend ge- 
ringer als 1:4 bleiben, was dafür spricht, daß auch innerhalb eines 
Sterns k, und damit &, nur wenig variieren. Setzt man in erster An- 
näherung in Übereinstimmung mit Laboratoriumsexperimenten k, als 
Materialkonstante an, so wird man auf annehmbare Ergebnisse ge- 
führt. Der anzusetzende Wert von %, beträgt nach Eddington 20—40 
absolute Einheiten. Dies Ergebnis darf nicht darüber täuschen, daß 
der Absorptionsprozeß im Sterninnern und in Laboratoriumsexperi- 
menten vollständig verschiedene Vorgänge sind. In Laboratoriums- 
experimenten trifft die einfallende Strahlung intakte Atome und Mole- 
küle, und die ganze absorbierte Strahlung ist deshalb der Dichte 
direkt proportional, und k, konstant anzusetzen. Im Sterninnern aber 
trifft die Strahlung auf außerordentlich stark ionisierte Atome, deren 
Absorptionsvermögen dem lonisationsgrad entsprechend herabgesetzt 
ist. Die Behandlung dieses äußerst verwickelten Prozesses wird da- 
durch ermöglicht, daß ein stationärer Zustand vorliegt, indem jedes 
eingefangene Lichtquant durch ein ausgesandtes Lichtquant kompen- 
siert wird, so daß für die Strahlungsbilanz der Absorptionsvorgang 
durch den leichter zu behandelnden Emissionsvorgang ersetzt werden 
kann. Da das Emissionsvermögen des einzelnen, stark ionisierten 
Atoms mit der Zahl der vorhandenen freien Elektronen, also mit der 
Dichte linear steigt, die Schwierigkeit des Einfangens mit ihrer Ge- 
schwindigkeit, also mit der Temperatur ebenfalls steigt, folgt, daß 
das Absorptionsvermögen der Dichte proportional ist und mit der 
Temperatur nach einem vorhandenen unbekannten Gesetze abnimmt. 


500 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Da aber der Ansatz %k, = konstant zu höchst annehmbaren Folge- 
rungen führte, liegt die Annahme nahe mit Fddigton®®) anzusetzen 


E 1 
(145) Water 


mT! m®%’ 
wodurch für Aufbau nach einer Polytropen n = 3 (Strahlungsgleich- 
gewicht) %k, wiederum durch das Sterninnere hindurch konstanten 


Wert annimmt. Da hier stets = Tr . GR wird k, m = a ar 
und ergibt sich 

ER 2 
(146) map! 


ß 


Die Helligkeit variiert infolgedessen viel schneller als nach Gl. (132), 
wodurch sich bei gleicher Streuung von L die Sternmassen noch 
gleichförmiger ergeben. Im Laufe der Entwicklung eines Sternes aber 
muß R?7* konstant bleiben. 


Der Ansatz kw ne entbehrt jedoch der theoretischen Begrün- 


dung. Angesichts der fundamentalen Wichtigkeit dieses Problems hat 
sich Eddington weiter mit der Untersuchung des Absorptionskoeffi- 
zienten k, befaßt.1)119)121) An Stelle des Absorptionsvorganges wird 
der leichter zu behandelnde Emissionsvorgang betrachtet und der Unter- 
suchung die Hypothese zugrunde gelegt: Wenn ein Elektron einem 
ionisierten Atom begegnet, wird es eingefangen und nur dann einge- 
fangen, wenn es wirklich den Atomkern trifft. Die Ausarbeitung ergab 
(147) k, = eonst. ur: EE const. — en . TI ; 

wo m das mittlere Molekulargewicht des Atoms und der freien Blek- 
tronen, A das Gewicht eines Atoms und N die Ordnungszahl im perio- 
dischen System bedeutet, die eingeklammerte Zahl der Log. des Koeffi- 
zienten und d der effektive Kerndurchmesser — 8,7 - 10-1? em ist. 


1 

Längs des Radius ändern sich im Sterninnern also kw T ?, 8,» T”. 

In der Gaskugel n = 3 nimmt die Temperatur bis zu einem Radius, 

der rund 98°, der Gesamtmasse umschließt, nur im Verhältnis 1:0,16 
ab; k, und &, variieren folglich wie 25:1. 

Für die Capella bestimmen sich mit großer Sicherheit die Masse 

— 4,2 Sonnenmassen, die Helligkeit = — 0,3 Größenklassen und die 

effektive Temperatur — 5500°; das ir a wurde zu 2,2 


tom 


rn Dadurch erhält man 1— ß = = — 0,2833, sowie für die 


121) A. 8. Eddington, On the absorption of radiation inside a star, London 
Astr. Soc. Month. Not. 83 (1922), p. 33. 


66. Der Absorptionskoeffizient k. 501 


äußeren Schichten k = 118,6. Der Mittelwert &x wird —= 4,77. Die 
Energieerzeugung pro Gramm Sternmaterie beträgt 4x x — 59,9 Erg/sec. 
Für den Mittelpunkt zeigt sich der „astronomische“ Wert 


k,= 118,6 - 0,4 = 41,4. 


Für die Capella, aufgebaut nach der Polytropen » — 3, aber würden 
sich die Mittelpunktswerte 7, = 9,56 - 10%, o, = 0,1414 ergeben; diese 
eingesetzt in Gl. (147) geben 

k, = 18,4. 


Trotz dieser guten Übereinstimmung, die in einer 2. Arbeit weiter 
verfolgt wird, hat Eddington diese Theorie mit Rücksicht auf die 
zweifelhafte Ausgangshypothese preisgegeben und die Behandlung von 
k auf anderer Grundlage durchgeführt.!!?) 

Sie erfolgte in engstem Anscggse an die theoretischen Unter- 
suchungen von A. Kramers'”?) über Molntensitätzrerteilung im kon- 
tinuierlichen Röntgenspektrum und die reibung von K- und L- 
Elektronen. Ein näheres Eingehen auf diese &eorie, in bezug auf 
deren numerische Genauigkeit Bedenken laut Aygrden sind, liegt 
jedoch außerhalb des Rahmens dieses Berichtes. Di@&y,bsorption er- 
folgt teils in Linien, entsprechend den Seriengrenzen, Kan Shi an- 
schließend kontinuierlich. (In Emission entsprechend dem Einfangen 
von Elektronen resp. dem Übergange frei bleibender Elektronen in 
minderwertige Hyperbelbahnen.) Für die Absorptionskoeffizienten beider 
Gebiete ergibt sich wiederum Gl. (147) nur mit verschiedenen Werten 
der Konstanten. Für Eisen im Mittelpunkte der Capella wird 

im kontinuierlichen Spektrum k, = 0,65 — 0,014k,, 

im Linienspektrum k,= 151k,— 4,91 = 0,104k,, 
und folglich 

k= k,-+ k, = 5,66 = 0,12k,, 
also rund 4 des astronomisch bestimmten Wertes. Als Grenze des 
kontinuierlichen Spektrums läßt sich A— 2,03 Ä überschlagen. Da 
bei Eisen sich die Seriengrenzen zu Ak — 1,74Ä, L,—= rund 12 Ä be- 
stimmen lassen, folgt im Gegensatze zu Eggert!'?), daß die L-Elek- 
tronen praktisch vollständig abgespalten sind. Mit Hilfe des Kramers- 
schen Wertes ON*4?A für den Absorptionskoeffizienten pro g und 
cm?, N die Ordnungszahl, A das Gewicht eines Atomes, läßt sich die 
Rechnung noch etwa exakter durchführen. Es ergeben sich 99,9%, 
aller L-Elektronen und 29°/, aller K-Elektronen abgespalten. Der 


122) H. A. Kramers, On the theory of X-ray-absorption and of the conti- 
nous X-ray-spectrum, Phil. mag. 46 (1923), p. 836. 


502 VI 2,24. R. Emden. 'Thermodynamik der Himmelskörper. 


Wert des Absorptionskoeffizienten steigt auf 8,4, beträgt aber doch 
nur 4%,; das Molekulargewicht bleibt 2,2. Nach diesem Verfahren 
hat Eddington für weitere neun Elemente der Ordnungszahlen 13—68 
die Werte von k und m berechnet. % steigt von 1,5 bei Er (68) bis 
17,3 bei Cs (55), beträgt also höchstens 4%,. Das Molekulargewicht 
steigt von 1,7 bei C (6) bis 2,8 bei Er, so daß ein mittleres Mole- 
kulargewicht 2,2 ziemlich korrekt sein dürfte. Alle diese Werte be- 
ziehen sich auf den Mittelpunkt der Capella. Stets, mit Ausnahme 
der leichtesten Elemente, sind deshalb alle L-Elektronen abgespalten. 
Man beachte, daß sich für jonisierten Wasserstoff m = ; ergibt; 
Sterne, aus Wasserstoff aufgebaut, müssen deshalb eine Sonderstellung 
einnehmen. 

Der funktionale Inhalt der Gl. (147) läßt sich nach KFddington 
wie folgt begründen. Die Emission ist proportional der Anzahl freier 


Elektronen, die zu Energieabgabe zur Verfügung stehen, also — 2 : 


die Zahl derselben, die in den Anziehungsbereich eines Kernes kom- 
1 


men, ist proportional der Geschwindigkeit vv 7T?, und die dann 
frei werdende Energie vo? T. Die Schwierigkeit des Einfangens 
steigt mit einer unbekannten Potenz x der Geschwindigkeit und kann 


deshalb — 7? gesetzt werden. Da im stationären Zustande Emission 
— Absorption, ergibt sich %, indem durch die Intensität der Strahlung 


nk -4 


 T* dividiert wird. So folgt damit 7° ® und 
5+2 
ktT®,. 
M 
Treffen n Elektronen eine dünne Schicht, welche s Atome pro 
cm? enthält, so kann die Intensität des ausgesandten Lichtes durch 


den vielfach bewährten Ausdruck ns”, wiedergegeben werden, wor- 


aus <—=2 folgt, so daB kw — 7? wird. 
In einer polytropen Gaskugel »n = 3,5 würde dieser Wert längs 
des Radius konstant bleiben; in der in Betracht kommenden Kugel 
1 


n= 3 variiert er 7 ®. Abstrahiert man von den äußersten Schichten, 
welche 5°, der Gesamtmasse enthalten, so ändert sich % im Verhält- 
nis 2,2:1, kann also für vielfache Zwecke der Anwendung konstant 
angenommen werden, 

Mit Untersuchungen des Absorptionskoeffizienten befassen sich 
zwei neuere Arbeiten von E. A. Milne.'?) Der Ausgangspunkt ist der 


123) E. A. Milne, The stellar absorptions-coefüzient, London Astr. Soc. 
Month. Not. 85 (1925), p. 715, sowie p. 768. 


66. Der Absorptionskoeffizient k. 503 


gleiche, die Behandlungsweise ähnlich wie bei Eddington; doch wird in 
strengerer Durchführung den Anregungs- und lonisationsverhältnissen 
der einzelnen Atome Rechnung getragen. Im kontinuierlichen Teile 
des Spektrums ergibt sich für %k derselbe Ausdruck wie bei ‚Eddington 
mit gleichem numerischen Werte der Konstanten; für die Linien- 
absorption aber tritt noch ein Faktor hinzu, welcher den verschie- 
denen Atomzuständen Rechnung trägt. So ergeben sich schließlich 
für das Innere der Capella folgende Absorptionskoeffizienten, wobei 
zum Vergleiche die Eddingtonschen Werte beigefügt sind: 


Fe Ti Ca Ag 

Meüne k = 8,8 18,6 21 25 

Eddington k= 8,4 10,0 — 14,3. 
Ausführungen von Rosseland'**) Rechnung tragend erfordern diese 
Milneschen Werte noch eine kleine, numerisch schwer ermittelbare 
Korrektur, welche ihren Wert etwas erniedrigt. Mit Ausnahme des 
Eisens ergeben sich so Werte, welche dem astronomisch bestimmten 
bis auf den Faktor /,—!/, nahe kommen. Für Fe beträgt der Faktor 
!/,, doch ist zu berücksichtigen, daß hier die anzusetzenden Ionisations- 
potentiale sehr ungünstig liegen. 

Um den Einwande zu begegnen, es könnten diese Differenzen darauf 
zurückzuführen sein, daß die Energiequellen & in gleichmäßiger Ver- 
teilung durch die Sternmasse hindurch angesetzt wurden, behandelt 
A. 5. Eddington‘”) den Grenzfall, daß die die Strahlung speisende 
Energiequelle im Mittelpunkt konzentriert ist. Die erforderliche nume- 
rische Quadratur wurde durchgeführt für einen Stern von 5,02 Sonnen- 
massen, WR = 11,35: 101! km und log kL = 63,0467. Es zeigt sich, 
daß für typische Sterne dieser Masse die Unsicherheit, die aus der 
Unbestimmtheit der Verteilung der Energiequellen stammt, -+- 0,4 
Größenklassen nicht überschreitet. 

Die für die Kugel im Strahlungsgleichgewicht ermittelte Be- 

,Kk 

c@ 

noch als „stark“ angesetzt werden kann. So weit hinaus diese Kugel 

nach der Polytropen n = 3 aufgebaut angenommen werden kann, gilt 
il 

pm — 7 — const. und folglich k 7” ?. Die äußeren Schich- 

ten verlangen gesonderte Behandlung. Wird für o sein genauer Wert 





ziehung 1 —ß = = const. gilt so weit hinaus, als die Absorption 





124) $. Rosseland, Note on the absorption of radiation within a star, 
London Astr. Soc. Month. Not. 85 (1924), p. 525. 

125) A. 8. Eddington, A Limiting case in the theory of radiative equi- 
librium, London Astr. Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 408. 


504 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Gl. (130) angesetzt, so ergibt sich (R. Emden) 


Ba Te 
(148) a er 


In den äußersten Schichten ist die Absorption gleich Null (da ge =0); 


sie erreicht ihr Maximum bei 


T—9T:, T=V45T,—= 146T,. 





In dieser Schicht ist ” auf den Wert z + angestiegen und 
BR ist Kun - . - Bezeichnet Ak, den Wert im 
Mittelpunkte, so ist 


a 
2 





4 
4,5°/e I, 


= _ 0714). 


ko 
Für die durch die effektive Temperatur ausgezeichnete Schicht, in 
welcher * auf 22,8 angestiegen ist, wird 2 = 05 (2). Für die 


Capella wird kmax = 31 : k, = 31 47,4 = 1470; k,— 21 - 47,4 = 995, 
während die Beobachtung interpretiert wurde: k = 118,6 —= 2,5 - 47,4. 
Dies % entspricht dann einer Schicht von der Temperatur 2787,,; sie 
gehört also dem Teile der Kugel an, der polytrop aufgebaut ange- 
nommen werden kann. Die unbekannten Energiequellen, in diesem 


1 
Teile der Kugel proportional 7?, sinken bis auf 4 des Wertes im 
Mittelpunkte, um dann wieder anzusteigen. Diese Betrachtungsweise 
wird aber ungültig, sobald die Absorption nicht mehr als „stark“ be- 
handelt werden kann. 

Dieser Unterschied in dem Verhalten der äußeren und inneren 
Schichten ist einerseits dadurch bedingt, daß in den äußeren, küh- 
leren, weniger hoch ionisierten Schichten die Zahl der freien Elek- 
tronen pro Atom bedeutend geringer ist wie im Innern, wodurch die 
Absorption (Emission) herabgedrückt wird, während anderseits deren 
geringere Geschwindigkeit die Leichtigkeit des Einfangens und damit 
die Absorption steigert. Dazu kommt, daß im heißeren Innern un- 
gleich höhere Ionisationspotentiale angetroffen werden wie außen. 

In bezug auf eine andere, sehr eingehende Behandlung der äußeren 
Schichten muß auf die Arbeit von Milne'??) verwiesen werden. Ferner 
haben Russell und Stewart‘?*) versucht, die Absorption der äußeren 
Schiehten durch Rechnung auf Grundlage der klassischen elektro- 


126) H. N. Russell and J. A. Stewart, Pressures of the suns surface, Astroph. 
Journ. 59 (1924), p. 199, sowie J. A. Stewart, The opacity of a jonised gas, 
Physical Rev. 22 (1923), p. 224. 


67. Beziehungen zwischen Leuchtkraft und Masse. 505 


magnetischen Theorie auf Streuung und Absorption der Strahlung an 
freien und gebundenen Elektronen zurückzuführen. Allein wie Pauli'?**) 
in anderem Zusammenhange gezeigt hat, ist es unmöglich, auf diese 
Weise das Plancksche Verteilungsgesetz zu erhalten, vielmehr wird 
die Energie in den kurzen Wellenlängen zusammengedrückt. Tatsäch- 
lich betragen die von Russell und Stewart berechneten Koeffizienten 
nur rund ;4, der in Größenordnung mit der Beobachtung stimmen- 
den Werten von Milne. 

Die außerordentliche Bedeutung eines richtigen Ansatzes für k 
wird aus den Erörterungen der nächsten Nummer hervorgehen.'?””) 


67. Beziehungen zwischen Leuchtkraft und Masse. Für die 
ausgesandte Strahlung ergab sich (Gl. (132)) 


L=41R#RsT!=4ı,M = a — 

{ p 

unabhängig von der Zustandsgleichung des aufbauenden Materiales; unter 
® 





Erg/see, 





; konstant ist längs des Ra- 


dius. k, ist anzusetzen für die äußeren Schichten. Gehorcht das auf- 
bauende Material der Zustandsgleichung vollkommener Gase, so ist bei 
Strahlungsgleichgewicht &,k, für verschiedene Sterne gleichen Mole- 
kulargewichts eindeutig durch die Masse bestimmt und es ergab sich 


(unter Benutzung der Polytropen n = 3) 

(138) 1 — ß = 0,00308 M?m?Bt. 

Da die Schichten, die durch das k, ausgezeichnet sind, noch dem poly- 
tropen Teile der Kugel angehören, ist k, > ee und kann mit ge- 


nügender Genauigkeit durch die Mittelpunktswerte g, > x und 


der einzigen Bedingung, daß 1— ß = 





T,» Bm berechnet werden. Dann ergibt sich in Verbindung mit 


1262) W. Pauli jr., Über das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung 
und freien Elektronen, Ztschr. f. Phys. 18 (1923), p. 272. 

127) Die Betrachtungen dieser Nummer gelten selbstverständlich nur für 
einen „mittleren‘‘ Absorptionskoeffizienten; die „monochromatische‘‘ Absorption, 
wie sie z. B. bei dem Zustandekommen der Absorptionslinien wirksam wird, ist 
von gänzlich anderer Größenordnung. Nach bekannten Messungen von Wood 
ist der Massenabsorptionskoeffizient für die Resonanzlinie A — 2537 Ä von der 
Größenordnung 10°, so daß bei einem Druck 0,001 mm bereits Schichten von 
0,5 mm Dicke die Intensität dieser einfallenden Strahlung auf /, herabsetzen. 
In den weiterhin zu besprechenden Arbeiten von R. H. Fowler und E. A. Milne er- 
gibt sich für die H- und K-Linie des Ca* ein Absorptionskoeffizient 0,4 - 10° cem?g”' 
Die Bedeutung dieser Absorptionskoeffizienten liegt auf einem anderen Gebiet 
(vgl. Nr. 75). 


506 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Gl. (132) und (138) die fundamentale Beziehung Eddingtons 
I: IE U 3 
(149) LM’ —PB)?m’T}. 
Der Unterschied gegen Gl. (146) ist lediglich dadurch bedingt, daß 
7 


k, dort © T®, hier T ® angesetzt ist. Der Wert der Konstanten 
könnte den Untersuchungen der Nr. 66 entnommen werden. Zweck- 
mäßiger wird er dem Verhalten der Capella (unter der Annahme 
m — 2,11) entsprechend bestimmt. Ebenso wird L in Größenklassen 
m ausgedrückt. Eine Änderung von 7,— 3000° (Spektralklasse M) 
T= 12000° (Spektralklasse A) ändert m um — 1,2 Größenklassen. 


Wird deshalb zu m noch ein Temperaturterm — 2log (5) addiert 
(T, = 5500° für Kapella), so ergibt sich als Ausdruck der @l. (149) 
ein einfacher Kurvenzug m = f{M). Eddington hat diese Beziehung 
an 45 Sternen, für deren Masse hinreichend exakte Werte vorliegen, 
mit großer Genauigkeit bestätigt gefunden. Dabei ergab sich das über- 
raschende Resultat, daß auch bei den Zwergsternen, und das war die 
Mehrzahl dieser Sterne, diese Beziehung, die unter Ansatz der Zustands- 
gleichung vollkommener Gase abgeleitet wurde, mit der gleichen Genauig- 
keit gilt, wie bei den Riesensternen. Die Sonne liegt genau auf diesem 
Kurvenzuge. Auch hat neuerdings H. N. Russell!) in das nach ihm 
benannte Diagramm Kurvenzüge eingetragen, den Inhalt der Gl. (149) 
darstellend. Es zeigt sich, daß sich so die Zwergsterne bekannter 
Masse in einen schmalen, wohldefinierten Streifen anordnen, ein Be- 
weis nicht nur für die Gültigkeit der Gl. (149), sondern, was weit 
wichtiger, für die Anwendbarkeit der ihrer Ableitung zugrundeliegen- 
den Zustandsgleichung vollkommener Gase. Für die polytrope Gas- 
kugel »—=3 ergibt sich die Mittelpunktsdichte 54 mal größer wie die 
mittlere Dichte. Nimmt man an, daß das Molekulargewicht in Folge 
zunehmender Ionisation nach Innen zunimmt, so sinkt dies Verhält- 
nis und kann (nach der zuletzt angeführten Arbeit von Kddington) 
zu etwa 20 abgeschätzt werden. Für die überwiegende Masse der 
Sonne und anderer Zwergsterne ergeben sich so Dichten, die die des 
Platins weit übersteigen. Wie trotzdem die Zustandsgleichung voll- 
kommener Gase, die bei Laboratoriumsexperimenten schon bei Dichten 
unterhalb des Wasser vollkommen illusorisch wird, noch gelten kann, 
soll in folgender Nummer erörtert werden. 

Über hohe Sterndichten. Bestimmungen von Sterndurchmessern '*”), 
aus der Beziehung L—4xN#R?7Tt, schwarze Strahlung vorausgesetzt, 

128) H.N. Russell, The Problem of stellar evolution, Nature 116 (1925), p. 208. 


129) K. F. Bottlinger, Lichtelektrische Farbenindizes von 459 Sternen, 
Berlin-Neubabelsberg Sternw. Veröff. III (1923), Heft 4. 











68. Verhalten hoch ionisierter Gase. 507 


führen zu Dichten, die bis zu Beträgen von 10° und 10% g/cem? an- 
steigen und unseren Vorstellungen über den Atombau der Materie 
zu widersprechen scheinen. (Vgl. die folgende Nr.) Die mittlere _ 
Dichte von B-Sirius wird von Bottlinger zu 28000, von Eddington zu 
58000 g/cm? angegeben; letztere entsprechen einer Masse = 0,85 
Sonnenmassen und einem Durchmesser von 19600 km, bestimmt 
durch eine absolute Größe m = 11,5 und 7, = 8000°. 

Diese unerwartet hohen Sterndichten werden durch Beobachtungen 
anderer Art bestätigt. Die Einsteinsche Rotverschiebung der Spektral- 
linien ist proportional dem Schwerepotentiale an der Oberfläche, wel- 
ches bei vorliegender Masse umgekehrt mit dem Radius zunimmt. 
Für B-Sirius, dessen Masse zu 0,30 resp. 0,90 Sonnenmassen angesetzt, 
ergibt sich je nach dem Spektraltypus F, und A, 


F, A 


Öberflächenhelligkeit — 0,88 — 1,45 
Radius (km) 24.000 18 000 
Dichte (g/cm?) 30 000 64 000 
Rotverschiebung (A) + 0,23 + 0,32 


Messungen von W. S. Adams‘) geben für H,, H, und einige andere 
Linien im Mittel eine Rotverschiebung entsprechend einer Radialge- 
geschwindigkeit von 23 km/sec. Korrigiert um die Bahngeschwindig- 
keit von — 1,7 km/see ergeben sich 21 km/see entsprechend 0,32 Ä, 
mit den aus gänzlich verschiedenem Ausgangspunkte berechnetem 
Werte vorzüglich stimmend. 


68. Verhalten hoch ionisierter Gase. Die Zustandsgleichung voll- 
kommener Gase versagt in dem Maße, als bei zunehmender Kompres- 
sion das sogenannte Kovolumen der Moleküle in Wirksamkeit tritt, 
welches auch die Maximaldichte der Materie unter irdischen Verhält- 
nissen bedingt. Der Radius desselben kann zu rund 107° cm ange- 
setzt werden. Allein in den Sternen haben wir es, da einige Elek- 
tronenlagen abgeschält sind, mit ungleich kleineren Atomen zu tun, 
und die Gasgesetze können folglich bis zu entsprechend höheren 
Dichten gelten. Atome mittleren Gewichtes dürften beinahe bis zum 
K-Niveau abgeschält sein, wodurch sich deren Radius schon für das 
Atom N=10 von der Größenordnung 10-1% cm ergibt; leichtere 
Elemente wie Kohlenstoff und Sauerstoff sind vielleicht nur als nackte 
Kerne vorhanden. Die erreichbare Maximaldichte kann so rund auf 


130) W. 8. Adams, The relativity-displacement of the speetral lines in the 
companion of Sirius, Washington Nation. acad. of sc. Proceed, 11 (1925), p. 382. 





508 VI 2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


den 10°fachen Betrag ansteigen, so daß die Materie sich bis zu Dichten 
von der Größenordnung 10° mal höher wie ein Gas verhalten kann. 
Soviel über die Bedeutung des Kovolumens. 

Nun treten aber zwischen den Ionisationsprodukten elektrische 
Kräfte auf, die der kinetischen Theorie der Gase bisher fremd sind. 
Ihr Einfluß läßt sich schwer berechnen, doch hat Eddington'?') durch 
einfache Dimensionsbetrachtung gezeigt, daß, falls sie quadratisch mit 
der Entfernung sich ändern, und der Stern sich stets in der Poly- 
tropen n—3 fortentwickelt, ihr Verhältnis zu Gas- und Lichtdruck 
ungeändert bleibt. Ob Riesen- oder Zwergstern, der ganze tragende 
Druck ist stets prozentisch gleich in Gasdruck, Lichtdruck und elek- 
trischem Druck (über dessen Vorzeichen ist nichts ausgesagt) aufgeteilt. 

Diese elektrischen Kräfte sind von 5. Rosseland'??) näher unter- 
sucht worden. Ein jedes Teilchen umgibt sich mit einer Wolke un- 
gleich geladener Teilchen; bei überall gleicher Dichte herrscht in 
dieser radiale Symmetrie und dies Teilchen bleibt in Ruhe. Bei vor- 
handenem Dichtegradienten aber werden in Folge der Unsymmetrie 
—+ und — Teilchen gleichsinnig in Richtung wachsender Dichte 
gezogen. So kommt ein elektrischer Druck zustande, der dem Gas- 
und Lichtdruck entgegenwirkt. Er läßt sich durch ein Potential 
behandeln, dessen Betrag einer Arbeit von P. Debye und E. Hückel‘?”) 
entnommen werden kann. Bezeichnet nun x das Verhältnis elektri- 
scher Druck/Lichtdruck, so ergibt die weitere Durchführung, daß an 
Stelle der Gl. (138) die neue 

ae 4 ga 
(a) ra er hen 0,00 308 m! M 


tritt mit der weiteren Beziehung 





5 4 

(b) arg — (« # =) - a 

k die Boltzmannsche Konstante, Z die Anzahl freier Ladungen des 
+ Ions, «a die Konstante der Strahlungsdichte. Die KEddingtonsche 
Folgerung aus Gl. (149), daß die Helligkeit eines Sternes während 
seiner Weiterentwicklung konstant bleibt, gilt also nur so lange, als 
der Ionisationsgrad konstant bleibt. Dies ist aber bedeutungslos, da 
in allen in Wirklichkeit vorliegenden Fällen der elektrische Druck 
vernachlässigt werden kann. Wir finden ein Maß für seinen Einfluß, 


131) Siehe A. 8. Eddington die in Fußn. 119) zitierte Arbeit, $ 9. 

132) S. Rosseland, Electrical state of a star, London Astr. Soc. Month. Not. 
84 (1924), p. 308. 

133) P. Debye und E. Hückel, Zur Theorie der Elektrolyte, Physik. Ztschr. 
24 (1924), p. 185. 


69. Veränderlichkeit der Sternmasse. 509 


wenn wir die Zahl Z bestimmen, welche «—=1 macht. Für einen 
Stern von 1,5 Sonnenmassen und einem mittleren Molekulargewicht 
2,8 ergibt sich Z—= 65. Der Stern müßte also aus sehr schweren 
Atomen aufgebaut sein. Für Gase von kleinem und mittlerem Atom- 
gewicht kann der elektrische Druck vernachlässigt werden. 

Die Frage nach der Zustandsgleichung hoch ionisierter Gase ist 
auch von R. A. Fowler und E. A. Guggenheimer'’*) gestreift worden. 
Es scheint, daß der Einfluß der Kovolumen der Atomreste bis zu 
Dichten von 5000 g/em®? vernachlässigt werden kann und erst bei 
Diehten von 50000 in Erscheinung tritt. Die elektrischen Kräfte be- 
wirken bereits bei Diehten von 400 Abweichungen von der Zustands- 
gleichung vollkommener Gase, unerwarteter (nach Rosseland, wie er- 
wähnt, erwarteter) Weise in Richtung vermehrter Kompressibilität; 
doch scheint bei Dichten von 15000—20000 der entgegengesetzte 
Effekt aufzutreten. 

Aus diesen wenigen Untersuchungen dürfte hervorgehen, daß sich 
weder Kovolumen noch elektrische Kräfte in bezug auf die Kompres- 
sibilität praktisch bemerkbar machen. Anders steht es mit ihrem Ein- 
fiuß auf das optische Verhalten. B-Sirius z. B. gehorcht nicht der 
Gl. (149). Bei diesen hohen Dichten gibt es unfreie Elektronen, die 
gleichzeitig in die Wirkungssphäre zweier Kerne fallen. Dann wer- 
den die Überlegungen, welche der Berechnung des Absorptionskoeffi- 
zienten k, dessen Ausdruck sich in Gl. (149) auswirkt, zugrunde liegen, 
hinfällig (Eddington). 

69. Veränderlichkeit der Sternmasse. In herkömmlicher Weise auf- 
gefaßt, spiegelt das Russellsche Diagramm die Entwicklungsgeschichte 
eines Sternes ab. Sich kontrahierend durchläuft er das Riesenstadium in 
der Richtung höherer effektiver Temperatur, um nach Erreichung einer 
gewissen Dichte das Zwergstadium in umgekehrter Richtung zu durch- 
laufen. Die in der vorhergehenden Nummer nachgewiesene, andauernde 
Gültigkeit der Zustandsgleichung vollkommener Gase und der Zu- 
sammenhang zwischen Helligkeit und Masse entzieht dieser Anschauung 
den Boden und das Diagramm gibt lediglich ein statistisches Bild der 
Zustände, in welchen die Sterne im Laufe ihrer Entwicklung ange- 
kommen sind. Denn im Laufe seiner Entwicklung durchläuft jeder Stern 
langsam [die Gl. (149) ist unter Voraussetzung eines stationären Zu- 
standes abgeleitet] eine Kurve, die bestimmt wird durch die Änderung 
der effektiven Temperatur 7, unter Zusammenwirkung der Energie- 
quellen & und der durch Kontraktion zur Verfügung gestellten Energie- 


134) R. A. Fowler and E. A. Guggenheimer, siehe Fußn. 120). 


510 VI2, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


mengen. Die ursprüngliche Interpretation des Diagramms läßt sich 
offenbar nur halten unter der Annahme, daß ein Stern dauernd an 
Masse verliert. Ein solcher Massenverlust dürfte auch tatsächlich un- 
vermeidlich sein. So zeigen die Nordlichterscheinungen, daß die Sonne 
Elektronen auswirft, deren Masse im Laufe der Zeit sich addieren 
muß. Ferner ist jede Aussendung von Strahlung mit Massenverlust 
begleitet. Die von der Sonne jährlich ausgestrahlte Energiemenge 
von 3.10% cal = 1,25 - 10%! Erg repräsentiert einen Massenverlust 


ae — 1,40 :10%g —= 7.1071 Sonnenmassen. Dabei beträgt 


die absolute Helligkeit der Sonne nur + 4,9 Größenklassen. Die Be- 
deutung dieses Massenverlustes können wir nicht beurteilen, da jeder 
sichere Anhaltspunkt fehlt, eine absolute Zeitskala für kosmogonische 
Veränderungen festzustellen. Ein Kriterium zur Feststellung eines 
Massenverlustes könnten die Doppelsterne bieten; die stärkere Strah- 
lung der größeren Komponente M bedingt für diese einen stärkeren 
Massenverlust wie bei der kleineren Komponente m, so daß das bei der 


von 


Bildung eines Doppelsterns kleine Massenverhältnis 5 sich beim Durch- 


laufen des Russellschen Diagramms immer mehr dem Werte 1 nähern 
muß. Dieser Tatbestand ist von AH. Vogt") an 85, von @G. Shajin'?®) 
an 342 Doppelsternen geprüft worden mit dem übereinstimmenden 
Ergebnis, daß die fragliche Zunahme vorhanden ist. Während aber 
Vogt dadurch die fragliche Massenabnahme tatsächlich als bewiesen 
ansieht, liegt nach Shajin nur ein Zusammenwirken mehrerer statisti- 
scher Umstände vor, die damit nichts zu tun haben. Neuere Unter- 
suchungen von P. ten Bruggencate"?”) an Sternhaufen machen jedoch 
Massenverlust wahrscheinlich. 


70. Zusätze zur Eddingtonschen Theorie. 1. Die Annahme 

&,: k, konstant längs des Radius lieferte für die Hauptmasse Aufbau 

nach einer Polytropen » —=3, der schließliche Ansatz k, © a 
m T? 

gab auch &, hinreichend konstant. Im Gegensatze hierzu untersuchte 

A. Kohlschütter‘) den Aufbau, falls k, konstant, hingegen propor- 

tional einer Potenz der Temperatur © 7” gesetzt wird. Es ergab 


sich (auf etwas einfachere Weise hat dies später R. Emden nachge- 





135) H. Vogt, Die Massenabnahme von Sternen infolge von Strahlung, 
Ztschr. f. Phys. 26 (1925), p. 139. 

136) @. Shajin, On the mass-ratio in double stars, London Astr. Soc. Month. 
Not. 85 (1925), p. 245. 

137) P. ten Bruggencate, Die Entwicklung stellarer Materie, Naturw. 13 
(1925), p. 261. 


70. Zusätze zur Eddingtonschen Theorie. 511 


wiesen) für die Hauptmasse ebenfalls Aufbau nach einer Polytropen, 


deren Klasse » durch 
n=3 —v 


' bestimmt ist. v»— 0 führt wieder auf n—=3 zurück; v —= 3 liefert 
Aufbau von konstanter Dichte und v—= — © TRETEN 
Isothermie. Außerdem lassen sich noch die Fälle v—= +2 in ge- 
schlossener Form integrieren. Werden die Energiequellen & durch 
Kontraktionsarbeit geliefert, so ist (Nr.9) v—=1 zu setzen, welches 
Problem von Kohlschütter unter Annahme der van der Waalsschen 
Gleichung ausgearbeitet wurde (Nr. 64). 


2. Die Annahme Erkp — const. = 1 — ß und der damit mögliche 
Ge H 





Aufbau nach der Polytropen n = 3 lieferte - = const. — u ß 
durch Masse und Molekulargewicht gegeben. Setzt, man schließlich 


pe 
in annehmbarer theoretischer Begründung k, — Kara T ?,so ergab sich 
e 


die überraschende Beziehung 


(149) L= const. 95 (1 Bm 


In der LM-Ebene liegen die Sterne gleichen I: in 
einem Streifen, dessen Breite durch 7‘, bedingt wird. Liegt anderseits 
nur eine Gaskugel »n = 3 vor, so ist durch M und R wohl die Massen- 
anordnung eindeutig bestimmt, während die ausgesandte Strahlung Z 
noch beliebig angesetzt werden kann. Diese Sterne könnten die LM- 
Ebene vollständig überdecken; erst Feststellungen über %k, resp. &, 
liefern Seitenstücke zur Gl. (149) und schränken das Verteilungsgebiet 
ein. Diese Verhältnisse werden von J. H. Jeans“?®) unter speziellen 
Annahmen eingehender behandelt; Ausgangspunkt ist der Ansatz 


: a er > 
(a) k,= AT: Tr, = 8,7”, » und e, Konstanten, le oP. 


Dann brauchen polytroper Aufbau und die Beziehung = — const. 


nicht mehr zu gelten; vielmehr wird 4 = : abhängig von p, und es 
ergibt sich 


(b) pin —K TANYERS (4 3 1), ‘= a I K = const. 





K ist durch bekannte Konstante ausdrückbar. Die allgemeine 


138) J. H. Jeans, On the masses, luminosities and surfaces temperature of 
the stars, London Astr. Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 195. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, B. 33 


512 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Lösung ist in Reihenentwicklung möglich, aber für die weitere An- 
wendung zu unhandlich. Jeans behandelt deshalb weiterhin lediglich 


die beiden Grenzfälle A =, sehr groß und sehr klein. (Die Masse 


ist sehr klein resp. sehr groß.) In beiden Fällen ergibt sich p gleich 
einer durch 6 bedingten Potenz von p, (der Eddingtonsche Spezial- 
wert 6=0 führt stets auf A= const. zurück). Da aber p, durch 7 
und 7 für vollkommene Gase durch p und o ausdrückbar ist, folgen 
p und p, proportional Potenzen von e. Somit zeigt sich wiederum 
Aufbau nach einer Polytropen, deren Klasse durch 6 bestimmt ist. 
Setzt man noch, um einer Änderung des Molekulargewichts Rechnung 


tragen zu können, — —= o?, so wird in beiden Grenzfällen der Auf- 


bau derselbe wie in einer adiabatischen Kugel eines Gases, für welche 
. . . .. Cp 26 + 4 46 + 4 
das Verhältnis der spezifischen Wärmen "=, _,; ® resp. —— 3 


o 20c+3 
zu setzen ist. Die Polytropenklasse ist n = — !_. Da außerdem der 


8 —_ 1 

2 
Parameter «® der Gl. (I) in Nr. 17 sich durch gegebene konstante 
Größen ausdrücken läßt, ist der Aufbau eindeutig gegeben und das 
Verhalten der Kugel läßt sich nach gegebenem Muster durchrechnen. 


Es folgt als Seitenstück zu Gl. (149) eine Beziehung 
Lo» TAaMe®. 








Die Exponenten sucht Jeans aus dem Verhalten von sechs sorgfältig 
ausgewählten Fixsternen zu berechnen; dabei ergaben sich ® = 0,95 
und 6 = — 0,35, also unmögliche Werte, da © >1 und o>0 sein 
muß. Als wahrscheinlichste Werte setzt Jeans schätzungsweise ® = 1,025, 
oc —= +0,55. Damit wird 


für 2 sehr klein, M groß, Lo MW T1#, 
(e) P; 
»  „» sehr groß, M klein, Lo MT T08, 


während nach Eddington 


| für 3 sehr klein, M groß, 1—ß=]1), Lo Mimi 78, 
(d) 

“ % sehr groß, M klein, (1 —B=m!M°®), Lv Mi+!mb#® T# 
ist. (Die Abhängigkeit vom Molekulargewicht ist bei Jeans nur schein- 
bar verschwunden.) Der (im Prinzip unwesentlich) erweiterte Ansatz 


70. Zusätze zur Eddingtonschen Theorie. 513 


macht sich also nur in einer (praktisch unwesentlichen) Änderung 
der Exponenten von M und T, geltend. Wenn aber Jeans als Haupt- 
ergebnis seiner Untersuchung ausführt: „Our wider theorie has shown, 
that as soon as 6 differs ever infinitesinally from zero, there is not 
one such eurve in the LM-plane but an infinite number“, so ist zu 
betonen, daß dasselbe auch bei Eadington zutrifft, falls nicht aus 
Gründen übersichtlicher Darstellung auf gleiches 7‘, reduziert wird. 
Daß die Jeanssche Erweiterung nicht wesentlicher Natur ist, haben 
auch Eddington“®) und namentlich Russell) nachgewiesen. Das 
Hauptergebnis der Eddingtonschen Untersuchung liegt auch nicht in 
der Aufstellung der Gl. (149), sondern in dem unerwarteten Ergeb- 
nisse, daß sie, obwohl unter Voraussetzung vollkommener Gase abge- 
leitet, auch das Verhalten der ungleich dichteren Zwergsterne mit 
gleicher Genauigkeit wiedergibt. 





— 1— ß längs des Sternradius kon- 


stant, aber von Stern zu Stern mit deren Masse veränderlich. Neuer- 
dings hat A. Brül'“) darauf aufmerksam gemacht, daß erfahrungs- 
gemäß kYe, für alle untersuchten Sterne gleich einer Konstanten A, 
gesetzt werden kann. Somit könnten k, © &, einzeln berechnet wer- 


Ko nt 
ei °, worin 





den. Setzt man aber nach Eddington mi 





K ein universelle Konstante ist, so folgt 


a, 
kye, MIT)... e; 


also in Widerspruch mit der Voraussetzung abhängig von ß, und so- 
mit von der Sternmasse. Beachtet man aber, daß für M = 0,13; 
— 1,00; = 11,5 Sonnenmassen sich Yß = 0,99; — 0,975, = 0,71 
ergibt'?), während 7, rund im Verhältnis der effektiven Temperaturen 
variiert, so ist ersichtlich, daß die Brillsche Beziehung innerhalb weiter 
Grenzen praktisch mit hinreichender Genauigkeit gilt. Als wahrschein- 
lichsten Wert gibt Brill K = 4,27 - 10°" m?/em?, während Eddington 
für Capella X = 2,0 - 10° erhält. 


139) A. S. Eddington, On the stars-luminosity-relation, London Astr. Soc. 
Month. Not. 85 (1925), p. 403. 

140) H. N. Russell, Note on the relation between the mass, luminosity and 
temperature of gaseous stars, ebenda p. 935. 

141) A. Brill, Der physikalısche Zustand der Sterne, Ztschr. f. Phys. 30 
(1925), p. 715. 

142) Entnommen der Tabelle I der unter Fußnote 116) zitierten Arbeit 
Eddingtons. 


38° 


514 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


71. Rotierende Massen im Strahlungsgleichgewicht. Über das 
Gleichgewicht rotierender Gasmassen bei Berücksichtigung des Strah- 
lungsdruckes liegt eine Untersuchung von E. A. Milne“?) vor. Bei der 
Schwierigkeit der mathematischen Behandlung erweisen sich selbst 
angenäherte Lösungen nur in zwei Fällen als möglich. Sie sind von 
geringer praktischer Bedeutung 

a) wenn die Winkelgeschwindigkeit & klein ist, 

b) wenn die Masse so groß ist, daß der Lichtdruck den Gasdruck 
bedeutend überwiegt. 

Im letzteren Falle ergab sich bereits für den nicht rotierenden 
Stern eine Bauart, deren Stabilität sehr gering ist. 

Der Einfluß der Rotation äußert sich in erster Linie darin, 
daß die Kugel nicht länger nach einer Polytropen n = 3 gebaut ist, 


und und das Verhältnis des Lichtdruckes zum Gasdruck nicht 


73 
mehr konstant sind. Bei gleicher Masse und gleicher Mittelpunkts- 
temperatur nehmen bei langsamer Rotation der mittlere Radius zu, 
die Leuchtkraft und effektive Temperatur ab. Letztere ergibt sich an 
den Polen höher als am Äquator. Die totale Strahlung des Sternes 
nimmt im Laufe seiner Entwicklung ab. Die Rotation macht sich in 
zwei Gliedern geltend: das eine ist die Kugelfunktion P,(cos $) mit 
dem Koeffizienten e- ‚das andere mit dem Koeffizienten Ir ist unabhängig 
von ®. Letzteres zeigt, daß der Einfluß der Rotation mit zunehmen- 
der Masse zunimmt. 

Für große Massen kann der Gasdruck gegenüber dem Lichtdruck 
vernachlässigt werden. Das Verhalten der rotierenden Masse hängt 
dann ganz ab von der Verteilung der Energieproduktion im Innern; 
die Dichte an jeder Stelle wird lineare Funktion von ke. Ist & (oder 
ks) konstant, so ist bei hinreichend großer Masse die Dichte konstant, 
solang © + 0, und die Form der Oberfläche ist dieselbe, wie bei einer 
rotierenden Flüssigkeitskugel konstanter Dichte. 

Von sehr allgemeinen Voraussetzungen ausgehend, versucht 
H. v. Zeipel‘“t) den unerwarteten Satz zu beweisen, daß, falls das 
Molekulargewicht und der Absorptionskoeffizient in einer Niveaufläche 
konstant sind und die Zustandsgleichung vollkommener Gase gilt, die 


143) E. A. Milne, The equilibrium of a rotating star, London Astr. Soc. 
Month. Not. 83 (1923), p. 118. 

144) H v. Zeipel, Über das Strahlungsgleichgewicht der Sterne, Seeliger- 
Festschrift, Berlin 1924, p. 144, sowie drei weitere Abhandlungen in London Astr. 
Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 665, 684 und 702. 


71. Rotierende Massen im Strahlungsgleichgewicht. 515 


Energiequellen & nur dann innerhalb der ganzen Sternmassen kon- 
stant sein können, falls entweder © —= (0 oder die Dichte oe konstant 
st. Die Energieproduktion steigt oder sinkt nach dem Zentrum zu, 


je nachdem oe > oder < en. Letzteres Gebiet erstreckt sich tat- 


sächlich weit nach außen, auch bei nahezu sphärischen Sternen. 


IV. Eingreifen von Atomphysik und Quantentheorie. 


A. Jonisation und Strahlung. 


In den Untersuchungen der früheren Abschnitte wurde, von 
wenigen Ausnahmen abgesehen, die die Himmelskörper aufbauende 
Materie als Kontinuum behandelt und analog mit einem mittleren, 
einer schwarzen Strahlung entsprechenden Absorptionskoeffizienten 
gerechnet. Nun sind die in den einzelnen Emissionslinien und Absorp- 
tionslinien umgesetzten Energiemengen zwar so klein, daß sie in der 
allgemeinen Energiebilanz nicht in Betracht kommen, ihre fundamen- 
tale Bedeutung für die astrophysikalische Forschung bleibt bei dieser 
Behandlungsweise aber verschlossen. Dazu muß die Physik der Kon- 
tinua durch die Physik des einzelnen Atomes ersetzt werden. Es ist 
das Verdienst von J. Eggert""?) zum ersten Male die Gleichung des Dis- 
soziationsgleichgewichtes auf Ionisationsvorgänge angewandt und so 
den Ionisationsgrad und damit das mittlere Molekulargewicht der 
Sternmaterie berechnet zu haben (Nr. 65). Es ist Verdienst von Megh 
Nad Saha‘"), diese Beziehung auf das optische Gebiet angewandt 
und so den fundamentalen Zusammenhang zwischen Linienspektrum, 
Temperatur, Druck und aufbauender Materie hergestellt zu haben. 
Im folgenden kann nur über die theoretischen Grundlagen dieser 
Arbeiten referiert werden, ein näheres Eingehen auf die Beobachtungs- 
ergebnisse muß dem Berichte über Spektralanalyse vorbehalten 
bleiben. Weiter zeigt sich, daß durch die Behandlung von Strahlung 
und Gas als Kontinua die weite Erstreckung der Sternatmosphären 
in äußerst verdünntem Zustande, wie sie in der Chromosphäre in Er- 
scheinung tritt, nicht zu erklären vermag. Eine Erklärungsmöglich- 
keit bietet sich, wenn der Druck monochromatischer Strahlung auf 
Atome in geeigneten Anregungszuständen in Rechnung gestellt wird. 


145) Megh-Nad-Saha, Ionisation in the solar Chromosphere, Phil. Mag. 40 
(1920) p. 472; Elements in the sun, ebd. p. 809; On the problems of temperature 
radiation of gases, ebd. 41 (1921), p. 267. Eine gedrängte Übersicht ist gegeben 
in: Versuch einer Theorie der physikalischen Erscheinungen bei hohen Tem- 
peraturen und Anwendung auf die Astrophysik, Ztschr. f. Phys. 6 (1921), p. 640. 


516 VI»,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Zum Schluß habe ich mir nicht den Hinweis versagen können, daß 
trotz einer Fülle von Erscheinungen, welehe Quantentheorie und Atom- 
physik aufzuklären vermögen, einige wichtige, scheinbar einfacher 
gelegene Probleme in Dunkel gehüllt bleiben. 


72. Ionisationsgleichgewicht. Das Ionisations- (Dissoziations-) 
Gleichgewicht zwischen Elektron e, positivem Jon +, und neutralem 
Atom a, kann man als chemisches Gleichgewicht zwischen idealen 
Gasen auffassen, wenn die Temperatur hoch genug ist, daß man an die 
durch die elektrischen Kräfte bedingte Abweichung vom idealen Gas- 
zustande vernachlässigen kann“) (Nr. 68). Dann gilt das Massen- 
wirkungsgesetz !*”) 

(a) . —=K, oder De’Dr _ K,= R-T-.K, 


© die Konzentrationen in Mol (also für N = 6,062.10* Teilchen), p 
die Partialdrucke in Atmosphären gemessen, p—= R-T:( die tas- 
gleichung. Für die Gleichgewichtskonstante liefert der zweite Haupt- 
satz die Gleichung der „Reaktionsisichore“ 


(7) log Kp Q 
(b) IT er 





Q (erg) die Wärmemenge, die bei der Temperatur 7’ frei wird, wenn 
sich ein Mol Elektronen und ein Mol positiver Ionen unter konstantem 
Drucke zu einem Mol neutraler Atome vereinigen. Weiter gilt die 
Beziehung '*®) 


(e) Q-G+z RT+ZRT— ZART 


Q, der Betrag von Q bei T= (0, der sich aus der Ionisationspannung 
I, des neutralen Atoms und der Ladung F' von 1 Mol (Faradaysches 
Äquivalent, Q,— I,- F berechnet, und 3R die Wärmekapazität der 
drei Reaktionsteilnehmer (+ für Elektron und Ion, — für das neu- 
trale Atom). Dabei ist die „innere spezifische Wärme“, vgl. Nr. 74, 
nicht in Betracht gezogen. Die Integration ergibt 


log k, _—— +++ Ja 
(d) 





logk, = — 2,8- r+$ > og A HE SE Pi ua Fe I 





146) W. Wessel, Über das Massenwirkungsgesetz in ionisierten Systemen, 
Physikal. Ztschr. 25 (1924), p. 270. 

147) K. Herzfeld, Physikalische und Elektrochemie, Encykl. V I. 11, Nr. 8, 
p. 984. 

148) K. Herzfeld, ebenda Nr. 1, p. 952. 


72, Ionisationsgleichgewicht. 517 


Die Größen j, die „chemischen Konstanten“ der drei Stoffe, vermag 
die reine Thermodynamik nicht zu liefern; doch sagt der dritte Haupt- 
satz aus, daß sie nur von der Natur des betreffenden Gases, nicht 
von der Beschaffenheit des betreffenden physikalischen oder chemi- 
schen Gleichgewichtes abhängen. So werden sie der Berechnung durch 
die Quantenstatistik zugänglich”), mit dem Ergebnisse 





3.5 
s 2,2 
(e) j=log nn a 1,587 + n- log m 
N?n: 


m das Molekulargewicht, k die Boltzmannsche Konstante = 1,37 . 10-19 
Erg, h das Wirkungsquantum —= 6,55 - 10-7 Erg- sec (p stets in Atm 


gemessen). So wird 
1 





= — 1587 + log ET Apı — 6,487 
M 3 3 m gar 3 1 
h . m 
„Tui sl nie We (30) 


kann man meist durch O ersetzen.!?®) 

Bedeutet x den Bruchteil ionisierter Atome, also auch die Menge 
gebildeter Elektronen und Ionen, P den Gesamtdruck, P=p,+p,-+P,, 
so ist 
(g) 9. 9 iD 


A 1— x? 


und es ergibt sich schließlich 


Fa ; 
(150) log og P) UNE Kr u >. log T — 6,487 


an n == n ni ; 1 Volt äquivalent 2,302-10% cal. 


Für die weitere Ionisation des einfach geladenen zum doppelt 
geladenen Ion gilt diese Gleichung unverändert, wenn man den Index 
+ durch ++ und den Index a mit + vertauscht. Die Wärmetönung 
ist dann &, = J,:2F 

Diese Gleichung, die M. N. Saha seinen Untersuchungen zu- 
grunde legt, gilt für rein thermische Anregung. Nun werden aber die 











149) A. Smekal, Allgemeine Grundlagen der Quantenstatistik und Quanten- 
theorie, Encykl. V 3, 28, Nr. 25. 

149a) Es befremdet auf den ersten Anblick, daß nach Gl. (150) bei kon- 
stanter Temperatur die Ionisation mit abnehmendem Drucke steigen soll. Denn 
dann nimmt die Zahl der ionisierenden Zusammenstöße (Atom-Elektronen) in 
gleichem Maße ab wie die Zahl der rekombinierenden Zusammenstöße (Ion- 
Elektronen); die beiden wachsen v P?. Dies sollte Unabhängigkeit vom Drucke 
ergeben. Allein die Rekombinationsmöglichkeit hängt noch ab von „Dreikörper- 
Zusammenstößen‘“ (Atom-, Ion-, Elektronen), deren Zahl u P® steigt. 


518 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Gase der Sternatmosphäre durch Strahlung getroffen, die ebenfalls 
ionisierend wirkt. Fällt Strahlung ein von der Frequenz v und der 
Dichte u,dv, so geht nach Saha"°°) Gl. (150) über in 

log u P) _. . au SER Au 


23RT hv°® 
(151) u u 


+ 2 log 7 — 6,487. 
Ist aber diese ionisierende Strahlung schwarze Strahlung von der 
hv® 
= 


c 





gleichen Temperatur 7, also u, = 8x7 5 — , was in den in Be- 
| 
tracht kommenden Problemen mit genügender Annäherung zutrifft, so 


geht Gl. (151) wieder in Gl. (150) über. 

Liegt eine ionisierte Mischung verschiedener Elemente vor, so 
darf in Anwendung auf den einzelnen Bestandteil P nicht als dessen 
Partialdruck angesetzt werden; denn ein Reaktionsprodukt, die freien 
Elektronen, ist allen Bestandteilen gemeinsam. Sind die Atomarten in 
den Mengen qa,, @,, Q@,... vorhanden und in den Bruchteilen &,, %,, 
%, ... jonisiert, so ergibt sich eine mittlere Ionisation 


>34 


und in einfacher Überlegung zeigt H. N. Russell"), daß Gl. (150; für 


jeden einzelnen Bestandteil in der Form anzusetzen ist 


Z— 








Ti ARE 
(152) Deep P der Gesamtdruck, 
log un NT logT — 65. 
Daraus folgt 
x % % i a EA er Ei 
I) Te 


d.h. das Verhältnis der Anzahl ionisierter Atome zu der Anzahl nicht- 
ionisierter Atome ist für zwei beliebige Bestandteile nur durch die 
Temperatur bestimmt, unabhängig vom Drucke, den relativen Mengen 
und der Anwesenheit anderer Elemente. Das Element mit kleinerem 


150) Megh Nad Saha and R. K. Swe, Influence of radiation on ionisations 
equilibrium, Nature 115 (1925), p. 377. 

151) H. N. Russell, The theorie of ionisation and the sun spot-spectrum, 
Astroph. Journ. 55 (1922), p. 115. 


73. Die Untersuchungen Megh Nad Saha’s. 519 


Ionisationspotential ist stets stärker ionisiert und das lonisationsver- 
hältnis ist nur durch die Differenz der Potentiale, unabhängig von 
Druck und relativer Konzentration, bestimmt. 


73. Die Untersuchungen Megh Nad Saha’s.') Die Gl. (150) 
hat sich in den Händen dieses Forschers zu einem der wertvollsten 
Hilfsmittel auf dem Gesamtgebiete der Astrophysik entwickelt. Ist 
für eine Kerngattung die zur Ionisation erforderliche Energiezufuhr, 
in der Regel ausgedrückt durch das Ionisationspotential, bekannt, so 
gestattet sie für gegebene Werte von Druck und Temperatur den 
Ionisationsgrad x zu berechnen. Er steigt bei konstantem Drucke 
mit steigender Temperatur, ist also ceteris paribus bestimmt durch 
die Spektralklasse und steigt bei konstanter Temperatur mit abneh- 
mendem Drucke, also bei Erhebung in den äußeren, bei Strahlungs- 
gleichgewicht hinreichend isothermen Schichten der Sternatmosphären. 
Ist der Ionisationsgrad bekannt, so können für eine große Anzahl 
Atome, namentlich der drei ersten Vertikalreihen des periodischen 
Systems, die zu erwartenden Absorptions-(Emissons-)linien mit aller 
Genauigkeit angegeben, für andere in ihrer weiteren Entwicklung we- 
nigstens abgeschätzt werden. Doch ist zu beachten, daß der Nachweis 
dieser Linien durch die experimentellen Hilfsmittel bedingt und für 
sehr kurzwellige Strahlung durch das Zwischentreten der Erdatmo- 
sphäre vereitelt wird. Sind bei tieferen Temperaturen und höheren 
Drucken Moleküle vorhanden, z. B. (0, T,0%, Z,0?, Mg .H?), so kann 
ihr Zerfall in Atome ebenfalls durch sinngemäße Anwendung der 
61. (150) dargestellt und durch Beobachtung das Erlöschen des Viel- 
linienspektrums verfolgt werden. Sind nur neutrale Atome vorhanden 
(x hinreichend klein), so ist nur das Bogenspektrum, bestehend aus der 
Resonanzserie und den zugehörigen Serien, zu beobachten. Bei stei- 
gender Anregung (AT>0, AP<O) steigt x, nimmt die Zahl neu- 
traler Atome ab, und mit abnehmender Intensität des Bogenspektrums 
bildet sich das Funkenspektrum, bestehend aus der Resonanzserie und 
den zugehörigen Serien des einfach ionisierten Atomes, aus, um bei 
weiterer Anregung zu erlöschen und der Resonanzserie und den zu- 
gehörigen Serien des zweifach ionisierten Atomes zu weichen. Dieser 
Vorgang kann sich theoretisch in jeweils angebbarer Zahl wiederholen, 
doch sind höher wie dreifach ionisierte Atome in Sternatmosphären 
(Sit++) bisher nicht nachgewiesen. 

In praktischer Anwendung dieser theoretischen Ergebnisse sucht 
Saha in der bekannten Spektrenfolge des Draper-Kataloges Grenzen 
aus, in welchen eine charakteristische Linienserie eben auftaucht oder 
erlöscht. (x hinreichend klein, resp. =1.) Dadurch ist offenbar wenig 


520 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


gewonnen; denn, mathematisch gesprochen, steht nur eine Gleichung 
mit drei Unbekannten, x, 7, P, zur Verfügung. Ein Verfahren zu 
ihrer graphischen Behandlung ist von A. Pannekoek'??) angegeben. 
Versuche einen durch Strahlungsgleichgewicht bedingten Zusammen- 
hang zwischen 7 und P einzuführen, scheinen nicht vorzuliegen. 
Saha greift zur nächstliegenden Hypothese für die Sternschichten, in 
welchen die Linien sich ausbilden, denselben Druck anzunehmen, wie 
in der sogenannten umkehrenden Schicht der Sonne. Ältere Ansichten 
setzen ihn zu 1-10 Atm an. Diesen folgend, berücksichtigt Saha in erster 
Linie Drucke von 1 Atm, wodurch eine eindeutige Beziehung zwischen 
x und T' hergestellt ist. Auf diese Weise gelingt es für jede Spektral- 
klasse Grenztemperaturen zu finden und so eine Mitteltemperatur zu 
bestimmen. Unterstützt wird das Verfahren durch Zurückgreifen auf 
Beobachtungen, in welchen die an- und abschwellende Intensität dieser 
Linien im Verhältnis zu andern Linien festgestellt wird. So ergibt 
sich, daß jeder Spektralklasse eine Temperatur zugeordnet werden 
kann als Temperatur der Schicht, in welcher die Absorptionslinien 
sich bilden (ein Druck von rund 1 Atm vorausgesetzt) im Gegensatze 
zur effektiven Temperatur, welche eine Eigenschaft der ausgesandten 
Strahlung ist. 

Wird anderseits eine eindeutige Beziehung zwischen x und P 
dadurch hergestellt, daß 7 ein nahezu konstanter Wert beigelegt 
wird, so ergibt sich ein klarer Einblick, wie die verschiedenen Atom- 
gattungen in verschiedenen Höhen der Sonnenatmosphäre in Erschei- 
nung treten. Leicht ionisierbare Elemente wie Ca, Ba, Sr können in 
den höheren Schichten nur als Cat, Ba*, Sr* vorhanden sein, wäh- 
rend umgekehrt die Temperatur nicht hinreicht, um die H,*-Linien 
auftreten und die H-Linien verschwinden zu lassen. 

Ein näheres Eingehen auf die theoretische Zergliederung des 
vorhandenen Beobachtungsmateriales mit seiner Fülle von überraschen- 
den und überzeugenden Einzelheiten liegt außerhalb des Rahmens 
dieses Berichtes. 

Diese grundlegenden Untersuchungen Sahas sind in drei Punkten 
zu verbessern. 1. Saha rechnet im Anschluß an ältere Sonnentheorien 
mit Drucken von rund 1 atm; diese dürften, siehe unten, um die 
Größenordnung 10* zu hoch sein. 2. Die Feststellung des Erscheinens 
und Verschwindens der Linien ist mit Unsicherheit und Schwierigkeit 
verknüpft. In je größerer relativer Menge eine Atomgattung vorhanden 


152) A. Pannekoek, Ionisation in stellar atmospheres, Netherlands Astr. 
Inst. Bull. Nr. 19 (1822), p. 107. 


74. Verfeinerung der Methode durch R. H. Fowler und E. A. Milne. 521 


ist, desto geringer kann der Ionisationsgrad sein, der die zur Beob- 
achtung erforderliche, an sich unbekannte Menge Ionisationsprodukt 
liefert. 3. und ferner wird die Beobachtung der ersten und letzten, 
schwachen Linien beeinflußt durch die Beschaffenheit des kontinuier- 
lichen Spektrums und durch das Vorhandensein stärkerer Linien an- 
derer Elemente. 


74. Verfeinerung der Methode durch R. H. Fowler und 
E. A. Milne.'®) Ausgangspunkt ist wieder Gl. (150), die aber von 
R. H. Fowler"’*) in verfeinerter, rein statistischer Betrachtungsweise 
abgeleitet wurde. Während Saha das Atom lediglich in zwei Zu- 
ständen, dem jeweils neutralen und dem ionisierten, betrachtet, die 
zwischenliegenden, angeregten Zustände aber ausschließen muß, wo- 
durch z. B. die Ca- und Cat-Linien, nicht aber die Balmerlinien be- 
handelt werden können, werden jetzt auch diese Zwischenzustände be- 
rücksichtigt. Diesen nur angeregten Zuständen (der „inneren spezifi- 
schen Wärme“) wird Rechnung getragen, indem in Gl. (150) ein Glied 
log b(T) beigefügt wird, b(7) die „Partition-Funktion“ 


(Xı-%:) IX) 


(154) edge Pen 
worin 1, 2, 3,... die möglichen angeregten Zustände, geordnet nach 
abnehmender negativer Energie, %, X» X --. die entsprechenden 
Energieniveaus bezeichnen, so daß x, das Ionisationspotential, x, — % . 
das Resonanzpotential usw. angeben, q,, 99, 95 .. - sind die Gewichte 
dieser Zustände; dabei ist zu setzen 


für H und Ht: 


=-1-2, 9=2-3., 8“ rel), 
für andere einwertige Elemente: 





=. =, 1 
für zweiwertige Elemente (alkal. Erden): 
= ='.4,=2 


Der für die praktische Anwendung nicht in Betracht kommende 
Schönheitsfehler, daß diese Reihe divergiert, kann nach H.C. Urey'®°) 


153) R. H. Fowler and F. A. Müne, The intensities of absorption lines in 
stellar speetra and the temperatures and pressures in the reversing layers of 
stars, London Roy. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 403; The Maxima of ab- 
sorption lines in stellar spectra (second paper), ebenda 84 (1924), p. 499. 

154) R. H. Fowler, Dissociations-Equilibrium by the methode of partitions, 
Phil. Mag. 45 (1923), p. 1. 

155) H. C. Urey, The distribution of electrons in the various orbits of the 
Hydrogen-atom, Astroph. Journ. 59 (1924), p. 1. 


522 VI2,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


beseitigt werden. Da weiterhin Maximalwerte von x gesucht werden, 
ist es zweckmäßig, gen Gesamtdruck P durch den Partialdruck p, 


der Elektronen p, = P zu ersetzen. So tritt an Stelle der @1.(150) 


die verfeinerte Gleichung 
or (2 
(155) log Fear ?.) = —Zu+7z log + log‘ Bam. 


Man beachte, daß EN m die Masse des Elektrons bedeutet und die 
Logarithmen natürliche sind. Hinzugetreten ist der Faktor 6, der die 
Zahl der in der höchstwertigen Bahn umlaufenden (Valenz-) Elek- 
tronen angibt, in der Anwendung —= 1 oder 2 (Maximalwert vermut- 
lich = 4). Werden die x in Volt gemessen, so ist die Boltzmannsche 
Konstante k = 1,37.10- 1% Erg durch den äquivalenten Wert 8,60. 10-° 
Volt zu ersetzen. 

Im Gegensatze zu Saha wird jetzt nicht mehr das Auftauchen 
und Erlöschen bestimmter Liniengruppen verfolgt, sondern der Mo- 
ment ihrer maximalen Intensität. Dieser hängt nicht ab von der rela- 
tiven Menge des betreffenden Elementes, noch von der Abschätzung 
einer bestimmten erforderlichen Minimalmenge. Statt ein Temperatur- 
intervall durch Randwerte abzugrenzen, wird weit vorteilhafter ein 
Maximum beobachtet. Diesem Verfahren liegt die Annahme zugrunde: 
„Die Intensität einer Absorptionslinie ist proportional der Konzentra- 
tion von Atomen in der Sternatmosphäre, die zu ihrer Absorption 
befähigt sind.“ Bei Berechnung des Maximums wird auch hier nicht 
versucht eine Beziehung p, = f(T) einzuführen, sondern wird der zu 
einem Temperaturmaximum gehörige Druck bestimmt und für diesen 
dann ein Einheitswert festgesetzt. Folgende wichtige Beziehungen 
mögen das Verfahren erläutern. Für den Bruchteil 1 — x unionisierter 
Atome liefert Gl. (155) 
jan ga b(T) B (Aumjir? _ 0,382. s 


5 PIE 1 We Bu h’.p, D, 
unrurt re en 


EN 





— — logb(T). 








Er sinkt mit steigender Temperatur erst langsam, um dann von einer 
durch das Ionisationspotential bestimmten Temperatur an sehr rasch 
abzunehmen. Der angeführten Arbeit von Fowler ist der Bruchteil 
f(r) neutraler Atome zu entnehmen, die sich in dem r'®" Quantenzu- 


stande befinden. 
ltarır) 
KT 


(157) 4 om 


Somit ergibt sich der Bruchteil ionisierter Atome, die sich in dem 


74. Verfeinerung der Methode durch R. H. Fowler und E. A. Milne. 523 


‚r'® Quantenzustande befinden (und die zugehörige Linienserie aus- 


senden) zu _ (ar) 
kT 
(158) = ll =, 2 RE N 
UDEET?-e*? 

Er steigt mit der Temperatur, um nach Überschreitung eines Maxi- 
mums wieder abzunehmen. 

Bei Erreichung dieses Maximums kann die lonisation, wie z. B. 
für H, schon weit fortgeschritten sein. 

Läßt man die geringe Änderung von b(T) außer acht, so ergibt 
sich ohne Variation von 9, die Bedingung für dies Maximum 


5 4 
0,332 - 6 ‚Ar +3kT & Tier kT 


b (T) Kı Tr 
und aus dieser die zugehörige lonisation 


Bas Kı T Ar . Ban __ X $%kTmaz 
Se ey ii, ve 








(159) ne 








Der Unterschied zwischen Resonanzserie y, = y, und den zugehörigen 
Serien x,-+ x, tritt klar hervor. Dieser Partialdruck », der Elektronen 
wird sich von dem Gesamtdruck P durch einen Faktor unterscheiden, 
dessen Größe zu 1—, abgeschätzt werden kann; jedenfalls sind beide 
von gleicher Größenordnung. Wird die Zahl neutraler Atome hin- 
reichend klein, so kann dies Verfahren auf die ionisierten, und weiter- 
hin auf die mehrfach ionisierten Atome angewandt werden. 

Die numerische Rechnung findet sich ausgedehnt auf alle Linien, 
für welche die notwendigen Sterndaten vorhanden sind. Um Aufschluß 
zu erhalten über die fundamentale Größe p, sei angeführt, daß sich 
für die Balmerlinien, welche die Sternklasse AO charakterisieren, die 
zusammengehörigen Werte 7nax = 10000°, 11000° bzw. 12000° und 
»,= 1,3: 110-4, 7,20 - 10-* bzw. 3,0310”? Atm, für Cat 7nax = 5000° 
und 6000° und p, = 9,89 10-7 und 5,02-10=®, und für H,+ (Pickering- 
serie) Tmax = 30000°, 33000, 36 000° und », = 3,80 - 10%, 3,22 - 1075, 
1,18.107* Atm ergeben. Auf diese Weise folgt übereinstimmend für », 
die Größenordnung 10-* Atm. Auch Betrachtungen über die Linien- 
schärfe und die Dissoziationserscheinungen der Moleküle (Viellinien- 
spektrum), sowie Schlüsse über den Aufbau der Sonnenatmosphäre !#%) 
ergaben für p, die gleiche Größenordnung, so daß sich Fowler und 
Milne entschließen, durchweg p, = const. — 1,3 - 10-* Atm anzu- 
setzen, welcher Wert der Größenordnung nach wohl richtig sein dürfte. 


156) H. N. Russell and J. A. Stewart, Pressures of the suns surface, Astroph. 
Journ. 59 (1924), p. 197. 


524 VIs,24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Die Temperatur der Klasse AO (Maximalintensität der Balmerserie) 
wird so = 10000 festgesetzt. So ergeben sich für die Reihe der Spek- 
tralklassen Temperaturen, die von 3900 (Klasse K5) bis 16100 
(Klasse B2) ansteigen und etwas tiefer liegen wie die Sahaschen Werte. 
Für die Maximalintensität der Linie 4486 und der Pickeringserie des 
H,* ergaben sich 35200°. 

Überraschend gering ergibt sich der Bruchteil angeregter Atome, 
welche das starke Auftreten starker Linien zugeordneter Serien be- 
wirken können. So ergibt sich, daß für die Maximalintensität der 
ersten und zweiten Nebenserie das Na nur 1 Atom auf 10%? Atome 
(log n, = — 2,9) wirksam ist, für das Maximum der Linie 4481 des 
Mg* 1 Atom auf 10% für die Balmerserie 1 auf 10% und für die 
Bogenlinien des H, und die Funkenlinien des H,* 1 Atom auf 107 Atome. 
Zum Verschwinden einer Resonanzserie durch vollkommene lonisation 
muß der Bruchteil neutraler Atome unter den Wert 10-® herunter- 
gehen. In diesen Zahlen kommt der außerordentlich große Wert des 
Absorptionskoeffizienten für monochromatische Strahlung zum Aus- 
druck. 157) 

Auf den Unterschied zwischen Riesen und Zwerge (erstere er- 
geben sich durchschnittlich 10—20%, kälter wie die Zwerge gleicher 
Klasse) wird nicht näher eingegangen. (Darüber folgen in Nr. 77a 
einige Bemerkungen.) 


B. Ionisation und Lichtdruck. 


‘5. Aufbau der äußersten Schichten einer Sternatmosphäre. 
In diesem Berichte ist wiederholt (vgl. z. B. Nr. 63) darauf hingewiesen 
worden, daß die Einführung des Lichtdruckes nach Eddington in den 
äußersten Schichten versagen muß. Für die Hauptmasse des Sternes 
ergibt sich wohl Aufbau nach einer Polytropen » — 3; wie die an- 
schließenden Schichten behandelt werden können, wurde in Nr. 63 
erläutert, allein die größten Höhen verlangen besondere Behandlung. 
Denn den bisherigen Entwicklungen liegt die Annahme starker Ab- 
sorption (Nr. 47) zugrunde, d.h. die Vorstellung, daß die von tieferen 
Schichten ausgeworfenen Lichtquanten auf relativ kurzer Strecke ab- 
sorbiert und durch andere, den absorbierenden Schichten entstam- 
mende, ersetzt werden. Die außerordentliche Verdünnung der äußersten 
Schichten aber bringt es mit sich, daß hier keine relativ kurze Strecken 
mehr vorhanden sind. Bei fortschreitender Erkenntnis des Vorganges 
der Lichtemission und -absorption konnte der Gedanke nicht aus- 


157) Vgl. Anmerkung, Fußnote 127). 


75. Aufbau der äußersten Schichten einer Sternatmosphäre. 525 


bleiben, die mechanische Wirkung der ausfliegenden Lichtquanten hv 
auf die einzelnen Atome, deren freie Weglänge nach oben zunimmt, 
in den in Betracht kommenden Anregungszuständen direkt zu be- 
stimmen. Ein erster Versuch in dieser Richtung dürfte auch hier 
von Megh Nad Saha'®) ausgegangen sein. Eine Lösung, freilich in 
stark stilisierter Form, ist von E. A. Milne'°®) gegeben; sie gewährt 
trotzdem einen guten Einblick in die in Wirklichkeit vorliegenden 
Verhältnisse und muß deshalb etwas eingehender besprochen werden. 

Angenommen wird eine Atmosphäre, die nur aus einem einzigen 
Grundstoffe besteht, und weiter soll angenommen werden, daß dieser 
nur in zwei verschiedenen Quantenzuständen vorhanden ist. Die 
erforderlichen Gleichungen lassen sich wohl für %» beliebige Quanten- 
zustände aufstellen, aber die Lösung bietet bereits für n — 3 unüber- 
windliche Schwierigkeiten. Da wir am besten orientiert sind über 
das Vorkommen von Caleium in den hohen Schichten der Sonnen- 
chromosphäre, wird eine Cat-Atmosphäre angenommen. Ca- und Catt- 
Atome dürften hier auszuschließen sein. Von diesen Ca+-Atomen 
sollen n, in unangeregtem Zustande, die übrigen n, pro cm? in dem 
Zustande sich vorfinden, der sie zur Aussendung der H- und K- 
Linien befähigt. Der Gang der Untersuchung läßt sich, wie folgt, 
skizzieren. 

Durch Zwischentreten der Ca*-Atmosphäre werde das kontinuier- 
liche Spektrum des Untergrundes von einer Absorptionslinie von der 
scharfen Breite Av und der durchwegs gleichen Helligkeit (J,), 
durchkreuzt. Die Atmosphäre werde im Sinne Schwarzschilds (Nr. 49) 
von unten nach oben und entgegengesetzt von Energieströmen der 
Intensität J, und J, durchsetzt, so daß sich von unten nach oben ein 
Nettostrom im Betrage zF,Av=x(J,— J,)Av ergibt und in sta- 
tionärem Zustande (Strahlungsgleichgewicht) 


(a) F,y= I, — I, = const. = (J,), 


sein muß. Die Anzahl der Absorptionen ist n,, die Anzahl der 
Emissionen, die Intensität der Strahlung, — n,, und im stationären 
Zustande gilt 

n I(I+J,). RN 
(0) a 


Da J,— J; konstant, J, + J,, wie ersichtlich, mit der Höhe ab- 





158) Megh Nad Saha, On selective radiation pressure and radiative equi- 
librium of the solar atmosphere, Caleutta, Journ. of sc. (1920), p. 51. 

159) E. A. Milne, The equilibrium of the Caleium chromosphere, London 
Roy. Soc. Month. Not. 85 (1924), p. 111; sowie second paper, ebenda 86 (1925), p. 8. 


526 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


nimmt, wird n ebenfalls mit der Höhe abnehmen und es folgt 


1 A 
(e) lim —& == an also klein gegen 1. 
1 
Ist « der Absorptionskoeffizient eines einzelnen Atomes im Zustande 1, 
so erhält 1 cm? durch Absorption ein Bewegungsmoment nach oben 
im Betrage von 


z=o 


(d) u: Av.an, ar en 

während die nach allen Seiten gleichmäßig verteilte Emission keinen 
Beitrag liefert. Zerlegt man wieder den gesamten tragenden Druck P 
in Gasdruck p und Lichtdruck »,, so liefert die Gleichgewichts- 





bedingung Sn = — g(n, + n,)m 
d 
(e) = — mm +n)+ 


Das Verhältnis des Lichtdruckes zum entre wird so 


(f) », __ ax F,Av = 0 WE 
PT imge 4%, 


nn vn 





Der erste Faktor ist konstant. Im Gegensatze zu Eddington, der für 
die Hauptmasse (Nr. 59) Zi —=1— ß= const. setzt, ergibt sich nun, 


daß 5 nach außen zunimmt (vgl. Nr. 63). Gl. (e) führt zu einem 


nen von F'; die Atmosphäre wird dann ausschließlich durch 
Strahlungsdruck getragen. Wird im allgemeineren Falle in großen 
Höhen nur der Bruchteil (1— u) des Gewichtes durch Strahlung ge- 
tragen, so liefert (e) 





anF,Av .. N 
(8) MATTE Ra 

(Bei strengerer Durchführung ist zu beachten, daß die Lichtemission, 
Übergang von 2 nach l, nieht nur freiwillig vor sich geht, sondern 
auch durch einfallende Birahkirig erzwungen werden kann; dann ist 
in einigen Gleichungen n, durch n,— n, zu ersetzen.) Dis Theorie 
der Strahlung gestattet, den Absorptionskoeffizienten des Atoms 
durch dessen mittlere Lebensdauer r im angeregten Zustande durch 
die Beziehung 








(161) av — 
auszudrücken, so daß schließlich 
(162) F, u een JR Ina 3. a m u) (163) 


wird. Unter der Annahme, daß lediglich der Lichtdruck trägt (u = 0) 


75. Aufbau der äußersten Schichten einer Sternatmosphäre. 5927 


hat Milne“®) in einer früheren, weniger durchgeführten Arbeit auf 
gleicher Grundlage diese Lebensdauer der Cat*-Atome aus der Intensität 
der H- und K-Linien berechnet. Es ergab sich in vorzüglicher Über- 
einstimmung mit bekannten Laboratoriumsversuchen 7 = 0,6 -10”° sec. 
Wir notieren, daß in die Gl. (162) und (163) die Breite Av der Linie 
nicht eingeht; sie sind ferner unabhängig von der effektiven Temperatur 
der Sonne, auch unabhängig von der Anzahl der Atome über der Flächen- 
einheit. Es zeigt sich, daß F', nicht durch diese Zahl bedingt wird, - 
sondern umgekehrt v, r, m und F, hängen ausschließlich von der 
betreffenden Atomart ab und sind nur durch g mit dem Sterne ver- 
bunden. 

Für eine Atmosphäre, die ausschließlich durch Strahlung ge- 
tragen wird, u = 0, folgt der Zusammenhang zwischen Dichte og und 
der Höhe « 


(164) ei 2nkT,0Arv 


mgte(a + a 

wobei 7, die mit genügender Genauigkeit konstant angenommene 
Temperatur, x, eine Konstante bedeutet, die für die Sonne 3660 km 
beträgt. Die Höhe x wird von einer Schicht aus gerechnet, in wel- 
cher die Strahlung von gleichem Betrag ist wie in der Sonnenphoto- 
sphäre. 

Für eine Atmosphäre, die nur teilweise durch Strahlung getragen 
wird, ergibt sich (äußerst kleine Werte von u ausgeschlossen) 

_umgz | 
(165) 6 = consk. e Tr, | 

Es läßt sich nunmehr eine Reihe wichtigster Folgerungen ziehen. 
Herrscht nur Strahlungsdruck, so nimmt die Dichte bei Erhebung 
um 14000 km (bis zu dieser Erstreckung wurden bei der Finsternis 
1905 von Mitchell die H- und K-Linien beobachtet), von der Erde 
aus einem Gesichtswinkel von 20” entsprechend, um Y,, ab; andern- 
falls für u = 0,01 um 10°®, für a = 0,1 um 10° Die beobachtete 
Erstreckung der Atmosphäre ist nicht vereinbar mit dem Exponential- 
gesetz, ein Beweis, daß sie ausschließlich (u < 0,01) durch Strah- 
lungsdruck getragen wird. \ 

Für Av, entsprechend AA=1A, sind bei 2=0 der Druck 
rund 1.10-2 Atm, die Dichte rund 3 - 10-17 g/em® und die Zahl der 
Atome beträgt 4- 10° pro cm?. Ihre Gesamtzahl in einer Säule von 
1 em? Querschnitt beträgt 1,5 - 10%. 








160) E. A. Milne, An astrophysical determination of the average life of an 
exeited Calcium atom, London Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 354. 
Enceyklop. d. math. Wissensch. VL2,2. 34 


528 VI, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


Eine Atmosphäre, die teilweise noch durch Gasdruck getragen 
wird, ist so nach ihrer Basis zusammengedrängt, daß sie weder theo- 
retisch, noch durch Beobachtung von der umkehrenden Schicht zu 
unterscheiden ist. Es ergibt sich folgender Einblick. Die umkeh- 


rende Schicht gibt Anlaß zu einer Absorptionslinie von der Stärke 
Sv?rmg 
C 





Fo); so lange Fi, < ist keine „Chromosphäre“ möglich. Über- 


steigt F\,, diesen Betrag, so werden Atome ausgeworfen und es bildet 
sich eine Atomschicht, welche F%,, auf den Betrag F' herabdrückt; 
diese bildet die Chromosphäfre. 

Ein Stern von gleichem g wie die Sonne ist unfähig, eine Cat- 
Chromosphäre zu tragen, so lange 7T,<4400°. Für einen Riesen- 
stern mit 100mal kleinerem g erniedrigt sich 7, auf 2820°; sind 
diese Temperaturen die Grenztemperaturen des Strahlungsgleich- 
gewichtes, so sind die zugehörigen effektiven Temperaturen (Nr. 47) 
Y2 mal höher und betragen 5230° bzw. 3360°. 

In der zweiten der angeführten Arbeiten werden einige ein- 
schränkende Bedingungen fallen gelassen; das Endergebnis bleibt im 
wesentlichen dasselbe. Doch sei erwähnt, daß, wenn den beiden Atom- 
zuständen verschiedene Gewichte g, und g, beigelegt werden, Gl. (162) 
übergeht in 
(170) > TR Srtzmg 

Ge ui 
und die Lebensdauer des Ca-Atomes von 0,6-10-® auf 1,8-10-° steigt. 

Diese Folgerungen stehen in völligem Widerspruche zu Ergeb- 
nissen einer Untersuchung von J. Q. Stewart"), die auf Grund der 
klassischen Strahlungstheorie durchgeführt ist. Das Zustandekommen 
einer Absorptionslinie wird auf Streuung, ihre Breite auf Dopplereffekt 
zurückgeführt. So wird die Zahl der Na-Atome, die zur Erzeugung 
der D-Linien nötig sind, zu 3-10° pro em?, und die Masse dieser 
Säule zu 1,1-10-°g und ihr Gewicht auf der Sonne zu 2,9.10-? Dyn. 
abgeschätzt. Es erweist sich 500fach zu groß, um durch den Licht- 
druck getragen werden zu können, was Stewart zu dem Schlusse 
führt, daß hier der Lichtdruck überhaupt keine Rolle spielt. Der 
Ausgangspunkt bei Milne ist, wie dargelegt, ein völlig anderer. Die 
Quantenbetrachtung gestattet eine Beziehung herzustellen zwischen 
Absorptionskraft und Lebensdauer r eines Atomes, und letztere wird 
ebenso bestimmt, daß der Lichtdruck als tragende Kraft völlig aus- 
reicht. Die völlige Übereinstimmung der so berechneten Werte r mit 








161) J. @. Stewart, The width of absorption lines in a rarefied gas, 
Astroph. Journ. 59 (1924), p. 30. 


76. Anwendung auf planet. Nebel. 77. Fühlbare Lücken der Erkenntnis. 529 


bekannten Laboratoriumsergebnissen dürfte unzweideutig zugunsten 
der Quantenbetrachtung entscheiden. 


76. Anwendung auf planetarische Nebel. Das Aussehen man- 
cher planetarischer Nebel legt die Frage nahe: Ist es möglich, daß 
eine frei schwebende, einen zentral gelegenen Stern umgebende, gas- 
förmige Kugelschale durch dessen Strahlung getragen werden kann? 
Nach J. H. Jeans?) ergibt sich diese Möglichkeit für den Fall, daß 
die Strahlung die Schwerkraft hinreichend. übertrifft. In ihrer eben 
besprochenen Untersuchung beweisen Fowler und Milne das Gegen- 
teil. In der frei schwebenden Schale muß der Gasdruck an den 
beiden Grenzflächen = 0 sein, um von beiden Seiten her gegen die 


Mitte anzusteigen; beim Durchschreiten derselben muß folglich = 
das Vorzeichen wechseln. Dies ist nach Gl. (e) unmöglich, denn 


der Nettostrom F, ist konstant und -—— — — an 7) muß offenbar 


ALL 





nach außen zu stets abnehmen. Der Gegensatz beruht darauf, daß 
Jeans lediglich das Bewegungsmoment der aufsteigenden Strahlung 
J, nicht aber den der Nettostrahlung J— J’ ansetzt. So tritt an 
Stelle der Gl. (e) eine Gleichung von der Form 


dp andyAv — en +n 
wm tn mg + ref safe), 


welche einen Vorzeichenwechsel von a zuläßt. Ohne diesen Vor- 


zeichenwechsel muß an der inneren Begrenzung p einen endlichen 
Wert besitzen, d.h. die Schale muß einem Kern als Atmosphäre auf- 
liegen. Rotation der Schale würde diesen Gegensatz noch schärfer 
hervortreten lassen. 


72. Fühlbare Lücken der Erkenntnis. Der Gedanke Sahas, 
Ergebnisse der Atomphysik und Probleme der Astrophysik mit Hilfe 
des Ionisationsgleichgewichtes zu verknüpfen, hat sich in seinen und 
den Händen seiner Nachfolger zu einem der wertvollsten Hilfsmittel 
neuerer Forschung erwiesen. Es ist nun merkwürdig und bedauer- 
lich, daß wichtige und scheinbar einfache Probleme sich bisher seiner 
auflösenden Kraft entzogen haben. 

a) Spektroskopische Parallaxen. Durch Adams und Kohlschütter '°°) 
ist bekanntlich ein empirischer Zusammenhang zwischen absoluter 
Helligkeit und relativer Intensität einiger Funken- und Bogenlinien 








162) J. H. Jeans, The mechanism and structure of a planetary nebula, 
London Roy. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 481. 
163) A. Kohlschütter, Mount Wilson Contr. 89 (1914), sowie Astroph. Journ, 40 
(1914), p. 385. 
34* 


530 VI, 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


(Absorptionslinien) in erster Linie von Sr+, Tit und Zr+ einerseits 
und Fe und Ca anderseits aufgedeckt worden, der die Bestimmung 
der Parallaxe ermöglicht. Es kann keinem Zweifel unterliegen, daß 
Temperatur- und Druckeffekte vorliegen; einer nur einigermaßen be- 
friedigenden Fassung haben sie sich bisher entzogen. Die nächst- 
liegenden Betrachtungen scheinen dem Drucke überwiegenden Einfluß 
geben zu müssen. Die Gleichgewichtsbedingung d P = — godr liefert, 
falls man %k und g in den in Betracht kommenden Schichten konstant 
annimmt und eine optische Masse dr = kodr einführt, 


(a) . P=JFr. 


Da die Sternmassen annähernd von gleicher Größe sind, die Radien 
der Riesen- und Zwergsterne sich aber um Zehnerpotenzen unter- 
scheiden können, folgt,. daß in gleicher optischer Tiefe die Drucke 
außerodentlich verschieden sein können. Pannekoel; in seiner bereits 
erwähnten Arbeit!??) scheint der erste gewesen zu sein, der auf Grund 
dieser Beziehung weiter gearbeitet hat. Über vergebliche Versuche, 
so weiter zu kommen, möge bei ©. H. Payne’) nachgelesen werden, 
wo auch auf ein besonderes Verhalten gerade der Sr+-Linien auf- 
merksam gemacht wird. Ersetzt man den Sternradius durch die Be- 
ziehung L=4xR?.sTer., L die ausgesandte Liehtmenge, so folgt 


(b) ‚= BEER 3; FRE s Tex. -T. 


Wird, wie die Masse, innerhalb einer Sternklasse auch Tor. konstant 
gehalten, so ergibt sich, daß in gleicher optischer Tiefe P durch die 
absolute Helligkeit bedingt ist (Pannekoek). In strengerer Betrach- 
tung aber ist zu beachten, daß P nicht den Gasdruck pP bedeutet, 
welchem der für die Ionisation maßgebende Elektronendruck p, pro- 
portional ist, sondern den gesamten tragenden Druck, der sich in 
einem durch die Masse bedingten Verhältnis in Gasdruck p und 
Strahlungsdruck p, aufteilt. Setzt man mit Eddingten L=4n:M 


und De _ u = (1 ß) und berücksichtigt die Beziehung 
p=BßP, so folgt unmittelbar 

f REN, 28 ma. 

(e) Dr GB 3e Tor. T. 


Beachtet man weiter, daß über der durch den effektiven Wert von p 
ausgezeichneten Schicht die optische Masse 1 liegt, so ergibt sich 
wieder die Gl. (144b) der Nr. 63 


PUR I, ] 
(d) Petit. = ar Be T oft. 


164) ©. H. Payne, Stellar Atmospheres, Cambridge 1925, Chap. 10. 


77. Fühlbare Lücken der Erkenntnis. Hal 


Würden die Absorptionslinien in der Gegend dieser Schicht erzeugt 
werden, so sind die für die lonisation maßgebenden Drucke und 
Temperaturen durch 8 bestimmt und an die Masse geknüpft, die 
durch die Eddingtonsche Beziehung (149) die absolute Helligkeit be- 
dingt. 

Versuche, auf diesem Wege weiter zu kommen, scheinen nicht vor- 
zuliegen. Auf andere, wahrscheinlich rationellere Weise haben Fowler 
und Milne in ihren in Nr. 74 besprochenen Untersuchungen '*) das 
Problem Riese—Zwerg gestreift. Für zwei Sterne gleicher Spektral- 
klasse, also gleicher maximaler Ionisation, ergibt sich in Annäherung 


ud isgdge Me Bei 
Tee + 1? e kT, 

Pı E: Ps 
In der optischen Tiefe 1 sind 7 die effektiven Temperaturen. Setzt 
man für den Zwergstern, die Sonne, 7, = 6000°, so ergibt sich für 


den Riesen, die Capella, da z — * — 40,7, unter Annahme eines 





(e) 


1 1 ; 
Ionisationspotentiales „= 8Volt, die effektive Temperatur 7, — 5000°., 
Nach Eddington ist T,— 5200°, der Farbenindex liefert 7, — 7, = 470° 
für Klasse @0. Obwohl diese Übereinstimmung durch ein geeignetes 
x bedingt ist, folgt doch stets, den Beobachtungen entsprechend, daß 
die Riesen kälter sind wie die Zwerge gleicher Klasse. Die gleiche 
Folgerung läßt sich aus Gl. (d) ablesen. 


b) Kontinwierliches Spektrum. Die Atomphysik liefert die Er- 
klärung für ein kontinuierliches Spektrum, welches sich an das Linien- 
spektrum anschließt. Die Sterne im ihrer überwiegenden Mehrzahl 
aber liefern ein Spektrum, das sich, abgesehen von den Absorptions- 
linien, nicht nur über alle Wellenlängen erstreckt, sondern mit außer- 
ordentlicher Genauigkeit die Intensitätsverteilung schwarzer Strahlung 
aufweist. Kleinere Abweichungen dürften auf sekundäre Ursachen 
zurückzuführen sein. Der Umstand, daß schwarze Hohlraumstrahlung 
an Isothermie gebunden ist, in Sternen aber Temperaturgradienten 
auftreten, dürfte nicht schwer ins Gewicht fallen bei der starken Ab- 
sorption, welche die einfallenden Lichtquanten auf verhältnismäßig 
kurzer Strecke absorbieren und durch neue ersetzen läßt. Versuche, 
in mehr oder minder unklarer Weise mit dem Kirchhoffschen Gesetze 
zu operieren, können nicht befriedigen angesichts unseres klaren Ein- 
blickes in den Absorptions- und Strahlungsmechanismus angeregter 
Gase. Erklärungsversuche auf dieser Unterlage scheinen nicht vor- 
zuliegen; sie dürften auch außerordentliche Schwierigkeiten bieten, 
da alle in Betracht kommenden Quantenzystände doch nur eine dis- 


532 VI», 24. R. Emden. Thermodynamik der Himmelskörper. 


kontinuierliche Reihe bilden, so daß mit einem Hin- und Herwerfen 
von Liehtquanten nicht durchzukommen ist. Angesichts dieser Sach- 
lage muß schon das Zustandekommen des kontinuierlichen Sonnen- 
spektrums als ungelöstes Rätsel registriert werden. 


c) Emissionslinien. Das Auftreten heller Linien in manchen Nebel- 
spektren, sowie in dem F'lashspektrum der Sonne bedarf keiner näheren 
Erklärung. Allein das Zustandekommen heller Linien auf kontinuier- 
lichem Untergrunde ist bisher unerklärt, wie das Zustandekommen 
des Untergrundes selbst. Ein Erklärungsversuch ist von A. Schuster!) 
gegeben. Von einem Stern mit Absorptionslinien kommt das Licht des 
kontinuierlichen Untergrundes mit Ausnahme in diesen Linien beinahe 
ungeschwächt zu uns, so daß das Licht der Chromosphäre nicht wahr- 
genommen werden kann. Umgekehrt wird in Sternen mit Emissionslinien 
die Strahlung der Photosphäre durch Streuung so stark abgeschwächt, 
daß sie durch diese Abschwächung in derumkehrenden Schicht nicht gegen 
die Strahlung der Chromosphäre aufkommen kann. Doch hat M. C. John- 
son!) gezeigt, daß das Verhältnis der anzusetzenden Werte von Streuung 
und Absorption nicht hinreicht, um das Schustersche Kriterium zu er- 
füllen. Solche und andere Deutungsversuche werden dadurch erschwert, 
daß die Selbstumkehr der Wasserstofflinien und die doppelte Selbstumkehr 
der H- und K-Linien des Ca* auf der Sonne vermutlich in die gleiche 
Klasse von Erscheinungen gehören. Dabei ist zu beachten, daß Linien- 
umkehr hauptsächlich die späteren Stadien der Zwergsterne, einfache 
helle Linien aber Sterne auszeichnen, die am anderen Ende der Reihe 
stehen. 

In diese, sowie andere Rätsel der Fixsternphysik dürfte die fort- 
schreitende Entwicklung der Atomphysik Klarheit bringen. Doch ist 
stets zu beachten, daß wir im Laboratorium bei verhältnismäßig 
tiefen Temperaturen in endlichem Gesichtswinkel dicht gedrängte 
Atome vor uns haben, bei Betrachtung der ungleich höher tempe- 
rierten Sterne in Anbetracht ihrer riesigen Abmessungen und Ent- 
fernungen sich trotz außerordentlicher Verdünnung eine ungeheure 
Zahl große, freie Wegstrecken zurücklegender Atome auf kleinsten 
Gesichtswinkel zusammendrängen. 





165) A. Schuster, Radiation through a foggy atmosphere, Astroph. Journ. 21 
(1905), p. 1. 

166) M.C. Johnson, Seattering and absorption in the atmospheres of emissions 
line-stars, London Astr. Soc. Month. Not. 85 (1924), p. 56. 


(Abgeschlossen Ende 1925.) 


er 


7 


8 
9. 


10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 


VI2,25.. DIE SPEKTRALANALYSE 
DER GESTIRNE. 


Von 


ADOLF HNATEK 
IN WIEN. 


Inhaltsübersicht. 


I. Einleitung. 
Geschichtlicher Überblick. 


Die Aufnahme zur Vermessung geeigneter Spektren. 
Die Ausmessung der Sternspektren und die Ermittlung der Wellenlängen. 


II. Die theoretischen Grundlagen. 
Die Strahlungsgesetze. 
a) Der Kirchhoffsche Satz. 
b) Das Stefan- Boltzmannsche Gesetz. 
c) Die spektral zerlegte Strahlung. 
d) Die numerischen Werte der Konstanten der Strahlungsformeln. 
Das Dopplersche Prinzip. 
Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 
a) Allgemeines. 
b) Die Linienserien von H und Het. 
c) Die Linienserien der anderen Elemente. 
d) Das kontinuierliche Spektrum an der Seriengrenze. 
e) Die Bandenspektren. 
Die Ionisation. 
a) Die elektrische Erregung. Erregungspotential und Ionisationspotential. 
b) Die thermische Ionisation. 
c) Die Messung der Linienintensitäten. 
Der Einfluß von Druck und Dichte. 
Zeemaneffekt, Starkeffekt. 


III. Die Sonne. 
Das mittlere Sonnenspektrum. 
Das Spektrum der Sonnenflecken. 
Flash- und Chromosphärenspektrum. 
Monochromatische Aufnahmen der Sonne. Spektroheliograph. 
Das Spektrum der Protuberanzen. 
Das Spektrum der Sonnenkorona. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 35 


534 VI2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


16. Die Temperatur. der Sonnenoberfläche. 
17. Die spektroskopische Bestimmung der Rotationselemente der Sonne. 


IV. Die Körper des Sonnensystems, 
18. Der Mond. 


19. Die Planeten. 

20. Die Versuche zur spektroskopischen Ermittlung der Rotationszeiten der Pla- 
neten. 

21. Die Spektren der Kometen. 

22. Die Spektren der Sternschnuppen und ihrer Schweife, 

23. Das Zodiakallicht. 

V. Das Fixsternsystem. 

24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 

25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. 

26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne. 

27. Die Trennung in Riesen- und Zwergsterne. 

28. Die Ermittlung der absoluten Größe der Fixsterne auf spektroskopischem 
Wege. Spektroskopische Parallaxen. 

29. Die relative Häufigkeit der Elemente in den Atmosphären der Fixsterne. 

30. Die neuen Sterne. 

31. Die veränderlichen Sterne. 

32. Die Spektren der Nebelflecken. 

33. Das mittlere Spektrum der Sternhaufen. 

34. Das mittlere Spektrum der Milchstraße. 

35. Kalzium- und Natriumwolken im interstellaren Raum. 


Literatur. 


H. Ludendorff, G. Eberhard und A. Kohlschütter, Handbuch der Astrophysik. 
6 Bände, ab 1928 im Erscheinen begriffen bei J. Springer, Berlin. 

K. Graff, Grundriß der Astrophysik. Leipzig 1928, B. G. Teubner. 

C. H. Payne, Stellar atmospheres. A contribution to the observational study of 
high temperature in the reversing layer of stars. Published by the obser- 
vatory Cambridge, Mass. 1925. 

A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien. Braunschweig, Fr. Vieweg & Sohn. 
3. Aufl. 1922, 4. Aufl. 1924. 

O0. D. Chwolson, Die Physik 1914—1926. Braunschweig 1927, Fr. Vieweg & Sohn. 

H. Kayser, Handbuch der Spektroskopie. 6 Bände, Leipzig 1900—1912, S. Hirzel. 
Zeitschriften: 

Astronomische Nachrichten, Kiel. 

Zeitschrift für Physik, Braunschweig. 

Physikalische Zeitschrift, Leipzig. 

Zeitschrift für wissenschaftliche Photographie, Photophysik und Photochemie, 
Leipzig. 

Monthly notices of the Royal astronomical Society London. 

The Astrophysikal Journal, University of Chicago Press. 

Publications of the astronomical Society of the Pacific San Francisco (Cal.). 

Popular Astronomy, published by Goodsell observatory of Carleton College, North- 
field (Minn.). 


1. Geschichtlicher Überblick. 535 


-I. Einleitung. 


1. Geschichtlicher Überblick. Wenn auch J. Fraunhofer die nach 
ihm benannten Absorptionslinien des Sonnenspektrums schon zu Be- 
ginn des vorigen Jahrhunderts genauer studiert hat, so gab es doch 
damals noch keine Spektralanalyse im späteren Sinn, da man ja zu 
dieser Zeit von der Bedeutung dieser Linien und ihrem Ursprung noch 
nichts wußte. Erst im Jahre 1859 fand @. Kirchhoff die Erklärung, 
als er beobachtete, wie im Spektrum einer mit Natrium beschickten 
Bunsenflamme an derselben Stelle zwei helle gelbe Linien auftraten, 
wo sich im Sonnenspektrum das Paar dunkler Linien D, und D, zeigt. 
Kirchhoff konnte so den Satz aussprechen, daß glühende Gase für sich 
allein ein aus hellen Linien bestehendes Spektrum aussenden, aus dem 
durch sie hindurchgehenden kontinuierlichen Licht eines glühenden 
festen Körpers aber an den gleichen Wellenlängen alles Licht absor- 
bieren und dadurch dunkle Absorptionslinien erscheinen lassen. Kirch- 
hoffs damalige Vorstellungen über den Aufbau des Sonnenkörpers 
illustrieren klar dieses Anfangsstudium spektralanalytischer Forschung: 
Die Sonne sei offenbar ein glühender fester oder flüssiger Körper, der 
für sich helles kontinuierliches Licht ausstrahlt, gleichzeitig aber von 
einer Atmosphäre glühender Gase und Dämpfe umgeben ist, deren 
Bestandteile in das kontinuierliche Spektrum des Kern die dunklen 
Fraunhoferschen Linien einzeichnen und durch diese nachgewiesen 
werden können. Schon zwei Jahre später konnte Körchhoff eine An- 
zahl chemischer Elemente angeben, deren Linien er im Sonnenspek- 
trum hatte identifizieren können. Mancherlei Wandlungen haben diese 
ersten Vorstellungen, insbesondere über die Entstehung des konti- 
nuierlichen Spektrums bei Sonne und Fixsternen, im Laufe der Zeit 
erfahren, der Grundgedanke jedoch, wie er von Kirchhoff bezüglich des 
Zusammenhanges von Emission und Absorption ausgesprochen worden 
ist, blieb unverändert. 

Bis zu Kirchhoffs Zeit war die Astronomie fast ausschließlich 
Astrometrie. Ortsbestimmungen der Gestirne und deren Verwertung 
zur Ermittlung der Bahnen der Himmelskörper im Weltraum bildeten 
die Hauptaufgaben der Sternwarten. Lediglich die Helligkeiten der Sterne 
und das Studium der Sonnenflecken und der Oberflächengestaltung der 
Planeten hatten die Astronomen bis dahin noch nebenher beschäftigt. 
Kirchhoffs Entdeckung gab ihnen nun das Spektroskop in die Hand 
und lehrte sie zunächst, aus den Spektren der Sterne deren chemische 
Zusammensetzung herauszulesen. Damit hatte die Astrophysik als ein 


neuer Teil der Astronomie ihren Anfang genommen, und sie trat nun 
35* 


536 VI2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


der Astrometrie als gleichberechtigte Schwester zur Seite. Das in Ver- 
bindung mit den Refraktoren der Sternwarten benutzte Spektroskop, 
das nach Entdeckung der Trockenplatte durch den noch weit leistungs- 
fähigeren Spektrographen ersetzt werden konnte, führte bald zu einer 
Fülle von Entdeckungen, die, in der Folgezeit bis heute immer weiter 
ausgebaut und ergänzt, schließlich in Verbindung mit photometrischen 
Studien und gestützt durch die gegen Ende des vorigen Jahrhunderts 
aufgefundenen Gesetze der Strahlung unsere Vorstellungen über den 
Aufbau und über die Entstehung und Entwicklung der Sterne ganz 
wesentlich vertieft haben. Ein Riesenmaterial an Beobachtungstatsachen 
sowie an theoretischen Untersuchungen ist seit der Mitte des vorigen 
Jahrhunderts zusammengetragen worden, und wenn hier nur nebenbei 
erwähnt wird, daß in den letzten dreißig Jahren allein weit über zwei- 
tausend Arbeiten publiziert worden sind, die sich mit spektralanaly- 
tischen Untersuchungen an Gestirnen befassen, so wird selbstverständ- 
lich, daß im Rahmen des vorliegenden Artikels so manches übergangen 
werden mußte, was im Gesamtbild vorläufig noch nicht zu erhöhter 
Bedeutung gelangt ist. 


2. Die Aufnahme zur Vermessung geeigneter Spektren. Mit 
Rücksicht darauf, daß die Beobachtungen der stellaren Spektren zuerst 
visuell, dann aber nach Einführung der Trockenplatte fast ausschließ- 
lich photographisch erfolgten, haben Form und Einrichtung der sol- 
chen Beobachtungen dienenden Apparate im Laufe der Zeit starke 
Veränderungen erlitten. 

Wegen der geringen Helligkeit des Lichtes der Sterne kommen 
für astrophysikalische Zwecke fast durchweg nur Prismenapparate 
mit 1—3 Prismen zur Verwendung. Der Apparat wird dabei am 
Okularende des Refraktors oder Spiegelteleskops in der Weise be- 
festigt, daß das fokale Bild des Sterns auf dem Spalt des Spektral- 
apparates entworfen wird. Trotz der starken lichtsammelnden Kraft 
großer Fernrohre sind bei schwächeren Objekten aber doch nicht 
selten Expositionszeiten von mehreren Stunden Dauer nötig, um brauch- 
bare Spektrogramme zu erhalten. Da die Prismen an’ der Basis des 
größeren Glasweges immer ziemlich viel Licht absorbieren, soll es 
nach J. Hartmann") vorteilhaft sein, das Prisma oder die Prismen mit 
der Basis etwas aus dem Strahlengang herauszuziehen. Eine kleine 
Kürzung der Expositionszeit soll dadurch selbst dann noch ermög- 
licht werden, wenn dabei auch ein kleiner Teil des Strahlenbündels 
an der brechenden Kante ungenützt vorüberstreicht. Infolge der langen 


1) Ztschr. f. Instr. 20 (1900), p. 17 u. 47. 


2. Die Aufnahme zur Vermessung geeigneter Spektren. 537 


Expositionszeiten verändert der mit dem Fernrohr dem Stern nach- 
zuführende Spektrograph.-während der Aufnahme seine Stellung gegen- 
über dem Horizont oft recht beträchtlich. Zur Vermeidung schäd- 
licher Biegungen muß der Apparat also stets möglichst massiv ge- 
halten und tunlichst in einem Gußstück ausgeführt werden. Tempe- 
raturänderungen auch nur geringfügiger Art verändern nicht nur Bre- 
chung und Dispersion der Prismen und damit Lage und Ausdehnung 
des Spektrums auf der Platte, sondern wegen ungleichmäßiger Aus- 
dehnung der einzelnen Teile des Apparates auch noch die Platten- 
stellung selbst. Jeder Apparat muß also mit einer, am besten elek- 
trischen Heizvorrichtung ausgestattet sein, die es ermöglicht, seine 
Temperatur, die des Abends ja in der Regel abfallen will, während 
der Aufnahme bis auf einige Hundertstel eines Grades auf gleicher 
Höhe zu erhalten. Einrichtungen hierzu, bei denen die Heizung von 
Hand aus oder automatisch reguliert wird, sind von J. Hartmann?) 
und M. Hamy?) genauer beschrieben worden. Mit Rücksicht auf die 
bei Aufnahmen mit Prismen immer nur geringe Ausdehnung des Spek- 
trums ist der Wahl der Optik für Kamera und Kollimator behufs Er- 
zielung bester Bildschärfe besonderes Augenmerk zuzuwenden. Die 
Krümmung der spektralen Bildfläche, die sich übrigens, wie K. Schwarz- 
schild*) und wieder J. Hartmann?) theoretisch gezeigt haben, durch 
Verwendung besonderer Typen für das Kameraobjektiv ganz bedeu- 
tend verflachen läßt, gestattet natürlich nie, das Spektrum über einen 
größeren Wellenlängenbereich oder gar über seine ganze Ausdehnung 
hin gleichzeitig scharf .zu erhalten. Filmstreifen, deren Verwendung 
J. N. Lockyer®) angeraten hat, da sie sich der Krümmung der Bild- 
fläche anschmiegen lassen, sind wegen der Unsicherheit der Vermes- 
sung nur selten benutzt worden. 

Die Spaltbreite darf keineswegs zu groß gewählt werden und soll 
stets kleiner sein als der Durchmesser des fokalen Sternscheibchens. 
J. S. Plaskett?) fand, daß zu große Spaltbreiten, insbesondere bei kür- 
zeren Expositionszeiten, leicht Verfälschungen der Wellenlängen ein- 
treten lassen können, wenn der Stern einmal längere Zeit an einer Spalt- 
backe hängen bleibt. Da jede Spektrallinie nichts anderes ist als ein 
durch Kollimator- und Kameraobjektiv erzeugtes monochromatisches 

2) Ztschr. f. Instr. 21 (1901), p. 213; Astroph. Journ. 15 (1901), p. 172; 
Sirius 35 (1902), p. 183. 

3) Paris C. R. 154 (1912), p. 1128. 

4) Berlin Ber. 1912, p. 1220. 

5) Ztschr. f. Instr. 24 (1904), p. 257. 


6) The Observatory 22 (1899), p. 244. 
7) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 259. 


538 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Bild des Spaltes, hat eine Vergrößerung der Spaltbreite durch gleich- 
. zeitige Vergrößerung der Linienbreite auch eine Beeinträchtigung der 
Meßgenauigkeit zur Folge. Haben die Objektive von Kollimator und 
Kamera ungefähr gleiche Brennweite, so sind Spaltbreiten von 0,03 mm 
bis 0,05 mm astrophysikalisch am vorteilhaftesten. Noch geringere 
Spaltbreiten bringen keinen weiteren Gewinn an Linienschärfe, und 
bei Breiten unter 0,015 mm treten nach J. H. Moore?) Beugungs- 
erscheinungen auf, die eine unverhältnismäßige Steigerung der Ex- 
positionszeit zur Folge haben. 

Das auf dem Spalt stehende punktförmige Sternbildehen gibt 
natürlich nur ein fadenförmiges Spektrum, in dem Linien nur schwer 
erkennbar und meßbar wären. Man pflegt daher das Spektrum bei 
der Aufnahme stets etwas zu verbreitern. Zumeist korrigiert man zu 
diesem Zweck das Triebwerk des Fernrohrs so, daß es gegen Stern- 
zeit ein wenig vor- oder nachgeht. Der Stern bewegt sich dann lang- 
sam längs des Spaltes weiter und sein Licht bestreicht, wenn er 
nach kürzerer oder längerer Zeit in seine Ausgangsstellung zurück- 
gebracht wird, dann auf dem Spalt immer wieder dieselbe kürzere 
oder längere Spaltstrecke. Auch ein leichtes Hin- und Herführen des 
ganzen Spektrographen in der Richtung des Spaltes vor dem ruhig 
stehenden Sternbildchen, wie es beim Wiener Coudespektrographen 
bei der eigenartigen Konstruktion dieses Instrumentes möglich ge- 
worden ist, hat sich bewährt.?) 

Um die Wellenlängen der Linien des Sternspektrums ermitteln 
zu können, muß auf jeder Aufnahme eines stellaren Spektrums auch 
ein Vergleichsspektrum aus bekannten Linien vorhanden sein. Bei der 
Aufnahme des letzteren, die mit Rücksicht auf mögliche Temperatur- 
änderungen während der Exposition des Sternspektrums am besten in 
‚zwei Teilaufnahmen vor und nach der Beobachtung zerlegt wird, muß 
der Spalt durch eine Blende so abgedeckt werden, daß die Linien des 
Vergleichsspektrums nicht durch das Sternspektrum hindurchlaufen 
können, das letztere also nur beiderseits von den Vergleichslinien 
flankiert wird. Der Krümmung des Spaltbildes wegen erscheinen aber 
diese beiderseitigen Vergleichslinien gegenüber den Linien des Stern- 
spektrums stets ein wenig gegen Violett verschoben, worauf bei der 
Auswertung der Messungen entsprechend Rücksicht zu nehmen ist. 


8) Astroph. Journ. 20 (1904), p. 285. 

9) A. Hnatek, Untersuchungen über das Rothschild-Coude und den Coude- 
spektrographen der k.k. Universitäts-Sternwarte in Wien, Ann. d. Univ.-Sternw. 
in Wien Bd. 25 (1913), Nr. 1 und A. Hnatek, Der Wiener Coudespektrograph, 
Ztschr, f. Instr. 34 (1914), p. 65. 


3. Die Ausmessung der Sternspektren und die Ermittlung der Wellenlängen. 539 


3. Die Ausmessung der Sternspektren und die Ermittlung der 
Wellenlängen. H.C. Vogel‘'”) nahm die Ausmessung der Spektren 
nach der Koinzidenzmethode vor, bei der ein mit demselben Apparat 
aufgenommenes Sonnenspektrum unter dem Mikroskop mit dem Stern- 
spektrum zusammengelegt und gleichzeitig mit gemessen wurde. Die 
Ermittlung der Wellenlängen der Sternlinien konnte dann durch An- 
schluß an die Linien des Sonnenspektrums erfolgen unter Verwendung 
des Vergleichsspektrums als Zwischenglied. Für Messungen nach dieser 
Methode ist der von J. Hartmann!!) konstruierte Spektrokomparator 
von Vorteil, in dem die beiden Spektren von Sonne und Stern durch 
zwei Mikroskope mit gemeinsamem Okular gleichzeitig beobachtet 
und vermessen werden können. Später kam man von der Koinzidenz- 
methode ab und zog es vor, in jedem Spektrum die Linien des Sterns 
and der Vergleichslichtquelle der Reihe nach, und zwar zur Ausschal- 
tung persönlicher Einstellfehler immer zweimal in zwei um 180° ver- 
schiedenen Lagen der Platte, durchzumessen, und dann zunächst die 
Messungen am Vergleichsspektrum zur Ermittlung der Konstanten 
irgendeiner Dispersionsformel zu benutzen, mit der dann aus den 
Schraubenablesungen für die Linien des Sternspektrums deren Wellen- 
längen berechnet werden konnten. Der Rechnungsvorgang kann natür- 
lich, wie z. B. F. Henroteau'?) gezeigt hat, auch durch graphische Ver- 
fahren ersetzt werden. Für die rechnerische Auswertung empfiehlt sich 
besonders die Verwendung einer von A. Cornu'?) gegebenen und von 


J. Hartmann") erweiterten Dispersionsformel 
3 


A Bay 


Setzt man zunächst «= 1, so geben schon die Schraubenab- 
lesungen s für nur drei Linien provisorische Werte für die Formel- 
konstanten A,, s,, ce. Reduziert man die Formel auf s, so gibt die 


Differentiation 


cdh, 
E taz‘ 





ds dt“ 


Faßt man ds als den Fehler in der Darstellung einer Linie durch die 
provisorische Formel auf, so sind die ds,, dA, und de die an die 
provisorischen Werte anzubringenden Korrektionen, die aus Messungen 


10) Astr. Nachr. 121 (1889), p. 241. 

11) Publ. d. astroph. Obs. Potsdam 18 (1906), Nr. 53; Astroph. Journ. 24 
(1906), p. 285; Ztschr. f. Instr. 26 (1906), p. 205. 

12) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 77 (1916), p. 77. 

13) II. Ann. Ee. Norm. (2. Ser.) 9 (1880), p. 21. 

14) Potsdam Publ. astroph. Obs. 12 (1898), Anhang. 


540 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


an vielen Linien nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt 
werden können.??) Die Ermittlung von « nimmt man aber am besten 
versuchsweise vor, indem man die mit verschiedenen «-Werten erziel- 
baren Darstellungen miteinander vergleicht. 

Da die A,, 5,, ce vom Anfangspunkt der Zählung der s im Spek- 
trum abhängen, orientiert man die Platte bei der Messung stets so, 
daß eine bestimmte Linie des Vergleichspektrums eine bestimmte s- 
Lesung an der Meßschraube ergibt. Man kann dann mit der einmal 
berechneten Formel alle weiteren Spektren auswerten. Die Parameter 
So; Ay, € und « variieren übrigens in geringem Maße mit der Tempe- 
ratur, die während der Aufnahme im Spektrographen geherrscht hat. 
Daher müssen stets mehrere für verschiedene Temperaturen gültige 
Formeln aufgestellt werden. Nach F. Schlesinger'®) ist der Gang mit 
der Temperatur ziemlich linear. 

Einen einfachen und übersichtlichen Arbeitsvorgang haben sich 
@. Eberhard und H. Ludendorff!") zurechtgelegt. Sie ermitteln die 
Formelkonstanten für eine Reihe ziemlich äquidistanter Temperaturen, 
tabulieren die A für die einzelnen Formeln nach s und stellen dazu 
noch die s-Werte für markante Linien des Vergleichspektrums für die 
einzelnen Temperaturen als „Referenzspektren“ zusammen. Für Zwi- 
schentemperaturen können dann die Differenzen der Schraubenlesungen, 
die gegen das in der Temperatur am nächsten kommende Referenz- 
spektrum auftreten, leicht graphisch ausgeglichen und zur Ermittlung 
von Korrektionen benutzt werden, die an die Messungen der Stern- 
linien angebracht werden müssen, um sie auf die für die untergelegte 
Temperatur geltende Wellenlängentabelle zurück zu beziehen. 

Die von F. Exner und E. Haschek'?) zur Vermessung von Gitter- 
spektren verwendete „Projektionsmethode“ — das Spektrum wird da- 
bei mit Hilfe eines Projektionsapparates auf eine an der Wand be- 
findliche Meßskala projiziert — wurde später von E. Haschek und 
K. Kostersitz!?) auch zur Ausmessung von Sternspektrogrammen ver- 
wendet, hat aber weiterhin keine Nachahmer gefunden. Nach A. Hna- 
tek?°) ist die bei dieser Methode erzielbare Genauigkeit bei Spektren 
mit zahlreichen kräftigen Linien etwa von derselben Ordnung wie bei 


15) Siehe F\.J. M.Stratton, London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 71 (1911), p. 663. 

16) Publ. Allegheny-Obs. 1 (1907), Nr. 2, p. 9. 

17) Astr. Nachr. 182 (1908), p. 361. 

18) Wien Sitzber. 1895, p. 913. 

19) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 262; Ludw. Boltzmann - Festschrift, Leipzig 
1904, p. 497. 

20) Astr. Nachr. 197 (1914), p. 303. 


8. Die Ausmessung der Sternspektren und die Ermittlung der Wellenlängen. 541 


der Messung unter dem Mikroskop, sie versagt jedoch, wenn es sich, 
wie bei den Spektren der Sterne früheren Typs, um feine und zarte 
Linien handelt. 

Aufnahmen mit dem Objektivprisma sind wegen des durch den 
Wegfall des Spaltes bewirkten Gewinns an Licht wohl überall dort 
angebracht, wo es sich nur um das Studium des Aussehens und 
Verhaltens der Linien oder des Chemismus handelt, für exakte Be- 
stimmungen von Wellenlängen eignen sie sich nicht. Versuche von 
E. 0. Pickering?‘), die Schwierigkeiten in der Beibringung eines Ver- 
gleichspektrums zur stellaren Aufnahme dadurch zu umgehen, daß die 
Sternspektren durch Vorschaltung eines Neodymchloridfilters mit den 
allerdings ziemlich schmalen Absorptionsstreifen des Neodyms ver- 
sehen wurden, haben sich in der Praxis ebensowenig bewährt wie 
eine andere von E. 0. Pickering”?), K. Schwarzschild”) und F'. Schle- 
singer”*) vorgeschlagene Methode, bei der zwecks Wellenlängenbestim- 
mung auf derselben Platte und mit dem gleichen Instrument zwei 
Aufnahmen des Spektrums unter um 180° verschiedenen Stellungen 
des Objektivprismas kombiniert werden. 

Die genaue Kenntnis der Wellenlängen der Linien des Vergleich- 
spektrums — man benutzt hierzu jetzt zumeist den Fe- oder Ti- 
Bogen — ist von wesentlicher Bedeutung für die Genauigkeit der 
Wellenlängen im Sternspektrum. Die älteren Messungen an den Funken- 
und Bogenspektren der Elemente finden sich vollständig zusammen- 
gestellt in A. Kaysers Handbuch der Spektroskopie, kranken aber 
durchweg an dem Fehler, daß ihnen kein einheitliches System von 
Wellenlängennormalen zugrunde liegt. Man beschloß daher zunächst), 
als Grundlage für die Wellenlängenbestimmung in Sternspektren die 
Messungen am Sonnenspektrum zu verwenden, die von H. Rowland 
gemeinsam mit Jewell im Sonnenspektrum ausgeführt und in der „Pre- 
liminary table of solar spectrum wave lengths“?%) publiziert worden 
sind. Dieser „Preliminary table“ wurden von H. Rowland?”) Wellen- 
längenstandards untergelegt, die er aus Messungen der D,-Linie des 
Na von Ängström und Thalen, Müller und Kempf, Kurlbaum, Peirce, 


21) Harvard Obs. Circ. 154 (1910); Astroph. Journ. 31 (1910), p. 372. 

22) Astroph. Journ. 23 (1905), p. 255. 

23) Potsdam Publ. astroph. Obs. 23 (1913), Nr. 69; Astr. Nachr. 194 (1913), 
p- 241. 

24) Publ. Astr. Soc. Pac. 25 (1913), p. 295. 

25) Astroph. Journ. 3 (1896), p. 1. 

26) Astroph. Journ. 1—5 (1895 — 1897). 

27) Phil. Mag. (5) 36 (1893), p. 36, 49, Astronomy and Astrophysies 12 
(1898), p. 321. 


542 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


‚Bell gebildet hatte. Spätere Kontrollmessungen von A. Perot und 
©. Fabry?®) und Untersuchungen von J. Hartmann?) zeigten aber, daß 
auch das Wellenlängensystem der „Preliminary table“ nicht einheit- 
lich und stellenweise mit systematischen Fehlern bis zu + 0,02 Ä.E. 
behaftet sei. H. Kayser®®) forderte daher schon im Jahre 1904 eine 
Neuvermessung des Sonnenspektrums und die Aufstellung internatio- 
naler Wellenlängenstandards, und schon im nächsten Jahre wurde auf 
der Versammlung der „Union for cooperation in solar research“ zu 
Meudon beschlossen, den von .Benoit, Fabry und Perot aus Interfero- 
metermessungen folgenden Wellenlängenwert von 6438,4696 Ä.E.®) für 
die rote Cd-Linie als Hauptstandard anzunehmen.’?) Weiteres sollten 
durch interoferometrische Messungen in Abständen von etwa 50 A.E. 
Normalen 2. Ordnung aus dem Bogenspektrum des Eisens bestimmt 
werden, an die dann durch Gittermessungen Normalen 3. Ordnung an- 
zuschließen waren. Solche Fe-Standards 2. Ordnung im internationalen 
System als Grundlage für weitere Bestimmungen sind u.a. von H. Kayser, 
Ch. Fabry und J. $8. Ames°?) publiziert worden, die bei zahlreichen 
Arbeiten über Normalen 3. Ordnung und bei Vermessungen der Spek- 
tren anderer Elemente, die in der‘ Ztschr. f. wiss. Phot., im Astroph. 
Journ. und in anderen physikalischen Zeitschriften veröffentlicht wor- 
den sind, als Grundlage gedient haben. Gelegentlich solcher Messungen 
am Fe-Bogen bemerkte F. @oos°*), daß die vom Wellenlängenkomitee 
der „Union“ erlassene Vorschrift, der Bogen müsse unter 5—10 Amp. 
brennen, auch noch nicht ausreiche, da sich systematische Unterschiede 
zeigten, die von der Länge des Bogens abhängig waren. Er empfahl, 
nur die Mitte eines zwischen 6 mm starken Eisenstäben bei 5 mm 
Kuppendistanz der Elektroden und 4 Amp. Stromstärke gebildeten 
Bogens zur Erzeugung .des Spektrums zu verwenden. Mit den ge- 
gebenen internationalen Wellenlängenstandards lassen sich natürlich 
auch die systematischen Fehler des Rowlandschen Systems in ihrer 
Abhängigkeit von der Wellenlänge genauer untersuchen. Korrektions- 
tafeln, mit Hilfe derer die Rowlandschen Angaben in der „Prelimi- 
nary table“ wenigstens im Mittel auf das internationale System redu- 


28) Paris ©. R. 133 (1901), p. 153. 

29) Phys. Ztschr. 10 (1901), p. 121; Ztschr. f. wiss. Phot. 1 (1903), p. 215. 

30) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 157; Astroph. Journ. 20 (1904), p. 327. 

31) Dieser Wert stimmt mit dem von M. Michelson im Bureau des poids 
et mesures in Paris abgeleiteten Betrag von 6438,4700 Ä.E. vorzüglich überein. 

32) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 119. 

33) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 215 und 33 (1910), p. 85. 

34) Ztschr. f. wiss. Phot. 12 (1913), p. 259. 


I) 


4. Die Strahlungsgesetze. 543 


ziert werden können, sind von H. Kayser”) und J. Hartmann®®) ge- 
geben worden.?”) Die Neuvermessungen des Sonnenspektrums sollen 
in Nr. 10: „Das mittlere Sonnenspektrum“, besprochen werden. 


IH. Die theoretischen Grundlagen. 


4. Die Strahlungsgesetze. a) Der Kirchhoffsche Satz. Die Wan- 
dungen eines Hohlraumes sollen überall die absolute Temperatur 7 
besitzen und in diesen Hohlraum nach allen Richtungen pro Flächen- 
element schwarze Strahlung im Betrage E aussenden. Irgendein Flächen- 
element der Hohlraumwandung werde nun durch eine ebenso große 
Fläche von gleicher Temperatur 7 ersetzt, die derart spiegelt, daß ihr 
das Emissionsvermögen e und das Absorptionsvermögen a zukommen. 
Von der aus irgendeiner Richtung auf dieses Flächenelement auf- 
treffenden schwarzen Strahlung E wird also der Betrag E— aE re- 
flektiert werden. Da das spiegelnde Flächenelement aber für sich 
selbst mit dem Betrag e nach allen Richtungen strahlt, so wird von 
ihr in der Richtung der reflektierten Energie der Gesamtbetrag 
e-+E-— aE abwandern. Herrscht nun im Inneren des Hohlraumes 
Strahlungsgleichgewicht, so muß dieser in der Richtung der reflek- 
tierten Strahlung abgehende Energiebetrag aber gleich sein dem in 
entgegengesetzter Richtung auftreffenden Betrag E. Es folgt somit 
e+E—aE=E, oder mit 
1) „=E 


a 
der Kirchhoffsche Satz°®): Das Verhältnis zwischen dem Emissionsver- 
mögen eines Körpers und seinem Absorptionsvermögen ist für alle Körper 
konstant und gleich dem Emissionsvermögen des schwarzen Körpers. 
b) Das Stefan- Boltzmannsche Gesetz. Im Jahre 1879 fand J. Stefan”) 
auf experimentellem Wege, daß zwischen absoluter Temperatur und 
Gesamtstrahlung die Beziehung 


(2) E=- 0127 


bestehe, in der 7T’und 7‘, die absoluten Temperaturen des strahlenden 


35) Handbuch der Spektroskopie Bd. 6 (1912), p. 890. 

36) Göttingen, Mitt. sächs. Ges. d. Wiss. 19 (1916). 

37) Nach Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 256, Nat. acad. Washington Proc. 
13 (1927), p. 678 und Mt. Wilson Solar Obs. Communications 101 (1927) ist eine 
Revision der „Prelim. table“ in letzter Zeit neuerlich von Ch. E. St. John durch- 
geführt worden. 

38) @. Kirchhoff, Ges. Abh. 1882, p. 574. Die hier gegebene Darstellung 
rührt von E. Pringsheim, Verh. deutsch. phys. Ges. 1901, p. 81, her. 

39) Wien Sitzber. 79B (1879), 2. Abt., p. 391. 


544 Vl, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


bzw. absorbierenden Körpers bedeuten und E den Betrag an Strah- 
lungsenergie vorstellt, der vom ersteren auf den letzteren übergeht. 
Auf Grund der Betrachtung eines Carnotschen Kreisprozesses gelang 
L. Boltzmann“’) bald danach folgender Beweis des Siefanschen Satzes: 

Man denke sich einen innen vollkommen spiegelnden Hohlzylinder 
vom Querschnitt 1 und der Höhe h, der auf der einen Seite durch 
einen verschiebbaren Stempel abgeschlossen und gleichmäßig mit 
Energie von der Dichte u erfüllt ist. Der gesamte Energieinhalt des 
Hohlraumes beträgt also hu. Wir führen nun eine kleine Wärme- 
menge dQ zu, so daß sich dabei der Energieinhalt um den Betrag 
d(hu) vergrößert. Tritt dabei auch eine Verschiebung des Stempels 
ein, so wird auch äußere Arbeit geleistet, und nach dem 1. Hauptsatz 
der mechanischen Wärmetheorie besteht die Beziehung 


(3) 'dQ— d(hu) + pdn, 

in der der Druck der Hohlraumstrahlung p nach der Maxwellschen 
Theorie gegeben ist durch p = —. Führt man durch u=g(T) u als 
Funktion der absoluten Temperatur ein, so erhält man aus (3) 

(4) dQ=hdu+ Zudh=hy(T)dT + +y(T)ah. 

Setzen wir aus isothermen und adiabatischen Zustandsänderungen nun 
einen geschlossenen Kreisprozeß zusammen, so folgt mit (4) nach dem 


Entropiesatz 
„ d hy'(T 4 
(5) FD + On. 


Die rechte Seite dieser Gleichung (5) ist aber nur dann ein vollstän- 
diges Differential, wenn 





oh DENE]? 
e(T) 497) 4 9(T) 
Dat Taaıı m 
ist. Daraus folgt aber sofort 
Ipy(T)=41IT-+la oder 
(6) g(T)=u=alt, 


eine Gleichung, die deswegen, weil das Emissionsvermögen E der 
Energiedichte «u proportional ist, mit dem Stefanschen. Gesetz iden- 
tisch ist. Also ist das Emissionsvermögen des schwarzen Körpers der 
vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional. 


40) Wied. Ann. 22 (1884), p. 291. 


4. Die Strahlungsgesetze. 545 


c) Die spektral zerlegte Strahlung. Auf einen in einem Hohlraum 
befindlichen Spiegel $, (siehe Fig. 1), der sich mit der Geschwindig- 
keit v» pro Sekunde nach 8, bewegt, treffe 
am Anfang der ersten Sekunde eine mono- 
chromatische Welle P,P, von zwischen v 
und v»+dv gelegenen Schwingungszahlen 
in O, auf. Am Ende der ersten Sekunde er- 
reichen den nun bei 5, befindlichen Spiegel 
in O, Wellen, die vor einer Sekunde noch 
um die Lichtgeschwindigkeit ce —= 0, P, ent- 
fernt waren, und es ist 5 


0P,R=09,BR—-4A,—=e—veoi, 


wenn i den Einfallswinkel bezeichnet. Der bewegte Spiegel empfängt 
nun pro Sekunde nicht die auf 0,P, —= c liegenden v Wellen, son- 
dern lediglich die Zahl v, der auf O,P, befindlichen Wellenzüge. Da 


. . ® . 
aber auf AO, —=vecosi eine Anzahl von »_-cosö Wellen vorhanden 











ist, so besteht die weitere Beziehung 


(7) | y=v—v—ooi, 
aus der sich sofort ergibt 

v,C 
(8) vv 


Dieser auf den Spiegel fallende Wellenzug von der Schwingungszahl 
v, wird nun gegen (Q reflektiert und erreicht mit seiner ersten Welle 
am Ende der ersten Sekunde die Wellenfläche @, Q,, während gleich- 
zeitig die letzte der v, Wellen O, eben verläßt. Man hat wieder 
0,9, =, +9 B=c+tveoai', 

wenn i den Reflexionswinkel bedeutet. 

Zwischen der Zahl », der Wellen auf 0,Q, und der Zahl v’ der 
Wellen auf 0,Q, = e sowie der Zahl v— cosi‘ der Wellen auf 


0,B=v.cosi’ besteht demnach die Relation 


’ ‚® ar 
(9) v-v+vV msi, 
. n Vvc 
oder es ist Ve ll. 
e + v cost 


Somit hat man in Verbindung mit (8) 


(10) v _ e—veoai 
v„ e+veoi’ 


546 VIs, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


und daraus unmittelbar durch Differentiation 





dv’ e— vcosi 

(11) dv c+tvcoi 

oder auch mit v = - 
’ e — v Cosi 

(12) ee und 
dA e—vV cost 

(13) di c+tvecoi 


Bei Bewegung des Spiegels ändern sich also sowohl Schwingungszahl 
als auch Schwingungsbreite des Wellenzuges, und nach den Glei- 
chungen (10) bis (13) bestehen dafür die Beziehungen 

v dv’ h di 
(14) teen: 

Gehen durch den einfallenden und durch den reflektierten Wellen- 
zug in der Sekunde die Gesamtenergien U und U’, so ist der Strahlungs- 
druck auf den Spiegel U cosöi + U’ cosi’, und die vom Spiegel pro Se- 
kunde und Flächeneinheit (1cm?) geleistete Arbeit (U cosö+ U’ cos’) v. 
Die Arbeit muß aber auch gleich sein der Differenz ce U — cU’ der in 
der Sekunde auf den Spiegel auftreffenden bzw. von ihm reflektierten 
Energiemengen. Somit gilt die Beziehung 


vU eosit vU’csv’—=cU—cU,, oder 
B- ce — v cosi v dv’ 
(15) Dr.:ctori erde. 


Wir denken uns nun einen im Innern überall spiegelnden Hohl- 
raum vom Volumen Y, der von im Gleichgewicht befindlicher Strah- 
lung von der Dichte u erfüllt ist, so daB U=uV. Bei langsamer 
Ausdehnung oder Zusammenziehung des Hohlraumes ohne Zufuhr 
oder Entzug von Wärme gilt natürlich die obige Beziehung (15). 
Geht die adiabatische Volumenänderung sehr langsam vor sich, so 
wird die Strahlung der vielen Reflexionen wegen stets im Gleich- 
gewicht verbleiben, jedes Lichtbündel wird den gleichen Änderungen 
unterliegen und der Druck der monochromatischen Hohlraumstrah- 
lung auf die Wände des Hohlraums kann für einen Moment als kon- 


stant angesehen werden, so daß p = - Nach dem 1. Hauptsatz der 


mechanischen Wärmetheorie gilt aber für den adiabatischen Vorgang 
wieder die Beziehung 


(16) duV)+pdV —=0 oder 
(17) uaV+Vdu+pdV =. 


4. Die Strahlungsgesetze. 54T 


Setzt man darin u = 2, so erhält man sofort 
SV 
ap! (pdaV + 2 .ap) = Apltap 0, 
p 


oder, da p nicht gleich Null sein kann, 
p' V = const. 

Mit der Beziehung zwischen p und « folgt nun noch 
ut V = const. 

und mit dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz (6) 


v5 — a! TVS = const. 
Für zwei Volumina V und V’, denen die Strahlungsdichten u und « 
entsprechen, gilt somit 


(18) 


Nun ist aber die bei der Volumenänderung dYV geleistete Arbeit 
U 


U 


substituiert man dies in die Gleichung (17) und außerdem 


U dU U 
re u=7 —p4V, 


so folgt aus (17) neuerlich noch 
dU=— av, 


U 


und nach Integration U=-V 
Es ist somit auch 
U v3 


4) U gi 


Die Gleichungen (15), (18) und (19) ergeben nun zusammengenommen 
RSS 2 2. dv’ 


wm 


1 





(20) Te m; 
eine Gleichung, die in der Gestalt 
(21) z = ent — (, 


oder bei Übergang auf A und spezieller Betrachtung der hellsten Stelle 
im Spektrum, des sogenannten Energiemaximums bei Amax in der Form 


(22) Amax * T = const = b 
als Verschiebungsgesetz von W. Wien‘) bekannt ist. 


41) Berlin Ber. vom 9. Februar 1893. 


548 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Ist nun « die Dichte der monochromatischen Gesamtstrahlung 
von der Breite dv, die also alle möglichen Schwingungszahlen zwi- 
schen v» und v + dv enthält, so ist die Dichte u(v) der Strahlung 
von der Schwingungszahl » allein 


u(v) a 
und mit den Gleichungen (6) und (20) hat man noch 
u’(v) u’ dv 2 RE N ee 





u) re TE oder 
(23) > — const —= (,. 


Die Konstanten C, und (, der Gleichungen (21) und (23) können 
natürlich nur von konstanten Größen abhängen; die betreffenden Glei- 





chungen enthalten aber als Konstante nur; und er . Somit muß 
schließlich noch eine Beziehung 

=f (7 7) oder 
(24) u, T) = „E (7)=»’F(7) 


bestehen, die ebenfalls von W. Wien“?) gegeben worden ist und später 
auf die sogenannte Wiensche Strahlungsformel in ihrer bekannten 
Gestalt führen wird. 

Durch relativ sehr einfache quantentheoretische Überlegungen 
gelangt A. Einstein‘?) von Gleichung (24) zu der von M. Planck“) 
gefundenen verbesserten Strahlungsformel.*°) 

Es seien n, Atome von der inneren Energie E, und n, Atome 
von der Energie E, vorhanden und E,>E,. Weiter sei u(v,,) die 
Energiedichte der Strahlung von der beim Übergang aus dem einen 
Energiezustand in den anderen nach der Beziehung 


B— E=hvs 
entstehenden Schwingungszahl »,,. Der Übergang von E, zu E, ent- 


spreche einer Absorption von Strahlung. Ist keine Strahlung vor- 
handen, so ist natürlich Absorption unmöglich. Die Zahl der wirklich 


42) a. 2.0. 

43) Verh. deutsch. phys. Ges. 1916, p. 318; Phys. Ztschr. 18 (1917), p. 121. 
Siehe auch A. $. Eddington, Der innere Aufbau der Sterne, deutsch von E. v. der 
Pahlen, Berlin 1928, J. Springer, p. 56. 

44) Verh. deutsch. phys. Ges. 2 (1900), p. 202, 237. 

45) Bei der hier gegebenen Ableitung nach Einstein sind einige erst im 
Nr. 6 näher zu besprechende quantentheoretische Relationen vorweg genommen 
worden. 


4. Die Strahlungsgesetze. 549 


stattfindenden Übergänge wird daher nicht nur der Zahl der über- 
gangsbereiten Atome, sondern auch der Größe der vorhandenen Energie- 
dichte «(v,,) proportional sein. Ist a,, eine Proportionalitätskonstante, 
so erfolgen daher in der Zeit dt 


an,u(v,,)dt 
Übergänge in der Richtung E,— E,. Der Übergang E,—> E, da- 
gegen, also Emission kann wegen E, > E, aber auch ohne Vorhanden- 
sein äußerer Strahlungseinwirkung stattfinden, und die Zahl dieser 


nur von atomaren Verhältnissen abhängigen Übergänge in der Zeit dt 
wird daher gleich sein 


bzundi, 7 
wo b,, einen anderen Proportionalitätsfaktor vorstellt. Ist noch äußere 
Strahlung von der Energiedichte u(v,,) vorhanden, so wird sie also 
zwar nicht auslösend, aber doch fördernd oder hemmend einwirken, 
so daß sie in der Zeit dt (a,, ist wieder ein Proportionalitätsfaktor) 
weitere 

Ay, u (75) dt 
Übergänge hervorrufen wird. Herrscht nun bei irgendeiner Tempe- 
ratur 7’ thermodynamisches Gleichgewicht, so müssen sich die Über- 
gänge in beiden Richtungen kompensieren, und es besteht dann die 
Relation 
AN u(vı5, T) = 5,0 + AyıNgulv, T), 


aus der ohne weiteres folgt 








1 1 ( ba 7) 
N, Ge %,%(9,,, T) 
Ist noch ein dritter Zustand E, vorhanden und E, > E,, so gilt also, 
weil 
kn ae PRO 
nn 
ist, noch weiter 


(95) 9zı & _\ ‚ss Ds Osı da ‘ 
( 5) dig (1 r A, Ulvıs, n)) Ayg (1 + AygU(Vos, n)- As (1 an Az, U9ıs, ) 
Da u mit 7 wächst, werden aber die zweiten Glieder in den Klammer- 
ausdrücken mit steigender Temperatur immer kleiner. Vernachlässigt 


man sie also für 7—= oo, was offenbar gestattet ist, so folgt aus 
(25) zunächst 














he 1 ke 
Ag Az As 
und weiter 


b b, 
126) (1 u” Ası nn 2) (1 ® FT rn) ae: ‘8 TER T) 


Encyklop. d. math. Wissensch VI2,B. 36 





550 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 
x 


Führt man hier für « die Wiensche Form (24) ein und beachtet 
man, daß wegen der quantenmäßigen Beziehungen Z,— E, =hrv,s, 
E, — E,—= hv,, und E, — E, = hv,, immer v,—=v,-+ vs, also auch 


ET WR Ya ” 
a) = 
sein muß, so ergibt die Reduktion von (26) 


7) ;- + —; 7 v - v Ste en { — VuaX\? 
ar er een 


wo die Ü-Faktoren die Form 





C Sr Bi 


r,s .my3 
a, ee Y,, 





8 


haben. Schreibt man drei Gleichungen von der Form (27) für die 
Temperaturen 7,, 7,, 7, an, so lassen sich die C als Funktionen der 


Yıa Yıs Pız  Vas Pan Pa 


24° 1 T,? 24° T,? T, 
oder, da sich die letzten drei dieser Größen aus den ersten drei durch 


Multiplikation mit en ergeben, auch als Funktionen der 
12 


2 Pin’ va 

T’TR’D’m 
darstellen. C,, kann nun von den ersten drei Größen nicht abhängen, 
da diese ja »,, nicht enthalten, (aber auch nicht von der letzten ee; 
da diese das von »,, unabhängige »,, mit enthält. Hängt aber C,, 


nicht von seinen en -Werten ab, so hängen auch die anderen gleich- 


artigen C,, und C/, nicht von ihren ei und en ab, und der gleichen 
Form aller O-Größen wegen muß gelten 


Damit läßt sich nun (26) auf die Form 


bringen, die nur bestehen kann, wenn 


v 


Ein 
14 LEN oder 
" (7) 
RE AN ls ; 
(28) uw, T)=v F (4) — er, ist. 


e —1 


4. Die Strahlungsgesetze. 551 


Der Übergang von den u(v, T) in den Gleichungen (24) und (28) 
auf die u(A, 7) wird in folgender Weise bewerkstelligt. Entspricht 
an einer bestimmten Stelle des Spektrums dem Wert dv der Wert dA, 
so ist u(v)dv = u(A)dA, 
wo u(v) und u(A) die Strahlungsdichten für die Einheit der Schwin- 
gungs- bzw. Wellenlängendifferenz bedeuten. Ist c die Lichtgeschwin- 
digkeit, also 4 — —, so folgt 

da € A: 

ee und 

Äh a 
|*(@) = u), = —- WA) 


-— uw)” 


Das negative Zeichen bedeutet hier lediglich, daß die » und A indirekt 
proportional sind, braucht also weiter nicht berücksichtigt zu werden. 
Mit der zweiten Gleichung (24) wird nun aus (29) 


v v 6. € 1 
“= "F(7)= Fl) 97) 
und aus (28) 
(80) an 
As en ,) er —1 
Gleichung (30) ist die von M. Planck“®) entwickelte Strahlungsformel, 


die bei Vernachlässigung der Eins im Nenner in eine schon früher 


von W. Wien*') gegebene Strahlungsformel 
(81) u 
er? 


(29) 





übergeht. Die letztere kann zur Darstellung der Strahlung innerhalb 
kleinerer Wellenlängenbereiche mit Vorteil benutzt werden. 
d) Die numerischen Werte der Konstanten der Strahlungsformeln.*) 
Es ist zunächst im Stefanschen Gesetz (Gleichung (2)) die Energie- 
menge Bu Ir 
die von lem? schwarzer Oberfläche eines Körpers von der Tempe- 
ratur 7 in einer Sekunde ausgestrahlt wird und 
o—5,15 . 10"?jnt. watt em”?grad-? 
— 1,374 - 10°"? calem”?see=!grad -%. 
46) a. a. 0. 
47) Wied. Ann. 58 (1896), p. 662. 
48) Die hier gegebenen Zahlenwerte sind dem bei J. Springer, Berlin, er- 


scheinenden Handbuch der Physik von H.@Geiger und K. Scheel entnommen. 
36* 


552 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Im Wienschen Verschiebungsgesetz 
im 1=b 
hat man, wenn A in cm ausgedrückt wird, 
b = 0,2880 cm grad, 
oder für A in u b = 2880 u grad. 


Die Konstante c, der Strahlungsgesetze von Wien und Planck ist 
astrophysikalisch ohne Bedeutung, da sie bei Verhältnismessungen 
herausfällt. Dagegen ergibt sich c, auf folgende Weise. 

Sucht man mit der Planckschen Formel das Energiemaximum 


mit Hilfe der Differentialquotienten an = (), so erhält man nach ein- 
facher Reduktion die Gleichung 

er +10, .B— 4,9651, 
in der 2, — ß gesetzt wurde. Es ist also an dieser Stelle des Spek- 


7 
trums auch 


und daher 
6, = 4,9651 - b = 14300 cmgrad — 1,43 u grad. 

5. Das Dopplersche Prinzip. Die in Gleichung (7) (p. 545) des 
vorigen Kapitels ausgedrückten, durch die Bewegung des Beobachters 
bewirkten Änderungen der Schwingungszahl wurden bereits von 
©. Doppler‘”) erkannt, allerdings in ihren Konsequenzen aber falsch 
gedeutet. Dieses sogenannte „Dopplersche Prinzip“ liegt den Be- 
stimmungen der relativen Geschwindigkeiten der Sterne in der Ge- 
sichtslinie oder der Radialgeschwindigkeiten zugrunde. Setzt man in 
der erwähnten Gleichung 


® . 
C 


i=0(, und geht man mit » — E (ce = Lichtgeschwindigkeit) sowie 
mit vv» —=v-+dv oder ,—=4-+ di auf die Wellenlänge und ihre 
Änderung über, so folgt leicht 
A 
dA= — U 
067=9 
oder, da ja v gegenüber c stets sehr klein ist, mit für die Praxis 


genügender Genauigkeit 
(32) v— di. 


49) Abh. kgl. böhm. Ges. d. Wiss. 5. Folge, Bd. 2 (1842). 


5. Das Dopplersche Prinzip. 553 


Ist der Beobachter also mit der Geschwindigkeit v gegen den Stern 
in Bewegung, so läßt sich v mit (32) aus der beobachteten Wellen- 
längenänderung di ermitteln. v und dA sind gleichbezeichnet, und 
einer Entfernung des Beobachters vom Stern (positives v) entspricht 
also eine Vergrößerung von A, einer Verringerung der Distanz da- 
gegen eine Verkleinerung der Wellenlänge. 

Gleichung (9) des vorigen Kapitels (p. 545) enthält den Fall der 
bewegten Lichtquelle und des ruhenden Beobachters, wenn man sich 
nun den von 5, nach 8, bewegten Spiegel als Lichtquelle vorstellt, 
die v, Schwingungen pro Sekunde in der Richtung gegen den bei 
Q,Q, befindlichen unbewegten Beobachter aussendet. Setzt man wieder 
i—=0, so erhält man zunächst 


v—v (1 + I j 
Hier ist = —= 4 und - —=4-+ dA, und es folgt damit streng wieder 


die frühere Gleichung (32). 

Den weiteren Fall, daß das Licht von einem bewegten Körper 
reflektiert wird (Beobachtung der Ränder der Scheiben der rotierenden 
Planeten) schließt endlich die allgemeine Gleichung (10) des vorigen 
Kapitels (p. 545) ein, die mit i=i'’=0 zunächst 


14 





RE kamen 2. 
v  c+v 

oder di = 
a), 


also gegen die früheren Fälle den doppelten Betrag der Linienver- 
schiebung dA und für v unter Vernachlässigung von v gegen c im 
Nenner den Wert 

(33) tt 


5 liefert.°°) 


Die an den Sternen beobachteten Radialgeschwindigkeiten kom- 
binieren sich stets aus der dem Sterne eigenen Geschwindigkeit und 
aus der Geschwindigkeit des auf der Erde befindlichen Beobachters 
infolge der Bahnbewegung und Rotation des Erdkörpers. Die beob- 
achteten Radialgeschwindigkeiten müssen von diesen Einflüssen be- 
freit und dadurch auf den Mittelpunkt der Sonne bezogen werden. 


50) Die Ableitung obiger Formeln für v ist hier unter den Voraussetzungen 
erfolgt, daß die Schwingungszahl der Lichtquelle von ihrer Geschwindigkeit un- 
abhängig und daß das Medium zwischen Lichtquelle und Beobachter homogen 
und unbewegt sei. Über den Einfluß von Dichteänderungen in diesem Medium 
siehe W. Michelson, Zur Frage über die richtige Anwendung des Dopplerschen 
Prinzips, Journ. d. russ. phys. Ges. 31 (1900), p. 119, oder W. Michelson, On Dopplers 
principle, Astroph. Journ. 13 (1901), p. 192. 


554 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Die Korrektion wegen Bahnbewegung der Erde erhält man mit 
F. Schlesinger?') in einfacher Weise dadurch, daß man die negativ ge- 
nommenen, pro Tag geltenden Differenzen X’, Y’, Z’ der in den Jahr- 
büchern gegebenen äquatorialen Sonnenkoordinaten als Geschwindig- 
‚keiten der Erde pro Tag und in Einheiten der Distanz Erde— Sonne 
bildet und die Summe der Projektionen dieser Werte auf die durch 
Rektaszension « und Deklination ö des Sterns gegebene Richtung der 
Gesichtslinie durch Multiplikation mit 149,5 - 10° km : 86400 auf Kilo- 
meter und Sekunden reduziert. Die Korrektion lautet dann (Koeffi- 
zient logarithmisch) 


Korr. = [3,238 072](X’ cos« cosd + Y’sin« cosd + Z’ sind). 


Eine andere, besonders bequeme Form dieser Korrektion ist ebenfalls 
von F' Schlesinger??) gegeben worden. Nennt man den Winkel zwischen 
Radiusvektor und Tangente an die Erdbahn 90 — :, so ist 


tg (0) 


und, wenn r” aus der Polargleichung der Kegelschnitte entwickelt wird, 
esin(O —T) 

1-+ecos(@ —T)’ 
wo ® und I'die mittlere Länge der Sonne im Moment der Beobachtung 
und die mittlere Länge des Perigäums bezeichnen. Ist 7’ die in Ein- 
heiten von dt gegebene Umlaufszeit der Erde und F=a?yl — en 
die ganze Bahnfläche, so ist die Flächengeschwindigkeit 

dv _F 

Rd 





tgi = 


und da die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Radiusvektor 
re ist, wird die wahre Geschwindigkeit in der Tangente 


d 
2a?yl—en ‚I+eco(©—T) 





dv ; 
V, =r-- sei = 








dt T a(1— e?) sec? 
oder V,=V[1-+ ecos(® — T)]seci, 
wo nun der von periodischen Größen freie Faktor V = re ; die 
Se 2 


mittlere Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bahn vorstellt. Da die 
Richtung des Apex in ekliptikalen Koordinaten (Z = Länge, B= Breite) 
gegeben ist durch 

L=©—-%-—i, B=0, 


so gibt die Projektion auf die durch A (Länge) und ß (Breite) ge- 


51) Astroph. Journ. 9 (1899), p. 159. 
52) Astroph. Journ. 10 (1849), p. 1. 


5. Das Dopplersche Prinzip, 555 


gebene Richtung zum Stern zunächst 
VY, = —TV[1-+ ecos(® —T)] seci cosß sin A — O® +), 
und dann nach Auflösung des Winkels A — © + i und Substitution 
für tg3 VY, =bsin(® 
b=Veosß 
c= Ve cosß sin(I'— A). 


Die für einen bestimmten Stern nahe konstanten Werte von b und 
c hat F. Schlesinger°?) zusammen mit den A und ß für eine Anzahl 
hellerer Sterne tabuliert. 

Andere einfache Verfahren zur Ermittlung der Reduktion auf die 
Sonne, bei denen die Winkeldistanz Apex—Stern auf Himmelsgloben 
gemessen wird oder graphische Methoden anderer Art verwendet wer- 
den, sind u. a. von J. Hartmann°*) und von F. Henroteau°?) angegeben 
worden. 

Bei schwächeren spektroskopischen Doppelsternen, bei denen die 
Aufnahme eines Spektrums oft ziemlich lange Expositionszeiten er- 
fordert, wird die beobachtete Radialgeschwindigkeit durch die Ände- 
rung A Geschwindigkeit während der Aufnahme beeinflußt, Inwie- 
weit hierdurch die aus den Beobachtungen abgeleiteten Bahnelemente 
eine Verfälschung erleiden, ist ebenfalls von F'. Schlesinger°®) erörtert 
worden. 

Eine Korrektion wegen Erdrotation wird nur in den wenigen 
Fällen, also z. B. bei Rotationsbestimmungen an der Sonne, nötig, wo 
die große Helligkeit eine Verwendung starker Dispersionen (Gitter- 
spektrographen) und damit eine Genauigkeit in der Bestimmung der 
Geschwindigkeiten gestattet, die bis in Bruchteile eines Kilometers 
pro Sekunde geht. Ist o die Distanz des Beobachtungsortes vom Erd- 
mittelpunkt und 9’ seine geozentrische Polhöhe, so ist die lineare Ge- 
schwindigkeit des Beobachtungsortes infolge der Erdrotation 

0,464 o cos p’ km/sec 
gegen einen Punkt des Äquators von der Rektaszension 90 a ® ‚(0 
— Sternzeit der Beobachtung) gerichtet. Bei Projektion dieser Ge- 
schwindigkeit auf die Richtung «, ö des Sternes folgt als Korrektion 
wegen Erdrotation | 


Korr. — 0,464 0 cosp’ cosd sin(« — ®): 





53) a.2.0. 

54) Astr. Nachr. 173 (1906), p. 97. 
55) Pop. Astr. 33 (1925), p. 248. 

56) Astroph. Journ. 43 (1916), p.. 167. 


556 VIs, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Die Korrektion hat das Zeichen von sin(« — ®), ist also positiv oder 
negativ, je nachdem im östlichen oder westlichen Stundenwinkel be- 
obachtet worden ist. 

Systematische und anderweitige Fehler sowie Verminderungen der 
Genauigkeit überhaupt können durch verschiedene persönliche Auf- 
fassung der Linienmitte bei der Ausmessung der Spektren, durch 
Fehler in den zur Reduktion verwendeten Wellenlängen für die Linien 
des Vergleichsspektrums, durch Abhängigkeit der Wellenlängen der 
Sternlinien vom Typus des Sterns°”), durch bei Beobachtung in großen 
Stundenwinkeln im Apparat auftretende Biegungen sowie durch Über- 
gang auf andere Dispersionen®®) und durch Verwendung zu großer 
Spaltbreiten.°) Die bei der Ausmessung möglichen Fehlerquellen 
können durch die in Nr. 3 besprochenen Vorsichtsmaßregeln tun- 
liehst unschädlich gemacht werden. Den Nachweis anderweitiger syste- 
matischer Fehler gelingt am besten durch gelegentliche Mitbeobach- 
tung von Objekten mit bekannter und konstanter Radialgeschwindig- 
keit. Geschwindigkeiten solcher „Standard velocity stars“ sind von 
verschiedenen Beobachtern genau ermittelt worden, z. B. von A. Belo- 
polsky‘®) und von Y. .M. Slipher.°') W. W. Campbell®?) hat erst vor etwa. 
zehn Jahren neuerlich gefordert, daß die Radialgeschwindigkeiten einer 
Anzahl hellerer Sterne mit möglichst hoher Dispersion als Standard- 
werte festgelegt werden sollen. Auch die Geschwindigkeit des Mondes. 
relativ zur Erde, die bis auf rund 1,5 km/see anwachsen kann, ist als 
Testwert verwendbar und kann für einen gegebenen Zeitmoment aus 
den in den astronomischen Jahrbüchern gegebenen Daten nach For- 
meln, die W. W. Campbell®?) und K. Laves®) entwickelt haben, berechnet 
werden. 

Aufnahmen mit Objektivprisma®) sind, wie schon früher er- 


57) Siehe hierzu: E.B. Frost, Astroph. Journ. 31 (1910), p. 430; W. S. Al- 
brecht, Cordoba Boletin Nr. 1, 1914; Astroph. Journ. 33 (1911), p. 130; Astroph. 
Journ. 50 (1919), p. 277; Pop. Astr. 29 (1921), p. 144; J. Voüte, Astroph. Journ. 
47 (1918), p. 137. 

58) J. S. Plaskett, Astroph. Journ. 32 (1910), p. 230 und E. B. Frost, Astroph.. 
Journ. 31 (1910), p. 377. 

59) J. 5. Plaskett, Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 4 (1910), p. 333. 

60) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 85; Mitt. d. Nicolai-Hauptsternw. Pulkowo. 
1 (1905), Nr. 3 und 3 (1910), Nr. 35. 

61) Lowell obs. Bull. Nr. 23, 1905. 

62) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 190. 

63) Astroph. Journ. 11 (1900), p. 141. 

64) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 17. 

65) Man vgl. hierzu noch: Delisle Stewart, Astroph. Journ. 23 (1906), p. 396 
und M. Hamy, Paris C.R. 158 (1914), p.81; 161 (1915), p. 661; 167 (1917), p. 9. 


“ 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 557 


wähnt worden ist, mehrfach zur Ermittlung von Wellenlängen und 
damit auch von Radialgeschwindigkeiten herangezogen worden, die 
bezüglichen Versuche hatten aber wenig praktischen Erfolg. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 
a) Allgemeines. Nach den Vorstellungen von E. Rutherford®®) und 
N. Bohr*®) besteht jedes Atom aus einem positiv geladenen Kern von 
der Gesamtladung EZ und einer Anzahl Z negativ geladener, den Kern 
wie Planeten umkreisender Elektronen von den Einzelladungen e, so 
daß die Beziehung Be 


besteht. In seinem ursprünglichen Zustand ist das Atom also nach 
außen hin elektrisch indifferent oder neutral. Die großen Halbachsen 
der unter dem Einfluß der Coulombschen Anziehung beschriebenen 
Elektronenbahnen sollen dabei ihrer Größe nach an die Bedingung 
gebunden sein, daß die kinetische Energie jedes Elektrons bei einem 
vollen Umlauf ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungs- 
quantums h = 6,55 - 10”? ergsec”! sein muß. Springt ein Elektron 
aus einer Bahn in eine andere, so geht seine Energie von w, in die 
Energie w, über, und es besteht die Beziehung 


(34) w—-w=hr, 
und je nachdem w, 2 w,, entsteht bei diesem Vorgang unter Emis- 
sion oder Absorption von Energie eine spektrale Emissions- oder Ab- 


sorptionslinie von der Schwingungszahl v — — 


Der normale Zustand des neutralen Atoms ist dadurch charakte- 
risiert, daß alle Elektronen in den ihnen eigenen Bahnen schwingen. 
Zufuhr von Energie kann bewirken, daß ein Elektron aus seiner 
eigenen Bahn in eine andere überspringt, die entweder selbst wieder 
für den Bahnenkomplex des Atoms charakteristisch ist oder diesen 
durch eine neue Bahnform nach außen hin erweitert. Bei Nachlassen 
oder Aufhören der Energiezufuhr erfolgt wieder der Rücksprung in 
die ursprüngliche Bahn. In beiden Fällen (Absorption bzw. Emis- 
sion) entstehen nach Gleichung (34) Absorptions- bzw. Emissionslinien, 
die man, da sie aus dem Grundzustand des Atoms heraus entstehen, 
als zuletzt noch mögliche Linien (ultimate lines)‘®) bezeichnet.®°) Sie 


66) Phil. Mag. 21 (1911), p. 669. 

67) Phil. Mag. 26 (1913), p. 1, 476, 857. 

68) Siehe ©. H. Payne, Stellar atmospheres, p. 11 und H.N. Russell und 
F. A. Saunders, Astroph. Journ. 61 (1925), p. 42. 

69) In von dieser Definition etwas abweichender Weise nennt De Gramont, 
Paris C. R. 171 (1920), p. 1106 „raies ultimes‘ solche Linien, die bei fortwähren- 
der Verringerung der Menge des Stoffes zuletzt verschwinden. 


558 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


bilden die sogenannte Hauptserie. Die erste Linie dieser Hauptserie 
rührt also von Elektronensprüngen zwischen Grundbahn und nächst 
höherer Bahn her und heißt Resonanzlinie, da das Elektron bei der 
Emission den ganzen Energiebetrag abgibt, den es bei der Absorption 
aufgenommen hat. Wächst die zugeführte Energie, so kann das bereits 
in eine höhere Bahn gelangte Elektron neuerlich in eine noch höhere 
überspringen. Bei diesem Vorgang entstehen wieder weitere Linien, 
die in ihrer Gesamtheit dann „Nebenserien“ oder „subordinate series“ 
bilden. Ist die Energiezufuhr genügend stark, so kann zunächst ein 
Elektron gänzlich aus dem Atomverband gerissen werden. Das Atom 
A hat dann nicht mehr Z, sondern Z— 1 Elektronen, es ist somit 
mit einer Ladungseinheit positiv wirksam geworden, und wir be- 
zeichnen es nun mit A*+ als einfach ionisiert. Durch Verlust eines 
weiteren Elektrons kann natürlich aus dem einfach ionisierten Atom 
A* das zweifach ionisierte A** entstehen usw. 


Daß das Spektrum somit abhängig ist von der Größe der Energie- 
zufuhr oder der „Erregung“, hat schon J. N. Lockyer aus seinen Be- 
obachtungen der Spektren coelestischer Objekte gefolgert. In der 
Flamme (Na im Bunsenbrenner) ist die Anregung am geringsten, im 
elektrischen Bogen stärker, im Funken am kräftigsten. Daher werden 
also beim Übergang Flamme— Bogen—Funken immer neue Linien 
auftreten, die dem höheren Erregungsniveau oder gar dem ionisierten 
Atom zukommen, und die typischen Bogenlinien werden im Bogen 
kräftig, im Funken schwächer erscheinen, während das umgekehrte 
bei den Funkenlinien der Fall sein wird. J. N. Lockyer‘®) nennt das 
die typischen Funkenlinien liefernde Atom „Protoelement“ und dessen 
Linien, da sie im Funken kräftiger erscheinen, „enhanced lines“, und 
er versuchte sie durch Verwendung besonders kräftiger Funken tun- 
lichst zu separieren.”') Im Sinne der obigen Vorstellungen wären die 
Bogenlinien im allgemeinen als Linien des neutralen Atoms zu be- 
zeichnen, die „enhanced lines“ würden dem einfach ionisierten, die 
bei Verwendung besonders stark kondensierter Funken auftretenden 
„Überfunkenlinien“ dagegen dem doppelt oder noch höher ionisierten 
Atom angehören. 

Aus im physikalischen Laboratorium angestellten Beobachtungen 
über die Ablenkung, die ein «-Teilchen (doppelt positiv geladener He- 
Kern) beim Vorüberfliegen an einem Atomkern infolge der abstoßen- 


70) Inorganie evolution, London bei Macmillan & Co. 1900, p. 32. 
71) Eine Tabelle solcher „enhanced lines'* ist von J. N. Lockyer in Proc. 
Roy. Soc. London 65 (1900), p. 452 gegeben. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 559 


den Kraft des letzteren erfährt”?), hat sich ergeben, daß die positive 
Ladung eines Atomkernes immer aus so viel positiven Elektrizitäts- 
einheiten besteht, als die Ordnungszahl des Elementes im periodischen 
System, d.i. die sogenannte „Atomnummer“, angibt. Man erhält dieses 
periodische System, wenn man die Elemente, nach ihrem Atomgewicht 
geordnet, der Reihe nach in ein Schema aus acht Kolonnen und sieben 
Zeilen so einsetzt, daß Elemente mit ähnlichen chemischen Eigen- 
schaften, z. B. Alkalien, Halogene, Edelgase, untereinander in derselben 
Kolonne zu stehen kommen. In der Tafel des periodischen Systems 
der Elemente auf p. 560 gibt die Zahl vor dem Atomzeichen die 
Atomnummer, die Zahl darunter das Atomgewicht. 

Geht man von H und He aus, in deren Atomen ein Elektron 
bzw. deren zwei in einquantigen Bahnen um den Atomkern laufen, so 
entspricht jeder Schritt um eine Zeile nach abwärts dem Hinzutreten 
einer neuen Bahnform, die um ein Quant höher liegt als die äußerste 
Bahn in den Atomen der vorhergehenden Zeile. In den neutralen 
Atomen sind also im unerregten Zustand nur ein- bis siebenquantige 
Bahnen möglich. Es ist klar, daß mit wachsender Atomnummer immer 
mehr Elektronen in Bahnen von gleicher Quantenzahl laufen müssen. 
Das wird dadurch ermöglicht, daß Kreisbahnen und Ellipsenbahnen 
von verschiedener Exzentrizität und gegenseitiger Neigung, aber glei- 
cher Quantenzahl nebeneinander existieren können. Bezeichnet man 
also allgemein das Energieniveau der Bahn durch die Quantenzahl 
(z. B. 6, sechsquantige Bahn), so muß durch einen. beigefügten Index, 
der übrigens bei der Kreisbahn ebenso groß ist wie die Quantenzahl 
und damit seinen Maximalwert erreicht, auch noch die Bahnform, ob 
Kreis oder Ellipse von größerer oder kleinerer Exzentrizität charak- 
terisiert werden. Demnach würden 6,, 6,, 6,,...,6, der Reihe nach 
eine sechsquantige Kreisbahn oder sechsquantige Ellipsen von wach- 
sender Exzentrizität bedeuten. Man pflegt den Index „Nebenquanten- 
zahl“ (N. Bohr) oder „azimutale Quantenzahl“ (A. Sommerfeld) zu 
nennen. Wie bereits oben betont, sind für den Kreis Quantenzahl und 
Nebenquantenzahl gleich. Die in der äußersten Bahn kreisenden Elek- 
tronen werden bei Zufuhr von Energie zuerst beeinflußt, und die Zahl 
dieser sogenannten „Valenzelektronen“ hängt mit der chemischen Va- 
lenz des betreffenden Elementes zusammen. Verliert das Atom eines 
seiner Valenzelektronen durch Ionisation, so wird sein Bau dem Atom 
des im periodischen System vorhergehenden Elementes ähnlich, und 

72) Man sehe dazu die Versuche von Wilson, Jahrb. d. Radioaktivität und 


Elektronik 10 (1913), p. 34; Rutherford, Phil. Mag. 21 (1911), p. 669; Geiger u. 
Marsden, Phil. Mag. 25 (1913), p. 604; Chadwick, Phil. Mag. 40 (1920), p. 734. 


VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


560 






























































2'882 (088) | 1'3E2 (98%) 0'923 
N '3$ ®4 16 | QL '06 aY '68 ey '88 1 ee} 
0'823 (0‘°01%) 0'603 2'108 770% 9'003 &L61 
um 98 1 "98 04'758 1] '€8 44 '88 LL ‘18 3H '08 ny'62 
86T T'E6T 6'061 _ 0'781 g'I81I s'eLT— 2'071 6'881 rel 8'zg1 
914'82 “l'ıL 09 ey 'oı Mr ®]L 'g2 | OpıousgaggL—gg 'eT'Lq vg '9q sy 2 9 
8081 6'931 e'ı21 8'121 LSTT srTI F'311 6'L07 
x'’rg £'’es 9L'38 as 'ıe ug '0g u] '6F po 's# av 15 
2'907 6'801 LTOL _ 0'96 e'g6 e'16 6'88 918 ag 
Pa 97 ‘yycer any enger oN 2 aN'IF ız 08 A '68 ag '8g ay'zel 8 
628 662 362 0'8L 921 269 7'079 9'89 
ıy '98 ag 'cg os rg sy 'gg a 's€ 8 'Ig uz '08 0) '6% 
usa 0% 8'ag 6'749 0'389 0'198 617 ror 107 1'68 
IN '83 ‘00 'L3 ‘919% um's 10'723 A 82 IL '38 98 12 %) '0% M6Il 7 
6‘6€ g'ag T'ge 0TE 1'873 01% €77 0'83 
v'8T Dr Ss '9 d'sı Is #1 IV '$I 3W ‘1 ®N IT € 
8'0% 0'671 0'917 01 0'317 g'or 0'6 6'9 
ON OL 4 '6 0'8 N' 9.9 q°% eg 7 trp'’e| '% 
007 8.00°T 
eH 3 HT| I 
"IIIA "IIA 'IA "A "Al "III "I I 
































HYUHWOLT Op WOISÄS Hy9sıpoLIdd su 





6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 561 


es ist nahezu AZ = Az-ı. Lediglich die Kernladung ist bei AZ um 
eine positive Elektrizitätseinheit höher als bei Az_ı. Da das Spek- 
trum immer eine Folgeerscheinung der Elektronensprünge und der 
dabei absorbierten oder emittierten Energiequanten ist, so folgt aus 
der Ähnlichkeit des Baues von A} und A;_, auch eine Ähnlichkeit 
ihrer Spektren. Das von W. Kossell und A. Sommerfeld?) ausgespro- 
chene sogenannte „Verschiebungsgesetz“ besagt daher, daß das Spek- 
trum eines ionisierten Atoms AZ immer dem Spektrum des neutralen 











Atoms von um Eins niedrigerer ara s : Es 
Atomnummer ähnlich ist und daß DE | ! : ’ x 
begreiflicherweise ebensolche Ahn- Nr.ı H 1 
lichkeiten zwischen den höher ioni- 2 He 2 
sierten und den ähnlich gebauten 2 ui 2 | 2 
; ? BEL 4 Be 2 2 
niedriger ionisierten oder neutralen eg & 2m 
Atomen 43", 47F,; Az_ 2, Ay_3 6 Cc 2 2 2 
bestehen. Zum Schluß seien in der ıN 2 4 1 
nebenstehenden Tabelle die Atommo- s 0 2 4 2 
delle (Zahl und Bahnform der Elek- Bn . . i : 

0 e 
tronen) für die ersten 11 Elemente ED 

















des periodischen Systems gegeben.”*) 

b) Die Linienserien von H und He*. Die mathematische Verfol- 
gung der Elektronenbewegung in den Atomen von H und Het, die 
beide nur aus einem Atomkern und einem Elektron bestehen, ist in 
ebenso exakter Weise möglich wie die Bewegung zweier Körper im 
Zweikörperproblem. Aber schon das Hinzutreten eines weiteren Elek- 
trons bewirkt durch die auftretenden Elektronenstörungen ähnliche 
Verhältnisse, wie sie im astronomischen Dreikörperproblem auftreten, 
so daß die wirklichen von den Elektronen beschriebenen Bahnen noch 
nicht einmal für das neutrale He-Atom, geschweige denn für die 
immer komplizierter gebauten weiteren Atome haben ermittelt werden 
können. 

Wir betrachten zunächst das H-Atom, dessen von einem Elek- 
tron umkreister Kern eine positive Ladung von einer Elektrizitäts- 
einheit besitzt, so daß also E—=e. Für die Bahnbewegung des Elek- 
trons gilt die klassische Bedingung, daß die Zentrifugalkraft gleich 
sein muß der Coloumbschen Anzjehung zwischen Elektron und Kern. 
Zieht man der Einfachheit halber zunächst eine Kreisbahn vom Ra- 


73) Verh. d. deutsch. phys. Ges. 21 (1919) und A. Sommerfeld, Atombau und 
Spektrallinien, 4. Aufl. 1924, p. 602. 

74) Eine ausführliche Tafel ist z. B. von C. H. Payne gegeben in Stellar 
atmospheres 1925, p. 9. 


562 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


dius « in Erwägung, so besteht, wenn m = Masse und ® = Winkel- 
geschwindigkeit des Elektrons, die Beziehung 

(35) | mat — "% 
(36) Ee = ma°’o?. 
Zur Einführung der Quantelung der Bahnen bemerken wir, daß sich 
beim Ubergang von einer Bahn zur anderen nicht nur ® ändert, son- 


oder 


. . . 3 Mm i 
dern auch die momentane kinetische Energie Wxin = zo, und zwar 


die letztere bei einer Änderung von @ in @ + do um den Betrag 


ow 
eg ma?’o, denn a kann deswegen als konstant angesehen werden, 


da ja die Änderung der Winkelgeschwindigkeit auch durch Deforma- 
tion der Kreisbahn zur Ellipse erfolgen kann. Bezeichnet man mit p 
die mittlere Anomalie des Elektrons in seiner Bahn, so wird die ge- 
samte kinetische Energie während eines ganzen Umlaufs gegeben sein 
durch 27 
W= |" dp —= 2zma!o. 
[0} 
0 

Handelt es sich um die »“ Quantenbahn, so muß die Energie der- 
selben W, gleich sein 


Ww„=nh, 
also 2xma?o = nh oder 
nh 
(37) maoa—,_' 


Da a?» gleich ist der doppelten Flächengeschwindigkeit, ist Gleichung 
(37) gleichbedeutend mit dem Flächensatz der klassischen Mechanik. 
Aus (36) und (37) folgt nun aber durch Division 
_.2wEe 


ao = —, — lineare Geschwindigkeit, 
und damit läßt sich wieder (37) auf die Form 
38 n:h? 
uni Gm Dinar 


bringen, in der rechts nur die Quantenzahl n der Bahnen variabel ist 
und die besagt, daß sich die Radien der Elektronenbahnen verhalten 
wie die Quadrate der Quantenzahlen. 

Setzt man diesen Wert von a nun wieder in (37) ein, so folgt 


für © 
(39) a 8nz°me?E? 


n®h? 
z oder die Umlaufszeit ist sonach proportional %°. In Verbindung mit 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 563. 


(38) besagt das aber, daß sich die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten 
wie die dritten Potenzen der Bahnradien (3. Keplersches Gesetz). 
Die potentielle Energie der Coloumbschen Anziehung ist 


eE 
7 a 
oder mit (36) Wr = — ma?o?. 


Da gleichzeitig wxin = a0}, so folgt sofort der von N. Bohr”) für 


das Coulombsche Feld gegebene Zusammenhang 

Win: 7 + Wpot- 
Also ist die Gesamtenergie w 

1 eE 1 2utme’E? 1 
(40) w = Wiin + Wpor = 7 or ER TI RT EB 


Springt nun das Elektron aus einer k-quantigen Bahn in eine n-quan- 
tige, so folgt aus (34) und (40) _ 


2n’me‘ /E\2r1 £7}; 
(41) a me 
und wenn man darin schreibt 
= —= Z = Atomnummer, 
/ 
Zn’me* 
STE io 
c ’ 1 
und v-o,v=-, ao wor, 
so folgt unmittelbar die Formel 
’ 1 1 
(42) v - RB 24): 


in der die Wellenzahl v’ = - die Zahl der Wellen pro em für jene 


Linie angibt, die beim Atom von der Atomnummer Z entsteht, wenn 
das Elektron aus einer k-quantigen in eine n-quantige Bahn springt. 
Ist k>n, so wird dabei nach (41) ein positiver Energiebetrag frei 
und es erfolgt Emission. Nimmt man die n-quantige Bahn als Grund- 
bahn, und variiert man kmtk=n+1,n+2,n+3,..., so er- 
hält man eine Serie zusammengehöriger Spektrallinien, die durchweg 
bei Sprüngen in den Grundzustand n (Emission) oder aus demselben 
heraus (Absorption) entstehen. Die „Seriengrenze“ folgt mit k = oo; 
dort hat v’ sein Maximum erreicht. 

Die Serie setzt sich also mit k=n + 1 beginnend gegen die 
größeren v’, also kleineren A fort bis zur Seriengrenze. 


75) Phil. Mag. 26 (1913), p. 24. 


564 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Die sogenannte Aydbergkonstante R„ ergibt sich mit den be- 
kannten numerischen Werten 


m = 9,03 - 107% g, 

e —= 4,174 . 10-19 Dyn’= cm, 

h = 6,55 - 107? ergsee'! 
zu R.= 1,097371 - 10° em-!, 


sie ist also ebenso wie »’ eine reziproke Länge. 

Die obige Formel (42) wurde unter der Voraussetzung entwickelt, 
daß die Bewegung des Elektrons um einen ruhenden Atomkern er- 
folgt, daß also die Kernmasse gegenüber der Elektronenmasse unend- 
lich groß ist, was bekanntlich aber nicht der Fall ist. Nennt man A 
und a sowie M und m die Distanzen vom Schwerpunkt des Systems 
bzw. die Massen für Atomkern und Elektron, so folgt zunächst 


AM=am, 
und an Stelle der Bewegungsgleichung (35) tritt die Beziehung 


E 
mao?’—= MAo’—= rar 
mM 
Setzt man u— arm 
so erhält man daraus leicht 


(43) u(a + No! — eH, 


welche Gleichung nunmehr an Stelle von (36) tritt. Zur Aufstellung 
einer Quantenbedingung ist zu bedenken, daß sich die beiden Impuls- 
momente addieren, daß also 
ma?o + MA?o = u(a + A)’o 
gequantelt werden muß. Das gibt nun statt Gleichung (37) 
nh 
(44) va tNo—. 


Führt man die weiteren Rechnungen ebenso durch wie früher, so er- 
hält man schließlich wieder die Serienformel 








y 1 1 
(45) veRzs—), 
in der nun aber 
__2n’ue: _ 2mtme* A 1 
(46) R= RP 7° "Hin! 


; m 
14% 


vom Verhältnis der Massen von Kern und Elektron abhängig gewor- 
den ist. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 565 


* 


Bei Betrachtung elliptischer Elektronenbahnen gehen wir aus vom 
Bogenelement in der Ellipse (r = Radiusvektor, p = wahre Anomalie) 


(ds)? = (dr) + r?(dp)*, 
mit dem sich die momentane kinetische an zu 
m (ds\2_ m /dr\? |, mr? (dp or r wr 
nr unterer tn 


ergibt. Somit folgt nun, ähnlich wie früher, 





$ 2rn 2 2 
(48) W=W,+W, = Figur , * a9 | mrär+ [mrodg, 
h ö 


und es sind nun beide E.. entsprechend zu quanteln. Für das 
zweite Integral ergibt sich der gleiche Wert wie früher, also ist 
wieder wie bei (37) 


(49) W„= 2ramr’o, RR 


2% 
Wir bezeichnen »n als azimutale Quantenzahl. 
Im ersten Integral ist r’ von p abhängig, nach dem dann über 
den ganzen Umlauf zu integrieren ist. Durch logarithmische Differen- 
tiation der Kegelschnittsgleichung folgt zunächst 


1 dr ssinp 
(50) de 1-48 cosp ? 


weiter ist 
dr dp dr p dr 
(51) p,—m—mgz, I Baer au 7 
‚ p dr 1 dr 
und mr'dr— E57 3.49 -»(- ) dp. 


Bei Quantelung des nun leicht umzuformenden Integrals erhält man 
also 
ER sin’pdp Bi 
er: (1-+ 8c0s9)? m 
oder mit (49) 


= singdp m 
(52) (L+scosp)? mn’ 


woraus nach Durchführung der Integration’) folgt 
(53) 1— = 


2 
tm) 
n’ nennt man die „radiale Quantenzahl“. Wächst %’ bei gleichbleiben- 
dem n, so wird & größer, die Bahn dringt also tiefer ins Atominnere ein. 


76) Über die Durchführung der Integration siehe A. Sommerfeld, Atombau 
und Spektrallinien, 4. Aufl. 1924, p. 772. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2,2. 37 


566 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 
Gleichung (38) läßt sich auf die Form 
ach Een Ri (2 ea Pe 
EB (er) + g° 0) = | Ei 


bringen, aus der mit (51) und (50) schließlich folgt 





&? sin? 


- N BR p? 1+: 
(54) a a ® + 8 c08p)? Hr 1] ma?(l m 2 ar ecosg |. 


Außerdem ist noch 


E E 
(55) Up = — er _ — ass (1 + 2c089). 


Da nun w = Win + Wpot = const, also von p unabhängig sein muß, 
so müssen die von p abhängigen Glieder in w verschwinden. Das gibt 











eE 
(56) ma?t(1 — 29)? ECOSPp — aıl—:® ECOSQp — 0 oder 
p® 
Si ma(1 — e*) —eE. 
Man hat nun der Reihe nach für a die Werte 
p DU ash 1 ntm)? _ h? 
(58) a — meE1—:) An? meE mn! 4m? ImeB(" Tr: 


Bei elliptischen Bahnen sind also die großen Halbachsen dem Quadrat 
der Summe der beiden Quantenzahlen proportional. 
Mit der Bedingung (56) geben nun aber (54) und (55) 


. ee 
= Wr + Ua = ae a(1— s?)? 
oder mit (57) w— — 2 


also einen Wert, der dem bei Kreisbahnen gefundenen gleich ist und 
auch aus der Energiegleichung im astronomischen Zweikörperproblem 
folgen würde. Setzt man noch den Wert von a aus (58) ein, so wird 
2nmet (E\® 1 2n®me* 1 

me (are m Damme 
Charakterisiert man einen Anfangszustand wieder durch die Quanten- 
zahlen k + %k’, einen Endzustand durch n + n’, so ergibt sich mit 
Gleichung (34) sofort 


’ 1 1 1 
59) » — RZ 44 er) = R.2 | 
als Serienformel, die neben elliptischen Bahnen auch den Fall der 
Kreisbahnen einschließt. Nennt man N=n+n, K=k-+k’ die 
„totalen Quantenzahlen“, die in den Gleichungen (42) und (45) auf- 
getreten sind, so hat man zwischen der Bahnexzentrizität, die durch 
(53) gegeben ist, und den N,n’ oder den K,%k’ folgenden mit den 


WW = — 








6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 567 


Vorbemerkungen im Unterabschnitt a) dieser Nr. (p. 557) überein- 
stimmenden Zusammenhang: 


"=-0, N=-n, s-0 Fall der Kreisbahn, 
n"=1,2,3..., 1>e.>0 Fall der Ellipsenbahnen. 


Für n=0 würd &=0,d.i. eine Ellipse mit der kleinen Achse 
b=(, also eine zu einer durch den Atomkern gehenden Geraden ent- 
artete Bahn folgen, die deswegen unmöglich ist, weil das Elektron 
in diesem Fall in den Atomkern stürzen müßte. Die Variation von 
N=1,2,3,... gibt die Quantenzahlen der aufeinanderfolgenden Elek- 
tronenbahnen, und die Zerlegung N—n + n’ unter gleichzeitiger Aus- 
schaltung des unmöglichen Falles n = 0 gibt dann dazu die bei einer 
bestimmten Quantenzahl überhaupt möglichen Bahnformen. Die be- 
züglichen Verhältnisse sind für N=1,2,3 im hier beigegebenen 
Täfelchen ersichtlich gemacht. 














Nen-tn N W Bahnform Zahl der möglichen Bahnen 
T 1 0 Kreis 1 \ 
2 1 1 Ellipse, e=4y3 2 
2 0 Kreis 
3 1 2 Ellipse, e=3y2 3 
2 1 „ 3=+yV 
3 0 Kreis 














Setzt man .B.n 59) N=n+n=2, K=k-+k'=3, so kann 
die durch (59) definierte Spektrallinie nun durch Sprung aus zweierlei 
Bahnformen bei N in dreierlei Bahnformen bei K, im ganzen also 
auf sechs verschiedene Arten entstanden sein. 

Nimmt man in den Formeln (42), (45) und (59) nacheinander 


n—=N=1, k=-K=2, 53,4... 
n=N=2, k=K=3,4,5,... 


so erhält man Linienserien, die der Reihe nach von einquantigen, 
zweiquantigen usw. Bahnen ihren Ausgang nehmen. Man bezeichnet 
die vonn=N= 1 ausgehende Serie als die Hauptserie (H.S.), die 
weiteren als Nebenserien (N.S.). Schreibt man die obigen Serien- 
formeln in der gemeinsamen Form an: 

BES RN RZ? 


er u 





so bestehen sie durchweg aus einem für die betreffende Linienserie 
87* 


568 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


x k Z? 2 ; 
unveränderlichen oder „stabilen“ Term = ‚ der für sich allein die 





2 
Seriengrenze gibt, und aus dem veränderlichen „Laufterm“ 2 Be- 
m 


zeichnet man den stabilen Term der Hauptserie ne mit dem Symbol 


18, die Laufterme En = SILKE nn dieser Serie aber mit 2 P, 
3P,... (P= Laufterm der Prinzipalserie!), so erhält man für die 
Linien der H.S. die in der Spektroskopie übliche symbolisierende Be- 
zeichnungsweise 
HS.: 1$—mP (m = 2,3,4,...). 
Bei den hier zunächst zu behandelnden einfachsten Atomen von 
H und He ist der erste Laufterm 2 P wieder gleich dem stabilen 
= 
die nach dem meist diffusen Aussehen der Linien auch gern „diffuse 
Serie“ (D.S.) genannt wird. Bezeichnet man die Laufterme dieser 
Serie mit dem Symbol D, so hat man die Bezeichnungsweise 
ILN.S.: 2P—mD (m=3,4,5,...). 
Die von n=35 ausgehende nächste Serie, die sogenannte Paschen- 
oder Bergmamnserie (B.S.) hat wieder 3D als stabilen Term, und die 
Laufterme seien mit F bezeichnet. Das Liniensymbol ist also 
‚BB: SD mE (m == 4,5,6,...). 
Das Schema dieser Symbole ist durch weitere Zeichen G, H,... natür- 
lich beliebig zu erweitern. Bei komplizierter gebauten Atomen sind 
die ersten Laufterme einer Serie aber nicht völlig gleich den stabilen 
Termen der nächsten Serie. Dann werden auch Kombinationen, wie z.B. 
2P—mS (m=1,2,3,...) 
möglich. Speziell diese beispielsweise gegebene Kombination führt auf 
die Linien der sogenannten zweiten Nebenserie (II.N.S.), die bereits 
beim Atom des neutralen Heliums, also schon bei Anwesenheit zweier 
Elektronen auftritt. 
Es sei nun versucht, an der Hand der bisherigen Untersuchungen 
die Spektren von H (Z=1) und He* (Z=2) zu entwickeln. Wir 
benötigen dazu zunächst gemäß Gleichung (45) die Rydbergkonstanten 


e 


Term 





der nächsten Serie, der sogenannten ersten Nebenserie (I.N.S.), 


Ru und Rıe. Schreibt man in Gleichung (46) 1 + statt 14 %, 


# e \ Mm 
so ist gegeben, nämlich 


— 1,769 . 107, 


e 
m 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 569 


€ 
M 
valentladung, die für ein Element vom Atomgewicht g gleich ist 


e 1 
/ ”, = g 96 494 Coulomb. 


Für Wasserstoff (9 = 1,008) erhält man mit diesen Zahlen 
Ru = 1,096 54 - 10° em, 
also einen Wert, der mit dem von J. J. Balmer“') im Jahre 1885 aus 


den Wellenlängen der Wasserstofflinien empirisch abgeleiteten Wert 
1,096 7769 - 10° fast völlig übereinstimmt. Für Helium dagegen er- 


TR Dun Rus — 1,097 2214 - 109, 
Man hat nunmehr für Wasserstoff: 
1. Hauptserie: n=1, m =2,53,4,.... 
18 —- 2P: x = 12187 AR. 
18 —3P: 1025,8 „ 
18 —4P: 9720 „ 
Diese im äußersten Ultraviolett liegenden Linien sind von Th. Lyman "®) 


im Wasserstoffspektrum aufgefunden worden. Man nennt diese Serie 
daher auch Lymanserie. 


2. Erste Nebenserie: n=2, m—=53,4,5,.... 


und ist die spezifische Ionenladung oder elektrochemische Äqui- 


2P—-3D:12=65628ÄR...... H, 

2P—AD: as61L8: , Me. HA; 

2P—5D: 43105. H, 

2P—6D: AORTA H, 

3P In: 39T E a ann H, 
2P=2P—- oD: S648,B: Seriengrenze. 


Diese I.N.S. liegt gänzlich im sichtbaren oder doch photographisch 
leicht zugänglichen Spektralbereich. An ihr zeigt sich deutlich die 
übrigens aus den Serienformeln folgende Eigentümlichkeit, daß sich 
die Distanzen der einzelnen Linien voneinander immer mehr verringern, 
je mehr man sich der Seriengrenze nähert. J..J. Balmer'?) gelang es, 
an diesen Linien zum erstenmal zu einer Darstellung der Wellen- 


77) Ann. Phys. 25 (1885), p. 80. 

78) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 263; Astroph. Journ. 23 (1906), p. 181 und 
Washington Nat. Acad. Proc. 1 (1915), p. 369. 

79) Ann. Phys. 25 (1885), p. 80. 


570 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


längen durch die von ihm empirisch gefundene Formel 
k? 
ht en 


zu gelangen. Diese Balmersche Formel geht übrigens mit h = - und 


k = 2m sofort in die Form der obigen theoretisch gefundenen Serien- 
formeln über. Man nennt diese insbesondere astrophysikalisch wich- 
tige Linienserie des Wasserstoffs zumeist „Balmerserie“. 

3. Bergmannserie (bei H auch Paschenserie):; n=3, m—=4,5, 
6,... Die im Infrarot gelegenen Linien dieser Serie 


3D—4F: = 187513 Ä.E. 
3D—B5F: 12817,6 


wurden von F\. Paschen®®) gefunden. Auch für die von n=4 und 
n — 5 ausgehenden, ebenfalls tief im Infrarot liegenden Serien sollen 
nach A. H. Pfund®') Andeutungen vorhanden sein. 

Die H-Molekel sendet als Ganzes ein kompliziertes Spektrum. das 
sogenannte Viellinienspektrum aus, das sich über die Balmerserie 
lagert, wenn das Geißlerrohr nur schwachen Entladungen ausgesetzt 
oder von Gleichstrom durchflossen wird. Dieses Spektrum sowie wei- 
tere Spektren des Wasserstoffs®?) sind Bandenspektren. 

Von den Spektren des ionisierten He (He*) sind bekannt ge- 
worden: 

1. Die Bergmannserie: n—= 3. Die Linie 


3D—AF: x —= 4686 Ä.E. 


spielt in den Spektren heißer Sterne eine Rolle. Sie wurde von 
A. Fowler®) und von E. J. Evans®) im Laboratorium ebenfalls ge- 
funden, ebenso wie die weiteren Linien 


3D—5F: 1 =3203 AR. 
und 3D—-6F:41—= 2753 „ 


2. Die von na = 4 ausgehende Serie des He* ist spektralanalytisch 
besonders interessant. Man kann die Serienformel für diesen Fall leicht 
in folgender Weise umformen: Ä 

N Z 
Ba? RuZ Br 5) Pre & 


42 m? a 22 m? ’ 


” 


4 








80) Ann. Phys. (4) 27 (1908), p. 537. 

81) Journ. opt. Soc. Amerika 9 (1924), p. 196. 

82) Siehe bei H. Kayser, Handb. d. Spektroskopie V (1910), p. 492. 
83) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 73 (1912), p. 66. 

834) Nature 92 (1913). 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 57l 


wo m’ —=?2m und Z=2. Setzt man in der neuen Formel 
Rye Rue 


FE 





[4 
vz= 


m —= 3,4,5,..., so erhält man nur jedes zweite Glied dieser Serie, 
und da die Serienformel für diese Linien der Balmerformel völlig 
gleicht und Rue und Ay nicht viel voneinander verschieden sind, 
so müssen die Wellenlängen speziell dieser Glieder den Wellenlängen 
der Balmerlinie nahezu gleich sein. 


Die ganze Serie hat folgende Linien: 


4F— 5G: im Infrarot 
4F— 66: 65602AE.. . . H,= 65628 Ä.E. 
AF— 176: 54116 „ (H,) 
4F— 86: 48594 „ 


4815 , 
AF— 9: 4541,6 „ (Hp) 


AF— 100: 43387 „ ... H,—43405 „ 
4F— 11G: 41999 „ (H,) 
BED A001 „2.2. Alt , 


Es ist klar,-daß in den Sternspektren die Balmer-ähnlichen Linien 
dieser Serie durch die breiten Balmerlinien selbst verdeckt werden. 
Tatsächlich hat E. ©. Pickering®) zuerst im Spektrum des Sterns 
& Puppis nur die zwischen den Balmerlinien liegenden Linien entdeckt, 
die er wegen der Ähnlickheit der Anordnung mit den Balmerlinien 
und wegen ihrer Darstellbarkeit durch den der Balmerformel ähn- 
lichen Ausdruck R 
; m 
a = 3646,1  —g 
für Linien einer neuen, nur in den Sternen beobachtbaren Wasserstoff- 
serie hielt und daher mit den Symbolen H,, H,;, H,,... bezeichnete. 
Erst viel später, und nachdem die ganze Serie durch die Bohrschen 
Untersuchungen bereits als He*-Serie erkannt, worden war, gelang es 
H. H. Plaskett®®), in den Spektren einiger O-Sterne auch die Balmer- 
ähnlichen Glieder von den Balmerlinien zu separieren.®”) Experimen- 


85) Astroph. Journ. 5 (1897), p. 92. 
86) Publ. Dominion. obs. Victoria, Canada 1 (1922), Nr. 30, p. 336. 


87) Vgl. dazu die theoretischen Erörterungen von N. Bohr in Phil. Mag. (6) 
26 (1913), p. 1. 


572 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


tell ist diese Linienserie als Serie des Heliums von A. Fowler®®) und 
F. Paschen®?) nachgewiesen worden.) 

ce) Die Linienserien der anderen Elemente. Ist die Zahl der vor- 
handenen Elektronen nicht groß, so kann man bei der Vorstellung 
bleiben, daß die Elektronenbahnen in einer Ebene liegen, und es ge- 
nügt die Teilung der totalen Quantenzahl N in einen azimutalen An- 
teil » und einen radialen Anteil »’. Wächst aber die Zahl der Elek- 
tronen, so wird, um für sie Bahnmöglichkeiten zu schaffen, nötig, 
auch Bahnen gleicher Art, aber verschiedener Neigung gegeneinander 
zuzulassen. Legt man im Atom eine Richtung als bevorzugt fest, z. B. 
die Richtung des inneratomaren Feldes oder die Richtung des äußeren 
Kraftfeldes, so kann der Räumlichkeit der Bahn durch Berücksichti- 
gung von r (Radiusvektor), v (Länge in der Bahn) und #% (Breite) 
entsprochen werden. Man hat dann für die bei einem 
Umlauf 


= Beuın ar fi it 


und durch Vergleich mit (48) 


2 “2 
Safe cw dv + 
v 


Quantelt man also nun nicht nach riniiket allein, sondern nach % 
(Quantenzahl »,) und nach # (n,), so folgt wie früher 


nN—=NT N; 
die azimutale Quantenzahl » ist also in eine äquatoreale Quantenzahl 
n, und in eine Breitenquantenzahl n, zerfallen. Ist © die Neigung der 
Bahn gegen die Grundebene, so besteht zwischen W,, und den Kom- 
ponenten W,, und W, die Beziehung 


W,=W,„eosi, 
also gilt auch N, —= N Cosi 
. ” n 
oder este — I. 
n N, Ne 


Bei dieser Quantelung im Raum muß aber n,>0 sein, denn für 
n,— 0 hätte man i— 90°, und bei dieser Bahnlage würde die Bahn 
durch die Wirkung der äußeren Kraft nach und nach so deformiert, 
daß das Elektron endlich in den Atomkern stürzen müßte. 


88) London Roy. Soc. Proc. 90 (1914), p. 426. 

89) Ann. Phys. 50 (1916), p. 901. 

90) Linien des Li**, das einen ähnlichen Bau hat wie H und Het, sind 
im Laboratorium noch nicht beobachtet worden. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 573 


Soll es zur Entstehung einer Spektrallinie kommen, so muß 
immer ein äußeres Elektron aus einer stabilen Lage gebracht werden. 
Dieses sogenannte „Aufelektron“ unterliegt aber nicht der anziehen- 
den Wirkung des Kerns allein, sondern auch den abstoßenden Kräften 
der übrigen Z— 1 Elektronen. Ist die Distanz des Aufelektrons vom 
Kern groß geworden, so können alle Kraftwirkungen als im Kern ver- 


einigt gedacht werden, und der einfache Term ne wird eine genügend 


sichere Darstellung ergeben können. Bei großer Distanz des Elektrons 
vom Kern tritt also sogenannte „Wasserstoffähnlichkeit“ ein. Bei 
kleiner Distanz des Elektrons aber wird nötig, in den Termnenner 
Korrektionsglieder aufzunehmen, die für das betreffende Element und 
eine bestimmte Linienserie bestimmte typische Werte annehmen. 
Daraus wird die von W. Ritz°') für komplizierter gebaute Atome be- 


nützte Termform 2 


[m +m’+k+x(m, k, »)]* 





verständlich, in der m und m’ die azimutale bzw. radiale Quantenzahl 
bedeuten und k und x Korrektionsglieder vorstellen, die von der 
Größe von m -+ m’ abhängen und in der Regel bei wachsendem 
m + m’ kleiner werden. 

Je komplizierter das Atom gebaut ist, desto komplizierter und 
linienreicher wird sein Spektrum. In den Bogenspektren der Alkali- 
metalle treten z. B. Doppellinien auf (D, und D, bei Natrium), die 
serienmäßig aufeinanderfolgen. Dem ARitzschen Term kommen bei 
diesen Elementen also zwei etwas verschiedene Werte zu. In den 
Spektren der Erdalkalien dagegen, die die nächste Kolonne des perio- 
dischen Systems einnehmen, treten Dubletserien nur im Funken, aber 
Einfachserien und Tripletserien im Bogen auf. Das Spektrum der 
Erdalkalien wird also bei stärkerer Anregung im Funken (Eintreten 
der Ionisation) ähnlich dem Spektrum der im periodischen System 
um eine Kolonne vorher stehenden Elemente (Kossell-Sommerfelds Ver- 
schiebungsgesetz). Nach J. R. Rydberg”?) hängt das Auftreten von ge- 
rad- oder ungeradzahligen Liniengruppen — gleichzeitig können über- 
haupt entweder nur gerade oder nur ungerade „Multiplizitäten“ neben- 
einander vorkommen — davon ab, ob die Zahl der im neutralen oder 
ionisierten Atom vorhandenen Valenzelektronen ungerade ist oder ge- 
rade. A. Lande”) fand, daß bis zu acht Multiplizitäten des Ritzschen 


91) Ann. Phys. 12 (1903), p. 264. 
92) Ann. Phys. 60 (1919), p. 405 und 63 (1920), p. 201. 
93) Ztschr. f. Phys. 15 (1923), p. 189. 


574 VI 3, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne, 


Terms vorkommen können, der dann seirie acht verschiedenen Werte 
bei konstanter azimutaler Quantenzahl m durch Variation der m’, k 
und « annimmt. Ordnet man die einzelnen Terme nach ihrer Größe 
und drückt man die Termzahl durch einen Index links oben aus, so 
hätte man z. B. für eine Quadrupletserie mit dem Laufterm D 


ıD,<!D,<*D,<*D,. 


Jedem dieser Terme entspricht ein bestimmter regulärer Energiebetrag, 
so daß diese Reihe also eine Reihe abfallender Energieniveaus im 
Atom darstellt, denen verschiedene, sogenannte „innere Quantenzahlen“ 
n, zukommen. Da dem kleinsten Term das höchste Niveau entspricht, 
ordnen wir der obigen Termreihe also die Reihe der inneren Quanten- 


zahlen zu: n,=43,2,1. 


A. Lande”) hat in der folgenden Tafel den Zusammenhang dargestellt, 
der bei Einfach- bis zu Siebenfachtermen (r =1,2,...,7) zwischen 
den Serientermen, den azimutalen und den inneren Quantenzahlen 
besteht. 




















Serien- N; 
m 1 

tem W-1lr-2lr-3| r—4| vb 6 | 1-7 
8 ES IRAK ER | 2 2 3 3 
3, pP I Is ROLL EN 2, 3,4 2, 3,4 
s3/| D|e |23/1,2,311,2,3,4)0,1,3,84| 1,2,345 | 1,2,3,45 
a|ı F 3 |34 |2,3,42%,3,4,5 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,8,6 
5| @ | a |a5 |3,4,6|8,4,5,6| 2,3,4,5,6 |2,3,4,5,6,7|1,2,3,4,5,6,7 




















Bei der Kombination der Terme zu Serienformeln gilt übrigens für 
die inneren Quantenzahlen nach Beobachtungen im physikalischen 
Laboratorium das Auswahlprinzip, daß irgendeine Verbindung zweier 
Terme mit den inneren Quantenzahlen © und j, z. B. ?P,—°D,, nur 
.dann auf Linien führt, wenn 
je, 

Kombinationen, bei denen j<i, sind nicht beobachtet worden. 

Ebenso wie früher werden auch die multiplen Terme zu Haupt- 
und Nebenserien kombiniert, doch herrscht in der Art der Bezeich- 
nung der Multiplizität noch keine Einheitlichkeit. Zumeist verwendet 
man die großen lateinischen Buchstaben für Einfachserien, die kleinen 
lateinischen Zeichen für Tripletserien und griechische Buchstaben für 
Dubletterme. F. A. Saunders und H. N. Russell”) haben vorgeschlagen, 





94) Ztschr. f. Phys. 15 (1923), p. 189. 
95) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 64. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 575 


die Terme durchwegs mit großen lateinischen Buchstaben zu bezeichnen 
und die Multiplizität durch einen Index links oben vor dem Term- 
zeichen, die Termnummer (innere Quantenzahl) aber durch ein Suffix 
rechts unten auszudrücken. Hier soll im weiteren diese klare Bezeich- 
nungsweise beibehalten werden. 

Aus der obigen Tabelle ist zu ersehen, daß der stabile S-Term 
der Hauptserie immer einfach ist.) Die Wellenzahldifferenzen zwi- 
schen den bei Kombinationen desselben mit einem Mehrfachterm auf- 
tretenden Gruppengliedern nehmen daher von Gruppe zu Gruppe ab 
und nähern sich an der Seriengrenze der Null. In den Nebenserien 
dagegen sind die stabilen Terme von derselben Multiplizität wie die 
Laufterme. Die Wellenzahldifferenzen zwischen den Gruppengliedern 
bleiben dabei in der zweiten Nebenserie stets konstant, während sie 
in der ersten Nebenserie gegen einen bestimmten, von der Null ver- 
schiedenen Betrag konvergieren.?”) Überdies gilt das sogenannte „Ritz- 
sche Kombinationsprinzip“*?), welches besagt, daß man durch Addition 
und Subtraktion ganzer Serienformeln oder einzelner Terme derselben 
wieder neue Linien erhalten kann. W. Ritz””) konnte sogar multiple 
Serien bemerken, die sich als Kombinationsserien einer im Spektrum 
vorhandenen Linienserie mit einer solchen, die nicht nachweisbar war, 
erwiesen. Solche „anomale“ Liniengruppen sind erst kürzlich wieder 
von H. N. Russell und F. A. Saunders‘) in den Spektren von Ca, Sr 
und Ba gefunden worden. Nach neueren Erfahrungen im Laboratorium 
sind jedoch nur Termkombinationen gestattet, bei denen sich die azi- 
mutalen Quantenzahlen gerade um eine Einheit unterscheiden (Aus- 
wahlprinzip)!"') und außerdem können nur Terme von geraden Multi- 
plizitäten oder Terme ungerader Multiplizität unter sich kombiniert 
werden.!”) Von besonderem Interesse ist im letzteren Sinn das neu- 
trale He-Atom, das im Gegensatz zur früheren Behauptung, daß nur 
geradzahlige oder ungerade Vielfachserien gleichzeitig vorhanden sein 
können, ein aus Einzellinien bestehendes Spektrum gleichzeitig neben 
Dubletserien auftreten läßt. Dabei sind die Einfach- und Zweifach- 
terme im Atom verschiedenen Energieniveaus zuzuteilen, zwischen 


96) Siehe A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, 4. Aufl. 1924, p. 485. 

97) Siehe A. Sommerfeld, a. a. O. p. 579. 

98) W. Ritz, Ges. Werke, herausg. v. d. Schweiz. phys. Ges., Paris 1911, 
Gauthier-Villars, p. 162. 

99) Ann. Phys. 52 (1894), p. 119. 

100) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 42. 

101) Siehe A. Sommerfeld, a. a. OÖ. p. 410. 

102) Siehe O. D. Chwolson, Die Physik 1914—1926, Eiaunsöhweig 1927, 
Vieweg & Sohn, p. 156. 


576 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


denen „Metastabilität“ herrscht, d. h. zwischen denen keine Elektronen- 
übergänge stattfinden, so daß ein Atom, das ein Spektrum aus Ein- 
fachlinien ergibt — man nennt diesen Zustand „Parhelium“ —, nie- 
mals in den anderen Zustand des „Orthoheliums“ übergehen kann, das 
Liniendublets aussendet. Sprünge zwischen metastabilen Zuständen 
sind immer „verboten“, da die Kombination solcher Terme immer 
Linien ergibt, die noch niemals — wenigstens nicht im physikalischen 
Laboratorium — haben beobachtet werden können. In letzter Zeit ist 
allerdings wahrscheinlich geworden, daß solche „verbotene“ Sprünge 
unter den besonderen im Weltraum waltenden Verhältnissen doch vor- 
kommen (siehe Nr. 32, Die Spektren der Nebelflecken). 

d) Das kontinwierliche Spektrum an der Seriengrenze. Von R. W. 
Wood!) wurde zuerst bei Natrium bemerkt, daß an der Grenze der 
Hauptserie 1$— mP ein kontinuierliches Spektrum beginnt, das 
später von J. Holtzmark'!) neuerlich beobachtet und auch bei Kalium 
festgestellt worden ist. Eine ähnliche kontinuierliche Absorption, die 
an der Grenze der Balmerserie des Wasserstoffs ansetzt, wurde in den 
Spektren der Sterne vom Typus A gefunden und von J. Hartmann'®) 
näher beschrieben. Nach N. Bohr!) stellt man sich’vor, daß dieses 
kontinuierliche Spektrum dadurch zustande kommt, daß entweder der 
Anfangs- oder der Endzustand der Elektronensprünge nicht gequantelt 
ist. Wenn das Elektron aus dem Atomverband ins Unendliche abfliegt 
oder von dorther wieder in den Atomverband zurückkehrt, so ist es 
zur Aufnahme bzw. Abgabe beliebiger, also nicht gequantelter Energie- 
beträge befähigt. Betrachten wir nun den Fall der Emission, so ge- 
langt es also mit einer beliebigen kinetischen Anfangsenergie 


N 


in den Atomverband und springt dabei in die gequantelte Grundbahn 
von der Endenergie m. 


der Seriengrenze @. Man hat nun die Beziehung 
W,„— W,= Ein +h@G =hv 
Erin 


oder v=-G-+ en, 





in der nun Ex alle möglichen Werte annehmen kann, so daß auch 


103) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 211. 

104) Phys. Ztschr. 20 (1919), p. 88. 

105) Phys. Ztschr. 18 (1917), p. 429. 

106) Abhandlungen über Atombau aus den Jahren 1913—1916, deutsch von 
H. Stintzing, Braunschweig 1921, Vieweg & Sohn, 1. Abh. p. 17. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 577 


v beliebiger Werte De 
fähig ist. Demnach muß die Emission eines Gases an der Serien- 
grenze @ kontinuierlich werden. 


e) Die Bandenspektren. Nicht in ihre Atome dissoziierte Gase 
oder chemische Verbindungen ergeben als Spektrum ihrer Molekeln 
ein Bandenspektrum. Der Name „Bandenspektrum“ ist auf den bei 
geringer Dispersion hervorgerufenen Eindruck zurückzuführen, als 
wären scheinbar kontinuierliche, breite, entweder nach Violett oder 
nach Rot abschattierte Bänder vorhanden. Bei stärkerer Dispersion 
zeigt sich jedoch, daß solche Banden immer aus zahlreichen Linien 
bestehen, die sich von der abschattierten Seite her gegen die Stelle 
größter Intensität der Bande hin serienmäßig anhäufen und dadurch 
den sogenannten „Bandenkopf“ oder die „Bandenkante“ bilden. Dem- 
selben Bandenkopf können eine oder mehrere solcher Linienfolgen 
(Serien oder Zweige) zugeordnet sein, die sich überlagern und eine 
„Zeilbande“ bilden. Treten solche Teilbanden so nahe zusammen, daß 
sie sich gegenseitig überdecken, so entsteht eine „Bandengruppe“, deren 
Teilbandenköpfe wieder serienmäßige Lagerung erkennen lassen. Alle 
im Spektrum auftretenden Bandengruppen bilden dann das ganze 
„Bandensystem“.!”) 

Die im scheinbaren Chaos der Bandenlinien vorhandenen Gesetz- 
mäßigkeiten aufzudecken, ist zuerst .H. Deslandres!”) gelungen, der im 
Jahre 1891 über seine diesbezüglichen in den Jahren 1885—1890 
vorgenommenen Untersuchungen berichtet hat. 

Nach dem ersten der sogenannten Deslandresschen Gesetze lassen 
sich die einzelnen Serien einer Teilbande dadurch aufeinander redu- 
zieren, daß man die Schwingungszahlen einer Serie um konstante Größen 
verändert. 

Das zweite Deslandressche Gesetz besagt, daß die Linien einer 
Serie durch die Formel 


(60) v=A-+ Um? (m =1,2,3,...) 


dargestellt werden können und daß die Wellenzahldifferenzen der auf- 
einanderfolgenden Linien eine arithmetische Reihe bilden. Letzteres 
folgt übrigens unmittelbar aus (60), da man für zwei benachbarte ° 
Linien von den Schwingungszahlen erhält 


»„—v=(2m+1)C. 


107) Man vgl. hierzu den Art. von A. Kratzer, Die Gesetzmäßigkeiten in 
den Bandenspektren, diese Encykl. V 3, Nr. 27. 
108) Journ. de phys. (2) 10 (1891), p. 276. 


578 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


K. Schwarzschild'””) ist es gelungen, die Deslandressche Formel 
(60) theoretisch abzuleiten, indem er von der Vorstellung von N. Bjer- 
rum“) ausging, nach der die Bandenlinien durch Rotationszustände 
der ganzen Molekel zustande kommen. Zwischen dem Trägheitsmoment 
J= ma? der als starrer Körper gedachten Molekel und ihrem Im- 
pulsmoment M = a: mv —= ma?o besteht der Zusammenhang 














(61) M=Jo (o = Winkelgeschwindigkeit). 
Also wird die kinetische Energie w 
__ mv’ ma’oa? Jo? (Jw)? 
u aa u 0: Su Fe 
Setzt man analog den früheren Quantenbedingungen 
27x M =mh, 
h 
also Jo = In 
h? 2 
so hat man w— a 
und aus Gleichung (34) w, — w,= hv folgt damit 
u hm’? hm? 
(62) ver Bu 


Läßt man für m’ nur die Werte m’—=m-+1 zu, so daß also nur 
Übergänge in angrenzende Rotationszustände zulässig erscheinen, so 


erhält man at ir 2hm Ar h 
TRENNT De 8n’J" 


oder eine Serienformel von der Gestalt 





(63) v=4A-+ 2Bm+ Cm?, 
auf die auch H. Deslandres'!!) im Jahre 1919 seine frühere Formel 
m (60) erweiterte. In diesem „Rotationsglied“ be- 


A 


deuten A, B und © Konstante, die durch An- 
fangs- und Endzustand bestimmt sind, und m 
ist die Laufzahl. Die durch Gleichung (63) 
gegebene Parabel stellt R. Fortrat''?) in der 
Weise dar, wie die nebenstehende Fig. 2 zeigt. 
„Der Scheitel der Parabel ist in dem aus den 
v als Abszissen und den m als Ördinaten 











gebildeten Koordinatensystem durch a = 0 


Fig. 2. 


109) Berlin Sitzber. 1916, April. 
110) Nernst-Festschr. 1912, p. 90. 
111) Paris C. R. 168 (1919), p. 1179. 
112) Thöses, Paris’1914, p. 109. b 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 579 


gegeben, er liegt also bei 
+2B+2mC=0 

oder bei der Ordinate m—=-+ 2: 

e = const ist also Parabelachse. Die Abszissenachse m — 0 teilt die 
Parabel in zwei unsymmetrische Zweige. Der unter der Abszissenachse 
gelegene Ast führt auf die unbedingt größeren v, entspricht also 
dem positiven Vorzeichen des B-Gliedes in Gleichung (63) oder dem 
m’—= m + 1, wir nennen ihn daher den positiven Zweig. Bei der gra- 
phischen Darstellung pflegt man ihn in der Regel um die Abszissen- 
achse in sein Spiegelbild umzuklappen. Der über der Abszissenachse 
gelegene Parabelteil kommt dann folgerichtig den Werten m’ —=m—1 
zu, entspricht also dem negativen Zeichen im .B-Glied und heißt nega- 
tiver Zweig.'?) Projiziert man die Schnittpunkte der den aufeinander- 
folgenden m = 1, 2,3,... entsprechenden Abszissen mit der Parabel 
als Spektrallinien auf die v-Skala, so ergibt sich gegen den Parabel- 
scheitel zu eine Anhäufung von Linien, die Bandenkante Da der 


Parabelscheitel auf dem negativen Zweig, also bi m = + = liegt, 


tritt der Bandenkopf in der Nähe von 
B? B? 


v—-A—2Bm+0m—-4—-2% +4 —-4—% 


auf. Er ist lediglich eine durch die Form der v-Funktion gegebene 
Anhäufung. Differenziert man (63) zweimal nach v und m, so folgt: 


d’v $ 

Im = 20. 
Bei positivem C ist also die Parabel nach der Seite der wachsenden v 
geöffnet, die Bande daher nach Violett abschattiert. Umgekehrt folgt 
bei negativem Ü Abschattierung der Bande gegen Rot. Erwähnt sei 
noch, daß der Schnitt der Abszisse m = 0 mit der Parabel auf keine 
Linie führt. Jede Bande zeigt an dieser Nullstelle eine Lücke in der 
Linienfolge. 


Für den Fall m’ = m würde aus (62) folgen 
v—= (Cm. 
Auch dieser sogenannte Nullzweig (Q-Reihe bei Heurlinger''%)) ist 
113) T. Heurlinger, Untersuchungen über die Struktur der Bandenspektren, 
Diss. Lund 1919, spricht statt von einem positiven oder negativen Zweig von 


einer R- bzw. P-Reihe. 
114) a. a. O. 


580 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


durch Linien vertreten. Man nimmt an, daß er nicht eigentlich durch 
Rotationen, sondern durch Kreiselbewegungen der Molekel entsteht.!") 

Nach dem dritten Deslandresschen Gesetz bilden die Schwingungs- 
zahlen der aufeinanderfolgenden Kanten einer Bandengruppe wieder 
eine Folge, die durch die Relation 


v=D-+ En? 


dargestellt werden kann. Dieses dritte Gesetz wird verständlich, wenn 
man neben der Rotation der Molekel noch eine Schwingung der Atom- 
kerne gegeneinander, also eine sogenannte Oszillation zuläßt. Zu dem 
durch (63) gegebenen reinen Rotationsspektrum tritt dann noch das 
Oszillations- oder Schwingungsspektrum hinzu. Quantelt man die Oszil- 
lationen nach hv,, so besteht für den Energiesprung beim Übergang 
von einem Quantenzustand n’ zu einem anderen n die Relation 


(64) w—- w=h(n—n)v,, 
und der Beitrag zur Wellenzahl v» durch die Öszillation beträgt 
(m Dre n) dE 


so daß für das aus Rotation und Oszillation zusammen entstehende 
Spektrum nunmehr die Beziehung 


(65) v=("— nn), +A+2Dbm-+ Om 


besteht. Rotation und Oszillation sind aber voneinander nicht unab- 
hängig, da sich ja bei der Oszillation das Trägheitsmoment der Mo- 
lekel ändert. Man kann dieser gegenseitigen Abhängigkeit dadurch 
gerecht werden, daß man statt Gleichung (63) einen Ansatz von der 
Form 

w—-wehnvL — an +8"? —..)—hnv,( l—ın-:;) 
aufstellt, in dem die x und x’ kleine von den jeweiligen Beziehungen 
zwischen Rotation und Schwingung abhängige Konstante vorstellen. 
Bleibt man bei den ersten Potenzen der Entwicklung stehen, so geht 
(65) in die Form 
(66) v=A-+ 2Bm + Cm?—Dn — En’+Fn + Gm? 

über, die das ganze Rotations-Schwingungsspektrum umfaßt und mit 
einer Formel identisch ist, die ebenfalls von H. Deslandres''®) gegeben 
worden ist. Den Term A, der in dieser Formel die Lage der Bande 
im Spektrum in gleicher Weise bestimmt wie die durch die Elek- 
tronenkonfiguration gegebene Seriengrenze bei den Linienspektren, 


115) Siehe A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, 3. Aufl. 1922, p. 545. 
116) Paris C. R. 168 (1919), p. 1179. 


6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. 581 


nennt man Elektronenterm, die von m bzw. von n abhängigen Glieder 
bilden den Rotations- bzw. Oszillationsterm. Hält man den Quanten- 
sprung n —n fest, während man gleichzeitig »’ und » entsprechend 
variiert, so erhält man eine Folge von Oszillationsbanden, also eine 
Bandengruppe, und die Schwingungszahlen der Linien ergeben sich 
für jede Bande aus der Variation von m. Als Beispiel seien einige 
Bandengruppen des Cyans angeführt, die nach der untenstehenden 
Tafel in folgender Weise zu analysieren sind. 


Darstellung der Kanten der Bandengruppen des Cyans 
in Wellenlängen. 





j Wellenlängen der Teilbandenkanten in A.E. 
Bandengruppe|| n’—n 





nt ın=1n=-2n=-3|n—4|n=-5|n=6|n—7 

















3883 0 3883 | 3871 | 3862 | 3855 | 3851 

4216 —1 | 4216 | 4197 | 4181 | 4168 | 4158 

4606 —2 | 4606 | 4578 | 4553 | 4532 | 4515 | 4502 
l i 


Für diese Bandengruppen des Cyans hat H. Kayser") folgende Be- 
zeichnungsweise eingeführt: 


ae 7273—4691 A.E.... bestehend aus zahlreichen schmalen linien- 
artigen Banden, deren Zugehörigkeit zum 
Cyanspektrum von A. Fowler und R.J. 
Strutt‘"®) und von A. Fowler und H. Shaw'!?) 
nachgewiesen worden ist. 

Cy II: 4606-4502 Ä.E... 6 Kanten. 

Cylll: 4216-4158 „..5 ,„ 

CyIV: 38833851 „ ..5 ,„ 

Cy V: 3590—354 „..3 ,„ 

Cy VI: 3360 Be 


Neben dem Cyanspektrum sind astrophysikalisch noch folgende Banden- 
spektren wichtig geworden: 

Das Swanspektrum. Dieses Spektrum, das aus mehreren nach 
Violett abschattierten Bandengruppen und Teilbanden besteht und 
beim Durchgang des Funkens durch ölbildende Kohlenwasserstoffe auf- 
tritt, wurde zuerst von W. Swan?) beobachtet und dem Kohlenwasser- 


2) 


117) Handb. d. Spektroskopie V (1910), p. 224. 
118) London Roy. Soc. Proc. A 86 (1912), p. 105. 
119) London Roy. Soc. Proc. A 86 (1912), p. 118. 
120) Trans. Roy. Soc. Edinburgh 21, III (1857), p. 411; Pogg. Ann. 100 (1857), 
p. 306. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2,2, 38 


582 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


stoff zugeschrieben. Nach neueren Untersuchungen von A. Fowler") 
gehört dieses Spektrum, das auch vom blauen Teil der Flamme des 
Bunsenbrenners gegeben wird, aber dem Kohlenmonoxyd (CO) an. 
‘Es erscheint bei hohem Druck an der positiven Elektrode und wird 
von Deslandres daher auch 1. positive Gruppe des Kohlenstoffs genannt. 
Die Bezeichnung und Lage der Bandkanten ist nach H. Kayser'??): 


Swanspektrum: © I: 6191—598 A.E...5 Kanten 


CH: 55-40 5, 
ÖIH: Bi66- SO N 4 , 
CIV: A370 5, 
C V: 4881-4364 3 


„ 


Ein anderes Spektrum des Kohlenmonoxyds, das nach A. Fowler'??) 
in einem Gemisch aus CO und H bei besonders niedrigem Druck 
unter 0,01 mm auftritt, ist 

die 3. negative Gruppe des Kohlenstoffs, deren hier benutzte Be- 
nennung von F. Baldet'**) vorgeschlagen worden ist. Seine von Fowler 
(l. e.) gefundene Zugehörigkeit zum Kohlenmonoxyd wurde später 
neuerlich von 7. R. Merton und R. G. Johnson”), dann von H. B. Le- 
mon“) an einem Gemisch von CO und He und schließlich von 
F. Baldet'?") unter Benutzung der Erregung durch Elektronenstoß be- 
stätigt. Der letztere fand, daß das Spektrum bei einem Druck von 
10-? bis 10? mm besonders gut entwickelt sei. Dieses Spektrum des 
CO, das übrigens vielleicht dem CO*+ zuzuschreiben ist, besteht aus 
etwa 37 im Bereich von 6412—3081 Ä.R. liegenden, in Paaren an- 
geordneten Bandengruppen, die von je vier nach Rot abschattierten 
Teilbanden gebildet werden.!??) Das Spektrum der 

Kohlenwasserstoffe (C + H) ist von J. M. Eder'??”) besonders ge- 
nau untersucht worden, der für die Banden folgende Bezeichnung vor- 
‘schlägt: 


121) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 70 (1909), p. 176. 

122) Handb. d. Spektroskopie V (1910), p. 224. 

123) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 70 (1909), p. 176. 

124) Journ. de Phys. et le Radium (6) 6 (1925), p. 70. 

125) London Roy. Soc. Proc. A 103 (1923), p. 386. 

126) Washington Nat. Acad. Proc. 11 (1925), p. 41. 

127) Paris-Meudon obs. Ann. 7 (1926), p. 73. 

128) Wegen genauerer Details siehe F. Baldet, a. a.0. p.82. Nach H. B. Le- 
mon, &. a. O., soll diese dritte negative Gruppe mit einer anderen von H. Des- 
landres gefundenen ersten negativen Gruppe des CO in Zusammenhang stehen. 

129) Wien Denkschr. 57 (1890), p. 549. 


7. Die Ionisation. 583 


&: 4395-4324 A.E.... nach beiden Seiten abschattierte Gruppe, 

&: 4314-4160 „ ...nach Violett abschattiert, 

n: 40373871 „ ) 

9: 368736238 „ JS 
R. Fortrat'®) hat noch eine weitere, ebenfalls nach Rot abschattierte 
Gruppe bei 3207—3095 A.E. beobachten können. Schließlich ist noch 
zu erwähnen die sogenannte 

negative Gruppe des Stickstoffs, die an der Kathode auftritt und 
deren nach Violett abschattierte Doppelbanden nach B. Hasselberg'?') 
und H. Deslandres'?”) zwischen den Wellenlängen 
ß: 4709-4515 A.E. 
y: 4278—4166 „ 
d: 3914—3857 „ 
s: 3582— 3548 „, 
6: 3298—3296 „ liegen. 
7. Die Ionisation. a) Die elektrische Erregung. Erregungspotential 
und lIonisationspotential. Legt man an das Gas eine elektrische Span- 
nung E'), so nimmt ein Aufelektron die Energie eE auf, und durch 


den dabei aus der Grundbahn erfolgenden Elektronensprung entsteht 
nach der Planckschen Energiegleichung 


.nach Rot abschattiert. 


(67) eE=hv 
eine Spektrallinie von der Schwingungszahl » — -- pro Sekunde. Da- 
her besteht die Beziehung he 

s E yi ER ng ’ 


in der A in cm anzusetzen ist. Geht man bei A auf uw über (1 uw 

= 10°’cm) und mißt man E in Volt V (V=10% E elektromagne- 

tische 0.G.S.-Einheiten), so erhält man 
An 


e 


und mit den numerischen Werten h —= 6,547 . 107°", e = 1,592 - 10-% 
sowie c=3- 10!°cm 


(68) Au: V — 1234. 
130) Paris C. R. 178 (1924), p. 1272. 
131) Mem. acad. St. Petersbourg 7 (1885), p. 33. 
132) Ann. chem. et phys. (6) 15 (1888), p. 5. 
133) Über die physikalischen Arbeitsmethoden dazu siehe 0. D. Chwolson, 
Die Physik 1914—1926, Kap. 6, $ 6 und Kap. 9. 
38* 


584 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Mit Gleichung (68) ist ein einfacher Zusammenhang gefunden, der aus 
der Wellenlänge einer von der Grundbahn des Aufelektrons ausgehen- 
den Linie die zur Erregung nötige Potentialdifferenz V oder das so- 
genannte Erregungspotential E.P. berechnen läßt. Für die gelbe Natrium- 
linie bei 5890 Ä.E. würde z. B. damit ein E.P. von V—=21 Volt 
folgen. Springt das Aufelektron aus seiner Grundbahn in die nächst 
höhere Bahn, so entsteht dabei, wie bereits früher (p. 558) erwähnt, 
die sogenannte Resonanzlinie 1$—2P als erste Linie der Haupt- 
serie. Das für das Auftreten dieser Linie erforderliche E.P. nennt man 
daher auch Resonanzpotential R.P. Der Seriengrenze entspricht die 
letzte im Atomverband noch mögliche Elektronenbahn. Jede noch so 
geringe Steigerung der Energiezufuhr bewirkt, daß das Elektron aus 
dem Atomverband geschleudert wird. Führt man also das A,, der 
Seriengrenze in Formel (68) ein, so erhält man diejenige Voltspannung, 
die nötig ist, das Atom zu ionisieren. Dieses sogenannte Jonisations- 
potential I.P. wäre also mit der bei A,, = 241,2 liegenden Seriengrenze 
für Natrium 5,11 Volt. 


Als weiteres Beispiel dafür, wie Gleichung (68) verwendet wer- 
den soll, diene hier der Wasserstoff. An der Grenze der Lymanserie 


v’— Ru (5 = 5) (m—2,3,4,...) folgt für m — © und mit’ =," 





’ 


1 
A| m uw 


da Ru = 109 677,7, 

IP. = 1234 : 109677,7 - 10-7 — 13,53 Volt. 
Ebenso hätte man für die erste Lymanlinie mit m = 2 

v=*:R oder EP.=*LP. = 10,15 Volt, 
und mit m=3 für die zweite Lymanlinie 

v=#R oder EP.—=3LP. = 12,03 Volt 


usw. Bei Ermittlung der E.P. der Linien der Balmerserie ist zu be- 
denken, daß die obige Gleichung (68) nur für Elektronensprünge aus 
der einquantigen Grundbahn gilt und daher nur auf die Linien der 
Hauptserie 1S — mP angewendet werden darf, während die Balmer- 
linien aber bereits von der zweiquantigen Bahn ihren Ausgang nehmen. 
Da die erste Balmerlinie H, (2 P—3D) durch Elektronensprünge 
zwischen der zwei- und dreiquantigen Bahn zustande kommt, war das 
Elektron also zunächst aus der Grundbahn in die zweiquantige und 
dann noch weiter in die dreiquantige zu heben und somit die gleiche 
Energie zuzuführen, die zur Erregung der zweiten Zymanlinie nötig 
war. Das E.P. von H, ist also gleich dem Erregungspotential der 
zweiten Lymanlinie. Durch ähnliche Überlegungen folgt, daß das E.P. 


7. Die Ionisation. 585 


von H; gleich ist dem E.P. der dritten Zymanlinie usf.'”*) Erwägt 
man noch, daß nicht das Atom, sondern die Molekel der ursprüng- 
lich gegebene Anfangszustand ist, so wären eigentlich alle eben be- 
rechneten Zahlen noch um die sogenannte Dissoziationsspannung zu 
vergrößern, durch die die Dissoziation der Molekel in die Atome be- 
wirkt wird. 


b) Die thermische Ionisation. Tritt eine chemische Verbindung 
aus den beiden Elementen M, und M,, die in der Molkonzentration 
pro Liter Lösung ce, und c, vorhanden sind, mit einer anderen Ver- 
bindung aus M,’ und M;’ mit den Konzentrationen c, und c, derart 
in Reaktion, daß immer der Reihe nach m,, m,, m/, m, Mole mit- 
einander zur Reagenz kommen, so tritt Reaktionsgleichgewicht ein, 


wenn die Gleichung 
‚my, eg Me 


wu ar 
(69) ee 
erfüllt ist, in der K eine für die betreffende Reaktion typische Kon- 
stante bedeutet. Faßt man die lonisation eines Gases (z. B. des 
Ca-Dampfes) als einen ebensolchen umkehrbaren Reaktionsvorgang auf, 
für den die chemische Reaktionsgleichung 


CazCar+e 
angesetzt werden darf, so treten an Stelle der Molkonzentrationen die 
Partialdrucke p, p* und p, der vorhandenen Anteile an Ca, Cat und e, 
und Gleichung (69) geht über in die Form 


BB 
(70) K= 5 


Nennen wir x den Bruchteil der in der ganzen Atommenge bereits 
ionisierten Atome oder den lonisationsgrad, so ist 1—x die Zahl 
der neutralen Atome und 1 -+ x die Zahl aller Atome plus den vor- 
handenen freien Elektronen. Ist noch P der herrschende Gasdruck, 
so hat man 


r+—=p,— ac und p= rap 
also statt (70) 
(71) K=—_P. 


1—x 


Daß in den Fixsternatmosphären aber Gasgemische vorliegen aus ver- 
schiedenen Elementen von den Teilkonzentrationen a,, a,, Q,,.... und 


134) Es sei hier darauf aufmerksam gemacht, daß die von H. N. Russell im 
Astroph. Journ. 61 (1925), p. 231 gegebenen E.P. nicht eigentlich E.P. der ersten 
Linien der angeführten Serien sind, sondern die Energien darstellen, die nötig 
sind, das Elektron in die Ausgangsbahn der betreffenden Serie zu heben. 


586 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


den Ionisationsgraden &,, &,, 43, ..., läßt sich nach H. N. Russell!) 
noch in folgender Weise berücksichtigen. Da die Summe aller i Be- 
standteile des Gemisches (Atome + Elektronen) gegeben ist durch 


Sal +2), 


hat man für p; und p, für ein Element 
+ U% _ dl) 


"Tata NT Zaata’ 


während, da ja im ganzen $a,s, freie Elektronen vorhanden sind, 
für den partialen Elöktronendruck »2,= P, folgt 


Da; 
Pe, 
: Du(+2) 
Zum 


— einführt, 


Sa, 





oder, wenn man einen mittleren lonisationsgrad x, — 





AR Te 
Statt (71) ergibt sich nun 
(72) K-.—- nd, 
Für K hat W. Nernst'?®) die Gleichung gegeben 
D, nt 
(73) gE- untere "log T+DmC, 


in der U, die bei einer absoluten en von 0° zur Auslösung 
der Reaktion nötige Reaktionswärme pro Mol in Grammkalorien, C, 
die spezifische Wärme bei konstantem Druck und R die Gaskonstante 
pro Mol (0,83129 - 10° erggrad-') bedeuten und unter C die soge- 
nannte chemische Konstante zu verstehen ist, die nach O. Sackur"?”), 
H. Tetrode'??) und O. Stern‘?”) mit dem Molekulargewicht M durch 
die sogenannte Sackur-Tetrodesche Gleichung 


(74) C= — 1,602 + 3 log M 


135) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 120. 

136) W. Nernst, Der neue Wärmesatz, Halle 1918, Kap. 11. Eine zusammen- 
hängende Darstellung des Nernstschen Wärmesatzes ist auch von V. Eucken in 
„Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften“ 1 (1922), Berlin, J. Springer, ge- 
geben worden. 

137) Ann. Phys. (4) 40 (1913), p. 47. 

138) Ann. Phys. (4) 38 (1912), p. 434. 

139) Verhandl. d. deutsch. phys. Ges. 20 (1918), p. 206. 


7. Die Ionisation. 587 


verbunden ist. Wendet man Gleichung (73) auf die Gleichungen (71) 
bzw. (72) an, so ist U, in folgender Weise zu bestimmen. Gleichung 
(67) läßt sich schreiben 

eV.1 —=hv—hrv'c 


eV ‚ 
300 — hv Erg. 


Da in einem Mol eines Gases N = 6,06 - 10% (Avogadrosche Zahl) 
Atome vorhanden sind und außerdem eine Grammkalorie durch 
4,1863 - 10° Erg ersetzt werden kann, so ist das zur Durchführung 
der Ionisation nötige U, 


(75) U ng Cal = 2,302 - 10° V gCal, 


oder 





wenn für Y das LP. eingesetzt wird. Man hat danach z. B. für fol- 
gende Elemente aus den I.P. die beigefügten U,-Werte 


Na: EP. —= 5,112 Volt DEI ID Cal 


Ba BI 2.178.109, 

Sr 5,7 “ 1,313-10° „ 

Ca RD AB 1,409.10° „ 

Mg 4,09:.120 4 1,761.10° „ 
Mit Rücksicht darauf, daß zur lonisation die Wärme U nötig ist, 
kann die Relation Cr te>lat+tU 


aufgestellt werden, aus der bei Übergang auf die spezifischen Wärmen 
bei konstantem Druck sofort folgt 


Dm C, Fer ART + (C,), BaReı (O,)on SFr (©); 


da die Molzahlen m beim lonisationsvorgang der Einheit gleichzusetzen 
sind und da ja außerdem wegen der nahe gleichen Elektronenkonfigu- 
ration noch (C,)cat = (C,)ca angenommen werden kann. Faßt man das 
„Elektronengas“ als einatomiges Gas auf, so ist also D'm C, aus 
(16) Imt,—(0,),—$R 
berechenbar. 

Setzt man die Masse des Elektrons mit ‚.,, der Masse des H-Atoms 
als Molekulargewicht in Gleichung (73) ein, so hat man schließlich noch 


(77) | S0t=(Q,=-— 6,5. 


Mit den durch (75) bis (77) gegebenen Zahlenwerten folgt aber aus 
(73) die von Meg Nad Saha'*) zuerst auf den Ionisationsvorgang an- 


140) Phil. Mag. (6) 40 (1920), p. 114; London Roy. Soc. Proc. 99 A (1921), 
p. 136. 


588 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


gewendete Gleichung 


Pen 


= | 
-gıuttg Ser — 6,5 (lg; P.), 


die mit der Beziehung 1 Volt = 23020 Cal auch noch auf die von 
H. N. Russell'*') Sn, Form 


(9) . log; P,— — 5036-5: + 25 leg T — 65 











ze 


gebracht werden kann. 
Schreibt man die Gleichung (79) für zwei Elemente E, und FE, 
an und subtrahiert, so erhält man 





(80) ed | Se 


was besagt, daß das Verhältnis der Quotienten 5 zweier Elemente 


nur von der Temperatur und den Ionisationspotentialen, nicht aber vom 
Partialdruck oder der relativen Häufigkeit der beiden Elemente ab- 
hängig ist. 

Die Sahasche Gleichung (78) ist von R. H. Fowler“) und E. A. 
Milne“?) in teilweise gemeinsamen Arbeiten durch statistische Be- 
trachtungen neuerlich abgeleitet und verbessert worden.'*#) Führt man 
in die früher in Nr. 4 c) auf p. 549 gegebene Formel 


ee A 1 dar 

Ng Ga (1 7 Q, Ulmıe, n) 

den ebendort abgeleiteten Wert 0, = „en = ( und dann für u(v,T)) 
Ası 12 


die Plancksche Formel durch Gleichung (28) (p. 550) ein, so erhält man 





kvın 


BO. ge LE a en 
N, Aıs F(%) Ay 
T 


oder, da ja die mit den Erregungspotentialen %, und x, zu identifi- 
zierenden Anfangs- und Endenergien durch die Plancksche Energie- 
gleichung 4, — x, = hv,, verbunden sind, 

k EHE Ar 
(81) u Se RR, m 


e 
Ng A, Ass 





141) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 120. 

142) R. H. Fowler, Phil. Mag. 45 (1923), p. 1. 

143) R. H. Fowler und E. A. Mine, London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83: 
(1923), p. 403 und 84 (1924), p. 99. 

144) Vgl. hierzu auch den Artikel von R. Emden, Thermodynamik der 
Himmelskörper, diese Encykl. VIa, 24, p. 521. 


7. Die Ionisation. 589% 


Hier bedeutet R — = die BDoltzmannsche Konstante, in der % durch 
Vergleichen der e-Potenz = der obigen Formel mit der e-Potenz N 
der Planckschen Strahlungsformel (30) errechnet werden kann. Man 
._ sofort k=4,77.10-!! und mit dem 
bekannten h-Wert dann auch R = 1,371 - 10718 erg grad !. 

Nennt man nun q,, @, 95, - - . die relativen Häufigkeiten der bei un- 
endlich hoher Temperatur in den Zuständen 1,2,3,... befindlichen 
Atome oder auch die Gewichte dieser Zustände, so folgt mit T= 

aus (81) z 


L = Ber se 


a 





8 
hat sonach wegen v — 


: $ rs g5 
und wenn g, den unerregten Zustand bedeutet, so wird die Summe 
aller Zustände im Verhältnis zum Zustand g,, der die Linien der 


st" Nebenserie ergibt, 





b(T) 
at 
wo der gleich b(7)) gesetzte Klammerausdruck nach Planck die Zu- 
standssumme genannt wird. Für den Bruchteil an neutralen Atomen 
im Zustand r (rt Nebenserie) ergibt sich nun 





X177 28 MAT A ) 


n.+n.+n ... ER 
ie (mt ge re 2 pe 


s 








N; DET ER 
I: RT 
N; __. Ye 

er) ee DIR) :.;? 





N, 


wo statt 





a in die Sahasche Gleichung zu substituieren ist. Diese 
Sahasche an, hat R. HA. a‘ auf die Form 


(8) lognt - — P,=—zr7r+7z ° Jognat T 





iR 
+ lognat re — lognath(7) 


gebracht, in der o die Zahl der ala und m die Masse 
des Elektrons bedeuten. Faßt man den Teil 


_ @am)!oR? 0,832 | 
er men 





zusammen, so ergibt sich aus (85) für den Ionisationsgrad 1 — x leicht: 


b(T 
(84) ler as 1? 


nat. 


145) Phil. Mag. 45 (1923), p.1. Wegen der Umständlichkeit der Entwick- 
lung muß hier auf die Originalarbeiten verwiesen werden. 





590 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


und für n.=f(r): (1 — x) folgt mit (82) 
SHRIFTER Ar 

RT RT 

(85) en a 1. a 


Xı Xı: 


BKT)+aT?e FT pTeTLar? 


Die beiden Gleichungen (84) und (85) lassen auf die Intensität der 
bei einem durch qg gegebenen Zustand erscheinenden Linien schließen. 
Durch den Bau der Atome wird dabei nach Fowler bedingt, daß bei 
H und Het für q sukzessive die Werte ,=1.2,% =2-3,..., 
q,=r(r + 1) auftreten, während bei anderen einwertigen Elementen 
4=%=:''=q.= 1 und bei den zweiwertigen Elementen (He und 
alkalische Erden) ,=1,%=2,...,9,=r gesetzt werden soll. 

Die vom r*®* Zustand ausgehenden Linien werden ein Maximum, 
wenn n, ein Maximum wird, somit ist bei bekanntem P, die Tempe- 
ratur 7’ eines Sterns mit (85) berechenbar, wenn in seinem Spektrum 
die bezüglichen Linien in maximaler Intensität erscheinen. Differen- 
ziert man (85) nach 7, wobei b(7)) konstant zu halten ist, so ergibt sich, 
daß die maximale Intensität bei einem partialen Elektronendruck von 








08326 „tSRT 2 -& 
er In 
auftritt, der wieder umgekehrt bei bekanntem 7’ ermittelt werden 
kann. Für die Linien der Hauptserie hat man natürlich überall y,—=g, 
einzuführen. 

Eine Bemerkung von E. A. Milne““), daß eigentlich, und zwar 
insbesonders dann, wenn die Erregungspotentiale zweier aufeinander- 
folgender Zustände nicht stark voneinander verschieden sind, zwei 
Verteilungsfunktionen b, und b, einzuführen wären, von denen b, dem 
vorhergehenden Zustand entspricht, wurde von R. H. Fowler‘) auf- 
gegriffen. Danach wäre die Sahasche Formel in der Form 





(87) log Fe = — a + 2 log T — log P,—65 + log: 


anzusetzen, in der nun &, und a, die Zahlen der Atome im weniger 
bzw. mehr erregtem Zustand bedeuten. 

Über die Schlüsse, die aus der Anwendung der hier gegebenen 
Formeln über die Temperaturen von Sonne und Fixsternen und über 
die Verhältnisse in deren Atmosphären gezogen werden können, wird 
in den betreffenden Kapiteln berichtet werden. 


146) Phil. Mag. 50 (1925), p. 547. 
147) London Roy. Astr, Soc. 85 (1925), p. 970. Vgl. dazu auch H.N. Russell, 
Harvard Coll. Obs. Circ. 291 (1926). 


7. Die Ionisation. 591 


Es sei schließlich noch erwähnt, daß in neuester Zeit auch über 
Struktur und Breite der Linien von A. Unsöld“) und E. A. Milne‘*®) 
theoretische Untersuchungen angestellt worden sind, deren Ergebnisse 
nach und nach astrophysikalische Bedeutung erlangen.. Bedeuten H 
die Höhe der homogenen Atmosphäre und o einen die Zahl aller an 
der Entstehung der Linie beteiligten Atome definierenden Faktor, der 
von Ladung und Masse des Elektrons, von der Loschmidtschen Zahl N, 
sowie von der Wellenlänge A, der Mitte der Resonanzlinie und der 
Differenz A — 4, der betrachteten Linienstelle A gegen die Linienmitte 
abhängig ist, bezeichnet ferner noch i den Einfallswinkel in die Photo- 
sphäre, so gibt Unsölds Formel für das Verhältnis zwischen der 
Strahlung b(0, ‘) an der Stelle A der Linie und der Strahlung B der 
linienfreien Photosphäre den Betrag 

b(0, 0,5 + cost 0,5 —c08T —_oHseci 
(88) : 2 1 Tr FH TECH 








Durch Vergleich der sich aus dieser Formel für verschiedene NH 
(Zahl der wirksamen Atome) ergebenden theoretischen Linienstrukturen 
mit dem Bau der Linien in Sternspektren hat erst kürzlich Miß 
C. H. Payne"°°) festgestellt, daß keine stellare Linie durch die Gesamt- 
wirkung von mehr als 10°? Atomen erzeugt werden dürfte und daß 
schon ein Abfall auf 10'° Atome genügen würde, um die betreffende 
Linie im Sternspektrum zum Verschwinden zu bringen. 


c) Die Messung der Linienintensitäten. Eine exakte Messung der 
Intensitäten der Linien in den Sternspektren ist durch die eben be- 
sprochenen Untersuchungen über die Abhängigkeit der Linienintensi- 
tät vom lonisationszustand besonders erwünscht geworden, doch hat 
auch schon das Verhalten der Linien in den Spektren von Sternen 
verschiedener Typen frühzeitig Anregung zu diesbezüglichen Versuchen 
gegeben. Bereits im Jahre 1903 versuchte E. O. Pickering'°') eine 
sichere Basis für die Schätzung des Intensitätsverhältnisses gewisser 
Linien in den Spektren verschiedener Sterne dadurch zu schaffen, daß 
er zum Vergleich eine Skala aus künstlichen Linien heranzog, die er 
durch Kopieren eines durch verschieden zahlreiche Papierzwischen- 
lagen verschieden hell und verwaschen gemachten Spaltes hergestellt 


148) Ztschr. f. Phys. 44 (1927), p. 793 und 46 (1928), p. 765. 

149) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 89 (1928), p. 3 und 157. Vgl. dazu 
noch C. H. Payne, Harvad Coll. Obs. Bull. 867 (1929). 

150) Washington Nat. Acad. Proc. 14 (1928), p. 399. Vgl. hierzu noch Har- 
vard Coll. Obs. Circ. 334 (1928). 

151) Harvard Coll. Obs. Circ. 72 (1903). 


592 VI2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


hatte. Später haben K. F. Bottlinger"°?) und A. Hnatek'°?) Intensitäten 
und Strukturen einzelner Linien in Sternspektren mit dem Hartmann- 
schen Mikrophotometer untersucht, wobei der erstere zur Herstellung 
einer Relation zwischen Schwärzung und Intensität entsprechende 
Variationen der Expositionszeit benutzte. Schon bei allen diesen An- 
fangsversuchen hat sich herausgestellt, daß das Intensitätsverhältnis 
zwischen der tiefsten Linienstelle und dem der Linie angrenzenden 
kontinuierlichen Spektrum auch bei den kräftigsten Linien kaum viel 
über eine Größenklasse hinauszugehen pflegt. Die Umständlichkeit 
dieser Methoden, die Platte mußte ja dabei unter dem Mikrophotometer 
schrittweise und gut meßbar stets um wenige Hundertel Millimeter 
über die ganze Breite der Linie hinweg verschoben werden, hatten 
wohl zur Folge, daß noch W. 8. Adams und A. Kohlschütter'*) bei 
ihrer grundlegenden Arbeit über die Ermittlung der absoluten Größe 
eines Sterns aus dem Intensitätsverhältnis gewisser ausgewählter Linien 
die Schätzung nach einem der in der Photometrie viel verwendeten 
Argelanderschen Stufenschätzungsmethode ähnlichen Verfahren be- 
nutzten und in ihren weiteren, umfangreichen Arbeiten beibehielten 
(s. Nr. 28). Erst die Einführung der sogenannten selbstregistrieren- 
den Mikrophotometer, bei denen durch lichtempfindliche Zellen die 
aufeinanderfolgenden Schwärzungswerte eines vor der Zelle langsam 
vorbeigeführten Spektrums gemessen und automatisch registriert wer- 
den, konnte weniger durch die Mühelosigkeit, als vielmehr durch die 
Raschheit und Exaktheit der Untersuchung Wandel schaffen. Um die 
Umwertung der gemessenen Schwärzungen in die Helligkeiten auf 
eine sichere Grundlage zu stellen, deckte H. H. Plaskett'°°) nach einem 
Vorschlag von R. T. Merton und J. W. Nicholson"®) den Spektro- 
graphenspalt seiner Länge nach mit einem neutralen Keil ab, so daß 
Intensität und Schwärzung des Spektrums in zur Ausdehnung des- 
selben senkrechter Richtung meßbar abnahmen. Ähnlich diesem Vor- 
gang ist eine von Th. Dumham jr.”) eingeführte Methode, bei der 
eine spektrale Schwärzungsskala auf der Platte durch Aufnahme der 
Spektren einer Serie kleiner Öffnungen von verschiedener Helligkeit 
erzeugt wird. Speziell bei Aufnahmen mit dem Objektivprisma kön- 
nen, wie H. Shapley'°®) und bald danach neuerlich ©. H. Payne und 

152) Astr. Nachr. 195 (1913), p. 117. 

153) Astr. Nachr. 200 (1915), p. 189. 

154) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 385. 

155) Publ. of the Dominion astroph. obs. Vietoria (Canada) 2 (1923), Nr. 12. 

156) London Roy. Soc. Phil. Trans. A 217 (1917), p. 237. 


157) Harvard Coll. Obs. Bull. 853 (1927). 
158) Harvard Coll. Obs. Bull. 805 (1924). 


P2 


7. Die Ionisation. 593 


F. S. Hogg'?”) gezeigt haben, auch mehrere nacheinander unter sukzes- 
siver Abblendung des Objektivs erfolgte Aufnahmen desselben stellaren 
Objektes mit Erfolg zum gleichen Zweck kombiniert werden. Das theo- 
retisch errechenbare Helligkeitsverhältnis zwischen dem Zentralbild 
und den Bildern (Spektren) erster Ordnung bei Aufnahmen mit Ob- 
jektivgitter, das in der Stellarphotometrie vielfach zu Helligkeits- 
bestimmungen verwendet wird, benutzte @. Eberhard‘) zuerst bei 
Aufnahmen des Spektrums der Nova Geminorum 2 vom Jahre 1912 
zu spektralphotometrischen Zwecken, indem er das Objektivprisma 
mit dem Objektivgitter kreuzte. In gleicher Weise ist später wieder 
A. Kohlschütter'®') vorgegangen. Schließlich kann eine Kalibrierung 
der Schwärzungen bei Spektralaufnahmen mit dem ÖObjektivprisma 
auch dadurch erfolgen, daß auf derselben Platte noch eine weitere 
Aufnahme einer Gruppe von Sternen vom gleichen Typus und ver- 
schiedenen bekannten Helligkeiten mit derselben Expositionszeit durch- 
geführt wird. Eine Bearbeitung der helleren Plejadensterne durch 
©. H. Payne und F.$. Hogg'‘?) bietet hierzu wertvolle Grundlagen. 
Weniger empfehlenswert erscheint die Kombination mehrerer Auf- 
nahmen von verschiedener Expositionszeit, da ja Expositionszeit und 
Schwärzung nach dem bekannten Schwarzschildschen Schwärzungs- 
gesetz einander nicht völlig proportional gehen. Immerhin haben 
©. H. Payne und F. $. Hogg"‘?) aus Aufnahmen, die an der Yerkes- 
sternwarte unter Variation der Expositionszeit vorgenommen worden 
sind, beachtenswerte Resultate ziehen können. 

Schwierigkeiten bereitet die bei verschiedenen Plattensorten mehr 
oder minder große Abhängigkeit der Plattengradation von der Wellen- 
länge, wenn es sich darum handelt, die Intensitäten von Linien mit- 
einander zu vergleichen, die im Spektrum weiter voneinander abstehen. 
Daß ©. H. Payne und F. $. Hogg'**) die für verschiedene Wellenlängen 
gewonnenen Schwärzungskurven durch Ineinanderschieben ziemlich gut 
zur Deckung bringen konnten, mag darauf zurückzuführen sein, daß 
es sich dabei eben um Plattensorten handelte, bei denen kein starker 
Gang der Gradation mit der Wellenlänge vorhanden war, und ein 
gleiches dürfte bei den Laboratoriumsarbeiten von Dorgelo!%) und 


159) Harvard Coll. Obs. Cire. 301 (1927). 

160) Siehe bei A. Brill, Publ. astroph. Obs. Potsdam 23/2 (1915), Nr. 70. 
161) Astr. Nachr. 220 (1924), Nr. 325. 

162) Harvard Coll. Obs. Circ. 303 (1927). 

163) Harvard Coll. Obs. Circ. 304 (1927). 

164) Harvard Coll. Obs. Circ. 301 (1927). 

165) Phys. Ztschr. 26 (1925), p. 756. 


594 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


van Milaan') der Fall gewesen sein, die im Laboratorium ähnliche 
Erfahrungen machten wie die erstgenannten. 

Die hier angeführten Methoden sind bei photometrischen Arbeiten 
über die Intensitäten einzelner Fraunhoferscher Linien im Sonnen- 
spektrum von H.v. Klüber'‘‘) und M. Minnaert‘“®) und bei Unter- 
suchungen an Sternspektren u.a. von D. H. Menzel"), ©. H. Payne'"®) 
sowie von C©. H. Payne und F. S. Hogg''') mit Erfolg benutzt worden. 


8. Der Einfluß von Druck und Dichte. Menge des Stoffes, also 
seine Dichte, verursachen in der Regel Linienverbreiterung, so daß 
die Spektren verschiedener Gase schon bei einer dem Druck einer 
Atmosphäre entsprechenden Dichte sogar kontinuierlich werden. A.J. 
Ängström“"?) beispielsweise hat das Funkenspektrum des Wasserstoffs 
bei Atmosphärendruck als nahezu kontinuierlich beobachtet. Da 
Druck und Dichte nicht immer leicht voneinander zu trennen sind, 
war die Frage, ob die beobachteten Linienverbreiterungen auf Steige- 
rung der Dichte oder Erhöhung des Druckes zurückgeführt werden 
sollen, zunächst einige Zeit strittig. Gestützt auf eine Beobachtung 
von E. Frankland‘"”), der von der Knallgasflamme bei 10 Atmo- 
sphären Druck ein völlig kontinuierliches Spektrum erhielt, glaubte 
noch J. N. Lockyer*'*), aus der bei zunehmender Höhe in der Chromo- 
sphäre der Sonne abnehmenden Linienbreite einen Schluß ziehen zu 
dürfen auf die entsprechenden Druckverhältnisse. Bald aber mußte 
er seine frühere Ansicht richtigstellen, als er bei Natrium, das er in 
einer beiderseits offenen Röhre und somit unter gleichbleibendem 
Atmosphärendruck erhitzte, bei Temperaturänderungen, also bei Va- 
riation der Menge oder Dichte des Na-Dampfes, entsprechende Ver- 
änderungen der Linienbreite beobachtete.!”°) Nicht viel später wiesen 
auch @. D. Liveing und J. Dewar"®) sicher nach, daß nicht der Druck, 
sondern die Menge des in der Flamme vorhandenen Materiales für 
die Linienbreite bestimmend ist, und sie versuchten sogar, eine Art 

166) Ztschr. f. Phys. 38 (1926), p. 427. 

167) Ztschr. f. Phys. 44 (1927), Nr. 6, 7. 

168) Ztschr. f. Phys. 45 (1927), p. 610. 

169) Harvard Coll, Obs. Cire. 258 (1924). 

170) Harvard Coll. Obs. Circ. 306 und 307 (1927). 

171) Harvard Coll. Obs. Circ. 308 (1927). 

172) Pogg. Ann. 94 (1855), p. 141. 

173) London Roy. Soc. Proc. 16 (1868), p. 419. 

174) London Roy. Soc. Proc. 17 (1869), p. 453. 


175) London Roy. Soc. Phil. Trans. 163 (1873), p. 253 und Phil. Mag. (5) 6 
(1879), p. 161. 


176) London Roy. Soc. Proc. 27 (1878), p. 132, 28 (1879), p. 367 und 29 
(1879), p. 482. 


8. Der Einfluß von Druck und Dichte. 595 


quantitativer Analyse auf der Beobachtung der Linienbreite aufzu- 
bauen. Da sich die Linien aber, wie J. N. Lockyer''") gefunden hatte, 
nieht immer nach beiden Seiten symmetrisch verbreitern, entstand die‘ 
neue Frage, ob neben der Verbreiterung nicht auch gleichzeitig eine 
Verschiebung der Linienmitte auftrete. Von besonderer Bedeutung 
wurde diese Frage dann im Jahre 1896 für die Astrophysik, als 
E. E. Jewell“"®) beim Vergleich der Wellenlängen der Rowlandschen 
„Preliminary table of the Solar spectrum wave lengths“!‘®) mit La- 
boratoriumsmessungen vielfach Verschiebungen der Linien des Sonnen- 
spektrums gegen die Linien des Bogenspektrums, und zwar nach der 
Seite der größeren Wellenlänge hin bemerkte. Eine endgültige Ant- 
wort fand diese Frage durch die Untersuchungen von W. J. Hum- 
phreys und J. F. Mohler'?°), die den Bogen in einer Stahlflasche unter 
Drucken von zunächst bis 15 Atmosphären brennen ließen, und durch 
die weiteren Arbeiten W. J. Humphreys'°'), der 37 und endlich sogar 
110 Atmosphären benutzte. Eine Diskussion der an zahlreichen Ele- 
menten gesammelten Erfahrungen durch W. J. Humphreys'??) ergab, 
daß Verschiebungen durch Druck tatsächlich erfolgen, daß sie aber 
keineswegs groß sind — die Fe-Linien zwischen 4000 und 4400 AR. 
ergaben pro 10 Atmosphären Drucksteigerung eine Rotverschiebung 
von nur etwa 0,03 Ä.E., die.dem Druck proportional ging —, und 
außerdem, daß sie nicht für alle Elemente und nicht einmal für alle 
Linien deissihen Elementes gleich sind. J. $. Ames und W. J. Hum- 
phreys'??) bemerkten eine Abhängkeit von der Serienanordnung der 
Linien, was später an Fe, Cr und Ti durch den Nachweis eines offen- 
baren Zusammenhanges zwischen Druckeffekt und Zeemaneffekt von 
A. 8. King") neuerlich bestätigt werden konnte. Beim Vergleich 
ihrer Messungen an Funken- und Bogenspektren bemerkten auch 
F. Exner und E. Haschek'?°) Differenzen in den Wellenlängen, aller- 
dings von einem im Vergleich mit den oben erwähnten Beobachtungen 
von Humphreys und Mohler jedenfalls zu hohen Betrag, die sie durch 
die Annahme einer infolge der disruptiven Funkenentladung auftreten- 
den Stoffzufuhr und Drucksteigerung zu erklären versuchten. 


177) London Roy. Soc. Proc. 28 (1879), p. 428. 

178) Astroph. Journ. 3 (1896), p. 89. 

179) Astroph. Journ. 1 (1895) bis 6 (1898). 

180) Astroph. Journ. 3 (1896), p. 114. 

181) Astroph. Journ. 4 (1896), p. 249, 22 (1905), p. 217 und 26 (1907), p. 18. 
182) Astroph Journ. 6 (1897), p. 169. 

183) Phil. Mag. (5) 44 (1897), p. 119. 

184) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 433. 

185) Wien Sitzber. 106 II® (1897), p. 1127. 


596 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Umgekehrt ist also zu erwarten, daß Druckverminderung Violett- 
verschiebung zur Folge hat, und das bestätigte sich vollinhaltlich bei 
Versuchen von J. F. Mohler') sowie in weiteren Untersuchungen 
z.B. von E. E. Brooks'?”) am Magnesiumfunken und von H.@. Gale 
und W. 5. Adams'®®) an Eisen und Titan. Die bezüglichen Resultate 
sind für die Beantwortung der Frage nach dem Druck in den um- 
kehrenden Schichten von Sonne und Sternen wichtig und wurden vor 
einigen Jahren von Ch. E. St. John und MH. D. Babeock“) in dieser 
Hinsicht verwendet. 

Im Zusammenhang mit dem Gegenstand wären noch Versuche 
von J. Wilsing zu erwähnen, der den Funken im Wasser!) oder 
zwischen befeuchteten Elektoden!?!) überspringen ließ und dabei zum 
Teil sehr starke Verschiebungen beobachtete, die er aus dem sehr 
hohen Druck des sich bildenden Wasserdampfes zu erklären versuchte. 
Reine Druckverschiebungen dürften hier aber kaum vorgelegen haben, 
da mit den Druckverschiebungswerten von Humphreys und Mohler 
dabei auf ungewöhnlich hohe Drucke geschlossen werden müßte. 


9. Zeemaneffekt, Starkeffekt. P. Zeeman'”) fand im Jahre 1896, 
daß im Spektrum einer in einem magnetischen Kraftfeld befindlichen 
Lichtquelle eine Aufspaltung der Spektrallinien eintritt, so zwar, 
daß sich bei Beobachtung senkrecht zu den Kraftlinien ein Linien- 
triplet, bei Beobachtung parallel zu den Kraftlinien ein Dublet zeigt. 
Im Triplet nimmt die mittlere Linie die Lage der normalen Spek- 
trallinie ein, sie ist parallel zu den Kraftlinien polarisiert (x-Kom- 
ponente) und wird beiderseits flankiert von den senkrecht zu den 
Kraftlinien polarisierten Begleitern (6-Komponenten). Im Dublet ent- 
spricht die Lage der beiden Linien der der 6-Komponenten des Tri- 
plets, aber beide Linien sind zirkular, und zwar entgegengesetzt po- 
larisiert. Bei Beobachtung schräg gegen die Kraftlinien tritt, wie 
ebenfalls schon von P. Zeeman‘”?) erörtert worden ist, Kombination 
der beiden Polarisationszustände ein. Geht man dabei langsam aus 
der Richtung senkrecht zu den Kraftlinien heraus, so tritt zunächst 
elliptische Polarisation der 6-Komponenten auf, während gleichzeitig 


186) Astroph. Journ. 4 (1896), p. 175. 

187) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 177. 

188) Astroph. Journ. 35 (1912), p. 10 und 37 (1913), p. 391. 
189) Astroph. Journ. 60 (1924), p. 32. 

190) Berlin Ber. 1899, p. 426. 

191) Berlin Ber. 1899, p. 750. 

192) Phil. Mag. (6) 43 (1897), p. 226. 

193) Phys. Ztschr. 13 (1912), p. 86. 


9. Zeemaneffekt, Starkeffekt. 597 


die x-Komponente schwächer wird. Nach J. Larmor'**) bleiben Form 
und Neigung der Elektronenbahnen im magnetischen Kraftfeld unver- 
ändert, und es tritt lediglich Präzessionsbewegung auf. 

Die durch ein magnetisches Kraftfeld bewirkte Veränderung einer 
einfachen Elektronenschwingung kann mathematisch in folgender Weise 
erfaßt werden. Bezeichnen a die Amplitude, 7’ die Periode einer 


Schwingung und 9,— 7" die Winkelgeschwindigkeit pro Sekunde, so 


lautet die Gleichung der schwingenden Bewegung in der x-Koordinate 
= acos(7t+«) = a cos (put + e), 


die durch zweimalige Differentiation die Bewegungsgleichung 
d? R 
(89) 7 a cos (yot+ a) = — yir 
ergibt. In der gleichen Weise folgt für die beiden anderen Koordi- 


naten 
2 


d? % d’z 
(89a) 7a -—yy und Ga ji 


Hat das magnetische Kraftfeld die Richtung der z-Achse und die 
Feldstärke H in Gauß'®), so treten die Zusatzbeschleunigungen auf!%) 








| x-Achse -- + eu 
in der | ächse: .- S ee e in elektrostat. Einh. 
\ 2-Achse - - - 0, 
und die Gleichungen (89) und (89a) gehen über in 
d’x e dy 
u 
(90) . 
ln _ u SE 
a NIT mt 


Da in der z-Achse keine Kraft auftritt, die Periode der Schwingungen 
also ungeändert bleibt, fällt die dritte Gleichung weg. 

Die Lösung der Differentialgleichungen (90) ist bekanntlich eine 
e-Funktion. Setzt man also 


x = 4er‘, y=Beir!, 


194) Phil. Mag. (5) 44 (1897), p. 503. 


mg": > 
195) 1 Gau = 1 Einh. der Feldintensität. 


mm ’% sec 
196) Siehe O. D. Chwolson, Lehrbuch der Physik, Bd. IV/2, p. 663, Braun- 
schweig 1924, Vieweg. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 39 


598 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 
so erhält man durch Substitution in (90) leicht 


H.; 
AP—W=—B-—iy 

N BEE: 
Br’—n)= #37. 


Die Änderung der Winkelgeschwindigkeit ist erfahrungsgemäß immer 
nur klein, also kann man annehmen: »?— y}—= dy?= 2ydy. Damit 
folgt aus der zweiten Gleichung (91) 


PIREEN 
B=- Ara 
und dann weiter aus der ersten schließlich 
HM 
(92) y— +43 


Die Winkelgeschwindigkeit wird also um + — geändert, oder die 


Änderung der Schwingungszahl ist wegen v — Ei 
eH 


e el. stat. x 
— I = c wäre noch 


el. mag. 





Wegen dv (v’ = Wellenzahl pro cm) und 


‚ H 7% 
dv = — = ; 
4rc \m Jel. mag. 


oder mit (5) ma, — 177 10° 

(94) | dv’ —= + 4,10.10-°Z, 
‚ 1 . 

was wegen v — -- sofort in 


(95) di = +4,70. 10-2? H 
übergeht. Dieser Ausdruck beinhaltet die sogenannte „Prestonsche 
Regel“ 2 

dh 


(96) 75 — const, 


nach der die Aufspaltung im Magnetfeld proportional dem Quadrat 
der Wellenlänge erfolgt. Da die Konstante der Gleichung (96) aber 
mit der Linienserie wechselt, bildet diese Prestonsche Regel ein will- 
kommenes Mittel, um die Serienzusammengehörigkeit von Linien nach- 
weisen zu können. 

Diese hier behandelte normale oder Lorentzsche Aufspaltung tritt 
bei Linien auf, die sich serienmäßig durch Einfachterme darstellen 
lassen. Bei Mehrfachtermen zeigen sich anomale Erscheinungen des- 
wegen, weil durch das Magnetfeld nicht die Termdifferenzen, sondern 








197) Th. Preston, Nature 59 (1899), p. 224, 248. 


9. Zeemaneffekt, Starkeffekt. 599 


die einzelnen Terme selbst beeinflußt werden. Bei den Dublettserien 
des Na und einiger anderer Elemente entstehen beispielsweise bei der 
einen Linie (D,) Quartette, bei der anderen (D,) aber Sextette, und 
schon bei dem relativ einfach gebauten Heliumatom hat W. Loh- 
mann‘?®) bis zu acht Komponenten beobachten können. Die Preston- 
sche Regel gilt aber auch für solche Mehrfachserien insofern, als für 
Linien, die sich aus Termen von gleicher Multiplizität und gleicher 
azimutaler Quantenzahl zusammensetzen, die durch Gleichung (94) be- 
stimmten Wellenzahldifferenzen der Komponenten konstant bleiben. 
Nach C. Runge‘”®) gilt dabei weiterhin der Satz, daß die beim ano- 
malen Zeemaneffekt auftretenden Aufspaltungen, gemessen in Wellen- 
zahlen, immer rationale Vielfache der normalen Lorentzaufspaltung 
sind. Auch diese Rungesche Regel gibt die Möglichkeit, die Zugehörig- 
keit einer Mehrfachlinie zu einer bestimmten Serie wahrscheinlich zu 
machen. 

Wird die Feldstärke H sehr groß, so können sich die Kompo- 
nenten von benachbarten Linien der Vielfachserie einander so weit 
nähern, daß sie sich gegenseitig in ihrer Lage beeinflussen (Paschen- 
Back-Effekt?°), und bei weiterer Steigerung der Feldstärke kann schließ- 
lich ein Zustand eintreten, bei dem die ganze multiple Liniengruppe 
als Einheit für sich genommen im normalen Zeemaneffekt aufgespalten 
erscheint. Ein solcher Fall wird sich schon bei mäßiger Feldstärke 
bei Liniengruppen beobachten lassen, deren Einzelglieder einander 
sehr nahe stehen, nach N. A. Kent”!) z.B. am Lithiumdublet bei 
6708 A.E,, dessen Kompenenten nur 0,13 A.E. voneinander entfernt sind. 

So wie bei Linienspektren die Gleichheit der Aufspaltung an die 
Zugehörigkeit der Linien zur gleichen Serie gebunden erscheint, tritt 
anscheinend bei Bandenspektren in ähnlicher Weise gleiche Beeih- 
flussung bei Linien desselben Zweiges auf.?) NH. Deslandres und 
V. Burson®) fanden z.B. an der Bande des Leuchtgases bei 3898 A.E., 
daß die zu einem bestimmten Zweig gehörenden Linien, wenn schon 
nicht im gleichen Betrag, so doch wenigstens stets im gleichen Sinn 
verschoben erscheinen, und ähnliches konnten H. Deslandres und 
L. D’Azumbuja?*) auch an den ultravioletten Banden des Wasser- 
dampfes bemerken. 


198) Phys. Ztschr. 9 (1908), p. 145. 
199) Phys. Ztschr. 8 (1907), p. 232. 
200) Ann. Phys. 39 (1912), p. 897 und 40 (1913), p. 960. 
201) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 343. 
202) Siehe A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, 4. Aufl. (1924), p. 747. 
203) Paris C.R. 157 (1913), p. 1105. 
204) Paris C.R. 157 (1913), p. 814. 
39* 


600 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Wegen der Kompliziertheit der Erscheinungen wird es sich bei 
astrophysikalischen Untersuchungen übrigens kaum empfehlen, Mehr- 
fachlinien oder Bandenlinien zu verwenden, deren Verhalten im ma- 
gnetischen Feld im physikalischen Laboratorium noch nicht genügend 
sicher festgestellt worden ist. In dieser Hinsicht wichtige Unter- 
suchungen sind im letzten Jahrzehnt an den Elementen Ba, Ca, Cr, 
Fe, Na, Sr, Ti, V, Y, Zr von B. E. Moore, H. D. Babcock, P. Zeeman 
und B. Winawer, A. S. King, A. E. Becker angestellt worden 2%), und 
im Anschluß an die Arbeiten von @. E. Hale?") über das Magnetfeld 
der Sonne hat A. $. King?) verschiedene in den Sonnenflecken- 
spektren vorkommende Mehrfachlinien des Fe und Ti noch einer be- 
sonderen Prüfung auf ihre Zeemanstruktur unterzogen. 

Was die Aufspaltung der Spektrallinien im elektrischen Feld 
oder den von J. Stark?®) entdeckten „Starkeffekt“ betrifft, dessen 
theoretische Begründung von K. Schwarzschild?”) und von P. $. Ep- 
stein?!%) gegeben worden ist, so hat derselbe vorläufig für astrophysi- 
kalische Probleme noch keine Bedeutung gewonnen, wenigstens haben 
Versuche von @. E. Hale?'‘), ihn im Spektrum der Sonnenflecken 
nachzuweisen, noch kein sicheres Resultat gezeitigt. Der Starkeffekt, 
der hauptsächlich an Linien von H, He und Li studiert worden ist, 
sei daher hier nur kurz behandelt. Nach J. Stark®'?) und Lo Surdo?'?) 
gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: 

1. Jede Balmerlinie wird in mehrere Komponenten aufgespalten. 

2. Die Zahl der Komponenten wächst mit der Seriennummer 
der Linie. 

3. Bei transversaler Beobachtung (Quereffekt) sind die Linien 
linear polarisiert, und zwar teils parallel zu den Kraftlinien 
(x-Komponenten), teils senkrecht zu diesen (6-Komponenten). 

4. Bei longitudinaler Beobachtung (Längseffekt) sind die x-Kom- 
ponenten unsichtbar, und die o-Komponenten erscheinen un- 
polarisiert. 

5. In der Regel liegen die kräftigen x-Komponenten außen, die 
kräftigen 6-Komponenten innen. 


205) Astroph. Journ. 28, 30, 31, 33, 34, 44 (1908—1916). 
206) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 315. 
. 207) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 76. 
208) Berlin Sitzber. November 1913, Ann. Phys. 43 (1914), p. 965, 983. 
209) Berlin Sitzber. April 1916. 
210) Ann. Phys. 50 (1916), p. 489. 
211) Pop. Astr. 29 (1921), p. 625. 
212) a. 2.0. 
213) Rendiconti Ac. dei Lyncei 23 (1914), p. 83, 117, 143, 252, 326. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 601 


6. Bei H ist die Aufspaltung symmetrisch, bei anderen Atomen 
vielfach unsymmetrisch. 

7. In den Wellenzahlen gemessen sind die Abstände der Kom- 
ponenten von der Mitte bei H ganze Vielfache eines kleinsten 
Linienabstandes. 

8. Die Aufspaltung, insbesondere dieser kleinste Abstand wächst 
proportional der Feldstärke. 


III. Die Sonne. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. Der erste, der im Spektrum 
des Sonnenlichtes Fraunhofersche Linien gesehen hat, scheint W. H. 
Brewster?'*) gewesen zu sein, 22 zwar dürfte es sich dabei nach 
D. Brewster””) um die Linien &%,D, b, F, @, H gehandelt haben. 
Schon in den Jahren 1814 und N ählte aber J. Fraunhofer *"°) 
im prismatischen Spektrum des Sonenffe 754 Linien, und kurz 
danach?!”) begann er unter Verwendung me Megger Bougunganien 
Wellenlängen derselben abzuleiten. Etwa zwanzig später gelang 
es dann E. Bequerel”"?) und J. W. Draper?'”), das Sonnef@pgktrum mit 
Hilfe der Daguerrotypie photographisch festzuhalten, wobei der erstere 
ziemlich weit ins Ultraviolett, der letztere dagegen bis ins Infrarot 
vordringen konnte. Auch der Begründer der Spektralanalyse @. Kirch- 
hoff’) beschäftigte sich eingehend mit dem Spektrum des mittleren 
Sonnenlichtes, indem er die Fraunhoferschen Linien mit Linien irdi- 
scher Elemente identifizierte und eine Tafel des Sonnenspektrums gab, 
die bereits mehrere tausend Linien verzeichnete, allerdings nicht in 
Wellenlängen, sondern in einer willkürlichen Meßskala, deren Zu- 
sammenhang mit der Wellenlängenskala übrigens später von J. Hart- 
mann°?‘) mit Hilfe der Cornuschen Formel abgeleitet worden ist. Ge- 
nauere Wellenlängenbestimmungen und eine Tafel des Gitterspektrums 
des Sonnenlichtes rühren von J. A. Ängström®?) her, und schließlich 
entstand der große Atlas des mittleren Sonnenspektrums von H. A. Row- 


214) London Roy. Soc. Phil. Trans. 1802, p. 365. 

215) Rep. Brit. Assoc. 1832, p. 308. 

216) München Akad. Denkschr. 5 (1817), p. 193. 

217) München Akad. Denkschr. 8 (1821), p. 1. 

218) Bibl. Univ. de Geneve 40 (1842), p. 341. 

219) Phil. Mag. (3) 12 (1842), p. 348. 

220) Berlin Akad. Abh. 1861, p. 63; 1862, p. 227; 1863, P- 225. 

221) Astroph. Journ. 9 (1899), p. 69. 

222) Recherches sur le spectre normal du Soleil, ER 1868, W. Schultz. 


602 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


land???) sowie die Rowlandsche „Preliminary table of the Solar Spec- 
trum Wave Lengths“?**) (P.T.), die auf Grund der Ausmessung der 
für den Rowlandschen Atlas aufgenommenen Platten durch L. E. Jewell 
und unter Verwendung einer größeren Zahl (etwa 1100) von Row- 
land ausgearbeiteter Wellenlängenstandards?”), Wellenlängen für rund 
20000 Sonnenlinien zwischen 2976— 7331 Ä.E. nebst zahlreichen Iden- 
difikationen mit bekannten Linien gibt. In der letzten Zeit wird das 
Sonnenspektrum neuerlich im internationalen Wellenlängensystem vom 
äußersten Ultraviolett bis ins Infrarot bei etwa 9900 Ä.E. photogra- 
phisch vermessen. Den bezüglichen Arbeiten von F' $. Braskett??®), 
K. Burns”), K. Burns und 0. 0. Kieß?”'®) und W. F. Meggers ”**) 
schließen sich dann weiter die bolometrischen Messungen von 8. P. 
Langley?®) bis 5,3 u und von Knut Ängström®) bis 9,7 u an. 
Noch größere Wellenlängen sind nach H. Rubens und E. Aschki- 
nass?°‘), die zunächst bis 20 u und dann mit den Reststrahlen des 
Flußspats bis 24 u gelangten, sowie nach E. F. Nichols?®?), der mit 
den Reststrahlen des Steinsalzes noch bis 5l u vordringen konnte, 
nicht mehr vorhanden, da die Kohlensäure und der Wasserdampf 
unserer Atmosphäre alle Strahlen dieses Wellenlängengebietes absor- 
bieren. 


Beim Durchgang des Sonnenlichtes durch unsere Atmosphäre 
werden überhaupt zahlreiche atmosphärische oder tellurische Linien in 
das Sonnenspektrum eingezeichnet. Solche Linien atmosphärischen 
Ursprungs lassen sich daran erkennen, daß sie bei hohem Sonnen- 
stande oder bei Beobachtung auf hohen Bergen schwächer erscheinen 
und daß sie bei Beobachtung des Sonnenrandes den von der Sonnen- 
rotation herrührenden Dopplereffekt nicht zeigen. Die letztere Methode 
zur Erkennung tellurischer Linien ist von A. Cornu?®?) vorgeschlagen 


223) Photographie map of the normal Solar spectrum, Chicago 1887—1888, 
John Hopkins Press. 

224) Astroph. Journ. 1—6 (1895—1898). 

225) Astron. and Astroph. 12 (1893), p. 321. 

226) Astroph. Journ. 53 (1921), p. 121; Contrib. Mt. Wilson Obs. 197 (1921). 

227) Lick Obs. Bull. 10 (1920), Nr. 327; Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 37; 
Publ. Allegh. Obs. 6 (1927), Nr. 9. 

227a) Publ. Allegh. Obs. 6 (1927), Nr. 8. 

. 228) Astroph. Journ. 47 (1918), p. 1. 

229) Annals astroph. Obs. Smithson. Inst. 1 (1900). 

230) Arkiv Math. Astr. Fys. 1 (1904), p. 395. 

231) Wied. Ann. 64 (1897), p. 564. 

232) Astroph. Journ. 26 (1907), p. 231. 

233) Paris 0. R. 98 (1884), p. 169. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 603 


worden, den ersteren Weg sind D. Brewster?*), J. A. Ängström®®), 
H. 0. Vogel?) und J. Janssen??”) gegangen. Die hauptsächlichsten 
tellurischen Linien und ihr Ursprung sind in der Fraunhoferschen 
bzw. Langleyschen Bezeichnungsweise: 
X 2,6 u 
218, Wasserdampf 
via, | 
0,915 u 
0,90 „ | nach M. Stefanik?®®) ebenfalls auf Wasser- 
0,82 „ dampf zurückzuführen 
0,795 „, 
A 0,1594 u Sauerstoff 
a 0,7184 „ Wasserdampf 
B 0,6867 „ Sauerstoff.?°°) 


Von besonderem Interesse sind zahlreiche, zwischen 5670—6100 Ä.E. 
liegende Linien des Wasserdampfes, unter ihnen die in der Gegend der 
D-Linie liegenden und bei wachsender Luftfeuchtigkeit rasch auffällig 
werdenden Regenlinien (Brewstersches Regenband ö bei 5760 Ä.R.). 
Diese schon in der Rowlandschen P.T. mit A (atmosphärisch) bezeich- 
neten Linien sind später von E. ©. Pickering®°) (H,O-Linien) und von 
O. ©. Lester*") (O-Linien der Gruppen A, B, a) neuerlich studiert 
worden, wobei insbesondere die Intensitätsangaben der P.T. mancher- 
lei Korrekturen erfahren haben. Ob sich an solchen tellurischen Linien 
die schwachen, durch die Rotation unserer Atmosphäre hervorgerufenen 
Dopplerschen Verschiebungen erkennen lassen, wie A. Perot”?) meinte, 
ist nach Oh. E. St. John und H. D. Babcock *?) nicht sicher zu entscheiden. 
Etwa 330 weitere tellurische Linien fand H. D. Babcock**) bei Inter- 
ferometermessungen im Infrarot zwischen 6868—8980 ÄE. 

Den Luftweg, der nötig ist, um im kontinuierlichen Spektrum 


234) Phil. Mag. (3) 8 (1850), p. 384; Paris C. R. 30 (1850), p. 578; London 
Roy. Soc. Proc. 10 (1850), p. 399. 

235) Recherches sur le spectre normal du Soleil, Upsala 1868. 

236) Untersuchungen über die Spectra der Planeten, Leipzig 1874. 

237) Paris C.R. 111 (1890), p. 431. 

238) Paris C. R. 143 (1906), p. 734. 

239) In der P.T. sind Linien atmosphärischen Ursprungs mit A (atmosphä- 
risch) bezeichnet. 

240) Ann. Harvard Coll. Obs. 48 (1904), p. 207. 

241) Astroph. Journ. 20 (1904), p. 81. 

242) Paris C. R. 160 (1915), p. 549. 

243) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 178. 

244) Astroph. Journ. 65 (1927), p. 140; Contr. Mt. Wilson Obs. 328 (1927). 


604 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


einer Lichtquelle die A- und B-Absorption merkbar zu machen, fand 
N. Egoroff*®) zu etwa 80 m für Luft von Atmosphärendruck. In 
einem Rohr von 18 m Länge hatten @. D. Liveing und J. Dewar **) 
bei Luftfüllung für die A-Gruppe hierzu 7 Atmosphären Druck nötig, 
für die B-Gruppe sogar 18 Atm., bei Sauerstoffüllung genügten schon 
1 bzw. 2 Atm. Nach A. $. King*') werden A und B aber photogra- 
phisch bereits nachweisbar, wenn das Licht eine Luftstrecke von nur 
7 bzw. 40 m (bei Atmosphärendruck) durchläuft. Auch das H,O-Band 
a bei 7200 Ä.R. trat, noch dazu bei ziemlich trockener Luft, A bei 
einem Luftweg von nur 9,5 m Länge auf. 

Auch das plötzliche Abschneiden des Sonnenspektrums bei etwa 
2900 A.E. ist auf eine Wirkung unserer Atmosphäre zurückzuführen. 
Nach Beobachtungen von A. Miethe und E. Lehmann”“) zu Berlin, 
Assuan und in den Alpen liegt die Grenze des sichtbaren Sonnen- 
spektrums etwa zwischen 2911—2915,5 A.E.; sie scheint außerdem 
von der Höhe des Beobachtungsortes hängig zu sein. Das letztere 
wird auch durch Messungen von A. Wiegand”®), der in Halle a. d. 8. 
2897,3 Ä.E. und in 9000 m Höhe (Ballonfahrt) 2896 A.E. fand, be- 
stätigt. Dieses plötzliche Abschneiden des Sonnenspektrums ist Es 
die Absorption der Ozonbande 2900—2300 A.E. bewirkt, und es müßte 
nach P. Salet?°°) daher eigentlich möglich sein, noch ein Stückchen 
Sonnenspektrum unter 2300 Ä.E. sichtbar zu machen, da eine dann 
anschließende Ammoniakbande nach J. Duglaux und P. Jeantet”') erst 
bei etwa 2100 A.E. beginnt. Versuche von P. Lambert, G. Dejardin und 
D. Chalonge???) in dieser Hinsicht auf dem Gipfel des Mt. Blanc hatten 
aber keinen Erfolg. Daß die ultraviolette Grenze des Sonnenspektrums 
noch bis zu den der Beobachtung zugänglichen Höhen von etwa 
10000 m völlig unabhängig von der Höhe bleibt, beweist, daß die 
absorbierende Ozonschicht sehr hoch liegt, und Ch. Fabry und H. Buis- 
son?°®) sowie P. Lambert, G. Dejardin und D. Chalonge®”*) verlegen sie 
daher in eine Höhe von 40 bzw. 45 km über die Erdoberfläche, wo 
die Ozonbildung unter dem Einfluß der dort wirksamen ultravioletten 


245) Paris ©. R. 101 (1885), p. 1143. 

246) London Roy. Soc. Proc. 46 (1889), p. 222. 

247) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 411. 

248) Berlin Ber. 1909, p. 85. 

249) Ber. deutsch. Phys. Ges. 11 (1913), p. 1090. 

250) Bull. Soc. astr. France 23 (1909), p. 379. 

251) Journ. de Phys. et le Radium (6) 4 (1923), p. 115. 

252) Journ. de Phys. et le Radium (6) 4 (1923), p. 270. 

253) Astroph. Journ. 54 (1921), p. 297. 

254) Paris ©. R. 183 (1926), p. 800; Bull. obs. de Lyon 9 (1927), p. 45. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 605 


Sonnenstrahlung unter 2100 Ä.E. vor sich gehen soll. Nach R. Diet- 
zius?”) kann übrigens schon eine nur 3,25 mm dicke Ozonschicht von 
Atmosphärendruck die beobachtete Wirkung hervorrufen. Wie von 
A. Fowler und R.J. Strutt”®) gezeigt worden ist, sind auch in dem 
der Beobachtung noch zugänglichen ultravioletten Teil der Spektren 
von Sonne und Sternen Serien enger Absorptionsbänder, die atmo- 
spärischen Ursprungs sind, nachweisbar. 

Was die auf der Sonne durch Linien vertretenen Elemente be- 
trifft, so hat A. A. Rowland””) nach seinen eigenen statistischen Unter- 
suchungen nicht gefunden: Sb, As, Bi, B, N, Cs, Au, In, Hg, P, Rb, 
Se, S, Te, Pr. Zweifelhaft blieb ihm das Vorhandensein von Ir, Os, Pt, 
Ru, Ta, Th, Wo, Ur, und nicht untersucht hatte er J, F, O, Te, Ga, 
Tm, Tb. Seither sind aber doch mehrere der von Rowland als zweifel- 
haft oder nicht vorhanden bezeichneten Elemente nachgewiesen wor- 
den, und auch Linien inzwischen neu entdeckter Elemente konnten im 
Sonnenspektrum ebenfalls gefunden werden. Nach dem jetzigen Stand 
unserer Kenntnis können Linien folgender Elemente und Verbindungen 
als im Sonnenspektrum vorhanden bzw. nicht vorhanden bezeichnet 
werden. 

a) Metalloide. 

Vorhanden: H, O, Si. 

Bemerkungen. Das Sauerstofftriplet (S — P) 7775,68, 7774,01, 
1771,97 ist von C. Runge und F. Paschen®°®) sowie von L. E. Jewell®”®) 
im Sonnenspektrum aufgefunden und als solar bezeichnet worden. 
Später wies R. A. Sampson°®°) neuerlich darauf hin, daß das Triplet 
solaren Ursprungs sein müsse, da es die Dopplersche Rotationsver- 
schiebung am Sonnenrand zeige, und seine Beobachtung wurde von 
Oh. E. St. John?®‘), ©. Runge und F. Paschen”®?) und von K. W. Meiß- 
ner ?°®) bestätigt. Der letztere fand dabei auch das Oxygendublet (S— P) 
bei 8446 im Sonnenspektrum vor. ' 

Nicht vorhanden: B, C, N, S, P, Sb, As, die Halogene (Cl, Br, 
J, F) und die Edelgase He, Ne, A, Kr, Xe. 
Bemerkungen: Für das Vorhandensein von Linien des N-Atoms 


255) Met. Ztschr. 40 (1923), p. 297. 

256) London Roy. Soc. Proc. 93 A (1917), p. 577. 

257) Amer. Journ. of Science (3) 41 (1891), p. 243. 

258) Astroph. Journ. 4 (1896), p. 317. 

259) Astroph. Journ. 6 (1897), p. 456. 

260) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 73 (1912), p. 31. 
261) Annual Rep. Mt. Wilson Solar Obs. for 1911. 

262) Phys. Ztschr. 14 (1915), p. 1267. 

263) Phys. Ztschr. 15 (1916), p. 668. 


606 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


hat eine Prüfung der Messungen des infraroten Teils des Sonnen- 
spektrums von W. F. Meggers”®*) mit Hilfe der von C. 0. Kieß?®) für 
das neutrale Atom gegebenen Serienbeziehungen keinen sicheren An- 
halt gegeben. 

b) Metalle. Über das Vorhandensein bzw. Nichtvorhandensein von 


Linien derselben im mittleren Sonnenspektrum gibt die folgende Ta- 
belle Aufschluß: 

















Kolonne d ee ini 
period. Ben Linien vorhanden nie 
I Na, K, Rbt, Cu, Ag Li, Cs 
II Be, Mg, Ca, Ca*, Sr, Sr*, Ba, Bat, Zn, Cd Ra, Hg 
III Al, Se, Sct, Y, Y*, Ge, mn) Ac, TI 
IV Ti, Tit, Zr, Ge, Sn, Pb Th 
1% V, V+, Nb, Ta(?) 
VI Cr, Cr*, Mo, W(?), U (?) Se, Te, Po 
vo Mn, Mnt 
VII Fe, Fe*, Co, Ni, Ru, Rh, Pd, Os(?), Ir(?), Pt (?) 
Seltene Erden | Siehe Bemerkungen 


Bemerkungen. 

Kolonne I: Das Fehlen der Li-Linien bei 6708 Ä.E. entspricht, 
wie H. N. Russell?®) bemerkt, nicht der relativen Häufigkeit des Ele- 
mentes auf der Erde, die von F. W. Clarke und H. 8. Washington ®®') 
mit 0,0129°/, angegeben wird. A. N. Russell und K. T. Compton?‘®) 
meinen, daß die Linien durch eine infolge des geringen Atomgewichtes 
besonders starke thermische Bewegung stark verbreitert (.Doppler- 
effekt!) und dadurch bis zur Unsichtbarkeit geschwächt werden. Da- 
mit wäre auch der Widerspruch erklärlich, daß die Na-Linien trotz 
des fast ebenso großen lonisationspotentials des Na so kräftig er- 
scheinen. 

Dem Rb*+ gehören nach H. N. Russell?) die Linien 4104,459, 
4244,500, 4294,077 der P.T. an. 

Kolonne II: Ba* ist durch die Serien 1?5°—1?P (4934, 4554) 
und 1?P —2?P (4166, 4131, 3892) vertreten. Die in der P.T. vor- 
kommenden Linien 3071,662 und 3965,769 gehören nach H. N. Rus- 
sell?) dem neutralen Ba-Atom an. Daß von Natrium nur die Linien 


264) Publ. Allegheny Obs. 6 (1919), p. 13. 

265) Journ. Opt. Soc. Am. 11 (1925), p. 1. 

266) Contr. Mt. Wilson Obs. 236 (1922). 

267) Washington Nat. Acad. Proc. 8 (1922), p. 108. 
268) Contr. Mt. Wilson Obs. 236 (1922), p. 160. 
269) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 254. 

270) a.a. 0. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 607 


des Na, von Barium dagegen trotz des mit Na fast gleichen lonisa- 
tionspotentials Linien des Ba und Ba* vorkommen, erklärt H. N. Rus- 
sell (a.a. O0.) daraus, daß die Na*-Linien weit im Ultraviolett liegen, 
wo die thermische Ionisation wegen der starken Abnahme der Sonnen- 
strahlen in den kurzen Wellen zu schwach geworden ist. 

Es ist auffällig, daß im Sonnenspektrum viele Linien schwerer 
Elemente vorkommen. A. Pannekock?"') weist hierzu darauf hin, daß die 
ionisierten Atome im elektrischen Feld einen scheinbaren Gewichts- 
verlust erleiden, daß die Erregung und lonisation in den tieferen 
Schichten der höheren Temperatur wegen größer ist und daher ein 
eigentlicher Gleichgewichtszustand zwischen schweren und leichten 
Atomen nicht vorhanden sein kann. 

Eine Tabelle der im Sonnenspektrum vorkommenden Kadmium- 
linien ist von Ch. E. St. John und Ch. E. Moore?'?) gegeben worden. 


Kolonne III: Neben den von Rowland in der P.T. als Scandium- 


linien bezeichneten sind noch zahlreiche weitere Linien des Se von 
J. N. Lockyer und F. E. Baxandall?"?) identifiziert worden. 


Kolonne IV: Von Ge, Sn, Pb gibt Rowland in der P.T. nur je 
eine Linie. 

Seltene Erden: La, Ce, Nd, Er sind schon in der P.T. durch Linien 
nachgewiesen. Nach einer eingehenden Untersuchung von @. Hofbauer?"*) 
weist die P.T. überhaupt alle seltenen Erden durch Linien nach, am 
sichersten neben La, Ce, Nd auch noch Tb, Dy, Ho. Wie erst kürz- 
lich A. $. King und Ch. E. Moore?"°) zeigen konnten, gehören diese 


Linien teilweise sogar den ionisierten Atomen, und zwar insbesondere 
Nd*+, Sm*, Pr*, Cet und Cet* an. 


c) Verbindungen. 


1. Cyan: Zwischen 3584—3591, 3730—3883 und 4207—4215 Ä.E. 
sind schon in der P.T. zahlreiche Linien dem Kohlenstoff zugeschrieben, 
und insbesondere in der zweiten Gruppe zeigt sich starke Anhäufung 
der Linien bei 3883 A.E. Alle Linien dieser Gruppen gehören den 
Cyanbanden Cy V, CyIV und Cylll an, deren Kanten bis 3584, 3883 
und 4216 Ä.E. liegen. Der solare Ursprung dieser Bandenlinien ist 
aus der Beobachtung der weiter unten zu besprechenden generellen 
Rotverschiebung der Linien des Sonnenspektrums am Sonnenrand be- 


271) Bull. Astr. Inst. Netherl. 1 (1922), p. 19. 
272) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 314. 

273) London Roy. Soc. Proc. 74 (1905), p. 538. 
274) Wien Akad. Sitzber. 116 Ila (1907), p. 267. 
275) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 47, 240. 


608 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


reits von H. F. Newall?'®) nachgewiesen, und in einer neueren Unter- 
suchung, die eigentlich der Prüfung der Einsteinschen Linienverschie- 
bung im Gravitationsfeld gewidmet war, hat R. T. Birge?'”) wieder an 
188 Linien der Cy IV-Gruppe eine gemeinsame Verschiebung und da- 
durch ihre Zusammengehörigkeit aufdecken können. 

2. Kohlenwasserstoff: Eine größere Anzahl von Linien in der Nähe 
der G-Gruppe, die übrigens in der P.T. nicht als C-Linien identifiziert 
erscheinen, gehören nach H. F. Newall und F. E. Baxandall?'®) dem 
Kohlenwasserstoffband & an, dem F\. Lowater?"”) noch weitere in der 
Nähe der G-Gruppe befindliche Linien zuschreibt. 

3. Wasserdampf: Nach A. Fowler*?®) gehören etwa 150 Linien im 
Ultraviolett dem Wasserdampfband bei 3064 Ä.E. an. 

4. Ammoniak: Zahlreiche Linien identifizierte A. Fowler”') als 
Linien des Ammoniakbandes bei 3360 Ä.E. Diesem Band fällt danach 
der Hauptanteil zu an der Bildung der ultravioletten P-Gruppe des 
Sonnenspektrums. Spätere Arbeiten von A. Fowler und 0. ©. L. Gre- 
gory?°?) haben die früheren Resultate bestätigt. 


Daß im mittleren Sonnenspektrum zahlreiche Linien auftreten, 
die mit Linien bekannter Elemente nicht identifiziert werden können 
und daß andererseits wieder von einer nicht unbeträchtlichen Anzahl 
von Elementen Linien nicht aufgefunden werden können, erklärt sich 
daraus, daß die auf der Sonne herrschenden Erregungszustände von 
den im irdischen Laboratorium herstellbaren verschieden sind und daß 
einzelne Linienserien soweit im Ultraviolett liegen, daß sie dort in 
der allgemeinen Ultraviolettabsorption des atmosphärischen Ozons un- 
sichtbar werden. Gerade das letztere trifft für C zu, dessen „ultimate 
line“ nach De Gramont?®) bei 2478 Ä.E. liegt, also infolge der Ozon- 
absorption nicht beobachtet werden kann, obwohl sie, da die Ver- 
dampfungstemperatur des C nach Kohn und Guckel?®*) schon bei etwa 
4000° liegt, im Sonnenspektrum vorhanden sein muß. Mit dem oben 
erwähnten, gegenüber Na merkwürdigen Verhalten von Li und Ba 


276) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 68 (1907), p. 2. 

277) Phys. Rev. (2) 21 (1923), p. 712: Astroph. Journ. 59 (1924), p. 45. 

278) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 76 (1916), p. 640. 

279) Pop. Astr. 25 (1917), p. 179. 

280) London Roy. Soc. 1918, Jan. 24. 

281) a. a. O. 

282) London Roy. Soc. Phil. Trans. 218 (1919), p. 351; The Observ. 42 (1919), 
p- 381. 

283) Paris C. R. 171 (1920), p. 1106. 

284) Die Naturwiss. 12 (1924), p. 139, 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 609 


sowie Ba* haben sich Meg Nad Saha®®), H. H. Plaskett?®®) und M. CO. 
Johnson??’) eingehender beschäftigt. Nach Gleichung (85) (p. 590) ist 
n, die Partialkonzentration desjenigen Erregungszustandes eines be- 
stimmten Atoms, der bei einer bestimmten Temperatur eine bestimmte 
Linie ergibt, und somit gibt 37: 
peratur möglichen maximalen Werte von n,. Miß ©. H. Payne”®®) hat diese 
log (n,)max für die Elemente Ca, Fe, Cr, Ti unter Verwendung der den 
einzelnen Serien zukommenden Erregungspotentiale berechnet und mit 
den Intensitätsangaben I der Rowlandschen P.T. für die betreffenden 
Linien verglichen. Die folgende Zusammenstellung gibt ihre Resul- 
tate für das Element Ti: 


— (0) die bei dieser bestimmten Tem- 


E.P. = 0,00, logn, — 1,89, I= 5 | E.P.—= 2,08, log n, — 3,04, I—= 0 
0,82 2,14 4 2,16 4,95 1 
0,90 2,08 3 2,24 4,89 2 
1,05 3,95 3 2,26 45 0 
1,44 3,81 3 2,28 4.83 0 
1,50 3,54 2 2,33 4,80 0 
1,87 3,21 1 2,39 4,75 0 
1,98 3,21 1 2,56 4,60 000 





Man erkennt aus diesen Zahlen deutlich, daß Linienintensität und n, 
in gleichem Maße abnehmen, wie das Erregungspotential wächst, so 
daß die Wahrscheinlichkeit, Linien höheren Erregungspotentials nach- 
weisen zu können, immer geringer wird. Bei Titan treten nun aller- 
dings gleichzeitig die dabei immer kräftiger werdenden Ti*-Linien in 
die Bresche. Würde jedoch das niederste E.P. einer Ti-Serie bei etwa 
2,5 Volt liegen, und die Serien des Ti* entweder im äußersten Ultra- 
violett liegen oder ebenfalls hohe E.P. erfordern, so wäre dann Ti im 
Gegensatz zu seinem wirklichen Verhalten nur durch ganz schwache 
Linien vertreten und somit nur sehr schwer oder überhaupt nicht 
nachweisbar. Es ist übrigens klar, daß die Linienintensität auch von 
der relativen Häufigkeit des betreffenden Elementes in der umkehren- 
den Schicht, in der ja die Fraunhoferschen Linien entstehen, abhängig 
ist, und es sei hier weiter vorgreifend bemerkt, daß in den Spektren 
der Sonnenflecken und der Sonnenchromosphäre Elemente haben auf- 
gefunden werden können, die im mittleren Sonnenspektrum scheinbar 
nicht nachweisbar sind. Eine Liste kräftigerer, in den Spektren der 


285) Phil. Mag. 40 (1920), p. 472. 

286) Domin. astroph. Obs. Publ. Victoria 1 (1922), p. 325. 
287) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 516. 
288) Washington Nat. Acad. Proc. 11 (1925), p. 197. 


610 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Sonne und der Fixsterne vorkommender Linien unbekannten Ursprungs 
ist von F. E. Baxandall?°) zusammengestellt worden. 

Schon L. E. Jewell?°°) hat Differenzen zwischen den Wellenlängen 
der Sonnenlinien und den Messungen im Laboratorium bemerkt, die 
eine einheitliche Erklärung nicht zuließen. Auf die Wahrscheinlichkeit 
einer Verfälschung der Messungen im Sonnenspektrum durch einen 
bei Benutzung verschiedener Stellen des Vergleichslichtbogens auf- 
tretenden Poleffekt haben 7. Royds *°') und Ch. E. St. John und H. D. Bab- 
cock?®”) hingewiesen, und schon früher hatte, wie oben (p. 542) er- 
wähnt, F. @00s die Verwendung eines unter bestimmten Bedingungen 
erzeugten Fe-Bogens gefordert. Daß die Sonnenlinien aber trotz aller 
späteren Vorsichtsmaßregeln fast durchweg eine geringe Rotverschie- 
bung gegenüber den Messungen im Laboratorium zeigen, ist durch 
eingehende Untersuchungen von Chr. Fabry und H. Buisson?®), J. Ever- 
shed?**) und T. Royds?”°) erwiesen und wird von den letzteren beiden 
auf eine allgemeine und mit der Tiefe abnehmende, absteigende Be- 
wegung in der Sonnenatmosphäre zurückgeführt. Daß es neben rot- 
verschobenen Linien aber auch solche gibt, die Violettverschiebung 
aufweisen, wie z. B. an Fe-Linien von 7. Royds?”®) und J. Evershed 
und A. An. Ayyar?”') gefunden haben, bedeutet natürlich eine ganz 
wesentliche Komplikation der obwaltenden Umstände. Doch konnten 
Ch. E. St. John und H._D. Babecock?®) immerhin noch eine so gute 
Konstanz der Wellenlängenwerte für die einzelnen Linien nachweisen, 
daß wenigstens auf angenäherte Gleichmäßigkeit und Konstanz der 
wirkenden Ursachen geschlossen werden darf. Da die Frraunhoferschen 
Linien in verschiedenen Tiefen der umkehrenden Schicht, also unter 
verschiedenen Drucken entstehen, sind geringe Wellenlängenunter- 
schiede übrigens immer zu erwarten, und durch die verschiedene Höhe 
der über diesen Ursprungsschichten lagernden Atmosphärenteile wird 
auch das Aussehen der Linien verschieden beeinflußt sein. Insbeson- 
dere zwischen Sonnenmitte und Sonnenrand wird sich das letztere 
wegen der bei Beobachtung am Sonnenrand größeren Weglänge in 





289) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 166. 
290) Astroph. Journ. 3 (1896), p. 89. 

291) Kodaikanal obs. Bull. 38 (1914); 54 (1916). 

292) Astroph. Journ. 45 (1917), p. 112. 

293) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 97. 

294) Kodaikanal obs. Bull. 36 (1914). 

295) Kodaikanal obs. Bull. 53 (1916). 

296) Kodaikanal obs. Bull. 38 (1914). 

297) Kodaikanal obs. Bull. 46 (1915), 

298) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 36 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 611 


der Sonnenatmosphäre fühlbar machen. Auf die bezüglichen Unter- 
schiede im Aussehen der Linien ist bereits von Hastings?®”) hinge- 
wiesen worden, und @. E. Hale und W. S. Adams?”) bemerken, daß 
das Spektrum des Sonnenrandes bis zu einem gewissen Grade dem 
der Sonnenflecken ähnlich werde. Nicht selten zeigen sich die Wasser- 
stofflinien am Sonnenrand durch eine feine Emission gespalten, also 
einfach umgekehrt.°"') 

Merkwürdigerweise zeigen sich aber zwischen Sonnenmitte und 
Sonnenrand auch deutliche Wellenlängenunterschiede im Sinn einer 
allgemeinen Rotverschiebung am Sonnenrand, die zuerst von J. Halm®®?) 
gelegentlich einer zur spektroskopischen Bestimmung der Sonnenrota- 
tion vorgenommenen Beobachtungsreihe bemerkt und von demselben 
für mit etwa dreijähriger Periode variabel angesehen worden sind. 
Diese Rotverschiebung der Linien am Sonnenrand wurde dann von 
Chr. Fabry und H. Buisson®”) sowie von W. 5. Adams°') im allge- 
meinen — die einzelnen Linien verhalten sich verschieden — bestätigt. 
Adams bemerkte an den Linien der ionisierten Atome die größten 
Verschiebungen und dachte an Verschiedenartigkeit der Druckverhält- 
nisse. J. Evershed und T. Royds?”) dagegen meinen, daß hier ledig- 
lich aus irgendeinem unbekannten Grund eine Verstärkung der oben 
erwähnten allgemeinen Rotverschiebung gegen den Rand hin vorliege. 
Wenn übrigens in den Poren der Sonnenoberfläche ähnliche Bewe- 
gungen stattfinden wie die von Evershed in den Sonnenflecken beob- 
achteten (siehe Sonnenflecken, Evershedeffekt), so könnte die Rotver- 
schiebung am Sonnenrand, wie von R. E. De Lury?"®) ausgeführt wurde, 
auch auf die bei schrägem Austritt des Lichtes aus den zahlreichen 
Randporen merkbar werdende Wirkung dieser Bewegungen zurück- 
geführt werden. f 

W. H. Julius?) hat versucht, zahlreiche an der Sonne beobachtete 
Erscheinungen, darunter auch das eben besprochene abnormale Ver- 


299) Amer. Journ. of Science 5 (1873), p. 369; 21 (1881), p. 35. 
300) Astroph. 25 (1907), p. 300. 
3 301) Siehe A. Belopolsky, Mitt. Nicolai-Hauptsternw. Pulkowo 1 (1905), 
Nr. 1—3. Erst kürzlich wurde von J. Evershed (London Roy. Astr. Soc. Month. 
Not. 87 [1927], p. 350) im Spektrum des Sonnenrandes in der Nähe von X eine 
weitere schwache Emissionslinie beobachtet. 
302) Astr. Nachr. 173 (1907), p. 273. 
303) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 97; Paris C. R. 148 (1909), p. 1741. 
304) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 30; Contr. Mt. Wilson Solar Obs. 43 (1910). 
305) Kodaikanal obs. Bull. 49 (1916). 
306) Pop. Astr. 29 (1921), p. 155. 
307) Astr. Nachr. 153 (1900), p. 433. 


612 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


halten der Linien im Sonnenspektrum durch die von Sellmaier auf 
Grund theoretischer Erwägungen über die Einwirkung der Moleküle 
auf den in der materiellen Substanz schwingenden Äther vorausgesagte 
und später insbesondere von Kundt genauer untersuchte anomale Dis- 
persion zu erklären. Bekanntlich besteht diese anomale Dispersion 
darin, daß in einer selektiv absorbierenden Substanz der normale Ver- 
lauf des Brechungsquotienten mit der Wellenlänge in der Nähe des 
Absorptionsgebietes gestört erscheint. In der Regel wachsen die Bre- 
chungsquotienten bei Annäherung an den Absorptionsstreifen oder die 
Absorptionslinie von der roten Seite her abnorm rasch an und fallen 
umgekehrt bei Herankommen von der violetten Seite her ungewöhn- 
lich rasch ab. Besitzt also eine prismatische Gasschicht in der Nähe . 
einer beliebigen Spektrallinie anomıale Dispersion, so kann dadurch 
eine Verschiebung der betreffenden Linie bewirkt werden, da ja die 
Lage derselben im prismatischen durch die Gasschicht gegebenen Spek- 
trum von dem für die Wellenlänge der Linie geltenden Brechungs- 
quotienten der Gasschicht abhängt. Auf diese spezielle Verschiebungs- 
wirkung der anomalen Dispersion, die von J. Larmor?”) später auch 
theoretisch begründet worden ist, hat ebenfalls bereits W. H. Julius?”) 
hingewiesen und sie für die im Sonnenspektrum beobachteten Rot- 
verschiebungen verantwortlich gemacht. Wenn auch Oh. E. St. John®'®) 
in einer breit angelegten Untersuchung weiterhin hatte zeigen können, 
daß auch die im Gefolge der anomalen Dispersion zu erwartenden 
gegenseitigen Störungen der Linien enger Paare im Sonnenspektrum 
nicht beobachtet werden können, so hat doch W. H. Julius?'') trotz 
mancher Gegnerschaft immer wieder auf die hohe Bedeutung der 
anomalen Dispersion hingewiesen. 

Was den partialen Elektronendruck betrifft, durch den natürlich 
auch die Partialkonzentration n, beeinflußt wird, so hängt derselbe 
wieder vom Gesamtdruck ab, der in der umkehrenden Schicht herrscht, 
also in der Schicht oder in dem Schichtenkomplex, in dem das aus 
dem Sonneninneren kommende kontinuierliche Licht in die Fraun- 
hoferschen Linien umgekehrt wird. Das Spektrum dieser umkehren- 
den Schicht für sich allein, also ein Gasspektrum aus hellen Emis- 
sionslinien, läßt sich bei totalen Sonnenfinsternissen in dem Moment 


308) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 265. 

309) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 1. s 

310) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 311; Washington Nat. Acad. Proc. 2 
(1916), p. 458; Mt. Wilson Obs. Commun. 30 (1916). 

311) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 419; 54 (1921), p. 92; Ann. Phys. 71 
(1922); Amsterdam Koningl. Akad. Proc. 26 (1923), Nr. 5, 6. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 613 


beobachten, wo der Mond die unter der umkehrenden Schicht liegende, 
das kontinuierliche Spektrum ergebende Protosphäre völlig verdeckt 
hat, so daß nur mehr die umgekehrte Schicht und die über ihr 
lagernde Chromosphäre über den Mondrand hervorragen. Die Fraun- 
hoferschen Linien leuchten dann hell auf, und zwar blitzartig (Flash- 
spektrum), da ja der Mond bei seiner Weiterbewegung auch die um- 
kehrende Schicht bald verdeckt. Die Höhe der umkehrenden Schicht 
ergibt sich aus der Dauer des Aufleuchtens der Linien zu etwa 1” 
bis 2” oder rund 1000 km. Bedenkt man, daß nach M. Gouy®"?) eine 
Natriumflamme von 1000 km Dicke pro km nur 2 mg Na enthalten 
müßte, um die D-Linien in gleicher Stärke zu ergeben, wie sie im 
Sonnenspektrum beobachtet werden, so folgt, daß die Stoffmenge und 
daher auch der Druck in der umkehrenden Schicht äußerst gering 
sein dürfte. Dieser in der umkehrenden Schicht herrschende Druck 
kann nach einer Zusammenstellung von H. N. Russell und J. Q. Ste- 
wart?'?) nach folgenden Methoden abgeschätzt werden: 


1. Druckverschiebung der Linien. Aus den Unterschieden der Wellen- 
längen in Sonne und Bogen haben der Reihe nach gefunden: 


L. E. Jewell, J. F. Mohler und W.J. Humphreys?'*) 2—T Atm. 


ne: Pabeu und Hi Buisson®®) . „2 ya, sb, 
RR 000. 23 0 Rd a 
A. Perot?") BEN 04 ,„ 
Ch. E. St. John und H.D.Babecock?®). . . 0,13+0,06 „ 


Die ersten Werte sind wohl infolge der Wirkung des oben erwähnten 
Poleffektes des Vergleichslichtbogens viel zu groß ausgefallen, aber 
auch die neueren Bestimmungen erscheinen im Vergleich zu den aus 
anderen Erwägungen gefolgerten Drucken jedenfalls infolge der Schwie- 
rigkeit der Trennung von Druckeffekt und allgemeiner Rotverschie- 
bung noch immer zu hoch. 


2. Schärfe der druckempfindlichen Linien. Mit Rücksicht darauf, 
daß die Linien im Geißlerrohrspektrum bei zunehmendem Druck rasch 
verwaschen werden, schloß schon A. Secchi?'?) aus Breite und Schärfe 


312) Paris C. R. 154 (1912), p. 1764. 

313) Astroph. Journ. 59 (1924), p. 197. 

314) Astroph. Journ. 3 (1896), p. 138. 

315) Paris ©. R. 148 (1909), p. 688. 

316) Kodaikanal obs. Bull. 18 (1909), p. 131. 

317) Paris C. R. 1922, Apr. 3; Bull. Soc. astr. de France 36 (1922), p. 297. 

318) Astroph. Journ. 60 (1924), p. 32; Contrib. Mt. Wilson Obs. 278 (1924). 

319) Die Sonne, deutsch von A. Schellen, Braunschweig 1872, Westermann, 
p- 266. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI?2, B. 40 


614 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


der Fraunhoferschen Linien auf einen Druck in der umkehrenden Schicht: 
von höchstens 5 Atm. Neuere Untersuchungen von A. 8. King°?®) im 
elektrischen Ofen an den Cr-Linien 4111, 4097, 3912 und weiter an 
mehreren Ba-Linien°®®!), sowie von F. A. Saunders???) an den Linien 
4355, 4108, 3972 des Ca, die durchweg bei Atmosphärendruck ver- 
waschen, bei niederem Druck aber scharf erscheinen, ergaben einen 
Druck von weniger als 0,1 Atm., und zu dem gleichen Ergebnis ge- 
langte J. Evershed®?°) aus dem Verhalten des Balmerlinien des Wasser- 
stoffs. 


3. Undurchsichtigkeit der Photosphäre und Reflexionsfähigkeit der 
umkehrenden Schicht. Wegen der Diffusion der aus den tieferen Schichten 
kommenden Strahlung durch Streuung an den freien und gebundenen 
Elektronen wird die Photosphäre in einer bestimmten Tiefe undurch- 
sichtig, und in gleichem Sinn wirkt die thermische Absorption der 
freien Elektronen. Auf Grund theoretischer Betrachtungen hierzu von 
J. Q. Stewart?) fanden H. N. Russell und J. Q. Stewart?) unter Zu- 
grundelegung der Vorstellungen von Meg Nad Saha über die ther- 
mische Ionisation (siehe dort!) für eine Temperatur von 5000° voll- 
ständige Undurchsichtigkeit der Photosphäre in einer Tiefe, wo der 
Druck höchstens etwa 0,01 Atm. beträgt. Da das Flashspektrum keinen 
kontinuierlichen Untergrund zeigt, die umkehrende Schicht also fast 
kein Licht reflektiert und daher fast völlig durchsichtig sein muß, so 
folgt unter der Annahme, daß ein eventueller kontinuierlicher Unter- 
grund des Flash sicher nicht ;4, der Helligkeit des kontinuierlichen 
Photosphärenspektrums erreicht, und unter der weiteren Voraussetzung 
einer Proportionalität zwischen Reflexionsfähigkeit und Druck für die 
umkehrende Schicht ein Höchstdruck von 10”* Atm. 


4. Breite der Fraunhoferschen Linien. Die Breite der Spektrallinien 
wächst mit der Zahl der absorbierenden Atome und der stattfinden- 
den Kollisionen, weiter durch Auftreten eines Starkeffektes, der durch 
die Felder der Ionen und freien Elektronen erzeugt wird, und daher 
mit der Zahl dieser letzteren, also überhaupt mit der Dichte, und 
endlich auch noch wegen des thermischen Dopplereffektes mit der 
Temperatur. Auf Grund der Untersuchungen von J. ©. Stewart?”®) über 


320) Astroph. Journ. 41 (1915), p. 86. 

321) Astroph. Journ. 48 (1918), p. 13. 

322) Astroph. Journ. 59 (1924), p. 198 (Brief an H. N. Russell). 
323) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 82 (1922), p. 394. 
324) Nature 111 (1923), p. 186; Phys. Rev. 22 (1923), p. 324. 
325) Astroph. Journ. 59 (1924), p. 197. 

326) Astroph. Journ. 59 (1924), p. 30. 


10. Das mittlere Sonnenspektrum. 615 


den Einfluß des thermischen Dopplereffektes und der Zahl der absor- 
bierenden Moleküle, von H. A. Lorentz??") über die Wirkung von Kol- 
lisionen und von R. d’E. Atkinson???) über den Starkeffekt fanden 
H. N. Russell und J. @. Stewart”””) mit den D-Linien für den Partial- 
druck aller Na-Atome ca. 10-° Atm. Nimmt man nun an, daß Na 
etwa ;, der ganzen Materie der umkehrenden Schicht ausmacht, so 
wäre der Gesamtdruck 10-® Atm. Auf dem gleichen Wege ergab sich 
für Wasserstoff der etwas höhere Wert von 10° Atm. Möglicher- 
weise ist der Unterschied durch das abnorme Verhalten der Wasser- 
stofflinien verursacht, die ähnlich wie die Linien ionisierter Atome in 
den Spektren der. weniger dichten Riesensterne kräftiger erscheinen 


als in den Spektren der dichteren Zwerge.??®) 


5. Gravitationsgleichgewicht der oberen Schichten. Aus den nicht auf 
spektralanalytischer Basis beruhenden Beziehungen, die von A. $. Ed- 
dington®?‘) und Meg Nad Saha®””) entwickelt worden sind, schlossen 
Russell und Stewart (a. a. 0.) ebenfalls auf einen Druck in der um- 
kehrenden Schicht von ungefähr 10”* Atm. 


6. Ionisation von Ca und Dissoziation von TiO,. Die Linien H und 
K des ionisierten Ca sind auch im Spektrum der Sonnenflecken noch 
viel kräftiger als die Linie 4226 des neutralen Ca. Nimmt man für 
die Sonnenfleckentemperatur etwa 4200° an, so dürfte die darüber- 
liegende umkehrende Schicht eine Temperatur von etwa 3600° (85°/,) 
besitzen. Mit dieser Temperatur und dem lonisationspotential von 
6,09 Volt des Ca folgt aber aus der Sahaschen Formel (Gleichung (79) 
auf p. 588) 


5036 7 
log 


+lgf,=— — +28187— 65 


c 
1—x 





e 


für P PT. 10-7, num 
KL 


—e< 1 ist, muß P, von der Größenordnung 10-7 Atm. 





und da 


sein. Berücksichtigt man, daß die Ionisation dureh Absorption photo- 


327) Amsterdam Koningl. Akad. Proc. 18 (1914), p. 134. 

328) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 82 (1922), p. 396. Siehe auch 
E. 0. Hulburt, Astroph. Journ. 59 (1924), p. 177. 

329) a. a. 0. 

336) Harvard Coll. Obs. Circ. 258 (1924). 

331) Siehe Emden, Thermodynamik der Himmelskörper, diese Encykl. VI, 
p. 487 ff. 

332) Astropb. Journ. 50 (1919), p. 220. 

333) Der bei Russell (a. a. O.) gegebene Zahlenwert von 8,10-" wurde hier 
in 7,5 - 1077 richtiggestellt. 

40* 


616 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


sphärischer heißerer Strahlung begünstigt wird, so könnte man P, zu- 
nächst auf 10-° Atmosphären und dann bei Bedachtnahme, daß auch 
noch andere ebenso leicht ionisierbare Elemente (Na, K, Al,...) vor- 
handen sind, noch weiter auf 10-5 Atm. erhöhen. 

TiO, ist im mittleren Sonnenspektrum als Verbindung nicht nach- 
weisbar, also völlig dissoziert. W.d@’E. Atkinson°®*) nimmt an, daß 
auch OÖ, vollständig dissoziiert ist, daß also die Reaktionsgleichung 


T10,5 T1+0,5Ti+20 
besteht und die Reaktionswärme somit durch die Dissoziation von O, noch 


verstärkt wird. Mit einer Gesamtreaktionswärme von U—= 285000 cal 
für den ganzen Prozeß folgt dann aus der Sahaschen Gleichung 





log TiPso Bi x: P° 
2° Prio, (1— xz)(1— 2x)? 
62 300 


-— — 77435, T— 27-10. 7 — 2,0 


wieder, daß P zwischen 10-° und 10-° Atm. liegen dürfte. Zu ähn- 
lichen Resultaten gelangten R. H. Fowler und E. A. Müne??°) bei Be- 
trachtung der Bedingungen, unter denen die Linienserien ihr Inten- 
sitätsmaximum erreichen, und dann später noch C. H. Payne®”°) und 


H. D. Menzel.??‘) 


7. Grenzlinien der Serien. Meg Nad Saha??®) bemerkt, daß von 
dem Moment an, wo die Elektronenbahnen von der Dimension des 
mittleren Atomabstandes werden, weitere Serienglieder bis zur Serien- 
grenze nicht mehr auftreten können. Aus der Tatsache, daß in Stern- 
spektren nur bis zu 24 Linien der Balmerserie beobachtet worden 
sind, und dem mit den Dimensionen der Elektronenbahn der letzten 
Serienlinie gleichzeitig gegebenen mittleren Atomabstand folgt dann 
ein Druck von 10-3 bis 10-* Atm., ein Resultat, zu dem auch J. W. 
Nicholson???) gelangte. 

Stellt man alle diese Bestimmungen zusammen, so hat man 


1. Druckverschiebung. . . . . . P<107! Atm. 
2: Linienschare 2. .,:12.% a Ra % 
3. Durchsichtigkeit des Flash. . . m 10-3 . 
4. Linionbreite 77.4.2... 2.0.06 10-6 u 


334) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 82 (1922), p. 396. 

335) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 403; 84 (1924), p. 499. 
336) Harvard Coll. Obs. Circ. 256 (1924). 

337) Harvard Coll. Obs. Circ. 258 (1924). 

338) Nature 114 (1924), p. 155. 

339) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 253. 


11. Das Spektrum der Sonnenflecken. 617 


5. Strahlungsgleichgewicht . . »107* Atm. 
DeIBmBBR a o10-5—1078  , 
7. Grenze der Balmerserie . . »10-3—10-% 


Man wird also für die umkehrende Schicht einen Druck von etwa 
10-* Atm. anzunehmen haben. 


ll. Das Spektrum der Sonnenflecken. Von den im mittleren 
Sonnenspektrum nicht durch Linien vertretenen Elementen sind in 
den Spektren der Sonnenflecken noch weiter aufgefunden worden: 


He durch die Heliumlinie D® (Orthoheliumdublet 1?P — 2?D bei 
5875,96 und 5875,61 A.E.), die zwar selten in den Flecken selbst, 
aber häufig in den einen Fleck umgebenden Photosphärenteilen be- 
obachtet worden ist. Dort dürfte sie als dunkle Linie zuerst von 
C. A. Young am 2. Sept. 1870 bemerkt worden sein. Später wurde 
sie von H. Kreusler®*) wieder einmal als dunkle Linie gesehen, und 
seither ist sie im Fleckenspektrum oft aufgefunden worden, z. B. von 
CO. Michie Smith‘), von A. A. Buß®?), der sie über Fackelgebieten 
ohne Vorhandensein eines Flecken bemerkte, von @. Nagaraja®“?), der 
besonders darauf hinwies, daß D, meistens dann auftritt, wenn über 
demselben Gebiet auch 4, und H, umgekehrt erscheinen und der die 
Linie auch einige Male über den Flecken selbst als ganz feine helle 
Linie beobachtete, und von R. A. C. Daunt”*), der sie einmal auf 
einer Lichtbrücke zwischen zwei Flecken sogar deutlich doppelt um- 
gekehrt sah. 

Li ist nach A. $. King®") durch die „ultimate line“ der Haupt- 
dubletserie 129 — 2?P bei 6707,8 Ä.R. nachweisbar, und von 

Rb ist nach H. N. Russell®‘°) ebenfalls das Linienpaar 7300,3 und 
7947,6 der Hauptdubletserie 125 — 2?P vorhanden. (Im mittleren 
Sonnenspektrum kommt nach dem früheren nur Rb* vor.) 

Das im mittleren Sonnenspektrum vorkommende O-Triplet bei 
7773 fehlt im Fleckenspektrum nach P. W. Merrill®"), dagegen ließen 
sich von @. E. Hale und W. S. Adams®®) von der O-Verbindung 

TiO, zwischen 5598—7126 Ä.E. 152 Bandenlinien identifizieren. 


340) Verh. deutsch. phys. Ges. 1904, p. 197. 

341) Kodaikanal obs. Bull. 3 (1905), p. 65; The Observat. 28 (1905), p. 358. 
342) The Observat. 30 (1907), p. 62. 

343) The Observat. 30 (1907), p. 214. 

344) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 69 (1909), p. 605. 

345) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 169; Contr. Mt. Wilson Obs. 122 (1916). 
346) Publ. Astr. Soc. Pac. 33 (1921), p. 202. 

347) Astroph. Journ. 51 (1920), p. 247; Contr. Mt. Wilson Obs. 183 (1920). 
348) Astroph. Journ. 25 (1907), p. 75. 


618 | VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Die nach Rot abschattierten Banden des TiO, haben ihre Banden- 
köpfe nach F. E. Baxandall””) bei den Wellenlängen 6275,5, 6651,2, 
6680,8, 6781,2, 6814,8, 7054,5, 7087,8, 7092,9 und 7125,6 A.E. 

Magnesiumhydrid (MgH,). Auf Grund der Untersuchungen von 
E. E. Brooks®°°) über das Bandenspektrum des MgH, fand A. Fowler ®®') 
auf @. E. Hales Aufnahmen des Fleckenspektrums zahlreiche Linien, 
die den beiden nach Violett abschattierten Banden mit den Kanten 
bei 5211 und 5620 Ä.E. angehören. 

Kalziumhydrid (CaH,). Die beiden Hi Violett verlaufenden 
Bänder des CaH,, deren Bandenkanten bei 6382 und 6389 Ä.E. liegen 
und die leicht beobachtet werden können, wenn der Ca-Bogen in einer 
Wasserstoffatmosphäre brennt, wurden im Fleckenspektrum zuerst von 
Ch. M. Olmstedt”??) aufgefunden. Außerdem liegen schwache Bänder 
des CaH, noch bei 6393, 6398 und 6407 Ä.E. J. Barnes®®) beob- 
achtete später die beiden zuerst genannten Banden des CaH, auch in 
einem unter niedrigem Druck in Luft brennenden Ca-Bogen und meinte 
daher, daß die im Fleckenspektrum beobachteten Banden möglicher- 
weise auch rein metallischen Ursprungs sein könnten. 

Wasserdampf. Die Frage, ob im Fleckenspektrum Wasserdampf- 
linien vorkommen, wurde von A. L. Cortie?°‘) erörtert, dem es gelang, 
auf einer Aufnahme von W. M. Mitchell zu Princeton vom 31. Juli 
1906 bei 64 zwischen 5900 und 5950 Ä.E. liegenden H,O-Dampf- 
linien ein Verstärkung im Fleckenspektrum zu beobachten. Trotzdem 
wurde von J. Evershed?°®) und W. M. Mitchell?) auf Grund eigener 
Untersuchungen bezweifelt, daß die Sonnenflecken Wasserdampf ent- 
halten. 

Eine Anzahl von im Fleekenspektrum beobachteten Banden, deren 
Identifikation vorläufig noch aussteht, ist in einer Liste von F. E. Ba- 
xandall?’') zusammengestellt worden. 

Beim Vergleiche des Fleckenspektrums mit dem mittleren Sonnen- 
spektrum zeigt sich, daß die Linien im ersteren vielfach Verände- 
rungen gegenüber dem letzteren aufweisen. Im Fleckenspektrum er- 
scheinen manche Linien dunkler und dabei oft beträchtlich verbreitert, 


349) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 568. 
350) London Roy. Soc. Proc. 80 A (1907), p. 218. 
351) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 67 (1907), p. 530. 
352) Astroph. Journ. 27 (1908), p. 66. 
353) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 175. 
354) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 379. 
355) The Observat. 32 (1909), p. 101. 
356) Astroph. Journ. 30 (1909), p. 40. 
357) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 568. 


11. Das Spektrum der Sonnenflecken. 619 


andere erscheinen hell statt dunkel und wieder andere schmäler und 
schwächer. Aber alle diese Unterschiede treten fast ausschließlich nur 
im Bereich der langen Wellen auf, nicht aber oder wenigstens nicht 
im gleichen Ausmaß im photographischen Teil. Nicht selten zeigen 
sich einzelne Linien im Fleckenspektrum durch eine aufgelagerte feine 
Emission gespalten, gleichsam als wären sie einfach umgekehrt, oder 
sie erscheinen nicht gerade, wie es für sie als optische Bilder des 
geraden Spektrographenspaltes sein sollte, sondern verkrümmt, ver- 
ästelt, als würden in der vom Spalt aus der Sonnenoberfläche heraus- 
geschnittenen Zone nebeneinander Gasströme mit Geschwindigkeiten 
von bis zu 500 km/see und mehr auf- und absteigen und dadurch in 
einzelnen Teilen der Linien starke Dopplersche Verschiebungen hervor- 
rufen. Alle diese Veränderungen sind schon frühzeitig, z. B. von 
8. J. Perry°°®), H. ©. Vogel®®’) oder J. N. Lockyer?°®) beschrieben wor- 
den, und später haben sich u. a. @. E. Hale und W. S. Adams °*!), 
W. M. Mitchell ?®?), J. Evershed°°®), A. Fowler?®), H. F. Newall ?®), 
A. Belopolsky?°®) und A. L. Cortie?®”) um die Identifikation und Tabu- 
lierung der Linien von im Fleckenspektrum verändertem Aussehen be- 
müht. Für das Studium solcher Linien sind die „Photographie maps“ 
des Sonnenfleckenspektrums zu empfehlen, die von F\. Ellermann nach 
Aufnahmen des Mt. Wilson-Solar-Observatory zusammengestellt und 
von @. E. Hale?‘®) besprochen worden sind. 


Bevor wir die im Fleckenspektrum beobachteten Eigentümlich- 
keiten auf Grund der neueren Vorstellungen über den Atombau und 
die Ionisation zu erklären versuchen, seien die älteren Ansichten über 
diesen Gegenstand kurz gestreift. Infolge ungenauer, mit zu geringer 
Dispersion ausgeführter Wellenlängenmessungen hielt ZLockyer Linien, 
die verschiedenen Elementen angehören und nur wenig verschiedene 


358) Ebendort 44 (1884), p. 244. 

359) Bothkamper Beobachtungen Bd. 1 u. 2. 

360) London Roy. Soc, Proc. 31 (1880), p. 72, 348. 

361) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 211; 23 (1906), p. 11; 27 (1908), p. 45; 
30 (1909), p. 86. 

362) Astroph. Journ. 22 (1905), p. 4; 24 (1906), p. 78. 

363) Kodaikanal obs. Bull. Nr. 1, 4, 6, 8 (1905—1907). 

364) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 65 (1905), p, 205. 

365) Ebendort 67 (1906), p. 158. 

366) Mitt. Nieolai-Hauptsternw. Pulkowo 2 (1907), p. 32. 

367) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 62 (1902), p. 516; 63 (1903), p. 468; 
Astroph. Journ. 20 (1904), p. 253. 

368) Publ. Astr. Soc. Pac. 19 (1907), p. 240. Eine zweite Tafelsammlung in 
größerem Maßstab wird in Pop. Astr. 28 (1920), p. 600 besprochen. 


620 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Wellenlänge besitzen, für völlig identisch, und er meinte, daß die ver- 
schiedenen Elemente gemeinsame Linien besitzen und daher Kombi- 
nationen einfacherer Urelemente seien und daß das Spektrum eines 
irdischen Elementes daher nichts anderes sei, als die Summe der Spek- 
tren der in ihm enthaltenen Urelemente. Seine Vorstellungen schienen 
durch eine Beobachtung von W. Huggins?®°) eine Stütze zu erhalten, 
der in den Spektren weißer Sterne öfters von den beiden Linien des 
Ca* H und K nur die erstere zu sehen glaubte, die letztere aber 
nicht, denn das Fehlen der K-Linie schien auf eine Dissoziation der 
das Ca bildenden Urelemente hinzuweisen. Trotzdem sich aber bald 
danach herausstellte, daß die von Huggins beobachtete Einzellinie gar 
nicht dem Ca angehöre, sondern eigentlich die Wasserstofflinie H, sei, 
fielen Lockyers Vorstellungen aber doch erst in dem Moment, wo durch 
genauere Messungen erwiesen worden war, daß die den verschiedenen 
Elementen scheinbar gemeinsamen Linien doch verschiedene Wellen- 
längen besitzen, also keineswegs identisch sind. Nach Lockyers Ideen 
wären die im Fleckenspektrum beobachteten Eigentümlichkeiten etwa 
dadurch zu erklären gewesen, daß in den Flecken infolge der dort 
stürmischen Wirbelbewegung eine Störung in der Verteilung der Ur- 
elemente eintrete. Später hat J. N. Lockyer?'®) seine ursprünglichen 
Vorstellungen in Vorausahnung der modernen Ansichten über den 
Atombau dahin modifiziert, daß er dem das Bogenspektrum ergeben- 
den Element ein Protoelement zur Seite stellte, dem das Funken- 
spektrum zuzuschreiben wäre. 

@G. E. Hale, W. S. Adams und H. G. Gale?"') fanden, daß in einem 
ganz schwachen, bei einer Stromstärke von nur 2 Amp. brennenden 
Bogen alle die Linien verstärkt oder geschwächt erscheinen, die ein 
gleiches Verhalten im Fleckenspektrum zeigen, und daß die im letz- 
teren geschwächten Linien durchwegs Funkenlinien seien, und zu 
einem völlig gleichen Resultat gelangte auch A. Fowler?) durch ge- 
naues Studium der Bogen- und Flammenspektren von Fe, Ti, V, Se. 
Daraus kann aber nun geschlossen werden, daß es lediglich der durch 
die niedrigere Temperatur in den Sonnenflecken bewirkte geringere 
Ionisationsgrad ist, der die erwähnten spektralen Veränderungen her- 
vorruft. Auf Grund seiner Theorie der thermischen lonisation war 
schließlich Meg Nad Saha®"®) in der Lage, das mutmaßliche Verhalten 


369) London Roy. Soc. Proc. 30 (1879), p. 20; Phil. Trans. 171 (1880), p. 669. 
370) London Roy. Soc. Proc. 60 (1897), p. 475; 61 (1897), p. 148. 

371) Astroph. Journ. 24 (1906), p. 185; 25 (1907), p. 75. 

372) Trans. Intern. Union Coop. in Solar research 1, p. 201. 

373) Phil. Mag. (6) 40 (1920), p. 472, 809. 


11. Das Spektrum der Sonnenflecken. 621 


der Linien einzelner Elemente, und zwar hauptsächlich der Alkali- 
metalle in den Fleckenspektren rechnerisch zu ermitteln. H. N. Rus- 
sell?'*) hat daraufhin nach Gleichung (78) bzw. (79) (p. 588) die Pro- 
zentsätze an wirksamen Atomen der Alkalimetalle und Erdalkalien 
unter Annahme verschiedener Werte für den Druck P, in der umkeh- 
renden Schicht berechnet und dabei für den nach den Ausführungen 
der vorigen Nr. wahrscheinlich gewordenen Druck von 10”* Atm. die 
folgenden Zahlen erhalten: 


























Wirksame Atome in %, ’ 
Element || Ion.Pot. Verhalten im Fleckenspektrum 
6000° | 4000° 
Rb 4,16 0,02 0,83 nur in Flecken 
K 4,32 0,02 1,8 verstärkt 
Na 5,11 0,11 10,6 verstärkt 
Ba 5,12 - 0,10 11,8 weder im mittleren Sonnenspek- 
trum noch im Fleckenspektr. 
Li 5,37 0,19 21,8 nur in Flecken 
Sr 5,67 0,3 40,0 verstärkt 
Ca 6,08 0,7 68,5 verstärkt 
Mg 7,65 13,2 99,52 nur eine Linie etwas verstärkt 
Zn 9,4 75,6 99,995 geschwächt 
Ba*+ 9,86 91,3 88,2 nahe unverändert 
Srt 10,70 97,9 60,0 14162 merklich geschwächt 
Cat 11,86 99,1 81,5 unverändert 





Die beigefügten Angaben über das Verhalten in den Flecken- 
spektren beruhen teilweise auf eigenen Beobachtungen Russells, teil- 
weise sind sie Untersuchungen von W. 8. Adams®®) und A. 8. King?”®) 
entnommen. Sieht man von Zn und Mg ab, so folgt aus den obigen 
Zahlen für die Temperaturen von 6000° bzw. 4000° für die flecken- 
freie Photosphäre bzw. die Flecken gute Übereinstimmung zwischen 
Rechnung und Beobachtung. Sogar für Mg konnte Russell (a. a. O.) 
feststellen, daß die Linie A 4571 (1$— 2?P), die im Laboratorium 
bei steigender Temperatur immer zuerst sichtbar wird, als Linie nie- 
derer Temperatur im Fleckenspektrum folgerichtig verstärkt erscheint. 
Was noch Ca* betrifft, bei dem aus den Zahlenangaben vielleicht eine 
Abschwächung im Fleckenspektrum gefolgert werden sollte, so muß 
erwogen werden, daß Ca in der ganzen umkehrenden Schicht nahezu 
völlig ionisiert ist, so daß die Ca*-Linien bei der großen Menge des 
Stoffes übersättigt sein müssen. Eine Abschwächung im Fleckenspek- 
trum wird daher kaum zu bemerken sein, um so mehr als die Menge 


374) Astroph. Journ. 55 (1924), p. 117. 
375) Astroph. Journ. 30 (1909), p. 108; Mt. Wilson Obs. Contr. 40 (1909). 
376) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 169; Mt. Wilson Obs. Contr. 122 (1916). 


622 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


ionisierten Stoffes ja auch in den Flecken noch eine recht beträcht- 
liche ist. In zahlreichen Arbeiten hat A. 8. King®”) das Verhalten 
der Linien verschiedener Elemente im Ofen, Bogen und Funken unter- 
sucht und die Linien nach Temperaturklassen klassifiziert. Danach 
zeigen auch die Linien des Sc, Ti, V, Cr, Fe, Mn, wie Russell (a. a. O.) 
betont, gegenüber dem Bogen im Ofen Verstärkung, im Funken Schwä- 
chung, also ein Verhalten, das mit den Unterschieden zwischen mitt- 
lerem Sonnenspektrum und Fleckenspektrum übereinstimmt. Daher 
besitzt das Sonnenfleckenspektrum, wie von @. E. Hale und W.S. 
Adams®"®), W. M. Mitchell?) und W. 8. Adams”) gelegentlich be- 
merkt worden ist, besonders bei Aufnahmen mit geringer Dispersion 
große Ähnlichkeit mit den Spektren kühlerer Sterne, ein Umstand, 
aus dem schon J. N. Lockyer°®') für die Flecken auf eine Temperatur 
ähnlich etwa der des- Arkturus geschlossen hat. 

Wenn also die niedrigere Fleckentemperatur und daher geringere 
lonisation im allgemeinen im Verhalten der Linien ihre Bestätigung 
findet, so steht zu erwarten, daß an Stellen höherer Temperatur, also 
offenbar in den hellen Fackelgebieten das Umgekehrte der Fall sein 
wird. Tatsächlich hat Ch. E. St. John???) über Fackelgebieten zwar an 
den Bogenlinien des Titan bei 4306, 4527, 4548 Ä.E. keine merkbare 
Veränderung, an den Funkenlinien A 4444, 4469, 4501, 4572 desselben 
Elementes dagegen Verstärkung beobachten können. 

Daß die Sonnenflecken eigentlich Wirbelgebiete sind, ist aus der 
strahligen Struktur der Penumbra zu erkennen. Versuche von W. H. 
Julius?®?) und theoretische Untersuchungen von 8. Rosseland®®*) haben 
gezeigt, daß solche Gaswirbel im durchgehenden Licht dunkel er- 
scheinen. Wirklich drehende Bewegungen von Sonnenflecken sind zu- 
erst von Silberschlag?®), dann von W. Dawes®®) und W. Birt®?) be- 
obachtet und später von P. Kempf’**) eingehend untersucht worden. 


377) Astroph. Journ. 21 (1904), p. 250; 37 (1913), p. 239; 39 (1914), p. 139; 
41 (1915), p. 86; 42 (1915), p. 344; 53 (1921), p. 133; 54 . (1921), p. 28. 

378) Auisoh, Journ. 23 (1906), p. 400. 

379) Astroph. Journ. 23 (1906), p. 211. 

380) Astroph. Journ. 24 (1906), p. 69. 

381) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. App. 1904. 

382) Pop. Astr. 30 (1922), p. 228. 

383) Phys. Ztschr. 15 (1916), p. 45. 

384) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 342. 

385) Siehe bei Jean Bernoulli, Lettres astronomiques, Berlin 1771, p. 6. 

386) London Roy. Astr. Soc. Mem. 21 (1852), p. 159. 

387) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 19 (1859), p. 182. 

388) Astr. Nachr. 195 (1910), p. 197. 


11. Das Spektrum der Sonnenflecken. 623 


Der spektroskopische Nachweis des bei Wirbeln erfolgenden Ein- und 
Ausströmens der Gase ist an seitwärts von der Sonnenmitte gelegenen, 
also mit der Wirbelachse schräg gegen die Erde stehenden Sonnen- 
flecken von J. Evershed®®”) erbracht worden, der unter Verwendung 
der Linien A, und K, bzw. H, und K, des Ca für die mittleren und 
oberen Schichten der Chromosphäre (siehe Nr. 13, Monochromatische 
Aufnahmen der Sonne. Spektroheliograph) in den tieferen Schichten 
über den Flecken ein parallel zur Sonnenoberfläche erfolgendes Aus- 
strömen der Ca-Dämpfe aus den Flecken, in den obersten Chromo- 
sphärenschichten dagegen ein Einströmen in die Flecken nachweisen 
konnte, Dieser „Evershedeffekt“ wurde durch weitere Beobachtungen 
von Ch. E. St. John®”°), der dabei auch die Bewegung des Ca-Dampfes 
in sehr verschiedenen Höhen der Chromosphäre bis herab zur Photo- 
sphäre untersuchte®”!), sowie von J. Evershed?”) und von R.E. de 
Lury und J. L. O’Connor®”?) bestätigt. In Verbindung mit einer Unter- 
suchung über die Höhe in der Chromosphäre, in der die Linien ein- 
zelner Elemente ihren Ursprung nehmen, haben Ch. E. St. John und 
H. D. Babeock°®*) folgende mittlere Geschwindigkeiten des Ein- und 
Ausströmens ermittelt: 





Höhe in der Chromosphäre: 14000 . . v = 3,8 
12800... 3,0 
te se Einströmen 
5500... 0,4 
5000: 
1500... 0,0 
1000... 0,2 
400... 1,0% Ausströmen 
2787... 292,0 


Infolge des Evershedeffektes zeigt sich an den dem Sonnenrand nahe- 
liegenden Penumbrateilen eines Flecken Rotverschiebung, an der der 
Sonnenmitte zugewendeten Fleckenseite dagegen Blauverschiebung der 
im Fleckenniveau entstehenden Fleckenlinien. De Lury und O’Connor 
(a. a. 0.) fanden, daß die Rotverschiebung meistens größer ist als die 


389) Kodaikanal obs. Bull. 15 (1909); London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 70 
(1910), p. 217. 

390) Astroph. Journ. 37 (1913), p. 322; 38 (1913), p. 341. 

391) Ebendort 32 (1910), p. 36; 34 (1911), p. 57, 131. 

392) Ebendort 40 (1914), p. 156; Kodaikanal obs. Bull. 51 (1916). 

393) Pop. Astr. 29 (1921), p. 156. 

394) Astroph. Journ. 60 (1924), p. 32. 


624  VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Blauverschiebung. Sie glaubten darin die Ursache der allgemeinen 
Rotverschiebung der Linien am Sonnenrand erblicken zu können. 

| W. H. Julius”) hat versucht, den Evershedeffekt auf die Wir- 

kung anomaler Dispersion zurückzuführen. 

Die Wirbelnatur der Sonnenflecken fand weitere Beweise in Auf- 
nahmen mit dem Spektroheliographen (s. Nr. 13) und in der Ent- 
deckung des in den Fleckengebieten vorhandenen magnetischen Fel- 
des. Auf den Aufnahmen mit dem Spektroheliographen im Lichte 
der H,-Linie, die von @. E. Hale und F. Ellermann °”®) begonnen 
worden sind, zeigten sich stets an vielen Stellen der Sonnenoberfläche 
Wasserstoffwirbel, deren Zentrum zumeist ein Sonnenfleck bildete und 
in einer Serie von H,-Spektroheliogrammen, die vom 29. Mai bis 
4. Juni 1908 läuft, konnte G. E. Hale®”') einmal einen großen Wasser- 
stofflocculus beobachten, der im Verlauf dieser Zeit nach und nach 
gänzlich in den Sonnenfleck eingesogen wurde. 

Was das magnetische Feld der Sonnenflecken betrifft, so brachte 
seine Entdeckung gleichzeitig die Erklärung für die so häufig im 
Fleckenspektrum beobachteten Spaltungen einzelner Linien. Bis vor 
etwa zwanzig Jahren hat man diese Trennung einer scheinbar ver- 
breiterten Linie durch eine aufgelagerte schmale Emission in zwei 
Teile für eine durch starke Schichtung der Gase hervorgerufene ein- 
fache Umkehrung gehalten. Gelegentlich der Beobachtung, daß die 
Wasserstoffwirbel, wie oben erwähnt, häufig einen Flecken zum Zen- 
trum hatten, kam @. E. Hale’®®) auf die Vermutung, daß die in diesen 
Wirbeln kreisenden freien Elektronen ein Magnetfeld hervorrufen und 
daß die im Fleckenspektrum bemerkten Linienverdoppelungen nicht 
einfach Umkehrungen, sondern wirkliche Aufspaltungen im Magnet- 
feld durch den Zeemaneffekt seien. Danach müßten also die beiden 
Komponenten eines solchen Dublets entgegengesetzt zirkular polari- 
siert sein. Bald danach gelang es @. E. Hale°””) tatsächlich, diesen 
Polarisationszustand bei zwei Flecken nachzuweisen, indem er zunächst 
die zirkulare Polarisation der beiden Linienkomponenten durch Vor- 
schalten eines F’resnelschen Prismas in lineare Polarisation von bei 
den beiden Komponenten senkrecht zueinander stehenden Polarisations- 
ebenen verwandelte und darauf durch Drehen eines Nicols einmal die 
eine, dann die andere Linie des Dublets zum Verschwinden brachte. 


395) Bull. Astr. Instr. Netherlands 2 (1925), p. 219. 

396) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 41. 

897) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 100. 

398) Ebendort. 

399) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 315; Publ. Astr. Soc. Pacif. 20 (1908), p. 220. 


11. Das Spektrum der Sonnenflecken. 625 


Die Aufspaltung der Linien befolgte dabei deutlich die Prestonsche 
Regel, und die Feldstärke ergab sich zu etwa 2900 Gauß. Hales 
Entdeckung wurde bald danach von J. Evershed‘°®) bestätigt. Auf 
Grund einer Statistik an 970 Flecken fanden dann @. E. Hale, F. Eller- 
mann, 8. B. Nicholson und A. H. Joy*'), daß die Flecken auf den bei- 
den Hemisphären der Sonne verschiedene Polarität zeigen und daß 
die Polarität nach dem letzten Fleckenminimum im Jahre 1913 ge- 
wechselt habe. Der Wechsel der Polarität nach einem Minimum 
wurde an einem umfangreicheren in den Jahren 1908—1923 ge- 
wonnenen Material von 2136 Flecken von @. E. Hale*”) als Regel 
nachgewiesen. Demnach beträgt die Polaritätsperiode mit 22,2” im 
Durchschnitt das Doppelte der normalen Fleckenperiode.*%) Daß die 
Komponenten von anscheinend in physischem Konnex stehenden 
Fleckenpaaren in der Regel entgegengesetzte Polarität zeigen, hat 
@. E. Hale*') mit Erfolg veranlaßt, bei scheinbar unipolar auftreten- 
den Einzelflecken in der Nachbarschaft des Fleckens auf der flecken- 
losen Photosphäre nach dem Auftreten eines die Störung durch die 
unmittelbare Komponente anzeigenden Zeemaneffektes nachzusuchen. 

Auf die Möglichkeit der Existenz eines allgemeinen magnetischen 
Feldes der Sonne, das durch die Rotation der elektrisch geladenen 
Sonnenoberfläche hervorgerufen wird, hat bereits P. Salet‘®) hinge- 
wiesen. @. E. Hale‘') gelang es im Jahre 1913 unter Verwenduug 
besonders starker Dispersion auch dieses allgemeine Feld in derselben 
Weise nachzuweisen, wie früher den magnetischen Zustand der Flecken. 
Dieses allgemeine Feld zeigte eine Stärke von 50 Gauß, und der ne- 
gativ geladene magnetische Nordpol der Sonne schien mit dem Ro- 
tationspol zusammenzufallen. Nach F. H. Seares, A. van Maanen und 
F. Ellermann‘?”) zeigt aber die äquatoreale Zone andere Feldkonstanten 
wie die Halbkugeln, so daß sich der Sonnenkörper keineswegs wie 
eine magnetische Kugel verhält. 

Nach Versuchen von @. E. Hale‘®) hat sich ein Starkeffekt in 





400) Kodaikanal obs. Bull. 22 (1910), p. 265. 

401) Astroph. Journ. 49 (1919), p. 153. ' 

402) Washington Nat. Acad. Proc. 10 (1924), p. 53; Mt. Wilson Obs. Contr. 
86 (1924). 

403) Siehe @. E. Hale und $. B. Nicholson, Astroph. Journ. 62 (1925), p. 270; 
Mt. Wilson Obs. Contr. 300 (1925). 

404) Publ. Astr. Soc. Pac. 22 (1910), p. 63. 

405) Bull. astronomique 26 (1909), p. 115. 

406) Astroph. Journ. 38 (1910), p. 27; Mt. Wilson Obs. Contr. 71 (1910). 

407) Washington Nat. Acad. Proc. 5 (1919), p. 242. 

408) Pop. Astr. 29 (1921), p. 625. 


626 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


den Sonnenflecken bisher nicht nachweisen lassen. Am Sonnenrand 
dagegen scheint der von Stark beschriebene Polarisationszustand des 
Quereffektes nach Beobachtungen von @. E. Hale und H. D. Babecock?®) 
an der H,-Linie bemerkbar zu sein. Die elektrische Feldstärke in 
der Sonnenatmosphäre wäre damit vielleicht 100—150 Volt em. 


12. Flash- und Chromosphärenspektrum. Wie bereits in voriger 
Nummer erwähnt, zeigt sich bei totalen Sonnenfinsternissen in dem 
Moment, wo der Mond die ein kontinuierliches Spektrum ergebende 
Sonnenphotosphäre bereits oder noch gänzlich verdeckt, für einen 
kurzen Zeitmoment das Spektrum der umkehrenden Schicht allein 
als reines Gasspektrum aus hellen Linien. Man nennt dieses Spek- 
traum nach dem blitzartigen Aufleuchten der in der umkehrenden 
Schicht entstehenden Fraunhoferschen Linien „Flashspektrum“. Dieses 
Flashspektrum ist zuerst von Ch. A. Young*'®) bei der totalen Sonnen- 
finsternis vom 22. Dez. 1870 bemerkt worden und wurde zunächst nur 
visuell verfolgt. Aus der höchstens 1—2 Sek. betragenden Sichtbar- 
keitsdauer des Flash, wie sie aus Beobachtungen von Young (a. a. O.), 
N. R. Pogson*'') u. a. hervorgeht, folgt in Verbindung mit der Winkel- 
geschwindigkeit des Mondes für die scheinbare Höhe der umkehren- 
den Schicht ein Betrag von etwa 1”, was ungefähr 700—1000 km 
wirklicher Höhe entspricht. 

Photographisch wurde das Flashspektrum zuerst von N.J. Lockyer *'?) 
im Jahre 1897 beobachtet. Die von ihm verwendete „Prismatic ca- 
mera“, die übrigens zur Flashphotographie seither stets verwendet 
wird, ist nichts anderes als eine photographische Kamera von geeig- 
neter Brennweite mit vorgesetztem Objektivprisma, in der der im 
Unendlichen liegende, schmale, sichelförmige Sonnenrand in seine 
monochromatischen Bilder zerlegt wird. Diese sichelförmig gekrümm- 
ten Flashlinien zeigen stets verschiedene Sichellängen, was einerseits 
auf die verschiedene Intensität der Flashlinien, andererseits auf die 
verschiedene Höhe in der Sonnenatmosphäre zurückzuführen ist, in 
der die einzelnen Linien noch ihre Entstehnng nehmen können. Aus 
diesem Grunde kann man vom Flashspektrum nicht eigentlich als 
vom Spektrum einer ganz bestimmten Schicht sprechen; es setzt sich 
zusammen aus den Spektren der verschiedenen unteren Chromosphären- 
schichten. 

Schon bei der totalen Sonnenfinsternis vom 22. Januar 1898 


409) Washington Nat. Acad. Proc. 1 (1915). p. 123. 

410) Sillimans American. Journ. 2 (1871). 

411) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 32 (1872), p. 330, 
412) London Roy. Soc. Phil. Trans. 1897, p. 189. 


12. Flash- und Chromosphärenspektrum. 627 


konnte J. N. Lockyer*!?) zwischen der D-Linie und A 3663,856 Flash- 
linien vermessen, und J. Evershed?!‘) war in der Lage, bei dieser Ge- 
legenheit das Vorhandensein von 15 Elementen, und zwar außer von 
H, He, © und möglicherweise auch Si noch von Metallen zumeist 
niederen Atomgewichtes nachzuweisen. Die Balmerserie des Wasser- 
stoffes ließ sich bis zum 28. Glied, auf Aufnahmen von E. W. Maun- 
der*'?) sogar bis zum 30. Glied verfolgen. Bei der totalen Sonnen- 
finsternis vom 28. Mai 1900 verwendete E. B. F’rost*!®) statt des Pris- 
mas bereits ein Konkavgitter, was die Identifikation zahlreicher 
weiterer Linien ermöglichte Die Linien bei 4181,67, 4189,77 und 
4193,90 Ä.E. schrieb Frost bei dieser Gelegenheit dem € zu. Bei der 
gleichen Finsternis gelang es H. Deslandres*'"), weit ins Ultraviolett 
bis 3066,4 A.E. vorzudringen. Auffallend hell waren die Linien des 
Ti, V, Cr, Se. Weitere Verzeichnisse von bei totalen Finsternissen 
beobachteten Flashlinien sind u. a. noch von L. E. Jewell*'?), F. W. 
Dyson®'?), S. A. Mitchell“?®) gegeben worden. Der letztere hat bei der 
totalen Sonnenfinsternis vom 30. August 1905 2841 Flash- und Chromo- 
sphärenlinien vermessen und für jede derselben die Intensität und die 
Höhe des Ursprungs in der Ühromosphäre, wie sie sich aus der Sichel- 
länge ergab, angegeben. Er kommt dabei zu dem Ergebnis, daß das 
Flashspektrum zwar eine Umkehrung des Fraunhoferspektrums sei, daß 
aber nicht alle Chromosphärenlinien gleichzeitig hell aufleuchten, son- 
dern nach und nach, je nach der Höhe ihres Entstehens in der um- 
kehrenden Schicht bzw. in der sich darüber ausbreitenden Chromo- 
sphäre. Schon im Jahre 1900 hatten übrigens H. Grübl, A. A. Ram- 
baut und W. E. Wilson*?”') bei Plazencia in Spanien kinematographische 
Aufnahmen des Flashspektrums ausgeführt, die das Nacheinanderauf- 
leuchten der Linien deutlich hatten erkennen lassen. Mitchell (a. a. O.) 
fand weiter, daß die Intensitäten der Chromosphärenlinien je nach der 
Höhe des über den Mondrand hervorragenden Chromosphärenteiles 
wechseln und daß die Intensitäten auch vielfach verschieden sind von 


413) London Roy. Soc. Proc. 68 (1901), p. 6. 

414) Astroph. Journ. 13 (1901), p. 223; London Roy. Astr. Soc. Mem. 54 
(1902), App. II. \ 

415) The Observatory 22 (1899), p. 315. 

416) Astroph. Journ. 12 (1900), p. 307. 

417) Paris ©.R. 141 (1905), p. 409. 

418) Publ. U.S. Naval Obs. 4, App. II, p. 299. 

419) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 62 (1902), App. I; London Roy. Soc, 
Phil. Trans. A 206 (1906), p. 403. 

420) London Roy. astr. Soc. Month. Not. 66 (1906), p. 326. 

421) Roy. Irish Acad. Trans. 32 (1904), p. 271. 


628 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


den im mittleren Sonnenspektrum beobachteten. Im ganzen unter- 
scheidet er drei Gruppen von Elementen: eine erste (Ca, Mg, Al), 
bei der die Linien in Sonne und Chromosphäre kräftig sind, eine 
zweite (H, He, Ti, Cr, C, V, Zr, Se, La, Y, Sr, Ba, Nd), deren Glie- 
der in der Chromosphäre kräftigere Linien aufweisen, und eine dritte 
(Fe, Ni, Co, Mn, Na, Nb, Mo, Pd) von gegenteiligem Verhalten. 
Miitchells Resultate decken sich mit den Beobachtungen, die er bereits 
früher bei der Finsternis vom 18. Mai 19012?) hatte erzielen können. 
Wegen weiterer Beobachtungen des Flashspektrums muß auf die ver- 
schiedenen Jahrgänge des Astrophysical Journal und der Monthly 
Notices of the Royal Astronomical Society, London, verwiesen werden. 
Erwähnt sei noch, daß von H. D. Curtis und K. Burns“) bei der 
totalen Finsternis vom 24. Januar 1925 auch der rote und infrarote 
Teil des Flash zwischen 5876—8806 Ä.E. untersucht worden ist, und 
daß H. Kienle‘”*) neuerlich zur Erzielung einer erhöhten Meßgenauig- 
keit versucht hat, Flashaufnahmen mit dem Spaltspektrographen aus- 
zuführen. Letzterer empfahl auch die Verwendung biegsamer Film- 
streifen, um die Fokusdifferenzen an verschiedenen Stellen des Spek- 
trums berücksichtigen zu können. 

Bringt man den Spalt eines Spektrographen am Fernrohr tan- 
gential an den Rand des Sonnenbildes, so empfängt er nicht nur 
Licht von der den Sonnenrand überragenden Chromosphäre, sondern 
auch von dem diffus leuchtenden Tageshimmel. Verstärkt man die 
Dispersion, so wird das Spektrum des diffusen Tageslichtes wegen 
der größeren Ausdehnung schwächer, während gleichzeitig die hellen 
Chromosphärenlinien als monochromatische Spaltbilder in ihrer In- 
tensität nur wenig beeinflußt werden, so daß sie schließlich auf 
schwach kontinuierlichem Grund hell sichtbar werden. Die Beobach- 
tungen des Chromospärenspektrums auf diesem Wege außerhalb einer 
Finsternis werden natürlich um so besser gelingen, je dunkler der 
Himmelsgrund schon an sich erscheint, also z. B. auf hohen Bergen. 
Schon im Jahre 1872 war es so Ch. A. Young*”) gelungen, das 
Chromosphärenspektrum auf dem 2800 m hohen Mt. Sherman außer- 
halb einer Finsternis visuell zu beobachten‘*), und etwa 20 Jahre 

422) Astroph. Journ. 15 (1902), p. 97; Publ. U. S. Naval Obs. 4 (1902), 
App. I, p. 290. 

423) Publ. Allegh. Obs. 6 (1925), Nr. 6. 

424) Astr. Ges. V.J.S. 61 (1926), p. 213. 

425) Sillimans Amer. Journ. (3) 4 (1872), p. 356. 

426) Eine Tabelle dieser nach Rowlands Messungen im Sonnenspektrum 


in der Wellenlänge verbesserten Linien ist bei E. Pringsheim, Physik der Sonne, 
Leipzig 1910, B. G. Teubner, p. 164 gegeben. 


12. Flash- und Chromosphärenspektrum. 629 


später hatten auch Versuche von @. E. Hale*?”) und H. Deslandres*?), 
das Spektrum von Chromosphäre und Protuberanzen außerhalb einer 
Finsternis photographisch festzuhalten, vollen Erfolg. Bei Weiter- 
führung der bezüglichen Arbeiten durch @. E. Hale und W. S. Adams*??) 
unter den günstigen Beobachtungsbedingungen auf dem Mt. Wilson 
Solar Observatory mit dem dortigen ein Sonnenbild von 170 mm 
Durchmesser gebenden Turmteleskop konnten wieder zahlreiche Chromo- 
sphärenlinien photographiert und dabei ca. 30 Linien der grünen Ü- 
Bande identifiziert werden. Bald ergaben die Photogramme z.B. von 
W. S. Adams und C. @. Burwell?®) sogar mehr Linien als die früheren 
Flashaufnahmen von Mitchell, und es gelang sogar, die Beobachtungen 
auch auf den weniger brechbaren Teil des Spektrums bis A 6600 aus- 
zudehnen.‘?!) Darauf, daß bei tangential an die Sichelhörner gestelltem 
Spalt, insbesondere auch bei partiellen Finsternissen, wertvolle Studien 
der unteren Chromosphärenschichten ermöglicht werden, haben H. F. 
Newall*?) und A.L. Cortie und J. Rowland*?®) vor nicht langer Zeit 
besonders aufmerksam gemacht. Vor etwa 25 Jahren hat M. N. Do- 
nitch**) schließlich noch versucht, das ganze Sonnenbild durch einen 
kreisförmigen Spalt einzuschließen, der Erfolg war jedoch nur gering. 

Im Flash- bzw. Chromosphärenspektrum sind noch folgende im 
mittleren Sonnenspektrum nicht durch Linien nachweisbare Elemente 
vorgefunden worden: 

He. Die Anwesenheit der D,-Linie wurde bereits von ©. A. Young 
(a.a. 0.) visuell festgestellt. Er beobachtete auch die offenbar dem 
He zuzuschreibenden Linien 7065,5 (1? P—- 2?8) und 6678,35 (1P—2D), 
so daß also offenbar sowohl Orthohelium (Dublets) als auch Parhelium 
(Einfachserien) vertreten sind. 

C. Young schreibt die Linie 5165,2 dem C zu. Später fand 
@. E. Hale*”) am Yerkesrefraktor visuell zahlreiche helle Linien 
zwischen 5198—5363, die dem Ü© angehören, und im Jahre 1899 
konnte er??®) auch die Anwesenheit der drei Swanbänder CII bis CIV 
bei 5635, 5165 und 4737 feststellen. 


427) Astron. and Astroph. 2 (1891), p. 50; Astroph. Journ. 6 (1897), p. 319, 412. 
428) Paris C.R. 114 (1892), p. 276; 115 (1892), p. 222. 
429) Astroph. Journ. 30 (1909), p. 222; Mt. Wilson Obs. Contr. 41 (1909). 
430) Pop. Astr. 22 (1914), p. 555. 
431) Astroph. Journ. 41 (1915), p. 116; Mt. Wilson Obs. Contr. 95 (1915). 
432) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 482. 
433) Ebendort 81 (1921), p. 485. 
434) Bull. de !’Akad. St. Petersbourg 19 (1904), p. 171, 195. 
435) Astroph. Journ. 6 (1897), p. 412. 
436) Astroph. Journ. 10 (1899), p. 287. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 41 


630 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne 


Dy. Die aus Flashaufnahmen von Dyson und Evershed vorhan- 
denen Linien 3394,7, 3531,8, 3535,1, 3542,6, 3550,4, 4000,5, 4295,2 
werden von A. D. Roß*?”) unter Bezugnahme auf die Vermessung des 
Dysprosiumspektrums von @. Eberhard*®) für Dysprosiumlinien ge- 
halten. 

Ra. Unter Verwendung der Wellenlängentabellen für Ra von 
©. Runge und J. Precht*?®) identifizierte F. W. Dyson“*') auf eigenen 
und Aufnahmen von Lockyer aus den Jahren 1898—1905 die Flash- 
linien 3649,7, 3814,7, 4336,6, 4682,2 und 4826,0 als Ra-Linien und 
noch einige andere Linien als Linien von RaEm. $. A. Mitchell“) 
und J. Evershed*'?) konnten jedoch zeigen, daß auch andere Identifi- 
kationen ebensogut möglich sind. Die Anwesenheit von Ra und RaEm 
ist also nicht verbürgt. Dagegen sollen nach $. A. Mitchell“?) von 
den Edelgasen 

Ne durch die Linien 4097, 4398, 4422, 4431, 4540, 4844 und 

A durch die Linien 4180, 4201, 4259, 4267, 4430 

nachweisbar sein. 

Ba scheint in Mitchells Liste der Flashlinien zu fehlen, da- 

gegen ist i 

Ba*+ vertreten.“*?*) 

Stets vorhanden und zumeist kräftig sind im Chromosphärenspektrum 
folgende Hauptlinien: 


— 70655 He | F 48613 H, | 39701 AH, 
C 65628 H, | — 4716 He | H 39685 Ca+ 
D, 58758 He 43405 H, | K 3933,17 Cat 
—  5316,8 41017 H, 


Der Ursprung der grünen Chromosphärenlinie bei 5316,8 ist unbe- 
kannt. Sie wurde lange Zeit für identisch mit der grünen Korona- 
linie bei 5303 gehalten (s. Nr. 15). 

Daß im Chromosphärenspektrum die Funkenlinien meist kräftig 
sind, während die Bogenlinien vielfach zurücktreten, wurde bereits 





437) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 71 (1911), p. 673, Über das Auf- 
treten seltener Erden überhaupt vgl. noch H. D. Menzel, Publ. Astr. Soc. Pac. 39 
(1927), p. 359. 

438) Publ. Astroph. Obs. Potsdam 20 (1909), Nr. 60. 

439) Astroph. Journ. 17 (1903), p. 147. 

440) Astr. Nachr. 192 (1912), p. 81; The Observatory 35 (1912), p. 402. 

441) Astr. Nachr. 192 (1912), p. 265; Pop. Astr. 21 (1913), p. 321. 

442) The Observatory 35 (1912), p. 360. 

443) Astroph. Journ. 17 (1903), p. 224; Columb. Contr. 1903, Nr. 20. 

4433) Nach ©. R. Davidson und F. J. M. Stratton kommen auch Ni und 
Co-Linien vor. London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 87 (1927), p. 739. 


12. Flash- und Chromosphärenspektrum. 631 


von Lockyer behauptet und dann von J. N. Lockyer und F. E. Baxan- 
dall‘“*), A. Fowler*®) und J. Evershed‘*®) bestätigt. Auch 8. A. Mit- 
chell““') kam zum gleichen Resultat und bemerkte dazu, daß die „en- 
hanced lines“ ihren Ursprung in der Regel in größeren Höhen in der 
Chromosphäre nehmen. Jedenfalls ist das daraus erklärlich, daß bei 
dem dort herrschenden niedrigeren Druck die Möglichkeit der Re- 
kombination erleichtert wird. Gleichzeitig fand Mitchell (a. a. O.), daß 
die durchschnittliche Höhe des Ursprunges einer Linie von der In- 
tensität 1 der Rowlandschen Skala in der Chromosphäre etwa 350 km 
sei, und daß einem Zuwachs der Intensität um eine Einheit ein Höhen- 
zuwachs von ungefähr 80 km entspreche. Ch. E. St. John“*?) bemerkt, 
daß die Zahl der am Ende einer totalen Finsternis sichtbar werden- 
den Chromosphärenlinien immer größer ausfällt, je näher man bei 
Bemessung der Expositionszeit an den Rand der Photosphäre heran- 
gekommen ist, und er fand dabei ebenfalls, daß schwächere Linien 
in tieferen Schichten der Sonnenatmosphäre ihre Entstehung nehmen. 
Aus Mitchells Tabelle ergab sich für die mittlere Höhe der Linien 
einer bestimmten Intensität getrennt nach Elementen folgender Zu- 
sammenhang: 














Intensität 

Element 
0000 | 000 | 00 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 5 
Fe TER — | 275 | 279 | 288 | 314 | 369 | 397 | 435 
Ti — | 971 | 290 | 353 | 347 | 389 | 429 | 494 | 487 
Se, Y — 1.290 | 295 |-360 | 385 | 183 | 133 | — DE 
Seltene Erden | 250 | 329 | 354 | 382 | 406 | 395 | 550 | — BR 
C 342 | 3a2 | 335 | 48 | a9 | 78 | — Ran Fon 
































Ein ähnlicher Zusammenhang zeigt sich nach St. John (a. a. O.) 
zwischen Intensität und Druckverschiebung, wie folgende Zahlen zeigen: 


Intensität Druckverschiebung in Ä.E.| Intensität Druckverschiebung in Ä.E. 
00 + 0,034 3 + 0,023 
0 1 0,030 4 1 0,021 
1 + 0,028 5 + 0,019 
2 0,025 6 + 0,016 





Der größeren Intensität, also größeren Höhe, entspricht richtig wieder 
der geringere Druck bzw. die geringere Druckverschiebung. 


444) London Roy. Soc. Proc. 68 (1901), p. 178. 
445) The Observatory 25 (1902), p. 233. 
446) Ebendort 25 (1902), p. 272. 
447) Astroph. Journ. 39 (1914), p. 166. 
448) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 356, 
41* 


632 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Die Sichellängen sind nieht nur von Mitchell, sondern auch von 
J. N. Lockyer*'?) und L. E. Jewell*°) zu umfangreichen Höhenmessungen 
verwendet worden. Oh. E. St. John®') hat zunächst die Bestimmungen 
von Jewell, dann später auch die Messungen von Mitchell, und zwar 
einmal allein®°) und ein zweites Mal in Verbindung mit H. D. Bab- 
cock*°®) benutzt, um ein einheitliches Bild über die vertikale Ver- 
teilung einer Anzahl von Elementen in der Sonnenchromosphäre zu 
entwickeln. In der folgenden Tabelle sind diese Ermittlungen von 
St. John und Babcock zugleich mit älteren Bestimmungen von Lockyer 
und Jewell zusammengestellt, und in der letzten Kolumne sind auch 
noch die Höhenwerte beigefügt, die in Mitchells Tafel des Chromo- 
spärenspektrums bei den einzelnen Linien angesetzt sind: 

















Linien Höhe des Ursprungs der Chromosphärenlinien in km 
oder Element St.John-Babeock|  Lockyer | Jewel | Mitchell 
Cat (H, K) 14000 9600 24.000 ix 
Ha 12500 
7200 12800 - 
H3, y,0 8000 
He 4471 — 6300 12000 7500 
Mg 3838 — —_ 8000 7000 
Tit 3685 6000 — 5600 
Sc 4247 6000 _ 2800 _ 
Sr 4216 6000 4300 5.600 = 
Na (D) 5500 En 1600 5 
Ca 4227 5000 3200 2400 | En 
Al | 
150 — 2800 | — 
(= 15 — 20) Rn 
Fe (15 — 40) 1500 
2 um 2300 1600 
Fe (4) 400 2 
Fe (00) 2276 














Dazu kommen noch Bestimmungen an den Linienteilen 4,, K, und 
H,, K, der beiden Cat-Linien H und K (siehe Nr. 13) von Ch. E. 
St. John“) aus der Linienlänge bei radial zum Sonnenrand gestelltem 
Spalt, die ergeben haben: 


mittlere Höhe von H,, K,: 3400 km 
ME So „ „ RN, 


449) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 58 (1899), App.; Mem. 54 (1902), 
App. II. 

450) Publ. U. S. Naval obs. 4 (1906), App. I. 

451) Astroph. Journ. 38 (1913), p. 341. 

452) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 356. 

453) Astroph. Journ. 60 (1924), p. 32. 

454) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 64. 


12. Flash- und Chromosphärenspektrum. 633 


Die mittlere Höhe der Hochschichtenteile Z,, X, wäre danach nur 
etwa 5000 km. Die Resultate stimmen also keineswegs besonders vor- 
züglich überein und sind lediglich geeignet, eine ungefähre Vorstel- 
lung zu vermitteln. 

Ph. Fox*°”) hat eine Methode ae bei der die Höhe des 
Ursprungs einer Linie in der Chromosphäre durch den Vergleich der 
Chromosphärenspektren zweier diametral zur Sonnenscheibe gelegener 
Punkte visuell direkt gemessen werden kann. Durch die kreisrunde 
Scheibe A Bwird das Sonnenbild fast völlig , 3 
abgedeckt, so daß auf die beiden Prismen _— ; 3 
P, und P, nur Licht des Sonnenrandes von Ex 
zwei gegenüberliegenden Stellen auffallen ER > 
kann. Durch die Prismen P,’ und P,’ wer- Fig. 8. 
den die Strahlen von beiden Rändern op- 
tisch so zusammengebracht, daß ihre Spektren gleichzeitig die obere 
bzw. untere Partie des bei Sp befindlichen Spektroskopspalts beleuchten. 
Bestimmt man einmal die kürzeste Distanz der beiden Prismen, bei 
der das Chromosphärenspektrum eben in das Sonnenspektrum über- 
geht, und entfernt man dann wieder diese beiden Prismen so weit 
voneinander, daß eine bestimmte Linie des Chromosphärenspektrums 
gerade an beiden Rändern gleichzeitig verschwindet, so ist die größte 
Höhe in der Chromosphäre, in der die Linie eben noch sichtbar ist, 
durch die Größe der Verschiebung der Prismen P, und P, meßbar. 
Fox fand so aus Messungen im Jahre 1922 für die Höhen von H, 
und D, die anscheinend variablen Werte 


H, Höhe = 8,5”—10,8” = 6100—7800 km 
D,;, (He) „ = 5,2"—8,5” = 3600-8500 km.*®) 

Die Meinung von @. Abetti*°), daß die Höhe, in die einzelne Ele- 

mente in der Chromosphäre hinaufreichen, veränderlich sei, scheint 

demnach viel für sich zu haben. 

W. H. Julius?) hat, später insbesondere gestützt auf Linienver- 
doppelungen, die bei der totalen Sonnenfinsternis vom Jahre 1901 be- 
obachtet worden sind, die anomale Dispersion sowie eine Refraktion 
des Photosphärenlichtes in der Sonnenatmosphäre zur Erklärung des 
Auftretens von Flash- und Chromosphärenspektrum heranziehen wollen. 
Nach einer Diskussion dieses Gegenstandes durch A. Schmidt“) und 

455) Astroph. Journ. 57 (1923), p. 234. 

456) Vgl. hierzu auch Mikrometermessungen von Perepelkin, Astr. Nachr. 
229 (1927), p. 213. 457) The Observatory 49 (1926), p. 89. 


458) Amsterdam Koningl. Acad. Proceedings 12 (1909), p. 446. 
459) Phys. Ztschr. 3 (1902), p. 259. 





634 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


W. H. Julius*®) konnte aber J. Hartmann*®') wahrscheinlich machen, 
daß die beobachteten Linienverdoppelungen jedenfalls durch nicht ganz 
genaue Fokussierung bewirkt waren. 


13. Monochromatische ' Aufnahmen der Sonne. Spektrohelio- 
graph. Projiziert man das Bild irgendeines leuchtenden Objektes auf 
den Spalt eines Spektroskops, so ist jede Spektrallinie ein mono- 
chromatisches durch das telezentrische System Kollimator — Kamera 
entworfenes Bild derjenigen Zone des leuchtenden Objektes, die vom 
Spalt des Spektralapparates aus seinem Bild herausgeschnitten wird. 
Der Gedanke, im Spektrum des Objektes irgendeine Spektrallinie durch 
einen zweiten Spalt herauszublenden und dann das ganze Bild des 
Objektes im monochromatischen Licht dieser einen Linie dadurch auf- 
zubauen, daß man den ganzen Spektralapparat mit seinem ersten 
Hauptspalt nach und nach über alle Teile des Bildes des Objektes 
hinwegführt, scheint zuerst von J. Janssen“) ausgesprochen worden 
zu sein, der vorschlug, die Protuberanzen mit Hilfe eines um eine 
durch die beiden Spaltmitten gehende Achse rasch rotierenden Spek- 
troskops & vision directe sichtbar zu machen. Ein ringförmiger, das 
Sonnenbild umschließender Spalt wurde von J. N. Lockyer und @. M. 
Seabrocke*®®) empfohlen und eine andere Einrichtung, bei der der 
zweite Spalt durch eine weitere mit dem Fernrohr fix verbundene 
Kamera auf eine Platte abgebildet wurde, ist von O. Braun‘%) be- 
schrieben worden. Der Spektrograph selbst war dabei derart um eine 
Achse schwenkbar, daß der erste Spalt vor dem Bild des Objekts, der 
zweite vor der Kamera vorbeigeführt werden konnte. Auch O. Lohse*®°) 
war mit Versuchen zur Herstellung monochromatischer Protuberanzen- 
bilder beschäftigt. Die endgültige Lösung brachten aber erst die Kon- 
struktionen von H. Deslandres‘°®) und @. E. Hale.*°) In beiden Fällen 
blieb die ohne die Braunsche Zwischenkamera direkt an den zweiten 
Spalt gelegte photographische Platte in fester Verbindung mit dem 
Fernrohr, während das ganze Spektrographensystem zwischen den bei- 
den Spalten und zugleich mit diesen vor dem Sonnenbild und der 
Platte vorübergeführt wurde. Dabei war selbstverständlich nötig, die 

460) Astr. Nachr. 160 (1902), p. 139. 

461) Astr. Nachr. 174 (1907), p. 353. 

462) Paris C. R. 68 (1869), p. 93. Der Apparat wurde von @. Millochau und 
M. Stefanik in Astroph. Journ. 24 (1906), p. 42 neuerlich beschrieben. 

463) London Roy. Soc. Proc. (5) 21 (1872), p. 105. 

464) Astr. Nachr. 80 (1873), p. 33. 

465) Ztschr. f. Instr. 1 (1881), p. 22. 


466) Paris C. R. 113 (1891), p. 307. 
467) Astron. and Astroph. 11 (1892), p. 407; 12 (1893), p. 241. 


13. Monochromatische Aufnahmen der Sonne. Spektroheliograph. 635 


Achsen von Kollimator und Kamera durch eine Spiegelung einander 
parallel zu stellen. Bei Deslandres war die Bewegung des Spektro- 
graphen intermittierend, so daß das monochromatische Sonnenbild 
durch sukzessives Aneinanderreihen der einzelnen Zonen aufgebaut 
wurde, @. E. Hale ließ gleich anfangs die Bewegung des Spektro- 
graphenteiles kontinuierlich erfolgen und schuf damit den jetzt all- 
gemein gebräuchlichen Spektroheliographentypus. Konstruktionsdetails 
von Spektroheliographen sind u. a. von P. Kempf“), G. E. Hale und 
F. Ellermann*®”), W. S. Lockyer*'®), H. Deslandres*'*) A. Riccö*"?) und 
J. Evershed*'?) beschrieben worden. Das Spektrum kann natürlich 
ebensowohl durch ein Gitter wie auch durch ein Prismensystem erzeugt 
werden. Im letzteren Fall tritt wegen der durch die Prismen be- 
wirkten Linienkrümmung stets eine Verzerrung des Sonnenbildes auf, 
da ja der zweite Spalt dann der Linienkrümmung entsprechend ge- 
krümmt sein muß, während der erste Spalt gerade ist.‘”*) Da die Krüm- 
mung der Spektrallinien von der Wellenlänge abhängig ist, müssen 
bei Prismen-Spektroheliographen mehrere Spalte verschiedener Krüm- 
mung zur Verfügung stehen. H. Deslandres*'°) hat noch versucht, die 
bei Prismenapparaten infolge der Linienkrümmung auftretende Bild- 
verzerrung dadurch zu beheben, daß er den zweiten gekrümmten Spalt 
durch ein zweites aus Kollimator, Prisma und Kamera bestehendes 
System abbildete, dessen verkehrt gestelltes Prismensystem die Linien- 
krümmung wieder aufhob. 

Die eingangs erwähnte, im Jahre 1869 von Janssen erdachte 
Apparatur war für die visuelle Beobachtung der Protuberanzen be- 
stimmt, die ja nunmehr (siehe Nr. 14) auf einfacherem Wege mög- 
lich ist. Andere Konstruktionen von A. Sauve*'®) und 8. Pokrowsky*") 
haben in die Praxis wohl ebenfalls kaum Eingang gefunden. Da- 
gegen dürfte das von @. E. Hale*'®) angegebene Spektrohelioskop, bei 

468) Ztschr. f. Instr. 24 (1904), p. 317. 

469) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 41; 23 (1906), 54. 

470) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 65 (1905), p. 473. 

471) Bull. astron. 22 (1905), p. 305; Paris C.R. 141 (1905), p. 477; 144 (1907), 
p. 541; 148 (1909), p. 968. 

472) Memorie Spettroscop. Ital. 38 (1909), p. 125. 

473) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 71 (1911), p. 719. 

474) Über die Linienkrümmung siehe J. Hepperger, Wien Sitzber. 92 (1885), 
p. 109; H. O. Lord, Astroph. Journ. 5 (1897), p. 349 und W. $. Adams, Astroph. 
Journ. 11 (1900), p. 309. 

475) Paris ©. R. 138 (1904), p. 1375. 

476) Mem. Spettr. Ital. 31 (1903), p. 259; 33 (1904), p. 54. 

477) Astr. Nachr. 189 (1911), p. 369. 

478) Washington Nat. Acad, Proc. 10 (1924), p. 361. 


[2 


636 VIe, 25 Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


dem die beiden Spalte während der Beobachtung in rasche zwangs- 
läufige Oszillationen versetzt werden, so daß ein größeres Stückchen 
der Sonnenoberfläche stetig überstrichen und beobachtet werden kann, 
nach von @. E. Hale*'?) selbst gemachten Erfahrungen ein einfaches 
und wertvolles Hilfsmittel für die visuelle Beobachtung darstellen. 

Stellt man den zweiten Spalt des Spektroheliographen auf irgend- 
eine der Fraunhoferschen Linien des Sonnenspektrums und führt man 
den Apparat mit seinem ersten Spalt über das fokale Sonnenbild hin- 
weg, so entsteht auf der Platte ein Bild, das die Verteilung desjenigen 
Gases oder Dampfes auf der Sonnenoberfläche aufzeichnet, dem die 
betreffende Linie ihre Entstehung verdankt. Daß eine Photographie 
mit den dunklen Fraunhoferschen Absorptionslinien überhaupt mög- 
lich wird, ist darauf zurückzuführen, daß ja auch die Absorptions- 
linien keineswegs wirklich absolut dunkel sind, sondern nur durch 
den Kontrast mit dem angrenzenden helleren kontinuierlichen Spek- 
trum dunkel erscheinen. Aus dem die Spektralanalyse begründenden 
Versuch von @. Kirchhoff **) mit der zwischen Sonne und Spalt ge- 
brachten Natriumflamme geht ja bereits hervor, daß jede Absorptions- 
linie aus einer in der Ursprungsschicht eintretenden völligen Absorp- 
tion und aus der Eigenemission dieser Schicht kombiniert ist. Von 
der Stärke dieser Eigenemission hängt es dann ab, ob die betreffende 
Linie mehr oder weniger dunkel, oder gar nicht, oder als helle Linie 
erscheint. Für Aufnahmen mit dem Spektroheliographen besonders 
wichtig ist die feinere Struktur der beiden im äußersten violetten Teil 
des Sonnenspektrums stehenden, breiten Linien 7 und K des Cat. Die 
breiten Absorptionen dieser Linien erscheinen stets durch eine auf- 
gelagerte Emission in zwei Teile gespalten, und nicht selten trägt 
auch diese Emission in ihrer Mitte wieder eine feine Absorptions- 
linie. Eine solehe Linienstruktur entsteht dann, wenn das kontinuier- 
liche Licht durch eine stark geschichtete Dampfatmosphäre hindurch- 
gegangen ist. In unserem Falle entsteht die breite verwaschene Haupt- 
absorption in den untersten, dichtesten Schichten der Sonnenatmosphäre, 
die aufgelagerte helle Linie stellt die Eigenemission der über diesen 
tiefsten Schichten lagernden mittleren Chromosphärenschichten dar, und 
sie ist der geringeren Dichte dieser Schichten wegen also schmäler 
als die ursprüngliche Absorption. Wie erwähnt, zeigt sich eine solche 
„einfache Umkehrung“ an den Linien 7 und K immer. Man pflegt 
die beiden dunklen Flügel der ursprünglichen Absorption mit H,, K,, 
die umkehrende Emission mit A,, K, zu bezeichnen. Die zumeist auf 

479) Ebendort 12 (1925), p. 286. 

480) Berlin Sitzber. 1859, p. 662; Pogg. Ann. 109 (1860), p. 148. 


- 


13. Monochromatische Aufnahmen der Sonne. Spektroheliograph. 637 


der Emission noch auflagernde schmale Absorption H,, K, ist dann 
nichts anderes als eine neuerliche Absorption durch die obersten dünnsten 
Chromosphärenteile. Sind A,, K, auch sichtbar, so nennen wir die Linien 
„doppelt umgekehrt“. Man wird aber überhaupt ganz allgemein sagen 
können, daß bei Schichtung des absorbierenden Mediums immer die 
Linienränder den. unteren dichtesten Teilen desselben entsprechen 
werden, die Linienmitte dagegen den dünneren oberen.‘°') Stellt man 
den zweiten Spalt des Spektroheliographen also der Reihe nach auf, 
z.B. H,, H,, H,, oder bei einer nicht umgekehrten Linie auf Rand, 
Seitenteile und Mitte, so gibt das Spektroheliogramm die Verteilung 
des Ca oder des betreffenden anderen Dampfes in den untersten, mitt- 
leren bzw. obersten Chromosphärenschichten wieder. 

Für Spektroheliogramme werden zumeist die Linien 7 und K 
sowie die Wasserstofflinien verwendet. @. E. Hale“*?) hat auch die 
knapp über der Photosphäre entstehende Fe-Linie 4045 benutzt und 
S. B. Nicholson und L. H. Humason‘®?) haben auch Aufnahmen mit 
den ultravioletten Fe-Linien 3720, 3735 und 3860 ausgeführt. Andere 
Eisenlinien, Linien des Al und Linien der Cyanbande CyIV (3883) 
sind von H. Deslandres‘*) gelegentlich mitverwendet worden. 

Ganz allgemein zeigen die Aufnahmen mit dem Spektrohelio- 
graphen, daß die Verteilung der einzelnen Elemente in der Sonnen- 
atmosphäre keineswegs gleichförmig ist, sondern wolkenförmig, flocken- 
förmig. Nach @. E. Hales“®°) Vorschlag spricht man daher von (a- 
Flocken oder von Ca-floceuli usw. 

Was speziell die Ca-Flocken betrifft, so erscheinen sie in der 
Nähe von Sonnenflecken stets besonders gehäuft. Nach (©. P. Butler *®°) 
existiert überhaupt kein Fleck, der nicht von mächtigen Wolkenbänken 
aus Öa-Dampf umgeben wäre, während aber umgekehrt aus dem ver- 
stärkten Auftreten von Ca-Flocken noch durchaus nicht auf die An- 
wesenheit eines Flecken geschlossen werden darf. Bei Verwendung 
der Linienteile 4, oder X, (unterste Schichten) sind die Ca-Spektro- 
heliogramme den direkten Aufnahmen der Sonnenoberfläche mit ihren 
Fackeln meist sehr ähnlich, so daß @. E. Hale*®) speziell die in der 
Nähe von Flecken gehäuften Ca-Flocken sogar längere Zeit direkt für 

481) Siehe bei @. E. Hale und F. Ellermann, Publ. Yerkes Obs. 3 (1903), 
Part 1. 

482) Astroph. Journ. 23 (1906), p. 1. 

483) Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 263. 

484) Siehe bei E. Pringsheim, Physik der Sonne, p. 354. 

485) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 41. 


486) London Roy. Astr. Soc. Month. Not 84 (1924), p. 134. 
487) Astron. and Astroph. 2 (1893), p. 450; 3 (1894), p. 113. 


638 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Fackelgebilde gehalten hat. Die Aufnahmen mit H, und K, zeigen 
aber bereits wesentliche Unterschiede gegenüber direkten Aufnahmen 
des Sonne. Erst sie zeigen die ganze Mächtigkeit der Ca-Flocken in 
der Nähe von Flecken. Nicht selten überlagern diese Ca-floceuli den 
Flecken derart, daß er unter ihnen fast gänzlich verschwindet. Beson- 
ders schön zeigt sich das Anwachsen der Flockenmächtigkeit mit der 
Höhe in der Chromosphäre in einer Serie von fünf Bildern, die 
Ph. Fox“) in der Weise erhielt, daß er den zweiten Spektrohelio- 
graphenspalt nach und nach vom Rand der H-Linie bei 3965,0 bis 
zur Mitte bei 3968,6 hin verschob. Ähnliche Beobachtungen hat auch 
H. Deslandres*?°”) ausgeführt. Auf der übrigen Sonnenoberfläche zeigen 
sich die Ca-Flocken meist so feinflockig verteilt‘), daß eine gewisse 
Ähnlichkeit mit der Granulation der Sonnenoberfläche auftritt. Alle 
Öa-Flocken sind übrigens stark veränderlich. 

Aufnahmen von H. Deslandres‘”'), bei denen das Spektrohelio- 
gramm noch nach der alten Methode durch sukzessive Aneinander- 
reihung der Zonen entstanden war, lassen erkennen, daß die aufge- 
lagerten feinen Absorptionen der obersten Chromosphärenschichten 
H,, K, nicht überall auf der Sonnenoberfläche auftreten, und daß sie 
sowie auch H, und K, häufig Verbiegungen und Verzerrungen auf- 
weisen, die große Geschwindigkeiten der Ca-Dämpfe in den betreffen- 
den Schichten anzeigen. H. Deslandres®””) nennt daher diese Art der 
Herstellung von Spektroheliogrammen auch „enregistrement de vitesses“. 
Es sei hier darauf hingewiesen, daß das beobachtete Fehlen von H, 
und X, an einzelnen Stellen der Sonnenoberfläche durchaus im Ein- 
klang steht mit der in Nr. 12 ausgesprochenen Vermutung, daß die 
Höhe in der Chromosphäre, in der die Linien verschiedener Elemente 
entstehen, veränderlich sei. 

Häufig zeigen die A,- und K,-Bilder mitten unter den hellen Ca-. 
Flocken dunkle, mehr oder weniger breite Streifen von verschiedener 
Länge und Gestalt. Hale führt diese „dunklen Flocken“ (filaments bei 
H. Deslandres*”°)) auf verstärkte Mitwirkung von H, und K, zurück, 
und tatsächlich zeigen allein mit H, und K, gewonnene Aufnahmen 
meistens besonders zahlreiche Gebilde dieser Art.*”*) 








488) Astroph. Journ. 21 (1905), p. 351. 

489) Paris ©. R. 147 (1908), p. 1016. 

490) Siehe die Aufnahmen von G@. E. Hale, Astroph. Journ. 19 (1904), p. 41, 
Tafel IV. 

491) Ann. de l’Obs. Paris-Meudon 4 (1910). 

492) Paris C. R. 141 (1905), p. 477. 

493) Paris C. R. 147 (1908), p. 334. 

494) S. die Aufnahmen von H. Deslandres, Ann. de l’Obs. Paris-Meudon 4(1910). 


13. Monochromatische Aufnahmen der Sonne. Spektroheliograph. 639 


Für Aufnahmen mit den Wasserstofflinien wurde zuerst nur die 
photographisch wirksame A,-Linie verwendet, und erst seit 1908 be- 
nutzte G. E. Hale**) auch die anderen Wasserstofflinien und sogar 
die rote H,-Linie. Da die einzelnen H-Linien nicht in gleichen Höhen 
in der Chromosphäre entstehen, sind auch die mit den verschiedenen 
Wasserstofflinien erhaltenen Wasserstoffbilder einander meist recht un- 
ähnlich. Im Zusammenhang damit sei hervorgehoben, daß @. E. Hale*”°) 
einmal in der Nähe eines Sonnenfleckens eine auffallende Verzerrung 
der H,-Linie bemerkt hat, die an der in einer anderen Schicht ent- 
stehenden H,-Linie nicht zu beobachten war. Die Stellen der Sonnen- 
oberfläche in der Nähe von Flecken, die auf Ca-Bildern mächtige Ca- 
Flocken zeigen, erscheinen auf Wasserstoffbildern fast stets relativ 
dunkel. Dabei tritt insbesondere auf H,-Bildern in der Umgebung 
der Flecken immer eine deutliche Wirbelstruktur auf, die anzeigt, daß 
der Wasserstoff an der wirbelnden Bewegung der Sonnenflecken teil- 
nimmt.) Daß es sich dabei nicht nur um Wirbelstruktur, sondern 
wirklich um Wirbelbewegung handelt, beweist der stereoskopische 
Effekt, den @. E. Hale“”®) an zwei Hydrogenbildern vom 7. Aug. 1915, 
die mit 7” Zwischenzeit aufgenommen worden waren, beobachten 
konnte. Die Bewegungsgeschwindigkeit erreicht dabei, wie @. Abetti*”®) 
durch Messung hat feststellen können, bis zu 100 km und mehr. 

Auch auf den Wasserstoffbildern, insbesondere auf solchen, die mit 
der Mitte der H,-Linie (oberste Schichten) aufgenommen wurden), 
treten wieder oft dunkle Flocken auf, die dann die gleiche Gestalt 
zeigen wie auf Aufnahmen mit den Kalziumlinien Z, und K,. Offen- 
bar stehen diese dunklen Flocken mit den Protuberanzen im Zu- 
sammenhang und wir haben in ihnen, wie H. Deslandres’"') wahr- 
scheinlich machen konnte, die Projektionen von Protuberanzen auf 
die Sonnenoberfläche zu erblicken. Beispielsweise hat J. Evershed’®) 
eine von F. Slocum°”) im März 1910 längere Zeit hindurch beobach- 
tete Protuberanz auf seinen K,-Aufnahmen als dunklen Flocculus vor 


495) Mem. Spettr. Ital. 37 (1908), p. 99. 

496) Siehe bei E. Pringsheim, Physik der Sonne, p. 224. 

497) Siehe z. B. bei @. E. Hale, Astroph. Journ. 28 (1908), p. 100. 

498) Nature 97 (1916), p. 249. 

499) Mem. Spettr. Ital. 39 (1910), p. 10. 

500) Daß verschiedene Teile der Wasserstofflinien ebenfalls in verschiedenen 
Höhen der Chromosphäre entstehen, haben @. E. Hale und F. Ellermann gezeigt 
London Roy. Soc. Proc. A 83 (1910), p. 177. 

501) Paris C. R. 155 (1912), p. 531, 753. 

502) Astroph. Journ. 33 (1911), p. 1. 

503) Ebendort 32 (1910), p. 125. 


640 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


der Sonnenscheibe wiedererkennen können und A. Riccö?®®) aus ita- 
lienischen Protuberanzenbeobachtungen die in Meudon beobachteten 
„filaments“ zu rekonstruieren vermocht. Eine weitere Bestätigung der 
Identität von Wasserstoffprotuberanzen und dunklen H,-Flocken liegt 
in der von 7. Royds’”) gefundenen engen Beziehung zwischen den 
Häufigkeiten des Auftretens beider Objekte. Derselbe°’) fand auch, 
daß die dunklen Flocken in den äquatorialen Gegenden der Sonne 
meistens parallel zu den Meridianen liegen, sich aber mit zunehmen- 
der Breite immer mehr gegen diese neigen, um schließlich bei 35° 
Breite die Richtung der Parallelkreise einzunehmen. Daß diese wohl 
unter dem Einfluß der Sonnenrotation vor sich gehende Drehung ge- 
rade an den Grenzen der Fleckenzonen den Betrag von 90° erreicht, 
deutet wieder auf einen Zusammenhang mit den Flecken und damit 
auch mit den Protuberanzen hin. 

Spektroheliographische Aufnahmen mit Linien anderer Elemente 
wie Fe, C zeigen im allgemeinen eine Anhäufung der betreffenden 
Stoffe an den Stellen, wo die Ca-Flocken gehäuft auftreten, aber nur 
selten in gleicher Stärke wie die letzteren. Sonst erscheinen die be- 
treffenden Bilder aber ziemlich gleichförmig. 

W. H. Julius®”) hat versucht, die Erscheinung der Flocken auf 
anomale Dispersion in der Sonnenphotospäre zurückzuführen, und in 
ähnlichem Sinn hat sich auch P. V. Bevan?”) geäußert. Dagegen 
konnte aber @. E. Hale°®) zeigen, daß Aufnahmen mit der roten und 
der violetten Kante von H, genau die gleichen Flocken aufwiesen, 
was wegen der an den beiden Linienrändern gerade entgegengesetzten 
anomalen Brechungsverhältnisse nicht leicht möglich gewesen wäre, 
wenn die Flocken wirklich durch anomale Dispersion vorgetäuscht 
werden würden. 


14. Das Spektrum der Protuberanzen. Wie Mädler in seiner 
„Geschichte der Astronomie“ erwähnt, scheinen die Protuberanzen zu- 
erst von Stannyau im Jahre 1706 bei einer totalen Sonnenfinsternis 
als rötliche Wölkchen in der Sonnenkorona beobachtet worden zu 
sein und ebenso werden sie im Jahre 1733 in den „Philosoph. Trans- 
actions“ von Vassenius beschrieben. Aber erst im Jahre 1842 fielen 





504) Mem. Spettr. Ital. (2) ı (1912), p. 158. 

505) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 73 (1912), p. 72. 

506) Kodaikanal obs. Bull. 63 (1920). 

507) Arch. Neerl. (2) 14 (1909), p. 466; Amsterdam Koningl. Acad. Proc. 13 
(1911), p. 881, 1263; Phys. Ztschr. 12 (1911), p- 329, 674. 

508) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 72 (1911), p. 34. 

509) London Roy. Soc. Proc. 1909, Juni 17. 


14. Das Spektrum der Protuberanzen. 641 


sie allgemeiner auf. Man hielt sie zuerst für Gebilde des Mondes, je- 
doch schon 1851 konnte man ihren solaren Ursprung dadurch fest- 
stellen, daß man beobachtete, wie der Mond auch sie nach und nach 
verdeckte. Zunächst blieb die Möglichkeit einer Beobachtung dieser 
Gebilde auf die kurzen Momente der totalen Verfinsterungen der 
Sonne beschränkt. 

Schon im Jahre 1866 hatte J. N. Lockyer die Meinung ausgespro- 
chen, daß die Protuberanzen leuchtende Gasmassen seien und daher 
ein Linienspektrum besitzen müssen. Die Beobachtungen während der 
totalen Sonnenfinsternis vom Jahre 1868 brachten die Bestätigung, 
und es war damals bereits möglich, die Linien des Wasserstoffs und 
noch einige andere Linien, darunter D,, zu beobachten. Die letztere 
hielt man allerdings noch ziemlich allgemein für die gelbe D-Linie 
des Na!) Aber bei derselben Finsternis bemerkte J. N. Lockyer°") 
doch bereits, daß diese Linie wohl etwas brechbarer sei als die gelbe 
Na-Linie. Schließlich wurde die Linie, nachdem E. Frankland und 
J. N. Lockyer?'?) auch die Vermutung, daß sie vielleicht eine noch un- 
bekannte Linie des Wasserstoffs sei, widerlegt hatten, einem neuen, 
nur auf der Sonne vorkommenden Element „Helium“ zugeschrieben, 
das dann bekanntlich von W. Ramsay°') auch auf der Erde entdeckt 
werden konnte. Eben bei.dieser Finsternis gelang es auch J. N. Lockyer°"*) - 
und J. Janssen’), die Protuberanzenlinien auch noch außerhalb der 
Totalität weiter zu beobachten und aus der Linienlänge bei verschie- 
denen Stellungen des Spaltes das Bild der Protuberanz aufzubauen. 
J. Janssen kam dadurch zur Konstruktion des bereits in Nr. 13 er- 
wähnten Spektrohelioskops, und in ähnlicher Weise suchte auch F. Zöll- 
ner°'°) das Bild der Protuberanz bei vollem Sonnenlicht zunächst da- 
durch sichtbar zu machen, daß er das ganze Spektroskop sich rasch 
vor der Protuberanz hin und her bewegen ließ. Kurz danach konnten 
aber W. Huggins®'") und F. Zöllner°'?) feststellen, daß man das ganze 
Bild einer Protuberanz im Lichte einer Linie überblicken kann, wenn 
man bei Verwendung möglichst starker Dispersion zur Abschwächung 
der Helligkeit des Spektrums des Himmelsgrundes neben der Sonnen- 








510) Siehe z. B. bei @. Rayet, Paris C. R. 67 (1868), p. 757 und 68 (1869), p. 62. 
511) London Roy. Soc. Proc. 17 (1868), p. 17; Phil. Mag. (4) 37 (1869), p. 143. 
512) London Roy. Soc. Proc. 17 (1869), p. 288; Phil. Mag.'(4) 38 (1869), p. 66. 
513) Nature 51 (1895), p. 512, 543. 

514) Siehe H. Faye, Paris C. R. 67 (1868), p. 840. 

515) Paris C. R. 67 (1868), p. 638. 

516) Pogg. Ann. 138 (1869), p. 32. 

517) London Roy. Soc. Proc. 17 (1869), p. 302. 

518) Astr. Nachr. 74 (1869), p-. 305. \ 


642 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


scheibe den Spalt so weit öffnet, daß er das ganze Protuberanzenbild 
faßt. Zahlreiche visuelle Beobachtungen und statistische Untersuchungen 
wurden daraufhin unternommen, sie finden sich u. a. in den Bulletins 
des Kodaikanal-Observatory und in den Memorie degli Spettroscopisti 
Italiani.°'®) Im Band 35 der letzteren ist eine von 1877—1879 rei- 
chende Beobachtungsreihe von P. Zacchini publiziert. Die Erfindung 
des Spektroheliographen hat schließlich die Möglichkeit geschaffen, 
Protuberanzen bei vollem Sonnenlicht im Lichte von H oder K oder 
von H, usw. zu photographieren. 

Das Spektrum der Protuberanzen läßt sich auf den mit der Prismen- 
kamera hergestellten Flashaufnahmen gleichzeitig mitbeobachten, da 
ja jede auf solchen Aufnahmen sichtbare Flashlinie ein Bild des sichel- 
förmigen Sonnenrandes mitsamt den auf ihm sitzenden Protuberanzen 
darstellt. Die u. a. von @. E. Hale°?®), H. Deslandres®?') und J. Ever- 
shed°??) sowie von J. N. Lockyer???) gegebenen Tabellen von Protube- 
ranzenlinien sind durch Vermessung von solchen Flashaufnahmen ent- 
standen. Danach zeigt das Protuberanzenspektrum in der Regel ent- 
weder vornehmlich nur die Linien des H, He, Ca und die grüne Chromo- 
sphärenlinie bei A 5317, oder es treten noch zahlreiche Linien meist 
von Fe, Ti, Sc, Sr, Mg und Al auf, die ihren Ursprung in den unter- 
sten Chromosphärenschichten nehmen. J. N. Lockyer°*) dürfte der 
erste gewesen sein, der im Spektrum einer Protuberanz weit über 100 
solcher Metallinien erblickt hat. Von der Balmerserie des Wasserstoffs 
sind stets zahlreiche Glieder vorhanden; J. Evershed (a. a. O.) hat sie 
einmal bis zum 21. Glied verfolgen und dabei gleichzeitig finden 
können, daß an der Seriengrenze des Wasserstoffs das kontinuierliche 
Spektrum ansetzte.°®) In neuester Zeit wurde von K. Burns°:®) mit 
dem 36 zölligen Refraktor der Licksternwarte auch der infrarote des 
Protuberanzenspektrums untersucht, ohne daß sich dabei wesentlich 
Neues ergeben hätte. Es fand sich dort die Linie 7065 des He, das 
Ca-Triplet bei 8498 und eine Mg-Linie bei 8807. 

Bei totalen Sonnenfinsternissen zeigen sich die Protuberanzen 


519) Jetzt werden die täglichen Beobachtungen in Catania, Zurigo, Zö-Se usw. 
in Arcetri gesammelt und von der Unione astronomica internazionale unter dem 
Titel „Immagini spectroscopiche del bordo solare“ publiziert. 

520) Astron. and Astroph. 1 (1891), p. 50, 602, 821. 

521) Paris C.R. 114 (1891), p. 276; 115 (1892), p. 222. 

522) London Roy. Astr. Soc. Mem. 54 (1901), App. I. 

523) Ebendort App. III. 

524) Paris C. R. 70 (1870), p. 1268. 

525) Siehe hierzu W. H. Wright, Nature 109 (1922), p. 810. 

526) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 317; Lick obs. Bull. 327 (1920). 


14. Das Spektrum der Protuberanzen. 643 


wegen der starken Strahlung der H,-Linie zumeist in rötlicher Farbe, 
aber bei Überwiegen der Strahlung der blauen und violetten Linien 
kann sie auch ins bläuliche oder violette spielen. Gelegentlich sind 
aber auch ausgesprochen weiße Protuberanzen beobachtet worden, zu- 
erst vielleicht von P. Tacchini’?") im Jahre 1883. Die weiße Farbe 
kann natürlich durch gleichzeitiges Auftreten von ihrer Farbe nach kom- 
plementären Spektrallinien hervorgerufen sein und das durch Dunkel- 
adaption eingeleitete Stäbchensehen des Auges kann ebenfalls mit- 
spielen, immerhin tritt die Frage auf, ob es wirklich Protuberanzen 
gibt, die ein kontinuierliches Spektrum aussenden. Kontinuierliche 
Protuberanzenspektra sind nun tatsächlich von W. H. Pickering’®), 
A. Ricco52) und von H. Deslandres und G. Blum?) beobachtet worden. 
Die letzten beiden untersuchten diese weißen Protuberanzen photo- 
graphisch mit einem Farbenfilter, das nach ihrer Angabe nur die 
Strahlung zwischen A 5000 — 4 5800 durchließ, also alle Linien des Pro- 
tuberanzenspektrums absorbierte. Sie erhielten im Lichte dieser linien- 
freien Strahlung auffallend detailreiche Protuberanzenbilder. H. Des- 
landres°®') bezweifelt allerdings selbst, daß mit diesen Aufnahmen ein 
vollgültiger Beweis für das Vorhandensein kontinuierlicher Protube- 
ranzenspektra erbracht sei, betont dabei aber den Umstand als auf- 
fällig, daß die mit dem Filter aufgenommenen Bilder eine geringere 
Höhe der Protuberanzen ergeben als die Aufnahmen ohne Filter, so 
daß anscheinend nur die unteren Protuberanzenteile Teilchen ent- 
halten, die die vom Filter durchgelassene Strahlung aussenden. 

Diejenigen Protuberanzen, die nur die Hauptlinien des Chromo- 
sphärenspektrums zeigen, verändern ihre Gestalt stets nur sehr lang- 
sam und sind oft durch mehrere Sonnenrotationen hindurch immer 
- wieder am Sonnenrand zu beobachten. Man nennt sie daher „ruhende 
Protuberanzen“. Als typisches Beispiel einer solchen Protuberanz mag 
die schon in Nr. 13 erwähnte, von F\ Slocum°??) am 17. März 1910 
aufgefundene und nach einer vollen Rotation der Sonne Mitte April 
wieder beobachtete Protuberanz angeführt werden. 

Die Protuberanzen dagegen, deren Spektrum noch andere Linien, 
insbesondere der Metalle, zeigt, sind immer rasch veränderlich. Sie 
bauen sich in wenigen Stunden in oft bedeutende Höhen über der 


527) Siehe E. Pringsheim, Physik der Sonne, p. 194. 
528) Harvard Coll. Obs. Ann. 18 (1888), p. 85. 

529) Paris C. R. 143 (1906), p. 441. 

530) Paris ©. R. 142 (1905), p. 817. 

531) Paris C. R. 142 (1906), p. 741, 1009. 

532) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 155. 


644 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Sonnenoberfläche auf, um dann ebenso rasch wieder zusammenzustürzen. 
Typisch für die großen Geschwindigkeiten, mit denen sich die Gase 
in solchen „eruptiven Protuberanzen“ nach aufwärts bewegen, und für 
die Höhen, in die sie dabei gelangen, sind die Protuberanzen vom 
25. Mai 1895, 25. Dez. 1906 und 21. Mai 1907, bei denen @. E. Hale°°), 
A. A. Buß°®) und P. Fox°®) Maximalhöhen von 452000 bzw. 450000 
und 311000 km feststellen konnten. Die zuerst genannte Protuberanz 
hatte sich mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 180 kmsee”! 
in die Höhe aufgebaut. Solche große Geschwindigkeiten — auch H. Des- 
landres°®°) konnte einmal eine Steiggeschwindigkeit von über 100km sec! 
beobachten — sollen nach R. K. Sur??”) aus dem Strahlungsdruck er- 
klärlich sein. 

So wie im Spektrum der Sonnenflecken zeigen auch im Spektrum 
der eruptiven Protuberanzen die Linien, wie wohl zuerst von J. N. 
Lockyer?®) beobachtet worden ist, Krümmungen und Verzerrungen, 
die nach dem Dopplerschen Prinzip wieder auf innere Bewegungen 
führen, die mit Geschwindigkeiten von oft. mehr als 100 kmsec-! 
und nach einer Beobachtung von H. ©. Vogel vom 2. Juni 1871 auch 
wirbelartig vor sich gehen. In der Regel nehmen aber nicht alle 
Linien an dieser Erscheinung teil und meistens zeigen sogar die ver- 
schiedenen Linien eines Elementes verschiedenes Verhalten. Die die 
Protuberanz bildenden Stoffe sind in derselben also ebensowenig gleich- 
mäßig verteilt, wie das in der Sonnenatmosphäre der Fall ist. Das 
zeigt sich übrigens auch darin, daß spektroheliographische Aufnahmen 
von Protuberanzen im Lichte der H,-Linie zumeist nur wenig Ähn- 
lichkeit mit gleichzeitigen Aufnahmen mit den Ca-Linien H oder’ K 
besitzen. Beispielsweise liegen von einer am 21. Mai 1907 von P. Fox???) 
mit dem Spektroheliographen mehrmals aufgenommenen eruptiven Pro- 
tuberanz gleichzeitige Zeichnungen im Lichte der H,-Linie nach vi- 
suellen Beobachtungen von J. Fenyi°‘) vor, die keinerlei Formähn- 
lichkeit mit den Aufnahmen von Fox erkennen lassen. Noch deut- 
licher konnte A. Riccö°*!) die Nichtübereinstimmung der Protube- 
ranzenform im Lichte verschiedener Linien an einer Flashaufnahme 


533) Astroph. Journ. 1 (1895), p. 433. 

534) Engl. Mech. 84 (1907), p. 528. 

535) Astroph. Journ. 26 (1907), p. 155. 

536) Paris ©. R. 171 (1920), p. 572. 

537) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 111. 

538) London Roy. Soc. Proc. 17 (1869), p. 350. 
539) Astroph. Journ. 26 (1907), p. 155. 

540) Ebendort 27 (1908), p. 78. 

541) Paris C. R. 143 (1906), p. 441. 


14. Das Spektrum der Protuberanzen. 645 


vom 30. Aug. 1905 dartun. Die Unterschiede sind natürlich aus den 
an verschiedenen Stellen der Protuberanz herrschenden verschiedenen 
Dichten und Temperaturen und den dadurch bedingten lonisations- 
unterschieden erklärlich. 

Die Form der Protuberanzen wird durch in der Chromosphäre vor- 
handene Strömungen beeinflußt. F. Slocum°*), dem 3323 Protube- 
ranzenaufnahmen aus den Jahren 1904—1910 für eine statistische 
Untersuchung dieses Einflusses zur Verfügung standen, kommt zu dem 
Ergebnis, daß in der Sonnenatmosphäre zwischen 15° und 55° nörd- 
licher und 25° und 55° südlicher heliographischer Breite allgemein 
parallel zur Sonnenoberfläche und polwärts gerichtete Strömungen 
vorhanden sein dürften. 

Physikalisch ist eigentlich nicht recht erklärlich, wie bei der ver- 
hältnismäßig nur geringen Höhe der Chromosphäre Gasmengen in so 
beträchtliche Höhen über der Sonnenoberfläche, also in einen prak- 
tisch fast leeren Raum, hinaufgelangen und sich dort oft stundenlang 
und länger erhalten können, ohne sich zu zerstreuen. Schon J. Fenyi°*?) 
hat auf diese Schwierigkeit hingewiesen. Will man nicht wieder mit 
W. Julius’) annehmen, daß die Protuberanzen als Ganzes und ebenso 
die beobachteten Linienverzerrungen in ihrem Spektrum nur durch 
anomale Dispersion vorgetäuscht werden, so könnte vielleicht eine 
erst vor kurzem von W. Anderson°®) publizierte Ansicht eine Er- 
klärung für die auffällige „Haltbarkeit“ dieser Gebilde liefern. Danach 
wären die die Protuberanz bildenden Gase derart verdünnt, daß die 
Atome wie Geschosse aus dem Sonneninneren in parallelen Bahnen 
emporgeschleudert werden. Die Gase hätten demnach weder Wärme 
noch Temperatur und die Atome würden, wie auch schon J. Ever- 
shed°*) für möglich gehalten hat, lediglich durch die Sonnenstrahlung 
zur Emission angeregt. Dadurch aber, daß die Steiggeschwindigkeit 
mit der Höhe abnimmt, muß sich der Gasstrom in seinen höheren 
Teilen verdichten, so daß schließlich infolge dieser Dichtezunahme mit 
der Höhe, die noch durch zurückstürzende Atome gesteigert wird, 
irgendwo über der Sonnenoberfläche jene Dichte eintreten kann, die 
nötig ist, um die Emission genügend stark und damit sichtbar zu 
machen. Das Auftreten von über dem Sonnenrand frei schwebenden 
Protuberanzen wäre in dieser Weise erklärbar. Wird dazu noch mit 


542) Astroph. Journ. 33 (1911), p. 108. 
543) Astr. Nachr. 189 (1911), p. 49; Mem. Spettr. Ital. 1 (1912), p. 21. 
544) Pop. Astr. 10 (1902), p. 501. 
545) Astr. Nachr. 216 (1922), p. 85. 
546) The Observatory 39 (1916), p. 392. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 42 


646 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne 


W. Anderson?*‘) angenommen, daß die Ausströmungsgeschwindigkeit 
nicht konstant sei, so können in die Höhe wandernde Verdichtungs- 
zentren auftreten, die in ihrer Bewegung für uns das Bild einer sich 
aufbauenden Protuberanz hervorrufen. Andersons Überlegungen ebenso 
wie A. Bresters°®®) Ausführungen, denen zufolge in ganz ähnlicher 
Weise anzunehmen wäre, daß lediglich die Leuchtbedingungen in 
einer an sich ruhenden Chromosphäre stark veränderlich sind, könnten 
die merkwürdige Beobachtung von E. Pettit°‘) an einer eruptiven 
Protuberanz vom 29. Mai 1919 erklären, die sich in 4!/, Stunden von 
10000 bis 400000 km Höhe aufbaute, während gleichzeitig die Auf- 
baugeschwindigkeit mit der Höhe nicht abnahm, sondern dem Gravi- 
tationsgesetz entgegen von anfänglich nur 4,4 km bis auf 113 km zur 
Zeit der größten Höhe anstieg. Jedenfalls harren die an den Protube- 
ranzen beobachteten Merkwürdigkeiten noch einer einwandfreien Inter- 
pretation. 


15. Das Spektrum der Sonnenkorona. Wenn der Mond bei einer 
totalen Sonnenfinsternis die Sonnenscheibe nahezu gänzlich verdeckt 
hat, leuchtet rund um die dunkle Mondscheibe ein strahliges Gebilde von 
eigentümlichem, durchsichtigem Glanze auf, die sogenannte „Sonnen- 
korona“, die dann während der ganzen Dauer der Totalität sichtbar 
bleibt. 

Das Spektrum dieser Sonnenkorona besteht aus hellen Linien auf 
kontinuierlichem Grund. Die Frage, ob das kontinuierliche Spektrum 
Fraunhofersche Linien zeigt, ob es also von reflektiertem Sonnenlicht 
herrührt, blieb ziemlich lange ungeklärt; da man bei einigen totalen 
Finsternissen, so beispielsweise in den Jahren 1871, 1882 und 1893 
Fraunhofersche Linien gesehen haben will, während sie bei anderen 
Finsternissen, z. B. 1898 und 1900, wieder nicht bemerkt werden 
konnten.5%) A. Fowler?°') meinte, daß man sie mit geringerer Disper- 
sion wohl immer auffinden würde, daß die Linien aber zu schwach 
und unbestimmt seien, um bei Verwendung stärkerer Dispersionen be- 
merkt werden zu können. Nach den bei der totalen Finsternis vom 
17. Mai 1901 gesammelten Beobachtungen scheinen die Fraunhofer- 
schen Linien auch nur in den äußeren Teilen der Korona aufzutreten, 





547) Astr. Nachr. 216 (1922), p. 369. 

548) Le soleil; ses phöenomödnes les plus importants, leur litterature et leur 
explication. La Haye 1924, W. P. van Stockum & fils. 

549) Astroph. Journ. 50 (1919), p. 206. 

550) Siehe bei A. de la Baume- Pluvinel, Paris C. R. 130 (1900), p. 1523; 
132 (1901), p. 1259. 

551) Nature 63 (1901), p. 394. 


15. Das Spektrum der Sonnenkorona. 647 


während die sogenannte innere Korona in der Regel keinerlei Ab- 
sorptionslinien erkennen läßt.®2) Offenbar liegt also eine Überlagerung 
zweier Spektren vor, deren eines, das Fraunhoferspektrum des reflek- 
tierten Sonnenlichtes, durch ein anderes rein kontinuierliches und 
gegen den Sonnenrand kräftiger werdendes Spektrum geschwächt wird. 
Daß die Korona wenigstens teilweise auch im reflektierten Sonnen- 
licht leuchtet, also ein Fraunhofersches Spektrum zeigen muß, folgt 
noch daraus, daß ihr Licht teilweise polarisiert ist, wie u. a. A. Praz- 
mowsky°°), H.H. Turner und H. F. Newall’®), R. W. Wood°”®) und 
J. J. Landerer 5%) nachgewiesen haben. Dabei ließ sich in Überein- 
stimmung damit, daß das Fraunhoferspektrum meistens nur in der 
äußeren Korona sichtbar wird, bei den Finsternissen von 1870°°7) und 
1901°%®) sogar zeigen, daß auch der Polarisationgrad in der äußeren 
Korona größer war als in der inneren. 

Das Emissionsspektrum der Korona ist vielfach untersucht wor- 
den. Ziemlich ausführliche Tabellen der beobachteten Linien sind von 
F. W. Dyson°®®), W. Christie’), A. L. Cortie®®') und von W. W. Camp- 
bel und J. H. Moore°®?) gegeben worden. Nach den letzten beiden 
treten folgende Linien auf, von denen die mit einem Asterisk bezeich- 
neten sicher der Korona selbst angehören (s. Tabelle nächste Seite). 

Am kräftigsten erscheint zumeist die „grüne Koronalinie“ bei 
4 5303, die zuerst von J. N. Lockyer°®°) und O©. A. Young’) aufgefunden 
worden ist und die man lange Zeit für mit der Chromosphärenlinie 
bei 5317 identisch hielt. Erst 30 Jahre später stellten fast gleich- 
zeitig W. W. Campbell?®), ©. A. Young’) und J. N. Lockyer°‘') auf 


552) Siehe bei W. Foerster, Mitt. Ver. Freunde d. Astr. u. kosm. Phys. 11 
(1901), p. 129. 

553) Paris 0. R. 51 (1860), p. 195. 

554) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 60 (1900), App. 1. 

555) Astroph. Journ. 12 (1900), p. 281. 

556) Paris ©. R. 141 (1905), p. 589. 

557) Siehe bei P. Blaserna, Arch. des Sciences phys. et nat. (2) 41 (1871), p. 423. 

558) Siehe bei W. H. Julius, Totale eclipse of the Sun May 18, 1901, Dutch 
observations III, und bei ©. D. Perrine, Astroph. Journ. 14 (1901), p. 349. 

559) London Roy. Soc. Phil. Trans. 206 (1906), p. #51. 

560) London Roy. Soc. Proc. 77 A (1906), p. 28. 

561) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 78 (1918), p. 665. 

562) Lick obs. Bull. 318 (1918); Publ. Astr. Soc. Pac. 30 (1918), p. 349. 

563) Nature 1 (1869), p. 14. 

564) Ebendort p. 172. 

565) Astroph. Journ. 10 (1899), p. 186, 

'"566) Astroph. Journ. 10 (1899), p. 306. 

567) London Roy. Soc. Proc. 64 (1899), p. 168. 

42” 


648 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 



































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3648 | 2 | Pf | 885 || 4398? | ı | Pf [896,842 

















Grund genauerer Messungen fest, daß eine solche Identität nicht be- 
steht. An genaueren Wellenlängenbestimmungen liegen für diese 
Linie vor: 


J. N. Lockyer 1896 u. 1898, loc. eit. . . . . . ... 53087 ÄE. 
W. W. Campbell 1898, loc. eit. . . . 5303,26 
T. de Azcarate 1905, ER Obs. San Hands 1, p. u . 5303,52 _, 
F. W. Dyson 1905, London Roy. Astr. Soc. Mem. 57, App. 53031 „ 
W. Ohristie 1906, London Roy. Soc. Proc. 77A,p.28 . 5303,10 „ 


” 


4A. Perot 1912, Paris 0,R. 154, p.15381 . . .. 5303,77 „ 
R. Furuhjelm 1914, Anders Donner Festschr. Helsingor 
1018 2 2a . 5303,36, „, 


Ch. E. St. John 1918, Publ. Kute Br Bao: 30, p. 250 .: 5303,16 


Die grüne Koronalinie ist übrigens nicht immer gleich kräftig, 
sondern scheint, ebenso wie dies bei Ausdehnung und Helligkeit der 
Korona der Fall ist, mit dem Ansteigen der Fleckentätigkeit der Sonne 
an Intensität zuzunehmen. Im Jahre 1900 wurde sie von 0. A. Young°®) 
und M. Hamy?°‘®) sogar überhaupt nicht gesehen; sie war damals, wie 
A. de la Baume-Pluvinel?"®) bemerkte, nur in den innersten Teilen der 
Korona knapp am Sonnenrand nachweisbar. Am 17. April 1912 fand 
sie H. Deslandres°'') nur am Westrand, nicht aber am Ostrand der 
Sonne. 


„ 


568) Astroph. Journ. 11 (1900), p. 79. 
569) Paris C. R. 130 (1900), p. 1516. 
570) Paris C. R. 132 (1901), p. 1259. 
571) Paris C. R. 154 (1912), p. 1019. 


15. Das Spektrum der Sonnenkorona. 649 


Den Ursprung der grünen Koronalinie aufzufinden, ist bisher nicht 
gelungen und man schrieb sie einem vorläufig noch unbekannten Ele- 
ment „Coronium“ zu. M. B. Snyder°'”) meinte zwar, sie sei vielleicht 
mit der Linie des Viellinienspektrums der Wasserstoffmolekel °’®) bei 
ı 5303,35 identisch und schlug bei dieser Gelegenheit für das Coro- 
niumgas sogar den Namen „Coroniumhydrogen“ vor, doch bliebe dann 
wohl die Frage unbeantwortet, warum von den zahlreichen Linien 
dieses Viellinienspektrums gerade nur diese eine einzige im Korona- 
spektrum auftreten sollte. Sehr eingehend beschäftigte sich J. W. Ni- 
cholson’"*) in mehreren Arbeiten mit den gesetzmäßigen Beziehungen 
der Koronalinien untereinander, und er schrieb dann eine Anzahl von 
Linien (in der obigen Tabelle ist Pf beigesetzt) einem hypothetischen 
Element Protofluorine zu, dessen Atom die Kernladung de besitzen 
und 2—7 Elektronen enthalten soll, so daß das Element in den ver- 
schiedenen Zuständen zwischen Pft*+* und Pf--- auftreten würde. 
Ganz abgesehen, daß ein Atom dieses Baus in die modernen Vorstel- 
lungen vom Atombau nicht hineinpaßt, fügen sich aber gerade die 
grüne Koronalinie, dann eine Linie bei 35354 sowie die von H. Des- 
landres und P. Carasco5®) am 21. August 1914 neu aufgefundene Linie 
bei A 6375 nicht in Nicholsons Protofluorineschema. Nach J. W. Ni- 
cholson°"®) gehören diese Linien dem eigentlichen Coronium an, dessen 
Atom dann aber eine Kernladung von Te und 8 Elektronen besitzen 
müßte, um diese Linien emittieren zu können. Ein Zusammenhang 
zwischen den Linien 3534 und 6375 soll aber nach P. Carasco °"®) 
trotzdem wahrscheinlich sein. 

Da Ca* noch in den äußersten Chromosphärenschichten stark ver- 
treten ist, vermutete A. Pannekoek°””) später, daß Linien des Korona- 
spektrums vielleicht dem Ca** angehören. Nach einer Bemerkung 
von P. Zeeman und H. W.J. Dik°"), daß einige Argonlinien (Atom- 
nummer 18) in Übereinstimmung mit dem Kossel- Sommerfeldschen 
Verschiebungsgesetz konstante Wellenzahldifferenz gegen Linien des 
ionisierten Kaliums (Atomnummer 19) aufweisen, suchte-er ebensolche 


572) Pop. Astr. 19 (1911), p. 170. 

573) Nach E. Gehrke, Tätigkeitsber. d. phys. techn. Reichsanst. Nr. 21, ge- 
hört dieses Spektrum nicht dem H-Atom, sondern der H-Molekel an. 

574) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 72 (1912), p. 139, 627, 729. Die 
bezüglichen Untersuchungen sind also von Nicholson vor Erscheinen der Arbeiten 
von N. Bohr ausgeführt worden. 

575) Paris C. R. 160 (1914), p. 669, 740. 

576) Paris C. R. 161 (1915), p. 631. 

577) Bull. Astron. Inst. Netherl. Nr. 19, 1 (1922), p. 115 

578) Amsterdam koningl. Acad. Proc. April 1922. 


650 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


konstante v’-Differenzen zwischen Koronalinien und Linien des Cat. 
Die bezüglichen in der obigen Tabelle bei einigen Linien beigesetzten 
Zahlen könnten darauf hindeuten, daß zwei Serien von Koronalinien 
vorhanden sind, deren eine eine Schwingungsdifferenz von etwa 
Av’ — 850, deren andere eine solche von rund Av’—= 885 gegen ent- 
sprechende Linien des Cat zukommt. Bei der relativ geringen Ge- 
nauigkeit, mit der die Wellenlängen der Koronalinien bekannt sind, 
ist ein genauer Beweis natürlich nicht leicht zu führen. In neue- 
ster Zeit hat noch J. M. Freeman°"®) behauptet, daß 32 Linien des 
Koronaspektrums aus verbotenen Sprüngen zwischen metastabilen Zu- 
ständen des Argonatoms darstellbar seien. Gegen seine Ansicht wen- 
deten sich H. N. Russell und J. S. Bowen°?®) sowie W. Grotrian®®‘), 
welch letzerer hierzu bemerkte, daß dann die Korona wohl im wesent- 
lichen lediglich aus Argon bestehen müßte, was sicher nicht anzu- 
nehmen sei. 

Was das rein kontinuierliche Spektrum der Korona angeht, so 
haben es W. Huggins°®?) und J. Scheiner?®®) auf das Vorhandensein 
fester Teilchen zurückgeführt, die sich unter dem Einfluß der Sonnen- 
strahlung im Glühzustand befinden. Nach dem letzteren wäre die Tem- 
peratur solcher kugelförmig gedachter Körperchen höchstens bei etwa 
4000° zu suchen und somit müßte das Intensitätsmaximum im kon- 
tinuierlichen Spektrum der Korona gegenüber dem Sonnenspektrum 
gegen Rot verschoben erscheinen. Bolometrische Messungen, die am 
28. Mai 1900 von (©. @. Abbot?®‘) und S. P. Langley°®) angestellt wor- 
den sind, haben aber das unerwartete Resultat ergeben, daß die Sonnen- 
korona nur sehr wenig mehr Wärme ausstrahlt als die dunkle Mond- 
scheibe während der Finsternis. 8. P. Langley°®®) schließt daraus, daß 
die Korona eine vorwiegend elektrische Erscheinung sein müsse, eine 
Ansicht, zu der fast gleichzeitig F. Fitz Gerald ’®") und E. Spee®®®) mit 
Rücksicht auf das Nichtauftreten der grünen Koronalinie als Absorp- 
tionslinie im Sonnenspektrum gelangten. Abbots und Langleys Beob- 
achtungen haben in neuester Zeit eine Bestätigung erfahren durch 


579) Astroph. Journ. 68 (1928), p. 177. 

580) Astroph. Journ. 69 (1929), p. 196. 

581) Die Naturwiss. 17 (1928), p. 415. 

582) Astroph. Journ. 12 (1900), p. 279. 

583) Astr. Nachr. 152 (1900), p. 370. 

584) Astroph. Journ. 12 (1900), p. 69. 

585) Ebendort p. 370. 

586) a. a. O. und Astroph. Journ. 21 (1905), p. 194. 
587) Nature 62 (1900), p. 7. 

588) Bull. Soc. Belge d. Astron. 6 (1901), p. 65. 


15. Das Spektrum der Sonnenkorona. 651 


spektralphotometrische Untersuchungen von H. Ludendorff?®°) bei der 
totalen Sonnenfinsternis vom 23. Sept. 1923. Ein Vergleich des Korona- 
spektrums mit dem Spektrum des an Kreide reflektierten Sonnenlichtes 
hatte da im Spektralbereich zwischen 3820—4840 A.R. völlige Überein- 
stimmung der Intensitätsverteilung in beiden Spektren ergeben. Zum 
gleichen Resultat kamen P. Pettit und S. B. Nicholson°”) am 24. Jan. 
1925 bei Untersuchung der spektralen Energieverteilung im Infrarot 
mit Hilfe eines Wasserfilters, während H.T. Stetson und W. W. Co- 
blenta°®!) bei derselben Finsternis durch Messungen mit Glyzerinzelle 
und Thermosäule zum gerade entgegengesetzten Ergebnis gelangten 
und auf eine ziemlich niedere Koronatemperatur von nur etwa 3000° 
schlossen. Die Frage, ob die kontinuierliche Strahlung der Korona 
Temperaturstrahlung sei oder nicht, harrt somit noch der sicheren 
Lösung. 

Unter der Voraussetzung, daß Temperaturstrahlung vorliege, hält 
W. Anderson°””) für möglich, daß ein nur aus freien Elektronen oder 
auch aus Atomkernen und Elektronen bestehendes Elektronengas von 
so niedriger Dichte, daß Kerne und Elektronen voneinander unab- 
hängig werden, das kontinuierliche Koronaspektrum infolge thermi- 
scher Bewegung der Partikelehen aussende. In Weiterverfolgung ”) 
‚des Gegenstandes kam er zu dem Schluß, daß unter den vermutlich 
in der Korona obwaltenden Druck- und Temperaturverhältnissen ein 
gewöhnliches Gas unmöglich ein kontinuierliches Spektrum aussenden 
könnte. 

R. W. Wood°°*) hat versucht, die Korona künstlich nachzuahmen, 
indem er ein elektrisches Glühlämpchen, das durch eine kreisrunde 
Scheibe abgedeckt war, in ein parallelepipedisches, mit einer Mischung 
aus Wasser und alkoholischer Mastixlösung gefülltes Glasgefäß ein- 
brachte. Durch die Glaswand hindurch erschien die dunkle, runde 
Scheibe wegen der Zerstreuung des Lichtes an den Mastixteilchen von 
einer koronaähnlichen Lichthülle umgeben. J. Woltjer jun.) konnte 
nun theoretisch zeigen, daß bei Zurückführung des kontinuierlichen 
Koronaspektrums auf Zerstreuung des Sonnenlichtes in einem Elek- 
tronengas im visuellen Bereich eine spektrale Energieverteilung folgen 

589) Berlin Sitzber. 1925, p. 83. 

590) Astroph. Journ. 64 (1926), p. 136. 


591) Astroph. Journ. 62 (1925), p. 128. 
592) Astr. Nachr. 218 (1923), p. 251. 
593) Ztschr. f. Phys. 33 (1925), p. 273; 34 (1925), p. 453; 35 (1926), p. 757; 
37 (1926), p. 342; 38 (1926), p. 530; 41 (1927), p. 51; Phys. Ber. 8 (1927), p. 693. 
594) Astroph. Journ. 13 (1901), p. 68; Nature 1901, p. 250. 
595) Bull. Astron. Inst. Netherl. 3 (1926), Nr. 94, p. 103. 


652 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne, 


würde, die mit der im Sonnenspektrum beobachteten nahezu völlig 
übereinstimmen würde. Somit läßt sich nicht entscheiden, ob Zer- 
streuung an den Partikeln eines solchen Elektronengases oder an 
anderen festen Teilchen vorliegt, da ja die Frage nach dem Vorhanden- 
sein von Wärmestrahlung, wie oben gezeigt wurde, noch nicht sicher 
gelöst werden konnte. 

Über die während verschiedener früherer totaler Sonnenfinster- 
nisse insbesondere an der Korona gesammelten Beobachtungen hat 
A. C. Ranyard in den Memoirs of the Royal Astronomical Society 41 
(1879) eingehend berichtet. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. Die Temperatur der 
Sonnenoberfläche, die sogenannte effektive Sonnentemperatur, läßt sich 
ermitteln a) aus der Wärmestrahlung der Sonne, b) aus ihrer Gesamt- 
helligkeit und c) aus der Energieverteilung im mittleren Sonnen- 
spektrum. 

a) Wärmestrahlung. Die Wärmestrahlung der Sonne läßt sich mit. 
Hilfe der verschiedenen Aktinometer°”®) messen, und man bezeichnet 
als „Solarkonstante“ diejenige in Grammkalorien ausgedrückte Wärme- 
menge, die von der Sonne pro Minute auf 1 cm? schwarzer, zur Strah- 
lung senkrecht stehender Oberfläche in der Einheitsdistanz Erde — 
Sonne ausgestrahlt wird. Seit etwa hundert Jahren hat man vielfach 
versucht, die Temperatur der Sonnenoberfläche aus Messungen der 
Solarkonstante zu ermitteln, wobei für den Zusammenhang zwischen 
absoluter Temperatur und Strahlung die von den Physikern zur Dar- 
stellung ihrer Laboratoriumsmessungen benutzten Gesetze in Anwen- 
dung kamen. 

Pouillet®”"), der mit seinem „Pyrheliometer“ für die nach der 
Lambertschen Extinktionsformel von der absorbierenden Wirkung der 
Erdatmosphäre befreite Solarkonstante den Betrag 1,793 calmin-! fand, 
benutzte zur Ermittlung der Sonnentemperatur das Strahlungsgesetz 


von Dulong und Petit 
Oma”, 


in dem a= 1,0077 und m von der Oberflächenbeschaffenheit des 
strahlenden Körpers abhängig sein sollen, und fand 7’. — 1461°, also 
einen viel zu geringen Wert. 
A. Secchi?®®) benutzte zur Darstellung seiner Messungen dagegen 
596) Eine Beschreibung der gebräuchlichen Aktinometer findet sich u. a. bei 
0. D.Chwolson, Lehrbuch der Physik. Deutsche Ausgabe von H. Pflaum, Bd. 2 
(1904), p. 621. 


597) Paris C. R. 7 (1839), p. 24. 
598) Le Soleil, Paris 1870, p. 265. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 653 


das Newtonsche Strahlungsgesetz, dem zufolge die zugestrahlte Wärme- 
menge @ der absoluten Temperatur proportional laufen soll, und er- 
hielt als anderes Extrem 7, = 4—10 Millionen Grad. 

Wieder mit dem Strahlungsgesetz von Dulong und Petit erhielt 
Violle®®) unter der Annahme, daß die Sonnenphotosphäre ähnlich 
strahle und absorbiere wie Ruß, nur 7. = 1550° und mit einem 
Strahlungsgesetz von der Form 

Q=(aT’+b)T — ©), 
in dem 7 und ® die Temperaturen des strahlenden und absorbieren- 
den Körpers vorstellen und a = 3,351 - 10-®, b = 0,0637 zu setzen 
sind und das Laboratoriumsmessungen mit der Thermosäule bis etwa 
300° ziemlich gut darstellte, erhielt Rosetti‘) T, = 9965. 

Abney und Festings®') nahmen wieder an, daß Qmit 7? propor- 
tional gehe und erhielten 7. — 12700°. Es ist klar, daß die Form 
des verwendeten Strahlungsgesetzes den berechneten T-Wert ganz 
wesentlich beeinflußt. Als treffendes Beispiel für die Differenzen, die 
so entstehen können, sei erwähnt, daß M. E. Vicaire‘%) aus Secchis 
Bestimmungen der Solarkonstante, aus denen dieser mit dem Gesetz 
von Newton mehrere Millionen Grade ableitete, 7’. = 1398° erhielt, 
als er das Dulong-Petitsche Gesetz unterlegte. 

Legt man das richtige Stefan- Boltzmannsche Strahlungsgesetz 
(Gleichung (2) auf p. 543) 

E=cT* (6=1,374-10-'?calsec7') 
zugrunde, so hat man zunächst die Beziehung zwischen E und der 
Solarkonstante $ herzustellen. Da E die Strahlung eines Quadratzenti- 
meters pro Sekunde auf die Halbkugel bedeutet, $ aber die Strahlung 
der ganzen uns zugewendeten Sonnenhalbkugel auf 1 cm? pro Minute, ist 

a, 
60 sin? > 
wenn r = Sonnenhalbmesser, R = Distanz Erde— Sonne und d = schein- 
barer Durchmesser der Sonne. Damit wird aber, wenn man den Wert, 
von 6 einsetzt, 


1 4 
a er 381,8651/ 2 
82,44 sin? - sin? v: 











Würde man die bei den obigen Temperaturbestimmungen benutzten 





599) Paris C. R. 78 (1874), p. 1425, 1816; 79 (1874), p. 746, 
600) Atti Reale Acad. dei Lynei (3) 2 (1878), p. 174. 

601) London Roy. Soc. Proc. 35 (1882), p. 328. 

602) Paris C. R. 74 (1872), p. 31; 78 (1874), p. 1012. 


654 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Aktinometermessungen nach dieser Formel auswerten, so würde man 
in guter Übereinstimmung 

Pouillt To = 5600, 

Secchi 5400°, 

Violle 6200° 
erhalten. 

Eine genauere Formel, in der auch die gleichzeitige Strahlung 
des Himmels und die Temperatur der schwarzen Auffangfläche mit- 
berücksichtigt werden, hat E. Warburg®®) angegeben. Es sei ange- 
nommen, daß die Strahlungen von Himmel- und Auffangfläche eine 
Temperatur von 0°C oder 273° abs. entsprechen, und zwischen beiden 
Strahlungen herrsche Gleichgewicht. Da die Sonne nun aber nur den 


Bruchteil sin? der Himmelshalbkugel bedeckt und die Auffangfläche 


gegen die Sonne den gleichen Bruchteil ihrer Gesamtstrahlung aus- 
sendet, so hat man mit Rücksicht auf das gegen die übrige Himmels- 
fläche bestehende Strahlungsgleichgewicht die Beziehung 


S= (00 — Qrs) Sin, -. 


wenn die Q die betreffenden Strahlungen voller Halbkugeln von den 
Temperaturen 7, und 7 = 273° auf eine im Kugelzentrum liegende 
Auffangfläche pro Minute vorstellen. Ist die aus dem Stefan- .Boltz- 
mannschen Gesetz berechenbare und im Laboratorium meßbare Strah- 


lungsdifferenz 
ss — As = h (h=1,138 calmin-'), 


so hat man 


en ns sin? x a (gr Bi H, sin? ». 


Nun ist aber wieder nach dem Stefan-Bolzmannschen Gesetz 
2 () u nd Su: — 3,485, 





ars 273 278 
also schließlich 
To — 213 er — 331 00)/ Se 
h sin: sin? 


Messungen der Solarkonstante sind seit Konstruktion des Pyrhelio- 
meter durch Pouillet im Jahre 1837 fortgesetzt ausgeführt worden, 
und zwar mit immer mehr verbesserten Aktinometern. Während die 
früheren Messungen oft noch recht differente Werte ergaben — Extrem- 
werte wurden von Vallot im Jahre 1896 (S—=1,T) und Orova und 


603) Verh. deutsch. Phys. Ges. 1 (1899), Nr. 2. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 655 


Hansky im Jahre 1897 (S = 3,4) gefunden — zeigten die neueren Be- 
stimmungen stets größere Übereinstimmung. Aus längeren Beobach- 
tungsreihen sind u. a. folgende Mittelwerte der Solarkonstante abge- 
leitet worden: 


J. Y. Buchanan [Nature 64 (1901), p. 456] . . .S=138 
P. 8. Langley [Astroph. Journ. 17 (1903), p. 89] aus 
Beob. auf dem Allegheny-Obs. und auf dem Mt. 


"Whitney ! . . vr, 2,54 
@. D. Rizzo [Atti 9 Mattio 38 (1903), p. 612] . 2,6 
A. Hansky [Paris C. R. 40 (1905), p. 1008] auf dem 
Mt. Blane. . . ae 3,23 
H. H. Kimball ars. & Phys. 1910, p- 104] Le 1,954— 2,131 
L. Gorczynski |Mem. Spettr. Ital. 39 (1910), p. 59] . 2,05 
J. Maurer [|Met. Ztschr. 29 (1912), p. 561]. . 2,38 


Als sicherste Werte können wohl die von ©. @. Abbot und seinen 
Mitarbeitern auf Mt. Wilson und Mt. Whitney erhaltenen bezeichnet 
werden. In einer Verarbeitung des ganzen von 1902—1920 laufenden 
Beobachtungsmateriales fanden ©. @. Abbot, F. E. Fowle und L. B. Ald- 
rich‘®*) schließlich 

1902—1912, 8 = 1,933 

1912—1920, S = 1,946 
Natürlich liefert jeder S-Wert auch einen entsprechenden 7,-Wert, und 
Bestimmungen der Sonnentemperatur aus der Solarkonstante liegen 
daher ebenfalls in großer Zahl vor. Es seien nur angeführt: 


Poynting [London Roy. astr. Soc. Month. Not. 64 


Mittelwert $ = 1,939. 


5908), App ih 4: re 62000 
A. Schuster [Astroph. Journ. 21 (1905), p .258]. 2 5500°—6700° 
W. Wundt [Phys. Ztschr. 7 (1906), p. 384] . . . 6000°—7000° 
@. Millochau [Journ. de Phys. (4) 6 (1907), p. 389] 5600° 
J. Scheiner [Potsdam Publ. 1908, Nr. 55] . . 6196°—6252° 
C. Fery und @. Millochau [Paris C. R. 146 (1908), 

DIRDSL. 20% 5653° 
©. G. Abbot und F'. E. Finale An Base Al. 

Obs. 2 (1908), 8. 106] ; .:...; Be 5962 
F. Kurlbaum [Berlin Sitzber. 1911, p. 25] EN 6387° 
©. @. Abbot [Astroph. Journ. 34 (1911), p. 197 und 

Ann. Smithson. Inst. Obs.3 (1913)] . . . . 5830° 


Führt man den besten von Abbot, Fowle und Aldrich gegebenen Mittel- 


604) Smithson. Inst. Obs. Annals 4 (1922). 


656 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


wert 8 = 1,939 in die Warburgsche Formel ein, so folgt als wahr- 
scheinlichster aus der Solarkonstante folgender Wert für die effektive 
Sonnentemperatur To = 5740. 


Aus dem Verhalten der in den Sonnenfleckenspektren verbrei- 
terten Linien hatten schon J. N. Lockyer und W. J. S. Lockyer®®) gefol- 
gert, daß die Temperatur der Sonne im Fleckenmaximum etwas höher 
sei als im Minimum, und auch @. Müller®®) hielt es auf Grund seiner 
Helligkeitsmessungen an den Planeten nicht für ausgeschlossen, daß 
die Sonne im Fleckenmaximum etwas heller strahle. Demnach mußte 
auch der Wert der Solarkonstante einigermaßen von der Flecken- 
tätigkeit der Sonne abhängig sein. Nach A. Ängström‘”) scheint nun 
tatsächlich zwischen der Relativzahl der Fleckentätigkeit und der 
Größe von S eine schwache Korrelation (r = 0,6 bis 0,7) zu be- 
stehen, und auch C©. @. Abbot und seine Mitarbeiter‘) fanden kürz- 
lich aus der Diskussion ihrer Beobachtungsreihen, daß die Solarkon- 
stante zwischen Fleckenminimum und Fleckenmaximum von 1,92 auf 
1,96 anwachse.°) Möglicherweise spielt hier die ultraviolette Strah- 
lung der Sonne mit, auf deren Einfluß G. M. B. Dobson °'°) hin- 
gewiesen hatte. Ob die von @. M. B. Dobson und E. Pettit‘!!) gefun- 
denen Schwankungen dieser Ultraviolettstrahlung aber wirklich die 
beobachtete außerordentliche Höhe erreichen, erscheint noch fraglich. 

Eingehend ist auch untersucht worden, ob noch andere kurz- 
oder längerperiodische Schwankungen der Solarkonstante nachgewiesen 
werden können. P. Müller‘'?) glaubt, daß die Strahlung im Winter 
(Dezember) etwa um 0,2 cal kleiner sei als im Frühjahr (März—- 
April). Dieser geringe Unterschied dürfte aber doch wohl eher auf 
den niederen Sonnenstand im Winter und die Schwierigkeit einer 
Berücksichtigung der atmosphärischen Absorption als auf solare Ver- 
hältnisse zurückzuführen sein. Eine kleine reelle Änderung von 8 
scheint nach S. P. Langley°'?) im Frühjahr 1903 eingetreten zu sein, 


605) London Roy. Soc. Proc. 67 (1900), p. 409. 

606) Astr. Nachr. 197 (1914), p. 385. 

607) Met. Ztschr. 38 (1920), p. 250. 

608) Smithson. Misc. Collections 77 (1925), p. 3. 

609) Siehe hierzu auch ©. @. Abbot und F. E. Fowle, Astroph. Journ. 33 
(1911), p. 191 und H. Arctowski, Paris C. R. 163 (1916), p. 665; Mem. Spettr. 
Ital. (2) 6 (1917), p. 30. 

610) London Roy. Soc. Proc. 104 (1923), p. 252. 

611) Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 21; Pop. Astr. 34 (1926), p. 241. 

612) St. Petersburg Bull. de l’Acad. 11 (1900), p. 61. 

613) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 305. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 657 


da sie auch von anderen, z. B. von H. Dufour‘!*) bemerkt worden ist. 
Aus Messungen zu Pawlowsk im Zeitraum 1912—1919 hat N. N. Ka- 
litin®”) gefolgert, daß S von der Deklination der Erde über dem 
Sonnenäquator abhängig sei in einem Sinn, als würde die Strahlung 
der Sonnenoberfläche gegen die Sonnenpole hin zunehmen. Während 
nun aber W. Anderson®!®) diese Beobachtungen für eine glänzende 
Bestätigung der Emdenschen Sonnentheorie hält, gelang es gleichzeitig 
E. Steng®"') zu zeigen, daß ein ähnlicher Zusammenhang in den Be- 
obachtungen zu Calama und auf Mt. Wilson nicht auftrete.. Eine 
kurze Periode von etwa 27, die somit in Zusammenhang mit der 
Sonnenrotation stünde, könnte nach (©. @. Abbot°!?) vorhanden sein. 
P. Linke®"”) glaubt allerdings, daß sie auch durch Schwankungen der 
atmosphärischen Verhältnisse hervorgerufen sein könne. Hält man 
sich jedoch die schöne Übereinstimmung der neueren Messungen der 
Solarkonstante vor Augen, so erscheint es kaum mehr tunlich, beob- 
achtete Schwankungen der Solarkonstante lediglich aus Wirkungen 
der Erdatmosphäre zu erklären. Sicher ist natürlich auch ein so 
übertriebener Einfluß unserer Atmosphäre, wie ihn F. W. Very®?°) in 
mehreren Publikationen einführt, um dann für die Solarkonstante 
außerhalb der Lufthülle Werte von sogar 3—4 calmin-! zu erhalten, 
nicht vorhanden. Immerhin ist die Berücksichtigung des veränder- 
lichen Trübungsfaktors und des Wasserdampfgehaltes unserer Atmo- 
sphäre bei solchen absoluten Messungen nicht gerade leicht, und 
W. Wundt®?') hält daher auch die Anwendung eines für das ganze 
Spektrum gültigen mittleren Transmissionskoeffizienten bei Bestimmung 
der atmosphärischen Absorption für unzulässig. Doch hat bereits 
H. Seeliger‘??) gezeigt, daß bei diesem Vorgang Fehler von nur wenigen 
Prozenten entstehen können, so daß durch deren Beseitigung die aus 
der Solarkonstante ermittelte Sonnentemperatur nur eine geringe 
Änderung erfahren würde.°?°) 


614) Paris ©. R. 136 (1903), p. 713. 

615) Astr. Nachr. 215 (1921), p. 17. 

616) Ebendort 216 (1922), p. 323. 

617) Krakau Circ. 15 (1923). 

618) Smithson. Misc. Coll. 69 (1918), p. 6 

619) Astr. Nachr. 221 (1924), p. 181. 

620) Astroph. Journ. 34 (1911), p. 371; 37 (1913), p. 25; Bull astron. 30 
(1913), p. 5. 

621) Met. Ztschr. 24 (1907), p. 261. 

622) München Sitzber. 21 (1891), p. 25. 

623) Ein Referat über die vermutlichen Schwankungen von S ist von 
E. Freundlich, Die Naturwiss. 3 (1916), p. 606 gegeben worden. 


658 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Da über der Sonnenphotosphäre die gasige Chromosphäre liegt, 
so muß auch die Absorptionswirkung dieser letzteren berücksichtigt 
werden, wenn man die Temperatur der Photosphäre selbst erhalten 
will. W. Wundt®*) meint zwar, daß in der Chromosphäre eine Ver- 
schiebung der spektralen Energieverteilung eintrete, und daß daher 
eine Berücksichtigung der Absorption derselben mit einem mittleren 
Transmissionskoeffizienten wieder nicht statthaft sei, doch beweist der 
Abfall der Helligkeit auf der Sonnenscheibe von der Mitte zum Rand, 
daß eine allgemeine Absorption vorhanden ist, die den Wert der Ge- 
samtstrahlung der Photosphäre herabmindert. Die Transmissions- 
koeffizienten der Sonnenatmosphäre sind aus diesem Intensitätsabfall 
von H.C. Vogel®®®), A. Schuster‘®), H. Seeliger®?"), H. Biscoe‘*) und 
S. Hirayama®?) für einzelne Wellenlängen ermittelt worden. J. Schei- 
ner®?°) bestimmte sich den für die Gesamtstrahlung zu verwendenden 
Wert p des Transmissionskoeffizienten aus dem Verhältnis der Flächen 
der unkorrigierten und der mit den Seeligerschen p,-Werten verbesserten 
Energiekurve zu » = 0,70 und erhielt aus einer Solarkonstante $ = 2,29 
schließlich für die reine Photosphärenstrahlung S’— 3,89 und Tpnst. 
— 7065°. (Die Zahlen sind durch einen Rechenfehler verfälscht und 
sollten richtig heißen: 8’— 3,27, T’pnot. = 6540°!) Legt man den oben 
angegebenen wahrscheinlichsten Wert der Solarkonstante S — 1,939 
unter, so würde mit p = 0,70 folgen: 8’—= 2,77 und T’pnot. = 6280". 

Aus Messungen der Intensitätsverteilung auf der Sonne leitete 
F. W. Very®*") das überraschende Resultat ab, daß sowohl die p, 
selbst als auch ihre Mittelwerte verschieden herauskommen, wenn 
man in verschiedener Distanz von der Mitte der Sonnenscheibe be- 
findliche Stellen der Sonnenoberfläche zu ihrer Bestimmung heran- 
zieht. Er fand z. B. in den Abständen vom Zentrum von 0,5, 0,75 
und 0,95 (in Teilen des Sonnenradius) 


Pos = 0,696, 
Pos = 0,781, 
Po, — 0,867. 


Demnach liegt kein einheitlicher Absorptionsvorgang vor, und man 


624) Phys. Ztschr. 7 (1906), p. 384. 

625) Pogg. Ann. 148 (1873), p. 161. 

626) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 320. 

627) München Sitzber. 21 (1891), p. 25. 

628) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 202. 

629) Tokyo Obs. Ann. 1918, App. III. 

630) Potsdam Astropb. Obs. Publ. 18 (1908), Nr. 55. 
631) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 73. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 659 


wird also wirklich kaum mit einem einheitlichen mittleren Trans- 
missionskoeffizienten rechnen dürfen. Vermutlich wird eine Über- 
lagerung der reinen Absorption durch die Eigenemission der über 
der Photosphäre liegenden Schichten anzunehmen sein. Unter dieser 
letzteren Voraussetzung kam A. Schuster‘®?) zu dem Ergebnis, daß 
offenbar über der auf einer Temperatur von etwa 6700° befindlichen 
Photosphäre eine absorbierende Schicht von einer Eigentemperatur 
von ca. 5500° liege, und unter ähnlichen Annahmen erhielt 5. Hira- 
yama°°?) für die Temperaturen von Photosphäre und absorbierender 
Schieht die Werte 7040° bzw. 5210°. Gelegentlich einer Diskussion 
. der von Seeliger, Very und Schuster angegebenen p,-Werte hatte auch 
F. Biske®®) geschlossen, daß die Photosphärentemperatur zwischen 
7100° und 9100° zu suchen sein dürfte. Man wird also kaum viel 
fehlgehen, wenn man die Temperatur der Photosphäre mit rund 7000° 
veranschlagt. 
 b) G@esamthelligkeit. Nach einer von E. Rasch %%) experimentell 
gefundenen Beziehung zwischen der Flächenhelligkeit H des schwarzen 
Körpers (in Hefnerkerzen pro mm?) und der absoluten Temperatur 


von der Form K 
lognt. H=(0— 7, 


in der CO und K Konstante sind, für die R. Lucas®®°) aus Messungen 
von Lummer und Pringsheim am schwarzen Körper die Werte 
C = 12,384, K —= 26131 ableitete, berechnete ebenderselbe, indem er 
nach Ch. Fabry°®”) für die Helligkeit eines mm? der Sonnenoberfläche 
H = 2034 HK ansetzte, die Temperatur der Sonnenoberfläche zu 
5023°. Würde man in der Raschschen Formel H = 3190 HK setzen, 
welchen Wert von Holborn und Henning auch Oh. Nordmann*®®®) be- 
nutzt hat, so erhielte man mit 7 = 6050 fast genau den Wert, den 
man mit der Solarkonstante findet. 

c) Energieverteilung im Sonnenspektrum. Zur Ermittlung der effek- 
tiven Sonnentemperatur aus der Energieverteilung im Sonnenspek- 
trum kann entweder das Wiensche Verschiebungsgesetz in der Planck- 
schen Form Amax 7 = 2880 (4 in u) verwendet werden, oder man 
kann die an den einzelnen Wellenlängen beobachteten Intensitäten mit 








632) Ebendort 16 (1902), p. 320; 21 (1905), p. 258. 
633) Tokyo Obs. Ann. 1918, App. III. 

634) Astr. Nachr. 183 (1909), p. 259. 

635) Ann. Phys. 14 (1904), p. 194. 

636) Astr. Nachr. 168 (1905), p. 58. 

637) Paris C. R. 137 (1908), p. 973. 

638) Paris C. R. 150 (1910), p. 448. 


660 VI 2, 25. "Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Hilfe der Planekschen oder der Wienschen Strahlungsformel ausglei- 
chen und dadurch zu einer Temperaturbestimmung gelangen. Die 
Messung der Intensitäten erfolgt am besten durch Vergleich mit dem 
Spektrum des schwarzen Körpers unter eventueller Zwischenschaltung 
einer Standardlichtquelle als Verbindungsglied zur Überbrückung des 
großen Helligkeitsunterschiedes. Aus Messungen der spektralen Hellig- 
keiten ist die Energiekurve des Sonnenspektrums ermittelt worden von 
@. Müller und E. Kron®®?) gelegentlich ihrer Untersuchungen über die 
atmosphärische Extinktion auf Teneriffa, weiter von F. Kurlbaum**°) 
und photographisch von J. Wüsing.°') Derartige Untersuchungen 
werden durch die verschiedene Färbung der zum Vergleich kommen- 
den Stellen des Spektrums und bei Verwendung einer Zwischenlicht- 
quelle durch die Farbe des letzteren stark erschwert. D. W. Murphy ‘*?) 
hat versucht, diese Schwierigkeiten dadurch zu umgehen, daß er das 
ganze Spektrum in lauter schmale Streifen teilte und immer das In- 
tensitätsverhältnis zwischen je zwei benachbarten und daher ziemlich 
gleich gefärbten Streifen ermittelte. Das Produkt der Intensitätsver- 
PM In-ı 4 


hältnisse , *,:-, %* ergab dann mit - das Intensitätsverhältnis 
2 3 n n 


zweier beliebig weit voneinander entfernter und daher beliebig ver- 
schieden gefärbter Spektralteile.e. Daß die von ihm so gefundene 
Sonnentemperatur (5650°) offenbar zu niedrig ist, hat seinen Grund 
wohl darin, daß die Beobachtungsfehler bei dieser Methode wegen 
Multiplikation mit den Intensitätsverhältnissen großen Einfluß auf den 
Schlußwert gewinnen können. Die genauesten Resultate ergeben die 
Messungen mit dem Bolometer oder Bolographen. Solche Messungen 
wurden zuerst von 8. P. Langley®*?) vorgenommen und später auch 
von (©. @. Abbot und seinen Mitarbeitern‘“), von A. Amerio‘°) und 
von J. Wilsing®“) ausgeführt. Es sei noch erwähnt, daß auch ein 
Versuch von Ch. Fabry und H. Buisson‘*"), die Spektren der Sonne 
und einer Bogenlampe (angenommene Temperatur 3750°) miteinander 
zu vergleichen, einen mit den anderen Bestimmungen gut zusammen- 


639) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 22 (1913), Nr. 64. 

640) Berlin Sitzber. 1911, p. 541. 

641) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 22 (1913), Nr. 66. 

642) Astroph. Journ. 11 (1911), p. 220. 

643) Wied. Ann. 19 (1883), p. 226, 384; 22 (1884), p. 598; Smithson. Inst. 
Obs. Ann. 1 (1900); Phil. Mag. (6) 2 (1901), p. 119. 

644) Smith. Inst. Obs. Ann. 2 (1908). 

645) Mem. Ac. dei Lyncei (5) 10 (1914), p. 321. 

646) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 23 (1917), Nr. 72. 

647) Paris C.R. 175 (1922), p. 156. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 661 


passenden Wert der Sonnentemperatur geliefert hat. Die einzelnen 
Resultate sind die folgenden: 


C.@.Abbot und F.E.Fowle (bolometrisch), Astroph. 
Journ. 29 (1909), p. 281; 34 (1911), p. 197. . 7 = 6000°--6200° 


F. Kurlbaum (visuell), Amax = 0,452u . . . . 6370° 

1 0 
G.Müller und E.Kron (visuell) En ee a Moe en 
J. Wüsing (photographisch), Amax = 0,482 u . . 5980° 
A. Amerio (bolometrisch) Be N EB 6000° 
J. Wilsing (bolometrisch) . . 0 5900° 
Ch. Fabry und. H. Buisson. . . . .. 6000° 





Mittelwert: 6100° 

Gelegentlich dieser Untersuchungen hat sich gezeigt, daß das 
Energiespektrum der Sonne durch die Plancksche Formel keineswegs 
glatt darstellbar ist, daß also merkliche Abweichungen der Sonnen- 
strahlung von der schwarzen Strahlung vorhanden sind. In einer Dis- 
kussion der von Abbot in den Jahren 1905—1912 ausgeführten bolo- 
metrischen Messungen zeigte A. Defant‘**), daß die zwischen 3500— 
7500 Ä.E. gelegene Sonnenstrahlung bei Rücksichtnahme auf die Ex- 
tinktionswirkungen von Erd- und Sonnenatmosphäre stärker ist, als 
einem schwarzen Körper von der Temperatur 7 = 7000° entsprechen 
würde®#°), und erst vor wenigen Jahren fanden neuerlich ©. @. Abbot, 
F.E. Fowle und L. B. Aldrich‘) in naher Übereinstimmung damit, 
daß die wahre Energiekurve der Sonnenstrahlung im sichtbaren Teil 
des Spektrums über, im Ultraviolett dagegen unter der Energiekurve 
eines schwarzen Strahlers von 7’ = 6000° liege. Demnach zeigt das 
Sonnenspektrum im Ultraviolett eine ähnliche Depression der Strah- 
lung, wie sie von A. Brill®') auch in den Fixsternspektren gefunden 
worden ist. J. Wüsing°°”), der diese Abweichungen in seinen Messungen 
am Sonnenspektrum ebenfalls bemerkte, folgert in ähnlicher Weise, 
wie dies bereits aus der Diskussion der Extinktionsverhältnisse in der 
Sonnenatmosphäre geschehen ist (s. oben p. 658), daß Mischstrahlung 
verschieden heißer Schichten vorliege und daß den obersten Schichten 
eine Temperatur von nur etwa 5400° zukommen dürfte, während die 
Temperatur der untersten an der Strahlung noch beteiligten Photo- 


648) Wien Sitzber. 112 (1914), p. 1135. 
649) Vgl.hierzu auch H. Groot, Amsterdam Koningl. Acad. Proc.22 (1919), p.89. 
650) Smithson. Miscell. Coll. 74 (1923). 
661) Astr. Nachr. 218 (1923), p. 209; 219 (1923), p. 21, 353; 223 (1924), 
p. 105; 225 (1925), p. 161. 
652) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 23 (1917), Nr. 72. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 43 


662 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


sphärenschichten mit über 7000° zu bemessen wäre. Ch. Gallissot®®) 
wies außerdem darauf hin, daß die Strahlen vom Sonnenrand aus 
höheren, also kühleren Schichten stammen als die Strahlen von der 
Mitte der Sonnenscheibe, so daß nieht nur Schichtung nach der Tiefe, 
sondern auch im Sinne Mitte—Rand zur Wirkung komme. Schließ- 
lich meint R. Lundblad®®), daß auch noch Strahlen verschiedener 
Wellenlängen in verschiedenen Tiefen ihren Ursprung nehmen und 
daß insbesondere grüne und blaue Strahlen aus tieferen Schichten 
stammen als das violette und infrarote Licht.) Selbst dann, wenn 
bei allen einzelnen Strahlenarten rein schwarze Strahlung vorliegen 
würde, wäre demnach die Gesamtstrahlung doch so komplexer Natur, 
daß eine genaue Darstellnng derselben durch die Plancksche Formel 
kaum erwartet werden darf. Eine Hauptrolle spielt aber nach H. H. 
Plaskett ®°°) die störende Wirkung der Absorptionslinien. Derselbe 
konnte zeigen, daß sich bei sorgfältiger Auswahl tunlichst linienfreier 
Stellen des Spektrums der ganze Wellenlängenbereich 4000—6700 A.E. 
doch noch relativ gut an die Plancksche Formel anschließen läßt. Er 
weist auch darauf hin, daß aus dem gleichen Grund auch die mit der 
Solarkonstante ermittelten Temperaturwerte zu niedrig ausfallen müssen, 
da ja das Stefan- Boltzmannsche Gesetz für einen kontinuierlichen 
Strahler gilt, nicht aber für einen Strahler, der ein Fraunhoferspek- 
trum aussendet. Ähnliche Erfahrungen machte übrigens auch A. Brill 
bei seiner Untersuchung der Energieverteilung in Sternspektren. Aus 
Messungen von H. Rosenberg®') folgerte er, daß die „Farbtemperatur“ 
der Sonne, also die Temperatur eines schwarzen Strahlers, der im 
sichtbaren Bereich des Spektrums die gleiche Energieverteilung er- 


gibt, bei 1 — 6650° 


zu suchen sei.®®) Ob sich Granulation und reine Photosphäre bei 
photometrischen Messungen im Sonnenspektrum jemals werden von- 
einander trennen lassen, wie dies W. Anderson®®”) neuerlich für auch 
noch wünschenswert hält, erscheint zweifelhaft. 

Die von der absorbierenden Wirkung der Erdatmosphäre befreite 
spektrale Energiekurve des Sonnenspektrums bedarf natürlich noch 


653) Journ. de Phys. et le Radium 4 (1923), p. 176. 

654) Astroph. Journ. 58 (1923), p. 113. 

655) Vgl. dazu auch die Bemerkungen von H. Faxen, Astr. Nachr. 224 
(1925), p. 241. 

656) Domin. Obs. Publ. II (1923), Nr. 12, p. 213. 

657) Acad. Leop. Car. Abh. 101, Nr. 2, 

658) Astr. Nachr. 219 (1923), p. 358.' 

659) Astr. Nachr. 215 (1922), p. 277. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 663 


einer weiteren Korrektion wegen der in der Sonnenatmosphäre statt- 
findenden Extinktion, wenn die Temperatur der Photosphäre ermittelt 
werden soll. Bleibt man bei der Vorstellung, daß die beobachtete 
Strahlung wenigstens größtenteils von der Photosphäre allein her- 
rührt, so geben die visuellen Messungen von H. CO. Vogel‘) sowie 
die spektralbolometrischen Messungen von F. W. Very®®') und ©. @. 
Abbot®®?) über die Abnahme der Helligkeit nach dem Sonnenrande, 
die bereits oben zur Rückbeziehung des Wertes der Solarkonstante 
auf die Sonnenphotosphäre benutzt worden sind, eine Möglichkeit, die 
Transmissionskoeffizienten p, zu ermitteln. Die von H. Seeliger‘) aus 
Vogels Messungen, von Very aus seinen eigenen Daten und von 
H. Biscoe%*) aus den Abbotschen Beobachtungen gewonnenen Werte 
gibt die folgende Tafel: 


Seeliger Very Biscoe 
2— 0,3 u pP, — 0,44 en ne 

0,4 0,53 0,185 0,413 
0,5 0,62 0,295 0,542 
0,6 0,70 0,390 0,635 
0,7 0,79 0,425 0,683 
0,8 0,88 0,458 0,718 
0,9 0,97 en 0,744 
1,0 + 0,540 0,769 
1,2 en 0,579 0,795 
1,6 - 0,840 


Die Einzelreihen stimmen untereinander keineswegs derart überein, 
daß man erwarten könnte, mit ihrer Hilfe einen sicheren Schluß auf 
die Photosphärentemperatur ziehen zu dürfen. Wie stark sich aber 
alle p,-Werte noch weiter ändern können, wenn man die Eigen- 
strahlung der absorbierenden Schichten mitberücksichtigt, zeigt eine 
Bearbeitung der Veryschen Beobachtungen durch A. Schuster®®®), der 
unter dieser Voraussetzung statt der obigen von Very gegebenen 
Zahlen die Werte 


) = 0,416u, 0,468 u, 0,550u, 0,615u, 0,781u, 1,0104 1,500 u 
9 = 0,515 0,360 042 0312 0355 0,366 0,581 


660) Berlin Sitzber. 1877, p. 104. 

661) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 73. 

662) Astroph. Obs. Smithson. Inst. Ann. 3 (1913), p. 159. 
663) München Sitzber. 21 (1892). 

664) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 202. 

665) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 322. 








43* 


664 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


‚ermittelt. Sicher ist danach nur, daß bei Berücksichtigung der Ex- 
tinktion in der Sonnenatmosphäre für die Temperatur T’pno:. der Photo- 
sphäre ein wesentlich höherer Betrag folgen wird, als oben für die 
effektive Sonnentemperatur gefunden worden ist. Nach A. Amerio®®®) 
‚dürfte etwa anzusetzen sein: T'pnot. = 6830, während ein von N. Kosirev 
und V. Ambazumian®®) mit 6390° gegebener Wert wohl zu niedrig 
sein dürfte. 

Die spektrale Energiekurve des Sonnenspektrums läßt sich übrigens 
in eine Beziehung zur Solarkonstante bringen, die es gestattet, auch 
die Solarkonstante, und zwar unter Berücksichtigung der p,-Werte 
mit der Planckschen Gleichung auszuwerten. Nennt man die Strahlung 
der Sonne pro Sekunde und Flächeneinheit J, so bestehen die Be- 


ziehungen 
Ss 


s—60aJsin’, oder = — —, 
60 x sin? — 

2 
Konstruiert man über A als Abszisse und den J},r als Ordinate die 
beobachtete und eventuell für Absorption in der Sonnenatmosphäre 
korrigierte Energiekurve, so ist die gesamte über der Abszissenachse 
liegende Fläche F der Solarkonstante proportional, und wenn man 
die zwischen den Ordinaten A und A + dA liegende Kurvenfläche mit 
f bezeichnet, so ist die Strahlung S, an dieser Stelle 





f; 
| hi 
aus der Solarkonstante in Kalorien berechenbar. Es ist dann 
Ss OR > 
J= f , m us 5 ’ 
60” F sin’ 23 RN 


wobei C = 0,282 - 10-!? calsec” ! cm ?. 

Auf diesem Wege erhält F\. Biske®®) mit dem allerdings etwas 
zu großen Wert $ —= 2,22 unter Benutzung der verschiedenen Reihen 
für 9, Werte für die Temperatur der Photosphäre, die zwischen 7100° 
und 9100° liegen, während H. Biscoe®®) mit den Werten von Abbot 
für p, findet: Tpno. = 7300° + 100°. 

Nach der gleichen Methode hat ailäen schon D. A. Gold- 
hammer‘) allerdings ohne Berücksichtigung der Extinktion in der 


666) Mem. Acad. dei Lyncei (5) 10 (1914), p. 321. 
667) Astr. Nachr. 230 (1927), p. 89. 

668) Astr. Nachr. 183 (1909), p. 202. 

669) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 202. 

670) Ann. Phys. (4) 25 (1908), p. 905. 


16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. 665 


Sonnenatmosphäre mit S— 2,20 die Langleysche Energiekurve des 
Sonnenspektrums aus dem Jahre 1881 ausgewertet und Temperaturen: 
zwischen 5900° und 6155° gefunden. Da aber die für schwarze Strah- 
lung geltenden Formeln bei Anwendung auf graue Strahler immer zw 
niedere 7-Werte ergeben, schließt er dann in weiterer Rücksicht- 
nahme auf die im infraroten Teil aufretenden starken Abweichungen, 
daß die Sonnentemperatur um etwa 50°/, höher und mit mindestens 
10000° zu veranschlagen sei. 


d) Sonstige Bestimmungen. J. M. Schöberle®'*) verwendete noch ein- 
mal das Newtonsche Strahlungsgesetz und erhielt aus der im Fokus 
eines Hohlspiegels eintretenden Erhitzung natürlich wieder zu hohe 
Werte von 20000° bis 66000°. F. W. Very®”) wendete auf Schoeberles 
Messungen dann das Stefan-Stolzmannsche Gesetz an und fand 6776". 

W. E. Wilson‘) verglich die Sonnenstrahlung mit Hilfe des 
Boisschen Radiometers einmal mit der Strahlung eines glühenden 
Platindrahtes, dann später‘) mit der aus einem erhitzten Porzellan- 
oder Eisenrohr (schwarzer Körper) austretenden Strahlung und erhielt 
8700° bis 10000° bzw. 6590°. 

Ch. Fery und @. Millochau‘”) maßen die Strahlung eines elek- 
trischen Ofens von 1673° und des positiven Kraters einer Bogenlampe 
von 3773° auf elektrischem Wege und fanden zwischen Temperatur 7° 
und Galvanometerausschlag ö die Beziehung T = 0,705 Y6. Diese 
letztere, auf ähnliche Messungen am fokalen Sonnenbild zu Chamounix, 
Meudon und auf dem Mont Blanc angewendet, ergab unter Mitberück- 
sichtigung der Wirkung der Sonnenatmosphäre To — 6100°. 

@. A. Shook®"®) versuchte die Helligkeit der Sonnenoberfläche unter 
Vorschaltung von Farbenfiltern dadurch zu messen, daß er die Hellig- 
keit des fokalen Sonnenbildes so lange meßbar abschwächte, bis der 
Faden einer Glühlampe bekannter Temperatur vor dem Sonnenbild 
verschwand. Er fand aber so stark differente Werte, daß er auf starke 
Abweichungen von der schwarzen Strahlung schloß, während Ch. Nord- 
mann‘) einige Jahre vorher ebenfalls bei Messungen mit Farben- 
filtern zum gegenteiligen Resultat gelangt war. R. 7. Birge®'®) fand, 


671) Science N. S. 26 (1907), p. 718, 877. 

672) Ebendort 27 (1908), p. 267. 

673) Astroph. Journ. 10 (1899), p. 80. 

674) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 62 (1902), App. 2. 
675) Paris C.R. 143 (1906), p. 550. 

676) Astroph. Journ. 39 (1914), p. 277. 

677) Paris C. R. 150 (1910), p. 448. 

678) Phys. Rev. (2) 19 (1922), p. 439. 


666 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne, 


daß die Intensitätsverteilung in den Banden chemischer Verbindungen 
von der Temperatur abhängig sei. Aus der Intensitätsverteilung in 
den Oyanbanden des Sonnenspektrums ergab sich ihm aber für die 
Temperatur der umkehrenden Schicht der zu niedrige Betrag von 4700°. 


17. Die spektroskopische Bestimmung der Rotationselemente 
der Sonne. Bei Ermittlung der Rotationselemente der Sonne mit Hilfe 
der Sonnenflecken hat sich ergeben, daß die Rotationsgeschwindigkeit 
der Sonne vom Äquator gegen höhere Breiten zu stetig abnimmt. Da 
nun mit den Sonnenflecken nur die in der Fleckenzone gelegenen Ge- 
biete bis etwa 35° nördlicher und südlicher heliographischer Breite 
untersucht werden können, war man schon frühzeitig bestrebt, die 
Sonnenrotation auch spektroskopisch aus den Verschiebungen der 
Spektrallinien am Sonnenrand nachzuweisen und bis in höhere Breiten 
hinauf zu erforschen. Von früheren Beobachtern wären zu erwähnen: 
H. ©. Vogel‘), C. A. Young®®®), der für die Rotationsgeschwindigkeit 
am Sonnenäquator bereits den nur um 0,3 km zu großen Wert von 
2,29 km sec”! erhielt, weiter 8. P. Langley®®'), H. Orew®®?) und A. Cornu.°®®) 
Letzterer bemerkte bei dieser Gelegenheit, daß die Eisenlinie 5882 Ä.E. 
teilweise durch eine an den Linienverschiebungen nicht teilnehmende 
tellurische Linie verdeckt werde. Später sind mit einem Gitterspektro- 
graphen umfangreiche Messungen von N, ©. Duner‘®*) ausgeführt wor- 
den, der auf p. 47 seiner ersten Publikation auch die Korrektionen 
angab, die an die beobachteten Geschwindigkeitswerte angebracht 
werden müssen, um sie vom Einfluß der Bewegung des Erdortes und 
der Neigung der Rotationsachse der Sonne zu befreien. Die Bearbeitung 
dieser von 15° zu 15° bis 75° heliographischer Breite durchgeführten 
Beobachtungen durch Duner und Bergstrand hat die Formeln geliefert: 


Duner & = 14,81° — 4,21° sin?gp, 
Bergstrand & = 14,57° — 5,55° sin? p, 


in denen & die Winkelgeschwindigkeit der Sonne pro Tag und g die 
heliographische Breite bedeuten. Fast gleichzeitig sprach J. Halm®®°) 


679) Astr. Nachr. 78 (1871), p. 250. 

680) Amer. Journ. (3) 12 (1876), p. 323; Paris C. R. 84 (1877), p. 1145. 

681) Amer. Journ. (3) 14 (1877), p. 140. 

682) Haverford Coll. obs. Publ. 1889; Brit. Assoc. Rep. 1887; Amer. Journ. 
(3) 35 (1888), p. 151. 

683) Bulletin astronomique 1 (1884), p. 74. 

684) Nova acta acad. Upsaliensis (3) 4 (1891), Nr. 2; (4) 1 (1907), Nr. 6; 
Astr. Nachr. 167 (1905), p. 167. 

685) Edinburg Trans. Roy. Soc. 41 (1904), Part 1, Nr. 5; Edinburg Roy. Soc. 
Proc. 26 (1906), p. 76; Astr. Nachr. 173 (1907), p. 287. 


17. Die spektroskopische Bestimmung der Rotationselemente der Sonne. 667 


bereits die Vermutung aus, daß die Rotationsgeschwindigkeit der Sonne 
Schwankungen aufweise. Um eine möglichst sichere Messung zu ver- 
bürgen, hatte er bei seinen Beobachtungen die beiden gegenüberliegen- 
den Sonnenränder im Heliometer nebeneinandergebracht. Schließlich 
bestimmte damals auch noch A. Belopolsky‘?°) die lineare Rotations- 
geschwindigkeit am Sonnenäquator zu 2,064 km + 0,052, indem er 
zur Vermeidung systematischer Fehler Sonnenäquator und Sonnenpole 
miteinander verglich. 

Bedeutungsvoll sind die Beobachtungen von W. $. Adams®®’) aus 
den Jahren 1906—1908 geworden, bei denen die beiden Sonnenränder 
durch totalreflektierende Prismen nebeneinandergebracht waren und 
auch darauf Rücksicht genommen wurde, daß ja eigentlich nie die 
Ränder selbst, sondern immer nur Punkte beobachtet werden, die 
innerhalb der Sonnenscheibe, ein wenig vom Rande gegen die Mitte 
zu verschoben, liegen. Adams hatte neben Linien der @-Gruppe und 
der violetten Cyanbande auch noch eine größere Anzahl mittelstarker 
Linien der Rowlandschen „Preliminary table“ im Wellenlängenbereich 
4200—4300 Ä.E. benutzt und bemerkt°%#), daß die verschiedenen Linien 
schwach verschiedene Werte ergaben, und daß auch in der Nähe von 
Randflecken Störungen auftraten, die offenbar durch Bewegungen der 
Fleckengase hervorgerufen werden. Kurz danach wurden diese Eigen- 
tümlichkeiten auch von J. Evershed und T. Royds‘®’) bestätigt. Es 
existiert also offenbar auch ein Höheneffekt, demzufolge Linien aus 
höheren Schichten im allgemeinen größere Geschwindigkeiten ergeben 
als Linien, deren Ursprung tiefer liegt.) Außerdem aber zeigten 
sich Unstimmigkeiten, wie z. B. an der Titanlinie 4290, die nach Flash- 
aufnahmen in etwa 1300 km Höhe entsteht und nach W. S. Adams°**) 
einen auffallend niederen Geschwindigkeitswert liefert. Für die ver- 
schiedenen Schichten der Sonnenatmosphäre haben W. S. Adams und 
J. B. Lasby°”) folgende Geschwindigkeitsformeln berechnet: 


umkehr. Schicht &= 11,04° + 3,50° sin? go, 
Ca (4227) &= 125° + 2,4° sin?p, 
H £E = 13,6° + 1,4° sin?p. 


a 

686) Pulkowa, Mitt. Nicolai-Hauptsternw. 1 (1906), Nr. 7. 

687) Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 138 (1911). 

688) Astr. Journ. 29 (1908), p. 110. 

689) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 73 (1913), p. 554. 

690) Vgl. hierzu auch J. Evershed, ebendort 85 (1925), p. 607. 

691) Astroph. Journ. 26 (1907), p. 203. 

692) Astroph. Journ. 27 (1908), p. 213; Mt. Wilson Solar Obs. Papers 1 (1911), 
Part 1. 


668 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Übrigens sind ähnliche bei verschiedenen Linien auftretende Unter- 
schiede auch noch von A. Perot®®) bei Interferometermessungen und 
von H. Deslandres®”*) konstatiert worden, welch letzterer mit den den 
höchsten Schichten angehörenden Linien 4, und X, des Ca*+ ebenfalls 
zu niedere Geschwindigkeiten erhielt. Nach F' Schlesinger‘®) ergeben 
sich auch bei den verschiedenen Elementen typische Unterschiede. 

Zur Klärung dieser Widersprüche und um gleichzeitig eine durch- 
greifende Untersuchung der Sonnenrotation auf spektroskopischem Wege 
zu ermöglichen, wurden auf der vierten Versammlung der internatio- 
nalen Union für Sonnenforschung Richtlinien für die Behandlung des 
Problems ausgearbeitet‘°%), in denen auch die Verwendung des ganzen 
Spektralgebietes 38006350 Ä.E. verlangt wurde. Die Durchführung 
des Programms wurde von verschiedenen Beobachtern, deren jeder 
bestimmte Zonen des Spektrums zugewiesen erhielt, übernommen, und 
da sich auch noch andere Beobachter mit beteiligten, stand bald ein 
reichhaltiges Beobachtungsmaterial zur Verfügung, das bei Einbezie- 
hung der eingehenderen früheren Arbeiten von 1900 bis etwa zum 
Jahre 1917 reichte und somit fast zwei volle Fleckenperioden um- 
spannte. Die von den einzelnen Beobachtern gefundenen Werte für 
die lineare Geschwindigkeit v am Sonnenäquator nebst Angaben über 
Spektralgebiet und Jahr der Beobachtung sind in der folgenden Ta- 
belle (p. 669) zusammengestellt, die teilweise einem Artikel von @. Abetti 
über denselben Gegenstand im „Handbuch der Astrophysik“, Bd.4(1929), 
p. 159, entnommen worden ist. 

Aus der Zusammenstellung scheint sich zu ergeben, daß die Ro- 
tationsgeschwindigkeit der Sonne im Fleckenmaximum im Jahre 1906 
einen Maximalwert angenommen hatte, um dann abzufallen und den 
erreichten niedrigeren Wert noch im nächsten Fleckenmaximum im 
Jahre 1917 unverändert beizubehalten. Spätere Beobachtungen von 
Ch. E. St. John®®") im Jahre 1924 scheinen sogar auf eine noch weitere 
Abnahme hinzudeuten. In allen Bestimmungen stecken sicher aber 
auch systematische Fehler, deren Vorhandensein bereits J. 8. Plaskett 
und R. E. De Lury‘®®), dann nochmals J. $. Plaskett°°°) und schließlich 
Ch. E. St. John’) aus dem Studium der von mehreren Beobachtern 


693) Paris C. R. 147 (1908), p. 340. 

694) Paris C. R. 146 (1908), p. 1235. 

695) Astron. and Astroph. Soc. of America 11*® meeting, 1910. 

696) Transactions of Int. Union for Coop. in Solar Research 3 (1911), p. 83. 
697) Pop. Astr. 33 (1925), p. 592. 

698) Astroph. Journ. 37 (1913), p. 73. 

699) Ebendort 42 (1915), p. 373. 

700) Publ. Astr. Soc. Pac. 30 (1918), p. 319. 























17. Die spektroskopische Bestimmung der Rotationselemente der Sonne. 669 
ß Spektral- 
Beobachter Zeit Um HE Quelle 
DU EI 1900 2,08 | 6301—6302 | Nova acta acad. Ups. (4) 1 (1907), 
Nr. 6 
Hoale: 7 42:7, 1904 2,04 | 6301—6302 | Edinburg Roy. Soc. Trans. 41 
(1905), Nr. 1; Astroph. Journ. 
21 (1905), p. 385 
Belopolsky . 1905 2,06 Pulkowa, Mitt. 1 (1906), Nr. 7 
Adam 1907—1908| 2,06 | 4196--4294 | Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 138 
(1911) 
Storey- Wilson . 1909 2,08 | 6280—6318 | London Roy. Astr. Soc. Month. 
Not. 71 (1911), p. 674 
J. S. Plaskett. .. 1911 |2,01|.5506—5688 | Astroph. Journ. 37 (1913), p. 73 
Fr 1911 2,02 | 4196—4291 | Ebendort 
De Lury. . 1911 1,97 | 5506—5688 | Ebendort 
Hubrecht. . . . 1911 1,86 | 4299—4400 | London Roy. Astr. Soc. Month. 
Not. 73 (1912), p. 5 
J.S. Plaskett . .|1911—1913| 2,01 | 4250—5600 | Astroph. Journ. 42 (1915), p. 373 
Schlesinger . . . 1912 2,00 | 4058—4276 | Publ. Allegh.-Obs. 3 (1914), Nr.13, 
p- 99 
Evershed-Royds. 1913 1,95 | 3906—5624 | London Roy. Astr. Soc. Month. 
Not. 73 (1913), p. 554 
H. H. Plaskett 1913 1,98 | 5574— 5628 
Ware-St John . 1914 1,94 | 4123—4338 | Pop. Astr. 27 (1919), p. 98 
H. H. Plaskett 1915 1,95 5900 Astroph. Journ. 43 (1916), p. 145 
Ware- St. John .\1914—1918| 1,94 | 5018—5316 |Publ. Astr. Soc. Pac. 30 (1918), 
p. 319 
* a .11916— 1917| 1,95 ! 6265— 6337 | Publ. Am. Astron. Soc. 34! meeting 
| 1925, p. 290 





gleichzeitig benutzten Kontrollzonen des Spektrums nachgewiesen 
haben, und außerdem scheinen die von S. Chevalier") aus Fackel- 
beobachtungen nachgewiesenen Unterschiede zwischen Nord- und Süd- 
hemisphäre der Sonne auch in den spektroskopischen Beobachtungen 
erkennbar zu sein, wie J. B. Hubrecht"®), F. Henroteau’®) und R. E. 
De Lury und J. L. O’Connor*) wahrscheinlich gemacht haben. 
Kurzperiodische Schwankungen von nur etwa 0,15 km Amplitude 
und von etwa einem Monat Periode haben nach den Beobachtungen 
von H.H. Plaskett”®) im Sommer 1915 stattgefunden. R. E. De Lury'®) 


701) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 388. 

702) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 75 (1915), p. 611; Nature 93 
(1914), p. 77. 

703) Mem. Spettr. Ital. (2) 5 (1916), p. 193. 

704) Pop. Astr. 27 (1919), p. 562. 

705) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 145. 

706) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 177, 178; 48 (1918), p. 195; Journ. Roy. 
Astr. Soc. Canada 11 (1916), p. 23; 12 (1918), p. 437; Pop. Astr. 26 (1918), p. 691; 
siehe auch noch E. R. De Lury und J. E. Belanger; Pop. Astr. 29 (1921), p. 652. 


670 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


hat in mehreren Arbeiten auf die Möglichkeit störender Einwirkungen 
durch das diffuse Himmelslicht und besonders durch atmosphärischen 
Dunst hingewiesen und versucht, speziell die Wirkung des letzteren 
durch Korrelation der Geschwindigkeitsmessungen mit gleichzeitigen 
Messungen der Sonnenstrahlung nachzuweisen ’”) und durch Kombi- 
nation von Messungen am Sonnenrand mit Beobachtungen auf der Mitte 
der Sonnenscheibe zu beseitigen‘®). H.H. Plaskett"”®), C.G. Abbot"'°) 
sowie Oh. E. St. John und W.s. Adams"!!) haben aber die Möglichkeit 
solcher Störungen durch die Erdatmosphäre teilweise aus der Dis- 
kussion ihrer eigenen Beobachtungen, teilweise durch die Überlegung 
abgelehnt, daß die beobachteten Differenzen ihrer Größe wegen kaum 
auf einen Einfluß der Erdatmosphäre allein zurückgeführt werden 
dürfen. Auch kleinere unregelmäßige Schwankungen, wie sie von 
Ch. E. St. John und L. W. Ware"'?) beobachtet worden sind, dürften 
eher auf Störungen in der umkehrenden Schicht selbst beruhen. 
Ördnet man alle verwendeten Linien nach der Höhe ihres Ent- 
stehens in der Sonnenatmosphäre, so zeigen gleichzeitige Beobach- 
tungen den schon früher erwähnten Höheneffekt, und zwar, wie von 
@. Abetti”"?) näher ausgeführt wird, im Sinne eines Ansteigens der 
Rotationsgeschwindigkeit und gleichzeitigen Abnehmens der äquato- 
rialen Beschleunigung in der Höhenfolge: Umkehrende Schicht — 
Fackeln — Ca-Flocken — Flecken — 4 4227 (Ca) — H, — K&,. Da 
die Flecken tiefer liegen als die umkehrende Schicht, bedeutet ihre 
Stellung in dieser Reihe also eine Störung im sonstigen normalen 
Verlauf des Höheneffektes. Nach @. Abetti (a. a. O.) könnte eine Er- 
klärung hierfür in der Vorstellung von J. Wüsing‘'*) gefunden wer- 
den, derzufolge die äquatoriale Beschleunigung der Sonnenrotation 
durch das Vorhandensein zweier mit verschiedener Geschwindigkeit 
rotierender Schichten zustande kommen soll, deren Trennungsfläche 
die umstehende Schicht bildet. Über und unter dieser Trennungsfläche 
müßte die gegenseitige Beeinflussung der beiden Schichten mit wach- 
sender Distanz immer kleiner werden, und in gleichen Entfernungen 
von der umkehrenden Schicht würden somit oberhalb und unterhalb 
. gleiche Effekte auftreten. 
707) Journ. Roy. Astr. Soc. Can. 12 (1918), p. 437; Pop. Astr. 26 (1918), p. 691 
708) Journ. Roy. Astr. Soc. Can. 12 (1918), p. 442; Pop. Astr. 26 (1918), p. 693. 
709) Journ. Roy. Astr.Soc.Can.13 (1919), p.391; Astroph.Journ.45 (1917), p.144. 
710) Astroph. Journ. 45 (1917), p. 65. 
711) Journ. Roy. Astr. Soc. Can. 10 (1916), p. 553. 
712) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 186; Pop. Astr. 27 (1919), p. 98. 


‘13) Handbuch der Astrophysik Bd. IV (1929), p. 170. 
714) Astroph. Journ. 3 (1896), p. 247. 


18. Der Mond. 671 


Es sei hier nur nebenbei bemerkt, daß R. E., De Lury und J.L. 
O’Oonnor'") vor einigen Jahren versucht haben, durch Vergleichen von 
Beobachtungen, die im März und etwa ein halbes Jahr später, im 
Oktober angestellt worden sind, die in die Richtung zur Sonne fallende 
Komponente der Erdgeschwindigkeit im Kilometermaß zu ermitteln 
und daraus die Distanz Erde—Sonne zu bestimmen. 

Daß die außerhalb der Sonnenchromosphäre befindliche Sonnen- 
korona an der Sonnenrotation teilnimmt und vermutlich eine noch 
größere lineare Rotationsgeschwindigkeit besitzt, ist schon von H. Des- 
landres’"®) und W. W. Campbell”") an Verschiebungen der grünen 
Koronalinie 5303 Ä.E. (3,1 km) bemerkt worden. In einer Distanz 
von einer Bogenminute-vom Sonnenrand weg fand später J. Bosler""8) 
mit einer roten Linie bei 6374 Ä.E. die Rotationsgeschwindigkeit der 
Korona zu 3,9 kmsec”'. Radiale, also von der Sonne weg gerichtete 
Bewegungen in der Sonnenkorona im Betrag von ca. 30 km sec”! sind 
an ungefähr 20’ vom Ost- und Westrand der Sonne entfernten Stellen 
während der totalen Sonnenfinsternis vom 21. Sept. 1922 von J. H. 
Moore'"?) beobachtet worden. 


IV. Die Körper des Sonnensystems. 


18. Der Mond. Da der Mond keine Atmosphäre besitzt, zeigen 
auch die Fraunhoferschen Linien im Spektrum des von der Mond- 
oberfläche reflektierten Sonnenlichtes keinerlei Veränderungen gegen- 
über ihrem Aussehen im mittleren Sonnenspektrum. Dagegen haben 
J. Wilsing und J. Scheiner"?®) mit Hilfe von Bestimmungen der Albedo 
verschiedener Stellen im mare imbrium und mare tranquillitatis für 
einzelne Spektralbezirke gezeigt, daß die Reflexionsfähigkeit der Mond- 
oberfläche nicht für alle Wellenlängen gleich ist und etwa der Re- 
flexionsfähigkeit von Vesuvasche oder Flußsand entspricht. Die Energie- 
verteilung im Spektrum des Mondlichtes ist also nicht gleich der 
Energieverteilung im mittleren Sonnenspektrum. J. Wüsing”?') fand 
bei einer weiteren Untersuchung, daß der Energieverlauf im Spektrum 
des von hellen und dunklen Stellen der Mondoberfläche kommenden 
Lichtes ziemlich gut darstellbar ist durch die Energiekurve eines 


715) Journ. Roy. Astr. Soc. Can. 16 (1922), p. 102. 
716) Paris Bureau d. long. Ann. 7 (1896). 

717) Astroph. Journ. 10 (1899), p. 189. 

718) Paris C. R. 160 (1915), p. 434. 

719) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 333. 

720) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 20 (1909), Nr. 61. 
721) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 24 (1921), Nr. 77. 


672 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


schwarzen Körpers von der absoluten Temperatur von 4300° bzw. 
4700°. Demnach ist das Mondlicht im ganzen röter als das Sonnen- 
licht und die dunklen Stellen sind weniger intensiv gefärbt, also 
weißer als die hellen Partien. Da Wüsing auf dem gleichen Wege für 
das Jupiterspektrum 7’ = 4800 °—5000° und für Mars 7 = 2800—2900° 
findet, hat das Mondlicht nahezu die Farbe des Jupiterlichtes, während 
Mars bedeutend röter leuchtet als der Mond. Ähnliche Messungen der 
Albedo verschiedener Stellen der Mondoberfläche und Vergleiche der- 
selben mit Wilsings Resultaten an irdischen Substanzen sind von 

N. Barabascheff*) erst kürzlich wieder vorgenommen worden. 

Aufschlüsse über die mineralische Beschaffenheit der Oberfläche 
des Mondes können auch aus Aufnahmen mit Farbenfiltern gewonnen 
werden. Mit einem nur für Ultraviolett durchlässigen Silberfilm auf 
Quarzplatte fand z.B. R. W. Wood "??) in der Nähe des Kraters Aristarch 
ein dunkles Fleckchen, das bei visueller Beobachtung nicht gesehen 
werden kann. Bei späteren Versuchen, die er mit vulkanischen Tuffen 
vornahm’*), bemerkte er, daß ähnliche Erscheinungen durch einen 
ganz schwachen, visuell überhaupt noch nicht nachweisbaren Belag 
von Schwefel hervorgerufen werden. Bald danach konnten A. Miethe 
und B. Seegert'”°) die Beobachtung Woods verifizieren und außerdem 
zeigen, daß auch die sogenannten Mondmeere merklich wenig Ultra- 
violett reflektieren. | 

Es ist klar, daß das Licht des total verfinsterten Mondes, das 
von in der Erdatmosphäre abgelenkten Sonnenstrahlen herrührt, in- 
folge des langen Weges derselben in unserer Atmosphäre durch die 
absorbierende Wirkung der letzteren stark verändert erscheint. Auf- 
nahmen mit Filtern von ©. D. Shane”?°) und Aufnahmen des Spektrums 
von J. H. Moore und L. A. Brigham"?") haben in Übereinstimmung mit 
den bekannten absorbierenden Eigenschaften der Erdatmosphäre eine 
starke Schwächung im Blau und Verbreiterung und Verstärkung der 
tellurischen Linien erkennen lassen.'*'*) 


19. Die Planeten. Die spektroskopischen Beobachtungen der Pla- 
neten dienen hauptsächlich dem Zweck, das Vorhandensein einer At- 


722) Russian Astron. Journ. 1 (1925), p. 3; Astr. Nachr. 229 (1925), p. 289. 

723) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 70 (1910), p. 226; Pop. Astr. 18 
(1910), p. 67. 

724) Astroph. Journ. 36 (1912), p. 75. 

725) Astr. Nachr. 188 (1911), p. 9, 239, 371. 

726) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 226. 

727) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 223. 

727a) Siehe auch bei J. Hopmann, Colorimetrie der Gestirne, Nr. 30, diese 
 Encykl. VI (1930), Nr. 26. 


19. Die Planeten. 673 


mosphäre des betreffenden Planeten nachzuweisen und eventuell auf 
deren Zusammensetzung zu schließen. Die Ergebnisse der bezüglichen 
Beobachtungen an den einzelnen Planeten seien getrennt behandelt.’?’P) 

Merkur. Das Spektrum des Merkur wurde von H. C. Vogel’) in 
Bothkamp untersucht. Es gleicht danach völlig dem Sonnenspektrum, 
nur zeigte sich eine schwache Verstärkung der sogenannten telluri- 
schen Linien. Da aber die Albedo des Merkur fast völlig gleich ist 
der des Mondes (Merkur: 0,069, Mond: 0,073) und somit angenommen 
werden muß, daß die Merkuroberfläche ähnlich geartet ist wie die 
unseres Mondes und daß also Merkur ebenso wie unser Mond keinerlei 
Lufthülle besitzt, ist die beobachtete Verstärkung der tellurischen 
Linien im Merkurspektrum wohl lediglich auf den bei dem tiefen 
Stand des Planeten am Horizont verstärkten Einfluß unserer eigenen 
Atmosphäre zurückzuführen. Für die Gleichheit der Oberflächengestal- 
tung von Mond und Merkur spricht auch noch der Umstand, daß 
P. Salet’?) bei Merkur keinerlei Polarisation des Lichtes fand, wie 
dies bei einer von Gebirgen durchzogenen Oberfläche eben nicht anders 
zu erwarten war. 

Venus. Ob im Venusspektrum eigene Venuslinien auftreten oder 
sonst eine Verstärkung der tellurischen Linien zu bemerken ist, wurde 
vielfach untersucht. W. Huggins’®) fand die B-Gruppe kräftiger, 
A. Secchi'®!) und H. CO. Vogel?) glaubten auch eine Verstärkung 
anderer tellurischer Linien bemerkt zu haben, so daß J. Scheiner"®?) 
zum Schluß kam, die Venusatmosphäre übe eine ähnliche absorbierende 
Wirkung aus wie die unsere. Bei einer eingehenden Untersuchung 
haben aber neuerlich Ch. E. St. John und $. B. Nicholson”) nicht nur 
keine Spur von Venuslinien finden, sondern weiter”®®) auch noch zeigen 
können, daß auch die in unserer Atmosphäre entstehenden Linien des 
Sauerstoffs und Wasserdampfes keinerlei Verstärkung aufweisen. Zum 
gleichen Ergebnis kam auch V. M. Slipher"®), der daraus schloß, daß 
die Reflexion des Sonnenlichtes an der Venusatmosphäre bereits in 
den obersten Schichten erfolge, während sich der Wasserdampf eventuell 


727b) Siehe auch bei J. Hopmann, a. a. OÖ. Nr. 31. 

728) Untersuchungen über die Spektra der Planeten. Leipzig 1874. 

729) Paris ©. R. 143 (1906), p. 1125. 

730) London Roy. Soc. Phil. Trans. 1864, p. 423. 

731) Memoril della Soc. degli Spett. Ital. 1 (1867), p. 38; 2 (1876), p. 25. 
732) a. a. 0. 

733) Die Spektralanalyse der Gestirne, Leipzig 1890, W. Engelmann, p. 212. 
734) Publ. Astr. Soc. Pac. 33 (1921), p. 208. 

735) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 38; Pop. Astr. 30 (1922), p. 229. 

736) Lowell Obs. Bull. 3 (1922), Nr. 84, p. 85. 


674 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


in den unteren, an der Reflexion nicht mehr beteiligten Schichten be- 
finden könnte. Da E. Pettit und 8. .B. Nicholson”®”) .dazu noch fanden, 
daß auch die infrarote Venusstrahlung keine Unterschiede gegen die 
infrarote Strahlung des Mondes zeigt, folgt neuerlich, daß die die 
Venusoberfläche einhüllende Wolkendecke offenbar so hoch liegen muß, 
daß sich darüber nur mehr wenig Atmosphäre befinden kann. Ob 
diese Wolkendecke anders geartet ist wie unsere Wolken, also z. B. 
nur aus Dunstschichten besteht, wie J. Evershed"®®) daraus folgert, 
daß der blauviolette Teil im Venusspektrum verhältnismäßig weniger 
kräftig ist als im Spektrum unserer von der Sonne hell beleuchteten 
Kumulusränder, läßt sich wohl schwer entscheiden, da ja das Sonnen- 
licht die Venusatmosphäre zweimal durchlaufen muß. A W. Olayden'®®) 
glaubt, daß wegen der stärkeren Sonnenstrahlung in der Venusatmo- 
sphäre überhaupt stärkere Ionisation und erhöhte Allgemeinabsorption 
stattfinde, und da W. H. Wright"*®) bemerkte, daß auf Aufnahmen mit 
Ultraviolettfiltern Einzelheiten an der Wolkenhülle der Venus zu sehen 
sind, die sich in infrarotem Licht nicht zeigen, würde vielleicht noch 
dazu folgen, daß der lonisationsgrad in den ultravioletten Strahlen 
etwas kräftiger ist als im visuellen Spektralbereich. 


Mars. Da W. Huggins’*'), H. O. Vogel"*?), J. Janssen“) und E. W. 
Maunder"**) fanden, daß im Marsspektrum eine stärkere Absorption 
im Violett sowie eine Verstärkung der tellurischen Linien zu beob- 
achten seien, schien das Vorhandensein von Wasserdampf in der Mars- 
atmosphäre zunächst sichergestellt zu sein. Später bemerkte aber 
wieder W. W. Campbell’) überhaupt keinerlei Andeutungen einer ver- 
stärkten tellurischen Absorption im Spektrum des Mars, und zum 
gleichen Ergebnis gelangte er außerdem noch beim Vergleich von 
Marslicht und Mondlicht auf dem 4420 m hohen Mt. Witney, wo sich 
das tellurische a-Band in beiden Spektren in ganz gleicher Stärke 
zeigte. Da sich die Eigenlinien des Mars und die tellurischen Linien 
bei gleicher Konstitution der Atmosphären von Erde und Mars auf- 


737) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 194. 

738) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 257; 80 (1919), p. 7. 

739) Ebendort 79 (1919), p. 507. 

740) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 220. 

741) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 27 (1867), März. 

742) a. a. 0. 

743) Paris C. R. 64 (1867). p. 1304. 

744) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 38 (1877), Nov. 

745) Publ. Astr. Soc. Pac. 6 (1894), p. 229; Science N. S. 29 (1909), p. 500; 
30 (1909), p. 474; Lick Obs. Bull. (1909), Nr. 169, 


19. Die Planeten. 675 


einanderlagern müssen, versuchten P. Lowell und V. M. Slipher*®) so- 
wie W. W. Campbell und S. Albrecht“) eine Trennung eventueller Mars- 
linien von den Erdlinien dadurch herbeizuführen, daß sie die Beob- 
achtungen zu Zeiten anstellten, wo die Geschwindigkeit des Mars rela- 
tiv zur Erde besonders groß war, also die Marslinien stark verschoben 
erscheinen mußten. Ein sicheres Resultat ließ sich aber trotz dieser 
Vorsichtsmaßregeln nicht erzielen. 

Mit der Frage nach dem Vorhandensein von O und H,O in der Mars- _ 
atmosphäre haben sich dann insbesondere die Astronomen des Lowell- 
ÖObservatoriums befaßt. Acht Aufnahmen von V. M. Slipher"“*) zeigten 
nun doch ganz einwandfrei eine geringfügige Verstärkung des a-Ban- 
des im Marsspektrum gegenüber dem Spektrum des Mondes, und 
F. W. Very'*) berechnete dann aus diesen Aufnahmen einen Ver- 
stärkungsfaktor für das «-Band von 1,224 und für die B-Gruppe von 
1,148, und weitere Aufnahmen haben diese geringe Verstärkung be- 
stätigt.’°O) Nach eingehenden neueren Arbeiten von W. S. Adams und 
Oh. E. St. John”®'), bei denen das Spektrum mit dem selbstregistrieren- 
den Photometer untersucht wurde, sind die am Lowell-Observatorium 
beobachteten, ganz geringfügigen Veränderungen wirklich reeller Natur, 
und es wäre anzunehmen, daß in der Marsatmosphäre etwa 5%, Wasser- 
dampf und 15°, Sauerstoff von den für unsere Atmosphäre geltenden 
Beträgen vorhanden sind. Fast die gleichen Prozentsätze haben erst 
kürzlich wieder W. 8. Adams und Ch. E. St. John”°?) aus weiteren Auf- 
nahmen ableiten können, und man darf somit aus dem äußerst ge- 
ringen Wasserdampfgehalt der Marsatmosphäre schließen, daß auf 
Mars eine Art „Wüstenklima“ herrscht.”5®) Jedenfalls besitzt die Mars- 
atmosphäre überhaupt nur geringe Dichte, und sie dürfte auch eine 
ähnliche lichtzerstreuende Wirkung ausüben wie unsere Atmosphäre, 
da @. A. Tikhoff ”*) mit Rotfilter alle Einzelheiten der Marsscheibe 
bis zum Rand beobachten konnte, mit Grünfilter aber nicht mehr. 
Daß auch Wolken- oder eigentlich Dunstbildungen vorkommen, fol- 


746) Lowell Obs. Bull. 17 (1905); Nature 86 (1911), p. 110. 

747) Lick Obs. Bull. Nr. 180 (1910). 

748) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 397; Paris ©. R. 146 (1908), p. 574. 

749) Lowell Obs. Bull. 36 (1909); Astr. Nachr. 180 (1909), p. 247. 

750) Astr. Nachr. 199 (1914), p. 153. 

751) Publ. Astr. Soc. Pac. 37 (1924), p. 52. 

752) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 133. 

753) Eine Zusammenstellung der älteren spektroskopischen Literatur über 
Mars ist von $. A. Chant im Journ. Roy. Astr. Soc. Can. 3 (1909), p. 425 ge- 
geben worden. 

754) Pulkowa Nicolai-Hauptsternw. Mitt. 4 (1911), p. 73. 


676 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


gerte kürzlich N. Barabascheff ‘'”) daraus, daß er mit Violettfilter 
häufig Fleckchen bemerkte, die sonst nicht zu sehen waren. Eben- 
falls mit Filtern hat W. H. Wright”°®) Aufnahmen ausgeführt und da- 
bei ganz im Gegensatz zu den spektroskopischen Ergebnissen gefunden, 
daß die Ultraviolettbilder einen merkbar größeren Durchmesser auf- 
wiesen als Bilder mit anderen Filtern. Bleibt man bei der Annahme, 
daß die Marsatmosphäre das Licht ähnlich zerstreut wie unsere Luft- 
hülle, so wäre man dann zur Ansicht genötigt, daß auf den Ultra- 
violettbildern die Marsatmosphäre mit aufgenommen worden sei. Da- 
mit würde für sie aber eine Höhe von ca. 120 Meilen folgen! Die 
Unstimmigkeiten zwischen Filteraufnahmen und spektroskopischen Er- 
gebnissen bei Mars harren noch der Aufklärung. 


Jupiter. Während im brechbaren Teil des Jupiterspektrums keiner- 
lei Veränderungen gegenüber dem mittleren Sonnenspektrum zu be- 
obachten sind, zeigen sich im roten Teil charakteristische Banden- 
bildungen, die bei den Planeten Saturn, Uranus und Neptun dann der 
Reihe nach immer stärker hervortreten.”’) Die hauptsächlichsten 
dieser Bänder, die schon von H. C. Vogel"°®) und W. Huggins"°®) be- 
schrieben worden sind, liegen nach Angaben von V. M. Slipher"®°) 
bei den Wellenlängen 5420, 5770, 6020 und 6470 A.E. und sind durch 
Verstärkung der an den gleichen Stellen befindlichen und in der 
„Preliminary table“ mit A (atmosphärisch) bezeichneten Linien des 
Wasserdampfes und Sauerstoffes entstanden. Zwei andere von @. Millo- 
chau und J. Janssen’) angegebene Bänder bei 5150 und 6070 ÄA.E 
hat Slipher nicht bestätigen können, dagegen dürfte nach ihm das bei 
5420 befindliche Band eine rote Komponente bei 5430 besitzen, die 
auch planetarischen Ursprungs ist. Weiter wurde schon frühzeitig bei 
6180 ein deutliches Band’®?) bemerkt, das nach L. Becker"®®) genauer 
bei 6175-—6207 Ä.E. liegt, ebenfalls bei den folgenden äußeren Pla- 
neten an Kraft gewinnt und auch planetarischen Ursprungs ist. 

Aufnahmen mit Rotfilter, die von W. H. Wright‘) ausgeführt 


755) Astr. Nachr. 230 (1927), p. 49. 

756) Publ. Astr. Soc. Pac. 36 (1924), p. 239; Lick Obs. Bull. Nr. 366 (1924) 
und Nr. 389 (1927). 

757) Siehe bei P. Lowell Paris C. R. 147 (1908), p. 516. 

758) a. a. O. 

759) London Roy. Soc. Proc. (1871), Nr. 129. 

760) Lowell Obs. Bull. Nr. 16 (1905). 

761) Paris C. R. 138 (1904), p. 1477. 

762) a. a. O. 

763) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 78 (1917), p. 77. 

764) Lick. Obs. Bull. 389 (1927); Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 358. 


19. Die Planeten. 677 


worden sind, haben insbesondere in den Äquatorialstreifen reiches, 
feines Detail gezeigt, und es scheint somit, daß auch in der Jupiter- 
atmosphäre die Diffusion des Lichtes ebenso vor sich geht wie in der 
Erdatmosphäre. 


Saturn. Wie schon erwähnt, zeigt das Saturnspektrum die bei 
Jupiter im gelben und roten Teil des Spektrums auftretenden Bänder 
kräftiger. Es wurde zuerst von W. Huggins'®) und H. C. Vogel”*°), 
dann von J. Keeler"®) und schließlich von V. M. Slipher‘®®) studiert. 
Letzter fand auch H, etwas verstärkt und schloß daraus auf das Vor- 
handensein von freiem H in der Saturnatmosphäre. Sliphers Aufnahmen 
zeigten im Spektrum des Ringes die für die äußeren Planeten typi- 
schen Bänder im Rot nicht, so daß also der Ring keine oder wenig- 
stens nur eine sehr dünne Lufthülle hätte. Zum gleichen Ergebnis 
gelangte später noch @. A. Tickhoff ‘*°) bei Aufnahmen mit verschiedenen 
Farbenfiltern. Auf Aufnahmen mit Rotfilter von W. H. Wright""®) 
verschwanden überhaupt einzelne Teile des Ringes, und durch den 
Crapering war die Saturnkugel klar sichtbar. Das könnte darauf hin- 
weisen, daß die Ringteilchen eine Diffusionswirkung ausüben, die der 
der Atmosphäre nicht unähnlich ist. 


Uranus, Neptun. Das Spektrum wurde zuerst von A. Secch), 
W. Huggins’"?) und H. ©. Vogel''?) beobachtet und später wieder von 
P. Lowell’) und V. M. Slipher‘‘®) genauer untersucht. Die typischen 
Bänder im roten Teil zeigen Verstärkung gegenüber dem Saturn- 
spektrum, und zwar bei Neptun in noch größerem Betrag als bei 
Uranus, außerdem zeigt sich das von Slipher im Jupiterspektrum ver- 
mutete Band bei 5430 kräftig, und ein neues Band unbekannten Ur- 
sprungs bei 5100 ist hinzugetreten. J. Keeler''®) hat diese Eigentüm- 
lichkeiten speziell bei Uranus ebenfalls bemerken können. 


765) London Roy. Soc. Phil. Trans. 154, II (1864), p. 243. 

766) a. a. 0. 

767) Astr. Nachr. 122 (1889), p. 401. 

768) Lowell Obs. Bull. Nr. 27 (1907), p. 173. 

769) Pulkowa Nicolai-Hauptsternw. Mitt. 4 (1911), p. 73. 

770) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 231; vgl. hierzu auch R. W. Wood, 
Astroph. Journ. 43 (1916), p. 314 und V. M. Slipher, Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), 
p. 149. 

771) Paris C. R. 68 (1869), p. 761. 

772) London Roy. Soc. Proc. 1871, Nr. 129; Paris C. R. 108 (1889), p. 1228. 

773) a. a. O.; Astroph. Journ. 1 (1895), p. 280. 

774) Brit. Astr. Assoc. Rep. 1902, p. 55. 

775) Lowell Obs. Bull. Nr. 13 (1904). 

776) Astr. Nachr. 122 (1889), p. 103. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 44 


\ 


678 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Die in den Spektren der äußeren Planeten im roten Teil auf- 
tretenden Bänder sind, wie K. von Lysakowski’"”) erwähnt, von den 
Botanikern Timiriaziew und Beyrinck für Absorptionsbanden des Chloro- 
phylis gehalten worden. Nach C. P. Butler”"®) wäre diese Identifikation 
keineswegs unmöglich, und W. Arzichowsky”"®) meint dazu, daß dann 
dieselben Banden wohl auch im Spektrum des aschfarbenen Mond- 
lichtes nachzuweisen sein müßten. Dagegen hebt O. Büry'®) hervor, 
daß die Banden des Uranusspektrums ziemlich gut mit Absorptions- 
banden des Ozons zusammenstimmen. Da sich die Ozonbanden bei 
abnehmender Temperatur zu verstärken pflegen, wäre bei dieser Identi- 
fikation das Kräftigerwerden der Planetenbänder mit wachsender Ent- 
fernung von der Sonne erklärbar. 


20. Die Versuche zur spektroskopischen Ermittlung der Rota- 
tionszeiten der Planeten. Die Oberflächen von Merkur, Venus, Ura- 
'nus und Neptun zeigen so wenig deutliches Detail, daß es bisher 
nicht möglich war, die Rotationszeiten dieser Planeten sicher abzu- 
leiten. Speziell bei Venus und Merkur sind die einzelnen Beobachter 
bei solchen Bestimmungen zu derart verschiedenen Resultaten gelangt, 
daß schließlich W. H. Pickering"®') und später wieder ©. V. L. Charlier '8?) 
auf die Möglichkeit hingewiesen haben, daß die Rotation dieser Pla- 
neten vielleicht gar um eine in der Richtung des Radiusvektors ge- 
legene Rotationsachse erfolge, ähnlich also, wie dies schließlich für 
Uranus angenommen worden ist, und sie schlugen vor, das vorhandene 
Beobachtungsmaterial einmal in diesem Sinne zu bearbeiten. Eine 
Lösung dieser offenen Fragen wäre nun aber auch auf spektroskopi- 
schem Wege durch Beobachtung der an zwei gegenüberliegenden Rand- 
punkten der Planetenscheiben auftretenden Linienverschiebungen zu 
erhalten, und diesbezügliche Beobachtungen sind auch an den Pla- 
neten Venus, Uranus, Neptun sowie am Saturnring versucht worden. 


Venus. Zunächst hat A. Belopolsky"®®) im Jahre 1900 aus spektro- 
graphischen Aufnahmen, die sich über einen Zeitraum von etwa sechs 
Wochen erstreckten, für den Äquator dieses Planeten lineare Rota- 
tionsgeschwindigkeiten zwischen 0,6 und 0,9 km gefunden, die auf 
eine kurze Rotationszeit von 12,5°—18,5° hinweisen würden. Weitere 


777) Weltall 10 (1909), p. 22. 

778) Rev. scient. 1 (1909), p. 465. 

779) Russ. Astr. Ges. 18 (1913), p. 227. 
780) Astr. Nachr. 190 (1911), p. 3. 

781) Journ. Brit. Astr. Ass. 31. 

782) Publ. Astr. Soc. Pac. 36 (1924), p. 105. 
783) Astr. Nachr. 152 (1900), p. 263. 


21. Die Spektren der Kometen. 679 


Beobachtungen desselben Beobachters’®) aus den Jahren 1903, 1908 
und 1911 ergaben wieder eine Rotationszeit von 1% 10,6%, wobei gleich- 
zeitige Kontrollmessungen der Marsrotation bewiesen, daß das Ergebnis 
kaum mit einem größeren Beobachtungsfehler behaftet sein dürfte. 
Fast zur gleichen Zeit ließen aber Aufnahmen von P. Lowell?) und 
von V. M. Slipher'*®) wieder eine langsame Rotation des Planeten für 
wahrscheinlicher erscheinen. Da auch Lowell und Slipher Mars"®”) und 
Jupiter”®®) als Testobjekte benutzt haben und den Beobachtungsfehler 
klein fanden, scheint also die Frage nach der Rotationszeit der Venus 
durch die spektroskopischen Bestimmungen noch keineswegs gelöst 
zu sein. 

Uranus. Mit Uranus liegen die Verhältnisse besser. Nach spektro- 
skopischen Beobachtungen von H. Deslandres'??) aus dem Jahre 1902 
ist eine rückläufige Rotation wahrscheinlich, und zum gleichen Re-. 
sultat kamen später P. Lowell und V. M. Slipher®), die aus der Nei- 
gung der Linien bei quer über die Planetenscheibe gestelltem Spalt 
ebenfalls eine retrograde Drehung mit einer Rotationszeit von rund 
11?/,® ableiteten. 

Neptun wurde von J. H. Moore und D. H. Menzel‘®') erst kürzlich 
untersucht. Mit einem Neptundurchmesser von 157000 km folgte aus 
Beobachtungen, die in der Zeit 1928 17. Febr. bis 30. Mai angestellt 
worden sind, für die Rotationszeit der Wert von 15,8° + 1. 

Saturnring. Beim Saturnring haben spektrographische Bestim- 
mungen der Dopplerschen Verschiebungen von J. Keeler'”?), H. Des- 
landres'®?), A. Belopolsky"**) und W. W. Campbell”) Geschwindigkeiten 
der Einzelringe ergeben, die in Übereinstimmung mit der mechanischen 
‚Theorie des Saturnringes das dritte Keplersche Gesetz befolgen. 


21. Die Spektren der Kometen. Der erste Komet, der spektro- 
skopisch untersucht worden ist, scheint der Komet 1864II gewesen 


784) Pulkowa Nicolai-Hauptsternw. Mitt. (1911). 

785) Astr. Nachr. 163 (1903), p. 34. 

786) Ebendort p. 35. 

787) Lowell Obs. Bull. Nr. 4 (1903). 

788) Pop. Astr. 11 (1903), p. 1; Astroph. Journ. 20 (1904), p. 1. 

789) Paris C. R. 135 (1902), p. 228, 475; siehe auch Paris C. R. 120 (1895), 
p. 417, 1155 und Sirius 35 (1902), p. 385. 

790) Lowell Obs. Bull. Nr. 53 (1912). 

791) Publ. Astr. Soc. Pac. 40 (1928), p. 234. 

792) Astroph. Journ. 1 (1895), p. 416. 

793) Paris C. R. 120 (1895), p. 1155. 

794) Astr. Nachr. 139 (1896), p. 1. 

795) Astroph. Journ. 2 (1895), p. 127. Siehe auch H.J. Klein, Sirius 34 (1901). 

44* 


680 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


zu sein, von dessen Spektrum @. B. Donati’®®) in Florenz berichtet, es 
habe aus hellen Bändern bestanden. Bald danach fand W. Huggins '®") 
im Spektrum des Tempelschen Kometen 1866 I einen kontinuierlichen 
Untergrund, und schon zwei Jahre später konnte er im Spektrum des 
Winneckeschen Kometen 18681l die Lage der beobachteten Banden 
vermessen (5640, 5160, 4730 Ä.E.) und dieselben mit den Banden 
CH, CI, CIV des Swanspektrums identifizieren. Als nun aber 
Huggins’”) im Spektrum des Brorsenschen Kometen 18681 wieder 
drei Banden beobachtete, deren Wellenlängen sich stark abweichend 
von den Banden im Spektrum von 1868 II zu 5440, 5070 und 4650 Ä.E. 
ergaben, entstand die Frage, ob man es also wirklich mit den Swan- 
banden zu tun habe. A. Secchi’®) folgerte aus der guten Übereinstim- 
mung seiner eigenen Messungen mit denen von Huggins, daß die beob- 
achteten Unterschiede reell seien, und daher keineswegs Identität mit 
dem Swanspektrum vorhanden sein könne. Da aber im Spektrum des- 
selben Brorsenschen Kometen bei seiner Wiederkehr im Jahre 1879 
die Swanbanden doch wieder zweifellos identifiziert werden konnten, 
neigten sowohl W. Huggins°®) als auch C©. A. Young®®'), der schon 
früher von H. O. Vogel?) und J. N. Lockyer?®®) geäußerten Ansicht zu, 
daß das Kometenspektrum überhaupt bis zu einem gewissen Grade 
veränderlich sei. Erst fast dreißig Jahre später gelang, wie noch ein- 
gehender behandelt werden soll, der Nachweis, daß es sich bei den 
am Brorsenschen Kometen im Jahre 1868 beobachteten Banden um 
das Spektrum der 3. negativen Gruppe des Kohlenstoffs, die speziell 
in den Kometenschweifen auftritt, gehandelt habe, bei den im Jahre 
1879 beobachteten Bändern dagegen tatsächlich um das Swanspektrum, 
das für den Kometenkopf typisch ist. 

Spektralphotographische Beobachtungen sind zuerst von W. Hug- 
gins®*) und H. Draper?®) am großen Kometen 188111 (Oruls-The- 
butt) angestellt worden. Als Hauptresultate dieser Aufnahmen seien 
verzeichnet die Auffindung Fraunhoferscher Linien auf dem kontinuier- 
lichen Grund und die Auffindung neuer heller Bänder im Violett und 


796) Astr. Nachr. 62 (1864), p. 378. 

797) London Roy. Soc. Proc. 15 (1866), p. 6. 

798) London Roy. Soc. Proc. 16 (1868), p. 386. 

799) Paris C. R. 66 (1868), p. 881, 1301. 

800) Nature 19 (1879), p. 579. 

801) Amer. Journ. Science and Arts 17 (1879), p. 373. 
802) Pogg. Ann. 149 (1873), p. 400. 

803) Nature 10 (1874), p. 180. 

804) London Roy. Soc. Proc. 33 (1881), p. 1. 

805) Amer. Journ. Science and Arts 22 (1881), p. 134. 


21. Die Spektren der Kometen. 681 


Ultraviolett, die teilweise als zum Cyan gehörig erkannt wurden, teil- 
weise nicht identifiziert werden konnten. Schon damals hatte A. Dra- 
per?) auch versucht, Spektren ohne Verwendung eines Spalts dadurch 
aufzunehmen, daß er zwischen Objektiv und Platte ein Prisma & vision 
direete setzte, aber erst A. de la Baume-Pluvinel®”) verwendete zum 
gleichen Zweck die Lockyersche Prismenkamera bzw. das Objektiv- 
prisma. Speziell die von da ab beginnenden Untersuchungen mit dem 
Objektivprisma waren es, die die spektralen Unterschiede zwischen 
Kopf und Schweif der Kometen entdecken ließen und dadurch An- 
regung gegeben haben zu den Versuchen im Laboratorium über die 
verschiedenen Spektren des Kohlenstoffs, die wieder letzten Endes die 
Erklärung gebracht haben für das spektral verschiedene Verhalten 
von Kometenkopf und Kometenschweif. 

Sieht man von gewissen individuellen Eigentümlichkeiten ab, so 
zeigen so ziemlich alle Kometen bezüglich des Auftretens der hellen 
Banden verschiedener Bandengruppen des Kohlenstoffs nahe das gleiche 
Verhalten. Da erst vor kurzem F\. Baldet?®) eine genaue Beschreibung 
der Spektren fast aller in den Jahren 1864—1925 erschienenen grö- 
Beren Kometen gegeben hat, so seien hier nur einige Kometen ein- 
gehender behandelt, bei denen die spektralen Untersuchungen Fort- 
schritte gezeitigt haben. Während nun die Arbeiten von 1902 ab fünf 
Jahre hindurch nur immer wieder ergeben hatten, daß neben den 
Swan- und Cyanbanden mehr oder weniger zahlreiche unbekannte Ban- 
den auftreten, ließ der von Daniel entdeckte 

Komet 1907d (Daniel) wieder interessantes Neues beobachten. 
Aufnahmen des Spektrums von W. W. Campbell?®), J. Evershed®'?), 
<J. Bosler®'"), H. Deslandres und A. Bernard®"?), H. Rosenberg*"?) u.a. zeig- 
ten ein kräftiges kontinuierliches Spektrum mit deutlichen Fraunhofer- 
schen Linien, dann die Swanbanden sowie die blauen Oyanbanden, CyII, 
CyV und noch weitere unbekannte Banden. V. M. Slipher und C. O. 
Lampland®"*) fanden auch die D-Linie als helle Linie, und später er- 


806) a. a. 0. 

807) Paris ©. R. 136 (1908), p. 743, 744. 

808) Paris-Meudon, Ann. de l’Obs. 7 (1926), p. 61. Siehe auch die Bearbei- 
tung der Spektren der 1908—1927 erschienenen Kometen durch N. T. Bobrovni- 
koff, Astroph. Journ. 66 (1927), p. 439 und dessen zusammenfassende Studie in 
Publ. Astr. Soc. Pac. 40 (1928), p. 164. 

809) Astroph. Journ. 28 (1908), p. 229. 

810) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 68 (1907), p. 16. 

811) Paris C. R. 145 (1907), p. 582. 

812) Paris ©. R. 145 (1907), p. 445. 

813) Astr. Nachr. 175 (1907), p. 401. 

814) liowell Obs. Bull. Nr. 52 (1911). 


682 VI2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


kannte F‘ Baldet?"°) auf einer französischen Aufnahme auch noch die 
rote Cyanbande Oyl. Insbesondere auf den Aufnahmen von Deslandres 
und Bernard und von Rosenberg schienen die damals noch unbekann- 
ten Bänder bei 4520-4580, 42304290 und 4000-4040 Ä.E. weit 
in den Schweif des Kometen zu reichen, und ein gleiches Verhalten 
zeigten nach J. Evershed®') auch noch einige andere im Ultraviolett 
bei 3580, 3690, und 3780 Ä.E. vorhandene Bandenbildungen. H. Ohre- 
tien®‘) bemerkte, daß diese Banden durchweg Doppelbanden zu sein 
scheinen, und spätere Untersuchungen im Laboratorium lehrten, daß 
sie der dritten negativen Gruppe des Kohlenstoffs angehören, die bei 
besonders niederem Druck aufzutreten pflegt (siehe Nr. 6e), p. 582). 
Diese Bänder sind für das Spektrum des Schweifes typisch Wegen 
der großen Zahl der Emissionsbänder wurde von noch größerer Be- 
‚deutung der nächste 
Komet 1908c (Morehouse). Im Gegensatz zu dem eben besproche- 
nen Kometen Daniel war ein kontinuierliches Spektrum beim Kometen 
Morehouse überhaupt nicht zu erkennen, wie u. a. von A. De la Baume- 
Pluvinel und F. Baldet°"?) sowie von E. B. Frost und J. A. Parkhurst?'?) 
besonders hervorgehoben worden ist. Das Cy-Spektrum war sehr kräftig 
entwickelt und ließ sich in den nach jedem Lichtausbruch in den 
Schweif abwandernden Wolkenballen meist noch mehrere Grade vom 
Kopf weg nachweisen. Die Intensität der einzelnen Bänder scheint 
aber variabel gewesen zu sein, da beispielsweise W. W. Campbell und 
S. Albrecht?”®) einmal das Band Cy Ill nicht verzeichnen, während ein 
anderes Mal H. Rosenberg®?') zwar CyI und Cy Ill, nicht aber auch Cy II 
beobachtete. Die Swanbänder CH, CIH und CIV wurden von den 
meisten Beobachtern ebenfalls bemerkt, uud später konnten A. De la 
Baume-Pluvinel und F\ Baldet???) in einer zusammenfassenden Unter- 
suchung auch noch CI und C V nachweisen. 
Nur im Schweif traten die Banden der Stickstoffmolekel auf, die 
insbesondere auf Aufnahmen von E. B. Frost und J. A. Parkhurst??), 
H. Deslandres und A. Bernard?) sowie von H. Deslandres, J. Bosler 


815) Paris C. R. 181 (1925), p. 331. 

816) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 68 (1907), p. 16. 
817) Paris C. R. 145 (1907), p. 549. 

818) Paris C. R. 147. (1908), p. 666. 

819) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 55. 

820) Lick Obs. Bull. Nr. 145 (1908). 

821) Astroph. Journ. 30 (1909), p. 267. 

822) Astroph. Journ. 34 (1911), p. 89. 

823) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 55. 

824) Paris C. R. 147 (1908) p. 774. 


21. Die Spektren der Kometen. 683 


und A. Bernard???) gut nachgewiesen werden konnten. Die bereits 
beim Kometen Daniel zum erstenmal beobachteten Doppelbanden zeig- 
ten sich beim Kometen Morehouse in vermehrter Zahl und größerer 
Deutlichkeit und waren durchweg noch weit in den Schweif des Ko- 
meten hinaus gut beobachtbar.°?®) Damals wurde die Frage aufgeworfen, 
ob die Duplizität dieser Banden nicht vielleicht durch Zeemaneffekt 
hervorgerufen oder auf einen durch Bewegungen in den Schweifmassen 
hervorgerufenen Dopplereffekt zurückzuführen sei. Die erstere Möglich- 
keit fiel weg, als es H. Deslandres und J. Bosler®?”) gelang zu zeigen, 

daß die Bandenkomponenten keinerlei Polarisation aufweisen, und die 
zweite war deswegen unwahrscheinlich, da dabei, wie W. W. Campbell 
und $. Albrecht?®®) betonten, im Schweifinneren Geschwindigkeiten von 
rund 2000 km hätten angenommen werden müssen. Der Nachweis, 
daß die beobachtete Duplizität eine reine Folge der serienmäßigen 
Anordnung ist, gelang erst später durch weiter unten noch eingehen- 
der zu besprechende Laboratoriumsversuche. 

Auch im Spektrum dieses Kometen waren zahlreiche Emissions- 
banden nicht identifizierbar. E. ©. Pickering°?”) glaubte unter diesen 
zunächst die Banden des © + H erkennen zu können, auch Identitäten 
mit den Linien H,— H; der Balmerserie des Wasserstoffs und mit 
einem in den Spektren roter Sterne auftretenden hellen Band bei 
4640-4730 Ä.E. hielt er für möglich.®°) Bald darauf aber konnte 
J. Hartmann®?') durch Aufnahmen mit Quarzoptik zeigen, daß die 
Balmerserie, die übrigens bis heute bei keinem einzigen Kometen be- 
merkt werden konnte, sicher vollständig fehlte. S. V, Orlov®®?) hielt die 
im Spektrum des Kometen Morehouse beobachteten Bänder wegen 
ihrer Darstellbarkeit durch eine der Deslandreschen Serienformel für 
C0:v”’ =», + an + bn? ähnliche Formel für Emissionen, die eben- 
falls dem Kohlenmonoxyd angehören, doch erscheint diese Art der’ 
Identifikation wohl noch fraglich. 

Nach einer photometrischen Studie von H. Rosenberg®?®) lag die 
maximale Helligkeit der Emissionsbanden im Spektrum des Kometen 
Morehouse bei etwa 4000 A.E., und die Emissionen schienen auf einem 


825) Paris C. R. 148 (1909), p. 148. 

826) Siehe bei 7. D. Curtis, Lick Obs. Bull. Nr. 163 (1909). 
827) Paris C. R. 147 (1908), p. 951. 

828) Lick Obs. Bull. Nr. 147 (1909), p. 64. 

829) Astr. Nachr. 179 (1908), p. 193. 

830) Ebendort 179 (1908), p. 383. 

831) Ebendort 181 (1909), p. 21. 

832) Ebendort 226 (1924), p. 379. 

833) Astroph. Journ. 30 (1909), p. 276. 


6834 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


schwachen kontinuierlichen Grund von derselben Energieverteilung 
aufzuliegen. Der Komet wäre demnach der Farbe nach blau (oder 
etwa von der Farbe des Sterns «Lyrae) gewesen. Eine Typisierung 
der Kometenspektren in solche vom Sonnentypus, in deren Spektrum 
das Energiemaximum ungefähr bei 4700 Ä.E. liegt und in einen 
Violettypus mit dem Energiemaximum bei etwa 4000 Ä.E. ist übri- 
gens auf Grund einer eingehenden Prüfung der Spektren der in der 
Zeit 1908—1927 erschienenen Kometen von N. T. Bobrovnikoff’°°*) vor- 
geschlagen worden. In der Regel soll danach das Spektrum bei einer 
Distanz des Kometen von der Sonne < 0,7 dem Sonnentypus ange- 
hören und bei Vergrößerung der Entfernung in den Violettypus über- 
gehen. 

Das Auftreten eines schwachen kontinuierlichen Untergrundes be- 
nutzte H. Rosenberg?) unter der Voraussetzung, daß derselbe wirk- 
lich auf Reflexion des Sonnenlichtes und nicht etwa nur auf Zusammen- 
fließen der Emissionsbanden zurückzuführen sei, um aus den diffun- 
dierenden Eigenschaften der den Kometen bildenden kosmischen Staub- 
wolke die Kometenmasse abzuleiten. Der von ihm gefundene Wert 
von 5,8 - 10-1? Erdmassen steht mit anderweitigen Massenbestimmungen 
von Laplace, Roche, Hepperger und Lindemann®®°), die Werte zwischen 
2.10% und 3. 10-13 Erdmassen gefunden hatten, mit Rücksicht auf 
die unsicheren Grundlagen aller dieser Rechnungen wohl keineswegs 
in besonderem Widerspruch. Bandenbildungen, deren Ursprung bei 
seiner im Jahre 1911 erfolgten Wiederkehr noch unbekannt war, zeigte 
auch der 

Komet Halley®”'), dessen Spektrum ebenfalls einen kontinuier- 
lichen Untergrund aufwies, der aber offenbar aus einem Sonnentypus 
(reflektiertes Sonnenlicht) und einem Violettypus (Eigenlicht) kombi- 
niert war. 

Was die oben erwähnten bei den Kometen Daniel und More- 
house beobachteten Doppelbanden betrifft, so fand sie A. Fowler?®) 
schon im Jahre 1909 auf einer von H. Payn ausgeführten Aufnahme 
des Spektrums des Kathodenlichtes in einer mit H und CO unter 
niederem Druck (0,01 mm) gefüllten Röhre wieder. Gleichzeitig gelang 
es ihm zu zeigen, daß bei gleichzeitigem Vorhandensein von C und 

834) Ebendort 66 (1927), p. 439. 

835) a. a. O. 

836) Siehe bei $. Oppenheim, Kometen, Eneykl. d. math. Wiss. VI12, Nr. 18, 

. 914. 
E 837) Siehe z. B. bei N. T. Bobrovnikoff, Astroph. Journ. 66 (1927), p. 145 


und bei V. M. Slipher, Lowell Obs. Bull. Nr. 52 (1911). 
838) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 70 (1909), p. 176, 484. 


21. Die Spektren der Kometen. 685 


N unter höherem Druck die Swanbanden und die Banden des Cy, 
also der Verbindung von C und N, auftreten, während bei niederem 
Druck dagegen die Banden der dritten negativen Gruppe CO+ und 
des Stickstoffmoleküls erscheinen, die Cy-Banden aber verschwinden. 
Die spektralen Unterschiede zwischen Kopf und Schweif eines Kometen 
sind also in Druckunterschieden begründet. 

Von den anderen Banden, die wir bisher als dem Ursprung nach 
unbekannt bezeichnet haben und die bei verschiedenen Kometen in 
verschiedener Anzahl auftreten, bemerkt F. Baldet?®°), daß sie haupt- 
sächlich dem Spektrum des Kometenkerns angehören, da sie in dessen 
Nähe in der Regel an Kraft gewinnen. Im Jahre 1916 hat nun ©. W. 
Raffety®°) im Spektrum des Meckerbrenners®*!) zwischen 4020 und 
4100 Ä.E. eine Reihe von Banden beobachtet, die offenbar mit den 
eben erwähnten Banden des Kometenkerns identisch sind. F. Baldet®*?), 
der die Beobachtung von Raffety durch eigene Versuche und Mes- 
sungen kontrollierte, gibt folgende Zusammenstellung der in den Spek- 
tren von Meckerbrenner und Kometenkern gemessenen Wellenlängen: 














Rafjety Baldet |Kometenkern Raffety Baldet |Kometenkern 

4108 4110 4109 4043 4043 4043 

_ — 4099 4040 4039 4040 
4095 4095 — 4037 4035 — 
4085 4085 4085 4031 — 4033 
4074 4075 4074 4025 4026 _ 
4066 4067 4068 — — 4020 
4061 4059 _ — De 4014 
eg 4050 4052 
4048 




















Daß man es in den insbesondere im Kernspektrum auftretenden Ban- 
den mit den vermutlich dem © + H zuzuschreibenden „Ra/fetybändern“ 
zu tun hat, ist demnach wohl zweifellos. 

Den genannten Untersuchungen zufolge sind also für das Spek- 
trum des Kometenkopfes die Swan- und Cyanbänder typisch, und im 
Spektrum des dichtesten Teiles des Kerns treten dazu noch die Raffety- 
bänder auf. Das Schweifspektrum dagegen zeigt infolge der Verdün- 
nung der Gase die Banden der dritten negativen Gruppe des CO+ und 


839) Paris-Meudon Ann. de l’Obs. 7 (1926), p. 53. 

840) Phil. Mag. 32 (1916), p. 555. 

841) Ein Bunsenbrenner, bei dem das obere Rohrende mit einem Drahtnetz 
verschlossen ist. Die Flamme des Meckerbrenners ist heißer als die des Bunsen- 
brenners. 

842) a. a. O. p. 103. 


686 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


die Banden der Stickstoffmolekel N}. Diese typischen Spektren von 
Kopf und Schweif können sich natürlich dort, wo der Schweif an 
den Kopf ansetzt, miteinander kombinieren.°) Ein ausgezeichnetes 
Beispiel für diese spektralen Verschiedenheiten von Kern, Kopf und 
Schweif bot der Komet 1927e (Pons- Winnecke), dessen Spektrum u.a. 
von V. M. Slipher*®**), J. H. Moore®®), N. T. Bobrovnikoff und A. Pogo®*°) 
und von @. Shajn®*") untersucht worden ist. 

Das Spektrum eines Kometen ist natürlich stark abhängig von 
seiner Distanz von der Sonne, da ja der Erregungszustand und die 
Zahl der erregten Molekel mit der bei Annäherung an die Sonne 
steigenden Aktivität des Kometen wächst. In großer Entfernung von 
der Sonne wird wohl zunächst nur reflektiertes oder, wie Ch. Fabry**?) 
ebenfalls für möglich hält, durch die dünne Kometenmaterie diffun- 
diertes Sonnenlicht zur Geltung kommen. Daß allerdings unter Um- 
ständen auch schon in größerer Distanz von der Sonne eine gewisse 
Aktivität einsetzen und die typischen Emissionsbanden erscheinen lassen 
kann, folgt aus einer Beobachtung von M. Wolf®°), der im Spektrum 
des Halleyschen Kometen bereits am 13. Dez. 1909, wo der Komet 
noch 343 Mill. km von der Sonne entfernt war, die typischen Emis- 
sionsbänder vorfand. Auch das Emissionsspektrum ist mit der Ent- 
fernung von der Sonne veränderlich, wie A. De la Baume-Pluvinel und 
F. Baldet®°°) schon am Kometen 1911e (Brooks) feststellen konnten. 
Später hat F. Baldet®°') bei seiner Neubearbeitung französischer Auf- 
nahmen bemerkt, daß die C- und Cy-Bänder sowie eine Gruppe dem 
Kernspektrum angehörender Banden zwischen 4050 —4300 Ä.E. immer 
kräftiger werden, wenn sich der Komet der Sonne nähert. Die Kern- 
banden erreichen aber schon vor dem Periheldurchgang in der Regel 
ihre maximale Intensität und werden von da ab wieder schwächer. 
Das Schweifspektrum entwickelt sich zumeist verhältnismäßig rasch, 
und zwar fast stets erst in der Nähe des Perihels, um nach dem 
Periheldurchgang noch beträchtlich an Kraft zu gewinnen. Bei grö- 
Berer Sonnennähe zeigen sich im Spektrum des Kometenkopfes häufig 
die D-Linien des Natriums hell. Sie wurden zuerst im Spektrum des 


843) Siehe hierzu N. T. Bobrovnikoff, Publ. Astr. Soc. Pac. 40 (1928), p. 164. 
844) Lowell Obs. Bull. 86 (1827). 

845) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 221. 

846) Pop. Astr. 36 (1928), p. 4. 

847) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 87 (1927), p. 747. 

348) Bull. Soc. Astr. de France 32 (1918), p. 23. 

849) Heidelberg Akad. Sitzber. 1910, Abhandlung 7. 

850) Paris C. R. 154 (1912), p. 1286. 

851) Paris-Meudon Ann. de l’Obs. 7 (1926), p. 44. 


22. Die Spektren der Sternschnuppen und ihrer Schweife. 687 


Kometen 1881b (Cruls-Thebutt), dann weiter in den Spektren der Ko- 
meten 1881c (Schoeberle), 1882a (Wells), 1882b (Cruls), 1907d (Da- 
niel), 1909e (Halley), 1911e (Brooks), 1913f (Delavan) gesehen. Das 
Auftreten der Na-Emission bei dem letzteren Kometen ist besonders 
merkwürdig zu nennen, da der Komet stets relativ weit von der Sonne 
entfernt blieb (Periheldistanz 1,11) und da N. v. Konkoly®°?) sie in 
einer Distanz des Kometen von der Sonne von 1,21 schon vor dem 
Perihel auffand. Bei großen Kometen, z. B. bei 1832a, ließen sich 
die Na-Linien sogar noch in dem Kopf näher gelegenen Schweifteilen 
nachweisen. Meistens werden die Swanbanden schwächer, wenn die 
Na-Linien an Kraft zunehmen. P. Lewis®?) hat übrigens das gleiche 
Verhalten im Spektrum einer mit Natrium beschiekten Bunsenflamme 
beobachtet. Sieht man davon ab, daß von O. Lohse und R. Copeland 
im Spektrum des Kometen 1881b auch helle Eisenlinien gesehen wor- 
den sein sollen 85%) — 8. V. Orlov®°°) hält die Identifikation für sicher, 
während sie von F. Baldet®®) mit dem Hinweis darauf bezweifelt wird, 
daß es sich dabei um lauter relativ schwache Eisenlinien gehandelt 
hat, so wäre Na das einzige Element, das in den Kometenspektren 
bisher neben C und N sicher hat nachgewiesen werden können. 

Über das Emissionsspektrum lagert sich bei manchen Kometen 
noch ein mehr oder minder kräftiges Frraunhofersches Spektrum, das 
von reflektiertem Sonnenlicht herrührt und bei sehr hellen Kometen 
auch noch in kopfnahen Schweifteilen zu beobachten ist, wie beispiels- 
weise beim hellen Kometen 1910a von F. Baldet?°”) festgestellt wer- 
den konnte. h 


22. Die Spektren der Sternschnuppen und ihrer Schweife. In 
der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts hat man mehrfach ver- 
sucht, das Spektrum von Sternschnuppen mit geradsichtigem Spektro- 
skop ohne Spalt zu beobachten, wobei man naturgemäß die Zeiten 
(Mitte August und Mitte November) zur Beobachtung wählte, wo das 
Auftreten zahlreicherer periodischer Sternschnuppen eine größere Aus- 
beute versprach. Auf diese Weise beobachtete J. Browning°®’®) an den 
Leoniden im Jahre 1866 kontinuierliche Spektren, bei deren einigen 
der gelbe Teil besonders kräftig war, und weiter auch Spektren, die 


852) Astr. Nachr. 202 (1916), p. 143. 

853) Astroph. Journ. 15 (1902), p. 122. 

854) Copernikus 2 (1882), p. 235. 

855) Russ. Astroph. Journ. 4 (1927), p. 1. 

856) Paris-Meudon Ann. de l’Obs. 7 (1926), p. 8. 

857) Ebendort p. 32. 

858) London Roy. Astr. Soc. Proc. Month Not. 27 (1867), p. 77. 


688 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


nur ein gelbes oder grünes Band erkennen ließen. Offenbar handelte 
es sich bei den kontinuierlichen Spektren um das Spektrum der Stern- 
schnuppe selbst, bei den anderen dagegen um das Spektrum der 
Schweife. Auf die Meteorschweife beziehen sich jedenfalls auch die 
Angaben von A. 8. Herschel?°”) über ein helles Meteor vom 18. Jan. 
1864 sowie über die August- und Novembermeteore des Jahres 1868 %%°) 
und weiter die Beobachtungen von A. Seechi®®'), bei denen durchweg 
diskontinuierliche Spektren mit hellen Bändern festgestellt worden 
sind. Alle Beobachter waren damals der Meinung, daß das so häufig 
auftretende gelbe Band mit dem Natriumdublet D identisch sei, wäh- 
rend das grüne Band vielleicht mit den grünen Magnesiumlinien oder 
auch mit der grünen Thalliumlinie in Zusammenhang stehe. Mit Rück- 
sicht darauf, daß bei den Geminiden (6.—16. Dez.) stets auffallend 
viele grünlich gefärbte Sternschnuppen auftreten und weil sich die 
Bunsenflamme durch Beimengung von Cu, Ag, Ba und TI ähnlich 
grünlich färbt, regte A. $. Herschel®®?) die Beobachtung insbesondere 
dieser Meteore an. Fast um dieselbe Zeit beobachtete N. v. Konkoly?®) 
öfter verschiedene diskontinuierliche Spektren mit Bändern im Rot, 
Grün und Gelb bei den Wellenlängen 6160—6200, 5050—5100 und 
weiter-bei 4345 Ä.E., die er zunächst für die Banden 5955—6188, 
5084—5165 und 4324—4380 Ä.E. im Spektrum des Leuchtgases hielt, 
dann aber wieder auf Na, Mg, Cu, Fe und möglicherweise auch Sr 
und Li zurückführen wollte. Eine Stütze für eine Identifikation im 
letzteren Sinn glaubte er in der etwas primitiven Beobachtung ge- 
funden zu haben, daß mit Alkohol, in dem geringe Mengen von Salzen 
der genannten Stoffe gelöst waren, getränkte Wattebäuschehen ein 
ähnliches Spektrum zeigten, wenn sie im Dunklen in die Höhe ge- 
worfen wurden! 

Bei den bisher besprochenen Beobachtungen darf nicht übersehen 
werden, daß in keinem Falle eine eigentliche Wellenlängenmessung 
möglich gewesen war, und daß die Identifikationen durchweg aus dem 
Gedächtnis durch nachträgliches Vergleichen mit Spektren verschie- 
dener Stoffe vorgenommen wurden, wobei natürlich das Nächstliegende 
zuerst herhalten mußte. Ein wirkliche Wellenlängenmessung gelang 


859) Les Mondes 7 (1864), p. 139. 

860) Report Brit. Astr. Assoc. 36 (1866), p. 142; 37 (1867), p. 399. 

861) Bulletino meteorologico 7 (1868), p. 91. 

862) Nature 9 (1874), p. 142. 

863) Astr. Nachr. 82 (1873), p. 289; 84 (1874), p. 337; 95 (1879), p. 286; 
London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 34 (1873), p. 82; Beob. Obs. O’Gyalla 2 (1879), 
p- 8; 3 (1880), p. 7; 5 (1882), p. 19. 


22. Die Spektren der Sternschnuppen und ihrer Schweife. 689 


erst E. 0. Pickering®®*), als er am 18. Juni 1897 zu Arequipa ge- 
legentlich einer stellaren Aufnahme mit Objektivprisma zufällig auch 
die Spur einer hellen Sternschnuppe auf der Platte vorfinden konnte. 
Später gelang es dann nochmals S Blajko®®), die Spektren zweier 
Meteore photographisch festzuhalten, als er solche Beobachtungen mit 
Euryskop und Objektivprisma systematisch anstellte In allen drei 
Fällen waren die Spektren diskontinuierlich, also offenbar Spektren 
des Meteorschweifes. Die beobachteten Linien und die von den Be- 
obachtern vermuteten Identifikationen sind folgende: 


©. E. Pickering S. Blajko 
18. Juni 1897 11. Mai 1904 12. Aug. 1904 
3954 (H, 3970) 3573,0 3774,1 (Fe 3776) 
4121 (H, 4102) 3638,5 3790,3 
4195 (Band 4200 der 3743,8 3802,9 
Sterne v. Typus 0?) 3835,5 (Mg 3530-38) 3820,1 (He 3820) 
4344 (H, 4341) 3557,1 (Ca?) 3852,5 
4636 (Band 4633 der O- el (Ca*) 3890,6 (He 3889) 
Sterne?) 3968,7 3915,1 
4857 (H, 4861) 4042,5 (K 4044-47) 3938,5 
4134,4 3964,35 (He 3965) 
4227,2 3992,6 
4027,0 (He 4026) 
4066,5 


4120,3 (He 4121) 


Erst vor kurzem gelang auch noch A. Schwaßmann®®) die zufällige 
Aufnahme des Spektrums einer Sternschnuppe, die außer den Linien 
H und K des Ca* auch noch Fe-Linien bei den Wellenlängen 3648, 
3748, 3827—3880, 4052, 4140, 4262 und 4392 als breite Emissionen 
zeigte. Schwaßmann meint bei dieser Gelegenheit, daß auch die von 
Blajko am 11. Mai 1904 beobachteten Emissionen auf Fe und Ca 
zurückgeführt werden können. 

Es erscheint jedoch immerhin zweifelhaft, ob diese Identifika- 
tionen mit Linien des H, He, Ca, Mg, K und. Fe Berechtigung haben, 
wenn man bedenkt, daß die betreffenden Metalldämpfe während der 
langen, oft bis zu 30” und darüber gehenden Sichtbarkeitsdauer der 
Meteorschweife ohne jede weitere Energiezufuhr in ihrem Erregungs- 
zustand verharren müßten. Unter solchen Umständen gewinnt der 


864) Harvard Obs. Circ. 20 (1897); Astr. Nachr. 145 (1897), p. 78. 
865) Astroph. Journ. 26 (1907), p. 341. 
866) Hamburg Sternw. Mitt. 6 (1928), p. 29. 


690 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


schon von C. C. Trowbridge®®') geäußerte Gedanke Bedeutung, daß es 
sich im Nachleuchten der Meteorschweife vielleicht um eine Phos- 
phoreszenserscheinung handle, wie sie in ähnlicher Weise bei @eißler- 
röhren nach Abschalten des erregenden Stromes beobachtet werden kann. 
Nach Versuchen von P. T. Lewis®®), O. ©. Trowbridge®®), A. Fowler 
und R. J. Strutt®'®) über die Stickstoffphosphoreszenz, bei der ein dis- 
kontinuierliches Bandenspektrum beobachtet wird, sowie nach Unter- 
suchungen von H. Hertz®") über das Verhalten von Oxygen (konti- 
nuierliches Spektrum) und Wasserstoff (10 Linien im Grün, Blau und 
Violett) und von B. Davis®?) über das Nachleuchten von erregtem 
Helium (je eine Linie im Rot, Gelb und Grün und drei blaue Linien) 
erscheint es nicht unwahrscheinlich, daß die Meteorschweife durch das 
Nachleuchten des erregten Stickstoffs entstehen. Nach neueren Er- 
örterungen von O©. ©. Trowbridge?"?) ließen sich von den von Blajko 
beobachteten Emissionen folgende als Stickstoffphosphoreszenzen er- 
klären: 

1. Meteor: 3573 = N 3584,7 

2... 4..%3808== N 3789,83 

1 „4042 = N 4028,7 

2. 4066 —= N 4042,8. 


Allerdings ist die Übereinstimmung der Wellenlängenwerte auch bei 
dieser Identifikationsweise nicht gerade hervorragend gut, doch wäre 
eine Erklärung hierfür vielleicht darin zu erblicken, daß bei verschie- 
denem Druck, also in verschiedenen Höhen in der Atmosphäre ver- 
schiedene Phosphoreszenzbänder des N zur Erscheinung kommen. 
A. Wegener?) meint, daß die bei großen Meteoren beobachteten 
Farbenänderungen im Sinne Weiß—Grün—Rot auf das Vordringen 
in immer tiefere Atmosphärenschichten zurückgeführt werden könne, 
und daß die grüne Farbe vielleicht durch Erregung der grünen Linie 
4862 des Wasserstoffs, die rote Farbe dagegen durch Vordringen bis in 
die Stiekstoffatmosphäre entstehe. Für eine endgültige Beantwortung 


” 


867) The Observatory 31 (1908), p. 402; Popular Science Monthly (New- 
York) 79 (1911), p. 191. 

868) Astroph. Journ. 12 (1900), p. 8; 20 (1904), p. 49; Phys. Rev. 18 (1904), 
p. 124. 

869) Phys. Rev. 23 (1906), p. 279. 

870) London Roy. Soc. Proc. 85A (1911), p. 377. 

871) Wiedem. Ann. 19 (1883), p. 782; Verh. deutsch. Phys. Ges. 1883, p. 15; 
Nature 27 (1883), p. 403. 

872) Phys. Rev. 20 (1905), p. 150. 

873) Washington Nat. Akad. Proc. 10 (1924), p. 24. 

874) Sirius 48 (1915), p. 145. 


23. Das Zodiakallicht. 691 


der hier noch offenen Fragen ist das Beobachtungsmaterial wohl noch 
zu spärlich. 

23.DasZodiakallicht. Nach visuellen Beobachtungen von E.Liais®"**) 
und M. Respighi?"?), die ihre Untersuchungen in Rio de Janeiro bzw. 
am Schwarzen Meer anstellten, und von A. Hall®'®) ist das Spektrum 
des Zodiakallichtes offenbar kontinuierlich, doch war es wegen der 
geringen Helligkeit immer nur möglich gewesen, die das Energie- 
maximum im Grün umgebenden hellsten Partien’ zu erkennen. Auch 
©. Piagzi-Smith?”), dessen Wahrnehmungen auch von seinen Mit- 
arbeitern Tacchini, Cacciatore und Ricca bestätigt wurden, sah nur 
ein grünes Band bei 5000—5550 Ä.E. und die grüne Nordlichtlinie 
bei 5571, die vom erwähnten grünen Band des Zodiakallichtes. wie 
durch eine dunkle Absorption getrennt erschien. Diese grüne Nord- 
lichtlinie ist jedoch nach Feststellungen von ©. Piazzi-Smith*'?) selbst, 
dann von H.O. Vogel?) und von A. W. Wright?®°), welch letzterer 
übrigens im Spektrum des Zodiakallichtes auch das tellurische Regen- 
band des Sonnenspektrums bei 5670—6100 Ä.E. auffinden konnte, 
zumeist am ganzen Nachthimmel nachweisbar, also keineswegs für 
das Zodiakallicht typisch. Man schloß daher schon frühzeitig, daß das 
Zodiakallicht lediglich reflektiertes Sonnenlicht sei, und in Überein- 
stimmung damit fanden auch E. Liais®®!) und A. W. Wright?”), daß 
sein Licht zu etwa 15—20%, polarisiert sei. 

Nach vergeblichen Versuchen von Ü. Michie Smith®®?) gelangen 
endlich E. A. Fath®®*) im Verein mit J. ©. Duncan in den Jahren 1807 
und 1809 auf der Lieksternwarte und dem Solar Observatory auf dem 
Mt. Wilson drei photographische Aufnahmen des Zodiakallichtspek- 
trums mit einem speziell für diesen Zweck gebauten, besonders licht- 
starken Spektrographen und mit Expositionszeiten von 6" 1”, 11" 9» 
und 12% 31”, auf denen, wie ein Vergleich mit dem am gleichen 
Apparat erhaltenen Spektrum des diffusen Tageslichtes erwies, die 


874a) Paris ©. R. 74 (1872), p. 262. 

875) Paris ©. R. 74 (1872), p. 514. 

876) The Observatory 13 (1890), p. 77; Monthly Weather Review 34 (1906), 
p. 126. 

877) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 32 (1872), p. 277. 

878) Ebendort. 

879) Astr. Nachr. 79 (1872), p. 327. 

880) Am. Journ. of Science (3) 8 (1874), p. 39. 

881) a. a. 0. 

882) Am. Journ. of Science (3) 7 (1874),:p. 451. 

883) Edinburgh Roy. Soc. Proc. 17 (1883), p. 142. 

884) Lick Obs. Bull. Nr. 165 (1909). 


692 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Linien G sowie H und K des Sonnenspektrums als Absorptionsbänder 
auf kontinuierlichem Grund deutlich vorhanden waren. Damit war 
wieder bewiesen, daß das Zodiakallicht in reflektiertem Sonnenlicht 
leuchtet und gleichzeitig spektroskopisch die Richtigkeit der von an- 
derer Seite ausgesprochenen Ansicht dargetan, daß das Zodiakallicht 
aus Staubteilchen besteht, die einen die Sonne zentrisch umgebenden 
linsenförmigen Raum erfüllen. 


V. Das Fixsternsystem. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. Bereits J. Fraun- 
hofer?®®) war aufgefallen, daß es der Hauptsache nach dreierlei Arten 
typischer Spektren der Fixsterne gebe, nämlich Spektren der weißen 
Sterne, wie etwa Sirius, Spektren der gelben Sterne (Capella) und 
solche der roten Sterne (« Orionis), und zum gleichen Ergebnis ge- 
langte 4'/, Dezennien später auch A. Secchi??®), der bei dieser Ge- 
legenheit auch schon das Auftreten der D-Linie des Natriums in den 
Spektren der roten Sterne betonte. Auf Grund weiterer Beobachtungen 
unterschied dann A. Secchi?®') folgende drei Grundtypen: 

Typus I: weiße Sterne wie Sirius, in deren Spektrum die Linie 
F (H,) des Sonnenspektrums kräftig auftritt und auch noch eine 
Linie (H,) in der Nähe der G-Gruppe auffällig ist; 

Typus II: rote Sterne wie « Orionis mit Bandenbildungen, die 
nach Rot abschattiert sind, und 

Typus III: gelbe Sterne (Arkturus) mit zahlreichen kräftigen und 
scharfen Linien. Er erwähnte gleichzeitig, daß es aber insbesondere 
im Sternbitd des Orion gewisse weiße Sterne gebe, deren Spektrum 
sich unter diese drei Hauptgruppen nicht einordnen läßt und die da- 
her offenbar einen besonderen Typus für sich bilden. Unter Vertau- 
schung der Bezeichnungsweise für die gelben und roten Sterne schloß 
Secchi®°®) dann schließlich dem nunmehrigen Typus III der roten Sterne 
noch einen Typus IV an, der ebenfalls unter den roten Sternen vor- 
kommt und nach Violett abschattierte Bandenbildungen aufweist. Die 
bis zum Jahre 1898 bekannt gewordenen Sterne dieses Secchischen 
Typus IV hat später 7. E. Espin®®®) in einem kleinen Katalog zu- 
sammengestellt. 


885) Bair. Akad. Denkschr. 5 (1817). 

886) Paris (. R. 57 (1863), p. 71. 

887) Paris C. R. 63 (1866), p. 621. 

838) Paris C. R. 66 (1868), p. 124. 

889) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 53 (1898), p. 443. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 693 


Auch bei H.C. Vogel, der auf Grund seiner Beobachtungen zu 
Botheamp und Potsdam ebenfalls ein System von Spektraltypen auf- 
stellte, werden die weißen und gelben Sterne zu den Typen I und II 
gerechnet, wie bei Secchi, die Spektren der roten Sterne mit nach 
Rot verlaufenden Banden dagegen als Typus IlIa, und Spektren roter 
Sterne mit nach Violett abschattierten Bändern als Typus IIIb be- 
zeichnet. Diese in sich organische Typenfolge erfuhr aber bei Vogel ®) 
dann durch eine weitere Unterteilung eine Störung ihrer Kontinuität. 
Er gliederte nun zunächst den Typus I noch in die drei Untergruppen 
a, b und c, denen er der Reihe nach die reinen Wasserstoffsterne 
(Sirius), die schon von Secchi als separate Gruppe erkannten Orion- 
sterne oder Heliumsterne und die weißen Sterne mit hellen Linien 
(ß Lyrae und y Cassiopeiae, also Heliumsterne mit Emissionslinien) 
zuzählte, und zerfällte dann noch weiter den Typus Ia nach dem Ver- 
halten der Wasserstofflinien in die Teilgruppen Ia,, Ia, und Ia,, die 
langsam zu den gelben Sternen hinüberführten, und den Typus Ie in 
Ic, und Ic,, je nachdem nur die H-Linien oder auch Linien des He 
und anderer Elemente als Emissionen auftreten.®°') Auch der Typus II 
hatte eine Zerlegung in Ila (Sonnensterne mit einem dem Sonnen- 
spektrum ähnlichen Spektrum mit zahlreichen Absorptionslinien) und 
IIb erfahren, von denen die letztere Gruppe wieder die schon lange 
vorher von Ch. Wolf und @. Rayet°”) neuentdeckten Wolf- Rayet- 
Sterne enthielt.®°) E. ©. Pickering®”*) hatte diese Wolf- Rayet- Sterne 
der Secchischen Typenreihe einfach als Typus V angeschlossen. Eine 
Typeneinteilung, die der Secchischen sehr ähnlich ist, hat außerdem 
noch W. Huggins®”) auf Grund eigener Beobachtungen aus dem Ver- 
halten der Cat-Linien HZ und K aufgebaut und schließlich noch durch 
Heranziehung des ultravioletten Teils des Spektrums vervollständigt.°°) 

Unter dem Titel „The Draper catalogue“ erschien im Jahre 1890 
zu Cambridge (U. S. A.) nun ein Katalog von Sternspektren®®”), in 
dem ca. 10500 Sterne zumeist des nördlichen Himmels klassifiziert 


890) Astr. Nachr. 84 (1874), p. 113; Potsdam Astrophys. Obs. Publ. 3 (1883), 
p. 127. 

891) Potsdam Astrophys. Obs. Publ. 12 (1902), p. 1. 

892) Paris ©. R. 65 (1867), p. 292. 

893) Die ersten drei von Wolf und Rayet entdeckten Vertreter dieses Typus 
waren die Sterne BD + 35° 4001, + 35° 4013 und -+- 36° 3956. 

894) Astr. Nachr. 127 (1891), p. 1. 

895) London Roy. Soc. Proc. 30 (1879), p. 20. 

896) Publ. of Sir Will. Huggins Observ. 1. An Atlas of representative stellar 
spectra from A4870—4 3300... London 1899, W. Wesley and Son. 

897) Harvard Coll. Obs. Annals 27 (1890). 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 45 


694 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


sind, und zwar nach einem ganz neuen System, bei dem zur Bezeich- 
nung der aufeinanderfolgenden Typen die Buchstaben von A bis O 
verwendet werden. Während nun bald danach Miß A. ©. Maury®®) bei 
der Bearbeitung weiterer Spektralaufnahmen der Harvard-Sternwarte 
neuerlich eine andere Klassifikationsart benutzte, bei der 22 durch 
römische Ziffern bezeichnete Typengruppen noch durchwegs in die 
Untergruppen a (alle Linien der Metalle in normaler Schärfe, Linien 
des H und Ca verhältnismäßig breit), b (alle Linien verwaschen und 
wenig kräftig) und e (Linien des H und, wenn vorhanden, auch des 
He besonders scharf, schmal und kräftig) geteilt und sogar auch noch 
die Kombinationen ab, ac, .... eingeführt waren, blieb Miß A. J. Can- 
non®”) bei einer Bearbeitung von 1122 Sternspektren im großen und 
ganzen bei der früheren Bezeichnungsweise des Draperkatalogs. Der 
rohe Zusammenhang zwischen der Secchischen Typenreihe und dem 
Cannonschen System ist der folgende: 


Secchi I: Cannon A (Wasserstoffsterne) und B (Heliumsterne) 
„ I-IH: Aa 2 
a - „...@ (Sonnentypus) 
ERNEST Eh PEN 2 
ne DIE „ M (Spektren mit den Banden des TiO,) 
RE 3. 6 „N (Spektren mit den Banden des C) 
INT $ „0 (Wolf-Rayet-Sterne). 


Für Übergangstypen zwischen A, B, F, G, K wurde noch die Dezimal- 
teilung verwendet, so daß z.B. F5 oder F5@G ein Mittelspektrum 
zwischen F' und @’oder FO und @0 bezeichnete, die O-Sterne ent- 
hielten noch die Untergruppen a, b, c, d, e, ed und die roten M- und 
N-Sterne waren ebenso noch in die Abteilungen a—d bzw. a—c ge- 
gliedert. 

Später fügten ©. E. Pickering’”) der Cannonschen Typenreihe noch 
einen Typus R oder Secchi VI und P. W. Merrill?!) einen weiteren 
Typus S hinzu. Diese von A. J. Cannon sowie von E. C©. Pickering’®®?) 
in mehreren kleinen Katalogen der Spektren von einfachen und Doppel- 
sternen beibehaltene Klassifikationsart ist nun allgemein gebräuch- 
lich geworden und wird im neuen Draperkatalog®®), in dem bereits 


898) Ebendort 28 (1897), p. 1. 

899) Ebendort 28 (1901), p. 129. 

900) Harvard Coll. Obs. Cire. 145 (1908). 

901) Publ. Astr. Soc. Pac. 28 (1916), p. 281. 

902) Harvard Coll. Obs. Annals 56, part 4 (1908), part 5 (1911), part 7 (1912); 
Harvard Coll. Obs. Circ. 180 (1913). 

903) Harvard Coll. Obs. Ann. 91—99 (1918—1924). 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 695 


225300 Sternspektren behandelt sind, sowie in der „Henry Draper 
Extension“), die der Klassifikation der Spektren schwächerer Sterne 
in verschiedenen Gegenden des Himmels gewidmet ist, strikte durch- 
geführt. Eine geringe Abänderung der Cannon-Pickeringschen Be- 
zeichnungsweise wurde schließlich noch auf der Versammlung der 
internationalen astronomischen Union zu Rom°’®) im Jahre 1922 be- 
schlossen. Danach hat künftighin der Typus Md (rote Sterne mit 
hellen Linien) in Wegfall zu kommen und die Unterabteilungen Ma, 
Mb, Mc, Na und Nb sollen als MO, M3, M8, NO, N3 bezeichnet 
werden, während die Einreihung der tiefroten Nc-Sterne in die De- 
zimalteilung mangels genauerer Kenntnis der Spektren vorläufig noch 
nicht möglich erscheint. 

Schreibt man die Cannon- Pickeringschen Spektralklassen in der 
Reihenfolge 0, B, A, F,@, K, so bildet diese Reihe nach dem Auf- 
treten und Verschwinden der Linien neutraler und ionisierter Atome 
im Sinne der Ionisationstheorie einen stetigen Übergang von den 
heißesten O-Sternen zu immer wenigen heißen Sternen (siehe unter 
Nr. 26, Die effektiven Temperaturen der Fixsterne) oder von den 
weißen Sternen (O0, B, A) über die gelblichweißen F- und die gelben 
@-Sterne hinweg zu den rötlichgelben K-Sternen. Während demnach 
die Typenreihe bis X eindeutig zu sein scheint, tritt nun ab X eine 
Spaltung in drei koordinierte, die Reihe fortsetzende Äste ein, deren 
einer von K nach dem Typus M weiterführt, während der zweite 
von K über R nach N und der dritte von K nach $ weist. Auf 
allen drei Zweigen erfolgt aber das Weiterschreiten wieder im Sinne 
abnehmender Temperatur und zunehmender Röte. Nach P. W. Mer- 
rills®®) Untersuchungen soll der Ast nach R und N sogar schon bei 
G abzweigen, so daß das Schema bestünde: 

R—N 
B—A—F—G—K—M 
DS 

Was die speziellen Merkmale der einzelnen Grundtypen und Unter- 
abteilungen betrifft, so sei den bezüglichen Angaben von A. J. Cannon 
und E. 0. Pickering®) sowie anderweitigen Untersuchungen folgendes 
entnommen: 


904) Harvard Coll. Obs. Ann. 100, Nr. 1 (1925), Nr. 2 (1927), Nr. 3 (1927); 
Harvard Coll. Obs. Circ. 278 (1928). 
905) Transactions intern. astron. Union 1 (1922), London; Astroph..Journ. 57 
(1923), p. 65. 
906) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 473. 
907) Harvard Coll. Obs. Ann. 28 (1901), p. 129; 91 (1918), p. 5. 
45* 


696 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Typus O (Wolf-Rayet-Sterne), Sternfarbe weiß. Typisch für diese 
Sterne ist das Auftreten breiter heller Bänder bei den Wellenlängen 
4633 und 4688 Ä.E., von denen das erste unbekannten Ursprungs ist, 
während das zweite ab der Linie A 4686 der Bergmannserie 3D—4F 
des He* identisch ist. Außerdem tritt auch noch die sogenannte 
& Puppis-Serie des He* 4F — m@G auf, und zwar als Emission in 
Da— Oc, als Absorption in Od und 0e. 

Oa zeigt helle Linien und Bänder auf schwach kontinuierlichem 
Grund, und zwar insbesondere die beiden typischen Bänder 4633 und 
4688. H, und H, sind hell, ebenso die nur schwach sichtbare & Puppis- 
Serie und die Linie 4472 des neutralen Orthoheliums. In den Spektren 
der drei O-Sterne BD + 36° 4028, + 35° 4013 und + 36° 3956 
hat Miß ©. H. Payne?) auch noch die im gelben Teil liegenden Linien 
5694 und 5812 des C** als Emissionslinien aufgefunden. Auch Absorp- 
tionslinien, allerdings hochionisierter Atome, sind nach C©. H. Payne’) 
schon im Oa-Sternen oft schwach sichtbar, und zwar die Linien 4634, 
4640 des Nt+, 4650 des C++ und 6578, 6583 und 4267 des Ct. 
Payne konnte diese Linien übrigens auch in den weiteren Untertypen 
Oc, Od, Oe5 nachweisen. Ein eigentümliches Verhalten zeigt der 
Stern y Argus, dessen Spektrum daher als Oap (p = peculiar) be- 
zeichnet wird. Nach ©. D. Perrine”'®) sind nämlich seine Emissions- 
bänder an der violetten Seite zeitweise von Absorptionslinien begleitet 
und außerdem °'*) schwankt die Intensität von H,. 

Ob. Nur helle Bänder und helle Linien, von den letzteren ins- 
besondere die Linien des H und der & Puppis-Serie, die als schmale 
Emissionsbänder sichtbar sind. Das Band bei 4688 ist etwas breiter . 
als das Band 4633 und durch eine noch hellere Emissionslinie so in 
zwei Teile gespalten, daß der eine Teil genau mit Het 4686 zu- 
sammenfällt. Die sonstigen bei Oa noch sichtbaren He-Linien treten 
im allgemeinen nicht auf, doch hat ©. H. Payne”'?) die He+-Linie 5411 
in den Spektren der beiden Sterne BD + 35° 4001 und + 37° 3821 
vorgefunden. Im Spektrum des zweiten dieser beiden Sterne bemerkte 
M. Wolf?'?) eine Absorption bei 3868, also fast an der Stelle der 
Nebellinie 3869. ©. H. Payne?) meint jedoch später wieder, daß in 


908) Harvard Coll. Obs. Bull. 836 (1926). 
909) Harvard Coll. Obs. Circ. 263 (1924). 
910) Astroph. Journ. 52 (1920), p. 39. 
911) Pop. Astr. 27 (1919), p. 30. 

912) Harvard Coll. Obs. Bull. 836 (1926). 
913) Heidelberg Akad. Sitz. 1913, Nr. 22. 
914) Harvard Coll. Obs. Circ. 263 (1924). 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 697 


den Spektren der Sterne vom Typus Ob Absorptionslinien überhaupt 
nicht vorkommen. 

Oc. Der Hauptsache nach bestehen die Spektren wieder nur aus 
hellen Linien und Bändern auf. kontinuierlichem Grund. Besonders 
auffällig, aber schmäler als in Ob sind 4633 und 4688. He 4472 ist 
hell, aber ziemlich schwach, und auch die Linien der & Puppis- Serie 
und des H sind noch als Emissionen vorhanden. Im Spektrum des 
Sterns BD + 30° 3639 (Typus Ocp) sollen nach P. W. Merrill®'?) 
die von W. H. Wright”) im Spektrum des planetarischen Nebels 
N.G.C. 7027 beobachteten Linien 6548,5 und 6583,4 als Emissions- 
linien vorkommen. Weiter beobachtete J. ©. Duncan”'”) im Spektrum 
desselben Stern eine weitere Linie bei 4068,35. Ob diese Linie aber 
gerade mit einer Linie im Viellinienspektrum des Wasserstoffmoleküls 
identifiziert werden soll, wie M. B. Snyder”"?) glaubt, ist natürlich 
aus plausiblen Gründen mehr als fraglich. Gelegentlich kommen auch 
Absorptionslinien hochionisierter Atome vor, z. B. die zwischen 4633 
und 4650 und die bei 4515 liegenden Linien von N++* und C++ nach 
nach ©. H. Payne”'”) im Spektrum des Sterns C.P.D. — 64° 1629, bei 
dem übrigens auch die Emissionen des He und He* an der violetten 
Seite von schwachen Absorptionen begleitet sind. 

Od. Nur die beiden Bänder bei 4633 und 4688 sind noch hell, 
die Linien der & Puppis-Serie und des H sowie die Linie 4472 des 
He dagegen dunkel. Auch die Cat-Linie X ist als Absorptionslinie 
vorhanden, und meistens sind auch noch in der Gegend von 5202 
schwache, unbekannte dunkle Linien zu sehen. O. Struve”?®) bemerkte 
in den Spektren der Sterne der Typen Od und Oe an der violetten 
Seite der He-Linie 4472 bei 4470 noch eine schwache Absorptions- 
linie, die seiner Meinung nach mit Rücksicht auf das Kossel- Soemmer- 
feldsche Verschiebungsgesetz vielleicht eine Linie des dem neutralen 
He ähnlichen Li* sein könnte. 

Oe. Die beiden Bänder 4633 und 4688 sind noch hell, die Zahl 
der Absorptionslinien gegenüber Od größer. Neben der Balmer- und 
& Puppis-Serie treten bereits zahlreiche Linien des neutralen He auf 
und, wie H. H. Plaskett®”') im Spektrum des Sterns BD + 35° 3930 


915) Lick Obs. Bull. 230 (1913). 

916) Ebendort 7 (1910), p. 61. 

917) Ebendort 182 (1910). 

918) Pop. Astr. 19 (1911), p. 233. 

919) Harvard Coll. Obs. Bull. 834 (1926). 

920) Astroph. Journ. 62 (1925), p. 198. 

- 921) Dominion Obs. Publ. 1 (1922), Nr. 30, p. 354. 


698 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


fand, auch noch Linien bei 4097, 4634, 4640 und 4858, die nach 
A. Fowler?) dem N*+ zuzuschreiben sind. 

Oe5 (Oe5 B).*) Die Bänder 4633 und 4688 fehlen und alle 
Linien, von denen insbesondere die Linien des H von H,—H,, der 
& Puppis-Serie und des He auffallen, sind dunkel, meistens sind auch 
noch 4481 (Mg*) und D, und D, des Na vorhanden. In den Spek- 
tren der beiden Oe5-Sterne 10 Lasertae und 9 Sagittae konnte H. H. 
Plaskett?**) noch folgende Absorptionslinien hochionisierter Elemente 
vorfinden: 

Ntt: 4097, 4103, 4379, 4511, 4515, 4524, 4535, 4634, 4641. Die 
Identifikation dieser Linien als N*+-Linien rührt von A. Fowler?®) her. 

Ott: 3962, 5592 (nach Identifikationen von A. Fowler und J). ‚Brooks- 
bank°?®°)). 

O+: 4070, 4072, 4076, 4119, 4190, 4320, 4349, 4367, 4642, 4649. 

C+tt: 4648, 4650, 4652. 

C+: 4267. Die Linien von C* und C++ erhielt J. S. Olark°?”) bei 
starken Entladungen zwischen Kohle- oder Graphitelektronen in mit 
Wasserstoff gefüllten Röhren. R. 7. Merton”®®) erhielt bei ähnlichen 
Versuchen auch Banden, die den Wolf- Rayet- Banden ähnlich waren. 
Die Linien des 

Sitt: 4552, 4568 und des 

Sit+t: 4089, 4116 waren ebenfalls vorhanden. Ihre Einteilung 
in Linien des Sit* und Sitt+ rührt von J. N. Lockyer und F\. E. Ba- 
zandall 2 her.?2°) 21) 





922) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 80 (1920), p. 692. 

923) Statt der Bezeichnungsweise Od, Oe, Oe5 hat H. H. Plaskett [Dominion 
Obs. Publ. 2 (1924), p. 287] eine andere auf der Stärke der Absorptionslinien 
aufgebaute Klassifikation Oe, 05, 06—09 vorgeschlagen, die aber, wie Miß 
©. H. Payne [Harvard Coll. Obs. Circ. 263 (1924)] meint, nicht so organisch ver- 
läuft, wie die sonst übliche und hier auch beibehaltene. 

924) Dominion Obs. Publ. 1 (1922), Nr. 30, p. 351. 

925) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 80 (1920), p. 692. 

926) Ebendort 77 (1917), p. 511. 

927) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 332. 

928) London Roy. Soc. Proc. 91 A (1916), p. 498. 

929) Comparison of the Spektra of Rigelian, Crucian and alnitamian Stars, 
Solar Physics Comittee 1 (1914). 

930) Vgl. auch J. Lunt, Cape Obs. Ann. 10 (1906), p. 5. 

931) J. N. Lockyer hatte übrigens schon längere Zeit vorher die Linien des 
Si in Bogenlinien und Funkenlinien und die letzteren in die Dublets 3856, 3863 
und 4128, 4131, das Triplet 4552, 4568, 4575 und das Dublet 4089, 4116 ein- 
geteilt und damit die Sonderung in Linien des neutralen Atoms, des Sit, Si** und 
Sit** durchgeführt [London Roy. Soc. Proc 65 (1900), p. 449]. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 699 


Eine weitere im Spektrum der Oe5-Sterne gefundene Linie bei 
4253,6 könnte nach J. N. Lockyer und F. E. Baxandall’?”) vielleicht 
dem ionisierten Schwefel S* angehören, doch ist diese Identifikation 
wohl ebenso unsicher, wie bei der von J. N. Lockyer””®) in einigen 
B-Sternen gefundenen und ebenfalls dem Schwefel zugeschriebenen 
Linien bei 4285. Ein Verzeichnis sonstiger bei den O-Sternen gefun- 
dener Absorptionslinien ist von F. E. Baxandall?*) gegeben worden. 
Es sei schließlich noch bemerkt, daß das Vorkommen von Linien des 
O und N in Sternspektren bereits von F. Me Olean’”®), D. Gill*°) und 
W. Huggins”") festgestellt worden ist. 


Typus B (Helium- oder Orionsterne), Sternfarbe weiß. Charakte- 
ristisch für diesen Typus sind die Linien des Parheliums und Ortho- 
heliums, die beim Fortschreiten durch die Untergruppen zunächst 
kräftiger und schließlich so stark wie die Wasserstofflinien werden, 
um dann mit Annäherung an den nächsten Typus A wieder schwä- 
cher zu werden. In gleicher Weise werden die Linien hochionisierter 
Atome nach und nach schwächer, während gleichzeitig die Linien 
niedrigerer lonisationsgrade auftreten und an Kraft gewinnen. 

BO. Die Linien des Wasserstoffs sind ziemlich kräftig und haben 
etwa 0,3 der Breite erreicht, die sie später in den A-Sternen auf- 
weisen. Die & Puppis-Serie ist noch erkennbar, die Linien des neu- 
tralen He sind kräftig und außer den Linien des Sit* und Sit++ be- 
ginnen auch die Linien 4128, 4131 des Si* sichtbar zu werden. Außer 
den schon bei den Oeö-Sternen erwähnten Siliziumlinien fand.J. Zunt®®®) 
bei zwei Sternen noch die Linie 4575 des Sit*, und im Spektrum von 
o Leonis kommen nach W. ©. Rufus, R. A. Sawyer und R. F. Paton®°®) 
auch noch weiter vor die Linien 4813, 4820, 4829 des Sit++. Meistens 
sind auch das schon von J. Lunt”P) in den B-Sternen festgestellte 
O+-Triplet 4070, 4072, 4076 sowie die Einfachlinie 4649 des O+ 
ziemlich kräftig. Im Spektrum von & Orionis sind von J. N. Lockyer, 
F. E. Baxandall und C©. P. Butler”') noch die Linien 4097 und 4380 
des N++ und die Linien 4648 und 4650 des C++ gefunden worden. 
982) a. a. 0. Siehe auch bei C. H. Payne, Harvard Coll. Obs. Circ. 256 (1924). 

933) London Roy. Soc. Proc. 80 A (1907), p. 50. 

934) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 166. 

935) London Roy. Soc. Proc. 42 (1886), p. 418. 

936) Ebendort 65 (1899), p. 196; Astroph. Journ. 10 (1899), p. 272. 

937) Astr. Nachr. 149 (1899), p. 231; 150 (1899), p. 110. 

938) Astroph. Journ. 11 (1900), p. 262. 

: 939) Publ. Obs. Univ. of Michigan 3 (1923), p. 261. 


940) Cape Obs. Ann. 10 (1906), 5B. 
941) London Roy. Soc. Proc. 82 A (1909), p. 532. 


700 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


B1. Die & Puppis-Serie ist nicht mehr vorhanden, dagegen werden 
die He-Linien kräftiger und die Balmerserie reicht weit ins Ultra- 
violett bis etwa H,. Die Sit*+-Linien haben an Kraft verloren, doch 
konnte A. Fowler”®) im Spektrum von ß Crucis (B1) noch weitere 
Sit*t+-Linien bei 4814, 4820, 4829 und 5740 auffinden, und F. Heu- 
roteau®*?) bemerkte auch noch andere Linienpaare desselben. Im Spek- 
traum von ß Crucis ist nach D. Gill?) auch die C+-Linie 4267 vor- 
handen. Nach Miß C©. H. Payne”) erreichen die Linien des O+ und 
Sit* zwischen den Typen B1 und B2 ihre maximale Intensität. 


B2. Die He-Linien sind sehr kräftig. Die Linie 4116 des Sit++ 
fehlt bereits, die Linien 4089 des Sit*+ und 4649 des O+ sind zwar 
noch vorhanden, aber schon sehr schwach und nur etwa halb so stark: 
wie bei B1. 


B3. Die He-Linien haben ihre maximale Intensität erreicht, die- 
bis etwa AH; reichende Balmerserie ist etwa halb so kräftig wie bei 
den A-Sternen. 4471 (Mg*) ist kräftig. Während die Linien 4089 
(Sitt*) und 4649 (O+) und nach (©. H. Payne”*°) auch die Linien des. 
Sit+ verschwinden, haben die Linien 4128, 4131 des Si* an Kraft. 
zugenommen. 


B5. Die Heliumlinien nehmen an Kraft ab, die Wasserstofflinien: 
haben etwa 0,6 der Breite im Typus A. 


B8. Die H-Linien sind fast so breit (0,8) wie bei den A-Sternen, 
von den He-Linien nur noch 4026 und 4472 (1P—mD) deutlich. 
Die beiden Sit-Linien 4128 und 4131 sind kräftig und auch Metall- 
linien, wie Fe 4174, 4179, 4234 und 4384, die bei den A-Sternen 


vorkommen, werden sichtbar. 


B9. Der Typus gleicht völlig dem nächsten Typus A, nur die- 
beiden Heliumlinien 4026 und 4472 sind noch vorhanden. 


Typus A (Wasserstoffsterne), Sternfarbe weiß. Typisch für diese 
Sterne ist die Kraft der Balmerserie, deren Linien hier ihr Maximum 
an Intensität erreichen und durchweg breit und verwaschen erscheinen. 
Kräftig sind auch 7 und K des Ca+* und 4481 (Mg*) und die Funken- 
linien (enhanced lines) der Metalle treten auf, insbesondere 4174 Fet, 
dann 4385 (Cr) und 4227 (Ca). Im visuellen Teil des Spektrums, der 


942) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 76 (1916), p. 196. 
943) The Observatory 39 (1916), p. 510. 

944) Astroph. Journ. 10 (1899), p. 272. 

945) Harvard Coll. Obs. Circ. 252 (1924). 

946) Stellar Atmospheres, p. 69. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 101 


bei einigen A-Sternen von E. P. Watermann®*‘) und W. H. Wright”®) 
untersucht worden ist, sind die Linien durchweg weniger deutlich 
als im brechbareren Teil. Im Infrarot fand P. W. Merrill’*?) auch das 
im Sonnenspektrum nachgewiesene Sauerstofftriplet 7772, 7774, T776 
auf. Typisch für den ultravioletten Teil der Spektren der A-Sterne 
ist das Auftreten des kontinuierlichen Wasserstoffspektrums an der 
Seriengrenze des H, dessen Anwesenheit übrigens nach Ch’ing Sung 
Yü®°) auch schon bei den B-Sternen merkbar sein soll, und das zu- 
erst von W. Huggins”!) bei Wega und einigen anderen A-Sternen 
beobachtet und später von J. Hartmann””?) und W. H. Wright?) ge- 
nauer beschrieben worden ist. Die kontinuierliche Absorption beginnt 
aber nicht an der Seriengrenze selbst, sondern schon etwas früher, 
etwa bei der letzten sichtbaren Balmerlinie, wie Ch’ing Sung Yü’*) 
feststellen konnte. Da die Zahl der sichtbaren Balmerlinien nach 
©. H. Payne und M. Howe”) bei Sternen von größerer Leuchtkraft, 
also geringerer Dichte, wegen der,jgrößeren Atomabstände größer ist 
als bei dichteren Sternen, spielen al$%gläe Atomabstände auch bei der 
Verschiebung des Anfangs des kontinui@@&&ghen Spektrums an der 
Seriengrenze eine Rolle Man wird sich somit Wsstellen müssen, daß 
die Serie praktisch mit der letzten bei den gegeben&p,Atomabständen 
noch möglichen Quantenbahn endigt und daß dann Loslöftgg, aus dem 
Verband des eigenen Atoms durch Übergang in den eines Ohderen 
unter Aufnahme oder Emission nicht gequantelter Energie stattfindet. 


AO. Die Linien H und K des Ca*+ haben etwa '/,, der Breite von 
H,, so daß H und He noch getrennt erscheinen. Nach (©. H. Payne®®) 
erreichen die beiden Sit-Linien 4128 und 4131 bei diesem Typus ihre 
maximale Intensität. W. $. Adams und A. H. Joy”) fanden im Spek- 
trum des Sirius das Zinktriplet 4680, 4722 und 4810. Die nächsten 
Untertypen bis zum Typus F' unterscheiden sich von AO hauptsäch- 
lich durch die zunehmende Kraft der Linien 7 und K und durch das 
Hinzutreten neuer und immer kräftigerer Metallinien. 


947) Lick Obs. Bull. 243 (1913). 

948) Lick Obs. Bull. 333 (1921). 

949) Publ. Astr. Soc. Pac. 37 (1925), p. 272. 
950) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 112. 
951) Atlas of representative stellar spectra, p. 85 
952) Phys. Ztschr. 18 (1917), p. 429. 

953) Lick Obs. Bull. 10 (1921), p. 101. 

954) Lick Obs. Bull. Nr. 375 (1926). 

955) Harvard Coll. Obs. Circ. 287 (1925). 
956) Harvard Coll. Obs. Circ. 252 (1924). 
957) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 177, 


702 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


A2. K hat etwa 0,4 der Intensität von H,, auch H ist kräftiger, 
so daß sie mit Z, verschmilzt. 4227 (Ca) ist in A2 etwa dopelt so 
kräftig wie in AO. Mg* 4481 erreicht nach (©. H. Payne”) das Maxi- 
mum der Intensität. 

A3. Nach D. H. Menzel””) befinden sich die Linien der Balmer- 
serie im Intensitätsmaximum. Die Linien 4227 (Ca), 4234 Fe und 
4481 Mg* sind nahezu gleich kräftig. 


A5. Die Breite der Wasserstofflinien ist auf etwa 0,7 der Breite 
bei AO zurückgegangen. Mg* 4481 ist schwach, dagegen sind die 
Linien 4299 und 4303 der Ca kräftig. Das @-Band wird zuerst sicht- 
bar, es ist aber nicht kontinuierlich, obwohl die Linien 4306, 4308 
und 4309 desselben bei schwächerer Dispersion nicht getrennt werden 
können. 


Typus F. Sternfarbe gelblichweiß. Der Typus ist ein Mitteltypus 
zwischen den Wasserstofisternen A und den Sternen vom Sonnen- 
typus @. Nach P. W. Merrili?®) soll H, gelegentlich als helle Linie 
auftreten. 

FO. Die Wasserstofflinien sind nur noch halb so breit wie bei 
AO, K ist so breit wie H und H, zusammengenommen. Das G@-Band 
ist noch nicht kontinuierlich, da die Linien 4306 (Ti), 4308 (Ca, Fe), 
4309 (Fe) und 4313 (Ti) mit stärkerer Dispersion noch getrennt werden 
können. 

F2. 4308 und 4309 sind kräftiger und breiter, so daß das G- 
Band fast kontinuierlich erscheint. 


F5. Die Wasserstofflinien sind nur noch etwa 2—3mal so stark 
wie im folgenden Typus @. 4227 (Ca) ist fast so kräftig wie das G- 
Band, das nun in Einprismenapparaton völlig kontinuierlich erscheint. 
Die Spektren zeigen zahlreiche Metallinien. 


F'8. Mit Ausnahme der noch etwas kräftigeren Wasserstofflinien 
gleicht das Spektrum völlig dem G@-Typus. 


Typus G@ (Sonnentypus), Sternfarbe gelb. Das Spektrum ist das 
typische Sonnenspektrum, die Balmerlinien sind unauffällig geworden, 
@G, H und K dagegen von außerordentlicher Breite und Kraft, so daß 
K nun etwa doppelt so breit erscheint wie H, in den Spektren vom 
Typus A0. Nach F. E. Baxandall?%) werden nun die Linien der Tem- 


958) Stellar Atmospheres, p. 72. 

959) Harvard Coll. Obs. Cire. 258 (1924). 

960) Publ. Astr. Soc. Pace. 35 (1923), p. 263. 

961) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 86 (1926), p. 524. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 1703 


peraturklassen I, II, III (niedere Temperatur) von A. $. King’®?) auf 
dem Wege von @ zum nächsten Typus X kräftiger, die Linien höherer 
Temperatur (Klassen IV und V) dagegen schwächer. Ebenso scheinen 
im @-Band bereits Linien des H + C aufzutreten, die von @ ab 
immer kräftiger werden. 


@0. Die Balmerlinien haben etwa !/, ihrer Breite im Typus AO 
und das @-Band ist nur bei starker Dispersion auflösbar. Die Linien 
H und K zeigen sich manchmal umgekehrt, wie beispielweise ZH. Des- 
landres und V. Burson*®®) bei « Aurigae konstatierten. 


@5. Wasserstofflinien noch schwächer. Im Violett zeigt sich ein 
Helligkeitsabfall, und möglicherweise sind die Partien 4470—4525, 
4614—4648 und vielleicht auch 4070—H, etwas heller als der an- 
grenzende kontinuierliche Grund. 


Typus K. Sternfarbe rötlichgelb. Z und K sind nach @. Eberhard 
und K. Schwarzschild?**) sowie H. Deslandres und V. Burson”°®) mei- 
stens umgekehrt. Sie sind drei- bis viermal so kräftig wie die Balmer- 
linien in AO und stehen, wie H. D. Menzel?‘®) feststellte, im Maximum 
der Intensität. 


K0. Die Breite der Balmerlinien beträgt etwa 0,08 ihrer Breite 
bei AO. Der Helligkeitsabfall bei den kürzeren Wellenlängen setzt 
bereits beim @-Band ein, daß noch kontinuierlich ist. Die Spektral- 
gebiete 4470— 4525, 4614—4648 sind nun deutlich heller als der 
kontinuierliche Grund, und ähnliches gilt von den Stellen 4078—H, 
und 4216—4227. 


K2. Der Helligkeitsabfall im Blau und Violett ist noch deut- 
licher. Von den TiO,-Banden, deren Kanten bei 4762 und 4954 liegen, 
ist noch nichts zu bemerken. Das G@-Band ist noch kontinuierlich. 


K5. Die TiO,-Banden bei 4762, 4954 und 5168 sind bemerk- 
bar. Die Intensität der Balmerlinien ist auf 0,05 der Stärke bei AO 
gesunken; am auffälligsten sind ZH und K (Ca*) und 4227 (Ca), welch 
letztere mehr als halb (0,6) so breit ist, als 7, im Typus AO. Das 


962) King hat die Linien verschiedener Elemente nach ihrem ersten Auf- 
treten bei verschiedenen Temperaturen im elektrischen Ofen in die Temperatur- 
klassen I—-V im Sinne wachsender Erregung geordnet. Siehe hierzu die Tabellen 
im Astroph. Journ. 37 (1913), p. 119, 239; 39 (1914), p. 139; 41 (1915), p. 86; 
42 (1915), p. 344; 48 (1918), p. 13. 

963) Paris C. R. 172 (1921), p. 405. 

964) Preuß. Akad. Sitz. 1913, p. 308; Astroph. Journ. 38 (1913), p. 292. 

965) Paris C. R. 172 (1921), p. 405. 

966) Harvard Coll. Obs. Circ. 258 (1924). 


704 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


@G-Band ist nicht mehr kontinuierlich, sondern in die Einzelbänder 
4299—4301, 4306— 4309, 4314—4315 aufgelöst. Helle Bänder liegen 
bei 4470—4525, 4614—4648 und 4556—4586. 


Typus M. Sternfarbe rot. Das Charakteristische dieses Typus sind 
die Banden des Titanoxyds, von denen H. F. Newall und B. Cookson ®”) 
auch die im äußersten Rot bei 7053, 7087 und 7124 gelegenen vor 
finden konnten. Doppelte Umkehr der H- und X-Linien wurde bei 
« Orionis von H. Deslandres und V. Burson”®) festgestellt. Eine Be- 
merkung von F. E. Baxandall?®), daß bei Sternen dieses Typus vor- 
nehmlich die Bogenlinien eine Verstärkung gegenüber den Typen K 
und @ zeigen, wurde von P. W. Merrill?) an Linien des Mg (4571), 
Sr, V, Cr, Mn, Fe bestätigt. 

MO. Die TiO,-Banden sind kräftig und an den Kanten schein- 
bar aufgehellt, @ ist aufgelöst und das helle Band bei 4556—4586 
auffälliger als bei X5 und fast so intensiv wie das Band 4470—4525. 
Auch der Teil des Spektrums bei 4657—4668 erscheint aufgehellt. 

M3. Noch ein weiteres nach Rot abschattiertes Band mit der 
Kante bei 5445 ist vorhanden, und 4227 (Ca) ist so intensiv wie HM, 
in den A0-Spektren. i 

M8. Das kontinuierliche Spektrum ist so schwach, daß die an 
den Kanten von Emissionen begleiteten Absorptionsbanden den Ein- 
druck eines reinen Bandenspektrums hervorrufen. Was schließlich 
noch den Typus 

Md betrifft, der von Miß W. P. Fleming”') noch in zehn Unter- 
gruppen Md1—Mdi10 geteilt worden ist, so umfaßte derselbe alle 
langperiodischen Veränderlichen vom Typus M, bei denen mindestens 
eine Wasserstofflinie hell erscheint. Auch Linien anderer Elemente 
können als Emissionen auftreten, wie z. B. Eisenlinien nach W. 8. 
Adams und A. H. Joy”), und, wie P. W. Merrill?"?) meint, vielleicht 
auch die Nebellinie bei 4658. 


Typus R: Sternfarbe gelb. Der Typus ist charakterisiert durch 
das Auftreten der nach Violett abschattierten Kohlebanden, insbeson- 
dere durch das sich von 4640—4750 erstreckende Swanband C IV. 


967) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 67 (1907), p. 482. 
968) Paris ©. R. 172 (1921), p. 729. 

969) Solar Physics Com. Publ. London 1914. 

970) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 13. 

971) Harvard Obs. Coll. Ann. 56 (1912), p. 197. 

972) Publ. Astr. Soc. Pac. 33 (1921), p. 263; 34 (1922), p. 175. 
973) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 134. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 705 


Ordnet man die Spektren nach der Intensität der C-Linien bzw. C- 
Bänder, so zeigt sich nach Untersuchungen von W. C. Rufus”*) ein 
stetiges Anwachsen von den @-Sternen über den Typus R hinweg zum 
Typus N. Mit den R-Sternen beginnt also ein Separatzweig der 
Typenreihe, der bei den @-Sternen beginnt und bei den N-Sternen 
endigt. Zum gleichen Ergebnis gelangte auch W. S. Adams’) auf 
Grund einer Untersuchung des Verhaltens der C-Banden und der 
Funken- und Bogenlinien von Fe, Ti, V und Ca. 

RO zeigt neben dem Band CIV noch ein anderes Band unbe- 
kannten Ursprungs bei 4395, das etwa ebenso stark ist wie das @- 
Band. 4227 (Ca) und die Eisenlinien 4234, 4236 und 4239 sind sehr 
kräftig und das violette Ende des Spektrums ist noch so hell, daß 
die Linien HZ und K gut sichtbar sind. 

3. Die violette Region ab H, ist geschwächt, aber H und K 
sind noch erkennbar. 

R5. Bei kleiner Dispersion erscheint das Spektrum ab 4240 ganz 
schwach und dabei rein kontinuierlich. Bei 4300, 4400 und 4840 
scheinen Emissionen vorhanden zu sein. 

R8. Weitere Schwächung des violetten Teils ab 4240. Die Reihe 
der R-Sterne setzt fort im 


Typus N, Sternfarbe rot, in dem ebenfalls die Kohlebanden prä- 
dominieren. Auf visuellem Wege hat N. O. Duner*"®) bereits die Swan- 
bänder CI bis CIV beobachtet und G. E. Hale, F. Ellermann und 
J. A. Parkhurst?') konnten später photographisch bei acht N-Sternen 
nicht nur die Swanbanden © II (5505—5639) mit vier Kanten, C III 
(5169) mit einer Kante sowie CO IV (4697—4738) mit drei Banden- 
köpfen und die Kante 4381 von C V, sondern auch alle sechs Kanten 
von Cy II (4503—4609) nachweisen. Außerdem fanden sie zahlreiche 
kräftige Absorptionslinien neutraler Atome der Metalle und Emissions- 
linien, von welch letzteren später 0. D. Shane”"®) einige als H-Linien 
identifizieren konnte. 

NO. Das Spektrum ist zwar noch bis H und K vorhanden, aber 
ab 4240 noch schwächer als in R8. Das CIV-Band teilt das Spek- 
trum in zwei Teile verschiedener Intensität; der kurzwellige Teil hat 
nur etwa 0,8 der Kraft der langwelligen Hälfte. 





974) Pop. Astr. 23 (1915), p. 637. 

975) Publ. Astr. Soc. Pac. 27 (1915), p. 238. 

976) Svenska Vetenskaps Akad. Handlingar 21 (1884), Nr. 3. 
977) Yerkes Obs. Publ. 2 (1904), Nr. 5. 

978) Lick Obs. Bull. Nr. 329 (1919). 


706 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


N35. Der kurzwellige Teil ist noch schwächer geworden und hat 
nun etwa 0,6 der Intensität des langwelligen Teiles. 


Ein dritter Ast führt vom Typus X weg zum 


Typus 8. Sternfarbe rot. Der Typus (Hauptvertreter R Cygni) 
wurde bereits von W. H. Wright?) und T. E. Espin®®®) beschrieben, 
die neben außerordentlicher Schwäche der TiO,-Banden noch andere 
Eigentümlichkeiten betonten. P. W Merrill”!) fand außer einem gegen 
die langen Wellen abschattierten Band bei 6470 noch zwischen 4630 
bis 4660 charakteristische Absorptions- und Emissionslinien und wei- 
tere zwei Bänder. Derselbe®®?) konnte dann durch Vergleich mit Wellen- 
längenmessungen von J. M. Eder und E. Valenta°°?) mehrere zwischen 
6229 und 6612 gelegene Linien und Banden als von Zr und ZrO, 
herrührend identifizieren und später auch noch zwischen 4536—4828 
weitere elf kräftige Bogenlinien des Zr auffinden, die in den Spektren 
der M- und N-Sterne entweder fehlen oder nur sehr schwach auf- 
treten.®) Von den anderen Absorptionslinien sind 4554 (Ba) und 
4607 (Sr) besonders kräftig. Miß ©. H. Payne”®®) hat auf die eigen- 
tümliche Tatsache hingewiesen, daß die bei den M-, R-, N- und S$- 
Sternen beobachteten Banden durchweg von Oxyden herrühren, deren 
Grundelemente der vierten Kolonne des periodischen Systems ange- 
hören. Eine Beschreibung der Spektren von 31 Sternen vom Typus 8 
hat kürzlich P. W. Merrill?®®) gegeben, während die Wellenlängen aller 
bei den Typen @, M, R, N, $ bisher beobachteten Banden und deren 
eventuelle Identifikationen von F. E. Baxandall?°”) zusammengestellt 
worden sind. 


Bei allen Klassifikationsarbeiten an der Harvard-Sternwarte sind 
Aufnahmen mit dem Objektivprisma benutzt worden. Versuche, auch 
Aufnahmen an Spaltspektrographen heranzuziehen, wurden mehrfach 
unternommen, z. B. schon von Miß A. Cannon”), die dabei fand, daß 
sich Aufnahmen mit dem ÖObjektivprisma insbesondere bei Sternen 


979) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 72 (1912), p. 548. 

980) Ebendort 72 (1912), p. 546. 

981) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 457. 

982) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 217. 

983) Wien Sitzber. 119, IIa (1910), p. 9, 519. 

984) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 13. 

985) Stellar Atmospheres, p. 75. 

986) Astroph. Journ. 65 (1927), p. 23; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 325 
(1927). 

987) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 166. 

988) Harvard Coll. Obs. Ann. 56 (1913), part 8. 


24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. 17107 


früherer Typen zur Klassifikation besser eignen. Später hat W. S$. 
Adams”) festgestellt, daß sich auch das Intensitätsverhältnis gewisser 
Linien zur Klassifikation der Spektren eigne, und zwar die immer mit 
H, bzw. H, zu vergleichenden Linien 4227 (Ca) und 4383 (Fe) für 
die Typen F0—G@G5, 4326 und 4405 (Fe) für F3—M0, 4352 (Fe 
—+ Mg) für FO—MO und 4872, 4957 (Fe) für @0—M0. Bald aber 
fanden W. 8. Adams und A. H. Joy””) systematische Differenzen zwi- 
schen den Typenschätzungen an Spalt- und Objektivprismaspektro- 
grammen im Sinne einer Verschiebung um —+ 1,6 Typenunterklassen 
bei den ersteren. Die Bestimmungen stimmen aber besser überein für 
die F- und M-Sterne als bei den @- und K-Sternen, wo die Diffe- 
renzen bei den Zwergsternen größer ausfallen als bei den Riesen.’®!) 
Bei mehreren Untersuchungen fand $. Albrecht””°), daß die Wellen- 
längen gewisser Linien mit dem Typus zu variieren scheinen, und zu 
einem ähnlichen Resultat kam auch J. Voüte’®”) Die beobachteten 
Schwankungen sind aber so klein (nur einige Hundertstel Ä.E.) und 
von Linie zu Linie oft sogar dem Sinne nach verschieden, daß sie 
vorläufig kaum zu Klassifizierungszwecken verwendet werden könnten. 
F. E. Baxandall””*) meint, daß es sich dabei ‚nicht um eigentliche 
Änderungen der Wellenlänge, sondern um einen „blend effekt“ durch 
eng benachbarte andere Linien handle, deren Intensität sich auf dem 
Wege durch die Typenreihe verändert. 


Schließlich sei noch in der folgenden Tabelle der Zusammenhang 
gegeben, der zwischen den verschiedenen Klassifikationsarten des ur- 
sprünglichen Draperkatalogs’”), dann von Piekering-Cannon®”) nebst 
den auf dem Kongreß der internationalen astronomischen Union °°”) 
beschlossenen Änderungen, von Miß Maury°®), Secchi und Vogel be- 
steht. Des historischen Interesses wegen ist auch die Typenreihe von 
Me Clean®”°), die eigentlich nie praktisch verwendet wurde, beigefügt. 


989) Washington Nat. Acad. Proc. 2 (1916), p. 143; Mt. Wilson Solar Obs. 
Comm. 23 (1916). 

990) Astroph. Journ. 46 (1917), p. 313. 

991) Pop. Astr. 29 (1921), p. 143. 

992) Cordoba Boletin 1 (1914); Astroph. Journ. 33 (1911), p. 130; 50 (1919), 
p. 277; Pop. Astr. 29 (1921), p. 144. 

993) Astroph. Journ. 47 (1918), p. 137. 

994) Astroph. Journ. 48 (1918), p. 59. 

995) Harvard Coll. Obs. Ann. 27 (1890). 

996) Ebendort 28 (1901) und 91—99 (1918—1924). 

997) Transactions of the Intern. Astron. Union 1 (1922). 

998) Harvard Coll. Obs. Ann. 28 (1897). 

999) Phil. Trans. 191 (1898). 


1708 VI a, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 









































Draper-Kat. Li et Kan Maury Ka Vogel Me Clean 
1890 1901—1924 1922 1897 1898 
0a L I 
0. 0b—0e | xxI ) Y 2 
Oe5 I I Ib I 
Bo I I Ib I 
B1, B2 II, IV I Ib I 
N B3 Iv I a 
Bö V I Ib I 
Bs, B9 vI I Ia1? I 
AO VII, VIII I 1la2 II 
B, A A2 VII, IX I Ia2 II 
A5 x I Ia2 II 
% F xI I Ia3 IH 
BE, RG | Fs xu I Tas I 
Fs XI II lla IV 
G XIl, XIV 1I Ila IV 
HLKLZL G5 XIV II lla IV 
K0.:#2 XV II IIa IV 
K5 RL Il Ila V 
Ma MO XV III IlIla hu 
M Mb M 3 XVIll DI Illa V 
Me M38 XIX IH IIIa V 
Md PR xx II IIIa V 
RO—RS _ IV IIIb VI 
N Na NO XXI IV IIIb VI 
Nb N3 XXI IV IIIb VI 
Ne wi > E IITb vI 
Ss ER "RR er KEN 





Die mit dem Zeichen Q zu bezeichnenden „neuen Sterne“ und die 
eine Gruppe P bildenden Gasnebel werden in Nr. 30 und 32 speziell 
besprochen werden. 


25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. Schon in 
den Draperkatalogen ist auf die individuellen Unterschiede in den 
Spektren der einzelnen Sterne gegen den für die betreffende Spektral- 
klasse typischen Stern durch Beifügung eines p (peculiar) zur Typus- 
bezeichnung Rücksicht genommen worden (B8p bedeutet demnach 
z. B. ein Spektrum vom Typus B8 mit besonderen Eigentümlichkeiten). 
Zur besseren Kennzeichnung der in den Spektren einzelner Sterne 
beobachteten Besonderheiten ist auf dem Kongreß der internationalen 
astronomischen Union in Rom im Jahre 192210) folgende ausführ- 
liche Bezeichnungsweise durch kleine Buchstaben beschlossen worden: 


1000) Transactions Intern. Astr. Union 1 (1922); Astroph. Journ. 57 (1923), p. 65. 


25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. 709 


Präfixe: 
c Maurys c-Charakter. 
9 Riesenstern (giant). 
d Zwergstern (dwarf). 
s Spektren mit besonders scharfen Linien. 
n Spektren mit diffusen (nebulous) Linien. 


Suffixe: 

e Auftreten heller Linien, die dem Grundtypus nicht eigentümlich 
sind. 

ep Besonderes Verhalten eines Sterns mit hellen Linien gegenüber 
einer Gruppe von e-Sternen mit gleichmäßigem Verhalten. 

er Das Auftreten von Umkehrungen (Reservals) in den hellen Linien. 

eq Das Auftreten von Absorptionslinien an der violetten Kante von 
Emissionslinien, wie dies für die neuen Sterne (Typus ®) 
typisch ist. 

v Veränderlichkeit des Spektrums. 

ev Veränderlichkeit (Auftauchen und Verschwinden und überhaupt 
Intensitätsänderungen) der hellen Linien. 


Außerdem können eventuell noch die Linien in ihrer üblichen 
Bezeichnungsweise beigefügt werden (z.B. BOe H,), die das abnorme 
Verhalten zeigen, 

Von Eigentümlichkeiten, die ganze Gruppen von Sternen auf- 
weisen oder einzelnen Sternen eine Art Ausnahmestellung zu geben 
scheinen, sind folgende bemerkt worden: 


a) Auftreten heller Wasserstofflinien bei den B-Sternen. In den 
Spektren zahlreicher B-Sterne erscheinen, wie schon W. W. Camp- 
bell!!) bemerkt hat, die Wasserstofflinien als Emissionslinien. Später 
sind diese Be-Sterne hauptsächlich von R. H. Curtiss!®) und von 
P.W. Merrill genauer studiert worden, und insbesondere der letztere !003) 
sowie 0. H. Payne‘) haben Verzeichnisse solcher Be-Sterne zusammen- 
gestellt. Schon im Jahre 1913 hat P. W. Merrill!) versucht, diese 
Be-Sterne nach dem verschiedenen Verhalten der Emissionslinien in 
Gruppen einzuteilen, und spätere Untersuchungen von P. W. Merrill, 


1001) Astroph. Journ. 2 (1895), p. 177. 

1002) Pop. Astr. 24 (1916), p. 658. 

1003) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 336; 33 (1921), p. 112, 264; 34 
(1922), p. 223, 294, 351. 

1004) Harv. Coll. Obs. Bull. 846 (1927). Ein Verzeichnis von Sternen mit 
hellen Wasserstofflinien ist u. a. auch von Miß W. P. Fleming in Harvard Coll. 
Obs. Ann. 56 (1912), p. 181 gegeben worden. 

1005) Lick Obs. Bull. 237 (1913). 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2,2. 46 


710 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


M. L. Humason und C(. G. Burwell!®®) haben dazu ergeben, daß die 
Wasserstoffemissionen einfach ($- oder Single-Form), doppelt (D- oder 
Double-Form) und auch an der violetten Seite von einer Absorption 
begleitet sein können (P- oder P Cygni-Form). Da der kontinuierliche 
Grund neben diesen Emissionen stets etwas schwächer erscheint, han- 
delt es sich bei den S- und D-Formen vermutlich um einfache und 
doppelte Umkehr schwacher, aber breiter Absorptionen.!”) Aus diesen 
Untersuchungen und aus einer Statistik von F. Henroteau!®) geht 
auch hervor, daß helle Wasserstofflinien fast ausschließlich nur bei 
den Typen BO— B3, und nur ganz ausnahmsweise noch bei späteren 
Sternen vorkommen, z. B. bei B8, wie von R. H. Ourtiss!®®) bemerkt 
wurde, oder gar bei A-Sternen, wie W. P. Fleming!) hat feststellen 
können. B. P. Gerasimovic ?%"") fand Andeutungen dafür, daß der Be- 
Charakter mit höherer effektiver Temperatur und etwas größerer ab- 
soluter Leuchtkraft verbunden sei. 

Umwandlungen der hellen Wasserstofflinien in dunkle und um- 
gekehrt sind von Ü. D. Perrine'”"?), M. L. Humason und P. W. Mer- 
rül‘8), sowie von P. Davidovich!?) beobachtet worden, und R. H. 
Ourtiss!®®) hat periodische Intensitätsänderungen mit Perioden von 
oft mehreren Jahren ohne gleichzeitige Veränderlichkeit der Stern- 
helligkeit festgestellt. Eine von dem letzteren'’!®) aufgestellte merk- 
würdige Beziehung zwischen den Breiten der hellen Linien, derzu- 
folge sich aus der Breite von H, die Breiten der anderen Linien bei 
allen diesen Sternen durch die gleiche Formel mit den gleichen nu- 
merischen Parametern ableiten lassen sollen, ist bis jetzt physikalisch 
wohl völlig unerklärlich.'917) 





1006) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 389. 

1007) Siehe Astroph. Journ. 61 (1925), p. 3. 

1008) Ottawa Domin. Obs. Publ. 5 (1921), Nr. 5. 

1009) Publ. Obs. Univ. of Michigan 3 (1923), p. 16. Der Arbeit sind vorzüg- 
liche Abbildungen beigeschlossen. 

1010) Harvard Coll. Obs. Ann. 56 (1912), p. 181. 

1011) Harvard Coll. Obs. Bull. 849 (1927). 

1012) Pop. Astr. 27 (1919), p. 90. 

1013) Harvad Coll. Obs. Bull. 779 (1922). 

1014) Ebendort 846 (1927). 

1015) Pop. Astr. 33 (1925), p. 537. 

1016) Publ. Obs. Univ. of Michigan 3 (1923), p. 10 

1017) Bemerkenswert ist, daß P. W. Merrill, Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1924), 
p. 134 eine helle Linie im Spektrum von RY Scuti bei 4658 mit einer Nebel- 
linie identifiziert. Der Stern wird von ihm als Bp bezeichnet, ist aber im Draper- 
katalog, Harvard Coll. Obs. Ann. 97 (1922), p. 257 nicht klassifiziert und sein 
Spektrum dort unter Nr. 169515 wie folgt beschrieben: The spectrum is nearly 


25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. 711 


b) Auftreten heller Linien bei den roten Sternen. Helle Linien, 
hauptsächlich des Wasserstoffs, pflegen auch bei den roten Sternen, 
also am Ende der Spektraltypenreihe, aufzutreten. Fast stets handelt 
es sich in solchen Fällen um langperiodische veränderliche Sterne, 
so daß aus dem Vorhandensein solcher heller Wasserstofflinien mit 
großer Sicherheit auf Veränderlichkeit des betreffenden Sterns ge- 
schlossen werden kann. !9#) 

Alle Sterne der Untergruppen Ma, Mb, Mc, bei denen wenig- 
stens eine H-Linie hell erschien, wurden bis zum Jahre 1922 als 
Md-Sterne bezeichnet, seither aber organischer als MOe, M3e, MSe 
klassifiziert. Auch bei Sternen der Typen N und $ kommen nach 
©. D. Shane!) und P. W. Merrili'”°) helle Linien des H vor. Was 
das Auftreten anderer heller Linien bei den roten Sternen betrifft, so 
haben W. S. Adams und A. H. Joy'') in den Spektren einiger M- 
Sterne auch helle Eisenlinien gefunden, und die gleichen Beobach- 
tungen machte später P. W. Merrill.) Der letztere!%®) hält es für 
möglich, daß eine helle Linie im Spektrum des roten M-Veränder- 
lichen R. Aquarii mit der Nebellinie 4658 identisch sei. Merkwürdig 
wäre dann allerdings, daß dieselbe Linie dann nicht nur in den 
Atmosphären der kältesten, sondern, wie bereits bei Besprechung der 
Dbe-Sterne erwähnt, auch der heißesten Sterne als Emissionslinie zu- 
stande kommen müßte. Das Verhalten der hellen Linien bei den lang- 
periodischen Veränderlichen wird in Nr. 31 noch näher besprochen 
werden. 

c) Sterne mit hellen Eisenlinien (Eisensterne). Wie schon von 
J. N. Lockyer und F. E. Baxandall‘*) bei u Centauri und y Cassio- 
peiae bemerkt worden ist, kommen außer hellen Wasserstofflinien 
meistens auch helle Eisenlinien vor. Sie treten aber nicht nur in den 
Spektren der Typen B, M, N, $ auf, sondern auch bei mittleren 
Typen @ und K und bei den neuen Sternen. Ihr Erscheinen dürfte 
nach P. W. Merrill!®) aber an das Vorhandensein heller Wasserstoff- 


continuous. Very faint, dark Hydrogen lines are seen and bright lines ar su- 
spected to be present. Class and Period unknown. 

1018) Siehe bei P. W. Merrill, Astroph. Journ. 63 (1926), p. 13. 

1019) Lick Obs. Bull. 329 (1919). 

1020) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 13. 

1021) Publ. Astr. Soc. Pac. 33 (1921), p. 263; 34 (1922), p. 175. 

1022) Ebendort 39 (1926), p. 363; Astroph. Journ. 65 (1927), p. 286; Mt. 
Wilson Solar Obs. Contr. 334 (1927). 

1023) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 247; 34 (1924), p. 134. 

1024) London Roy. Soc. Proc. 74A (1905), p. 548. 

1025) Astroph. Journ. 65 (1927), p. 286; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 334 cu9a7) 

46* 


712 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


linien gebunden sein, und sie verschwinden, wie eine Mt. Wilson-Auf- 
nahme des Spektrums von u Centauri aus dem Jahre 1924 zeigt, wenn 
die hellen H-Linien verschwinden. Bei den Be-Sternen kommen sie 
bei allen drei Merrillschen Formen 8, D und P vor (Beispiele: 
n Carinae, XX Ophiuchi, y Cassiopeiae und ß Monocerotis). Von be- 
sonderem Interesse ist der Stern XX Ophiuchi (nach H. Shapley und 
Ida E. Woods”°) variabel), der Veranlassung gegeben hat, Be-Sterne 
mit hellen Fe-Linien „Eisensterne“ zu nennen.!‘) Derselbe zeigte in 
den Jahren 1921 — 1923 die hellen Funkenlinien des Eisens viel 
kräftiger als die Absorptionslinien des Ti*, Ende 1925 war dann 
wieder das Umgekehrte der Fall. Auf weitere sieben Be-Sterne mit 
hellen Eisenlinien hat B. P. Gerasimovic '”®?) aufmerksam gemacht. 

Was die in den Spektren der langperiodischen roten Sterne der 
Typen Me und Se auftretenden hellen Eisenlinien betrifft, so sind es. 
nach einer Identifikation von A. H. Joy!) hauptsächlich Linien des 
neutralen Fe und niederer Kingscher!®°) Temperaturklasse, die in der 
Regel während der Lichtabnahme sichtbar werden.!®") Im Spektrum 
von o Ceti (Me) fand A. H. Joy'®?) auch helle Linien des Fe*, aller- 
dings waren sie nur schwach, und P. W. Merrili‘°®) meint hierzu, 
daß sie vielleicht ganz allgemein beim Typus M undeutlich, dagegen 
bei den Se-Sternen kräftiger auftreten, da insbesondere die Fe+-Linien 
4924 und 5018 in S Cassiopeiae und R Cygni auffällig sind.!%*) Bei 
den @- und K-Sternen sind es überhaupt zumeist die Linien des 
ionisierten Eisens, die außer den Wasserstofflinien hell erscheinen 
können. 

Bei allen Sternen mit hellen H- und Fe-Linien erscheinen aber 
immer noch weitere Emissionslinien unbekannten Ursprungs. F\. E. 


Baxandall, J. A. Carrol und F.J. M. Stratton'"°) haben darauf hin- 


1026) Harvard Coll. Obs. Circ. 292 (1926). 

1027) Siehe P. W. Merrill, Publ. Astr. Soc. Pac. 36 (1924), p. 325. 

1028) Harvard Coll. Obs. Bull. 851 (1927). 

1029) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 281; 65 (1927), p. 23. 

1030) Ebendort 56 (1922), p. 318. 

1031) Nach P. W. Merrill, Astroph. Journ. 65 (1927), p. 286 soll es übrigens 
wieder zweifelhaft sein, ob die von A. H. Joy [Astroph. Journ. 53 (1921), p.185; 
58 (1923), p.195 und Astroph. Journ. 63 (1926), p.81 oder auch Mt. Wilson Solar 
Obs. Contrib. 200 (1921), 265 (1923) und 311 (1926)] insbesondere im Spektrum 
von o Ceti während der Lichtabnahme beobachteten hellen Linien bis 4202,03 
und 4307,91 wirklich Eisenlinien sind. 

1032) Astroph. Journ. 65 (1927), p. 22. 

1033) a. a. O0. 

1034) Astroph. Journ. 65 (1927), p. 23; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 325 (1927). 

1035) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 87 (1927), p. 470. 


25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. 713 


gewiesen, daß sich zahlreiche dieser Linien und auch Linien unbe- 
kannten Ursprungs im Sonnenspektrum nach dem Kombinationsprinzip 
darstellen lassen, wenn man Quantensprünge der Elektronen zuläßt, 
die nach den Auswahlprinzipien eigentlich verboten wären. Mit Hilfe 
der von H. N. Russell!) angegebenen multiplen Terme des Fe be- 
rechnete P. W. Merrill ‘%”) die Wellenlängen solcher bei verbotenen 
Sprüngen aus metastabilen Zuständen eventuell entstehender Linien 
und fand dabei eine auffallende Übereinstimmung mit hellen Linien 
unbekannten Ursprungs in n Carinae und HD 42474. Demnach ist 
nicht unwahrscheinlich, daß Elektronensprünge, die unter Laborato- 
riumsbedingungen nicht ausgeführt werden können, unter den ver- 
änderten Verhältnissen in den Sternatmosphären doch möglich werden. 


d) Sterne mit abnorm kräftigen Sulieium- und Strontiumlinien. Von 
einigen Sternen fast durchwegs früherer Typen (A0— A3) ist im 
Draperkatalog erwähnt, daß in ihren Spektren die beiden Linien 4077 
und 4215 des Sr* besonders kräftig sind. Da diese Linien im all- 
gemeinen nach CO. H. Payne'”®) bei den AO-Sternen aufzutreten be- 
ginnen und ihr Maximum erst im Typus KX2 zu erreichen pflegen, 
erscheint dieses Verhalten abnorm. Neben diesen sogenannten „Stron- 
tiumsternen“ gibt es wieder andere Sterne, bei denen, wie ebenfalls 
bereits im Draperkatalog vermerkt wird, wieder die Linien 4128 und 
4131 des Sit, die ebenfalls nach Payne'®°®) bei den BO-Sternen er- 
scheinen und nach einem Maximum bei AO schon beim Typus F 
verschwinden, unverhältnismäßig stark sind. Die Linien anderer Ele- 
mente zeigen jedoch, wie H. Shapley''P) beim Strontiumstern « Cireini 
speziell an den beiden Ca-Linien 4435 und 4455 findet, anscheinend 
normales Verhalten. Eine Entscheidung darüber, ob die Verstärkung 
dieser Sr- und Si-Linien durch angelagerte Linien anderer Elemente 
oder durch Sr- und Si-Wolken im Weltraum bewirkt wird oder ob 
sie auf abnorme Häufigkeit des betreffenden Elementes in den Stern- 
atmosphären zurückzuführen ist, kann nach (. H. Payne!%") derzeit 
schon deswegen nicht getroffen werden, da speziell die in früheren 
Typen sichtbaren Sit*- und Sit**-Linien noch in keinem Fall ein 
' ähnliches abnormes Verhalten gezeigt haben. Daß sich die Sr-Linien 


1036) Astroph. Journ. 64 (1926), p. 194; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 318 
(1926). 

1037) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 363. 

1038) Stellar Atmospheres p. 126. 

1039) Harvard Coll. Obs. Cire. 252 (1924), 

1040) Harvard Coll. Obs. Bull. 798 (1924). 

1041) Stellar Atmospheres p. 171—172. 


14 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


4077 und 4215, wie B. Gerasimovic '%?) bemerkt, bei den Riesen und 
Zwergen ungleich verhalten, scheint aber dafür zu sprechen, daß die 
Ursache der beobachteten Eigentümlichkeiten in den Sternatmosphären 
selbst zu suchen ist. 

e) Vorkommen der seltenen Erden. Linien des Europiums hat 
F. E. Baxandall!“°) in dem von A. Belopolsky'%*) gegebenen Ver- 
zeichnis der Linien im Spektrum von « Canum ven. (A0p) identifi- 
zieren können (bei den Wellenlängen 3931, 4130, 4205, 4436, 4523 
und 4594) und auch in den Spektren von « Canis maj. (AO), « Cygni 
(A2p) und « Canis min. (F'’5) vorgefunden. In Spektren früherer 
Typen als A sind Eu-Linien noch nicht gefunden worden, dagegen 
scheint die Eu-Linie 4436 als schwer trennbarer Begleiter der Ca- 
Linie 4436 nach J. Lunt!*?) auch im Spektrum von « Bootis vorzu- 
kommen. Im Spektrum von « Canum ven. sind außer Europium nach 
A. Belopolsky'®) noch Terbium und nach ©. C. Kiess!%*”) auch Lan- 
than, Gadolinium, Dysprosium und Yttrium mit einer gewissen Sicher- 
heit nachweisbar. In dem u.a. noch von J. N. Lockyer und F. E. Ba- 
zandall!®) und H. Ludendorff‘%°) genauer untersuchten Spektrum 
von « Canum ven. hat übrigens A. Belopolsky'”°) zwei Gruppen von 
Linien gefunden, deren jede besondere Intensitäten der zugehörigen 
Linien zeigt und verschiedene Radialgeschwindigkeiten ergibt. 


26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne. Die Bestim- 
mung der effektiven Temperaturen der Fixsternoberflächen ist unter 
der Voraussetzung, daß die Sternstrahlung der schwarzen Strahlung 
gleich oder wenigstens genügend ähnlich ist, durch Darstellung der 
spektralen Energieverteilung mit der Planckschen Formel möglich oder 
auch durch Aufsuchen des Energiemaximums durchführbar. 

Die Messung der Intensitätsverteilung kann ebensowohl auf vi- 
suellem als auf photographischem Wege erfolgen. Bei visuellen Be- 
obachtungen erfolgen die Messungen in der Regel durch Vergleich 
mit dem gesamten oder spektral zerlegten Licht einer Hilfslichtquelle, 
wobei für Konstanz der letzteren entsprechend vorgesorgt werden 


1042) Harvard Coll. Obs. Bull. 843 (1927). 

1043) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 74 (1913), p. 32. 

1044) Bull. de l’acad. imp. des Sciences, St. Petersburg 1913, p. 689. 

1045) London Roy. Soc. Proc. 79 A (1907), p. 118. 

1046) a. a. O. 

1047) Publ. Obs. Univ. of Michigan (Detroit) 3 (1928), p. 106; Pop. Astr. 25 
(1917), p. 656. 

1048) London Roy. Soc. Proc. 77 A (1906), p. 550. 

1049) Astr. Nachr. 173 (1906), p. 1. 

1050) Ebendort 195 (1913), p. 1. 


26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne. 715 


muß und die Energieverteilung im Spektrum des Hilfslichtes wieder 
durch Vergleich mit dem schwarzen Körper zu ermitteln ist. Bei 
photographischen Arbeiten ist darauf Bedacht zu nehmen, daß die 
Plattengradation selbst von der Wellenlänge abhängt und die Um- 
wandlung der Schwärzungen in Intensitäten daher streng nur mit 
Hilfe einer eigenen spektralen Schwärzungsskala erfolgen kann. Bei 
Beobachtungen mit dem Objektivprisma läßt sich eine solche Schwär- 
zungsskala am einfachsten dadurch erlangen, daß man das Objektiv- 
prisma mit einem Öbjektivgitter kombiniert, dessen Stäbe senkrecht 
zu der brechenden Kante des Prismas liegen. Die vom Objektivgitter 
erzeugten Spektren der aufeinanderfolgenden Ordnungen stehen dann 
untereinander und zum Zentralbild in einem bestimmten Intensitäts- 
verhältnis und gestatten dadurch eine sichere Umwertung der Schwär- 
zungen in die zugehörigen Intensitäten.!®!) Aufnahmen dieser Art 
dürften zuerst von @. Eberhard'”°?) ausgeführt worden sein und wur- 
den dann neuerlich von 7. R. Merton'!®®) und von W. M. H. Greaves 
und (©. R. Davidson!"°?) durchgeführt. H. Kienle!”®) hat vorgeschlagen, 
bei Aufnahmen mit Spaltspektrograph statt der Platten Filmstreifen 
zu verwenden, die sich der Bildkrümmung des Spektrums genau an- 
schmiegen lassen. 

Auch Aufnahmen mit Farbenfiltern geben, wie Ch. Nordmann!®®) 
zeigen konnte, recht befriedigende Resultate. In Verbindung mit einer 
Thermosäule sind solche Filter auch von W. W. Ooblentz!”") mit Er- 
folg zur Messung der Strahlung hellerer Sterne verwendet worden. 

Da die Sternfarbe eine Funktion der Sterntemperatur ist — die 
Sterne werden mit abnehmender Temperatur röter —, läßt sich die 
Sterntemperatur auch dadurch ermitteln, daß man die Farbe des Ver- 
gleichslichtes mit Hilfe eines verschiebbaren Rotkeils der Farbe des 
Sterns gleichmacht. Die Beziehung zwischen Keilstellung und Tem- 
peratur läßt sich nach J. Wüsing'”®), der dieses Verfahren angegeben 
hat, mit Hilfe von Sternen bekannter Temperatur leicht ermitteln. 


1051) Siehe bei £. Hertzsprung, Astr. Nachr. 186 (1911), p.177;209 (1918),p.117. 

1052) Astr. Nachr. 209 (1918), p. 117. 

1053) London Roy. Soc. Proc. 99 A (1921), p. 78. 

1054) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 86 (1925), p. 33. 

1055) Göttingen Nachr. d. Ges. d. Wiss. 1925, p. 81. 

1056) Paris C. R. 149 (1909), p. 557; siehe auch bei J. Hopmann, Colori- 
metrie der Gestirne, Nr. 7, diese Encykl. VI 2 (1930), Nr. 26. 

1057) Scient. Papers of the Bureau of Standards Nr. 438 (1922), Washington; 
siehe auch J. Hopmann, a. a. O. Nr. 14. 

1058) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 24 (1920), Nr. 76; siehe auch J. Hop- 
mann, &. a. O. Nr. 5. 


716 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Temperaturbestimmungen an Fixsternen sind zuerst von J. WÜ- 
sing und J. Scheiner!®®) (109 hellere Sterne) durchgeführt und dann 
von J. Wilsing, J. Scheiner und W. Münch‘) noch weiter ergänzt 
worden. An größeren photographischen Beobachtungsreihen liegen 
vor die Messungen von H. Rosenberg'®), R. A. Sampson!’®?) und von 
W. M. H. Greaves, C. Davidson und E. Martin.'®®) Bei den letzten 
beiden Arbeiten wurde die Messung der Schwärzungen mit dem selbst- 
registrierenden Mikrophotometer vorgenommen. Kleinere Beobachtungs- 
reihen und gelegentliche Bestimmungen rühren noch her von B. Har- 
kanyi'®), der ältere Messungen von H. 0. Vogel bearbeitet hat, von 
Ch. Nordmann'°®), A. Hnatek!'%), J. Baillaud'®), H. H. Plaskett!%®) 
und W. W. Ooblentz.'%) 

Bildet man aus den größeren Beobachtungsreihen von Wilsing, 
Rosenberg und Sampson mit den für die einzelnen Sterne gegebenen 
































Typus | Wilsing Rosenberg| Sampson | Brill ''°) | 7 aeg As ae 
theorie 
Oeb un 235000 a 25.000° 
B0 12300° ' 30000° 25 000° 21000 22 700° 20000 
B5 11450 | 18000 16 600 15700 15200 15000 
40 10250 12 000 13100 11700 11600 10000 
A5 9000 9000 10900 9300 8800 8400 
Fo 7950 7850 8900 7700 7900 7500 
F5 6880 6930 7500 7000 7000 7000 
G0 5980 6000 6200 6100 6040 5600 
G5 5250 5200 5100 5000 5090 5000 
KV0 4570 | 4570 4200 4550 4570 4000 
K5 3860 3840 3500 3630 3640 3000 
Mo 3550 3580 3400 3500 3430 3000 





1059) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 19 (1909), Nr. 56. 

1060) Ebendort 24 (1919), Nr. 74. 

1061) Nova acta Acad. Leop. Car. 101 (1914), Nr. 2; Astr. Nachr. 193 (1913), 

. 857. 

ö 1062) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 174; 85 (1925), p. 212. 

1063) Ebendort 87 (1927), p. 352. 

1064) Astr. Nachr. 158 (1902), p. 18. 

1065) Bull. Astr. 27 (1910), p. 145; Paris C.R. 151 (1910), p. 794; 156 (1913), 
p. 664, 1355. 

1066) Astr. Nachr. 187 (1911), p. 369. 

1067) Bull. Astr. (2) 1 (1925), p. 4, 275. 

1068) Dominion Astroph. Obs. Publ. 2 (1923), Nr. 12. 

1069) Washington Nat. Acad. Proc. 8 (1922), p. 49, 330. 

1070) Die Temperaturen sind mit den von Brill in Astr. Nachr. 223 (1924), 


p. 114, Tab. IX gegebenen Werten für 3 (c, = 14300) gerechnet worden. 


26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne. 717 


Werten Mittel für die aufeinanderfolgenden Spektraltypen, so erhält 
man vorstehende durch eine Neubearbeitung von A. Brill!) und nach 
C. H. Payne!”?) ergänzten Zahlen. 

Die Unterschiede, die zwischen den den visuellen Bereich von 
4510— 6420 erfassenden Bestimmungen von Wilsing und den für den 
Spektralbereich 4000—5000 geltenden Werten von Rosenberg auftreten, 
haben A. Brill!%®) Veranlassung zu eingehenden Untersuchungen ge- 
geben. Danach erklären sich die Differenzen aus einer allgemeinen 
Depression der spektralen Intensität im kurzwelligen Teil des Spek- 
trums und aus der Unmöglichkeit, den ganzen Bereich der visuellen 
und aktinischen Strahlung durch die Strahlung eines schwarzen Kör- 
pers einer einzigen bestimmten Temperatur darzustellen. Die Stern- 
strahlung weicht eben merklich von der schwarzen Strahlung ab. 
Unter Benutzung des schon von H. H. Plaskett'”*) benutzten Begriffs 
der „Farbtemperatur“ als der Temperatur eines schwarzen Körpers, 
der im sichtbaren (farbigen) Teil des Spektrums (4500—6500) die 
gleiche Energieverteilung zeigt wie der betreffende Stern, gelang es 
Brill schließlich, aus den von Wiüsing und Rosenberg gefundenen 
Temperaturen die in der obigen Tabelle gegebenen wahrscheinlichsten 
Temperaturen herzuleiten.!?'#®) 

Bezeichnet man als „isophote Wellenlänge“ diejenige Wellenlänge, 
bei der der Größenklassenunterschied der spektralen Helligkeiten zweier 
Sterne gleich ist dem Größenunterschied dieser beiden Sterne über- 
haupt, so läßt sich eine Beziehung zwischen den für die visuellen 
und photographischen Helligkeiten geltenden isophoten Wellenlängen 
angeben, die wieder auf die Temperatur schließen läßt. Drückt man 
die spektralen Intensitäten in Größenklassen aus, so läßt sich die 
Plancksche Gleichung auf die Form bringen: 


m— 12,5 logı + 25 ,,loge+ 2,5 AL ir) Bas 


aus der, wenn man mit ihr den sogenannten „Farbenindex“ mpnot. — Myis. 
bildet, leicht eine Beziehung von der Form 


Mpnot. — Myis,. — U -1- BT 
abgeleitet werden kann. In dieser Gleichung ist « zwar von der noch 


1071) Astr. Nachr. 218 (1923), p. 210; 29 (1923), p. 22. 354. 

1072) Stellar atmospheres p. 30. 

1073) a.a.O. und Astr. Nachr. 223 (1924), p. 105; 225 (1925), p. 161; Berlin- 
Babelsberg Veröff. 5 (1924), Nr. 1. 

1074) Domin. Astroph. Obs. Publ. 2 (1923), p. 229. 

10742) Man sehe auch die Nr. 1 und 16 ein von J. Hopmann, Colorimetrie 
der Gestirne, diese Encykl. VI a (1930), Nr. 26. 


718 VIe2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


unbekannten Temperatur abhängig, doch kann es mit einem Näherungs- 
wert für diese genügend genau erhalten werden, und außerdem sind 
die in « und ß enthaltenen isophoten Wellenlängen der visuellen und 
photographischen Größen aus dem Vergleich der bezüglichen Energie- 
kurven mit der Energiekurve eines Sterns bekannter Temperatur be- 
stimmbar. In dieser Weise hat A. Brill!) aus dem von E. $. King*""®) 
gegebenen Farbenindizes die in der obigen Tabelle in der fünften 
Kolonne beigefügten Temperaturwerte berechnet, die mit seinen Wer- 
ten in Kolonne 4 vorzüglich übereinstimmen. Eine Prüfung durch 
die von E. Hertzsprung’””) ermittelten und andere von K. F. Bott- 
linger!"®) photoelektrisch bestimmte Farbenindexwerte hat die obigen 
Resultate bestätigt. Dagegen ergeben die von E. Pettit und S. B. Ni- 
cholson!"®) bolometrisch erhaltenen „Wärmeindices“ m»oı. — Myis. Tem- 
peraturwerte, die für die späteren Typen etwas kleiner sind als die 
Brillschen Zahlen.!%®°%) Außer dem Abfall der Helligkeit bei den 
kurzen Wellenlängen scheinen also auch noch im visuellen Bereich 
Störungsquellen vorhanden zu sein, welche die bolometrischen Hellig- 
keiten verfälscht haben. 

In Nr. 24 ist bei Besprechung der typischen Sternspektren be- 
reits angegeben worden, welche Linien bei den einzelnen Typen die 
maximale Intensität erreichen bzw. bei welchem Typus sie verschwin- 
den. Macht man für den Druck in den umkehrenden Schichten der 
Fixsterne nun eine plausible Annahme (siehe Nr. 10), so lassen sich 
mit den in Nr. 7b gegebenen Formeln bei bekanntem Ionisations- 
potential die betreffenden Ionisationstemperaturen, also die Tempera- 
turen der umkehrenden Schichten solcher Typen berechnen, bei denen 
die Linien niedriger ionisierter Atome gerade verschwinden und nur 
mehr Linien höherer Ionisationsgrade auftauchen. Unter der aller- 
dings unrichtigen Annahme eines Drucks in der umkehrenden Schicht 
der Fixsterne von einer Atmosphäre hat Meg Nad Saha!"!) folgende 


1075) Astr. Nachr. 219 (1923), p. 370. 

1076) Harvard Coll. Obs. Ann, 76 (1916), p. 107. 

1077) Leiden Ann. van de Sterrewacht 14 (1922), Teil 1. 

1078) Berlin-Babelsberg, Veröff. 3 (1923), Nr. 4. 

1079) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 181: Mt. Wilson Solar Obs. Rep. 
1922, p. 238. 

1080) Messungen der Gesamtstrahlung von Sternen sind auch schon von 
S. F. Nicholls [Astroph. Journ. 13 (1901), p. 101)] mit Radiometer und neuerlich 
wieder von CO. @. Abbot [Astroph. Journ. 60 (1924), p. 87; Rep. of Smithsonian 
Astroph. Obs. 1924] ausgeführt worden. 

1081) Phil. Mag.(6) 40 (1920), p.40, 114; (6) 41 (1921), p. 267; London Roy. 
Soc. Proc. 99A (1921), p. 135. Siehe auch die Referate von W. Westphal in „Die 


26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne. 719 


Temperaturen berechnet: 


Typus 0a: T = 23 000° Typus FO: 7 = 9000° 
BO: 18 000° | „00: 7000° 
285; 14 000° aM 5000°, 

40: 12 000° 


” 
die sich den oben gegebenen, aus spektralphotometrischen Messungen 
von Brill abgeleiteten Werten trotz der falschen Annahme für den 
Druck in den umkehrenden Schichten deswegen relativ gut anschließen, 
weil Saha gleichzeitig voraussetzt, daß die Linien neutraler Atome 
bereits verschwinden, wenn nur mehr noch etwa 1°, aller Atome 
neutral ist, während nach R. H. Fowler und E. A. Milne'”?) Linien so- 
gar noch bei ‚den geringen Relativkonzentrationen der bezüglichen 
Atome von 10-® bis 10-!° sichtbar blieben. 

Die Maximalintensitäten einer Anzahl von Linien verschiedener 
Elemente sind in der folgenden Tabelle nach dem Ionisationspotential 
geordnet.!®?) 


























Ele- RIME Maximale 
LPalient Een. Intensität | Quelle für die Serienanordnung 
% beziehung 
5,71 Sr 4607 H.S. 1. Linie ‚Rote Sterne) Russell-Saunders, Astroph.Journ. 
61 (1925), p. 238 
6,11 Ca 4227 ® a * „| Russell, ebendort 61 (1925), p. 38 
6,5) Ti — 2 K5 H. H. Kieß, Proc. Nat. Acad. 13 
(1923), p. 270; Journ. opt. Soc. 
Amer. 8 (1924), p. 609 
6,7| Cr _ _ Rote Sterne  P. Giebeler, Z. f. Phys. 22 (1924), 
p. 228 
4030 H.S. 1. Linie | „ In A. Catalan, Ann. Soc. Esp. 
7,4 Mn | i = Fis. y Quim. 21 (1924), p. 84; 
4018, 4086 | Komb, B. we Phil. Trans. A 223(1922), p.127 
7,6) Mg | b-Gruppe I.N.S. K2—K5 





Naturw.“ 9 (1921), p. 868, E. A. Milne in „The Observatory“ 44 (1921), p. 261 
und den zusammenfassenden Bericht von Meg Nad Saha in „Zeitschr. f. Phys.“ 6 
(1921), p. 40. 

1082) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 403; 84 (1924), p. 99. 

1083) Die Angaben über das lonisationspotential sind einer Zusammen- 
stellung von H._N. Russell, Astroph. Journ. 61 (1925), p. 223 entnommen. Es sei 
bemerkt, daß dort die Erregungspotentiale für die Wasserstoffserien unrichtig 
angegeben sind. 10 Volt ist das E.P.' der ersten Lymannlinie und nicht der ersten 
Balmerlinie H,„, der ein E.P. von 14,9 bzw. 12,0 Volt zukommt, je nachdem man 
die Dissoziationsarbeit an der H-Molekel mit berücksichtigt oder nicht. Eine 
Zusammenstellung der Ionisationspotentiale und eine Erörterung über Zusammen- 
hänge mit den Sterntemperaturen findet sich auch bei ©. H. Payne, Washington 
Nat. Ac. Proc. 10 (1924), p. 322. 


VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 

















720 
Linie 
Ele- Maximale |- RN ; 
RT ont : Seen Intensität Quelle für die Serienanordnung 
beziehung 

10,6) Si | 3905 ? G5 A. Fowler, Bakerianlecture 1924 

11,8 Cat| H.u.K. H.S. Ko0 

135 H | a Balmer-S. | A0—4A2 

15,0 Mg*; 4481 B.S. A2 

24?| N+ _ -_ B5 A. Fowler, Roy. Soc. Proc. 107 A 
(1925), p. 31 

24,3) C+ — = B3 A. Fowler, ebendort 105 A (1924), 
p. 299 

24,4 He = _ B3 T. Lymann, Phys. Rev. 21 (1923), 
p. 202; Science 59 (1924), p. 422. 
L. Silberstein, Astroph. Journ. 
58 (1922), p. 119 

4089 
45,0) Sit+* | 4096 = Oe—B0 | A. Fowler, Roy. Soc. Proc. 103 A 
4116 (1923), p. 413 
45?! Ott _ E= Oe, Oe5 | Das Spektrum ist von Fowler und 

















Brooksbank, Roy. Astr. Soc. 
Month. Not. 77 (1917), p. 511 
ohne Serienbezeichnungen ge- 
geben 


Die Zahlen der Tabelle lassen den Gang der Temperaturen mit den 
Ionisationspotentialen deutlich erkennen. Unter Benutzung dieser und 
anderweitiger, insbesondere dem Draperkatalog entnommener Angaben 
über beobachtete Maximalintensitäten von Linien haben R. H. Fowler 
und E. A. Milne'"®*) folgende Mitteltemperaturen berechnet: 




















Typus | Element Linien Temperatur 
1?P— m’S A 
Kb Na en 3 900 
1P— m’D 4 270 
Ca 12 — ms 4.420 
1P— mD 

1?P— m?’S 5 250 
a Mg Keen 5440 
AO Mg* 4481 (2?D — 3? F) 10 220 
H Balmerserie 10 000 
B2 He D, (1?P — m?D) 16 100 

0 He*+ Pickeringserie 
(AF— mG) ' 35 200 

4686 (3 D — 4F) 


1084) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 420. 


22. Die Trennung in Riesen- und Zwergsterne. 121 


Die hier speziell für die heißeren Sterne gegebenen Werte haben sich 
in späteren Arbeiten von R. H. Fowler und E. A. Milne!"°) bei Heran- 
ziehung der Intensitäten von weiteren Linien des Sitt+, C++, Bat, 
Sr* und Ca* bestätigt. 


27. Die Trennung in Riesen- und Zwergsterne. Der innige Zu- 
sammenhang zwischen Spektraltypus und effektiver Temperatur besagt, 
daß die Typenreihe gleichzeitig eine Entwicklungsreihe vorstellt, und 
zwar pflegte man sie als Abkühlungsreihe aufzufassen, in der ein 
Stern nach und nach die Stadien des weißen, gelben und roten Sterns 
durchwandert, um schließlich seinen Lebenslauf als dunkler Körper 
zu beschließen. Aber auch der umgekehrte Weg, bei dem der den 
Stern bildende Gasball unter fortwährender Kontraktion zu höheren 
Temperaturen ansteigt, könnte möglich sein. Beide Lesarten lassen 
unbefriedigt, weil bei der ersten das Anfangsglied, bei der zweiten 
das Endglied fehlt und sich der Frage, woher sind die heißen weißen 
Sterne gekommen, für den ersten Fall einfach die Frage, was geschieht 
weiter, wenn der Stern die maximale Temperatur erreicht hat, im 
zweiten Fall gegenüberstellt. Eine wesentliche Vertiefung haben nun 
unsere Kenntnisse über den Werdegang eines Fixsterns und über die 
Bedeutung der Spektraltypenreihe durch die grundlegenden und seit- 
her vielfach wiederholten Untersuchungen von E. Hertesprung‘®®) und 
H. N. Russell!) erhalten, bei denen neben Typus und Temperatur 
auch noch die auf eine bestimmte Einheitsdistanz reduzierte Stern- 
helligkeit, die sogenannte „absolute Größe“ herangezogen wurde. Aus 
der Relation m = — 2,5 log J zwischen Größenklasse und Helligkeit 
J erhält man, wenn x die wirkliche Parallaxe eines Sterns, IT da- 
gegen eine Einheitsparallaxe bezeichnen, für die aus dieser Einheits- 
entfernung gesehene Größenklasse M des Sterns die Beziehung 


M—=m—5log IT +5logr 
und mit 7 = 0,1” 
M=m-+5-+5 log na. 


Bei Reduktion der Sterngrößen auf eine solche Einheitsentfernung 
fand Hertzsprung, daß es speziell unter den gefärbten Sternen offen- 
bar zwei kollaterale Sternserien gäbe, deren einer durchweg Sterne von 
großer absoluter Helligkeit, also auch großem Durchmesser, sogenannte 
Riesensterne angehören, während die andere wieder Sterne geringer 


1085) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 499; 85 (1925), p. 970 

1086) Ztschr. f. wiss. Phot. 3 (1905), p. 429. 

1087) The Observ. 35 (1912), p. 378; Proc. Amer. Phil. Soc. 51 (1913), p. 569; 
Pop. Astr. 22 (1914), p. 275, 331. 


1722 VIse,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


absoluter Helligkeit und kleinen Durchmessers, also Zwergsterne, um- 
faßt. Auf Grund eines wesentlich reicheren Materials erkannte dann 
Russell, daß die Riesen der Spektralklassen F—M durchweg eine 
mittlere absolute Größe M —= 0,0” besitzen, während sich ihm für die 
Zwergsterne folgende mittlere M-Werte ergaben !®®): 

Typus: AO U FIN FD ERRTEBE N KO cl 
M: +14 +42 +43 +57 +57 +71 +92 +99. 
Der zwischen den roten Riesen und roten Zwergen bestehende große 
Unterschied in den absoluten Größen und das Zusammenlaufen und 
schließlich Ineinanderübergehen der M-Werte beim Übergang zu den 
gelben und weißen Sternen führt nun zwanglos zu folgender Vor- 
stellung vom Entwicklungsgang eines Sterns: Ein nicht leuchtender 
großer Gasball wird infolge der durch Kontraktion bewirkten Tem- 
peratursteigerung schließlich leuchtend und zum roten Riesenstern 
von geringer Dichte. Die weitere Kontraktion, die aber wegen der 
dabei stetig wachsenden Dichte immer langsamer vor sich geht, bringt 
nach und nach die für den Übergang in das Stadium eines gelben 
Riesen und schließlich weißen Sterns nötige Temperatursteigerung mit 
sich. Da sich dabei Verkleinerung des Volumens, also Verringerung 
der Helligkeit und Vergrößerung der Ausstrahlung durch die steigende 
Temperatur ungefähr die Waage halten, bleibt die Helligkeit während 
des Riesenstadiums nahezu konstant, so daß die Riesensterne der Ty- 
pen @—M unter Voraussetzung nahe gleicher Masse auch nahezu 
gleiche absolute Größe zeigen. Schließlich wird aber ein Zustand ein- 
treten, in dem die bei immer langsamer vor sich gehender Kontrak- 
tion gleichzeitig kleiner werdende Temperaturerhöhung durch die Aus- 
strahlung kompensiert wird. Der Stern hat dann seine Höchsttem- 
peratur erreicht. Da weiterhin die Ausstrahlung über den geringer 
werdenden Kontraktionseffekt immer mehr überwiegen wird, beginnt 
der Stern sich wieder abzukühlen, und er durchläuft nun als Zwerg- 
stern die Typenreihe wieder zurück zum gelben, roten und endlich 
dunklen Stern. Der durch die Maximaltemperatur gegebene Grenz- 
typus, bis zu dem der Stern gelangen kann, ist nach A. S. Edding- 
tons!"®) theoretischen Untersuchungen über das Strahlungsgleich- 
gewicht in polytropen Gaskugeln durch die Masse des Sterns bestimmt. 
Sterne größerer Masse gelangen zu höherer Maximaltemperatur als 
Sterne kleinerer Masse. Ob aber in diesem Entwicklungsgang auch 
die B-Sterne eingeschlossen sind, die durchweg Riesensterne sind, oder 

1088) Pop. Astr. 22 (1914), p. 290. 


1089) Ztschr. f. Phys. 7 (1921), p. 351. Siehe auch R. Emden, Thermodynamik 
der Himmelskörper IIIE, diese Encyklopädie VI2 (1925), Nr. 24, p. 487 ff. 


27. Die Trennung in Riesen- und Zwergsterne. 123 


ob diese mit den O-Sternen eine getrennte Gruppe anderer Entwick- 
lung bilden, ist derzeit noch nicht zu entscheiden. 10°) 

Es sei noch erwähnt, daß es neben diesen beiden Sternserien der 
Riesen und Zwerge noch Überriesen gibt, die an Helligkeit und Durch- 
messer die gewöhnlichen Riesen um ein Mehrfaches übertreffen, und 
Liliputaner, für die sich Dichten ergeben haben, die um viele Tausende 
mal höher sind als die des Wassers. Zu den letzteren gehören die 
Begleiter von Sirius, 0,Eridani und oÜeti sowie ein von van Maanen 
aufgefundener Stern vom Typus F. Die aus der geringen absoluten 
Leuchtkraft in Verbindung mit dem frühen Typus A—F aller dieser 
Sterne von A. S. Eddington'®!) gefolgerte und durch ein nach Ver- 
lust aller Elektronen erfolgtes Zusammenbacken der Atomkerne er- 
klärte hohe Dichte, hat durch Messungen der Einsteinschen Rotver- 
schiebung der Spektrallinien im Gravitationsfeld von W. 8. Adams '’®?) 
eine Bestätigung gefunden. 

Es ist klar, daß bei der Verschiedenheit der Dichten, die auf 
Riesen und Zwergen herrschen, auch Unterschiede im Spektrum sol- 
cher Sterne trotz gleicher Temperatur oder gleichem Typus auftreten 
müssen, die sich aus den infolge der veränderten Dichte anderen loni- 
sationsgraden ergeben. Auf solche kleine Unterschiede in den Spektren 
der Sterne ist J. N. Lockyer schon im Jahre 1897 aufmerksam ge- 
worden, und er hat auf Grund genauen Studiums zahlreicher Stern- 
spektren bereits damals erkannt, daß in der Sternentwicklung offen- 
bar ein aufsteigender und ein absteigender Ast angenommen werden 
muß. Das von ihm gegebene Schema, in dem die einzelnen Stadien 
nach den typischen Sternen benannt erscheinen, ist das folgende: 


Argonian und Alnitamian stars. 
(y Argus Oap, & Puppis Od, s Orionis BO.) 
Crucian (8 Crucis Bl) n Achernian (« Eridani B5) 

Taurian ($Tauri B3) Algolian (ß Persei B8) 
Rigelian (ß Orionis B8) Markabian (a Pegasi A 0) 
Cygnian («Cygni A2) —_ 
Sirian (Sirius A 0) 
Proeyonian (@Canis min. F'5) 
Arcturian (« Bootis K 0) 
\ Piseian (19 Piseium N) 













Polarian (Polaris F'8) 
Aldebaranian (« Tauri X’ 5) 
Antarian (« Scorpii Ma) 


1090) Eine theoretische Behandlung der auf Zwergsternen herrschenden 
Verhältnisse ist von W. Rabe, Astron. Nachr. 225 (1925), p. 217 versucht worden. 
Siehe auch das Autoreferat in Sirius 1926, p. 101. 

1091) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 408. 

1092) Publ. Astr. Soc. Pac. 37 (1925), p. 158. 


724 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Wenn auch diese Lockyersche Reihung in einzelnen Gliedern 
fehlerhaft ist — «Bootis ist beispielsweise ein typischer Riesenstern, 
und auch die Stellung von M an den Anfang und N an das Ende 
ist nach neueren Vorstellungen nicht gerechtfertigt —, so liegt ihr 
doch schon der gleiche Gedanke zugrunde wie den späteren Unter- 
suchungen von Hertzsprung und Russell. Die von Lockyer bemerkten 
Unterschiede, und zwar insbesondere dıe größere Intensität der Funken- 
linien und Schwäche der Bogenlinien im aufsteigenden Ast, entspre- 
chen vollständig den modernen, auf der Ionisationstheorie aufgebauten 
Vorstellungen. Infolge der geringeren Dichte ist ja der Ionisations- 
grad tatächlich etwas höher als bei den Zwergen, so daß aus den 
Unterschieden in der Intensität besonders empfindlicher Linien sogar 
ein Schluß auf die absolute Größe der betreffenden Sterne gezogen 
werden kann. (Siehe Nr. 28.) Vergleicht man die Spektren zweier 
solcher Sterne, eines Riesen und eines Zwergs von gleicher Tempera- 
tur, so reiht sich der Riesenstern in der Typenreihe durchschnittlich 
um einen halben Typus früher ein als der Zwerg.!®®) Umgekehrt 
folgt daraus, daß die Temperatur eines Riesensterns, der den gleichen 
Spektraltypus zeigt wie ein Zwergstern, etwas niedriger liegt als die 
des Zwerges. Unter Verwendung der vorhandenen Temperaturbestim- 
mungen haben F“ H. Seares!*) und E. Hertzsprung'’”) Mitteltempera- 
turen für Riesen und Zwerge einzelner Typen abgeleitet und die fol- 
genden Werte gefunden 19°) 10962); 


























Seares Hertzsprung Gerasimovie 
Typus : | : 

Riesen | Zwerge Riesen | Zwerge Riesen Zwerge 
F5 6080 6080 ° = 5880 6100 " 5800 
@0 5300 5770 5020° 5440 5000 5600 
G5 4610 5500 4480 5300 4000 5300 
Ko 3860 4880 4160 4790 3500 4800 
K5 | 3270 4120 3370 _ 3200 3900 
Ma || 3080 3330 3250 A En _ 











1093) Siehe bei ©. H. Payne, Stellar Atmospheres p. 195. 

1094) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 202. 

1095) Leiden Sterrewacht Ann. 14 (1922), Deel 1. 

1096) Siehe bei C. H. Payne, Stellar Atmospheres p. 31, 32. Zu gleichen 
Ergebnissen ist B. P. Gerasimovie, Harvard Coll. Obs. Circ. 311 (1927) auf Grund 
des Verhaltens der Sr*-Linien gelangt. Die bezüglichen Zahlen sind ebenfalls 
beigefügt. 

1096a) Siehe ausführlicher bei J. Hopmann, Colorimetrie der Gestirne, Nr. 17, 
diese Encykl. VI 2 (1930), Nr. 26. 


28. Die Ermittlung der absol. Größe der Fixsterne auf spektroskop. Wege. 725 


28. Die Ermittiung der absoluten Größe der Fixsterne auf 
spektroskopischem Wege. Spektroskopische Parallaxen. Schon ge- 
legentlich seiner Untersuchungen über die absolute Größe einzelner 
Sterne hat E. Hertzsprung'!®) bemerkt, daß für Sterne größerer abso- 
luter Helligkeit, also Riesen, der Maurysche c- und ac-Charakter (siehe 
Nr. 24, p. 694) des Spektrums typisch zu sein scheine, und daß im 
Spektrum solcher Sterne die Linie 4078 des Sr* (1?5 — 1?P) in der 
Regel kräftiger sei als im Sonnenspektrum. Das reiche auf dem M. Wil- 
son Solar Observatory zur Verfügung stehende Material an Spektral- 
aufnahmen veranlaßte nun W. $. Adams und A. Kohlschütter!”®) zu 
einer umfangreichen Untersuchung, bei der sie die Spektren in Zu- 
sammenhang mit der bis zu einem gewissen Grad ein Maß für die 
Distanz bildenden Größe der Eigenbewegung brachten. Sie fanden 
dabei, daß das kontinuierliche Spektrum im Blau bei rötlichen Sternen 
von kleiner Eigenbewegung, also in großer Distanz stehenden Riesen 
etwas rascher an Helligkeit abfällt als bei ebensolchen Sternen grö- 
ßerer Eigenbewegung. Auch die erwähnte Wahrnehmung von Hertz- 
sprung über die größere Schärfe der Dalmerserie bei Riesensternen 
bestätigte sich vollauf. Ein Versuch, den Helligkeitsabfall im Blau 
mit der bekannten absoluten Größe in zahlenmäßigen Zusammenhang 
zu bringen, ergab zwar die Möglichkeit eines Rückschlusses auf die 
Leuchtkraft aus dem Aussehen des Spektrums, doch konnte der Methode 
damals noch nicht die wünschenswerte Genauigkeit gegeben werden. 
Eine Weiterführung der Untersuchungen aber ließ eine Anzahl von 
Linien auffinden, deren Intensität nur wenig mit dem Fortschreiten in 
der Typenreihe, dagegen stark mit der absoluten Größe variiert. Außer 
der schon von Hertzsprung angegebenen Sr+-Linie bei 4078, die in 
Riesen von den Typen A8—F5 kräftig, bei Zwergen der gleichen 
Typen aber schwach erscheint, zeigten noch, wie sich bei diesen und 
später von W. 8. Adams'””°) allein und in Gemeinschaft mit A. H.Joy*!®) 
ausgeführten Arbeiten feststellen ließ, die Linien 4078 und 4215 des 
Sr+, dann 4290 und 4395 des Tit, eine dem V oder Fe angehörende 
Linie bei 4408 und eine vermutlich auch dem Sr zuzuschreibende 
Linie bei 4207 wenigstens bei Beschränkung auf bestimmte Typen 
ein ähnliches Verhalten, während umgekehrt wieder die Linien 4456 


1097) Ztschr. f. wiss. Phot. 3 (1905), p. 429. 
1098) Astroph. Journ. 40 (1914), p.385; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 89 (1914). 
1099) Washington Nat. Ac. Proc. 2 (1916), p. 147, 152; Mt. Wilson Solar 
Obs. Contr. Nr. 24, 25 (1916). 
1100) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 242; Wash. Nat. Ac. Proc. 8 (1922), p. 173. 
Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 244 (1922); Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 328. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI2, B. 47 


726 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


(Ca) und 4225 (Sc) in den Spektren der Zwergsterne kräftiger er- 
schienen. Die Schätzung der Linienintensität erfolgte nach der in der 
Stellarphotometrie üblichen Stufenschätzungsmethode durch Vergleich 
mit anderen Linien, die mit der absoluten Größe entweder überhaupt 
nicht oder im entgegengesetzten Sinne variieren. Nach Eichung der 
erhaltenen Zahlen mit Hilfe von Sternen bekannter absoluter Größe 
ließ sich für alle untersuchten Sterne deren absolute Größe und in 
Verbindung mit ihrer scheinbaren Helligkeit auch die Parallaxe er- 
mitteln. Später gelang es W. S. Adams und A. H. Joy"), ähnliche Kri- 
terien auch für die Sterne der früheren Typen Oe, B und A aufzu- 
finden, und neuerlich sind speziell für einige hundert B-Sterne spektro- 
skopische Parallaxen aus dem Vergleich der Intensität der Linien 
4144 und 4472 des Parhelium und 4388 des Orthohelium mit der 
Wasserstofflinie 4, von D. L. Edwards!) ermittelt worden. Speziell 
diese letzteren Bestimmungen bezeichnete aber ©. H. Payne!) als 
nicht ganz einwandfrei, da die He-Linien hauptsächlich nur den Typus 
bestimmen sollen. W.J. Luyten'!'*) fand dann, daß die gelbe Natrium- 
linie in den Spektren der Zwerge kräftiger sei, also ebenfalls zur Be- 
stimmung der absoluten Größe verwendber sein dürfte, und nach 
@. Abetti‘!®) sowie H. Shapley und O. H. Payne'!) bildet auch die 
Breite der Ca- und anderer Absorptionslinien ein brauchbares Kri- 
terium. 

Der nach Adams und Kohlschütter bei Riesen etwas stärkere 
Helligkeitsabfall im Blau ist von @. 8. Monck''%) später eingehender 
untersucht und doch für die Ermittlung der Leuchtkraft geeignet be- 
funden worden. Nach B. Lindblad‘!®) rührt diese Eigentümlichkeit 
davon her, daß die Temperatur der Riesen etwas niedriger ist als die 
der Zwerge gleichen Typs. Setzt man vor das Objektiv ein Objektiv- 
gitter, so werden die Innenränder der Spektren erster Ordnung, die 
den blauen Teilen derselben entsprechen, um so weiter auseinander- 
rücken, je stärker der Helligkeitsabfall in Blau ist, und aus der Innen- 
distanz dieser beiden Bilder läßt sich die kleinste photographisch noch 
wirksam gewesene Wellenlänge bestimmen. Diese minimalen Wellen- 


1101) Astroph. Journ. 57 (1923), p. 294; Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 120; 
Mt. Wilson Contr. 262 (1923). 

1102) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1922), p. 47. 

1103) Nature 113 (1924), p. 783. 

1104) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p- 175. 

1105) Memorie Soc. Astr. Ital. (3) 1 (1920), p. 149. 

1106) Proc. Am. Ac. of Arts and Sciences 61 (1926), Nr. 10, p. 459. 

1107) Astroph. Journ. 49 (1919), p. 289; Upsala Univ. Äarsskrift 1920. 

1108) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 45. 


28. Die Ermittlung der absol. Größe der Fixsterne auf spektroskop. Wege. 727 


längen (A”i®) hat Lindblad'') zur Ermittlung spektroskopischer Parall- 
axen mit Erfolg benutzt. 


Speziell für die früheren Typen zur Bestimmung der absoluten 
Größe brauchbar ist nach B. Lindblad'!!°) das durch die dort liegende 
Cyanbande beeinflußte Helligkeitsverhältnis der beiderseits von 3907 
liegenden Spektralteile. Später benutzte B. Lindblad!!!!) neben diesem 
Intensitätsverhältnis der Stellen 3840—3883 und 3885—3930 (Cyan- 
bande) auch noch die Helligkeitsunterschiede zwischen 4227 — G und 
@G — 4383 und zwischen 4144—4184 und 4227—4272 (Cyanbande). 
Bei dieser Arbeit und deren Fortsetzung durch ©. Schalen ''!?) wurde 
das Intensitätsverhältnis durch das Verhältnis der Expositionszeiten 
gemessen, bei denen die zu vergleichenden Stellen gleiche Schwärzung 
ergaben, wobei für die Konstante p des Schwarzschildschen Schwär- 
zungsgesetzes S—=.J-t (8 = Schwärzung, J== Intensität und ?= Be- 
lichtungsdauer) der Mittelwert p» = 0,78 untergelegt wurde.'?) 

Ch’ing Sung Yü'''*) fand, daß zwischen Temperatur, absoluter 
Größe und Kraft der an der Balmergrenze bei den A-Sternen auf- 
tretenden kontinuierlichen Wasserstoffabsorption ebenfalls ein Zusam- 
menhang bestehe, den er zur Ermittlung absoluter Größen verwen- 
dete.1!) S. A. Mitchell!) hält Yüs Werte aber nach einer Kon- 
trolle durch die auf dem Leander MeCormick Observatory trigono- 
metrisch bestimmten Parallaxen nicht für zuverlässig. 


Nach den erörterten Methoden sind spektroskopische Parallaxen 
bereits für mehrere Tausend Sterne bestimmt worden und außer in 
den bereits erwähnten Abhandlungen noch in den folgenden Publi- 
kationen zu finden: 


W. S. Adams und A. H. Joy: The luminosities and parallaxes of five hundred 
stars. Astroph. Journ. 46 (1917), p. 313. 

H. Shayley und B. Lindblad: The distances of fifty stars determined from Ob- 
jective prism spectra. Harvard Coll. Obs. Circ. 228 (1921). 

W.S. Adams, H.C.Joy, G. Strömberg und C.@G. Burwell: The parallaxes of 1646 


1109) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 83 (1923), p. 503. Vgl. hierzu die 
Einwände von K. Lundmark und W.J. Luyten, ebendort 83 (1923), p. 470. 

1110) Astroph. Journ. 55 (1922), p. 85; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 228 (1922). 

1111) Nova acta Acad. Upsal. (4) 6 (1925), Nr. 5. 

1112) Arkiv Math. Astr. och Fys. 19A (1926), Nr. 33; Upsala, Meddelanden, 
Nr. 10 (1926). 

1113) Eine Zusammenstellung der Methoden für frühere Typen ist von 
A. V. Douglas, Astroph. Journ. 64 (1926), p. 262 gegeben worden. 

1114) Lick Obs. Bull. Nr. 380 (1926), p. 155. 

1115) Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 253. 

1116) Ebendort 38 (1926), p. 381. 

47* 


7128 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


stars derived by the spectroscopic method. Astroph. Journ. 53 (1921), p. 13, 
mit Berichtigung dazu in Astroph. Journ. 54 (1921), p. 80. 

W. E. Rimmer: The luminosities and parallaxes of five hundred stars, types FO 
to Mb. London Roy. Astr. Soc. Mem. 62 (1923), p. 113; 64 (1925), part. 1. 

W. E. Harper und R. K. Young: Methods and results of the absolute magnitude 
determinations of stars at the Dominion Observatory. Pop. Astr. 31 (1923), 
p. 577. 

— The absolute magnitudes and parallaxes of 1105 stars. Dominion Obs. Publ. 3 
(1924), Nr. 1; Pop. Astr. 32 (1924), p. 463. 

— The absolute magnitudes and parallaxes of 1080 stars. Journ. Roy. Astr. 
Soc. of Canada 18 (1924), p. 9. 

D. L. Edwards: Spectroscopie parallaxes of 100 B-type stars. London Roy. Astr. 
Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 366. Siehe auch ebendort 83 (1922), p. 47. 

H. Macklin: Note on spectroscopice parallaxes. London Roy. Astr. Soc. Month. 
Not. 85 (1924), p. 444. 

@. Abetti: Parallassi spettroscopiche di 159 stelle del primo typo di Secchi. 
Arcetri, osservazioni e memorie 41 (1924), p. 9. 

— Parallassi spettroscopiche di 275 stelle del primo typo di Secchi. Ebendort 
42 (1925), p. 11. 

D. L. Edwards: Spectroscopie parallaxes of B-type stars (Third paper). London 
Roy. Astr. Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 439. 

A. V. Douglas: Spectroscopie absolute magnitudes and parallaxes of 200 A-type 
stars. Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 20 (1926), p. 265. 

W. S. Adams, A. H.Joy und M. L. Humason: The absolute magnitudes and parall- 
axes of 410 stars of type M. Astroph. Journ. 64 (1926), p. 225; Mt. Wilson 
Solar Obs. Contr. 319 (1926); Pop. Astr. 35 (1927), p. 135. 

B. Lindblad: On the absolute magnitudes and parallaxes of bright stars deter- 
mined by the cyanogen criterion. Kunigl. Svenska Vetenscaps acad. Hand- 
lingar (3) 4 (1927), Nr. 5; Upsala Meddelanden 28 (1927). 

Ch’ing Sung Yü: Spectroscopic parallaxes of B-type stars. London Roy. Astr. 
Soc. Month. Not. 87 (1927), p. 364. 

H.(0. Woods: Spectroscopic parallaxes of 300 stars A 0 to A5. London Roy. Astr. 
Soc. Month. Not. 87 (1927), p. 387. 


Die Genauigkeit der spektroskopischen Parallaxenbestimmungen 
ist mehrfach geprüft worden, und zwar von W. S. Adams, A. H. Joy 
und @. Strömberg'"'"), H. H. Turner!) sowie von W. S. Adams und 
@. Strömberg‘''?) durch Vergleichen mit den trigonometrisch erhaltenen 
Werten und weiter von H.N. Russell, W.S. Adams und A. H.Joy''?°) 
und von G@. Shajn''?') durch Benutzung bekannter Distanzen von 
Doppelsternen. Die Übereinstimmung ergab sich überall als befriedi- 


1117) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 195. 

1118) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 354, 597. 

1119) Washington Nat. Acad. Proc: 5 (1919), p. 228; Mt. Wilson Solar Obs. 
Comm. 58 (1919). 

1120) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 189. 

1121) Astroph. Journ. 62 (1925), p. 104. 


29. Die relat. Häufigkeit der Elemente in den Atmosphären der Fixsterne 729 


gend, und nur geringe systematische Differenzen waren von @. Ström- 
berg‘'??) einmal nachweisbar. 

Die zur Ermittlung der Leuchtkraft geeigneten spektralen Unter- 
schiede bei Riesen und Zwergen sind aus der lonisationstheorie durch 
Unterschiede in Dichte, Masse und Temperatur erklärbar.'!??) Darauf, 
daß auch die Masse, also die Gravitation an den Sternoberflächen mit- 
spielt, hatte schon A. Pannekoek'!*) hingewiesen, der dann gleich- 
zeitig versuchte, aus Differenzen zwischen spektroskopischen und tri- 
gonometrischen Parallaxenwerten auf die Masse zu schließen. 


29. Die relative Häufigkeit der Elemente in den Atmosphären 
der Fixsterne. Die relative Häufigkeit eines Elementes in einem Ge- 
misch ist aus der Intensität der Spektrallinien schätzbar. H. N. Rus- 
sell‘128) hat bereits vor längerer Zeit versucht, aus der Intensität der 
Linien im Sonnenspektrum auf die relative Häufigkeit der Elemente 
in der Sonnenatmosphäre zu schließen und hat dabei eine auffallende 
Ähnlichkeit mit irdischen Verhältnissen gefunden. Die Intensität der 
Spektrallinien hängt jedoch in komplizierter Weise mit der Tempera- 
tur, dem Druck, mit inneren atomaren Verhältnissen und dem loni- 
sationsgrad und mit der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der 
Linien der einzelnen Serien so eng zusammen, daß eine solche Unter- 
suchung nur qualitative Resultate ergeben kann. Jedenfalls wird das 
erste Erscheinen einer bestimmten Linienserie davon abhängen, ob 
eine bestimmte geringste Anzahl von Atomen in dem betreffenden 
Erregungszustand vorhanden ist oder nicht.!!?%) Die Teilkonzentration 
solcher Atome ist aber mit den in Nr. ?b gegebenen Formeln bei 
bekannter Temperatur und bekanntem Elektronendruck berechenbar. 
Macht man, um auf die relative Häufigkeit des Elementes übergehen 
zu können, nun die Annahme, daß die für das erste Erscheinen einer 
Linienserie nötige Teilkonzentration für alle Elemente gleich sei, so 
geben die reziproken Werte dieser Teilkonzentrationen unmittelbar 
ein Maß für die relativen Häufigkeiten selbst. Auf diesem Wege er- 


1122) Ebendort 55 (1922), p.11; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 220 (1922). 

1123) Harvard Coll. Obs. Circ. 291 (1926). Im Gegensatz hierzu findet B. P. 
Gerasimovid [Harv. Coll. Obs. Cire. 311 (1927)], daß die Erklärung der Tatsache, 
daß nur einzelne Linien Veränderungen erleiden, Schwierigkeiten verursache. 
Siehe hierzu auch J. Q. Stewart, Pop. Astr. 31 (1923), p. 88 und C. H. Payne, 
Stellar Atmospheres Kap. 10 sowie Washington Nat. Acad. Proc. 12 (1926), p. 12. 

1124) Astron. Institutes Netherland Bull. 1 (1922), Nr. 19, p. 107. 

1125) Science 39 (1914), p. 791. Siehe auch die Erörterungen dazu von 
H. H. Plaskett, Vietoria Domin. Astroph. Obs. Publ. 1 (1922), p. 325. 

1126) Washington Nat. Akad. 11 (1925), p. 192. (C. H. Payne.) 


730 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


hielt ©. H. Payne'"”') die in der folgenden Tabelle für 15 in den Stern- 
atmosphären anscheinend besonders häufig vorkommende Elemente ge- 
gebenen Häufigkeitszahlen in Prozenten: 


























Element Stern- ac Stein- 
atmosphäre Krdkruste Ganze Erde | Meteoriten 

Si | 5,7 16,2 9,58 11,2 
Na 5,7 2,02 0,97 0,6 
M | 4,2 0,42 3,38 2,8 
Al | 3,6 4,95 2,66 1,1 
C 3,6 0,21 — = 
GR 2,9 1,5 1,08 0,56 
Fe 2,5 1,48 46,37 5,92 
Zn 0,57 0,0011 Sr a 
Ti 0,43 0,241 0,12 u 
Mn 0,36 0,035 0,06 > 
| 0,29 0,021 0,05 0,29 
K | 0,11 1,088 0,38 0,10 
V | 0,05 0,0133 En aut 
Sr | 0,002 0,0065 in An 
Bao | 0,005 0,0098 er DIE 














Ein Vergleich mit den für die Erde und die Steinmeteoriten nach 
Olarke‘!?®) beigesetzten Werten zeigt insofern eine im allgemeinen 
befriedigende Übereinstimmung, als doch die in den Sternatmosphären 
besonders stark vertretenen Elemente auch auf der Erde zu den häufiger 
vorkommenden gehören. Gewisse Unterschiede, wie insbesondere bei 
Si und Fe, können vielleicht auf kosmogonische Ursachen (Bildung 
der Erde aus den äußeren Schichten der Sonne, Herabsinken schwe- 
rerer Elemente in dem noch nicht erstarrten Erdkörper) zurückgeführt 
werden. 


30. Die neuen Sterne. In den fast 300 Jahren, die zwischen dem 
Aufleuchten der Nova Cassiopeiae im Jahre 1572 und der Entdeckung 
der Nova (7) Coronae im Jahre 1866 liegen, bei der zuerst spektro- 
skopische Beobachtungen angestellt worden sind, hatte das Aufleuchten 
von im ganzen nur sieben neuen Sternen beobachtet werden können. 
Daß nun aber bis jetzt bereits über 100 neue Sterne bekannt ge- 
worden sind, ist hauptsächlich der Photopraphie zu danken, die nicht 
nur die Überwachung des Himmels erleichtert, sondern auch schwächere 
Novaerscheinungen zur Entdeckung gebracht hat. 


1127) Stellar Athmospheres p. 187. 
1128) U. S. Geolog. Survey, Prof. Papers 132 (1924) und Bull. 491. 


30. Die neuen Sterne. SMS 


Schon bei der Nova (T) Coronae vom Jahre 1866, die haupt- 
sächlich von W. Huggins und W. A. Miller"'?®), E. J. Stone und Car- 
penter‘"2°) und von C. Wolf und @. Rayet!!"?") spektroskopisch unter- 
sucht worden ist, fiel das Auftreten heller Bänder und breiter heller 
Wasserstofflinien auf, die, wie die weiteren Beobachtungen gezeigt 
haben, für das Novaspektrum nach dem Lichtmaximum typisch sind. 
Das Spektrum dieses Sterns, der vor dem Lichtausbruch ungefähr von 
der 1038: war, ist in neuester Zeit wieder von K. Lundmark'!?) unter- 
sucht worden. Der Stern hatte mit 9,4” visuell und 11,0” photo- 
graphisch seine ursprüngliche Helligkeit wieder angenommen, und das 
Spektrum war vom Typus Mle, wie sich später noch herausstellen 
wird, ganz abweichend vom normalen spektroskopischen Verlauf einer 
Novaerscheinung. 

Eingehendere Studien konnten schon an der nächsten, am 24. No- 
vember 1876 von Schmidt entdeckten Nova Cygni angestellt werden. 
Nach H. 0. Vogel!!??), A. Cornu!!”*) und R. Copeland!®) erschienen 
u.a. H,, H, und H, und die grüne Nebellinie bei 5007 als breite 
helle Bänder. Vogel konnte schon an diesem Stern beobachten, daß 
das Spektrum am 25. Oktober 1877, also ungefähr ein Jahr nach dem 
Aufleuchten, fast nur mehr aus der Nebellinie 5007 bestand, daß also 
der Stern ‚um diese Zeit bereits in das sogenannte Nebelstadium über- 
gegangen war. Diese Beobachtung von Vogel bildete eine wertvolle 
Ergänzung einer Wahrnehmung von J. W. Backhouse*"?®), daß zunächst 
die F-Linie des Wasserstoffs am hellsten war, später aber zurücktrat, 
während die grüne Nebellinie gleichzeitig immer heller wurde. 

Bei der Nova Aurigae vom Jahre 1891 wurde zum erstenmal 
von allen Beobachtern festgestellt, daß fast alle hellen Bänder, ins- 
besondere die hellen Wasserstofflinien, an der violetten Seite von 
Absorptionslinien begleitet waren, die so stark nach Violett verschoben 
waren, daß sie Geschwindigkeiten bis zu mehreren tausend Kilometern 
ergaben, wenn man die Verschiebungen als Dopplersche Verlagerungen 
deutete. Ähnliche Verhältnisse zeigten sich dann später bei allen 
anderen - seither erschienenen neuen Sternen, so daß das Auftreten 


1129) London Roy. Soc. Proc. 15 (1866), p. 146; Roy. Astr. Soc. Month. Not. 
26 (1866), p. 275. 

1130) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 26 (1866), p. 295. 

1131) Paris C. R. 62 (1866), p. 1108. 

1132) Publ. Astr. Soc. Pac. 33 (1921), p. 271. 

1133) Berlin Sitzber. 1877, Mai. 

1134) Paris 0. R. 83 (1877), p. 1172. 

1135) Astr. Nachr. 89 (1877), p. 63; 90 (1877), p. 351. 

1136) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 39 (1877), p. 35. 


132 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


heller Bänder mit stark nach Violett verschobenen dunklen Begleitern 
nunmehr als typisches Merkmal neuer Sterne gilt und vielfach zur 
Entdeckung schwacher Objekte auch dann noch führt, wenn diese ihr 
Lichtmaximum bereits stark überschritten haben. Die starken Ver- 
schiebungen, die auf bis dahin ungewohnte Geschwindigkeiten führten, 
ließen damals Zweifel darüber entstehen, ob sie nach dem Doppler- 
schen Prinzip als Geschwindigkeitsverschiebungen gedeutet werden 
dürfen. Insbesondere hat J. Wilsing''3’) in mehreren Publikationen 
darauf hingewiesen, daß kräftige Druckverschiebungen auftreten kön- 
nen, wenn man den Funken in Wasser, also unter hohem Druck 
überspringen läßt, und er dachte bei den neuen Sternen an die Möglich- 
keit, daß eine Kombination der Spektren des Kerns und der aus- 
gebreiteten Gashülle vorliege. 

Daß das früher erwähnte Auftauchen der Nebellinie bei 5007 im 
vorgerückten Novastadium noch nicht den Schlußzustand bedeutet, 
haben wesentlich später ©. D. Perrine"'®®) sowie W. S. Adams und 
@. E. Pease‘"??) zeigen können, als sie fanden, daß 12 bzw. 23 Jahre 
nach dem Aufleuchten dieses Sterns die früher beobachteten Nebel- 
linien bei 4960 und 5007 nicht mehr vorhanden waren. 

Die von Anderson zwei Tage vor ihrem Maximum am 2]. Februar 
1901 als Stern 2” entdeckte Nova Persei ist infolge der Fülle der 
an ihr beobachteten Erscheinungen neuerlich besonders wichtig ge- 
worden. Nach amerikanischen Aufnahmen hatte der Stern vor dem 
Maximum ein Spektrum vom Typus B.'“0) Von den zahlreichen Be- 
obachtern, die diese Nova spektroskopisch untersucht haben, seien nur 
erwähnt J. N. Lockyer #1), W. Sidgreaves'““?), G. E. Hale''*), H. C. 
Vogel‘), J. Hartmann.‘“®) Danach war das Spektrum um die Zeit 
des Maximums etwa vom Typus A—F, die Linien der Metalle und 
des H waren breit und verwaschen, die Linien H und K des Cat 
dagegen scharf. Aber schon kurz nach dem Maximum, am 24. Februar, 
hatten sich diese Verhältnisse umgekehrt, da nun die Linien der 








1137) Potsdam Astrophys. Obs. Publ. 12 (1900), p. 77; Berlin Sitzber. 1899, 
p. 426; Astroph. Journ. 10 (1899), p. 113. 

1138) Astroph. Journ. 19 (1903), p. 80. 

1139) Ebendort 40 (1914), p. 294. 

1140) Harvard Coll. Obs. Circ. 56 (1901). 

1141) London Roy. Astr. Soc. 61 (1901), App.; 62 (1902), App. 

1142) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 61 (1901), p. 355, 388; 62 (1902), 
p. 137, 521. 

1143) Astroph. Journ. 13 (1901), p. 173, 238. 

1144) Astr. Nachr. 154 (1901), p. 391; 155 (1901), p. 66. 

1145) Astr. Nachr. 155 (1901), p. 73. 


30. Die neuen Sterne. 133 


Metalle scharf erschienen, während sich H und K verbreitert hatten, 
und außerdem zeigten sich bereits die Linien des Wasserstoffs, Na- 
triums und anderer Elemente, inbesondere die He*-Linie 4686, als 
helle Bänder von wechselnder Intensität und oft ziemlich komplizierter 
Struktur, und ebenso war das ein gleiches Verhalten zeigende typische 
helle Band bei 4640 aufgetreten. Alle hellen Bänder waren an der 
violetten Seite von dunklen Absorptionslinien begleitet, die eine starke, 
aber von Tag zu Tag wechselnde Blauverschiebung aufwiesen. An- 
scheinend waren zwei Spektren, ein kontinuierliches Spektrum mit 
Absorptionslinien und ein reines Emissionsspektrum, vorhanden, die 
sich, wie W. W. Campbell und W. H. Wright!) und W. 8. Adams!) 
fanden, unabhängig voneinander veränderten, und zwar derart, daß bei 
jedem Aufflammen das Absorptionsspektrum kräftiger und das Emis- 
sionsspektrum schwächer wurde, während das Umgekehrte eintrat, 
wenn die Helligkeit des Sterns wieder abfiel. Die aus den stark ver- 
schobenen dunklen Begleitern der hellen Bänder folgenden veränder- 
lichen Radialgeschwindigkeiten wollte J. Wüsing‘''®) später wieder 
daraus erklärt wissen, daß zunächst mit nur geringer Geschwindigkeit 
losgeschleuderte Gasmassen unter dem Einfluß einer veränderlichen 
Repulsivkraft verschieden hohe Geschwindigkeiten in radialer Richtung 
annehmen. Die Nebellinien 4959 und 5007 zeigten sich zuerst im 
April 1901 als helle Linien. Sie wurden dann immer kräftiger, wäh- 
rend der Stern an Licht abnahm, und bildeten bald das auffälligste 
Merkmal des ganzen Spektrums"), bis das letztere im August 1903 
überhaupt völlig in das Spektrum eines Gasnebels übergegangen 
war.1150%) Dann aber bildeten sich die Nebellinien wieder zurück; 1905 
und 1907 waren sie nach J. Hartmann'"°') nicht mehr auffindbar, und 
statt ihrer waren die für einen O-Stern typische Linie 4686 des Het 
und die Wasserstofflinien wieder als helle Linien sichtbar geworden. 
Spätere Aufnahmen von W. H. Wright''°?) und von W. $. Adams und 
@. E. Pease!'?®) ergaben dann keine weitere Veränderung mehr. 

Zur Zeit, als das kontinuierliche Spektrum schwächer und die 
hellen Bänder kräftiger wurden, zeigten Aufnahmen mit photographi- 
schen Objektiven die Nova wie von einer Aureole umgeben, die von 

1146) Astroph. Journ. 14 (1901), p. 269. 

1147) Ebendort 14 (1901), p. 158. 

1148) Astr. Nachr. 157 (1902), p. 346. 

1149) Siehe bei E. C. Pickering, Astroph. Journ. 14 (1901), p. 82. 

1150) Siehe bei H. D. Curtis, Astroph. Journ. 19 (1903), p. 83. 

1151) Astr. Nachr. 177 (1908), p. 113. 


1152) Publ. Astr. Soc. Pac. 29 (1917), p. 217. 
1153) Harvard Coll. Obs. Bull. 646 (1917). 


' 
1734 VI2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


M. Wolf'"*) und E. v. Gothard''°®) dadurch erklärt wurde, daß die 
Achromasie der betreffenden Objektive nicht mehr zur Strahlung des 
Sterns paßte. Aus dem gleichen Grunde mußte der Stern im späteren 
Stadium bei visuellen Beobachtungen an Refraktoren wegen der haupt- 
sächlich bJauen und violetten Strahlung anders fokussiert werden !5%), 
während weder das eine noch das andere bei Benutzung von Spiegeln 
bemerkt wurde. 

Im August 1901 fand M. Wolf!"”) photographisch, daß der Stern 
von einer ziemlich strukturreichen, ausgebreiteten Nebelhülle umgeben 
sei, die dann auch auf amerikanischen Aufnahmen bemerkt wurde. !!®) 
Bald danach beobachtete ©. D. Perrine''®), daß sich einzelne Nebel- 
knoten im Verlauf von 48 Tagen um etwa 1,5’ vom Stern wegbewegt 
hatten. In der Zeit vom 31. Oktober bis 4. NovemAer 1902 gelang 
es dann ©. D. Perrine‘!®), am Crossley-Reflektor der Licksternwarte 
das Spektrum dieses Nebels mit 34stündiger Expositionszeit zu photo- 
graphieren. Es war schwach kontinuierlich mit einem hellen Band 
zwischen H, und Z, und ähnelte dem Spektrum, das die Nova selbst 
zur Zeit des Aufleuchtens gezeigt hatte. Somit schien es sich in diesen 
Nebeln um eine Staubwolke zu handeln, die beim Aufleuchten des 
Sterns durch dessen Licht nach und nach immer weiter hinaus be- 
leuchtet wurde und in dem Maße größer zu werden schien, als das 
Licht in ihr weiter eindrang. Parallaxenmessungen an der Nova haben 
diese Vorstellung gefestigt, da sich aus der scheinbaren Vergrößerung 
der Nebelhülle und der bekannt gewordenen Distanz des Sterns tat- 
sächlich Ausbreitungsgeschwindigkeiten ergaben, die der Luftgeschwin- 
digkeit entsprachen. Später wurden neue Nebelwindungen um die Nova 
herum beobachtet, die aber vermutlich durch wirkliche Ausströmungen 
aus dem Stern hervorgerufen waren. 

Mit Übergehung der Nova Geminorum I vom Jahre 1903 und der 
Nova Lacertae vom Jahre 1910, welche letztere in späteren Stadien 
bezüglich photographischer Aureole!!#!) und Fokusdifferenz bei visu- 
ellen Beobachtungen !!#?) die gleichen Erscheinungen zeigte wie die 


1154) Astr. Nachr. 156 (1901), p. 254. 

1155) Ebendort 156 (1901), p. 283. Siehe auch $. Kostinsky, Astr. Nachr. 
156 (1901), p. 271. 

1156) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 183. 

1157) Astr. Nachr. 157 (1901), p. 143. 

1158) Siehe bei @. W. Ritchey, Astroph. Journ, 14 (1901), p. 167, 293. 

1159) Telegramm an die Astr. Nachr. 157 (1901), p. 79. 

1160) Lick Obs. Bull. 33 (1903); Astroph. Journ. 17 (1903), p. 310. 

1161) Siehe $. Kostinsky, Astr. Nachr. 189 (1911), p. 111. 

1162) Siehe E. E. Barnard, ebendort 187 (1911), p. 92. 


1 


30. Die neuen Sterne. 135 


Nova Persei, sei sofort auf die von 5. Enebo entdeckte Nova Gemi- 
norum 2 vom Jahre 1912 übergegangen, bei der der Verlauf der Er- 
scheinung unter Benutzung von Aufnahmen, die von G. Eberhard in 
Potsdam bei Kombination von Objektivgitter und Objektivprisma aus- 
geführt worden sind, von A. Brill‘!) und unter Verwendung von in 
Cambridge, Bonn und Allegheny aufgenommenen Platten von F\. J. 
M. Stratton'"**) besonders eingehend studiert worden ist. Eingehende 
Beschreibungen des Spektrums rühren außerdem noch her u. a. von 
W. H. Wright!!®), F. C. Jordan!!®), A. L. Cortie"#”), J. 8. Plaskett \!°®) 
sowie W. S. Adams und A. Kohlschütter."') Nach H. F. Newall und 
F.J. M. Stratton'"P) ähnelte das Absorptionsspektrum anfänglich stark 
dem Spektrum von « Cygni und es waren etwa 50 Linien mit Tit, 
Fe*, Va*, Sc* und Sr* identifizierbar. Bei einigen Linien unbekannten 
Ursprungs machten F\. Küstner '''') und H. Giebeler''?) darauf aufmerk- 
sam, daß sie Linien von U, A, Ra und RaEm auffallend nahe liegen. 
Schon unmittelbar nach dem Maximum waren die hellen Bänder un- 
gemein strukturreich. Ihre Breite war nach W. H. Wright!'"®) ungefähr 
4? proportional und ihre Maxima waren nach Rot oder Violett ver- 
lagert, während ihre Mitten nahezu an der richtigen Stelle standen. 
In diesem Stadium wurde auch das kontinuierliche Spektrum an der 
Seriengrenze des Wasserstoffs hell gesehen. Dann ging der Stern zum 
Typus B über und es erschienen die Linien 3995, 4447, 4602, 4607, 
4614, 4621 und 4631 des N*, die noch ein Jahr nach dem Auf- 
flammen, wo der Stern bereits das Spektrum eines typischen O-Sterns 
zeigte, jedesmal deutlicher wurden, wenn die Helligkeit der Sterns 
wieder etwas anstieg. Nach W. H. Wright'!“*) war der Stern sechs 
Monate nach seinem Aufleuchten nochmals in das frühere Stadium 
getreten, wo das Band bei 4640 heller wird, während gleichzeitig 
4686 (Het) zurücktritt. Dasselbe Verhalten wie 4640 zeigten auch 
die hellen Bänder bei 3484 und 4103, die nach Untersuchungen von 


1163) Potsdam Astroph. Obs. Publ. 23/2 (1915), Nr. 70. 
1164) Cambridge Solar Physics Observ. Ann. 4/1 (1920). 
1165) Lick Obs. Publ. 14 (1926), p. 27. 

1166) Allegheny Obs. Publ. 3 (1913), Nr. 3. 

1167) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 73 (1913), p. 646. 
1168) Journ. of Roy. Astr. Soc. Canada 6 (1912), p. 27. 
1169) Astroph. Journ. 36 (1912), p. 293. 

1170) London Roy. Astr. Soc. 73 (1913), p. 380. 

1171) Astr. Nachr. 194 (1913), p. 369. 

1172) Ebendort 191 (1912), p. 393. 

1173) Lick Ubs. Publ. 14 (1926), p. 36. 

1174) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 181. 


1736 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


A. Fowler‘!"°) dem N*+*+ angehören. Auch im Jahre 1914 war die 
Nova nach Beobachtungen von W. 5. Adams und F.G. Pease‘!"®) noch 
vom Typus 0. Die hellen Bänder von H, He* und N*+* (besonders 
4610 und 4640) waren auf kontinuierlichem Grund schwach zu sehen, 
und die Nebellinien, wenn überhaupt vorhanden, so äußerst matt. 

Die photometrischen Untersuchungen des Spektrums durch 
A. Brill!) ergaben deutlich ein Wandern des Energiemaximums 
nach Violett, wenn die Helligkeit des Sterns zurückging, aber das 
ganze Spektrum zeigte dabei keineswegs ein einheitliches Verhalten, 
denn während die Region 4700—5500 bei steigender Helligkeit ein 
Steigen der Temperatur andeutete, war eben gerade bei Wellenlängen 
kleiner als 4700 das Gegenteil der Fall. J. Wilsing'!"®) hat übrigens 
an der Nova Aquilae vom Jahre 1918 beobachten können, daß Tem- 
peratur und Helligkeit völlig parallel verliefen, wenn man nur die 
helle Wasserstoffstrahlung ausschaltete. 

Was diese nächste Nova Aquilae vom Jahre 1918 betrifft, so war 
ihr Spektrum vor dem Maximum nach A. J. Cannon'!"”) vom Typus B 
oder A. Diese Nova wurde u. a. spektroskopisch beobachtet von A.L. 
Cortie'0), F. E. Baxandall!"*'), J. Lunt'"®?), L. B. Allen?) und G.F. 
Paddock'!%), der auch den roten Teil des Spektrums untersucht hat.!!#5) 
Danach zeigten sich im Ultraviolett zwei Serien von Wasserstofflinien, 
die verschieden verschoben waren und deren jede einem der beiden 
sich überlagernden Spektren angehörte.'’%) F. E. Baxandali!!?) be- 
obachtete schon 24 Stunden nach dem Maximum helle Linien des N*, 
O*, C* und He. Auch der Übergang zum Nebelspektrum erfolgte an- 
scheinend außerordentlich rasch, da J. Lunt!"?®) die Nebelbänder schon 
am 15. Juni 1918, d. i. acht Tage nach dem Maximum, vorfand, ganz 


1175) Ebendort 81 (1921), p. 189. 

1176) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 294 

1177) a. a. 0. 

1178) Astr. Nachr. 208 (1919), p. 191. 

1179) Harvard Coll. Obs. Ann. 81 (1921), part 3, p. 179. 

1180) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 171. 

1181) Ebendort 81 (1920), p. 66. 

1182) Ebendort 79 (1919), p. 416. 

1183) Publ. Astr. Soc. Pac. 30 (1918), p. 308. 

1184) Ebendort 30 (1918), p. 244. 

1185) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 47. 

1186) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 123; 81 (1921), p. 438. 
Das gleiche ist übrigens bei der Nova Geminorum vom Jahre 1912 von F. J. M. 
Stratton [Cambridge Solar Physics Obs. Ann. 4 (1920), p. 41] bemerkt worden. 

1187) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 81 (1920), p. 70. 

1188) Ebendort 80 (1920), p. 519. 


30. Die neuen Sterne. 137 


im Gegensatz zum Verhalten der Nova Ophiuchi vom Jahre 1919, die 
nach Aufnahmen von W. 8. Adams und @. ©. Burwell‘'®) sechs Wochen 
nach ihrem Aufleuchten noch immer das gleiche Anfangsstadium zeigte. 
Dementsprechend schien auch die Struktur der hellen Bänder bei Nova 
Aquilae bald stabil geworden zu sein, wenigstens haben W. $. Adams 
und A. H. Joy''°) in der Zeit von November 1918 bis März 1919 nur 
mehr geringe Änderungen bemerkt. Bei dieser Nova und ebenso bei 
den neuen Sternen im Fuhrmann (1892), Perseus (1901) und in den 
Zwillingen (1912) gelang W. S. Adams''”') auch zu zeigen, daß die 
Verschiebungen der dunklen Begleiter der hellen Bänder ziemlich gut 
proportional der Wellenlänge waren, so daß wahrscheinlich wirklich 
an Dopplersche Verschiebungen, also radiale Ausbreitung leuchtender 
Gaswolken gedacht werden darf. 

Aufnahmen des Spektrums, wie sie von J. H. Moore und ©. D. 
Shane‘!%?) auf Mt. Wilson 1—3 Jahre nach dem Aufleuchten am 
1. August 1919, 27. Mai 1920 und 6. Juni 1921 erhalten worden sind, 
zeigten in Übereinstimmung mit visuellen Beobachtungen von E. E. 
Barnard''”) und R. @. Aitken‘'”*), daß der Stern nun von einer sich 
langsam vergrößernden Nebelscheibe umgeben war. Entsprechend der 
Schichtung der Gase in derselben und infolge des merklichen Durch- 
messers des Sterns war das Spektrum nicht fadenförmig, sondern aus 
verschieden dicken Knoten zusammengesetzt. Der Stern hatte im 
Lichte verschiedener Linien verschiedene Durchmesser, und zwar gaben 
die Messungen 


bei 5007 (Nebellinie) . . Durchmesser 3,0” 
„ 4959 “ a, a 2,2” 
u. N a 3,07, 


Im Jahre 1926 war der Durchmesser, wie E. Hubble und Ch. Dun- 
can‘'®®) auf Mt.-Wilson-Aufnahmen fanden, bereits auf 16,4” ange- 
wachsen. Die Vergrößerung der Nebelscheibe betrug also pro Jahr 
etwa 1”. Nennt man r die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Kilometern 
pro Sekunde, so wäre damit die Distanz des Sterns etwa D = 0,211r 
in Parsec. Substituiert man noch für r einen Wert von 1700 kmseec-!, 


1189) Astroph. Journ. 51 (1920), p. 121. 

1190) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 182. 

1191) Washington Nat. Acad. Proc. 4 (1918), p. 355. 

1192) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 269; Lick Obs. Bull. 322 (1919). 

1193) Astroph. Journ. 49 (1919), p. 199; Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920). 

1194) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 283; 32 (1926), p. 231; 33 (1921), 
p- 219. 

1195) Astroph. Journ. 66 (1927), p. 59. 


138 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


wie aus der Verschiebung der Absorptionslinien und der Breite der Emis- 
sionen nach dem Dopplerschen Prinzip im Mittel folgen würde, so wäre 
D » 360 Parsee oder die Parallaxe x — 0,0028 in Übereinstimmung 
mit den negativen Ergebnissen trigonometrischer Parallelenmessungen. 

Die nächste hellere Nova, die von W. F. Denning entdeckte Nova 
Cygni 3 vom Jahre 1920 zeigte spektral nichts wesentlich Neues. Be- 
schreibungen des Spektrums rühren u. a. her von F.J. M. Stratton‘!®®), 
W. H. Wright‘'®), W. E. Harper!'') und W. S. Lockyer.“!®) Der letz- 
tere betont insbesondere die Ähnlichkeit des Spektrums zur Zeit des 
Liehtmaximums mit dem der Chromosphäre oder von « Cygni, wie 
von J. $. Plaskett‘!”) schon bei der Nova Geminoren vom Jahre 1912 
und von W. E. Harper '”®), R. H. Curtiss'?') und J. Evershed'?®) an 
der Nova Aquilae 1918 bemerkt worden war. Die H- und K-Linie 
des Cat waren stationär!?0®) und Temperatursteigerungen ließen sich, 
wie P. Davidovich'?**) und Ch. Nordmann!?®®) beobachteten, bei jedem 
Helligkeitsanstieg feststellen. 

Ein besonderes Verhalten zeigte die von Watson im Jahre 1925 
entdeckte Nova Pictoris insofern, als in ihrem Spektrum, das beson- 
ders eingehend von J. Lunt!?®) untersucht worden ist, etwa drei Mo- 
nate nach dem Lichtmaximum dieselben hellen Bänder unbekannten 
Ursprungs auftraten!?”), die im Spektrum von n Carinae sichtbar sind. 
Vor dem Maximum war das Spektrum, wie P. Davidovich!”"®) auf 
Grund von Harvardaufnahmen feststellen konnte, nicht, wie durch- 
schnittlich sonst vom Typus A, sondern vom Typus cF5. Die Nebel- 
linien erschienen erst spät, 4363 als erste Ende Januar 1927, nach- 
dem die unbekannten Bänder von n Carinae längst vorhanden waren. 


1195a) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 82 (1921), p. 44. 

1196) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 273, 340. 

1197) Victoria Domin. Astroph. Obs. Publ. 1 (1921), p. 267; Pop. Astr. 29 
(1921), p. 159. 

1198) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 81 (1921), p. 30, 173. 

1199) Ottawa Domin. Obs. Publ. 1 (1914), p. 159. 

1200) a. a. O. 

1201) Pop. Astr. 33 (1925), p. 167. 

1202) The Observatory 42 (1919), p. 85. 

1203) J. Evershed bat Andeutungen hierfür schon bei der Nova Aquilae 
(1918) gefunden. Siehe The Observatory 42 (1919), p. 85. 

1204) Russ. Astron. Inst. 1 (1925), p. 70. 

1205) Paris C. R. 171 (1920). 

1206) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 86 (1926), p. 498. 

1207) Siehe bei J. Lunt [The Observatory 49 (1926), p. 57] und P. Davido- 
vich [Harvard Coll. Obs. Bull 837 (1926); Pop. Astr. 34 (1926), p. 185]. 

1208) Harvard Coll. Obs. Bull. 837 (1926). 





30. Die neuen Sterne. 139 


Das allgemeine Verhalten der neuen Sterne ist also etwa folgen- 
des: Während des Helligkeitsanstieges zum Maximum zeigt das Spek- 
trum in der Regel einen frühen Typus A—F mit ungewöhnlich 
scharfen Wasserstofflinien, ähnlich wie im Spektrum von « Cygni 
(also eigentlich Typus cA—cF'). Emissionslinien sind in diesem Sta- 
dium vielleicht eben nur angedeutet. Im Maximum oder meistens kurz 
danach werden die Absorptionslinien insbesondere von Het, O*+, N+ 
kräftiger und dieses Absorptionsspektrum wird überlagert von einem 
Emissionsspektrum, das aus hellen breiten Wasserstofflinien und an- 
deren unbekannten Emissionen insbesondere bei 4640, 4515, 4379 und 
3480 gebildet ist. Charakteristisch ist, daß die Emissionen durchweg 
von stark nach Violett verschobenen Absorptionslinien begleitet sind, 
die durch sich radial vom Stern weg ausbreitende Gasmassen hervor- 
gerufen sein dürften. In diesem Stadium ähnelt das Spektrum dem 
Typus B. Früher oder später treten dann die Linien des He*+ (4686), 
O+ und N* als helle Emissionsbänder hinzu, das kontinuierliche Spek- 
trum wird schwächer und das Spektrum nähert sich dem Typus O. 
Jeder Helligkeitsanstieg verursacht aber stets einen gleichzeitigen Rück- 
gang in das frühere spektrale Stadium. Schließlich nähert sich das 
Spektrum dem der planetarischen Nebel, indem die Nebellinien bei 
3633, 4959, 5007 usw. auftreten. In diesem Stadium zeigt dann der 
Stern in der Regel auch visuell einen merklichen Durchmesser. Unter 
Rückbildung der Nebellinien geht dann der Stern wieder zum Typus 
O über. 

Der ganze Verlauf solcher normaler Erscheinungen ist in einer 
Bezeichnungsweise für die einzelnen typischen Entwicklungsstufen ent- 
halten, die auf dem Kongreß der internationalen astronomischen Union 
zu Rom im Jahre 1922 vorgeschlagen worden ist. Danach sollen die 
Entwicklungsstadien solcher mit @ zu bezeichnenden neuen Sterne in 
folgender Weise typisiert werden: 

Qa: Spektrum ähnlich «@ Cygni mit schwachen Absorptionslinien 
und ohne oder nur schwache Andeutung von Emissionen. Die Wasser- 
stofflinien sind auffallend scharf. (Vor dem Maximum und in dem- 
selben.) 

Qb: Die Absorptionslinien insbesondere der ionisierten Atome 
sind kräftiger und die Emissionen deutlich und mit stark nach Violett 
verschobenen dunklen Begleitern versehen (kurz nach dem Maximum). 

Oc: Volle Ausbildung eines Doppelspektrums. Die Absorptions- 
linien von H*, O* und N* usw. weisen auf ein Absorptionsspektrum 
vom Typus 5b. Die Emissionen, insbesondere des Wasserstoffs, sind 
kräftig, breit und stark gegliedert. 


740 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Qu: Auftreten heller Bänder bei 3480, 4515 und 4640. 


Qx: Das Het-Band bei 4686 und andere schwächere Emissionen 
von zumeist O* und N* treten hinzu, während meistens gleichzeitig 
das Band 4640 schwächer wird. Das Absorptionsspektrum ist nur 
mehr schwach sichtbar und im ganzen ist große Ähnlichkeit mit dem 
Typus O vorhanden. 

Oy: Die Nebellinien erscheinen als helle Bänder. Die Aufnahmen 
des Spektrums zeigen bei quer über die Nova gestelltem Spalt meist 
einen deutlichen, aber im Licht verschiedener Linien verschiedenen 
Durchmesser des Sterns an. 


Oz: Rückgang zum Typus O. 


Wie schon bei der Nova Pictoris erwähnt wurde, kommen aber 
auch Abweichungen von diesem normalen Verlauf vor. Zunächst wäre 
hier der veränderliche Stern P Cygni, der im Jahre 1600 aufgeleuchtet 
hat und noch jetzt, also 300 Jahre nach dem Aufflammen, ein Spek- 
trum zeigt vom Typus Be, in dem nach E. BD. Frost!?®) und P. W. 
Merrili'*!%) die hellen Linien noch immer an der violetten Seite von 
stark verschobenen dunklen Begleitern flankiert erscheinen. Ähnliche 
Eigentümlichkeiten wurden auch noch bei S Doradus?!!), AG Pegari!?!2), 
AG Carinae!?13) und einigen anderen Sternen '?!#) beobachtet. 

Ein vom normalen Verlauf abweichendes Verhalten zeigt noch 
die Nova Coronae (T Coronae) vom Jahre 1866, da sie jetzt ein Schluß- 
spektrum vom Typus Mlep zeigt. 

Weiter haben folgende Sterne novaähnliche Spektren: HD 51480 
und — 27°11944, deren Spektren P. W. Merill'*"?) P Cygni-artig findet, 
dann v Sagittarii!?!°) und HD 45910127), sowie der veränderliche n Ca- 
rinae u. a. m.'?!®) Nach A. J. Cannon'*!?) hatte 7 Carinae in den Jahren 
1892 und 1893 ein Spektum F’5 mit zahlreichen hellen Bändern. 


1209) Astroph. Journ. 35 (1912), p. 286. 

1210) Lick Obs. Bull. 201 (1911); 246 (1913). 

1211) Harvard Coll. Obs. Bull. 814 (1925). 

1212) Astr. Nachr. 213 (1921\, p. 93; 224 (1925), p. 146; Harvard Coll. Obs. 
Bull. 762 (1922). 

1213) Harvard Coll. Obs. Ann. 56 (1912), p. 183. 

1214) Harvard Coll. Obs. Ann. 76 1916), p. 31; Harvard Coll. Obs. Bull. 
801 (1924). ; 

1215) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 418. 

1216) Nach J. 8. Plaskett [London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 87 (1926), p. 31. 

1217) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 87 (1926), p. 31. 

1218) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 20 (1926), p. 20. 

1219) Harvard Coll. Obs. Cire. 59 (1901). 


30. Die neuen Sterne. 141 


Wenige Jahre später, 1898 und 1901, beobachteten D. @il1'??9) und 
E.C. Pickering‘*?') an ihm wieder ein typisches Novaspektrum, und 
ab 1912 zeigte er nach A. J. Cannon'””?) und J. H. Moore und R. F. 
Sanford'??°) ein Spektrum, in dem nur helle Linien des Fe*, Ti* und 
Ort, aber keine Absorptionen vorhanden waren. Das Spektrum speziell 
dieses Sterns ist bis in die neueste Zeit vielfach beobachtet worden, 
z.B. von J. Lunt!?*), F. E. Baxandall'?®), W. M. Worsell'?), C. D. 
Perrine'??”) und P. Davidovich.‘???) Auch der unregelmäßig veränder- 
liche T Pyxidis zeigt nach W. S. Adams und A. H. Joy"?°) im Licht- 
maximum stets breite Emissionslinien des Wasserstoffs mit dunklen 
Begleitern an der violetten Seite und außerdem helle Linien des Fet 
sowie Absorptionslinien von Sauerstoff und Stickstoff, also ein nova- 
ähnliches Spektrum, in dem auch H, als helle Linie gesehen wurde.!??°) 
Es sei noch erwähnt, daß Nebellinien, die auf eine den Stern ein- 
hüllende Nebelmasse hinweisen, in einem auch sonst novaähnlichen 
Spektrum noch die veränderlichen Sterne RY Seuti!?®!) (Spektrum By, 
H, He und die Nebellinie 4658 hell), Z Andromedae (O0c)!23?), RX Puppis 
(nach dem Draperkatalog mit hellen Nebellinien bei 3869, 4363, 4688) 
und SY Muscae sowie CM Aquilae!???) aufweisen. 

Die Versuche, die an den neuen Sternen beobachteten Phänomene 
zu deuten, reichen weit zurück bis in den Beginn des 17. Jahrhun- 
derts.'?#) Von älteren Erklärungsversuchen sei nur erwähnt die Meteor- 
hypothese von J. N. Lockyer'?®®), nach der eine Novaerscheinung durch 
Zusammenstoß von zwei Meteorschwärmen entstehen soll. Auch der 

1220) Astr. Nachr. 155 (1901), p. 239; London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 61 
(1901), App. p. 66. 

1221) Harvard Coll. Obs. Circ. 59 (1901). 

1222) Harvard Coll. Obs. Ann. 76 (1916), p. 36; Pop. Astr. 28 (1920), p. 524. 

1223) Lick Obs. Bull. 8 (1914, 1915), p. 55, 134. 

1224) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 621. 

1225) Ebendort 79 (1919), p. 619. 

1226) Johannisburg Union Obs. Circ. 46 (1919). 

1227) Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 117. 

1228) Harvard Coll. Obs. Bull. 837 (1926). 

1229) Pop. Astr. 28 (1920), p. 514. 

1230) Vgl. bei M. L. Humason [Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 200]. 

1231) Siehe auch P. W. Merrill, Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 134, 295. 

1232) Nach H. H. Plaskett, Pop. Astr. 31 (1923), p. 658. 

1233) Harvard Obs. Bull. 826 (1925). 

1234) Siehe den Artikel von F.J. M.Stratton im „Handbuch der Astro- 
physik“, Bd. 6 (1928), p. 293. 

1235) Nature 37 (1887), p. 55, 80, 585, 606; 38 (1888), p. 8. 31, 56, 79; 65 
(1901), p. 133. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 48 


742 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Zusammenstoß zweier oder mehrerer Körper wird neuerlich wieder 
von A. Veronnet'”?®) herangezogen. F. Nölke!?”) denkt an Auflösung 
eines an der Rocheschen Grenze kreisenden Planeten und Einsturz in 
den Fixstern, und H. Vogt!??®) untersuchte die Möglichkeit, daß der 
Zusammenstoß durch das Eindringen eines Doppelsternsystems in eine 
kosmische Staubwolke hervorgerufen sei. H. Ebert'??) hat versucht, 
die Novaerscheinungen aus der Wirkung anomaler Dispersion zu er- 
klären, und H Kayser”) hat darauf hingewiesen, daß die bei Aus- 
brüchen radioaktiver Stoffe frei werdenden gewaltigen Energien eben- 
falls zur Erklärung des fast plötzlichen Aufleuchtens herangezogen 
werden könnten. Endlich hat das Auftreten der sich um die Nova 
Persei ausbreitenden Nebel H. v. Seeliger'*') zur Hypothese geführt, 
daß eine Nova durch Eindringen eines Sterns in eine kosmische Staub- 
wolke und die dadurch hervorgerufene starke oberflächliche Erhitzung 
entstehe. Später hat E. W. Brown'*?) auch noch die Beleuchtungs- 
effekte, die in einer solchen Staubwolke durch das in ihr immer weiter 
vordringende Licht des Sterns bewirkt werden, genauer untersucht. 
Nach J. Halm'**?) wären dabei die starken Verschiebungen der Ab- 
sorptionslinien nach Violett durch eine infolge der plötzlichen Er- 
hitzung mit großer Geschwindigkeit erfolgende radiale Ausbreitung 
der Sternatmosphäre zu erklären, während es E. A. Milne'”*) neuer- 
lich auch für nicht undenkbar hält, daß die Atome unter dem Ein- 
fluß des gesteigerten Strahlungsdruckes solche hohe Geschwindigkeiten 
in radialer Richtung annehmen. In neuester Zeit haben die oft beob- 
achtete Vergrößerung des Sterndurchmessers gegen Ende des Erschei- 
nungsverlaufes und eine im Jahre 1928 an der Nova Pictoris beob- 
achtete Spaltung des Sterns in zwei Teile wieder dazu geführt, die 
starken Violettverschiebungen der dunklen Begleiter der Emissions- 
bänder nach dem Dopplerschen Prinzip auf eine überaus rasche Aus- 
dehnung des instabil gewordenen Sterns zurückzuführen. In präziser 
Form hat J. Hartmann'*?) diesem Gedanken Ausdruck gegeben. 


1236) Paris ©. R. 172 (1921), p. 666. 

1237) Astr. Nachr. 213 (1921), p. 345. 

1238) Ebendort 214 (1921), p. 85; 218 (1923), p. 61. 

1239) Ebendort 164 (1903), p. 66. 

1240) Ebendort 191 (1912), p. 421. 

1241) Ebendort 181 (1909), p. 81; siehe auch R. Emden, Thermodynamik 
der Himmelskörper, diese Encykl. VIs, p. 382. 

1242) Astroph. Journ. 53 (1921), p. 169. 

1243) Astr. Nachr. 130 (1892), p 393; 181 (1909), p. 81. 

1244) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 86 (1926), p. 459; siehe auch 
R. H. Fowler, On dense matter, ebendort 87 (1926), p. 114. 

1245) Astr. Nachr. 226 (1926), p. 63, 203. 


31. Die veränderlichen Sterne. 743 


31. Die veränderlichen Sterne. Die in voriger Nr. besprochenen 
Sterne mit novaähnlichem Spektrum, von denen die meisten auch 
einen Lichtwechsel aufweisen, leiten hinüber zu den veränderlichen 
Sternen im allgemeinen, bei deren Mehrzahl wieder Eigentümlichkeiten 
in den Spektren auftreten, die mit der Veränderlichkeit der Helligkeit 
in Zusammenhang stehen. 

Es ist zunächst klar, daß sich die Bahnbewegung des einen Sterns 
um den anderen bei den sogenannten Bedeckungsveränderlichen, deren 
Lichtwechsel durch gegenseitige periodische Verfinsterung der beiden 
Sterne eines engen Doppelsternsystems zustande kommt, in einer Ver- 
änderlichkeit der Radialgeschwindigkeit äußern wird. Die Duplizität 
von Algol, des Hauptvertreters dieser Gruppe von Variablen, wurde 
so spektroanalytisch zuerst von H. ©. Vogel'?%) erkannt. Spätere Be- 
obachtungsreihen von A. Belopolsky'**"), R. H. Ourtiss'*®) und D.B. 
Me Laughlin’**?) ergaben dazu noch langperiodische Veränderungen 
des Elementensystems dieses Sterns, so daß hier offenbar sogar ein 
dreifaches Sternsystem vorliegt. Auf die Möglichkeit, daß bei solchen 
Bedeckungsveränderlichen während der Verfinsterung, wo ja nach- 
einander beide Ränder des helleren Sterns zur fast alleinigen Wirkung 
kommen, Änderungen der Radialgeschwindigkeiten durch eine even- 
tuelle Rotationsbewegung dieses Sterns beobachtbar sein müssen, hat 
bereits W. H. S. Monck'®°) hingewiesen, und @. Forbes") und D. B. 
Me Laughlin'®?) ist es gelungen, einen solchen Rotationseffekt bei 
Algol tatsächlich dadurch aufzudecken, daß die Radialgeschwindigkeit 
in der ersten Hälfte der Verfinsterung positive, in der zweiten Hälfte 
negative Reste gegen den Mittelwert mit einer Amplitude von etwa 
35 km ergab. Ähnliches wurde von F. Schlesinger'3®) und D. B. Me 
Laughlin'”®) auch bei ö Librae beobachtet. Daß die Algol-Veränder- 
lichen durchweg weiße Sterne früherer Typen sind, könnte nach 
A. A. Nijland'”®) darauf zurückzuführen sein, daß die Lichtminima 
bei den gelben und roten Sternen weniger gut definiert sind, dürfte 


1246) Astr. Nachr. 123 (1%89), p. 289. 

1247) Pulkowa Nicolai-Hauptsternw. Mitt. 3 (1908), p. 72. 

1248) Astroph. Journ. 28 (1908), p: 150. 

1249) Astroph. Journ. 60 (1924), p. 22. 

1250) The Observatory 23 (1900), p. 254. 

1251) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 71 (1911), p. 578. 

1252) Astroph. Journ. 60 (1924), p. 22; Pop. Astr. 33 (1925), p. 295. 

1253) Allegheny Obs. Publ. 1 (1909), p. 134; London Roy. Astr. Soc. Month, 
Not. 71 (1911), p. 719. 

1254) Pop. Astr. 32 (1924), p.558. 

1255) Gazette astronomique Anvers 4 (1911), p.9. 

48* 


744 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


aber wohl eher in kosmogonischen Verhältnissen seine Ursache haben. 
Komplizierter liegen die Verhältnisse bei den Bedeckungsveränder- 
lichen, wo (wie z. B. bei $ Lyrae) beide Komponenten nahe gleich hell 
sind und Kombinationen beider Spektren verschiedener Art auftreten. 
Speziell das Spektrum von ß Lyrae ist oft studiert worden, z. B. von 
W. Sidgreaves'?°®), H. E. Lau!?”) und R. H. Curtiss.‘®) Danach ist 
das Spektrum ein Kombinationsspektrum aus dem Spektrum vom 
Typus B8 des Hauptsterns mit dem Spektrum Böe des Begleiters.'?5°) 
Die dunklen Linien des H und He sind dadurch von hellen Emissionen 
begleitet, die sich gegen die Absorptionen mit einer Amplitude von 
etwa 5 Ä.E. rhythmisch nach Violett verschieben. Dabei wächst die 
Violettverschiebung vom Hauptminimum an durch etwa 11 Tage, 
und der dann einsetzende Rückgang nimmt nur ca. 3 Tage in An- 
spruch.!?0%) Sowohl Emissionen als auch Absorptionen erreichen etwa 
12 Stunden nach dem Hauptminimum ihre größte Intensität. Da diese 
Eigentümlichkeiten aus dem Dopplereffekt durch die Bahnbewegung 
allein nicht erklärt werden können, hat man es offenbar mit ellipsoi- 
dischen Körpern zu tun, auf denen sich lebhafte Gezeitenwirkungen 
äußern. Die dunklen Linien 7 und K des Ca* nehmen an der Doppler- 
schen Verschiebung der anderen Linien nicht teil, sondern sind sta- 
tionär. Das System ß Lyrae scheint also in eine Kalziumwolke ein- 
gebettet zu sein (siehe Nr. 35). Vor nicht langer Zeit hat L. Ferkan '?°') 
über Temperaturmessungen an ß Lyrae berichtet, die im Jahre 1915 
ausgeführt worden sind und Strahlungsschwankungen ergeben haben, 
die ebenfalls mit der Periode parallel verlaufen. 

Andere Sterne vom Typus ß Lyrae, deren Spektrum eingehender 
untersucht worden ist, sind u. a. W Crueis!?®) und u Herculis!?6) so- 
wie W Ursae majoris. Der letztere Stern sei als Vertreter der ganz 
kurzperiodischen ß Lyrae-Sterne angeführt. Die Lichtkurve dieser 
Sterne zeigt eigentlich kaum ein ausgeprägtes Verfinsterungsminimum, 
und die Spektrallinien sind verhältnismäßig breit. J. Schilt!?*) meint, 


1256) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 64 (1904), p. 168. 

1257) Bull. Soc. Astron. de France 20 (1906), p. 131. 

1258) Allegheny Ots. Publ. 2 (1911), p. 73. Eine Zusammensteliung aller 
Arbeiten über ß Lyrae hat W. Baade in einer Dissertation gegeben (Göttingen 1918). 

1259) Nach A. C. Maury [Pop. Astr. 34 (1926), p. 625] wären die beiden 
Spektren B9 und B3e. 

1260) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 54 (1864), p. 57. 

1261) Astr. Nachr. 226 (1926), p. 345. 

1262) Siehe bei H. N. Russell, Astroph. Journ. 36 (1912), p. 133. 

1263) a. a. O. 

1264) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 160. 


31. Die veränderlichen Sterne. 745 


daß die beobachteten Linienbreiten kaum durch Rotationseffekte zu 
erklären sein dürften, und daß man es bei Sternen dieses Lichtwechsel- 
typus vielleicht nicht einmal mit fertigen Doppelsternsystemen zu tun 
habe, sondern mit Zwischenstadien zwischen einfachen und Doppel- 
sternen. Ä 

Spektralanalytisch besonders interessant sind die veränderlichen 
Sterne vom Miratypus, deren Perioden durchweg lang sind, und die 
sogenannten Ö Cephei- Sterne. 

Die Mirasterne sind ausschließlich rote Sterne und gehören den 
Spektraltypen X, M, N, R, 8 an, auf die sie sich, soweit ihre Zahl 
bis jetzt bekannt geworden ist, nach H. Ludendorff'?*°) in folgender 
Weise verteilen: 


Aypus Me," ren 1" 921 Bierne 
„ K,M0—-M8. ER Ne) 
BERNER. EN ERBE ra 3, 
zer, , EL ee u 
» besondere Spektren . Bi, 


Die Mehrzahl aller dieser Sterne gehört also dem durch die Titanoxyd- 
banden charakterisierten Typus M an und zeigt außerdem helle Emis- 
sionen (Me).'?%) Nur wenige Sterne, die ein Spektrum vom Typus Me 
besitzen, sind nicht veränderlich.!?”) Insbesondere der Hauptvertreter 
Mira (o) Ceti ist spektralanalytisch eingehend untersucht worden. 
Schon H. C. Vogel'?*®) war aufgefallen, daß H, dunkel erschien, wäh- 
rend alle anderen Wasserstofflinien als Emissionen auftraten, und auch 
im Draperkatalog!?®) ist das Spektrum bereits ziemlich eingehend 
beschrieben. Weitere Untersuchungen rühren her von W. W. Camp- 
beil?'%), A. H. Olerke“?"'), W. Sidgreaves'”"?) und J. Stebbins'?"®), die 
übereinstimmend feststellten, daß die hellen H-Linien durchweg nach 
Violett verschoben erschienen. Gleiche Verschiebungen dieser Linien 








1265) Handbuch der Astrophysik 6 (1928), p. 130. 

1266) Spezielle Verzeichnisse von Me-Sternen finden sich in Harvard Coll. 
Obs. Ann. 48 (1903), part 3; 55 (1907), part 1; 56 (1912), part 6; außerdem bei 
P. W. Merrill, Astroph. Journ. 58 (1923), p. 215; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 
264 (1923). 

1267) Siehe bei A. H. Joy, Astroph. Journ. 63 (1926), p. 301; Mt. Wilson 
Solar Obs. Contr. 311 (1926). 

1268) Berlin Sitzber. 1896, p. 395. 

1269) Harvard Coll. Obs. Ann. 28 (1897), p. 45, 98, 108. 

1270) Astroph. Journ. 9 (1899), p. 31. 

1271) The Observatory 22 (1899), p. 152. 

1272) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 58 (1898), p. 344; 59 (1899), p. 509. 

1273) Lick Obs. Bull. 2 (1903), p. 78; Astroph. Journ. 18 (1903), p. 341. 


746 VI 2,25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


nach Violett treten nach genauen Untersuchungen von P. W. Mer- 
rül'2%) auch bei den Miraveränderlichen vom Typus Se sowie ‘bei 
Sternen der Typen N und R®) auf. Sie sind also für Veränderliche 
dieser Art typisch und auch bereits von @. Eberhard'?'‘) an einem 
anderen Miravariablen, x Cygni, bemerkt worden. Die Struktur der 
Wasserstoffemissionen ist meistens recht kompliziert, da aber W. H. 
Wright'?") an den Teilen von H, keinerlei Polarisation hat nachweisen 
können, spielt ein Zeemaneflckt hier offenbar nicht mit. W. Sid- 
greane A. L. Cortie'?®), J. $. Plaskett'*®®) und V. M. Slipher 2%) 
beobachteten auch anderweitige Linien als Emissionen, insbesondere 
die Fe-Linien 4308 und 4376, und bei späteren genauen Identifika- 
tionen von W. S. Adams und A. H.Joy'?®?) ließen sich dann auch 
noch Emissionslinien des Mg und Si feststellen sowie helle Linien 
unbekannten Ursprungs.'2#®) Verzeichnisse der sicher beobachteten 
hellen Linien und ihre eventuellen Identifikationen mit Fe, Si (3905, 
4103), Mg (4571) und Mn (4031) sind von W. 5. Adams und A. H. 
Joy'®#) und P. W. Merrül'?®) gegeben worden. Die vorhandenen 
Absorptionslinien sind zumeist Bogenlinien des Fe, Ti, Mg, V, Cr, Mn, 
Ca, Sr, Ba, Co, Na.!*®) Die Intensität aller Linien schwankt jedoch mit 
dem Lichtwechsel, und zwar werden die Absorptionslinien der ioni- 
sierten Atome bei Abnahme der Helligkeit schwächer, während gleich- 
zeitig die Emissionslinien in der Reihenfolge des wachsenden lonisa- 
tionspotentials auftreten und an Kraft gewinnen.'?®”) Von besonderem 
Interesse ist die Helligkeitsfolge der hellen Wasserstofflinien, die mit 
der im Laboratorium beobachteten Helligkeitsanordnung dieser Linien 
nicht übereinstimmt und überdies mit dem Lichtwechsel des Sterns 


1274) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 457; 63 (1926), p. 13; Mt. Wilson Contr. 
263, 306 (1922, 1926). 

1275) Harvard Coll. Obs. Cire. 184 (1914); Publ. Astr. Soc. Pac. 36 (1924), p.351. 

1276) Astr. Nachr. 157 (1902), p. 341; Astroph. Journ. 18 (1903), p. 198. 

1277) Lick Obs. Bull. 183 (1910). 

1278) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 67 (1907), p. 534. 

1279) Ebendort 67 (1907), p. 537; Astroph, Journ. 26 (1907), p. 123. 

1280) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 1 (1907), p. 45. 

1281) Astroph. Journ. 25 (1907), p. 66. 

1282) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 163; 35 (1923), p. 168. 

1233) Siehe Z. B. Frost und Fr. Lowater, Astroph. Journ. 58 IA p. 265. 

1284) Publ. Astr. Soc. Pac. 30 (1918), p. 193. 

1285) Astroph. Journ. 58 (1923), p. 195; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 265 
(1923). 

1286) Siehe bei A. H. Joy, Astroph. Journ. 63 (1926), p. 281; Mt. Wilson 
Solar Obs. Contr. 311 (1926). 

1287) Nach D. H. Menzel, Harvard Coll. Obs. Circ. 258 (1924). 


31. Die veränderlichen Sterne. 147 


periodisch veränderlich ist. A. J. Cannon'”®®) bemerkte, daß H, fast 
stets heller erscheint als H,, während W. S. Lockyer'*°°) wieder die 
Reihenfolge H,, H,, H;, H,, also H,<H, beobachtete H, fehlt mei- 
stens, wie W. S. Lockyer'?”) und schon früher J. S. Plaskett'?”!) be- 
merkten, dagegen wurde H, von mehreren Beobachtern, wie z. B. 
V. M. Slipher‘”?) und ©. D. Shane'?”), ebenfalls als helle Linie beob- 
achtet. A. H. Joy'?*) gelang es schließlich, den Stern während des 
ganzen Verlaufs seiner Helligkeitsschwankung spektroskopisch zu be- 
obachten und dadurch noch weitere Gesetzmäßigkeiten festzustellen. 
Danach nehmen die Absorptionsbanden, die nach A. Fowler "?®) teil- 
weise dem Titanoxyd angehören, mit Abnahme der Sternhelligkeit an 
Kraft zu, so daß das Spektrum, das im Maximum vom Typus Mde 
ist, im Minimum etwa mit M%9e zu klassifizieren wäre. Verschiedene 
der schwächeren Absorptionslinien verschwinden im Minimum, um 
teilweise durch Emissionen ersetzt zu werden, die Ca-Linie 4227 je- 
doch ist im Minimum außerordentlich breit (bis zu 30 A.E.). Im 
kleinsten Licht sind alle Wasserstofflinien dunkel, beim Anstieg der 
Helligkeit treten dann zuerst H, und H, als helle Linien auf, und zwar 
bleibt vor dem Maximum H, schwächer als H,. Dann aber ändert 
sich das Helligkeitsverhältnis dieser beiden Linien langsam und kehrt 
sich schließlich um, bis endlich beide Linien in der Nähe des Mini- 
mums als Emissionen verschwinden, um dann im Minimum selbst 
als Absorptionen aufzutreten. H, und H, erscheinen erst im Maxi- 
mum, H, und H, sogar erst danach. Auch diese Linien verschwinden 
dann aber gleichzeitig etwa 3—4 Monate nach dem Maximum, also 
noch vor dem Minimum. Bald nach dem Maximum sind somit die 
Emissionslinien des Wasserstoffs im allgemeinen am intensivsten, wäh- 
rend die Bogenlinien des Fe, Mg und Mn erst viel später hell auf- 
leuchten. In den Jahren 1920 und 1921 hatten W. S. Adams und 
A. H. Joy“) im Minimum auch Emissionen des He bemerkt. A. H. 


1288) Pop. Astr. 27 (1919), p. 527. 

1289) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 84 (1924), p. 558. 

1290) a. a. O. 

1291) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 1 (1907), p. 45. 

1292) Astroph. Journ. 25 (1907), p. 66, 235. 

1293) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 234. 

1294) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 281; Pop. Astr. 31 (1923). p. 237. 

1295) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 69 (1909), p. 508. Eine Anzahl 
anderer Bänder, die während des schwachen Maximums vom Februar 1925 be- 
obachtet werden konnten, schreibt F. E. Baxandall, ebendort 88 (1928), p. 679, 
dem Aluminiumoxyd zu. 

1296) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 163; 33 (1921), p. 107. 


) 


748 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Joys'?””) Vermutung, daß daher vielleicht ein Begleiter mit einem 
früheren Spektrum vorhanden sei, fand bald ihre Bestätigung, als 
R. G. Aitken'?””®) diesen Begleiter im Oktober 1923 wirklich auffand. 
Der Begleiter ist nach A. H. Joy”), dem es schließlich gelang, sein 
Spektrum von dem der Mira Oeti zu trennen, vermutlich vom Typus B®8. 

Während die älteren Beobachtungen !?) mit den Absorptionslinien 
eine konstante Radialgeschwindigkeit von + 62 km, für die mit der 
Helligkeit veränderlichen hellen Wasserstofflinien aber mehr oder 
minder veränderliche Geschwindigkeitswerte ergeben hatten, zeigten 
genaue Untersuchungen von A. H. Joy‘), daß auch die aus den Ab- 
sorptionslinien folgenden Radialgeschwindigkeiten mit einer Amplitude 
von 5,9 km veränderlich seien, und zwar in Übereinstimmung mit der 
Doppelsternnatur von einer Periode, die der des Lichtwechsels gleich 
ist. Dabei tritt das positive Maximum der Radialgeschwindigkeit stets 
im Maximum des Lichtwechsels ein, das negative Maximum dagegen 
im Lichtminimum. Bezüglich der Variabilität der Radialgeschwindig- 
keit zeigte sich also das gerade Gegenteil des Verhaltens bei den später 
zu besprechenden Ö Cephei-Sternen. Die Bahnelemente, die die variable 
Geschwindigkeit darzustellen geeignet wären, sind nach A. HA. Joy?) 


P— 530° 

y= +58,2 km 

K= 59. 
o = 265,2 
e= :020 


a sin? = 26200000 km 


m;sind: 


Die anderen veränderlichen Sterne vom Miratypus zeigen, soweit 
sie spektralanalytisch untersucht worden sind, abgesehen von gewissen 
Individualitäten, ein ähnliches Verhalten wie o Ceti. Bei dem von L. B. 
Allen'*®®) untersuchten Stern T Centauri (MOe) erreichen die Emis- 
sionslinien ihre größte Intensität schon vor dem Maximum und ver- 


1297) Pop. Astr. 31 (1923), p. 237. 

1298) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 323; 36 (1924), p. 296; Harvard Coll. 
Obs. Bull. 792 (1923). 

1299) Publ. Astr. Soc. Pace. 36 (1924), p. 290. 

1300) z. B. bei W. W. Campbell, Astroph. Journ. 9 (1899), p. 31. 

1301) a. a. 0. 

1302) a a. 0 

1303) Lick Obs. Bull. 369 (1925), p. 73. 


31. Die veränderlichen Sterne. 749 


schwinden auch bald nach dem Maximum wieder. Von speziellem Inter- 
esse ist der Stern R Aquarii dadurch geworden, daß P. W. Merrill’) 
in seinem Spektrum, wie bereits oben erwähnt, einen Monat vor dem 
Maximum auch die typischen Nebellinien 3869, 3967, 4068, 4363, 
4658, 4959 und 5007 sowie 4471 (He) als helle Linien beobachten 
konnte. Diese Linien sind aber keinen Intensitätsschwankungen unter- 
worfen und rühren offenbar von einer Nebelhülle her, die bei größerer 
Helligkeit des Sterns durch die Sternstrahlung zur Emission angeregt 
wird. Diese Nebelhülle ist übrigens im Jahre 1922 von 0. O. Lamp- 
land'?®) photographisch aufgefunden worden. Ende 1926 zeigte der 
Stern dann plötzlich ein Spektrum wie P Cygni (s. Nr. 30, p. 740).1?06) 

Auch die veränderlichen Sterne der Typen R und N verhalten sich 
nach speziellen Untersuchungen von W. C. Rufus"), J. H. Moore'?®), 
R. F. Sanford'?®), ©. D. Shane'?'®) und P. W. Merrill'?!!) spektral un- 
gefähr wie die Veränderlichen vom Typus M, da die nach Violett ver- 
lagerten hellen Wasserstofflinien auch bei ihnen in der Intensität mit. 
dem Lichtwechsel variieren. Unter den Sternen dieser Typen R und 
N finden sich auch Veränderliche von ganz unregelmäßigem Licht- 
wechsel. Das gleiche gilt auch noch für die Se-Sterne, deren Spek- 
trum (R Cygni) zuerst von A. M. Olerke'?'?), T. E. Espin'*"?) und W. H. 
Wright'?**) beschrieben worden ist. Bisher ist 7, bei ihnen noch nie- 
mals als helle Linie gesehen worden.'3!5) 

Es ist bereits erwähnt worden, daß bei diesen langperiodischen, 
veränderlichen roten Sternen bei Abnahme der Helligkeit ein Weiter- 
schreiten in der Typenreihe im Sinne eines Nochröterwerdens eintritt. 
Nach W. Gyllenberg'?'°) stehen auch Periodenlänge und Typus im Maxi- 


1304) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 305; 32 (1920), p. 247, 34 (1922), 
p. 134; Astroph. Journ. 53 (1921), p. 375; Harvard Coll. Obs. Circ. 697 (1919). 

1305) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 218; Pop. Astr. 30 (1922), p. 162, 618. 

1306) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 48; Harvard Coll. Obs. Bull. 842 (1927). 

1307) Univers. Obs. of Michigan (Detroit) 2 (1916), p. 103. 

1308) Lick Obs. Bull. 10 (1922), p. 160. 

1309) Astroph. Journ. 59 (1924), p. 339; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 276; 
(1924), Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1826), p. 177. 

1310) Lick Obs. Bull. 10 (1920), p. 79. 

1311) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 13; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 306 (1926). 

1312) The Observatory 29 (1906), p. 164. 

1313) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 72 (1912), p. 546. 

1314) Ebendort 72 (1912), p. 548. 

1315) Siehe P. W. Merrill, Astroph. Journ. 56 (1922), p. 457; Mt. Wilson 
Solar Obs. Contr. 252 (1922); Astroph. Journ. 63 (1926), p. 13; Mt. Wilson Solar- 
Obs. Contr. 306 (1926). 

1316) Lund Obs. Meddelanden Serie 1. Nr. 90 (1918). 


750 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


mum derart in Korrelation, daß bei längeren Perioden spätere Maximal- 
typen auftreten. Im Mittel hätte man danach 


bei Perioden <200° Typus im Maximum M 45 


20042494 M 5,1 
25042994 M 5,7 
3004-3494 M 6,6 

> 3504 Mu. 


H. Ludendorff'?'‘) fand, daß auch das Helligkeitsverhältnis zwischen 
H, und H, bei Sternen größerer Periode in der Regel größer sei und 
daß sogar noch die Größe der Blauverschiebung der hellen Linien in 
Zusammenhang mit der Periodenlänge stehe.'?!®) Wie P. W. Merrill'°") 
vermutet, scheinen die Sterne der Maximumstypen M3—M5 im all- 
gemeinen auch größere Radialgeschwindigkeiten zu besitzen als Sterne 
der Typen M6—M38. Aus dem Verhalten der Titanoxydbanden, die 
bei diesen Sternen gewöhnlich in einer Stärke auftreten, wie sie nach 
Versuchen von A. 8. King"??®) im elektrischen Ofen bei Temperaturen 
zwischen 2400°—2500° zu beobachten ist, schloß D. H. Menzel'??!), 
daß die Temperatur dieser Sterne besonders niedrig sei. Tatsächlich 
haben Temperaturbestimmungen mit der Thermosäule von $. B. Ni- 
cholson und E. Pettit!???) für diese Sterne Temperaturen ergeben, die 
zwischen 1650° und 2260° liegen und nur einmal ausnahmsweise bei 
RT Cygni 3960° erreichen. Daß die Mirasterne, wie A. Corlin'???) ver- 
mutet, die sogenannte durchdringende Höhenstrahlung verursachen, ist 
neuerlich von V. Oberguggenberger'?**) bezweifelt worden.!??4*) 

Die Ursachen des Lichtwechsels und der mit demselben parallel 
gehenden spektralen Veränderungen der Mirasterne liegen jedenfalls 
in physikalischen Zuständen und Vorgängen auf dem Stern. Ursprüng- 
lich dachte man, den Lichtwechsel durch veränderliche Flecken- oder 
Schlackenbildungen (Zöllners Schlackentheorie) auf den rotierenden 
Sternkörpern erklären zu können. Die bezüglichen Möglichkeiten sind 


1317) Astr. Nachr. 228 (1926), p. 369. 

1318) Astr. Nachr. 212 (1921), p. 483. 

1319) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 171. 

1320) Ebendort 36 (1924), p. 140. 

1321) Harvard Coll. Obs. Circ. 258 (1924). 

1322) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 132, 181, 290; Pop. Astr. 31 (1923), p. 18. 

1323) Astr. Nachr. 231 (1928), p. 137; Beob. Zirk. der Astr. Nachr. Nr. 41 
vom Jahre 1926. 

1324) Astr. Nachr. 232 (1928), p. 117. 

1324a) Über die Mirasterne siehe noch J. Hopmann, Colorimetrie der Ge- 
stirne, Nr. 24, diese Encykl. VI a (1930), Nr. 26. 


31. Die veränderlichen Sterne. 751 


von HA. Gylden°®), H. Bruns‘), H. N. Russell"), A. Brester'??®) und 
P. Guthnick'??®) erörtert worden, wobei der letztere auch eine even- 
tuelle durch die Sternatmosphäre verursachte Randverdunkelung der 
Sternscheibe berücksichtigt hat. Auf die spektralen Eigentümlichkeiten 
ist aber bei allen diesen Vorstellungen keinerlei Beziehung genommen. 
Die neueren Hypothesen von P. W. Merrill '#°), der an ein periodi- 
sches Auftreten kondensierter Gase denkt (Schleiertheorie), und von 
J. H. Jeans'??'), der die Mirasterne als Gebilde betrachtet, die unter 
Oszillationen in die Birnenform übergehen wollen, suchen zwar auch 
die spektralen Eigentümlichkeiten zu interpretieren, aber eine einheit- 
liche Erklärung der Gesamtheit der Erscheinungen steht noch immer 
aus. Auch die von A. $. Eddington'???) speziell für die Veränderlichen 
vom Typus Ö Cephei aufgestellte Pulsationstheorie käme vielleicht in 
Betracht. J. Hopman'???) hat den einzelnen Erklärungsversuchen eine 
kritische Studie gewidmet, und ZH. Ludendorff '***) meint, daß den be- 
obachteten Erscheinungen kosmogonische Ursachen zugrunde liegen, 
da man es in den Mirasternen durchweg mit Riesen, also ganz jungen 
Sternen zu tun hat, die sich nach und nach im Sinne M8— MO 
weiterentwickeln werden. 

Unter den roten Sternen mit hellen Linien, also mit einem Me- 
Spektrum, gibt es übrigens auch solche mit nur kleinen, aber ganz 
unregelmäßigen Lichtschwankungen. Es seien hier nur genannt DJ Ca- 
rinae 335), VV Cephei?°), W Cephei!??”) und WY Geminorum.'??®) 


Spektroskopisch besonders interessant ist auch die Gruppe der 


1325) Versuch einer mathem. Theorie zur Erklärung des Lichtwechsels der 
veränderlichen Sterne, Helsingfors 1879. 

1326) Preuß. Akad. Monatsber. 1881, p. 46. 

1327) Astroph. Journ. 24 (1906), p. 1. 

1328) Verhand. Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam 1, Sectie 9, Nr. 6 (1908). 

1329) Astr. Nachr. 209 (1919), p. 1; siehe auch Ä. F. Bottlinger, ebendort 
210 (1919), p. 33. 

1330) Univ. of Michigan Obs. (Detroit) 2 (1916), p. 70. 

1331) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 85 (1925), p. 797. 

1332) The Interior Constitution of the Stars, Cambridge 1925, und Der 
innere Aufbau der Sterne, deutsch von E.v. d. Pahlen, Berlin (Springer) 1928, 
p. 219 ff. 

1333) Astr. Nachr. 228 (1926), p. 105. 

1334) Ebendort 220 (1924), p. 145. 

1335) Harvard Coll. Obs Bull. 780 (1922). 

1336) Publ. Astr. Soc. Pac. 33 (1921), p. 263. 

1337) Ebendort 34 (1922), p. 58, 175; Pop. Astr. 30 (1922), p. 103. 

1338) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 133; Harvard Coll. Obs. Bull. 767 
(1922). 


752 VIe, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


ö Cephei-Sterne. Sie gehören nach Martha Güssow!??°) meistens den 
Typen A—K an, und nur ein einziger Ö Cephei-Stern (RU Camelo- 
pardalis) des späteren Typus R ist bisher bekannt geworden.'?#) In- 
den Spektren dieser Sterne sind die Linien der Metalle zumeist breit 
und verwaschen, die Wasserstofflinien dagegen scharf.'**!) Alle Sterne 
dieses Typus zeigen auch veränderliche Radialgeschwindigkeit mit der 
Eigentümlichkeit, daß die größte negative Radialgeschwindigkeit (An- 
näherung) mit dem Lichtmaximum, der größte positive Wert dagegen. 
mit dem Helligkeitsminimum zusammenfallen, während die mittlere 
Geschwindigkeit nahe der Null gleichbleibt.'?*) Eine Auswahl der. 
Linien nach der Höhe ihres Entstehens in der Sternatmosphäre zeigte 
zudem, daß die Verschiebungsamplitude der einzelnen Linien mit deren 
Höhe in der Atmosphäre unter gleichzeitiger Phasenverzögerung ab- 
nimmt.!%8) In Übereinstimmung damit hatten auch schon Ch. E. St. 
John und W. 5. Adams'***) bei Funken- und Bogenlinien verschiedene 
Radialgeschwindigkeiten beobachtet. Die Radialgeschwindigkeitskurve 
selbst ist übrigens veränderlich, und mit ihr ändern sich natürlich 
auch die unter Voraussetzung Dopplerscher Verschiebung abgeleiteten 
Elemente.!#°) Dabei bevorzugen aber die Periastronwerte stets eine 
bestimmte Richtung, und die Exzentrizitäten sind trotz kleiner Periode 
durchweg abnorm groß, dagegen die a sin? und die Massenfunktionen 
wieder unverhältnismäßig klein. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit fällt 
zumeist auch etwas variabel und nach R. E. Wüson'**®) bei kürzerer 
Periode in der Regel etwas größer aus. Zwischen Periode, Exzentri- 
zität und Länge des Periastrons dürfte nach H. Ludendorff'**) ein 
Zusammenhang bestehen, wenigstens bei Sternen von ausgesprochenem 


1339) Kritische Zusammenstellung sämtlicher Beobachtungsergebnisse der 
Veränderlichen vom ö Cephei-Typus und Kritik der Eddingtonschen Pulsations- 
theorie, Inauguraldiss. Berlin 1924. 

1340) Siehe bei A. H. Joy, Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 180. 

1341) Siehe bei A. Belopolsky, St. Petersburg, Bull. de l’acad. (5) 1 (1894), 
p- 267; 7 (1897), p. 367; Astr. Nachr. 136 (1894), p. 281; 140 (1896), p. 17; 
Astroph. Journ. 1 (1895), p. 160 und bei A. ©. Maury, Harvard Coll. Obs. Ann. 
28 (1897), part 1. 

1342) ©. D. Perrine, Astroph. Journ. 50 (1919), p. 148. 

1343) Siehe bei R. H. Curtiss, Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 148 und 
bei W. C. Rufus, Washington Nat. Acad. Proc. 10 (1924), p. 264. 

1344) Ch. E. St. John und W. S. Adams, Astroph. Journ. 60 (1924), p 43; 
Mt. Wilson Contr. 279 (1924). 

1345) Die umfangreiche Literatur ist von H. Ludendorff im Handb. der 
Astroph. Bd. 6, p. 203ff. zusammengestellt. 

1346) Astr. Journ. 35 (1923), p. 35. 

1347) Astr. Nachr. 203 (1916), p. 361. 


31. Die veränderlichen Sterne. 153 


ö Cephei-Charakter. Zur Erklärung sekundärer Wellen in den Radial- 
geschwindigkeitskurven sind unter der Voraussetzung, daß die beob- 
achteten Linienverschiebungen wirklich auf Dopplereffekt zurückgeführt 
werden dürfen, von A. W. Roberts'**?) ellipsoidale Gestalt der Kom- 
ponenten, von R. H. Curtiss '**) anderweitige abnormale Rotations- 
‚effekte herangezogen worden. 

Die meisten Ö Cephei-Sterne zeigen auch Besonderheiten des 
Spektrums. W Serpentis hat z. B. nach W. $. Adams und A. H. Joy'?°) 
doppelt umgekehrte helle F7-Linien. Das gleiche fand A. H. Joy!®t) 
bei W Virginis, doch nahmen dort diese Linien an der Veränderlich- 
keit der Radialgeschwindigkeit nicht teil, sondern blieben stationär.'???) 

Intensitätsänderungen der Spektrallinien und gleichzeitige Ände- 
rungen des Typus sind bei ÖCephei und $Geminorum schon von 
Ina Lehmann'*??) bemerkt worden. W. S. Adams und H. Shapley '?°*) 
fanden bei Ö Cephei im Minimum eine schwache Verbreiterung aller 
Linien, und nach Th. S. Jacobsen'?°?) soll dieses Verhalten bei Sternen 
dieses Types ziemlich allgemein sein. Nach F\ Henroteau'?°) scheinen 
bei ÖCephei und n Aquilae Maximum und Minimum des Lichtes mit 
den gleichen Phasen des lonisationsgrades zusammenzufallen, während 
die Ionisationsextreme bei &Geminorum und « Ursae minoris ungefähr 
um ein Viertel der Periode vor und nach dem Maximum auftreten. 
@. Tiercy'®") fand allgemein bei kurzperiodischen d Cephei-Sternen 
im Minimum eine geringere lonisation derjenigen Elemente, deren 
Ionisationspotential zwischen 9 und 11 Volt liegt, während sich die 
Elemente höheren und niedrigeren Ionisationspotentials neutral ver- 
halten sollen. J. J. Reesinck'?®) dagegen schließt wieder auf höhere 
Ionisation bei absteigendem Licht. Offenbar spielen also individuelle 
Unterschiede stark mit. 

Die Änderungen des Typus im Sinne eines Weiterschreitens in 


1348) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 66 (1906), p. 329. 

1349) Univ. of. Michigan Obs. (Detroit) Publ. 1 (1915), p. 104. 

1350) Publ. Astr. Soc. Pac. 30 (1918), p. 306. 

1351) Ebendort 37 (1925), p. 156. 

1352) Mt. Wilson Solar Obs. Annual Report 1925, p. 113. 

1353) Pulkowa Mitt. 5 (1911), p. 176; Petersburg Acad. Bull. (6) 8 (1914), 
p- 423. 

1354) Washington Nat. Acad. Proc. 2 (1916), p. 136. 

1355) Lick Obs. Bull. 12 (1926), p. 138. 

1356) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 19 (1927), p. 81; Ottawa Dominion Obs. 
Publ. 9 (1925), p. 52, 115. 

1357) Publ. Obs. de Geneve 1928, Nr. 8. 

1358) Bull. Astr. Inst. Netherland 4 (1927), p. 41. 


. 


754 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


der Typenreihe bei abnehmendem Licht sind mehrfach bestätigt wor- 
den, so von F.@. Pease'?°®), H. Shapley'°*) und von W. $. Adams 
und H. Shapley'°*), und in Übereinstimmung damit hat Ch’ing Sung 
Yü'?%) bei & Geminorum festgestellt, daß die im Maximum unsicht- 
baren Cyanbanden im Minimum ziemlich kräftig auftreten. Mit den 
Typusänderungen scheinen auch Änderungen der Wellenlängen par- 
allel zu gehen, wie sie für die Typenreihe charakteristisch sein dürften 
(siehe Nr. 24), wenigstens sind solche Wellenlängenänderungen von 
S. Albrecht'?°?) bei 7 Aquilae und ] Carinae und von W. Gyllenberg'°“*) 
bei S Sagittae bemerkt worden. Bei lCarinae schwankt dabei der 
Typus zwischen FT im Maximum und @5 knapp nach dem Mini- 
mum hin und her. Wie A. Pannekoek und J.J. Reesinck'?®°) bemerken, 
ist also die Sterntemperatur im Maximum höher als im Liehtminimum. 

Daß auch zwischen Periodenlänge und Spektraltypus im Maxi- 
mum eine Korrelation besteht, ist mehrfach bemerkt worden, z. B. 
von W. W. Campbell), H. Shapley'°), S. Albrecht'?*®), Y. Chang ''?*°), 
H. Shapley und M. L. Walton''?") und von H. N. Russell.) Der Zu- 
sammenhang ist nach Martha Güssow!?®) folgender: 


Periide <<1@, mittl. Typus im Maximum A2, 
. 10-39, „ jr s 3 Fl, 
” 3°— 109, ” ” ” ” G 0, 
„104-3014, „ “ ö a G4, 
„. 304—451, „ u ii “ @8. 


Mit der Periodenlänge wächst also die Sternfarbe. 
Nur nebenbei sei bemerkt, daß « Persei und y Cygni in ihrem 
Spektrum zwar vielfach an das Spektrum der Ö Cephei-Sterne er- 


1359) Publ. Astr. Soc. Pac. 26 (1914), p. 256. 

1360) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 217; 44 (1926), p. 273; Washington Nat. 
Acad. Proc. 2 (1916), p. 208. 

1361) Ebendort 2 (1916), p. 136. 

1362) Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 357. 

1363) Lick Obs. Bull. 4 (1907), p. 131. 

1364) Lund Astr. Obs. Meddelande II (1920), Nr. 24. 

1365) Bull. Astr. Inst. Netherland 3 (1925), p. 47. 

1366) Lick Obs. Bull. 6 (1910), p. 51. 

1367) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 451; 48 (1918), p. 106); Mt. Wilson Contr. 
96 (1914); 151 (1918). 

1368) Astroph. Journ. 54 (1921), p. 188. 

1369) Bull. Lyon. Obs. 8 (1926), p. 161. 

1370) Harvard Coll. Obs. Cire. 313 (1927). 

1371) Astroph. Journ. 66 (1927), p. 122. 

1372) a. a. O. 


31. Die veränderlichen Sterne. 755 


innern!3?S), daß es aber bisher nicht gelungen ist, bei diesen Sternen 
eine Veränderlichkeit der Helligkeit festzustellen. 

Die zur Erklärung der beobachteten Eigentümlichkeiten aufge- 
stellten Theorien gliedern sich hauptsächlich in solche, bei denen die 
beobachteten Linienverschiebungen als Dopplereffekte in einem Doppel- 
sternsystem aufgefaßt werden, und in solche, bei denen hierfür Vor- 
gänge auf dem als einfacher Stern angenommenen Veränderlichen 
herangezogen werden. Wollte man an der Duplizität dieser Sterne 
festhalten, dann müßte man mit J. ©. Duncan?) wohl auch bei der 
Vorstellung verbleiben, daß die beiden das System bildenden Sterne 
in eine gemeinsame dichte Atmosphäre eingebettet sind, die durch 
den helleren Stern auf der Vorderseite im Sinne seiner Bewegung 
zurückgedrängt wird, während sie sich an der Rückseite anstaut. Die 
gegenseitige Lagerung der Maxima und Minima von Helligkeit und 
Radialgeschwindigkeit ließe sich auf diese Weise erklären. Schwierig- 
keiten macht aber nach H. Ludendorff''?") und A. Pannekoek '?"®) die 
dabei nötig werdende weitere Annahme, daß der wegen des kleinen 
Wertes der Massenfunktion offenbar auch nur kleine dunkle Stern 
mit einer ungeheuer mächtigen Atmosphäre ausgestattet sein müßte. 
Wie J. Hellerich'?'”) meint, ließe sich der Lichtwechsel auch durch 
ungleiche Helligkeitsverteilung auf der Oberfläche der helleren Kom- 
ponente erklären. Anomalien der Helligkeitsverteilung könnten nach 
P. Guthnick"?"®) durch gegenseitige Beeinflussung beider Sterne in 
meteorologischem Sinn oder nach J. H. Jeans"?"®) und J. @. Hagen'*®) 
. durch auf dem helleren Stern verursachte Gasausbrüche entstehen und 

wären denkbar, wenn man mit J. Hellerich'?®') annimmt, daß sich die 
beiden Komponenten fast berühren, und wenn man sich vielleicht mit 
C. D. Perrine'???) noch weiter vorstellt, daß beide Sterne sich in einem 
diehten widerstehenden Mittel bewegen. A. Vogt'?®?) hat übrigens 
darauf hingewiesen, daß es zur Sicherung der Doppelsternnatur der 


1373) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 184; 32 (1920), p. 165. 

1374) Lick Obs. Bull. 5 (1909), p. 82. 

1375) Astr. Nachr. 184 (1910), p. 373. 

1376) Ebendort 215 (1922), p. 227. 

1377) Ebendort 215 (1922), p. 291. 

1378) Berlin-Babelsberg Veröff. 2 (1918), p. 3; Astr. Nachr. 208 (1919), 
p. 171; Die Naturwissenschaften 6 (1918), p. 716. 

1379) The Observatory 42 (1919), p. 88. 

1380) Astroph. Journ. 51 (1920), p. 62. 

1381) Astr. Nachr. 224 (1925), p. 277. 

1382) Astroph. Journ. 50 (1919), p. 81. 

1383) Astr. Nachr. 212 (1921), p. 473. 


756 VI», 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


Cepheiden wohl richtig wäre, einen Stern aufzufinden, der neben dem 
ö Cephei-Lichtwechsel auch noch Beiseköngslichtwechsel zeigt. 

Die anderen von A. Ritter °®), F. R. Moulton ”®), H. C. Plum- 
mer‘), H. Shapley'?®’) u. a. gegebenen Erklärungsversuche ziehen 
fast ausschließlich Pulsationen eines einfachen Sterns zur Erklärung 
der Erscheinungen heran. Insbesondere A. $. Eddington!’®®) hat diese 
Pulsationstheorie unter Zugrundelegung der in einer adiabatischen 
Gaskugel herrschenden Verhältnisse mathematisch ausgebaut und im 
Gegensatz zu einer Bemerkung von E. Persico!?®) zeigen können'!?’), 
daß sich Pulsationen als freie Schwingungen in einem Sternkörper 
sehr lange erhalten können und sich vielleicht erst in tausend Jahren 
erschöpfen. 

Die Verquickung der Doppelsternhypothese mit der Pulsations- 
theorie führt auf erzwungene Pulsationen, deren Theorie und Wirkung 
von J. H. Jeans'?®!), P. ten Bruggencate‘?”) und H. Vogt'??) erörtert 
worden sind. A. sS. Eddington'?”*) hat darauf aufmerksam gemacht, 
daß bei solchen erzwungenen Schwingungen Gleichheit von Perioden- 
länge und Rotationsdauer erforderlich ist, und daß dann für die Ro- 
tationsgeschwindigkeit bei Annahme eines Durchmessers von etwa 
20 Millionen Kilometer (auch die d Cephei-Sterne sind Riesensterne) 
so hohe Beträge folgen würden, daß die Spektrallinien selbst bei An- 
nahme einer starken Randverdunkelung der Sternscheiben bis auf 
3 A.E. verbreitert erscheinen müßten. Da bei Annahme der Pulsations- 
theorie offenbar ein Pulsationslichtwechsel mit einem durch die Ver- 
schiebungen des Spektraltypus hervorgerufenen Temperaturlichtwechsel 
kombiniert ist, während sich in der Geschwindigkeitskurve nur die 


1384) Ann. Phys. Chem., Neue Folge 8 (1879), p. 179; 13 (1881), p. 366. 

1385) Astroph. Journ. 29 (1909), p. 257. 

1386) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 73 (1913), p. 665; 75 (1915), 
p. 566. 

1387) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 448; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 92 
(1914). 

1388) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 79 (1918), p. 2, 177; The internal 
constitution of the Stars, Cambridge 1926; Der innere Aufbau der Sterne, Berlin 
(Springer) 1928, p. 219 ff. 

1389) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 86 (1926), p. 98. 

1390) Ebendort 79 (1919), p. 177. 

1391) Ebendort 86 (1926), p. 90; 85 (1925), p. 797; The Observatory 42 
(1919), p. 88; 49 (1926), p. 125. 

1392) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 86 (1926), p. 335; Astr. Nachr. 228 
(1926), p. 217. 

1393) Astr. Nachr. 229 (1927), p. 125. 

1394) The Observatory 49 (1926), p. 88. 


32. Die Spektren der Nebelflecken. 7157 


Pulsationen registrieren, könnte die Pulsationstheorie nach W. Baade!?®) 
dadurch geprüft werden, daß man den Temperaturlichtwechsel aus der 
Liehtkurve eliminiert und die korrigierte Lichtkurve mit der Ge- 
schwindigkeitskurve vergleicht.'?”*) 


32. Die Spektren der Nebelflecken. E. P. Hubble‘?”) hat die 
Nebelflecken nach ihrem Aussehen und ihrer Lage gegenüber der 
Milchstraße in folgende Gruppen und Untergruppen eingeteilt: 

1. Galaktische Nebel. 

a) Planetarische Nebel. 
b) Diffuse Nebel. 

2. Nichtgalaktische Nebel. 

a) Regelmäßig geformte Nebel ohne feinere Struktur von 
kugelförmiger, elliptischer oder linsenartiger Gestalt. 

b) Spiralnebel. 

c) Unregelmäßig geformte Nebel. 


Die erste Gruppe der galaktischen Nebel umfaßt durchweg Gas- 
nebel, deren Spektrum KEmissionslinien zeigt. Daß solche Nebel 
existieren, die ein Gasspektrum aus hellen Linien geben, ist zuerst 
von W. Huggins'?”‘) bemerkt worden. Nach Beobachtungen von 
Huggins, H. ©. Vogel”), H. L. D’Arrest *”), R. Copeland “®) u. a. 
waren immer vier Linien auffallend, von denen man in den beiden 
Linien bei 4861 und 4341 bald die beiden Balmerlinien H, und H, 
wiedererkannte. Die beiden anderen Linien bei 4959 und 5007 hielt 
W. Huggins'*") zunächst für Stickstofflinien. Die erste Photographie 
eines Nebelspektrums (Orionnebel) gelang wieder W. Huggins“"), der 
bei dieser Gelegenheit noch eine weitere kräftige Linie bei 3730 auf- 
fand. Durch neuere Untersuchungen von W. H. Wright‘®), der auch 


1395) Astr. Nachr. 228 (1926), p. 359. 

1395a) Wegen der Cepheiden siehe auch J. Hopmann, Colorimetrie der Ge- 
‚stirne, Nr. 23, diese Encykl. VI »2 (1930), Nr. 26. 

1396) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 162. 

1397) Phil. Trans. 1864, p. 437; London Roy. Soc. Proc. 13 (1864), p. 492. 

1398) Astr. Nachr. 78 (1871), p. 245; London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 40 
(1880), p. 294; Astr. Nachr. 96 (1880), p. 287. 

1399) Undersogelser over de nebulose Stjerner i Henseende til deres spectral- 
analytiske KEgenskaber, Kopenhagen 1872; Astr. Nachr. 79 (1872), p. 93; 80 (1873), 
p- 189. 

1400) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 48 (1888), p. 360. 

1401) Phil. Trans. 1868, p. 529. 

1402) Paris C. R. 94 (1882), p. 94. 

1403) Astroph. Journ. 16 (1902), p. 53; Lick Obs. Bull. Nr. 183 (1910); Bd. 13 
(1919); London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 75 (1915), p. 20; Washington Nat. 
Acad. Proc. 1 (1915), p. 266. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 49 


7158 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


den roten Teil des Spektrums von N.G.C. 7027 studiert hat!%), dann 
von W. W. Campbell und J. H. Moore“®), E. P. Hubble'*®), R. F. San- 
ford), M. Wolf“) u.a. wurden nicht nur immer mehr für die 
Gasnebel typische Linien, sondern auch deren Intensitätsverhältnisse 
näher bekannt. Danach treten neben den hellen Linien der .Balmer- 
serie des Wasserstoffs, der auch durch das an der Seriengrenze bei 
3647 einsetzende kontinuierliche Emissionsspektrum nachweisbar ist, 
insbesondere noch die Linien des He (4472) und He*+ (4686, 3869) 
sowie eine Gruppe unbekannter Linien bei 3726 (Duplex), 3729, 
4363, 4959, 5007, 6584 und 732540) auf. Man schrieb diese unbe- 
kannten Linien einem hypothetischen Element „Nebulium“ (Nu) zu 
und bezeichnete sie, bei der auffälligsten 5007 beginnend und gegen 
Violett zu weitergehend, als Nul, Null...NuV. Das Intensitäts- 
verhältnis'*!0) der einzelnen Linien untereinander ist typisch für ein- 
zelne Nebelgruppen und gestattet eine Klassifizierung derselben. Nach 
dem Draperkatalog'*!!) können danach folgende Typen gebildet werden: 


Pa: NulV,V besonders kräftig, ebenso die Balmerserie, Het 
3869 scheint zu fehlen. 

Pb: Nul,U kräftiger als in Pa. | 

Pe: Null besonders stark. Das Spektrum ähnelt dem der neuen 
Sterne im Stadium @x außerordentlich. 

Pd: Nul ist etwa fünfmal heller als H,. He* 4686 fehlt. 

Pe: Wie Pd, aber He* 4686 deutlich vorhanden. 

Pf: He*+ 4686 ist die auffälligste Linie. 


Was nun den Ursprung der Nu-Linien betrifft, so hat zunächst 
J. W. Nicholson?) in mehreren Arbeiten versucht, ein Atommodell 
zu konstruieren, das Schwingungen von der Art der Nu-Linien aus- 


1404) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 63. 

1405) Lick Obs. Bull. 9 (1916), Nr. 279, p. 6. 

1406) Publ. Astr. Soc. Pac. 32 (1920), p. 155. Betrifft N.G.C. 1499. 

1407) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 108; 34 (1922), p. 222; 36 (1924), 
p. 349. 

1408) Heidelberg Akad. Sitzber. 1911, Nr. 35; 1915, Nr. 1. 

1409) Das Dublet 7323,7 und 7334,4 ist von P. W. Merrill, Publ. Astr. Soc. 
Pac. 40 (1926), p. 254, in den Spektren von N.G.C. 7027 und 6572 gefunden 
worden. 

1410) Intensitätsverhältnisse der Spektrallinien sind schon von J. Scheiner 
und J. Wilsing, Potsdam Astroph. Obs. Publ. 15 (1905), Nr. 47 und Astr. Nachr. 
159 (1902), p. 182, angegeben worden. 

1411) Harvard Coll. Obs. Ann. Bd. 91 (1918). 

1412) London Roy. Astr. Soc. Month: Not. 72 (1911), p. 49; 74 (1913—1914), 
p. 118, 486. : 


32. Die Spektren der Nebelflecken. 159 


sendet. Sein Resultat, daß ein Atom mit vier positiven Kernladungen 
und Elektronen von verschiedener Zahl, so daß positive oder negative 
freie Reste auftreten, Träger des Nu-Spektrums sei, ist durch die 
Bohrsche Atomtheorie überholt. Während noch H. H. Plaskett‘!?) bei 
einem Versuch, die Nebellinien nach Serien zu ordnen, auf den Ge- 
danken kam, daß vielleicht ein Bandenspektrum eines H-—He-Mole- 
küls vorliege, hat erst vor kurzem J.S. Bowen'*!t) zeigen können, 
daß man es in der Mehrzahl der Nu-Linien offenbar mit Linien des 
hochionisierten O und N zu tun habe, die aus nach den Auswahl- 
prinzipien verbotenen Sprüngen zwischen metastabilen Zuständen ihren 
Ursprung nehmen. Nach Bowen könnten solche verbotene Sprünge 
in den Nebeln dadurch begünstigt werden, daß die mittlere zwischen 
den Zusammenstößen von Atomen und Elektronen verstreichende Zeit- 
dauer wegen der außerordentlich geringen Dichte der Nebelgase so 
groß (10°—10° Sek.) wird, daß die erregten Atome ihre Energie nicht 
durch Kollisionen auf andere Atome übertragen, sondern durch Strah- 
lung abgeben. J. Woltjer jr.‘*'°), der die Bedingungen erörtert hat!*!6), 
unter denen solche verbotene Elektronensprünge auch im Laborato- 
rium zustande kommen könnten, und der sich der bowenschen Argu- 
mentation anschließt, hat theoretisch gefunden, daß solche verbotene 
Linien unter Umständen weit kräftiger werden können als die ge- 
wöhnlichen Linien der gleichen Elemente.!*!”) Die Hauptlinien der 
Nebelspektren wären nach Bowen in folgender Weise zu identifizieren: 

3726 NuV: Ott .„..28—2D, 

3729 Nu IV: Ot+ .„..29—?D, 

4363 Nu Ill: Ot++...1D—1S8 

4959 Null: Ott+...®>P,—'!D 

5007 Nul: Ott+...2%,—'!D 


65448 — N* ...:Pp-ıD 
6584 — N+ ..:2—1ıD 
7385... RR. SLkp 


Eine Bestätigung von Bowens Schlußfolgerungen scheint darin zu 
liegen, daß sich die Linien 4363, 4959 und 5007 nach W. H. Wright'48) 


1413) Nature 112 (1923), p. 392. 

1414) Publ. Astr. Soc. Pac. 39 (1927), p. 295. 

1415) Bull. Astr. Inst. Netherland 4 (1927), p. 108. 

1416) Ebendort 4 (1927), p. 107. 

1417) Siehe hierzu die Vorhalte zu Bowens Identifikationen von A. Fowler, 
Nature 120 (1927), p. 582 und A. $. Eddington, London Roy. Astr. Soc. Month. 
Not. 88 (1927), p. 134. 

1418) Lick Obs. Publ. 13 (1918), p. 193. 

. 49* 


760 VI 3, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


in den Nebeln ähnlich verhalten wie die Linie He+ 4686, und daß 
dem He* und dem Ot++ nahe gleiche Ionisationspotentiale von un- 
gefähr 55 Volt zukommen. Außerdem fand auch Mihul‘*%) Linien 
des O+*+ auf, die mit den Nebellinien 3313, 3342, 3445 und 3759 
identisch sein können. 

Was speziell die planetarischen Nebel betrifft, so zeigen sich bei 
ihnen die Emissionslinien in der Regel auf einem hellen kontinuier- 
lichen Grund, der vom Nebelkern herrührt und dessen Helligkeit von 
der Helligkeit des letzteren abhängt. Die Kerne zeigen, wie von 
W. H. Wright“) bei einem Vergleich des Kernspektrums von N.G.C. 
6572 mit dem Wolf-Rayet-Stern BD -+ 30° 3639 bemerkt worden ist, 
in der Regel auch die typischen Bänder der O-Sterne. Neuere Beob- 
achtungen von @. F. Paddock'?!) und W. H. Wright'??) stellten ein 
gleiches Verhalten noch bei einer größeren Anzahl planetarischer 
Nebel fest, so daß wohl an einen allgemeineren Zusammenhang 
zwischen planetarischen Nebeln und O-Sternen gedacht werden darf. 
Auch Ähnlichkeiten in den Radialgeschwindigkeiten deuten nach 
H. Ludendorff '*?°) auf Beziehungen zwischen diesen Gebilden hin. 

Im Jahre 1913 bemerkte V. M.Slipher'**) beim Nebel N.G.C.4594 
eine Neigung der Spektrallinien gegen die Längenausdehnung des 
Spektrums, die auf Rotation der Nebelmasse hinwies. In mehreren 
Arbeiten haben dann W. W. Campbell und J. H. Moore?) über Be- 
obachtungen berichtet, die sich auf 43 Nebel erstrecken und bei 16 
derselben Rotation und bei anderen 9 Bewegungen im Innern der 
Nebelmasse haben feststellen lassen. Bei den planetarischen Nebeln 
N.G.C. 7662 und 2392 sowie einigen anderen beobachteten sie eine 
Spaltung'?°) der Hauptnebellinien Nu I und II und anscheinend noch 
weiterer Linien im Spektrum des Kerns, die auf heftigere Bewegungen 
hinwies und Geschwindigkeitsunterschiede zwischen Kern und Nebel 
von über 80 kmsec-! ergab. Einen Versuch, die den Beobachtungen 
zufolge von innen nach außen langsamer werdende Rotation der 


1419) Paris C. R. 183 (1926), p. 1035; Paris C. R. 184 (1927), p. 1055. 

1420) Astroph. Journ. 40 (1914), p. 466; Washington Nat. Akad. Proc. 1 
(1915), p. 596. 

1421) Lick Obs. Buil. 9 (1916), Nr. 284, p. 29. 

1422) Amer. Phil. Soc. Proc. 59 (1920), p. 517. 

1423) Astr. Nachr. 212 (1920), p. 2. 

1424) Lowell Obs. Bull. 2 (1914), Nr. 62, p. 65. 

1425) Publ. Astr. Soc. Pac. 27 (1915), p. 245; 28 (1916), p. 119, 120, 190, 213, 
283; Washington Nat. Acad. Proc. 2 (1916), p. 566; Lick Obs. Bull. 9 (1916), p. 1; 
Pop Astr. 24 (1916), p. 655. 

1426) Publ. Astr. Soc. Pac. 29 (1917), p. 110. 


32. Die Spektren der Nebelflecken. 761 


planetarischen Nebel theoretisch zu untersuchen, hat P. Gerasimovie '*?°) 
unternommen, ohne jedoch dabei eine Übereinstimmung mit den 
für Gleichgewichtsfiguren geltenden Bedingungen erzielen zu können. 
Verzerrungen der Nu V-Linie wurden von M. Wolf“?®) auch in den 
Ringteilen des Ringnebels in der Leier bemerkt. Aufnahmen des 
Spektrums dieses Nebels von M. Wolf“®°) und K. Burns'*?) zeigten 
im Lichte verschiedener Linien verschieden große Bilddurchmesser, 
also Schichtung der Gase. Weitere Aufnahmen von Wolf ergaben, | 
daß Nul und II im Ring am stärksten waren und daß Nu lll und 
He* 3869 über die ganze Nebelfläche verfolgt werden konnten, während 
He* 4686 nur in den äußersten Ringteilen sichtbar war. Ähnliche 
Verhältnisse fand dann M. Wolf!) auch noch beim Dumbbellnebel 
und beim Nebel H IV, 39 Argus.!'??) 

Von den unregelmäßigen Milchstraßennebeln ist der Orionnebel 
am eingehendsten untersucht worden. Schon J. E. Keeler'*??) hatte be- 
obachtet, daß die Intensität von H, in verschiedenen Teilen des Ne- 
bels verschieden sei, und Aufnahmen von J. Hartmann'**) mit dem 
Objektivprisma ließen erkennen, daß Nu, H und He im Nebel ziem- 
lich ungleichmäßig verteilt sind, ein Resultat, das sich auch bei Auf- 
nahmen von J. H. Reynolds“) mit Filtern bestätigte. V. M. Slipher \4?°) 
fand dann dazu, daß das Spektrum der einzelnen Nebelteile vom reinen 
Emissionstypus an der hellsten Stelle (Trapez) nach außen hin vari- 
iert bis zum kontinuierlichen Sternspektrum. Also ist auch beim Orion- 
nebel Schichtung vorhanden. Aus der Beobachtung einer Deformation 
der H,-Linie an einer Stelle des Nebels hatte H. ©. Vogel?) auf Be- 
wegungen im Nebelinneren geschlossen, und weitere Messungen von 
H. Bourget, Ch. Fabry und H. Buisson“**®), die mit Hilfe von Inter- 
ferenzmethoden'#?°®) an verschiedenen Stellen dieses Orionnebels durch- 


1427) Astr. Nachr. 217 (1922), p. 409. 

1428) Heidelberg Akad. Sitzber. 1915, Nr. 1. 
1429) Ebendort 1911, Nr. 27; V. J. Schrift d. Astr. Ges. 43 (1908), p. 283; 
Astr. Nachr. 180 (1909), p. 151. 

1430) Publ. Astr. Soc. Pac, 23 (1911), p. 33. 

1431) Astr. Nachr. 199 (1914), p. 319; Heidelberg Sitzber. 1915, Nr. 1. 

1432) Ebendort 1916, Nr. 2 

1433) Astr. Nachr. 148 (1899), p. 207. 

1434) Astroph. Journ. 21 (1905), p. 398; Berlin Sitzber. 1905, p. 360. 

1435) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 79 (1919), p. 561; 81 (1921), p. 410. 

1436) Publ. Astr. Soc. Pac. 31 (1919), p. 212. 

1437) Berlin Sitzber. 1902, p. 259. 

1438) Paris C. R. 158 (1914), p. 1269; Astroph. Journ. 40 (1914), p. 241. 

1439) Beschrieben von Ch. Fabry and H. Buisson in Astroph. Journ. 33 
an), p. 406. 


762 VI, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


geführt worden sind, haben tatsächlich unregelmäßige Bewegungen 
vielleicht im Sinne einer Rotation der Nebelmasse beobachten lassen, 
ein Resultat, das von W. W. Campbell und J. H. Moore‘) sowie von 
F. B. Frost‘“*") im wesentlichen bestätigt werden konnte. 

Von Untersuchungen anderer unregelmäßiger Gasnebel seien er- 
wähnt die Studien von V. M. Slipher “?) über die beiden variablen Nebel 
N 6.0.2261 und 6729 und von M. Wolf 8) über H V 15 Cygni und über 
den von ihm entdeckten Amerikanebel.'“) Von den ebenfalls von 
M.Wolf in den sternleeren Kanälen der Milehstraße gefundenen „Höhlen- 
nebeln“zeigen die an den Rändern der Milchstraßenhöhlen liegenden Nebel 
meistens ein recht schwaches Gasspektrum, während die um Sterne herum 
gelagerten eigentlichen Höhlennebel fast stets ein kontinuierliches Spek- 
trum liefern, das offenbar von reflektiertem Sternenlicht herrührt. 145) 

Die Frage, wodurch das Leuchten der die Nebel bildenden Gase 
bewirkt wird, wurde schon von Huggins erörtert, der meint, daß nur 
wenige schwingende Moleküle oder Atome genügen, um das Leuchten 
hervorzurufen. Ungeachtet der niederen Nebeltemperatur würden solche 
Atome doch Wärmeschwingungen ausführen. Aus der auf interferen- 
ziellem Wege gemessenen Linienbreite haben nun aber H. Bourget, 
Ch. Fabry und H. Buisson'**) unter der Annahme, daß diese Linien- 
breiten durch Wärmeschwingungen der Atome bewirkt werden, auf 
Temperaturen geschlossen, die zwischen 10000° bis 16000° liegen 
und diesen hohen Temperaturwerten entspräche auch völlig der be- 
obachtete hohe Ionisationsgrad, schließlich hat kürzlich H. Zanstra #?) 
auf Grund theoretischer Erwägungen für die planetarischen Nebel sogar 
Temperaturen bis zu 100000° gefordert. Wahrscheinlich ist jedoch, daß 
die Anregung zur Strahlung bei den planetarischen Nebeln vom O-Stern- 
ähnlichen, also sehr heißen Kern ausgeht, und da sich auch bei den un- 
regelmäßigen Nebeln in vielen Fällen gewisse Zusammenhänge mit den 
umliegenden Sternen feststellen lassen, dürfte auch das Leuchten dieser 
Nebel durch die Strahlung benachbarter Sterne hervorgerufen sein.'*#8) 








1440) Publ. Astr. Soc. Pac. 29 (1917), p. 109. 

1441) Washington Nat. Acad. Proc. 1 (1915), p. 416. 

1442) Lowell Obs. Bull. Nr. 81 (1918). 

1443) Astr. Nachr. 178 (1908), p. 379. 

1444) Heidelberg Sitzber. 1910, Nr. 27. 

1445) Astr. Nachr. 204 (1917), p. 41. 

1446) Paris C. R. 158 (1914), p. 1017. 

1447) Nature 121 (1928), p. 780; V.J.Schrift der Astr. Ges. 63 (1928), p. 260. 

1448) Mit den durch die Strahlung des Zentralsterns bewirkten Ionisations- 
erscheinungen hat sich P. Gerasimovid, Amer. Ac. Sciences and Arts Proc. 62 
(1927), Nr. 5; Harvard Coll. Obs. Reprint 38 (1927) befaßt. 


32. Die Spektren der Nebelflecken. 163 


Während sich die Radialgeschwindigkeiten der Gasnebel'“?) im 
Mittel den mittleren Radialgeschwindigkeiten der Fixsterne gut an- 
schließen — die Gasnebel sind nach neueren Ansichten Glieder unseres 
Fixsternsystems — haben die Spiralnebel durchweg Radialgeschwindig- 
keiten beobachten lassen, die mindestens mehrere 100 km, in ein- 
zelnen Fällen sogar über 1000 km sec”! betragen und vorzugsweise 
von uns weggerichtet sind.!0) Sie gehören also vermutlich nicht 
mehr unserem Fixsternsystem an. 

Das Spektrum der Spiralnebel ist, von wenigen Ausnahmen wie 
N.G. (0.1068 oder M 77 Ceti abgesehen, kontinuierlich mit Absorptions- 
linien. Besonders oft ist der helle Andromedanebel spektroskopisch 
untersucht worden, z. B. von J. Scheiner“°!), nach dem das Spektrum 
vom Typus @ sein soll, und von M. Wolf.“°?) Andere Spiralnebel 
sind von M. Wolf“®) und besonders von E. A. Fath“*) untersucht 
worden. Danach scheinen die Spiralarme stets etwas blauer zu sein 
als der Kern. so daß die die Spiralen bildenden Sterne einem früheren 
Typus angehören würden als die Kernsterne. Im Spiralnebel N.G.C. 
4594 (Virgo) hat schon V. M. Slipher'*°) Rotation vermutet, später 
konnte F.@. Pease'*°®) bei diesem Nebel und dem Andromedanebel!%”) 
ebenfalls Rotationsbewegungen der inneren Teile spektroskopisch be- 
obachten, die dann von V..M. Slipher‘*°®) neuerlich bestätigt und noch 
bei fünf anderen Nebeln nachgewiesen werden konnten. Übereinstim- 


1449) Siehe darüber u. a. H.C. Vogel, Berlin Sitzber. 1902, p. 259, J. Hart- 
mann, Berlin Sitzber. 1902, p. 237 und Astroph. Journ. 15 (1902), p. 287, W. W. 
Campbell, Astr. Nachr. 188 (1911), p. 345; Publ. Astr. Soc. Pac. 25 (1913), p. 288; 
Science 40 (1914), p. 770, J. H. Moore, Publ. Astr. Soc. Pac. 37 (1925), p. 224. 

1450) Siehe bei V. M. Slipher, Lowell Obs. Bull. 2 (1913), p. 56 und Publ. 
Astr. Soc. Pac. 28 (1916), p. 191, F. @. Pease, ebendort 27 (1915), p. 133, 239; 
Pop. Astr. 25 (1917), p.26; Washington Nat. Acad. Proc. 2 (1916), p. 517; 4 (1918), 
p. 21; Mt. Wilson Comm. 32 (1916); 51 (1918); J. H. Moore, Publ. Astr. Soc. Pac. 27 
(1915), p. 192; M. Selga, Rev. Soc. Astr. Espana 5 (1915), p. 7, 24; R. F. Sanford, 
Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 44. Eine Zusammenstellung ist von @. Strömberg 
in Astroph. Journ. 61 (1925), p. 353 gegeben. 

1451) Astr. Nachr. 148 (1899), p. 326; Astroph. Journ. 30 (1909), p. 69. 

1452) Heidelberg Sitzber. 1912, Nr. 3. 

1453) Ebendort 1912, Nr. 15. 

1454) Lick Obs. Bull. 149 (1909), p. 71; Astroph. Journ. 33 (1911), p. 58; 
37 (1913), p. 198; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 49 (1911). 

1455) Pop. Astr. 23 (1914), p. 21. 

1456) Washington Nat. Acad. Proc. 2 (1916), p. 517; Mt. Wilson Comm. 32 
(1916). 

1457) Washington Nat. Acad. Proc. 4 (1918),p.21; Mt. Wilson Comm. 51 (1918). 

1458) Pop. Astr. 29 (1921), p. 272. 


- 
764 VIs, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


mend damit haben 8. K. Kostinsky'*®) und A.van Maanen'*°) am Spiral- 
nebel in den Jagdhunden und der letztere!) auch noch bei anderen 
Objekten durch den Vergleich älterer und neuerer Photographien Be- 
wegungen markanter Spiralenpunkte wahrscheinlich gemacht. Da die 
beobachteten Bewegungen nur sehr klein sind und lediglich wenige 
Hundertstel einer Bogensekunde ausmachen, sind die bezüglichen Re- 
sultate allerdings noch mit Vorsicht aufzunehmen, um so mehr, als 
ähnliche Messungen von W. J. A. Schouten“®) und K. Lundmark 4), 
bei denen zum Teil dasselbe Plattenmaterial benutzt wurde, zu Wider- 
sprüchen geführt haben. 

Erwähnt seien schließlich noch die staubförmigen Nebel, die das 
Licht der in ihnen stehenden Sterne reflektieren. Die Plejadennebel 
als Hauptvertreter dieser Art sowie etwa 30 andere solcher eigentlich 
dunkler Nebel haben, wie V. M. Slipher“*#) und insbesondere E. P. 
Hubble‘*®) fanden, ein kontinuierliches Spektrum, das dem Spektrum 
der in ihnen stehenden Sterne ähnlich ist. 


33. Das mittlere Spektrum der Sternhaufen. Die Untersuchung 
der Spektren der einzelnen einen Sternhaufen bildenden Sterne ist 
lediglich bei den sogenannten „offenen Haufen“ möglich, bei denen 
die Sterne nicht allzu dicht gedrängt stehen. Immerhin verursacht die 
geringe Helligkeit der Haufensterne Schwierigkeiten, und man greift 
daher mit Vorliebe zu kolorimetrischen Methoden !*#) zur Bestimmung 
der Spektraltypen. Ganz lockere Haufen hellerer Sterne, wie Plejaden, 
Praesepe und Hyaden, können auch unter Verwendung des ÖObjektiv- 
prismas spektralanalytisch bearbeitet werden. In dieser Weise hat 
A. Kohlschütter‘*) die Sterne der Praesepe und der Hyadengruppe 
untersucht. Weitere Beobachtungen an den Plejaden von R.J. Trüm- 
pler“) und F. H. Seares'**°) haben eine Verteilung der Leuchtkräfte 


1459) Petersburg Acad. Bull. 1916, p. 871. 

1460) Astroph. Journ. 54 (1921), p. 237. 

1461) Astroph. Journ. 44 (1916), p. 331; 56 (1922), p. 200, 208; 57 (1923), 
p. 49, 264 oder Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 118 (1916), 242 (1922), 243 (1922), 
264 (1923). 

1462) The Observatory 42 (1919), p. 441. 

1463) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 67; London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 
85 (1925), p. 865. 

1464) Lowell Obs. Bull. 2 (1913), p. 26. 

1465) Astroph. Journ. 56 (1922), p.400; Mt. Wilson Solar Obs. Contr. 250 (1922). 

1466) Siehe J. Hopmann, Colorimetrie. Diese Encykl. VI, Nr. 26. 

1467) Astr. Nachr. 211 (1920), p. 289. 

1468) Lick Obs. Bull. 333 (1921). 

1469) Publ. Astr. Soc. Pac. 34 (1922), p. 56. 


33. Das mitt]. Spektr. der Sternhaufen. 34. Das mittl. Spektr. der Milchstraße. 765 


in diesen Sterngruppen ergeben, die von der in unserem Fixstern- 
system herrschenden verschieden ist und nach P. ten Bruggencate'*®) 
auf selektive Absorption im Raum zwischen den Haufensternen hin- 
weist. Diese Unterschiede sind auch noch von R. J. Trümpler'*"') und 
P.Doig'*'?) näher besprochen worden. In manchen dieser offenen Haufen 
ist insbesondere der Riesenast nur schwach ausgeprägt. 

Bei den sogenannten „kugelförmigen Sternhaufen“, bei denen oft 
viele Tausende von Sternen dicht gedrängt und unter starker Kon- 
zentration gegen die Haufenmitte auf einem kleinen, nahe kreisrunden 
Fleckchen am Himmel beisammen stehen, wird es wieder möglich, das 
Gesamtspektrum des Haufens und damit das mittlere Spektrum der 
den Haufen bildenden Sterne zu untersuchen. Die meisten Spektral- 
aufnahmen dieser Art rühren von E. A. Fath'*'®) und V. .M. Slipher *) 
her. Der letztere hat seine Aufnahmen auch zur Ableitung von Radial- 
geschwindigkeiten der Haufen verwendet. Im Durchschnitt ergaben 
diese Aufnahmen mittlere Spektren von den Typen F—G, so daß in 
diesen Gebilden eine ähnliche Streuung der Spektren wahrscheinlich 
ist wie in unserem Fixsternsystem. Etwas spätere Mitteltypen G—K 
haben Aufnahmen südlicher Kugelhaufen mit dem Objektivprisma von 
C. D. Perrine“") ergeben. Dieser geringe Unterschied mag darauf 
zurückzuführen sein, daß ja diese Aufnahmen mit dem Objektivprisma 
wegen der merkbaren Durchmesser der Objekte eigentlich linienlose 
Spektren liefern, aus denen der Typus nur aus der Ausdehnung des 
Spektrums gegen die kurzen Wellen hin abgeleitet werden konnte. 

Eine Zusammenstellung der bis Ende 1924 bekannt gewordenen 
Radialgeschwindigkeiten von Kugelhaufen ist von @. Strömberg'*®) 
gegeben worden. Aus ihr geht hervor, daß die Geschwindigkeiten 
dieser Gebilde, abgesehen von einigen Schnelläufern, ziemlich normal 
und den mittleren Geschwindigkeiten der Sterne unseres Fixstern- 
systems vergleichbar sind. | 


34. Das mittlere Spektrum der Milchstraße ist im Jahre 1912 
von E. A. Fath“) mit einer Expositionszeit von 74 Stunden aufge- 


1470) Bull. Astr. Inst. Netherland 4 (1927), Nr. 128. 

1471) Allegheny Obs. Publ. 6 (1922), p. 45; Publ. Astr. Soc. Pac. 37 (1925), 
p. 307; 38 (1926), p. 350. 

1472) Publ. Astr. Soc. Pac. 38 (1926), p. 113. 

1473) Lick Obs. Bull. 149 (1909); Bd. 5 (1911), p. 71; Astroph. Journ. 33 
(1911), p. 58; 37 (1913), p. 198. 

1474) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 11 (1917), p. 335. 

1475) Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 229. 

1476) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 353. 

1477) Ebendört 36 (1912), p. 362. 


766 VI2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


nommen worden und entspricht ungefähr dem Typus @. Da nun die 
Zahl der im Draperkatalog klassifizierten A-Sterne wesentlich höher ist 
als die der anderen Typen, wäre eigentlich ein anderer, früherer Mittel- 
typus zu erwarten gewesen. Es scheint somit, und das steht auch in 
Übereinstimmung mit anderweitigen Untersuchungen, daß gerade unter 
den schwächeren Sternen, die bei der Aufnahme eines mittleren Spek- 
trums speziell zur Wirkung kommen, die späteren Typen vorherrschen. 


35. Kalzium- und Natriumwolken im interstellaren Raum. Im 
Jahre 1904 bemerkte J. Hartmann‘) am spektroskopisch doppelten 
B-Stern ö Orionis, daß die scharfe Linie X des Ca* an der periodi- 
schen durch die Bahnbewegung verursachten Verschiebung der an- 
deren Linien nicht teilnahm und daß vielleicht auch die H-Linie des 
Ca*, die allerdings teilweise durch die Wasserstofflinie 7, überlagert 
war, ein ähnliches Verhalten zeige. Er schloß daraus, daß im Welt- 
raum zwischen Erde und Stern vermutlich ruhende Kalziumwolken vor- 
handen sind, die diese „stationären“ Linien AH und K hervorrufen. 
Die gleiche Erscheinung wurde dann von V. M. Slipher“*") noch bei 
den Sternen ß, d, 6 Scorpii und & Ophiuchi bemerkt, und später stellte 
R. K. Young“°) noch etwa 40 andere Sterne mit solchen „ruhenden 
Kalziumlinien“ zusammen. Nach Miß M.L. Heger'“®!) sind in den Spek- 
tren einiger Sterne auch noch die Linien D, und D, des Natriums 
stationär, so daß auch an das Vorhandensein ruhender Natriumwolken 
im interstellaren Raum gedacht werden muß. 

An ß Scorpii beobachteten zuerst Z. Daniel und F. Schlesinger \*®?) 
sowie J. ©. Duncan '*°°?), daß die Linie X nicht eigentlich völlig sta- 
tionär war, sondern Schwankungen in der Wellenlänge zeigte von der 
Periode der Bahnbewegung, aber doch von weit geringerer Amplitude, 
als die übrigen Linien ergaben. Daher müßte also der Stern mit der 
Kalziumwolke derart in Verbindung stehen, daß dieselbe durch die 
Bewegung der beiden Komponenten des Sterns teilweise in Mitschwin- 
gungen versetzt wird. Somit könnten ähnliche Verhältnisse vorliegen 
wie beim veränderlichen Stern ßLyrae, bei dem, wie oben erwähnt, 
die H- und He-Linien andere Schwingungsamplituden zeigen und bei 
* Draconis, bei dem nach R. H. Baker“®t) die Wasserstofflinien an 


1478) Astroph. Journ. 19 (1904), p. 268. 

1479) 61% Meeting of the Americ. Assoc. for the advancement of science. 

1480) Pop. Astr. 29 (1921), p. 86. 

1481) Lick Obs. Bull. Nr. 326 (1919), p. 59. 

1482) Allegheny Obs. Publ. 2 (1912), Nr. 14, p. 127. 

1483) Lowell Obs. Bull. 2 (1912), Nr. 54, p. 21. 

1484) Pop. Astr. 29 (1921), p. 146; Univ. of Michigan (Detroit) Publ. 3 
(1923), p. 29. 


35. Kalzium- und Natriumwolken im interstellaren Raum. 7167: 


der Verlagerung der übrigen Linien nicht ganz teilnehmen. Erst 
kürzlich hat aber O0. Struve'#°) wahrscheinlich gemacht, daß das be- 
obachtete Mitschwingen der Kalziumlinie nur ein scheinbares sei und 
durch die normale Dopplersche Verschiebung einer anderen der statio- 
nären Linie angelagerten, dem Stern eigentümlichen Linie vorgetäuscht 
werde.!486) 

Zusammenfassende Berichte über die beobachteten Eigentümlich- 
keiten sind von R. K. Young'“?"), F. C. Henroteau'*®®) und H. Kienle'®) 
gegeben worden. Neuere Untersuchungen von J.S. Plaskett\) haben 
gezeigt, daß überhaupt die meisten Sterne von einem Typus früher 
als B3, ob sie nun Doppelsterne sind oder nicht, Cat-Linien zeigen, 
die andere Radialgeschwindigkeiten ergeben als die anderen Linien 
des Sternspektrums und somit durch solche Ca-Wolken hervorgerufen 
sein dürften. Statt der Bezeichnung „stationäre Linien“ hat sich seit- 
her der Name „verlagerte Linien“ (Detached Lines) eingebürgert. Stehen 
die Kalziumwoiken nun aber wirklich ruhig im Weltraum, so ergeben 
solche detached lines natürlich direkt die in die Richtung zum Stern 
projizierte Komponente der Sonnenbewegung, und die aus ihnen ab- 
geleiteten Radialgeschwindigkeiten gestatten daher eine völlig sichere 
Bestimmung von Apex und Geschwindigkeit der Bewegung des Sonnen- 
systems. Solche Apexbestimmungen sind von F\ ©. Henroteau'*”') vor- 
genommen worden, der mit nur sechs Sternen fand: « = 271°, d = + 42°, 

— 29,3 kmsec=! und von @. Strömberg??), der für den Apex mit 
64 Sternen erhielt: & = 276°, d = + 37°, V = 20,1 kmsecr!., Die 
Nichtübereinstimmung der beiden Resultate scheint zu zeigen, daß die 
aus den detached lines abgeleiteten Radialgeschwindigkeiten die Sonnen- 
bewegung doch nicht ganz rein widerspiegeln, daß also die bezüglichen 
Kalziumwolken keineswegs gänzlich ruhig in unserem Fixsternsystem 
stehen. Auch Rotationen des ganzen Milchstraßensystems, an die J. H. 
Oort"*3) und J. 8. Plaskett'**) denken, könnten in dieser Hinsicht von 
störendem Einfluß sein. 


1485) Astroph. Journ. 67 (1928), p. 353. 

1486) Siehe B.J. Bock, Bull. Astr. Inst. Netherland 4 (1927), p. 9. 

1487) Domin. Astroph. Obs. (Vietoria) Publ. 1 (1920), p. 219; Journ. Roy. Astr. 
Soc. Canada 14 (1920), p. 389. 

1488) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 15 (1921), p. 62, 109. 

1489) Seeliger-Festschrift, Berlin (Springer) 1924. 

1490) Domin. Astroph. Obs. (Victoria) Publ. 2 (1924), p. 335. 

1491) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 14 (1920), p. 234. 

1492) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 372. 

1493) Bull. Astr. Inst. Netherland 3 (1927), p. 275; 4 (1927), p. 79. 

1494) Journ. Roy. Astr. Soc. Canada 22 (1928), p. 131. 


7168 VI 2, 25. Adolf Hnatek. Die Spektralanalyse der Gestirne. 


In mehreren Arbeiten hat O. Struve‘®) ‘das ganze Phänomen 
einem genauen Studium unterworfen und dabei gefunden, daß die In- 
tensität solcher verlagerter Linien mit der Distanz des betreffenden 
Sterns zusammenhängt. Gleichzeitig nimmt die Intensität aber auch 
ab beim Fortschreiten vom Typus O zum Typus B5, in welch letz- 
terem solche detached lines im allgemeinen zuletzt auftreten. Weiter 
hat sich nach Abzug der Komponente der Sonnenbewegung von den mit 
solehen Linien erhaltenen Radialgeschwindigkeiten ergeben, daß die so 
erhaltenen individuellen Geschwindigkeiten eine Gruppierung am Him- 
mel zulassen, die einen gewissen Zusammenhang mit den Sternwolken 
in der Milchstraße verrät. In Verbindung mit den Sterndistanzen ließ 
sich feststellen, daß die Entfernung der Kalziumwolken in Cygnus 
und Perseus etwa 1400 Parsec betragen dürfte, in Scorpius 1800, in 
Cepheus 2800, in Orion dagegen nur 200 Parsec. Nach O. Struve!*?®) 
scheinen die anderen in der Nähe solcher Sterne mit detached lines 
stehenden Sterne wegen der Absorption der Wolken durchschnittlich 
etwas röter zu sein, als ihrem Typus entsprechen würde. 

Die Frage, wieso solche verlagerte Linien nur bei den heißesten 
Sternen beobachtet werden, hängt innig zusammen mit der Frage nach 
der Erregung solcher interstellarer Wolken zur Absorption. Meg Nad 
Saha'“?") denkt daher zunächst überhaupt nicht an eigene Wolken im 
interstellaren Raum, sondern an vom Stern selbst durch den Strah- 
lungsdruck fortgeschleuderte, erregte Atome. J. Evershed'”°) hat je- 
doch aufmerksam gemacht, daß solche Atome schließlich eine kon- 
stante Maximalgeschwindigkeit annehmen müßten, während die be- 
treffenden Ca-Linien auf wenigstens zum größten Teil ruhende Gebilde 
hinweisen. Eine Erklärung von J. 8. Plaskett!*”°) erscheint jedenfalls 
plausibler, nach der die Erregung in den dem Stern nächsten Wolken- 
teilen durch die Sternstrahlung selbst verursacht sein soll, da ja nach 
Untersuchungen theoretischer Natur von J. Woltjer jr.'®) ein Stern 
von etwa 50Ofacher Sonnenmasse und einer effektiven Temperatur von 
30000° imstande wäre, eine Ionisation der Ca-Wolken sogar noch auf 
große Distanzen hinaus hervorzurufen. 


1495) Pop. Astr. 33 (1925), p. 596, 639; 34 (1924), p.1, 158; 35 (1927), p. 212. 
1496) a. a. O. 

1497) Nature 107 (1921), p. 488. 

1498) The Observatory 47 (1924), p. 53. 

1499) London Roy. Astr. Soc. Month. Not. 84 (1923), p. 80. 

1500) Publ. Astr. Inst. Netherland 2 (1924), p. 195. 


(Abgeschlossen Ende 1928.) 


 V12,26. ASTRONOMISCHE KOLORIMETERIE. 


Von 
JOSEF HOPMANN 


IN LEIPZIG. 


Mır BEITRÄGEN VON BERNHARD STICKER IN Bonn. 


Inhaltsübersicht. 


I. Theoretisches und Geschichtliches. 
1. Definition und Aufgabenkreis der Kolorimetrie. 
2. Geschichtliche Bemerkungen. 


II. Die kolorimetrischen Beobachtungsmethoden. 
A. Visuelle Beobachtungsverfahren. 
. Psycho-physiologisches. 
. Farbenschätzungen. 
. Wilsings Rotkeil, Fessenkoffs Blaukeil. 
. Visuelle effektive Wellenlängen. 
. Visuelle Farbenindizes. 


EN Br Be 


B. Photographische Beobachtungsverfahren. 
8. Photographische Farbenindizes. 
9. Methode Seares. 
10. Methode Tikhoff. 
11. Methode Rosenberg. 
12. Photographische effektive Wellenlängen. 


C. Elektrische Beobachtungsverfahren. 
13. Lichtelektrische Farbenindizes. 
14. Die thermoelektrische Methode. 
15. Zusammenfassende Übersicht. 


III. Ergebnisse bei normalen Sternen. 
16. Allgemeines. 


17. Farbe und absolute Helligkeit (von B. Sticker). 
18. Farbe und Sternort, interstellare Absorption (von B. Sticker). 
19. Die Verteilungsfunktion der Farben (von B. Sticker). 
20. Bolometrische und instrumentelle Größenklassen. 
21. Farbe und Sterndurchmesser. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 50 


770 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


IV. Ergebnisse bei veränderlichen Sternen. 
22. Bedeckungsveränderliche. 
23. ö-Cepheisterne. 
24. Mira-Sterne. 
25. Soustige Veränderliche. 


V. Ergebnisse bei Sternhaufen und Nebelflecken. 
26. Kugelförmige Sternhaufen (von B. Sticker). 
27. Offene Sternhaufen und Milchstraßenwolken (von B. PRchen) 
28. Die Nebelflecken. 


VI. Ergebnisse im Sonnensystem. 
29. Die Sonne. 


30. Der Mond. 
31. Die großen Planeten. 
32. Die Kleinkörper des Sonnensystems. 


Literatur. 


Die Literatur zur astronomischen Kolorimetrie ist in der Hauptsache in den 
Zeitschriften und Sternwartenveröffentlichungen verstreut, entsprechende Verweise 
sind daher in den nachstehenden Fußnoten gegeben. Eine zusammenfassende Dar- 
stellung gab es zur Zeit der Abfassung dieses Berichtes noch nicht; erst kurz vor 
der Drucklegung erschien eine solche im Handbuch der Astrophysik, Band II,1, 
Verlag Springer 1929, verfaßt von K. Bottlinger. Aus dem VI. Bande dieses Werkes 
interessiert noch hier der Bericht von H. Ludendorff über die veränderlichen 
Sterne und der von @. Stratton über die neuen Sterne, aus dem IV. Bande die 
Berichte von Graff und Kopff über die Mitglieder des Sonnensystems. Es sei 
ferner noch auf folgende Lehrbücher hingewiesen: 

Graff, Grundriß der Astrophysik, Leipzig u. Berlin 1928, B. G. Teubner. 

Müller- Powillet, Lehrbuch der Physik, Bd. V,2, 1928, Vieweg & Sohn. 

Schiller, Einführung in das Studium der veränderlichen Sterne, Leipzig 
1923, Barth. 


I. Theoretisches und Geschichtliches. 


1. Definition und Aufgabenkreis der Kolorimetrie. Die Kolori- 
metrie ist ein Zweig astrophysikalischer Forschung, der sich in der 
Hauptsache erst in den zwei letzten Jahrzehnten enwickelt hat, wenn- 
gleich eine Reihe Beobachtungsdaten auch schon vor 1900 gewonnen 
wurden. Aller Voraussicht nach dürfte ihre Bedeutung künftighin 
noch stark anwachsen. 

Die Untersuchung der von den Gestirnen kommenden Strahlung 
geschieht natürlich am vollkommensten durch die verschiedenartigen 
spektralanalytischen Methoden.!) Dabei wandte sich das Interesse der 


1) Siehe das Referat von Hnatek, diese Encykl. VI 2, 25, sodann vor allem 
A. Brill, Die Temperaturstrahlung der Fixsterne, Ztschr. f. Phys. 52 (1929), p. 767; 


1. Definition und Aufgabenkreis der Kolorimetrie. 771 


meisten Forscher dem Verhalten der Spektrallinien in Emission und 
Absorption zu, während die Zahl der Untersuchungen des kontinuier- 
lichen Spektrums, die naturgemäß nur Spektralphotometrien sein 
können, bis heute noch gering ist. Als ihr Ergebnis kann man an- 
sehen: 

Die Energieverteilung im kontinuierlichen Spektrum an Stellen 
frei von störenden Absorptions- und Emissionslinien zeigt zunächst 
in engen Spektralgrenzen (0,64—0,45 u bei Wilsing®), 0,54—0,33 u 
bei Rosenberg?)) einen guten Anschluß an die Plancksche Strahlungs- 
gleichung 


EN —1 
(1) 2,— 0. 1-sler 4) ; 
aus welcher sich also ar bzw. T berechnen läßt. Die so gewonnenen 


Werte werden meist effektive Temperaturen genannt. Korrekter be- 
zeichnet man sie nach Brills Vorschlag als Farbtemperatsiren, da sie 
ja zunächst nur besagen, daß in dem entsprechenden Spektralbereich 
die Energieverteilung in den einzelnen Farben der eines schwarzen 
Strahlers der berechneten Temperatur entspricht. Das Gegenstück bhier- 
zu ist die Strahlungstemperatur, ermittelt aus der Gesamtstrahlungs- 
energie durch das Siefan- Boltzmannsche Gesetz. 

Die Rosenbergsche Temperaturskala unterscheidet sich systematisch 


von der Wilsingschen in der Art, daß (7),+ 2,00 = 58 . (7), ist. 
Wie die Überarbeitung beider Untersuchungen durch Brillt) zeigte, 
rührt dies in der Hauptsache davon her, daß von etwa 0,45 u an nach 
Violett hin bei Sternen aller Temperaturgrade starke Absorptionen 
stattfinden und daher ein Anschluß an die Plancksche Gleichung nicht 
mehr möglich ist.**) 

Auf der anderen Seite ergaben die Radiometermessungen von 
Abbot?) sowie die lonisationstheorie der Spektrallinien (s. Hnatck, 
Encykl. Vl2, p. 720) in der Hauptsache die gleiche Temperaturskala 
wie die aus den Messungen von 0,4—0,7 u abgeleitete, so daß wir dem 


A. Brill, Die Strahlung der Sterne, Ergebn. d. exakten Naturw. 3, p. 1 (Berlin 1924, 
J. Springer), sowie die in beiden Arbeiten angeführte weitere Literatur. 

2) J. Wilsing, Effektive Temperaturen von 199 helleren Sternen, Publ. 
Astroph. Obs. Pot»dam 74 (1919). 

3) H. Rosenberg, Photogr. Untersuchungen der Intensitätsverteilung in Stern- 
spektren, Nova Acta Leopoldina 110, Nr. 2 (Halle 1914). 

4) A. Brill, Spektralphotometrische Untersuchungen, Astr. Nachr. 218, 219 
(1923) 

4a) S. auch N. W. Storer, Lick Obs. Bull. 410 (1929). 

5) Abbot, Astroph. Journ. 60 (1924), p. 87. 


172 VIa,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


folgenden den Satz zugrunde legen können: In erster Näherung ent- 
spricht die Energieverteilung der von den Fixsternen kommenden Strah- 
lung dem Planckschen Gesetz. Die Abweichungen hiervon interessieren 
für das Gebiet der Kolorimetrie bis heute noch wenig, in Frage kom- 
men vor allem die Versuche Brills!), mit Hilfe der photographisch- 
visuellen Farbenindizes eine absolute Temperaturskala aufzustellen (s. 
Nr. 8 und Nr. 16). 

Zwei Schwächen haften der spektralphotometrischen Methode gegen- 
wärtig noch an. Einmal sind die Messungen im einzelnen verhältnis- 
mäßig unsicher und dann wurden bisher nur die etwa 200 hellsten 
Sterne, bis 4,5” etwa, untersucht.- Letzteres ist bedingt vor allem 
durch die Neuartigkeit und Schwierigkeit der Aufgabe, wobei man 
sich naturgemäß zunächst den hellen Sternen zuwandte, sodann durch 
die notgedrungene geringe Intensität des spektral zerlegten Stern- 
lichtes. 

In der Kolorimetrie dagegen werden auf verschiedenartigen, nach- 
stehend zu schildernden Wegen Zahlenwerte abgeleitet, die in engster 


statistisch zu ermittelnder Beziehung zu den 2 der Planckschen Glei- 


chung stehen oder, anders ausgedrückt: 

Die Beobachtungen liefern „Äquivalente“ für die „Farbe“, d. h. für 
die spektrale Energieverteilung des einzelnen Sterns. Sterne, deren 
effektive Temperaturen auf spektralphotometrischem Wege abgeleitet 


sind, gestatten dann, das jeweilige „Farbenäquivalent“ in 7 umzu- 


rechnen. Damit sind dann auch die Temperaturwerte der übrigen Sterne 
bekannt. 

Dabei findet in der Kolorimetrie keine spektrale Lichtzerlegung 
statt, wodurch es möglich ist, bis zu den allerschwächsten Sternen mit 
Erfolg vorzudringen. So gibt es denn auch heute bereits umfangreiche 
Kataloge von Farbenäquivalenten vieler Tausender von Sternen. Ferner 
hat sich herausgestellt, daß manche kolorimetrische Methoden wesent- 


lich genauere 7-Werte liefern, als die Spektralphotometrie. Schließ- 


lich ist die Kolorimetrie an Einfachheit der instrumentellen Hilfsmittel 
wie der Reduktionsrechnungen der Spektralphotometrie stark über- 
legen. 

Das Richtigste wäre es also, alle kolorimetrischen Ergebnisse als 


Temperatur- oder besser als 77-Werte mitzuteilen. Letzteres deshalb, 


weil in der Hauptsache der Gang der verschiedenen Farbenäquivalente 


mit 7 nicht mit 7 linear verläuft. Von diesem Ideal sind wir aller- 


2. Geschichtliche Bemerkungen. 1773 


dings heute noch weit entfernt, teils weil eine allgemein anerkannte 
Temperaturskala noch nicht vorliegt, teils weil die Beobachter es meist 
unterlassen haben, ihre Farbenäquivalente durch entsprechende Zusatz- 


. . c . . . . 
messungen mit einer „,-Skala in Beziehung zu setzen. (Näheres hier- 


E 
zu s. Nr. 16). 

Wie der Artikel von Hnatek (Encykl. VI2, p. 694) des näheren zeigt, 
hat man auf Grund des Auftretens der Absorptionslinien die Stern- 
spektra in eine größere Zahl Klassen geteilt, von denen über 90%, 
auf die Typen B, A, F, G, K, M fallen, wobei dezimale Unterteilung 
(z.B. B3) die Übergänge kennzeichnet. Die helleren mit freiem Auge 
sichtbaren Sterne bilden nun dadurch eine ziemlich einheitliche Gruppe, 
daß sie alle zu den absolut hellen Sternen, den Riesen gehören (s. die 
Referate von Guthnick, Eneykl. VI2, 27, und Hnatek, Encykl. VI2,p. 721). 
Wie die Erfahrung weiter zeigte, haben dann die Sterne des gleichen 
Spektraltypus ungefähr die gleiche absolute Temperatur. Daher ist es 
statthaft, aus den besten für die etwa 100 hellsten Stern vorliegen- 


den 7 Bestimmungen in passender Bearbeitung nach Spektraltypen 





























geordnete Mittelwerte zu bilden. ® FRE z 
Die nebenstehende, von Brill!) ge- Spektrum) Tan | Fam y RR 
gebene Tabelle dürfte wohl die 2 RER ar 
beste gegenwärtige Temperatur- „7, 46.800% 0,88 1.36 
skala der Art darstellen. Neben go 11800° | 1,22 1,48 
seinen Werten stehen noch die Aö 9000° 1,59 1,89 
der Wilsingschen Skala, wie sie FO | 7900° | 1,82 2,20 
Hertzsprung in seinem Kompila- 2 | an aa bee 
tionskatalog (s. Nr. 16)°) gegeben iR | Se na y 
hat. Beide Tabellen finden nden xo | 4570 3.14 3.58 
folgenden Abschnitten mehrfache K5 | 3850° | 3,73 4,32 
Verwendung. Mo | 3570 | 402 4,58 


2. Geschichtliche Bemerkungen. Da die unten folgende Beschrei- 
bung der einzelnen kolorimetrischen Methoden auch ihre Entwicklung 
bringt, genügt es hier, die Ideengeschichte kurz zu schildern. Als 
älteste kolorimetrische Daten haben wir Angaben über die Farben 
der Sterne, bis zur 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts verhältnismäßig 
vage Ausdrücke, aus denen sich später feste Farbskalen entwickelten. 
So lange allerdings keine Bestimmungen effektiver Temperaturen vor- 
lagen, also bis 1910 etwa, fehlte diesen jegliche physikalische Bedeu- 





6) E. Hertzsprung, Mean Color Aequivalents, Ann. der Sternw. Leiden 14 
(1922), 1. Teil. 


774 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


tung. Auch der wichtigste Begriff des Farbenindex — in der älteren 
Literatur auch Farbentönung, Farbengleichung genannt — entstand 
erst zwischen 1900 und 1910, vor allem durch die bahnbrechenden 
photographisch-photometrischen Arbeiten Schwarzschilds (s. Referat 
Guthnick, Eneykl. VI 2,27). Letzterer versuchte auch erstmalig, in der 


Göttinger Aktinometrie den Farbenindex mit einer 7 Skala zu ver- 


binden. Etwa ab 1910, besonders nach 1920, entwickelten sich dann 
die übrigen kolorimetrischen Methoden. Gegenwärtig ist vieles hier 
noch in starkem Aufschwung, vieles noch ungeklärt, so daß es noch 
nicht zu einer internationalen Normierung gekommen ist, die wir mit 
bestem Erfolge auf anderen Gebieten der Astronomie und Physik sehen. 


11. Die kolorimetrischen Beobachtungsmethoden. 


Dem Zweck dieses Artikels entsprechend kann jeweils in diesem 
wie allen folgenden Abschnitten nur auf die wichtigsten Arbeiten ein- 
gegangen werden. Eine vollständige Literaturübersicht ist nicht an- 


gestrebt. 
A. Visuelle Beobachtungsmethoden. 


3. Psycho-physiologisches. Nach dem Vorbild von Helmholis, 
A. König u. a. hat man von verschiedener Seite die Empfindlichkeits- 
kurve des normalen menschlichen Auges bei fovealer Beobachtung (Zäpf- 
chen) ermittelt. Dem Folgenden sind hierfür die häufig gebrauchten 
Werte von Henning f(A) in der Formel zugrunde gelegt.‘) Ferner sei 
p(A) die Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre; für die Rech- 

Mperipher nung wurden die Werte von Wilsing®), gültig 
Mföweaıl N\FPeripher für 45° Zenithdistanz, benutzt. Dann ist mit (1) 
(2) va)—=0.E().f(A) P(A) 
(C = Proportionalitätsfaktor) die visuelle spek- 
trale Energieverteilung unter mittleren Verhält- 
nissen gegeben. Fig. 1 gibt diese Kurven für 
je einen B- und M-Stern, bzw. richtiger für 


gr gleich 0,7 und 4,5. Der Maßstab wurde je- 
Y/ RR weils so gewählt, daß die von der Abszisse und 








a 00 050 " #64 den Kurven umschlossenen Flächenstücke, also 

Fig. 1. das Integral obigen Ausdrucks, gleich waren, 
die Sterne visuell also gleich hell erschienen. Neben der fovealen 
Empfindlichkeitskurve wurde auch die periphere (Stäbchen) heran- 





. 7) Jahrb. d. Rad. u. Elektr. 1919, Heft 1. 
8) Publ. Astroph. Obs. Potsdam 76 (1920), p. 7. 


3. Psycho-physiologisches. — 4. Farbenschätzungen. 775 


gezogen. Der Figur entnimmt man zunächst, daß selbst in diesen Ex- 
tremfällen die visuelle Energieverteilung nicht allzu verschieden ist. 
Das Energiemaximum bleibt im Grünen, wandert beim Übergang von 
B nach M nur wenig zu den längeren Wellen. Anwendungen dieser 
Kurven bringen die Nr. 6 und 7. 

Selbstverständlich zeigen die Kurven uns weiter die Tatsache, 
daß das Blau (Rot) eines 5-Sterns stärker (schwächer) ist als das eines 
M-Sterns. Ist der Stern genügend hell, so wird er also entsprechend 
dem Verlaufe der Empfindlichkeitskurven für die drei Helmholtzschen 
Grundempfindungen Rot, Grün und Blau im integrierten Lichte je 


. c . . R . . 
nach seinem „; eine verschiedene Farbtönung haben, die somit um- 


gekehrt ein wichtiges Temperaturäquivalent abgibt.?) 

Mit steigender Temperatur werden dabei die Tönungen gelblich 
Rot—Gelb— Weiß—bläulich Weiß durchlaufen. Andere Farben — 
Purpur, Grün, Rosa, Braun usw. — können dabei normalerweise nicht 
vorkommen. Ausnahmen bilden einmal die neuen Sterne, bei denen 
in gewissen Entwicklungsstadien die rote Wasserstofflinie so stark 
strahlt, daß dadurch der Stern eine eigenartige rosa Tönung bekommt), 
und ferner die sternartig erscheinenden planetarischen Nebelflecke, die 
eine fast rein monochromatische grüne Strahlung im visuellen Gebiete 
haben, 


4. Farbenschätzungen. Das älteste aller Temperaturäquivalente 
ist die durch Schätzung ermittelte Farbe eines Sterns. Schon im Ka- 
talog des Almagest von Ptolemäus sind bei einigen Sternen Farben- 
angaben gemacht, wobei die über den „rötlichen“ Sirius, der uns ja 
bläulich-weiß erscheint, eine umfangreiche Literatur verursacht hat.!!) 
In der Literatur der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde beson- 
ders auf die merkwürdigen Farben hingewiesen, die die Komponenten 
von Doppelsternen haben, wobei Ausdrücke wie rosa, grünlich, lila 
und andere gebraucht wurden. Offenbar handelt es sich dabei um 
physiologische Kontrastwirkungen, die auftreten, wenn ein roter Stern 
einen bläulich-weißen zum Begleiter hat. So wies gelegentlich Spica 
grünliche Töne auf, als der rote Mars ihr nahe stand. An künstlichen 
Doppelsternen von objektiv weißer bis rötlicher Tönung konnte Bell!?) 
die gleichen Kontrasterscheinungen nachahmen. 


9) 8. hierzu auch Bottlinger, Naturwiss. 1925, p. 882. 

10) S. Referat Hnatek, diese Encykl. VI, p. 731. 

11) S. u. a. See, Astr. Nachr. 229 (Sondernummer); Osthoff, Astr. Nachr. 229 
(1927), p. 443. 

12) Astroph. Journ. 31 (1910), p. 234. 


776 VI», 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Die älteren Beobachter (z. B. Sestini!?)) verwandten im übrigen 
mehr oder weniger klare ausführliche Farbbeschreibungen, während 
sich heute nach dem Vorbilde von Schmidt‘), Franks"), Müller und 
Kempf‘) hierfür Zahlen oder Buchstabensymbole durchgesetzt haben. 
Die von Osthoff*") benutzte zehnteilige Ziffernskala ist besonders mit 
Rücksicht auf die weitere rechnerische Bearbeitung der Beobachtungen 
wohl die zweckmäßigste. Sie ist nach seinen Angaben wie folgt ge- 
kennzeichnet: 

0W Weiß 
1 GW Gelblichweiß (W überwiegt) 
2 WG Weißgelb (W und G zu gleichen Teilen) 


3 HG Hellgelb oder Blaßgelb 
4G Reingelb 
5 D& Dunkelgelb, ein gesättigtes, tiefes Gelb 


6 RG Rötlichgelb (G überwiegt) 
7o G und R zu gleichen Teilen (Orange) 
8GR Gelblichrot 


IR Rot. 


Die Technik der sicheren Farbenschätzung sowie die verschieden- 
artigen dabei auftretenden Fehlerquellen (Dunkelanpassung, Ermüdung, 
Mondschein, Luftunruhe usw.) sind in den Einleitungen zu den großen 
Sternfarbenkatalogen ausführlich besprochen. Die in den Fußnoten an- 
gegebenen Verzeichnisse'®) geben für 4500 nördliche und 1900 süd- 
liche Sterne Farbenwerte. Zu ihnen kommen die 14000 Sterne der 
Potsdamer Durchmusterung des nördlichen Himmels'®), um nur die 
wichtigsten Verzeichnisse anzuführen. 

Neben der bisher besprochenen linearen Farbenskala findet sich 
besonders in der englischen Literatur, vertreten vor allem durch 
Franks‘?), eine Zweidimensionale. In ihr wird neben der Tönung auch 
in drei Stufen die Sättigung der Sternfarben gekennzeichnet. Die Be- 











13) Sestini-Hagen, Publ. Specola Vaticana II. Serie (1911), Nr. 3. 

14) Astr. Nachr. 80 (1873), p. 9 u. 81. 

15) Franks- Hagen, Publ. Specola Vaticana II. Serie (1923), Nr. 15. 

16) Publ. Astroph. Obs. Potsdam 17 (1907). 

17) Die Farben der Fixsterne, Publ. Specola Vaticana II. Serie (1916), Nr. 8. 

18) Außer '°), '5), ?7) noch Krüger, Neuer Katalog farbiger Sterne, Publ. 
Specola Vaticana II. Serie (1914), Nr. 7; Krüger, Indexkatalog [aus '?), '°), '”) 
und ?®) kompiliert], Publ. Specola Yalleiiık II. Serie (1917), Nr. 9. 

19) Month. Not. Roy. Astr. Soc. 47 (1887), p. 269. Zusammenfassung. der Be- 
obachtungen in ?9). 


4. Farbenschätzungen. 17 


ziehung beider Skalen zueinander hat Franks durch folgende Tabelle 
gegeben: 


Farbe nach Osthhf 2,0 27 39 48 5,8 6,7 | 6:9: 71,1:,86 
Normale Zinıng W Y!: Y' Y!:. 0%: | ’ OR? 
Varianten 4°.0% 10 Y: 0% | 08.:OR* 


(B= blue, W — white, Y = yellow, O — orange, R = red). 


Hierzu bemerkt er unter anderem: „Ein tiefes Orange 0° wird linear 
rötlich Orange genannt, während ein sehr blasses Orange O! oder 
Rot R! linear gelblich heißt.“ Über die Beziehungen der Skalen zu- 
einander und ihre Wertung gibt ferner Hagen ausführliche Angaben 
in den Einleitunger? zu den Katalogen von Sestini!?) und Krüger '?) 
sowie in zwei Sonderaufsätzen.?°) Nach letzterem haben beide Bezeich- 
nungsweisen ihre Vor- und Nachteile, können sich zuweilen ergänzen. 
In der Hauptsache gibt aber Hagen der linearen und hier der Ost- 
hoffschen den Vorzug. Für die weitere rechnerische Bearbeitung der 
Beobachtungen muß man stets statistisch die Flächenskala auf die 
lineare umformen. 

Die Genauigkeit guter Farbenschätzungen beträgt eine Stufe der 
Osthoffschen Skala und weniger. Bedenklich ist es, daß bei ihnen die 
systematischen Fehler, vor allem solche, die von der Helligkeit der 
Sterne abhängen, mindestens ebenso groß sind. Neben ÖOsthoff ist vor 
allem Hertzsprung dieser Frage nachgegangen und hat in Sonderheit 
für dessen Beobachtungen Kurven abgeleitet, um die Katalogangaben 
von der Helligkeitsgleichung zu befreien.?') 


Die Beziehung der verschiedenen Farbenschätzungen zur 7 Skala 


hat im älteren Potsdamer System gleichfalls Hertzsprung abgeleitet.°) 
So ergeben z. B. 179 Sterne, die dem Krügerschen Kataloge'?) und 
der Potsdamer Spektralphotometrie?) gemeinsam sind, statistisch fol- 
gende Beziehung: 

Farbe nach Krüger 2,20 2,36 2,70 3,25 4,09 4,86 5,15 5,38 5,90 6,74 


FF 1,24 1,51 1,69 2,06 2,51 3,00 3,19 3,40 3,92 4,59 
Diese Werte wurden graphisch ausgeglichen, und man kann offenbar 


nun die Farbe der übrigen Sterne des Krügerschen Kataloges ohne 
weiteres in Werte umsetzen. In ähnlicher Weise fand Hertzsprung 
für den Osthoffschen Katalog folgende Interpolationsformel®') 


c 


2 = 0,816 + 0,16. 0 + 0,05 - O8. 


20) Astroph. Journ. 34 (1911), p. 261 und 49 (1919), p. 282. 
21) Bull. Astr. Inst. Netherlands 37 (1923). 


178 VIs,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Methodisch genau gleichartig wie bei diesen beiden Beispielen geht 
man bei fast allen übrigen kolorimetrischen Beobachtungsverfahren 


vor, um die Beobachtungsdaten auf die 7 Skala oder den photogra- 
phischen Farbenindex zu reduzieren. 

Nach Hertzsprung übertrifft ein auf den Farbenschätzungen Osi- 
hoffs beruhender 7, Wert an Genauigkeit erheblich z. B. die Ergebnisse 


der fundamentalen Potsdamer spektralphotometrischen Messungen. Be- 
merkt sei noch, daß Os.hoffs Beobachtungen an einem Vierzöller bis 
6” gehen. Nicht ganz so günstig beurteilt Hertzsprung die anderen 
Farbenkataloge. - 


5. Wilsings Rotkeil, Fessenkoffs Blaukeil. Wilsing®) wies darauf 
hin, daß das Jenaer Rotglas F 4512 das Licht verschiedener Wellen- 
längen entsprechend den Angaben 





























N Glasdicke der nebenstehenden Tabelle durch- 
mm | 10mm läßt. Wie die nächste Tabelle zeigt, 
0.655 98,5%, | 87,7%, lassen sich diese sehr nahe in der 
0,642 97,1 | 76,0 N log ß, = + 0,327 — 0,214 
Mare kan 17. Ma = Pı darstellen; das Ab- 
0,593 77,4 Rey ; BT { 
0,556 69,6 ev sorptionsvermögen dieses Glases in 
0,514 54,8 he der Dieke d wird dann 
0,472 43,6 | 0,0 
(1) eRßo+tfı/)d — efı ‘4 
A logß, | v En A ; 
| AIRES Wie Wilsing weiter zeigt, kann 
ö ; 

0,655 — 0,0006 | 0,0023 man innerhalb des Gebietes der 
nn Bares | Bu Bde visuellen Strahlung die mit A ver- 
’ 23 1 23 Pr . . . 
0.698 oa ' 00019  Anderliche Wirkung der Extinktion 

0,577 Be, _. 0.0088 in der Luft in der Form 
0,556 — 0,0216 | — 0,0004 9 E VA 

| xt | ei “o—ayı (2) 
0,535 — 0,0300 | -+ 0,0022 2) (Em), 
AO) E — 0,0366  +-0,0023 schreiben. Hier sind e, und «, aus 
nn: 0,0491 | — 0,0014 Potsdamer spektralphotometrischen 
0,472 — 0,0573 | + 0,0007 





Untersuchungen gefundene Kon- 
stanten, !(z) ist die effektive Lichtweglänge bei der Zenithdistanz 2.?”) 
Schließlich hat Wilsing noch gezeigt, daß man die Plancksche Glei- 
chung wie folgt schreiben kann 


c c a 1 


8) EB=0-.1°.e17.1— dTy-ı—0.15.e Tr .evro+ru, 


22) S. Encykl. d. math. Wiss. VI e, p. 326. 


5. Wilsings Rotkeil, Fessenkoffs Blaukeil. 779 


Hier sind y, und y, noch schwach veränderliche Funktionen von I 


die durch Schnauder??) tabuliert wurden. 

Wising bringt nun einen Keil aus dem angeführten Rotglas in 
den Strahlengang eines Fernrohrs nahe dem Fokus; durch Zahn und 
Trieb läßt er sich verschieben, seine Stellung zeigt eine Millimeter- 
skala an. Hinter dem Keil befindet sich ein normales Zöllnerphoto- 
meter (s. Referat Guihnick, Encykl. VI 2,27), aus welchem nur die 
Blaugläser entfernt sind, die in der gewöhnlichen Photometrie die 
Farbe des Vergleichstern der der natürlichen Sterne ähnlich machen 
sollen. Der Rotkeil, der ja nur die Energieverteilung des natürlichen 
Sternlichtes ändert, wird dann je nach der effektiven Temperatur des 
beobachteten Objektes so weit verschoben und zugleich durch Drehen 
der Nicols die Helligkeit des Photometersternes so geändert, daß natür- 
licher und künstlicher Stern dem Beobachter nach Intensität und Farbe 
gleich erscheinen. Die durch Extinktion und Rotglas geschwächte Stern- 
strahlung ist dann 

1 


c 
(N 06:88; e Ta k . ewo+ruWT, . e@o+euad@), e-Po+ßuD(K+k) 
und diese ist identisch für die einzelnen Wellenlängen innerhalb be- 


rechtigter Vernachlässigungen mit der Lampenstrahlung 
| 


nn, 
(5) ae er +77, . gin? p. 


Hier sind C, und C, Proportionalitätsfaktoren, 7, und 7, die effek- 
tiven Stern- und Lampentemperaturen, X die Ablesung des Rotkeils, 
k die zugehörige Nullpunktskorrektion, also K + k die der Keildicke 
proportionale wahre Keillänge, p der Drehungswinkel des Nicöls. Wie 
die Tabellen von Wilsing und Schnauder zeigen, ist für T, y, und y, 
verschwindend, d. h. im visuellen Gebiet kann bei der niedrigen Lampen- 
temperatur, nicht dagegen, wie es irrig zuweilen geschehen, bei den 
Sterntemperaturen statt der Planckschen die Wiensche Strahlungsformel 


verwandt werden. Setzt man noch A —= Fr — 7,, so folgt wegen der 
Identität in A sofort 

(6) 4A, = Ar — le) — B(K+K) 

bzw. für zwei kurz hintereinander beobachtete Sterne (A, konstant, 
die Lampe brennt während der kurzen Dauer der Beobachtung gleich- 
mäßig) 

() Ay - Ag pl —KR)+ (a) — ke). 


23) Astr. Nachr. 219 (1923), p. 221. 


780 VIs, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


«, und «, sind bekannt, ß, und ß, ergibt die spektralphotometrische 
Laboratoriumsuntersuchung des Rotkeils. Dann ist die Differenz der 
Keilablesungen bis auf den kleinen Einfluß der Extinktion propor- 


tional der Differenzen der A bzw. nahezu der = 
Weiter folgt aus (4) und (5) 
(8) er eo Col) +Po(K+k) je 0: k e’°! A sin?g. 
Die Grenzen der Empfindlichkeit des Auges setzt Wüsing zu 0,68 und 


0,45 u an. Dann ist die ins Auge kommende Gesamtenergie des Sternes 


bzw. der Lampe 
0,68 


„ A 
9) E=0Q-drf35.0 Far Or. RR. SA). sintg. 
0,45 
Hier ist 
0,68 Er; 
(10) 8(A)= fa.e? ai 


Me, . Er 
[a9 (1+3G)+6G) +6) )] 
Schnauder gibt mit dem Argument A eine Tabelle für logp(A), die 


von Hopmann*) noch etwas erweitert wurde. Der Unterschied der 
„kolorimetrischen Größen“ m, — m, zweier Sterne wird dann 


(11) m, — m, = 2,5 log ze 
1 


— 25 log p(A,) — logp(A,) + 2(logsin 9, — logsin 9,) 
+ ap(l(2) — Ka) + Bo(K: — R)|. 

Wilsing hat die Brauchbarkeit des Rotkeilkolorimeters an 43 Sternen 
bis 4,5” in Verbindung mit einem. alten Fünfzöller erprobt. Ver- 
gleichsweise sei erwähnt, daß Sterne gleicher Helligkeit am Potsdamer 
80 cm Refraktor spektralphotometrisch visuell nur sehr schwierig zu 
messen waren. Eine größere Beobachtungsreihe Schnauders am Pots- 
damer Zwölfzöller wurde leider durch seinen Tod unterbrochen. In 
Bonn hat Hopmann an einem Sechszöller umfangreiche Beobachtungen 
angestellt, auf die später (Nr. 23—25) zurückgekommen wird. Be- 
quem erreicht wurden dabei Sterne 6,5”. 

Forsythe”) und Henning*®) hatten bemerkt, daß die Absorptions- 
eigenschaften des Rotkeils von der Glastemperatur abhängen. R. Mül- 
ler?') untersuchte daraufhin den Potsdamer Keil mit dem Ergebnis, 


0,68 


0,45 


24) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 233. 
25) Astroph. Journ. 42 (1915), p. 294. 
26) Ztschr. f. Phys. 32 (1925). p. 799. 
27) Astr. Nachr. 229 (1927), p. 305. 


5. Wilsings Rotkeil, Fessenkoffs Blaukeil. 781 


daß dieser Effekt praktisch belanglos ist, besonders wenn man nicht 
Sterne stark verschiedener Färbung miteinander vergleicht; dagegen 
werden die Helligkeitsmessungen durch die jeweilige Glastemperatur 
mehr beeinflußt. 

Die Genauigkeit des Verfahrens hatte sich in Potsdam und Bonn 
als den spektralphotometrischen Arbeiten gleichartig bzw. überlegen 
erwiesen (s. Nr. 15). Ferner wies Wilsing®) nach, daß seine Beobach- 
tungen frei von Helligkeitsgleichungen sind, Sterne 1” wurden kolo- 
rimetrisch ebenso aufgefaßt wie solche 4”. Dagegen ergaben (noch 


nicht ganz abgeschlossene) Untersuchungen Hopmanns, daß seine 7 


Werte stark von der Sternhelligkeit abhängen. Ob dies davon her- 
rührt, daß in Bonn zur Lichtabschwächung des künstlichen Sternes 
statt Nicols ein sog. Neutralglaskeil verwandt wurde, der in Wahrheit 
merklich selektiv absorbiert, oder ob hier Fragen der Augenphysio- 
logie in Frage kommen, ist noch unentschieden. Durch Verwendung von 
Drahtgazegitter und Ringblenden verschiedener Öffnung — also völlig 
neutralen Abschwächungsmitteln — wurden die scheinbare Helligkeit 
der Sterne innerhalb + 0,3” konstant gehalten und so die Fehler, 
sei es des Graukeils, sei es des Auges, eliminiert. 

Statt nach Wilsing durch den Rotkeil das Licht der natürlichen 
Sterne zu färben, kann man auch die Energieverteilung im Spektrum 
der Photometerlampe durch einen Blauglaskeil meßbar ändern. Die 
Absorption der zurzeit erhältlichen Blaugläser verläuft aber derart, 
daß die Anwendung der Wilsingschen Formel e?o+®v2 nicht in Frage 
kommt. Fessenkoff?‘*) hat daher in einer ersten Arbeit den Keil an 
Hand von Sternen mit bekanntem Fr kalibriert. Später wurde von ihm 
eine etwas verwickelte Theorie gegeben ?®), um trotz der in A etwas un- 
regelmäßigen Absorptionskurve des Blaukeils zu einer absoluten Tem- 
peraturskala zu kommen. Dabei mußte unter anderem das Marwell- 
Helmholtzsche Farbendreieck bzw. die Empfindlichkeitskurven des Auges 
für Rot, Grün und Blau auf Grund der Messungen Königs?'*) heran- 
gezogen werden. Nach Fessenkoffs Angaben scheint die innere Ge- 
nauigkeit der Beobachtungen recht hoch zu sein. Dabei muß es wohl 
mitgespielt haben, daß die extrafokal eingestellten Sterne nach Farbe 
und Intensität mittels eines Lummer-Brodhunschen Würfels gemessen 
wurden, die genauere Flächenphotometrie statt der sonst üblichen Ein- 
stellung auf punktförmige Objekte also in Anwendung kam. Unter 

27a) Russian Astr. Journ. 4 (1927), p. 169. 


27b) Astr. Nachr. 236 (1929), p. 297. 
27c) Ztschr. f. Physiol. u. Psychol. der Sinnesorgane 4 (1892), p. 241. 


182 VI»,26. Joser Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


sonst gleichen Verhältnissen gestattet der Blaukeil, schwächere Sterne 
zu messen als der Rotkeil, da hier ja deren Licht durch das Filter 
geschwächt wird. Ein weiterer Vorteil seiner Methode soll nach Fessen- 
koff darin bestehen, daß das ungeschwächte Blau und Violett zur Be- 
urteilung des Farbeneindrucks besonders wichtig sei. Im Gegensatz 
dazu hat Hopmann beim Rotkeilverfahren die Lampentemperatur mög- 
lichst niedrig gehalten, da ihm die Einstellung auf gelb-rote natür- 
liche und Photometer-Sterne sicherer erschien als auf weiße. 


6. Visuelle effektive Wellenlängen. Dieser von Comstock?) ein- 
geführte Ausdruck bezeichnet die Lage des Energiemaximums der 
visuellen Strahlen. Bei seinen Beobachtungen an einem 40 cm-Refrak- 
tor wurde das Objektiv bis auf zwei parallele rechteckige schmale 
Öffnungen abgeblendet. In der Brennebene entstehen dann symme- 
trisch zum Sternbilde eine Reihe kurzer Beugungsspektra. Mit dem 
normalen Fadenmikrometer maß er dann die Abstände der „hellsten“ 
Stellen, etwa in den beiden Spektren erster Ordnung. Bei bekannter 
Brennweite des Fernrohres, Ganghöhe der Mikrometerschraube und 
den Dimensionen und Abständen der beiden Spalten ergibt die ge- 
wöhnliche Gitterformel die Wellenlänge der beobachteten Stelle. Com- 
stock wandte das Verfahren auf etwa 50 hellere Sterne an. In gleicher 
Art verfuhr Lau?”) bei 70 Sternen mit Hilfe eines Zehnzöllers. Gra- 
matzki?®) verbesserte an einem sechszölligen Reflektor das Verfahren. 
Statt der zwei Spalten benutzt er ein grobes Beugungsgitter (s. Nr. 12) 
vor dem Objektiv, statt des Schraubenmikrometers ein neuartiges Kalk- 
spat-Doppelbildmikrometer. 80 hellere Sterne aller Spektraltypen wur- 
den gemessen. Im Mittel ist bei ihm Ar. für B-Sterne 545 uu, für 
M-Sterne 569, die Amplitude also 24 uu, die Genauigkeit einer Be- 
obachtung wird zu 2,5 uw angegeben. Weitere Untersuchungen, wie 
Fragen der Helligkeitsgleiehung usw. liegen noch nicht vor. 

Schon mit Rücksicht auf die einfachere Optik, dann wegen ihrer 
wesentlich kleineren Amplitude beim Übergang von B nach M dürften 
die beiden älteren Reihen weit weniger genau sein; übrigens war ihr 
Hauptzweck, Hilfsgrößen zum Studium systematischer, von der Stern- 
farbe abhängiger Fehlerquellen bei photographischen Ortsbestimmungen 
bzw. Doppelsternmessungen zu ermitteln. 

?. Visuelle Farbenindizes. Als Farbenindex eines Sternes be- 
zeichnet man den in den üblichen astronomischen Größenklassen aus- 
gedrückten Helligkeitsunterschied, den er aufweist, wenn das inte- 

28) Astroph. Journ. 5 (1897), p. 26. 


29) Astr. Nachr. 173 (1906), p. 81. 
30) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 149. 


6. Visuelle effektive Wellenlängen. 2 7. Visuelle Farbenindizes. 183 


grierte Licht zweier mehr oder weniger breiter, aber verschiedener 
spektraler Bereiche gemessen wird. Der Begriff des Farbenindex hat 
sich geschichtlich zusammen mit der photographischen Photometrie 
entwickelt (s. Nr. 8) und ist dann sinngemäß auf eine Reihe anderer 
Verfahren ausgedehnt worden. 

Bei der visuellen Farbenindexbestimmung verwendet man Farb- 
filter, die am Okular eines Vergleichsphotometers (s. Referat Guthnick, 
Eneykl. VI 2, 27) leicht wechselbar angebracht werden. Um in gewisser 
Weise durch der Praxis nahekommende Idealisierung die Verhältnisse 
übersichtlicher zu gestalten, seien ein Gelb- und ein Blaufilter ange- 
nommen, die streng vor bzw. nach 0,55 u alles Licht durchlassen bzw. 
absorbieren. Aus den Rechnungen, die der Konstruktion der Kurven 
in Fig. 1 zugrunde lagen, und die hier auch für einen A- und F-Stern 


(7 — 1,2 bzw. 1,8) durchgeführt wurden, folgt dann, daß bei fovealer 


Beobachtung das volle visuell wirksame Licht um nachstehende Be- 
träge gedämpft wird: 


B A F M 
Gelbfilter 0,87” 0,81” 0,75” 0,28” 
Blaufilter 0,65 0,10 0,76 1,63 


Legt man wie üblich die Nullpunkte der „freien“, „blauen“ und „gelben“ 
Größenklassen so, daß die Differenzen für A-Sterne verschwinden, so 
ergeben sich folgende visuelle Farbenindizes: 


B F M 
Blau -frei — VOR + 0,06” + 0,93” 
Frei-Gelb — 0,06 —+ 0,06 —+ 0,53 
Blau-Gelb — 0,11 + 0,12 + 1,46 


Ganz ähnliche Werte erhält man für das Stäbchensehen, wenn 
die Grenzlinie der Filter von 0,55 u nach 0,52 u gelegt wird. Nach 
(unveröffentlichen) Bonner Versuchen ist zur Berechnung der Filter- 
wirkung bei der Photometrie schwacher Sterne unbedingt die Stäb- 
chenkurve zugrunde zu legen. Ferner sei bemerkt, daß es in der Praxis 
wohl Gelbgläser gibt, die obiger Idealisierung entsprechen, nicht aber 
Blaugläser, wodurch die F.l.-Amplitude wesentlich kleiner wird als 
obige Zahlenangaben. 

Berücksichtigt man, daß der wahrscheinliche Fehler einer der- 
artigen Farbenindexbestimmung mit den normalen Photometern unter 
günstigen Umständen zu + 0,1U” bis + 0,15” zu veranschlagen 
ist, so kommt man zu folgendem Schluß: Die Benutzung eines der 
Filter oder auch beider zusammen liefert für die heißen Sterne (B 


7184 VIa, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


bis F) kein genügend sicheres Farbenäquivalent, wohl aber bei den 
kälteren, wenngleich auch hier die Amplitude B bis M kleiner ist als 
bei Verwendung der Photographie (Nr. 8), in voller Bestätigung der 
Erfahrungen von Graff.?') 

Wohl dürfte künftighin das Verfahren unter Verwendung der 
Flächenphotometer brauchbar werden. Diese haben nach den Beob- 
achtungen von Gramatzki, Schönberg und Hopmann eine Genauigkeit 
von 0,02” in den Helligkeiten bzw. 0,03” im Farbenindex. In Leipzig 
sind derart größere Untersuchungen auf Grund günstig verlaufener 
Vorarbeiten mit einem (Gehlhoff- Scheringschen Flächenphotometer ge- 
plant. 

Nach Ausweis obiger Zahlen blenden die angenommenen Farb- 
filter im Durchschnitt 0,8” ab, schränken also die Reichweite des 
jeweiligen Instrumentes nicht stark ein. Wählt man dagegen strengere 
Filter — z.B. ein Blauglas, das von Violett nur bis 0,5l u und ein 
Gelbglas, das von Rot bis 0,63 u durchlässig ist —, so erreicht man 
folgende Farbenindizes: B — 0,23”, F + 0,27”, M —- 2,88”, also 
wesentlich größere als oben. Man gewinnt so eine brauchbare Methode, 
Farbenäquivalente abzuleiten auch mit den normalen Photometern, 
muß aber einen Verlust von 2”—3” in Kauf nehmen. Dieses ist im 
wesentlichen das Prinzip des „Heterochromen Photometers“, das schon 
1909 von Nordmann®?) eingeführt wurde. In Verbindung mit einem 
Neunzöller, der ohne Filter gewiß Sterne 11” zu messen gestattet, 
kann er noch solche 7” messen. (Das dritte, grüne Filter Nordmanns 
spielt keine wesentliche Rolle.) Zu bemerken ist noch, daß Nordmann 
nicht bei den Farbenindizes stehen bleibt, sondern mit Hilfe der Ab- 
sorptionskurven seiner Filter, der Empfindlichkeitskurve des Auges 
und der Planckschen Gleichung ganz im Sinne unserer Nr. 1 direkt 
Temperaturwerte ableitet. Nach seinen knappen Angaben kann man 
[4 
7. 
geringe Zahl gemessener Sterne keine weiteren Schlüsse auf seine Tem- 
peraturskala, systematische Fehler und anderes. Ähnlich wie Nordmann 
benutzt auch Terkan®?*) verschiedene Filter in Verbindung mit einer 
nicht ganz einwandfreien Flächenphotometrie. Angaben über Genauig- 
keit und Reichweite der Methode fehlen leider. 


mit einer Genauigkeit von 4- 0,2 in „- rechnen. Leider gestattet die 


31) Astr. Nachr, 215 (1822), p. 429. 


32) Bull. Astr. 26 (1909), p. 158; Paris C. R. 149 (1909), p. 557; 173 (1922), p. 72. 
32a) Astr. Nachr. 226 (1926), p. 345. 


8. Photographische Farbenindizes. 185 


B. Photographische Beobachtungsverfahren. 


Drei Gründe führten dazu, in der astronomischen Kolorimetrie 
besonders die photographischen Methoden auszubauen. Der erste ist 
die Möglichkeit, zahlreiche Sterne einer Gegend gleichzeitig mit einer 
Aufnahme untersuchen zu können, also neben Arbeitsökonomie ein 
Gewinn an Genauigkeit dadurch, daß wenigstens die systematischen 
Fehler, die vom stark wechselnden Zustand der Luft abhängig sind, 
geringeren Einfluß bekommen. Dann gestatten Dauerexpositionen zu 
schwächeren Sternen vorzudringen, als es dem Beobachterauge mög- 
lich ist. Schließlich lassen sich durch passende Sensibilisierung der 
Platten in Verbindung mit Filtern stärker getrennte Spektralbereiche 
der Sternstrahlung im integrierten Lichte untersuchen als es bei den 
visuellen Methoden der Nr. 6 und 7 möglich ist. Die Amplitude der 
Farbenäquivalente wird damit größer, bei gleicher photometrischer 


Genauigkeit also 7 genauer bestimmt. 


8. Photographische Farbenindizes. Der Umstand, daß ein weißer 
und ein roter Stern, die visuell gleich hell erscheinen, photographisch 
sehr verschieden hell sind, war in der Frühzeit der photographischen 
Photometrie, d. h. vor 1900, eine lästige Erscheinung, über die noch 
nichts näheres bekannt war.’”) Erst durch den eigentlichen Begründer 
der astrophotographischen Photometrie, Schwarzschild®*), wurde Klar- 
heit geschaffen. So verwendet er bewußt in seiner zweiten Arbeit die 
Unterschiede der photographischen und visuellen Helligkeiten der Ver- 
änderlichen ß Lyrae und n Aquilae, um Schlüsse auf die physikalische 
Natur dieser Sterne zu ziehen. 1904 zeigte er, wie man aus der Diffe- 
renz photographische — visuelle Größe durch das Wiensche Verschie- 
bungsgesetz die Temperaturen der Sterne ermitteln kann (der Größen- 
ordnung nach stimmen seine Werte mit den heutigen recht gut). Vor- 
her®), 1900, schlägt er für die genannte Differenz das Wort Farben- 
tönung vor, ein Ausdruck, der um 1910 in internationaler Übereinkunft) 
sich in Farbenindex (Colorindex) ändert. Heute ist unstreitig der photo- 
graphische Farbenindex das wichtigste aller Temperaturäquivalente ge- 
worden. | | 





33) S. z. B, Müller, Photometrie der Gestirne (Leipzig 1897), p. 303. 

34) Die Bestimmung von Sternhelligkeiten aus extrafokalen photogr. Auf- 
nahmen, Beiträge zur photogr. Photometrie der Gestirne, Publ. der v. Kuffner- 
schen Sternwarte in Wien V (1899). 

35) Wien Sitzber. math.-naturw. Klasse 109 (1900), p. 1127. 

36) Bull. de comite international permanent de la carte du ciel VI (Paris 
1913), Heft 1, p. 395. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 51 


786 VIs,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Da das Referat von Guthnick (Encykl. VI 2, 27) die meßtechnischen 
Prinzipien der visuellen und photographischen Photometrie ausführlich 
schildert, braucht hier darauf nicht näher eingegangen zu werden. Die 
Praxis hat gezeigt, daß die in Größenklassen ausgedrückten Hellig- 
keiten m einer Reihe von Sternen in zwei beliebigen photometrischen 
Arbeiten sich wie folgt unterscheiden 


m — m; = a+ b(m, — m,) + e(m — m)’ + F(T, A,, As). 


Hier ist « der Nullpunktsunterschied beider Systeme, b, ce und m, 
kennzeichnen die Verschiedenheit beider photometrischer Skalen; b und 
c sollen bei einwandfreier Arbeit Null sein. A, und A, bedeuten die 
in der betreffenden Arbeit wirksamen Spektralbereiche, 7’ die effek- 
tive Temperatur der Sterne. Werden a, b und c berücksichtigt, so ist 
der Farbenindex F.I. = m, — m, = f(T, A,, 4,). Unter Mitwirkung von 
Schwarzschild wurde 1910 international festgelegt, daß für Sterne 
5,5”"—6,5” vom Spektraltypus AO F.l.=0 sein soll. Die B-Sterne 
haben dann negative Farbenindizes, die kälteren, vom Typus F bis 
M, positiven. 

Wie stark die Amplitude B bis M ist, hängt von der Verschieden- 
heit der A, und A, ab. So hatte z. B. Pickering in Harvard ein mehr 
nach Blau hin empfindliches Auge als die Potsdamer Beobachter 
Müller und Kempf, so daß der Helligkeitsunterschied Potsdam — Har- 
vard stark von der Sternfarbe bzw. 7 abhängt, somit einen Farben- 
index darstellt, der allerdings in Anbetracht der Kleinheit seiner Am- 
plitude (B— M = 0,44”) mit Rücksicht auf die Genauigkeit der 
Beobachtungen selbst zur genauen Temperaturermittlung nicht aus- 
reicht. 

Auf der anderen Seite hängt die wirksame Wellenlänge bei den 
photographischen Verfahren sowohl von den Platteneigenschaften wie 
von dem benutzten Objektiv ab. Ersteres ist einleuchtend im Hinblick 
auf die verschiedenartige Sensibilisierung, wobei die Bemerkung Hoff- 
meisters erwähnt sei, daß die handelsüblichen Platten alle mehr oder 
weniger für Grün und Gelb empfindlich gemacht werden, und nur 
die „Sternwartenemulsionen“ eine reine Bromsilberschicht tragen. Hin- 
sichtlich der Wirkung der Optik sei darauf hingewiesen, daß die frisch 
versilberten Spiegel der Reflektoren ultraviolettes Lieht besser zurück- 
werfen als solche mit älterem Belag, und daß bei photographischen 
Refraktoren die Gestalt der Farbenkurve, insbesondere die Lage ihres 
Scheitelpunktes, von Bedeutung ist. So ist z. B. das Potsdamer, von 
Schwarzschild entworfene Triplet nach Hertzsprung für 390 uw achro- 
matisiert, während sonst etwa 430 uu hierfür gewählt wird. Dadurch 


8. Photographische Farbenindizes. 187 


wird die Amplitude des Farbenindex photographische— visuelle Größe 
bei diesem Instrument etwa 1,3mal größer als im Normalfalle.’”) 
Einige der wichtigsten bzw. charakteristischen Farbenindexkata- 
loge seien kurz besprochen, und zwar zunächst die „Göttinger Aktino- 
metrie“3®) (näheres über Beobachtungs- und Meßverfahren s. Referat 
Guthnick, Encykl. V12, 27). Ihr Katalog gibt für den Gürtel 0—20° 
für über 3500 Sterne bis zur Größe 7,5” der Bonner Durchmuste- 
rung in erster Linie die photographische Helligkeit, daneben die vi- 
suelle der Potsdamer photometrischen Durchmusterung, sowie als Diffe- 
renz beider die Farbenindizes der Sterne. Ihre Amplitude beträgt im 
Mittel B— M = 2,5”. Schwarzschild hat ferner wie folgt versucht, 
aus den F.I. die Temperaturen der Sterne abzuleiten. In der verein- 
fachenden Annahme, daß das Auge nur für A, = 0,570 u, die Platte 
für A, = 0,425 u lichtempfindlich sei, ergibt sich aus der Planckschen 
Gleichung sofort 


1 
a_ 
FL—K+25log| ®.°%— ). 
1 
A 


eT —1 


| ® 





wo die additive Konstante X (auf hier zu weit führendem Wege) aus 
dem Umstande ermittelt wird, daß für die Sonne durch anderweitige 
Beobachtungen 7 = 5900° bekannt ist und diese als Vertreter des 
Spektraltypus GO zu gelten hat. Die so gewonnenen Temperaturen 
für die einzelnen Spektraltypen schließen sich besonders bei B und 
A enger an die heutigen Werte an als die fundamentalen Potsdamer 
spektralphotometrischen Messungen. 

Das Gegenstück zu vorstehender Arbeit ist die „Yerkes Aktino- 
metrie“ von Parkhurst®®), in der ebenfalls bis 7,5” der B.D. die 
Sterne von 73° bis zum Pol untersucht sind (s. Referat Guthnick, 
Eneykl. VI 2,27). Die Bestimmung der photographischen Helligkeit 
erfolgte durch extrafokale Aufnahmen auf gewöhnlichen Platten, die 
visuellen Größen wurden neubestimmt, ebenfalls auf photographischem 
Wege mit Hilfe panchromatischer Platten und durch Vorsetzen eines 
Gelbfilters. Dieses war so abgestimmt, daß die Empfindlichkeitskurve 
von Platte und Filter sehr nahe der des normalen Auges entsprach, 
so daß tatsächlich zwischen diesen „photovisuellen Größen“ und den 
Potsdamern kaum ein Unterschied besteht. Der w. F. eines Farben- 
index auf Grund je einer photographischen und photovisuellen Auf- 
nahme beträgt + 0,096”. 


37) Astr. Nachr. 186 (1910), p. 180. 
38) Astr. Mitteil. d. Sternw. Göttingen, Heft 14 (1910 u. 1912). 
39) Astroph. Journ. 36 (1912), p. 169. 

51* 


788 VIs, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Als dritte sei eine Arbeit von Hertzsprung®) kurz besprochen. 
Sie gibt für 658 hellere Sterne zwischen — 5° und + 80° photo- 
graphische Größen, die, mit den visuellen der Potsdamer Photometrie 
verbunden, 7 Werte im Wilsingschen System liefern. Ähnlich ist das 
Ziel von King.) Auch er beobachtet extrafokal an größeren Instru- 
menten, ermittelt auf Grund von Platten, die teils im Harvard Coll. 
Obs., teils in seiner Filiale in Arequipa gewonnen wurden, die photo- 
graphischen und — mit panchromatischen Platten und Gelbfilter — 
die photovisuelle Helligkeit einer beschränkten Zahl hellerer Sterne 


des ganzen Himmels, damit auch deren F.l.; die Beziehung zur 7 


Skala ist von Brill!) abgeleitet worden. 

Wie in Guthnicks Referat (Encykl. VI 2,27) dargelegt, sind für 
ca. 150 Sterne bis 19= im nächster Umgebung des Nordpols*?) die 
photographischen und photovisuellen Helligkeiten — erstere durch 
mehrere unabhängige Beobachtungsreihen, letztere nur durch Seares 
auf den Mount Wilson — sehr genau festgelegt, also auch ihre F.l. 
Weiter hat Parkhurst“?) in gleicher Art etwa 1500 Sterne bis 14” 
untersucht, die sich in 4 45° Dekl. in den Kapteynschen Auswahl- 
feldern (selected areas) befinden. 

Ein sehr großes Material an F.I. (20843 Sterne zwischen — 40° 
und — 52°) enthält eine auf der Kap-Sternwarte ausgeführte Arbeit.‘*) 
Durch photographisch photometrische Sonderaufnahmen wurden die 
in willkürlichen Einheiten (Durchmesser der fokalen Sternbilder) zu- 
nächst gegebenen photographischen Helligkeiten in die photometrische 
Skala gebracht und mit den visuellen Helligkeiten des Draperkata- 
loges*°) zusammengestellt. Da in dieser Art sowohl die photographi- 
schen wie die visuellen Größen erheblich viel unsicherer sind als die 
in den oben besprochenen Arbeiten, demnach auch die Farbenindizes, 
dürften letztere im einzelnen wenig verwendbar sein. Wohl aber ist 
das Material zu statistischen Untersuchungen brauchbar (s. Nr. 19). 

In den Harvardbänden 59, 71, 81 usw. finden sich weitere meist 
von King abgeleitete photographisch photometrische Helligkeiten vieler 
heller und schwacher Sterne, vielfach in Verbindung mit den visuellen 
photometrischen Größen. Da aber sowohl die photographischen als auch 


40) Bull. Astr. Inst. of the Netherlands 35 (1923). 

41) Harvard Coll. Obs. Annals 85 (1928), Teil 10. 

42) Trans. of the Intern. Astr. Union 1 (1922), S. 69. 

43) Publ. Yerkes Obs. 4 (1927), Nr. 6. 

44) H. Spencer Jones, Magnitudes of stars, London 1927. 
45) Harvard Coll. Obs. Annals 91—99., 


9. Methode Seares. 189 


die visuellen Harvardgrößen in verschiedenartigster Weise systemati- 
scher Verbesserungen bedürfen (s. Referat Guthnick, Encykl. VI 2, 27), 
kann der aus ihnen abgeleitete F.I. erst nach kritischer Untersuchung 
weiter benutzt werden. 

Das gleiche gilt für den ganzen Draperkatalog, zumal hier in den 
meisten Fällen aus der visuellen die photographische Helligkeit nur 
mit Hilfe des Spektraltypus, also nicht auf Grund von gesonderten 
Messungen abgeleitet ist. Für alle X’0-Sterne ist so z.B. als Fl. 
schematisch 1,00” angesetzt worden. Zwar ist die Korrelation von 
Spektraltyp und Farbenindex recht eng, die Bindung aber durchaus 
nicht streng (s. Nr. 16, 17), so daß man die Differenzen photographisch- 
visueller Größen des riesigen Katalogs durchaus nicht als gemessene 
F.I. im hier gebrauchten Sinne ansprechen kann. 


9. Methode Seares. 1926 machte Seares*®) den Vorschlag, wie 
folgt ein Farbenäquivalent der Sterne zu gewinnen. Unter Benutzung 
farbenempfindlicher Platten wird zunächst eine Reihe Expositionen 
des Sterns mit geometrisch wachsender Belichtungszeit nebeneinander 
gesetzt (also z. B. mit 2, 4, 8, 16, 32 Sekunden) und ferner eine Auf- 
nahme durch ein Gelbfilter (etwa von 16 Sek.). Wenn dann letztere 
im Aussehen der von 4 Sek. ohne Filter entspricht, so ist das Ver- 
hältnis der Expositionszeiten E= 4:1, log E= 0,602. Oder wenn 
das gelbe Bild (g) nach einer entsprechenden Schätzung sich zwischen 
die blauen von 8 Sek. (a) und 16 Sek. (b) näher an a heran einfügen 
läßt (symbolisch etwa a3g7b), so würde dem eine Expositionszeit 
von 9,8 Sek. entsprechen [log 9,8 = (log 16 — log8) - 4 + log8]. Es 
ist dann log E = — 0,993 + 1,204 = + 0,21. Der zweite Stern ist 
offensichtlich weißer als der des ersten Beispiels; je größer also log E, 
desto roter ist der Stern. Das Verhältnis der Belichtungszeiten (ex- 
posure ratios) ist also das Farbenäquivalent. Wie die weiteren Ar- 
beiten von Seares selbst, dann die von Buade und Malmquist*') und 
nach der theoretischen Seite hin die von Siernberk?) zeigten, ist auch 
diese im Prinzip einfache Methode durch die verwickelten Eigen- 
schaften der photographischen Platten vielerlei Fehlerquellen unter- 
worfen. Vor alleın tritt eine Helligkeitsgleichung auf, verursacht durch 
die verschieden steile Gradation der Platten für kurz- und langwelliges 
Licht. Infolgedessen kann das gelbe Bild eines schwachen Sterns etwa 
zwischen Nr. 3 und 4 der blauen liegen, während es bei einem hellen 
Stern von gleichem Farbenindex vielleicht zwischen Nr. 2 und 3 ein- 

46) Proc. Nat. Akad. 2 (1916), p. 521 und in den späteren Bänden. 


47) Mitteil. der Sternw. Hamburg-Bergedorf 5, Nr. 21. 
48) Veröffentl. der Sternw. Berlin-Babelsberg 5 (1924), Heft 2. 


790 VI, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


geschätzt wird. Seares sucht diese Schwierigkeit dadurch zu umgehen, 
daß er durch Anwendung geeigneter Öffnungen, Blendgitter und Be- 
lichtungszeiten die Sterne auf eine passende Normalhelligkeit bringt, 
ihren Bildehen dadurch fast konstante Durchmesser gibt. Baade und 
Malmquist änderten vor allem die Methode in der Richtung ab, daß 
die Werte für logE sich für alle Sterne der Platte ableiten ließen, 
nicht nur, wie bei Seares, für solche nahe der optischen Achse. Er- 
forderlich war dabei die Berücksichtigung der bei dem Bergedorfer 
Reflektor besonders großen Gesichtsfeldkorrektur (s. Referat Guthnick, 
Encykl. VI, 27). 

Die log E hängen natürlich von der verwandten Plattensorte, Ent- 
wicklungsart usw. sowie von der Art des Gelbfilters ab. Sie müssen 
daher durch Sterne, deren Farbenindex anderweitig bekannt ist, an 


eine der üblichen Farbenäquivalentskalen bzw. an die der Tr ange- 


schlossen werden. Die Ableitung der Helligkeitsgleichung wurde in 
Bergedorf mit diesen Anschlußrechnungen verbunden. Die Genauig- 
keit des so gewonnenen Farbenindex beträgt + 0,10” w. F. Gleich 
der photo-visnellen Farbenindexmethode (Nr. 8) kann man mit Seares 
bei Verwendung eines Reflektors verhältnismäßig leicht zu den schwäch- 
sten Sternen vordringen. Bei Refraktoren liegen die Verhältnisse anders, 
da die Farbenkürve der üblichen photographischen Objektive im grün- 
gelben meist sehr steil verläuft, ein gutes fokales Sternbild dann nur 
mit Verwendung verhältnismäßig strenger Filter, also starken Licht- 
verlusten, zu erreichen ist. 


10. Methode Tikhoff. Dieses Verfahren wurde 1916 an etwas 
schwer zugänglicher (russischer) Stelle mitgeteilt. Tamm) in Nor- 
wegen kam unabhängig 1921 auf den gleichen Gedanken, woraufhin 
Tikhoff°) seine Arbeit in deutscher Übertragung 1923 nochmals ver- 
öffentlichte. Methodisch des näheren untersucht wurde das Verfahren 
durch Sternberk.*”) Es besteht in der Hauptsache in folgendem. Zen- 
tral vor das Objektiv kommt ein kreisförmiges Blech von etwa der 
halben Objektivöffnung. Orthochromatische Platten haben nun zwei 
Empfindlichkeitsmaxima, eines wie üblich im Blauviolett und eines 
im Gelbgrünen. Die Farbenkurve normaler photographisch korrigierter 
Objektive verläuft sehr steil, so daß Aufnahmen im „gelben“ Fokus 
weit außerhalb des violetten liegen. Bei Aufnahmen im gelben Fokus 
mit genannter zentraler Blende werden die gelben Strahlen mehr oder 
weniger punktförmig abgebildet, während die violetten sich als ein 


49) Astr. Nachr. 216 (1922), p. 331 
50) Astr. Nachr. 218 (1923), p. 145. 


10. Methode Tikhoft. 191 


um sie herumliegender Ring darstellen. Bei passender Belichtung 
werden nun bei einem gelblich-weißen Stern zentrales Bild und Ring 
gleichgeschwärzt aussehen, während sehr weiße Sterne einen hellen 
Ring und schwachen Kern haben, umgekehrt die roten. Sternberk maß 
nun bei den violetten Bildern, die mit geometrisch steigender Expo- 
sitionszeit gewonnen wurden, die Schwärzung des Ringes, bei den 
gelben die fokalen Durchmesser, und erhält so das Verhältnis der 
Belichtungszeiten, die nötig sind, um von einem Stern festgewählte 
Ringschwärzungen bzw. Durchmesser zu bekommen. 

Eine Variante der Methode, die gleichfalls Sternberk untersuchte, 
benutzt nicht die zentrale Objektivblende. Vielmehr wird die Platte 
hier so extrafokal gestellt, daß der innere Teil des Sternscheibchens, 
entsprechend den zwei Empfindlichkeitsmaximas der verwandten ortho- 
chromatischen Platten, in der Hauptsache von den gelben Strahlen 
erzeugt wird, während der äußere Ring wieder von den violetten her- 
rührt. Die Einzelheiten der Sternberkschen Arbeit, insbesondere die 
Beseitigung der Helligkeitsgleichung durch Variation des Schwarz- 
schildschen Exponenten p der photographischen Photometrie, müssen der 
Kürze wegen übergangen werden. Im System der normalen Farben- 
indizes haben seine Farbenäquivalente, beruhend auf einer Aufnahme, 
+ 0,08” w. F. Die extrafokale Stellung bewirkt, daß allerdings trotz 
40 em Öffnung des Instruments bei einer Stunde Belichtung nur 
Sterne 9” erreicht werden. 

Öffensichtlich hat Sternberk die Methoden von Seares und Tikhoff 
miteinander verbunden und glaubt so eine größere Freiheit von syste- 
matischen Fehlern erreicht za haben. Öpik°!) hat mit einer 16 em- 
Kamera mit der gleichen Methode Sterne 10” erreichen können; da- 
bei gestattete der flache Verlauf der Farbenkurve des Objektivs und 
die Verwendung normaler wie orthochromatischer Platten zwei ver- 
schiedene F.I. zu messen. Der eine entspricht der Differenz der Hellig- 
keiten bei 630 und 430 uu, die Differenz der wirksamen Wellenlängen 
ist damit etwas größer als bei Seares. Zum zweiten F.I. gehören die 
Werte A, = 430, A, = 365 uu, also violett —ultraviolett. Die Werte 
der ersten Methode schließen sich gut an die sonstigen F.l.- Bestim- 
mungen an, auch gibt Öpik die Beziehung seiner F.I. zur Potsdamer 


7 Skala, Dagegen zeigt der zweite F.I. den Einfluß der ausgedehnten 
Absorption im Ultravioletten der A- und B-Sterne (s. Referat Hnatek, 
Encykl. VI 2, p. 726), wodurch sie für eine 7 Bestimmung bzw. einen 


51) Publ. Obs. Astr. de Tartu (Dorpat) 26 (1925), Nr. 3. 





192 “ VI», 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


11. Methode Rosenberg. Nach Rosenbergs Vorschlag wird in den 
Strahlengang eines 20 cm-Reflektors, der durch einen Cassegrainspiegel 
auf 4m Brennweite gebracht ist, etwa 50 cm vor der in der Bild- 
ebene liegenden Platte ein Doppelfilter angebracht. Dieses besteht aus 
zwei mit den brechenden Kanten aneinander liegenden Prismen von 
sehr kleinem Winkel bzw. zu vernachlässigender Dispersion aus blauem 
und gelbem Glase (zwei gleichartige, schräggestellte, planparallele Platten. 
wären vielleicht auch brauchbar). Auf der photographischen Platte 
liegen dann die blauen und gelben Sternbildchen dicht nebeneinander 
und können in bekannter Weise ausphotometriert werden, z. B. mit 
Hilfe des Rosenbergschen Elektrophotometers (s. das Referat von Guth- 
nick, Eneykl. VI2,27). Entsprechend den Ideen von Seares werden eine 
Reihe von Aufnahmen mit steigender Expositionszeit nebeneinander 
gesetzt und so in bekannter Art die Schwärzungskurven der gelben. 
und blauen Sternbilder abgeleitet. 

Näher untersucht wurde dieses Verfahren durch Führer°?), wobei 
die Farbenindizes der Sterne des Bergstrand-Rosenbergschen Verzeich- 
nisses beobachtet wurden (Nr. 12). Vom Spektraltypus B2 bis K 6 
ergab sich die recht beträchtliche Amplitude von 2,7”. Für Sterne 
6,5” waren 24 Minuten Belichtungszeit nötig. Die Genauigkeit des 
einzelnen Farbenindex auf einer Platte beträgt etwa + 0,05” w. F. 


12. Photographische effektive Wellenlängen.°®) Nach den Vor- 
schlägen von Bergstrand°‘) bzw. Hertzsprung®®) setzt man vor das. 
Objektiv eines photographischen Refraktors ein grobes Beugungsgitter- 
(bei kleineren Instrumenten z. B. gleich starke und in gleichen Ab- 
ständen gehaltene Drähte oder Stäbe, beim 150 cm-Spiegel des Mount 
Wilson 3 mm starke, schwarz übersponnene Gummibänder). Die Platte 
zeigt dann seitlich des zentralen Sternbildes symmetrisch sternartige- 
kurze Beugungsspektra, deren Stellen größter Schwärzung bzw. Mitten 
bei einem weiß-blauen Stern dann offenbar enger zusammenliegen als. 
bei einem roten. Die unter dem Meßmikroskop ermittelten Abstände 
etwa der beiden Spektren erster Ordnung sind dann ein Farben- bzw. 


7 Äquivalent. Sind die Abstände der Spektren, die Brennweite des. 


52) Diss. Kiel 1929. 

53) Geschichte und Literatur dieser Methode ist bis 1924 fast vollständig 
mitgeteilt in 4. v. Klüber, Ergänzungshefte zu den Astr. Nachr. 5 (Kiel 1924), 
Heft 1. — Die neueste Entwicklung sowie eine eingehende Kritik des ganzen 
Verfahrens bezüglich Genauigkeit, systematischer Fehler usw. bringt R. Oheru- 
bim, Veröffentl. der Universitätssternw. Göttingen 1929, Heft 9. 

54) Paris C. R. 148 (1909). 

55) Hertzsprung, Astr. Nachr. 182 (1909), p. 289; Publ. Potsdam 1911, Nr. 63. 


11. Methode Rosenberg. — 11. Photographische effektive Wellenlängen. 793 


Instruments sowie die Gitterkonstante in Millimeter gegeben, so liefert 
die bekannte einfache Gitterformel die „effektiven Wellenlängen“ (Ass.). 
Bei aller prinzipiellen Einfachheit hat sich aber bei dieser Methode 
eine so große Zahl systematischer Fehlerquellen herausgestellt, daß 
gelegentlich ihre Brauchbarkeit überhaupt bestritten wurde. 

Als praktisch hat sich zunächst erwiesen, die Gitterkonstante etwa 
8 bis 10. 10-* der Brennweite des Instruments zu machen. Der Abstand 
der Spektren erster Ordnung wird dann etwa 1 mm. Zweckmäßig ist 
es in vielen Fällen ferner, die Intervalle der Stäbe gleich der Stab- 
dicke zu machen, da dann die Spektren gerader Ordnung verschwin- 
den, die ungerader Ordnung am hellsten werden (s. Referat Guthnick, 
Photographische Photometrie, Eneykl. V1 2, 27). 

Die systematischen Fehlerquellen seien nur kurz aufgeführt. Bei 
Refraktoren ist zunächst nicht jedes Objektiv für das Verfahren brauch- 
bar, so z. B. dann nicht, wenn die Achromatisierung zu stark nach 
violett erfolgt ist?®), auch soll die Farbenkurve möglichst symmetrisch 
und flach verlaufen.°®) Vor allem erweisen sich die Ar. als sehr stark 
abhängig von der Helligkeit der Sterne und der Expositionszeit. Durch 
Aufnahmen mit verschieden langer Belichtung wird dies für das ein- 
zelne Instrument ermittelt und die Messungen entsprechend vereinheit- 
licht, wobei der Durchmesser der zentralen Sternbilder als Argument 
genommen wird. Verwickelt werden die Verhältnisse dadurch, daß 
diese Helligkeitsgleichung sich mit dem Spektraltypus (besser mit Ask. 


selbst bzw. 7) ändert. Dazu kann eine starke Änderung dieses Effektes 


mit wechselnder Fokussierung treten, selbst wenn es sich nur um das 
eine oder andere 0,1 mm handelt.’”) Letzteres tritt nach Bergstrand°®) 
bei Objektiven mit unsymmetrischer Farbenkurve auf. Schließlich spielen 
die stets und unregelmäßig wechselnden Eigenschaften der photogra- 
phischen Platten — Schichtdicke, Entwicklungsart usw. — eine erheb- 
liche Rolle.’?) 

Es erfordert also die Methode der A.r. jedenfalls umfangreiche 
Untersuchungen über das Verhalten des ganzen Instrumentariums (diese 
treten denn auch in der Literatur stärker hervor als die eigentlichen 
auf die Sterne bezüglichen Ergebnisse). Weiter ist es begreiflich, daß 
trotz aller Vorsicht die Ergebnisse der verschiedenen Autoren noch 
stark gegeneinander differieren. Nachdem Wolf®®) in einer interessanten 

56). Lindblad, Arkiv. f. Math. och Phys. 13 (Stockholm 1919), Nr. 26. 

57) Rosenberg, Astr. Nachr. 213 (1921), p. 329. 

58) Seeliger-Festschrift, p. 386 (Berlin 1924, Springer). 


59) Eberhard in Seeliger-Festschrift, p. 115. 
60) Astr. Nachr. 213 (1921), p. 49. 





794 VIs, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Studie über Bestimmung von As. am Heidelberger Reflektor betont 
hatte, „es sei nötig, bei jeder Angabe effektiver Wellenlängen auch 
diejenigen einiger allgemein benutzter Sterne mit anzugeben“, schlugen 
Rosenberg und Bergstrand®') eine Liste von 27 Sternen aller Spektral- 
typen nahe + 80° Dekl. in diesem Sinne vor. Bis heute liegen erst vier 
Beobachtungsreihen der A.s. dieser Normalsterne vor (s. auch Nr. 11).°) 

Gleich anderen Farbenäquivalenten haben die Ar. keine direkte 


physikalische Bedeutung, müssen vielmehr statistisch an eine 7 oder 


allenfalls gut definierte F.I.-Skala angeschlossen werden, wie es z. B. 
Hertzsprung‘®) in seinem Kompilationskatalog und in seiuer Plejaden- _ 
arbeit?) getan hat. 

Bezüglich der Reichweite sei bemerkt, daß bei den meist üblichen 
Gittern die Spektren erster Ordnung rund 2,5” schwächer sind als die 
Sternbilder bei Aufnahmen ohne Gitter. Die Fußnoten ®) bis #7) geben 
einige weitere hierher gehörige Arbeiten an. 


C. Elektrische Beobachtungsverfahren. 


13. Lichtelektrische Farbenindizes. Über die Prinzipien und die 
Technik der lichtelektrischen Photometrie berichtet das Referat von 
Guthnick (Eneykl. VI 2,27). Da die lichtelektrischen Zellen einen ver- 
hältnismäßig breiten spektralen Empfindlichkeitsbereich haben, liegt 
die Möglichkeit vor, ähnlich der Methode der visuellen Farbenindizes 
durch Benutzung von Farbfiltern zu Temperaturäquivalenten zu ge- 
langen. Die erste Beobachtungsreihe der Art rührt von Guihnick her.°®) 
67 Sterne verschiedener Spektraltypen wurden mit und ohne Gelbfilter 
beobachtet. Die Differenz der Größen, der Farbenindex änderte sich 
von B- bis M-Sternen nur um 0,5”. Wenngleich bei der hohen inneren 
Genauigkeit der lichtelektrischen Photometrie diese F.I. mindestens 
den normalen (photographisch-visuell) ebenbürtig waren, so kam doch 
die Präzision der Methode noch nicht recht zur Geltung. Guthnick 








61) Astr. Nachr. 215 (1922), p. 447. 

62) H.v. Klüber°®); V. Oberguggenberger, Mitteil. der Sternw. Innsbruck, 
Nr. 4, bzw. Wien Sitzber. math.-naturw. Klasse IIa 137 (1928), Heft 5 und 6; 
C. R. Davidson, E. Martin, Month. Not. Roy. Astr. Soc. 84 (1924), p. 425; Bull. 
Astr. Inst. Netherlands 140 (1927). 

63) Mem. Roy Akad. Danemark, Section des sciences, 8. Serie, 4 (1923), Nr. 4. 

64) Determinations of effective wave lenghts, Roy. Obs. Greenwich 1926. 

65) E. A Kreiken, On the colour of the faint stars, Diss. Groningen 1924. 

66) E. Hertzsprung und F. H. Seares, Astroph. Journ. 42 (1915), p. 92—132. 

67) E. Hertzsprung, Astroph. Journ. 55 (1922), p. 370. 

68) Astr. Nachr. 210 (1920), p. 345; Veröffentl. der Sternw. Berlin - Babels- 
berg II 3 (1918), p. 30. 


13. Lichtelektrische Farbenindizes. — 14. Die thermoelektrische Methode. 795 


und Bottlinger gingen daher dazu über, Gelb- und Blaufilter zu be- 
nutzen. Der damit begründete Verlust an Helliskeit (vgl. auch Nr. 7) 
ist nicht sehr groß, die Amplitude der F.I. steigt aber auf das Dop- 
pelte. Bottlinger hat in der Art 459 Sterne bis 6” des Nordhimmels 
gemessen.®°) Seine F.I., im Mittel — 0,68” für einen B-Stern, + 0,25” 
für einen M-Stern, wurden durch quadratische Interpolationsformeln 


auf die übliche F.l.- bzw. auf eine 7 Skala umgerechnet. Die Gefahr 


einer Helligkeitsgleichung wurde durch Verwendung von Objektiv- 
blenden umgangen, die alle Sterne innerhalb eines engen wirksamen 
Helligkeitsbereiches zu messen gestatteten. 

Unstreitig sind die lichtelektrischen F.]. bisher die genauesten 
Temperaturäquivalente (s. Nr. 15), nur drei nicht kleine Nachteile 
haften dem Verfahren an. Einmal verlangt es eine ziemlich kostspie- 
lige Apparatur (relativ zu den übrigen Methoden), dann hat es nur 
eine beschränkte Reichweite (am 30 em-Refraktor ist die Grenze bei 6”) 
und schließlich sind die Zellen selbst gegen Störungen sehr empfind- 
lich: eine sog. „leuchtende Entladung“, die z. B. durch Induktion bei 
Gewittern auftreten kann, macht leicht die Zelle unbrauchbar. — Eine 
Verbesserung des Verfahrens schlug 1924 Guthnick vor.) Das neu- 
artige Photometer enthält vier Zellen, die während des Beobachtens 
leicht gewechselt werden können. So kann z. B. ein Stern rasch hinter- 
einander mit einer Natrium- und einer Rubidiumzelle gemessen werden. 
Diese haben merklich verschiedene spektrale Empfindlichkeit, können 
so also F.I. liefern. Die Vorschaltung von Farbfiltern kann noch die 
wirksamen Spektralbereiche stärker trennen. Über Erfahrungen mit 
diesem Instrument ist noch nichts mitgeteilt. 


14. Die thermoelektrische Methode. Von den drei Methoden, auf 
elektrischem Wege die Gesamtstrahlungsenergie der Sterne zu be- 
stimmen — also letztlich bolometrische Größen abzuleiten (s. Nr. 1 
und Nr.20) —, der radiometrischen, der bolometrischen und der thermo- 
elektrischen, wurde bis heute nur die dritte so weit entwickelt, daß 
über das Versuchsstadium hinaus umfangreichere Beobachtungsreihen 
angestellt wurden. Es handelt sich um die Arbeiten von Coblentz'*) 2), 
der die Spiegel der Lick- und Flagstaff-Sternwarte zur Verfügung 
hatte, und die von Pettit und Nicholson am 2'/, m-Reflektor des Mount 
Wilson.”®) Auf letztere sei näher eingegangen. 





69) Veröffentl. der Sternw. Berlin-Babelsberg III 4 (1923). 

70) Ztschr. f. Instramentenkunde 1924, p. 303 (Berlin, Springer). 
71) Lick Obs. Bull. 266 (1915). 

72) Über ältere Arbeiten ”') und Brill‘). 

73) Astroph. Journ. 68 (1928), p. 279. 


796 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Zur Erreichung allerhöchster Empfindlichkeit mußten die in den 
Fokus des Reflektors gebrachten Thermoelemente äußerst klein ge- 
macht (einschließlich kurzer zuführender Drähte wiegt ein solches 
0,lmg) und in ein Vakuumgefäß gebracht werden, das mit einem 
dünnen Steinsalz-, Quarz- oder Mikroskopdeckglasfenster versehen ist. 
Der durch die Strahlung entstehende Thermostrom wird mit einem 
D’Arsonval-Galvanometer höchster Empfindlichkeit unter Verwendung 
photographischer Registrierung der Spiegelstellung gemessen. Es lassen 
sich dann Sterne 7” noch mit einer Genauigkeit von 0,1” messen. 
Charakteristisch für die Methode, die ja vor allem die langwellige 
Strahlung erfaßt, ist es, daß die Sterne bei Tage ebensogut meßbar 
sind wie nachts. Die Instrumentalfehler — Einfluß der Extinktion, 
Alter der Versilberung des Refiektors u. a — werden an Hand be- 
sonderer Messungen eliminiert. So kann zunächst ein Verzeichnis der 
thermoelektrischen Größen von 124 irgendwie bemerkenswerten Sternen 
mitgeteilt werden. Bildet man nun die Differenzen „visuelle Größe im 
Harvardsystem—thermoelektrische“, so erhält man analog dem Farben- 
index den „Wärmeindex“ der Sterne (W.I.). Wird der Nullpunkt der 
thermoelektrischen Größen so gelegt, daß für A-Sterne W.I. — 0 ist, 
so wird für M-Sterne W.I. 3—5"”. 

Das Gerät gestattet noch in anderer Weise ein Temperaturäqui- 
valent abzuleiten. Analog der Ermittelung photovisueller F.L, d. h. der 
Kombination von Aufnahmen ohne und mit Gelbfilter, wird hier, wie 
es Ooblentz zuerst getan hatte, einmal die Gesamtstrahlung eines Sterns 
gemessen, dann die von einer 1 cm dieken Wasserschicht noch durch- 
gelassene. Für A-Sterne ist diese „Wasserzellenabsorption“ 0,25”, für 
M-Sterne 1—1,7”. Auf die Ergebnisse dieser Meßmethode werden wir 
später noch mehrfach zurückkommen; dadurch, daß sie als einzige den 
großen Wellenlängenbereich von 0,7 u an erfaßt, ist sie besonders wichtig. 


15. Zusammenfassende Übersicht. Es wird von gewissem Inter- 
esse sein, die oben dargestellten vielartigen Methoden ihrer Leistungs- 
fähigkeit nach zu vergleichen. Bei der Unvollkommenheit des Beob- 
achtungsmaterials kann allerdings ein solcher Versuch nicht in allen 
Teilen befriedigen. Für jedes Verfahren wurde eine besonders typische 
Arbeit gewählt. Die instrumentellen und meßtechnischen Angaben der 
einzelnen Beobachter lieferten zunächst die Möglichkeit, die jeweilige 
Reichweite auf gewisse Normalverhältnisse zu reduzieren, nämlich auf 
Beobachtungen mit einem Fernrohr von 16 cm Öffnung (6-Zöller) und 
'/a Stunde Belichtungszeit. Bei der Reduktion der Belichtungszeiten 
wurde die auch sonst oft zu findende Annahme gemacht, daß Verdrei- 
fachung der Belichtung einem Gewinn von 1” entspricht. 


15. Zusammenfassende Übersicht. 7197 


Zu zweit mußten die Genauigkeitsangaben der verschiedenen Me- 
thoden in einheitlichem Maße ausgedrückt werden, d. h. es galt, ent- 


sprechend dem früher (Nr. 1) gesagten, den w.F. in der 7 Skala ab- 


zuleiten. Naturgemäß kam es dabei auf die Genauigkeit der einzelnen 
Beobachtung (also der einzelnen Platte, Pointierung usw.) an, nicht auf 
die der jeweiligen Katalogangaben, die auf mehreren Abenden u. dgl. 
beruhen. Diese Umrechnung konnte in vielen Fällen nur indirekt nach 
Art des nachstehenden Beispiels erfolgen: Der w.F. einer Beobachtung 
bei den photographischen effektiven Wellenlängen in Greenwich ist 
+17 Ä.E. Ihre Amplitude von B- bis zu M-Sternen beträgt 370 Ä. E,, 


die der Fr in der Brillschen Skala 3,8, womit der w.F. einer Beob- 


achtung in der 77 Skala +- 0,17 wird. 

Die Spalten der nachstehenden Übersicht geben nacheinander: 
Die Methode, die jeweils als Beispiel ausgewählte Arbeit, Öffnung des 
Instruments in Zentimetern, die Belichtungszeit, die in der Arbeit er- 
reichte Grenzgröße, die wie oben angegeben errechnete relative Grenz- 
größe und den w.F. einer Beobachtung in der 77 Skala. : bedeutet 


unsichere Angaben. 
































Nr. Methode Beispiel |Öffnung Nee ae Hi, 
1. | Farbenschätzungen | Osthoff 1051 — | om | m | 0,88 
2.|| Rotkeil ıHopmann | 16 — 6,5 6,5 | 0,20) 
3. | Aetf. vis. | Gramatzki 16 — 1% 6 0,45 
4. F.I. vis. Filter Hopmann | 16 — 8 8 10,14 
5. F.I. photogr.-vis. 'Götting. Akt.| 4,5 | 30m | 8 10 0,14 
6. || F.1. photogr.-photovis. | Parkhurst | 145 | 30 8 B:..1. 0.189 
7.|| Seares Baade ' 100 ugs. 018 
8. Tikhoff Öpik Bea ı Sl 0,12 
9. | Rosenberg Führer | 20 30: | 65 6 0,07: 
10. | Aett. photogr. Greenwich 53 18: 121 9 0,17 
11. | F.I. Lichtelektr. Bottlinger 30 — 16 4,5 | 0,037) 
12. | Thermoelektr. Pettit 250 — |7 1 0,20: 
13. | Spektralphotom. vis. | Wilsing | 80 — 1 45 0,5 | 0,20: 
14. 5 photogr. | Rosenberg | 105 9:  31| 5 020: 
15. . or | , Göttingen " 38 ...1.5.8 | 5,0 7 0,02 














!) Auf Grund der WE bei verschiedenen veränderlichen Sternen. 

*”) Die Aufnahmen erfolgten extrafokal. ®») Je 25—30 Einzelmessungen! 

#4, Veröffentl. Univers.-Sternw. Göttingen 11 (1930). 

Zu der Tabelle ist zu bemerken: 13. und 14. enthalten die bis heute 
grundlegenden absoluten Temperaturbestimmungsarbeiten. Wir sehen 
hier die unbedingte Überlegenheit des photographischen Verfahrens; 


7198 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


15. zeigt die ständige Steigerung der Empfindlichkeit der Platten, ferner 
die Wirkung der Verbesserung des Instrumentariums; der kleine w.F. 
ist gutteils auch bedingt durch die Auswahl nur besonders klarer 
Nächte. Die ultrarote Strahlung (12.) ist leider nur den allergrößten 
Reflektoren zugänglich, auch die drei ersten visuellen Methoden stehen 
an Reichweite und Genauigkeit den photographischen etwas nach. 
Daher dürfte mindestens die Beobachtung visueller A,s. künftig selten 
in Anwendung kommen. Das einfache Instrumentarium und Reduk- 
tionsverfahren von 1. und 2. gestattet immerhin durch wiederholte 
Messung die größere Unsicherheit auszugleichen, wie das Beispiel der 
Osthoffschen Beobachtungen in ihrer hohen Bewertung durch Hertz- 
sprung?‘) zeigt. Zudem gibt das Rotkeilverfahren als einziges neben 


der eigentlichen Spektralphotometrie unmittelbar 7-Werte, Das vierte, 


recht günstig erscheinende Verfahren bedarf erst noch längerer Er- 
probung. 

Die photographischen Methoden stehen, was die Genauigkeit an- 
langt, etwa gleichberechtigt nebeneinander, nur das Rosenbergsche scheint 
merklich genauer zu sein, allerdings auf Kosten der Reichweite. Be- 
züglich dieser sind die Unterschiede nicht allzu groß, besonders wenn 
man noch andere, nicht in der Tabelle ausgeführte Arbeiten berück- 
sichtigt. Vor allem sind aber die photographischen Methoden den anderen 
dadurch überlegen, daß sie, wenigstens in vielen Fällen, die zahlreichen 
Sterne einer Aufnahme zu untersuchen gestatten; ihr Nachteil ist die 
immerhin stets etwas umständliche Bearbeitung der Platten. Allen 
anderen Verfahren weit an Genauigkeit — wieder auf Kosten der 
Reichweite — überlegen ist die lichtelektrische Photometrie, selbst 
wenn nur zweimal vier Einstellungen bei der Messung, sonstiger photo- 
metrischer Gewohnheit entsprechend, gemacht werden, statt der in 
Babelsberg üblichen 25 bis 30. 


III. Ergebnisse bei normalen Sternen. 


16. Allgemeines. Nach Ausweis der Literaturangaben der vor- 
stehenden Nummern liegen heute weit über 40000 Farbenäquivalente 
von Fixsternen vor. Zu bedauern ist nur, daß sie noch keine einheit- 
liche Bearbeitung, also Reduktion auf eine Skala, gefunden haben. 
Für die hellen Sterne ist nochmals Hertzsprungs Katalog°) anzuführen 


sowie das Verzeichnis von Brill.) Die 7 Werte in diesem haben 
ca. 0,05 w.F. 


74) Astr. Nachr. 223 (1924), p. 105. 


16. Allgemeines. 199 


Eines der ersten Ergebnisse von F.I.-Bestimmungen bzw. spektral- 
photometrischen Messungen war die enge Beziehung zwischen F.I. bzw. 


Fr einerseits und dem durch das Auftreten bestimmter Absorptions- 


linien gekennzeichneten Spektraltypus andererseits. Die Korrelation ist 
so eng, daß man — wie es im großen Draperkatalog®°) geschehen 
ist — an Hand des Spektraltypus genäherte F.I. ansetzen kann. 

Umgekehrt hat man nach dem Vorschlag von Seares”®) parallel 
zu den Spektralklassen Farbklassen für Übersichtszwecke eingeführt, 
die mit db, a, f,... bezeichnet werden und sich für die normalen F.l. 
ungefähr wie folgt gruppieren: 


Spektrum Farbklasse Farbenindex 
B b — 0,4” bis 0,0” 
A a +00 „+04 
F f 1 a 
G g Be 2 06 
K k 1 N 2 
M m 16 „2,0 und mehr 


Sinngemäß ist ihre Anwendung bei den anderen Farbenäguivalenten. 
Wie die Beziehung zwischen 7 Skala und den Spektralklassen 


durchaus nicht linear ist, so auch die der verschiedenen Temperatur- 
äquivalente. Nachdrücklich hat hierauf Hertzsprung®) aus folgendem 
Anlaß hingewiesen: 

Die Greenwicher A.r. ändern sich vom Typus A bis F' nur sehr 
wenig, weshalb von anderer Seite der Schluß gezogen wurde, daß 
diese Methode wenig brauchbar sei. Hertzsprung zeigt aber, daß „die 
Aeg. mit den F.I. der Yerkes-Aktinometry sehr gut übereinstimmen, 
die Beziehung zwischen beiden Arbeiten streng linear ist“. Auch Bott- 


lingers lichtelektrische F.I. sowie die y nach Brill (s. p. 773) zeigen 


ein ähnliches Verhalten wie die A.r, was alles nur auf eine Ungleich- 
förmigkeit der Spektralklasseneinteilung hinweist. 

Andererseits ist die Beziehung zwischen F.I. und Spektraltypus 
durchaus nicht eindeutig. Dies führt zum Begriff des Farbenexzesses. 
Dieser ist die Differenz zwischen F.I. eines einzelnen Sterns und dem 
Mittelwert der F.I., den sonst normale Sterne des gleichen Spektral- 
typus haben (s. Nr. 17). Verzeichnisse von Sternen mit für ihren 


75) Washington Proc. National Acad. 1915, p. 481. 
76) Bull. Astr. Netherland 134 (1927). 


800 VIa, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Spektraltypus besonders hoher oder niedriger Temperatur haben Bott- 
linger®®), Hertzsprung”) u. a. gegeben. 

Statistische Untersuchungen über die Abhängigkeit der Sternfarbe 
von sonstigen Kennzeichen, wie scheinbarer oder absoluter Helligkeit, 
Abstand von der Milchstraße usw. haben trotz unvollständigen Mate- 
rials zu einer Reihe wichtiger Ergebnisse geführt, die hier und in den 
nächsten drei Nummern erörtert seien. 

So ist nach Seares”®) der Zusammenhang von F.]. (photographisch- 
visuell) und scheinbarer visueller (m,) bzw. photographischer Helligkeit 
(m,) bis zur 17” herunter gegeben durch 
F.L= + 0,50” + 0,029” m, bzw. F.L = — 0,18” + 0,071” m,; 
d. h. im Durchschnitt sind die schwächeren Sterne viel roter als die 
hellen. Die Erklärung dafür ist wohl darin zu suchen, daß erst all- 
mählich das Heer der Zwergsterne von den Typen @, K und M zur 
Mitwirkung kommt. 

In der gleichen Arbeit leitet Seares auch die Beziehung zwischen 
mittleren F.I. und galaktischer Breite ab, gültig etwa für Sterne 5” 
bis 7”. Danach sind die „blauen“ Sterne ausgesprochen in der Milch- 
straße konzentriert, was offenbar identisch ist mit dem Pickering- bzw. 
Kapteynschen Phänomen.”) 


17. Farbe und absolute Helligkeit. Neben den Kriterien zur 
Unterscheidung der absoluten Helligkeit, die das Absorptionsspektrum 
liefert (Methode der spektroskopischen Parallaxbestimmung s. Encykl. 
VI2,23, p. 272), ist von besonderem Interesse die Untersuchung der 
Intensitätsverteilung im kontinuierlichen Spektrum der Riesen- und 
Zwergsterne. Ansätze zu direkten Untersuchungen in dieser Richtung 
liegen bis jetzt jedoch nur bei wenigen Sternen vor (N. W. Storer"°®), 
L. Hufnagel”®®)). Dagegen sind die verschiedenen Farbäquivalente, dar- 
unter vor allem die Farbenindizes, auf einen Einfluß der absoluten 
Leuchtkraft der Sterne hin untersucht worden. Bereits Miß Maury®®) 
unterschied bei ihrer sorgfältigen Spektralklassifikation zwei Gruppen 
der Klasse XV (« Bootis und « Cassiopeiae-Sterne) nach der auffallend 
verschiedenen Stärke des Intensitätsabfalls im Violetten und brachte 
so zuerst den Nachweis, daß Farbe und Spektraltypus nicht eindeutig 

77) Bull. Astr. Netherland 37 (1924); E. F. Hubble, Astroph. Journ. 52 
(1920), p. 8. 

78) Astroph. Journ. 61 (1925), p. 114. 

79) Siehe diesen Band p. 291. 

79a) Lick Obs. Bull. 410 (1929). 


79b) Harvard Coll. Obs. Cireular 843 (1929). 
80) Harvard Annals (28) 1 (1897), p. 39. 


17. Farbe und absolute Helligkeit. 801 


durcheinander bestimmt sind. Dabei mußte zunächst die Frage offen 
bleiben, ob es sich hierbei um einen Einfluß der Leuchtkraft der 
Sterne oder um einen Absorptionseffekt im interstellaren Raume han- 
delt. Kapieyn®*) stellte daher den folgenden Ansatz auf, der sowohl 
diese beiden Effekte wie auch den einer Helligkeitsgleichung in dem 
zugrunde gelegten Farbenmaterial berücksichtigt: 


beobachtete Farbe =a+bm + cM -+dR, 


wo m die scheinbare, M die absolute Helligkeit und R die Entfernung 
des Sternes bezeichnen. Der Kapteynsche Ansatz ist in der Folgezeit 
häufig benutzt worden, obwohl er in dieser einfachen Form zu keinen 
brauchbaren Ergebnissen führen konnte, weil einmal die Voraussetzung 
einer linearen und für alle Spektraltypen gleichen Abhängigkeit der 
Farbe von der absoluten Helligkeit, wie wir heute wissen, nicht zu- 
trifft, und weil ferner — worauf zuerst van Rhijn®?) hingewiesen hat — 
eine getrennte Bestimmung der Koeffizienten b, ec, d nicht möglich ist, 
da die Größen m, M und R noch folgender Nebenbedingung genügen 


müssen: uni 


Von größerer Bedeutung waren daher die rein empirischen Fest- 
stellungen von Adams, Kohlschütter und Monk°?), die Spektren von 
Sternen verschiedener Eigenbewegu&g, untersuchten. Sie fanden, daß 
von Sternen des gleichen Spektraltypusiäejenigen mit kleiner Eigen- 
bewegung von relativ geringerer Intensität ıfyioletten Teil des kon- 
tinuierlichen Spektrums waren als solche mit eröß Migenbewegung; 
und zwar wachsen die Intensitätsdifferenzen beim 7 von F- 
zu K-Sternen um das doppelte an. Bei gleicher Amplitude Marazıon 
bewegung kann also höchstens ein Teil des Effektes der Raumabsorp- 
tion zugeschrieben werden, in höherem Maße müssen die Bedingungen 
in den Sternatmosphären dafür verantwortlich gemacht werden. 

B. Lindblad®*) bestimmte die effektiven und Minimalwellenlängen 
von Sternen mit spektroskopisch bestimmter absoluter Helligkeit. (Im 
Gegensatz zu den Ar. (Nr. 12) beziehen sich die Amin. nicht auf die - 
Mitten, sondern auf die violetten Enden der durch die Objektivgitter 
erzeugten, kurzen Beugungsspektra.) Er fand innerhalb der Spektral- 
grenzen @0 bis K8, daß bei den Riesen das blaue Ende des Spek- 
trums stärker geschwächt ist als bei den Zwergen, und zwar derart, 


81) Astroph. Journ. 30 (1909), p. 284. 
82) Diss. Groningen 1915. 
83) Astroph. Journ. 39 (1913), p. 89; 40 (1914), p. 385; 44 (1916), p. 45. 
84) Arkiv f. Math. Astr. Phys. 13 (1918), Nr. 26. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 52 


802 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


daß bei Sternen mit gleicher effektiver Wellenlänge die Minimalwellen- 
länge bei Zunahme der absoluten Helligkeit wächst. Diese größere 
Empfindlichkeit des durch die Minimalwellenlängen gegebenen Farben- 
äquivalentes gegen den Einfluß der Leuchtkraft ist ein theoretisch 
wichtiger Unterschied, da es sich bei den effektiven Wellenlängen im 
wesentlichen um ein Temperaturäquivalent handelt, die Minimalwellen- 
längen dagegen in gewisser Hinsicht für die Absorption in der Stern- 
atmosphäre charakteristisch sind. 

F. Seares®’) dehnte mit Hilfe der Methode der exposure-ratios 
die Untersuchungen auf alle Spektralklassen aus. Er fand bei zuneh- 
mender absoluter Helligkeit für die B-, G- und K-Sterne Zunahme der 
Farbe, für die A-Sterne das umgekehrte und für die F-Sterne erst 
Zunahme, dann Abnahme der Farbe. In einer späteren Arbeit°®) zog 
Seares jedoch die für die frühen Spektraltypen angegebenen Werte 
zurück; erst von F5 ab macht sich in steigendem Maße der Einfluß 
verschiedener Leuchtkraft geltend. Ein Ergebnis, das E. Öpik$®") unter 
Anwendung der Tikhoffschen Farbenmethode bestätigen konnte, wobei 
zugleich die Möglichkeiten untersucht wurden, nur mit Hilfe der 
Farbenunterschiede zur Kenntnis der absoluten Helligkeiten zu ge- 
langen. 

War mit diesen Arbeiten der Effekt für die späten Spektraltypen 
wenigstens der Größenordnung nach sichergestellt, so blieb die Frage 
nach dem Verhalten der früheren noch längere Zeit offen. Auch .Bott- 
lingers Katalog von lichtelektrischen Farbenindizes®°) bestätigte nur, 
wie auch die Diskussion von @. Shayn und J. Hase zeigte®®), daß bei 
den späten Typen abnorme Färbung auf Sterne großer Leuchtkraft, Über- 
giganten und solche von der Ordnung der ö Cephei-Sterne schließen läßt. 

Erst H. Petersson®”) gelang es, auch bei den A-Sternen einen merk- 
lichen Einfluß der absoluten Helligkeit und zwar in dem von Seares 
geforderten Sinne nachzuweisen. Während sich die mittlere effektive 
Wellenlänge bei dem von ihm benutzten Instrument von A bis F nur 
wenig ändert, nimmt sie z. B. innerhalb der Klasse AO um 2 uu pro 
“ Größenklasse zu. 

Eine weitere Frage, ob die Annahme einer linearen Abhängigkeit 
der Farbe von der Leuchtkraft den Beobachtungen genügt, konnte aus 
den bis dahin vorliegenden Arbeiten, die immer nur auf einem ge- 


85) Mt. Wilson Comm. 59 (1919). 

86) Astroph. Journ. 55 (1921), p. 198. 

87) Publ. der Sternw. Dorpat XXVI, 3 (1925). 
88) Astr. Nachr. 225 (1925), p. 307. 

89) Upsala Meddelanden 29 (1927), p. 20. 


17. Farbe und absolute Helligkeit. 803 


ringen Material beruhten, nicht mit Sicherheit beantwortet werden. 
J. Balanowsky°°) fand zwar aus Messungen effektiver Wellenlängen 
einen merklich verschiedenen Einfluß der Leuchtkraft für Riesen- und 
Zwergsterne, doch ist hier noch die Frage einer Helligkeitsgleichung 
ungeklärt. Später zogen Balanowsky und Hase?) zu dem gleichen 
Zweck das Material der Göttinger Aktinometrie heran und leiteten 
folgende Beziehung ab, die von @5 bis K4 und für absolute Hellig- 
keiten von + 6“ bis — 2M Gültigkeit hat: 


Farbenindex (Gött.— Potsd.) = + 1,08” — 0,116% M + 0,006” M?. 


In einheitlicher Weise wurden in letzter Zeit von B. Sticker ??) 
nochmals die Farben der Göttinger Aktinometrie mit dem inzwischen 
beträchtlich angewachsenen Material an trigonometrischen, spektro- 
skopischen und Gruppenparallaxen für rund 1650 Sterne zusammen- 
gestellt. In der folgenden Tabelle ist — das Ergebnis dieser Arbeit — 
zu jeder absoluten Größenklasse die Differenz des zugehörigen mitt- 
leren Farbenindex gegen den Farbenindex eines Sternes von der ab- 
soluten Helligkeit — 1 angegeben. 


Beziehung zwischen Farbe und absoluter Helligkeit. 

















Abs. Größe | B | FRE: | 00-64 | G5—69 | K 
— iM 0,00" 0,00% 0,00% 0,00® 0,00” 0,00” 
0 +#005;| 4002 | — 0,145) — 907 — 0,06 — 0,07 
+1 +010 | +00 | —02i | — 0,183 a — 0,14 
+2 +0,07 | —028 | — 0,18 — 0,20 — 0,22 
+3 +0,09 | —029 | — 0,22 — 0,26 6,81 
+4 — 088. — 0,33 — 0,40 
— 5 | — 0,26 — 0,24 — 0,40 — 0,50 
+6 | | — 0,21 — 0,46 — 0,60 

















Danach lassen sich drei verschiedene Gruppen unterscheiden: bei 
den B- und A-Sternen Zunahme der Farbe mit abnehmender abso- 
luter Helligkeit (die Riesen sind blauer), von F bis @4 erst Abnahme, 
dann von der absoluten Helligkeit + 3M ab langsame Zunahme und 
drittens von @5 ab ebenfalls starke Abnahme der Farbe, die aber bis 
zu den schwächsten Sternen anhält (die Riesen sind roter). Nur bei 
dieser letzten Gruppe besteht — im Widerspruch zu den Ergebnissen 
von Balanowsky und Hase — eine lineare Abhängigkeit zwischen Farbe 
und Leuchtkraft. 





90) Astr. Nachr. 226 (1925), p. 393. 
91) Bull. Inst. Astr. Leningrad 18 (1928). 
92) Veröffentl. der Sternw. Bonn 23 (1930). 
52* 


804 VIs, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Über die Entstehung des Leuchtkrafteffektes ist nur wenig be- 
kannt. Man dachte zunächst an einen reinen Temperatureffekt, der so 
zustande kommt: Sterne geringerer Dichte und geringeren Druckes in 
den Atmosphären (Riesensterne) erreichen einen bestimmten Ionisa- 
tionsgrad bei niedrigerer Temperatur als Sterne großer Dichte (Zwerg- 
sterne). Riesen und Zwerge desselben Spektraltypus, der ja durch den 
Ionisationsgrad festgelegt wird, unterscheiden sich daher in ihren effek- 
tiven Temperaturen und damit in ihrer Farbe. Es besteht nach Sticker?) 
folgende Beziehung zwischen der Änderung der reziproken Tempera- 


tur = und des Elektronendruckes P, 
1 1 
dm =—dlegP, TruBr 





Dies besagt, daß sich die reziproke Temperatur nahezu linear mit 


log P, oder mit der prozentualen Druckänderung ss ändert; ferner, 


daß je größer das Ionisierungspotential V ist (also bei den frühen 
Spektralklassen A—F), um so langsamer gr bei gegebener Druck- 


abnahme zunimmt, wie es die Erfahrung auch gezeigt hat. Trotz der 
enormen Dichteunterschiede in den Atmosphären der Riesen- und 
Zwergsterne (1: 10000 bei KO), haben aber die mit obiger Formel 
ermittelten Drucke nur das Verhältnis 1: 60. 


Lindblad®?) machte wahrscheinlich, daß wenigstens ein Teil des 
Temperatureffektes auch durch selektive Zerstreuung und Absorption 
in der Sternatmosphäre hervorgerufen wird. Läßt sich durch diese Vor- 
gänge die Depression der Energiekurve der Sonne erklären, so muß die 
Wirkung in den ausgedehnten Atmosphären der Riesensterne noch weit 
größer sein. Nimmt man an, daß die Zerstreuung nur mit der 4. (wahr- 
scheinlich noch einer höheren) Potenz der reziproken Wellenlänge 
wächst, so hat man einen sehr selektiv wirkenden Effekt vor sich und 
die Deformation der Energiekurve wird eine wesentlich andere sein 
als die nur durch einen Wechsel der Temperatur hervorgebrachte. 


Weiter muß mit der Zunahme der Absorptionslinien und Banden 
gerechnet werden, die ebenfalls eine Depression der Energiekurve her- 
vorrufen und damit einen Temperatureffekt vortäuschen. Eine Tren- 
nung dieser Effekte wäre nur möglich auf Grund spektralphotometri- 
scher Messungen oder mittels Farbenindizes, die sich auf absorptions- 

93a) Ztschr. f. Phys. 61 (1930), Heft 7/8. 


93) Continuous spectra of the sun and the fixed stars, Upsala Universitets 
arsskrift 1920. 


18. Farbe und Sternort (interstellare Absorption). 805 


freie Gebiete (4 etwa größer als 450 uw) beziehen. Für das umgekehrte 
Verhalten der 5- und A-Sterne ist noch keine Erklärung gegeben. 


18. Farbe und Sternort (interstellare Absorption). Bei Unter- 
suchungen über die interstellare selektive Absorption, mit der allein 
wir uns hier zu befassen haben, ging man früher vielfach von der 
Annahme aus, daß dieselbe durch ein den ganzen Raum gleichmäßig 
erfüllendes Medium hervorgebracht würde.”) Der schon in Nr. 17 be- 
mängelte Kapieynsche Ansatz wurde daher auf ein möglichst großes 
Material von Sternen bekannter Farbe und Entfernung in einer ganz 
willkürlichen Himmelsgegend angewandt. Die Werte, die man auf 
diese Weise für den Koeffizienten d erhielt, schwankten zwischen 10-°® 
und 10-* Größenklassen pro Entfernungseinheit (1 parsec). Keiner 
dieser Werte aber kann die Existenz selektiver Absorption verbürgen. 
Solche Untersuchungen sind auf Gebiete zu beschränken, die von vorn- 
herein aus anderen Gründen die Existenz absorbierender Massen ver- 
muten lassen, oder für die der Nachweis einer allgemeinen Absorption 
(Schwächung aller Wellenlängen um gleiche Beträge) durch Sternzäh- 
lungen und andere Methoden bereits erbracht ist. Denn daß von einer 
selektiven Absorption über den ganzen Himmel keine Rede sein kann, 
ist in hohem Grade wahrscheinlich gemacht durch die Untersuchungen 
von Shapley, Lindblad u. a. an Sternhaufen und Spiralnebeln, die, in 
zweifellos sehr großen Entfernungen, die gleiche Amplitude in den 
beobachteten Farben, also vor allem auch sehr blaue Sterne auf- 
weisen (s. aber Nr. 27). 

Einen Versuch zur Lokalisation bestimmter Absorptionsgebiete 
hat O. Struve”) unternommen, der für die O-, B- und A-Sterne des 
Bottlingerschen Kataloges‘®) mit großem positivem oder negativem 
Farbexzeß bestimmte Gegenden am Himmel findet, in denen sämtliche 
Sterne entweder zu rot oder zu blau sind. Die ersteren fallen zusammen 
mit Gebieten, in denen sich das häufige Auftreten von scharfen Kalzium- 
linien in den Sternspektren oder photographisch dunkle kosmische 
Wolken nachweisen lassen. 

Schließlich muß noch auf die Abhängigkeit des mittleren Farben- 
index von Sternen des gleichen Spektraltypus von der galaktischen 
Breite hingewiesen werden. Balanowsky und Hase’!) wiesen zuerst 
einen derartigen Effekt in der Göttinger Aktinometrie nach, der ge- 
nauer von Sticker”) untersucht wurde. Die Zunahme des mittleren 
Farbenindex ist im allgemeinen für die späten Spektraltypen größer 


94) Vgl. anch den Abschnitt von Kobold, Encykl. VI 3, 23. 
95) Astr. Nachr. 227 (1926), p. 377. 


806 VIa,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


und erreicht bei den X-Sternen 0,2 Größenklassen derart, daß die Sterne 
in der Milchstraße scheinbar roter sind. Das umgekehrte Verhalten 
läßt sich aus dem Kap-Katalog‘*) nachweisen, in welchem die Sterne 
um rund 0,4 Größenklassen in der Milchstraße blauer sind als außer- 
halb. Ob in beiden Fällen nicht auch systematische Beobachtungs- 
fehler eine Rolle spielen, sei dahingestellt. 


19. Die Verteilungsfunktion der Farben. Bei der Bearbeitung 
des in der mehrfach erwähnten Kap-Publikation“) veröffentlichten 
Materials von Farbenindizes untersuchte J. X. E. Halm die Möglichkeit, 
die beobachteten Häufigkeitsfunktionen der Farben für die einzelnen 
Spektraltypen durch eine Summe von Gaußschen Fehlerkurven dar- 
zustellen. Er stieß dabei auf die bemerkenswerte Tatsache, daß eine 
derartige Analyse ohne Schwierigkeit durchzuführen ist, wenn man 
annimmt, daß sich die Farben aller Sterne nach dem Fehlergesetz um 
mehrere ausgezeichnete Werte gruppieren. Die Willkür, die darin be- 
steht, daß man eine vorgegebene Funktion immer durch eine Reihe 
von Exponentialfunktionen approximieren kann, ist dadurch weit- 
gehend eingeschränkt, daß folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. der 
Modul der Verteilungsfunktionen ist für sämtliche Kurven der gleiche, 
2. die Maxima liegen in gleichen Abständen voneinander, d. h. die 
sieben bevorzugten Farbenindizes (preferential colorindices) genügen 


folgender Beziehung 
Farbenindx =a+tb:n (n = 0,1,...6). 


Damit sind also nur wenige Konstanten willkürlich zu bestimmen, 
nämlich die Größen a und 5b, der Modul h und die jeweilige prozen- 
tuale Verteilung der Sterne auf die einzelnen Gruppen. Auf diese 
Weise gelang es Halm, sämtliche sowohl mit der galaktischen Breite 
wie mit der scheinbaren Helligkeit variierenden Verteilungskurven für 
die einzelnen Spektralklassen befriedigend darzustellen. Halm prüfte 
die Erscheinung an weiteren Farbenverzeichnissen nach und zwar an 
Farbenindizes aus den Harvard Selected Regions®‘), an den Wilsing- 
schen Temperaturbestimmungen von 199 Sternen?) und an den im 


Hertzsprungschen Katalog‘) zusammengestellten 77 -Werten. Jede dieser 


Reihen enthüllte die gleiche Verteilung um dieselben ausgezeichneten 
Werte der Farbäquivalente, für die folgende Beziehung abgeleitet wer- 
den konnte: 

c 


7 = 1188 n (n = 0,1,..,6) 


18 150° 
oder LT, =: 





in der Wilsingschen Temperaturskala. 


96) Harvard Annals (71) 4. 


19. Die Verteilungsfunktion der Farben. 807 


Halms Untersuchungen wurden in strengerer Form von B. Sticker?) 
fortgesetzt. Er versuchte die ausgezeichneten Temperaturwerte in der 
am sichersten begründeten Temperaturskala von Brill festzulegen und 
ferner die Frage zu entscheiden, ob die gleiche Diskontinuität auch 
für die scheinbar schwächeren Sterne gilt, sich also nicht nur auf die 
Riesensterne in der näheren Umgebung der Sonne beschränkt. Beide 
Fragen wurden unter Zuhilfenahme einer von @. Doetsch?”) entwickelten 
Methode gelöst, die die exakte Zerlegung einer empirisch bestimmten 
Häufigkeitskurve in eine Reihe von Gaußschen Fehlerkurven selbständig 
vornimmt. Damit ist die Willkür, die der Halmschen Untersuchung 
noch anhaftete, weitgehend vermieden. Mit Hilfe der Doetschschen Me- 
thode wurden die folgenden Farben- und Temperaturverzeichnisse ana- 
lysiert: 1. Brill, Temperaturen von 134 Sternen’), 2. Farbenindizes 
Gött.— Potsdam nach der Göttinger Aktinometrie®®), 3. auf der Yerkes- 
Sternwarte photographisch bestimmte Farbenindizes für 1550 Sterne 
aus Zone + 45° der Selected Areas.”) Die folgende Tabelle enthält 
die bevorzugten charakteristischen Farbenindizes dieser drei Kataloge 
neben den von Halm abgeleiteten. Sämtliche Reihen sind einheitlich 
reduziert auf die Farbenindexskala von King, dessen Beziehung zu 
dem Temperatursystem von Brill sicher bekannt ist. Die 6. Spalte 
enthält den Mittelwert aller vier Reihen in der Farbenindexskala und 


die 7. in 7 die 8. die entsprechenden Temperaturen in Graden. Die 


mittlere scheinbare Helligkeit, auf die sich die einzelnen Kataloge er- 
strecken, ist in der zweiten Zeile zu finden. 


Die bevorzugten Farb- und Temperaturwerte. 






































Brill |Göttingen' Kap Yerkes Mittel Ku Tor 
0—5m | 68m | 8—10% | 10-14” 8 
I || — 0,30" _ — 0,43” | Re — 0,868 | 0,55 26 100° 
II || +0,01 | + 0,03” 0,00 0,00= | +0,01 | 1,97 11300 
IT || +0,50 |+041 | +048 | +0,49 | +0,47 | 2,05 7000 
IV | +10 | +107 | +0,99 | +1,00 | +102 | 2,97 4830 
V||+160 | +156 | +158 | +1,50 | +15 , 3,88 3700 
VI ax an +196 | +211 | +2,08 | 4,68 3060 


Die Übereinstimmung ist in Anbetracht der nur näherungsweise 
aufeinander zu reduzierenden verschiedenen Skalen gut und über einen 
Bereich von 14 Größenklassen als gesichert zu bezeichnen. Die Sonne 


97) Ztschr. f. Phys. 49 (1928), p. 705. 
98) Publ. Yerkes Obs. 4 (1927), Nr. 6. 


808 VIa, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


mit einer effektiven Temperatur von 6650° (7 = 2,16) würde, um ein 


konkretes Beispiel zu geben, sich leidlich in die dritte Gruppe ein- 
fügen. 

Halm deutet diese quantenähnliche Diskontinuität so, als ob die 
Sterne aus physikalischen Gründen nur diese bestimmten Temperatur- 
werte und keine anderen annehmen können. Sticker hat folgende Er- 
klärung vorgeschlagen. In der Gruppierung um sechs bevorzugte Tem- 
peraturwerte ist der gegenwärtige Zustand verschiedener Gruppen gleich- 
alter Sterne in unserem Milchstraßensystem gekennzeichnet. Stern- 
systeme, die aus Sternen anderer Altersstufen zusammengesetzt sind, 
brauchen deswegen nicht notwendig die gleichen Temperaturen zu 
bevorzugen. Neuere Untersuchungen an kugelförmigen Sternhaufen 
(offene Haufen eignen sich wegen der meist ungeklärten Rolle der 
selektiren Absorption und der Unmöglichkeit, die Mitglieder des Hau- 
fens sicher von den Hintergrundsternen zu trennen, schlechter) deuten 
darauf hin, daß auch diese aus, wenigen Gruppen gleichfarbiger Sterne 
aufgebaut sind, deren Temperaturen sich aber ihrerseits von den im 
engeren Sternsystem gefundenen wesentlich unterscheiden. (Weiteres 
über die Farbenverteilung in Sternhaufen s. Nr. 26, 27.) 


20. Bolometrische und instrumentelle Größenklassen. Bezeichnet 
man in der Annahme, die Sterne strahlten entsprechend dem Planck- 
schen Gesetz, die Strahlung eines Sternes der Temperatur 7’ bei der 
Wellenlänge A mit E(7,A), mit @(A) die Empfindlichkeitsfunktion des 
jeweiligen Strahlungsempfängers (Auge, Platte, Zelle, Thermoelement, 
mit oder ohne Farbfilter), mit © einen passend zu wählenden Faktor, 
so ist das Verhältnis der Gesamtenergie E, zu der zur Messung ge- 
langenden instrumentellen E, gleich 


0. [ET yaı [E(T,2) 90) di. 


Durch Logarithmieren und Multiplikation mit — 0,4 vollzieht man 
den Übergang auf die astronomische Größenskala, wobei an Stelle von 
C© die additive Konstante c tritt, und wir statt E, und E, die bolo- 
metrischen und instrumentellen Größen m, und m, bekommen. c wird 
dadurch bestimmt, daß man für einen passenden Wert von 7 m, = m, 
setzt. Für andere 7’ ergeben sich dann die Reduktionen der instru- 
mentellen auf die bolometrischen Größen. 

Bottlinger®®) hat eine von Eddington®) zuerst gegebene Tabelle 


99) Ztschr. f. Phys. 7 (1921), p. 251. 


21. Farbe und Sterndurchmesser. 809 


zur Reduktion visueller Größen auf bolometrische erweitert. Zugrunde 
liegt ihr die bekannte Empfindlichkeitskurve des Auges und die Fest- 
setzung, daß für 7 = 6000° (GO-Typus) m, = m, ist. Hopmann'!”) 
hat 7 = 10000° als Grundtemperatur vorgeschlagen, da sie nahezu 
die der A0-Sterne ist und ja für diese der normale F.I. —=0 ge- 
setzt ist. Auch Peitit und Nicolson‘?) haben den Wärmeindex folge- 
richtig für A0-Sterne zu 0 angenommen. Dottlingers und ‚Hopmanns 
Tabellen unterscheiden sich fast nur um eine kleine additive Konstante. 
Die Unempfindlichkeit des Auges für Strahlung jenseits 0,4 bzw. 0,7 u 
bewirkt, daß die Reduktion bei den heißesten, besonders aber bei den 
kältesten Sternen mehrere Größenklassen beträgt, naturgemäß ganz in 
Übereinstimmung mit dem Wärmeindex. (Siehe Nr. 14, besonders aber 
auch Nr. 24.) 


21. Farbe und Sterndurchmesser. Sind x, und m, die Parallaxen 
zweier Sterne, d, und d, ihre linearen Durchmesser, 7, und 7, ihre 
effektiven Temperaturen, 7, und H, die scheinbaren bolometrischen 
Helligkeiten, so ist: mit dem Stephan-Boltzmannschen Gesetz 


4 
2 2 

di mi 
2 2 
d? .n? 





Fl 
Sl o Ss o 


Geht man von den Helligkeiten zu Größenklassen über, wählt ferner 
als zweiten Stern die Sonne, so wird 


log d, = — 0,2 my. — logm, + 108 7, + [02m o— log +], 


wo %k den Sonnendurchmesser und den Übergang von der Distanz 
Erde—Sonne auf die kosmische Einheit (parsee) enthält. Entsprechend 
der letzten Nr. lassen sich die visuellen Größen von Stern und Sonne 
in bolometrische umsetzen. Wir können also bei bekannter visueller 
c 
T, 
in Einheiten des der Sonne berechnen. Ist x, unbekannt, so erhält 
man den d-x,, d. h. den Durchmesser nun in Bogensekunden. 


Helligkeit eines Sterns sowie und x, seinen linearen Durchmesser 


Ein im Prinzip gleichartiges Verfahren, allerdings mit Anwendung 
der Planckschen Gleichung und in Anpassung an die Rotkeilkalori- 
metrie hat Wilsing®) entwickelt. Es wurde von Schnauder®) schärfer 
gefaßt, der auch eine für die Praxis nötige Hilfstafel gab, die von 
Hopmann'”) für tiefste Temperaturen erweitert wurde. 


100) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 233. 


810 VIa, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Andererseits ist es neuerdings möglich geworden, mit Hilfe des 
Interferometers die Winkeldurchmesser einiger heller roter Riesensterne 
direkt zu messen. Brill) 














| 


a 

Stem ı; Sp. rılladlins kommt zu nebenstehendem 

| kolorim. | interferom. } 

| | Vergleich der strahlungstheo- 
Arktur .... Ko 0,0095” | 0,0105°  retischen und interferometri- 
Aldebaran. . K8 | 0,0105 | 0,0146 schen Ergebnisse. Die gute 
Beteigeuze . Mı | 0,0225 | 0,0188 rn ana; ki nn | 
Antares... M2 | 0,0200 | 0,0173 uns AU Min 


Beweis für die Richtigkeit 
der Anwendung der Strahlungsgesetze angesehen werden, trotzdem die 
Spektren dieser Sterne starke Bandenbildung aufweisen. 

Verzeichnisse strahlungstheoretischer Sterndurchmesser haben Wil- 
sing®), Bottlinger‘®), Brill'*) und Hertzsprung®) gegeben. 

Unter Berücksichtigung der selektiven Absorption in der Appara- 
tur und besonders der im Ultraroten merklichen in der Erdatmosphäre 
können Pettit und Nicholson"?) aus dem Wärmeindex bzw. Wasserzellen- 
index gleichfalls Sterndurchmesser ermitteln. Hier sind im Gegensatz 
zu oben die interferometrischen Daten um ca. 50°/, kleiner als die 
thermoelektrischen. Die Verfasser führen dies auf Abweichungen der 
Strahlung vom Planckschen Gesetz im Gebiet der ultraroten Wellen- 
längen zurück, nach Ansicht des Referenten dürfte aber auch eine im 
visuellen Gebiet stärker als im ultraroten wirkende Randverdunklung 
die interferometrischen Werte und damit selbstverständlich auch die 
kolorimetrischen obiger Tabelle, die ja beide auf Beobachtungen im 
visuellen Gebiete beruhen, beeinflußt haben. 


IV. Ergebnisse bei veränderlichen Sternen. 


22. Bedeckungsveränderliche. Kolorimetrische Beobachtungen 
dieser Gruppe — etwa durch Verbindung guter visueller und photo- 
graphischer Lichtkurven — liegen bis heute nur vereinzelt vor, so 
sehr hier gewiß interessante Ergebnisse zu erwarten wären. So hat 
z. B. Shapley'") bei YPis und RRDra gefunden, daß die photogra- 
phischen Minima etwa !/,” tiefer sind als die visuellen, Ähnliches 
ermittelte Russell!%!®) bei sechs anderen Sternen. Die Erklärung liegt 
wohl darin, daß die Bedeckung durch die größere der beiden Kom- 
ponenten erfolgt, deren Flächenhelligkeit bedeutend geringer ist als 
die des kleineren aber helleren zweiten Sterns. Erstere hat also auch 
geringere Öberflächentemperatur, späteren Spektraltypus. Anders ver- 


101) Astroph. Journ. 37 (1913), p. 154. 
101) Astroph. Journ. 45 (1917), p. 306. 


22. Bedeckungsveränderliche. sıl 


hält sich Algol, dessen thermoelektrische Minima nach den vorläufigen 
Mitteilungen von Pettit und Nicholson?) ebenso tief sind wie die licht- 
elektrischen. Gerade bei diesem, schon so oft untersuchten System 
zeigt sich die Notwendigkeit präziser, gleichzeitiger, photometrischer 
wie kolorimetrischer Messungen. Erhält doch z. B. Stebbins'??) durch 
lichtelektrische Beobachtungen (Blauviolett) für die hellere Kompo- 
nente einen etwas kleineren Radius, als für die schwächere, während 
die ebenfalls recht guten visuellen Messungen von Danjon''®) dahin 
führen, daß der helle Stern etwa 30°/, größer ist als der absolut 
dunkle Begleiter. (Bei Stebbins beträgt die Helligkeit des Begleiters 
8°/, der des hellen Sternes.) 

Es sei allerdings auch noch dahingestellt, wie weit diese Unter- 
schiede auf Mängel der theoretisch-rechnerischen Bearbeitung beruhen, 
indem z. B. der durch Fetlaar!") verfeinerten Theorie der Algolver- 
änderlichen in den beiden angeführten Arbeiten nicht genügend Rech- 
nung getragen wurde. 

Ein weiteres Beispiel hierzu ist ß Lyrae, bzw. die Schwankungen 
der effektiven Temperatur des Sterns auf Grund visueller Filterbeob- 
achtungen Terkans.??*) Leider sind die Beobachtungen zu gering an 
Zahl, so daß die aus ihnen gezogenen Schlüsse noch der Bestätigung 
bedürfen. Dem Spektraltypus (B8p + B2p) entsprechend haben dem- 
nach beide Komponenten ziemlich hohe Oberflächentemperaturen, auch 
ist richtig die des Hauptsterns niedriger als die des Begleiters, der im 
Hauptminimum vor dem helleren Sterne steht. Schließlich scheinen 
die Temperaturmaxima früher zu liegen als die der Helligkeiten. Ähn- 
liches ergab sich aus den Beobachtungen Nordmanns (Nr. 7) sowie 
aus den F.]., die Schwarzschild®*) aus dem Vergleich der photogra- 
phischen und visuellen Lichtkurven ableitete.!%4®) 

Genauere photometrisch-kolorimetrische Beobachtungen als bis- 
her dürften auch zur Klärung des Nordmann-Tikhoffschen Phänomens 
führen, nämlich daß sich bei mindestens 16 Algol-Veränderlichen der 
Zeitpunkt des Minimums im gelben Licht um durchschnittlich 15 Mi- 
nuten früher ergeben hat als im blauen Lichte. Die ersten Mitteilungen 
von beiden Autoren!®) verursachten eine umfangreiche Literatur in 
den Jahren 1908 bis 1910.) Die Existenz der Erscheinung wurde 


102) Astroph. Journ. 53 (1921), p. 105. 

103) Ann. Obs. Strassbourg 2 (1928). 

104) Rech Astr. Utrecht Nr. IX, 1 (1923). 

1043) Weiteres über ß Lyrae s. Ann. Solar Phys. Obs. Cambridge II, 1, 1930. 
105) Bull. Astr. 26 (1909), p. 5; Pulkowa Obs, Mitteil. 2 (1908), p. 141. 
106) S. die entsprechenden Bände des Astr. Jahresberichtes (Berlin, G. Reimer). 


812 VIs, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


durch spätere Messungen von Maggini!”) und Okunew!) sicher ge- 
stellt. Die damaligen Hypothesen dürften angesichts der heute völlig 
geänderten physikalischen und astrophysikalischen Anschauungen ge- 
wiß einer starken Überprüfung, die zur Zeit noch aussteht. (Vgl. auch 
diesen Band, p. 323 sowie !9#),) 


23. Die d-Cephei-Sterne. Diese astrophysikalisch besonders wich- 
tigen Objekte seien hier nur auf ihre kolorimetrischen Eigenschaften 
besprochen, zumal die Beobachtungsergebnisse auch methodologisch 
von Interesse sind. Man vergleiche im übrigen hierzu die Referate 
von Hnatek und Guthnick sowie die umfassende Darstellung von 
H. Ludendorff.!°) 

Kennzeichnend für die d-Cephei-Sterne ist neben der Form der 
Lichtkurve und hohen Konstanz der Lichtwechselperiode die starke 


Änderung der 7 -Werte bzw. der effektiven Temperaturen, F.I. oder 


anderer Farbäquivalente, die sich in der gleichen Periode wie der Licht- 
wechsel selbst vollzieht. Hierauf machte der Begründer der photogra- 
phischen Photometrie, K. Schwarzschild*), 1900 zuerst aufmerksam 
durch den Nachweis, daß die photographische Helligkeitsamplitude 
von n Aquilae etwa doppelt so groß ist, wie die visuelle. Ihm folgten 
Wirtz, Wükens u. a. mit gleichartigen Untersuchungen anderer d- 
Cephei-Sterne. Der Nachteil ihres Vorgehens, nämlich eine photogra- 
phische Lichtkurve mit einer anderweitig beobachteten visuellen zu 
vergleichen, liegt darin, daß die kolorimetrischen Daten dabei sich auf 
Beobachtungen beziehen, die zu verschiedenen Zeiten in nicht immer 
scharf definierten photometrischen Systemen angestellt wurden (s. u.). 
Erst bei wenigen Sternen dieser Klasse wurden die Kurven der Hellig- 
keiten und Farbäquivalente gleichzeitig festgelegt. 

Dies betont z. B. Okunew!®*), der zwar die Farbenkurven für 
36 Ö-Cephei-Sterne ableitet, die Schwankungen des F.I. aber in keiner 
bestimmten Skala angeben kann, da eben die gegebenen Beobachtungs- 
daten solches nicht gestatten. 

Für die neun hellsten Veränderlichen dieser Art, für die natur- 
gemäß das meiste Beobachtungsmaterial vorliegt, ist das wichtigste 
hier interessierende in der nachfolgenden Übersicht zusammengestellt. 
Zu ihr ist zu bemerken. Auf den Namen des Veränderlichen folgt die 
Periodenlänge in Tagen, die Grenzen der Änderung des Spektraltypus 


107) Paris C. R. 167 (1918). 

108) Astr. Nachr. 234 (1929), p. 361. 
109) Handbuch d. Astrophysik 6 (1928). 
109a) Astr. Nachr. 236 (1929), p. 313. 


23. Die d-Cephei- Sterne. 813 





e c c ec c 
ap: IS el Ip \r BE Zug 
Stern | Per P ee 47 Re T (7) kolor. T n 


SU Cass. | 1,9148 F5 1,73 2,08 | 0,35 | 2,08 2,40 | 0,32 | 2,10 2,64 | 0,54 | Hopmann 
1,71 2,02 | 0,31  Tiercy 

RTAur. | 3747 @1/|1,68 2,46 |0,78| 2,01 2,92 | 0,91 |2,30 3,25 | 0,95 |Hopmann 
TVulp. | 44/49 @1[|1,77 2,46 0,69 | 2,14 2,92 |0,73 2,89 4,23 | 1,34 |Hopmann 
1,65 2,32 | 0,57 |Tierey 

dCeph. | 54|Fo @2|1,82 2,53 |0,71| 2,20 2,98 | 0,78 |2,02 2,82 | 0,80 |Hopmann 
2,69 3,39 | 0,70 | Reesinck 


Y Sagitt.! 5,8 FA @4|2,03 2,66 |0,63 | 2,36 3,09 | 0,73 |2,08 2,78 | 0,70 iten Bruggen- 
cate 


n Aquil. | 7,2)48 @5/1,73 2,74 |1,01| 2,08 3,14 | 1,04 | 2,58 3,41 | 0,82 | Hopmann 

| 2,73 3,52 | 0,79 | Wylie 
2,18 3,12 | 0,94 |Schwarzschild 
3,70 4,36 | 0,66 |Kohlschütter 
SSagitt.) 84|F4 @3|2,03 2,60 |0,57 | 2,36 3,02 | 0,67 |1,97 2,52 | 0,55 |Tierey 
| 0,81 |G@ylienberg 
Gem. !102!F8 @5|2,25 2,74 |0,49| 2,68 3,14 | 0,46 | 3,14 4,01 | 0,87 | Hopmann 
1,99 2,87 | 0,88 |O. S. Yü 


YOph. '17,1/)F5 @3|2,08 2,60 |0,52| 2,40 3,03 |0,63|2,5 3,1 |0,8 ten Bruggen- 
| | caie 






































€ 


nach Shapley, die daraus folgenden Werte von „, und deren Amplitude 
in der Brillschen und Hertzsprungschen Temperaturskala (s. Nr. 1), die 


Änderungen der F auf Grund kolorimetrischer Beobachtungen. Ge- 


mäß den Ausführungen in Nr. 1 sind diese und nicht die Tempera- 
turen selbst mitgeteilt, zumal sich so ein klareres Bild ergibt. Hop- 
mann“!®) beobachtete nach dem Wilsingschen Rotkeilverfahren (Nr. 5), 
Tiercys''") Methode war mehr spektralphotometrischer als kolorimetri- 
scher Natur, desgleichen die von Gyllienberg‘'?) und CO. $. Yü.!"?) 
Reesinck'*) leitete visuelle, ten Bruggencate"'?) photographische F.I. 
ab, während die Betrachtungen von Wylie, Schwarzschild und Kohl- 


schütter bei n Aquilae durch Hopmann''’) auf die 7 Skala umgerechnet 


wurden. 
Offensichtlich stimmen die Amplituden des 7 Wechsels (bis auf 


110) Astr. Nachr. 221, 222, 226, 227 (1924—26). 

111) Publ. R. Osserv. Astrofisico di Arcetri Nr. 44, 1927; Publ. Obs. de 
Geneve, Serie d’Astronomie 1—8 (1923—29). 

112) Meddelanden Lund Astr. Obs. Serie II (1921), Nr. 24. 

113) Publ. Astr. Soc. Pacific 1926, Dez. 

114) Diss. Amsterdam 1926. 

115) Ann. v. d. Bosscha Sterrewacht Lembang, Java, 2 (1927—28), Heft 2 u. 3. 


814 Vi2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


T Vulpeculae, wo die spektralen zwischen den kolorimetrischen Daten 
liegen) untereinander recht gut, besonders auch im Hinblick auf die 
schwankenden Angaben der einzelnen Beobachter für die Lichtwechsel- 
amplituden dieser Sterne (s. Referat Guthnick, Eneykl. VIa, 27). Da- 


gegen differieren die Absolutwerte der 7 stark, was entweder, z.B. 


bei & Geminorum, am Anschluß an verschiedene Temperaturskalen 
liegt oder an der Unsicherheit der F.I. infolge des mangelhaften An- 
schlusses an wohl definierte visuelle und photographische Größen- 
systeme. Hierfür ist 7 Aquilae ein typisches Beispiel, wie Hopmann!'°) 


des näheren ausführte. Solange die Homogenisierung der 7 Kataloge 


noch nicht durchgeführt ist (s. Nr. 16), lassen sich daher auch die 
vorstehenden Werte noch nicht vereinheitlichen und können Schlüsse 
aus der Tabelle und den zugehörigen Arbeiten nur mit Vorsicht ge- 
zogen werden. 

Als qualitativ sicher ist folgendes zu betrachten. Die Temperatur- 
kurven der abgeführten Sterne gleichen nur in groben Zügen den ent- 
sprechenden Lichtkurven (Zusammenfallen der Maxima bzw. Minima). 
Sicher bei SUCas., aber auch bei anderen liegt das Temperaturmaxi- 
mum zeitlich vor dem Intensitätsmaximum. Ferner ist sicher bei 
ö Cephei, doch wohl auch sonst die Temperatur bei einer bestimmten 
Intensität im aufsteigenden Teil der Lichtkurve höher als im ab- 
steigenden. | 

Aus den Licht- und Temperaturkurven lassen sich Kurven der bo- 
lorimetrischen Intensitätsschwankungen (Nr. 20) und effektiven Stern- 
durchmesser (Nr. 21) ableiten. Erstere haben naturgemäß wesentlich 
kleinere Amplituden als die visuellen (s. z. B. Hopmann'"®)), was nach 
den vorläufigen Mitteilungen von Nicholson und Pettit‘?) durch die 
thermoelektrischen Messungen bestätigt wird. Die effektiven Durch- 
messer zeigen recht beträchtliche Schwankungen (rin zu "max wie 1 
zu 1,1 bis 1,9, im Mittel etwa 1 zu 1,3), gleichfalls thermoelektrisch 
bestätigt. Dies ist viel mehr als nach der Eddingtonschen Pulsations- 
theorie'!”) zu erwarten ist. Desgleichen sind die beobachteten Tem- 
peraturschwankungen viel größer als die von Eddington der Theorie 
zugrunde gelegten. Auf diese Unstimmigkeit haben Hopmann!'®), Ree- 
sinck''*), ten Bruggencate‘"°) u.a. hingewiesen. Letzterer stellt die Hypo- 
these auf, die Ö-Cephei-Sterne hätten keine sphärische Gestalt. Eine 
genauere theoretische Durcharbeitung der Frage steht noch aus. Erste 


116) Astr. Nachr. 222 (1924), p. 233. 


117) S. Referat Guthnick, Encykl. VI», 27, und A. S. Eddington, Der innere 
Aufbau der Sterne, p. 221 ff. (Berlin 1928, Springer). 


24. Die Mira- Sterne. 815 


Ansätze dazu liefert die Diskussion zwischen Reesinck, Eddington und 
‚Jeans.!®) Dieser vertritt in seiner zusammenfassenden Darstellung die 
Unhaltbarkeit der Pulsationstheorie in der Eddingtonschen Form und 
ersetzt sie durch die Hypothese, diese Veränderlichen seien im Ent- 
stehen begriffene Doppelsterne. Einzelheiten seiner Ausführungen er- 
innern an die Ideen von ten Brugyencate. 

In einer weiteren Arbeit!!®®), die besonders Y. Sag. gewidmet ist, 
weist letzterer nochmals auf die Schwierigkeiten der Pulsationstheorie 
hin, angesichts der mit den Jahren sich ändernden Licht- und Farb- 
kurven, bei konstanter Periode u. a. 


24. Die Mira-Sterne. Auch bei diesen Veränderlichen lassen die 
kolorimetrischen Daten noch viele Wünsche offen. Zwar wissen wir 
schon seit Schmidt!!?), daß die Mira-Sterne im Maximum um so roter 
sind, je länger ihre mittlere Lichtwechselperiode ist, was durch Chandler, 
Beliawsky"?°) und Thomas'*') an immer größerem Material bestätigt 
wurde. Doch eignet sich dieses, auf zahlreiche Beobachter verteilt, 


nicht zur Ableitung von nr bzw. 7T-Werten. 


Ein Roterwerden der Mira-Sterne mit abnehmender Helligkeit ist 
auf Grund von Farbschätzungen gleichfalls gelegentlich beobachtet 
worden, ohne eine weitere Bearbeitung zu finden. 

Kennzeichnend für die noch in der Entwicklung befindliche Ko- 
lorimetrie ist es dann, daß bis heute noch keine einwandfreien Farben- 
indexkurven von Mira-Sternen vorliegen, weder für die beiden meist- 
untersuchten Sterne, Mira selbst und x Oygni, noch sind die für einige 
schwächere Sterne in Harvardveröffentlichungen abgeleiteten F.I.-Kurven 
brauchbar: denn immer wieder wurden hier die visuellen Schätzungen 
verschiedener Beobachter kombiniert mit anderweitigen photographi- 
schen Aufnahmen und „mittlere“ Licht- und Farbenkurven abgeleitet. 
Als relativ beste sei die Untersuchung von TAndromedae durch Wil- 
son genannt.'??) Die Ableitung der photographischen Helligkeiten 
ist ziemlich einwandfrei, sie erfolgte im Anschluß an die Harvard- 
polsequenz, die allerdings seitdem erheblich korrigiert worden ist. 
Schwer zu beurteilen ist noch gegenwärtig die systematische Ge- 
nauigkeit der visuellen Helligkeiten der Vergleichssterne, zumal ihre 
Ableitung stark summarisch erfolgte. Vor allem ist aber bei diesen 


118) S. z. B. Jeans, Astronomy and Cosmogony, p. 388 (Cambridge 1929). 
118a) Harvard Circular 351 (1950). 

119) Astr. Nachr. 80 (1873), p. 12. 

120) Astr. Nachr. 177 (1908), p. 209. 

121) Diss. Berlin 1926, nur Manuskript. 

122) Harvard Annals 80 (1917), Heft 8. 


816 VIse,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


roten Sternen die visuelle Helligkeitsauffassung stark subjektiv, auch 
wird der Purkinje-Effekt (s. Referat Guthnick, Eneykl. VI 2,27) hier 
in vollem Maße wirken: T Andromedae ist im Maximum für die be- 
nutzten Fernrohre recht hell, im Minimum aber an ihrer Sichtbarkeits- 
grenze. So erklärt es sich wohl, daß der abgeleitete F.I. im Maximum 
einem K- bis M-Stern, im Minimum aber einem F-Stern entspricht, 
was im vollen Gegensatz zum Spektralbefund (s. Referat Anatek, Eneykl. 
VI2, p. 747) und den kolorimetrischen und thermoelektrischen Beobach- 
tungen steht (s. u.). Das hier Gesagte ist dann sinngemäß auf andere 
gleichartig behandelte Sterne zu übertragen.?) Die Differenzen der 
mittleren photographischen und visuellen Lichtkurven von T Columbae 
z.B. können unmöglich als F.I. im üblichen Sinne gewertet werden, 
da sie im Lichtmaximum + 0,45”, im Minimum — 0,71”(!) betragen. 

Aus den letzten Mitteilungen von Campbell und Payne'?°) über 
mehrere Veränderliche auf der Südhalbkugel kann man nur entnehmen, 
daß die Farbenkurven der einzelnen Miraveränderlichen völlig ver- 
schiedenartig aussehen. 

Da keine Untersuchungen nach der Methode der Exposure ratios, 
effektiven Wellenlängen usw. vorliegen, bleiben nur die relativ we- 
nigen Beobachtungen von Nicholson und Pettit"?) und Hopmann!*) zu 
besprechen, wobei noch die spektrographischen Studien an Mira von 
A. H. Joy") sowie Payne und Hogg"?®) heranzuziehen sind. Die wich- 
tigsten Erscheinungen enthält zunächst die nachstehende Übersicht: 





























hans Raab. | Bao | meeaune] SI Rn ne 
is. Licht- | ' tr. Licht- 
Jahr Ort Kaas irtanen | der T | bzw. T eine 
Cygni |1922/23| Mt.Wilson 4,3— 12m | 6,42)—12,0°)|2200 )—1200°%) I 10; 
% Jg 1 / ” ’ ’ ’ | 1,4— 1,8” ?) 
„1923/24 |Bonn 4,8—7,602| 5,4—7,6 2600—1900° | 2,0-—3,4m 
Mira 1921/22 |Mt.Wilson | 4,5—8,9” 2300—1800°°) | 0,1—1,2” %) 
h 1924/25 Bonn 3,7 72m] 38-71 3700—2000° | 2,4—3,4m 
a 1925/26 | Bonn 4,1—6,4”"| 3,2—6,3 | 3500—2200° | 2,2—3,3” 
10Mira-- — |Mt.Wilson Amplit. 2350—1830°°) || Amplitude 
Sterne 5,9. 1990—1350°6) || 0,9m 
Mittel- 
werte | 
ı) Nach Pettit. ®2) Indirekt von Hopmann ermittelt. ®) Mittel über 
4 Jahre. *) Annual Report 1922 Mt. Wilson Obs. 5, Wasserzellenindex 


(s. Nr. 14). ..%) Wärmeindex (s. Nr. 14). 


123) Z.B. Harvard Annals 84, Heft 1 u. 4; Harvard Bull. 837, 838, 842 (1926); 
872 (1930). 

124) Astr. Nachr. 222, 226, 227 (1925—26). 

125) Astroph. Journ. 63 (1926), p. 281. 

126) Harvard Circular 308 (1927). 


24. Die Mira- Sterne. 817 


Zu den Bonner Beobachtungen ist zu bemerken, daß sie mit Rück- 
sicht auf den zur Verfügung stehenden Sechszöller nur die helleren 
Teile des .Lichtwechsels umfassen. Die starken Temperaturschwan- 
kungen können demnach bei diesen Sternen als erwiesen gelten. Die 
damit verbundenen Änderungen der spektralen Energieverteilung sind 
der Hauptgrund für die großen visuellen und photographischen Hellig- 
keitsamplituden, während die Gesamtstrahlung nur wenig und unregel- 
mäßig variiert. 

Daß die Rotkeilmessungen höhere Temperaturen ergaben als die 
thermoelektrischen, kann man (auch im Sinne der Ausführungen von 
Nicholson und Pettit) dahin deuten, daß bei diesen Sternen die An- 
wendung der Planckschen Strahlungsgleichung nicht statthaft ist. Viel- 
leicht ist folgende Erklärung im Sinne der von Hopmann'?”) modi- 
fizierten Merilischen Schleiertheorie dieser Sterne denkbar. In allen 
Phasen des Lichtwechsels ist die effektive Temperatur des größten Teils 
der beobachtbaren Sternoberfläche relativ niedrig (unter 1500 Grad). 
Letztere wird unterbrochen, besonders im visuellen Maximum, von 
heißeren helleren Stellen. Auf diese reagiert im wesentlichen nur das 
Auge, im Gegensatz zur thermoelektrischen Zelle, die auch die visuell 
nicht mehr wirksamen Strahlen aufnimmt. Damit wird die beobacht- 
bare Durchschnittstemperatur des Sterns sich visuell höher ergeben 
als thermoelektrisch; man könnte zugleich versucht sein, so die Unter- 
schiede der bolometrischen Größen, wie sie sich aus beiden Beobach- 
tungsarten ergeben, zu erklären. 

Der Beitrag der Emissionslinien der Balmerserie usw. zur Gesamt- 
helligkeit von Mira ist nach Joy und Payne verschwindend. Nach Joy 
sollen die TiO-Absorptionsbanden mit abnehmender Helligkeit des 
Sterns stark zunehmen. Payne und Hogg zeigten aber spektralphoto- 
metrisch, daß dieses wenigstens im Bereich von 3,5” bis 6,5” visuell 
nicht der Fall ist. Die Änderungen der TiO-Banden sind danach nur 
für einen Teil des Lichtwechsels verantwortlich zu machen.!??®) 

Eine begründete Theorie des Lichtwechsels dieser Sterne existiert 
noch nicht. Entsprechende Zusammenfassungen der vorliegenden Be- 
obachtungsdaten gaben Joy'?) und Hopmann.'?”) Letztere Arbeit ist 
eine schärfere Beschreibung der beobachteten Vorgänge, doch ohne 
thermodynamische Begründung. Auch hier müssen erst weitere ge- 
naue, vor allem kolorimetrische Daten abgewartet werden, die den 
gesamten Lichtwechsel mehrerer Mira-Sterne einschließlich der Minima 
über längere Zeit verfolgen. 


127) Astr. Nachr. 228 (1926), p. 105. 
127a) Harvard Circular 308 (1927). 
Encyklop. d. math Wissensch. VI 2,2. 53 


818 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Die wechselnde Stärke der TiO-Banden berücksichtigen Über- 
legungen von ten Bruggencate und Payne'?'®), allerdings mangels ge- 
eigneter Beobachtungsdaten nur qualitativ, ohne Formel- und Zahlen- 
angaben. 

25. Sonstige Veränderliche. Ist schon bei den drei bisher be- 
sprochenen Klassen veränderlicher Sterne, die das meiste Interesse der 
Beobachter bisher erweckten, das kolorimetrische Tatsachenmaterial 
sehr gering, so erst recht bei den übrigen. 

Die erste Entwicklungsphase der Novae und Nova-ähnlichen 
Sternen (s. Referat Hnatek und Guthnick) ließ ihres meist sehr raschen 
Verlaufs wegen kolorimetrische Beobachtungen noch nicht zu. In den 
späteren Stadien haben sie wegen des verwickelten Spektrums mit 
vorherrschenden Emissionsbanden keinen rechten physikalischen Sinn. 
So beeinflußte z. B. die H«-Emission in den hellsten Lichtphasen der 
Novae Aquilae von 1918 die visuelle Strahlung so sehr, daß der Stern 
zeitweise eine eigenartige rötliche Farbe zeigte, anders als die son- 
stiger roter Sterne. Immerhin sei auf die lichtelektrischen F.I. Guth- 
nicks und Hügelers'”?) sowie auf die photographisch-visuellen der Har- 
vardsternwarte!?®) für den ebengenannten Stern verwiesen. 

Bei den R Coronae- und U Geminorum-Sternen liegen noch keine 
kolorimetrischen Daten vor. Die unregelmäßigen Veränderlichen der 
u Cepheiklasse sind rötlich, gehören den Spektralklassen N, R, M und 
K an. Die hier beobachteten Helligkeitsschwankungen dürften nur 
zum Teil reell sein, zum Teil aber auf physiologischen Beobachtungs- 
fehlern beruhen. Parkhurst"?®) hat bei einigen photographisch-photo- 
visuelle F.I., Bottlinger‘®) lichtelektrische F.I. ermittelt, Hopmann'*?') 


mit dem Rotkeil 77-Werte, Nicholson und Pettit"?) gaben thermoelek- 


trische Beobachtungen. Die entsprechenden effektiven Temperaturen 
liegen nach den zwei letztgenannten Arbeiten zwischen 2100 und 2800 
Grad. Ob sich, ähnlich den d-Cephei- und Mira-Sternen, die Farbäqui- 
valente mit dem Lichtwechsel ändern, ist noch unbekannt. 

Die halbregelmäßigen RV-Tauri-Sterne schließlich gehören den 
Spektraltypen F bis M an. Von ihnen scheint nur der hellste, 
R Seuti, kolorimetrisch beobachtet zu sein, sein Spektrum wechselt 
zwischen @de im Maximum und MO im Minimum. Vogt"??) hat den. 

127b) Harvard Bulletin 876 (1930). 

128) Astr. Nachr. 210 (1920), p. 345. 

129) Harvard Annals 81, Heft 7. 

130) Astroph. Journ. 35 (1912), p. 132, 


131) Astr. Nachr. 226 (1929), p. 227. 
132) Astr. Nachr. 228 (1926), p. 89. 


25. Sonstige Veränderliche. — 26. Kugelförmige Sternhaufen. 819 


Stern mit dem Rotkeil beobachtet. Die Werte schwanken danach 


zwischen 3,5 und 6,0, also ähnlich stark wie bei den Mira-Sternen; 
ebenso wie dort sind die bolorimetrischen Helligkeitsänderungen nur 
sehr gering, stark dagegen die der effektiven Durchmesser. In Ver- 
bindung mit Eddingtons Ansichten vom inneren Aufbau der Sterne 
bemerkt ferner Vogt, „daß der Stern während seiner starken Volumen- 
änderungen eine Reihe von Zuständen durchläuft, die, was Druck, 
Dichte und Temperaturverteilung betrifft, immer in der Nähe von Zu- 
ständen verbleibt, bei denen sich der Stern im Gleichgewichtszustand 
befinden könnte.“ 


V. Ergebnisse bei Sternhaufen und Nebelflecken. 


26. Kugelförmige Sternhaufen. Die Kenntnis der Farbenvertei- 
lung in den Sternhaufen ist von Interesse für die Erforschung des Auf- 
baus dieser Systeme und muß in den meisten Fällen die spektrale Klas- 
sifizierung ersetzen. Die weitere Bedeutung der Farbenuntersuchungen 
für die Erforschung der interstellaren Absorption und für die Kosmo- 
gonie ist bereits in anderen Abschnitten besprochen worden (s. diesen 
Artikel Nr. 18 und Referat Kienle).'??) 

Die ausführlichsten Untersuchungen stammen von Shapley'°*), der 
photographisch-photovisuelle Farbenindizes bestimmte. Nach der glei- 
chen Methode verfuhren u. a. H.v. ZeipelY®) und A. Wallenquist.'?®) 
Von Erfolg war auch die Methode der effektiven Wellenlängen (Herts- 
sprung), deren Anwendung sich natürlich auf die offenen Haufen be- 
schränkt. Infolge der begrenzten Auflösbarkeit der Kugelhaufen kann 
man nur zu den hellsten, den Riesensternen vordringen, während über 
die Farben der schwächeren nichts bekannt ist. So beschränken sich 
die Untersuchungen von Shapley bei M13 auf rund 600 Sterne der 
scheinbaren Helligkeit 12”—17”, während der Haufen bis zur schein- 
baren Helligkeit 21” schätzungsweise 50000 Sterne enthält. 

Größere Farbenverzeichnisse liegen nur von den vier Kugelhaufen 
M3, Mı3, M22 und M68 vor. Sticker'?°®*) fand nach der in Nr. 19 
angeführten Methode folgende bevorzugte „typische“ Farbenindizes und 
die prozentuale Verteilung auf dieselben: 


133) S. hierzu auch P. ten Bruggencate, Die Sternhaufen (Berlin 1927, 
J. Springer). 
134) Mt. Wilson Contr. 115 ff. (1916—21). 
135) Kungl. Svenska Vetenskaps Akademiens Handlingar 61 (1921), Nr. 15. 
136) Meddelanden Obs. Upsala 32 (1927) und 42 (1928). 
136a) Ztschr. f. Astrophys. Bd. 1, Heft 3 (1930). 
53* 


320 VIs,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 














Mes M 13 M3 M22 
56 Sterne 495 Sterne 662 Sterne 623 Sterne 
I — 0,08= | 26%, 
I | +048=| 15% | +040 | 10) +0,20=| 20%, | +0,16= | 29%, 





II +0,88 | 62 +0,80 | 6114086 | 73 +0,60 | 59 
Ivy I+18 | 110. | 2 1 u 7 +1,20 | 12 














Danach setzen sich bei allen vier Haufen die Riesensterne zu zwei 
Dritteln aus gelben Sternen vom typischen F.I. + 0,6” bis + 0,9” 
zusammen, während sich das restliche Drittel in verschiedener Weise 
auf einen kleineren und einen größeren typischen F.I. verteilt, die 
aber bei allen Haufen in gleichen Abständen (0,4% für den voran- 
gehenden und 0,6” für den folgenden) vom Haupt-F.I. angeordnet 
sind. Es sprechen also auch hier bei den Kugelhaufen die Anzeichen 
dafür, daß, wie im Sternsystem (s. Nr. 19), sich die kosmischen Groß- 
formen aus mehreren Gruppen zwar vielleicht gleich alter, aber ver- 
schieden heißer Sterne zusammensetzen, was nur dadurch erklärt wer- 
den kann, daß die Sterne bei ihrer Geburt mit verschiedenen Massen 
begabt waren. 


27. Offene Sternhaufen und Milchstraßenwolken. Wesentlich 
schwieriger liegen die Verhältnisse bei den offenen Sternhanfen in 
zweierlei Hinsicht. Die Trennung der physikalisch zum Haufen ge- 
hörigen Sterne von Hinter- und Vordergrundsternen ist nur bei we- 
nigen näherstehenden Haufen (Plejaden) oder den Bewegungshaufen 
(Hyaden) möglich, wo das Kriterium der Eigenbewegung entscheidend 
ist. Ferner spielt die Frage der Absorption (verursacht durch mit den 
Haufen verbundene Massen oder durch ein nach Trümpler'?") die ganze 
galaktische Zentralebene erfüllendes Medium) eine schwer zu berück- 
sichtigende Rolle. In einem Falle (NGC 663) fand Wallenquist'?*) durch 
Vergleich mit spektral klassifizierten Sternen eine Verfälschung der 
Farbenindizes um mehr als eine halbe Größenklasse. Auch bei M11 
beträgt dieser sogenannte Farbexzeß, zumindestens bei den Sternen 
früher Spektralklassen, 0,65”. Trümpler hat zur Stützung seiner obigen 
Hypothese für sieben offene Haufen einen, aber nur unscharf aus- 
geprägten Gang der Farbexzesse mit der Entfernung der Haufen nach- 
zuweisen versucht, und fand so als Koeffizienten der selektiven Ab- 
sorption 0,32” pro 1000 Parsek, d. h. um diesen Betrag ist die Ab- 
sorption im photographischen Spektralgebiet größer als im visuellen. 
Eine so starke Absorption würde aber die bisherigen Anschauungen 
über die Dimensionen im Sternsystem erheblich modifizieren; indessen 


137) Lick Obs. Bull. 420 (1930), p. 165. 


27. Offene Sternhaufen und Milchstraßenwolken. 821 


sind nach ten Bruggencates'?'®”) Ausführungen Trümplers Beweise nicht 
stichhaltig. Auf jeden Fall sind, solange die Ursachen des Farbexzesses 
nicht einwandfrei geklärt sind, auch alle Versuche sehr mit Vorsicht 
zu bewerten, aus der Verteilung der Farben und scheinbaren Hellig- 
keiten (Farbenhelligkeitsdiagramme) Analogieschlüsse auf die Vertei- 
lung der Spektraltypen und absoluten Helligkeiten (Russeldiagramme) 
zu ziehen, wie es von ten Bruggencate u. a. geschehen ist. 

Die Trümplersche Hypothese eines das Licht allgemein und se- 
lektiv absorbierenden Mediums, das in verhältnismäßig flacher Schicht 
nur die Raumgebiete nahe der Milchstraßensymmetrieebene erfüllt, hat 
auch zum Teil volle Zustimmung gefunden, so z.B. durch v.d. Kamp.'?'®) 
Er findet praktisch den gleichen Koeffizienten für die selektive Ab- 
sorption wie Zrümpler auf Grund der F.L-Bestimmungen scheinbar 
schwacher, d. h. sehr ferner A- und B-Sterne, und berechnet die 
Mächtigkeit dieser Schicht in Richtung senkrecht zur galaktischen 
Ebene zu nur 175 Sternweiten. Trümpler selbst hat neuestens!??°) 
weiteres Beobachtungsmaterial beigetragen. Würden sich diese An- 
schauungen weiterhin bestätigen, so würde — ganz abgesehen von 
ihren Folgen für die Lehren vom Bau des Sternsystems — die Ko- 
lorimetrie sehr ferner Objekte nicht mehr ein Maß für die Ober- 
fiächentemperatur der Sterne geben, dies müßte vielmehr durch das 
Linienspektrum und die Ionisationstheorie erfolgen. Dagegen wird der 
F.I. zu einem Mittel der Distanzbestimmung. 

Für neun offene Haufen hat Sticker'?°®) die Analyse der typischen 
Farbenindizes durchgeführt, die zu folgenden Ergebnissen führte: 












































Mi | N6cess | M 36 | M 52 | Mm 
—.0,27= | 80 %| — 0,13” |92%,| — 0,01= [62%] + 0,03= | 85%, | +0,07 | 62%, 
+025 lı6 |+089 | s |+0a7 38 | +0,51 lıo | +0,53 |27 
1085 | 4 | an) dev Kaorehisnifhupl,os a 

M 34 | Plejaden | Hyaden | M 67 
+ 0,22” | 81%, | +0,28= | 02% | +o40m | 809%, | +0,66m | 88%, 
+0,71: +0,80 | 32 +0,92 | 20 + 1,22 12 
1118. 04 | 8 | 








Charakteristisch für die offenen Haufen ist, daß der kleinste typische 
F.I. weitaus den größten Prozentsatz aller Sterne einschließt, in den 
meisten Fällen 80—90°%,. Das ist ein wesentlicher Unterschied gegen 


137a) Naturwissenschaften 1930, p. 725. 
137b) Astronomical Journal Nr. 945 (1930). 
137 c) Publ. Astr. Soc. Pacific 42 (1930), p. 267. 


8292 VIs, 26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


die Kugelhaufen, bei denen der am meisten bevorzugte typische F.l. 
in der Reihenfolge derselben der zweite oder dritte ist. Weiter sind 
bei allen offenen Haufen die Abstände zwischen dem ersten und zweiten 
und dem zweiten und dritten typischen F.I. bei allen Haufen nahe 
die gleichen, nämlich im Mittel 0,50”. Auch dieser Punkt steht im 
Gegensatz zu den Ergebnissen bei den Kugelhaufen und im Stern- 
system, was aber nicht verwundern darf, da wir uns bei den offenen 
Haufen vornehmlich auf dem Zwergast des Hertzsprung-Russell- Dia- 
gramms befinden, bei den Kugelhaufen und den helleren Sternen des 
Sternsystems aber nur auf dem Riesenast. 


Von besonderer Bedeutung werden in Zukunft noch die Farben- 
untersuchungen bei der Bestimmung von Entfernung und Ausdehnung 
der großen galaktischen Sternwolken sein. Kennt man für die ver- 
schiedenen Farbenklassen die scheinbare Helligkeit, bei der das Maxi- 
mum der Anzahl der Sterne erreicht wird, so kann man mit Hilfe der 
zugehörigen absoluten Helligkeit (Spektrum- bzw. Farben-Leuchtkraft- 
beziehung) die Entfernung der Wolke abschätzen, vorausgesetzt, daß 
keine allgemeine Absorption des Lichtes im Raum stattfindet. Ist diese 
vorhanden, so können bis zu mehreren 100°, falsche Entfernungen 
errechnet werden. C..J. Krieger“®) fand auf diese Weise für die Scu- 
tum-Wolke eine Distanz von 2800 Parsec. Es zeigte sich hierbei, daß 
die Sternhäufigkeit beim Übergang von weißen zu roten Sternen außer- 
ordentlich rasch zunimmt. Die Dichte in der Scutum-Wolke ist ver- 
glichen mit der in der näheren Umgebung der Sonne die gleiche für 
die gelben Sterne und roten Riesen, dagegen beträchlich größer für 
die roten Zwergsterne, während die weißen Sterne anscheinend we- 
niger zahlreich sind. 


28. Die Nebelfleeken. Über die Kolorimetrie der Nebelflecken ist 
mangels Beobachtungsdaten nicht viel zu berichten. Von den galak- 
tischen Nebeln sind zunächst die chaotischen Gasmassen bisher meist 
nur photographisch beobachtet worden, vor allem aber noch nicht 
photometrisch, so daß kolorimetrische Daten noch nicht vorliegen. 
Eine Ausnahme bildet der Orionnebel, der durch Hale'?) 1909 mit 
normalen und orthochromatischen Platten und Gelbfilter photographiert 
wurde. Es ergab sich eine Bestätigung ähnlicher noch unvollkommener 
Versuche Keelers (1899) und visueller Beobachtungen Barnards, daß 
z. B. der Südrand der hellen Huygensschen Gegend nahe der Mitte 
des Nebels durch das Licht der H«-Linie rötlich gefärbt ist, daß also 


138) Lick Obs. Bull. 416 (1929). 
139) Washington Proc. Nat. Acad. 1916, p. 553. 


28. Die Nebelflecken. 823 


die Gasmassen ähnlich den Verhältnissen bei den planetarischen Nebeln 
verschiedenartig geschichtet sind. 

Eine Sonderstellung nehmen unter den chaotischen Nebeln die 
Hagenschen dunklen Wolken ein'P), die bisher nur visuell beobachtet 
wurden, nicht dagegen photographiert werden konnten. Eine Erklä- 
rung hierfür wurde von Hopmann'“*®) vorgeschlagen. Die Anwendung 
der Piperschen und Riccoschen Regeln der Augenphysiologie in der 
Wahrnehmbarkeit äußerst schwacher Lichteindrücke im Vergleich zur 
Empfindlichkeit der photographischen Platte für Flächenobjekte er- 
gibt eine starke Überlegenheit des Auges. Erwähnt sei auch, daß ein- 
zelne Beobachter bei den Hagenschen Wolken bräunliche Töne ge- 
sehen haben wollen. Das Licht der photographierbaren Nebel ist nach 
Hubble eutweder reflektiertes Licht benachbarter Riesensterne oder 
entspricht dem monochromatischen Lichte der planetarischen Nebel- 
flecke (s. Referat Hnatek, VI2, p. 757 und Anm. 140a). 

Da bei letzteren das Spektrum aus einzelnen hellen Linien vor- 
nehmlich von grün bis ultraviolett besteht, hat eine Kolorimetrie 
dieser Objekte keinen physikalischen Sinn. Gelegentlich mitgeteilte 
F.L, — 0,8” etwa, kennzeichnen dann auch nur diese Strahlungsver- 
hältnisse. Ähnliches gilt von den effektiven Wellenlängen, die Zund- 
mark und Lindblad in Upsala abgeleitet haben.) 

Die extragalaktischen sogenannten weißen, besser vielleicht gelben 
Nebel sind ungeheure Sternansammlungen, deren Spektrum etwa dem 
Typus F bis K entspricht. Dies wird bestätigt durch die eben an- 
geführten Upsalaer Beobachtungen. Da die Nebelphotometrie erst in 
den Anfängen steckt — der W.F. einer Helligkeitsangabe nach den 
Beobachtungen von Holetschek und Hopmann beträgt etwa 0,2" bis 
0,3” 142), und ähnlich, immerhin günstiger, liegen die Verhältnisse bei 
den photographischen Helligkeiten — lassen sich nur genäherte Werte 
angeben. Eine erste Untersuchung der Art gab Wirtz.!*?®) Bei 46 Nebeln 
der Coma-Virgo-Gegend wurden die photographischen Totalhelligkeiten 
auf Grund eigener Vermessung mit den visuellen von Holetscheck- Hop- 
mann verglichen. Sie liegen zwischen + 0,1” und + 2,0%, im Mittel 
+ 0,9”, mit starker, zum Teil durch die Beobachtungen bedingter 


140) Seine zahlreichen Artikel hierüber sind zusammengefaßt abgedruckt in 
Specola Astr. Vaticana, Miscellanea 53—68 (1920-29). 
1408) Astr. Nachr. 238 (1930), p. 285; s. auch das Sammelreferat von 
F. Becker, Ergebn. d. exakten Naturw. Bd. 9, p. 25 (J. Springer 1930). 

141) Astroph. Journ. 50 (1919), p- 376. 

142) Astr. Nachr. 214 (1921), p. 425. 

142a) Publ. der Kieler Sternw. 15 (1927), p. 3. 


324 VI2,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


Streuung, aber in roher Übereinstimmung mit dem Spektralbefund. 
Schließlich sei auf die vorab nur qualitativen Angaben von Seares'??) 
verwiesen. Mit Hilfe der Methode der exposure ratios zeigte er, daß 
die Nebelknoten der Spiralnebelarme wesentlich blauer sind als die 
Nebelkerne. 


VI. Ergebnisse im Sonnensystem. 


29. Die Sonne. Die Lichtfülle der Sonne gestattet die eingehendste 
spektrale Untersuchung ihrer Strahlung, weshalb die ja stets integrie- 
renden Methoden der Kolorimetrie hier praktisch gegenstandslos sind. 
Daher genügen hier die folgenden Angaben: Nach Russell“?) ist auf 
Grund der Messungen von Zöllner, Fabry, Ceraski und Pickering im 
visuellen Harvardsystem die Helligkeit der Sonne — 26,72”, die photo- 
graphische (King, Birk) — 25,93”, der F.I. also + 0,79”, entspre- 
chend dem Durchschnittsbetrag für einen G-Stern. Auch der Wasser- 
zellenindex ist nach Pettit und Nicholson”?) durchaus normal für einen 
d@Go-Stern. Der — immerhin indirekt über die Solarkonstante weg 
ermittelte — Wärmeindex der Sonne ist nach den gleichen Autoren 
0,14” größer als im Durchschnitt für den Sonnentypus. Dies ist we- 
niger als die Abweichung bei einigen anderen gleichartigen Sternen 
und kann auch herrühren von der Unsicherheit obiger Angabe für 
- die visuelle Sonnenhelligkeit. 


30. Der Mond. Nach der Russellschen Bearbeitung“) ist der F.1. 
des Vollmondes + 1,18%. Das Mondlicht ist danach entschieden röt- 
licher als das der Sonne, der F.I. entspricht etwa einem K-Spektrum. 
Diesen Eindruck liefern auch die Spektrogramme'“*); ferner zeigen es 
zahlenmäßig die spektralphotometrischen Beobachtungen von Wüsing 
und Scheiner.?) 

Tübinger Beobachtern !#) verdanken wir die visuellen und photo- 
graphischen Helligkeiten von 55 gleichmäßig über den Vollmond ver- 
teilten Punkten und damit deren relative F.I. Sie sind im ganzen 
sehr klein, entsprechend dem Eindruck am Fernrohr, daß auf dem 
Monde starke Färbungen nicht vorkommen. 1910 hatte Wood in der 
Nähe des Kraters Aristarch durch Filterphotographie eine Stelle ge- 
funden, die fast kein ultraviolettes Licht reflektiert. Miethe und See- 





143) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 188. 

144) 8. z. B. Küstner, Astr. Nachr. 198 (1914), p. 446. 

145) Publ. Astroph. Obs. Potsdam 20 (1909). 

146) P. Götz, Veröffentl. der Sternwarte Tübingen-Österberg I 2 (1919) und 
H. Rosenberg, Astr. Nachr. 214 (1921), p. 137. 


29. Die Sonne. — 30. Der Mond. 825 | 


gert““”) haben die Filterstudien wesentlich ausgebaut und konnten 
nebst ausführlicher Beschreibung zahlreicher Stellen eine Zweifarben- 
reproduktion des Mondes geben. In diesem äußerst detailreichen Bilde 
haben die Oberflächenteile grünliche Tönung, die über den Durch- 
schnitt stark im Ultravioletten reflektieren, im Gegensatz zu den gelb- 
lich-weißen Stellen (Durchschnittsverhältnisse) und den roten Teilen, 
die von stärkerer Reflektion im Orange stammen. Hierbei zeichnen 
sich die verschiedenen Mare besonders durch lebhafte Färbung beider 
Art aus. Auch Wright u. a.) kamen zu ähnlichen Ergebnissen einer 
bisher nur qualitativen Mondkolorimetrie. Einen ersten Schritt in das 
Quantitative gibt Rosenbergs Vergleich der Tübinger Messungen mit 
der Mietheschen Reproduktion. Danach besitzen die dort rötlichen 
Stellen sowohl optisch wie photographisch größere Reflektionstätig- 
keit als die grünlichen. Auch liegen die relativen F.I. ganz im zu er- 
wartenden Sinne (rötliche Stellen + 0,07=, grünliche — 0,09”). 

N. Barabacheff“*”) untersuchte 46 Punkte der Mondoberfläche an 
Hand photographischer Aufnahmen mit vorgesetzten Rot-, Grün- und 
Violettfiltern (wirksame Wellenlänge 620, 500 und 400 uw). Durch 
die starke selektive Wirkung dieser wurde die Amplitude seiner F.l. 
wesentlich größer als die von Rosenberg- Götz. Besonders markante 
dunkle Stellen sind danach, ähnlich vulkanischen Gesteinen, grünbraun, 
andere rötlich, rot-violett und reingrün. Barabacheffs Messungen ge- 
statten ferner die den Farben der drei Filter zugehörigen Albedos zu 
ermitteln, die mit Wilsings'°®) spektralphotometrischen Untersuchungen 
an Gesteinen verglichen wurden. Wieder ist im ganzen die Überein- 
stimmung mit vulkanischen Auswürfen verschiedener Art gut. Nur 
die hellsten Stellen des Mondes fallen heraus, der Autor bezeichnet 
sie mit Sandstein bzw. Steinsalz. 

Das thermo-elektrische Beobachtungsverfahren unter Verwendung 
passender Filter wurde in größerem Umfange zuerst von F. W. Very'?") 
auf den Mond angewandt. Da damals die Strahlungsgesetze noch un- 
vollkommen bekannt waren, bedürfen die von ihm abgeleiteten Tem- 
peraturen gewisser Berichtigungen, die R. Dietzius'??) ermittelt hat. 
Praktisch bestätigt wurden diese Untersuchungen durch Arbeiten auf 
der Mount-Wilson- und der Flagstaff-Sternwarte, die Temperaturen 


147) Astr. Nachr. 188 (1911), p. 2, 239, 371. 

148) Publ. Astr. Soc. Pacific 1929, Juni. 

149) Russian Astr. Journ. 1 (1924), Heft 3-—4, p. 44. 

150) Publ. Astr. Obs. Potsdam 61 (1909). 

151) Astr. Journ. 8 (1898), p. 199, 265. 

152) Wien Sitzber. Akad. d. Wiss. IIa 132 (1924), p. 193. 


326 VIse,26. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


von 4 120°C im Maximum für von der Sonne beleuchtete Stellen 
ergaben, während im Minimum die Temperatur unter — 160° sinkt. 
Schon Very, später Nicholson und Pettit konnten ferner zeigen"°®), daß 
bei einer Mondfinsternis, also plötzlichem Fortfallen der Sonnenbestrah- 
lung, die Oberflächentemperatur in kürzester Zeit um fast 200° sinkt, 
um ebenso rasch nach Schluß der Finsternis wieder zu steigen, wohl 
einer der besten Hinweise, daß der Mond keine Atmosphäre, geschweige 
denn Eis oder dergleichen hat. 

31. Die großen Planeten. Die folgende Übersicht gibt zunächst 
einige kolorimetrische Daten für das mittlere Gesamtlicht der ein- 
zelnen Planeten: 


Planet Farbe 1%) Farbzahl'®) F.11%) 
Merkur gelb 5,6 + 1,0” 
Venus gelb 3,9 + 0,91 
Mars rot 7,6 + 1,45 
Jupiter gelblich-weißB 3,6 +- 0,96 
Saturn gelb 4,8 + 1,22 
Uranus blaugrau + 0,74 


Über Neptun scheint außer der gelegentlichen Bemerkung, er habe 
blaugrünliche Farbe ähnlich dem Uranus, nichts Kolorimetrisches be- 
kannt zu sein. 

Visuelle Oberflächenphotometrie im Lichte verschiedener Farben 
hat bei den großen Planeten bisher erst Schönberg") angestellt und 
die im weißen Lichte ausgeführten wenigstens in bezug auf Jupiter 
und Saturn nach völlig neuen Gesichtspunkten bearbeitet.'5®) Dagegen 
waren die Farbfiltermessungen an Zahl noch zu gering, um sichere 
Schlüsse zu gestatten. Inzwischen hat Schönberg zahlreiche Filterbeob- 
achtungen in Breslau ausgeführt, ihre Veröffentlichung ist nach pri- 
vater Mitteilung bald zu erwarten. Es seien daher in Kürze nur seine 
wichtigsten Ergebnisse aus den Dorpater Beobachtungen angeführt. 
Zunächst zeigen die Filterbeobachtungen, entsprechend den obigen 
F.I. von King, daß die Saturnkugel gelber ist als Jupiter, dagegen 








153) Mt. Wilson Obs. Ann. Report 1926/27. 

154) Nach Graf, Grundriß der Astrophysik (Leipzig u. Berlin 1928, B. G. 
Teubner). 

155) Im Osthoffschen System ($ 4) nach Wirtz im Astr. Handbuch, heraus- 
gegeben von R. Henseling (Stuttgart 1921). 

156) Nach King, Harvard Annals 84 (1928), Nr. 4. 

157) Publ. der Sternw. Dorpat 24 (1917). 

158) Photometrische Untersuchungen über Jupiter und das Saturnsystem, 
Helsingfors 1921. 


31. Die großen Planeten. 827 


tiegt die Farbe des Rings zwischen den Werten für die beiden Pla- 
neten. Da ferner das Reflektionsvermögen der Aquatorialstreifen beider 
Planeten nahezu gleich und von derselben Größe wie das der irdischen 
Wolken ist, kann die Verschiedenheit der Farben beider Planeten viel- 
leicht der stärkeren Absorption der kurzwelligen Strahlen in der Atmo- 
spbäre des Saturn zugeschrieben werden. Die Bearbeitung der licht- 
elektrischen Babelsberger und visuellen Dorpater Messungen der Total- 
helligkeit Saturns zeigt, daß die Veränderlichkeit der Ringe für die 
violetten Strahlen bedeutend stärker ist als für die gelben. Dies führt 
Schönberg zur Hypothese einer gelbgefärbten Dunstwolke, die den 
Saturnring umgibt. Diese ist vorwiegend über dem hellsten Mittelteil 
des Ringsystems ausgebreitet. 

Noch nicht quantitativ, wohl aber qualitativ haben die photo- 
graphischen Filteraufnahmen von Wright, Ross und Trümpler beträcht- 
liche Unterschiede der Oberflächendetails im Lichte verschiedener Far- 
ben bei Venus, Mars, Jupiter und Saturn gezeigt. Der Kürze wegen 
und mit Rücksicht auf die hier nicht angängige Reproduktion ihrer 
Aufnahmen kann nur auf die betreffenden Arbeiten?°®) und die Zu- 
sammenfassung Graffs hingewiesen werden.) 

Die Möglichkeit, auf thermoelektrischem Wege die ultrarote Strab- 
lung in Verbindung mit verschiedenen selektiven Filtern zu unter- 
suchen, gestattet die von den Planeten kommende Wärmestrahlung zu 

















Objekt Temperatur | Bemerkungen 
Merkur. . .!-+420° bis + 230° | Vermutlich ohne Atmosphäre. 
Venus ..... + 60° bis 0° Die Angaben beziehen sich vermutlich auf eine 
: den Planeten völlig umgebende dichteWolken- 
hülle. 
Mars . 


Pole 590 Theoretisch von Milankowitsch ermittelt. 


+ 30° bis — 35° | Thermoelektrische Messungen, je nach Lage 
der beobachteten Stelle, am Äquator oder 
| Pol des Mars, Sonnenauf- oder -untergangs- 
| punkt, hellen oder dunklen Oberflächen- 
teilen usw. 1°) 


Äquator — ni 





Jupiter ben 
Saturn 
Uranus. . unter — 185° 


— 110° bis — 185° | 


l 





159) Astroph. Journ. 68 (1928), p. 57; Lick Obs. Bull. 389 (1927); Astroph. 
Journ. 43 (1916), p. 314. 

160) Handbuch der Astrophysik 4, Kap. 4 (Berlin 1929, Springer). 

161) 8. den Sammelbericht von Coblentz, Naturwissensch. 1927, p. 809, so- 
wie Menzel, Coblentz und Lampland, Astroph. Journ. 63 (1926), p. 177. 


828 VIa, 27. Josef Hopmann. Astronomische Kolorimetrie. 


ermitteln, um so durch Vergleich mit der den betreffenden Planeten 
zugesandten Sonnenenergie Werte für die Oberflächentemperaturen ab- 
zuleiten, Diese bleiben immerhin stark hypothetisch, da in die zu- 
gehörige Theorie fragliche Annahmen eingeführt werden müssen, wie 
die, daß der Planet sich wie ein grauer Strahler verhält, daß die Albedo 
im ultraroten die gleiche sei wie die visuell ermittelte u. a. m. Schön- 
berg hat hierzu eine kritische Übersicht gegeben.!%) Die Werte der 
vorstehenden Zusammenstellung sind dementsprechend um etwa 10° 
bis 20° Grad absolut gewiß noch unsicher, dürften aber die relativen 
Verhältnisse in etwa darstellen. 


32. Die Kleinkörper des Sonnensystems. Untersuchungen über 
Farbenäquivalente der kleinen Planeten sind dem Referenten nicht be- 
kannt, wie denn in der Photometrie dieser Körper bisher erst wenig 
geschehen ist (s. Referat Guthnick). Nach den spektroskopischen Be- 
obachtungen von Brobownikow®) leuchten sie zwar im reflektierten 
Sonnenlicht, das aber ähnlich dem Monde mehr dem eines K- als eines 
6-Sternes entspricht, ein starker-F.I (1—1,5”) dürfte also zu erwarten 
sein; auch aus dem Grunde, weil ihre Albedo ähnlich der des Mars 
bzw. des Merkurs ist. 

Von den Satelliten sind nur die vier hellen Jupiters im Lichte 
verschiedener Wellenlängen beobachtet worden. Aus der Differenz der 
photoelektrischen Messungen von Stebbins'“) und den visuellen G@uth- 
nicks!®) ergeben sich zunächst folgende relative F.L: I. + 0,36”, 
II. + 0,26®, III. + 0,21®, IV. + 0,03= in Übereinstimmung mit der 
Färbung für das Auge, die nach Graf‘) von einem satten Gelb bei 
I. zu einer gelblich-grauen Schattierung bei IV. geht. Zur selben Ab- 
stufung führen die Differenzen der photographischen Beobachtungen 
Schüttes!°°) gegen die visuellen Guthnicks. Da aber nach Guthnick die 
visuellen Helligkeitsschwankungen aller vier Satelliten größer sind als 
die lichtelektrischen, sind auch die F.I. veränderlich. Zur Erklärung 
der verwickelten Erscheinungen weist Guthnick auf die Möglichkeit 
meteorologischer Vorgänge bei den Monden hin. Jedenfalls ist wei- 
teres Beobachtungsmaterial noch unbedingt nötig. 

Bei der noch vorhandenen Unsicherheit aller photometrischer 
Daten über Kometen ist es nicht verwunderlich, daß auch kolori- 
metrische nicht vorhanden sind. Solchen wäre zudem bei der kompli- 


162) Ergebnisse der exakten Naturw. 6, p. 19ff. (Berlin 1926). 
163) Lick Obs. Bull. Nr. 407 (1929). 

164) Lick Obs. Bull. Nr. 385 (1927). 

165) Sitzber. Berlin 1927, Nr. 17. 

166) Astr. Nachr. 218 (1923), p. 273. 


32. Die Kleinkörper des Sonnensystems. 829 


zierten Struktur der Kometenspektra kaum ein physikalischer Sinn 
unterzulegen. Zuweilen beobachtete gelbliche Färbung von Kometen- 
kernen ist auf Na- usw. Emission zurückzuführen (s. Referat Anatek). 
Nach einer aus instrumentellen Gründen recht interessanten Mitteilung 
von Hartmann'®) war der Kopf des Halleyschen Kometen 1910 in 
Erdnähe grüner als die Jupiterscheibe. 

Nicht viel anders liegen die Verhältnisse bei den Meteoren, die 
gleichfalls ein unregelmäßiges Emissionsspektrum haben (s. Referat 
Hinatek), doch sei folgendes erwähnt: Wenn auch die Laienbeobachter 
der hellen Sternschnuppen, Feuerkugeln und Meteorite häufig Farben- 
angaben mitteilen, so hat doch anscheinend nur J. Schmidt!) von 
1842—50 systematisch bei vielen tausend Beobachtungen auch die 
Farben vermerkt, wobei sich im Durchschnitt folgende prozentuale 
Verteilung ergab: weiß 62, gelb 15, gelb-rot 6, grün 3, „neblig“ 14. 
Nachdem zuerst von Nießl auf Farbenänderungen hingewiesen hatte, 
untersuchte A. Wegener!) den Farbenwechsel großer Meteore, wobei 
zunächst eine starke Sichtung und Ordnung des Beobachtungsmaterials 
nötig war. Danach ist gewöhnlich die Farbe zuerst weiß, dann grün, 
um, verbunden mit starker Lichtzunahme, plötzlich nach rot umzu- 
schlagen. Wegener sieht als Ursache hierfür den Übergang der Meteore 
von der Wasserstofi- in die Stickstoffschicht der oberen Erdatmo- 
sphäre an. 

167) Astr. Nachr. 185 (1910), p 233. 
168) 8. Valentiner, Handwörterbuch der Astronomie, Bd. II (1898). 
169) Nova Acta Leopoldina Bd. 54, Nr. 1 (Halle 1918). 





(Abgeschlossen Dezember 1930.) 





L 
2 


8. 
4. 
a; 


6. 


7. 


Ss. 


2 
10. 
11. 
12. 
13. 


14. 
15. 
16. 
17. 


18. 


19. 
20. 
21. 
22. 


V12,27. PHOTOMETRIE DER GESTIRNE. 


Von 
ERICH SCHOENBERG 
IN BRESLAU, 


(Mit 21 Figuren.) 


Inhaltsübersicht. 


Einleitung. 
Die Entwicklung der photometrischen Theorien. 


. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. 


I. Die Methoden der Astrophotometrie und ihre @renzen. 


Allgemeine Definitionen. 

Die Definitionen der visuellen Photometrie. 

Das Prinzip des astronomischen Photometers. 

Die Grenzen der Sichtbarkeit. 

Das Fechner-Webersche psychophysische Gesetz und die Größenklassen der 
Gestirne. 

Die Methoden der photographischen Photometrie und die photographische 
Helligkeitsskala. 

Die Eigenschaften der photographischen Platten. Die Schwärzungskurve. 
Farbenindizes. 

Die lichtelektrische Methode der Photometrie. 

Der Einfluß der Extinktion auf photometrische Messungen. 

Die radiometrischen Messungen der bolometrischen Größenklassen und Tem- 
peraturen der Gestirne. 


II. Theorien und Ergebnisse. 


A. Die Strahlung der Selbstleuchter, der Sonne und der Fixsterne. 
Das Lambertsche Emanationsgesetz. 
Die Helligkeitsverteilung auf der Sonne. 
Die Gesamtstrahlung der Sonne und der Fixsterne. 
Interpolationsformeln für die Randverdunkelung bei Bedeckungsveränderlichen 
und bei der Sonne. 
Strenge Berechnung der Helligkeitsverteilung aus Finsternisbeobachtungen 
nach Heckmann und Siedentopf. 


B. Die Resonanzstrahlung der Nebel und Kometen. 
Untersuchungen über die galaktischen Nebel von Hubble. 
Die Theorie der Nebelstrahlung von Zanstra. 
Die Theorie der Strahlung der Kometen. 
Die Helligkeitsverteilung auf elliptischen Nebeln. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 54 


832 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


C. Die reflektierte Strahlung der Planeten und Meteore. 

23. Die Lambertsche Formel für diffuse Reflexion. 

24. Die Formeln von Seeliger, Lommel, Fessenkow und Schoenberg. 

25. Die Helligkeit von eben begrenzten, diffus reflektierenden Flächen und von 
Kugeln. Experimentelle Prüfung der Reflexionsgesetze. 

26. DieReflexion an farbigen Substanzen und die Polarisation desreflektierten Lichts. 

27. Über den Begriff der Albedo. 

28. Der Reflexionskoeffizient und die sphärische Albedo nach Bond. 

29. Die Phasenkurven. 

30. Die beobachteten Phasenkurven und Phasenkoeffizienten. 

31. Die Reflexionskoeffizienten von irdischen Substanzen und Mondgebilden. 

32. Die Bestimmung der Albedo und der Durchmesser der Planeten. 

33. Der Einfluß der Unebenheiten der Oberfläche auf die Lichtverteilung auf 
derselben und auf die Phasenkurve des Planeten. 

34. Die Flächenphotometrie der großen Planeten. 

35. Die Beleuchtung der Planetentrabanten. Das aschfarbene Mondlicht. 

36. Die Verfinsterungen der Jupitertrabanten. 

37. Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. 

38. Über die Beleuchtung der Planetenatmosphären. 

39. Die Theorie der Diffusion und Absorption des Lichts in Gasen von L.V. King. 

40. Die Anwendung der Theorie auf die Erdatmosphäre. 

41. Über die Beleuchtung eines von einer Atmosphäre umgebenen Planeten. 

42. Die Theorie der Verfärbung bei Diffusion in Anwendung auf astronomische 
Probleme. 

43. Seeligers Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen. 

44. Die allgemeine Gleichung der Helligkeit einer beleuchteten Staubmasse. 

45. Die Beleuchtung des Saturnringes. 

46. Die Beleuchtung des Zodiakallichts. 

47. Über die Beleuchtung kosmischer Staubmassen durch Sterne. 


III. Die veränderlichen Sterne. 
48. Das Bedeckungsproblem. 
49. Die Lösung des Problems im Falle totaler Bedeckung nach H. N. Russell. 
50. Partielle Bedeckungen. 
51. Der Einfluß der Randverdunkelung. 
52. Bestimmung der Abplattung. 
53. Der Einfluß der gegenseitigen Beleuchtung der Komponenten. 
54. Der Periastron-Effekt. 
55. Die Dichte der Komponenten. 
56. Statistische Ergebnisse. 
57. Andere Methoden und ungelöste Probleme. 
58. Die anderen Klassen der veränderlichen Sterne. 
59. Die ö-Cephei-Sterne. 
60. Die Perioden-Leuchtkraftkurve (PLk). 
61. Die Perioden-Spektrenkurve (PSk). 
62. Das Leuchtkraft-Spektraltypendiagramm. 
63. Die langperiodischen Veränderlichen. 
64. Die halbregelmäßigen periodischen Veränderlichen. 
65. Die seltenen Typen veränderlicher Sterne: R-Coronae, U-Geminorum und Novae. 


1. Die Entwicklung der photometrischen Theorien. 833 


Einleitung. 


1. Die Entwicklung der photometrischen Theorien. Die Photo- 
metrie ist die Lehre von der Intensität der Strahlung. Wie der Name 
lehrt, stammt die Bezeichnung vom sichtbaren Gebiete der Strahlung, 
vom Lichte, her; geschichtlich war dieses Gebiet auch das zuerst unter- 
suchte; heute wird die Bezeichnung „Photometrie“ auch auf die photo- 
graphisch und lichtelektrisch wirksame Strahlung der kleineren Wellen- 
längen sowie auch, bis zu einer gewissen Grenze, auf das angrenzende 
Gebiet der ultraroten Strahlung angewandt. 

Als Begründer der Photometrie sind Pierre Bouguer !)?) (1698 — 
1758) und Johann Heinrich Lambert?) (1728—1T77) anzusehen. Die 
ersten photometrischen Versuche von Huygens?), Celsius?) und .Buffon®) 
können kaum als die Einleitung der wissenschaftlichen Photometrie 
angesprochen werden, weil sowohl die Beobachtungsmittel derselben 
unzulänglich waren, als auch das für jede neue Wissenschaft not- 
wendige Rüstzeug strenger Begriffsbestimmungen noch fehlte. Bouguer 
war der erste, der mit systematischen Versuchen über die Absorption 
und Reflexion des Lichtes an festen und flüssigen Körpern, beim Durch- 
gang durch trübe Medien und bei diffuser Reflexion an matten Flächen 
begonnen hat und die hier auftretenden Gesetzmäßigkeiten, soweit sie 
sich bei seinen einfachen Beobachtungsmethoden erfassen ließen, for- 
mulierte. Seine Messungen hatten eine bedeutende Schärfe. Er hat sie 
auch auf die Helligkeit der Himmelskörper ausgedehnt und hier ganz 
wesentliche Ergebnisse erzielt. Er bestimmte das Helligkeitsverhältnis 
der Sonne zum Monde und entdeckte dabei die Randverdunkelung auf 
der Sonnenscheibe; er unterwarf die Lichtschwächung der Gestirne in- 
folge der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre der Beobach- 
tung und schuf die erste Theorie dieser Erscheinung, die auch heute 
ihre Bedeutung nicht verloren hat; sie ist auf dem Bouguerschen Grund- 
gesetz für die Lichtschwächung durch Absorption, dem Exponential- 
gesetz, aufgebaut und vernachlässigt nur die Temperaturabnahme mit 
der Höhe in der Atmosphäre sowie die Krümmung der Lichtstrahlen 


1) Essai d’optique sur la gradation de la lumiere. Paris 1729. 

2) Trait d’optique sur la gradation de la lumiere, Ouvrage posthume, 
publi6 par l’abbe de Lacaille. Paris 1760. 

3) Photometria sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. 
Augustae Vindelicorum 1760. Deutsche Ausgabe von E. Anding. Ostwalds Klas- 
siker der exakten Wissensch. Nr. 31—33. Leipzig 1892. 

4) Hugenii Cosmotheoros etc. Hagae Comitum Ed. II (1699), p. 136. 

5) Histoire de l’Acad. des Sciences, p. 5. Paris 1735, 

6) M&m. de l’Acad. des Sciences, p. 84. Paris 1729. 

54* 


834 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


infolge der Refraktion. Bouguer hat auch als erster die Lichtverteilung 
am klaren Tageshimmel gemessen. Von einer gewissen Bedeutung für 
die astronomische Photometrie sind auch die Anschauungen gewesen, 
die er über den Vorgang der diffusen Zurückwerfung des Lichtes durch 
matte Flächen entwickelt hat. 

Lamberts „Photometria“ ist das klassische Werk der theoretischen 
Photometrie; in ihm werden die beiden Grundgesetze, das Kosinus- 
gesetz für Selbstleuchter und das zusammengesetzte Kosinusgesetz für 
matte Flächen in die Photometrie eingeführt und eine Reihe anderer 
wichtigerer Sätze und Definitionen, die noch heute die Grundlage dieser 
Wissenschaft bilden, mathematisch begründet. Lambert behandelt auch 
unabhängig von Bouguer die Theorien der Extinktion des Lichtes in der 
Erdatmosphäre und der Himmelshelligkeit. Nachdem vor ihm Euler”), 
Kies?) und R. Smith?) das Problem der Beleuchtung der Planeten durch 
die Sonne mehr oder weniger glücklich behandelt hatten, gibt Lambert 
die erste vollständige Lösung desselben für seine Formel der diffusen 
Reflexion. Euler hatte dabei die nach ihm benannte Formel zugrunde 
gelegt; diese steht aber sowohl mit der Theorie als mit den Beob- 
achtungen an matten Körpern in so starkem Widerspruche, daß ihr 
nur geschichtliches Interesse zukommt. 

Lamberts Extinktionstheorie kann gegenüber der Bouguerschen 
nicht als Fortschritt angesehen werden. Dieser ist an den Namen von 
P. S. Laplace'’) gebunden, der um die Wende des Jahrhunderts in seiner 
„Me&canique celeste“ eine neue Theorie der Extinktion entwickelte. La- 
place zeigte ihren Zusammenhang mit der Theorie der Strahlenbrechung 
und berücksichtigte diese bei der Ausrechnung des Lichtweges in der 
Atmosphäre. 

Es folgt jetzt eine Zeit der Entwicklung und Vervollkommnung 
der astronomischen Meßapparate, für die die theoretischen Arbeiten von 
F. Arago'') und F. E. Neumann") über die Polarisation des Lichts die 
Voraussetzung bildeten. Diese Gelehrten begründeten die Theorie der 
Polarisation und schufen so die Grundlage für den Bau des Polarisations- 
photometers, das später unter dem Namen des Zöllnerschen allgemeine 


7) Reflexions sur les divers degres de lumiere du soleil et des autres corps 
celestes. Hist. et M&m. de l’Acad. R. de Berlin (1750), p. 280. 

8) Sur le plus grand &clat de Venus ete. Hist. et M&m. de l’Acad. R. de 
Berlin (1750), p. 218. 

9) A Complete System of Opties. Cambridge 1728. 

10) Mecanique celeste 4, Kap. 3. 

11) Über das Gesetz des Kosinusquadrates usw. Pogg. Ann. 35 (1335), p. 444. 

12) Photometrisches Verfahren, die Intensität der ordentlichen und außer- 
ordentlichen Strahlen usw. zu bestimmen. Pogg. Ann. 40 (1837), p. 497. 


1. Die Entwicklung der photometrischen Theorien. 835 


Verbreitung gefunden hat. Dasselbe verwendet Nicolsche Prismen zur 
streng meßbaren Abschwächung des Lichtes einer künstlichen Licht- 
quelle, die im Gesichtsfelde des Fernrohres neben dem Bilde des Ge- 
stirnes sichtbar ist. Vor seiner Verbreitung hat L. Seidel'?) ein anderes 
Meßprinzip angewandt, das aber nicht die Bedeutung des Zöllnerschen 
gewonnen hat. Das von ihm benutzte, von Steinheil'*) konstruierte Photo- 
meter erlaubte es, zwei verschiedene Gestirne direkt miteinander zu ver- 
gleichen, indem die Flächenhelligkeiten ihrer außerfokalen Abbildun- 
gen, die nebeneinander im Gesichtsfelde erschienen, gleich groß gemacht 
wurden. Hier wurden die Fokalabstände abgelesen und das Gesetz der 
Abnahme der Flächenhelligkeit mit dem Quadrate dieser Abstände ver- 
wendet. Seidels und Aragos'’) Messungen der Helligkeit der Planeten 
waren insofern von großer Bedeutung, als sie die Unvollkommenheit 
der Lambertschen Reflexionsformel bewiesen. Seidel berechnete aus 
seinen Beobachtungen eine neue Tabelle der Extinktion; er leitete 
auch aus den Beobachtungen der Saturnhelligkeit eine Formel für die 
Abhängigkeit derselben von der Öffnung der Saturnringe ab. 

Für die photometrische Auswertung der Stern- und der Planeten- 
bilder ist die Kenntnis der Beugungserscheinungen im Fernrohre von 
Bedeutung. Schwerd') behandelte dieselben in einem umfassenden 
Werke nach eigenartigen geometrischen Methoden; Aöry!”) entwickelte 
analytische Ausdrücke für den Spezialfall der Beugung bei punktför- 
migen Lichtquellen. 

Mit einem besonders für diesen Zweck konstruierten Photometer 
beobachtete J. Herschel'?) die Helligkeit der Mondphasen und zeigte 
ihre große Abweichung von der Lambertschen Theorie. Fr. Zöllner '?) 


13) Die Untersuchungen über die Lichtstärke der Planeten usw. Monum. 
saec. der Münchner Acad. II. Kl. (1859). 

14) Elementeder Helligkeitsmessungen am Sternenhimmel. Denkschr. d. Münch. 
Acad. II. Kl. 2 (1837); Verbesserte Form eines Prismenphotometers. Münch. ge- 
lehrte Anzeigen 15, p. 9; Beiträge zur Photometrie des Himmels. A.N. 48 (1858). 

15) Sieben Abhandlungen zur Photometrie. Aragos Werke; Deutsche Aus- 
gabe von Hankel 10 (1859). 

16) Beugungserscheinungen. Mannheim 1835. 

17) Cambridge Transactions 6 (1838). 

18) Account of some Attempts etc. Results of Astr. Obs. made during 
1834—38 at the Cape of Good Hope, p. 353. London 1847. 

19) Photometrische Untersuchungen. Pogg. Ann. 100 (1857), p. 381, 474, 651 
und daselbst 109 (1860), p. 244; Grundzüge einer allgemeinen Photometrie des 
Himmels. Berlin 1861; Photom. Unters. mit besonderer Rücksicht auf die phys. 
Beschaffenheit der Himmelskörper. Leipzig 1865; Einige Sätze aus der theore- 
tischen Photometrie. Pogg. Ann. 128 (1866), p. 46; Resultate photometrischer Be- 
obachtungen an Himmelskörpern, ebd. 128 (1866), p. 260; A.N. 66 (1866), p. 225. 


836 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


versuchte diese Abweichungen aus dem Einfluß der Mondberge ab- 
zuleiten; indessen war seine Theorie unrichtig, und erst in neuester 
Zeit ist es gelungen, das photometrische Verhalten des Mondes zu er- 
klären. Die geistvollen photometrischen Arbeiten Zöllners, insbesondere 
die Konstruktion des noch heute gebräuchlichen Polarisationsphoto- 
meters, seine scharfen Messungen der Stern- und der Planetenhellig- 
keiten und die daran geknüpften theoretischen Betrachtungen haben in 
hohem Grade anregend auf die Entwicklung der Photometrie gewirkt. 

Nicht geringer war die Bedeutung der Arbeiten von @. P. Bond?) 
an der Sternwarte des Harvard College, die gleichzeitig und unab- 
hängig von den Zöllnerschen unternommen waren. Sie beziehen sich 
hauptsächlich auf die Planeten und den Mond. Für die theoretische 
Photometrie ist der von Bond eingeführte Begriff der sphärischen 
Albedo wichtig gewesen, der heute, nachdem H.N. Russell ihn der Ver- 
gessenheit entrissen hat, allgemein gebraucht wird. 

Auf ein für die Theorie der Bewegung der Jupitertrabanten wich- 
tiges photometrisches Problem, die Verfinsterungen derselben, hat 
A. Cornu?') aufmerksam gemacht. A. Obrecht??) entwickelte die erste 
photometrische Theorie dieser Erscheinungen. 

Um die Wende des Jahrhunderts setzt durch die Arbeiten H. v. See- 
ligers?°) ein bedeutender Aufschwung der theoretischen Photometrie ein. 
Seeliger behandelte mit der ganzen ihm eigenen analytischen Schärfe, 
die oft weit über das Maß der möglichen Prüfungsgenauigkeit hinaus- 
ging, eine Reihe neuer photometrischer Probleme. Als wichtigstes Er- 
‚gebnis sind seine und E. Lommels*) Untersuchungen über das Gesetz 

20) On the Results etc. Mem. Amer. Acad. New Ser. 8 (1861), p. 221; Com- 
paration of the Light etc., ebd. 8 (1861), p. 287; On the Light of the Sun, 
Moon ete. M.N. 21 (1861), p. 197. 

21) Sur la possibilite d’accroitre etc. Paris C. R. 96 (1883), p. 1609; Sur les 
methodes photometriques etc. A.N. 114 (1886), p. 229. 

22) Etude sur les 6clipses des satellites de Jupiter. Ann. de l’Obs. de Paris 
18 (1885). 

23) Zur Photometrie des Saturnringes. A. N. 109 (1884), p. 305; Bemer- 
kungen zu Zöllners „Photometr. Unters.“. Vjschr. 21 (1886) p. 216; Zur Theorie 
d. Bel. d. gr. Planeten usw. Abh. d. Münch. Akad. II. Kl. 16 (1888), p. 405; Zur 
Photom. zerstreut reflektierender Substanzen. Sitzber. d. Münch. Akad. IT. Kl. 18 
(1888), p. 201; Theorie d. Bel. staubförm. kosm. Massen usw. Abh. Münch. Akad. 
II. Kl. 18 (1893), p. 1; Über den Schatten eines Planeten. Sitzber. d. Münch. Akad. 


II. Kl. 24 (1894), p. 423; Über kosm. Staubmassen und das Zodiakallicht. Ebd. 

31, H. 3; Die scheinbare Vergrößerung des Erdschattens usw. Abh. d. Bayr. Akad. 

II. Abt. 19 (1899). 
24) Über Fluoreszenz. Abschnitt I: Über die Grundzüge der Photometrie. 


Wied. Ann. 10 (1880), p. 449; Die Photometrie der diffusen Zurückwerfung. 
Sitzber. d. Münch. Akad. II, Kl. 17 (1887), p. 95. 


2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. 837 


der diffusen Reflexion zu nennen, die zu der berühmten Lommel-See- 
ligerschen Formel geführt haben. Eingehende Untersuchungen widmete 
Seeliger dem Problem der Beleuchtung abgeplatteter Planeten, wie 
Jupiter und Saturn, um die Abweichung der Phasenkurven, die durch 
die Abplattung bedingt ist, kennen zu lernen; als erster behandelte 
er auch das Problem der Beleuchtung staubförmiger Massen, insbeson- 
dere des Saturnringes; er folgerte theoretisch die Veränderlichkeit 
seiner Helligkeit in der Nähe der Opposition. Seeliger berechnete auch 
die Helligkeit des Zodiakallichtes und bewies, daß viele Nebel im 
Lichte nahe gelegener Sterne leuchten können. Von großem Interesse 
ist seine Theorie der Helligkeit des Mondes bei Finsternissen und die 
Erklärung, die er der beobachteten Vergrößerung des Erdschattens 
bei Mondfinsternissen gegeben hat. 

Die Schüler Seeligers haben dann seine Anregungen und Theo- 
rien auf verschiedene andere Probleme der Photometrie angewandt. 
E. Anding”) entwickelte Formeln für die Lichtverteilung auf einer 
beleuchteten Planetenscheibe und verfaßte eine Preisschrift über das 
Problem der Verfinsterung der Jupitertrabanten. V. Wellmann’°®) be- 
handelte ebenfalls das letztgenannte Thema, und K. Schwend?') ver- 
öffentlichte eine Untersuchung über die Helligkeit des Zodiakallichtes. 
G. Müller gab in seinem vorzüglichen Lehrbuch „Photometrie der 
Gestirne“ (Leipzig 1897) eine Zusammenfassung der bis zum Ende 
des Jahrhunderts erschienenen theoretischen Arbeiten. Dieses Lehr- 
buch war bis zum Erscheinen des „Handbuchs der Astrophysik“ 
(Berlin 1929), Band II, das grundlegende Werk der astronomischen 
Photometrie. 

Über die seit der Wende des Jahrhunderts erzielten Fortschritte 
der theoretischen Photometrie soll in dieser Arbeit berichtet werden. 
Hier muß aber noch die Entwicklung der photometrischen Beobach- 
tungskunst durch Aufzählung der wichtigsten Merksteine derselben 
gewürdigt werden. 


2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. Die älteste 
Beobachtungsmethode ist die visuelle; seit den ältesten Zeiten haben 
die Beobachter, die ein Verzeichnis der Fixsternörter geliefert haben, 
die Sterne durch Helligkeitsschätzungen gekennzeichnet. Diese Me- 
thode der Schätzungen hat sich seit den Zeiten des Hipparch bis 


25) Photometrische Untersuchungen über die Verfinsterungen der Jupiter- 
trabanten. Preisschr. d. Univ. München 1889; Über die ON auf einer 
. Planetenscheibe. A.N. 129 (1892), p. 377. 
26) Zur Photometrie der Jupitertrabanten.. Berlin 1887. 
27) Zur Zodiakallichtfrage. München 1904. 


838 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


zur Mitte des 19. Jahrhunderts, wo sie durch F. Argelander*®)?°) und 
N. Pogson®®) verfeinert wurde, unverändert erhalten. Hipparchs (190 bis 
125 v. Chr.) Größenschätzungen, die in die Mitte des 2. Jahrhunderts 
v. Chr. fallen, sind uns in dem Katalog von Ptolemäus (138 n. Chr.) 
erhalten und beziehen sich auf 1020 Sterne. Der nächste selbständige 
Sternkatalog von Al-Sufi (964 n. Chr.) enthält wiederum selbständige 
Helligkeitsschätzungen von 1150 Sternen, ebenso die folgenden Kata- 
loge von Tycho Brahe (1590), Hevelius (1660), Halley (1679) und 
Flamsteed (um 1700). Der letzte Katalog enthält schon neben den 
Örtern die Größen von mehr als 3000 Fixsternen. Die meisten dieser 
Kataloge teilen die dem bloßen Auge sichtbaren Sterne in sechs 
Stufen oder Größenklassen, beginnend mit den hellsten, die zur 
1. Klasse gezählt werden. Die Nullpunkte dieser Skalen sind natür- 
lich etwas verschieden und auch der Wert der Stufe von Beobachter 
zu Beobachter wechselnd. Im 18. und 19. Jahrhundert wächst die 
Zahl der geschätzten Helligkeiten durch die Arbeiten von Lacaille, 
Lalande, Bessel, Argelander sehr schnell bis auf über 200000 Sterne, 
indem die Skala bis auf Sterne 9. Größe ausgedehnt wird. Als größter 
Katalog dieser Art ist die Bonner Durchmusterung von Argelander 
und Schönfeld®‘), sowie ihre Fortsetzung auf den südlichen Himmel 
von Thome®?), die Cordoba Durchmusterung, anzusehen. Die Methode 
der Helligkeitsschätzungen bei Meridianbeobachtungen wird auch noch 
heute in derselben Art angewandt und ergibt ungeachtet gewisser in- 
dividueller Nullpunkts- und Skalenfehler, die sich nachträglich immer 
bestimmen lassen, wertvolle Beiträge zur Beurteilung der Helligkeits- 
änderungen der Sterne. Die Genauigkeit der Helligkeitsschätzungen 
dieser Art ist in neuerer Zeit durch F. Küstner??) (1894) durch Ein- 
führung von Objektivgittern nicht unwesentlich vergrößert worden. 
Diese Gitter schwächen das Licht der hellsten Sterne so weit ab, 


28) Neue Uranometrie (Uranometria Nova). Darstellung der im mittleren 
Europa mit bloßem Auge sichtbaren Sterne usw. Berlin 1843. 

29) Aufforderung an Freunde der Astronomie zur Anstellung von Beobach- 
tungen usw. Schumachers Jahrbuch für 1844. 

30) Catalogue of 53 Known variable Stars, with notes. Radcliffe Obs. 15 (1856). 

31) Bonner Durchmusterung des nördlichen Himmels. Bonner Beobach- 
tungen Bd. 3—5. Zweite berichtigte Auflage unter Mitwirkung von Deichmüller 
bearbeitet von Küstner. Bonn 1903. 

32) Cördoba Durchmusterung. Res. Obs. Nac. Arg. 16 (1892); 17 (1894); 
18 (1900); 21 (1914). 

33) Katalog von 10663 Sternen zwischen 0° u. 51° nördlicher Deklination... 
nach Beobachtungen am Repsoldschen Meridiankreise. 1894 bis 1903. Veröffentl. 
d. Kgl. Sternwarte Bonn Nr. 10 (1908). 


2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. 839 


daß der Beobachter nur ein kleines Helligkeitsintervall (etwa 2 Gr.kl.) 
durch Schätzung zu überbrücken hat, wodurch sich der zufällige Fehler 
der Schätzung auf 0,1 Gr.kl. vermindern läßt. 

Für die Untersuchung von Helligkeitsschwankungen bei ver- 
änderlichen Sternen hat Argelander®) eine Methode entwickelt, die 
unter dem Namen der Stufenschätzungsmethode eine große Anwen- 
dung und Bedeutung gewonnen hat. Sie besteht in der Einschaltung 
einer gewissen Anzahl von Stufen zwischen die zu vergleichenden Stern- 
helligkeiten. Die Anwendung dieser Methode auf die Bestimmung der 
Größen der mit freiem Auge sichtbaren Sterne führte zu dem voll- 
ständigsten und genauesten Sternverzeichnis aller in mittleren nörd- 
lichen Breiten sichtbaren Sterne bis zur 5,6. Größenklasse, der Urano- 
metria Nova®®) Argelanders. Dieses Werk wurde von E. Heis”) auf 
die Anzahl von 4701 erweitert und fand in B. Goulds®”) „Uranometria 
Argentina“ seine Fortsetzung bis zum Südpol. 

Die Stufenschätzungsmethode wurde dann von N. Pogson (1854) 
abgeändert, und von E. ©. Pickering®®) (1881) wurde eine andere Ab- 
änderung, die sog. Interpolationsmethode, zur Helligkeitsbestimmung 
der veränderlichen Sterne vorgeschlagen. Beide Methoden, die von 
Argelander und von Pickering, haben eine außerordentliche Verbreitung 
gefunden. 

Von den verschiedenen Apparaten, die zur Ausführung genauer 
photometrischer Messungen vorgeschlagen und benutzt worden sind, 
haben wir die Einführung des Polarisationsphotometers durch Arago 
schon erwähnt. In der Gestalt des Zöllnerschen Photometers hat 
dieses Instrument in der Astrophysik eine außerordentliche Bedeu- 
tung gewonnen. Mit ihm haben G. Müller und ©. Kempf?) das ge- 
naueste Verzeichnis visueller Sternhelligkeiten geschaffen, die sog. 
Potsdamer Durchmusterung. Dasselbe umfaßt alle Sterne bis zur 
Größe 7,5, vom Nordpol bis zu der Deklination 0°. Das Zöllnersche 
Photometer benutzt das Polarisationsprinzip zur Abschwächung eines 
künstlichen Sterns, der im Gesichtsfelde neben dem zu vermessenden 
Sterne erscheint. E. ©. Pickering‘®) schwächt in seinem Meridian- 


34) S. Fußnote 29. 

35) S. Fußnote 28. 

36) Neuer Himmelsatlas. Köln 1872, 

37) Uranometria Argentina. Resuld. d. Obs. Nac. Argent. en Cördoba I (1879). 

38) Proc. Amer. Acad. 16 (1881), p. 280. 

39) Photometrische Durchmusterung des nördlichen Himmels, enthaltend 
die Größen und Farben der Sterne der B.D. bis zur Größe 7,5. Potsd. Publik. 
17 (1907). 

40) Harvard Ann. 14 (1884), p. 1; ebd. 23 I, s. 1. (1890); 23 II (1899). 


340 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


photometer in ähnlicher Weise das Licht des Polarsternes, der als Ver- 
gleichsstern für alle anderen dient. Mit solchen Meridianphotometern 
ist in Harvard das vollständigste Helligkeitsverzeichnis der Sterne des 
nördlichen Himmels fertiggestellt worden, die sog. Harvard Photometrie. 
Dieser Katalog enthält die Helligkeiten von 45792 Sternen.) 

Außer den genannten visuellen Instrumententypen hat nur noch 
das sog. Auslöschphotometer eine gewisse Bedeutung für die Astro- 
physik gewonnen, weil mit ihm ein größerer Helligkeitskatalog der 
Fixsterne von C. Pritchard*?), die „Uranometria Oxoniensis“ (1885), 
beobachtet worden ist. Bei diesem Instrument wird mit Hilfe einer 
Abschwächungsvorrichtung, in der Regel einem in den Strahlengang 
des Fernrohres eingesetzten Keil, der Stern zum Verschwinden ge- 
bracht und die entsprechende Keilstellung abgelesen. Die Methode ist 
großen systematischen Fehlern unterworfen, deren Bestimmung be- 
sondere Untersuchungen erfordert. 

Bei dem Studium der Veränderlichkeit der Lichtstärke der Sterne 
ist am meisten das Zöllnersche Photometer, öfters mit einer Keilvor- 
richtung an Stelle des Polarisationsapparates versehen, benutzt worden. 

Für die visuelle Photometrie von Flächenhelligkeiten sind schon 
von Zöllner selbst und dann von Ceraski einfache Abänderungen des 
Zöllnerschen Photometers vorgeschlagen worden. Ein von E. Schoen- 
berg‘°) konstruiertes Flächenphotometer dieser Art muß hier erwähnt 
werden, weil mit ihm ausgedehnte Messungen der Flächenhelligkeit 
auf der Oberfläche des Mondes und der großen Planeten ausgeführt 
worden sind, die auf Grund neuer Beleuchtungstheorien zu weitgehen- 
den Schlüssen über die Beschaffenheit der Oberfläche des Mondes, der 
Atmosphären einiger der großen Planeten und des Saturnringes ge- 
führt haben. 

Die erste Anwendung der Photographie zur Bestimmung der Hellig- 
keit der Gestirne fällt in die 80er Jahre des vorigen Jahrhunderts. 
Wenn auch schon @. P. Bond“) in den 50er Jahren an der Stern- 
warte des Harvard College die ersten photographisch-photometrischen 
Versuche mit Hilfe von Kollodiumplatten ausgeführt hat und auch 
eine Methode der Bestimmung von Sternhelligkeiten aus ihren Durch- 
messern auf der Platte entwickelte und Warren de la Rue®?) schon im 


41) Revised Harvard Photometry. Harvard Ann. 50 (1908) und Harvard 
Ann. 54 (1908). 

42) Uranometria nova Oxoniensis. Oxford 1885. 

43) Publik. der Sternwarte Dorpat 24 (1917), p. 3. 

44) Monthly Not. 18 (1857/58), p. 54. 

45) Astr. Nachr. 49 (1858), p. 81. 


2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. 841 


Jahre 1858 Helligkeitsvergleichungen des Mondes mit Jupiter und 
Saturn aus ihren Bildern auf Kollodiumplatten veröffentlichte, so ist 
doch erst durch das große Unternehmen der photographischen Himmels- 
karte die Anwendung der Photographie allgemein geworden. Es galt 
jetzt das reichhaltige Material, das die Platten der Himmelskarte 
lieferten, auch zur Bestimmung der Helligkeiten der Sterne zu ver- 
werten. Dazu wurden zahlreiche Untersuchungen über die Beziehung 
zwischen dem photographischen Bilde und der Helligkeit des Sterns 
ausgeführt.) Gleichzeitig (1882) hatte E. ©. Pickering*‘) in Harvard 
die Arbeiten seines Vorgängers Bond mit den wesentlich bequemeren 
Trockenplatten wieder aufgenommen und bald erkannt, daß die Mes- 
sung der Schwärzung der Sternbildchen auf der Platte derjenigen der 
Bilddurchmesser vorzuziehen sei. Pickering gebührt auch das Verdienst, 
die Notwendigkeit einer rein photographischen Helligkeitsskala ein- 
gesehen und durch eine Reihe photographisch-photometrischer Kataloge 
von Fixsternen eine solche praktisch eingeführt zu haben. 

Die Arbeiten von Pickering und seinen Schülern in Harvard auf 
dem Gebiete der photographischen Photometrie sind außerordentlich 
fruchtbar gewesen und werden uns im Laufe dieser Untersuchung 
noch öfters beschäftigen. Von ähnlicher Bedeutung für die Entwick- 
lung der photographischen Photometrie waren auch die Arbeiten 
von K. Schwarzschild.**) Auch Schwarzschild benutzte die Schwär- 
zungen der Platte als Maß der Helligkeiten; da aber die Stern- 
scheibehen im Brennpunkt zu klein und ungleichförmig geschwärzt 
herauskommen, führte er die Beobachtung außerfokaler Sternbilder 
ein. Um auch die fokalen Sternbilder genau vermeßbar zu machen, 
konstruierte er die sog. Schraffierkassette®®), bei der durch eine zwei- 
dimensionale Bewegung der Kassette gleichmäßig geschwärzte Quadrate 
für die Sternbilder entstehen. Das zweite Verfahren hatte den Vor- 
zug, daß die optischen Fehler des Objektives dabei unschädlich ge- 
macht wurden. Mit diesem Instrument hat Schwarzschild®®) einen 


46) S. Fußnote 81, p. 855. 

47) An Investigation in Stellar Photography. Mem. Amer. Acad. II (1886), 
p. 179. 

48) Publik. der Kuffnerschen Sternwarte 5 (1900). 

49) Meyermann u. Schwarzschild, Über eine Schraffierkassette zur Aktino- 
metrie der Sterne. A. N. 170 (1906), p. 277. — Über eine neue Schraffierkassette. 
A. N. 174 (1907), p. 137. 

50) Aktinometrie der Sterne der B.D. in der Zone 0° bis + 20° Deklina- 
tion. Teil A: Astr. Mitteil. d. Kgl. Sternwarte zu Göttingen, 14 Teile. Göttingen 
1910, Teil B: Abh. d. Kgl. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math. Phys. Kl. 
Neue Folge 8, Nr. 4. Berlin 1912. 


842 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


photographisch-photometrischen Sternkatalog der Zone 0° bis 20° 
Deklination von sehr hoher Genauigkeit geschaffen, der die Grund- 
lage vieler stellarstatistischer und anderer Untersuchungen wurde, die 
sog. Göttinger Aktinometrie. Der Katalog ist auf einer rein photo- 
graphischen Helligkeitsskala aufgebaut, die Schwarzschild einem Vor- 
schlage von Kapteyn zu verdanken hat. Außer diesem seinem photo- 
metrischen Hauptwerk hat Schwarzschild noch eine Reihe teils theo- 
retischer, teils praktischer Untersuchungen durchgeführt oder an- 
geregt, welche fast alle Zweige der photographischen Photometrie be- 
treffen und wesentlich zur Erweiterung unserer theoretischen Kennt- 
nisse beigetragen haben. Kurz nach der „Göttinger Aktinometrie“ 
erschien die „Yerkes Actinometry“ von J. A. Parkhurst?'), welche die 
photographischen und die photovisuellen Helligkeiten der Sterne bis 
zur Größe 7,5 der nördlichen Polzone enthält. Ihr liegt eine mit 
Hilfe eines Röhrenphotometers hergestellte absolute Helligkeitsskala 
zugrunde. In neuerer Zeit ist von E. ©. Pickering und seiner Mit- 
arbeiterin Miss Leavitt??) ein äußerst genauer Katalog photographischer 
und photovisueller Helligkeiten, „die internationale Polsequenz“ ge- 
schaffen worden; dieser kleine Katalog der um den Nordpol herum 
gelegenen Sterne bis zu den schwächsten ist dazu abgesehen, eine für 
alle photographischen Helligkeitsuntersuchungen gültige Skala abzu- 
geben; durch eine Aufnahme des Poles auf dieselbe Platte, die die 
zu photometrierenden Sterne enthält, ergibt sich die Möglichkeit der 
Bestimmung der unbekannten Sternhelligkeiten, wobei verschiedene 
Fehlerquellen der photographischen Methode eliminiert werden. Die 
von F. H. Seares°?) (Mt. Wilson) neubearbeitete definitive Form der 
Polsequenz ist heute allgemein im Gebrauch. 

Außer diesen Helligkeitskatalogen sind in den letzten Jahrzehnten 
sehr viele photographisch-photometrische Spezialuntersuchungen, ins- 
besondere über veränderliche Sterne gemacht worden, wobei die Me- 
thoden der Auswertung der Platten sehr verschieden waren. Von 
besonderem Interesse ist die von E. Hertzsprung’*) ausgearbeitete 
Methode afokaler Aufnahmen durch ein Stabgitter vor dem Objektiv. 
Ein solches Gitter gibt neben dem zentralen Sternscheibchen zu beiden 

51) Astroph. Journ. 36 (1912), p. 169. 

52) The North Polar Sequence. Harvard Ann. 71, Nr. 3 (1917), p. 47. 

53) Mt. Wilson Contributions 70, 80, 81, 97, 98, 234, 235, 287, 288, 289, 305 
bzw. Ap. J. 38 (1913), p. 241; 39 (1914), p. 307; 41 (1915), p. 206, 259; 56 (1922), 
p. 84, 97; 61 (1925), p. 114, 284, 303; 63 (1926), p. 160. 

54) A. N. 186 (1910), p. 177. Chapman a. Melotte, On the Application of 


Parallel Wire Diffraction Gratings to Photographie Photometry. M. N. 74 (1913), 
p. 50. 


2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. 843 


Seiten die Beugungsbilder, deren Helligkeitsverhältnis zum Zentral- 
bilde aus der Dichte des Gitters streng berechenbar ist. Damit ist also 
eine Schwärzungsskala auf der Platte gegeben, die für die Unter- 
suchung kleiner Lichtschwankungen äußerst bequem ist. 

Für die Ausmessung der Schwärzungen photographischer Platten 
hat ein von J. Hartmann??) konstruiertes Instrument, das sog. Mikro- 
photometer, eine sehr große Bedeutung gewonnen. Dasselbe gestattet 
in seiner ursprünglichen Form, die Schwärzungen beliebig kleiner 
Teile der Platte (afokaler Sternbilder, fokaler Planetenbilder usw.) 
mit großer Genauigkeit visuell zu vergleichen; in seiner neueren Form 
ist das Instrument mit einer Thermosäule oder einer lichtelektrischen 
Zelle verbunden und mißt dann die Durchsichtigkeit der Platte auto- 
matisch unter Ausschaltung der subjektiven Fehler des Beobachters. 

Für das genaue Studium der Lichtkurven veränderlicher Sterne 
hat das von J. Stebbins°®) im Jahre 1910 in die astronomische Praxis 
eingeführte Selenphotometer und das von H. Rosenberg”) und P. Guth- 
nick®®) für astronomische Zwecke durchgearbeitete lichtelektrische Photo- 
meter eine große Bedeutung gewonnen. Diese Instrumente besitzen 
gegenüber den anderen Photometern eine etwa zehnfach größere Ge- 
nauigkeit und sind von den persönlichen Fehlern des visuellen Photo- 
meters einerseits und den großen zufälligen und systematischen Emp- 
findlichkeitssechwankungen photographischer Platten andererseits frei. 
Besonders fruchtbar sind die Arbeiten von P. Guthnick am lichtelek- 
trischen Photometer der Sternwarte Berlin-Babelsberg gewesen; sie 
führten zur Entdeckung einer Reihe neuer schwach veränderlicher 
Sterne, deren Lichtkurven so genau festgelegt werden konnten, wie 
das mit keinem anderen Instrument möglich gewesen wäre. Auch zur 
Messung der spezifischen Farbe der Sterne, der sog. Farbenindizes, 
hat das Babelsberger Instrument sich als hervorragend brauchbar er- 
wiesen.) Für statistische Arbeiten und die dokumentarische Fest- 
legung der Helligkeiten größerer Gebiete des Himmels ist aber die 
photographische Platte, die das aufgenommene Himmelsbild beliebig 
lange aufzubewahren gestattet, das wichtigste und unersetzliche Mittel 
der astronomischen Photometrie geblieben. Sie hat auch den Vorzug, 

55) Apparat und Methode zur photogr. Messung von Flächenhelligkeiten. 
Ztschr. f. Instrum. 19 (1899), p. 97. 

56) Ap. J. 32 (1910), p. 187. 

57) Vjschr. 48 (1913), p. 210; Handb. d. Astrophys. Bd. II, p. 418. 

58) A. N. 196 (1913), p. 357; Veröffentlich. d. Sternwarte Babelsberg 1 
(1915), p. 1. 


59) Veröffentl. d. Universitäts-Sternwarte Berlin-Babelsberg 3 (1923), H. 4. 
Bottlinger, Lichtelektrische Farbenindizes von 459 Sternen. 


844 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


die schwächsten Sterne zu erfassen, was den visuellen Photometern, 
und in noch höherem Maße den elektrischen versagt ist. Praktisch 
reicht bisher nur die photographische Photometrie über die 8. Größen- 
klasse der Sterne hinaus. 

Noch begrenzter in ihrer Anwendung ist die Radiometrie oder 
die Messung der Gesamtstrahlung der Himmelskörper mit Hilfe von 
Pyrheliometern, Bolometern und Radiometern. Mit ihrer Hilfe sind 
wichtige Ergebnisse über die Strahlung der Sonne und der Planeten 
erzielt worden, in ihrer Anwendung auf Fixsterne versagen diese In- 
strumente auch in Verbindung mit den Riesenteleskopen Amerikas 
schon bei der 4. Größenklasse. 


I. Die Methoden der Astrophotometrie und ihre Grenzen. 


3. Allgemeine Definitionen. Strahlungsmenge, Strahlungsintensität, 
Bestrahlung. Der Gegenstand der Photometrie ist die Intensität der 
Strahlung, die immer durch die Strahlungsmenge bestimmt werden 
muß, welche auf einen flächenhaft ausgedehnten Empfänger fällt. 
Man definiert die Strahlungsintensität U einer punktförmigen Licht- 
quelle als die Strahlungsmenge G, die sich im räumlichen Winkel ® 
befindet, der den Empfänger umfaßt und seine Spitze in der Strah- 
lungsquelle hat, dividiert durch die Größe dieses Winkels. Ist f die 
Fläche des Empfängers, i der Einfallswinkel der Strahlen auf den- 
selben und r sein Abstand von der Lichtquelle, so ist der räumliche 
Winkel 


wo s die Fläche ist, die derselbe aus der Kugel mit dem Radius 1 
und dem Zentrum im leuchtenden Punkte herausschneidet. Es ist 
also die Strahlungsintensität des Punktes 





a) u-°—° 
und die Strahlungsmenge auf der Fläche s (im räumlichen Winkel ») 
(2) ie Ka ae 


7 
Wenn man die Strahlungsmenge auf die Einheit der Fläche bezieht, 


so wird die Bestrahlung B durch dieselbe Zahl gemessen wie die In- 
tensität der Strahlung 
G 


(8) nel, 


@ $ 


Bei der Bestimmung der Intensität von strahlenden Flächen kann 
man sich diese aus unendlich vielen Flächenelementen zusammen- 


3. Allgemeine Definitionen. 845 


gesetzt denken und jedes Element als strahlenden Punkt auffassen; 
es kommt hier aber ein neuer Winkel hinzu, nämlich der Winkel & 
der Normalen des Flächenelements 6 mit der Ausstrahlungsrichtung. 
Gilt das Lambertsche Emanationsgesetz für Selbstleuchter, so ist die 
von jedem Element austretende Strahlungsmenge J proportional dem 
Kosinus des Emanationswinkels 


(4) J=n6c0s8, 
wo der Proportionalitätsfaktor n das Strahlungsvermögen genannt wird. 


Für eine leuchtende Fläche oder einen leuchtenden Körper, der aus 
ebenen Elementen zusammengesetzt ist, folgt 


(4) J=nDscse=nS. 


Da aber $= Docoss der räumliche Winkel ist, unter dem der 
Körper aus dem Abstande Eins erscheint, so folgt, daß ein strahlen- 
der Körper (oder eine strahlende Fläche) auf einen Punkt im Ab- 
stande Eins die Strahlenmenge sendet, die gleich ist dem Produkt aus 
dem Strahlungsvermögen mit seiner scheinbaren Größe aus diesem Ab- 
stande Für einen Punkt im Abstande r muß die Strahlungsmenge 
im Verhältnis r? kleiner sein, da aber auch die scheinbare Größe im 
selben Verhältnis kleiner wird, so gilt der Satz für beliebige Abstände 
der strahlenden Fläche 
Ds cos & 


(4) ni ag 





= n8, 


wo & die Bezeichnung für den räumlichen Winkel im Abstande r ist. 
Fällt die Strahlung vom leuchtenden Elemente 6, dem der räum- 

liche Winkel » entspricht, auf die Fläche s im Abstande r unter dem 

Einfallswinkel ö, so ist nach (2) die auffallende Strahlungsmenge 


TR . _ n68cosecosd 
(5) G = n0s cosi = ——; — 
Die Gleichung (5) trägt den Namen des zusammengesetzten Lambert- 
schen Grundgesetzes der Photometrie. 

Die von einer leuchtenden Fläche 6 in den räumlichen Winkel 
2x ausgesandte Strahlungsmenge ergibt sich durch Integration über 


die Halbkugel zu 


a 


2 
(6) G — 2x0 [ sinecosede = xyo. 
0 
Die obigen Gleichungen gelten nur für monochromatische Strahlung 
‚mit einem bestimmten Strahlungsvermögen n,. Bei gemischter Strah- 
lung ist letzteres für jede Wellenlänge verschieden, und wir haben 


846 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


für das Strahlungsvermögen im Bereiche der Wellenlängen A, bis A, 
Ay 
1 Some < nAA, 


wo AA der Bereich ist, für den n, als konstant angesehen werden 
kann. Für das kontinuierliche Spektrum ist 


hy 
Na — f N,dh. 
dı 


Ebenso gilt für den gesamten Energiestrom bei zusammengesetzter 
Strahlung in den Grenzen A, und A, 


(7) 6scos =, ‚da. 





4. Die Definitionen der visuellen Photometrie. Ist der Empfänger 
der Strahlung das menschliche Auge, so verwandelt sie sich in Licht- 
empfindungen, und den Bestimmungsgrößen der Strahlungslehre ent- 
sprechen jetzt solche der visuellen Liehtmessung oder Photometrie. 

Die Strahlung erleidet schon beim Durchgang der der Netzhaut 
vorgelagerten Medien des Auges, der Hornhaut, der Kristallinse, der 
zwischen beiden liegenden wässerigen Flüssigkeit und des jenseits der 
Linse liegenden Glaskörpers eine Absorption, so daß die Netzhaut nur 
noch Strahlen von kleinerer Wellenlänge als 0,312 u erreichen; auch 
eine untere Grenze hat die bis zur Netzhaut durchdringende Strahlung; 
diese liegt bei 0,370 u. Die äußerste rote Strahlung wird von der 
Netzhaut nicht als Licht empfunden, so daß die normalen Grenzen 
der Sichtbarkeit zwischen dem äußersten Rot bei 0,760 u und dem 
äußersten Violett bei 0,370 u liegen. Über den Vorgang der Verwand- 
lung der die Netzhaut treffenden Strahlung in Farbenempfindungen 
sind wir nicht genau unterrichtet. Es ist aber bekannt, daß nur ein 
Bruchteil derselben in die physiologische Energie ® verwandelt wird, 
welche die Lichtempfindung verursacht. Indem wir die Absorption 
vor der Netzhaut mit derjenigen durch dieselbe zusammenfassen, be- 
zeichnen wir das Verhältnis der physiologischen Energie der Licht- 
empfindung ®, für die Wellenlänge A zu der äußeren Energie durch 
K,. Diese Zahl trägt den Namen des physiologischen Koeffizienten. 
Es ist also 
(8) ®,—= UT,K 
wenn U, die Intensität der äußeren Strahlung bedeutet. Der Faktor 
K, ist mit der Wellenlänge stark veränderlich. Die folgende Tabelle 1 
enthält die von der internationalen Beleuchtungskommission in Genf 


4. Die Definitionen der visuellen Photometrie. 847 


1924 angenommenen Standardwerte desselben. Diese Werte sind aus 
Beobachtungen von 250 Personen als Mittel abgeleitet und dürften 
von den individuellen Verschiedenheiten in hohem Grade befreit sein. 
Sie gelten natürlich nicht für teilweise oder total Farbenblinde, son- 
dern für das normale farbentüchtige Auge. 











Tabelle 1. 
Standardwerte der physiologischen Koeffizienten. 
Wellenlänge nu K, | Wellenlänge in u | K, | Wellenlänge inu) K, 
0,40 0,0004 0,58 0,862 0,65 0,107 
0,41 0,0012 0,54 0,954 0,66 0,061 
0,42 0,0040 0,55 0,995 0,67 0,032 
0,43 0,0116 0,56 0,995 0,68 0,017 
0,44 0,023 0,57 0,952 0,69 0,0082 
0,45 0,038 0,58 0,870 0,70 0,0041 
0,46 0,060 0,59 0,757 0,71 0,0021 
0,47 0,091 0,60 0,631 0,72 0,00105 
0,48 0,139 0,61 0,503 0,73 0,00052 
0,49 0,208 0,62 0,381 0,74 0,00025 
0,50 0,323 0,63 0,265 0,75 0,00012 
0,51 0,503 0,64 0,175 0,76 0,00006 
0,52 0,710 























Die Werte dieser Tabelle sind in einer willkürlichen Einheit aus- 
gedrückt, Die Absolutwerte sind natürlich niemals zu bestimmen. 
Folgende Gleichungen, die die Beziehungen der Begriffe der Strah- 
lungslehre zu denen der visuellen Photometrie ausdrücken, sind des- 
halb mit derselben Unbestimmtheit behaftet. 


G Energiestrom, Energiemenge. @K = @ Lichtstrom, Lichtmenge. 
U Strahlungsstärke, Strahlungs- 


intensität. . . . ... .. UK=J Lichtstärke, Lichtintensität. 
n Strahlungsvermögen. . . . nK= h Leuchtvermögen oder auch 
Flächenhelle einer Licht- 
quelle. 
B Bestrahlung . . . . . . BK=L Beleuchtung. 


Die Gleichungen (2), (3), (4) und (5) für die Grundgesetze der 
Strahlungslehre lassen sich mit den Bezeichnungen der visuellen Photo- 
metrie in der Form umschreiben: 





(2) Q-Jo 18! 

0 für den leuchtenden Punkt; 
28 
(4°) J = ho cose 

‚ hos cose cosi für die leuchtende Fläche. 
(5’) gen — 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 55 


848 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Empfindlichkeitsschwelle, Unterscheidungsschwelle, Purkinjesches Phä- 
nomen. Zeigt schon die vorige Tabelle die außerordentliche Verschieden- 
heit in der Empfindlichkeit des Auges für Strahlung verschiedener 
Wellenlänge, so könnte dasselbe trotzdem innerhalb der Grenzen dieser 
Tafel als vorzügliches Meßinstrument gelten, wenn die individuellen 
Unterschiede einzelner Beobachter gegen die angeführten Mittelwerte 
sicher bekannt wären und auch konstant blieben. Das ist nun aber 
in der Regel nicht der Fall. Sowohl die Empfindlichkeitsschwelle der 
einzelnen Beobachter für Helligkeitsänderungen ist individuell und 
zeitlich recht verschieden als auch die Unterscheidungsschwelle der ein- 
zelnen Farben. Man rechnet durchschnittlich, daß das Auge 1°), der 
Helligkeit bei gemischtem Licht unterscheiden kann, doch sind die 
Werte, die Bouguer‘®), Arago®'), Fechner‘®) und Masson®®) für die 
Empfindlichkeitsschwelle angeben, recht verschieden und schwanken 
zwischen 1:64 und 1: 130. Bei farbigem Lichte liegt nach Lamansky 
die Empfindlichkeitsschwelle für Grün und Gelb bei 1:286, für Blau 
bei 1:212, für Violett bei 1:109, für Orange und Rot bei 1: 178. 
Dobrowolsky gibt für die einzelnen Farben nicht unwesentlich von den 
obigen abweichende Zahlen, und König und Brodhun finden als Emp- 
findlichkeitsschwellen für die einzelnen Farben viel größere und viel 
weniger verschiedene Werte: 1:40 bis 1:51. 

Die Unterscheidungsschwelle ist für ein normales farbentüchtiges 
Auge nach Uthoff®) im äußersten Rot 4,7 uu, nimmt im Orange 
schnell ab und erreicht im Gelb ein Minimum von 0,9 uu, steigt dann 
im Grün wieder an bis 1,9 uu, um im Blaugrün ein zweites Minimum 
mit 0,7 uu zu erreichen und dann nach dem Indigo zu wieder an- 
zusteigen bis 2,2 uu. 

Alle diese Zahlen sind für die günstigsten Beobachtungsbedin- 
gungen gefunden worden und gelten nicht mehr, sobald die Hellig- 
keit gewisse Grenzen nach oben oder nach unten überschreitet. Zu 
große Helligkeit blendet das Auge, bei einer zu kleinen Helligkeit 
verliert dasselbe allmählich das Unterscheidungsvermögen der Farben, 
wobei noch besondere Erscheinungen auftreten, die mit der Beschaffen- 
heit der Netzhaut des menschlichen Auges zusammenhängen. Diese ist 
in ihren physiologischen Eigenschaften nicht gleichartig. Das Gebiet 
des schärfsten Sehens ist die Fovea, die wesentlich aus Zäpfchen 


60) Traite d’optique ete., p. 25. Paris 1760. 

61) Sämtliche Werke. Deutsche Ausgabe von Hankel 10, p. 210. 

62) Abh. d. Kgl. Sächs. Ges. d. Wiss. 4 (1859), p. 455. 

63) Ann. de chim. et de phys. Serie 3, tome 14 (1845), p. 150. 

64) R. Tigerstedt, Lehrbuch der Physiologie des Menschen 2, p. 273. 


4. Die Definitionen der visuellen Photometrie. 849 


besteht. Mit der Fovea sehen wir normalerweise bei hell adaptiertem 
Auge und bei (unbewußtem) Fixieren eines Gegenstandes. Der übrige 
Teil der Netzhaut besteht wesentlich aus Stäbchen, und diese benutzen 
wir bei dunkel adaptiertem Auge, wenn die Helligkeit unter der Unter- 
scheidungsschwelle der Fovea liegt. Das Auge bildet bei Dunkeladap- 
tation unbewußt extrafoveal ab und benutzt dann vorwiegend die Stäb- 
chen. Diese haben aber eine andere Empfindlichkeitskurve als die 
Fovea. 

Die Fig. 1 zeigt neben der unserer Tabelle der physiologischen 
Koeffizienten entsprechenden Empfindlichkeitskurve des Zäpfchensehens 
links den Verlauf derselben Koeffi- 7o 
zienten bei extrafovealem Stäbchen- 
sehen nach .Bender.°°) Ihr Maximum 
liegt bei 520 wu, somit ist das Auge 08 
bei Dunkeladaptation empfindlicher 04 
für blau.als bei Helladaptation. Diese 
in neuerer Zeit geklärten Erschei- 
nungen haben für die visuelle Photo- 400 440 480 520 560 600 640 680 720 u u 
metrie, die öfters unterschwellige Fig. 1. 

Helligkeiten der Messung unterwirft, (rechts kannste, Tkıka Betr kaniR 
eine große Bedeutung. Das seit dem (Nach Handb. d. Astroph. II, p. 540.) 

Beginn der Photometrie bekannte Purkinjesche Phänomen) findet in 
ihnen seine einfache Erklärung. Das Auge besitzt bei einiger Übung die 
Fähigkeit, auch verschiedenfarbige Felder nach Helligkeitsgraden zu 
unterscheiden, indem es z. B. gleiche Helligkeit eines blauen und eines 
roten Feldes feststellen kann. Schwächt man nun beide Felder im 
gleichen Verhältnis fortschreitend ab, so erscheinen die Objekte zu- 
nächst gleich hell. Dann aber, sobald eine gewisse Strahlungsstärke 
unterschritten ist, nimmt die Helligkeit des blauen Feldes langsamer 
ab als die des roten, so daß bei weiterer Schwächung das blaue Feld 
heller erscheint; doch wird nach Überschreitung eines Maximums der 
Unterschied wieder geringer. Die Erklärung liegt darin, daß das Auge, 
um an Sehschärfe zu gewinnen, die Objekte an mehr und mehr zur 
Peripherie der Netzhaut hinrückenden Stellen abbildet. Damit nimmt 
die Zahl der erregten Stäbchen gegenüber der Zahl der Zäpfchen 
ständig zu, und da gleichzeitig die Stäbchen dunkel adaptieren, wäh- 
rend die Zäpfchen das nicht tun, so wird die Empfindung in zuneh- 
mendem Maße durch die Stäbchen bestimmt. Sind schließlich nur 


08 


02 





65) Untersuchungen am Lummer- Pringsheimschen Spektralflickerphotometer. 
Inaug.-Diss. Breslau 1913. 
66) Purkinje, Zur Physiologie der Sinne 2, p. 109. 
55* 


850 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


noch Stäbchen wirksam, so beginnt der Helliskeitsunterschied infolge 
der abnehmenden Unterscheidungsempfindlichkeit des Auges wieder 
kleiner zu werden. 

Neuerdings wird übrigens die Konstanz der spektralen Empfind- 
lichkeit der Fovea oberhalb der Unterschiedsschwelle für punktförmige 
Objekte bestritten, und zwar mit besonderem Nachdruck von Ch. Gal- 
lissot®”) und A. Danjon.®) Dies Gallissotsche Phänomen verläuft im 
entgegengesetzten Sinne wie das Purkinjesche. Ein blauer und ein 
roter Stern sollen bei fovealem Sehen bei anfänglich geringer Licht- 
stärke, wenn man diese in gleichem Verhältnis verstärkt, nicht mehr 
gleich hell erscheinen, sondern der blaue in zunehmendem Maße heller 
erscheinen als der rote. 

Der Übergang vom fovealen Zäpfchen- zum extrafovealen Stäb- 
chensehen vollzieht sich bei abnehmender Lichtstärke nicht gleich- 
zeitig für alle Beobachter. Er kann zu einer bedeutenden Fehlerquelle 
werden, besonders bei Beobachtung von veränderlichen Sternen mit 
großer Amplitude, wie die roten Mirasterne. Die Helligkeitskurven 
verschiedener Beobachter weichen in der Nähe des Minimums der 
Helligkeit stark voneinander ab, weil sie zu verschiedener Zeit und 
auch manchmal in verschiedenem Tempo vom Zäpfchen- zum Stäb- 
chensehen übergehen, und sind beide gegenüber dem wirklichen Ver- 
laufe der Helligkeit verfälscht. Eine Untersuchung dieser Fehler ist 
von M.@. J. Minnaert und J.van der Bilt [M. N. 92 (1932), p. 422] 
ausgeführt worden. 

5. Das Prinzip des astronomischen Photometers. Das Auge kann 
somit zu Präzisionsmessungen der Helligkeit nur angewandt werden, 
wenn ihm allein die Beurteilung gleicher Helligkeit überlassen bleibt; 
dabei müssen die zu vergleichenden Objekte von gleicher Farbe sein 
und sich dicht nebeneinander und gleichzeitig auf der Netzhaut ab- 
bilden. Die Herstellung gleicher Helligkeit muß von dem optischen 
Apparat, dem Photometer, besorgt werden. Von diesen ist eine sehr 
große Zahl konstruiert und eine wesentlich geringere zu umfang- 
reichen Messungen am Himmel verwendet worden. Die Genauigkeit 
dieser visuellen Photometer kann im allgemeinen 1°/, der Helligkeit 
nicht übersteigen.) Sie ist beim Vergleich flächenhafter Objekte 


67) La photometrie du point lumineux appliquee aux determinations des 
Eclats stellaires (Theses presentees & la Facult6 des sciences de Lyon 1921). 

68) Ann. de l’Observ. de Strasbourg 2 (1928), p. 12. 

69) Bei besonderen Vorrichtungen ist es in einem Falle gelungen, die Ge- 
nauigkeit bei einem Punktphotometer darüber hinaus zu steigern. Siehe A. Dan- 
jon, Ann. de l’Obs. de Strasbourg 2 (1928), p. 82. 


6. Die Grenze der Sichtbarkeit. 851 


etwas größer als bei Punktphotometern. Wenn die Messungen von 
Verfälschungen durch das Purkinje-Phänomen frei sein sollen, muB 
für gleiche Färbung der zu vergleichenden Objekte aufs genaueste 
Sorge getragen werden. 

6. Die Grenze der Sichtbarkeit. Neue Untersuchungen über die 
physiologischen Eigenschaften des Auges bei schwächsten Lichtein- 
drücken haben nicht nur über die Grenze der Sichtbarkeit schwäch- 
ster Lichteindrücke zahlenmäßige Daten geliefert, sondern dadurch 
auch den Bau von solchen Photometern ermöglicht, die in ihrer Licht- 
stärke über die alten Typen weit hinaus gehen. 

Die Abbildung der Himmelsobjekte durch ein Fernrohr auf der 
Netzhaut kann auch bei Sternen flächenhaft sein, wenn diese extra- 
fokal betrachtet werden, und zwar hat man es in der Hand, die 
Fläche der Abbildung auf der Netzhaut beliebig zu vergrößern. Für 
die Wahrnehmung schwächster Sterne und Nebelflecke ist eine genaue 
Kenntnis der Empfindungsschwelle bei fovealem und extrafovealem 
Sehen von größter Bedeutung. Das extrafoveale Sehen tritt erst bei 
Dunkeladaptation und schwächsten Objekten in Tätigkeit und reicht 
dann bis zu wesentlich geringeren Helligkeiten als das foveale. Als 
Empfindungsschwelle für das extrafoveale Sehen hat man die Größen- 
ordnung 10-13 Lumen, was der Auffassung eines Sternes 7. Größe mit 
bloßem Auge entspricht, angesehen und auch noch geringere Werte 
bis zur Größe 8,5 angegeben; für das foveale Sehen bei normalen 
Bedingungen liegt diese Schwelle 4” höher. Für die Wahrnehmung 
der schwächsten Objekte kommt also nur das extrafoveale Sehen 
und das Gebiet der Übergänge aus dem einen in das andere in Be- 
tracht. Hier gelten nun folgende Regeln von Ricco und Piper, die 
neuerdings von Löhle”®) geprüft und bestätigt worden sind. Die Ricco- 
sche Regel lautet: 

Der Schwellenwert der Gesamtintensität bleibt konstant bei der 
Vergrößerung des Sehwinkels von 0,1’ bis zu 10’, also von nahezu 
punktförmiger Abbildung auf der Netzhaut bis zu flächenhafter der 
genannten Größe. 

Von 10’ bis 2° scheinbarer Ausdehnung haben wir den Über- 
gang zur Piperschen Regel, die von 2° bis mindestens 15° Sehwinkel 
gilt. Nach dieser Regel ist die Schwelle des Lichtstromes dem Seh- 
winkel proportional, d. h. wenn man eine Lichtmenge unter 2° Seh- 
winkel gerade noch wahrnehmen kann, so kann man unter 4° Seh- 
winkel eine doppelt so große Lichtmenge gerade noch wahrnehmen, 


70) Ztschr. f Phys. 54 (1929), p. 137. 


852 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


obgleich deren Flächenhelligkeit nur halb so groß ist. Für Objekte 
von 5° Durchmesser liegt die Schwelle bei 10-12 Lumen. 

Aus diesen Regeln hat J. Hopmann"!) gefolgert, daß für die Wahr- 
nehmung lichtschwacher, flächenhafter Objekte, bei günstiger Wahl 
der Vergrößerung, die ein genügend großes Netzhautbild (über 1°) 
sichert, die Wahrnehmungsgrenze bei einem visuellen Fernrohr wesent- 
lich tiefer liegen kann als diejenige eines photographischen mit gün- 
stigem Öffnungsverhältnis und langer Expositionsdauer. Dadurch er- 
klärt sich nach Hopmann der Mißerfolg der Versuche, die lichtschwa- 
chen Hagenschen Nebel trotz mehrstündiger Expositionen photogra- 
phisch festzuhalten. Dieser Vorzug visueller Wahrnehmbarkeit gegen- 
über der photographischen hört auf, sobald der Durchmesser der 
Nebel so klein ist, daß das Netzhautbild auch bei günstigster Ver- 
größerung unterhalb der Piperschen Grenze liegt. 

Bei dem Bau liehtstarker Photometer hat man in neuerer Zeit 
diese Gesichtspunkte beachtet. Bei der Wichtigkeit der Photometrie 
schwächerer Sterne, der Kometen und Nebelflecke sind solche Photo- 
meter von großer Bedeutung. Für die Photometrie des nächtlichen 
Himmels in seinen verschiedenen Teilen (Milchstraße, Zodiakallicht u. a.) 
einerseits und für diejenige schwacher Sterne andererseits hat sich ein 
Instrumententypus besonderer Art entwickelt, dessen Idee auf Helm- 
holtz und Maxwell”?) zurückgeht. Es ist das ein Fernrohr ohne Oku- 
lar, bei dem die Pupille des Beobachters in den Brennpunkt des Ob- 
jektivs gesetzt wird und das Auge so ein Bild des Objektivs im Lichte 
des Sternes oder Himmels sieht, wobei das Netzhautbild des extra- 
fokalen Sternbildes genügend groß ist, um die Höchstempfindlichkeit 
bei Dunkeladaptation des Auges zu garantieren. Es gilt dann für die 
Flächenhelligkeit des Bildes der Satz, daß dieselbe der Leuchtkraft 
des Objektes und dem Quadrate der Brennweite des Objektivs pro- 
portional ist, dagegen unabhängig von dessen Durchmesser. Somit 
können kleinere Objektive, die durch Vorsetzen einer Negativlinse 
vor den Brennpunkt auf große äquivalente Brennweite gebracht sind, 
in ihrer Wirksamkeit für geringe Lichtstärken sehr gesteigert wer- 
den.”?) “ 


7. Das Fechner-Webersche psychophysische Gesetz und die 
Größenklassen der Gestirne. Schon in den ältesten Sternverzeich- 


71) A. N. 5706 (1930), p. 288. 

72) Phil. Trans. 150 (1860), p. 57. 

73). @. Gehlhoff u. H. Schering, Ztschr. f. techn. Phys. 1 (1920), p. 247; Phys. 
Ztschr. 22 (1921), p. 71. 

74) J. Hopmann, Veröffentl. d. Sternwarte Leipzig, H. 3, 1932. 


7. Das Fechner-Webersche psychophys. Gesetz u. die Größenkl, der Gestirne. 853 


nissen, im Amalgest des Ptolemäus und dem Katalog von Al-Sufi '°), 
finden wir die Helligkeitsangaben der Sterne nach Stufen geordnet, wo- 
bei den hellsten die Stufe 1 zugeordnet wird, den schwächeren größere 
Zahlen. Diese Stufen sind nichts anderes als die Größenklassen der 
Gestirne, die wir auch heute benutzen. Mißt man das Helligkeits- 
verhältnis zweier Sterne der Stufen 1 und 2, 2 und 3 usw., so findet 
man ein und dieselbe Zahl, die für die einzelnen Beobachter etwas ver- 
schieden ausfällt. Es offenbart sich darin ein Grundgesetz der mensch- 
lichen Empfindungen, das erst im 18. Jahrhundert durch Fechner '®) 
und Weber seine strenge Formulierung gefunden hat. Die Empfindung 
wächst in arithmetischer Progression, während der Reiz in geometri- 
scher fortschreitet. Bezeichnet J die objektive Helligkeit, E die ge- 
schätzte Empfindungsgröße und entspricht dem Zuwachs d.J der ob- 
jektiven Helligkeit die Zunahme d.E der Empfindungsstärke, dann ist 
nach Fechner dE dem Verhältnis dJ: .J proportional 
(6) dE=c, - 
wo c, eine Konstante ist. Durch Integration erhält man 
E=almnJ+C=clgJ-+ (0. 
Für ein anderes Paar einander entsprechender Werte J, und E, hat 
man ebenso 


E,=elogJ+ CC, 
und daraus folgt 


(7) E—E,=—clgy- 
0) 


Zwei Sternpaare, deren Helligkeitsstufen um denselben Betrag E— E, 
verschieden sind, haben hiernach dasselbe Helligkeitsverhältnis J: J,. 
Das Fechnersche Gesetz hat nicht unbeschränkte Gültigkeit, und zwar 
werden die Abweichungen bei sehr geringen Lichtstärken infolge des 
Eigenlichtes des Auges recht bedeutend. Bezeichnet man letzteres 
durch J,, so müßte, da es jederzeit zu der objektiven Intensität hinzu- 
kommt, das Fechnersche Gesetz die Form haben 
da) 

dE =(C( Ih2, . 
Hieraus folgt, daß der Empfindungszuwachs geringer wird, als wenn 
J,—= 0 wäre, und daß die Abweichung um so größer wird, je kleiner 
J ist. Das Gesetz versagt natürlich auch bei zu großen Lichtstärken, 
die eine Blendung des Auges hervorrufen. 


75) Siehe Einleitung p. 838. 


76) Über ein psychophysisches Grundgesetz usw. Abh. d. Kgl. Sächs. Ges. 
d. Wiss, 4 (1859), p. 458. 


854 VIs, 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Nach der Gleichung (7) ist bei der Schätzung der Helligkeits- 
stufen der Sterne, den sog. Größenklassen derselben, für beliebige zwei 
aufeinanderfolgende Stufen n — 1 und n 

In 
Jn-ı 





(8) E,— BE, ,—clg7% —k; 


die rechte Seite der Gleichung ist also eine Konstante. Bezeichnet 


® 1 
man k:c durch eine neue Konstante log 5,590 hat man 


In-ı 
(9) a ER; P. 


In der Tat zeigen alle bisherigen Untersuchungen, daß das Hellig- 
keitsverhältnis sich innerhalb gewisser Grenzen als konstant erweist. 
Bei sechs Stufen der dem bloßen Auge sichtbaren Sterne ergibt sich 
für e der Wert o= 2,5, loge = 0,398. Aus Bequemlichkeitsrück- 
sichten hat man nach einem Vorschlage von Pogson?”) in den neueren 
Helligkeitskatalogen für logo angenommen 





(10) logo = 0,4, 
woraus folgt 

In-1 
(11) o = 2,512; Se 2,512. 


Damit sind die Größenklassen streng definiert, und Helligkeitskataloge, 
die auf Messungen der Helligkeitsverhältnisse beruhen und mit dem 
obigen Werte o reduziert sind, können sich nur durch den Anfangs- 
punkt der Zählung unterscheiden. Die strenge Gültigkeit der Gleichung 
(8) bei Schätzungen ist nach Hassenstein"®) auf etwa 3 Gr.kl. beschränkt. 
Die alten Sternverzeichnisse erstrecken sich auf alle mit bloßem Auge 
sichtbaren Sterne und sind deshalb auch individuell systematisch ver- 
fälscht. Nach Einführung des Fernrohres wurde diese Skala dann, 
ursprünglich auch durch Schätzungen, auf teleskopische Sterne aus- 
gedehnt. Die Sterngrößen nach der Pogsonschen Skala verwendet als 
erster E. ©. Pickering.”?) 

C. A. Steinheil®®) war der erste, der noch vor Fechner die log- 
arithmische Beziehung (8) empirisch feststellte. 


8. Die Methoden der photographischen Photometrie und die 
photographische Helligkeitsskala.. Wenn man von den in der Ein- 
leitung erwähnten Versuchen, die Photographie in den Dienst astrono- 


77) Radcliffe Observatory 15 (1856), p. 297; Monthly Not. 17 (1857), p. 13. 
78) Handb. d. Astroph. II, 2. Hälfte (1931), p. 551. 

79) Abh. d. Münch. Akad. II. Kl. 9 (1863), p. 421. 

80) Elemente der Helligkeitsmessungen am Sternhimmel, p.80. München 1836. 


8. Die Methoden der photogr. Photometrie und die photogr. Helligkeitsskala. 855 


mischer Helligkeitsmessungen zu stellen, absieht, so beginnt die Ent- 
wicklung der photographischen Photometrie mit dem Jahre 1887, als 
das große Unternehmen der photographischen Himmelskarte seinen 
Anfang nahm. Es entstand damals die Notwendigkeit, neben einem 
Katalog der Sternpositionen einen solchen ihrer photographischen 
Helligkeiten zu schaffen. Daß diese von den visuellen Helligkeiten 
ganz wesentlich abweichen, war bei den ersten Sternaufnahmen er- 
kannt, und es galt nun ein System photographischer Helligkeiten zu 
schaffen, wozu die verschiedensten Vorschläge gemacht wurden. Man 
gedachte zunächst die Durchmesser der Sternscheibchen auf der photo- 
graphischen Platte als Maß der Sternhelligkeit zu verwenden und hat 
eine Reihe empirischer Formeln für diesen Zweck vorgeschlagen und 
diskutiert, die den Zusammenhang zwischen gemessenem Durchmesser 
D, der Sterngröße m und der Expositionszeit £ festlegen sollten. Einige 
dieser Formeln, die heute nur ein historisches Interesse haben, seien 
hier neben der einschlägigen Literatur nach @. Eberhards Zusammen- 
stellung in seinem Beitrage „Photographische Photometrie“ im Hand- 
buch der Astrophysik, Bd. II, p. 432 in der Fußnote®!) angeführt. Bei 
diesen Arbeiten versuchte man eine Beziehung der visuell beobachteten 
Helligkeiten zu den Sternbilddurchmessern zu finden, was natürlich 
keine selbständige photographische Helligkeitsskala ergeben konnte. 
Eine solche wurde erst durch die Arbeiten von E. ©. Pickering der 
Harvard-Sternwarte geschaffen. Pickering erkannte als erster, daß die 
Schwärzung der Sternbildchen auf der Platte ein wesentlich sichereres 
Maß ihrer Helligkeit ist als der Durchmesser des Sternscheibchens, 
der wohl mit der Helligkeit des Sternes zunimmt, aber in einer in 
Abhängigkeit von der Farbe, der Helligkeit des Sterns und den Eigen- 
schaften der Optik und der Platte sehr unübersichtlichen Weise. 


81) Charlie: m=a—blogD, D=D,Yt, D,—=const. Publ. A. €. 
Nr. 19 (1889); 
Christie: m=a-+ 2,5log(t—bYD) M.N. 52 (1891), p. 146; 


a ? 
Kapteyn: m= ED’ Cape Photographie Durch- 


4 musterung; 
Pritchard: m—= a — b is() ;@=3,8 Reunion du comit6 intern. per- 
;* manent, p. 80 (1891); 
Scheine: m=a-+tbD, D=D,Vt R&union etc., p. 80 (1891); 
Turner: m=a—byD M. N. 65 (1905), p. 774. 
m ist die Sterngröße, D der Durchmesser des Sternscheibchens, t die Exposi- 
tionszeit. Die übrigen Buchstaben sind numerische Konstanten. Man sieht aus 


dieser Zusammenstellung, daß von einem eindeutigen Gesetz nicht gesprochen 
werden kann. 


856 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Zur Festlegung einer rein photographischen Helligkeitsskala hat 
Pickering ®?)®°) verschiedene Versuche gemacht, die nach heutigen Auf- 
fassungen ihr Ziel nicht ganz erreichen konnten, trotzdem aber für 
die Klärung des Problems von größter Bedeutung wurden. Anfangs 
versuchte er die Skala auf der Expositionszeit aufzubauen, indem er 
die Belichtungszeiten so abstufte, daß die auf die Platte aufgefallenen 
Energiemengen um eine Gr.kl. wuchsen; da aber der Messung nicht 
die Energiemengen, sondern die Schwärzungen des Sternbildes unter- 
worfen wurden, so war eine Beziehung dieser Größen zueinander erst 
zu ermitteln, was aber nicht geschah. In einem späteren Verfahren 
benutzte Pickering kreisrunde Blenden vor dem Objektiv mit so ab- 
gestuften Durchmessern, daß nach rein geometrischer Rechnung die 
einfallenden Energiemengen um 1,2 Gr.kl. voneinander verschieden 
sein mußten. Wenn er mit solchen Blenden dieselben Sterne bei 
gleichbleibender Exposition photographierte, so sollte sich aus den 
gemessenen Schwärzungen eine Beziehung zwischen Schwärzung und 
Intensität ergeben. Der Mangel dieses Verfahrens war die Annahme, 
daß die Energiemengen den Flächen des unverdeckten Objektives 
streng proportional sein müßten. Es ist das tatsächlich nicht der 
Fall. Von den sehr zahlreichen Arbeiten von E. ©. Pickering und 
seinen Mitarbeitern in Harvard sind in erster Linie drei größere rein 
photographisch-photometrische Kataloge zu nennen, die die Hellig- 
keiten der Sterne der Polzone, einer Äquatorzone und der Plejaden®®) 
enthalten. Die Genauigkeit dieser Kataloge ist verschieden. Die gleich 
zu besprechenden theoretischen Arbeiten von K. Schwarzschild haben 
ihre Vervollkommnung wesentlich beeinflußt. Von ganz besonderer 
Bedeutung ist das unter dem Namen der „Internationalen Polsequenz“ 
bekannte Verzeichnis, welches die photographischen und auch die photo- 
visuellen Helligkeiten einer größeren Zahl um den Nordpol herum ge- 
legener Sterne bis zu den schwächsten angibt. Die Genauigkeit dieser 
Helligkeiten ist so groß, wie sie überhaupt zur Zeit erreicht werden 
kann. Dieser kleine Katalog photographischer Helligkeiten, der von 
Pickering begonnen und durch die Arbeiten von Miß Leawitt®*) in 
Harvard und von F‘ H. Seares®) in Mt. Wilson auf seine heutige Ge- 
nauigkeit gebracht worden ist, dient als Grundlage aller neueren photo- 
graphischen Helligkeitsbestimmungen. 


82) An Investigation in Stellar Photography. Mem. Amer. Acad. 11 (1886), 
p. 179. 


83) Harvard Ann. 18, Part VII (1890), p. 119, 
84) The North Polar Sequence. Harvard Ann. 71, Nr. 3 (1917), p. 47. 
85) Mt. Wilson Contrib. 70, 80, 81, 97, 98, 234, 235, 287, 288, 289, 305. 


8. Die Methoden der photogr. Photometrie und die photogr. Helligkeitsskala. 857 


Parallel mit den Arbeiten der Harvard-Sternwarte und von ähn- 
licher Bedeutung für die Entwicklung der photographischen Photo- 
metrie gehen die Untersuchungen von K. Schwarzschild?®) in Göttingen. 
Auch Schwarzschild benutzt die Schwärzungen der Platte als Maß der 
Helligkeit, aber nicht die Schwärzungen des fokalen, kleinen Stern- 
scheibehens, deren Messung schon aus physiologischen Gründen sehr 
unsicher ist, sondern die Schwärzung der afokalen etwas vergrößerten 
Sternbilder. Dieses Verfahren gewährt den Vorteil, lokale Fehler der 
photographischen Schicht und auch die durch das Objektiv verur- 
sachten Ungleichmäßigkeiten der Schwärzung des Sternbildchens leicht 
erkennen und vermeiden zu lassen. Bei der Benutzung des Hartmann- 
schen Mikrophotometers zur Ausmessung der Schwärzungen wird ein 
hoher Grad der Genauigkeit erreicht. Die Notwendigkeit, afokale 
Bilder aufzunehmen, bringt den Nachteil mit sich, nur die helleren 
Sterne auf diesem Wege zu erfassen oder die Expositionszeiten sehr 
stark zu vergrößern. Schwarzschild®‘) hat deshalb auch noch eine 
andere Methode zum Hervorbringen gleichmäßiger Schwärzungen aus- 
gearbeitet, bei der im Brennpunkt selbst oder sehr nahe zu demselben 
mit Hilfe einer Schraffierkassette photographiert wird. Diese Methode 
bringt gleichmäßig geschwärzte Quadrate als Spuren des Sternbildes auf 
der Platte hervor; dazu wird dieser mit der Kassette während der Auf- 
nahme eine zweidimensionale Bewegung erteilt. Mit Hilfe der Schraffier- 
kassette hat Schwarzschild die „Göttinger Aktinometrie“, einen großen 
Sternkatalog photographischer Helligkeiten von sehr hoher Genauig- 
keit in der Zone von 0° bis + 20° Deklination geschaffen; ihm liegt 
eine rein photographische Helligkeitsskala zugrunde. Diese wurde mit 
Hilfe eines Objektivgitters erhalten, dessen Schwächung auf experi- 
mentellem Wege genau feststellbar war. Durch Aufnahmen derselben 
Sterne mit und ohne Gitter vor dem Objektiv erhielt man für alle 
Sterne der Platte eine gleichartige Helligkeitsskala. Die Idee dieser 
Methode geht auf Kapteyn zurück.) Schwarzschild benutzte diese 
Skala zur Ermittlung des Schwärzungsgesetzes, das dann zur Ver- 
wandlung der von der Schraffierkassette gelieferten Schwärzungen der 
Sternbilder in Helligkeiten verwendet wurde. 

Kurz nach der Göttinger Aktinometrie erschien die „Yerkes Acti- 
nometry“®®) von J. A. Parkhurst, welche die photographischen und 


86) Publik. d. von Kuffnerschen Sternwarte 5 (1900). 

87) Meyermann u. Schwarzschild, Über eine Schraffierkassette zur Aktino- 
netrie der Sterne. A. N. 170 (1906), p. 277. Über eine neue Schraffierkassette. 
A. N. 174 (1907), p. 137. 

88) Reunion du comite intern. permanent, p. 54 (1891). 

89) Yerkes Actinometry, Zone + 73t0 + 90°. Astroph.Journ.36 (1912), p.169. 


858 VI3,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne 


photovisuellen Helligkeiten der Sterne bis zur Größe 7,5 der nörd- 
lichen Polzone enthält. Die Helligkeitsskala ist auch hier eine rein 
photographische; sie wurde mit Hilfe eines Röhrenphotometers er- 
halten. Dieses Instrument ist auf dem Prinzip aufgebaut, daß die durch 
kleine Öffnungen in einer Metallplatte hindurchgehenden Mengen dif- 
fusen Lichtes der Größe der Öffnungen proportional sind; es liefert 
auch einwandfreie Ergebnisse. 

Eine andere Methode der Verwendung von Objektivgittern zur Her- 
stellung photographischer Helligkeitsskalen, die von E. Hertzsprung °°) 
ausgearbeitet ist, muß hier auch erwähnt werden, weil mit ihrer Hilfe 
mehrere wichtige photographisch-photometrische Untersuchungen aus- 
geführt sind. Es wird ein Stabgitter vor das ganze Objektiv gesetzt, 
wodurch außer dem Zentralbilde, zu beiden Seiten desselben, Beugungs- 
bilder der Sterne entstehen, deren Helligkeitsverhältnis zum Zentral- 
bilde aus der Beugungstheorie streng berechenbar ist. Stellt man die 
Platte etwas außerhalb des Fokus, so werden die Beugungsspektra 
kreisrund und haben eine recht gleichmäßige Schwärzung, die deshalb 
bequem an die Schwärzung des Zentralbildes angeschlossen werden 
kann. Jeder Stern der Platte hat somit mindestens zwei (oder vier) 
Begleiter, die genau in gleichen Helligkeitsverhältnissen zum Zentral- 
bilde stehen; die Skala der Helligkeit ist somit durch eine Aufnahme 
der Himmelsgegend gleichzeitig auf der Platte eingetragen. 

Endlich ist noch die Methode von E. 8. King”) für eine photo- 
graphische Helliskeitsskala zu erwähnen; diese besteht darin, daß man 
mehrere Aufnahmen eines Sternes in verschiedenen Abständen vom 
Brennpunkte mit derselben Expositionszeit macht und dann sowohl 
die Durchmesser als die Schwärzungen der extrafokalen Bilder ver- 
mißt. Hierbei wird also von der Tatsache Gebrauch gemacht, daß die 
Energiemengen, die die Schwärzung hervorrufen, in allen Abständen 
vom Brennpunkte dieselben sind. 


9. Die Eigenschaften der photographischen Platten. Die Schwär- 
zungskurve. Der Empfangsapparat bei photographisch-photometrischen 
Messungen ist die photographische Platte. Die Grenzen der Genauigkeit 
und der meßbare Energiebereich, sowohl in bezug auf die Intensität 
der Strahlung als auch in bezug auf ihre Wellenlänge, sind somit von 
den Eigenschaften der photographischen Platte abhängig. Die Technik 
der Herstellung von Platten ist zur Zeit in intensivster Entwicklung 


90) Vorschlag zur Festlegung der photographischen Größenskala. A. N. 186 
(1910), p. 177. 
91) Harvard Ann. 59 (1912), p. 33, 95, 127, 129, 157. 


9. Die Eigenschaften der photographischen Platten. Die Schwärzungskurve. 859 


begriffen, und die Möglichkeiten der Steigerung sowohl der allgemeinen 
Empfindlichkeit derselben als auch der Erweiterung des Energie- 
bereiches scheinen bei weitem noch nicht ausgeschöpft zu sein. Es 
kann sich hier deshalb nur darum handeln, die Prinzipien der Aus- 
wertung photographischer Aufnahmen in photometrischer Beziehung 
zu besprechen, wie sie für jede Plattensorte, die für astronomische 
Aufnahmen verwendet wird, gelten. Die Platte liefert Schwärzungen 
als Maß der aufgefallenen Energiemenge. Diese kann man als spe- 
ziell photographisches Maß der Helligkeit benutzen, indem man sie 
etwa mit Hilfe des ausgezeichneten 
Hartmannschen Mikrophotometers $ 
mit anderen Schwärzungen vergleicht 
und dann mit Hilfe des sog. Schwär- 
zungsgesetzes in Helligkeiten umwan- 
delt, somit eliminiert. Das Schwär- 
zungsgesetz bestimmt man wohl aus- 
nahmslos auf graphischem Wege, in- 
dem man auf der Abszissenachse die M log J 
log J (J die Intensität der Strahlung) Fig. 2. 


2 BE Intensitäts- Schwärzungskurve. A bei nor- 
oder die Größenklasse m und auf der _maler, B bei sehr starker Entwicklung. (Nach 


Ördinatenachse die Schwärzungen 5 dr nee a Se 

aufträgt. Die sich ergebende Schwärzungskurve hat das Aussehen, wie 
sie die Fig. 2, die wir nach Fabry°?) wiedergeben, zeigt. Benutzt wird 
dabei nur der geradlinig verlaufende Teil der Kurve, in dem die Nei- 
gungstangente derselben, die sog. Gradation, ihren Maximalwert hat. Je 
größer die Gradation, desto empfindlicher ist die Platte. Die Schwär- 
zung ist also in dem Gebiete normaler Exposition (also genügend weit 
vom Schwellenwerte einerseits und von dem Gebiete der Überexposition, 
in dem die Schwärzung nicht mehr zunimmt, andererseits) proportional 
dem Logarithmus der Belichtung. Genau so, wie die Empfindlichkeit 
des Auges, folgt sie dem Lambertschen Gesetze. Die Schwärzung ist 
natürlich ein Maß der Absorption des Lichtes innerhalb der Gelatine- 
schicht der Platte und wird auch bei anderen Methoden der Auswer- 
tung als eine der Absorption proportionale Größe definiert. Bei der 
Anwendung moderner lichtelektrischer oder thermoelektrischer Appa- 
rate zur photometrischen Auswertung photographischer Aufnahmen 
tritt die Absorption an Stelle der Schwärzung als Maß für die Belichtung 
auf, weil hier die Wirkung der durch die Platte an der geschwärzten 
Stelle hindurchgegangenen Lichtmenge auf den Empfangsapparat (Zelle 











92) Legons de Photometrie, p. 110. 


860 V12,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


oder Thermoelement) gemessen wird. Bezeichnet J, die einfallende, 


J die hindurchgegangene Lichtmenge, so ist die Absorption A = a 


0 


Den reziproken Wert bezeichnet man oft als Opazität O0 = 2. Die 
Schwärzung S ist der Briggsche Logarithmus der Opazität”°) 


Ss-g0-lg"- 


Die Grenzen für die Anwendbarkeit dieser Formeln liegen normaler- 
weise zwischen 3 und 4 Größenklassen. Größere Helligkeitsintervalle 
können durch eine Platte somit nicht überbrückt werden. 

Die Schwärzungskurve ist in hohem Maße von der Stärke der 
Entwicklung abhängig, wie das durch die beiden Kurven der Fig. 2 
veranschaulicht wird. Sie ist für verschiedene Platten in hohem Grade 
verschieden und von der Dicke der Emulsionsschicht auf der Platte 
abhängig. Sie muß also eigentlich für jede astronomische Platte, die 
für Helligkeitsmessungen bestimmt ist, eigens untersucht werden, zu 
welchem Zwecke man eine Helligkeitsskala vor der Entwicklung der 
Platte auf diese kopiert. 

Die Schwärzungskurve ist außerdem in hohem Grade von der 
Wellenlänge des einwirkenden Lichtes abhängig, und wenn es sich 
darum handelt, die Helligkeiten für verschiedene Wellenlängen oder 
Wellenlängengebiete getrennt zu bestimmen, so ist es notwendig, die 
Schwärzungskurven für die einzelnen Farben getrennt zu berechnen. 

Man kann nun auch eine andere Art von Schwärzungskurven her- 
stellen, indem man bei konstanter Intensität Aufnahmen mit verschie- 
dener Expositionszeit macht. Trägt man die Schwärzungen als Ordi- 
naten, die Logarithmen der Expositionszeiten als Abszissen auf, so 
erhält man die Zeitschwärzungskurve. Diese Kurve kann aber nur 
dann zu Helligkeitsmessungen verwendet werden, wenn man die Be- 
ziehung zwischen den Intensitäten (J) und den Expositionszeiten (?) 
kennt, welche dieselbe Schwärzung hervorbringen. Die Beziehung zwi- 
schen den drei Größen S, J und i nennt man das Schwärzungsgesetz. 
Seine Form S—= F(J, t) ist bis jetzt unbekannt. Man verwendet viel- 
fach den Ansatz von Schwarzschild, nach dem die photographische 
Wirkung des Lichtes eine Funktion des Produktes Jt? bzw. J?t, wo 
P bzw. q für die betreffende Plattensorte charakteristische Konstanten 
sind. Diese können aus der Zeitschwärzungskurve bestimmt werden. 
Auch dieses Gesetz, das Schwarzschild®) aus theoretischen Voraus- 


93) Eder, System der Sensitometrie photogr. Platten I (1899), p- 18. 
94) Publik. der von Kuffnerschen Sternw. 5, p. 8 und p. 129 ff. 


9. Die Eigenschaften der photographischen Platten. Die Schwärzungskurve. 861 


setzungen abgeleitet hat, ist nicht allgemein gültig. Ebensowenig kann 
natürlich der Spezialfall dieses Gesetzes, das Bunsen-Roscoesche Rezi- 
prozitätsgesetz®), nach dem gleiche Produkte Jt gleiche Schwärzungen 
hervorbringen sollen, richtig sein. Nach einer eingehenden Untersuchung 
von E. Kron®®) können beide Formeln nur als Interpolationsformeln 
angesprochen werden, die für bestimmte Bereiche der drei Variablen 
gültig sind. Die Zeitschwärzungskurve wird bei astronomisch-photo- 
metrischen Untersuchungen trotzdem viel angewandt, wobei die Schwarz- 
schildsche Form S = Jt? benutzt wird. p ergibt sich meistens von der 
Größenordnung 0,8, also kleiner als 1. 

Nach dem bisherigen kurzen Überblick über die Eigenschaften 
der photographischen Platte ist es schon ersichtlich, daß dieselbe ein 
sehr unvollkommenes Hilfsmittel zur Bestimmung von Helligkeiten 
darstellt und nur bei sehr vorsichtiger und kritischer Behandlung als 
solches dienen kann. Sie kann nur für relative Helligkeitsbestimmungen 
von Lichtquellen genau derselben Farbe bei gleichen Expositionszeiten 
sichere Ergebnisse liefern, wenn die Schwärzungskurve für die betref- 
fende Farbe bestimmt ist. 

Zu beachten ist außerdem noch der Einfluß des Schleiers, der 
durch zerstreutes Licht (Mondschein, Dämmerung oder bei langen Be- 
licehtungen auch die Helligkeit des dunklen Himmels) auf der Platte 
erscheint und bei langer Entwicklung verstärkt wird. Sein Einfluß 
auf die Schwärzung der zu untersuchenden Himmelsobjekte muß eli- 
miniert werden, wobei unter Umständen auch dem von @. Eberhard") 
entdeckten Nachbareffekt Rechnung getragen werden muß. Eberhard 
fand, daß bei allen Plattensorten die Mitte eines größeren belichteten 
Feldes stets geringer geschwärzt ist als die eines ganz gleich belich- 
teten aber kleineren Feldes. Die Schwärzung einer belichteten Stelle 
der photographischen Platte ist somit nicht allein von dem Betrage 
der einwirkenden Lichtmenge, sondern bis zu einem gewissen Grade 
auch von der Flächenausdehnung dieser Stelle und von der Beschaffen- 
heit der ihr benachbarten Teile der Platte abhängig. 

Auf photographischen Platten, die mit einem kurzbrennweitigen 
Objektiv aufgenommen sind und einen größeren Teil des Himmels ab- 
bilden, sind die Lichtmengen, die die Platten in der Mitte (also in 


95) Ann. d. Phys. 117 (1862), p. 529. 

96) Publik. d. Astroph. Observ. zu Potsdam 22, Nr. 67 (1913); Ann. d. Phys. 
41 (1913), p. 751. 

97) Publik. d. Astroph, Observ. zu Potsdam Nr. 84 (1926), p.45 ff. F.E. Ross, 
The Mutual Action of Adjacent Photographic Images. Astroph. Journ. 53 (1921), 
p. 349. Nachtrag p. 510. 


862 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


der optischen Achse des Objektivs) und am Rande von gleich hellen 
Sternen erreichen, nicht mehr gleich; infolge der optischen Fehler 
des Objektivs sind die Randsterne außerdem anders als die Zentral- 
sterne abgebildet. Bei der Vergleichung der Schwärzungen, Absorp- 
tionen oder Durchmesser der abgebildeten Sterne ist somit der sog. 
Gesichtsfeldkorrektion Rechnung zu tragen. Da diese für jedes Objek- 
tiv verschieden sein kann, muß sie empirisch aus der Platte selbst, 
wenn diese genügend Sterne bekannter Helligkeiten abbildet, berechnet 
werden. 

Ganz unberechenbar sind natürlich die zufälligen Fehler der Platte. 
Nach Eberhard”) können solche zufällige Empfindlichkeitsschwan- 
kungen an verschiedenen Stellen derselben Platte sehr bedeutende Be- 
träge (bis zu 0,4”) erreichen. 

Trotz aller dieser Schwierigkeiten der photographischen Photo- 
metrie hat sie eine enorme Verbreitung in der Astronomie gefunden. 
Der Grund dafür ist im wesentlichen die Möglichkeit, auf der Platte 
ein großes Material fixierter Schwärzungen in kurzer Zeit zu er- 
halten, ein Material, das unbeschränkt und unverändert aufbewahrt 
werden kann. Außerdem erfaßt die Platte große Gebiete der ultra- 
violetten Strahlung, die dem Auge unzugänglich, für die Natur der 
strahlenden Körper aber von ausschlaggebender Bedeutung sind. End- 
lich gibt sie die Möglichkeit, durch Verlängerung der Exposition die 
Strahlung der Himmelskörper auf der Platte zu summieren und so 
auch schwächste Objekte zu erfassen, die dem Auge auch beim stärk- 
sten Teleskop unsichtbar bleiben. 


10. Farbenindizes. Die Photographie erfaßt ein wesentlich an- 
deres Wellenlängengebiet der Strahlung als das Auge. Wenn es auch 
bei Verwendung von besonderen Gelbfiltern bei rotempfindlichen sog. 
panchromatischen Platten möglich ist, die von der Platte erfaßte 
Energie derjenigen des Auges anzupassen, so sind doch diese Mög- 
lichkeiten erst in neuester Zeit entstanden; die meisten photographi- 
schen Aufnahmen des Himmels sind auf normalen Bromsilberplatten 
gemacht, deren Empfindlichkeitskurve durch Tabelle 2 und graphisch 
neben der Empfindlichkeitskurve des Auges in Fig. 3 wiedergegeben 
ist. Die Tabelle 3 enthält die Empfindlichkeitskurve e(A) des Auges, 
die in der Fig. 3 rechts gezeichnet ist. Die photographische Helligkeits- 
skala, deren Entstehung und Bedeutung wir oben besprochen haben, 
bezieht sich auf eine solche normale photographische Platte, wobei 
leider bemerkt werden muß, daß die immerhin bedeutende Verschiedenheit 


98) Handb. d. Astroph. II, 2. Hälfte, p. 459. 


10. Farbenindizes. 863 















































Tabelle 2. Tabelle 3. 
4 p h p | 2 | p 

4980 0,462 4400 0,058 5700 0,932 
4770 925 4600 184 5800 843 
4500 996 4800 281 5900 739 
4220 986 4900 369 6000 624 
4040 926 5000 495 6100 503 
3930 853 5100 638 6200 395 
3840 733 5200 775 6300 285 
3770 600 5300 888 6400 191 
3700 440 5400 968 6500 101 
3620 300 5500 994 6600 051 
3540 240 5600 984 6800 014 
3460 190 

; ; ; 04 0,5 06 

in den Empfindlichkeits- ’°7r Werne 

kurven der gewöhnlichen ig [ HR 

photographischen Platten er 

zur Zeit der Entstehung „,\ 

der Helligkeitskataloge 9 ne BB. 
nicht genügend bekannt Fig. 3. 
Die Empfindlichkeitskurven für die verschiedenen Wellen- 
und beachtet wurden. längen der photographischen Platte und des Auges. 


Der Unterschied zwi- (Nach Bottlinger, Handb. d. Astroph. II, p. 361.) 


schen photographischer und visueller Helligkeit eines Sternes ist ein 
Maß für seine Färbung, weil die roten Sterne photographisch schwach, 
dagegen die blauen visuell schwach ausfallen. Bezeichnet man die 
Empfindlichkeitskurve der Platte mit @(A), diejenige des Auges mit 
e(A), die Intensitätsverteilung im Spektrum des Sternes mit E(A), so 
ist der Unterschied der photographischen Größenklasse m , gegen die 
visuelle m, durch die Gleichung gegeben 


[ER Ya 
m, — m, =F.l=— 25 lg a ii ER, 


SE ea) ar 
0 


und enthält eine willkürliche additive Konstante X wegen der Will- 
kür im Nullpunkte der Zählung photographischer Größenklassen. Wählt 
man diesen Nullpunkt so, daß für die Sterne vom Spektraltypus A, 
die visuelle und die photographische Größenklasse identisch sein sollen, 
so trägt das Äquivalent der Farbe eines Sternes, das durch die Diffe- 
renz m,, — m, gegeben ist, den Namen Farbenindex (F.I.). Diese Größe 
ist ein gewisses Äquivalent auch für den Spektraltypus, und da dieser 
in enger Beziehung zur Temperatur des Sternes steht, auch für diese. 


Umstehende Tabelle gibt diese Beziehungen nach einer Untersuchung 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 56 


864 VIs, 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 











Tabelle 4. 
Beziehung zwischen Temperatur, Spektraltypus und Farbenindex. 
Spektral- > Spektral- ; 
Temperatur Aue Farbenindex, Temperatur 2, Farbenindex 
23800 B, — 0,330 ” 6000 G, —- 0,670” 
16300 B, — 0,170 5230 G, + 0,930 
11800 4, 0,000 4570 K, + 1,120 
9000 A, + 0,210 3850 K, 1,580 
. 7900 F, 0,330 3570 M, 1,730 
6.900 F, + 0,470 




















von A. Brill.?®) Bei der großen Schwierigkeit, die Spektra der schwä- 
cheren und schwächsten Sterne zu untersuchen, haben die Farben- 
indizes für statistische Zwecke eine sehr große Bedeutung gewonnen. 
Sie können bei wesentlich kürzeren Expositionszeiten durch zwei 
Aufnahmen derselben Himmelsgegend für eine große Anzahl von 
Sternen erhalten werden, wenn man auch die visuellen Helligkeiten 
auf einer Aufnahme auf rotempfindlichen Platten bei Verwendung 
eines sog. photovisuellen Gelbfilters bestimmt. Dieses muß so gewählt 
werden, daß das Produkt p(4)T(A) E(A) mit dem Produkte e(A) E(A) 
unserer letzten Gleichung identisch wird, wo 7'(A) die Durchlässigkeit 
des Filters ist. Dann gibt die Aufnahme auf der rotempfindlichen 
Platte die visuellen Helligkeiten der Sterne. 


11. Die lichtelektrische Methode der Photometrie. Während die 
visuelle Photometrie subjektiven Fehlerquellen unterworfen und in 
ihrer Genauigkeit durch die Empfindungsschwelle des Auges begrenzt 
ist, hat die photographische Methode mit den verschiedenartigen Feh- 
lern der Platte selbst und der Abbildung der Gestirne auf ihr zu 
kämpfen; außerdem lassen sich bei einer visuellen Auswertung der 
Schwärzungen individuelle subjektive Fehler nicht ganz vermeiden. 
Die Genauigkeit beider Methoden ist ungefähr dieselbe und übersteigt 
nicht die Meßfehlergrenze des Auges von 2 bis 3°/, der gemessenen 
Helligkeit. Es war darum von großer Bedeutung, einerseits einen ob- 
jektiven Meßapparat der Helligkeiten in die Astronomie einzuführen, 
der das Auge des Beobachters ganz ausschaltet, andererseits auch die 
Meßgenauigkeit über die genannte Grenze zu steigern. Beide Ziele sind 
durch die Einführung der lichtelektrischen Methoden der Helligkeits- 
messung in die astronomische Praxis erreicht worden. 

Zunächst war es die Eigenschaft des Selens, unter Einwirkung des 
Lichtes seinen elektrischen Widerstand zu ändern, die von Stebbins"?®) 


99) Handb. d. Astroph. II, p. 361. 
100) Astroph. Journ. 26 (1907), p. 326; 27 (1908), p. 183; 32 (1910), p. 186. 


11. Die lichtelektrische Methode der Photometrie. 865 


für den Bau eines unpersönlichen Photometers von großer Empfind- 
lichkeit benutzt wurde. Die Helligkeit der Gestirne wurde hier durch 
die Messung eines Widerstandes ermittelt, und zwar mit einer die 
visuelle Messung zehnfach übersteigenden Genauigkeit. Der Empfind- 
lichkeitsbereich des Selens liegt im roten bis zum gelbgrünen Gebiete 
des Spektrums, nähert sich also demjenigen des menschlichen Auges. 
Eine große Schwierigkeit der Methode lag in der Temperaturempfind- 
lichkeit des Selens, die den Apparat nur bei vollkommener Tempe- 
raturkonstanz brauchbar machte. Es ist in neuester Zeit W. E. Bern- 
heimer '°') gelungen, sowohl die Temperaturempfindlichkeit der Selen- 
zelle zu beseitigen als auch ihre Empfindlichkeit zu steigern, so daß 
das Selenphotometer für Helligkeitsmessungen im langwelligen Lichte 
eine größere Bedeutung als der ursprüngliche Apparat von Stebbins 
zu gewinnen verspricht. 

Dieser wurde bald durch das lichtelektrische Photometer von 
H. Rosenberg und P. Guthnick verdrängt, ein Instrument, das die Eigen- 
schaft der Alkalimetalle — Natrium, Kalium oder Rubidium —, unter 
Einwirkung des Lichtes Elektronen auszusenden, zur Messung der 
Lichtstärke benutzt. Der entstehende Photostrom hat die Eigenschaft, 
der auf das Alkali einfallenden Lichtmenge streng proportional zu 
sein. Er wird entweder mit Hilfe eines empfindlichen Galvanometers 
oder aber mit einem Elektrometer gemessen, wobei eine Genauig- 
keit von 0,1°/, erreichbar ist. Die Schwierigkeit dieser Messung liegt 
in der Kleinheit des Photostromes, an dessen Isolierung von anderen 
Einflüssen deshalb die allerhöchsten Ansprüche gestellt werden. Die 
Montierung und die Handhabung eines lichtelektrischen Photometers 
an einem beweglichen Fernrohr ist deshalb unvergleichlich schwie- 
riger als die visuelle und die photographische Photometrie; das ist 
der Grund, weshalb die von H. Rosenberg!) und P. Guthnick '%) ent- 
wickelten Typen dieses Instrumentes eine relativ geringe Verbrei- 
tung gefunden haben. Die meisten Ergebnisse sind von P, Guth- 
nick'%) in der Babelsberger Sternwarte erzielt. Es gelang ihm, die 
Veränderlichkeit einer großen Reihe schwachveränderlicher Sterne 
zu entdecken, deren Amplituden zum großen Teil kleiner sind als 
0,1 Gr.kl; für bekannte Veränderliche konnte die Kurve der Licht- 
schwankung wesentlich genauer festgelegt werden, und so hat die 


101) Meddel. fr. Lunds Astron. Observ. Ser. II, Nr. 61 (1931). 
102) Vjschr. d. Astron. Ges. 48 (1913), p. 210; Die Naturwissenschaften 
1921, H. 20. 
103) Astr. Nachr. 196 (1913), p. 357. 
104) Veröffentl. d. Sternwarte Berlin-Babelsberg 1 (1915), 
56* 


866 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Einführung der neuen Methode auf diesem Gebiete außerordentlich 
befruchtend gewirkt. 

Die Grenzen der lichtelektrischen Helligkeitsmessungen am Himmel 
sind einerseits durch die Empfindlichkeit der Zellen, also durch die 
Schwäche der ausgelösten Photoströme bei schwachen Sternen ge- 
geben, anderseits durch die Grenzen der Empfindlichkeit der Zellen 
in Wellenlänge; nur in Verbindung mit den allerstärksten Teleskopen 
können die Messungen bis auf Sterne 8. Größe ausgedehnt werden, 
während für mittelstarke Fernrohre die Grenze bei der 5. Gr.kl. liegt. 
04 Na K kb 05 Cs 06 In dieser Beziehung ist die 

















” | Photographie der licht- 
r | i elektrischen Methode weit 
at a überlegen. 

02} „nn Die Empfindlichkeits- 
N) En ——= grenzen der Natrium-, Ka- 


BD Fig. 4. lium-, Rubidium- und Cä- 

Die Empfindlichkeitskurven für die verschiedenen Wellen- r R E 

längen für verschiedene Alkalizellen. (Nach Bottlinger,Handb. siumzellen sind durch die 

ner stirt Fig.4 veranschaulicht und 

liegen bis auf die Cäsiumzelle, die aber bei höheren Temperaturen nicht 

benutzbar ist, alle im Gebiete der Empfindlichkeit der gewöhnlichen 

photographischen Platten. Sie erfassen also nicht das Gebiet der roten 

Strahlung, das somit der visuellen Photometrie und den modernen 
panchromatischen Platten vorbehalten bleibt. 

Bei Benutzung von entsprechenden Farbfiltern kann die Zelle 
auch zur Bestimmung von Farbenäquivalenten dienen und ist von 
K. F. Bottlinger!”) in dieser Weise zur Bestimmung von lichtelek- 
trischen Farbenindizes von 459 Sternen benutzt worden. 

Eine Grenze für die Genauigkeit der lichtelektrischen Messungen 
ist auch durch Unsicherheit und Veränderlichkeit der Extinktion des 
Lichtes in der Atmosphäre gesetzt. 

Die Extinktion ist von so ausschlaggebender ha für alle 
astronomisch-photometrischen Messungen, daß wir ungeachtet der Be- 
handlung des Problems an anderer Stelle dieses Werkes hier nicht 
ganz an ihm vorbeigehen können. 


12. Der Einfluß der Extinktion auf photometrische Messungen. 
Derselbe berechnet sich, wenn p den Transmissionskoeffizienten der 
Atmosphäre (im Zenit) bezeichnet, nach der Formel 


Extinktion = m, — m =— “2 [F(e) — 1], 


105) Veröffentl. d. Sternwarte Berlin-Babelsberg 3 (1923), H. 4. 


12. Der Einfluß der Extinktion auf photometrische Messungen. 867 


wo m, die Gr.kl. im Zenit und F'(z) die bei der Zenitdistanz 2 in der 
Atmosphäre durchlaufene Luftmasse bedeutet, wobei diese in Ein- 
heiten der Luftmasse im Zenit ausgedrückt ist. .Bemporads Unter- 
suchungen über die Abhängigkeit dieser Funktion F(z) von dem Druck 
und der Temperatur am Beobachtungsorte sowie von der Dichteverteilung 
innerhalb der Atmosphäre haben gezeigt, daß alle diese Einflüsse nur 
sehr gering sind. Die beiden erstgenannten sind auch leicht in Rech- 
nung zu ziehen, wenn man die Tafeln von Bbemporad dazu benutzt. 
Der Verlauf der Funktion F'z) mit der Zenitdistanz ist nach den 
sichersten Daten über die Dichteabnahme der Luft mit der Höhe bis 
zu Zenitdistanzen von 85° bis auf einige Einheiten der dritten Dezi- 
male in Bemporads umfangreichen Tafeln ebenfalls gesichert. Diese 
Tafeln, sowie die Extinktionstheorie von Bemporad findet man aus- 
führlich im Handbuch der Astrophysik, Bd. Il, erste Hälfte, im Bei- 
trage „Theoretische Photometrie“ wiedergegeben. Trotzdem ist die 
Berechnung der Extinktion schon für Zenitdistanzen von 60° bis 70°, 
bei denen F'(z) den Wert 2 bis 3 erreicht, meistens sehr unsicher, 
weil der Transmissionskoeffizient p nicht genügend genau bekannt 
ist. Sein Wert kann im Laufe eines Beobachtungsabends Schwan- 
kungen bis zu 30%, aufweisen, ohne daß direkte Wolkenbildung 
festzustellen ist. Auch bei weniger extremen allgemeinen Durch- 
lässigkeitsänderungen der Luft während der Beobachtungen kann die 
Reduktion der Helligkeit auf das Zenit nur mit einem weit größeren 
Fehler berechnet werden, als die Meßgenauigkeit es erfordern würde. 
Man muß sich deshalb auf relative Messungen von Sternen nahezu 
gleicher Zenitdistanz beschränken, in die dann nur die relative Ex- 
tinktionskorrektion eingeht. Bei photographischen Aufnahmen ist so- 
mit die Schwierigkeit der Extinktionsbestimmung am geringsten, weil 
hier nur Sterne, die sich auf derselben Platte abbilden und deshalb 
in Zenitdistanz wenig voneinander abweichen, verglichen werden. 
Der Transmissionskoeffizient ist aber auch von der Wellenlänge 
des Lichtes abhängig und deshalb für die photographisch wirksamen 
Strahlen ein anderer als für die visuellen. Man hat deshalb Tabellen 
der photographischen Extinktion berechnet, die auch für die Reduk- 
tion lichtelektrischer Messungen benutzt worden sind. Diese Tafeln, 
wie auch die Tafeln der visuellen Gesamtextinktion von @. Müller und 
Bemporad machen noch keinen Unterschied zwischen den Spektral- 
typen der Sterne, obgleich ein solcher Unterschied bestehen muß. Für 
visuelle Messungen mit ihrer geringen Genauigkeit macht sich dieser 
Unterschied in Höhen von über 30° noch nicht bemerkbar, photo- 
graphische Messungen umfassen immer nur geringe Höhenunterschiede 


868 VIs3,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


und sind auch nicht genügend genau, um verschiedene Extinktions- 
koeffizienten für die einzelnen Spektraltypen zu erfordern. Für die 
lichtelektrische Photometrie ist dagegen die Kenntnis der spezifischen 
Extinktionskoeffizienten der einzelnen Spektralklassen notwendig, eben- 
so für visuelle und photographische Messungen in geringen Höhen 
über dem Horizonte, weil die Extinktion der roten und der weißen 
Sterne hier merklich verschieden ist; sie ist dabei von der Durch- 
siehtigkeit der Luft abhängig und muß deshalb an jedem Abend be- 
sonders bestimmt werden. 

So weit man die Extinktion auf die atmosphärische Diffusion an 
Luftmolekülen allein zurückführen kann, müßte der Transmissions- 
koeffizient mit der vierten Potenz der Wellenlänge abnehmen; infolge 
der Beimischung fester Teilchen sowie wegen der Absorption durch 
Wasserdampf, Sauerstoff und Ozon, deren Absorptionsbanden im roten 
Gebiete des Spektrums liegen, und deren Mengen wechselnd und schwer 
bestimmbar sind, ist es unmöglich, die Abhängigkeit des Transmissions- 
koeffizienten von der Wellenlänge anders als durch besondere Beob- 
achtungen zu bestimmen. E. Schoenberg'”) hat den Einfluß der Diffu- 
sion an Molekülen und feinsten Partikeln untersucht und Tafeln für 
ihn berechnet. Experimentelle Bestimmungen der Abhängigkeit des 
Transmissionskoeffizienten von der Wellenlänge zeigen, daß dieselbe 
für verschiedene Höhen über dem Meeresniveau verschieden ist. So 
fand HA. Rosenberg‘) bei seinen spektralphotometrischen Untersuchun- 
gen der Fixsterne eine Abhängigkeit mit der 2,7'" Potenz; aus Abbots 
Messungen, die zur Bestimmung der Solarkonstante am Meeresniveau 
(in Washington), auf einer Höhe von 1700 m (Mt. Wilson) und in 
4300 m (Mt. Whitney) mit empfindlichen Bolometern ausgeführt wor- 
den sind und die sich auf einen sehr großen Spektralbereich (0,30 u 
bis 3,00 u) erstrecken, fand Boutaric!®) die Potenzen 2,1 für Washing- 
ton, 3,1 für Mt. Wilson und 3,3 für Mt. Whitney. Die Ursache dieser 
Erscheinung liegt in den Beimischungen gröberer Teilchen in den 
unteren Schichten der Atmosphäre. 

Unter diesen Umständen ist eine sichere Reduktion von genauen 
Helligkeitsmessungen sowohl bei lichtelektrischen als bei spektralphoto- 
metrischen Untersuchungen, wenn diese nicht streng relativ an dicht 
beieinanderliegenden Sternen vorgenommen werden, nur dann durch- 


106) Untersuchungen über die Diffusion des Lichts in Anwendung auf astro- 
nomische Probleme. Mitteil. der Sternwarte Breslau 3 (1932), p. 53. 

107) Nova Acta. Abh. der Kais. Leop. Carol. Akad. der Naturforscher CI, 
Nr. 2 (1914). 

108) Ann. de Chem. et de Phys. 9° serie, t. 9 (1918), p. 113; 10 (1918), p. 5. 


13. Die radiometrischen Messungen der bolometrischen Größenklassen usw. 869 


führbar, wenn der Transmissionskoeffizient des Beobachtungsabends 
getrennt für einige Wellenlängen durch besondere Beobachtungen fest- 
gestellt ist. 


13. Die radiometrischen Messungen der bolometrischen Größen- 
klassen und Temperaturen der Gestirne. In neuester Zeit ist es ge- 
lungen, mit Hilfe empfindlicher Thermoelemente die Gesamtstrahlung 
der helleren Sterne und Planeten, soweit dieselbe durch unsere Atmo- 
sphäre hindurchgelassen wird, zu messen. Die ersten Arbeiten auf 
diesem Gebiete sind von Coblentz!®) an der Lowell-Sternwarte am 
40 zölligen Reflektor ausgeführt und beziehen sich vorwiegend auf die 
großen Planeten, den weiteren Fortschritt hat man E. Pettit und $. B. 
Nicholson“) zu verdanken, die den 100zölligen Reflektor auf dem 
Mt. Wilson in den Dienst dieser wichtigen Aufgabe stellen konnten. 
Das neueste Thermoelement, das die letztgenannten Forscher benutzten, 
besteht aus feinsten Drähten aus Wismut und einer Legierung aus 
Wismut und Zinn von nur (0,03 mm Dicke, die in einer evakuierten 
Röhre mit einem Bergkristallfenster eingeschlossen sind. Der durch 
die Erwärmung dieses nur 0,000192 & schweren Empfängers ausge- 
löste Strom wird mit einem empfindlichen Galvanometer gemessen. 

Aber nur in Verbindung mit den stärksten Teleskopen konnte 
die Strahlung der hellsten Sterne mit diesem Empfänger gemessen 
werden; der Stern Betelgeuse gibt am Hookerspiegel eine Erwärmung 
des Empfängers um 0,015° C; es sind trotzdem alle Sterne bis zur 
4,2 Gr.kl. noch meßbar. Eine Zerlegung der Sternstrahlung in engere 
Bezirke, die für eine genaue Temperaturbestimmung notwendig wäre, 
ist freilich nicht möglich; wohl aber kann die Wärmestrahlung (be- 
ginnend mit 1,4 u) durch ein Wasserfilter von der Gesamtstrahlung 
abgetrennt und die Reststrahlung gemessen werden. Diese letztere 
ist im wesentlichen die dem Auge zugängliche sichtbare Strahlung 
und entspricht der visuellen Helligkeit. Aus der Gesamtstrahlung, ge- 
messen durch die Galvanometerausschläge, erhält man, wenn man 
ihre Logarithmen verwendet, die sog. radiometrischen Größenklassen (m,). 
Diese sind noch wegen der Absorption in der Atmosphäre und der 
Apparatur zu korrigieren, um aus ihnen die bolometrischen Größen- 

109) W. W. Coblentz, Measurements of Stellar and Planetary Temperatures. 
Nature 116 (1925), p. 439—441; Note on the Water-cell-Transmissions of the 
Radiation from Sirius. Pop. Astron. 35 (1925), p. 137. 

110) E. Pettit u. $. B. Nicholson, Stellar Radiation Measurements. Astroph. 
Journ. 68 (1928), p. 279 —308; Thermocouple Observations on the total Radiation 
from Variable Stars. Publ. ASP. 34 (1922), p. 181; Total Radiation from o Ceti. 


Publ. ASP. 34 (1922), p. 132—133; The Application of Vacuum Thermocouples 
to Problems in Astrophysics. Astroph. Journ. 56 (1922), p 295—317. 


870 VIa,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


klassen (m,) zu erhalten. Die Bestimmung dieser Absorptionen gehört 
zu den schwierigsten Aufgaben der Methode. 

Unter dem Wärmeindex (W.]I.) versteht man die Differenz der 
visuellen und der radiometrischen Gr.kl.; unter der Wasserzellenabsorp- 
tion den Bruchteil der Strahlung des Sternes, der durch das Wasser- 
filter eliminiert wird. Die bolometrische Gr.kl. ist also 

mM, = M, “ (WI ie Am,), 

der Ausdruck in der Klammer: Wärmeindex -- Korrektionen wegen 
Absorption enthält in beiden Gliedern große Unsicherheitsmomente; 
Am, kann nur bei einer Annahme über den Verlauf der Strahlung 
im absorbierten Gebiete für beliebige Sterne berechnet werden, wenn 
der Betrag der Absorption für irgendeine Strahlungsquelle auch experi- 
mentell sicher bestimmt ist; der W.I. ist wiederum durch die Un- 
sicherheit der Empfindlichkeitskurve des Auges, die dem System der 
benutzten visuellen Helligkeiten zugrunde liegt, nicht sicher zu be- 
stimmen. Dadurch sind die bolometrischen Helligkeiten noch mit be- 
trächtlichen Unsicherheitsfaktoren behaftet. Trotzdem sind sie von 
größter Bedeutung. Der Katalog von 124 helleren Sternen, deren bolo- 
metrische Helligkeiten und W.I. Pettit und Nicholson veröffentlicht 
haben, enthält neben diesen auch die Temperaturen der Sterne, wie 
sie sich aus dem W.I. und der Wasserzellenabsorption bei Annahme 
schwarzer Strahlung ergeben. Es erweist sich, daß diese Methode für 
die heißesten Sterne von B, bis A, versagt, weil die Wärmestrahlung 
im Verhältnis zur kurzwelligen Strahlung bei diesen Sternen ver- 
schwindend ist. Die späteren Spektraltypen ergeben insofern wichtige 
Temperaturwerte, als sie aus einem ganz anderen Wellenlängengebiet 
als dem der visuell oder photographisch wirksamen Strahlung be- 
stimmt sind. Da die absoluten Helligkeiten der Katalogsterne bekannt 
sind, ist eine Trennung der Riesen- von den Zwergsternen möglich; 
hier zeigt sich nun, daß sowohl der W.I. als die Wasserzellenabsorb- 
tion bei den Riesen größere Werte aufweisen als bei den Zwergen, 
was auf eine tiefere Temperatur der Riesen vom Typus F, bis M, 
gegenüber den Zwergen desselben Spektraltypus hinweist. 

Wichtig ist auch die Feststellung, daß die roten M-Sterne eine 
vom schwarzen Körper stark abweichende Strahlungskurve haben. Die 
Erklärung liegt wahrscheinlich in den starken Absorptionsbanden im 
roten und ultraroten Gebiete des Spektrums. Die gemessene Gesamt- 
strahlung nach Korrektion wegen der Ausfälle durch Absorption der 
Atmosphäre und der Apparatur gestattet eine unabhängige Tempe- 
raturbestimmung des Sternes, wenn sein Durchmesser aus interfero- 
metrischen Messungen bekannt ist. Dieses ist für sieben Sterne der 


14. Das Lambertsche Emanationsgesetz. 871 


Liste der Fall. Umgekehrt konnte bei Temperaturen, die aus dem 
W.I. bestimmt waren, aus der Totalstrahlung der Durchmesser für 
alle Sterne der Liste bestimmt werden. 

Neben den bolometrischen Gr.kl., die als wichtigstes Ergebnis der 
neuen Methode aufzufassen sind, weil sie für die Gesamtstrahlung der 
Sterne eine neue Grundlage bieten, hat also die radiometrische Me- 
thode trotz ihrer relativen Unsicherheit, die durch die Schwäche der 
Strahlung bedingt ist, zu einer Reihe wichtigster Erkenntnisse geführt. 


I. Theorien und Ergebnisse. 


A. Die Strahlung der Selbstleuchter, der Sonne und der Fixsterne. 


Wir behandeln zunächst die photometrischen Gesetze für Selbst- 
leuchter, also die Fixsterne und die Sonne. Das photometrische Grund- 
gesetz der Strahlungslehre ist das Lambertsche Kosinusgesetz, das des- 
halb zunächst begründet werden soll. 


14. Das Lambertsche Emanationsgesetz. Lambert selbst hielt seine 
Formel durch den Umstand bewiesen, daß die Sonne eine gleichmäßige 
Helligkeit besitzt. Das trifft nun tatsächlich nicht zu, wie schon Bou- 
guer*!!) durch Messungen festgestellt hatte. Trotzdem ist das Lam- 
bertsche Gesetz im wesentlichen richtig. Für den schwarzen Körper 
folgt dasselbe aus seiner Definition, aber auch für glühende Metall- 
flächen und Gase ist es durch Messungen sehr nahe bestätigt. Einen 
Beweis für das Gesetz zu liefern ist erst gelungen, nachdem man die 
Fouriersche Anschauung über das Wesen der Ausstrahlung zugrunde 
gelegt hat. Nach dieser findet die Ausstrahlung nicht von der Ober- 
fläche allein, sondern auch aus dem Inneren des Körpers statt. Zöll- 
ner!) hat bewiesen, daß die Versuche von Beer'!?) und Rheinauer"'*), 
das Gesetz theoretisch zu bekräftigen, unzulänglich waren und selbst 
einen Beweis geliefert, der aber ebenso wie ein anderer Beweis von 
Lommel*") einer vollkommenen Strenge ermangelte. Um diese zu er- 
reichen, ist es notwendig, auch die Brechung der Strahlen an der Ober- 
fläche des Körpers zu berücksichtigen, wobei sich dann eine allge- 
'meinere Formel ergibt, die den Vorzug hat, auch der teilweisen Pola- 
risation der Strahlung glühender fester Körper Rechnung zu tragen. 


111) Traite d’optique sur la gradation de la lumiere. Ouvrage posthume, 
publie par l’abb&e de Lacaille. Paris 1760. 

112) Photometrische Untersuchungen usw., p. 12. Leipzig 1865. 

113) Grundriß des photometrischen Caleüls, p. 6. Braunschweig 1854. 

114) Grundzüge der Photometrie, p. 2. Halle 1862. 

115) Wied. Ann., p. 449 (1880). 


872 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestimne. 


Für die Astronomie ist das freilich von geringer Bedeutung, weil diese es 
meistens mit glühenden Gasen zu tun hat, bei denen die Brechung und 
die Polarisation keine Rolle spielen. Wir wollen hier eine Ableitung der 
allgemeineren Formel nach Smoluchowski de Smolan*'*) andeuten, um 
dabei auch den Fall teilweise durchsichtiger Körper mit zu erfassen. 

Der Körper sei eben begrenzt 
durch die Fläche MM und do ein 
Element der Begrenzung, das wir 
uns als Spitze des räumlichen Win- 
kels do denken, der sich ins In- 
nere des strahlenden Körpers aus- 
dehnt. Die Strahlung eines Ele- 
mentarvolumens dv = r’dodr 
innerhalb dieses räumlichen Win- 
kels im Abstande r von de ist, 
wenn ihre Intensität U, in allen 
Richtungen gleich ist, durch U, dv 
gegeben. Es ist das die von dv 
in den räumlichen Winkel 1 aus- 
gestrahlte Energiemenge; die auf 
das Element do von dv gelangende Strahlungsmenge ist also 








Fig. 5. 
Das Lambertsche Gesetz für Selbstleuchter. 


__ U,dvdo cosi 

aa" Mae 
wenn auf dem Wege r keine Absorption stattfindet. Mit Rücksicht auf 
die Absorption wird, wenn %k den Koeffizienten derselben bezeichnet, 
daraus 


—= U,d6o cosidrdo, 


9% = U,e*"dwdeocosidr. 


Von sämtlichen Volumelementen innerhalb des räumlichen Winkels er- 
reicht die Oberfläche also eine Strahlungsmenge, die man durch Inte- 
gration dieses Ausdrucks von r—=0 bis zu einem Abstande r = po, 
aus welchem kein Licht mehr bis zur Oberfläche gelangt, erhält: 


Q=U,dode con; ferwär ade &do do cosi(l — e*®). 


0 


Da nun e”*® verschwindend klein sein muß, wenn der Körper undurch- 
sichtig ist, so erhält man für einen solchen Körper 


Om = dodo cost. 


Vernachlässigt man die Brechung der Strahlung an der Oberfläche, 


116) Journ. de Phys. 5 (1896), p. 488. 


14. Das Lambertsche Emanationsgesetz. 873 


so tritt nach außen aus dem Element do in den räumlichen Winkel 
do derselbe Energiestrom, und wir erhalten das Lambertsche Gesetz 
in der Form 


(1) Q—= Udodo cose, 
wo 

D, 
(2) u 
gesetzt ist. Bei senkrechter Ausstrahlung (e=0) würde sein ,=Udodo, 
und es ist deshalb 


(3) & = cosE. 


Ist dagegen der glühende Körper teilweise durchsichtig, so ist die 
Integration bis zur anderen Begrenzung auszuführen. Wenn diese 
der oberen parallel ist und die Höhe der Schicht gleich H, so wird 


e=—, und wir erhalten 
co8E 





Tr kH 
Q— 7 dodo ooneli —e oe.) 


und ebenso 
= doda(l—erta), 
Mithin ist 
: kH 
Q 1.24 cos 
(4) U RRTITETR 


Für = 0° und = %° wird dieser Ausdruck gleich 1 bzw. 0, fällt 
also mit dem Lambertschen Gesetze zusammen, für dazwischen liegende 
Werte weist er dagegen Abweichungen auf, die vom Produkte kH 
abhängig sind. 

Wird die Strahlung bei ihrem Austritt aus dem undurchsichtigen 
Körper in do gebrochen und bezeichnet jetzt © den Einfalls- und & den 
Austrittswinkel, so wird sie dabei durch Reflexion nach der Fresnel- 
schen Formel geschwächt, und zwar im Verhältnis 

sin?(@— € tg?@— € 
guten AH ense en 


Der austretende Energiestrom ist also 





Q — pr dodo co83. 


Berücksichtigt man die Veränderung des räumlichen Winkels durch 
Brechung aus do in dw’, so ergibt sich, wenn », und n, die Bre- 
chungsexponenten der Medien bezeichnen, 


(5) Qa=r7 (*) do’ dacose. 


874 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Es tritt also jetzt an Stelle des konstanten Strahlungsvermögens U: k 
der Oberfläche die Größe 

Um 

k n}’ 
welche nicht mehr konstant ist, da sie sich mit 9 ändert, also von i 
und & abhängig ist. Die letzte Formel enthält außerdem den Satz von 
Kirchhoff-Clausius, welcher aussagt, daß das Emissionsvermögen eines 
Körpers dem Quadrate des Brechungsexponenten des Mittels, in dem 
er sich befindet, proportional ist. Infolge der Brechung ist das schräg 
austretende Licht teilweise polarisiert. Schon Arago hat diese Polari- 
sation beobachtet. Die Abweichungen von der Lambertschen Formel 
im Sinne der Formel (12) sind durch zahlreiche Messungen von Lummer 
und Reiche"), Groß") u. a. bestätigt worden. Bei Gasen ist die Über- 
einstimmung mit der Lambertschen Formel nahezu vollkommen. Von 
der sehr zahlreichen Literatur über diesen Gegenstand seien hier nur 
die theoretischen Arbeiten von H.v. Helmholtz in den Vorlesungen für 
theoretische Physik, von Uljanin, Wied. Ann. 62 (1897), p. 528 und 
F.Jentzsch, Studien über Emission und diffuse Reflexion, Habilitations- 
schrift, Gießen 1912, und Ann. d. Phys. 39 (1912), p. 997, genannt. 


15. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonne. Bei den leuchten- 
den Gaskugeln, als die wir die Fixsterne ansehen müssen, können wir 
eine Bestätigung des Lambertschen Gesetzes für Selbstleuchter nicht 
erwarten. Bei der Erfüllung desselben müßten die Sterne gleichmäßig 
helle Kreisscheiben darstellen und bei dem einzigen Sterne, den wir 
als Scheibe sehen, der Sonne, ist das tatsächlich nicht der Fall. In 
Wirklichkeit liegen die Verhältnisse bei einer Gaskugel wegen der 
Dichteabnahme in den Gasschichten und den Einflüssen der Atmo- 
sphäre wesentlich komplizierter; die Erfassung des Leuchtproblems der 
Sonne erfordert eine Theorie des Aufbaues der Gaskugel, die außer- 
halb des Rahmens dieser Abhandlung fällt. Sie ist im Bd. VI 2, 24 
dieses Werkes durch R. Emden behandelt. Wir können uns hier auf 
die Zusammenstellung der verschiedenen theoretischen Ergebnisse mit 
den neuesten Beobachtungen der Lichtverteilung auf der Sonnenscheibe 
beschränken. Die tatsächliche Liehtverteilung auf der Sonnenscheibe 
ist für uns die Grundlage weiterer Betrachtungen über die Randver- 
dunkelung der Sterne, die für das Problem der Bedeckungsveränder- 
lichen von großer Bedeutung ist. 

Nach der ursprünglichen Theorie des Strahlungsgleichgewichtes 


117) Ann. d. Phys. 33 (1910), p. 857. 
118) Diss. Breslau 1911. 


15. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonne. 375 


von K. Schwarzschild“°) ist die Helligkeitsverteilung auf der Sonne 
für alle Wellenlängen gleich und durch die Formel 


J=J,%(1 + 2c0s:i) 


gegeben, wo i der Austrittswinkel der Strahlen auf der Sonnenober- 
fläche bedeutet, so daß, wenn r der scheinbare Abstand vom Sonnen- 


. . . . . ae Tr 
zentrum und R der scheinbare Radius der Sonnenscheibe ist, sini—= 5° 


R. Emden“) hat diese Formel wegen der unrichtigen Energiebilanz, 
die sie liefert, auf die Form 

Tr + Loos) 
korrigiert, die einen etwas anderen Helligkeitsabfall zum Rande ergibt. 

Die thermodynamischen Theorien des polytropen Aufbaues er- 

fordern einen Helligkeitsabfall nach der Formel 

J— J, cosir+l, 
wo n die Polytrope bedeutet und nach Eddington nur die Polytrope 
n=3 für die Verhältnisse auf der Sonne in Frage kommt. 

Als Beobachtungsergebnisse führen wir nach W. E. Bernheimer'**) 
den Mittelwert einer Reihe von Messungen der Helligkeitsverteilung 
mit Hilfe der Thermosäule (also für die Gesamtstrahlung) an, wobei 
aber bemerkt werden muß, daß die Ergebnisse für den Rand der Sonne 
nicht als sicher zu betrachten sind. 


Tabelle 5. 
Verschiedene Formen des theoretischen Helligkeitsverlaufes: 
Sonnenmitte bis Rand, verglichen mit Beobachtungsergebnissen der 























Randverdunkelung. 
Strahlungsgleich- | Strahlungsgleich- Be- 

a gewicht I (nach | gewicht Baal BORyIODer. Ana bau obachtungs- 
R Schwarzschild) Emden) n—=3 | n=5 | ergebnisse 
0,00 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 
0,20 99,0 99,0 98,0 99,0 99,0 
0,40 95,0 95,0 92,0 94,0 96,4 
0,60 87,0 88,0 80,0 86,0 91,3 
0,70 81,0 83,0 71,0 80,0 86,6 
0,80 73,0 76,0 60,0 71,0 80,2 
0,90 63,0 66,0 44,0 58,0 69,6 
0,96 52,0 57,0 28,0 43,0 58,7 
0,98 47,0 52,0 20,0 34,0 49,0 
1,00 33,0 40,0 0,0 0,0 (38,8) 











119) Das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre. Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu 
Göttingen, p. 41 (1906). 

120) Probleme der Astronomie. Seeliger-Festschrift, p. 347 (1924). 

121) Handb. d. Astroph. IV, p. 8. 


876 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Der Verlauf der Helligkeit ist für die einzelnen Strahlungsgat- 


tungen verschieden. 


B 





Fig. 6. 


Die Ursache liegt im Temperaturgradienten der 
äußeren Schichten, von denen wir im Zen- 
trum der Sonne tiefere sehen als am Rande. 
Die Theorie von E. A. Milne'*?) und von 
B. Lindblad '??) trägt dieser Erscheinung Rech- 
nung. Die Fig. 6 veranschaulicht diese ein- 
fache Theorie. ACB ist ein Schnitt der 
Sonnenoberfläche, der durch die Erde geht. 
P,P/,P,Py,..., P,P,' sind die der gleichen 
optischen Tiefe entsprechenden Abstände von 
der Sonnenoberfläche, deren Strahlung in den 
Punkten 0, P,, P,,... wesentlich wirksam 


ist. Die begrenzende Fläche AC’P,’... B schneidet verschiedene Iso- 
thermen der Sonnenkugel, die zwischen den beiden kugelförmigen 


Tabelle 6. 


Vergleichung der Helligkeitsabnahme auf der Sonnenscheibe 
nach den amerikanischen Beobachtungsergebnissen mit dem theo- 
retischen Verlaufe nach Milne und Lindblad. 





Wellen- 
länge 
in Ä.E. 


r 
— 0,00 
R ’ 





0,20 | 0,40 | 0,55 | 0,65 | 0,75 |0,825 0,875 |0,920| 0,95 | 0,97 











3737 | Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 


4265 | Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 


5062 || Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 


5955 || Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 


6702 || Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 


8580 | Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 


10080 || Abbot 100,00 
Milne 100,00 
Lindblad 100,00 








122) Phil. Trans. 





98,41|93,44 87,08 81,13 | 73,05 65,18 | 57,96 |49,92|43,19 | 34,95 
98,2 [92,9 |85,9 |79,5 71,1 \63,2 157,0 .49,0 441 | — 
98,41 93,42 | 87,04 81,21 | 73,61 | 66,35 |60,40 | 63,77 |48,20 | 43,51 


98,48 | 93,68 | 87,19 | 81,20 73,36 |65,98 58,74 51,11 |44,50| 38,83 
98,5 93,9 |88,0 182,5 175,1 168,0 62,1 |55,6 1499 | — 
89,49 | 93,62 | 87,33 | 81,49 | 73,81 |66,25 59,90 52,66 146,44 | 41,10 


98,91 95,10 |89,98 |85,16 |78,71 | 71,96 | 66,05 59,09 |52,89 | 47,19 
98,8 [94,9 |90,0 |85,4 [79,4 |73,4 168,4 162,6 1574 | — 
98,77\94,98 90,08 |85,41 79,30 73,23 |68,08|62,13 56,95 | 52,41 


99,02 95,89 91,65 |87,57|82,06 76,42|71,29| 65,14 59,46 | 54,11 
99,0 [95,7 |91,4 [87,4 |82,1 |77,0 72,4 1672 62,5 | — 
98,98 | 95,83 91,70|87,82 82,65 77,51 73,05 | 67,86 63,28 | 59,22 


99,27 [96,66 | 92,89 89,30 |84,42| 79,45 74,79 69,22 /64,00| — 
99,1 96,1 |92,3 |88,7 |83,8 |79,0 174,7 |69,9 165,5 
99,13 |96,45 92,92 | 89,58 | 85,16 80,67 76,78| 72,23 | 68,20 
99,35 |97,19 | 94,38 | 91,61 |87,67 | 83,56 79,89 75,30 |71,02| — 
99,3 |97,0 98,9 |91,0 |87,1 |83,2 |79,7 [75,5 |71,7 
99,32|97,19 94,35 |91,68|88,10 84,41|81,19| 77,36 | 73,92 
99,39|97,48 94,88 | 92,27 |88,80 | 85,07 81,64|77,30|173,31) — 
99,4 |97,4 94,7 |92,2 [88,7 |85,2 |82,1 [78,4 |75,0 
99,41 | 97,53 95,06 |92,70|89,54 | 86,27 | 83,39 | 79,96 | 76,86 


Roy. Soc. 223 A (1922), p. 209. 





























123) Uppsala Univ. Arsskrift 1 (1920), p. 37 und Nova Acta dig, Soc. Sc. 
Upsal. 6, No. 1 (1923), p. 17. 


17. Interpolationsformeln für die Randverdunk. beiBedeckungsveränderlichen. 877 


Grenzflächen liegen. Die Temperatur der am Rande wirksamen Schicht 
ist tiefer als diejenige des Zentrums. Die sog. effektive Temperatur der 
Sonne bezieht sich deshalb auf eine mittlere Schicht. 

Die vorstehende Tabelle gibt den Verlauf der Randverdunkelung 
nach diesen Theorien und nach neueren Messungsergebnissen von Abbot !**) 
wieder. Sie ist der zitierten Arbeit von W. Bernheimer '*') entnommen. 
In der zweiten Zeile ist die Temperatur nach Milne 5890°, in der 
dritten nach Lindblad eine Temperatur von 6000° angenommen. 

Der Helligkeitsabfall ist in Violett beträchtlich stärker als in Rot. 

Es ist wichtig, noch eine Folgerung der Melne-Lindbladschen Theorie 
der Randverdunkelung hervorzuheben: während die Randverdunkelung 
in jeder Wellenlänge von der Temperatur abhängt, ist die Randverdunke- 
lung in der integrierten Gesamtstrahlung unabhängig von der Temperatur. 

16. Die Gesamtstrahlung der Sonne und der Fixsterne. Die 
Temperatur der Sonne kann aus der Solarkonstante berechnet wer- 
den und ergibt sich zu rund 5800°. Konstruiert man die Strahlungs- 
kurve nach Planck für einen schwarzen Strahler dieser Temperatur, 
so ergeben sich erhebliche Abweichungen der Intensität der Sonnen- 
strahlung gegen die Beobachtungen der Intensität des Sonnenspektrums. 
Umgekehrt, wenn man aus der Intensität der maximalen Strahlung 
nach dem Wienschen Verschiebungsgesetze oder aus dem Gradienten 
der Intensität in einzelnen Teilen des Spektrums die Temperatur der 
Sonne als eines schwarzen Strahlers berechnet, so erhält man verschie- 
dene Werte zwischen 5500° und 6000°. Das nämliche gilt sicher auch 
für die Strahlungskurven der Sterne anderer Spektraltypen und be- 
sonders für die roten Sterne mit starken Absorptionsbanden. Trotzdem 
wird auch die Gesamtstrahlung dieser Sterne nach der Stefan-Boltz- 
mannschen Formel xr?67% berechnet, wo r der Radius des Sterns in 
cm und o die Stefansche Konstante, 6 —= 5,70 - 1075 erg em? sec? ist, 
und für 7 eine gewisse effektive Temperatur eingesetzt wird. Hierbei 
wird also von einer Randverdunkelung, die nıcht bekannt ist, abge- 
sehen. Das Studium der Randverdunkelung sowohl bei der Sonne als 
auch bei den Sternen ist für die Theorie des Strahlungsgleichgewichts 
und das Temperaturproblem von größter Bedeutung, und einige Me- 
thoden zu seiner Bestimmurg sollen noch besprochen werden. 

17. Interpolationsformeln für die Randverdunkelung bei Be- 
deckungsveränderlichen und bei der Sonne. P. Harzer hat in drei 
Arbeiten: „Über die Helligkeitsabnahme von Bedeckungsveränder- 
lichen“12), „Über die Bestimmung der Randverdunkelung der Sonne 


124) Smiths. Ann. IV (1922). 
125) Publik. der Sternwarte Kiel 16 (1927). 


878 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


während einer Sonnenfinsternis“!?°) und „Theoretische und praktische 
Untersuchungen über die Bestimmung der Randverdunkelung der 
Sonne usw.“!?”) den Einfluß der Randverdunkelung bei kreisförmigen 
Scheiben eingehend behandelt. Die erste Arbeit bezieht sich auf die 
Auswertung der Lichtkurven von Bedeckungsveränderlichen, die beiden 
anderen verwerten dieselben Formeln zur Bestimmung der Randver- 
dunkelung der Sonne bei einer Sonnenfinsternis. 

Nach der schon erwähnten Theorie von K. Schwarzschild'*) muß 
die Helligkeitsverteilung auf der Sonnenscheibe unabhängig von der 
Wellenlänge bei Strahlungsgleichgewicht der Formel genügen 


(82) J=-J4(1—c+eVi—n), 


wo J, die Helligkeit des Zentrums der Sonne, © der Austrittswinkel 
der Strahlen im Abstande r vom Zentrum der Scheibe ist. Die Kon- 
stante c hat nach Schwarzschild den Wert ce=. Tatsächlich ist aber 
die Randverdunkelung der Sonne für alle Wellenlängen verschieden 
und folgt dem obigen Gesetze nur für gewisse Strahlengattungen 
sehr angenähert. Außerdem können wir für Sterne anderer Spektral- 
typen und anderer Durchmesser eine wesentlich andere Randverdunke- 
lung erwarten als bei der Sonne. Harzer erweitert die obige Formel 
für die Randverdunkelung durch zwei weitere Glieder mit unbestimm- 
ten Koeffizienten c,, indem er in dem Rlanmeinen Ansatze 


(33) J— 127% Dre, .Vü—r)) — „(+ 2% cos“) 


die Glieder bis «= 3 mitnimmt; er führt die Berechnung der Licht- 
mengen für eine teilweise Bedeckung einer kreisförmigen Scheibe mit 
Randverdunkelung durch eine andere dunkle Scheibe bei verschiedenen 
Radienverhältnissen derselben streng durch. Mit Hilfe einer Reihe 
von Hilfstafeln ist es möglich, für beliebige Werte von c,, c, und c,, 


e .. . F . 
sowie für verschiedene k = „ die Verfinsterungskurve zu konstru- 
2 


ieren. Bei der jetzigen Genauigkeit der Beobachtungen ist es meistens 
noch schwer zu entscheiden, welche von den beiden Annahmen, einer 
gleichmäßig hellen oder einer total verdunkelten Scheibe (die den 
Werten ,=1, ,=«%=0 entspricht), den Beobachtungen besser 
genügt; es ist also bisher keine Aussicht vorhanden, bei Verfinste- 
rungsveränderlichen drei Konstanten der Randverdunkelung abzuleiten. 


126) Astr. Nachr. Nr. 5663 (1929). 
127) Publik. der Sternwarte Kiel 18 (1931). 


128) Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre. Nachr. d. Ges. d. Wiss. Göt- 
tingen 1906. 


17. Interpolationsformeln für die Randverdunk. bei Bedeckungsveränderlichen. 379 


Formeln für die Schwarzschildsche Form mit einer unbestimmten 
Konstante c hat Schoenberg im Handbuch für Astrophysik, Bd. II, 
1. Hälfte, p. 30, angegeben. 

Anders verhält es sich bei der Sonne, bei der eine direkte Mes- 
sung der Helligkeitsabnahme zum Rande möglich ist. Zahlreiche Mes- 
sungen'?®), von denen wir diejenigen von Abbot!?%) schon angeführt 
haben, ergeben einen wesentlich stärkeren Helligkeitsabfall im vio- 
letten als im roten Teile des Spektrums und müßten für ihre Dar- 
stellung durch eine der obigen Formeln recht verschiedene Werte der 
Konstanten für die einzelnen Wellenlängen erfordern. Das Gebiet der 
Wellenlängen von 323 bis 662 uu hat R. Witting'?') durch eine For- 
mel der Form (32) darzustellen versucht, fand aber noch Abweichun- 
gen bis zu 6%, der zentralen Helligkeit, während P. Harzer'??) bei 
seiner Formel mit drei Konstanten für die Wellenlänge 604 un eine 
Darstellung bis auf 1%, gelang. 

Es ist aber von verschiedenen Seiten und zuerst wohl von dem 
niederländischen Physiker W. H. Julius'??) darauf aufmerksam gemacht 
worden, daß diese direkten Messungen der Helligkeitsverteilung auf 
der Sonnenscheibe bedeutenden Fehlern unterworfen sind, die einer- 
seits in der Luftunruhe ihre Ursache haben, andererseits in der Hel- 
ligkeit des diffusen Atmosphärenlichtes, das sich zur Sonnenhelligkeit 
addiert. Die Luftunruhe verwischt die Helligkeitsunterschiede angren- 
zender Teile in einer schwer zu berücksichtigenden Weise; das diffuse 
Himmelslicht an einer bestimmten Stelle der Sonnenscheibe ist eine 
Integralwirkung des Beugungslichts der ganzen Umgebung der be- 
treffenden Stelle und würde zu seiner Berechnung schon die Kenntnis 
der außeratmosphärischen Helligkeit der einzelnen Teile der Sonne 
erfordern. Die Helligkeit des diffusen Lichtes ist außerdem von der 
Apparatur abhängig, mit der die Messung ausgeführt wird. 

Diese Fehlerquellen sind bei der Messung der Totalhelligkeit der 
Sonne während einer Finsternis zum Teil ausgeschaltet, zum Teil 
andersartig. Die Luftunruhe spielt keine Rolle. Das zerstreute Atmo- 


129) W.E. Wilson a. A. A. Rambaut, Proceedings of the R. Irish Academy. 
3 ser. Vol. II (1892), p. 299. E.B. Frost, Observations of the thermal absorp- 
tion etc. A.N. 130 (1892), p. 129. F. W. Very, The absorptive power of the solar 
atmosph. Astroph. Journ. 16 (1902), p. 73. K. Schwarzschild u. W. Villiger, On the 
distribution of Brigtness etc. Astroph. Journ. 23 (1906), p. 284. 

130) Ann. Astroph. Obs. Smith. Inst. 3 (1913), p. 157. 

131) Festkrift tillegnad A. Donner etc. Helsingfors 1915. Om strälningen 
frän olika delar af solskivan, p. 18. 

132) Publik. d. Sternwarte Kiel 16 (1927), p. 4. 

133) A new method for determining ete. Astroph. Journ. 23 (1906), p. 312. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 57 


880 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


sphärenlicht wirkt nur in seiner Gesamtheit innerhalb eines durch den 
Empfangsapparat begrenzten räumlichen Winkels. Von besonderem 
Werte ist die Möglichkeit, die Beobachtungen bis zum Ende der Fin- 
sternis auszudehnen und damit die Helligkeit der äußersten Randzone 
der Sonne zu erfassen, was bei direkten Messungen wegen der Luft- 
unruhe und des starken Helligkeitsabfalls niemals einwandfrei mög- 
lich ist. W. H. Julius hat eine empirische Methode zur Bestimmung 
der Energiedichte der Sonnenscheibe aus Finsternisbeobachtungen vor- 
geschlagen und an zwei Beispielen durch numerische Rechnung ge- 
prüft.'°®) Aus gleichmäßig dieckem Papier wurden durch konzentrische 
Kreise begrenzte Stücke ausgeschnitten, denen man gleiche, zunächst 
unbekannte Energiedichten zuschrieb und aus denen man den wäh- 
rend der einzelnen Phasen der Finsternis unbedeckten Teil der Sonnen- 
scheibe zusammensetzte; darauf wurden diese Papierausschnitte ge- 
' wogen und lineare Gleichungen mit den unbekannten Dichten und 
den bekannten Gewichten der Teile aufgestellt, die die beobachtete 
Helligkeit enthielten. Die Auflösung derselben ergab die Energie- 
dichten für die einzelnen Kreise der Scheibe. Später hat Minnaert'?®®) 
für die Erfassung der äußersten Randzone bei totalen und ringförmi- 
gen Finsternissen Formeln vorgeschlagen, die eine Ergänzung zu der 
Methode von Julius sein sollten, weil diese am äußersten Sonnen- 
rande versagt. 

Minnaert fand auf diese Weise aus den letzten Minuten vor der 
Totalität bei einer Reihe von Finsternissen den Abfall der Helligkeit 
am Rande der Sonne wesentlich abweichend von der Schwarzschild- 
schen Formel und von den Ergebnissen direkter Messungen; der Ab- 
fall der Helligkeit verläuft hier ganz steil. Während nach Schwarz- 
schilds Formel die Helligkeit am Rande nur auf 40°/, der zentralen 
herabsinkt, zeigen die Finsternisbeobachtungen der Totalhelligkeit, 
daß dieser Wert in etwa 0,01 R vom Rande erreicht wird, worauf 
dann die Helligkeit steil zu O abfällt. Die Minnaertschen Formeln 
für die Totalhelligkeit in der Nähe der Verfinsterung setzen aber 
schon einen hypothetischen Helligkeitsabfall voraus. 

O. Heckmann und H. Siedentopf'*) haben eine Methode für die 
Berücksichtigung des Einflusses der Luftunruhe bei direkten Messun- 
gen der Helligkeitsverteilung angegeben und diese auf Beobachtungen 
von A. Juska'?°) in Göttingen angewandt. Nach Anbringung der Kor- 
rektionen wegen Szintillation zeigt sich tatsächlich, daß der Abfall 


133a) Monthly Not. 89 (1928), p. 197. 
134) Veröffentl. der Sternwarte zu Göttingen, Heft 8 (1929). 
135) Veröffentl. der Sternwarte zu Göttingen, Heft 7 (1929). 


18. Strenge Berechn. der Helligkeitsverteilung nach Heckmann und Siedentopf. 881 


der Helligkeit bis zu einem Abstande von 0,01 R wesentlich flacher 
verläuft, als bisher angenommen wurde, und bei etwa 0,005. R der 
steile Abfall bis zum Nullwerte am Rande ansetzt. 


18. Strenge Berechnung der Helligkeitsverteilung aus Finster- 
nisbeobachtungen nach Heckmann und Siedentopf.'?) Totale Sonnen- 
finsternis. In der Fig. 7 ist S und M der 
Mittelpunkt der Sonne und des Mondes, A 
ihr Abstand. Der Radius der Sonne ist 1, 
der des Mondes m. In der schmalen Rand- 
zone zwischen r und r + dr sei die Hellig- 
keit f(r). Der Winkel PSM sei 180° — p; 
der Grenzwert p, bis zu dem mit konstan- 
tem r und f(r) zu integrieren ist, hängt 
von A ab. Es wird nur diejenige Phase 
betrachtet, bei der der Mondrand den Mit- 
telpunkt der Sonne bereits überschritten 
hat, wo also m —1<A<m ist. Es sei 
weiter h die beobachtete Gesamthelligkeit des unverfinsterten Teiles 
der Sonne, c eine Konstante. Es ist dann 








Fig. 7. Totale Sonnenfinsternis. 


1 
(34) hm ze [rrw) arc tr gr 


In den gleichen Einheiten gilt für I, die Gesamthelligkeit der Sonnen- 
scheibe 


Im cxf(0) A 


wo f(0) die zentrale, f die mittlere Flächenhelligkeit der Sonne ist. 
Durch Division erhält man 
h z fr) m’— r?— A? 


/ 8 #0) 
(34) Tran note eos, Ar. 


a; 
Der Wert von {® ist für die einzelnen Wellenlängen verschieden und 


bekannt, die Funktion En soll aus den beobachteten Totalhelligkeiten 
bestimmt werden. 
Zur Lösung der Integralgleichung (34) schlagen Heckmann und 


Siedentopf folgenden Weg ein. Zunächst wird statt m und r eingeführt 


(85) o=1—r, v=-m-—J, 
67* 


882 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


weil bei der Beschränkung der Aufgabe auf Phasen nahe der Tota- 
lität beide Größen o und u klein werden gegen 1. Es wird dann der 
Kern der Integralgleichung 


?— 0?+2?(u+e)— A? 
2A(1—e) 








— arceos["T® A N. 


u 
I'(e, A) = arc cos A Baum 


Diese Funktion wird nach den Potenzen des zweiten Bruches in der 


Klammer, der klein ist gegen den ersten, entwickelt, und es ergibt sich 
1 


A 278 
(36) T(g, A)— arcoos!t® + a 4)] 
1 
1 u? uw + 0\272 
sei rer eh 
Wenn man sich auf das erste Glied dieser Entwicklung beschränken 
könnte, so wäre das Problem gelöst, denn die Integralgleichung 
a—u 


(37) "= 20 | 1- )f— o)arecos"F%de 


0 








kann durch die Differentiation nach A auf die Abelsche Form ge- 
bracht werden. Die Abschätzung des zweiten Gliedes der Reihe (36) 
zeigt aber, daß für A > 0,02 dasselbe schon von Bedeutung wird und 
daß man bei größeren Werten von A bis 0,7 und einer Genauigkeit 
von 1°, in I'(e, A) schon zwei Glieder mitnehmen muß. Um nun die 
Abelsche Form der Integralgleichung beizubehalten, wird I'(g, A) in 
der Form 


(38) I'(e, A) = are cos Be u(o)v(A) 


dargestellt, wobei u und v geeignet gewählte Funktionen sind, die die 
gewünschte Genauigkeit für die Darstellung von I'(o, A) gewährleisten. 
Als solche Funktionen können lineare Ausdrücke gewählt werden, so 
daß man statt der Form (38) erhält: 


(39) T'(e, A) = arc cos ek + e«A)(1-+ Bo). 


Die Werte der Koeffizienten k, « und 8 sind durch numerische Aus- 
gleichung passend gewählt. Es wird dann 


A—u 


(40) h—2e | fl —o)are cost FL +aA)(1 + Be)(l —e)de. 


Setzt man hier 


= Ha; A-oOfü-ol+ Be) FR), 


18. Strenge Berechn. der Helligkeitsverteilung nach Heckmann und Siedentopf. 883 


so bekommt man 
a—u 
H(A)=2c | F(e)are cos ad do, 


0 


und hieraus durch Differentiation nach A 





‚ 2c Fe) 
H'(A) = A aluto)de 


Durch Einführung der neuen Variablen 


te’; P=0 


und der neuen Funktionen 

A ır 

<HW= EL) Flo)—= Dh 
erhält man die Abelsche Integralgleichung 

| ö 
S(t)dt 
o)= | ——dt 
(41) U 
u? 


mit der Umkehrung 





d 


Ö 
1a @G(ö 2.4 , ee 
(2) 9W)- 2 De an fa ($)Vz — öde. 





ur 


Ringförmige Finsternisse. Bei einer ringförmigen Sonnenfinsternis 
liegt das Problem insofern schwieriger, als vom Momente des zweiten 
Kontaktes an die Integralgleichung keine eindeutige Lösung mehr 
haben kann. Von diesem Momente an ist A<1— m und f(r) aus 
der Gleichung zu bestimmen: 


(43) h= 2. Jrron arc ek ge -- «fern ar); 


Diese kann man auch in der Form schreiben: 


m+ A 
A m zefrto)o6, A)dr + 2e\frF)g, A)dr + ufrtear). 
mMm+A 
Man sieht dann, daß man f(r) entweder in dem Bereich 2m — 1 sr<m 
vorgeben muß, wodurch es dann in dem Bereich m <r = bestimmt 
ist, oder umgekehrt. Das wird durch Fig. 8 veranschaulicht. Entnimmt 


884 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


man die Werte von f(r) für den gestrichelten Bereich anderen Be- 
obachtungen, so ist die Bestimmung für den Randbereich nach der 
oben besprochenen Methode möglich. 

Der Gang der Rechnung bei der Aus- 
wertung der Kurve h zur Bestimmung von 
f(r) ist bei partiellen Finsternissen fol- 
gender: 

1. Man hat die Funktion A, die in 
abgemessenen Zeitintervallen abgelesen ist, 
zunächst als Funktion der Abstände A 
darzustellen als h(A). 

2. Man berechnet die Funktionen u (o) 
und v(A). 

Fig. 8. Ringförmige Sonnenfinsternis. 3. Man berechnet die Funktion @’(Ö) 


S Mittelpunkt der Sonne, M Mittel- a . . 
Dunkt des Mondes. Der zu $ konzen. und erhält durch numerische Integration 


trische schraffierte Ring ist der Bereich ® (2) 
2m—1sr<m. Er wird umschlossen R i 
vom Bereiche m<r<1. 4. Hieraus bekommt man dann 


5 Rn ©) 
fl—Ve+u) (1—Yz+u)u(yz— u) 


Eine Anwendung dieser strengen Methode für die Auswertung von 
Finsterniskurven. ist noch nicht versucht worden. 








B. Die Resonanzstrahlung der Nebel und Kometen. 


Neben der Eigenstrahlung der Sonne und der Sterne und der reflek- 
tierten Strahlung der dunklen Körper ist für die Deutung der Helligkeit 
der Nebel und der Kometen die durch Sterne angeregte Resonanz- oder 
Fluoreszenzstrahlung von Bedeutung. Dieses Gebiet ist erst in neue- 
ster Zeit durch die Fortschritte der Quantentheorie einer mathemati- 
schen Behandlung zugänglich und für die Astrophotometrie fruchtbar 
geworden. Strenge Theorien der Lichtstärke des Emissionsspektrums 
haben aber, auch soweit sie vorhanden sind, bisher keine astronomische 
Anwendung gefunden. 


19. Untersuchungen über die galaktischen Nebel von Hubble. 
Die galaktischen Nebel, die gewöhnlich in zwei Klassen, die diffusen 
und die planetarischen Nebel eingeteilt werden, sind nach neueren 
Untersuchungen von Hubble‘?°) keine Selbstleuchter, sondern leuchten 
entweder in reflektiertem Licht naheliegender Sterne, oder, wenn sie 
neben dem kontinuierlichen ein Emissionsspektrum aufweisen, durch 





136) Astroph. Journ. 56 (1922), p. 162 und 400. 


19. Untersuchungen über die galaktischen Nebel von Hubble.. _ 885 


Anregung einer Eigenstrahlung ebenfalls durch benachbarte oder ein- 
gebettete Sterne von besonders hoher Temperatur. 

Der Fall reiner Reflexion der Sternstrahlung an dunklen Staub- 
wolken wird von uns in einem besonderen Kapitel behandelt werden. 
Er ist immer dort anzuwenden, wenn das Spektrum des Nebels mit 
dem der beleuchtenden Sterne identisch ist oder nur eine dem Ray- 
leighschen Gesetze entsprechende Verfärbung aufweist. Differentielle 
Intensitätsmessungen in verschiedenen Abständen vom beleuchtenden 
Sterne und in verschiedenen Farben liegen bei solchen Nebeln noch 
nicht vor, so daß Schlußfolgerungen über die Dichte und die Art der 
reflektierenden Partikel hier noch nicht möglich waren. Nur E. Herte- 
sprung“?") hat die Gesamthelligkeit der Plejadennebel vermessen und 
den Schluß ziehen können, daß dieselbe 3,5 bis 5,6 Gr.kl. geringer ist, 
als bei der Annahme vollständiger Diffusion des Sternlichts in den 
Nebeln zu erwarten wäre. Doch ist sowohl das Beobachtungsmaterial 
als seine Auswertung in diesem Falle noch Zweifeln unterworfen.'?®) 
Gesicherte Fälle der Identität des Nebel- und Sternspektrums sind in 
einer Veröffentlichung von V. M. Slipher'??) nachgewiesen. Größer ist 
die Anzahl von Nebelspektren mit Emissionslinien, auf die die Re- 
flexionstheorie keine Anwendung finden kann, weil hier die Spektren 
des Sterns und des Nebels total verschieden sind. 

H. N. Russell“) hat als erster die Vermutung ausgesprochen, daß 
auch dieses Emissionsspektrum durch die kurzwellige Strahlung nahe- 
liegender Sterne angeregt sein kann, und Hubble hat diese Annahme 
an einem großen Material bestätigt gefunden, so daß eine Temperatur- 
strahlung der Nebelmaterie heute als ausgeschlossen gelten kann. 

Den Nachweis des Ursprungs der Nebelstrahlung in der Strah- 
lung benachbarter Sterne hat Hubble für alle diffusen Nebel (mit 
kontinuierlichem und mit Emissionsspektrum) in folgender Weise er- 
bracht. Wenn der Nebel kein Eigenlicht besitzt, sondern von einem 
Stern erleuchtet wird, so muß seine Flächenhelligkeit von der Hellig- 
keit des Sterns abhängen und sich mit wachsender Entfernung von 
ihm vermindern. Der scheinbare Durchmesser auf der photographischen 
Platte muß dann auch eine Funktion der Sternhelligkeit und der Be- 
lichtungszeit sein, denn erstens wird ein um so größerer Teil der 
dunklen Nebelwolke vom Stern durchleuchtet sein, je heller dieser 


137) Astr. Nachr. 195 (1913), p. 448. 

138) E. Schoenberg, Theoretische Photometrie. Handb. d. Astroph. II, 1. Teil 
(1929), p. 166. 

139) Publ. of the Astr. Soc. of the Pacific. 30 (1918), p. 63. 

140) Proceed. of the Nation. Acad. of Sc. 8 (1922), p. 115. 


886 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


ist, und zweitens bilden sich bei zunehmender Belichtung schwächere 
äußere Partien des Nebels auf der Platte ab. Hubble zeigt, daß diese 
Abhängigkeit auf die einfache Form 


= ExXJIX const. 


gebracht werden kann, wo « der scheinbare Halbmesser des Nebels, 
E die Belichtungszeit und J die scheinbare Helligkeit des Sterns ist. 
Reduziert man auf gleiche Belichtungszeit und führt Größenklassen 
statt Helligkeiten ein, so ergibt sich hieraus die Beziehung 


m + 5 log« = const. = 11,61. 


Hier ist die Konstante aus einer Untersuchung der schwächsten Flächen- 
helligkeit, die bei einer gegebenen Belichtung gerade noch eine Schwär- 
zung hervorruft, theoretisch bestimmt. Es müssen also die Logarithmen 
der reduzierten Nebeldurchmesser und die Gr.kl. der Sterne in linearer 
Beziehung stehen. Hubble hat das an 80 Nebeln geprüft und voll be- 
stätigt gefunden, wobei die Konstante sich etwas kleiner, zu 11,0 er- 
gab. Die kleine Unstimmigkeit kann leicht dadurch erklärt werden, 
daß die scheinbaren Helligkeiten der Sterne durch die Nebelmaterie, 
durch die sie hindurchscheinen, etwas geschwächt sind. 

Die planetarischen Nebel, deren Anzahl nur gering ist (bisher 125), 
sind Himmelskörper mit Durchmessern von 12—15 Bogenminuten bis 
zu ganz kleinen, die kaum von Sternen zu unterscheiden sind. Sie 
sind von bestimmter Form und innerer Struktur (meist rund, ellip- 
tisch oder ringförmig) und haben in den meisten Fällen einen Stern 
in ihrem Zentrum. Dieser Stern ist der Erreger der Strahlung der 
Nebelmaterie. Ihr Spektrum besteht aus einer Reihe von hellen Linien 
und außerdem aus einem kontinuierlichen Teile, der an der Grenze 
der Balmerserie des Wasserstoffs beginnt und sich ins Ultraviolett 
erstreckt. 

Die diffusen Nebel zeigen keine bestimmte Form und Struktur. 
Hubble rechnet auch die dunklen Nebelwolken der Milchstraße, die 
sich durch Absorption des Lichtes der hinter ihnen gelegenen Sterne 
nachweisen lassen, zu den diffusen Nebeln. Wo sie leuchtend sind, 
zeigen sie entweder ein Emissionsspektrum, wie die planetarischen 
Nebel, oder ein kontinuierliches Spektrum, wie die sie erleuchtenden 
Sterne. Bei der Untersuchung der Spektraltypen der erregenden Sterne 
hat sich dabei die wichtige Tatsache ergeben, daß die Emissionsspektra 
der Nebel immer nur durch die heißesten Sterne von den Typen O bis 
Db, angeregt werden, während das Licht der Nebel mit kontinuierlichem 
Reflexionsspektrum von Erregern mit Spektraltypen von B, beginnend 
herrührt. Damit war erwiesen, daß für die Anregung eines Emissions- 


20. Die Theorie der Nebelstrahlung von H. Zanstra. 887 


spektrums der Nebel die hohen Temperaturen eine notwendige Be- 
dingung sein müssen. 


20. Die Theorie der Nebelstrahlung von H. Zanstra. Für den 
Mechanismus der Anregung kommen zwei Annahmen in Betracht: 
1. Anregung der Atome durch Linienabsorption und nachfolgende Re- 
emission und 2. photoelektrische Ionisation der Atome und nachfol- 
gende Lichtemission bei der Wiedervereinigung. 

H. Zanstra“") hat für ein vereinfachtes Problem eines nur aus 
Wasserstoff bestehenden Nebels mit reinem Emissionsspektrum eine 
Theorie der photoelektrischen Ionisation entworfen und gezeigt, daß 
diese mit Hubbles Ergebnissen bezüglich der Helligkeiten der Nebel 
in bestem Einklange steht. 

Die erstgenannte Theorie der einfachen Absorption und Reemis- 
sion kann nach Zanstra der Lichtstärke der Nebel nicht Rechnung 
tragen. 

Die zweite Annahme gibt wesentlich größere Lichtstärken. Der 
anregende Stern verhalte sich wie ein schwarzer Strahler bestimmter 
Temperatur. Durch die Absorption des gesamten Spektralgebiets jen- 
seits der Lymanserie (1 < 911,5 Ken) werden die neutralen Wasser- 
stoffatome photoelektrisch ionisiert. Bei Wiedervereinigung der freien 
Elektronen mit dem Atom werden dann die kontinuierlichen Spektra 
an der Grenze der Lymanserie, der Balmerserie usw. emittiert, beim 
Herabfallen der Elektronen von den höheren zu den tieferen Energie- 
stufen die Linien der verschiedenen Serien. Von diesen sind photo- 
graphisch erreichbar die Balmerserie und das kontinuierliche Spek- 
trum an ihrer Grenze. Beide werden in den Spektren der Nebel be- 
obachtet, das kontinuierliche bei diffusen Nebeln allerdings sehr selten, 
bei den planetarischen jedoch regelmäßig. Damit dieses erscheint, muß 
ein freies Elektron bei seiner Rückkehr in das Atom auf die zweite 
Energiestufe fallen. 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Elektron in einer Bahn mit 
der kleinen Quantenzahl » gebunden wird, wie das in dieser Theorie 
verlangt wird, erreicht nur dann beträchtliche Werte, wenn seine kine- 
tische Energie groß ist, vergleichbar mit der Bindungsenergie in der 
betreffenden Quantenbahn. Große Geschwindigkeiten der photoelektrisch 
losgelösten Elektronen haben wir aber erst bei sehr hohen Tempera- 
turen des anregenden Sternes zu erwarten. Da die Zentralsterne der 
planetarischen Nebel gerade zu den heißesten Sternen gehören, ge- 
winnt die Theorie darin ihre wichtigste Stütze. 


141) Astroph. Journ. 65 (1927), p. 50. 


888 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Zanstra erbringt noch den quantitativen Beweis seiner Theorie 
in folgender Weise. Nach der Theorie der Ionisation hängt die Inten- 
sität des Nebelspektrums von der des Ultraviolettspektrums des An- 
regers ab. Letzteres läßt sich aber nicht beobachten; wir können nur, 
wie Hubble es getan hat, das Intensitätsverhältnis des Nebellichtes zum 
photographisch wirksamen Sternenlicht ermitteln. Es muß also nach 
Zanstras Theorie versucht werden, für dieses einen theoretischen Wert 
zu berechnen. Bezeichnet man mit Nyn die Zahl der im photographisch 
wirksamen Gebiet pro Sekunde auf die Platte auftreffenden Quanten 
der Nebelstrahlung, durch Nyn die entsprechende Zahl für den an- 
regenden Stern und durch Nu die Zahl der aus der Ultraviolettstrah- 
lung des Sternes im Nebel absorbierten Quanten, so müßte wenigstens 
annähernd die Beziehung gelten 

Nph a Nul 
Na Na 








Durch Auswertung der Integrale N, und N,n für verschiedene Stern- 


Nph 
Nph 
Verhältnis ist eine mit der Temperatur des Sahlas sehr schnell an- 


wachsende Zahl. Die Tabelle von Zanstra ist hier angeführt. Da die 
Tabelle 7. Beobachtung für dasselbe Verhältnis den an- 
genäherten Wert 1 ergibt, so folgt, daß die 


temperaturen konnte Zanstra das Verhältnis Z = berechnen. Dieses 

















ii ir Temperatur der Sterne rund 33000° sein 
15.000 0,0075 muß. Bestimmt man diese Zahl getrennt für 
20000 0,066 die Nebel mit anregenden Sternen vom O- 
25.000 0,271 Typus und vom B-Typus, so erhält man 
eu see Temperaturen von 34000° und 28 000° resp. 
35000 1,41 ! { 
40000 2,50 Das stimmt aber mit den Temperaturen der 
50000 5,4 O- und der B-Sterne gut überein. Damit 
70000 15,3 hat die Theorie eine so gute Bestätigung er- 
BD UND 38 halten, als es bei der relativen Dürftigkeit 
200000 185 


der gemessenen Daten möglich war. 

Für die Zentralsterne der planetarischen Nebel, wo die L-Werte 
die Zahl 100 übersteigen, liefert die Tabelle allerdings unwahrschein- 
lich hohe Temperaturen. Indessen sind die Zahlen hier kaum zu ge- 
brauchen, weil in den planetarischen Nebeln nicht wie in den diffusen 
die Balmerserie die Haupthelligkeit liefert, sondern die sog. Nebulium- 
linien N, und N,. 

21. Die Helligkeitsverteilung auf elliptischen Nebeln. Unter den 
400 außergalaktischen Nebeln, die von E. Hubble“*?) klassifiziert wor- 


142) Astroph. Journ. 64 (1926), p. 321; Mt. Wilson Contributions Nr. 324 (1926). 


21. Die Helligkeitsverteilung auf elliptischen Nebeln. 389 


den sind, befinden sich 85 elliptische Nebel, die in ihrer scheinbaren 
Figur Exzentrizitäten von 0,3 bis 1 aufweisen. Die Helligkeitsvertei- 
lung auf den photographischen Bildern von 15 elliptischen Nebeln ist 
von Hubble auch annähernd untersucht.) Wegen der guten Über- 
einstimmung der beobachteten Exzentrizitäten mit den von Jeans theo- 
retisch gefolgerten Gleichgewichtsfiguren stark kompressibler rotieren- 
der Gasmassen schien dieses Ergebnis der Messung eine große kosmo- 
gonische Bedeutung und die Frage über die Statistik der einzelnen 
Abplattungen ein besonderes Interesse zu haben. Die beobachteten 
Exzentrizitäten sind durch die Projektion natürlich verfälscht. Eine 
theoretische Bestimmung der wahrscheinlichsten Helligkeitsverteilung 
einer solchen rotierenden Gasmasse gewinnt dadurch an Bedeutung, 
daß bei gewissen wahrscheinlichen Voraussetzungen aus der Hellig- 
keitsverteilung auf der Projektion des Nebels das Gesetz der Hellig- 
keits- und Dichteverteilung im Inneren des Nebels erschlossen wer- 
den kann. 

Diese Aufgabe hat P. ten Bruggencate'“*) behandelt. Seine Aus- 
führungen werden hier in Kürze wiedergegeben. 

Die Voraussetzung des Problems sind: 1. Die Figur des Nebels 
ist ein Rotationsellipsoid, und auch die Flächen gleicher Leuchtkraft, 
die vom Zentrum nach außen abnehmend gedacht wird, sind konzen- 
trische, koaxiale, ähnliche Ellipsoide; 2. es findet keine merkbare Ab- 
sorption und keine Abdeckung der Strahlung im Inneren des Nebels 
statt, so daß die Helligkeit in jedem Punkte der sichtbaren Projek- 
tion die Summe der Helligkei- zZ’ gQ 
ten aller in der Gesichtslinie 
liegenden Partikel des Nebels 
von der hinteren bis zur vor- 
deren Begrenzung des Nebels ist. 

Der Ursprung des Koordi- 











natensystems wird in das Zen- Q 

trum des Nebels gelegt, die z- ß 4 

Achse fällt in die Gesichtslinie; ns 
; i ; ER 6% 

die z-Achse in die Schnittlinie 47 

des Nebeläquators mit der Pro- x’ 

jektionsebene xy. Dann liegt _* Y Erde 


ü a Fig. 9. Das Rotationsellipsoid und seine Projektion. 
also die x-Achse in der großen 


Achse der sichtbaren Ellipse («), die y-Achse in der kleinen Achse 
derselben (ß); s. Fig. 9. Die yz-Ebene schneidet den Nebel längs 


143) Astroph. Journ. 71 (1930), p. 231. 
144) Ztschr. f. Astroph. 1, p. 275. 


890 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


einem Meridian; in diesem liegt die Rotationsachse 2” und die dazu 
senkrechte Achse y’. Wenn die Helligkeitsverteilung in diesem Schnitt 
bekannt ist, so ist die Aufgabe wegen der herrschenden Rotations- 
symmetrie gelöst. 

Nennt man I(x, y) die beobachtete Intensität im Punkte z, y der 
Projektion des Nebels, H(z,y, 2) die gesuchte Intensität im Raum- 
punkte z,y,z, so gilt nach den Voraussetzungen die Gleichung 


(1) I«, y) =fRts, Y 2) de, 


wobei die Integration längs einer zur 2-Achse parallelen Geraden von 
der hinteren (z,) bis zur vorderen (z,) Begrenzung auszuführen ist. 
Die Flächen gleicher Helligkeit sollen durch die Gleichung 

(2) 2—= va, y,@) 

gegeben sein, wobei der Parameter & die einzelnen Flächen festlegt 
und von innen nach außen wachsend angenommen werden darf. Die 
durch den Punkt x, y gehende z-Gerade wird eine innerste Fläche 
berühren, die durch den Parameterwert « = «, charakterisiert werden 
soll, und alle äußeren Flächen in zwei Punkten schneiden. Die Ober- 
fläche des Nebels kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit durch 
den Parameterwert «= 1 festgelegt werden. Der Helligkeitsabfall HZ 
im Inneren des Nebels kann jetzt als reine Funktion von « betrachtet 
werden. Es ist die scheinbare Helligkeit im Punkte x, y 


(3) I(2,y) = 2 H(e) ds. 


Man erhält aus (2) ER; 
(4) ds EHI gu 


und nach Einsetzen von dz eine Integralgleichung 


1 
(5) Iay)—2 ji N 


Sie gehört zu den Volterraschen Integralgleichungen erster Art, deren 
eindeutige Lösung nach der Methode der Iteration im allgemeinen 
Falle möglich ist. Die Gleichung (5) reduziert sich auf eine mit nur 
einer Variablen für die Punkte längs der großen Achse (y= 0) und 
der kleinen Achse (2 0) der Projektion. Im ersten Falle ist außer- 
dem «=, im zweiten «, = «a,(Y). Setzt man also die Kenntnis der 
Funktion »(z, y, «) voraus und mißt, wie das Hubble getan hat, die 


21. Die Helligkeitsverteilung auf elliptischen Nebeln. 891 


Intensitätsverteilung längs der großen und der kleinen Achse der Pro- 
jektion, so gibt die Lösung der Integralgleichungen 


1 
(6) IAOR EI POLL DErP 
und j 1 
@ 1) = 2 fat) Gr au 
a, (y) 


die gesuchte Funktion H(«). 

Die Bestimmung der Flächenschar 2 = v(x, y, «) ist freilich nur 
aus den Beobachtungen selbst durch sukzessive Näherungen möglich. 
Dabei ist » und deshalb auch HZ von der Neigung der Rotationsachse 
des Nebels gegen die Gesichtslinie abhängig. Da aber die Exzentri- 


zität der Projektion des Nebels e—1—®, mit der Elliptizität 


ap f . 

e —-yı — ; durch die Gleichung zusammenhängt 
(8) g=esini, 
und & bekannt ist, so kann man H als eine Funktion von « und e 
(H(«, e)) auffassen, und es ist die Lösung für verschiedene Werte von 
e getrennt aufzusuchen. 

Bei konzentrischen, koaxialen und ähnlichen Rotationsellipsoiden, 
als Flächen gleicher Helligkeit, ist bei a —=1-—.e? die Gleichung (2) 
leicht auf die Formel zu bringen 
(9) A1—-— N)? + (1 —e costi)y?-+ (1 — e? sin?i)z? 

— 2e? sini ecosiyz = a?!(1 — e?), 

wobei der Parameter « zugleich die große Achse der Ellipsoide be- 


stimmt. 
Für Punkte der großen Achse der Projektionsellipse haben wir 


zer, y=0 
und finden aus (9) 


2=vYV(a,0,e)= V Su Ve? — x. 
Hieraus folgt BE 
(10) is!“ ade 


1—:? Ve 


Die Integralgleichung (6) nimmt dann die Form an 


11) 1-2 yi=a | m) See. 








892 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Für Punkte der kleinen Achse der Projektion gilt 
=0, yy, 


„‚ Sind cosiy SV ya- 


1—e? ade 
. Be 
a 
Die Gleichung (7) wird zu en; 
gen 
(11a) LYy)= lasls Fol ar — ) "do. 


ya-e)} 


und es wird 
z=v(0,y, «) ea 


Hieraus 























Die untere Grenze dieses Inteorals « — —?— erhält man aus der 
® p yı- 


Überlegung, daß y der Abstand der zur z-Achse parallelen Tangente 
an die Ellipse des Parameters «, von der 2-Achse ist. Bezeichnet man 
noch in (11) 


(12) VI: 1@=r«), 


so schreibt sich die Lösung derselben nach P. ten Bruggencate‘®) in 
der Form 


(13) Hoya 2 de 


d(@) Var a® 





und kann für vorgegebene Werte der Funktion I,(x) leicht ausge- 
wertet werden, natürlich nur bis auf den unbekannten Proportiona- 


1—e? 
litätsfaktor / - Pan 
Setzt man in (11a) 
Y 


er, 
V.ZsL0ViZA)=F6), 


so erhält man statt (11a) die Gleichung 





ne 
und bezeichnet 





Fo)—=2 f Be) 
deren Lösung in (13) gegeben ist, 


145) P. ten Bruggencate, Die Sternhaufen, p. 76. Berlin 1927, Julius Springer. 


22. Die Resonanzstrahlung der Kometen. 893 


Vergleicht man die Gleichungen (11) und (11a), so sieht man, 
daß die Intensitätsverteilung längs der großen Achse der Projektion 
als Funktion von x (x ausgedrückt in Einheiten der großen Achse) 
den gleichen Verlauf zeigen muß, wie die Intensitätsverteilung längs 
der kleinen Achse als Funktion von y (y ausgedrückt in Einheiten 
der kleinen Achse). 

Es erweist sich, daß dieses Ergebnis der Theorie in Hubbles Mes- 
sungen der Intensitätsverteilung in zehn elliptischen Nebeln sehr genau 
erfüllt ist. 

Ein interessantes Ergebnis der Messungen ist weiter, daß die In- 
tensitätsverteilung längs den Achsen der Projektion für alle Nebel die- 
selbe ist. 

P. ten Bruggencate hat diesen Verlauf der Helligkeit: log I(«), 
wo x in Einheiten der großen Achse gemessen ist, mit dem Verlauf 
von log /(y), wo y in Einheiten der kleinen Achse gemessen ist, iden- 
tisch gefunden und mit Hilfe der graphisch gemessenen Gradienten 
AlogI eine Integration der Gleichung (13) ausgeführt. 

Er fand, daß H(«) nahezu umgekehrt proportional zu « vom 
Zentrum abnimmt. Er schließt daraus, daß die Annahme konfokaler, 
koawialer Ellipsorde als Flächen gleicher Leuchtkraft und Dichte nicht 
zutreffen könne. 

22. Die Resonanzstrahlung der Kometen. Das Spektrum der 
Kometen ist in großer Sonnenentfernung ein reflektiertes Sonnen- 
spektrum. Dasselbe bleibt auch in der Sonnennähe erhalten, tritt 
aber hier gegen das hellere Bandenspektrum stark zurück. Die hellen 
Banden und einzelne helle Linien sind als Emissionsspektrum des 
Kohlenstoffes, besonders seiner Verbindungen, des Kohlenmonoxyds 
und des Zyans erkannt. Die charakteristischen hellen Banden tragen 
den Namen des Swanspektrums. Bei einzelnen Kometen mit sehr 
kleiner Periheldistanz hat man außerdem in Sonnennähe das Auf- 
leuchten der gelben Natriumlinien beobachtet und beim großen Ko- 
meten vom Jahre 1882, mit der Periheldistanz von nur 0,008 astro- 
nomischen Einheiten, auch die gesamten hellen Linien des Eisen- 
dampfes. 

Die physikalische Deutung dieser Erscheinungen ist heute allge- 
mein folgende: der Kometenkopf besteht aus einer Meteorwolke, deren 
Bestandteile jedenfalls größer sind als 1 cm im Durchmesser und die in 
Sonnenferne allein durch das reflektierte Sonnenlicht sichtbar sind. 
Sie enthalten in gebundenem Zustande die genannten Gase, und diese 
werden in Sonnennähe unter dem Einfluß der Erwärmung frei; sie 
bilden die Koma oder den vergrößerten Kopf des Kometen. Diese 


894 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Koma, als der hellste Teil des Kometen, ist es, die meistens spektral- 
analytisch untersucht wird, und auf sie beziehen sich die genannten 
Ergebnisse über die Beschaffenheit des Spektrums der Kometen. In den 
Fällen, wo es gelungen ist, auch das Spektrum des Schweifes zu unter- 
suchen, hat man mit der Entfernung vom Kopfe einen Übergang zum 
reinen Bandenspektrum des einfach ionisierten Kohlenmonoxyds fest- 
stellen können. Ein schwaches kontinuierliches Sonnenspektrum ist in 
der Regel auch im Schweife festzustellen. 

Eine photometrische Analyse der Helligkeiten ist bei den Kome- 
ten deshalb so schwierig, weil die Trennung der beiden Bestandteile 
ihrer Helligkeit, des reflektierten Sonnenlichtes und der durch die 
Sonne angeregten Resonanz- oder Fluoreszenzstrahlung, die das helle 
Bandenspektrum bedingt, nur in den seltensten Fällen möglich ist. 
Sichere Daten liegen eigentlich nur für die Gesamthelligkeit der 
Kometen vor, und die Ergebnisse solcher Beobachtungen in verschie- 
denen Abständen von der Sonne und von der Erde bestätigen nur 
diejenigen der neueren Spektralanalyse: die Entwicklung von Eigen- 
strahlung in Sonnennähe. 

Holetscheck“‘*) hat in seinen umfangreichen Bearbeitungen der 
Helligkeiten aller historisch bekannten Kometen die Reduktion auf 


die Einheit des Abstandes von Sonne und Erde mit Hilfe des quadra- 


1 


tischen Gesetzes („a3 wo r der Sonnen-, A der Erdabstand ist) aus- 


geführt. Es zeigte sich aber bald, daß die Potenz von r höher ange- 
setzt werden muß. $. V. Orlow“) suchte diesen Exponenten aus den 
beobachteten Helligkeiten zu bestimmen und fand verschiedene Zahlen 
mit dem Durchschnittswert 3,5. Endlich hat $. Vsechsviatsky'?) aus 
einem Material von etwa 70 Kometen den Durchschnittswert 4 ab- 
geleitet. Die Beobachtungen beziehen sich meistens auf die Gesamt- 
helligkeit des Kometenkopfes. Es nimmt also diese bei Annäherung 
an die Sonne wesentlich schneller zu, als bei reiner Reflexion der 
Sonnenstrahlung zu erwarten wäre. 

Differentielle Helligkeitsmessungen der Koma und des Schweifes 
in dessen verschiedenen Teilen sind erst in neuester Zeit auf Photo- 
graphien vereinzelt gelungen. K. Schwarzschild und E. Kron'?) haben 
solche Messungen des Kometen Halley theoretisch behandelt. Die 


146) Untersuchungen über die Größe und Helligkeit der Kometen und ihrer 
Schweife. Denkschr. d. Kais. Akad. d. Wiss. zu Wien, Math.-Phys. Kl. 63 (1896); 
78 (1905). 

147) Astr. Nachr. 189 (1911), p. 1 und 190 (1914), p. 157. 

148) Russ. astr. Journ. 2, Heft 2 (1925), p. 68. 

149) Astroph. Journ. 34 (1911), p. 342. 


22. Die Resonanzstrahlung der Kometen 395 


Helligkeit wird von ihnen als von einer Resonanzstrahlung herrührend 
aufgefaßt. Da gleichzeitige Messungen der Geschwindigkeit der 
Schweifmaterie vorlagen, konnte aus dieser photometrischen Analyse 
der wichtige Schluß gezogen werden, daß der Leuchtvorgang nicht 
etwa in der Koma entsteht und in den Schweif durch die Bewegung 
der Materie übertragen wird, sondern ein gleichzeitig in der Koma 
und im Schweif angeregter Zustand ist. 

Wesentlich weiter hat H. Zanstra"°®) den Vorgang der Resonanz- 
bzw. der Fluoreszenzstrahlung der Kometen verfolgt. 

Um ‘die von Holetschek reduzierten Kometenhelligkeiten zur Prü- 
fung der Resonanztheorie verwenden zu können, entwickelt Zanstra 
Ausdrücke für die visuelle Helligkeit einer Kometenkoma unter der 
Voraussetzung, daß dieselbe durch die Strahlung der hellen Banden des 
Swanspektrums oder der hellen Natriumlinie allein bedingt ist. Um 
diese Helligkeit in Sterngrößenklassen, wie sie Beobachtungen der 
Kometen geben, auszudrücken, wird die Helligkeit der als Kugel an- 
genommenen Koma des Kometen in Einheiten der Sonnenhelligkeit 
abgeleitet. Das geschieht in folgender Weise. 

Die Werte der physiologischen Koeffizienten ®, des menschlichen 
Auges werden zunächst in Sichtbarkeiten pro Quant ß umgerechnet 
mit Hilfe der Beziehung 

O,hv=Bß, 
die sich aus der Überlegung ergibt, daß die Sichtbarkeit eines Quants 
dem Produkt aus seiner Energie hv und der Sichtbarkeit im gewöhn- 
lichen Sinne für die entsprechende Wellenlänge ist. 

Die Strahlung der Sonne wird als diejenige eines schwarzen 
Strahlers von 6000° angenommen, wobei die Wiensche Formel be- 
nutzt wird, so daß, wenn o, die Energiedichte für die Frequenz v be- 
deutet, diese aus der Formel 

hv 
(1) u Yuaeı ne we 
(ce = Lichtgeschwindigkeit, h = 6,56 - 10-°7, k— 1,372 . 10-9) 
zu finden ist, während die von der Sonne in einer Sekunde ausge- 
strahlte Energie sein muß 
(2) aR?co,dv; 
die gesamte Anzahl der Quanten innerhalb dv, die von der Sonne in 
einer Sekunde ausgestrahlt werden, erhält man durch Division von 
(2) durch hv; somit ist diese Zahl 
Bat RaR 
c*h® 

150) Monthly Not. 89 (1929), p. 178. 

Encyklop. d. math. Wissensch, VI 2, B. 58 





hv 
I3m2p—r 2 
T’are"’dz, w =, 





896 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Multipliziert man diese Zahl mit der Sichtbarkeit pro Quant und in- 
tegriert über alle Frequenzen, so erhält man die visuelle Gesamt- 
helligkeit der Sonne als 
2 27.3 r 
u 74 Berertde. 
) 


(8) B- 





Die Helligkeit der Kometenkoma in einer bestimmten Frequenz v,, 
die von der Materie des Kopfes absorbiert und dann reemittiert wird, 
berechnet Zanstra folgendermaßen: Da die Absorption in einer ge- 
wissen Ausdehnung um die Frequenz v, vor sich geht, wobei bei 
totaler Absorption nur in der Mitte voller Lichtverlust eintritt, der 
nach beiden Seiten abklingt, so wird eine gewisse effektive Breite 
Av, eingeführt, für die die Absorption in allen Teilen gleich ist; als 
relative effektive Breite erhält man dann 





Av Ax 
(4) far er ee ar 


Wenn der Kometenkopf von der Sonne aus unter dem räum- 
lichen Winkel & erscheint, so ist n der Bruchteil der Sonnenstrah- 
lung, der vom Kometen aufgefangen wird, und von diesem wird ein 
Bruchteil, der der Frequenzbreite Av, entspricht, absorbiert. Die An- 
zahl der absorbierten Quanten für die Wellenlänge « ist deshalb 
(5) N, = m ee 








32 o-% . Fran 
Tale er; wo: Az, =wz,. 


Bei Resonanz wird dieselbe Anzahl Quanten wieder emittiert. Die 


visuelle Helligkeit des Kometenkopfes in dieser Resonanzlinie ist 


deshalb 
(6) B, ae DB, ns 


wo ß, die Sichtbarkeit eines Quantes von der Frequenz v, bedeutet. 

Aus den Gleichungen (3), (5) und (6) folgt als absolute visuelle 
Helligkeit des Kometenkopfes in Einheiten der absoluten Helligkeit 
der Sonne 


(M) 


bu 


BE. Buuze "e w 
ne 
fa’ e "dR 
N) 


Dieses ist die gesuchte Beziehung, die man für die einzelnen Emissions- 
linien auswerten kann, um damit den Betrag der Resonanzstrahlung 
eines Kometen zu prüfen. 

Hypothetisch bleibt dabei, wenn direkte Messungen der Breite 
und der Intensitätsverteilung der einzelnen Linien und Banden nicht 
vorliegen, der Wert von Av. Zanstra berechnet denselben nach einer 


22. Die Resonanzstrahlung der Kometen. 897 


theoretischen Formel aus der kinetischen Gastheorie, indem er für die 
Temperatur der Gase des Kometenkopfes diejenige der Meteore selbst 
annimmt und diese als schwarze Strahler betrachtet. Dabei wird totale 
Absorption der betreffenden Wellenlängen angenommen. Das Ergebnis 
ist schon für eine der hellsten Banden des Spektrums eine Helligkeit, 
die die beobachtete bei weitem übersteigt. Zanstra schließt daraus, 
daß die Annahme von Resonanzstrahlung bei Annahme unvollkommener 
Absorption, die natürlich geringere Helligkeiten ergeben muß, für den 
Mechanismus der Strahlung aufrecht erhalten werden kann. 

Will man Fluoreszenz statt Resonanz annehmen, so bedeutet das 
nur, daß die absorbierte Spektrallinie eine kürzere Wellenlänge y be- 
sitzt als die emittierte Wellenlänge «. Nachdem ein Quant in der 
Linie y absorbiert ist, fällt das Elektron auf ein tieferes Energie- 
niveau, wobei die Spektrallinie « emittiert wird; für jeden absorbierten 
Quant werden nur f Quanten derselben Wellenlänge, wo f<1 ist, 
reemittiert. Der Fall erlaubt die Anwendung derselben Theorie, wobei 
nur der Faktor f miteingeführt werden muß. 

Eine genauere Prüfung der Theorie wird nur aus spektralphoto- 
metrischen Aufnahmen möglich sein, wenn die absoluten Helligkeiten 
der Banden und Linien vermessen vorliegen werden. Bei Verwertung 
von Gesamthelligkeiten der Koma geht als unsicheres Element auch 
die Ausdehnung der Koma ein, die meistens nicht genau bekannt ist. 
Bei flächenphotometrischer Vermessung der Spektrogramme würde 
dieses Element ganz herausfallen. 


C. Die reflektierte Strahlung der Planeten und Meteore. 


Für die Photometrie derjenigen Himmelskörper, die in reflektier- 
tem Lichte leuchten, ist die Theorie der diffusen Reflexion von großer 
Bedeutung. Zu diesen Himmelskörpern gehören die kleinen und 
großen Planeten mit ihren Trabanten, die Kometen, der Saturnring, 
die Zodiakallichtmaterie und ein Teil der Nebelflecke. Die Verände- 
rungen, die das Licht der Sonne oder der Sterne bei der Reflexion 
an dunklen Körpern erleidet, sind so verschiedenartig in Abhängig- 
keit von der Natur dieser Körper, ihrer Form, ihrer Größe und ihres 
Aggregatzustandes, daß es eine allgemeine Theorie der diffusen Zu- 
rückwerfung des Lichtes nicht geben kann. Für die Astronomie, die 
aus der Veränderung der Strahlung bei der Reflexion die Natur der 
reflektierenden Körper beurteilen will, und für die im Gegensatz zur 
Physik das Studium dieser Veränderungen der einzige Weg zum ge- 
nannten Zwecke ist, müssen daher die Probleme der diffusen Reflexion 
weit über jene Grenzen hinaus entwickelt werden, die für die Physik 

58* 


898 VI», 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


von Interesse sind. Dadurch erklärt es sich, daß der Fortschritt auf 
diesem Gebiete im wesentlichen an die Namen von Astronomen wie 
Lambert, Zöllner und Seeliger gebunden ist. 

Hier soll zunächst das Problem der Reflexion an einer matten 
ebenen Fläche als Grundlage für die in den anderen Kapiteln zu be- 
handelnden Aufgaben der Reflexion an Kugeln, unregelmäßigen Kör- 
pern, an Wolken von Meteoren u. a. behandelt werden. 


23. Die Lambertsche Formel für diffuse Reflexion. Ausgehend 
von der Beobachtung, daß eine von der Sonne beschienene Wand aus 
allen Richtungen gleich hell erscheint, stellte Lambert den Satz auf, 
ein diffus reflektierender Körper verhalte sich wie ein selbstleuch- 
tender und strahle das Licht proportional dem Cosinus des Reflexions- 
winkels & aus. Ist die auf die Flächeneinheit senkrecht einfallende 
Energiemenge gleich L, so erhält das Flächenelement ds die Menge 
Lds cost, und die in der Richtung & reflektierte Lichtmenge ist 


q= ÜLeosicoseds. 


C ist ein Absorptionsfaktor. Ein Element dw der Halbkugel vom 
Radius 1 mit dem Zentrum in ds erhält den Energiestrom 


dQ = qdw = CLdscosicoscdw 


und die gesamte Halbkugel die Lichtmenge 9 = OLxdscosi. Da 
dieselbe ein gewisser Teil A der einfallenden Lichtmenge ist, so haben 
wir auch 


Q = Aldscosi, 
woraus folgt 


(1) 0-5. 


7 


Der Faktor A, der angibt, welcher Teil des einfallenden Lichtstroms 
in den Raumwinkel 2 reflektiert wird, heißt Albedo. Bezeichnet man 


A ; 
noch I, = =, so wird 


(2) q=T, cosicoseds. 


Diese Formel hat keine theoretische Begründung, entspricht aber 
den Beobachtungen an matten Substanzen zum mindesten ebenso gut 
wie andere, denen theoretische Vorstellungen über den Vorgang der 
diffusen Reflexion zugrunde liegen. 


24. Die Formeln von Seeliger, Lommel, Fessenkow und Schoen- 
berg. Lommel und Seeliger gehen bei der Ableitung ihrer Formeln 
von der Vorstellung aus, daß die Strahlung bis zu einer gewissen 
Tiefe in den Körper eindringt, wobei sie nach allen Richtungen zer- 
streut wird. Diese zerstreute Strahlung ist es, die nach dem Austritt 


24. Die Formeln von Seeliger, Lommel, Fessenkow und Schoenberg. 899 


aus dem Körper beobachtet wird. Bei ebener Begrenzung und einem 
undurchsichtigen Körper gestaltet sich die Ableitung des Ausdruckes 
für die austretende Liehtmenge unter gewissen Voraussetzungen sehr 
einfach. Es wird ein Volumelement dv im Inneren des Körpers be- 
trachtet, auf das die Lichtmenge 
L;= Le"""40 

‚einfällt, wenn Z die pro Volumeinheit einfallende Strahlung ist, k der 
Absorptionskoeffizient, x der Liehtweg von der Oberfläche bis zu dv. 
Wenn nun dv einen gewissen Teil der Strahlung zerstreut, so soll u 
den Diffusionskoeffizienten bezeichnen. Lommel und Seeliger nehmen 
beide an, die Zerstreuung gehe in allen Richtungen gleichmäßig vor 
sich, und die gesamte zerstreute Lichtmenge sei der Bruchteil 4xu 
der einfallenden, der Lichtstrom in jeder Richtung & also gleich uL,. 
Er erfährt auf dem Rückwege y wiederum eine Schwächung durch 
Absorption, wobei diese nach Seeliger mit einem anderen Koeffizien- 
ten % vor sich geht, weil das Licht auf dem Hinwege schon eine 
Veränderung erfahren hat. An die Oberfläche gelangt somit die Licht- 


menge dq dq = ul,e*’dv = uLe- "et" Wdv, 
oder da, wenn r den senkrechten Abstand des Elements dv von der 


Oberfläche bedeutet, 
x=rseci, y=rsece und dv=drds ist: 
dq en BEREITEN. 

Um den vollen Lichtstrom vom Elemente ds in der Richtung s zu 
erhalten, muß über alle Elemente dv integriert werden bis zu einer 
Tiefe, aus welcher überhaupt noch Licht bis zur Oberfläche durch- 
dringen kann, also vonr=0bisr=R, wo R eine solche Tiefe 
bedeutet, für welche e=#%seci+#sec:) verschwindet. Wir haben also 





R 
u | 
g—ulds[e-kwei+s secö)dr, \ | 4 
0 Fo 
I 
und nach Ausführung der Integration Bi ds 








' 
c08 1 C08 € B 
SWRREEE Wo y ” J 
i k Lu dv 

Seeliger setzt nch „=Aud =N 
und erhält so 

C08 4 C08 € Die Reflexi Im 2 I i 

PEREN: ö ıe hellexion aus dem Innern einer 

8) q= Inds co8? + Acose matten Platte. 


Dieser Formel liegen eine Voraussetzung und eine Vernachlässigung zu- 
grunde. Die erste ist die Annahme einer gleichmäßigen Diffusion in allen 


900 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Richtungen, die nur schwer aufrecht erhalten werden kann; wissen wir 
doch, daß bei Partikeln, die kleiner sind als ein Drittel der Wellenlänge 
des einfallenden Lichts, die Zerstreuung nach der Rayleighschen Formel 
vor sich geht, bei größeren Partikeln in anderer äußerst verwickelten 
Weise. Wenn wir auch über den Vorgang der inneren Diffusion 
nicht unterrichtet sind und nicht wissen, welche Partikel, ob Moleküle 
oder größere Aggregate, das Licht zerstreuen, so ist die Annahme 
gleichmäßiger Streuung jedenfalls unhaltbar. Ein anderer Mangel der 
Seeligerschen Formel ist !die Vernachlässigung der Diffusion höherer 
Ordnungen, d.h. desjenigen Lichtanteils, den jedes Volumelement von 
den Nachbarlementen zugestrahlt erhält. Die Berücksichtigung des- 
selben führte Lommel'°!) auf sehr komplizierte Formeln für die re- 
flektierte Lichtmenge. Beschränkt man sich auf die Berechnung der 
Diffusion 2. Ordnung, d. h. nimmt man an, daß jedes Volum- 
element dv von den anderen Elementen dv’ zerstreutes Licht erhält, 
dieser zerstreute Anteil aber nur von der direkten Bestrahlung der 
Elemente dv’ herrührt, so kommt man auf eine einfache Formel, 
deren erstes Glied mit der Seeligerschen (bei A—= 1) übereinstimmt: 








(4) a Lds a euer Ein 1 +2 "u (cosehn! ne „ +eos iln! und =]. 
Mit derselben Genauigkeit, d. h. mit Beschränkung auf Glieder 2. Ord- 
nung, berechnete Fessenkow!??) die austretende Liehtmenge unter der 
Annahme, jedes Volumelement zerstreue Licht nach der Rayleighschen 
Formel. Das Ergebnis war eine wesentlich kompliziertere, im Bau 
aber der Lommelschen ganz ähnliche Formel, in der das erste Glied 
den Rayleighschen Faktor 1 + cos?« enthält, wo « der Winkel zwi- 
schen dem einfallenden und dem reflektierten Strahl ist: 

(5) dt + ta + Frl, &, A)}- 

Die Funktion f(i, &, A) enthält die Glieder 2. Ordnung und zeigt, 
daß nunmehr die austretende Lichtmenge auch vom Azimut A zwi- 
schen den Ebenen des einfallenden und des reflektierten Strahles ab- 
hängt. Eine Bestätigung dieser Formel müßte man bei parallel be- 
grenzten undurchsichtigen Gasschichten erwarten, weil die Moleküle 
eines Gases die Rayleighsche Formel befolgen. 


151) Münch. Akad. II. Kl. Sitzber. 17 (1887), p. 95. Wied. Ann. 36 (1889), 
p. 473. 

152) Sur la diffusion de la lumiöre par les surfaces mates. (Russisch.) Bull. 
de la Societ& Astr. de Russie. Mai 1916, 


24. Die Formeln von Seeliger, Lommel, Fessenkow und Schoenberg. 901 


Eine strenge Theorie der diffusen Reflexion an einem eben be- 
grenzten undurchsichtigen Wolkenmeer hat E. Schoenberg°”) geliefert. 
Ihr liegen Beobachtungen der Lichtverteilung auf einem sonnenbestrahl- 
ten Wolkenmeer in verschiedenen Azimuten zugrunde. Theoretisch ist 
dieser Fall vollkommen durchsichtig, weil die Streuung hier durch 
Wasserkügelehen erfolgt, und das Diffusionsdiagramm eines Wasser- 
tröpfehens nach der Theorie von Mie'”*) berechnet werden kann. 
Freilich ist dieses Diagramm von der Größe der Tröpfchen abhängig, 
und daher mußte, nachdem für die Diffusionsformel der Ansatz 


dd= „Läs(1 — pcos« + gcos?«) 


mit unbestimmten Koeffizienten p und q gemacht worden war, der 
Wert derselben durch Anpassung an die Beobachtung bestimmt 
werden. Die Werte der Koeffizienten ergaben sich zu p=2,7, q=3,0. 
Das theoretisch berechnete Diffust®&diagramm ergab eine nahe Über- 
einstimmung mit der obigen Näherung@Pgy el und die mit Berück- 
sichtigung der Diffusion 2. Ordnung aus ı ? berechnete Formel für 
die reflektierte Liechtmenge stimmte gut mit der” Xepbachteten Licht- 
verteilung in allen Azimuten und Reflexionswinkeff®überein. Die 
Formel ist freilich äußerst kompliziert, wenn auch in ihre?) ganz 
ähnlich den beiden früher angeführten. Es ist die reflektierte Licht- 
menge 


(6) ga u. 1 — pcos«a + gcos?« + =f@ 8, 4A)|- 


cosö + cose 
Die Funktion f, oder die Glieder 2. Ordnung haben einen bedeuten- 
den Einfluß auf die Helligkeit. Nur mit Hilfe ausgedehnter Tafeln, 
die Schoenberg für alle Werte der drei Variablen :, & und A berechnet 
hat, ist die Formel anwendbar.'?**) 

Aus dieser Formel ergibt sich diejenige von Fessenkow, wenn 
man p=0 und g=1 setzt, was der Rayleighschen Diffusion für das 
einzelne Volumelement entspricht; setzt man dagegen p=qg=(, so 
muß die Lommelsche Formel aus ihr folgen. Die Formel ist wesent- 
lich abhängig von dem Verhältnis des Diffusions- zum Absorptions- 
koeffizienten — Der Wert desselben ist für den Fall vollkommener 
Diffusion, wenn keine Strahlung durch Absorption verloren geht, gleich 
(2) a ee yo 

4m (i au Z an 4) 

153) Handb. d. Astroph. II, Teil 1 (1929), p. 37 u. Mitteilungen der Stern- 

warte Breslau 3 (1932). 


154) Ann. d. Phys. 25 (1908), p. 428. 
154a) Handb. d. Astroph. II (1929), p. 246. 





902 VI, 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Für die Rayleighsche Streuung ist bei denselben Voraussetzungen 


WISE 
(8) ee 


25. Die Helligkeit von eben begrenzten, diffus reflektierenden 
Flächen und von Kugeln. Experimentelle Prüfung der Reflexions- 
gesetze. Die scheinbare Helligkeit einer eben begrenzten matten Sub- 
stanz ist 


nach Lambert h, == Ep 


h N co 
x 2 cosö + cose 


= I, cost, 
„Seeliger 


Bei senkrechter Beleuchtung wird nach Lambert h,=T,, nach See- 


iger u, =T; ; füre= 0° und = 90" erhalten wir nach 


1 
1+c0se 
Seeliger = TI, und h?PP?=T,, d. h. die Helligkeit ist nach Seeliger 
bei senkrechter Betrachtung halb so groß als bei streifender, während 
nach Lambert die Helligkeit nur von dem Einfallswinkel abhängt und 
unabhängig vom Reflexionswinkel ist. Es wird daher eine matte 
Kugel, wenn man sie mit parallelen Strahlen beleuchtet und aus der- 
selben Richtung betrachtet (i überall = e), nach Lambert eine mit 
dem cos‘ nach dem Rande abnehmende Helligkeit aufweisen, dagegen 
nach Seeliger auf der ganzen Scheibe die Helligkeit ,—= IT, haben. 
Trotz dieser tiefgreifenden Unterschiede ist es durch Beobachtungen 
im Laboratorium nicht gelungen, eine eindeutige Entscheidung für 
die Gültigkeit einer der beiden Formeln zu treffen. Es liegt das an 
der außerordentlichen Empfindlichkeit matter Substanzen gegen die 
Behandlung ihrer Oberfläche, bei der es nur selten gelingt, alle 
Spuren regelmäßiger Reflexion zu vermeiden. Diese ist aber wesent- 
lich abhängig von der Richtung der spiegelnden Elemente und wird, 
wenn die Vorzugsrichtung derselben der Ebene der Begrenzung par- 
allel ist, eine Zunahme der Helligkeit im Azimut von 180° bewirken. 
Die sehr zahlreichen Versuche an matten Substanzen werden hier 
deshalb nicht weiter behandelt. Als allgemeines Ergebnis derselben 
muß nur die Tatsache erwähnt werden, daß die Lambertsche Formel, 
trotzdem sie theoretisch keine Begründung gefunden hat, wesentlich 
besser mit den Beobachtungen übereinstimmt als die Seeligersche, und 
zwar stimmt sie bei mehreren Substanzen, bei denen die ideale „Matt- 
heit“ scheinbar erreicht war, wie z.B. bei Gips, Magnesiumoxyd u. a., 
fast vollkommen mit den Beobachtungen überein. 


26. Die Reflexion an farbigen Substanzen und die Polarisation 
des reflektierten Lichtes. Daß die Lambertsche Formel in der Natur 
der diffusen Zurückwerfung des Lichtes begründet sein muß, folgt 


27. Über den Begriff des Albedo. 903 


auch aus Untersuchungen, die sich an gewisse theoretische Über- 
legungen des russischen Physikers N. Umow'?°) anschließen. Wenn 
diese Gedankengänge bisher auch keine astronomische Anwendung 
gefunden haben, so sollen sie hier doch erwähnt werden, weil diese 
Anwendung aussichtsvoll erscheint. 

Nach Umow müssen matte Oberflächen auffallendes polarisiertes 
Licht nur teilweise und nicht gleichmäßig depolarisieren, und zwar 
weiße Körper stärker als schwarze; im idealen Falle müßte der weiße 
Körper vollkommen, der schwarze gar nicht depolarisieren; farbige 
Körper müssen am meisten diejenigen Lichtstrahlen depolarisieren, 
die sie reflektieren. Diejenigen Wellenlängen, die depolarisiert werden, 
befolgen auch das Lambertsche Gesetz. Die Abweichungen von diesem 
Gesetze sind durch die Absorption bedingt und am stärksten in den 
Gebieten der Absorption. Umows Betrachtungen sind von verschie- 
denen Seiten bestätigt worden, nämlich von D. Ohmyrow und Slato- 
wratzki"), Viktor Navrat‘”) und Woronkoff und Pokrowski'°®). Die 
Ergebnisse ihrer zahlreichen Messungen an einer Reihe von Stoffen 
in verschiedenen Spektralbezirken lassen sich in folgenden Sätzen zu- 
sammenfassen: 

1. Bei weißen Körpern ohne selektive Absorption, wie Magne- 
siumoxyd, wird bei normaler und nahezu normaler Inzidenz das Lam- 
bertsche Gesetz sehr nahe befolgt. Die Abweichungen wachsen aber 
auch bei diesen Körpern mit dem Einfallswinkel des Lichtes. 

2. Bei selektiv absorbierenden Körpern wachsen die Abweichungen 
vom Kosinusgesetz in dem Gebiete der Wellenlängen, die am stärksten 
absorbiert werden, und zwar so, daß für große Reflexionswinkel die 
Intensität des zerstreuten Lichtes wächst. \ 

3. Die Polarisationsverhältnisse ergeben sich qualitativ auch ent- 
sprechend der Umowschen Theorie. 

27. Über den Begriff der Albedo. Lambert bezeichnet mit Albedo 
das Verhältnis der gesamten von einem Flächenelement in den räum- 
lichen Winkel 2x reflektierten Lichtmenge zu der auffallenden. Da 
nach Lamberts Gesetz die austretende Lichtmenge lediglich vom 
Emanationswinkel abhängt, so hat seine Albedo für alle Inzidenz- 
winkel denselben Wert. 

Wird nun ein anderes Beleuchtungsgesetz zugrunde gelegt, etwa 
das Seeligersche, bei dem die austretende Liechtmenge auch vom Ein- 


155) Phys. Ztschr. 6 (1905), p. 674. 

156) Phys. Ztschr. 7 (1906), p. 533. 

157) Berichte d. Kgl. Akad. d. Wiss. Wien. 120 (2a) (1911), p. 1229. 
158) Ztschr. f. Phys. 20 (1923), p. 358. 


904 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


fallswinkel abhängt, so bekommt die Albedo für jeden Einfallswinkel 
einen anderen Wert. Seeliger") hat deshalb eine Definition der Al- 
bedo vorgeschlagen, welche für jedes Beleuchtungsgesetz Gültigkeit 
hat. Ist das Reflexionsgesetz allgemein in der Form gegeben 


dq = CLffi, e)ds, 


wo L die auf die Flächeneinheit senkrecht einfallende Lichtmenge 
und C die von der Form des Gesetzes abhängige Reflexionskonstante 
bedeutet, so wird die auf die Halbkugel vom Radius 1 zerstreute 


Lichtmenge sein 
ze zı 


22...8 2 
(9) g= OLds [dA | sinefli, e)de = 20 Las | sin ef(i, e)de. 
U F 


Hier ist über alle Azimute A’ integriert. Die Albedo A ist das Ver- 
hältnis von q zu der auf ds auffallenden Lichtmenge, mithin ist 


zı 


FJ 
(10) en | 220 | FÜ 9 sin ede. 
0 


Leosids 





Aus dieser Formel ersehen wir, daß nur, wenn die Funktion f die 
Form hat f(i, 8) = cosip(e), wie z. B. beim Lambertschen Gesetze, 
die Albedo vom Einfallswinkel unabhängig wird. Der einfachste Weg, 
diese Unklarheit zu vermeiden ist, unter der Albedo den Wert zu 
verstehen, den A für einen bestimmten Einfallswinkel besitzt, also 
z. B. die Albedo für normale Inzidenz 


zı 


FJ 
(11) A,— 2x0 [f(0, ©)sin ed. 
0 


Seeliger dagegen hat vorgeschlagen, mit Albedo den Mittelwert aller 
A zu bezeichnen, die sich für sämtliche Werte des Inzidenzwinkels 
ergeben. Bezeichnen wir diesen Wert mit A,, so wäre also 


A= 7, A. 


Hier hat A den durch die Gl. (10) bestimmten Wert. Führt man die 
Integration aus, so ergibt sich für die Seeligersche Albedo 


zı at 


3 ® 
(12) 4,= 2x0 | tgidi | f(i, :)sinede. 
J ji i 


159) Abh. d. Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss. II, Kl. 16 (1887), p. 430. 


28. Der Reflexionskoeffizient und die sphärische Albedo nach Bond. 905 


Bei der allgemeinen Form des Seeligerschen Gesetzes, wenn 


> COST COS & 
fü.) = cos? + A cose 


ist, folgt nach Ausführung der Integrationen 


(13) 4-1 am + m(+9) 


Für die spezielle Form der Seeligerschen Formel (4 = 1) wird dagegen 
(14) A=xt,. 


C, ist hier die Konstante des Seeligerschen Gesetzes, daher ist 





A, T, 
(15) Ge =7- 


Eine ganz ähnliche Beziehung besteht für die Reflexionskonstante C, 
des Lambertschen Gesetzes und die Lambertsche Albedo 
(16) G- = wur Mn ö 

28. Der Reflexionskoeffizient und die sphärische Albedo nach 
Bond. Für eben begrenzte Flächen ist die oben definierte Albedo (Gl. (11)) 
für normale Bestrahlung der angemessenste Begriff, weil diese für ein 
beliebiges Reflexionsgesetz bestimmt werden kann, wobei auch die im 
allgemeinen Falle vorhandene Abhängigkeit desselben vom Azimut 
bedeutungslos ist. Dieses Gesetz muß freilich durch besondere Mes- 
sungen bestimmt werden. Hierzu eignet sich ein von Fessenkow !%%) 
vorgeschlagenes Albedometer, ein Instrument, bei dem die Helligkeiten 
für normale Inzidenz, aber bei verschiedenen Reflexionswinkeln mit der 
Helligkeit von Gips, dessen Reflexionsgesetz bekannt ist, verglichen 
werden. 

Für unregelmäßig begrenzte Körper, Mineralien und Gesteine im 
natürlichen Zustande, ist der Reflexionskoeffizient in der Bestrahlungs- 
richtung die für astronomische Zwecke geeignetste Konstante. Er be- 
zeichnet das Verhältnis der in der Bestrahlungsrichtung vom Körper 
reflektierten Lichtmenge zu derjenigen, welche eine ebene Fläche mit 
der Albedo 1, die dabei das Lambertsche Gesetz befolgt, in der Be- 
strahlungsrichtung zurückstrahlen würde, wenn sie senkrecht dieselbe 
Lichtmenge empfänge wie der unregelmäßige Körper. Die Albedo 
eines solchen Körpers kann in hohem Grade von der Form desselben 
abhängig sein, besonders durch die Lichtverluste, die durch Schatten- 
wurf bei schräger Betrachtung entstehen, während der Reflexions- 


160) Publ. de l’Observatoire Central Astroph. de Russie 2 (1923), p. 97. 


906 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


koeffizient in der Bestrahlungsrichtung wohl noch von der Form, aber 
nicht mehr von den Schattenwirkungen abhängig ist.!#) 

Besonders aufschlußreich sind natürlich die Reflexionskoeffizienten 
in der Bestrahlungsrichtung, wenn sie für einzelne Spektralgebiete ge- 
trennt bestimmt werden, weil dann auch die Farbe mitbestimmt ist. 
Eine große Reihe solcher Reflexionskoeffizienten von Gesteinen haben 
J. Wilsing und J. Scheiner '?) 16°) bekannt gegeben. Sie beziehen sich auf 
fünf verschiedene Wellenlängen, wobei als Vergleichsstoff weiße Kreide 
diente, für die der Reflexionskoeffizient in allen Farben gleich 1 ge- 
setzt ist. Solche Bestimmungen ermöglichen eine Identifizierung der 
untersuchten Stoffe mit Formationen der Mondoberfläche, wenn ähn- 
liche Messungen für die Mondoberfläche bei Vollmond zum Vergleich 
herangezogen werden. Auch bei den anderen Planeten und Trabanten, 
soweit sie keine Atmosphäre haben, scheinen derartige Messungen 
Aufschlüsse über ihre Beschaffenheit zu versprechen. Insbesondere gilt 
das auch für die kleinen Planeten, wenn hier auch nur eine Messung der 
Totalhelligkeit in Frage kommt. Bisher ist nur die Mondoberfläche 
in dieser Beziehung eingehend untersucht worden, worüber noch weiter 
berichtet werden soll. 

Für die großen Planeten von kugelförmiger oder nahezu kugel- 
förmiger Gestalt ist besonders zur Bestimmung ihrer Erwärmung, 
also der Absorptionsverhältnisse, der Begriff der sphärischen Albedo 
von Bond der geeignetste. Bond!) hat denselben schon im Jahre 
1861 vorgeschlagen, aber erst N. H. Russell!) hat in neuerer Zeit 
seine Bedeutung für astronomische Zwecke begründet und ihm durch 
die Bestimmung der Albedo für die großen und eine Reihe kleiner Pla- 
neten die gebührende Bedeutung verschafft. Diese Definition hat den 
großen Vorzug, von der Art des Reflexionsgesetzes unabhängig zu sein: 
eine Kugel ist der Beleuchtung durch parallele Strahlen ausgesetzt; 
die sphärische Albedo dieser Kugel ist das Verhältnis der nach allen 
Richtungen zerstreuten zur einfallenden Lichtmenge. 

Die Lichtmenge, welche auf eine Zone der Kugel vom Radius 1 
zwischen den Einfallswinkeln © und ö+di einfällt, ist 27.L cos? sin ode. 


161) Vgl. hierzu E. Schoenberg, Untersuchungen zur Theorie der Beleuch- 
tung des Mondes auf Grund photometrischer Messungen. Acta Acad. Scient. Fen- 
nicae 50, Nr. 9, p. 69. 

162) Spektralphotometrische Beobachtungen am Monde und Gesteinen usw. 
Publik. d. Astroph. Observ. zu Potsdam Nr. 61 (1909). 

163) Spektralphotometrische Messungen an Gesteinen usw. Daselbst Nr. 77 
(1921). 

164) Proceedings of the American Academy of Arts a. Sc. N. S. 8 (1861), p. 232. 

165) Astroph. Journ. 43 (1916), p. 175. 


28. Der Reflexionskoeffizient und die sphärische Albedo nach Bond. 907 


Hiervon wird der Bruchteil A reflektiert; das Integral über alle Zonen 
gibt die reflektierte Lichtmenge. Da die einfallende xL ist, so erhalten 
wir nach (10) für die Bondsche Albedo Az: 


zı zt B44 


2 2 ? 
(17) An— 2/ Asinicosidi — 4a sinidi [fli,e)sinede. 
0 0 0 


Der Wert von A, läßt sich aber auch auf andere Weise, ohne Kenntnis 
der Funktion f(i, &) bestimmen. Wir bezeichnen durch p(«) das Ver- 
hältnis der Totalhelligkeit des Planeten beim Phasenwinkel & zu der- 
jenigen Helligkeit, die er in Opposition, bei « = 0, hat, wenn beide auf 
eine konstante Entfernung von der Erde (A,) und der Sonne (r,) reduziert 
sind. Es ist also p(0) = 1. Diese Funktion, die sog. Phasenkurve, ist 
leicht zu beobachten und für alle großen Planeten innerhalb derjenigen 
Grenzen des Phasenwinkels «, die von ihnen erreicht werden, bekannt. 
Es sei Q, die auf die Flächeneinheit der Erdoberfläche in Opposition 
vom Planeten einfallende Liehtmenge. Denken wir uns eine Kugel vom 
Radius A, mit dem Planeten im Zentrum, so wird die auf die Kugel- 
zone zwischen den Winkeln « und «+ d« vom Planeten reflektierte 
Lichtmenge gleich sein 27A3Q,p(«), die auf die ganze Oberfläche 
der Kugel auffallende ist dann 


27430, | p(«) sine de. 
0 


Es sei der scheinbare Halbmesser der Sonne für die Einheit des 
Abstandes gleich S, für den Abstand r des Planeten s; die von der 
Sonne auf die Einheit der Fläche auf der Erde einfallende Liehtmenge 
sei L’, J die Intensität der Sonnenstrahlung. Bezeichnen wir weiter 
mit M, das Verhältnis der Helligkeit des Planeten in Opposition bei 
den. Abständen von Sonne und Erde », und A, zu derjenigen der 
Sonne im Abstande 1, so ist also 


m—®%. 


Die auf den Planeten einfallende Lichtmenge ist, wenn sein Halb- 
messer durch o bezeichnet wird, xo?Jxsin?’s. Daher haben wir für 
die Bondsche Albedo auch den Ausdruck 


P4 
2 M, A} sin?S [p(e) sin« de 
(18) A= = Ss 


e?sin?s 





_ _sin?SM, 
sin? o, sin?s > fotosnede nn 


908 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


wo durch o, der scheinbare Radius des Planeten in Opposition von 
der Erde aus bezeichnet ist. 

Wir haben durch p das Produkt derjenigen Faktoren bezeichnet, 
die nur von den geometrischen und photometrischen Beziehungen des 
Planeten in Opposition abhängig sind: 

(19) on, 

sin? o, sin?s 
Der zweite Faktor q ist das doppelt genommene Integral, das nur von 
der Phasenkurve abhängig ist: 


(20) qa—2/p(e) sina de. 


Es ist daher nur notwendig, außer der Oppositionshelligkeit die Phasen- 
kurve des Planeten zu kennen, um den Wert der Albedo zu berechnen. 
Da nur für die inneren Planeten und den Mond die Phasenkurve für 
alle Winkel von O bis 180° beobachtet werden kann, so ist nur für 
diese die Bondsche Albedo einwandfrei zu bestimmen. Für die anderen 
großen Planeten muß der Wert von g aus dem Teil der Phasenkurve, 
der verfügbar ist, geschätzt werden, und für die weiter entfernten 
Planeten unseres Sonnensystems, deren Phasenwinkel nur einige Grad 
erreicht, kann man den Wert von qg nur auf Grund der Ähnlichkeit 
ihrer Oberflächenbeschaffenheit an den Wert für Venus oder Merkur 
anschließend schätzen. 

Bemerkenswert ist, daß sich der Wert von p mit dem Reflexions- 
koeffizienten in der Bestrahlungsrichtung für unregelmäßig geformte 
Körper identifizieren läßt. Der Wert von qg wird durch mechanische 
Quadratur gefunden, wenn die Phasenkurve bekannt ist. 

Folgende Tabelle enthält die von Russell bestimmten Werte‘ der 
Bondschen Albedo für die großen und einige kleine Planeten sowie 
diejenigen für die vier hellen Jupitertrabanten. Die mit einem Doppel- 
punkt bezeichneten Werte sind Schätzungen, weil der beobachtete 
Phasenbereich für die sichere Bestimmung der Phasenkurve, somit 
auch des Wertes von g, nicht ausreichte. Die zwei Werte für die Al- 
bedo der Erde setzen der erste eine Phasenkurve der Erde gleich der- 
jenigen der Venus, der zweite gleich derjenigen des Mondes voraus. 
Der letzte Wert für die photographische Albedo der Erde ist von 
E. Oepik') abgeleitet, wobei die Phasenkurve von Venus zugrunde 
gelegt wurde. 








166) Publ. de ’Observat. Astron. de l’Univ. de Tartu (Dorpat) 26, Nr.1 (1924). 


29. Die Phasenkurven 909 











Tabelle 8. 
Bonds Albedo der Planeten und Trabanten. 
visuelle photograph. 
? q Albedo A, Albedo 
Bann. 0 0,105 0,694 0,073 0,051 
0,164 0,42 0,069 I 
IBRERBr , 7.020202, | 0.077 0.72 0.055 I 
N rd 0,492 1,20 0,59 0,60 
Man: un, 0,139 1,11 0,154 0,090 
ner 3 0,375 15: 0,56: 0,73: 
BRREN. . . 0 seuan, 0,420 1,8:: 0,63 : 0,47: 
Desaas: 2. 02,788 0,42 1.55% 0,63: —_ 
N u..0:20 6, 0,49 1,5: 0,73: _ 
BE a 0,10 0,55: 0,06 : —_ 
Kalee ii, 2a, 0,13 0,55: 0,07: _ 
Ban‘ 0,22 0,55: 0,12: — 
5. RE U 0,48 0,55: 0,26: _ 
Jupitertrabant I... 0,46 1,5: 0,69: _ 
\ But. 0,51 1,5: 0,76: PR 
L a 0,30 1,5: 0,45: au 
2 3 0,11 1,5: 0,16: Fe 
Ti SR 0,33 1,5: 0,50: —_ 
0,37 1,20 0,45 0,63 
Erde. 30 Hanns | 0.65 0.70 0.48 x 

















Wir sehen aus dieser Tafel, daß der größte Teil der Az-Werte 
hypothetisch ist; er muß es auch bleiben, weil eine Beobachtung der 
Phasenkurve unmöglich ist. Es wäre aber überflüssig, die Albedo- 
Werte nach Lambert oder Seeliger für diese Planeten hinzuschreiben; 
sie sind aus den Werten von p leicht zu berechnen, aber wegen der 
Unbestimmtheit des wirklichen Reflexionsgesetzes in noch höherem 
Maße hypothetisch. Die Seeligersche Albedo für Venus wird z. B. 1,1, 
ist also ein Widerspruch in sich. 

29. Die Phasenkurven. Aus den Formeln für die von einem 
Flächenelemente ds reflektierte Lichtmenge, 

dq, = IT, eosicose ds nach Lambert, 
C08% CO8 € 


Ag Dar 


2 cosi + cose 





ds nach Seeliger, 


lassen sich leicht durch Integration über die sichtbare und beleuch- 
tete Oberfläche eines als Kugel angenommenen Planeten die gesamten 
von einem Planeten zur Erde reflektierten Lichtmengen berechnen. 
Sie sind Funktionen einer einzigen Variablen, des sog. Phasenwinkels 
« oder des Winkels am Zentrum des Planeten zwischen den Rich- 
tungen zur Sonne und zur Erde. Drückt man diese Lichtmengen in 
Einheiten derjenigen Lichtmenge q° aus, die der Planet der Erde in 
Opposition zusendet, so erhält man eine theoretische Phasenkurve. Die 
physikalische Voraussetzung einer solchen Berechnung ist natürlich die 


910 VIa,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


gleiche Albedo der ganzen kugelförmigen Oberfläche des Planeten und 
die Gültigkeit des einen oder des anderen Reflexionsgesetzes für die- 
selbe. Man erhält so für das Lambertsche Gesetz 





(21) A Ser sin«—+ er &) C08& =, (@) 


wo 
q ein sıT,e, 
und für das Seeligersche Gesetz 


(22) lem 1—sinZtg In ootg — 9, (a), 


wo 

g— Izo’m 
In diesen Formeln ist vorausgesetzt, daß die Werte von q schon auf 
die konstante Entfernung Eins von der Erde und von der Sonne redu- 
ziert sind. Bezeichnet man die wahren Entfernungen zur Sonne und 
zur Erde durch r und r,, A und A,, so schreiben sich die Gleichungen 
für die direkt beobachteten Liehtmengen @ in folgender Weise: 


ee 0 o_! d —_ ge dr : 
er ehr und Qdı = di ar Pla); 





(29) 1 EN „Asrt 
= da A373 = Art und = ®% Air! p:(«). 





Sie können dazu dienen, die beobachteten Phasenkurven mit den theore- 
tischen zu vergleichen. Solche Vergleichungen zeigen nun allgemein, 
daß die Voraussetzungen der Theorie niemals erfüllt sind, denn die 
Abweichungen von beiden Phasenkurven sind bei allen Planeten so 
groß, daß es oft nicht einmal möglich ist, einem der Gesetze den Vor- 
zug zu geben. 


30. Die beobachteten Phasenkurven und Phasenkoeffizienten. 
Für die Planeten Merkur und Venus und für den Mond liegen Beobach- 
tungen der ganzen Phasenkurven von O bis 180° vor; für Mars erstreckt 
sich die beobachtete Phasenkurve bis 46°, für die kleinen Planeten um- 
faßt sie 20 bis 40°. Die Abweichungen der vollständigen Phasenkurven 
von den theoretischen g,(«) und 9,(«) sind in allen Fällen so groß, 
daß von einer Bestätigung der Lambertschen oder der Seeligerschen 
Formel nicht die Rede sein kann. Die Kurven für den Mond und 
Merkur zeigen große Ähnlichkeit und werden als typisch für eine atmo- 
sphärenfreie Kugel angenommen, während die Phasenkurve von Venus, 
die einzige ihrer Art, als die Phasenkurve einer diehten Atmosphäre 
angenommen wird. Sie stimmt wesentlich besser mit der Seeligerschen 
Phasenkurve 9,(«) als mit der Lambertschen, weist aber auch gegen 


30. Die beobachteten Phasenkurven und Phasenkoeffhizienten. 911 


die erstere sogar bei mäßigen Phasenwinkeln Abweichungen von 40°/, 
der Helligkeit auf (s. nachstehende Tafel). Der Verlauf von P(&)beov. für 
Mars liegt zwischen demjenigen für 
den Mond und Venus, was der Mit- 
wirkung der dünneren Marsatmo- 


Tabelle 9. 
Phasenkurve von Venus. 














sphäre zugeschrieben werden kann. « | 91 (e) | 9, (@) | Beobacht, 
Für die kleinen sowie für die 0 | 1,000 1,000 1,000 

großen äußeren Planeten muß man 20 || 0,944 0,925 0,759 

sich mit der Angabe der sog. Phasen- er 0,794 ae 


; R gg 60 | 0,609 0,620 0,387 
koeffizienten begnügen, der die An- 80 | 0,410 0,455 0,258 


derung der Helligkeit pro 1° Phase Bot ie Dir Ok 
in Gr.kl. bedeutet. 140 0,034 0,080 0,060 
Es sind verschiedene Versuche ei Dt ts ons 
gemacht worden, durch Laborato- 
riumsmessungen an Kugeln aus verschiedenem Material, die entspre- 
chend beleuchtet wurden, die kosmischen Verhältnisse der Beleuchtung 
durch die Sonne nachzuahmen und Phasenkurven oder Phasenkoeffi- 
zienten zu finden, die denjenigen der Planeten entsprechen.'°’)1) Et- 
was Entscheidendes im Sinne der Identifizierung kann hierbei nicht 
erreicht werden, weil die Oberflächenbeschaffenheit der Himmelskörper 
nicht nachgeahmt werden kann. In Zusammenhang mit anderen Merk- 
malen können diese Phasenkoeffizienten aber Schlußfolgerungen über 
die Natur der Oberflächen erleichtern. Hier soll ein Auszug aus einer 
Arbeit von H. Woerner'‘®) über diesen Gegenstand angeführt werden. 














Tabelle 10. 
Phasenkoeffizienten nach H. Woerner. 
































Phasenintervall | 0°_20° 120°_30°| Phasenintervall | 0°-20° |20°-30° 
Merkur. au +5: 0085 0%037 || Kugel aus grünem 

PONUR, 0. 1005-010 0, 014 ET NE 0,015 0,011 
Mond, 323 0, 023 0, 028 || Kugel aus Grünstein | 0,010 0,012 
Ma tn 0, 015 0, 015 || Kugel aus weißem 

1 0, 042 _ Sandstein. . . . 0,011 0,013 
Pallas:  *. ... | 0,7048 —_ Kugel aus rotem 

Vests ins. 0; ORT — Sandstein . ..| 0,015 0,011 
Aria „ae 0, 019 — Kugel aus Schiefer. | 0,016 0,010 











Auffallend sind die großen Werte bei Ceres und Pallas, die bisher 
keine experimentelle und keine theoretische Erklärung gefunden haben. 


167) O. Frh. v. u. z. Aufseß, Experimentelle Untersuchungen über Phasen- 
wirkungen. Astron. Abh. als Ergänzungshefte zu den A. N. Nr. 17 (1910). 
168) H. Woerner, Helligkeitsmessungen an kleinen Kugeln. Veröff. d. Uni- 
versitäts-Sternwarte Berlin-Babelsberg 8, H. 4 (1931). 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 59 


912 . VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


31. Die Reflexionskoeffizienten von irdischen Substanzen und 
Mondgebilden. J. Wilsing und J. Scheiner'‘®) haben für eine Reihe von 
Gesteinen und anderen Substanzen die Reflexionskoeffizienten in der 
Bestrahlungsrichtung, die man mit der Bondschen Größe p identifi- 
zieren kann, bestimmt. Sie benutzten dabei ein Spektralphotometer, so 
daß sich dabei die Größe » für fünf verschiedene Wellenlängen ergab, 
was für Identifizierungszwecke besonders wichtig ist. Wir bringen hier 
nur einen kleinen Auszug ihrer Ergebnisse, der für Vergleiche mit 
den Reflexionskoeffizienten einzelner Teile der Mondoberfläche in Frage 
kommt. Barabascheff''°) hat die Reflexionskoeffizienten einzelner Mond- 
gebilde durch Farbfilter bestimmt, die wir hier ebenfalls mitteilen. In 
beiden Tabellen ist unter Albedo der Reflexionskoeffizient, in der ersten 
Spalte der Tabelle 11 der Reflexionskoeffizient für das Gesamtlicht zu 
verstehen. Tabelle 11. 


Reflexionskoeffizienten von Gesteinen. 



































Albedo 0,448 u 0,480 u 0,513 u|0,584 u 0,638 u Farbe 
Kreide. . 85115000 
Glimmerschiefer. . || 0,232 | 0,194 | 0,208 | 0,232 | 0,254 | 0,282 | gelblichgrau 
Vesuvasche, obere 
Schicht. . . . .|| 0,192 | 0,158 | 0,175 | 0,198 | 0,213 | 0,226 |hellbläulichgrau 
Vesuvasche, mittlere 
Houlchb. 00... 0,179 | 0,125 | 0,160 | 0,166 | 0,220 | 0,251 | hell rötlichgrau 
Quarzporphyr. . . || 0,107 | 0,078 | 0,086 | 0,098 | 0,128 | 0,171 | rotbraun 
Trachytlava. . . . || 0,098 | 0,082 | 0,091 | 0,105 | 0,100 | 0,115 | reingrau 
Obsidian .... . 0,089 | 0,090 | 0,094 | 0,095 | 0,082 | 0,087 | blauschwarz 
Heklalava . . . .|| 0,084 | 0,069 | 0,075 | 0,095 | 0,087 | 0,095 | schwarzgrau 
BES . . u. 0,064 | 0,056 | 0,064 | 0,069 | 0,065 | 0,069 | sehr dunkelgrau 
Vesuvlava . . . . || 0,050 | 0,040 | 0,043 | 0,051 | 0,058 | 0,061 | „ R 
Ätnalava. .. .. 0,048 | 0,039 | 0,048 | 0,054 | 0,046 | 0,053 | „ R 


Man kann aus diesen Tabellen ersehen, daß verschiedene Lava- 
arten mit den dunkleren Mondteilen am besten übereinstimmen. Eine 
weitere Bestätigung solcher Identifizierung bieten die von .Baraba- 
scheff "'') beobachteten Kurven des Polarisationsgrades für einzelne 
Mondpartien und irdische Stoffe, die für poröse Laven die beste Über- 
einstimmung zeigen. Für die hellen Mondgebilde, wie das Innere ein- 
zelner Krater und die hellen Strahlen, ist eine Identifizierung auf 
diesem Wege bisher noch recht unsicher. 

Von anderen Gebilden, deren Reflexionskoeffizienten für andere 
Planeten von Bedeutung sind, kommen vor allem für den Vergleich 

169) Spektralphotometrische Messungen an Gesteinen usw. Publ. d. astroph. 
Observ. Potsdam Nr. 77 (1921). 

170) Etudes spectrophotometr. de la surface Lunaire. Russ. astron. Journ. 
1 (1924). 

171) Polarimetrische Beobachtungen usw. Astr. Nachr. 229 (1926). 


32. Die Bestimmung der Albedo und der Durchmesser der Planeten. 913 




















Tabelle 12. 
Die Albedo der Mondgebilde. 
Albedo 
Mondgegend 

400 um 500 un 600 un 
1. Map Erisium u ie. 0,127 0,200 0,152 
a 0,040 0,108 0,070 
3. Mare Humor. . ... . LER 0,057 0,119 0,097 
4. Mare Ser it... . . a 0,112 0,172 0,196 
D: aruber Iychn 2. 0,225 0,400 0,351 
6. 17 DOSE 0,170 0,281 0,232 
7. Mare Tal ee ee 0,098 0,190 0,094 
A tn > 0,117 0,158 0,245 
ee RE 0,154 0,217 0,190 
30: .Maro Imbrium; ac: u 0,035 0,104 0,074 
11. Umgebung von ee a 0,136 0,354 0,202 
12. Aristarchus . . . erde 0,270 0,511 0,429 
33. Mare:Nupmmm .n.. . u; 0,080 0,169 0,098 
14. Grimaldi . . . ee 0,042 0,030 0,116 
15. Umgebung von Linnee Fi 0,082 0,154 0,134 
16. AS a 0,140 0,234 0,176 
17. Agrippa 0,141 0,245 0,175 

18. Ocean. Procell. zwischen Kep- 
ler und Aristarch . . . 0,041 0,059 0,090 

19. Dunkle nn bei Mare 
Crisium. . . ara 2% 0,127 0,181 0,140 








mit der Venus-, Jupiter- und Saturnoberfläche Dampfwolken in Frage. 
Die besten Bestimmungen des Reflexionskoeffizienten für eine un- 
durchsichtige Wolkenoberfläche von L. B. Aldrich!"?), K. Stuchtey und 
A. Wegener?) und M. Lukiesh'") ergeben die Werte 0,78, 0,73 und 
0,78, also einen wesentlich größeren Wert als der Wert p bei den 
Planeten Venus, Jupiter und Saturn. 

32. Die Bestimmung der Albedo und der Durchmesser der Pla- 
neten. Die Gleichungen (21), (22) und (23) können dazu dienen, die 
Albedo eines Planeten zu bestimmen, denn die Oppositionslichtmenge 
Q, hängt mit der Albedo zusammen. Die von der Sonne auf die Ein- 
heit der Planetenoberfläche einfallende Lichtmenge ist, wenn J ihre 
Leuchtkraft und s den scheinbaren Radius der Sonne vom Planeten 
aus bedeutet, L=aJsin:s, 


und daher sind die Werte der Konstanten I‘ und I‘, der beiden Gesetze 


dan an Darin fun 








I, = 
Es ist also, wenn man wieder von den Größen q, und q, auf die 


172) Smiths Ann. 4 (1922), p. 375. 
173) Die Albedo der Wolken und der Erde. Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wies. 
Göttingen 1911. 
174) Astroph. Journ. 49 (1919), p. 119. 
59* 


914 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


meßbaren Q@, und @, übergeht, und durch o den scheinbaren Radius 
des Planeten bezeichnet, 
9, = 372JA4,sin’ssin?oy,(«), 
a | Q,= +7J 4, sin?ssin?’o p,(e), 
wo für den Moment der Opposition p(«) gleich 1 zu setzen ist. 

In diesen Gleichungen muß nur noch die Größe J eliminiert 
werden. Bezeichnet man mit Z’ die Lichtmenge, welche von der Sonne 
auf die Flächeneinheit der Erdoberfläche fällt, so ist Z’= Jxsin? 8, wo 
S der scheinbare Halbmesser der Sonne, von der Erde aus gesehen, 
ist. Das Verhältnis der Helligkeiten des Planeten zur Sonne oder den 
Quotienten Q: L’ wollen wir durch M bezeichnen. Dann ergibt sich 
aus den Gleichungen (24) der Wert der Albedo 





sin?S 1 
A—;M sin?ssin?o g, («)’ 
- 1 
(25) sin? S 1 
A,—2M 





sin?ssin?o 9, (a) 
Will man das Helligkeitsverhältnis M, für den Moment der Opposi- 
tion benutzen, so hat man 


3m HB 
4—= 3% sins, sino, 
(26) sin? 
A, —2M, 


sin?s, sin?o, 

Wir sehen also, dad A,—=+4,. Die Albedowerte nach den beiden 
Definitionen ergeben sich also aus der Oppositionshelligkeit als in 
einem konstanten Verhältnis zueinander stehend. Ohne Kenntnis der 
wahren Phasenkurve ist aber nicht zu entscheiden, welcher Albedo- 
wert der Natur am nächsten kommt. 

Dieselbe Unbestimmtheit haftet einer Methode an, aus den letzten 
Gleichungen den Durchmesser eines Planeten aus seiner Albedo und 
der scheinbaren Helligkeit zu bestimmen. Über den Wert der Albedo 
kann man bei den kleinen Planeten und Trabanten, für die diese Auf- 
gabe allein in Frage kommt, nur Vermutungen anstellen, und dem- 
entsprechend ist der erhaltene Durchmesser ganz unsicher. Da es aber 
oft der einzige Weg ist, etwas über den Durchmesser eines Himmels- 
körpers zu erfahren, nimmt man die große Unsicherheit in Kauf. 


33. Der Einfluß der Unebenheiten der Oberfläche auf die Licht- 
verteilung auf derselben und auf die Phasenkurve des Planeten. 
Wie schon erwähnt, müßte in Opposition, wenn die Einfallswinkel 
in allen Punkten der Oberfläche den Reflexionswinkeln gleich sind, 
nach dem Seeligerschen Gesetze die Planetenscheibe gleichmäßig hell, 
nach dem Lambertschen mit dem Kosinus dieser Winkel von der 


33. Der Einfluß der Unebenheiten der Oberfläche auf die Lichtverteilung. 915 


Mitte zum Rande an Helligkeit abnehmend erscheinen. Bei teilweise 
beleuchteter Scheibe, d. h. bei von O verschiedenen Phasenwinkeln, er- 
geben sich ebenfalls wesentlich verschiedene Lichtverteilungen auf der 
sichtbaren Planetenscheibe. Die Isophoten sind durch eine einfache 
Analyse zu bestimmen; wir wollen diese Frage, die Anding !®) behan- 
delt hat, hier nicht weiter verfolgen, weil die tatsächlichen Verhält- 
nisse keiner der Theorien entsprechen. Bei den Planeten, die von 
Atmosphären umgeben sind, liegen die Verhältnisse überhaupt voll- 
kommen anders und werden von uns in einem besonderen Kapitel 
behandelt werden. Für diejenigen Planeten und Trabanten, die keine 
Atmosphäre besitzen, bewirken aber die Unebenheiten der Oberfläche 
und die Verschiedenheit der Albedo ihrer einzelnen Teile ebenfalls 
eine wesentlich andere Lichtverteilung und eine andere Phasenkurve, 
als die einfachen Formeln von Lambert und Seeliger es verlangen. 
Schon Zöllner‘'®) hat versucht, den Einfluß von Erhöhungen auf 
der Mondoberfläche auf den Verlauf der Phasenkurve zu berechnen. 
Seine scheinbar sehr einfache Theorie ist aber, wie H. Seeliger‘) und 
A. Searle!'?) übereinstimmend nachgewiesen haben, fehlerhaft. Es ist 
ja. auch von vornherein klar, daß die Darstellung der Phasenkurve 
des Mondes durch eine theoretische Formel, welche mit Hilfe irgend- 
eines Reflexionsgesetzes der Mannigfaltigkeit der Mondformationen 
Rechnung tragen soll, eine unlösbare Aufgabe ist. Es kann sich nur 
darum handeln, die Phasenkurven einzelner gleichartiger Gebiete des 
Mondes, nachdem sie durch Beobachtungen festgestellt worden sind, 
theoretisch zu deuten, und diese Aufgabe erscheint durchaus aussichts- 
reich. E. Schoenberg''”) hat eingehende Untersuchungen der relativen 
Helligkeiten und der Phasenkurven gleichartiger Mondgebilde in der 
Gebirgsgegend der südlichen Mondhälfte ausgeführt und konnte nach- 
weisen, daß bei Zugrundelegung der Lambertschen Formel für ebene 
Teile der Oberfläche die beobachteten Helligkeiten sich durch eine be- 
sondere Beschaffenheit der Oberfläche erklären lassen, wie sie poröser 
Lava entspricht. Nur bei der Annahme dicht aneinander grenzender 
halbkreisförmiger Öffnungen oder Poren, wie sie für frische Lava als 
Folge des Entweichens der Gase aus runden Blasen charakteristisch 
sind, ergeben die Lichtverluste durch Schattenwurf die beobachteten 


175) Astr. Nachr. 129 (1892), p. 377. 

176) Photometrische Untersuchungen, p. 38. 

177) Vjschr. d. Astron. Ges. 21 (1886), p. 216. 

178) Proceedings of the American Academy of Sciences 19 (1884), p. 310. 

179) Untersuchungen zur Theorie der Beleuchtung des Mondes. Acta So- 
cietatis Scientiarum Fennicae Tom. 50, Nr. 9. Helsingfors 1925. 


916 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Helligkeiten bei allen Werten der Variablen i, & und A. Alle anderen 
Annahmen über die Form der Unebenheiten wie konische, halbkreis- 
förmige oder kalottenförmige Erhebungen führen zu Widersprüchen 
mit den Beobachtungen. Somit ist hier ein Aufschluß über die Be- 
schaffenheit derjenigen Teile des Mondes erreicht, die auch durch das 
stärkste Fernrohr keine Struktur aufweisen; die vulkanische Theorie 
der Entstehung der Mondformationen hat in diesem Nachweis poröser 
Beschaffenheit der Mondoberfläche eine wesentliche Stütze erhalten. 
Da nach photographischen Massungen von E. Oepik'?) die Maria des 
Mondes eine ganz ähnliche Phasenkurve aufweisen, bezieht sich die 
Schlußfolgerung der porösen Beschaffenheit auch auf diese. Schoen- 
berg schlägt vor, das photometrische Verhalten aller besonderen Mond- 
gebilde, wie das der hellen Strahlen, des Inneren der Krater, der Rillen 
und Rugen in ähnlicher Weise zu untersuchen, indem für dieselben 
der Verlauf der Schattenfunktion y(«) bestimmt wird, die in dem 
Ausdruck für die reflektierte Lichtmenge 


dq=Tf(i, e) v(e) ds 


im wesentlichen die Einflüsse des Schattenwurfes kennzeichnet. Für 
die Funktion (ti, &) empfiehlt er die Lambertsche Formel. 


34. Die Flächenphotometrie der großen Planeten. Wegen ihres 
speziellen Charakters werden die theoretischen Untersuchungen über 
die Einflüsse des Schattenwurfes auf die Helligkeit der Planetenober- 
flächen hier nur erwähnt. Die Flächenphotometrie der Planetenober- 
flächen ist durch die Arbeiten von E. Schoenberg'?!) in die astrono- 
mische Praxis eingeführt worden und befindet sich erst im Beginn 
ihrer Entwicklung. Schoenberg untersuchte die Lichtverteilung auf den 
großen Planeten Venus, Mars, Jupiter und Saturn und fand durchweg 
eine bedeutende Randverdunkelung bei voller Beleuchtung derselben. 
Indem er in erster Näherung die Helligkeit als Funktion des Einfalls- 
winkels © und des Reflexionswinkels e in der Form ansetzte: 


h=kL(1-+ uecosi + vcos2i)(l + ucose + vcos2e), 
findet er für die Helligkeit in Opposition, wo für alle Punkte der 
Oberfläche i = & ist, 
hu, = kL(1-+ wecosi + v cos2i)”; 
die Werte der die Randverdunkelung charakterisierenden Koeffizienten 
u und v sind für die untersuchten Planeten: 





180) Publ. de l’Observatoire Astr. Tartu. Tome 26, Nr. 1 (1924). 
181) On the illumination of planets. Publ. d. Sternwarte Dorpat 24 (1917). 


35. Die Beleuchtung der Planetentrabanten. Das aschfarbene Mondlicht. 917 


u v 
Venus — 4,25 1,135 
Mars — 2,56 0,54 
Jupiter 1,80 0,0 
Saturn 2,10 0,0 


Hier sind die Werte für Jupiter und Saturn von besonderem Inter- 
esse, weil sie sicher bestimmt sind und weil diese Planeten immer 
nahezu voll beleuchtet sind, somit die durch die Formeln 
hy=kL(1+ 18cosi) und hy=kL(l -+ 2,1 cos:)? 

bestimmte Lichtverteilung dem üblichen Anblick der Planeten ent- 
spricht. Es ergibt sich die Möglichkeit, den Reflexionskoeffizienten p 
(vgl. p. 908) in der Bestrahlungsrichtung für die Oberflächen aus der 
Gesamthelligkeit der Planeten zu berechnen, indem man über die 
Oberfläche integriert. Die Bondschen Werte für p sind aus der Oppo- 
sitionsgesamthelligkeit berechnet, wobei aber der Randverdunkelung 
nicht Rechnung getragen ist. Die von Schoenberg'??) berechneten Re- 
flexionskoeffizienten sind deshalb durchweg wesentlich größer als die 


Bondschen Werte von p. 
Russels p Schoenbergs R 


Venus 0,492 0,629 
Mars 0,139 0,244 
Jupiter 0,375 0,585 
Saturn 0,420 0,672 


Die Werte von R sind mit dem Reflexionskoeffizienten für eine 
Wolkenoberfläche eher vergleichbar als die p. Die Annäherung der 
Werte von R an letzteren (0,73) ist aber nicht als Bestätigung dafür 
anzusehen, daß Venus nur eine Wolkenoberfläche zeigt, wie das weiter 
noch genau erörtert werden soll. 


35. Die Beleuchtung der Planetentrabanten. Das aschfarbene 
Mondlicht. Bei der Berechnung der Lichtmenge, die die Trabanten 
der großen Planeten der Erde zusenden, muß man, wenn die größte 
Schärfe erreicht werden soll, außer der direkten Beleuchtung des Tra- 
banten durch die Sonne auch die ihm vom Planeten zugesandte Licht- 
menge in Rechnung ziehen. Ein solches Problem liegt z. B. vor bei 
der Erklärung der beobachteten Helligkeitsschwankungen der großen 
Jupiter- und Saturntrabanten. Die Berechnung der vom Planeten dem 
Trabanten zugestrahlten Lichtmenge ist ein einfaches Problem, das 
z. B. in Schoenbergs „Theoretischer Photometrie“ im Handbuch der 
Astrophysik II, Teil 1, p. 87 behandelt ist; die Schwierigkeit einer 


182) Handb. d. Astroph. II, Teil 1 (1929), p. 84. 


918 VIs, 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


strengen Lösung liegt in der Unkenntnis der vollen Phasenkurve der 
äußeren Planeten und des Trabanten selbst. Bei der Geringfügigkeit 
des Gesamteffekts hat man sich bisher mit Näherungsformeln für die 
Phasenkurven begnügt, indem man beim Planeten eine der bekannten 
Phasenkurven und für das Reflexionsgesetz an der Trabantenoberfläche 
etwa das Lambertsche Gesetz einsetzte. 

Ein besonderer Fall dieser Aufgabe ist die Berechnung des asch- 
farbenen Mondlichtes. Bestimmt man dessen Helligkeit im Vergleich 
zur Helligkeit der beleuchteten Mondscheibe, so kann man aus dem 
Verhältnis beider die Albedo der Erde berechnen. Auch dieses Pro- 
blem ist in der genannten Arbeit in allen Einzelheiten behandelt. In 
diesem Falle ist nur die Phasenkurve der Erde unbestimmt und muß 
gleich derjenigen von Venus oder Mars angenommen werden; dagegen 
ist das Reflexionsgesetz der Mondoberfläche in den vermessenen Teilen 
entweder bekannt oder läßt sich durch besondere Messungen bestimmen. 
Die Albedo der Erde ergibt sich, wie zu erwarten war, kleiner als die- 
jenige von Venus und größer als die von Mars, weil die Durchsichtig- 
keit der Erdatmosphäre zwischen den bezüglichen Werten für Mars 
und Venus liegt. 


36. Die Verfinsterung der Jupitertrabanten. Ein wichtiges Pro- 
blem, in dem das Reflexionsgesetz und die aus ihm folgende Licht- 
verteilung auf der Trabantenscheibe von großer Bedeutung ist, bieten 
die Verfinsterungen der Jupitertrabanten. Diese Erscheinungen, die in 
früheren Zeiten auch zum Zwecke der Längenbestimmung zur See 
und auf Forschungsreisen beobachtet wurden, haben heute ihre wesent- 
liche Bedeutung als Mittel zur Bestimmung der jovizentrischen Längen 
der Trabanten, somit für die Theorie der Bewegungen dieser inter- 
essanten Himmelskörper. O. Römer hat sie für die Bestimmung der 
Lichtgeschwindigkeit und der Sonnenparallaxe verwertet, doch ist 
heute diese Methode durch andere übertroffen, wenn sich auch bei 
einer genaueren Analyse der Bewegungserscheinungen ein Wert der 
Lichtgeschwindigkeit als Nebenresultat ergibt. Das wesentliche Er- 
gebnis sind dabei aber die Bahnkonstanten der Jupitertrabanten; alle 
Theoretiker, die die Bewegungsverhältnisse im System der großen 
Jupitertrabanten eingehend studiert haben, wie Laplace, Delambre und 
in neuester Zeit R. A. Sampson'®?), haben sich dabei auf die beobach- 
teten Verfinsterungsmomente gestützt. Diese Momente sind aber schwer 
festzulegen, wenn man eine größere Genauigkeit anstrebt, weil die 


183) Harv. Ann. 52, Part II (1909); A Discussion of the Eelipses of Jupiter’s 
Satellites 1878—1903. 


36. Die Verfinsterung der Jupitertrabanten. 919 


Verfinsterungen für die inneren Jupitertrabanten von 4 Min. 19 Sek. 
bis 16 Min. 27 Sek. dauern und der Moment des Verschwindens von 
der Lichtstärke des Fernrohres und den atmosphärischen Verhältnissen 
abhängig ist. Der Trabant taucht allmählich in den Schatten des 
Planeten, und der Beginn dieser Erscheinung, den kein Fernrohr als 
solchen zu zeigen vermag, ist aus der langsam abnehmenden Licht- 
stärke des Trabanten unmöglich genau zu erfassen. Das Ende der 
Erscheinung wird dagegen von der Lichtstärke des Fernrohres ab- 
hängig sein. Der Verlauf der Lichtabnahme ist von der Lichtverteilung 
auf der Trabantenscheibe, also dem Reflexionsgesetz seiner Oberfläche 
abhängig. Nun hat schon Cornu'**), der die photometrische Seite des 
Problems der Verfinsterungen als erster behandelt hat, darauf auf- 
merksam gemacht, daß die Lichtabnahme um die Mitte der Verfinste- 
rung, wenn der Jupiterschatten über das Zentrum der Trabantenscheibe 
hinwegstreicht, am größten sein muß, und daß daher dieser Moment 
aus den Beobachtungen am leichtesten zu ermitteln ist. Nach ihm 
haben Obrecht!®°), V. Wellmann'*) und E. Anding') das Problem 
eingehend behandelt, und zwar der erstgenannte für den Fall einer 
gleichmäßigen Helligkeit der Trabantenscheibe, die beiden anderen 
Autoren für den Fall einer Lichtverteilung nach dem ZLambertschen 
Gesetze. Die allgemeine Theorie der Verfinsterung ist recht kompli- 
ziert, es zeigt sich aber, daß sie wesentlich vereinfacht werden kann, 
wenn man die durch die Beobachtungsgenauigkeit gerechtfertigten 
Vereinfachungen zuläßt. Die wirkliche Beobachtungsgenauigkeit der 
Bedeckungsmomente ist sehr gering und die Vereinfachungen des 
Problems bewirken sämtlich Fehler von weniger als 0,01 Sek. 

Man kann annehmen, daß die Bewegung der Schattengrenze auf den 
Trabanten proportional der Zeit verläuft, und braucht somit die wirklichen 
Bewegungsverhältnisse in der elliptischen Bahn nicht zu berücksichtigen. 
Weiter kann man die Krümmung der Schattengrenze vernachlässigen und 
diese als geradlinig und durch die Tangentialebene zur Jupiteroberfläche 
bestimmt denken. Bei dem geringen Winkelhalbmesser der Sonne aus 
Jupiterabstand (3”) erweist sich auch die Wirkung des Halbschattens 
des Planeten als ganz unmerklich; somit kann die Sonne als punkt- 
förmig betrachtet werden. Endlich braucht man auch den Einfluß der 
Phase, die bei Jupiter 12° nicht übersteigt, nicht in Rechnung zu ziehen. 


184) Paris C. R. 96 (1883), p. 1690 und 1815. 

185) Etudes sur les 6clipses de Jupiter. Paris 1884. 

186) Zur Photometrie der Jupitertrabanten. Diss. Erlangen 1887: 

187) Photometrische Untersuchungen über die Jupitertrabanten. Preisschrift 
München 1889. 


920 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Unter diesen Umständen reduziert sich das ganze Problem auf 
folgende Aufgabe: es soll die Helligkeitsabnahme einer beleuchteten 
Kreisscheibe ermittelt werden, wenn dieselbe von einem mit gleich- 
förmiger Geschwindigkeit über sie hinweggehenden, gradlinig begrenz- 
ten dunklen Schatten bedeckt wird. Die Lösung derselben für den 
Fall des Lambertschen Gesetzes, bei dem die Helligkeit mit dem Ko- 
sinus des Einfallswinkels nach dem Rande zu abnimmt, ist folgende: 
die Lichtmenge vom Trabanten in Einheiten der Totalhelligkeit Q, 
seiner unbeschatteten Scheibe ist 


1 3 1 
(27) =, +4 0p og, 
wo 
(28) cosp — — 


und r der Radius der Trabantenscheibe, a der kürzeste Abstand der 
Schattengrenze vom Mittelpunkt ist. Für den Fall einer gleichmäßigen 
Helligkeit der unverfinsterten Trabantenscheibe ist dagegen 


























n— sin p cos 
(29) Q pre op + p p 3 
% ” 
Folgende kleine Tabelle veranschaulicht den Verlauf dieser Funktionen: 
Tabelle 13. 
9:09, a 9:9 

r Lambert Seeliger | P Lambert | Seeliger 
1,0 | 1,000 1,000 0,0 0,500 | 0,500 
0,9 0,993 0,981 01 0,425 | 0,436 
0,8 0,972 | 0,948 — 0,2 0,352 | 0,373 
0,7 0,939 | 0,906 — 0,3 0,282 | 0,312 
0,6 0,896 0,858 04 0,216 0,252 
0,5 0,844 0,804 0,5 0,156 | 0,196 
0,4 0,784 0,748 MR) 0,104 | 0,142 
0,3 0,718 0,688 0,7 0,061 | 0,094 
0,2 0,648 0,627 — 0,8 0,028 | 0,052 
0,1 0,575 0,564 — 0,9 0,007 0,019 
0,0 0,500 0,500 =, 0,000 0,000 

















Beide Kurven haben um die Mitte der Verfinsterung ihren Wende- 
punkt, was auch analytisch leicht zu zeigen ist. Seeliger hat aber be- 
wiesen, daß diese Eigenschaft bei jeder konzentrischen Art der Licht- 
verteilung auf einer Kreisscheibe erhalten bleibt. 

In der Tat, bei einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit dem 
Ursprung im Zentrum der Scheibe hat man für die Liehtmenge von 
einem Flächenelement dzdy im Abstande ge =Yx?-+ y? vom Zentrum 


dQ—=kF(Va+ y)dady, 
wo k eine Konstante ist und die Funktion F das Helligkeitsgesetz 
in konzentrischen Kreisen darstellt. 


36. Die Verfinsterung der Jupitertrabanten. 921 


Die gesamte Liehtmenge ist bei einem Abstande a der Schatten- 
grenze vom Zentrum, falls mehr als die Hälfte der Scheibe beleuch- 
tet ist, 


r Vr—a 


a—=2r/[ [Fie)dzay. 
—a 0 


Hieraus ergibt sich durch Differentiation 


Vr— a? 


rn | Fiya+ Y)ay 




















und weiter 
Vr=a 
ag _ aF(r) OF (Ya’ + y°) 
(80) - el da a). 
Da aber 
or(vaa+y‘) _ 9,2 FVRtY) _ 9,0 Ver) 
0a ö (a?) oa +y?) ’ 
so erhält man, wenn man die Variable a@ + y?—= &? einführt, 
5d$ 
d gr area un oma ni 
Y Vera 


und weiter 


oF(ya EN) ay 90 & _ g_ 70 _d 

















75 v&’— - a? 08 VE’ a?! 
F'(6) 
— — Id 
ET, 


Setzt man diesen Wert in die Gleichung (30) ein, und beachtet die 
Integrationsgrenzen für &, welche r und a nie so erhält man 


a BR SRRE Fin F& 
(31) da? Kr ef VE. “| 


Der Ausdruck verschwindet für a=(0, und es ist deshalb dieser 
Punkt unter allen Umständen ein Wendepunkt, wenn auch nicht 
immer der einzige bei einer beliebigen Form der Funktion F. 

Der Zeitraum zwischen Anfang und Mitte der Verfinsterung er- 
gibt den Wert des Halbmessers des Trabanten, doch ist diese Be- 
stimmung naturgemäß sehr unsicher, weil der Beginn der Verfinste- 
rung nicht genau festgestellt werden kann. 

Die ausgedehnteste Beobachtungsreihe der Verfinsterungskurven 
der vier hellen Jupitertrabanten ist an der Harvard-Sternwarte in den 
Jahren 1878—1903 ausgeführt worden. Mit einem besonders zu die- 
sem Zweck konstruierten Photometer gelang es 12 bis 13 Messungen 








9922 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


der Helligkeit in der Minute zu machen und dadurch die Kurven 
sicher festzulegen. Die Bearbeitung dieses 670 Verfinsterungen um- 
fassenden Materials ist von .R. A. Sampson'®®) im wesentlichen für die 
Theorie der Bewegungen ausgeführt worden und für die Himmels- 
mechanik als eine außerordentlich wertvolle Leistung anzusehen. In 
photometrischer Beziehung bieten die Beobachtungen eine Enttäuschung. 
Für die Mechanik war es nur wesentlich, die sichersten Momente 
der Verfinsterungsmitte festzulegen, und das wurde auf graphischem 
Wege erreicht. Der Verlauf der Verfinsterungskurven zeigte große Ver- 
schiedenheiten und Unregelmäßigkeiten, die nicht den Beobachtungs- 
fehlern zugeschrieben werden können. Daher waren die wahrschein- 
lichen Fehler der aus den Kurven abgeleiteten Verfinsterungsmomente 
für den ersten Trabanten 7,1, für den vierten sogar 22,1 Sek. und 
Abweichungen bis zu einer Minute keine Seltenheit. Als wichtigste 
Ursache der starken Abweichungen mancher Beobachtungen von 
systematischem Charakter kann nur die Atmosphäre des Planeten an- 
gesehen werden. Dieselbe ist in der Theorie in keiner Weise berück- 
sichtigt. Lokale Erhebungen von Wolkengebilden über das durch- 
schnittliche Niveau derselben müssen die Schattengrenze an der be- 
treffenden Stelle verschieben. Die Rechnung zeigt, daß eine Erhebung 
um 1:14 des Halbmessers oder um 0,135” eine Veränderung der 
Schattengrenze zur Folge hat, die den berechneten Moment um 30 Sek. 
beeinflussen kann. Bei den starken Umwälzungen, die die Oberfläche 
des Planeten öfters aufweist, erscheint es durchaus wahrscheinlich, 
daß auch die ausgedehnte Atmosphäre desselben durch auf- und nieder- 
steigende Ströme die stärksten Refraktions- und Durchlässigkeits- 
störungen erleidet. Als zweite mögliche Ursache der Abweichungen 
nennt Sampson unsymmetrische Fleckenbildungen auf der Oberfläche 
der Trabanten, die die Helligkeiten des beleuchteten Teiles stark ver- 
fälschen können. 

Sehr auffallend ist die Tatsache, daß der Jupiterhalbmesser sich 
aus diesen Beobachtungen fast genau so groß ergibt wie aus Mikro- 
metermessungen der Scheibe, während man doch zwei bedeutsame 
Ursachen für einen anderen Wert unmittelbar angeben kann. Infolge 
der Refraktion in der Jupiteratmosphäre müßte die Schattengrenze 
nach innen verschoben sein, somit der Durchmesser des Schattens 
kleiner ausfallen; infolge der Absorption in den tieferen Schichten 
der Atmosphäre muß sich die Schattengrenze nach außen verschieben, 
also ein entgegengesetzter Effekt entstehen. Daß sich die beiden Ein- 


188) Harv. Ann. 52, Part II (1909); A Discussion of the Eclipses of Jupiter’s 
Satellites 1878—1903. 


37. Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. 923 


flüsse gerade aufheben, erscheint jedenfalls auffallend bei der Dichte 
der Jupiteratmosphäre. Eine genauere photometrische Analyse der Be- 
obachtungen der Harvard-Sternwarte scheint für die Klärung dieser 
Fragen noch durchaus aussichtsreich zu sein. 


37. Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinster- 
nissen. Ein mit dem vorigen verwandtes Problem bietet sich bei der 
Erklärung der Helligkeitsverhältnisse während einer Mondfinsternis. 
Die Helligkeit des Kernschattens der Erde in Mondabstand ist bei 
jeder Finsternis etwas verschieden, außerdem hat die Erfahrung ge- 
zeigt, daß der ohne Rücksicht auf die irdische Atmosphäre berechnete 
Durchmesser des Kernschattens mit den Beobachtungen nicht über- 
einstimmt. Während man mit Rücksicht auf die Lichtbrechung eine 
Verkleinerung des Schattens erwarten müßte, erweist er sich in Wirk- 
lichkeit nicht unwesentlich vergrößert. Die Beobachtungen der Schatten- 
grenze sind wegen ihrer Unschärfe recht ungenau, und der zu ver- 
schiedenen Zeiten aus ihnen abgeleitete Vergrößerungsfaktor schwankt 
recht beträchtlich. Zieht man nur die sichersten Ergebnisse in Be- 
tracht, bei denen nur die Ein- und Austritte derselben Mondkrater 
für die Bestimmung des Durchmessers verwandt wurden, so findet 
man nach A. Brosinski'?”) als Vergrößerungsfaktor des geometrischen 
Kernschattens den Wert V=1:55, wobei aber die Einzelwerte immer 
noch zwischen 1: 72,1 und 1:41,5 schwanken. J. Hartmann!) be- 
nutzte die Tafeln des Mondes, um alle sicheren Beobachtungen der 
Ein- oder Austritte einzelner Krater verwerten zu können, und erhielt 
auf diese Weise vom Beginn des 19. Jahrhunderts bis zum Jahre 
1898 insgesamt 4021 Einzelwerte bei 28 Finsternissen, die alle zur 
Bestimmung des Vergrößerungsfaktors herangezogen werden konnten. 
In Abhängigkeit von der Art der Zusammenfassung dieser Werte er- 
hielten Hartmann und H. Seeliger'”') auch aus diesem Material noch 
stark differierende Zahlen. So findet Hartmann für die Vergrößerung 
des Erdschattens in Bogensekunden in zwei Perioden, die sich in 
ihrer Genauigkeit unterscheiden, 


I. Periode 7 = 53,07", 
I; 5 V = 48,62”, 
dagegen Seeliger aus dem Gesamtmaterial Y = 50,6”. Auffallend ist, 


189) Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. Göt- 
tingen 1889. 

190) Die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. Abh. d. 
Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss. 17, Nr. 6 (1891). 

191) Vjschr. d. Astron. Ges. 27 (1892), p. 186. 


994 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


daß die Ein- und Austritte für sich behandelt zu merklich verschie- 
denen Werten führen: 


Periode I Periode II 
Eintritte 59,19" 50,93” 
Austritte 49,30” 47,46”. 


Ferner zeigen einzelne genauere Beobachtungen ein scheinbares Kleiner- 
werden des Schattens mit zunehmender Verfinsterung des Mondes und 
ein Wiederanwachsen desselben bei abnehmender Verfinsterung. Diese 
merkwürdigen Erscheinungen erklären sich z. T. wohl durch den 
wechselnden Zustand unserer Atmosphäre. Die immer auftretende 
Vergrößerung des Schattens führt Seeliger"?) auf physiologische Ur- 
sachen zurück. 

Zunächst beweist er, daß diese Vergrößerung nicht auf die Un- 
durchsichtigkeit der unteren Schichten der Atmosphäre zurückgeführt 
werden kann. Er betrachtet die Sonnenstrahlen, die auf dem Wege 
zur Mondoberfläche in der Erdatmosphäre eine horizontale Refraktion 
erfahren, sowohl an der Erdoberfläche als auch in größerer Höhe der 
Erdatmosphäre und berechnet ihre Schwächung durch Extinktion. 
So findet er, daß sogar diejenigen Strahlen, die die Erdatmosphäre 
in 36 km Höhe passieren, infolge der Refraktion innerhalb des Kern- 
schattens verlaufen, so daß, wenn die Atmosphäre bis zur genannten 
Höhe ganz undurchsichtig wäre, immer noch eine Verkleinerung des 
Erdschattens bei Mondfinsternissen beobachtet werden müßte. Die 
Schwächung der horizontal verlaufenden Strahlen durch Extinktion 
beträgt in dieser Höhe nur etwa 6°%,. Eine genaue Berechnung des 
ganzen Helligkeitsabfalls in der Umgebung der Kernschattengrenze 
ist von v. Hepperger'”?) und von Seeliger'”*) ausgeführt worden. Die 
Rechnung gestaltet sich recht umständlich, wenn man die Sonne nicht 
als Punkt, sondern als leuchtende Scheibe betrachtet, und besonders 
dann, wenn man den Helligkeitsabfall von der Mitte zum Sonnenrande 
in Betracht zieht. Letzteres ist in Seeligers Abhandlung durchgeführt; 
sie kann aber trotzdem nicht als ganz strenge Lösung des Problems 
aufgefaßt werden, weil außer der Extinktion und der Strahlenbrechung 
auch noch eine merkliche Dispersion der Sonnenstrahlen stattfindet, 
deren Berechnung sich ganz besonders schwierig gestalten würde. Die 


192) Die scheinbare Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. 
Abh. d. Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss. II, Kl. 19 (1899). 

193) Über die Helligkeit des verfinsterten Mondes usw. Sitzber. d. Kgl. 
Akad. d. Wiss. Wien, Math. Naturw. Kl. 104 (1895), p. 189. 

194) S. Anm. 192. 


37. Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. 925 


folgende Tafel enthält die Ergebnisse der v. Heppergerschen und der 
Seeligerschen Theorie, wobei die 2. Spalte ohne Rücksicht auf den 
Helligkeitsabfall auf der Sonnenscheibe berechnet ist, die letzte mit 
Rücksicht auf denselben. Die Tafel enthält den Logarithmus der 

















Helligkeit (HZ) in Ein- Tabelle 14. log H 
heiten der Vollmond- ig pen 
helligkeit. Als Argu- el : z = 
ment ist der Abstand art bh | 
vom Zentrum des Kern- 2460” 7,576 3510 7,347 7510 7,180 3410 
h b B 2470 7,614 730%, 7,214 n 
schattens in Bogen- 2480 || 7,65642 | 7,445 53 7,260 86 
sekunden angegeben. 2490 7,206. 49. |.2,012 67 7,290 7 
ee 2500 LABE Ri 2.008 92 1,338 #8 
Nimmt man dievon 2510 | 7,841 ir 7,725 Le 7,399 na 
Seeliger abgeleitete Ver- . . 91 er ra Se 91 
größerungdesErdschat- 2520 | 8.100685 806.100 | 7,007 98 
u „ 2550 8,186 8,153 7,768 
tens zu V=50,6° an, 2560 | 3,232 79 1,855 92 











so hätte man bei 2521,8” 
die scheinbare Trennungslinie zu erwarten. Das ist gerade bei der am 
strengsten durchgeführten Rechnung aus dem Verlauf der Differenzen 
nicht zu ersehen. Seeliger hat dann mit Hilfe einer rotierenden Scheibe 
den berechneten Helligkeitsverlauf anschaulich gemacht und gefunden, 
daß eine Reihe von Versuchspersonen, wenn sie diese Scheibe aus 
angemessener Entfernung betrachteten, als Grenze zwischen hell und 
dunkel ungefähr den bei Finsternissen beobachteten Abstand angaben. 
Bei einem erwarteten Abstande von 9,13 cm vom Mittelpunkte der 
Scheibe schwanken die einzelnen Schätzungen immerhin zwischen 8,7 
und 9,8 cm. Außerdem kann man die Bedingungen des Experiments 
nicht als identisch mit denen einer Finsternisbeobachtung ansehen. 
Interessant ist, daß es für das scheinbare Auftreten einer Trennungs- 
linie nicht notwendig ist, daß der Helligkeitsverlauf einen Wende- 
punkt aufweist, und überhaupt können Trennungslinien gesehen 


dH da dlog H d’H d?log H 


werden, ohne daß 727 VORGE ee oder Ir oder dr; etwas be- 











sonderes aufweisen. 


Von besonderem Interesse sind die Schlußfolgerungen, zu denen 
Hepperger und Seeliger über die Wirkungen der unteren Schichten 
der Atmosphäre gelangen. Diese Schichten schicken überhaupt kein 
Licht an die Grenze des Kernschattens, so daß es für den Verlauf der 
Helligkeitskurve in der Nähe dieser Grenze gleichgültig ist, ob man 
die unteren Schichten der Atmosphäre als ganz undurchsichtig oder 
ganz durchsichtig annimmt. Die Veränderlichkeit des Vergrößerungs- 
faktors ist deshalb, wenn sie reell ist, nicht diesen zur Last zu legen. 


996 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Dagegen ist im Zentrum des Kernschattens der Zustand der Tropo- 
sphäre von wesentlicher Bedeutung, indem die unteren Schichten der 
Atmosphäre das Sonnenlicht ausschließlich in den inneren Teil des 
Kernschattens senden. Die Helligkeit im Kernschatten ist aber in 
noch höherem Maße durch die Veränderlichkeit der Parallaxe beein- 
flußt. Seeliger berechnet, daß die Helligkeit im Zentrum des Kern- 
schattens, gleiche Durehsichtigkeit der Atmosphäre vorausgesetzt, im 
Apogäum, also bei kleinster Parallaxe, viermal so groß ausfallen müsse, 
als im Perigäum. Eine Zusammenstellung der beobachteten Total- 
helligkeiten der Mondscheibe bei Finsternissen zeigt, daß die Beobach- 
tungen, die vielfach nur Schätzungen sind, wohl mit Sicherheit große 
Verschiedenheiten der Helligkeit aufweisen, die nicht durch den Ab- 
stand der Scheibe von dem Kernschatten allein erklärt werden können. 
G. Zimmermann”) findet in einer Zusammenstellung der alten und 
neuen Beobachtungen, daß nur das oben erörterte Seeligersche Phäno- 
men der Abhängigkeit der Kernschattenhelligkeit von der Parallaxe 
deutlich hervortritt, daß dagegen große beobachtete Helligkeitsunter- 
schiede einzelner Finsternisse, wenn sie nicht auf Beobachtungsfehlern 
beruhen, keine Erklärung in den bisherigen Theorien finden. Das In- 
teresse für das Problem ist in letzter Zeit reger geworden, und es sind 
verschiedene Klassifikationen der Finsternisintensität von W.J. Fisher !*) 
und von A. Danjon'?) vorgeschlagen worden, sowie auch eine bequeme 
Methode zur Messung der Helligkeit des Mondes im Anschluß an Fix- 
sterne von Selivanow.'?) 


38. Über die Beleuchtung der Planetenatmosphären. Die mei- 
sten der großen Planeten sind von Atmosphären umgeben, die mehr 
oder weniger dicht und mehr oder weniger durchsichtig sind. Das 
physikalische Studium der Oberflächen einiger Planeten bezieht sich 
deshalb überhaupt nur auf die Beschaffenheit der undurchdringlichen 
Atmosphäre derselben, während bei anderen, wie Mars, auch die feste 
Oberfläche durch die Atmosphäre hindurch studiert werden kann. Die 
enorme Bedeutung der gesetzmäßigen Veränderungen, die das Licht 
beim Durchdringen einer Atmosphäre erleidet, zur Beurteilung der 
Natur, der Temperaturverhältnisse, der Möglichkeit organischen Lebens 
und auch der Entwicklungsgeschichte der Planeten ist hieraus ersicht- 
lich. Die theoretische Grundlage des Problems ist die Theorie der 
Absorption und der Diffusion des Lichtes in gasförmigen Körpern. 


195) Astr. Nachr. 244 (1931), p. 23. 

196) Smiths. Misc. Coll. 76 (1924), Nr. 9; Harv. Repr. 7 (1924). 
197) Bull. Soc. Astr. France 39 (1925), p. 272. 

198) Mirovedenie Astron. Bull. 1925, Nr. 1—2. 


39. Die Theorie der Diffusion u. Absorption des Lichtes in Gasen vonK.V.King. 927 


Das Problem kann nur idealisiert einer mathematischen Analyse unter- 
worfen werden. Es ist zu unterscheiden: eine Wolkenatmosphäre, für 
die das Gesetz der Reflexion an einem irdischen Wolkenmeer, wie es 
in Schoenbergs Reflexionsformel behandelt ist, als Grundlage dienen 
kann, und eine gasförmige Atmosphäre über einer Wolkenschicht 
oder einer festen Oberfläche, für die das Rayleighsche Diffusionsgesetz 
als Grundlage dienen muß. 

39. Die Theorie der Diffusion und Absorption des Lichtes in 
Gasen von L. V. King.'”) Die Grundlage der Theorie ist die Ray- 
leighsche?°®) Formel, die sich sowohl auf die Moleküle eines Gases als 
auch auf genügend kleine feste Partikel anwenden läßt. Nach ihr ist 
die Intensität der unter dem Winkel « zerstreuten Strahlung J(«), 
wenn E die Intensität der einfallenden bedeutet, durch die Formel 
gegeben 
(32) J(«) = u(e)E, 

m 1 7?(n? — 1)?(1 + cos?«) 

(33) u) = Ä 

Hier ist n der Brechungsexponent, A die Wellenlänge des Lichtes und 
N die Anzahl der streuenden Partikel in der Volumeinheit. Die For- 
mel gilt für beliebig kleine Partikel bis zur Größe von einem Drittel 
der Wellenlänge der einfallenden Strahlung. Voraussetzung ist freilich 
die kugelförmige Gestalt derselben. Nach Ol. Schäfer?"!) gilt für zylin- 
drische Oberflächen mit einem Querschnitt derselben Größenordnung 
eine Streuungsformel, die die dritte Potenz der Wellenlänge im Nenner 
enthält. Bei größeren kugelförmigen Partikeln kann die in verschie- 
denen Richtungen zerstreute Lichtmenge nach der Theorie von Mie?”) 
berechnet werden. 

Es ergeben sich mit wachsender Größe immer kompliziertere 
Formen des Diffusionsdiagramms, das jeweilig für ein bestimmtes 
Verhältnis Be 


en 





wo r der Halbmesser des Teilchens ist, und einen bestimmten Bre- 
chungsexponenten gilt. Nach einer Untersuchung von E. Schoenberg?®) 


199) On the Scattering and Absorption of Light in Gaseous Media. Phil. 
Trans. Series A, vol. 212 (1913). 

200) Phil. Mag. Series 4, vol. 41 (1871), p. 107, 274, 447; Series 5, vol. 12 
(1881), p. 81; Series 5, vol. 47 (1899), p. 375. 

201) Ann. d. Phys. 50 (1916). 

202) Ann. d. Phys. 25 (1908), p. 377. 

203) Mitt. d. Universitäts-Sternwarte zu Breslau 3 (1932), p. 54. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 60 


928 VIg2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


ist die Proportionalität der zerstreuten Lichtmenge mit A-%, wie sie die 
Rayleighsche Formel verlangt, nur bis zur Größe der Partikel von 44 
gültig, bei wachsenden Teilchen treten Abhängigkeiten annähernd von 
der Form A-°?, A? und A-! auf, bis bei einer Größe von 34 die Ab- 
hängigkeit von der Wellenlänge ganz verschwindet. Diese Feststel- 
lungen sind durch die Festlegung der oberen Grenze einer Verfärbung 
der diffusen Strahlung von Bedeutung; die untere Grenze der Ray- 
leighschen Verfärbung ist sehr klein, jedenfalls kleiner als die Größen- 
ordnung der Atome und Ionen, die obere 44. Das Gebiet zwischen 
+4 und 34 kommt für Beimischungen fester oder flüssiger Partikel 
in Gasen unter Umständen in Betracht; allgemein aber, bei Mischungen 
von festen Partikeln verschiedenster Größe, kann dasselbe nur einen 
verschwindenden Einfluß haben. Für Gasatmosphären kommt natürlich 
nur die Rayleighsche Verfärbung in Betracht. 

Kehren wir nun zur Formel (2) zurück. Da sowohl » — 1 als 
auch N der Dichte o des Gases proportional ist, so ist es auch u(«). 
Wir haben daher die Beziehung 





iu, (@) En N, Sr %” 

wo der Index O0 einem bestimmten Zustande des Gases entspricht. Die 
Zerstreuung des Lichtes schwächt die das Gas durchdringenden Strahlen, 
ohne daß ein Verlust der gesamten Energie stattfindet. Will man neben 
der Schwächung durch Streuung auch der Absorption Rechnung tragen, 
so muß man noch den Absorptionskoeffizienten v einführen, indem 
man den Bruchteil der durchdringenden Strahlung oder den Trans- 
missionskoeffizienten durch die Gleichung 


(35) pet 


(34) w(«) Bel N a 


definiert, wo %k die Schwächung durch Streuung, » die Schwächung 
durch Absorption bedeutet. Da die Streuung in verschiedenen Rich- 
tungen nicht gleich ist, so bedeutet hier % den mittleren Streuungs- 
koeffizienten, der durch die Gleichung definiert ist: 


k—4ru —/u(a)do, 


wo das Integral über die ganze Kugel zu erstrecken ist, also 








a 4 a Be AN 3 92 2(m? — 1)? 
(36) Du me nd 27 fu —+ cos? «) sinadı— 3 "NT E. 


Die Intensität der zerstreuten Strahlung in Abhängigkeit vom Ab- 
stande r von einer streuenden Partikel oder einem Volumelement dv 


39. Die Theorie der Diffusion u. Absorption des Lichtes in Gasen vonK.V. King. 929 


des Gases ist also für eine gegebene Richtung allgemein 


—) Kar 
(37) J(r, «) = J(0, «)e 5 bi K=k-+v, 
wo J(0,«) die Intensität in unmittelbarer Nähe von dv bezeichnet 
und die Dichte auf dem Wege r veränderlich sein kann. 

Wir denken uns das Gas von parallelen Ebenen begrenzt, die 
einfallenden Strahlen parallel. Die 
Lage des Volumelementes dv ist 
dann durch eine Koordinate x, die 
Höhe über der unteren Begrenzung, 
definiert. Wir schreiben E(x) und 
J(z, r, «), wenn wir die Abhängig- 
keit der Funktionen E und J von 
der Höhe des Elementes dv unter- | Fig. 11. 

ji Die Streuung der Sonnenstrahlung in der 
streichen wollen. Die auf dv ein- planparallel begrenzten Atmosphäre. 
&illende Strahlung besteht aus: (Nach Handb. d. Astroph. II, p. 210.) 

1. Der direkt von außen einfallenden Strahlungsmenge E(x) dv, 

von der in den räumlichen Winkel dw die Lichtmenge 


u(e) E(x)dvdo 











zerstreut wird; 
2. der von allen anderen Volumelementen dv’ mit den Koordi- 
naten x’ und den Abständen r’ von dv zugesandten Strahlung, deren 


Intensität ist 
dta,rR) av 


Hin 





Von dieser wird der Anteil 
di a 


ir 





T 


in den räumlichen Winkel dw zerstreut, wobei über alle Elemente 
dv’ der Gasmasse, deren Gesamtvolumen 3 ist, summiert worden ist. 
Nach der Definition ist die Summe der Beträge 1. und 2. gleich 
J(x, 0, «)do, der Strahlung in der nächsten Nähe von dv in der Rich- 
tung & zu den Sonnenstrahlen. Es ist also 
\ ; _ rar 
(38) I 0,0) ulW)El) + Jury Er! a‘, 





wo J(x’,r’,«') durch J(x’,0, @’) nach (6) ausgedrückt ist. 
Sobald J(x,0,«) als Funktion von x bekannt ist, was durch 
Auflösung der Integralgleichung (38) erreicht sein würde, ergibt sich 


die Strahlung im räumlichen Winkel ® nach einem Punkte P der 
60* 


930 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Gasmasse aus der Formel 
2 
dr 


r fx 
(39) To—o/Ja,0,e)e? ar, 
0 


wo PO=r ist; die Funktion unter dem Integralzeichen ist für ein 
gegebenes x von r und « abhängig und bedeutet die Intensität der 
einzelnen Punkte in der Richtung «; das Integral, bs r=r,—= PQ 
erstreckt, gibt also die Gesamtintensität in der Richtung PQ. To ist 
deshalb für einen Beobachter in P, für den die Gasschicht die Atmo- 
sphäre bedeutet, die von einem bestimmten Ausschnitt des Himmels- 
grundes, der den räumlichen Winkel ® umfaßt, senkrecht auf die 
Flächeneinheit einfallende Lichtmenge. 

Wenn wir in der Integralgleichung (38) u(rr”) durch « aus der 
Gleichung (36) ersetzen und auch im ersten Gliede u(«) durch den- 
selben Wert, außerdem für dv’ seinen Wert r’?dwo’dr’ einsetzen, so 
erhalten wir 

— f k dr' 
(40) Te) = BE) +EfI@)e 


do’dr'. 


Hat die Gasmasse veränderliche Dichte, wie das für Planeten- 
atmosphären der Fall ist, so werden wir sie uns parallel zu den Be- 
grenzungsflächen geschichtet denken. Eine solche geschichtete Atmo- 
sphäre kann durch eine homogene von der Dichte _, ersetzt werden, 
die der Dichte an der unteren Begrenzung entspricht. Die Höhe einer 
solehen homogenen, reduzierten Atmosphäre ist durch die Gleichung 
gegeben 


x 


(41) H= Fi dx. 
ö 0 


Führt man in die Gleichung (40) statt der Variablen r und x die 
neuen Variablen 


(42) R—[% aa und x—/[2 az 
ö 0 5 () 


ein, so wird, da auch zwischen den Konstanten die Beziehungen be- 
stehen: 
u k v BR 
43 aan. on ia ae 
( ) ul) k, vo K, %’ 


die Integralgleichung auf die Form transformiert 


4) IK-WER) +m[IK)enraR'do‘, 


39. Die Theorie der Diffusion u. Absorption des Lichtes in Gasen vonL.V.King. 931 


wo die Funktion J(X) den Wert hat: 
(45) IND-T I). 


Diese Integralgleichung bezieht sich also auf die homogene, reduzierte 
Atmosphäre, welche die Eigenschaften der untersten Schicht der wirk- 
lichen Atmosphäre besitzt und dieser in ihrer optischen Wirkung 
gleichkommt. Die Transformation ist von dem Gesetze der Dichte- 
abnahme unabhängig. 

Die Gleichung (39) wird durch dieselbe Transformation zu folgender: 


R 


(46) To — o[J(X)e “RR, 
0 


und wenn man _R = Xsecg einsetzt, so erhält man für die Richtung 
zur Normalen die Intensität des Himmels aus 


H 
(47) T=secp [Kerr xXwrax. 
0 


Das Integral in der Gleichung (44) ist jetzt über alle Volum- 
elemente einer homogenen Atmosphäre, die sich als planparallele 
Schicht gleicher Dichte ins Unendliche 7 
erstreckt, zu bilden. Die Integrations- 


grenzen nachzsindX=0undd X=H 4 











N 
1 ' 
(Fig. 12). 
Inzylindrischen Koordinaten (8’,%‘) a4 
ist der Ausdruck für do’ Fig. 12. 
S re , 5 Die Streuung der Sonnenstrahlung in der 
dR’do’ au ir AX E’dE’dy reduzierten homogenen Atmosphäre. 
07: =5 RB: = Era (Ne x)? P) (Nach Handb. d. Astroph. II, p. 212.) 


wo %’ das Azimut des Elementes dv’ in bezug auf eine feste Rich- 
tung ist. Das Integral in (44) nimmt jetzt die Form an 


2r H © ; £’dE 
Ja [a)ax ferere m a Ex 


Bezeichnet man i 
KE’+ X DP’=u, 
a 
HERR 
so wird das letzte Integral gleich 


so daß 





2 du 
gut — Mile hr -n), 
K,(X’—- X) 


wo li das Symbol für den Integrallogarithmus ist. Da die untere Grenze 


932 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


desselben positiv sein muß, so ist für die Punkte unterhalb des Punktes 
X, für welche X’— X <0, die Integration getrennt vorzunehmen. 
Wir erhalten dann an Stelle von (44) 


(48) IX) = %E(X) 
22 [rRyUen- ax faR Herr naxı, 


wo für die Punkte an der unteren Grenze (X —=0) das erste Integral 

verschwindet. Für E(X) ist bei einer homogenen Atmosphäre ein- 

zusetzen 

(49) E(X) = Se» E-Dses;, 

wo (H — X) sec die Weglänge bedeutet und 5 die Intensität der Sonnen- 

strahlung außerhalb der Atmosphäre. & ist die Zenitdistanz der Sonne. 
Die Auflösung der Integralgleichung (44) in allen Einzelheiten 

darzustellen, würde hier zu weit führen. L. V. King wendet auf die- 

selbe, die vom F’redholmschen Typus der Integralgleichungen 


ua) ra) +fuo)R@, Hat 


. ist, ein Iterationsverfahren an, das schnell zur Lösung führt. Wir 
wollen nur die endgültigen Formeln von King für die Intensität der 
Himmelsstrahlung aus der Zenitdistanz bei einer Zenitdistanz der 
Sonne & anführen; bei $8>9 ist 


 T(9, d) 

— (14 00880) & [Oseepetwo G[C (seeg — sec p)] 
+35 E(6,9 96, 9)}, 

(50) bei &<p: 

T (9, 8) 


-,, T (1+cos’a) 5 |Osecpe ee} @[C(secp — sec$)] 


\ +35 E(G,90(6,9)): 
Hier bedeuten en Funktionen @, E und ® 
Ga) 1-—e? 





Em led ‚wo f() =e° + Oli(e®), 
tz tfo+eO) 


D(0,9)= (1 — erer)(1 — f(O)) 
+ 089 | B(O)— B[C(1-+secp)] + e- CP B(C)— B[— O(secp—1)]}, 





40. Die Anwendung der Theorie auf die Erdatmosphäre. 933 


wo noch durch B(z) bezeichnet ist: 
B(&) = li(e”*) — In, 
B(— x) = li(e) — In. 
Für die Helligkeit des Zenits ergibt sich aus (50) 
3 
(51) 70,9) = 4,8 [0° @[Cßeet—1)] + > 5 EC, 9 96, 9)}, 
wo ®(C,0) durch die Gleichung bestimmt ist 
(0,0) = (1—e)(1—f(C)) + B(C)— B(2C) + e(BO)— y). 

Da für kleine Werte von Ü die angenäherte Beziehung besteht 


__ 0 (e) __ 1-+ co8’« 
52) T99)= en T0,)= Tr cosE secpT(0, &), 


so läßt sich die totale Bestrahlung einer horizontalen Fläche ohne 


die Integration von 7(9,$) über die Halbkugel berechnen. Es ist die 
Beleuchtung der horizontalen Fläche 


H()—/ Tip, 9 cospda, 


wo das Integral über die Halbkugel zu erstrecken ist. Da 





do = sinpdpdy 
ist, so wird 
P44 


in 8 
HG) —[au/ Tg, &) eospsinpdy. 
0 


Unter Benutzung der Gleichung (52) folgt 
u 
T(0, 8 } 8 
(53) H($) = | av [cı + cos?«) sinpgdp = 3 vor T(0, 8). 
ee 

40. Die Anwendung der Theorie auf die Erdatmosphäre. Mit 
Hilfe dieser Entwicklungen kann sowohl die Lichtverteilung am klaren 
Himmel als auch die Beleuchtung der horizontalen Fläche aus den 
bekannten Transmissionskoeffizienten der Atmosphäre berechnet wer- 
den. Ausgedehnte Beobachtungsreihen der Durchlässigkeit unserer 
Atmosphäre für Strahlen verschiedener Wellenlänge liegen vor. Es 
seien hier erwähnt die Arbeiten von Müller und Kron°"), die sich 
auf verschiedene Höhen über dem Meeresspiegel und verschiedene 
Wellenlängen im sichtbaren Gebiet des Sonnenspektrums beziehen und 
auf einer Expedition nach Teneriffa erhalten worden sind; dann die 


204) Publik. d. Astroph. Observ. zu Potsdam 22, Nr. 64 (1912), p. 71. 


934 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


bolometrischen Messungen Abneys?®), Langleys ?"*), Wilsings?”) und 
zuletzt diejenigen von Abbot.?®) Letztere sind besonders wertvoll, weil 
sie sich über die längste Beobachtungszeit erstrecken und mit dem- 
selben Instrumente in drei verschiedenen Höhen über dem Meeres- 
spiegel ausgeführt sind. Diese Messungen sind von L. V. King nach 
den oben abgeleiteten Formeln eingehend behandelt worden. Beson- 
deres Interesse beansprucht die Bestimmung der Luftdichte oder der 
Anzahl der Moleküle pro Kubikzentimeter, die sich bei dieser Ana- 
lyse ergab. Sie beruht auf folgender Beziehung. 

Die Intensität der durchgelassenen Sonnenstrahlung in der Höhe x ist 


E(X) sa BERETIERR. 
K,=v+t ko- 
X ist hier die reduzierte Höhe 


x—/[tar und H=[% ax. 
N) 2 0 : 


H-X=!| "de, 
®% 


wo 


Es ist also 


so daß 





. 2 dx 
. ®&% 
0 
wo B und B, den atmosphärischen Druck bedeuten. Führt man die 
Bezeichnung ein 


B B 
= KH, na O5: 





so ist 
(54) E(x) FIRE Se Ozsect, 
Da aber 
32,8 o— 1)24-*H 
Cut k)H-FRTTE + nH, 
so folgt 


3270, — 1)? H 


en C=ßi'+9y, w = ee ‚:pe=v8. 


205) Philosoph. Transactions of the R. Soc. of London 178 (1887), p. 251; 
Mascart, Trait& d’Optique III, p. 372. 

206) Professional Papers of the Signal Service U.S.A. Nr. 15, p. 151. 

207) Publik. d. Astroph. Observ. zu Potsdam 25, Nr. 80 (1924). 

208) Ap. J. 34 (1911), p. 208. 








41. Über die Beleuchtung eines von einer Atmosphäre umgebenen Planeten. 035 


Die Gleichung 
B 
(66) tr 


verlangt, daß die auf den Meeresspiegel reduzierten Werte ©, für ver- 
schiedene Wellenlängen als Ordinaten gegenüber den Abszissenwerten 
4-* aufgetragen, auf einer Geraden mit der Neigungstangente ß liegen. 
Aus dem Werte von 8 kann nach (55) bei Kenntnis des Brechungs- 
exponenten die Anzahl N der streuenden Partikel bestimmt werden. 
Die Bestimmung derselben durch King und später durch Fowle aus 
den Beobachtungen Abbots gibt eine so gute Übereinstimmung mit 
dem Werte von Millikan N = 2,644 : 10", daß darin eine Bestätigung 
der Theorie gesehen werden kann. Fowle fand für N, den Wert 
2,70-10%, Es ist also die Streuung die wesentliche Ursache der Licht- 
schwächung oder der Extinktion der irdischen Atmosphäre. Der Ein- 
fluß von Absorptionsbanden, die durch den Wasserdampf, den Sauer- 
stoff und Ozon der Luft, sowie durch Beimischungen von Staubpar- 
tikeln verursacht werden, äußert sich in Abweichungen der O,-Werte 
von der Geraden (56) in den Absorptionsgebieten und kann als sol- 
cher erkannt werden. Die Sicherheit der Bestimmung der Neigungs- 
tangente 8 leidet nur wenig unter der Anwesenheit dieser Banden, 
wenn ein genügend großer Bereich der Wellenlängen durch die Be- 
obachtungen überspannt ist und man beachtet, daß die Abweichungen 
y, immer positiv sein müssen. 


41. Über die Beleuchtung eines von einer Atmosphäre umgebenen 
Planeten. E. Schoenberg ?”) hat die Kingsche Diffusionstheorie auf das 
Problem der Beleuchtung der Planetenatmosphären ausgedehnt. Er 
geht dabei von folgenden Überlegungen aus: Die Helligkeit eines Ele- 
mentes der Planetenoberfläche setzt sich aus drei Komponenten zu- 
sammen: 

1. aus der Helligkeit der Oberfläche selbst, die durch die nach 
dem Exponentialgesetz geschwächten, die Atmosphäre durchdringen- 
den Sonnenstrahlen beleuchtet ist. Die Schwächung findet auf dem 
Hin- und Rückwege der Strahlung statt; 

2. aus der Helligkeit der Oberfläche, die von der diffusen Be- 
leuchtung durch die Atmosphäre an der betreffenden Stelle herrührt; 
diese Helligkeit ist auf dem Rückwege der Strahlen durch die Atmo- 
sphäre geschwächt; 

3. aus der Helligkeit der Atmosphärensäule, die sich für den Be- 
obachter auf das Oberflächenelement projiziert. 


209) Handb. f. Astrophys. II. Theoretische Photometrie, p. 221 (1929). 


936 VIs2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Wir bezeichnen die drei Komponenten der Helligkeit in der obigen 
Reihenfolge durch h,, A, und h,. Wir wollen zunächst die dritte Kom- 
ponente h, berechnen. Ersetzen wir in der Formel (47) unter dem 
Integral die Strecke R= Xsec& durch (H — X) sec&, so erhält man 
die nach außen gerichtete Strahlung oder die Intensität der Atmosphäre 
unter dem Winkel zur Normalen von außen betrachtet. Führen 
wir für den Reflexionswinkel p unsere alte Bezeichnung & wieder 
ein, ebenso für den Einfallswinkel der Sonnenstrahlung & den Buch- 
staben i, so ist also die Intensität der Atmosphärensäule oder unsere 
Helligkeitskomponente Ah, durch die Gleichung gegeben 


H 
h,— R(e, i) — seee [IK e su nwegx, 
0 


wo noch die Variable 7 — X durch X ersetzt werden kann. Es er- 
gibt sich dann 


H 
R(e,i) = sece [J(H — Nehmt, 
0 


und nach der Ausführung der Integration, wenn noch K,H=( ge- 
setzt wird, 


57) Rei) 
= S(1 + cos?«) | Cseee@(Cisee s + sec) + n GEH) 80,9]. 


BT“ 


Die beiden Summanden in der eckigen Klammer, sowie auch deren 
Summe, hat Schoenberg für diejenigen Werte von C, für welche die 
Lösung der Integralgleichung gültig ist, und für alle Werte der Va- 
riablen © und & tabelliert.*!%) Die Tabellen gelten für den Spezialfall 
c=(, also für den Fall vollkommener Diffusion, in dem y = 0 ist. 

Die erste Komponente der Helligkeit h, enthält außer dem Schwä- 
chungskoeffizienten C noch die Albedo und das Reflexionsgesetz der 
Oberfläche des Planeten. Die Lichtmenge von einem Elemente ds 
dieser Oberfläche schreibt sich allgemein in der Form 


dq, = s-ft, &, EINER ON ds, 


wo f(i,e, A) das Reflexionsgesetz, das auch vom Azimut A abhängen 
kann, und u die Albedo oder die Reflexionskonstante ist. 

Die zweite Komponente der Helligkeit muß die Albedo ebenfalls 
enthalten, nicht aber das Reflexionsgesetz, welches gerichtete Strahlen 
voraussetzt, während es sich hier um die Bestrahlung des Elementes 


210) Handb. f. Astroph. II. Theoretische Photometrie, p. 276—280. 


41. Über die Beleuchtung eines von einer Atmosphäre umgebenen Planeten. 937 


ds aus allen Richtungen der Halbkugel handelt. Wir schreiben daher 
für die reflektierte Liehtmenge in diesem Falle 


dq, — 5 H(C, i)e- =: ds, 


wo H((,i) die auf ds einfallende zerstreute Strahlung ist. Für die- 
selbe haben wir die Formel (53), es ist daher 











8 — Ösece & 
(58) dg—-- = 5, 10, ds 
— Csece 
fr — [Ce° @[Cseei—1)] + 35 EG, i) @(C, 0)\ as. 


Aus den reflektierten Liehtmengen erhalten wir die Helligkeiten durch 
Division durch die scheinbare Größe des Elementes ds. Es ist also 








dq, sece dq, sec 
h,= 


h,— ds us: 


und die gesamte Helligkeit 
(59) h=hth,th,. 

Die Anwendung dieser Theorie auf die photometrische Analyse 
derjenigen Planeten, die von Atmosphären, umgeben sind, ist nur 
möglich, wenn Helligkeitsmessungen durch Farbfilter in verschiedenen 
Punkten der Oberfläche des Planeten vorliegen. Der Anblick solcher 
Planeten durch Farbfiter ist für jede Farbe verschieden, und im all- 
gemeinen lehren schon dieser Anblick und auch die Photographien 
durch Farbfilter, daß die Diffusion des Lichtes in den Atmosphären 
die Ursache dieser Verschiedenheit ist. Da die violetten Strahlen am 
stärksten zerstreut werden, ist bei einer Aufnahme durch ein vio- 
lettes Filter meistens überhaupt nur die Atmosphäre sichtbar, und 
die Einzelheiten der Oberfläche verschwinden. Der Planet zeigt auch 
in kurzwelligen Strahlen einen größeren Durchmesser als ohne Filter, 
weil auch die äußeren Schichten der Atmosphäre auf der für blau 
empfindlichen photographischen Platte sich abbilden, während sie für 
das bloße Auge zu schwach sind, um sichtbar zu werden. Die Auf- 
nahmen durch ein rotes Filter zeigen die schärfste Oberflächenzeich- 
nung und den geringsten Durchmesser, weil für diese die blaue Atmo- 
sphäre verschwindet und die Durchlässigkeit der Atmosphäre für die 
durchdringenden, die Oberfläche beleuchtenden Strahlen, am größten ist. 

Unsere Gleichungen müssen für die Helligkeiten der Planeten- 
oberfläche in allen Strahlungsgattungen gelten. Für die kurzwelligen 
‘ Strahlen ist der Wert von O= ß4"*-+y am größten, und die dritte 
Komponente A, der Helligkeit wird gegenüber den zwei ersten Kom- 
ponenten überwiegend. Ist von der Oberfläche durch ein violettes Filter 


SHos 


938 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


überhaupt nichts zu sehen, so müssen die zwei ersten Komponenten 
verschwinden. Dagegen wird für die roten Strahlen unter Umständen 
die dritte Komponente der Helligkeit verschwindend sein und die erste 
wesentlich überwiegen. 

Bei der Auflösung der Gleichung von der Form 

h=h+thet hs, 

wo die linke Seite die beobachtete Helligkeit eines durch die Variablen ;, 
e und A bestimmten Oberflächenelements ds ist, haben wir, wenn 
das Reflexionsgesetz als bekannt angesehen werden kann, für jedes 
Farbfilter zwei Unbekannte: die Albedo der Oberfläche u, und den 
Schwächungskoeffizienten C,. Sie können durch sukzessive Näherung 
genügend sicher ermittelt werden, wenn die Zahl der Gleichungen für 
jedes Filter entsprechend der Anzahl der vermessenen Punkte groß ist 
und die Parameter i, & und A in weiten Grenzen variieren. Für die 
Berechnung der zweiten Komponente der Helligkeit und ihrer Ab- 
leitung nach C hat Schoenberg ebenfalls Tafeln berechnet, die nach den 
Argumenten ö und C fortschreiten.?!!) 

Für das Reflexionsgesetz der Oberfläche in der Formel für h, wird 
immer dann, wenn sich dieselbe als undurchdringliche Wolkenschicht 
darstellt, das Reflexionsgesetz an einem Wolkenmeer angenommen wer- 
den, zu dessen Anwendung ebenfalls Tafeln vorliegen.?!?) Ist die Ober- 
fläche aber, durch ein rotes Filter betrachtet, eine feste, wie im Falle von 
09 Mars, so wird das Lambertsche 
Gesetz das angemessenste sein. 

Eine Untersuchung dieser Art 
hat Schoenberg?'?) für den Pla- 
neten Venus durchgeführt und 








im allgemeinen eine Bestätigung 
! E der obigen Beleuchtungstheorie 
; : gefunden. Die für die fünf Filter 
5 7 abgeleiteten Schwächungskoeffi- 
- 4% © zienten (', genügten der Gleichung 
+ ‚=Pr*+p 
6339 5,3 43 40 


EIER zum mindesten ebensogut wie 
ig. . 


Die Abszissen sind 4-4 proportional. Die Ordi- die von Abbot gefundenen Werte 


naten sind: 4-4=c (Kreuze) und %4-4+y=0 h ER ä 
(Punkte). Die untere Gerade gilt für die Erd- bei der irdischen Atmosphäre 


atmosphäre (Ordinaten nach Fowle). (Fig. 13). DieDiffusionskonstante 


211) Mitt. der Univ.-Sternwarte Breslau 3 (1932), p. 49. 

212) Daselbst p. 12. 

213) Untersuchungen über die Atmosphäre des Planeten Venus. Sitzber. d. 
Preuß. Akad. d. Wiss. Phys. Math. Kl. XXI. 1931. 


42. Theorie der Verfärbung bei Diffusion in Anwendung auf astr. Probleme. 939 


oder Neigungstangente der obigen Geraden ergab sich zu 
ßB = 0,0209 . 10-"%, 


Ein wichtiges Ergebnis dieser Untersuchung war auch, daß das Lam- 
bertsche Gesetz für die Oberfläche den Beobachtungen besser genügte 
als die Reflexionsformel an einem Wolkenmeer. Auch die gefundenen 
Albedowerte waren nur halb so groß, als man sie für Wasserdampf- 
wolken erwarten müßte: 

iin = 0235 

Ugelb = 0,195 

Ugrün == 0,288 

Upnau = 0,256 

Uviolett — 0,272. 


Endlich fehlen auch die Absorptionsbanden des Wasserdampfes im 
roten Gebiet, denn ein Anwachsen des Schwächungskoeffizienten 
C,=c,+ y, durch die Absorptionskonstante y, ist nicht festzustellen. 
Dieses ist aus der Figur zu ersehen, wo bei den irdischen Werten CO, 
diese Absorptionskonstante, verursacht durch den Wasserdampf und 
Sauerstoff, im Rot deutlich hervortritt. Diese Ergebnisse stehen mit 
denen der Spektralanalyse im vollen Einklang.?'*) Die Helligkeit des 
Planeten Venus ist also im wesentlichen durch seine gasförmige Atmo- 
sphäre und nicht durch die hohe Albedo der undurchdringlichen 
Wasserdampfwolken bedingt. 

Da für Venus aus den Beobachtungen der Verlängerung der 
Hörnerspitzen auch die Horizontalrefraktion bekannt ist, so ergab sich 
die Möglichkeit, aus der Diffusionskonstante auch den Wert der Loschmidt- 
schen Zahl zu berechnen. Dieselbe ist 


N,=1,05N’, 


wo N’= 2,64-10!” der Wert derselben Größe für die irdische Atmo- 
sphäre bei Normalbedinungen des Druckes und der Temperatur an der 
Erdoberfläche ist.?!*®) 


42. Die Theorie der Verfärbung bei Diffusion in Anwendung 
auf astronomische Probleme. Die Theorie der Durchleuchtung gas- 
förmiger Massen, die wir in ihren Grundzügen besprochen haben, bietet 


214) F. E. Ross, Astroph. Journ. 58, p. 57. St. John u. Nichelson, Mt. Wil- 
son Contrib. Nr. 249 u. Astroph. Journ. 56 (1922), p. 380. John u. Nichelson finden, 
daß auf dem Wege der Sonnenstrahlen in der Venusatmosphäre weniger als 
1 mm verflüssigten Wasserdampfes vorhanden ist und daß die Sauerstoffmenge 
kleiner als 1 Tausendstel derjenigen ist, die unsere Atmosphäre enthält. 

214a) Die Refraktions- und Diffusionskonstante der Venusatmosphäre. Sitzber. 
d. Preuß. Akad. d. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1933, I. 


940 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


auch eine vollständige Lösung des Problems der Verfärbung bei 
Diffusion des Lichtes nach der Rayleighschen Formel. Wie Schoenberg ?'?) 
gezeigt hat, kann das Spektrum mit seiner Intensitätsverteilung für 
eine durchleuchtete Gasmasse theoretisch konstruiert werden, wenn 
die Diffusionskonstante 

@n°’(mn—1)2H 


(60) ß re N * 


bekannt ist. Er berechnete das Spektrum des Zentrums der Jupiter- 
scheibe bei verschiedenen Annahmen über den Wert von ß der Jupiteratmo- 
sphäre und zeigte, daß aus der Lage der Maxima der Intensität im 
beobachteten Jupiterspektrum der Wert dieser Konstante abgeschätzt 
werden kann. 

Im Falle weniger diehter Gasmedien, bei denen die Selbstbeleuchtung 
der Partikel vernachlässigt werden kann, ist eine einfachere Theorie 
am Platze. 

Derselbe Verfasser untersucht in einer anderen Arbeit?!®) die 
Lage des Maximums der Intensität für die durchdringende Strahlung 
einerseits und für die diffuse Strahlung des zerstreuten Mediums anderer- 
seits. Dabei legt er für die einfallende Strahlung das Plancksche 
Strahlungsgesetz zugrunde. Bezeichnet A, die intensivste Wellenlänge 
der einfallenden Strahlung, A der durchdringenden, endlich A,, die 
intensivste Wellenlänge der zerstreuten Strahlung, so bestehen im 
Falle der Gültigkeit des Wienschen Gesetzes an jeder Stelle auf dem 
Lichtwege des durchdringenden Strahles einfache Beziehungen, die 
wir für den Fall des einfacheren Wienschen Gesetzes hier anführen: 





(61) hu (1 Zur 7) —=0,8ß, 
2) (2) 


Man sieht aus ihnen, daß A” immer kleiner ist als A/,, aber nur bei 


kleinen Werten von ß wird A” auch kleiner als A,,. Der durchdringende 
Strahl wird bei wachsendem ß, dessen Wert immer dem zurückgelegten 
Wege proportional ist, immer röter, die zerstreute Strahlung in seiner 
Umgebung ist immer blauer als der durchdringende Strahl, wird aber 
allmählich auch röter als die äußere Strahlung. Die beigefügten Tabellen 
der Maxima A, und A/, sind für verschiedene Temperaturen und ver- 
schiedene Werte der Diffusionskonstante berechnet und ermöglichen 








215) Vjschr. d. Astron. Ges. 65 (1930) p. 268. 
216) Mitt. d. Univ.-Sternwarte Breslau. 3: Das Gesetz der Verfärbung bei 
Diffusion (1932), p. 52. 


43. Seeligers Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen. 941 


die Abschätzung des Wertes von ß aus den beobachteten Werten von 
ı, und 47. 

Bei Temperaturbestimmungen der heißesten Sterne wird der Gra- 
dient der Strahlungsintensität als Merkmal der Temperatur benutzt, 
weil das Maximum der Strahlung der Messung nicht zugänglich ist. 
Auch der Gradient ist beim Durchdringen eines diffundierenden Mediums 
verfälscht, somit können die Temperaturen der Fixsterne durch licht- 
zerstreuende Wolken auf dem Wege der Strahlung nicht unwesentlich 
verändert erscheinen. Die einfache Theorie zeigt den Weg, wie diese 
Einflüsse festzustellen und zu eliminieren sind. 

Bei vielen Nebeln, außerdem in den Schweifen der Kometen, wird 
die zerstreute Strahlung der Beobachtung selbst zugänglich. Auch hier 
kann die einfache Verfärbungstheorie, ohne Rücksicht auf die Diffusion 
höherer Ordnung, dazu angewandt werden, aus dem Intensitätsmaximum 
oder dem Gradienten der Intensität die Diffusionskonstante zu bestimmen. 

Eine solche Anwendung der Theorie hat W. Gleißberg?'') für den 
Kopf des Kometen Morehouse ausgeführt. 

Die einzige Konstante des Problems, die die Verfärbung kenn- 
zeichnet, ist die Diffusionskonstante, die der Länge des Lichtweges im 
Medium, seiner Dichte und dem Quadrate des um Eins verminderten 
Brechungsexponenten des Mediums proportional ist. Bei Medien aus 
festen Partikeln wird die Diffusionskonstante durch diejenigen Partikel 
allein bestimmt, deren Größe unterhalb #4 der einfallenden Strah- 
lung liegt. Eine Verfälschung derselben durch die gröberen Partikel 
braucht auf Grund der zu Beginn dieses Kapitels erwähnten Rech- 
nungen nicht befürchtet zu werden, denn die Partikel, die größer sind 
als 34, rufen überhaupt keine Verfärbung im durchgehenden Lichte 
hervor, und nur die zerstreute Strahlung selbst könnte durch Absorptions- 
banden stellenweise in ihrer Färbung verfälscht sein. 


43. Seeligers Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen. 
Aus Anlaß einer von @. Müller *'?) entdeckten eigentümlichen Hellig- 
keitsschwankung des Saturnringes hat H. Seeliger *'”) eine Theorie der 
Beleuchtung staubförmiger Massen ausgearbeitet und in ihr auch die 
Erklärung für die genannte Lichtschwankung des Ringes gefunden. 
Diese Theorie unterscheidet sich von der Theorie der Beleuchtung 
gasförmiger Massen, die das Rayleighsche Streuungsgesetz befolgen, 
erstens durch die Dimensionen der Partikel, die so groß angenommen 


217) Mitt. d. Univ.-Sternwarte Breslau 3 (1932), p. 69. 

218) Publik. d. Astroph. Observ. zu Potsdam 8, Nr. 30 (1893). 

219) Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen usw. Abh. d. Kgl. 
Bayer. Akad. d. Wissenschaften, II. Kl., Bd. 18 (1893), p. 1. 


942 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


werden, daß eine Verfärbung nicht zu erwarten ist, und dann auch durch 
den relativen Abstand derselben voneinander, bei dem die Selbstbeleuch- 
tung derselben vernachlässigt werden kann. Es ist also hier eigentlich 
nur das Problem der Bedeckung und Beschattung der Partikel durch- 
einander behandelt. Wie Schoenberg ??°) gezeigt hat, bedarf die Theorie, 
um den tatsächlichen Verhältnissen bei dem Saturnringe einigermaßen 
Rechnung zu tragen, in dem Sinne einer Ergänzung, daß das zer- 
streute Licht in Betracht gezogen wird. Geschieht das, so erfährt die 
theoretisch berechnete Helligkeitsschwankung des Saturnringes eine so 
wesentliche Veränderung, daß es schwer fällt, die Theorie der Beschat- 
tung noch aufrecht zu halten. Die Theorie der Beleuchtung staubför- 
miger Massen hat aber auch noch andere wichtige Anwendungen auf 
die Massen des Zodiakallichtes und auf die Nebelflecke gefunden. Hier 
haben wir es mit noch wesentlich geringerer Dichte zu tun; auch tritt 
hier die für den Saturnring charakteristische Lichtschwankung nicht 
auf, so daß Seeligers Ausführungen über die Helligkeit des Zodiakal- 
lichtes und der Nebelflecke keine Einschränkung erfahren. 


44. Die allgemeine Gleichung für die Helligkeit einer beleuch- 
teten Staubmasse. Es wird eine Staubwolke betrachtet, die aus Kugeln 
gleicher Größe gebildet ist, die überall gleich dicht im Raume R ver- 
teilt sind. Die Voraussetzung gleicher Größe der Kugeln ist unwesent- 
lich, wie Seeliger gezeigt hat; auch die Voraussetzung kugelförmiger 
Gestalten ist insoweit ohne Bedeutung, als man nur die Folgen der 
Bedeckung und Beschattung der Partikel durch einander in Betracht 
zieht; die gesamte Helligkeitsänderung der Staubwolke ist freilich auch 
abhängig von der Phasenkurve der einzelnen Teilchen, und diese kann in 
hohem Grade von der Gestalt derselben abhängig sein. Wir werden 
sehen, daß die Einflüsse der Phase und des Bedeckungs- und Beschattungs- 
phänomens unabhängig voneinander sind. Weitere Voraussetzungen 
der Seeligerschen Theorie sind eine sehr geringe Raumdichte der Par- 
tikel und eine unendlich große Entfernung der Lichtquelle, die als 
punktförmig angesehen wird. 

Es sei dg’ die Lichtmenge, welche ein unendlich kleines Element 
einer im Inneren der Masse gelegenen Kugel dem Auge des Beobachters 
zusendet, wenn es von keiner anderen Kugel beschattet oder verdeckt 
ist. Beides kann eintreten, und es fragt sich, wie groß im Mittel die 
Lichtmenge dg eines solchen Elementes ist, wenn sehr viele derselben 
in Betracht gezogen werden. Diese Aufgabe löst Seeliger durch Wahr- 
scheinlichkeitsbetrachtungen, die er von dem genannten Element der 


220) Photometrische Untersuchungen über Jupiter und das Saturnsystem. 
Acta Ac. Scient. Fennicae, Ser. A, 16 (1921). 


44. Die allgem. Gleich. für die Helligkeit einer beleuchteten Staubmasse. 943 


Kugeloberfläche auf die ganzen Kugeln überträgt. Wenn die Wahr- 
scheinlichkeit der Bedeckung oder Beschattung einer Kugel w ist, 
so daß die durchschnittliche Lichtmenge von einer Kugel 

(63) g—ug 

wird, wo q’ die Lichtmenge bei isolierter Lage bedeutet, so wird die 
Wahrscheinlichkeit w für eine Masse von Kugeln bei geringer Dichte 
sich in der Form schreiben lassen z 

(64) Pr TR 

Hier ist N die Anzahl der Kugeln in der Staubwolke, R der gesamte 
von der Wolke eingenommene Raum und V derjenige Raum, der von 
Kugeln freibleiben muß, damit die betrachteten im Inneren der Masse 
gelegenen Kugeln weder beschattet noch verdeckt werden. Dieser 
Raum V hat augenscheinlich die in der Fig. 14 wiedergebene Gestalt. 
Er besteht aus zwei Zylindern, deren Achsen nach der Sonne und nach 
der Erde gerichtet sind und deren Querschnitt die betrachtete Kugel 
umfaßt. Da in einem Volumelement dv des Raumes sich Ndv/R 
Kugeln befinden, so ist die durchschnittliche Lichtmenge vom Ele- 
mente dv nach der Erde 


diQ= = dvwg'. 
Die Liehtmenge von einer isolierten Kugel ist aber 

7— Te’yla), 
wo I’ die Reflexionskonstante, g der Halbmesser der Kugel und g(«) 
ihre Phasenkurve ist. Ersetzt man noch dv durch dxdo, wo dx ein 


Element der Achse des nach der Erde gerichteten Zylinders ist und 
ds die scheinbare Größe von dv darstellt, so ergibt sich 


dQ— To!p(a)w X dxds, 


und für alle Kugeln, welche überhaupt einen Beitrag zur Helligkeit 


von do liefern, erhält man die Lichtmenge 
x 


Q— reg) Nas /waz, 
0 


wo X die Länge der Strecke innerhalb der Masse von der äußeren 
Begrenzung bis zu der Tiefe bedeutet, von welcher überhaupt noch 
Licht nach außen dringen kann. Die scheinbare Helligkeit von do ist 


x 
J= ro:p() 4 J waa, 
ö 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 61 


944 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


und wenn man noch den Wert für w aus (64) einsetzt, so wird 


* v 


(65) J=To’y(e) le” Fan. 

N 
Diese Gleichung schließt alle Fälle der Beleuchtung eines Systems 
kleiner Körper, die nicht zu dicht verteilt sind, in sich. 

Untersucht man den Fall einer kugelförmig begrenzten Staubwolke 
gleichmäßiger Dichte, so findet man, daß die Helligkeit derselben unab- 
hängig von der Annahme über das Reflexionsgesetz eine ungleich- 
mäßige ist: die der Lichtquelle zugewandte Seite ist begreiflicherweise 
die hellere; auf ihr findet sich ein Maximum der Helligkeit auf dem 
großen Kreise, der durch die Lichtquelle und den Beobachter geht. 
Die Helligkeitsverteilung ist natürlich eine andere als auf einer Voll- 
kugel; sie ist wesentlich beeinflußt von der Phasenkurve der einzelnen 
Teilchen, außerdem aber von der Durchsichtigkeit der Kugel oder der 
Volumdichte. Nur im Falle einer undurchsichtigen Wolke ist bei voller 
Beleuchtung derselben die gesamte Lichtmenge einfach gleich 


Q=Ta’y(0), 
wo a der Halbmesser der Kugel ist, d. h. die Lichtmenge ist dieselbe 
wie von einer Vollkugel. 


45. Die Beleuchtung des Saturnringes. Von besonderem Interesse 
ist der Fall, wo der Raum R von zwei parallelen Ebenen begrenzt 
ist, wie das im Falle des Saturn- 
ringes zutrifft. Es sei H (Fig. 14) 
die Gesamthöhe der Schicht, h der 
Abstand des Volumelementes dv von 
der oberen Begrenzung, ? und & die 
Winkel, welche die Normale zu der- 
selben mit den Richtungen nach 
der Sonne und der Erde bildet. Es 














ee eh 14. ist dann h = xcose und die Hellig- 
ie Beleuchtung des Saturnringes nach Seeliger. r P . 
(Nach Handb. d, Astroph. IT, p. 135.) keit der Schicht nach (65) gleich 


H 
p' 
N N Di 
(66) J= Def e R dh. 
0 


Das Volumen V besteht aus den beiden Zylindern V, und V,, außer- 
dem aus dem kleinen von einem Teil der Kugeloberfläche begrenzten 
Stück k, vermindert um das beiden Zylindern gemeinsame Stück @. Das 
Verhältnis der beiden letzteren Stücke zur Summe 9, + V, ver- 
ändert sich mit dem Winkel zwischen den Zylinderachsen, wobei @ 


45. Die Beleuchtung des Saturnringes. 945 


für kleine Winkel stark anwächst, während der Teil k in allen Fällen 
so unbedeutend ist, daß er gegenüber dem Volumen der beiden Zylinder 
vernachlässigt werden kann. Ist der Phasenwinkel « groß, so darf das 
auch mit @ geschehen. Wir betrachten zunächst diesen letzteren Fall, 
in welchem also 





V=-V,+YV.. 
Da nun 
h h 
ee er rs 
Pe Ca v; OT one? 
so wird 
__ |9_7) 608° + cose 
V=e'nh Cosi COoBE 
und 





H 
N cosi + cose 
N — — 0!ah—— 
J= To?p(«) f: R Cosi coBE dh. 
Rcose 
0 


Hieraus ergibt sich, wenn man die Bezeichnung 











N COST —+ CoBE 
y-ze Cosi CcosE 
einführt, für die Helligkeit 
Ty(e) COB% FR 
(67) vr n cos? + cosE (1-e ”); 


wo Y der Wert von y bi h=H ist. 
Das zweite Glied in der Klammer kann im Falle, daß der Raum 
undurchsichtig ist, vernachlässigt werden. In diesem Falle hat man also 


(68) n  ı) cos i 


7 COST + cose 








Dieses ist ein Ausdruck für die Helligkeit eines festen Körpers nach 
dem Lommel- Seeligerschen Gesetze, wo nur der Faktor @(«) oder 
die Phasenkurve der einzelnen Körper hinzugekommen ist. Die Be- 
trachtungsweise, die dieser Ableitung zugrunde liegt, ist tatsächlich auch 
mit der Theorie der Absorption beim Eindringen des Lichtes in die 
Oberfläche des Körpers identisch. Führt man dieselbe für den Fall 
kleiner Winkel « durch, ohne das gemeinsame Stück der beiden Zylinder 
in Betracht zu ziehen, und geht zum Grenzfall «= 0 über, so muß 
man einen Ausdruck erhalten, welcher sich aus der Formel (67) für 
i=e ergibt. Wir bezeichnen die entsprechende Helligkeit durch J, 
und haben 


Be 
(69) „el ED we). 





Dagegen wird, wenn das gemeinsame Stück @ der beiden Zylinder 
von dem Gesamtvolumen V abgezogen wird, im Grenzfalle bei « = 0, 
61* 


946 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


V nur aus einem Zylinder bestehen und wir hätten 
= ca 


co8®% 


Mithin würde sich in diesem Falle die Helligkeit nach (66) durch 


das Integral darstellen 
H 


N 2% h 
I = Tey0) fer vor AR, 








Rcosi 
0 


oder nach Ausführung der Integration durch 








ER 
(70) naher). 
Dividiert man diesen Ausdruck durch (69), so folgt 
J. 1—e-1 


wo zur Abkürzung gesetzt worden ist A= N = eo . Ist das System 
undurchsichtig, so ist 7 und damit auch A als sehr groß anzusehen, 
und es wird Ju:J, = 2. 

Die Helligkeit des Systems steigt also bei «= 0 etwa auf das 
Doppelte derjenigen bei größerem «. Da J, sich nach (68) bei kleinem 
« nur sehr wenig ändert, so folgt hieraus, daß sich ein System von 
kleinen Körpern, das undurchsichtig ist, in der Nähe von « = O0 
wesentlich anders verhält als ein fester Körper. 

Ist der Körper dagegen äußerst durchsichtig, so wird A sehr klein 
und man nähert sich bei abnehmendem « dem Grenzwerte 

JT, 

7 
wo schließlich die ganze erwähnte Helligkeitszunahme überhaupt nicht 
mehr zum Vorschein kommt. Im Saturnringe haben wir ein Gebilde, 
in dem verschiedene Stufen zwischen den beiden genannten Grenz- 
fällen vertreten sind. 

Er besteht bekanntlich aus dem inneren dunklen, sog. Florringe, 
durch den man bei Bedeckungen das Sternlicht nur wenig abge- 
schwächt hindurchscheinen sieht, der also als fast durchsichtig zu be- 
trachten ist, aus dem hellen B-Ringe, der als undurchsichtig gelten 
muß, und dem äußersten, schwächeren O-Ringe, welcher eine Zwischen- 
stufe zwischen den beiden ersten einnimmt und als schwach durch- 
sichtig gelten kann. Diese drei Teile des Ringes müßten also das 
oben genannte Aufhellungsphänomen in der Opposition in verschie- 
denem Grade aufweisen. 





45. Die Beleuchtung des Saturnringes. 947 


Bei einem undurchsichtigen Ringe ist bei der Berechnung seiner 
Helligkeit in der Nähe der Opposition der den beiden Zylindern ge- 
meinsame Raum @ von wesentlicher Bedeutung, während die untere 
halbkugelförmige Begrenzung in jedem Falle als verschwindend zu 
vernachlässigen ist. Man hat somit 
(72) V=-N+N—0. 

Diese Gleichung gilt jedoch nur für diejenigen Volumelemente des 
Ringes, für welche das zugehörige @ gänzlich innerhalb des Ringes 
liegt und nicht von der oberen Ringebene geschnitten wird. 

Ist dieses letztere der Fall, so bleibt ein Teil von G@, den wir 
mit & bezeichnen wollen, außerhalb des Ringes, und es gilt dann die 
Gleichung 
(73) V=V,+V, -0e+2. 


Nennt man Ah, denjenigen Wert von h, für welchen & gerade ver- 
schwindet, so setzt sich die Flächenhelligkeit aus zwei Teilen zusammen 


hy F x 
(74) J=Te?p(a) fe et N + “|. 
0 x 


Die Berechnung der Räume @ und 2 ist recht umständlich, Auf ihre 
Ableitung, sowie diejenige der Schlußformeln für die Helligkeit des 
Ringes bei kleinen Phasenwinkeln muß hier verzichtet werden. Die 
Anwendung der Theorie ist nur dank den von Seeliger berechneten 
Hilfstafeln möglich. Das Argument dieser Tabellen, die Schoenberg?”') 
noch erweitert hat, ist der Phasenwinkel und die Raumdichte. Die 
endgültige Formel für die Helligkeit ergibt sich in der Form 

„ ‚ in A+ sin 4’ 
(75) Ir 
- T'p(«), A und A’ die Elevationswinkel der Sonne und 
der Erde über der Ebene des Ringes sind und &(&) eine komplizierte 
Funktion der Raumdichte D und des Phasenwinkels « ist, denn 


(16) 5 SD 


sın & 
Ist somit die Raumdichte gegeben, so kann der Verlauf der Hellig- 
keit des Ringes den genannten Tabellen entnommen werden. Ein 
kleiner Auszug aus denselben wird hier wiedergegeben (p. 948). Diese 
Tabelle zeigt, daß z. B. für D = 0,0006 bereits bei « = 0,5° die 
Helligkeit beinahe auf die Hälfte ihres Wertes bei « = 0° zurück- 
geht und sich weiterhin fast gar nicht mehr ändert. Nimmt man 





wo yo 





221) Handb. d. Astroph. II, 1. Hälfte (1929), p. 257. 


948 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


dagegen D = 0,00002, so spielt sich die ganze Lichtvariation sogar 
schon zwischen «= 0° und «= 0,1° ab. Bei größeren Dichten er- 











Tabelle 15. streckt sich die Verän- 
Tabelle der Funktion &(&) derlichkeit auf ein grö- 
Beres Gebiet, liegt aber 
8D 0,1 0,05 | 0,01 | 0,006 .. Base 
| in ihrem Hauptteil auch 
«= 0,0° 0,533 0,533 0,533 0533 zwischen 0° und 1° 
0,1 0,485 | 0,458 0,352 0,317 Ä 
02 0453 | 0411 | 0318 | 0.294 Phasenwinkel. 
0,3 0,430 0,385 0,302 0,286 Eine staubförmige 
0,4 0,411 | 0,366 0,294 0,281 SE 
0,5 0,396 | 0,352 | 0,289 | org Masse, die so dick ist, 
1,0 0,352 0,317 0,279 0,273  _ daßsieganz oder fast un- 
5,0 0,289 | 0,279 0,269 0,268 

















durchsichtig erscheint, 
weist eine Flächenhelligkeit auf, die sehr stark mit abnehmendem 
Phasenwinkel zunimmt. Sie kann für «—=0 fast den doppelten Be- 
trag von der Helligkeit erreichen, die sie bei kleinem « besitzt. Die 
Lichtvariation spielt sich bei desto kleinerem « ab, je geringer die 
Volumdichte der staubförmigen Masse ist. 

Bemerkenswert ist auch, daß die Helligkeit des Ringes sich von 
dem Erhebungswinkel der Erde und der Sonne über der Ringebene 
unabhängig erweist, was freilich seinen Grund darin hat, daß diese 
beiden Winkel sich nur wenig voneinander unterscheiden. Diese Schluß- 
folgerung der Theorie ist durch Schoenbergs Beobachtungen für den 
Bereich der Phasenwinkel zwischen 16° und 25° bestätigt. Bei kleinen 
Erhebungswinkeln sind Abweichungen sicher zu erwarten. 

Seeliger untersucht auch den Einfluß einer teilweisen Durchsichtig- 
keit der Staubmasse auf die Lichtvariation und findet, daß das Auf- 
hellungsphänomen in weiten Grenzen erhalten bleibt, der Betrag der 
Aufhellung aber mit der Durchsichtigkeit der Masse abnimmt. 

Wie die Endformel (75) zeigt, muß der Lichtvariation durch Be- 
schattung und Bedeckung sich eine andere, durch die Phasenkurve 
p(«) bedingte, überlagern. Eine Trennung beider Ursachen durchzu- 
führen ist sehr schwierig. Schoenberg hat diesen Versuch gemacht und, 
um einen Anschluß seiner Beobachtungen an eine theoretische Seeliger- 
sche Kurve zu erreichen, einen sehr bedeutenden Phasenkoeffizienten 
der Partikel (0”07 pro 1° Phase) abgeleitet. 

Durch die Tatsache ermutigt, daß die Beobachtungen @. Müllers eine 
starke Veränderlichkeit der Helligkeit des Saturnsystems mit der Phase 
aufwiesen, die im Sinne einer Beschattungstheorie verlief, hat Seeliger 
diese in allen Einzelheiten ausgebaut. Er zeigte, daß der Verlauf der 
Helligkeit des Ringes von den Voraussetzungen der Kugelförmigkeit 
der Partikel, der teilweisen Durchsichtigkeit des Ringes und von dem 


45. Die Beleuchtung des Saturnringes. 949 


Umstande im wesentlichen unabhängig sei, daß die Sonnenstrahlen nicht 
als parallel oder die Sonne nicht als punktförmig angesehen werden 
kann. Auch auf gewisse Folgerungen seiner Theorie für die Erklärung 
des sog. Schleiers, den man in der Projektion des dunklen Florringes 
auf die Saturnscheibe einigemal beobachtet hat, hat Seeliger aufmerk- 
sam gemacht. Auch der freie Teil des dunklen Ringes sowie der 
äußere A-Ring müssen eigentümliche Lichtvariationen aufweisen, die 
sich aber so plötzlich während der Opposition abspielen, daß sie wohl 
niemals beobachtet werden können. Diese Folgerungen der Seeliger- 
schen Theorie werden hier nur erwähnt, weil beträchtliche Zweifel 
darüber bestehen, ob eine grundlegende Vernachlässigung der ganzen 
Theorie, die von Seeliger nirgends erwähnt wird, zu solchen Folge- 
rungen berechtigt. Seeliger vernachlässigt vollständig die Zerstreuung des 
Lichtes innerhalb der Staubwolke, die auch, wenn die Wolke ausschließ- 
lich aus größeren Körpern besteht, das ganze Phänomen beeinflussen 
muß, weil das von den Nachbarkörpern seitlich zerstreute Licht die 
Schatten aufhellen müßte. Nun haben aber neuere Beobachtungen 
und besonders die Photographien des Saturnsystems durch Farbfilter 
die Existenz einer Wolke feinster Partikel nachgewiesen, die sogar 
den Hauptbeitrag zur Helligkeit des Ringes liefert, Infolge der Beu- 
gung kann feinster Staub überhaupt keine Schatten werfen und muß 
in jedem Falle auch bei der Existenz von Schatten größerer Meteore 
diese ganz bedeutend erhellen. Wird das zerstreute Licht gegenüber 
dem der schattenwerfenden größeren Körper überwiegend, so erscheint 
es zweifelhaft, ob die ganze Beschattungs- und Bedeckungstheorie 
überhaupt noch anwendbar ist. Schoenberg, der durch langjährige Be- 
obachtungen der Flächenhelligkeit des Ringes die Kurve der Ver- 
änderlichkeit festlegen und die Abhängigkeit derselben von den be- 
nutzten Farbfiltern feststellen konnte, hat versucht, die Seeligersche 
Theorie durch die Lichtzerstreuung zu ergänzen, was aber nur mit 
Schwierigkeiten möglich war. Neuere Untersuchungen des Verfassers 
führen das ganze Phänomen der Aufhellung des Ringes während der 
Opposition auf Beugungserscheinungen zurück. Sollten diese in den 
Beobachtungen eine volle Bestätigung erfahren, so würde die geist- 
reiche Seeligersche Theorie der Helligkeit des Ringes in der Nähe der 
Opposition gegenstandslos werden. 

Seeliger hat aber seine Theorie auch auf andere Erscheinungen 
angewandt, so zur Erklärung der Helligkeit des Zodiakallichtes und 
der von Sternen beleuchteten Nebelmassen, und hier, wo man es mit 
wesentlich geringeren Dichten und wahrscheinlich auch gröberen Par- 
tikeln zu tun hat, behalten seine Ausführungen ihre volle Bedeutung. 


950 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


46. Die Beleuchtung des Zodiakallichtes. Bei dem Zodiakallicht 
haben wir es, wie die spektroskopischen Beobachtungen beweisen, mit 
reflektiertem Sonnenlicht zu tun. Wenn auch neuere Beobachtungen 
von Slipher das Vorhandensein einiger Emissionslinien im Zodiakal- 
lichtspektrum ankündigen, so ist das kontinuierliche Sonnenspektrum 
jedenfalls auch vorhanden und vorherrschend. Seeliger und mit ihm 
die meisten anderen Forscher rechnen nur mit festen Bestandteilen 
der Zodiakallichtmaterie, Meteoren, deren Dimensionen groß sind im 
Vergleich zur Wellenlänge des Lichtes. Diese Materie ist jedenfalls 
von außerordentlich geringer Raumdichte, und es gilt für ihre Beleuch- 
tung die Seeligersche Theorie, wobei aber die besonderen, bei kleinsten 
Phasenwinkeln auftretenden Erscheinungen bedeutungslos werden. Die 
Staubwolke, die wir als Zodiakallicht sehen, ist jedenfalls vorwiegend 
in der Ebene der Ekliptik ausgebreitet und umhüllt nach den An 
sichten der meisten Forscher sowohl die Sonne als die Erde. 

Bei der Berechnung der reflektierten Lichtmenge kann von dem 
Einfluß gegenseitiger Beschattung und Bedeckung der Partikel abge- 
sehen werden. In der Tat, der Kernschatten einer Kugel vom Radius 
oe, die sich in der Entfernung r von der Sonne und A von der Erde 
befindet, hat bei einem Werte o—= (0,5 m und dem Verhältnis r: S—= 300 
(S Radius der Sonne) eine Höhe rg: 5 = 150 m. Dabei sind die an- 
genommenen Werte für die Durchschnittsgröße des Meteors eher zu 
groß als zu klein. Befinden sich N Kugeln im Raume R, so ist nach 
den Entwieklungen Seeligers???) der mittlere Abstand zwischen ihnen 
durch die Formel gegeben 


er 























(4m 
Führen wir hier den Radius og ein und nehmen an, die Raumdichte 
Tabelle 16. sei 10°, so beträgt der 
in mittlere Abstand 

Dichte | Mittl. Abst. | Dichte | Mittl. Abst. A 

10-® 89 m 10-10 1,9 km 2eT(z)10°. 
10-7 192 10-11 4,1 Mit Hilfe dieser Formel 
107° 414 3 7 8,9 erhält man nebenstehende 
107 ch An, BAR Tabelle. Man ersieht aus 


derselben, daß bei einer Dichte von 10-° im Durchschnitt weniger 
als eine Kugel in den Schattenkegel einer anderen fallen wird. Da 
es tatsächlich auch kleinere Kugeln geben muß, deren Schattenkegel 
entsprechend kürzer sein wird, so ist die Wahrscheinlichkeit noch 


222) Astron. Nachr. 137 (1895), p. 129. 


46. Die Beleuchtung des Zodiakallichtes. 951 


wesentlich geringer. Die angenommene Dichte ist dabei für den Me- 
teorschwarm des Zodiakallichtes noch viel zu hoch. Man kann also 
von der gegenseitigen Beschattung der Meteore vollkommen absehen; 
aber auch der Einfluß der Bedeckung der Meteore durch einander 
ist verschwindend. Den Nachweis hat K. Schwend®®°) in seiner Disser- 
tation erbracht. Gehen wir von der Formel (65) dieses Kapitels aus 
und wenden sie auf den Fall an, in dem sich sowohl die Sonne 
als die Erde innerhalb der Wolke befindet, so ist das Volumen V in 
diesem Falle aus zwei Kegeln zusammengesetzt, von denen der erste 
mit dem Volumen V, seine Spitze im betrachteten Meteor und seine 
Basis in der Sonne hat, der zweite dagegen V, seine Spitze im Auge 
des Beobachters und seine Basis im Meteor hat. Es ist alsoV=V, +V,, 
und statt der Formel (65) erhalten wir für die Helligkeit 


20 V do Vv 
N, N AB N u 
a) IeTe|gaLe"r aa Te j Done Ban, 
0 0 


wo der wechselnden Größe der Volumelemente A’dodA, und ihrem 
wechselnden Abstande von der Sonne und der Erde, sowie der Ver- 
änderlichkeit ihres Phasenwinkels bei der Berechnung der Helligkeit 
des Elementes dv Rechnung getragen ist. K. Schwend zeigt nun, daß 
bei einer Volumdichte von 10-'!? der Wert der Exponentialfunktion 
wegen der Kleinheit von V gleich 1 gesetzt werden kann. Damit ver- 
einfacht sich die Gleichung für 'die Helligkeit, wenn man für die 
Raumdichte Izez die Bezeichnung u(r) und für er die Kon- 


stante y, einführt, zu folgender Form: 


A 


(18) ae LUrTOr7N 
19] 


Führen wir orthogonale heliozentrische Koordinaten (x, y) für die 
Punkte P der Meteorwolke ein und bezeichnen das Dichtegesetz inner- 
halb der Wolke durch u(&,y), wobei wir also eine um die Sonne 
symmetrische, aber von der Höhe über der Ekliptik abhängige Dichte- 
verteilung voraussetzen, so haben wir in dem Ausdruck für die Helligkeit 


A 


ER „[rangwaa 


ry? 
0 





die Transformation auf die geozentrischen sphärischen Koordinaten 
in bezug auf die Ekliptik auszuführen. Wir haben dazu nach van 


223) Zur Zodiakallichtfrage. Diss. München 1904. 


952 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Rhijn?*) folgende aus der Abbildung (Fig. 15) unmittelbar abzu- 
lesende Beziehungen: 





re 
ER EIT N Ba MA u A 
(79) | sin« us Au sin?« ER Rsiny’ 
y= Asinß an, 
— 2 sin®y — sin?ß sin?(» + «) 








2er— y— 


ES ‚„ cosYyp = cosß cos4, 


wo ß und A die geozentrischen Breiten und 
Längen des Punktes P sind. Die Hellig- 
keit ist dann 

n—WV 


Fig. 15. en nl u(z, y)y(a)de. 

Beziehungen zwischen den ortho- &o 

an eg Die untere Grenze «, ist der für die Grenze 

re En er der Wolke in der Richtung % geltende 
ti Phasenwinkel. 

Wir sehen, daß, so lange die Form der Phasenkurve der einzelnen 
Meteore und die Dichte unbekannt sind, die Aufgabe unbestimmt 
bleibt. Man kann, wenn man eine dieser Funktionen vorgibt, die an- 
dere so bestimmen, daß sie der beobachteten Helligkeitsverteilung 


genügt. So hat van Rhijn für die Dichteverteilung die Funktion 


(81) ua, y) = ml — Au? — vy?) 

mit unbestimmten Koeffizienten A und u angesetzt, die der Annahme 
entspricht, daß die Flächen gleicher Dichte Sphäroide sind. Für die 
Phasenkurve mußte er dann eine durch Proben ermittelte, in der Nähe 
der Opposition stark abfallende Funktion ansetzen, von der es ganz 
unbestimmt bleibt, wie weit sie den wirklichen Verhältnissen ent- 
spricht. Die Beobachtungen weisen eine leichte Aufhellung des Him- 
mels im Gegenpunkte der Sonne auf. Das ist der sog. Gegenschein. 
Die Seeligersche Hypothese geht darauf aus, die Helligkeit des Gegen- 
scheines im Zusammenhange mit der Helligkeit des ganzen Licht- 
bandes, das sich längs der Ekliptik, beginnend mit dem Zodiakal- 
lichtkegel, bis zum Gegenschein erstreckt, einheitlich durch eine Me- 
teorwolke zu erklären. Hierbei ist dann zu beachten, daß in der 
Richtung des Gegenscheines (2 = 180°, # = 0°) die Form des Dichte- 
gesetzes keinen Einfluß auf die Helligkeit hat, während die Form der 











224) On the Brightness of the Sky, etc. Publ. of the Astronomical Labo- 
ratory at Groningen 31 (1921). 


47. Über die Beleuchtung kosmischer Staubmassen durch Sterne. 953 


Phasenkurve dort wesentlichen Einfluß ausübt; dagegen ist für die 
Helligkeit in den Elongationen und den sonnennahen Partien der 
Ekliptik die Dichteverteilung in der Meteorwolke von wesentlichem 
Einfluß. Damit sind für die Hypothese über den Verlauf der Phasen- 
kurve in der Nähe des Gegenscheines, also für kleine «, einige An- 
haltspunkte gegeben. Darf man die Helligkeit des Gegenscheines und 
des Zodiakallichtes als von Meteoren herrührend ansehen, so ist eine 
Darstellung der geringen Helligkeiten längs der Ekliptik vom Stand- 
punkte der Seeligerschen Hypothese möglich; auch die Ableitungen 
der Konstanten des Dichtegesetzes und der Raumdichte der Meteore 
in verschiedenen Abständen von der Sonne ist bei einigen Annahmen 
durchführbar. 

Denkt man sich dagegen das Zodiakallicht von einem Gas oder 
von festen Partikeln herrührend, deren Dimensionen vergleichbar sind 
mit der Wellenlänge der Sonnenstrahlung, so liegt das Problem ganz 
anders. Insbesondere wird bei sehr kleinen festen Partikeln die Form 
der Phasenkurve ganz unbestimmt, soweit man ihre Dimensionen nicht 
genau angeben kann. Die Phasenkurve solcher Partikel kann mehrere 
Maxima und Minima aufweisen; aus ihrem Verlauf bei kleinem « kann 
gar nichts für größere Phasenwinkel ausgesagt werden. Wie schon 
oben bemerkt, weisen neue spektroskopische Beobachtungen neben 
einem kontinuierlichen Sonnenspektrum auch einige Emissionslinien 
in dem hellsten Teile des Zodiakallichtes auf. Bei der Schwierigkeit 
solcher Spektraluntersuchungen und der Unmöglichkeit, sie auch auf 
die schwächeren Teile des Zodiakallichtes auszudehnen, erscheint es 
somit zunächst noch nicht möglich, von einer einwandfreien Bestäti- 
gung der Seeligerschen Theorie zu sprechen. 


47. Über die Beleuchtung kosmischer Staubmassen durch Sterne. 
Seeliger hat auch die Frage untersucht, ob kosmische Staubmassen in 
der Nähe von Sternen für uns sichtbar werden können und ob ge- 
wisse lichtschwache Nebel, die in der Umgebung von Fixsternen sicht- 
bar sind, in reflektiertem Sternlichte leuchten. Diese Frage, die seiner- 
zeit nur rein theoretisch aufgeworfen werden konnte, weil spektro- 
skopisch solche Nebelflecke noch nicht untersucht waren, kann jetzt 
für eine große Gruppe von Nebelflecken in dem Sinne als bestätigt 
angesehen werden, daß die Erleuchtung der Nebel von Sternen her- 
rührt; die Wirkung des Lichtes ist aber nicht allein eine diffuse Zer- 
streuung, sondern auch eine photoelektrische Anregung und hat ein 
Linienspektrum des Nebels zur Folge. Die Theorie dieses Leuchtens ist 
in einem besonderen Kapitel behandelt. Doch für die Deutung des kon- 
tinuierlichen Spektrums der Nebel behält die Seeligersche Theorie ihre 


954 VIs, 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Bedeutung. Diese Theorie ist in der Gleichung (65) dieses Kapitels ent- 
halten, wir müssen sie nur auf zwei bisher nicht behandelte Fälle 
spezialisieren: 

1. Der Stern und der Beobachter befinden sich beide weit außer- 
halb der Wolke, so daß ihre Dimensionen klein sind im Vergleich 
zu diesen Abständen. 

2. Der Stern befindet sich innerhalb der Wolke, der Beobachter 
weit außerhalb derselben. 

In beiden Fällen nehmen wir gleichmäßige Dichte der Massen- 
verteilung an. Im ersten Falle kann man „(«) und den Abstand r 
für alle Teile der Wolke als konstant annehmen; die beiden Kegel 
V, und V, werden zu Zylindern und VY=V,+V,—= zo:(h, + h,), 
wo Ah, und h, die Längen der Strecken vom Meteor nach der Erde und 


dem Sterne innerhalb der Wolke sind. Bezeichnet weiter u —'70% 
die Volumdichte, und führt man noch zur Abkürzung die Bezeichnung ein 


By 
re ehr 


so wird aus unserer Gleichung (65) folgende: 

Ao 
(82) 7-70 (nimm aa eo), 
0 


wo 


Ao 
80)—ıfermt+man. 
0 


Hier ist A, die Strecke, die der nach der Erde gerichtete Strahl von 
der vorderen bis zur hinteren Begrenzung der Wolke durchläuft. Nimmt 
man als Form der Wolke eine durch zwei parallele Ebenen begrenzte 
Staubschicht an, bezeichnet durch x die Tiefe des Volumelementes 
unter der vorderen Grenzfläche, durch X die Dicke der Schicht, so ist 
h,=xseci, ha= xsece 
und 
PE „end t.coar 7 2 erh Eher ud x 
D(A) PaaiE ıfe . COBi Cos& dx sec e& Be cost (1 PER ”* =) 


coBi + co8E 
0 











Bezeichnet man den Klammerausdruck durch Y, so ist 


Ty(e) cos i 
Be AS BEER, 
ar? cost + cose 





vb. 


Die Formel gilt nur, solange ©< 90°. Das Maximum der Helligkeit 
tritt bei gegebenen i und & ein, wenn Y—=1 oder wenn A= oo, 


47. Über die Beleuchtung kosmischer Staubmassen durch Sterne 955 


d.h.o=0 (eo ist der Halbmesser des Teilchens); die größte Hellig- 
keit ergibt also eine undurchsichtige Meteorwolke, die aus feinsten 
Staubteilchen besteht. Seeliger berechnet diese Helligkeit für einen 
Spezialfall, bei dem für die Helligkeit des Sternes diejenige der Sonne 
eingesetzt wird und die Staubwolke sich in der Entfernung r — 1000, 
gleich 30 Neptunsweiten befindet; dabei wird für den Reflexionskoeffi- 
zienten des einzelnen Meteors ein Drittel angenommen. Er findet, daß 
eine solche Staubwolke eine Flächenhelligkeit besitzen könnte, die die- 
jenige der hellsten Teile des Zodiakallichtes sechsfach übersteigen 
würde. In einen Abstand von der Erde versetzt, dem die Parallaxe von 
0,01” entspricht, hätte der beleuchtende Stern die Helligkeit 10,4” 
und würde in 10” Abstand von dem Nebel erscheinen. Die Flächen- 
helligkeit des letzteren wäre dabei natürlich unverändert die oben ge- 
nannte. Wir hätten somit einen möglichen Fall. 

Wir betrachten die andere Möglichkeit, bei der der Stern sich 
innerhalb der Staubwolke befindet, der Beobachter in sehr großer Ent- 
fernung von ihr. In diesem Falle wird h,=r, die Phasenkurve und 
der Abstand r wird veränderlich innerhalb der Wolke, und wir er- 
halten daher statt der Gleichung (82) 


(83) — 








X 
ur} ae az 
r? 


P17 
0 


Die weitere Entwicklung dieses Integrals ist von der Form von p(«) 
abhängig. Fällt man vom Sterne aus eine Senkrechte s auf die vom 
Beobachter zum betrachteten Volumelement gezogene Gerade und ist 
m der Abstand des Fußpunktes dieser Senkrechten von der Eintritts- 
stelle der genannten Geraden in die Staubwolke, so hat man 





,=m-+ seotge, y+r=m+ scotg, m 
und 
X en [78 
70 —1s cotg IE. 0,20 —is cotg > 
(84) N Pa s 9) ee fe p(a)da, 
0 = 


wo «, und «, die Werte von « für die Eintritts- und Austrittsstelle 
bedeuten. Setzt man noch 


v=4s, y,(e)—= fe"! pl — o)de, 
0 


so wird, da m = — scotg«,, 


(85) Ju er maic (v,(2 — a) — v,(r — 0)}. 


956 VIa, 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Für die Funktion ı, hat Seeliger unter Zugrundelegung des Lambert- 
schen Gesetzes eine Tafel berechnet und so eine numerische Ausrech- 
nung für einen vorgegebenen Wert von » möglich gemacht. Er findet, 
daß bei derselben Entfernung, s = 1000 Erdbahnradien, und dem bei- 
läufigen Werte v = 0,46 sich wiederum Werte der Helligkeit des 
Nebels ergeben, die bedeutend größer sind als die Helligkeit des 
Zodiakallichtes. Dabei ist als beleuchtender Stern wiederum die Sonne 
angenommen. Bei Sternen von früherem Spektraltypus, die eine wesent- 
lich höhere Leuchtkraft besitzen, würde auch die Helligkeit des Nebels 
wesentlich höher ausfallen. 

E. Hertzsprung ?”°) hat versucht, die vermessenen photographischen 
Helligkeiten der Plejadennebel von dem obigen Gesichtspunkte aus zu 
deuten und ihre Gesamtmasse zu bestimmen. 


III. Die veränderlichen Sterne. 


48. Das Bedeckungsproblem. Eine gewisse Klasse der veränder- 
lichen Sterne bietet durch ihren Lichtwechsel die Möglichkeit, eine 
Reihe wichtiger physikalischer Daten für den Stern zu ermitteln. Es 
sind das die sog. Bedeckungsveränderlichen, deren ältester und am ein- 
gehendsten untersuchter Vertreter der Stern ß Persei oder Algol ist. 
Bei diesen Sternen handelt es sich um enge Doppelsterne, deren Bahnen 
eine geringe Neigung gegen die Gesichtslinie haben, so daß zeitweise 
eine Überdeekung des einen Sterns durch den anderen für den Be- 
obachter eintritt. Es liegt hier die Möglichkeit vor, das Verhältnis 
der Radien der beiden Sterne und deren Helligkeiten getrennt zu be- 
stimmen; außerdem ist es prinzipiell möglich, die große Achse der 
relativen Bahn, die Exzentrizität, die Länge des Periastrons, die Nei- 
gung der Bahnebene gegen die Gesichtslinie, die Umlaufszeit und den 
Moment der Konjunktion zu ermitteln. Nur die Länge des Knotens 
der Bahn, oder die Lage der Schnittlinie derselben mit der Tangential- 
ebene an die Himmelskugel muß unbestimmt bleiben, solange die 
beiden Komponenten nicht getrennt sichtbar sind. Unsere Kenntnis 
der Bahnelemente von Doppelsternen konnte durch diese engen Paare 
erweitert werden; doch die Sicherheit der Bahnbestimmung von Be- 
deckungsveränderlichen ist von der Sicherheit der photometrischen Ele- 
mente, der Leuchtkräfte und der Radien, abhängig, und diese sind bei 
der relativen Ungenauigkeit photometrischer Beobachtungen auch nur 
sehr unsicher abzuleiten. 


225) Astr. Nachr. 195 (1913), p. 449. 


48. Das Bedeckungsproblem. 957 


Eine andere Ursache für die Unsicherheit in der Ableitung der 
photometrischen Elemente liegt im Problem selbst. Die Sterne sind 
bei dem geringen Abstande sicherlich nicht mehr als Gaskugeln auf- 
zufassen, sondern als mehr oder weniger in der Richtung ihrer Ver- 
bindungslinie verlängert; in der Projektion müssen sie uns als Ellipsen 
oder Ovale erscheinen. Nach der Theorie der Gleichgewichtsfiguren 
rotierender Flüssigkeiten müssen wir dreiachsige Ellipsoide erwarten. 
Es kommen also neue, die Abplattung der beiden Sterne charakteri- 
sierende Parameter hinzu, die bestimmt werden müssen. Außerdem ist 
die Lichtverteilung auf den Scheiben der Sterne wohl kaum als gleich- 
mäßig anzunehmen und somit auch die Randverdunkelung, durch ein 
oder mehrere Parameter charakterisiert, mitzubestimmen. 

H. N. Russell *®) hat das Problem der Auswertung der beobach- 
teten Lichtkurven bis zur Bestimmung aller genannten photometri- 
schen Konstanten neben den Bahnelementen in äußerst knapper und 
doch so vollständiger Weise gelöst, wie die Genauigkeit der Beobach- 
tungen es erfordert. Seine Methoden sind an ca. 100 Bedeckungs- 
veränderlichen erprobt. Wir wollen ihre Grundgedanken mit den Be- 
zeichnungen des Autors wiedergeben. Die zu bestimmenden Elemente 
sind: 


Bahnelemente Photometrische Elemente 
« große Halbachse, r, Radius des größeren Sterns, 
e Exzentrizität, r, Radius des kleineren Sterns, 


o Länge des Periastrons, L, Die Helligkeit des größeren Sterns, 
i Neigung der Bahn gegen Z, Die Helligkeit des kleineren Sterns. 

die Gesichtslinie, Die anderen, die Abplattung und Rand- 
P Umlaufszeit, verdunkelung bestimmenden Parameter 
{, Zeit der Hauptkonjunktion. werden später eingeführt. 


Die Sterne sind also zunächst als Kugeln von konstanter Helligkeit 
aufgefaßt. Als Einheit der Helligkeit wird die Summe L, + L, an- 
genommen, also die Helligkeit des Systems außerhalb der Bedeckung, 
wenn beide Scheiben getrennt sind. 

Man beginnt die Rechnung unter der weiteren vereinfachenden An- 
nahme, daß die Bahn kreisförmig ist, und hat dann zunächst nur vier 
Elemente zu bestimmen, wenn man für die Längeneinheit den Radius 
der Kreisbahn annimmt und die Radien der Sterne in derselben aus- 
drückt. Es ist dann zu bestimmen: 


226) Contributions from the Princeton University Observatory Nr. 3 (1915) 
und Astroph. Journ. 35 (1912), p. 333; 36 (1912), p. 243, 390. 


958 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Bahnelemente Photometrische Elemente 
i die Neigung r, Radius des größeren Sterns, 
(die Periode P und die Kon- X das Verhältnis der Radien »,:r,, 
junktionszeiti,könnenderLicht- Z, die Helligkeit des größeren Sterns 
kurvedirektentnommenwerden) („=1—L,) (1) 
(«e=]1). 

Bei den gemachten Voraussetzungen werden die beiden Minima 
der Lichtkurve (das Hauptminimum entspricht der Bedeckung des 
helleren Sternes) 

1. eine vollkommen symmetrische Form haben; 

2. wird ihr Abstand der halben Periode des Lichtwechsels gleich sein. 

3. Wenn die Bedeckung eine vollständige oder eine ringförmige 
ist, muß die Lichtkurve im Minimum so lange horizontal verlaufen, 
als die vollkommene Bedeckung oder die ringförmige Phase anhält. 
Ist dagegen die Bedeckung nur partiell, so wird es diese Konstanz im 
Minimum nicht geben. 

4. Beide Minima müssen von gleicher Dauer sein, aber im allge- 
meinen von verschiedener Tiefe. Wenn bei irgendeiner Phase ein Stern 
einen Teil des anderen bedeckt, so muß nach einem halben Umlauf 
der andere Stern eine ebenso große Fläche des ersten bedecken, nicht 
aber denselben Bruchteil seiner Gesamtfläche, da die Sterne verschie- 
dene Durchmesser haben. Bezeichnen /, und /, die Helligkeiten des 
Systems in zwei voneinander um eine halbe Periode verschiedenen 
Phasen, so ist also 


(2) ı=1-—.al, 
und 
(3) ,=1-—kaL, 


wo a den Bruchteil der vom zweiten Stern bedeckten Fläche und k?’a 
den Bruchteil der vom ersten Stern bedeekten Fläche bedeuten, wobei 
k das Verhältnis der Radien ist. Hieraus folgt die Gleichung 

1-1, | 
(4) I u + Ze ea u). 

Diese Gleichung gilt auch für die konstanten Helligkeiten während 
der Minima, wobei «= 1. Sind die Helligkeiten dann A, und },, so ist 
Pi—ı)-—=,—1 

und 

(5) ER uch 

Außerdem haben wir nach (2) 
„=1-—-L=L. 

Es bleibt also nur noch r, und ö zu bestimmen. 





49. Die Lösung des Problems für den Fall einer totalen Bedeckung usw. 959 


5. In dem öfters eintretenden Falle, daß das Hauptminimum eine 
konstante Helligkeit aufweist, das schwache Nebenminimum eine solche 
nicht mit Sicherheit abzulesen gestattet, können wir aus den Glei- 
chungen (2) und (3) folgern: wenn die Helligkeit im Hauptminimum 
durch A bezeichnet wird und wenn die Bedeckung im Hauptminimum 
eine volle ist, 


L=1-—4, 
und wenn sie eine ringförmige ist, 
RPL=1-—4. 


In jedem Falle ist für jede der Kurve entnommene Helligkeit Z die 
Gleichung erfüllt 
1-1 


(6) a ae 


und wir erhalten so aus der Lichtkurve a als Funktion der Zeit und 
haben dann noch k, r, und © zu bestimmen. 

6. Sind beide Minima beobachtet, zeigen aber keine konstante 
Helligkeit, so ist die Bedeckung eine partielle. Die Helligkeiten im 
Minimum seien A, und A,; bezeichnet a, den entsprechenden Wert 
von a, so ist jedenfalls die Gleichung (4) gültig: 


(M ai +ige. 
Da außerdem 
IR 


RE ih, 
so können wir a, als Unbekannte an Stelle von Z, annehmen und 
haben dann vier Größen r,, i, k und a, mit Hilfe der Intensitätskurve 
und der Gleichung (7) zu bestimmen. 
7. Wenn die Bedeckung partiell ist und das zweite Minimum zu 
schwach, um entdeckt werden zu können, haben wir die vorige Auf- 
gabe, aber ohne die Gleichung (7) zu lösen. 


49. Die Lösung des Problems für den Fall einer totalen Be- 
deckung nach H.N. Russell. Nimmt man das Zentrum des größeren 
Sternes als Anfangspunkt und zählt die Längen ® des kleineren Sternes 
in seiner Bahn vom Momente der unteren Konjunktion t,, so ist 


(8) Band) 


Man kann also mit Hilfe der Gleichung (6) a, das aus der Lichtkurve 
als Funktion der Zeit bekannt ist, auch als Funktion von ® darstellen. 
Nun ist a, der Bruchteil des kleineren Sternes, der bedeckt ist, eine 


Funktion der Radien beider Sterne und des Abstandes ihrer Zentren; 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 62 


960 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


dabei können nur die Verhältnisse dieser Größen in die Funktion ein- 
gehen, weil alle im selben Verhältnis verändert werden können. Ist 
ö der scheinbare Abstand der Zentren, so haben wir 


nie ö 
a—f(?, th = 
wo die Funktion f leicht zu berechnen ist. Wir können die letzte 


Gleichung in bezug auf ni auflösen und auch schreiben 
1 
0) 
Er „ —vlh,a). 
1 


Russell gibt eine Tabelle dieser Funktion für verschiedene Werte von 
k und a. 


Nun folgt aus geometrischen Betrachtungen, daß der scheinbare 
Abstand der Zentren der Gleichung genügt: 
(10) 0? = sin?® + cos?icos?® — cos?i + sin?isin?®, 
woraus folgt 
(11) cos?i + sin?isin® —=r?{yp(k, a)}?. 
Denken wir uns aus der Lichtkurve drei Werte a,, a,, a, mit Hilfe 
von Gleichung (6) berechnet, und es seien ®,, ©,, ©, die entspre- 
chenden Werte von ©. Subtrahiert man die drei Gleichungen (11) zu 
je zweien voneinander und dividiert die Ergebnisse, so findet man 


sin?@, — sin?® _ tp(k, a)’ tykha)}? 
(2) sin?®, — a typ)? —Iplka)})? vek, a), Q,, Q5). 





Die linke Seite dieser Gleichung enthält nur bekannte Größen, die 
rechte ist eine Funktion von % allein. Auch diese Funktion hat Rus- 
sell tabuliert für vorgegebene Werte von a, —= 0,6 und a, = 0,9 nach 
zwei Argumenten a, und k. Mit Hilfe dieser Tafel kann % leicht ge- 
funden werden. Bezeichnet man 
sin®,,=4A und sin®, — sin, =B, 

so wird aus (12) 
(13) sin?®, =4A-+ Bv(k, a,). 
Diese Formel kann zur theoretischen Konstruktion der Lichtkurve bei 
bekanntem % für beliebige Werte von a, benutzt werden. 

Die übrigen Elemente findet man dann aus der Gleichung (10), 


die man für die Momente der äußeren und der inneren Berührung 
der Sternscheiben in der Form 


14 | r!(1 + k)? = cos?i + sin?i sin? ©’ 
u r2(1 — k)? = cos?i + sin?i sin? @” 


schreiben kann, weil für diese Momnted=rn+r udd6=n—r, 


50. Partielle Bedeckungen. 961 


ist. @’ und @” sind die der äußeren und inneren Berührung entspre- 
chenden Werte der Länge und können aus zwei Gleichungen (13) 
für die Werte k=0 und k=1 mit Hilfe der Tafel der Funktion % 
berechnet werden. 

Die Entscheidung darüber, ob das Hauptminimum einer totalen 
oder einer ringförmigen Bedeckung entspricht, kann mit Hilfe des 
Nebenminimums getroffen werden. 


50. Partielle Bedeekungen. Wenn das Nebenminimum nicht be- 
obachtet ist, so wird die Aufgabe der Bestimmung der Bahnelemente 
in den meisten Fällen zu einer unbestimmten ??”); ist aber zum min- 
desten die Tiefe des Nebenminimums ablesbar, so wird eine Lösung 
möglich. Bezeichnet a, den maximalen Lichtverlust im Hauptminimum, 
so ist nach (13) | 
(15) A+Bv(k,a)—=0, 
weil für die Konjunktion ® = 0 ist. Für irgendeinen Bruchteil » des 
maximalen Lichtverlustes haben wir dagegen die Gleichung 
(16) A+ Bvy(k,na,) = sin? ©,. 

Subtrahiert man diese Gleichungen voneinander und dividiert durch 


eine ähnliche Gleichung, in der n den festen Wert } hat, so erhält 
man die Beziehung 


sin?O, __ Ylk,na,) — Ylk,a) 
m in’, — Hk ia) ul) A Ar); 








welche die Funktion x(k, a,, %) definiert, die von Russell mit den Argu- 
menten k und a, für verschiedene Werte von » ebenfalls tabuliert ist. 

Es erweist sich, daß es für gleichmäßig helle Scheiben genügt, 
eine dieser Funktionen y z. B. für den Wert n— ; zu berechnen, 
weil sie alle mit großer Annäherung lineare Funktionen voneinander 


sind, so daß 


(18) x(k, a,,n) = @,(n) + @s(n)x(k, a, %)- 
Wir erhalten darum aus (17) 
(19) sin’©, = o,(n)sin’©, + ®,(n)sin?®@,, 
denn es ist 
sin?® 
(20) x(k, @, 4) = ae 
2 


Die empirische lineare Beziehung für die y-Funktionen gibt uns die 
Möglichkeit, die Funktionen ®,(n) und ®,(r) selbst zu tabulieren und 


227) Eine Ausnahme bildet der Fall, wenn das Minimum sehr tief ist, z.B. 
der Fall von Y Piscium. Astroph. Journ. 37 (1913), p. 157. 
62* 


962 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


dann die Gleichung (19) zu benutzen, um möglichst viele Punkte der 
Verfinsterungskurve zur Bestimmung von sin’®, und sin?®, heran- 
zuziehen; aus ihnen wird dann der Wert von y(k, a, +) abgeleitet. 
Die Gleichung (20) gibt dann die erste Beziehung zwischen k und a,. 
Die zweite erhalten wir, wenn die Tiefe des sekundären Minimums ge- 
messen ist, aus der Gleichung (7), in der A, dasjenige Minimum ist, 
das der Bedeckung des kleineren Sternes entspricht. Mit Hilfe der 
Tabelle der Werte von y(k,a,, 4) und der Gleichungen (7) und (20) 
erhält man dann % und a,. Die übrigen Elemente erhalten wir aus 
der ersten Gleichung (14), den Gleichungen (11) und (7): 


cos’; cos®?®’+ sin®' = r?(1+%)%, 


coi—=r?[p(k,a,)}? 
und 
1-7 
4, 





=L=l-L. 


5l. Der Einfluß der Randverdunkelung. Nur für die Sonne kann 
der Grad der Verdunkelung der Scheibe vom Zentrum nach dem Rande 
durch direkte Messungen bestimmt werden. Wie wir im zweiten Kapitel 
gesehen haben, läßt sich die Randverdunkelung der Sonne sehr nahe 


durch die Formel 
T— I(1 + weosy) 


darstellen, wo J, die Intensität im Zentrum und y den Winkel der 
austretenden Strahlen mit der Normalen bedeutet. Der Koeffizient u 
hat freilich nicht genau den aus der Theorie des Strahlungsgleich- 
gewichtes folgenden Wert. Dieser Wert ist übrigens für die einzelnen 
Wellenlängen verschieden. Die Beobachtungen der Bedeckungsveränder- 
lichen sind nicht genau genug, um mehr als eine Konstante der Rand- 
verdunkelung der Sterne abzuleiten, und Russell hat in seiner Methode 
der Auswertung der Bedeckungskurven nur diese Möglichkeit vor- 
gesehen. 

Bei Sternen mit Randverdunkelung kann es natürlich keine kon- 
stante Helligkeit während der Minima geben; der Beginn und das 
Ende der Verfinsterung muß flacher verlaufen als im Falle gleich- 
mäßig heller Scheiben, dagegen muß die Mitte des Abfalls steiler sein, 
wenn die Verfinsterung eine zentrale ist. Russell bestimmt die Rand- 
verdunkelung durch einen Koeffizienten x in der Formel 


(21) J=J(l —x2+4xcosy), 
der für gleichmäßig helle Scheiben verschwindet und bei dem anderen 


Grenzwerte x — 1 einer vollkommenen Randverdunkelung proportional 
cosy entspricht. Er gibt eine Methode der Bestimmung der Bedeckungs- 


52. Bestimmung der Abplattung. 963 


und Bahnkonstanten bei der Annahme vollkommener Randverdunke- 
lung («= 1), die neben der oben besprochenen (für = 0) durch- 
geführt werden muß, um über den Vorzug einer der Annahmen zu ent- 
scheiden und den wahren Wert von x abzuschätzen. Die Methode ist 
fast genau der eben besprochenen angepaßt. Der Bruch a, der im 
Falle gleichmäßiger Helligkeit den bedeckten Teil der ganzen schein- 
baren Fläche des kleineren Sternes bedeutet, wird jetzt anders defi- 
niert; er bedeutet den Lichtverlust in Einheiten desjenigen Lichtver- 
lustes, der im Moment der inneren Berührung der Scheiben statt- 
findet. Die Einheit, in der « ausgedrückt ist, ist deshalb anders für 
die Haupt- und die Nebenbedeckung. An Stelle der Gleichung (7) 


tritt jetzt eine andere von der Form 


ä kl 
(22) Ik, o) = van)? 


wo a’ der genannte Bruch ist im Falle, daß der kleinere Stern be- 
deckt wird, und wo die Funktion Q(k, a,) durch diese Gleichung und 
die Bedingung definiert ist, daß sie für gleichmäßig helle Scheiben 
und für gleiche Radien der Sterne (k=1) gleich k? wird. Diese 
Funktion tritt im Falle der Randverdunkelung an Stelle der Kon- 
stanten k bei gleichmäßig hellen Scheiben; sie ist von Russell für an- 
gemessene Werte von a, und % tabuliert. Die übrigen Formeln für 
die Bestimmung der Konstanten bleiben dieselben, nur müssen andere 
Tafeln der Funktionen p(k, a), y(k,a) und y(k,a,n) benutzt werden. 

Da eine konstante Helligkeit im Minimum in diesem Falle fehlt, 
so ist es aus der Bedeekungskurve in vielen Fällen unmöglich zu ent- 
scheiden, ob eine partielle Bedeckung gleichmäßig heller oder eine 
ringförmige Bedeckung randverdunkelter Scheiben vorliegt. Ganz un- 
bestimmt wird die Lösung, wenn die Tiefe des sekundären Minimums 
nicht abzulesen ist. Aber auch wenn das der Fall ist, müssen öfters 
beide Lösungen als gleichwertig angesehen werden, wobei dann die 
Lösung für gleichmäßig helle Scheiben den größeren Stern größer, 
den kleineren kleiner ergibt, als die Lösung bei der Annahme totaler 
Randverdunkelung. Entsprechend sind die Folgerungen über die Dichte 
der beiden Komponenten, die man aus den Radien und Helligkeiten 
ableiten kann, nicht unwesentlich verschieden. 


52. Bestimmung der Abplattung. Bei gewissen Bedeckungsver- 
änderlichen, wie 8 Lyrae, weist die Lichtkurve auch außerhalb der 
Bedeckung keine Konstanz auf und ist in der Mitte zwischen den 
beiden Minima höher als beim Beginn der Verfinsterung. Diese Er- 
scheinung wird durch die ellipsoidische Form der Komponenten er- 


964 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


klärt, wobei man nach Darwins?*®) theoretischen Untersuchungen über 
die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten annimmt, daß die 
Sterne dreiachsige Ellipsoide sind, deren größte Achse in der Ver- 
bindungslinie der beiden Sterne liegt. Wenn auch die Sterne nicht als 
inkompressible Flüssigkeiten anzusehen sind, so bestätigen Jeans ??°) 
Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Gasmassen 
im allgemeinen die Ergebnisse von Darwin. H. N. Russell legt jeden- 
falls seinen Betrachtungen über die Formen der Komponenten der 
Algol-Veränderlichen die numerischen Ergebnisse von Darwin zu- 
grunde. 

Wie schon A. Roberts??®) nachgewiesen hat, ist es unmöglich, aus 
der Bedeckungskurve die Abplattung der Ellipsoide in der Richtung 
senkrecht zur Bahnebene, in der die großen Achsen derselben liegen, 
zu bestimmen, obgleich das Vorhandensein einer solchen infolge der 
Rotation der Sterne mit Sicherheit anzunehmen ist. Nach Darwin ist 
für nahezu sphärische Figuren, wenn « und ß die große und die kleine 
Halbachse des in der Bahnebene liegenden Schnittes bedeuten, die 
kleinste Achse der Figur y durch die Gleichung bestimmt: 


Pr eklerah: 
Für starke Abplattungen hat Russell Darwins Ergebnisse für gleiche, 
homogene, inkompressible Massen durch empirische Formeln dargestellt: 


(23) Pr ei 
eo  1+310°’ 0? 1+8,6«° 








Es wäre somit möglich, aus den Werten zweier Achsen die dritte zu 
berechnen, was aber bei der Abweichung der Wirklichkeit von den 
Darwinschen Modellen jedenfalls sehr bedenklich erscheint. 

Wenn die Komponenten von gleicher Masse und Dichte sind, so 
werden sie auch die gleiche Form haben, sonst wird die kleinere 
Masse die mehr verlängerte Figur besitzen, wenn sie nicht die größere 
an Dichte stark übersteigt. Bei der Berechnung der Abplattung aus 
der Lichtkurve ist man gezwungen, die Komponenten als ähnliche 
Figuren, also von gleicher Abplattung aufzufassen. 

Die Gesichtslinien nach den Oberflächen der beiden Ellipsoide 
bilden zwei elliptische Zylinder mit parallelen Achsen, die sich wäh- 
rend der Bedeckung teilweise durchdringen. Die scheinbaren Scheiben 
sind die Schnitte der Zylinder durch eine zur Achse senkrechte Ebene. 
Schneidet man dieselben durch eine andere Ebene, so erhält man 





228) Philosoph. Transactions (A) 206 (1906), p. 160—248. 
229) Philosoph. Transactions (A) 213 (1914), p. 457. 
230) Monthly Not. 63 (1903), p. 528. 


52. Bestimmung der Abplattung. 965 


Ellipsen, deren Flächen in einem bestimmten Verhältnis zu den schein- 
baren Scheiben stehen, so daß auch diese geneigten Schnitte bei der 
Berechnung der Lichtmenge, die der Beobachter erhält, benutzt wer- 
den können. Wählt man die Ebene der relativen Bahn als Grund- 
fläche, so kann man sich zwei Sternsysteme denken, von denen eins 
aus dem anderen durch eine Vergrößerung in konstantem Verhältnis 
aller Koordinaten, die senkrecht zur Bahnebene stehen, entsteht (die 
Koordinaten parallel zur Grundebene bleiben unverändert). Die Flächen 
in der Bahnebene, die nach dem vorigen als Maß der Lichtmenge des 
Systems dienen können, sind in beiden Fällen identisch. Wir müssen 
also bei richtiger Wahl der angenommenen Öberflächenhelligkeit der 
Sterne in beiden Fällen identische Lichtkurven erhalten. Die beiden 
Systeme von Elementen werden sich nur durch die Polarachse der 
beiden Ellipsoide und die Tangenten des Winkels zwischen der Bahn- 
ebene und der Gesichtslinie unterscheiden, die in einem bestimmten 
Verhältnis zueinander stehen werden. Man kann dieses Verhältnis sich 
so gewählt denken, daß unsere dreiachsigen Ellipsoide sich in Rota- 
tionsellipsoide verwandeln, deren große Achse in die Verbindungslinie 
der Zentren beider Sterne fällt. 

Solche Rotationsellipsoide sind es, deren Achsen Russell aus der 
Lichtkurve bestimmt, um aus ihnen dann mit Hilfe der Formel (23) 
den Wert der Polarachse theoretisch abzuschätzen. 

Es seien «,, ß, die große und die kleine Achse des größeren 
Sphäroides und & die Exzentrizität seines Meridianschnittes; die Achsen 
des kleineren Sternes seien &, =ka«,, ß, = kß,. Beide Sterne werden 
als elliptische Scheiben erscheinen, deren große Achsen mit der Ver- 
bindungslinie der Zentren zusammenfallen. Die kleinen Achsen werden 
immer ß, und ß, sein, die großen Achsen aber scheinbar im allgemeinen 
kleiner als «, und «&,. Wenn ihre Werte für irgendeinen Moment d, 
und d, sind und @ der Winkel zwischen der Verbindungslinie der 
Zentren und der Gesichtslinie, so ist 


d?= all — copy), u, —= kd,; 
da aber bei unseren alten Bezeichnungen 
cosp —= sin? c08®, 
so folgt, daß 
(24) di = a?(1 — e sin?i cos? ®). 
Wenn der scheinbare Abstand der Zentren d ist, so kann bei $>(1-+k)d, 
keine Bedeckung stattfinden, und wenn d<(1—k)d,, so wird die 


Bedeckung total sein. Zwischen diesen Grenzen ist die Bedeckung 
partiell. 


966 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Wenn wir die Dimensionen der scheinbaren Ellipsen senkrecht 
zur Verbindungslinie der Zentren, d. h. in der Richtung ihrer kleinen 
Achsen in bestimmtem Verhältnis verändern, so ändert sich dabei nicht 
das Verhältnis der bedeckten Flächen. Wählt man den Vergrößerungs- 
faktor zu d,:ß,, so macht man die Scheiben kreisförmig von den 
Radien d, und kd,. Dann haben wir die Verhältnisse für kreisförmige 
Scheiben und damit die Gleichung (9) 


= d,p(k, a), 


wo a der Bruchteil der kleineren Scheibe ist, der bedeckt ist. Die 
Liehtmengen /, und /, von den beiden Sternen sind aber jetzt nicht 
konstant, sondern ändern sich mit dem Winkel g, und wenn L, und 
L, ihre maximalen Werte bedeuten, die bei @ = 90° erreicht werden, 
so ist 
nn = L zum = —=(1— sin?; cos? @)2. 
Hieraus folgt für !, den Betrag des Lichtes, der den Beobachter wirk- 
lich erreicht: 


B)ı-L+(l— a), (1— #sinticos®@)[L, + (1— a)L,]. 


Wenn & = 0 ist, erhalten wir die Formel für sphärische Sterne. 
Wir bezeichnen noch 

(26) sind = 2. 

Es gilt nun die Konstante z der Abplattung aus der Lichtkurve zu 

bestimmen. Russell macht das in folgender höchst einfachen Weise. 


Da außerhalb der Bedeckung der zweite Faktor in Gleichung (25) 
konstant bleibt, so muß die Neigungstangente der Geraden 


(27) ?—=(1—zc08’®)K, 


die man erhält, wenn man /? mit dem Argument cos?® aufträgt, den 
gesuchten Wert von z ergeben. Die Methode scheint zu versagen, 
wenn die Sterne während der Elongationen in wirklicher Berührung 
sind. In diesem Falle nimmt Russell die Tangente zu der Kurve (27) 
im Punkte c0o®?® — (0. 

Wenn z bekannt ist, wird 'der Einfluß der Abplattung auf die 
Kurve dadurch eliminiert, daß man die beobachteten Helligkeiten von 
dem Faktor (1 — 2?cos?®) befreit. Dadurch wird die Lichtkurve „rekti- 
fiziert“ und die Aufgabe auf den Fall kreisförmiger gleichmäßig heller 
Scheiben reduziert. 

Auch den Einfluß der totalen Randverdunkelung bei abgeplatteten 
Komponenten hat Russell näherungsweise in Rechnung gezogen, wo- 
bei die eben beschriebene Methode der „Rektifizierung“ der Lichtkurve 


53. Der Einfluß der gegenseitigen Beleuchtung der Komponenten. 967 


dieselbe bleibt und auch die Bestimmung der Elemente der Bedeckung 
keine Änderung erleidet. Es wird nun statt der Größe z— e?sin?i 
eine andere Konstante Z in der Gleichung 1 = 1 — Z cos?® benutzt, 
wobei zwischen Z und z eine einfache numerische Beziehung besteht: 


ERW DREH WB 
m 12 — 32". 


Die dieser Gleichung zugrundeliegende Theorie gilt für die maximale 
Randverdunkelung bei einer Reihe vereinfachender Voraussetzungen, 
die hier nicht diskutiert werden sollen. 


53. Der Einfluß der gegenseitigen Beleuchtung der Komponenten. 
Bei der großen Nähe der Komponenten muß infolge der Zustrahlung 
eine ungleichmäßige Beleuchtung der einander zugewandten und der ab- 
gewandten Hälften der beiden Sterne eintreten, was eine weitere Kom- 
plizierung des Problems zur Folge hat. Einen direkten Beweis der 
genannten Erscheinungen fand Dugan?®') in den Fällen von RT Persei 
und Z Draconis und Stebbins®®”?) in der Lichtkurve von Algol. Es gibt 
nur sehr wenig andere Sterne, deren Kurven zwischen den Minima 
genügend genau bekannt wären, um den genannten Einfluß zu zeigen, 
der jedenfalls nur einige Prozent in der Helligkeit der Komponenten 
ausmachen kann. Wahrscheinlich ist der Zuwachs der Helligkeit durch 
Zustrahlung geringer als der Helligkeitsabfall infolge allgemeiner Rand- 
verdunkelung. 

Wenn die Lichtmenge, die wir von der dunkleren, von der anderen 
Komponente abgewandten Seite des größeren Sternes erhalten würden, 
l,— c, und die von der helleren Seite !,+ c, wäre, so würde die 
Bahnbewegung des unverdeckten Sternes eine Lichtvariation von der 
an l=1 — c,sinicos® 
zur Folge haben, bei der das Minimum bei ®=( eintritt, wenn der 
Begleiter sich hinter dem Hauptsterne befindet. Für den kleineren 
Stern hätte man in ähnlicher Weise 


—=l,+ 6,sinicos®. 
Für das ganze System hätten wir 
(28) I=,+%,+ (%— )sinicos®. 


Die Größen e sind proportional dem Überschuß an Licht, das jeder 
Stern in der Richtung nach dem anderen ausstrahlt; wir können an- 
nehmen, daß sie auch proportional sind der Energiemenge, die jede 


231) Publications of the Astr. and Astroph. Society of America 1 (1908), p. 311 
und 1 (1909), p. 320. 
232) Astroph. Journ. 32 (1910), p. 200. 


968 VIg,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


der Komponenten von dem Nachbarstern erhält; dann sind diese Größen 
umgekehrt proportional den Öberflächenhelligkeiten der beiden Sterne. 
Bei kreisföormigen Bahnen ist das letztgenannte Verhältnis gleich 
dem Verhältnis der Licehtverluste in den beiden Minima; wir haben 
daher 

(29) «1—1)=a(l—%,). 


Die Helligkeit des Systems ist darum gleich nach dem Nebenminimum 
größer als nach dem Hauptminimum, was in Einklang mit der Beob- 
achtung ist. Wenn die beiden Minima von gleicher Tiefe sind, dürfte 
kein solcher Effekt zu erwarten sein und ist auch tatsächlich nicht 
beobachtet worden. Es ist zu erwarten, daß dort, wo die genannte 
Erscheinung auftritt, auch eine kleine Abplattung der Sterne sich 
offenbart. Da aber die letztere einen symmetrischen Einfluß um den 
mittleren Punkt zwischen den Minima haben muß, die erstgenannte 
aber ihr Zeichen wechselt, so bietet es keine Schwierigkeit, die beiden 
Einflüsse zu trennen. Russell bestimmt den Einfluß der Reflexion auf 
die logarithmische Helligkeitskurve durch die genäherte Formel 


Am = — 1,08 (ec, — c,) sinicos®. 


Aus solchen Punkten der Kurve außerhalb der Bedeckung, in denen 
cos @ gleiche Werte von umgekehrtem Zeichen hat, findet er (s— e,)sin?, 
und da sin‘ immer gleich 1 gesetzt werden kann, findet sich c, und 
c, mit Hilfe von (29). 

54. Der Periastron-Effekt. Bei einigen Sternen, wie RT Persei 
und W Crueis, mit elliptischen Bahnen ist die beobachtete Helligkeit 
im Periastron und im Apastron verschieden als Folge einer stärkeren 
Ausdehnung der Flutwelle bei größerer Annäherung der Sterne. An- 
genähert kann dieser Einfluß durch eine Sinuswelle von der Form 


Am = «c0s® + ßsin® 


dargestellt werden. Das erste Glied dieses Ausdruckes vermischt sich 
mit dem Einfluß der Reflexion. Das Glied ßsin® verursacht einen 
Unterschied in den Helligkeiten während der beiden Minima und kann 
aus demselben abgeleitet werden. 


55. Die Dichte der Komponenten. Die Anwendung des dritten 
Keplerschen Gesetzes auf die relative Bahn gibt uns die Möglichkeit, 
bei der Annahme einer bestimmten Verteilung der Gesamtmasse des 
Systems zwischen den Komponenten die Dichten derselben in Ein- 
heiten der Sonnendichte zu bestimmen. Wenn die Gesamtmasse durch 
m, diejenige des größeren Sternes durch mx bezeichnet wird, so hat 
der kleinere Stern die Masse m(1 — x). Wenn « die große Halbachse 


56. Statistische Ergebnisse. 969 


BAUER 

aer relativen Bahn ist, so haben wir «—= k?m?P®?. Die Konstante k 
ıst von den Einheiten abhängig, und wenn wir die Sonnenmasse, den 
Sonnenradius und den Tag als Einheiten wählen, so würde für die 
Erdbahn « = 214,9, P= 365,24 sein und k wird dann k = 4,206. 
In unserer Bahnbestimmung war « die Einheit der Länge; es ist da- 
her der Radius des größeren Sternes «r, und sein Volumen in Ein- 
heiten des Sonnenvolumens k?m P?r? oder 7T4,4mP?r?. Hieraus er- 
gibt sich seine Dichte zu g, = 0,01344x P-?r7°; ähnlich ist die Dichte 
des kleineren Sternes go, = 0,01344 (1 — x) P-?rz°. 

Nun ist es bekannt, daß sowohl bei den visuellen als bei den 
spektroskopischen Doppelsternen der hellere Stern im allgemeinen die 
größere Masse hat, und zwar liegen die Werte zwischen 0,36 und 0,78 
für die Masse des helleren Sternes und zwischen 0,64 und 0,22 für 
den schwächeren. Russell hält diese Unterschiede für nicht so bedeu- 
tend, als daß die Annahme gleicher Massen der Komponenten (x = 0,5) 
für die Berechnung der Dichten nicht zulässig wäre, und rechnet diese 
somit nach der Formel 
(30) 0, = 0,00672 P-?r7?; go; — 0,00672 P"?rz®, 
die als durchschnittliche Dichte beider Sterne als wichtige physika- 
lische Konstante der Bedeckungsveränderlichen bestimmt wird. 

56. Statistische Ergebnisse. Nach den hier entwickelten Methoden 
von H. N. Russell sind von ihm selbst und von seinen Mitarbeitern 
H. Shapley, R. 8. Dugan u. a. eine große Reihe von Bedeckungsver- 
änderlichen bearbeitet worden. Die Reduktion der Lichtkurven von 
90 Veränderlichen, für die Beobachtungen in genügender Anzahl von 
verschiedenen Beobachtern gesammelt waren, ist hier mit aller er- 
denklichen Sorgfalt ausgeführt, und es ist versucht worden, den Ein- 
fluß aller in der Theorie behandelten Effekte aus ihnen zu bestim- 
men. Die Lichtkurven sind je nach den Beobachtungsmethoden und 
der Anzahl der Messungen von sehr verschiedener Genauigkeit; ent- 
sprechend ist auch die Sicherheit der abgeleiteten Konstanten sehr 
verschieden. Immerhin gestattet das hier erstmalig zusammengestellte 
große Material wichtige Schlüsse statistischer Art. Eine andere voll- 
ständige Zusammenfassung aller Ergebnisse über Bedeckungsveränder- 
liche (im Ganzen 346 Systeme) ist in neuester Zeit von 8. Gaposchkin 
geliefert worden. Sie enthält 82 vom Verfasser selbst berechnete Sterne. 
Wir können neben dem Werke von Shapley?”) auch diese Statistik 
berücksichtigen. 

233) Contributions of the Princeton Univ. Observatory Nr. 3 (1915) und 


S. Gaposchkin, Die Bedeckungsveränderlichen. Veröffentl. der Univ.- Sternwarte 
Berlin-Babelsberg Bd. IX, H. 5 (1932). 


970 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


a) Die Randverdunkelung. Mehr als 20 Sterne des Katalogs von 
Shapley zeigen eine konstante Helligkeit im Hauptminimum. Diese ist 
aber nicht durch eine ringförmige Bedeckung bei konstanter Helligkeit 
der Scheibe zu erklären, sondern durch totale Bedeckung. Dagegen 
sind die vier Fälle ringförmiger Finsternisse alle bei der Annahme der 
Randverdunkelung besser dargestellt als bei gleichmäßiger Helligkeit 
der Scheibe des bedeckten Sternes. Shapley glaubt, daß eine Randver- 
dunkelung aus theoretischen Gründen immer zu erwarten ist, und es sind 
alle Bahnen und Elemente sowohl bei der Hypothese einer vollkom- 
ımenen Randverdunkelung als auch einer gleichmäßigen Helligkeit be- 
rechnet, wobei im allgemeinen die Darstellung der Beobachtungen bei 
der ersten Annahme eine bessere ist. Die Berechnung ist für totale 
Randverdunkelung durchgeführt. Ein Unterschied der Grade derselben 
ist nicht gemacht und auch kein Einfluß des Spektraltypus festgestellt. 
Dieser Einfluß ist nach theoretischen Untersuchungen von Mielne in 
dem Sinne zu erwarten, daß die frühen Spektraltypen keine, die späten 
eine bedeutende Randverdunkelung aufweisen müßten. Auch das neuere 
Material von Gaposchkin zeigt keine ausgesprochene Bestätigung dieser 
Theorie. Dazu sind die Bahnelemente und photometrischen Konstanten 
doch noch zu unsicher. 

b) Die relativen Dimensionen der Komponenten. Die wichtige Frage, 
die es hier zu entscheiden galt, war, ob die schwächere Komponente 
tatsächlich immer oder meistens die größere sei, wie das früher auf 
Grund eines geringfügigen Materials allgemein angenommen wurde. 
Shapley verneint dieses vermeintliche Gesetz. Seine Statistik zeigt, daß 
die genannte Tatsache wohl ausnahmslos zutrifft, wenn der Helligkeits- 
abfall im Minimum zwei Gr.kl. und mehr beträgt, bei einem Hellig- 
keitsabfall von einer bis zwei Gr.kl. nur noch in 63°), der Fälle, bei 
einem Helligkeitsunterschied von 0,7 bis zu 1,0 Gr.kl. nur noch in 50%, 
aller Fälle und bei noch kleinerer Helligkeitsschwankung überhaupt 
nicht mehr. Diese Statistik zeigt deutlich ihre eigene Unvollständigkeit. 
Entdeckt werden vorwiegend die Sterne mit tiefen Minima, bei denen 
totale Bedeekungen durch die dunkle größere Komponente die Ur- 
sache sind; bei gleich hellen und gleich großen Komponenten ist der 
Liehtwechsel geringer und bei den Bedeckungen durch schwache und 
kleine Begleiter sind sie ganz gering, weshalb sie auch selten ent- 
deckt werden. 

ce) Die relativen Flächenhelligkeiten der Komponenten. Eine einwand- 
freie Feststellung über die Frequenz großer und kleiner Unterschiede 
der Flächenhelligkeiten der Komponenten ist aus demselben Grunde 
wie oben, betreffend die relativen Dimensionen, nicht möglich. Wenn 


56. Statistische Ergebnisse. 971 


für tiefe Minima von mehr als zwei Gr.kl. die Flächenhelligkeitsver- 
hellerer Stern 

schwächerer Stern 

sind als 12 und oft größer als 30, und wenn dagegen bei einem ge- 


ringen Helligkeitsminimum, das kleiner ist als 0,7”, das genannte 
Verhältnis meist kleiner ist als 2 (für dazwischen liegende Zahlen 
haben wir einen systematischen Gang in demselben Sinne), so ist 
dieses Ergebnis der Shapleyschen Statistik mit dem für die Dimen- 
sionen gefundenen vollständig konform; dagegen kann die Anzahl der 
Sterne verschiedener Helligkeitsverhältnisse, wie sie diese Statistik 
liefert, nicht als ein Bild der wirklichen Verhältnisse angesprochen 
werden. In den Fällen, wo der Spektraltypus der schwächeren Kompo- 
nente aus dem Unterschiede der visuellen und photographischen Ampli- 
tude des Liehtwechsels bestimmt werden kann, gehört die schwache 
und große Komponente immer zu einem wesentlich späteren Spektral- 
typus als die hellere. Der Spektraltypus des helleren Sterns fällt nahe- 
zu mit demjenigen des Systems zusammen und ist immer bekannt; 
der Unterschied der Flächenhelligkeiten ist aus den photometrischen 
Elementen bestimmbar; da nun zwischen der Flächenhelligkeit und dem 
Spektraltypus eine eindeutige Beziehung besteht, so kann auch der 
Spektraltypus der schwächeren Komponente berechnet werden. Ga- 
poschkin findet so, daß der schwächeren Komponente mit wenigen Aus- 
nahmen der spätere Spektraltypus entspricht. Die so bestimmten Spek- 
traltypen gestatten nun umgekehrt die Berechnung der Totalhellig- 
keiten der Komponenten, die schon bekannt sind; es ergeben sich 
z. T. große Unstimmigkeiten beider Bestimmungen, die aus der Un- 
sicherheit der Radien erklärt werden müssen. 

d) Die Elliptizität und die polare Abplattung. Unzweideutig tritt 
die Abhängigkeit der äquatorialen Elliptizität von den Abständen der 
Komponenten hervor, wie es zu erwarten war. Wenn der Abstand der 
Oberflächen mehr als die Summe der Radien der Komponenten aus- 
macht, kann eine Verlängerung der Komponenten in der Bahnebene 
nur sehr selten festgestellt werden. Von den 90 berechneten Sternen 
zeigen 25 eine meßbare Elliptizität; doch kann ihre Anzahl noch 
wesentlich größer sein, denn die Beobachtungen während des Maxi- 
mums, die zur Ableitung dieser Konstanten notwendig sind, sind wenig 
zahlreich und die Lichtkurven daher hier nicht genügend gesichert, 
um ihre Krümmung abzuleiten. 

Sehr interessant ist die Zusammenstellung der abgeleiteten Werte 


von . mit der Trennung der Oberflächen (definiert als 1— (a, -+ «,)) 


hältnisse der Komponenten im Sinne 





immer größer 


und ihr Vergleich mit den von Darwin theoretisch für inkompressible 


972 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Flüssigkeiten abgeleiteten Werten derselben Größe. Die Tafel von Shapley 
wird hier angeführt, um auch den Unterschied der Werte n, die sich 


unter der Annahme gleichmäßiger Helligkeit der Scheiben und totaler 
Randverdunkelung ergeben, zu veranschaulichen. 











Tabelle 17. 

Anzahl ß ß Pf 

1 +) er Bkerhe (£) Randverdunkl. w; Darwin An 
0,501 5 0,971 0,983 0,944 
0,399 ö 0,900 0,939 0,902 
0,320 6 0,838 0,900 0,858 
0,196 4 0,809 0,883 0,772 
0,106 4 0,700 0,782 0,692 














Die theoretischen Werte stimmen besser mit den bei gleichmäßiger 


ß 


Helligkeit erhaltenen (£) überein, sind aber immer kleiner als die 
beobachteten, was man für gasförmige Massen auch erwarten muß. 


Die polare Abplattung oder das Verhältnis z ist mit Hilfe einer 
4 
& 
mit der polaren in Beziehung setzt, von Russell ebenfalls berechnet. 
Seine Werte haben also keine direkte Beobachtungsgrundlage. Je größer 
die äquatoriale Elliptizität, desto größer ist auch die polare Abplat- 
tung, doch sind die Achsen ß und y nur wenig verschieden, im Höchst- 


falle bei £ — 0,76 ist FT? — 0,064. In Gaposchkins Arbeit ist die 
Statistik der Elliptizitäten nicht wesentlich erweitert; als neues Er- 
gebnis seiner Diskussion ergibt sich eine angedeutete schwache Ab- 


nahme der Werte “ mit dem Spektraltypus. 


von Darwin berechneten Tabelle, welche die äquatoriale Abplattung 


e) Die hypothetischen Parallaxen und die räumliche Verteilung. Wir 
hatten schon Ausdrücke für die Dichten der Komponenten nach ‚Russell 
angeführt (Gl. (30)). Wir schreiben dieselben hier in der Form 

2 2 
9 = 529 Pir,); = (5,9 Pr)". 
Wenn wir noch annehmen, daß die Massen beider Komponenten der 


2 
Sonnenmasse gleich sind, so wird, wie leicht einzusehen, 5,29 P® gleich 
der großen Achse der relativen Bahn in Einheiten des Sonnenradius, 
und dann sind die Größen 


2 2 
(31) 5239 P?r, ,—=5,29P%r, 


die Radien der Sterne in Einheiten des Sonnenradius. Diese Ausdrücke 


56. Statistische Ergebnisse. 973 


gestatten die Berechnung der absoluten Helligkeit des helleren Sternes 
und damit auch der Entfernung des Systems, vorausgesetzt, daß der 
Spektraltypus des helleren Sternes bekannt ist. 

Bezeichnet Z, die Helligkeit der helleren Komponente und m die 
visuelle Größenklasse des Systems im Maximum, ferner m, die Größen- 
klasse des helleren Sternes und M seine absolute Helligkeit, so ist 


M—m =5+5logz, 


wo x die Parallaxe des Systems ist. M findet man aus der Flächen- 
helligkeit des helleren Sternes J,, wenn diese in Einheiten der Flächen- 
helligkeit der Sonne in Größenklassen ausgedrückt ist, ferner aus dem 
Radius des Sternes in Sonnenradien 7, durch die Gleichung 


M=J, — 5,0 logr, — 2 logu + 4,75”. 


Hier ist 7, der hypothetische Radius, wenn beide Sterne die Sonnen- 
masse haben, und das dritte Glied die Reduktion auf den Fall, daß 
die Massen der Komponenten im Verhältnis u zur Sonnenmasse stehen. 
4,15% ist die absolute Helligkeit der Sonne. Um diese Gleichung bei 
unbekannten J, und u zu benutzen, muß man noch eine Beziehung 
zwischen diesen Größen für die einzelnen Spektraltypen der Sterne 
haben. Eine solche hat Russell aus statistischen Daten über die Massen 
der Sterne verschiedener Spektraltypen gewonnen, und mit dieser Be- 
ziehung sind dann die absoluten Größenklassen und die Parallaxen der 
Sterne des Shapleyschen Kataloges berechnet. Es erweist sich, daß nur 
vier Bedeckungsveränderliche, nämlich ß Aurigae, ß Persei, R Canis 
Majoris und W Ursae Majoris, Parallaxen haben, die 0,01” übersteigen, 
alle anderen sind weiter entfernt. 

Die räumliche Verteilung der Bedeckungsveränderlichen zeigt eine 
deutliche Konzentration derselben in der Ebene der Milchstraße; die 
galaktische Breite 30° wird nur von 13 Sternen der Shapleyschen 
Liste überschritten. Gaposchkin findet in seiner Liste von 349 Sternen 
die Hälfte innerhalb des Gürtels von + 10° bis — 10° galaktischer 
Breite liegend. Diese Konzentration ist weit stärker als für die Ge- 
samtheit der Sterne. Am stärksten ist die Anhäufung in der Milch- 
straße für die frühen Spektraltypen. 


f) Die Dichten der Bedeckungsveränderlichen nach Spektraltypen ge- 
ordnet. Für diese wichtige Zusammenstellung, die ein Licht darauf 
werfen kann, ob die Einteilung der Sterne in Riesen und Zwerge 
innerhalb. der Bedeckungsveränderlichen festzustellen ist, hat Shapley 
die bei der Voraussetzung gleicher Massen der Komponenten berech- 
neten Dichten seines Kataloges noch zwei Korrekturen unterworfen; 


974 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


die eine Korrektur trägt angenähert der polaren Abplattung der 
Systeme Rechnung, weil diese mit Sicherheit infolge der Rotation zu 
erwarten ist und die Dichten verkleinert. Er begnügt sich damit für 
alle Systeme, die eine Elliptizität in der Bahnebene aufweisen, die 


Dichten im Verhältnis £ zu vergrößern, während für die anderen Sy- 


steme auf eine Korrektion verzichtet wird. 


Die mittlere Dichte eines Bedeckungsveränderlichen ist unabhängig 
von der Gesamtmasse des Systems im Verhältnis zur Sonnenmasse, 
aber die Kenntnis der Verteilung der Masse zwischen den Kompo- 
nenten ist wesentlich für die Bestimmung der Einzeldichten, deren 
Zusammenhang mit dem Spektraltypus untersucht werden soll. Da 
nun sowohl für die visuellen als für die spektroskopischen Doppel- 
sterne die Regel gilt, daß die hellere Komponente die größere Masse 
hat, so ist anzunehmen, daß im Durchschnitt dieses Gesetz auch bei 
den Bedeckungsveränderlichen seine Gültigkeit hat. Die Annahme der 
Gleichteilung der Masse zwischen den Komponenten war somit irrig, 
und die Dichten erfordern daher eine Korrektion. Diese wird auf 
empirischen Wege aus den bekannten Massenverhältnissen der spektro- 
skopischen Doppelsterne gewonnen, und zwar als Funktion der Hellig- 
keit des helleren Sternes. 

Darauf wurde eine Tabelle der Dichten, im wesentlichen der 
helleren Komponenten, geordnet nach Spektraltypen aufgestellt, wo- 
bei die Dichten selbst in enge Intervalle eingeteilt wurden. 

Mit aller Deutlichkeit tritt aus dieser Tafel die Eigentümlichkeit 
der B- und A-Sterne hervor, nur Dichten einer bestimmten Größen- 
ordnung aufzuweisen, während bei den F- und G@-Sternen zweierlei 
Dichten auftreten, entsprechend der Trennung des Riesen- und des 
Zwergastes des Russell-Diagramms, die beim F-Typus beginnt. Die 
mittlere Dichte von 16 B-Sternen (mit Ausnahme von ß Lyrae) be- 
trägt 0,12 der Sonnendichte; die mittlere Dichte von 54 A-Sternen 
ist 0,21. Unter den Sternen der F'-Klasse ist die mittlere Dichte des 
Zwergastes etwa 0,4, bei den @-Sternen etwa 1,0, während die we- 
nigen @-Riesen Dichten zwischen 10-* und 10-® aufweisen. In der 
Statistik von Gaposchkin finden wir auch noch die mittlere Dichte 
der Typen O, bis B, zu 0,009 und B, bis B, zu 0,074. Bei den Sy- 
stemen, für die Gaposchkin auch das Spektrum der schwächeren Kom- 
ponente berechnet hat, konnten auch die Dichten der Begleiter nach 
dem Spektraltypus geordnet werden; dabei zeigte sich, daß die schwä- 
cheren Komponenten meistens auf dem Riesenaste liegen, manchmal 
aber den Zwergen angehören; dabei liegen die helleren Komponenten 


57. Andere Methoden und ungelöste Probleme. 975 


auf der Hauptreihe des Russell-Diagramms, in der die Dichte mit dem 
Spektraltypus wächst. Der spektrale Unterschied beider Komponenten 
verschwindet allmählich mit fortschreitendem Spektraltypus der hel- 
leren Komponente. Es ist also nach dem obigen Ergebnis die schwä- 
chere Komponente eines Systems die in der Entwicklung jüngere, 
manchmal aber auch die ältere. 


57. Andere Methoden und ungelöste Probleme. Wir haben hier 
die Methode von H. N. Russell in aller Ausführlichkeit wiedergegeben, 
weil sie als die einzige angesprochen werden kann, die dem größten 
Teil der bei der Bedeckung zweier Sterne auftretenden Erscheinungen 
mit derjenigen Strenge Rechnung zu tragen gestattet, die durch die 
Natur des Problems und die geringe Genauigkeit der Beobachtungen 
bedingt ist. Man kann es als besonderen Vorzug der Russellschen 
Methode ansehen, daß sie die mathematische Strenge in der Bestim- 
mung der vielen Konstanten des Problems gerade nur bis zur er- 
forderlichen Grenze treibt; nur dadurch ist ihre außerordentliche Ver- 
breitung und die Bewältigung der großen Rechenarbeit, die in der 
Bestimmung von nunmehr ca. 300 Bahnelementen von Bedeckungs- 
veränderlichen liegt, möglich gewesen. In seiner ganzen Allgemeinheit 
ist das Problem außerordentlich verwickelt; die klare Trennung und 
numerische Abschätzung der einzelnen Einflüsse auf die Lichtkurve, 
wie sie in der ARussellschen Methode durchgeführt ist, kann kaum 
übertroffen werden. 

Mit Einzelproblemen des Bedeckungsphänomens beschäftigt sich 
eine Anzahl von Arbeiten, die meist eine Theorie ad hoc für die Aus- 
wertung einer Lichtkurve bringen. Nur einige von ihnen sollen hier 
genannt werden. @. W. Myers?°*) untersucht den Einfluß der Abplat- 
tung der Komponenten im System ß Lyrae, A. Roberts?®) behandelt 
dieselbe Frage allgemein für enge Algolveränderliche und mit Anwen- 
dung auf das System RR Centauri. v. Hepperger?°®) entwickelt dasselbe 
Problem in sehr eleganter Weise im wesentlichen für den Fall zweier 
Minima von ungleicher Tiefe. 

Ein bequemes Rechenschema für die Bahnbestimmung mit Be- 
rücksichtigung der Randverdunkelung hat Blasko*?”) angegeben, wo- 
bei mit der Randverdunkelung der Sonne gerechnet wird. Gewisse für 
die Rechnung bequeme Abänderungen der klassischen hier behandelten 


234) Astroph. Journ. 7 (1898), p. 8. 
235) Monthly Not. 63 (1903), p. 528. 
236) Sitzber. der Akad. d. Wiss. Wien, Math.-Naturw. Kl. 118 (1909), p. 933- 
237) Ann. de l’Observatoire astron. de Moskow, II serie (1911), p. 91. — 
Dissertation O sBb31axt runa Ausroaa. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, 2. 63 


976 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Russellschen Methode der Bahnbestimmung haben J. Fetlaar??’®) und 
S. Scharbe??'”) vorgeschlagen; Gaposchkin?®?) hat sie in seiner großen 
Arbeit z. T. anwenden können; in ihr findet man auch eine Zusammen- 
stellung der Formeln. 

Aufgaben besonderer Art, die bisher nicht berücksichtigt wurden, 
entstehen für das Bedeckungsproblem in den Fällen, wo die beiden Kom- 
ponenten des Doppelsternes in eine gemeinsame Atmosphäre eingehüllt 
sind. In diesem Falle wird die Abgrenzung der Radien beider Sterne 
schwierig, und wenn man dieselbe nach den üblichen Rechenmethoden 
durchführt, ist die Beeinflussung der Lichtkurve durch die gemein- 
same Atmosphäre, bei der Veränderlichkeit des Lichtweges in der- 
selben, schwer in Rechnung zu ziehen. Zwei interessante Systeme dieser 
Art sind die Systeme & Aurigae und & Aurigae, von denen das erste 
von Guthnick und Schneller ?®®) neuerdings behandelt worden ist. 

Aus gleichzeitigen Beobachtungen der Linienintensität im Spek- 
trum, deren Veränderungen mit der Periode des Lichtwechsels des 
Systems verlaufen, kann man in diesem Falle die Weglänge in der ab- 
sorbierenden Atmosphäre abschätzen; das von den Autoren entworfene 
Bild dieses Systems, in dem die eine Komponente ein Übergigant vom 
Durchmesser der Erdbahn und vom Spektraltypus X ist, während die 
andere schwächere Komponente mit einem etwa 80fach kleineren 
Durchmesser vom B-Typus ist, kann noch nicht als abgeschlossen 
gelten; die photometrischen Erscheinungen, die das System bei solcher 
Beschaffenheit bieten muß, erfordern jedenfalls eine besondere Theorie. 

Die Bestimmung der wahren Randverdunkelung, die durch Be- 
obachtungen durch Farbfilter für die einzelnen Spektralgebiete getrennt 
festzustellen wäre, ist ebenfalls ein theoretisch noch ungelöstes Pro- 
blem, wenn hier auch die in Nr. 18 für Sonnenfinsternisse entwickelte 
strenge Methode eine theoretische Grundlage bietet. 


58. Die anderen Klassen der veränderlichen Sterne. Einteilung. 
Wenn man unter Veränderlichen alle Sterne versteht, die eine Ver- 
änderlichkeit ihrer Helligkeit aufweisen, so gehören die Bedeckungs- 
veränderlichen, die im vorigen Kapitel besprochen wurden, auch mit 
dazu; sie bilden aber insofern eine besondere Gruppe, als die Ur- 
sache des Lichtwechsels bei ihnen eindeutig bekannt ist; ihre An- 
zahl ist unter der Gesamtheit der Veränderlichen nur gering, ent- 
hält doch der letzte Katalog von Prager”) für das Jahr 1933 die 


237) Bull. of the Astronomie. Institutes of the Netherlands, NN. 58, 108, 204. 
237b) Bull. de ’Observ. Centr. Poulkowo, Nr. 94. 

238) Sitzber. d. Preuß. Akad. d. Wiss., Phys.-Math. Kl. 10 (1932). 

239) Kleine Veröff. d. Univ.-Sternwarte Berlin-Babelsberg Nr. 11. Berlin 1932. 


58. Die anderen Klassen der veränderlichen Sterne. 977 


Gesamtzahl von 5826 Sternen, bei denen ein Lichtwechsel einwand- 
frei festgestellt worden ist. Diese Anzahl ist in stetigem, schnellem 
Wachsen begriffen, besonders nachdem die fruchtbare photographische 
Methode durch die Organisation des Überwachungsdienstes des nörd- 
lichen Himmels“) es ermöglicht hat, auch die schwachen Veränder- 
lichen zu erfassen. Das außerordentlich reichhaltige, bisher angehäufte 
Beobachtungsmaterial ist bis Ende 1925 in dem dreibändigen Werke 
von G. Müller und E. Hartwig: „Geschichte und Literatur des Licht- 
wechsels der bis Ende 1925 als sicher veränderlich anerkannten Sterne 
nebst einem Katalog der Elemente ihres Lichtwechsels“ zusammen- 
gefaßt.?!) Die neuere Literatur, die Elemente des Lichtwechsels ent- 
haltend, wird jährlich von R. Prager neu bearbeitet und als ein Heft 
der kleinen Veröffentlichungen der Universitäts-Sternwarte Berlin- 
Babelsberg herausgegeben. Über den heutigen Stand unserer Kennt- 
nisse der physikalischen Eigenschaften der veränderlichen Sterne gibt 
der Beitrag von H. Ludendorff im Handbuch der Astrophysik, Bd. VI 
(Berlin 1928, Springer) einen umfassenden Überblick. 

Im Gegensatz zu den Bedeckungsveränderlichen ist die theore- 
tische Deutung der Ursachen des Lichtwechsels bei den anderen Ver- 
änderlichen zum großen Teil noch unsicher. Die Gesamtheit der Daten 
über die Form, die Amplitude und Periode des Lichtwechsels, sowie 
über die Radialgeschwindigkeiten und die Veränderungen im Spek- 
trum, die mit dem Lichtwechsel parallel laufen, läßt bis jetzt eine 
eindeutige physikalisch begründete Einteilung der Veränderlichen in 
Klassen noch nicht zu, und es sind deren verschiedene vorgeschlagen 
worden. Hier soll die Einteilung von ten Bruggencate?“*) benutzt wer- 
den, die neun Klassen veränderlicher Sterne enthält; als wesentliche 
physikalische Ursache des Lichtwechsels liegt dieser Einteilung die 
Hypothese der Pulsation oder Schwingung der Sternatmosphären zu- 
grunde. Wir beschränken uns darauf, die Methoden zu besprechen, die 
zur Kenntnis der photometrischen Daten, also der absoluten Hellig- 
keit sowie der Durchmesser und der Dichten der veränderlichen Sterne 
führen; weder eine Behandlung noch eine Kritik der Theorien des 
Lichtwechsels, die alle als unsicher zu betrachten sind, kann uns hier 
beschäftigen, viel weniger noch eine Sichtung oder Wiedergabe des 
außerordentlich reichhaltigen Beobachtungsmaterials. Die Einteilung 
von ten Bruggencate mit ihrer stichwortartigen Aufzählung der charak- 
teristischen Eigenschaften jeder Gruppe der Veränderlichen ist folgende: 


240) Sitzber. d. Preuß. Akad. d. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1928, XX. 

241) Erschienen bei Poeschel & Trepte in Leipzig: 1 (1918), 2 (1920), 3 (1922). 

242) Die veränderlichen Sterne. Ergebn. d. exakt. Naturwiss. Bd. X (1931). 
63* 


978 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


1. Kurzperiodische Cepheiden: RR Lyrae, ST Virginis. Ganz regel- 
mäßiger Lichtwechsel, Temperaturwechsel, veränderliche Radialge- 
schwindigkeit, Periode P kürzer als 1%, Spektrum B—F (Fig. 16). 

2. Klassische Cepheiden: ö Cephei, 7 Aquilae, & Geminorum. Ganz 
regelmäßiger Lichtwechsel, Temperaturwechsel, veränderliche Radial- 
geschwindigkeit, 1° < P< 40%, Spektrum F—K (Fig. 17). 

3. RV Tauri-Sterne: RV Tauri, R Sagittae. Halbregelmäßiger Licht- 
wechsel, Temperaturwechsel, veränderliche Radialgeschwindigkeit, 
304 < P< 80%, Spektrum G— M, sehr selten. 

4. Langperiodische Veränderliche: o Ceti, y Cygni. Regelmäßiger 
Lichtwechsel, Temperaturwechsel, veränderliche Radialgeschwindigkeit, 
904 < P< 600%, Spektrum K, M,N, R, S. 

5. Unregelmäßige Veränderliche: X Hereulis. Ganz unregelmäßiger 
Lichtwechsel, veränderliches Linienspektrum, geringe Radialgeschwindig- 
keitsänderungen, Spektrum K, M, N, R, Pee. 

6. R Coronae-Sterne: R Coronae borealis. Auftreten von Emissions- 
linien im Minimum, Absorptionsspektrum konstant (@, K, R, .Pee.), 
Radialgeschwindigkeit aus Absorptionslinien konstant, sehr selten. 

7. UGeminorum-Sterne: U Geminorum, SS Cygni. Unregelmäßiger 
Lichtwechsel. Auftreten von Emissionsbändern zur Zeit der Minima, 
Spektren sehr linienarm (frühe Typen?), Radialgeschwindigkeitsände- 
rungen unbekannt, sehr selten. 

8. Nova-ähnliche Veränderliche: T Pyxidis, RS Ophiuchi. Unregel- 
mäßiger Lichtwechsel, Spektren Nova-ähnlich, Linienverschiebungen 
ebenfalls Nova-ähnlich, sehr selten. 

9. Neue Sterne: Einmalige große Lichtzunahme, spektrale Ände- 
rungen, Linienverschiebungen. 


59. Die Ö Cephei-Sterne. Die zwei ersten Klassen der Veränder- 
lichen bilden eine organische Reihe bezüglich der Periodenlänge und 
des Spektraltypus. Gemeinsam ist auch das Hauptmerkmal der Üe- 
pheiden: Der schnelle Anstieg der Helligkeit bis zum Maximum und 
ihr langsamer Abfall zum Minimum. Diese Eigenschaft wird durch 
den Quotienten (M — m): P, wo M und m die Momente des Maxi- 
mums und des Minimums, P die Periode bezeichnen, charakterisiert. 
Dieser Quotient ist ein bequemes Maß der Asymmetrie der Licht- 
kurven und zeigt, daß die klassischen Cepheiden noch eine Unter- 
teilung erfordern: in solche mit Perioden von 1 bis 10—11 Tagen 
und solche mit größeren Perioden. Im allgemeinen ist (M — m): P 
von der Größenordnung 0,3—0,4, und nur für Cepheiden mit der 
kritischen Periode von 10—11 Tagen wächst der Quotient bis zu 0,5 
an, die typische Asymmetrie der Lichtkurve verschwindet, um dann 


60. Die Perioden-Leuchtkraftkurve (PLk). 979 





22 O2 03 0,4 


Fig.16. Lichtkurve von ST Virginis nach photometrischen Messungen von P. @uthnick 
(A. N. 179, p.181). P=0,411d. (Aus Zudendorff, Handb. d. Astroph. VI,2. Verlag Jul. 
Springer, Berlin.) 
wieder bei größeren Perioden deutlich hervorzutreten. Besonders stark 
ist die Asymmetrie der Lichtkurven bei den kurzperiodischen Cepheiden 
mit Perioden unter einem Tage. 

Ein wesentlicher Unterschied der kurzperiodischen und der klas- 
sischen Cepheiden tritt in ihrer räumlichen Verteilung und in ihrer 
Raumgeschwindigkeit zutage. Die letztgenannten zeigen eine deut- 
liche Verdichtung nach der Milchstraße, während die kurzperiodischen 
gleichmäßig am Himmel verteilt sind. Auch die Eigenbewegungen 
zeigen einen wesentlichen Unterschied. Aus Radialgeschwindigkeiten für 
37 Cepheiden mit P> 2% fand Strömberg **?) als mittlere Geschwindig- 
keit relativ zur Sonne 11,5 km/sec, während für 26 Cepheiden mit 
P<0,7% dieselbe Größe den Wert von 109 km/sec erreicht. Diese 
große Raumgeschwindigkeit, als besonderes Merkmal der Cepheiden mit 
kurzer Periode, unterscheidet sie von den klassischen in markanter 
bisher völlig ungeklär- _,% 
ter Weise. 

60. Die Perio- 
den-Leuchtkraftkurve 
(PLk). Im Jahre 1908 
entdeckte Miß Lea- 
vitt*) bei einer Unter- 
suchungder Sternhellig- 








[/ 
+00 







243) Astroph. Journ. 61 
(1925), p. 363; Mt. Wilson 
Contr. p. 193. 


244) Harvard Ann. 60 Fig.17. Lichtkurve von d Cephei nach lichtelektrischen Mes- 

sungen von P. @uthnick (A.N. 208, p.171). P= 5,3664, (Aus 

(1908), P- 105 und Harvard Ludendorff, Handb. d. Astroph. VI, 2. Verlag Jul. Springer, 
Circ. p. 173 (1912). Berlin.) 






+0,30 


980 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


keiten der kleinen Magellanschen Wolke eine große Reihe veränder- 
licher Sterne mit sehr verschiedenen Perioden des Lichtwechsels, deren 
Liehtkurven dem Öö Cephei-Typus entsprachen. Da wegen der großen 
Entfernung des Sternhaufens die Abstände der einzelnen Sterne von 
der Erde als gleich groß angesehen werden konnten, unterscheiden sich 
die scheinbaren Helligkeiten (in Gr.kl.) derselben von ihren absoluten 
Werten (bezogen auf den Abstand von 10 Parsec) nur um eine additive 
Konstante. Trägt man die scheinbaren Helligkeiten als Gr.kl. gegen- 
über dem Logarithmus der Periode in ein Diagramm auf, so erhält 
man die PLk von Miß Leavitt, die einen auffallend glatten Verlauf 
nimmt, also eine in der Natur des Lichtwechsels begründete Gesetz- 
mäßigkeit offenbart (Fig. 18). Diese Gesetzmäßigkeit, deren weitere Aus- 
gestaltung und volle Ausnützung zum Studium der Entfernungen in und 
außerhalb unseres Sternsystems wir in erster Linie Shapley*®) zu ver- 
danken haben, erfordert noch eine Festlegung des Nullpunktes oder 
der absoluten mittleren Leuchtkraft der Cepheiden. Zu diesem Zwecke 
bestimmt man nach dem Vorschlage von E. Hertzsprung**°) die mitt- 
lere Parallaxe und somit die mittlere Leuchtkraft der in unserem 
engeren Sternsystem bekannten klassischen Cepheiden, deren Perioden 
zwischen 1 und 10 Tagen liegen. Im wesentlichen geschieht das mit 
Hilfe der Eigenbewegungen. Bei der Benutzung desselben Nullpunktes 
für die Sterne in entfernten Sternsystemen ergibt sich die Möglichkeit, 
alle Cepheiden in eine PLk zu vereinigen und diese zur Bestimmung 
des Abstandes entfernter Sternhaufen und Spiralnebel, in denen Ce- 
pheiden beobachtet werden, zu benutzen. Die Voraussetzung dabei ist, 
daß der Lichtwechsel der Cepheiden innerhalb und außerhalb unseres 
engeren Sternsystems demselben physikalischen Vorgange entspricht, 
was insofern nicht über alle Zweifel erhaben ist, als die anderen Merk- 
male des Lichtwechsels außer der Lichtkurve bei den schwachen 
Sternen der entfernten Systeme (Radialgeschwindigkeit, Veränderungen 
im Spektrum) nicht nachgeprüft werden können. Außerdem setzt die 
Methode gleiche mittlere absolute Leuchtkräfte bei den Cepheiden 
unseres und der entfernten Sternsysteme voraus. Dabei sind in den 
kugelförmigen Sternhaufen die Perioden des Lichtwechsels kleiner 
(P<1%), dagegen bei den Spiralnebeln größer (P > 10%) als die in 
unserem Sternsystem für die Bestimmung des Nullpunktes benutzten 
Perioden. 

Die PLk konnten aber für die Sternhaufen einerseits und die 
Spiralnebel andererseits innerhalb der dort vorkommenden Perioden ge- 


245) Star Clusters, Harvard Monograph 2 (1930). 
246) Astr. Nachr. 196 (1913), p. 201. 


61. Die Perioden - Spektrenkurve (PSk). 981 


trennt konstruiert wer- 
den, und diese Kurven 
stimmen mit der PLk 
für die kleine Magella- 
nische Wolke nach einer 
Parallelverschiebung 2° 
(zur Reduktion auf glei- -3+ 
che Entfernung) in den -2» 
gemeinsamen Teilen 
recht gut überein. Die 
Magellanschen Wolken 
sind aber mit unserem 
Sternsystem auch in der 
Beziehung vergleichbar, 
als in ihnen alle Typen 





0,0 
"06-04-0200 020% #0 B2 934 76 


si Fig.18. Endgültig angenommene photographische Perioden- 
der Cepheiden, sowohl Leuchtkraftkurve. (Nach Shapley, Star Clusters p. 135.) (Aus 
die kurz- als die lang- ten Bruggencate, Ergebn. d. exakt. Naturwiss. Bd. X. Verlag 


Jul. Springer, Berlin.) 
periodischen vertreten 
sind. Die von Shapley”*') abgeleitete PLk, die den ganzen Bereich der 
vorkommenden Perioden umfaßt, ist in Fig. 18 wiedergegeben. 
Die Tabelle 18 zeigt den Verlauf der absoluten Helligkeiten nu- 
merisch, dabei sind die „absoluten photographischen Größen“ Mittel- 
werte aus den Helligkeiten im Maximum und im Minimum. 











Tabelle 18. 
Die photographische Perioden-Leuchtkraftkurve. 

log P Abs. phot. Größe log P Abs. phot. Größe 
— 0,6 0,00” +0,8 — 1,53” 
— 04 0,00 +10 — 1,89 
BR — 0,07 +12 — 2,26 

0,0 — 681 +1,4 — 2,68 
+02 — 0,61 re SEN 
+0,4 — 0,93 +18 Bl 
+ 0,6 — 1,22 + 2,0 — 4,60 














Die Helligkeiten der kurzperiodischen Cepheiden (P << 0,8) scheinen 
hiernach konstant zu sein. Das Anwachsen der Helligkeit mit der Periode 
beginnt bei P=1. 

61. Die Perioden-Spektrenkurve (PSk). Für den organischen Zu- 
sammenhang der kurzperiodischen und der klassischen Cepheiden über 
die RV Tauri-Sterne bis zu den langperiodischen Veränderlichen spricht 


247) Star Clusters, Harvard Monograph 2 (1930), p. 135. 


982 VI2,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


die von Shapley und Miß Walton?*?) entdeckte Beziehung der Periode 
des Lichtwechsels zum Spektraltypus. Diese Beziehung ist in der 
Perioden-Spektrenkurve (PSk) in Fig. 19 nach Shapley wiedergegeben. 
Das Fortschreiten nach den späteren Spektraltypen mit wachsender 
Periode offenbart sich hier, was aus dem Diagramm nicht immer er- 
sichtlich ist, nicht nur von Gruppe zu Gruppe (kurzperiodische I, 
klassische Cepheiden e, RV Tauri-Sterne ©, langperiodische Veränder- 
liche x), sondern auch innerhalb jeder Gruppe. Die Streuung um den 
mittleren Spektraltypus beträgt freilich im Durchschnitt 2,1 Spektral- 
einheiten. Der Zusammenhang der Periode des Lichtwechsels mit der 
Temperatur ist trotzdem unzweideutig festgestellt, außerdem tritt der 
organische Zusammenhang der beiden ersten Gruppen der Veränder- 
lichen sowohl untereinander als mit den folgenden Typen, die nicht 
mehr zu den Cepheiden gezählt werden, deutlich hervor. 


62. Das Leuchtkraft-Spektraltypendiagramm. Die beiden Bezie- 
hungen zwischen Leuchtkraft und Periode (PLk) und Spektrum und 
Periode (PSk) können zu einer Beziehung zwischen den drei Variablen 
Spektraltypus (5), Leuchtkraft (L) und Periode (P) verbunden werden. 
Trägt man in das Russell-Diagramm, das den Spektraltypus und die 
Leuchtkraft als Koordinaten hat, die Cepheiden ein, so erhält man die 
ausgezogene Kurve in Fig. 20. Hier sind die angeschriebenen Zahlen 
die Log P. Die Schraffierung deutet die Häufigkeit der Sterne im 
Russell-Diagramm an, wobei die Übergiganten aber nicht eingetragen 
sind. Wir finden also die Cepheiden an der Stelle der größten Leucht- 
kräfte als Übergiganten, und zwar entsprechen den kleineren Leucht- 
kräften und kurzen Perioden die höheren Temperaturen, den größeren 
Leuchtkräften und langen Perioden die tieferen Temperaturen der gelben 
und roten Riesensterne. Diese Beziehung gilt auch für die RV Tauri- 
Sterne und die langperiodischen Veränderlichen und zeigt uns, daß 
der Lichtwechsel aller dieser Sterne nur bei einer bestimmten Kom- 
.bination von Leuchtkraft 

und Temperatur möglich ist. 
Bei bestimmten Werten von 
L und 7 haben wir, soweit 
Veränderlichkeit eines Ster- 
nes vorliegt, eine bestimmte 
Periode des Lichtwechsels 
zu erwarten. Man kann es 
als notwendige (wenn auch 


40 


70 


co 


40 
MO 





0% [7 0% 08 72 76 IE 
Fig.19. Die Perioden-Spektrenkurve. (Nach Shapley . 
Star Clusters p. 137.) (Aus ten Bruggencate, Ergebn. d. 248) Harvard Circular,p. 313 
exakt. Naturwiss. Bd. X. Verlag Jul. Springer, Berlin.) (1927). 


62. Das Leuchtkraft-Spektraltypendiagramm. 983 





nicht hinreichende) Be- = 


dingung des Lichtwech- w 

sels dergenanntenKlas- _, 

sen der Veränderlichen rg 

auffassen, daß der Bild- .g3| + 
1 L, 

punkt des Sternes in 0 

den entsprechenden Ort | | | | II 

M 

















der Perioden - Leucht- 
kraft-Temperaturkurve 
(PLTk) fällt. 

Dieser Satz gilt ,, 
nicht für die kurzperio- 
dischen Cepheiden, die 
in der PLTk deshalb +5 
schwereinzutragensind, | 
weil sie keinen eindeu- a 
tigen Zusammenhang P7) Ap [7 65 [A M, 


der Leuchtkraft mit der aeg 
a ’ Fig. 20. Die Perioden - Leuchtkraft- Spektren- Beziehung. (Aus 
Periode und auch zwi- ven Bruggencate, Ergebn. d. exakt. Naturwiss. Bd. X. Verlag 


schen Spektraltyp und Jul. Springer, Berlin.) 

Periode aufweisen. Sie liegen im Aussell-Diagramm unabhängig von 
der Periode zwischen den Leuchtkräften — 0,5” und + 0,5” und den 
Spektraltypen D, und F,. 

Mit Hilfe der Eddingtonschen Beziehung zwischen der Masse und 
der Leuchtkraft“) kann man nun auch den Wert der mittleren 
Dichte aus der PLTk bestimmen. Dazu entnimmt man die zu einer be- 
stimmten Periode gehörigen Werte von ZL und 7. Das Masse-Leucht- 
kraftgesetz gibt uns den zu L gehörigen Wert der Masse und das 
Stefan-Boltzmannsche Gesetz den Wert der Leuchtkraft als Funktion 
des Radius und der Temperatur: L—= zk R?T* (k bekannte Konstante); 
hieraus findet sich der Radius R für einen Veränderlichen mit der 
Periode P. 

Miß Payne”) hat auf diese Weise die Werte der mittleren Dichte 
für eine große Reihe von Veränderlichen der genannten Typen be- 
rechnet und gefunden, daß zwischen den Dichten g und den Perioden 
der Veränderlichen die Beziehung besteht 

1 


rn 
4 

















+2 























—z 


























Sonne 


























249) Eddington, Der innere Aufbau der Sterne, p. 176 (1928). 
250) Payne, The Stars of High Luminosity, Harvard Monograph 3 (1930) 
p- 218. 


984 VIs,27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


Diese Beziehung ist für die Erklärung des Lichtwechsels von 
größter Bedeutung, kann aber eine Entscheidung über die Art der 
dynamischen Erklärung des Lichtwechsels allein nicht herbeiführen, 
denn in verschiedenen dynamischen Theorien spielt das Produkt P?o 
eine wesentliche Rolle. 

Für die kurzperiodischen Cepheiden, die in der PLTk nicht Platz 
haben, kann die obige Beziehung zwischen Periode und Dichte nicht 
gelten. 


63. Die langperiodischen Veränderlichen. Die Lichtkurven dieser 
Klasse von Veränderlichen sind bezüglich der Periode und auch der 
Amplitude weniger regelmäßig als die der Cepheiden. Ihre Perioden 
liegen fast ausnahmslos über der Grenze von 90 Tagen. Die photo- 
graphische und visuelle Amplitude beträgt mehrere Gr.kl. Die gute 
Einordnung dieser Sterne von durchweg spätem Spektraltypus (X, M, 
N, R) in die PLTk zeigt, daß sie ebenfalls, zum mindesten während 
des Maximums der Leuchtkraft, zu den Übergiganten zu zählen sind. 
Auffallend sind aber die großen Amplituden des Lichtwechsels. Nun 
zeigen aber die von Pettit und Nicholson?) gemessenen radiometri- 
schen Amplituden des Lichtwechsels, daß auch diese Diskrepanz gegen 
die ö Cepheisterne verschwindet. Die mittlere radiometrische Ampli- 
tude von neun langperiodischen Veränderlichen beträgt nur 0,71”, 
während die mittlere visuelle Amplitude von 89 Cepheiden 0,83 be- 
trägt; die bolometrische ist noch etwas kleiner. Für die genannten neun 
Veränderlichen beträgt dabei die visuelle Amplitude ganze 6,3 Gr.kl. 
Dieser enorme Betrag erklärt sich aber durch die Selektivität der 
visuell zugänglichen Strahlung, wobei in dem wirksamen Gebiete 
starke Absorptionsbanden mit großer Veränderlichkeit von Einfluß 
sind. Die Ö Cephei-Sterne haben solche Banden nicht aufzuweisen, 
und es scheinen gerade diese und die mit ihnen verbundenen Ab- 
sorptionsbedingungen in den Atmosphären das besondere Merkmal der 
langperiodischen Veränderlichen zu sein, während sonst der organische 
Zusammenhang dieser Sterne mit den Cepheiden kaum bezweifelt wer- 
den kann. 


64. Die halbregelmäßigen periodischen Veränderlichen werden 
neuerdings von Gerasimovic ”?), der dieselben eingehend behandelt hat, 
in zwei Gruppen geteilt, von denen nur eine, die RV Tauri-Sterne, gut 
in die PLTk hineinpaßt und somit unzweideutig zu derselben Ent- 
wicklungslinie gehört, wie die früher besprochenen Klassen. Unter 


251) Astroph. Journ. 68 (1928), p. 279; Mt. Wilson Contr. 369. 
252) Harvard Circ. 321, 323, 333, 338, 340, 341 u. 342 (1927—1929). 


65. Die seltenen Typen veränd. Sterne: RCoronae, U Geminorum und Novae. 985 


halbregelmäßigen Veränderlichen versteht man überhaupt solche, die 
starke Änderungen in der Form der Liehtkurve aufweisen. Ein ge- 
naueres Studium der RV Tauri-Sterne zeigt aber, daß eine bestimmte 
Periodizität des Lichtwechsels nachweisbar ist, wobei Hauptminima 
(Hm) und Nebenminima (Nm) zu unterscheiden sind. Letztere liegen 
in der Mitte zwischen zwei Hm. Dabei ist aber die Helligkeitsdiffe- 
renz zwischen Hm und Nm nicht konstant. Die Nm können manch- 
mal ganz aussetzen. Nur wenn man als Periode P die Zeit zwischen 





u ar II, SL 
YYNY Y 


9600 9650 9%0 9750 9800 9850 2900 


Fig. 21. Lichtkurve von RV Tauri nach van der Bilt. (Aus Ludendorff, 
Handb. d. Astroph. VI, 2. Verlag Jul. Springer, Berlin.) 





























zwei aufeinanderfolgenden Minima ansieht, folgen die RV Tauri-Sterne 
der Periodenspektralkurve. Es ist also der Charakter des Lichtwechsels 
durch den Spektraltypus und die effektive Temperatur bestimmt; diese 
Sterne bilden scheinbar ein Verbindungsglied zwischen den Cepheiden 
und den langperiodischen Veränderlichen, wobei aber eine Erklärung 
des Vorhandenseins der beiden Periodizitäten zunächst nicht mög- 
lich ist. 

Eine andere Gruppe halbregelmäßiger Veränderlicher, von denen 
Gerasimovic vier aufzählt (Z Leo, V UMi, TT Per, SS Cep), fallen dank 
ihrem späten Spektraltypus (M) aus der PSk heraus. Andere Ver- 
änderliche derselben Klasse haben so starke Schwankungen in der 
Periode, daß sich eine bestimmte Periode für dieselbe überhaupt nicht 
ableiten läßt. Gerasimovic bezeichnet sie als zyklische Veränderliche 
und zählt zwölf von ihnen auf, sie gehören auch meist zum M-Typus. 


65. Die seltenen Typen veränderlicher Sterne: R-Coronae, U-Ge- 
minorum und Novae. Die R-Coronae-Sterne weisen plötzlich ganz un- 
regelmäßig auftretende Helligkeitsabnahmen auf, die bis zu 6—8 Gr.kl. 
betragen können. Sie gehören meistens entweder dem R-Typus (wie 
RS Telescopii) oder dem @-Typus (T Tau., SU Tau.) an, und da diese 
Spektraltypen nahe verwandt sind, scheint der dem Lichtwechsel zu- 
grunde liegende physikalische Vorgang irgendwie damit zusammen- 
zuhängen. Der am besten studierte Vertreter dieser seltenen Gruppe 
der Veränderlichen (man kennt 11 Sterne dieser Art) ist der Stern 
R Coronae borealis. Er weist eigentümliche Änderungen des Spektrums 


986 VI», 27. Erich Schoenberg. Photometrie der Gestirne. 


während des Lichtwechsels auf, wobei die Emissionslinien des Ti* und 
Cat sich im Minimum in Absorptionslinien und Banden verwandeln. 

Die U-Geminorum-Sterne zeigen im Gegensatz zu den R-Coronae- 
Sternen unregelmäßige Helligkeitszunahmen. Sie sind ebenfalls noch 
sehr wenig erforscht. Sichergestellt ist eine wesentlich höhere Tem- 
peratur als bei den R-Coronae-Sternen. Es werden z. Z. 11 Sterne zu 
diesem Typus gerechnet, darunter SS Aurig., SS Cygni. 

Als Nova-ähnliche Veränderliche werden Sterne wie T Pyxidis 
und RS Ophiuchi bezeichnet, die ganz ähnliche spektrale Verände- 
rungen während des Lichtwechsels aufweisen wie die Novae. Man hat 
es hier wahrscheinlich mit früheren Novae zu tun, die noch immer 
einen mehr oder weniger unregelmäßigen Lichtwechsel aufweisen. Das 
Gebiet der neuen Sterne soll hier aber nicht behandelt werden. 


(Abgeschlossen im August 1932.) 


VI2,28.. KOSMOGONIE. 


Von 
H. KIENLE 


IN GÖTTINGEN. 


(Mit 3 Figuren. 


Inhaltsübersicht. 


I. Einleitung. 
1. Kosmogonie. 


2. Entwicklung der Theorien. 
3. Methoden der Kosmogonie. 


II. Innerer Aufbau und normale Sternentwicklung. 


4. Zustandsgrößen. 

5. Zustandsgleichungen. 

6. Zustandsverteilungen, 

7. Alter und Energieerzeugung. 

8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. 


III. Dynamik der Entwicklungsvorgänge. 


9. Rotationsdeformationen. 
10. Gezeitendeformationen. 
11. Schwingungen und Pulsationen. 
12. Gezeitenreibung. 
13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen. 
14. Massenänderungen und Energieaustausch. 


IV. Die Entstehung des Planetensystems. 


15. Gesetzmäßigkeiten des Zustandes, 
16. Rotationshypothesen. 

17. Katastrophenhypothesen. 

18. Monde und Kleinkörper. 


V. Einzelprobleme. 
19. Doppelsterne. 


20. Veränderliche Sterne. 
21. Novae, Planetarische Nebel und weiße Zwerge. 
22. Nebel und Sternsysteme. 


Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 64 


988 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Literatur. 


Zusammenfassende Darstellungen und Berichte, unter Ausschluß der im 

Rahmen populärer Bücher und Sammelwerke erschienenen: 

©. Wolf, Les hypotheses cosmogoniques, Paris 1885. 

A. M. Clerke, Modern Cosmogonies, London u. New York 1906. 

T.J. J. See, Researches on the evolution of the stellar systems. Vol. I (1896), 
vol. II (1910). 

H. Poincare, Legons sur les hypotheses cosmogoniques, Paris 1911. 

A. Veronnet, Les hypothe&ses cosmogoniques modernes, Paris 1914. 

J. H. Jeans, Problems of cosmogony and stellar dynamics, Cambridge 1919. (Ab- 
kürzend zitiert als „Problems“.) 

J. Bosler, L’evolution des 6toiles, Paris 1923. 

F. Nölke, Entwicklung im Weltall. Probleme der kosmischen Physik VIII, Ham- 
burg 1926. 

A. Veronnet, Constitution et Evolution de l’univers, Paris 1926. 

A. Veronnet, Figures d’equilibre et Cosmogonie, Paris 1926. 

J. H. Jeans, Astronomy and Cosmogony, Cambridge 1928. (Abkürzend zitiert als 
„A.C.*) 

Die verschiedenen Theorien der Entstehung des Planetensystems sind kri- 
tisch behandelt in: 

F. Nölke, Der Entwicklungsgang unseres Planetensystems. Berlin-Bonn 1930. 
(Erstmalig erschienen unter dem Titel: „Das Problem der Entwicklung un- 
seres Planetensystems, Berlin 1908.) 

Über die „Welteislehre“, die von der folgenden Darstellung grundsätzlich 
ausgeschlossen wurde, orientieren zahlreiche Schriften aus dem Verlag Voigt- 
länder, Leipzig. 


1. Einleitung. 


l. Kosmogonie. Die Kosmogonie gehört zu den Gebieten der 
exakten Naturwissenschaften, auf denen die Arbeiten der Außenseiter 
und Phantasten die der eigentlichen Fachleute an Zahl und Umfang 
weit übertreffen. Wie das perpetuum mobile die Erfinder nimmer ruhen 
läßt und für das Rätsel der Schwerkraft alljährlich neue Lösungen 
gegeben werden, so findet die Frage nach dem Werden und Vergehen 
der Welt immer wieder neue Beantwortungen. Und wenn auch fast 
alle der einmal aufgestellten Theorien durch andere widerlegt und ab- 
gelöst worden sind, so behaupten sie sich doch heute noch nahezu 
unverändert nebeneinander oder tauchen in leicht abgewandelter Form 
immer wieder auf. Dies ist nicht anders zu erwarten, wenn gesichertes 
Wissen sich auf ein Minimum reduziert und Hypothesen die fast aus- 
schließliche Grundlage bilden. 

Wenn trotzdem im Rahmen einer Enzyklopädie der mathema- 
tischen Wissenschaften der Versuch gemacht werden soll, dem mensch- 


1. Kosmogonie. 989 


lichen Verlangen nach einer Abrundung des astronomischen Welt- 
bildes so weit Rechnung zu tragen, als es mit den Aufgaben einer 
exakten Naturforschung verträglich erscheint, so möge die Begrün- 
dung mit den Worten H. Poincares') gegeben werden: 

«ll est impossible de contempler le spectacle de l’univers &toile 
sans se demander comment il s’est forme; nous devrions peut-&tre 
attendre pour chercher une solution que nous ayons patiemment 
rassemble les elements, et que nous ayons acquis par lä quelque 
espoir serieux de la trouver; mais si nous tions si raisonnables, si 
nous etions curieux sans impatience, il est probable que nous n’au- 
rions jamais eree la Science et que nous nous serions toujours con- 
tentes de vivre notre petite vie. Notre esprit a done reclame impe- 
rieusement cette solution, bien avant qu’elle füt müre, et alors qu’il 
ne possedait que de vagues lueurs, lui permettant de la deviner 
plutöt que de l’attendre.» 

Es kann allerdings nicht unsere Aufgabe sein, Vollständigkeit in 
der Aufführung der Theorien noch auch in der Angabe der umfang- 
reichen Literatur anzustreben. Wir müssen uns vorbehalten, Theorien, 
die vom allgemein astronomischen Standpunkt aus als abwegig er- 
scheinen, von der Darstellung auszuschließen. Die Grenzen sind schwer 
zu ziehen; denn die Beiträge der Fachwissenschaftler zu den Pro- 
blemen der Kosmogonie sind keineswegs über die Kritik erhaben. 
Man begegnet vielmehr häufig einer gewissen Überspannung der Prin- 
zipien, ir der Kritik alter Hypothesen sowohl wie bei der Aufstellung 
neuer. Es wird leicht übersehen, daß wir einer viel zu großen Mannig- 
faltigkeit der Erscheinungen und Kräfte gegenüberstehen, als daß ein 
und dasselbe Prinzip — es sei denn eines der ganz allgemeinen und 
daher in Beziehung auf den praktischen Einzelfall „farblosen“ — zur 
Erklärung alles Geschehens ausreichte. Und man vergißt gern, daß 
die aus einem zum Zweck der mathematischen Behandlung idealisierten 
Problem gezogenen Schlußfolgerungen unter Umständen nur Schein- 
argumente sind, wenn in dem natürlichen Problem wesentliche Teile 
in ihrer Bedeutung unterschätzt werden. 

Wenn die Laplaceschen Vorstellungen über die Entstehung des 
Planetensystems sich als unhaltbar erwiesen haben, so darf man des- 
halb den Grundgedanken eines durch Rotation instabil werdenden 
Gasballs nicht überhaupt verwerfen wollen. Wenn gewisse Gruppen 
von Doppelsternen sich nicht mit einer Theorie der Teilung rotieren- 
der Massen in Einklang bringen lassen, so darf man diesen Prozeß 

1) H. Poincare, Legons sur les hypotheses cosmogoniques, 2. edition. Paris 
1913. Preface p. XLIX. 

64* 


990 VI2,28. H. Kienle. Kosinogonie. 


nicht kurzerhand ganz ausschließen. Und wenn sich umgekehrt etwa 
gewisse Eigentümlichkeiten im Planetensystem auf die „Einfangung“ 
kleinerer Massen durch größere zurückführen lassen, so darf man 
nicht, in Überspannung des Prinzips, alle Arten kosmischer Systeme 
sich durch „Einfangung“ zusammenfinden lassen. 

2. Entwicklung der Theorien. Als Ausgangspunkte für eine 
wissenschaftliche Behandlung kosmogonischer Fragen können die Ver- 
suche von Kant und Laplace betrachtet werden. Durch sie sind die 
beiden Grundtypen von Hypothesen in die Literatur eingeführt wor- 
den, die in der Folgezeit das Feld, zum Teil gemeinsam, zum Teil 
abwechselnd, beherrschten: Die Meteoritenhypothese (Kant) und die 
Nebularhypothese (Laplace). Kant”), der selbst als Quelle Th. Wright?) 
anführt, scheint einen — ihm unbekannt gebliebenen — Vorgänger in 
P. Esteve*) gehabt zu haben. Ohne Kenntnis des Werkes Kants be- 
wegt sich Lambert?) einige Jahre später in ganz ähnlichen Speku- 
lationen über den Bau des Weltalls. Laplace®) hat seine Theorie in 
knappen allgemeinen Zügen erstmalig der zweiten Auflage seiner „Ex- 
position du systeme du monde“ angefügt. Er erwähnt, 40 Jahre nach 
Kant, an Vorgängern nur Bufon‘), in dessen Versuch, die Ent- 
stehung der Planeten auf den Zusammenstoß eines Kometen mit der 
Sonne zurückzuführen, man den ersten Ansatz zu der heute im Vorder- 
grund der Diskussion stehenden Gezeitenhypothese erblicken kann.®) 

Kants Theorie scheint erst um die Mitte des 19. Jahrhunderts 
zur allgemeinen Kenntnis weiterer Kreise gelangt zu sein.”) Diese 

2) I. Kant, Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels, oder 
Versuch von der Verfassung und dem mechanischen Ursprunge des ganzen Welt- 
gebäudes nach Newtonischen Grundsätzen abgehandelt. Ohne Angabe des Ver- 


fassers. Königsberg und Leipzig 1755. 

3) Th. Wright, An original theory and new hypothesis of the universe, 
London 1750. 

4) Vgl. Kant-Studien 28 (1923), p. 193. 

5) J. H. Lambert, Kosmologische Briefe über die Einrichtung des Weltbaues, 
Augsburg 1761. 

6) Laplace, Exposition du systeme du monde. Seconde Edition, Note VII, 
Paris 1796. Troisieme &dition, livre cinqui&me. Chap. VI. Paris 1808. 

7) Buffon, Histoire naturelle, Paris 1745. 

8) Über andere mehr oder weniger phantastische ältere Theorien vgl. 
J.J.v. Littrow, Die Wunder des Himmels, Stuttgart 1843. 

9) In der ersten Auflage des unter Anm. 8 genannten Werkes ist nur La- 
place genannt. In der zweiten schreibt Littrow im Anschluß an die ausführliche 
Darstellung der Laplaceschen Kosmogonie: „Endlich wollen wir erwähnen, daß 
dieselbe Hypothese mit allen ihren Hauptmomenten schon früher von einem 
Manne aufgestellt worden ist,... Kant hat... aus denselben drei allgemeinen 
Erscheinungen unseres Planetensystems dieselben Folgerungen abgeleitet.“ 


2. Entwicklung der Tbeorien. 991 


Kenntnis war allerdings nicht sehr tief, denn die Theorie wurde, in 
Verkennung ihres Grundgedankens, mit der des Laplace zusammen- 
geworfen, so daß in die Literatur der Folgezeit-eine „Kant-Laplace- 
sche Kosmogonie“ überging, die je nach dem Geschmack des Dar- 
stellers mehr von der einen oder von der anderen der beiden Theo- 
rien übernahm. 

Wesentliche Fortschritte über die im Grunde noch fast aus- 
schließlich spekulative Beschreibung hinaus wurden erst erzielt, als 
Roche!!!) der Entwicklung der Laplaceschen Nebelsonne eine mathe- 
matische Grundlage zu geben vermochte, Maxwell!?) seine Unter- 
suchungen über die Stabilität des Saturnringes bekanntmachte, die 
Untersuchungen über Gleichgewichtsfiguren'?) rotierender Massen bis 
zu den birnenförmigen Figuren vorstießen, und die Entdeckungen auf 
dem Gebiete des restringierten Dreikörperproblems'*) der „Einfang- 
theorie“ Nahrung gaben. Um die Jahrhundertwende trat die Laplace- 
sche Theorie in ihrer Urgestalt stark in den Hintergrund; die „Meteo- 
ritenhypothese“ Lockyers'’) und die „Planetesimalhypothese“'®) von 
Chamberlin und Moulton lösten sie ab. 

Gleichzeitig aber bereitete sich eine Verschiebung des Schwer- 
punktes der kosmogonischen Untersuchungen vor. Galt bis dahin 
unser Planetensystem als Normalfall kosmischer Entwicklung, nach 
dessen Muster man Systeme beliebig hoher Ordnung entstehen lassen 
konnte, so zielt die Entwicklung der letzten Jahrzehnte unzweideutig 
dahin, die Fülle der unserem System eigentümlichen Gesetzmäßig- 
keiten als das Ergebnis eines seltenen Ausnahmefalles kosmischen Ge- 
schehens zu betrachten, und einen deutlichen Unterschied zu machen 
zwischen der Entwicklung von Weltsystemen und von einzelnen 
Sternen. Die Wurzeln dieser Umwertung sind zu suchen in den vor- 
genannten Arbeiten über die Dynamik der Entwicklungsvorgänge, die 
eine quantitative Prüfung der einzelnen kosmogonischen Hypothesen 
ermöglichten; in den Fortschritten der empirischen Astronomie und 


10) Roche, Memoire sur la figure des atmospheres des corps celestes, M&m. 
de l’Acad. de Montpellier. Vol. 2 (1854), p. 399. 

11) Roche, Essai sur la constitution et l’origine du systeme solaire, 1. c. 
Vol. 8 (1873), p. 235. 

12) J.C. Maxwell, Essay on the stability of the motion of Saturn’s rings, 
Cambridge 1859. 

13) Vgl. Encykl. VIe, 21 ($. Oppenheim). 

14) Vgl. Encykl. VI, 19 (H. Samter). 

15) J. N. Lockyer, The Meteoric Hypothesis, London 1890. 

16) Vgl. T.C. Chamberlin, The two Solar Families, Chicago 1928, wo sich 
alle einschlägigen Literaturangaben finden. 


992 VI2,28, H. Kienle. Kosmogonie. 


Astrophysik, die eine Fülle neuer und verschiedenartiger kosmischer 
Objekte der Beobachtung und der Theorie zugänglich machten; vor 
allem aber in der durch J. R. Mayer, H.von Helmholtz, H. Lane, A. Ritter, 
W.Thompson, A. Schuster und R. Emden‘) eingeleiteten Entwicklung 
der Thermodynamik der Himmelskörper, die zu einer mathematisch- 
physikalisch begründeten Theorie des Sternaufbaus führte und die 
entscheidende Bedeutung der Strahlungsprobleme in den Vordergrund 
rückte. Die Namen K. Schwarzschild, A. S. Eddington, J. H. Jeans, 
E. A. Milne, H. N. Russell und H. Vogt bezeichnen die letzten Etappen 
auf diesem Wege, auf dem wir die Hoffnung geschöpft haben, wenig- 
stens Teile einer wissenschaftlich begründeten Kosmogonie zu be- 
sitzen, wenn es sich auch vielfach mehr um Einschränkungen der 
Möglichkeiten handelt als um positive und eindeutige Aussagen über 
das „Wie?“. 

3. Methoden der Kosmogonie. Entsprechend ihrem stark speku- 
lativen Charakter geht die Kosmogonie auf zwei verschiedenen Wegen 
vor, die man etwa so kennzeichnen kann '®): 

a) Man gibt einen — irgendwie idealisierten — Anfangszustand und 
bestimmte wirkende Kräfte vor und verfolgt die Entwicklung mit 
den zu Gebote stehenden mathematischen Hilfsmitteln. Der Ver- 
gleich der theoretisch erlangten Entwicklungsstufen mit den am 
Himmel beobachtbaren Objekten liefert Kriterien für die Brauch- 
barkeit der Theorie. 

b)Man versucht unter Voraussetzung einer im einzelnen näher zu 
definierenden Stationarität aus der beobachtbaren Verteilungs- 

. funktion der Zustände verschiedener Objekte die zeitliche Auf- 
einanderfolge der Zustände des Einzelobjektes abzuleiten. 

Im allgemeinen überschneiden sich beide Wege vielfach; die 
praktischen Methoden sind fast durchweg „gemischt“ und ergänzen 
sich gegenseitig. Daß man besonders auf dem zweiten Weg, auf dem 
unter anderem die Riesen-Zwerg-Theorie der Sternentwicklung ge- 
funden wurde!?-#), Gefahren ausgesetzt ist, leuchtet ein. Man wird 

17) Vgl. Encykl. VI2,24 (R. Emden). 


18) H. Kienle, Vjschr. der Astr. Ges. 59 (1924), p. 158. 
19) J. N. Lockyer, The Chemistry of the Sun, London 1887. 


20) A The Meteorice Hypothesis, London 1890. 

21) A The Sun’s Place in Nature, London 1897. 

22) & Inorganie Evolution, London 1902. 

23) 5 Proc. Roy. Astr. Soc. London 67 (1901), nr. 40. 


24) A. Schuster, The evolution of solar stars, Ap. Journ. 17 (1903), p. 165. 
25) J. N. Lockyer, Proc. Roy. Astr. Soc. London 73 (1904), nr. 492. 
26) . Proc. Roy. Astr. Soc. London 76 (1905), nr. 508. 


3. Methoden der Kosmogonie. 4. Zustandsgrößen. 993 


stets anstreben müssen, die Wahrscheinlichkeit des gezeichneten Ent- 
wicklungsweges durch eine quantitative Theorie der Entwicklungs- 
kräfte zu erhärten. Aber auch die auf dem ersten Wege gefundenen 
Resultate bleiben vielfach unbefriedigend, wenn es nicht gelingt, die 
Mannigfaltigkeit der von der Theorie vorausgesagten möglichen Zu- 
stände so weit einzuschränken, daß sie identisch wird mit der Man- 
nigfaltigkeit der tatsächlich in der Natur verwirklichten Zustände. 


II. Innerer Aufbau und normale Sternentwicklung. 


4. Zustandsgrößen. Anzahl und Art der voneinander unabhängigen 
Parameter anzugeben, die den physikalischen Zustand und die Ent- 
wicklung kosmischer Materie eindeutig festlegen, ist zur Zeit noch 
kaum möglich. Die Hauptschwierigkeit scheint darin zu liegen, daß 
der Beobachtung nur gewisse Integralwerte zugänglich sind, und auch 
diese nur in sehr beschränktem Umfang: die Gesamtmasse — nur bei 
Gliedern eines Doppelsternsystems hypothesenfrei zu berechnen —, die 
totale Leuchtkraft — visuell, photographisch oder bolometrisch —, die 
spektrale Verteilung der ausgestrahlten Energie und die mit deren 
Hilfe abgeleiteten effektiven Temperaturen, Durchmesser und mittleren 
Dichten. In die letztgenannten Größen, ebenso wie in die bolometri- 
schen Leuchtkräfte gehen bereits wesentliche Voraussetzungen über 
die Natur der Sternstrahlung ein, vorab die Gültigkeit des Planck- 
schen Gesetzes. 

Fassen wir den Begriff der Zustandsgröße in dem weitesten kos- 
mogonischen Sinn, so haben wir noch hinzuzufügen: die Geschwindig- 
keit des Schwerpunktes relativ zu einem vorgegebenen Koordinaten- 
system und die Rotation um bestimmte Achsen (Drehimpuls). Denn 
die Verteilung der kinetischen Energie auf die einzelnen Mitglieder 
eines Sternsystems ist von grundlegender Bedeutung für die Beur- 
teilung des Entwicklungszustandes des Systems; während die Um- 
laufs- und Rotationsmomente eine entscheidende Rolle spielen bei der 
Kritik der Hypothesen über die Entstehung des Planetensystems und 
die Entwicklung von Doppelsternsystemen. 

Die Zustandsgrößen im üblichen physikalischen Sinn, also Druck, 
Temperatur, Dichte der Materie, können nur auf theoretischem Wege 
abgeleitet werden, unter Übertragung der uns auf der Erde bekannten 


27) H.N. Russell, „Giant“ and „Dwarf“ Stars, The Observatory 36 (1913), 
p. 324. 

28) H. N. Russell, On the Probable Order of Stellar Evolution, The Obser- 
vatory 37 (1914), p. 165. 


994 VIs,28. MH. Kienle. Kosmogonie. 


physikalischen und chemischen Gesetzmäßigkeiten, was im allgemeinen 
auf eine weitgehende Extrapolation hinausläuft. Da für eine Prüfung 
der Theorie nur die obengenannten Integralwerte zur Verfügung 
stehen und, wie die Diskussionen der letzten Jahre ergeben haben, 
sehr allgemeine und unter Umständen recht verschiedene Voraus- 
setzungen eine Übereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung 
erzielen lassen, darf man von Anfang an keine eindeutige Entschei- 
‘ dung erwarten. In der Tat stehen sich gerade im Augenblick recht 
verschiedene Auffassungen über die Natur des Sterninnern gegenüber, 
die noch nicht zu einer endgültigen Klärung geführt haben.°”) 

Zur Charakterisierung der Gesamterscheinung eines Sternes bieten 
sich, weil der Beobachtung im weitesten Umfange zugänglich, Leucht- 
kraft und effektive Temperatur als natürliche Parameter dar. Im 
Gegensatz zur Stellarastronomie, welche fast ausschließlich mit der Ver- 
teilungsfunktion der Leuchtkräfte?®) rechnete, spielte für die Kosmo- 
gonie die Temperatur die entscheidende Rolle: der Vorgang der Ab- 
kühlung einer hochtemperierten Gasmasse erscheint als der natür- 
lichste kosmogonische Prozeß. Die Erkenntnis, daß die Korrelation 
zwischen absoluter Leuchtkraft und effektiver Temperatur nicht ein- 
deutig ist, daß vielmehr die großen Verschiedenheiten der Leucht- 
kräfte außer durch die Unterschiede der spezifischen Strahlungsintensi- 
täten (Spektraltypen) vor allem durch die verschiedene Größe der 
strahlenden Oberflächen (Riesen und Zwerge) bedingt sind, war ent- 
scheidend für Stellarastronomie wie Kosmogonie. Beide müssen, wenn 
sie nicht Gefahr laufen wollen, Fehlschlüsse zu machen, mit zwei- 
parametrigen Zustandsverteilungen rechnen. Nach dem Vorgange von 
Hertzsprung und Russell, mit deren Namen diese Art von Zustands- 
diagrammen verknüpft wird (Hertzsprung-Russell-Diagramm), hat man 
sich daran gewöhnt, als den einen Parameter den Spektraltypus bzw. 
den Farbenindex zu wählen, als anderen die visuelle oder photogra- 
phische Größe. 

Der Spektraltypus wird im wesentlichen durch die Vorgänge in 
den äußeren Atmosphärenschichten der Sterne bestimmt und ist selbst 
wieder eine Funktion der effektiven Temperatur und der Dichte. Da 
man überdies bei schwächeren Sternen, deren Spektraltypen nicht zu 
bestimmen sind, Farbenindizes als Äquivalente einführen muß, die 
ihrer Herleitung entsprechend linear von den reziproken Temperaturen 





29) Vgl. die Diskussionen zwischen Eddington, Jeans, Milne, Russell und 
Vogt in Monthly Notices, Observatory, Nature, Astr. Nachr. und Ztschr. f. Astroph. 
seit 1929. 

30) Encykl. VI, 23 (Kobold). 


4. Zustandsgrößen. 995 


abhängen, ist allgemein 2 als Zustandsparameter vorzuziehen°!); um 


so mehr, als auch die Reduktion auf bolometrische Größen°?) ein- 
deutig ist als Funktion der effektiven Temperatur, nicht aber als 
Funktion des Spektraltypus. 

Die absolute bolometrische Leuchtkraft ist offenbar ein Maß für 
die im Innern eines Sternes erzeugte Energie und den mittleren Ab- 
sorptionskoeffizienten der Sternmaterie; denn sie stellt den Netto- 
strom dar, der nach allen Emissions- und Absorptionsvorgängen im 
Innern und in der Atmosphäre die Oberfläche verläßt. Sie hängt 
daher eng mit dem zeitlichen Ablauf der Sternentwicklung zusammen 
und liefert das wichtigste Kriterium für die kosmogonische Zeitskala. 

Die Tatsache, daß die dritte Zustandsgröße, die Masse, hypothesen- 
frei nur bei Doppelsternen bestimmt werden kann, läßt gerade bei 
kosmogonischen Betrachtungen einem grundsätzlichen Bedenken Raum: 
Man wird der Gesamtmasse, die bei der Bildung eines Doppelstern- 
systems in Wirksamkeit tritt, eine entscheidende Rolle zubilligen 
müssen. Die durch Beobachtungen von z. T. recht bescheidener Ge- 
nauigkeit belegten Werte der Massen einzelner Sterne beziehen sich 
auf die Mitglieder von im ganzen 15 Doppelsternsystemen und einen 
einzigen isolierten Stern, die Sonne.®) Die Überzeugung, daß kein 
grundsätzlicher Unterschied besteht zwischen isolierten Sternen und 
den Mitgliedern von Systemen, schöpfen wir im Grunde nur daraus, 
daß die Sonne sich dem aus den Doppelsternmassen abgeleiteten Masse- 
Leuchtkraft-Gesetz (s. Nr. 5) gut einordnet. 

Wegen der Beschränktheit unserer Kenntnisse individueller Massen 
hat man versucht, auf statistischem Wege Anhaltspunkte über die 
durchschnittliche Größe der Sternmassen zu gewinnen. v. Zeipels®*) 
Abschätzung der Massen in Sternhaufen setzt eine Theorie des Auf- 
baus der Sternhaufen voraus und liefert nur die Verhältnisse der 
Massen einzelner Spektralgruppen. Die von Seares®) für die Sterne 
des Milchstraßensystems abgeleiteten mittleren Massen beruhen auf 
der Voraussetzung der Gleichverteilung der Energie, unter Verwen- 
dung der aus Radialgeschwindigkeiten, Eigenbewegungen und spektro- 
skopischen Parallaxen berechneten Raumgeschwindigkeiten. Die Er- 


31) Encykl. VI 2, 26 (Hopmann), Nr. 1. 

32) Ebd. Nr. 20, 

33) Eddington, Der innere Aufbau der Sterne, p. 18 (im Folgenden ab- 
kürzend zitiert als I.A.S.), Tabelle 17. 

34) H.v. Zeipel und J. Lindgren, Photometrische Untersuchung der Stern- 
gruppe Messier 37, K. Sv. Vet. Akad. Handl. 61 (1921), Nr. 15. 

35) F. H.Seares, The masses and densities of the stars, Ap.J.55 (1922), p.165. 


996 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


gebnisse dieser beiden Untersuchungen sind kosmogonisch nicht 
verwendbar, da sie die Fragestellung gerade umkehren und das zur 
Voraussetzung machen, was wir auf Grund der Beobachtungen ableiten 
wollen. °®) 

Die Durchmesser der Sterne sind im allgemeinen nicht als un- 
abhängige Parameter zu betrachten, da sie gewöhnlich aus der effek- 
tiven Temperatur und der Gesamtstrahlung berechnet werden.?”) Die 
wenigen Fälle, in denen es möglich war, Winkeldurchmesser inter- 
ferometrisch®®) unmittelbar zu messen, sind insofern von Bedeutung, 
als sie in vollkommener Übereinstimmung stehen mit den aus der 
Strahlung abgeleiteten Werten und damit die Existenz riesig aus- 
gedehnter Gasbälle (bis zum 500-fachen Sonnendurchmesser) niedriger 
effektiver Temperatur (zwischen 1800° und 3000° abs.) sicherstellten. 
Solche Gasbälle hat ja Lockyer?”) an den Anfang der Sternentwicklung 
gestellt. 

Zu den interferometrisch bestimmten Durchmessern gesellen sich 
noch die aus den Lichtkurven abgeleiteten Durchmesser von Bedeckungs- 
veränderlichen*), die ihrem Sinne nach auch geometrische Durch- 
messer sind und bei Kenntnis der spektroskopischen Bahn in linearem 
Maß angegeben werden können. 

Im übrigen sind die Durchmesser nicht Selbstzweck, sondern 
dienen vor allem zur Ableitung der mittleren Dichte, wenn die Massen 
bekannt sind oder man plausible Annahmen über sie machen kann. 
Bei den roten Riesen ergeben sich so Dichten von 10-* bis 10-7, 
wenn man normale Massen voraussetzt; bei den „weißen“ Zwergen 
kann man Dichten von 10* bis 10° nicht entgehen, wenn man die 
Berechnung der Durchmesser aus den effektiven Temperaturen für 
diese Sterne grundsätzlich anerkennt. Da bisher keiner dieser beson- 
deren Sterne spektralphotometrisch untersucht worden ist, sind Zweifel 
vielleicht weniger scharf zurückzuweisen, als dies gemeinhin geschieht. 
Ebenso wie man, wenn man sich nur auf die Beobachtungen stützen 
will, die Möglichkeit nicht ausschließen kann, daß die roten Riesen 
abnorm große Massen besitzen, die sich nicht dem allgemeinen Masse- 
Leuchtkraft-Gesetz einordnen. 


36) H. Siedentopf, Grundlagen der Kosmogonie, Veröffentl. Göttingen, Heft3 
(1928), p. 26. 


37) Encykl. VI2,26, Nr. 21. 
38) Vgl. den Bericht mit Literaturangaben von F. @. Pease, Interferometer 


Methods in Astronomy, Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 10 (1931), p. 84. 
39) Anm. 22. 


40) Encykl. VI s, 27, Nr. 47—54. 


4. Zustandsgrößen. 997 


Weitgehend frei von unsicheren Hypothesen ist die Bestimmung 
der Dichte bei Bedeckungsveränderlichen.*) Hier geht in die Berech- 
nung nur eine Annahme über das Massenverhältnis ein, wenn nicht 
auch dieses durch Hinzunahme spektroskopischer Daten abgeleitet und 
die Dichtebestimmung damit absolut gemacht werden kann. Bei Be- 
rücksichtigung der Leuchtkraft und der geometrischen Dimensionen 
des Systems sind die zulässigen Grenzen für das unbekannte Massen- 
verhältnis stets so eng, daß auf keinen Fall Fehler in der Größen- 
ordnung der Dichte entstehen können. Alle bekannt gewordenen Werte 
fügen sich denn auch vollkommen dem aus den Strahlungseigenschaften 
der normalen Sterne gewonnenen Bilde ein. 

Tabelle 1 gibt eine Zusammenstellung der Zustandsparameter für 
eine Auswahl von Sternen, die als repräsentativ angesehen werden 


















































Tabelle 1. 
Zustandsgrößen ausgewählter Sterne. 
Stern Sp.| Mm, T 2 1a Ba. 0 & 
e 

H.D. 1337 A |Os |— 8,8 |0,51 | 28000 | 36,3 23,8 | 0,004 115000 
V Puppis A Bi ‚— 5,3 |0,51 28000 | 19,2 7,6 | 0,06 1100 
ß Aurigae A AO |+ 0,2 |1,28|11200| 2,4 2,8 | 0,13 57 
& Can. maj. A |AO |+ 0,9 |1,28/11200| 24 1,6 | 0,93 29 
« Can. min. A |dF5 + 3,0 |2,04| 7000) 11 1,8 | 0,28 10 
Sonne dG0| + 4,8 |2,38| 6000| 1,0 1,0 | 1,42 1,9 
« CentauiA |dG0|-+ 4,7 |2,38| 6000| 11 | 11 | 134 1,9 
o,Eridani A |dG5 + 5,9 |2,60| 5600| 09 07 | 3,7 0,8 
«& Centauri dK5, + 5,7 13,24) 4400, 1,0 12 | 0,76 0,9 
Krueger 60 A dM3| 10,0 |446 | 3200| 0,26 0,33 | 9,6 0,07 
«AuriggeB |gFO|-+ 0,1 1,94| 7400) 3,3 5,5 | 3.1072 46 
« Aurigae A 9G0|— 0,2 |2,53| 5650| 4,2 11 4.107° 48 
«& Bootis gKo|— 0,8 |3,40| 4200| (8) 30 |(8-10-%| (44) 
« Tauri gK5s|— 1, |4,33| 3300| (4) 60 |(2-10-) | (150) 
ß Pegasi gM5 — 3,3 4,83 | 2900 | (9) 170  |(2-107°) | (400) 
«& Orionis ceM0 — 4,86 4,61 | 3100 (15) 290 (6-10?) | (750) 
« Seorpii eM0|— 5,6 |4,61| 3100 (30) | 480 |(8-107°) | (800) 
o,EridaniB 40 |+10,8 |1,28|11200| 0,44| 0,019) 1.10° 0,018 
« Can. maj. B |A7T !+11,2 1,79! 8000| 0,85 0,030) 4-10* 0,007 
van Maanen |F |-+14,3 |2,04| 7000| (0,14) 0,017| (4. 10°) (0,001) 








Sp. Spektraltypus. 
M, absolute bolometrische Größe. Leuchtkraft L — 2,5125 - Mb), 
T, effektive Temperatur (absolut). 
M Masse in Einheiten der Sonnenmasse (1,985 - 10°° g). 
R Radius in Einheiten des Sonnenradius (0,695 - 10'! cm). 
oe Dichte in gem”®. 
s Energieerzeugung pro g Masse in erg secT'. 
Hypothetische Massen und die daraus abgeleiteten Größen sind einge- 
klammert. 


998 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


kann. Sie umfaßt die nach all unseren bisherigen Erfahrungen „nor- 
malen“ Zustände, in denen kosmische Materie als eigenstrahlender 
Stern in Erscheinung tritt. Ausgeschlossen sind zunächst alle Arten 
von Nebeln und Nebelsternen (Spektralklassen P und @) und die 
Sterne mit physikalischem Lichtwechsel. Diese kosmogonisch besonders 
bedeutsamen Objekte erfordern eine gesonderte Behandlung. 

Auch auf alle Feinheiten der Unterteilung, wie z. B. die Zwei- 
teilung der A-Sterne und anderes, und die seltenen Typen der Klassen 
R, S und N ist nicht weiter Rücksicht genommen. 

Aus kosmogonischen Gründen sind neuerdings auch andere als 
die unmittelbar beobachtbaren Zustandsgrößen für die Zeichnung von 
Zustandsdiagrammen vorgeschlagen worden. Atkinson*') wählt Masse 
und mittlere Dichte, Milne“?) Leuchtkraft und Radius. Da dadurch 
nur eine eindeutige Transformation des üblichen (Z,7)-Diagramms vor- 
genommen wird, kann diese andere Wahl der Zustandsgrößen natür- 
lich keine neuen Erkenntnisse bringen. Im folgenden soll daher die 
alte Darstellung beibehalten werden. 


5. Zustandsgleichungen. Tabelle 1 zeigt deutlich die drei Gruppen, 
in die sich die Gesamtheit der uns bekannten Sterne — zunächst ab- 
gesehen von den in der vorigen Nummer genannten Ausnahmen — 
einordnen läßt, und die sich klar durch Größe und Zusammenhang der 
Zustandsparameter unterscheiden. Die Sterne der Tabelle sind in jeder 
Gruppe für sich nach abnehmenden effektiven Temperaturen ange- 
ordnet, entsprechend der historischen Reihenfolge der Spektraltypen 
von „frühen“ zu „späten“ Typen; die ursprüngliche kosmogonische 
Bedeutung dieser Bezeichnung liegt auf der Hand. 

Bei den Sternen der „Hauptreihe“, deren zweite Hälfte, etwa von 
FO ab, die normalen „Zwerge“ bilden, nehmen Leuchtkraft, Masse, 
Radius und Energieerzeugung pro Masseneinheit mit der Temperatur 
ab, die mittlere Dichte nimmt zu; die „Riesen“ zeigen gerade das 
umgekehrte Verhalten, An der Verzweigungsstelle der beiden Reihen, 
zwischen A und F, kommt man von beiden Seiten her zu den glei- 
chen mittleren Werten; der Unterschied zwischen „Riesen“ und 
„Zwergen“ kann nur für die Typen später als 7 gemacht werden. 
Neuerdings sind wieder Stimmen laut geworden, welche, geleitet von 
kosmogonischen Gesichtspunkten, nicht den von der Verzweigungsstelle 
nach oben zu den B-Sternen führenden Ast, sondern den hier als 


41) R. d’E. Atkinson, Atomic synthesis and stellar energy, Ap. Journ. 73 
(1931), Heft 4 u. 5. 
42) E. A. Milne, The white dwarf stars, Halley lecture 1932. 


5. Zustandsgleichungen. 999 


„Biesenast“ bezeichneten, als zur Hauptreihe gehörig betrachtet wissen 
wollen*?), während andere Wert auf die Feststellung legen, daß der 
Riesenast gar nicht in die Hauptreihe mündet, sondern von ihr deut- 
lich durch die Lücke bei den F-Sternen getrennt ist. Von der dritten 
Gruppe, den „weißen Zwergen“, kennen wir vorerst noch zu wenige 
Mitglieder, um gesetzmäßige Zusammenhänge aufdecken zu können. 
Die Gruppe ist als Ganzes gekennzeichnet durch die völlig andere 
Größenordnung der mittleren Dichten, zu denen keine Brücke von 
den beiden anderen Gruppen zu führen scheint. 

Rein empirisch ist also festzustellen, daß eine enge Korrelation 
besteht zwischen den a priori als unabhängig zu betrachtenden Para- 
metern Masse, Leuchtkraft und effektive Temperatur; in der Natur 
sind nur bestimmte Kombinationen verwirklicht. Leider aber ist unser 
Beobachtungsmaterial noch so geartet, daß wir nicht entscheiden 
können, ob für die Sterne der Hauptreihe und für die Riesen die 
gleichen funktionalen Zusammenhänge gelten. Die Massen der typi- 
schen Riesen sind, bis auf den einen Fall Capella, unbekannt; die 
eingeklammerten Werte der Tabelle sind extrapoliert unter der Vor- 
aussetzung, daß für die Riesen das gleiche „Masse-Leuchtkraft-Gesetz“ 
gelte wie für die Hauptreihe.“*) Innerhalb der Hauptreihe ist die Kor- 
relation zwischen Leuchtkraft und effektiver Temperatur so eng, die 
Auswahl der Sterne mit einigermaßen sicher bestimmter Masse so ge- 
ring, daß es unmöglich ist, die Abhängigkeit der Leuchtkraft von der 
Masse zu bestimmen. 

Wir sehen uns daher vorerst außerstande, eine empirische Zu- 
standsgleichung der Form 


(A) L=fM, T,) 


abzuleiten; m. a. W. wir können in dem üblichen (Z, 7T)-Diagramm 
keine Kurven M = const. zeichnen. Rabe“) hat zwar einen solchen 
Versuch gemacht und aus dem vorliegenden Material an mehr oder 
weniger zuverlässigen Massenbestimmungen von Doppelsternen die 
Beziehungen abgeleitet 


® 
2) L=0.T°.M? für die Typen AO bis F'6, 
RR. 


- 


L=(.T°.M? ER „ ES, sc. 


43) B. Strömgren, Ztschr. f. Astroph. 4 (1932), p. 146/147. 

44) Über eine Korrektion bei & Bootis vgl. Russell, Astronomy, p. 875. 

45) W. Rabe, Die absolute Helligkeit der Zwergsterne als Funktion ihrer 
Temperatur und Masse, A. N. 225 (1925), p. 217. 


1000 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Da aber die verfügbaren Massen mit ganz wenigen Ausnahmen von 
Sternen der Hauptreihe stammen, kann man dem Beobachtungsmate- 
rial innerhalb der Beobachtungsgenauigkeit ebenso genügen durch 
eine der Beziehungen, die nur je zwei der Zustandsparameter ver- 
knüpfen: 


(3) L = const. M°? 
oder 

17 
(4) L = const. T®. 


Auf (3) hat Jeans“®) hingewiesen; (4) liest man aus der Fig. 1 
(p. 1004) ab. Siedentopf*‘) hat den Einfluß der Beobachtungsfehler auf 
die Resultate Rabes untersucht und gezeigt, daß die Kurven M— const., 
die bei Rabe sehr nahe parallel zur Richtung der Hauptreihe im (L, 7)- 
Diagramm verlaufen, sich bei Berücksichtigung der Streuung durch 
die Beobachtungsfehler praktisch auf Punkte reduzieren, welche den 
Mittelwerten längs der durch (4) dargestellten Mittellinie der Haupt- 
reihe entsprechen. 

Über die Möglichkeiten, mit Hilfe der Theorie des Sternaufbaus 
zu Aussagen über die Zustandsgleichung zu gelangen, müssen wir 
heute skeptischer urteilen als zu der Zeit, da Emden“) über den 
Stand der Thermodynamik der Himmelskörper berichtete. Auf der 
einen Seite haben zuerst Russell*”) und Vogt?) gezeigt, daß man 
unter sehr viel allgemeineren Voraussetzungen, als dem Eddington- 
schen Modell entsprechen, eine Beziehung zwischen Masse, Leucht- 
kraft und effektiver Temperatur ableiten kann; auf der anderen Seite 
bestreitet Milne?') heute, daß man durch Gleichgewichtsbetrach- 
tungen allein überhaupt zu Aussagen von so fundamentaler Art ge- 
langen könne. 

Selbst wenn man den letzteren radikalen Standpunkt nicht teilen 
will und unter Festlegung auf bestimmte Sternmodelle theoretische 
Zustandsgleichungen der Form (1) ableitet, denen sich alle uns be- 
kannten Sternzustände — mit Ausnahme der weißen Zwerge — ein- 
fügen, bleibt vorerst als kosmogonisch bedeutsame Tatsache bestehen, 
daß die von der Natur offenbar getroffene Auswahl unter den theo- 
retisch möglichen Zuständen nur durch Zusatzhypothesen verständlich 


46) A.C., p. 126. 

47) Fußnote 36), p. 21—23, Fig. 4. 

48) Encykl. VI 2, 24 (1926). 

49) Astronomy, Nr. 960 und 965 (1927). 

50) Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 6 (1927); A.N. 233 (1928), p. 13; Veröffentl. 
Jena Nr. 3 (1930). 

51) M. N. 90 (1929), p. 17; 91 (1930), p. 4. 


5. Zustandsgleichungen. 1001 


gemacht werden kann, die sich entweder auf den Mechanismus der 
Energieerzeugung (Jeans‘‘), Atkinson*')) beziehen oder an dynamische 
Stabilitätsbetrachtungen anknüpfen. 

Für homologe Sterne, in deren äußeren Schichten die Gasgesetze 
gelten, kann die Zustandsgleichung nach Vogt°®) in der allgemeinen 
Form geschrieben werden: 


sine Bir 
(5) k [ ed 


Sie geht in die von Eddington angegebene Form°?) über, wenn 
man für den Absorptionskoeffizienten k das Kramerssche Gesetz ein- 
führt und die Parameter y und p für alle Sterne gleich setzt: 

a at 
L = eonst. (1 — BJ! m’ MT, 
(6) 18 
ß® 

Die relativ große Unempfindlichkeit dieser allgemeinen Zustands- 
gleichung gegenüber Änderungen im Aufbaugesetz der Sterne?®), in 
Verbindung mit der Anpassungsfähigkeit der Formel an beobachtete 
Verhältnisse durch geeignete Wahl der verfügbaren Parameter (p,Y,k, m) 
gibt dem Masse-Leuchtkraft-Gesetz Eddingions mehr den Charakter 
einer Interpolationsformel als den ges gut begründeten Naturgesetzes. 
Die Meinung Eddingtons, der sich ale) mden°?) angeschlossen hat, 
daß die gute Darstellung der Beobachtung®p,durch die dem speziellen 
Sternmodell entsprechende Formel ein Beweis®%ei für die Richtigkeit 
der gemachten Voraussetzungen (vor allem die "®@ältigkeit der Gas- 
gesetze auch im Innern der Zwerge), kann nicht Rah aufrechter- 
halten werden. Ro 

Man kann rein qualitativ aus der Gültigkeit eines Masse-Leucht- 
kraft-Gesetzes wenigstens einen Schluß auf die obere Grenze der 
Sternmasse ziehen. Vogt?®) hat darauf hingewiesen, daß (5) die zu- 
lässigen Anordnungen der Energiequellen mit zunehmender Masse stark 
kL 
I, 
durch den ganzen Stern konstant gleich ei sein muß. Da gerade alle 


— const. M?mt. 





einschränkt, da dann 1 — ß gegen 1 geht und daher das Produkt 





neueren Untersuchungen darauf hindeuten, daß die Energiequellen 
stark gegen den Mittelpunkt der Sterne konzentriert angenommen 


52) Encykl. VI, 24, Gleichung (149). 
53) Encykl. VI 2, 24, p. 506. 


1002 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


werden müssen, wird verständlich, daß große Massen (größer als 
10 Sonnenmassen) überhaupt selten sind, und daß man unter diesen 
Sternen auch einen erheblichen Prozentsatz mehr oder weniger in- 
stabiler Zustände (Veränderliche und spektroskopische Doppelsterne) 
vorfindet. 

Die von Eddington°*) für die bei der Bildung eines Sternes not- 
wendige Masse angesetzte untere Grenze von etwa 3,5 Sonnenmassen 
ist lediglich aus dem Fehlen der M-Sterne von mittlerer Leuchtkraft, 
d. h. einem rein empirischen Befund, abgeleitet; sie hat zur wesent- 
lichen Voraussetzung die Annahme, daß alle Sterne als M-Sterne ent- 
stehen. Dies aber ist bereits eine kosmogonische Ausdeutung des Be- 
obachteten, für die keine theoretische Begründung gegeben werden kann; 
die im Gegenteil heute stark in Zweifel gezogen werden muß. 

Angesichts der Unbestimmtheit der Zustandsgleichung bereits im 
rein statischen Problem kann es nicht überraschen, daß man bei den 
Untersuchungen über den Einfluß einer Rotation kaum über erste 
Ansätze hinausgekommen ist. Zu den den statischen Aufbau bestim- 
menden Parametern gesellt sich jetzt noch die Rotationsgeschwindig- 
keit o, die einerseits die Gleichgewichtsbedingungen verschärft, anderer- 
seits die Mannigfaltigkeit der möglichen Zustände vermehrt. Unter 
der Voraussetzung gleichförmiger Rotation gilt nach von Zeipel”?) zwi- 
schen der mittleren Energieerzeugung & und der Winkelgeschwindig- 
keit der Rotation die Beziehung 


o? 
ee? (1 us: 1: 
Vogt°°) hat dieses Theorem von v. Zeipel auf Sterne mit ungleich- 
förmiger Rotation erweitert zu 





log » log ® 
[1 lt * ir An e)] 

Man wird diese Bedingungen für die Anordnung der Energiequellen 
wohl so ausdeuten müssen, daß im allgemeinen eine gleichförmige 
Rotation der Sterne unmöglich ist, daß vielmehr stets Strömungen 
auftreten, wie sie auch von der Sonne her bekannt sind. Jeans?”) hat 
aus Betrachtungen über die Strahlungsbremsung ein allgemeines Ro- 
tationsgesetz abzuleiten versucht; bei Rosseland°®) findet man Ansätze 

54) I.A.S., Nr. 214. 

55) Seeliger-Festschrift 1924, p. 144; M. N. 24 (1924), p. 665. 

56) Veröffentl. Jena Nr. 2 (1930). 

67) A.C., Chapt. X. 

58) S. Rosseland, Astrophysik auf atomtheoretischer Grundlage, 1931. Neuere 
Ausführungen in Publ. Univ. Obs. Oslo No. 1—3 (1931/32). Vgl. auch L. Bier- 
mann, Ztschr. f. Astroph. 5 (1932), p. 117. 


6. Zustandsverteilungen. 1003 


zu einer Behandlung der Strömungsvorgänge. Die Theorie steckt noch 
in ihren ersten Anfängen. 


6. Zustandsverteilungen. Art und Umfang unserer empirischen 
und theoretischen Kenntnisse bedingen, daß die Untersuchungen über 
die Verteilungsfunktion der Sternzustände sich fast ausschließlich auf 
die beiden Parameter Leuchtkraft und Temperatur beschränken. Unter 
den oben gemachten Vorbehalten über das Masse-Leuchtkraft-Tempe- 
ratur-Gesetz können die für die Leuchtkräfte gefundenen Gesetzmäßig- 
keiten in solche für die Massen umgedeutet werden. Die Temperatur 
kann oder muß, je nach den Umständen, durch den Spektraltypus 
oder ein Farbenäquivalent vertreten werden. 

Das Leuchtkraft-Temperatur-Diagramm (Hertzsprung-Russell-Dia- 
gramm, Farben-Helligkeits-Diagramm) in seiner üblichen einfachen 
Form verzeichnet die innerhalb einer nach irgendwelchen Gesichts- 
punkten ausgewählten statistischen Gesamtheit verwirklichten Zustände. 
Es drückt in erweiterter Form den Tatbestand aus, der in Tabelle 1 
bereits in Erscheinung trat: die Beschränkung der in der Natur ver- 
wirklichten Zustände auf gewisse Kombinationen von Leuchtkraft und 
Temperatur, für welche sich die Bezeichnungen eingebürgert haben: 
Übergiganten (Sterne größter Leuchtkraft, gekennzeichnet durch be- 
sonders scharfe Linien im Spektrum, sog. c-Sterne), Riesen (neuer- 
dings auch noch „Unterriesen“), Zwerge und weiße Zwerge (Sterne 
hoher Temperatur und niedriger Leuchtkraft). 

Für die Zwecke der Stellarastronomie wie der Kosmogonie bedarf 
dieses Diagramm noch einer Bearbeitung, die es umwandelt in die 
wahre Verteilungsfläche Y(L, 7) einer Raumgesamtheit, durch Be- 
freiung von dem Einfluß der bei der Zusammentragung des Materials 
zufällig wirksamen Auswahlprinzipien. Zu der Charakterisierung der 
Zustände überhaupt muß sich noch eine Angabe gesellen über die 
relative Häufigkeit, mit der sich diese Zustände innerhalb einer räum- 
lieh und zeitlich zusammengehörigen Gruppe von Sternen verteilen. 
Unter gewissen Stationaritätsbedingungen wird man diese relativen 
Häufigkeiten dann umdeuten dürfen in relative Verweilzeiten der 
Sterne in den betreffenden einzelnen Zuständen, im Sinne der zweiten 
der in Nr. 3 angegebenen kosmogonischen Methoden. 

Für unser Sternsystem haben ziemlich gleichzeitig Heß?’), Malm- 
quist‘®) und van Rhijn‘') einen solchen Versuch unternommen. Fig. 1 


59) Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 3 (1924) und Seeliger-Festschrift 1924. 
60) Lund Meddel. 2 Nr. 32 (1924) = K. Sy. Vet. Handl. 3. Ser., Bd. 1, Nr. 2. 
61) Seeliger-Festschrift 1924 und Publ. Groningen 38 (1925) 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 65 


1004 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


| G/rx10* 
0,5 10 20 30 40 50 


700 





+5 


+70 


+3 





202 20 15 70 B] 4 Az 

72% 70 Er 

Fig. 1. 
Schematisches Diagramm der Zustände und Zustandsverteilung im engeren Sternsystem. 
Die schraffierte Fläche umfaßt die überhaupt verwirklichten Zustände. Die Linie maxi- 
maler Häufigkeit verwirklichter Zustände (Kammlinie) ist dick eingezeichnet, unter- 
brochen durch Zahlen, die die ungefähren Häufigkeiten in willkürlicher Einheit angeben 


(K-Riesen = 100 gesetzt). Die einzelnen mit Zahlen bzw. ? bezeichneten Punkte bedeuten 
Sterne bekannter absoluter Leuchtkraft; die Zahlen geben die Masse an, soweit sie be- 


kannt ist. — Abszisse: log ; Ordinate: Bolometrische Leuchtkraft My; = Kurven 
e 
konstanter Masse M für das Eddingtonsche Modell; -—-—- = Kurven konstanten Radius R. 





gibt?) in stark schematisierter Form die Verteilungsfläche der Leucht- 
kräfte und Temperaturen wieder, wie sie sich nach diesen Untersuchungen 


62) H. Kienle, Zur Statistik der Sterntemperaturen, Ztschr. f. Astroph. 3 
(1931), p. 1. 


6. Zustandsverteilungen. 1005 


darstellt. Eingezeichnet ist lediglich der ungefähre Umriß der Basis 
der Verteilungsfläche (Häufigkeit 0) und die Verbindungslinie der 
Maxima der Häufigkeiten für die einzelnen Spektraltypen (Kammlinie). 
Die relativen Höhen der Maxima sind in willkürlichen Einheiten an- 
gegeben. 

Sieht man zunächst von den weißen Zwergen ab, so gehören 
ungefähr 99%, aller Sterne der Hauptreihe an. Die relativen Häufig- 
keiten wachsen stark an mit abnehmender Leuchtkraft. Isoliert davon 
liegt ein verhältnismäßig breites Gebiet mit sehr geringer Häufigkeit: 
die Riesen, von der Hauptreihe getrennt durch ein dünn besetztes 
Gebiet, das fast ausschließlich Veränderliche und spektroskopische 
Doppelsterne enthält.) 

Die großen Unterschiede in der relativen Häufigkeit der Riesen 
und der dem unteren Teil der Hauptreihe angehörigen Zwerge sind 
ein wesentliches Kennzeichen der Verteilungsfunktion zunächst des 
„engeren“ Sternsystems. Wie sich die bekannten anderen Typen von 
Sternen einordnen, und ob dieser Verteilungsfunktion universelle Gel- 
tung zugesprochen werden kann, sind Fragen von erheblicher kosmo- 
gonischer Bedeutung. | 

O-Sterne, Planetarische Nebel und Novae (Spektraltypen P, Q) 
sind unzweifelhaft „seltene“ Objekte, die im Diagramm der Zustands- 
verteilung in das Gebiet hoher Temperaturen und Leuchtkräfte fallen. 
Alle Arten von Veränderlichen finden wir vor allem unter den Riesen 
und Übergiganten, von denen überhaupt nur wenige einfache Sterne 
mit konstanter Helligkeit sind. Über die Stellung der weißen Zwerge 
lassen sich nur gewisse Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen anstellen. 
Wir kennen bisher zwar erst 4 oder 5 dieser Sterne, die wegen ihrer 
geringen Leuchtkraft reine Zufallsentdeckungen sind. Berücksichtigt 
man, daß diese Sterne sich innerhalb einer Kugel von 3 parsec Radius 
befinden, die insgesamt kaum mehr als 50 Sterne überhaupt enthält, 
so kommt man zu dem Schluß, daß die weißen Zwerge vielleicht in 
der gleichen Häufigkeit vorhanden sind wie die normalen Zwerge, 
daß also der durch sie verwirklichte Zustand als „normal“ im kosmo- 
gonischen Sinn zu betrachten ist. 

Die Schwierigkeiten, die sich der Bestimmung der vollständigen 
Verteilungsfunktion »(Z, 7) entgegenstellen, haben vielfach dazu ge- 
führt, daß die Untersuchungen an die nur einparametrigen Verteilungs- 
funktionen der Leuchtkräfte bzw. Temperaturen anknüpften. Aus der 


63) Über Verfeinerungen aus neuerer Zeit vgl. vor allem Strömberg, Ap. 
Journ. 75 (1932), p. 115 (Mt. Wilson Contr. 442). 
65* 


1006 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


komplexen Gestalt der allgemeinen Verteilungsfläche »(L, 7) folgt, 
daß man für die Verteilungsfunktionen g,(L) bzw. 9,(7) im allge- 
meinen keine einfachen Gaußschen Verteilungen wird erwarten dürfen. 
Der über alle Spektraltypen integrierten „Leuchtkraftkurve“ kann man 
insofern kosmogonische Bedeutung beimessen, als sie bei Gültigkeit 
des Masse-Leuchtkraft-Gesetzes äquivalent der Verteilungsfunktion der 
Massen ist; die Masse aber ist jedenfalls ein die Sternentwicklung 
wesentlich bestimmender Parameter. 

Durch Kombination der Daten von van Rhijn®) für die Leucht- 
kraftfunktion und von Eddington®‘) für das Masse-Leuchtkraft-Gesetz 
erhält man die Tabelle 2. 











Tabelle 2. 

M | log aM) log M M | lkgoM) log M 
Eur 3,52 11,34 5 7,42 — 0,08 
3 4,11 1,10 6 7,52 0,13 
2 4,70 0,92 7 1,58 0,23 
1 5,30 0,73 8 7,60 0,33 
0 5,90 0,57 9 7,60 0,42 
+1 Be 0,43 10 7,68 0,51 
2 6,78 0,30 11 7,79 0,61 
2. 7,04 0,18 12 7,98 0,70 

4 1,25 0,07 




















Ob die Häufigkeit für Massen kleiner als - Sonnenmassen (M= 12) 
noch weiter zunimmt oder ob die tabulierten Werte die eine Hälfte 
einer normalen Gaußverteilung darstellen, deren andere Hälfte uns 
wegen der Lichtschwäche der Objekte nicht zugänglich ist, mit einem 
Maximum in der Gegend von 4 oder , Sonnenmassen, kann nicht 
entschieden werden. So lange wir noch keine Vorstellung davon haben, 
welche Prozesse bei der „Bildung“ eines Sternes sich abspielen, können 
wir auch theoretisch nichts darüber aussagen, ob und wie die Wahr- 
scheinlichkeit der Zusammenballung der Materie zu isolierten „Ster- 
nen“ von der Größe der Massen abhängt. 

Da die effektive Temperatur eine für die Beschreibung zwar sehr 
geeignete, sicher aber keine unabhängige Zustandsgröße ist, sind 
Untersuchungen über die Verteilungsfunktion der Temperaturen (bzw. 
Farben) ohne Rücksicht auf die absoluten Leuchtkräfte, kaum von 
Bedeutung. Welche Temperatur ein Stern annimmt, hängt wesentlich 
mit von seiner Masse ab, wie das allgemeine (Z, 7): Diagramm zeigt. 
Wie weit die gelegentlich behaupteten „diskreten Temperaturwerte“, 


64) I.A.S., Tabelle 14. 


6. Zustandsverteilungen. 1007 


deren die Sterne nur fähig sein sollen °)6)6”), reell sind, muß dahin- 
gestellt bleiben. 

Kosmogonische Schlußfolgerungen von großer Tragweite sind an 
gewisse Feststellungen bei Doppelsternsystemen geknüpft worden, die 
sich auf die relative Lage der Komponenten im (Z, T)-Diagramm und 
auf die Massenverhältnisse beziehen. Leonard‘®), Lundmark und Luyten®) 
sind gleichzeitig zu dem Ergebnis gelangt, daß die schwächere Kom- 
ponente der helleren stets „im Sinne der Lockyer-Russellschen Ent- 
wicklungstheorie vorausgehe“. Im Mittel kann man das Beobachtungs- 
material etwa durch folgende typische Systeme charakterisieren ’°): 


Gruppe Spektraltypen Anzahl Sp. (AA) M(A) Sp.B M(B) 


Riesen M bis F rn. @7 02 45 - +13 
Riesen/Zwerge B bis A 12 43 +04 49 +29 
Zwerge F bis M 414 6G2 +48 GT +60 


Sp. (A) und Sp. (B) sind die mittleren Spektra der Komponenten A 
und B, M(A) und M(B) die entsprechenden mittleren Leuchtkräfte. 

Durch Übergang von den Leuchtkräften zu den Massen mit Hilfe 
des Masse-Leuchtkraft-Gesetzes wurden diese Feststellungen von Vogt’*) 
noch ergänzt durch die weitere, daß die Massenverhältnisse sich mit 
abnehmender Leuchtkraft (Masse) der helleren Komponente, d.h. mit 
dem Fortschreiten längs der Hauptreihe, dem Wert 1 nähern. 











Tabelle 3. 

Spektrum Anzahl M, Din 
M, 

A 9 2,5 1,6 

F 23 1,5 1,3 
@G 18 1,0 1,25 
K 11 0,7 1,23 
M 2 0,4 1,19 











M; = Masse der helleren Komponente. 
Mey „ schwächeren $„, 


65) J. Halm, Magnitudes of stars contained in the Cape Zone Catalogue 
of 20843 stars. Zone — 40° to — 52°. London 1927. 

66) B. Sticker, Veröffentl. Bonn 1930, Nr. 23; Ztschr. f. Astroph. 1 (1930), 
p. 174 und 4 (1932), p. 53; Encykl. VI», 26, Nr. 19, 26, 27. 

67) Fußnote 62. 

68) Lick Obs. Bull. 1922, p. 343. 

69) Astr. Journ. 35 (1922), p. 93 (Nr. 828). 

70) Vgl. das Referat Kienle, Naturw. 11 (1923), p. 324. Die Figur von Leo- 
nard ist auch wiedergegeben in Müller-Pouillet, Physik V 2 (1928), p. 500. 

71) Ztschr. f. Phys. 26 (1924), p. 139 und Astr. Nachr. 225 (1925), p. 315. 


1008 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Genauere Untersuchungen über die vollständige Häufigkeitsfläche der 
Doppelsterne liegen mangels ausreichender Kenntnis von Parallaxen 
nicht vor.’?) Eine rohe Vorstellung von den Verhältnissen vermitteln 
die folgenden Angaben über die relative Häufigkeit, gruppiert nach 
Spektraltypen und scheinbaren Helligkeiten (H. N. Russell”). 


a) Sterne heller als 6,°5: 


Spektralkllsse 3-41 7 WO Eee H 
0/, Doppelsterne 42 17 17 25 10 8 


b) Sterne aller Spektralklassen: 


Scheinbare Größe 6 7 Be 
%, Doppelsterne 2 


Shajn*) und O. Struve”®) haben bereits frühzeitig darauf hin- 
gewiesen, daß man all diese Ergebnisse nur sehr mit Vorbehalt kos- 
mogonisch ausdeuten dürfe, da sie durch Auswahleffekte der Beob- 
achtungen beeinflußt sind. Siedentopf‘*) hat dann zeigen können, daß 
man die beobachtete Häufigkeit der Doppelsterne zwangläufig erhält 
aus der Häufigkeitskurve der einfachen Sterne, wenn man die Sterne 
regellos zu Paaren kombiniert mit dem Zusatz, daß die Entdeckungs- 
wahrscheinlichkeit abnimmt mit zunehmendem Unterschied der Hellig- 
keit der beiden Komponenten. Bei der Gruppierung nach Spektral- 
typen würde die Berücksichtigung der Auswahleffekte die Zahlen noch 
weiter in dem Sinn verschieben, daß die relative Häufigkeit der Doppel- 
sterne unter den frühen Typen größer ist als unter den späten, und 
daß von den B-Sternen mindestens die Hälfte Doppelsterne sind. 

Die universelle Gültigkeit der für die Umgebung der Sonne ab- 
geleiteten Verteilungsfunktion, insbesondere der „Leuchtkraftkurve“, 
ist als Arbeitshypothese oft postuliert worden. Bei der Nachprüfung 
auf ihre Richtigkeit ist man aber auf erhebliche Schwierigkeiten ge- 
stoßen, da im allgemeinen nur der Teil der Zustandsdiagramme der 
Beobachtung zugänglich ist, in dem sich die großen absoluten Leucht- 
kräfte befinden. Die Untersuchungen an Sternhaufen und Milchstraßen- 
wolken haben ergeben, daß, wenn man auf die relativen Häufigkeiten 


72) Vgl. die Versuche von A. Wallenquist und E. A. Kreiken, Annalen der 
Bosscha-Sternwarte Lembang, Vol. IV (1930), sowie E. A. Kreiken, M.N. 89 (1929), 
p. 589; 90 (1930), p. 212, 306, 760; W. J. Luyten, Harvard Bulletin 870 (1929); 
M. N. 91 (1931), p. 938. 

73) Astronomy II (1927), p. 721. 

74) Astr. Nachr. 226 (1925), p. 49 und M.N. 85 (1925), p. 245. 

75) Astr. Nachr. 227 (1926), p. 113. 

76) Fußnote 36, $ 11. 


6. Zustandsverteilungen. 1009 


zunächst keine Rücksicht nimmt, die Zustandsdiagramme nicht wesent- 
lich von dem des Sternsystems abweichen: die verwirklichten Zustände 
sind überall die gleichen. Abweichungen, die man gelegentlich fest- 
gestellt zu haben glaubte, daß z. B. die Sterne in offenen Haufen 
weißer seien als die Sterne entsprechender Leuchtkraft im normalen 
Russell-Diagramm („steilerer Zwergast‘“), dürften teils auf Beobachtungs- 
fehler, teils auf Wirkungen der interstellaren Absorption zurückzuführen 
sein, nicht dagegen auf Verschiedenheiten der Zustandsgleichung.””) 
Die Zustandsdiagramme der Sternhaufen und Milchstraßenwolken be- 
decken, soweit sie bekannt sind, stets Gebiete, die sich innerhalb der 
durch das Zustandsdiagramm des engeren Sternsystems festgelegten 
Gebiete befinden.”®) 

Anders liegen die Verhältnisse, wenn auch die relativen Häufig- 
keiten berücksichtigt werden. Zwar findet man, bei gebührender Rück- 
sichtnahme darauf, daß die beobachteten Zustandsdiagramme nach der 
Seite der schwachen Leuchtkräfte und der großen Farbenindizes in 
verschiedenem Grade durch Unvollständigkeit des Beobachtungsmate- 
rials verfälscht sind, im allgemeinen überall die Zwerge in der über- 
wiegenden Häufigkeit gegenüber den Riesen; darf also annehmen, daß 
auch dieser wesentliche Zug des Zustandsdiagramms in allen Teil- 
systemen des größeren galaktischen Systems vorhanden ist. Daneben 
sind aber doch auch eindeutige Verschiedenheiten festzustellen, die 
Unterlagen für kosmogonische Deutungen liefern können. 

Trümplers"®) Typen der offenen Haufen lassen sich kaum aus ein 
und demselben Zustandsdiagramm rein statistisch ableiten als Funk- 
tion der Gesamtanzahl der Sterne, ohne Hinzunahme eines kosmogo- 
nischen Prinzips (Wirkung der Gesamtmasse, des „Alters“). Selbst 
wenn man bei den Plejaden etwa alles, was an Sternen scheinbar in 
dem Feld vorhanden ist, zur Gruppe rechnete, entspräche die Häufig- 
keit der @-Zwerge noch bei weitem nicht der der B-Sterne, ver- 
glichen mit dem normalen (L,T)-Diagramm. Ebenso auffallend ist das 
Vorhandensein von G- und K-Riesen in den Haufen vom Typus der 
Hyaden im Hinblick auf die geringe Gesamtzahl von Sternen, die 
diese Haufen überhaupt enthalten. Es scheint auch so zu sein, daß, 
wenn überhaupt in galaktischen Haufen neben Sternen der Hauptreihe 
noch Riesen vorkommen (Trümplers Typus 2), diese dem Gebiet maxi- 


77) P. ten. Bruggencate, Bull. Astr. Inst. Nethl. 128 (1927); Schwaßmann, 
Mitt. Hamburg-Bergedorf Nr. 31 (1930). 

78) Vgl. z.B. ten Bruggencate, Sternhaufen, Kap. IV, Berlin 1927. 

79) Publ. Astr. Soc. Pac. 37 (1927), p. 307, und Lick Obs. Bull. 420 (1930). 
Vgl. auch die Darstellung in ’®) oder Müller-Pouillet, Physik V 2 (1928), p. 501. 


1010 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


maler Häufigkeit im Sternsystem angehören (@- und K-Riesen, vgl. 
Fig. 1); und daß dann die Hauptreihe frühestens bei den A-Sternen 
beginnt.°) Es scheint neben den Haupttypen Ib (Plejaden) und 2a 
(Hyaden) zwar die Übergangstypen la und 2f zu geben, nicht aber 
den Typus 2b. 

Bei den Kugelhaufen kann die Auffassung, daß der eigentliche 
Zwergast fehle’”®), nicht gehalten werden®'); denn nach den Unter- 
suchungen über die Leuchtkraftfunktion, die wesentlich schwächere 
Sterne noch erfassen als die Untersuchungen über die Farbenindizes, 
sind die Sterne der Hauptreihe mindestens bis zur absoluten Größe 5 
noch in steigender Häufigkeit vorhanden. Bestehen bleibt dagegen die 
deutliche Verschiedenheit in der Lage der Linie maximaler Häufig- 
keit auf dem Riesenast, die verschieden starke Besetzung der dem 
Gebiet minimaler Häufigkeit im Sternsystem entsprechenden Gebiete 
mit öCephei-Sternen und Übergiganten (z. B. Messier 3 und o& Cen- 
tauri verglichen mit Messier 13), die eng zusammenhängt mit dem 
ausgeprägten „sekundären Maximum“ der Leuchtkraftfunktion. 

Zur Frage der Häufigkeit der weißen Zwerge hat das Studium 
der Sternhaufen bisher keinen Beitrag liefern können; dazu ist das 
Beobachtungsmaterial an schwachen Sternen in den Haufen zu spär- 
lich und unsicher. Ein zur Präsepe gehöriger Stern der Größe + 5, 
der als A-Stern klassifiziert wurde®?), hat nach Göttinger Messungen 
den normalen Farbenindex der @-Zwerge. Wie viele der Shapleyschen 
Plejadensterne wirklich zur Gruppe gehören und daher teilweise als 
weiße Zwerge angesprochen werden dürfen, muß dahingestellt bleiben, 
da die EB nicht die genügende Sicherheit haben. 

Über die Zustandsverteilung in außergalaktischen Systemen ist 
aus begreiflichen Gründen nur sehr wenig bekannt. Die bisherigen 
Feststellungen beschränken sich darauf, daß die typischen Spiralnebel 
ein integriertes Spektrum vom mittleren Typus @ zeigen, etwa ent- 
sprechend dem integrierten Spektrum der Milchstraße, woraus man 
zuerst Schlüsse auf ihre Natur als Sternsysteme hat ziehen können; 
und daß in den der Einzeluntersuchnng zugänglichen wenigen Systemen 
(Andromedanebel, Messier 33, NGC 6822) anscheinend keine von den 
uns sonst bekannten Typen von Sternen abweichenden Typen vor- 
kommen. Kosmogonisch bedeutsam ist das relativ häufige Vorkommen 
von Novae, das zu einer Abschätzung der Häufigkeit dieser Sterne 





80) H. N. Russell, Astronomy II (1927), p. 794. 

81) Eddington, 1.A.S., Nr. 217; Lönnguist, Meddel. Upsala Nr. 25, 87/88; 
Siedentopf, 2.2.0.8 6. 

82) Vgl. P. ten Bruggencate, Bull. Astr. Inst. Nethl. 128 (1927), Fig. 3. 


7. Alter und Energieerzeugung. 1011 


überhaupt®?) und damit zu gewissen Schlußfolgerungen über die Stel- 
lung des „Novazustandes“ innerhalb des zeitlichen Entwicklungs- 
ganges der Sterne geführt hat. 


7. Alter und Energieerzeugung. Der Begriff des Alters setzt 
einen Anfangszustand und eine Richtung der Entwicklung voraus; 
die Angabe des Alters eines Sternes hat einen Sinn nur in Verbin- 
dung mit einer Angabe (oder stillschweigenden Voraussetzung) über 
die Art der „Geburt“ des Sternes; auch dann, wenn der Ausdruck 
nur im Sinne des relativen Alters verschiedener Sterne gebraucht 
werden soll. Die noch heute geläufige Unterscheidung von „frühen“ 
und „späten“ Spektraltypen stammt aus einer Zeit, die die Spektral- 
reihe als einfache Entwicklungsreihe im Sinne fortschreitender Ab- 
kühlung auffaßte. Lochkyers Konzeption einer aufsteigenden und ab- 
steigenden Reihe verschob die Begriffe „jung“ und „alt“. Die Riesen- 
Zwerg-Theorie der Sternentwicklung, die sich aus Lockyers Auffassung 
entwickelt hat, beruht auf der Voraussetzung, daß alle Sterne als 
rote Riesen geboren werden und daß sie jedenfalls den ersten Teil 
ihrer Entwicklung im Sinne eines Fortschreitens vom Spektraltypus M 
über K, G, F durchlaufen. 

Daß die Sterne, wenn sie sich irgendwie aus nebliger Urmaterie 
durch Kondensation bilden, als Gaskugeln niedriger Temperatur erst- 
malig in Erscheinung treten, ist plausibel; aber vom Standpunkt des 
vorsichtigen Kritikers eine unbewiesene Annahme. Die folgerichtige 
Durchführung der Auffassung, daß Sterne nur so entstehen, führt 
jedenfalls auf erhebliche Schwierigkeiten bei der Ausdeutung der be- 
obachteten Zustandsverteilung in den Sternhaufen. 

Man hat versucht, auf dem Wege einer „vergleichenden Morpho- 
logie“ von Sternsystemen die Ansichten über die Entwieklung der 
Einzelsterne zu stützen. Dies führt auf die Notwendigkeit, Kriterien 
für das „Alter“ von Sternsystemen anzugeben, die natürlich genau 
wie beim Einzelstern Annahmen über die Art der Entstehung und 
Entwicklung der Systeme nach sich ziehen. Im Anschluß an Gedanken 
von Shapley über die Auflösung von Sternhaufen beim Eindringen in 
die Milchstraßenebene hat ten Bruggencate*®) aus den Zustandsdiagram- 
men der Sternhaufen eine Entwicklungsreihe zu konstruieren versucht, 
die von den dichtesten Kugelhaufen über intermediäre Typen wie 
Messier 11 zu den offenen Haufen führt. Altersparameter wäre hier 
die Gesamtzahl der Sterne in dem Haufen bzw. der Grad der Auf- 

83) Vgl. Nr. 22. 


84) Über die Bedeutung der Farben-Helligkeits-Diagramme von Sternhaufen 
für eine empirische Kosmogonie, Seeliger-Festschrift 1924. 


1012 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


lockerung; unter der Voraussetzung, daß die Streuung der Zustände 
bei der Geburt eines Haufens klein ist gegenüber den durch die Ent- 
wicklung auftretenden Veränderungen. Berücksichtigt man die Unvoll- 
ständigkeit des Beobachtungsmaterials, dann ergibt sich die Unmög- 
lichkeit, einen Zusammenhang zwischen diesem Altersparameter und 
der Zustandsverteilung herzustellen.) Es muß heute sogar als über- 
aus zweifelhaft bezeichnet werden, ob man Kugelhaufen und offene 
Haufen im Sinne einer Entwicklungsreihe überhaupt verknüpfen darf. 

Auch die Heranziehung der Doppelsterne zur Begriffsbestimmung 
des Alters hat versagt. Man hat zwar bei Berücksichtigung aller 
Kräfte, die eine Veränderung der Bahndimension eines Doppelsterns 
bewirken, zu der wenigstens statistisch gültigen Feststellung®®) ge- 
langen können, daß im allgemeinen ein „alter“ Doppelstern mit größerer 
Wahrscheinlichkeit eine weite Bahn mit großer Exzentrizität beschreibt 
als ein „junger“ Doppelstern. Die Prüfung des Beobachtungsmaterials 
zeigt aber auch hier, wenn auf die Verfälschung der Statistik durch 
Auswahl gebührend Rücksicht genommen wird, keinen Zusammen- 
hang’) zwischen dem Altersparameter (große Achse und Exzentrizi- 
tät) und den Zustandsgrößen (Masse und Leuchtkraft). 

Wenn eine genaue Begriffsbestimmung des Alters nicht möglich 
ist ohne weitgehende Festlegung auf kosmogonische Theorien, so kann 
man noch die Frage stellen, ob wenigstens der Sinn der Entwicklung, 
das „Früher“ oder „Später“ angegeben werden kann. Die Beantwor- 
tung dieser Frage hängt eng zusammen mit der Frage nach den 
Energiequellen der Sterne. 

Man kann mit einiger Wahrscheinlichkeit annehmen, daß die 
normale Weggleichung eines Sternes durch eine Kurve dargestellt 
wird, längs der die Masse im allgemeinen abnimmt; obwohl man auch 
die Annahme, daß die Sterne Masse aufsammeln, nicht von der Hand 
weisen kann®®) und sich selbst eine völlige Umkehrung des nach der 
allgemeinen Meinung wahrscheinlichsten Entwicklungsganges von gro- 
Ben zu kleinen Massen in eine solche von kleinen zu großen Massen 
durchaus vertreten läßt.®) Bei Annahme einseitig gerichteter Entwick- 
lung (Abnahme der Masse) kann man auf ein Maximalalter der ein- 
zelnen Sterne schließen, kann aber nichts aussagen über das relative 








85) Siedentopf, a. a. 0. $ 10; Shapley, Harvard Bulletin 876 (1930). 

86) Siedentopf, a. a. O. p. 51. 

87) Vgl. Fußnoten 74—76. 

88) Shapley, Harvard Bull. 876, p. 15, Nr. 4. 

89) Mac Millan, Ap. Journ. 48 (1918), p. 35; Wiechert, Vjschr. der Astr. Ges. 
56 (1921), p. 171; 87. 


7. Alter und Energieerzeugung. 1013 


Alter von Sternen verschiedener Masse, wenn man nicht eine weitere 
‚ Annahme hinzufügt über die Mindestmasse, die notwendig ist für 
die Entstehung eines Sternes. Eddington”) hat diese Annahme ab- 
geleitet aus dem Fehlen der M-Sterne mit Leuchtkräften kleiner als 
-+2,5 (Masse < 3,5); zu Unrecht, da die bei der Geburt vorhandene 
Masse sowohl Leuchtkraft wie Temperatur bestimmt und aus der Zu- 
standsverteilung ebenso auf die Verweilzeit wie auf die Wahrschein- 
lichkeit des Zustandes geschlossen werden kann. 

Jeans kommt (vgl. Nr. 22) zu einer 'allerdings sehr unsicheren 
Abschätzung der mittleren Masse der Kondensationen, die sich aus 
einem Nebel vorgegebener Dichte bilden werden; über die Streuung 
um diesen Mittelwert läßt sich theoretisch nichts aussagen. Lönn- 
quist?‘) rechnet mit einer normalen Verteilung der logM gemäß 


1: (2— 20)? 








es N 20? 
(l) Yı-0 oV2x e 2 
y= Anzahl der Sterne mit lIgM —=xr; u, = — 05 (M = 03); 


c-1V2—=0/7; M,, 165 M,,_. = 9,06. 

Eine Abschätzung des Maximalalters bei einseitig gerichteter 
Entwicklüng, d. h. unter der Annahme, daß der Stern seinen Energie- 
vorrat während der Entwicklung nicht durch Zufuhr von außen merk- 
lich vermehren kann, ist nur möglich bei Voraussetzung einer be- 
stimmten Weggleichung. Dies wird merkwürdigerweise oft übersehen; 
gewöhnlich wird einfach die Rechnung Eddingtons??) übernommen, die 
sich ausdrücklich auf den Fall bezieht, wo die Entwicklung längs einer 
Kurve 7, = const. erfolgt. Das Masse-Leuchtkraft-Temperatur-Gesetz 
reduziert sich dann auf eine einfache Masse-Leuchtkraft-Beziehung: 


_RAa—B, 
@) Im 


In Verbindung mit der bei Umsetzung von Masse in Strahlung gül- 
tigen Beziehung 


AM 1 
8) ee Ri 
erhält man u 
Die Konstante ( bestimmt sich aus den Daten für die Sonne: 
(5) Mt — 1,510" Jahre, 1— 8 — 0,05 


90) I. A.S., Nr. 214. 

91) ©. Lönnquist, On the evolution of the stars with mass reduction, Medd. 
Upsala Nr. 25 — Ark. f. Mat., Astr. och Fys. 20A (1927), Nr. 21. 

92) I.A.S., Nr. 216. 


1014 VIs,28. H. Kienle. Kosmogonie. 














zu C = 4,0. 10!° Jahre. 
Integration liefert die Verweilzeit At in den einzelnen Stadien: 
C 1 6 
(6) MA Te 
Eddington gibt folgende Zahlen für sein Modell: 
Tabelle 4. 
Verweilzeiten bei Massenabnahme. 
Ana) ur 
= e (10'12 Jahre) 
—00 bis — 5,0 00 bis 35 0,04 — 
00 ra gg 0,06 18,8 
— 25 „ 0,0 do... eean 0,21 14,9 
RE EN: 2 20008 0,93 11,4 
+25 „ + 50 1,3, 09 5,2 9,4 
+50 ,„ + 75 0,92 ,„ 0,58 36,3 8,3 
98.5 806 0,58, 0,81 281 8,1 
400,038 0,31, 0,18 2190 81 











Einfacher noch erhält man den zeitlichen Ablauf, wenn man, den Be- 
obachtungen entsprechend, für die Hauptreihe ansetzt”°) 
AM 


(7) LM, dh ——uM, 

und integriert mit Bestimmung der Konstanten durch die Sonne: 
1 1 

(8) = 7,6: 100 (2 — gn;) Jahre. 


Für die Größenordnung der Zeitskala ist offenbar die Anfangsmasse 
M, belanglos, wenn der Massenverlust überhaupt eine Rolle spielt. 

Wählt man im Anschluß an Jeans”) die etwa bei spontanem 
Zerfall nach der Art der radioaktiven Prozesse (mit dem Unterschied, 
daß die abgespaltenen Massen sich in Strahlung umsetzen sollen) gül- 
tige Weggleichung 


(9) L-—- el -oM, 


so erhält man einen vollkommen anderen zeitlichen Ablauf des Ge- 
schehens, entsprechend der exponentiellen Massenabnahme 


(10) Ar= (Ole (F)- 


Die Konstante CO’ hat, wie die ungefähr mit M? abnehmenden Werte 
für die Energieerzeugung pro Masseneinheit (& in Tab. 1) zeigen, für 


93) Vgl. Nr. 5, Gleichung (3), p. 1000. 
94) A.C., Chapt. IV. 


7. Alter und Energieerzeugung. 1015 


die einzelnen Sterne verschiedene Werte. Es ist z.B. 


0, = 34,5-10% Jahre, ‘ CL —= 1,28: 10" Jahre. 


Sonne Capella 
Die Zahlen A?’ in der Tabelle 4 beziehen sich auf die Sonne; sie ver- 
kleinern sich für Capella auf . 

Ist ein Teil M, der Masse unzerstörbar, so daß nur der Teil 
M—M, für die Umsetzung in Strahlung zur Verfügung steht, so ist 


(11) L=«!(M-M,), 


und die Tabellenwerte At’ verkleinern sich im Verhältnis ra 


Wird die Energie durch Aufbau der Elemente unter Ausnutzung 
allein des Packungseffektes gedeckt, dann reduziert sich die Zeitskala 
ganz erheblich, da im Maximum knapp 1°, der Masse in Strahlung 
umgesetzt werden kann. Das Maximalalter eines Sternes mit der 
mittleren Energieerzeugung e&,. ist dann 


(12) t— = 0,16 (2) - 10° Jahre. 


Radioaktiver Zerfall von Elementen kann nur dann eine Zeitskala von 
gleicher Größenordnung liefern, wenn man mit Jeans”) zu hypotheti- 
schen Elementen höherer Ordnungszahl als Uran seine Zuflucht nimmt. 
Auf diesem Weg ist bisher kaum jemand gefolgt. 

Die der Sonne im heutigen Zustande zur Verfügung stehenden 
Energiequellen ergeben (größenordnungsmäßig) etwa folgende Bei- 
träge (nach Eddington”)) für die Energie und die entsprechende Zeit- 
dauer bei unveränderter Ausstrahlung von 1,2- 10%! erg/Jahr: 


Energie Zeitdauer 
Strahlung 0,3-10®erg 2,4-10° Jahre 
Kinetische Energie ZT 10 >, 8523: -10hası, 
Anregungsenergie (weniger als) 2,7:10% „ 23 -10° 
Gesamtmasse (Mc?) 1,8: 10a 131 IOW 


Der in Form von Strahlung, kinetischer Energie der Atome und Elek- 
tronen aufgespeicherte Teil entspricht mehr als der Hälfte der Energie, 
die die Sonne bei Kontraktion von unendlichem Radius auf die heutige 
Größe (beim Eddingtonschen Modell) aus den Gravitationskräften hat 
gewinnen können: 
Gravitationsenergie: 5,7. 10% erg. 

Unter Abzug der aufgespeicherten Energie von mindestens 3-10%erg | 
(über den in der elektrischen Anregung steckenden Bruchteil des 
Restes lassen sich kaum Angaben machen) errechnet sich also eine 


95) I.A.S., Nr. 201. 


1016 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


maximale „Vergangenheit“ der Sonne von 23:-10° Jahren, wenn ihr 
keine anderen Energiequellen zur Verfügung gestanden haben als die 
Kontraktion. Geologische und biologische Daten fordern für das Alter 
der Erde und der Sonne eine Größenordnung von 10° Jahren.) 


8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. Die Um- 
deutung des zunächst nur als Zustandsdiagramm gebildeten Leucht- 
kraft-Temperatur-Diagramms in ein Entwicklungsdiagramm bedarf der 
Kenntnis der Weggleichung, die die Entwicklung der Sterne bestimmt. 
Die Theorie des Sternaufbaus liefert nur die bei vorgegebenen Zu- 
standsgrößen möglichen Gleichgewichtszustände; die Weggleichung gibt 
an, in welcher Weise der einzelne Stern solche Zustände relativen 
Gleichgewichtes in zeitlicher Aufeinanderfolge durchläuft. Das einzige, 
was wir an zeitlichem Ablauf am einzelnen Stern beobachten können, 
ist eine kontinuierliche Ausstrablung von Energie, gemessen durch 
die Leuchtkraft. Die Frage nach der Weggleichung ist daher auf das 
engste verknüpft mit der Frage nach den Energiequellen, aus denen 
der Stern schöpft, um die Ausstrahlung zu decken; denn Gleichgewicht 
erfordert, daß die ausgestrahlte Energie gleich der im Innern des 
Sternes erzeugten ist. 

Aus den Betrachtungen über die Ergiebigkeit der verschiedenen 
Energiequellen folgt unmittelbar die allgemeine Feststellung: Wenn 
dem Energievorrat U, der dem Stern außer den subatomaren Energie- 
quellen (Aufbau, Abbau, Vernichtung von Materie) zur Verfügung 
steht, auch nur ein kleiner Bruchteil zur Deckung der Ausstrahlung 
entnommen wird, erfolgt die Entwicklung im (Z, T)-Diagramm längs 
einer Kurve konstanter Masse in Richtung wachsender Temperaturen 
(wachsender Dichte, abnehmender Radien), da die Entwicklungsge- 
schwindigkeit im (Z, 7T)-Diagramm in horizontaler Richtung die in ver- 
tikaler um Größenordnungen übertrifft (Lönngquist”)). 

Die Theorie des inneren Aufbaus der Sterne scheint vorerst keine 
ausreichende Handhabe für die Ableitung einer Weggleichung zu bieten, 
da sie noch nicht einmal die Zustandsgleichung überzeugend liefert.?®) 
Die kosmogonischen Überlegungen bewegen sich daher noch ganz in 


96) O. Hahn, Was lehrt uns die Radioaktivität über das Alter der Erde? 
Berlin 1927. H. Jeffreys, The Earth, Chapt. V. _ 

97) Fußnote 91, Chapt. VII. 

98) Die Schlußfolgerungen, die Milne aus den von ihm bisher gerechneten 
„Zweiphasenmodellen“ gezogen hat [vgl. Ztschr. f. Astroph. 4 (1932), p. 75; Ba- 
kerian Lecture, Cambridge Press 1932), müssen notwendigerweise hypothetisch 
bleiben, solange die Theorie noch so in ihren Anfängen steckt und größten 
Bedenken ausgesetzt ist. 





8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. 017 


der Richtung einer empirischen Umdeutung des Zustandsdiagramms 
in ein Entwicklungsdiagramm Dabei sind verschiedene Weggleichungen 
in Betracht gezogen worden (vgl. Fig. 2): 

a) M = const., d. h. der mit der Ausstrahlung verbundene Massen- 
verlust ist klein gegen die Gesamtmasse; der Stern deckt seine Strah- 
lung aus dem Energievorrat U (im wesentlichen also aus der Kon- 


x -3 
HM 5 70 a, 3 te kr 





0 
3,5 





M;, 


#5 








+n 











Fig. 2. 
Weggleichungen im Zustandsdiagramm. 
Die dick ausgezogenen und mit Richtungspfeilen versehenen Kurven sind die Wege 
= = M— M, für zwei verschiedene Durchgangsmassen (Capella M=4,2 und Sonne 
M = 1,0) sowie verschiedene Werte für den unzerstörbaren Teil M, (Bezeichnung rechts, 
jeweils am Anfang der Kurven). Die gestrichelte Kurve ist U= const. für die Sonne 
nach Lönnguist. Die strichpunktierte Kurve ist 7.=40:10% nach Eddington. Die 
Grenzen der Gebiete aus Fig. 1 sind dünn eingezeichnet. 


traktion) oder aus dem mit nur unwesentlichem Massenverlust ver- 
bundenen Auf- und Abbau der Elemente.””) Die Verteilungsfunktion 
der Massen und Leuchtkräfte ist dann durch die Vorgänge bei der 
Bildung des ganzen Sternsystems bestimmt. Die Hauptreihe erscheint 
als das Gebiet größter Stabilität, und die Häufigkeit der Besetzung 
muß aus der Theorie des inneren Aufbaus durch besondere Zusatz- 
annahmen abgeleitet werden. Die Zeitskala, d. h. die Größenordnung 





99) R.d’E. Atkinson, Atomic synthesis and stellar energy, Ap. Journ. 1931, p. 73. 


1018 V12,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


der Zeiten, während deren sich ein Stern längs einer Kurve kon- 

stanter Masse bewegen kann, ist von der Größenordnung (%) - 10° Jahre, 
* 

wenn nur Kontraktionsenergie zur Verfügung steht, und von der Ord- 


nung (2): 10° Jahre, wenn radioaktive Prozesse oder Packungseffekte 


des Atomaufbaus ausgenützt werden. 

b) U= const., d.h. der Stern deckt seine ganze Ausstrahlung 
aus subatomaren Energiequellen. Die Form der Kurve hängt wesent- 
lich von den physikalischen Zustandsgrößen im Sterninnern ab. Für 
das Eddingtonsche Modell ist sie von Lönnguist') diskutiert worden. 
In jedem Fall verlaufen die Kurven U = const. in der Richtung ab- 
nehmender Masse und grob qualitativ im Sinne der Riesen-Zwerg- 
Theorie der Sternentwicklung, mit einem jeweiligen Maximum der bei 
gegebener Gesamtenergie U erreichbaren effektiven Temperatur. Es 
ist nicht sehr wahrscheinlich, daß die Kurven U = const. wesentliche 
Teile der Weggleichung der Sternentwicklung darstellen. Die Zeitskala 
ist gegeben durch die Größe der Massenabnahme infolge der Aus- 
strahlung. 

c) T,= const. ist als Teil des Entwicklungsweges zuerst von 
Russell'®') vorgeschlagen worden, ausgehend von der Beobachtung, 
daß die Kurven 7’, const. im (Z, T)-Diagramm sehr nahe parallel der 
Richtung der Hauptreihe verlaufen, wenn die Sterne nach dem Ed- 
dingtonschen Modell aufgebaut gedacht werden. Die Mittellinie der 
Hauptreihe selbst wird dargestellt durch die Kurve 7,—=32 bis 
40.10° Grad, je nach den Annahmen über das Molekulargewicht. Die 
Hauptreihe erscheint in diesem Fall also zugleich als wirkliche Ent- 
wicklungsreihe, die in der Richtung B—- M durchlaufen wird. Die 
Länge des Wegstückes 7, — const. und die Zeit, die der Stern braucht, 
um es zu durchlaufen, hängen von dem Bruchteil der Masse ab, der 
in Strahlung umgesetzt werden kann. Der Anfang des Wegstückes 
entspricht dem Zustand, in dem die subatomaren Energiequellen „an- 
gezapft“ werden; am Ende steht ein Stern mit einer gewissermaßen 
„inerten“ Restmasse, die nicht mehr für die Ausstrahlung nutzbar 
gemacht werden kann. Rein physikalisch bereitet diese Auffassung die 
Schwierigkeit, daß nicht recht eingesehen werden kann, wie der Vor- 
gang der „Zerstrahlung“ der Materie bereits bei den niedrigen Tem- 
peraturen, wie sie im Mittelpunkt des Eddingtonschen Modells herr- 
schen, vor sich gehen soll; die kinetische Energie der Temperatur- 





100) a. a. O. Chapt. VI. 
101) Nature 116 (1925), p. 209; Astronomy, Chapt. XXVL 


8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. . 1019 


bewegung wird erst in der Gegend von 10'? Grad von der Größen- 
ordnung der Masse (KT Me’). 

Die Zeitskala bestimmt sich beim Eddingtonschen Modell aus der 
(L, M)-Beziehung auf die oben angegebene Weise und ist durch die 
Verweilzeiten At der Tabelle 4 gekennzeichnet. 


d) & = const. bzw. — const., d. h. die Energieerzeugung 


L 
MM) 
ist jeweils proportional der vorhandenen Masse oder einem „aktiven“ 
Bruchteil M — M,, wurde von Jeans!??) vorgeschlagen in Verfolg 
seiner Hypothese, daß die Energiequellen in dem Zerfall von Ele- 
menten mit höheren Ordnungszahlen als 92 zu suchen seien. Bei 
diesem Zerfall sollen nicht nur die Packungsenergien frei werden, 
sondern ein Teil der Massen sich vollständig in Strahlung umsetzen, 
gekennzeichnet durch eine Zerfallskonstante «x. Die Weggleichung 
liefert dann den zeitlichen Ablauf, entsprechend einer exponentiellen 
Massenabnahme: 


(1) M — M, = (M, — M,)er*t9 


mit den Verweilzeiten At’ der Tabelle 4. 
Durch Kombination mit der Zustandsgleichung in der allgemeinen 


Form _ 

BB TIP" Muh r'T's 
2) -— 2 = AWT, 
erhält man die dem jeweiligen Zustand zugeordneten effektiven Tem- 
peraturen; damit ist der Weg im allgemeinen Russell-Diagramm fest- 
gelegt. Beim Eddingtonschen Modell kann angenähert, übereinstim- 
mend mit der Beobachtung, gesetzt werden r=3, s=}. 


Ä = — const. führt zwangläufig mit M— 0 auf T,— , scheidet 


also praktisch aus; man ist bei dieser Art Weggleichung zu der An- 
nahme einer unzerstörbaren Restmasse M, gezwungen. Da % die 


mittlere Energieerzeugung pro Masseneinheit, längs der Hauptreihe 
erfahrungsgemäß ungefähr wie M? abnimmt, erkennt man weiter, daß 
die durch eine Weggleichung mit konstanter Zerfallskonstante defi- 
nierten Wege nur auf ganz kurze Strecken innerhalb des Gebietes 
der Hauptreihe verlaufen können. 

Um Wege zu erhalten, die innerhalb eines Bereiches der effek- 
tiven Temperaturen von etwa 1500 < 7,< 20000 unter merklicher 
Massenabnahme verlaufen, muß man schon, wie das auch Jeans tut, 








102) Vgl. die Darstellung in A.C., Chapt. VII. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 66 


1020 Ä VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


die Sterne sich aus Teilmassen verschiedener Ergiebigkeit zusammen- 
gesetzt denken, die dann der Reihe nach erschöpft werden: 


(3) MeMer'+ Mer’... 


Da über die Größe der Zerfallskonstanten der hypothetischen Ele- 
mente und über die Zusammensetzung der Sterne aus diesen Elemen- 
ten a priori gar keine Aussagen gemacht werden können, ist es nicht 
möglich, über den Lauf der Entwicklung irgend etwas auszusagen, 
was man nicht als Hypothese von vornherein hineingesteckt hat. 

e) Eine Abwandlung der Hypothese von Jeans stellt die „Wasser- 
stoffhypothese“ Lönnguists!®) dar. An die Stelle des radioaktiven 
Zerfalls von Elementen hoher Ordnungszahlen setzt Lönnguist un- 
mittelbare Vernichtung von Materie durch den Zusammenstoß Pro- 
ton—Elektron. Maßgebend für die Größe der Energieerzeugung ist in 
diesem Fall der Wasserstoffgehalt; von dem überhaupt für die Um- 
setzung in Strahlung zur Verfügung stehenden Teil «@M der Masse 
ist jeweils nur der Bruchteil ı wirksam; die pro Zeiteinheit erzeugte 
Energie ist proportional zı«M, und die Leuchtkraft 


(4) L=(1+f)aıel, 

wenn mit f der von der Kontraktionsenergie gedeckte Teil der Strah- 
lung bezeichnet wird. Die aus den Stößen Proton—Elektron resultie- 
rende spezifische Energieerzeugung kann gesetzt werden: 

B ag 

6) ende 

Wird noch das Masse-Leuchtkraft-Gesetz in der einfachen, tomperatur- 
unabhängigen Form von Eddington angenommen: 


Mi— pP) es: 
(6) mt 


so erscheint die Weggleichung schließlich für das KEddingtonsche 
Modell mit konstantem Molekulargewicht bei rl in der Gestalt 
BR i 4 Rz 3 gn? 
. : $ DEM M,) 

wo noch aM — M — M,, also M, der unzerstörbare Teil der Masse, 
und U die gesamte nicht subatomare Energie ist; q eine zeitabhängige 
Konstante. Durch die Zahl der verfügbaren Größen ist die Theorie 
auf der einen Seite sehr dehnbar, durch die Beschränkung auf das 
spezielle Eddingtonsche Modell andererseits sehr eng. Man kann aus 





103) Fußnote 91, Chapt. VIII-XI. 


8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. 1021 


ihr eine Entwicklung im Sinne Russells ableiten (Riese— Hauptreihe— 
weißer Zwerg), ohne zu zwingenden Schlußfolgerungen über die Not- 
wendigkeit einer solchen Entwicklung zu gelangen. 

Man hat versucht, wenigstens die grundsätzliche Frage zu klären, 
ob die Sternentwicklung unter wesentlicher Abnahme der Masse er- 
folgt oder nicht. Die Entscheidung dieser Frage entscheidet zugleich 
über die Frage der kosmogonischen Zeitskala. In der Hauptsache sind 
drei Argumente zugunsten der mit einer Entwicklung unter Massen- 
abnahme verknüpften äußersten Zeitskala angeführt worden: 

a) Für die Zeitdauer der geologischen und biologischen Ent- 
wicklung auf der Erde wird eine Spanne von der Größenordnung 
10° Jahre gefordert!%); das Alter der Sonne muß also mindestens 
von dieser Größe sein. 

b) Die Bildpunkte der Doppelsternkomponenten rücken beim Fort- 
schreiten längs der Hauptreihe immer näher zusammen; das Massen- 
verhältnis nähert sich dem Wert 1.!%) 

c) Die Verteilungsfunktion der Leuchtkräfte im Sternsystem läßt 
sich auffassen als Funktion der Verweilzeiten.!?®) 

Leider ist die Beweiskraft dieser Argumente nicht sehr groß. 
Das geologische Alter der Erde ist noch durchaus verträglich mit 
einer Zeitskala, die man erhält, wenn nur die Energien zur Verfügung 
stehen, die beim Aufbau und Abbau der Elemente frei werden; ohne 
daß man vollständige „Zerstrahlung“ wesentlicher Bruchteile der Masse 
zu Hilfe nehmen müßte. Zudem darf nicht vergessen werden, daß die 
exakte Schlußfolgerung aus den geologischen. Befunden nur lauten 
kann: die Sonne hat 10° Jahre lang mit konstanter Intensität gestrahlt; 
dazu sind Energiequellen nötig, die einem Gesamtverlust an Masse 
von nur 0,01°/, entsprechen. Die Weggleichung der Sonne kann also 
sehr wohl eine solche nahezu konstanter Masse sein. 

Daß die Gesetzmäßigkeiten bei Doppelsternsystemen eine zwang- 
läufige Folge allein schon des Zustandsdiagramms sind, wurde von 
Siedentopf'”") klar ausgesprochen und durch entsprechende Rechnungen 
belegt. 

Die Deutung der Häufigkeiten der absoluten Leuchtkräfte im 
Sternsystem durch die Verweilzeiten hat zwei wesentliche Voraus- 
setzungen, die nicht über den Charakter unbewiesener Hypothesen 
hinausgehoben werden können: daß die Sterne mit einer gewissen 


104) Fußnote 96. 
105) Vogt, Fußnote 71. Tabelle 3, p. 1007. 
106) Eddington, 1.A.S., Nr. 216. 
107) Fußnote 36, $ 11. 
66* 


1022 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Minimalmasse geboren werden und daß das Sternsystem zum min- 
desten in einem quasistationären Zustand sich befinde, in dem immer 
noch Sterne in dem gleichen Maße neu entstehen oder doch bis vor 
kosmogonisch „kurzer“ Zeit entstanden sind. Ist A(M) die Anzahl 
der Sterne, die mit einer absoluten Leuchtkraft M pro Zeiteinheit ent- 
stehen, und M, die der Minimalmasse bei der Geburt entsprechende 
absolute Leuchtkraft, r(M) die Verweilzeit in dem Zustand M bis 
M-dM, so ist die Leuchtkraftfunktion ®(M) in einem bestimm- 
ten Augenblick gegeben durch 


om) = m/f Aaaman für M<M, 
(8) 





HM, 
D(M)—r(M)/A(M)dM fü MM, 
\ fi] 


Der Quotient pn sollte also monoton anwachsen bis zu einem Wert 


M=M, und von da wieder abnehmen. Aus den Werten von van Rhijn!®®) 
für ®(M) und von Eddington') für die Verweilzeiten erhält man für 
das Sternsystem die nebenstehende Gegen- 














U %  überstellung.''%) 
Mm d Aus dem Verlauf von ii schließt man auf 
H M, ungefähr + 1, entsprechend M, = 25, in 
= 22 naher Übereinstimmung mit dem von Ed- 
2 0,60 dington angenommenen Wert M, = 3,5. Bei 
kuss etc der Annahme dieser Deutung folgt aus der 
+1 1,70 Existenz von Sternen der Masse 0,1 ein Min- 
: er destalter des Systems von 10° Jahren, das 
4 1,43 schwer verträglich ist mit den Abschätzungen 
4 nr über die Relaxationszeit, die in der Gegend von 
7 0,33 10"? Jahren liegen.''!) 
- iR Die Schwierigkeiten, auf die man bei den 


Sternhaufen stößt, wenn man die gleiche Deu- 
tung übertragen will, hat schon Eddington'!?) zugegeben; man muß 
bei den Kugelhaufen mit der Existenz mindestens von Zwergen mit 
Sonnenmasse rechnen, während bei den galaktischen Haufen die Ko- 


108) Publ. Groningen 38, 1925. 

109) 1.A.S., Tabelle 41, Nr. 216. 

110) Nach Siedentopfs Tabelle 9, durch Dreiermittel geglättet. 
111) Jeans, A.C., Chapt. XII. Vgl. Nr. 14 und Nr. 22. 

112) I.A.S., Nr. 217. 


S. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. 1023 


existenz von Riesen und Zwergen des @- und K-Typus gesichert er- 
scheint, allerdings mit anderem Häufigkeitsverhältnis als im Stern- 
system (vgl. Nr. 6). Siedentopf'') sah den Ausweg nur in der 
Forderung einer weitgehenden Stationarität — die Relaxationszeiten 
berechnen sich bei den Kugelhaufen zu etwa 10'° bis 10'! Jahren!!!) — 
während Lönngquist!'?) für die Verteilung der Massen bei der Ent- 
stehung des Haufens eine Häufigkeit ansetzte, die praktisch identisch 
ist mit der heute beobachteten. In jedem Fall werden die aus den 
Sternhaufen gezogenen Argumente in dem Sinn geschwächt, daß die 
Beobachtungen einer Entwicklung unter Massenabnahme zwar nicht 
mehr widersprechen, daß sie aber nicht, wie vor allem ten Bruggen- 
cate!!%) wollte, zu Gunsten einer solchen Entwicklung sprechen. 

Die ganze Frage spitzt sich heute dahin zu, aus rein physikali- 
schen Überlegungen über die Erzeugung der Energie im Sterninnern 
zu einer Entscheidung über die Weggleichung zu gelangen. Der 
empirisch-kosmogonische Weg der Umdeutung der Zustandsdiagramme 
hat zu keiner eindeutigen Lösung geführt. 

Ein erster Versuch, die aus dem Auf- und Abbau der Atomkerne 
verfügbaren Energien für die Sternentwicklung zu nutzen und die 
Vorgänge möglichst ohne astronomische Hilfsannahmen rein auf Grund 
einer Quantentheorie der Kernprozesse zu berechnen, ist von Atkinson?) 
unternommen worden. Der Grundgedanke der Theorie ist der schritt- 
weise Aufbau höherer Kerne durch Einfangen von Protonen und 
Elektronen. Wenn in einem zunächst ganz aus Wasserstoff bestehen- 
den Stern erst einmal der erste Heliumkern ‘durch einen Sechserstoß 
entstanden ist, bietet der Aufbau weiterer Kerne durch einfache Zu- 
sammenstöße keine Schwierigkeiten mehr; die Wahrscheinlichkeiten 
der Prozesse lassen sich nach einer im Anschluß an Gamov von 
Atkinson und Houtermans''?) entwickelten Theorie berechnen, ebenso 
die Temperaturen. Die bei dem stufenweisen Aufbau entstehenden in- 
stabilen Elemente liefern durch Zerfall wieder Heliumkerne, die als 
Bausteine für weiteren Aufbau dienen können, ohne daß die sehr un- 
wahrscheinlichen Sechserstöße unmittelbar Heliumkerne aus Wasser- 
stoff aufbauen müßten. Die Theorie erklärt sehr gut die relativen 


114) O. Heckmann und H. Siedentopf, Zur Dynamik kugelförmiger Stern- 
haufen, Ztschr. f. Astroph. 1 (1930), p. 77. Vgl. auch Nr. 14. 

115) Fußnote 91, Chapt. XIV. 

116) Vgl. das 4. Kapitel in dem Buch „Sternhaufen“. 

117) Fußnote 99. 

118) Ztschr. f. Phys. 54 (1929), p. 656. 


1024 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Häufigkeiten der leichteren Elemente; dagegen muß sie für die schwe- 
reren Elemente eine ad hoc-Hypothese hinzunehmen, die eine sehr 
starke Abhängigkeit des Bildungsprozesses von der Temperatur fordert. 
Die Wegkurven sind in diesem Fall praktisch solche konstanter Masse; 
die Entwicklung der Sterne erfolgt unter anfänglicher Kontraktion, 
nach Einsetzen des Aufbauprozesses unter langsamer Expansion. Tem- 
peraturen von der Größenordnung 10° Grad im Innern erscheinen 
ausreichend, um die Energieerzeugung dauernd sicherzustellen. 
Ziemlich ungeklärt erscheint zur Zeit noch die Stellung der wei- 
ßen Zwerge innerhalb der Entwicklungsreihe. In den Theorien von 
Russell und Jeans schließen sie sich, irgendwie als Endprodukte, an 
das untere Ende der Hauptreihe an; wobei die Koexistenz von nor- 
malen Sternen und weißen Zwergen in Doppelsternsystemen wie Sirius 
und Procyon schwer zu erklären ist. Bei Atkinson wird der Zustand 
des weißen Zwerges erreicht, wenn der für den Elementaufbau not- 
wendige Wasserstoffvorrat aufgebraucht ist. Da dies bei Entwicklung 
längs Kurven konstanter Masse für Sterne jeder Leuchtkraft einmal 
eintreten wird, hat man hier eine ganze Reihe „toter Sterne“ zu er- 
warten, und findet damit den aus anderen Gründen naheliegenden 
Zusammenhang mit den Zentralsternen der planetarischen Nebel. 


III. Dynamik der Entwicklungsvorgänge. 


9. Rotationsdeformationen. Die Theorie der Gleichgewichtsfiguren 
rotierender Massen ist für zwei Idealfälle der Dichteverteilung streng 
behandelt worden: Die homogene Flüssigkeit (g = const.) und das so- 
genannte Rochesche Modell, bestehend aus einem ausdehnungslosen 
Kern endlicher Masse und einer ausgedehnten Atmosphäre verschwin- 
dender Masse (mittlere Dichte og = Masse des Kernes : Volumen der 
Figur). Kosmogonisch ergeben sich daraus die folgenden Frage- 
stellungen: 

a) Welches sind die Gleichgewichtsfiguren der wirklichen kos- 
mischen Massen (Sterne, Nebel), deren innere Dichteverteilung 
irgendwie zwischen den beiden Idealfällen liegt (e = fr, p, #))? 

b) Lassen sich die bekannten Reihen von Gleichgewichtsfiguren 
auffassen als zeitliche Aufeinanderfolge relativer Gleichgewichts- 
zustände (d.h. als säkular stabile Entwicklungsstufen) einzelner 
Massen? 

Die Weggleichung eines isolierten mechanischen Systems enthält 
notwendigerweise die Forderung, daß der gesamte Drehimpuls (in An- 
lehnung an die englische Bezeichnung „moment of momentum“ auch 
„Gesamtmoment“, gemeint jedenfalls immer fi oar’dM) konstant sei. 


9. Rotationsdeformationen. 1025 


Die Entwicklungsreihen einer rotierenden Masse sind daher Folgen 
von Gleichgewichtsfiguren mit gleichem Ran gBeRMOMen: Für die 


Stabilität ist wesentlich der Wert von er nn » Die Reihen von Gleich- 


gewichtsfiguren konstanter Dichte bei zunehmendem Rotationsmoment 
sind identisch mit denjenigen zunehmender Dichte (Kontraktion, wach- 
sende Winkelgeschwindigkeit) bei konstantem Rotationsmoment. 
Ördnet man die bekannten Gleichgewichtsfiguren homogener 
Flüssigkeiten entsprechend '!?), so findet man, ausgehend von der Kugel 


(; 0) für eine Masse M mit dem Rotationsmoment M abgeplat- 


tete so lange 

0< e- BE s 0187; OseSs 2,03 :-10-?MUM-®. 
Sie verlieren ihre Stabilität beim Verzweigungspunkt mit den drei- 
achsigen Jacobischen Ellipsoiden, die eine stabile Fortsetzung der 
Reihe Pan, so lange 


0,137 2 ,, PPrf > 0,142; 2,03-.10-3M!M-<o<s9,03.10-3M1M-8. 


Von der Verzweigungsstelle mit den birnenförmigen Figuren aus scheint 
es keine stabile Fortsetzung mehr zu geben '?"); es setzt offenbar ein 
Teilungsprozeß ein, sobald g den Maximalwert 9 . 10-3 M!PM-® über- 
steigt. Anders ausgedrückt: eine homogene Flüssigkeit mit einem 


Rotationsmoment 
1 


5 Dr 
M > 0,0670-M®g ® oder M > 0,774-.M° o°® 
kann nicht als säkular stabile Gleichgewichtsfigur rotieren. Für die 
Sonne (M—=2:-10%g, e=1,54g em?) als homogene Kugel wäre 
der kritische Wert M = 2: 10° gcm? sec=!, während das tatsächliche 
Rotationsmoment 0,5 bis 1-10 ist, je nach der Annahme über die 
innere Dichteverteilung; also weit unterhalb dem zur Instabilität füh- 
renden Wert. 

Eine mathematische Behandlung des Zerfalls der birnenförmigen 
Figur hat Jeans'?') versucht für das vereinfachte zweidimensionale 
Problem des unendlich langen rotierenden Zylinders. Man kann daraus 
mit einiger Wahrscheinlichkeit schließen, daß bei dem Zerfall zwei 


119) Encykl. VI, 21, p. 50/51. 

120) Jeans, Problems, p. 87 gibt die endgültige Darstellung unter Verbes- 
serung von Fehlern der früheren Rechnungen und Nachweis der Arbeiten von 
Darwin, Liapounoff, Jeans. Ein Einwand von Baker, Proc. Cambridge Phil. Soc. 
20 (1920), wurde später vom Verfasser selbst zurückgezogen, ib. 23 (1925). 

121) Problems, p. 102. 


1026 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Massen von nicht sehr verschiedener Größenordnung entstehen: Enge 
spektroskopische Doppelsternsysteme mit stark deformierten Kom- 
ponenten. 

Das Rochesche Modell, bei dem das Gravitationspotential nur 
durch die punktförmige Masse im Mittelpunkt bestimmt wird, das 
daher einfacher Behandlung zugänglich ist, führt auf nur eine einzige 
Reihe von Gleichgewichtsfiguren. Die Niveauflächen sind Pseudo- 
sphäroide, bestimmt durch die Gleichung !??) 


.2 2 
_ a 2 (a? an y?) = const. 


Die freie Oberfläche hat linsenförmige Gestalt (Abplattung +) und ist 
definiert durch 
EM 2, F\ 2 
Bun a = @+N)=-; Mo). 
Ito = ” wo V das jeweilige Volumen der Atmosphäre ist, so wird 
die Reihe der Gleichgewichtsfiguren eines sich kontrahierenden Sternes 


formal beschrieben durch wachsende Werte von beginnend mit 


o? 
2nk?o’ 
dem Wert O für die Kugel und stabile Formen umfassend bis zu dem 
Maximalwert 


o? 
Ian 0,36, 
dem Wert für die kritische Niveaufläche, längs deren Äquator An- 
ziehungskraft und Zentrifugalkraft sich das Gleichgewicht halten. Bei 
weiterer Kontraktion und damit verbundener Zunahme der Winkel- 
geschwindigkeit bleiben in der Äquatorebene frei umlaufende Teile 
der Atmosphäre zurück. Nur die innerhalb der Linse mit dem Äquator- 


radıus 
di: 
3 


1 

R=—(W M) 

gelegenen Teile rotieren wie ein starrer Körper mit der Winkel- 

geschwindigkeit &; die äußeren laufen langsamer um, entsprechend 
dem 3. Keplerschen Gesetz. 

Es ist zu beachten, daß bei dem Modell von Roche die Größe 

des Rotationsmomentes kein Kriterium für die Instabilität ist. Das 

ideale Modell hat stets das Rotationsmoment 0; im praktischen Fall 


ist die Größe des Rotationsmomentes bedingt durch die Stärke der 
zentralen Verdichtung. Aus dem kritischen Wert er — 0,36 läßt 
sich für jedes beliebig kleine Rotationsmoment ein Verhältnis von 


122) Encykl. VI, 21, p. 70/71. 


9. Rotationsdeformationen. 1027 


Kernmasse zu Gesamtmasse ableiten, für welches die Grenze der äqua- 
torialen Stabilität überschritten wird. 

Die beiden idealisierten Modelle der klassischen Theorie führen 
auf zwei grundsätzlich verschiedene Arten von Rotationsinstabilität: 


a) Teilung in Massen von gleicher Größenordnung bei der homo- 
genen Flüssigkeit. 

b) Äquatoreales Ausströmen atmosphärischer Massen bei dem 
Modell von Roche. 


Für die Entscheidung wie wirkliche kosmische Massen sich ver- 
halten, ist die Untersuchung intermediärer Typen nötig und die Auf- 
findung von Kriterien, wann der eine oder andere Fall von Instabilität 
eintritt bzw. überwiegt. Untersuchungen dieser Art liegen bisher nur 
von Jeans?) vor, der die Zwischentypen in zweierlei Weise durch 
Parameter zu charakterisieren suchte, die einen kontinuierlichen Über- 
gang ermöglichen: 

a) Die rotierende Masse besteht aus einem Kern inkompressibler 
Flüssigkeit und einer masselosen Atmosphäre, so daß der Kern 
die ungestörten Gleichgewichtsfiguren durchläuft und durch 
seine Form allein die Gestalt und Größe der atmosphärischen 


® 
Hülle bestimmt. Parameter ist s = 5 ” wo vy das Volumen 
N 


des Kerns, v, das der Atmosphäre ist; s—= (0 für das inkom- 
pressible Modell, s— & für das Modell von Roche. 


b) Die rotierende Masse ist ein Gasball im adiabatischen (besser 
„polytropen‘“) Gleichgewicht. Parameter ist der Exponent 
“= a in der adiabatischen Beziehung 

p = const- 0* 


»—= x (n=0) für das inkompressible Modell, x = (n = 5) 
für das Modell von Roche, = $(n=5) für den Eddington- 
schen Stern. 


Die Behandlung des ersten Falles ist leicht. Hat der Kern die 
Gestalt des kritischen Maclaurin-Ellipsoids, so bestimmt die kritische 
Niveaufläche der Atmosphäre das mögliche Volumverhältnis zu s= 4. 


Hat die ursprüngliche Atmosphäre größere Ausdehnung, so wird be- 
reits für Werte er < 0,187 äquatoreales Ausströmen der Materie 
erfolgen; dies so lange, bis der Kern die Reihe der Rotationsellipsoide 
bis zur Verzweigung mit den Jacobischen dreiachsigen Ellipsoiden 


durchlaufen hat. 


1023 VIs,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Für die Grenzfigur der Jacobischen Ellipsoide findet man s—= 4%; 
d.h. an der Verzweigung mit den Birnenformen — entstehender Dop- 
pelstern — kann das Volumen der Atmosphäre nur noch + des Kernes 
betragen. Der ursprüngliche Überschuß (zwischen + >s> 1) wird, wäh- 
rend der Kern die Reihe der Jacobischen Hlipsside durchläuft, an 
den in Richtung der großen Achse des Ellipsoids gelegenen diametralen 


Punkten der Atmosphäre abgestoßen. 


Definiert man wieder formal die mittlere Dichte og = es A 
(Ontvy 
berechnet sich der zu dem kritischen Wert s— ;}; gehörige Wert der 
Winkelgeschwindigkeit zu 


w*? > 

2mk?o ana 0,25. 
Für das adiabatische Modell hat Jeans durch Reihenentwicklungen 
der Dichte und des Potentials der Pseudosphäroide bzw. -ellipsoide 
Einblick in die Verhältnisse zu gewinnen versucht; Entwicklungspara- 


t mE, wo g, die Zentraldichte, 6 die Oberflächendichte 


bedeutet. Die Bedingung, daß die Verzweigungsstelle der Pseudo- 
sphäroide mit den Pseudoellipsoiden zusammenfalle mit dem Auf- 
treten der Unstetigkeit am Äquator der freien Oberfläche, führt auf 
die Bedingung !??) 


IH ur — 2 [0,9990 (x — 2) — 1,0500] 


meter is 





fe (= rel ) [0,4997 (x — 2)? — 0,07140 (x — 2) — 0,07998] + ---— 


Für OZ9_,] konvergieren die Werte von x gegen 2,2 (n— ;) und 


% 
für die kritische Rotationsgeschwindigkeit erhält man 


ae a 
sg = D18712 + 0,08827 9° —* + 0,03022 (© +, 


konvergierend für Sm a | gegen etwa 0,31. Gaskugeln mit 


% 
8 <z<1N(5>n>3) werden äquatoreal instabil; solehe mit } <x< oo 
(>n>0) teilen sich nach dem Vorbild der Birnenformen homogener 
Flüssigkeiten. Der Eddingtonsche Stern würde formal mit n=3 in 
die erste Reihe gehören. Da auch alle neueren Untersuchungen über 
den Aufbau der Sterne im allgemeinen formale Polytropenindizes über 
1 ergeben, könnte man versucht sein, zu schließen, daß bei den in 


der Natur vorkommenden Sternen der Teilungsprozeß überhaupt nicht 
eintreten kann. 


123) Zitiert nach A.C., abweichend von den früheren Werten. 


10. Gezeitendeformationen. 1029 


Das wäre indessen ein bedenklicher Fehlschluß !*), da alle Unter- 
suchungen über den Polytropenindex Sterne ohne Rotation betreffen 
und die Untersuchungen über Gleichgewichtsfiguren Rotation wie ein 
starrer Körper voraussetzen. Das Theorem von v. Zeipel zeigt, daß 
wirkliche Sterne nicht wie starre Körper rotieren können. Jeans hat 
durch seine Theorie der Strahlungsbremsung zu zeigen versucht, daß 


das Rotationsgesetz von der Form o nn. sei. In diesem Fall würden 
wir gerade zu dem umgekehrten Schluß kommen wie oben: da die 
Zertrifugalkraft wegen der mit 4 abnehmenden Winkelgeschwindig- 


keit nie den Wert der Schwerkraft erreichen kann, ist ein äquatoreales 
Instabilwerden ausgeschlossen. Die Sterne verhielten sich vielmehr dem 
Einfluß der Rotation gegenüber stets wie homogene Flüssigkeiten. 

So lange wir keine Theorie des Aufbaus rotierender Gaskugeln 
besitzen — die Ergebnisse von Jeans sind sehr anfechtbar — kann 
aus der formalen Behandlung des adiabatischen Modells nichts über 
das wirkliche Verhalten kosmischer Massen geschlossen werden. Die 
Kosmogonie kann sich daher vorläufig nur auf den empirischen Stand- 
punkt stellen: 

a) Die Formen außergalaktischer Nebel weisen unzweifelhaft auf 
das Vorkommen äquatorealer Instabilitäten hin, nach dem Vor- 
bild des Modells von Roche. 

b) Die Existenz enger spektroskopischer Doppelsterne (Typus 
ß Lyrae), bei denen Umlaufszeit und Rotation der Komponen- 
ten übereinstimmen und die Oberflächen in der Verbindungs- 
linie der großen Achsen nahezu in Kontakt sind, macht das 
Vorkommen von Teilungsprozessen nach dem Vorbild .der 
homogenen Flüssigkeiten fast zur Gewißheit. 


10. Gezeitendeformationen. Unter dem Einfluß der Anziehung 
einer äußeren Masse treten Deformationen auf, die auch auf gewisse 
Reihen von Gleichgewichtsfiguren führen, wenn man die die Defor- 
mation bestimmenden Parameter kontinuierlich variiert. Das allge- 
meine Problem kann zunächst dahin vereinfacht werden, daß man 
beide Körper als in Ruhe befindlich betrachtet relativ zu einem Ko- 
ordinatensystem, das mit der Umlaufsgeschwindigkeit der beiden 
Massen um den gemeinsamen Schwerpunkt rotiert. 

Als Erde-Mond-Problem, wo die Distanz des „Mondes“ groß ist 
gegen seine Dimensionen, wird die Aufgabe schon von der klassischen 
Himmelsmechanik behandelt.!??) Das allgemeinere Problem der Ge- 


124) Auch von Emden gezogen: Encykl. VI 2, 24, p. 448. 
125) Encykl. VI, 21, Nr. 26. 


1030 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


stalt, vor allem aber der Stabilität eines Satelliten?) wurde von 
Roche gelöst und führte zu der kosmogonisch bedeutsamen Feststellung, 
daß es, bei gegebenen Massen bzw. mittleren Dichten, eine Minimal- 
distanz gibt, innerhalb deren kein Satellit als zusammenhängender 
Körper umlaufen kann (Rochesche Grenze). 

@. H. Darwin'?") hat sich dann von der Einschränkung befreit, 
daß nur die eine Masse (der „Mond“) deformierbar sei. Durch um- 
fangreiche Reihenentwicklungen und Rechnungen hat er die Gleich- 
gewichtsfiguren von Doppelsternsystemen verschiedenen Massenverhält- 
nisses und verschiedener Distanz der Komponenten berechnet, ausgehend 
von ellipsoidischen Deformationen. 

In all diesen Arbeiten wurde nur der Idealfall der homogenen 
Flüssigkeit behandelt. Jeans'?®) hat die entsprechenden Fälle für das 
Modell von Roche betrachtet, die nichts prinzipiell Neues ergeben hin- 
sichtlich des Wertes der kritischen Distanz. Nur treten beim Instabil- 
werden wieder die analogen Unterschiede gegenüber der Flüssigkeit 
auf wie beim Rotationsproblem (vgl. unten). Ein erster Ansatz zu 
wirklich strenger Behandlung der Frage ist von Lichtenstein'??) ge- 
macht worden, zunächst allerdings nur wieder für den zweidimensio- 
nalen Fall. 

Die Gleichgewichtsfiguren lassen sich mit sehr großer Annäherung 
durch Ellipsoide darstellen, die in der Richtung der Verbindungslinie 
beider Massen verlängert sind. Die Abweichungen vom Ellipsoid er- 
reichen selbst bei Darwins Figuren „größter Annäherung“ nur wenige 
Prozent; sie liegen in dem Sinn, daß die einander gegenüberliegenden 
Enden der Körper etwas verlängert, die abgewandten verkürzt sind 
(vgl. Tabelle 6). 

Das allgemeine Problem ist gekennzeichnet durch das Massen- 


verhältnis = ‚ wo M jeweils den Stern bedeutet, dessen Figur unter 


dem Einfluß von M’ betrachtet werden soll, und das Moment 
#4 MM’ 

M-(MPHMICH gr 

wo I und }’ die Trägheitsradien der beiden Körper bedeuten, A die 

Distanz ihrer Mittelpunkte. Das spezielle Mondproblem von Roche ent- 

spricht der Annahme M (d. i. der „Mond“) unendlich klein, M’ un- 

deformierbar, d. h. 1’ const., so daß das Potential sich nach Potenzen 


A°) o, 


126) Ebenda Nr. 27. 

127) Collected Works III. Vgl. auch Jeans, Problems und A.C. 
128) Problems, Chapt. VII. 

129) Kosmogonische Untersuchungen I. Ber. Leipzig 1928, p. 80. 


10. Gezeitendeformationen. 1031 


14 


von = entwickeln läßt. Das Moment schreibt sich für undeformier- 


bares WM’ einfach so: 


{3 


— MEHNIYYo-+ Bel (M + M’) u, 
Für M—- 0 geht auch M— 0, aber ai bleibt endlich: 


om = (EM Y 3 + const. 


Das allgemeine ER von Darwin entspricht endlichen 


Werten von a und Deformierbarkeit auch von M’, so daß das Po- 


tential sich nur durch schrittweise Näherung berechnen läßt. In den 
Ausdruck für die Distanz A tritt der die Deformation charakteri- 
sierende Parameter & ein und das Moment wird allgemein 


— (MEHMIYNo +EMMM + NORETETe u) 


oder auch 


2. 
3 


3 


— (NEHM Hg "ro) (+ HM + MA: 
2. NW 
Für jeden Wert von = lassen sich lineare Reihen von Gleich- 


gewichtsfiguren angeben, die wieder so anzuordnen sind, daß sie den 
Reihen entsprechen, die bei konstantem Gesamtmoment durchlaufen 
werden. Allerdings liegen die Verhältnisse hier verwickelter als beim 
einfachen Rotationsproblem, da im praktischen Doppelsternproblem ein 
Austausch zwischen dem Umlaufmoment und den Momenten der rela- 
tiven Rotation der Körper durch Gezeitenreibung stattfindet (vgl. Nr.12). 
Aber man kann — z.B. bei der Annabme gleichförmiger Kontraktion 
beider Komponenten — die wirklichen Reihen in Parallele setzen mit 
solchen DIOR: Momentes. Die für die Stabilität maßgebende 


Größe en rl 


angepaßte kritische Distanz, indem man einführt 


’ er adeg Ar r,.,_ 
M— Fer abc e=7, Re. 


ersetzt man zweckmäßigerweise durch eine dem Problem 


Die Grenze der Stabilität uefbäh dem Minimum des Momentes und 
ist gegeben durch 
FRE RW ER EN, 
-E 
.oder 








1032 VI2,28 H. Kienle. Kosmogonie. 


Diese in Einheiten des Radius der störenden oder der gestörten Masse 
ausgedrückte kritische Distanz, innerhalb deren Instabilität auftritt, 
ist die „ARochesche Grenze“. Im speziellen Mondproblem von FRoche 
ist diese Grenze einfach . durch 

M’ 0: 


1 
.- o'\ 3 4 
mi ar 0085; A—2455(8) My. 


Der von Roche!?®) für — 1 unter Voraussetzung der Nichtdeformier- 
barkeit der Masse M’ abgeleitete Wert (« —= 2,64) ist praktisch un- 
interessant. Wenn die Massen vergleichbar werden, muß die all- 
gemeinere Behandlung von Darwin einsetzen. In Darwins Rechnungen 


ist o==o’ und als Einheit der Entfernung wird benutzt: 
4 


RR. —): 


e 4a 
Die wesentlichen Ergebnisse!) sind für die Grenzfiguren '#®%) 
(„figures of limiting stability“): 
Tabelle 6. 





M| w! | 
ER BR BD: 
M |2nmkto | 
0 | 0,0449 | 2,457 | 1,030 | (0,482) | (0,511) | (1,000) | (0,942) | (1,030) | (1,030) 

0,4 | 0,0435 | 2,485 | 0,583 || 0,562 | 0,603 | 0,843 | 0,815 | 0,886 | 0,988 + 
0,7 | 0,0428 | 2,497 | 0,559| 0,652 | 0,701 | 0,901 | 0,753 | 0,815 | 0,958 + U 


| 
al 
1,0 | 0,0420 | 2,514 | 0,576 | 0,708 | 0,762 | 0,927 | 0,708 | 0,762 | 0,927 +4, — . 


er 


b e a’ v’ ee. 
BETA 






































a, b, c bzw. a’, b’, ce’ sind die Achsen der Körper, a und «’ parallel der 
Rotationsachse, ce und ce’ in Richtung der Verbindungslinie. Unter 


En stehen die prozentualen Abweichungen der großen Achse vom 


Ellipsoid; Verlängerungen (positive Reihe) auf der zugewandten Seite, 
Verkürzungen (negative Reihe) auf der abgewandten. Die Deforma- 
tionen sind dem Massenverhältnis umgekehrt proportional: 

de _ M dc 

ee“ 
D ist die kürzeste Distanz der Oberflächen. 


130) Encykl. VI, 21, p. 55. 

131) Coll. Works III, p. 507—511. 

132) Auf den Unterschied zwischen „partieller Stabilität“ und „säkularer 
Stabilität“ braucht hier nicht näher eingegangen zu werden. Bei dem ganzen 
Näherungscharakter der Rechnungen und den mehr qualitativen Bedürfnissen 
der Kosmogonie spielt es keine Rolle, ob «um einige Prozent größer oder kleiner 
ausfällt. Die Zahlen Darwins beziehen sich auf den Fall der partiellen Stabilität. 


10. Gezeitendeformationen. 1033 


Die über die „limiting stability“ hinaus noch formal nach der 
gleichen Methode von Darwin gerechneten Kontaktfiguren („figures 
of celosest approach“) sind notwendig instabil. Darwin hoffte damals, 
von hier aus den Anschluß an die von ihm als stabil betrachteten 
birnenförmigen Figuren finden zu können. Dieser Anschluß ist nicht 
geglückt. Es klafft eine Lücke, in der dynamische Vorgänge sich 
abspielen; der Übergang vom rotierenden dreiachsigen Ellipsoid zum 
Doppelstern erfolgt durch eine Katastrophe („Cataclysmie motion“). 

Das Gezeitenproblem kann noch in einer anderen sehr wichtigen 
Form spezialisiert werden. Im Fall der Annäherung zweier Himmels- 
körper aus großer Entfernung ist & — 0), so daß die Rotationsglieder 
in den die Deformation bestimmenden Ausdrücken verschwinden. Maß- 
gebend für die Vorgänge ist aber nicht allein die jeweilige Distanz 
der beiden Massen, sondern auch die Geschwindigkeit, mit der die 
Annäherung bzw. der Vorübergang erfolgt, verglichen mit der Periode 
der freien Schwingungen der Masse. Bei „adiabatischer“ Annäherung 
(„slow encounter“ in Jeans’ Terminologie) kann das Problem als sta- 
tisches Gleichgewichtsproblem behandelt werden; im anderen Extrem- 
fall („transitory encounter“) hat man es mit einem Stoßvorgang zu tun. 

Die kritische Rochesche Grenze ergibt sich in den beiden Extrem- 
fällen nur wenig verschieden und ist — da der Einfluß der Rotations- 
glieder wegfällt — kleiner als im Doppelsternproblem. Jeffrey") 


i ı 
findet z. B. die entsprechenden Zahlenfaktoren 2° bzw. (7)", d.h. bei 


einem „Stoß“ einen um etwa 4°/, größeren Wert als bei einer adia- 

batischen Annäherung; das aber liegt innerhalb der sonstigen Ver- 

nachlässigungen der Theorie. Nach Jeans'?*) gelten die Beziehungen 
1 


A = 2,198 (5) BR für homogene Flüssigkeiten | „y, 


1 nn” oo 
% ms # 
A = 1,75 (3) R, für das Modell von Roche 
z 1 
A—228 (9) Ro für das Modell von Roche ——2. 


Begegnungen sind für einen Stern um so gefährlicher (A wird um so 
größer), je größer die Masse M’ ist, der er begegnet. Begegnet z. B. 
eine nach dem Modell von Roche aufgebaute Sonne einem Stern von 
der Masse 4® bei einer Relativgeschwindigkeit von 40 km/sec, so 
würde Annäherung auf die Distanz 4 (entsprechend dem mittleren 


133) The Earth, p. 24. 
134) Problems, p. 46 bzw. 156. 


1034 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Abstand der Asteroiden) schon die Ablösung des von dem fremden 
Stern erzeugten Flutberges hervorrufen. 

Wie beim Rotationsproblem, so hängt auch beim Gezeiten- und 
Doppelsternproblem die Art der auftretenden Instabilitäten von der 
Konstitution der Massen ab. Jeans!®°) hat plausibel machen können, 
daß die homogene Flüssigkeit beim Instabilwerden der verlängerten 
Pseudoellipsoide mehrere Einschnürungen bildet und entsprechend in 
mehrere Teilmassen von vergleichbarer Größe zerfällt, während das 
Modell von Roche in der Verbindungslinie beider Körper nur Bruch- 
teile der atmosphärischen Massen ausströmen läßt (Ablösen eines Flut- 
berges), zunächst auf der dem störenden Stern zugewandten Seite, im 
allgemeinen aber auch auf der Gegenseite. 

Das allgemeine Modell des Übergangstypus hat Jeans'®) nur für 
den Fall eines inkompressiblen Kernes mit Atmosphäre kurz diskutiert. Er 





findet für das kritische Verbältnis —- den Wert is; d.h. wenn die 
Par Ya 


ursprüngliche Atmosphäre mehr als ‚, des Gesamtvolumens ausmacht, 
werden atmosphärische Teile abgestoßen, bevor der Kern instabil wird. 

Im allgemeinen wird bei Begegnungen nur die kleinere der beiden 
Massen zerbrechen.'?”) Bei einem Vorübergang, d.h. einem nicht zen- 
tralen Stoß, wird außerdem auf den gestörten Körper, besonders auf 
den etwa abgelösten Flutberg, Impuls in der Bewegungsrichtung des 
störenden Körpers übertragen, außer bei dem in der Wirklichkeit nicht 
streng möglichen adiabatischen Fall. Diese beiden Bemerkungen sind 
wichtig für die Beurteilung der Theorien, die die Entstehung des 
Planetensystems auf eine Begegnung der Sonne mit einem Stern 
großer Masse zurückführen. 

Für die Anwendung der Theorie ist bedeutungsvoll die Fest- 
stellung, daß im Planetensystem sicher alle Teile des Saturnrings 
innerhalb der kritischen Distanz liegen, die die Existenz eines Mondes 
verbietet (äußerer Radius des Ringes — 2,30. Rp). Bedenklich nahe 
der Grenze laufen die innersten Monde von Jupiter (2,54), Mars (2,79) 
und auch noch Saturn (3,11), während alle anderen Monde, vor allem 
auch der Erdmond (60,3), weit außerhalb der Gefahrzone liegen, so- 


weit, man sie hier angeben kann mit Rücksicht auf den Faktor 


(&)'; der die Grenze hinausrückt, wenn die Dichte des Mondes kleiner 
ist als die des Planeten. 


135) Problems, p. 118—131. 
136) Ebenda p. 160—164. 
137) Jeffreys, The Earth, p. 24. 


11. Schwingungen und Pulsationen. 1035 


11. Schwingungen und Pulsationen.!”) Für die Periode P einer 
_ freien Schwingung (Volumen konstant, Form periodisch veränderlich) 
oder Pulsation (Form konstant, Radius periodisch veränderlich) einer 
Gaskugel der mittleren Dichte o gilt stets eine Beziehung der Form 


(1) P?.o = const. 


Der Wert der Konstanten hängt vom Aufbaugesetz (Verhältnis der 
Mittelpunktswerte zu den Mittelwerten) und der Zustandsgleichung 


der Materie (Verhältnis der spezifischen Wärme x = > ab und kann 


v 
für wirkliche Sterne nur unsicher angegeben werden. Eddingtons Mo- 


dell für normale Riesen (n = 3) liefert 


0,00052 
(2) P?o = v—4& 
3 


wo y das „effektive“ Verhältnis der spezifischen Wärmen ist (Materie 





’ 


—+- Strahlung), das zwischen = und $ liegt. Kommt y dem Wert $ sehr 


nahe (Überwiegen der Strahlung), so wird P stark anwachsen. Edding- 
ton ‘°®) setzt als wahrscheinlichsten Wert an, allerdings unter Rück- 
sichtnahme auf die bei den Ö Cephei-Sternen beobachteten Verhältnisse, 
also nicht aus rein theoretischen Überlegungen, 


v— $ = 0,030, 
womit man erhält 
(3) P?!o = 0,017, 
während Jeans‘) mit einem viel kleineren Wert rechnet: 
(4) P?o = 0,0020. 


Die folgende Tabelle gibt einen Vergleich der „beobachteten“ Werte 
der mittleren Dichten nach Seares't') und der nach den beiden For- 
meln berechneten. 

















Tabelle 7. 
RE ERIE OD ne | Mittlere Dichte 
| 
RER | 
Aterad 1,P | Seares Eddington Jeans 

Langperiodische M 300° | 6.10? 2.107 2-.10-° 
Cepheiden.. K 1er 
5 G 4 8 0 er 
N 0,9 | 4-.10=* | 2.10*3 | 9.10-: 
Haufenveränderliche . | A 08 | 8-10-® 2.10-1 2.10-? 











138) Vgl. Emden, Encykl. VI, 24, Kap. H. 
139) I.A.S., p. 235. 
140) A.C., p. 877. 
141) Fußnote 35. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 67 


1036 VIg,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Führt man das Masse-Leuchtkraft-Gesetz ein, so erhält man mit 
großer Annäherung (bis auf den Einfluß der innerhalb der Reihe der 
Riesen nicht großen Variation des Molekulargewichtes und der Größe 
1—Pß) ein Perioden-Leuchtkraft-Gesetz in der Form 


(5) log P+025:. M-+3log T, — const. 


Dieses Gesetz wird durch die Cepheiden sehr gut erfüllt.) Die Kon- 
stante ergibt sich empirisch zu 11,35 + 0,01. 

Wesentlich für den Vergleich mit der Beobachtung sind gewisse 
Phasenbeziehungen, die bei radialen Pulsationen erfüllt sein sollten: 


. a) Die Temperatur muß in Phase sein mit dem Radius'#°), dessen 
Änderungen aus der beobachteten Radialgeschwindigkeitskurve 
abgeleitet werden können. 

b) Da die Leuchtkraft durch Radius und Temperatur bestimmt 
ist, müssen Radius und Temperatur beide in Phase sein mit 
der Leuchtkraft.'*) 


Hier liegt eine der großen Schwierigkeiten für die Deutung der 
Cepheiden nach der Pulsationstheorie vor (vgl. Nr. 20). 

Die kosmogonisch bedeutsamen Fragen: Ursachen und Aufrecht- 
erhalten der Pulsationen, Auftreten bzw. Fehlen von Oberschwingungen 
sind noch wenig geklärt; man verfügt kaum über mehr als ad hoc 
konstruierte Hypothesen.!#) 


12. Gezeitenreibung. Durch innere Reibung tritt eine Verzögerung 
der Gezeiten auf, wenn Umlaufszeit und Rotationszeiten nicht gleich 
sind. Die großen Achsen der durch Gezeitenwirkung deformierten Fi- 
guren weisen nicht in die Verbindungslinie der Mittelpunkte. Dadurch 
entstehen Kräfte, die einen Austausch von Umlauf- und Rotations- 
momenten bewirken und die Herstellung eines Zustandes erstreben, 
in dem beide Körper keine relative Rotation mehr besitzen. Eine 
gründliche Diskussion der mit der Gezeitenreibung zusammenhängen- 
den Fragen verdankt man @. H. Darwin“), der zwar nicht als erster 


142) Jeans, A. C., p. 378, Table XXXI. 

143) Jeans, M.N. 84 (1926), p. 86 u.574. Reesinck, Dissertation Amsterdam 
1926; M.N. 84 (1927), p. 414. 

144) W. Baade, A.N. 5468 (1926) = Mitt. Hamburg-Bergedorf, Bd. 6, Nr. 26. 

145) Vgl. H. Siedentopf, A.N. 244 (1931), p. 17 und 245 (1931), p. 85. 

146) Coll. Works Vol. II. Tidal frietion and Cosmogony. Encykl. Vl ı,B,6E.: 
Flutreibung und spekulative Astronomie. Vgl. auch die allgemeine Darstellung 
in „Ebbe und Flut“, Sammlung Wissenschaft und Hypothese Bd. V (1911), Kap. 
XVI—XXI. Mathematische Analyse der wesentlichen Punkte bei Poincare, Legons, 
Chap. VII und bei Jeffreys, The Earth, Chapt. XIV. 


12. Gezeitenreibung. 1037 


auf ihre kosmogonische Bedeutung hingewiesen !#”), die Folgerungen 
aber im weitesten Umfange gezogen hat. 

Die bei der Gezeitenreibung auftretende Kraft @ ist bis auf un- 
wesentliche Faktoren (Zahlenkoeffizienten, Viskositätskonstante), die als 
Proportionalitätsfaktor « eingeführt werden mögen: 

’ 9 
(1) Gel) u MM EA 
Die durch Gezeitenreibung vernichtete Energie ist 
IE 
(2) = He—n), 
wenn & die Winkelgeschwindigkeit der Rotation, n die des Umlaufs 
ist. @ hat das gleiche Vorzeichen wie © — n. Die Hauptwirkungen 


auf die Bahnelemente sind '#), wenn man zur Abkürzung die kanoni- 
sche Variable £— Ya einführt und K= &y* an 


a) Änderung der großen Achse a bzw. der mittleren Bewegung n: 


setzt: 


d d 
(3) = -,-—-Ko-—n), 
b) Änderung der Exzentrizität: 
d K 
(4) =t . (11o — 18n), 


ce) Anderung der Neigung ö des Äquators und j der Bahnebene 
gegen die unveränderliche Ebene: 
di Ko ,. . 
u au +3) 
(8) dj K .. 5 


[2 


Aus (1) ersieht man, daß das Massenverhältnis = eine entscheidende 


Rolle spielt; die besondere Stellung des Erde-Mond-Systems mit seinem 


r 


großen Wert von SE — 2 gerade bezüglich der Wirkung der Ge- 
zeitenreibung, wird daraus verständlich. Die Wirkung nimmt außer- 
dem mit einer sehr hohen Potenz des Abstandes ab; daher ist die 
durch die Sonnengezeiten auf die Planeten ausgeübte Wirkung be- 
deutungslos, außer etwa bei Merkur und Venus.!*?) 

Da K eine positive Konstante ist, folgt aus (3), daß die Bahndimen- 
sionen sich verkleinern (vergrößern), wenn die Rotationsgeschwindigkeit 





147) Vgl. die historische Darstellung von @. H. Darwin selbst in Encykl. 
VI ı,B,6E., Nr. 41. 
148) Poincare, Legons, Nr. 118. 
149) Vgl. die Tabelle bei Darwin, Coll. Works II, 8. 
67* 


1038 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


© kleiner (größer) ist als die Umlaufsgeschwindigkeit ». Der innerste 
Marsmond (na 3) muß sich dem Planeten nähern, während der Erd- 
mond (n<o) sich entfernt. Ist n> o, dann gibt es keine säkular 
stabile Lösung; der Mond muß notwendigerweise auf den Planeten 
fallen. Ist dagegen n < ®, dann erweitert sich die Bahn unter gleich- 
zeitiger Verlangsamung der Rotation, bis n—= ® wird. Der Erdmond 
hat unter dem Einfluß der von der Erde ausgeübten Gezeitenwirkung 
schon in der Vergangenheit den Zustand erreicht, daß sein „Tag“ 
gleich dem Monat ist. Das ganze System Erde—Mond wird diesen Zu- 
stand erreichen, wenn Erdtag und Monat gleich etwa 55 unserer heu- 
tigen Tage geworden sind.') 

Die Diskussion der Gleichungen (4) und (5) ist komplizierter. 
Als wesentliches Ergebnis der Untersuchungen Darwins ist zu ver- 
zeichnen, daß durch Gezeitenreibung aus kleinen zufälligen Störungen 
exzentrische und geneigte Bahnen entstehen können, selbst wenn zu 
irgendeinem Zeitpunkt e=0 und i—+j=0 waren. 

Darwin hat auch noch die gleichzeitige Variation von R durch 
Abkühlung berücksichtigt und Poincard hat zu zeigen versucht, daß 
das Zusammenwirken der Verzögerung durch Gezeitenreibung und der 
Beschleunigung durch Kontraktion unter Umständen (d. h. bestimmten 
Annahmen über das Kontraktionsgesetz) eine ursprünglich rückläufige 
Rotation in eine rechtläufige verwandeln könne. 

Darwins Untersuchungen beziehen sich fast ausschließlich auf die 
Verhältnisse im Planetensystem und hier speziell wieder auf das System 
Erde— Mond. Die Folgerungen aus der Theorie der Gezeitenreibung 
für die Entwicklung von Doppelsternsystemen aus sich teilenden und 
kontrahierenden Massen hat in größerer Allgemeinheit 7. N. Russell!) 
gezogen. Es gibt eine obere Grenze für die Distanz, bis auf die sich 
beide Komponenten voneinander entfernen können; sie ist dadurch 
gegeben, daß der gesamte Drehimpuls des Systems nur noch als Um- 
laufmoment vorhanden ist, nachdem die Rotationsmomente durch Ge- 
zeitenreibung aufgezehrt worden sind. 

Wird der Einfluß der Deformation durch die Gezeiten auf das 
Potential wieder durch den Faktor 1-+ & berücksichtigt (Darwin), so ist 
(6) = IEMHM)I+H 
und das Gesamtmoment setzt sich aus drei Teilen zusammen: 

(7) M- Mio cosi + MV’ :o’ cosi’ + ag ap RVall —OAL+E. 

150) Darwin, Coll. Works II, 8, $ 8ß; Poincare, Lecons, Nr. 128—131. 


151) H.N. Russell, On the origin of Binary Systems, Ap. Journ. 31 (1910), 
p. 185— 207. 





13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen. 1039 


Füro=o'=n und i=i'—=( und mit der Abkürzung a-(1— e)—=p 
wird 


‚„ MM MHMNA 
(8) M-[MEHMT+ ge pr]ey! A al zur, 


Für Darwins Figuren der größten Annäherung hat Jeans'5?) folgende 
Anteile der Momente ausgerechnet: 


























Tabelle 8. 
ch 0 | 0,4 | 0,5 1,0 
m | | | | 
Rotationsmoment von M 0 | 0,089 | 0046 | 0,077 
+ „» Wi 1 0,160 0,135 | 0,077 
Umlaufmoment | 0 0,801 | 0,819 | 0,846 


Da das Umlaufmoment sich höchstens um die totalen Rotationsmo- 
mente vermehren und & höchstens von dem Wert 0,22 für die am 
stärksten deformierten Kontaktfiguren auf O0 abnehmen kann, folgt, 


daß der Parameter p der Bahn sich, solange = > 0,4 ist, maximal auf 
den (8) 1,22 = 1,90 fachen Wert vergrößern kann. Bei Kompressi- 


bilität ist der ursprüngliche Anteil der Rotationsmomente noch kleiner; 
entsprechend die mögliche Vergrößerung der Bahndimensionen. Daraus 
ergibt sich eine wesentliche Grenze für die Anwendbarkeit der Theorie 
der Gezeitenreibung auf die Entstehung und Entwicklung von Doppel- 
sternsystemen: Es erscheint ausgeschlossen, daß die visuellen Doppel- 
sternsysteme sich allein unter dem Einfluß der Gezeitenreibung aus 
spektroskopischen Doppelsternsystemen entwickelt haben. 


13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen. Bewegt 
sich ein Körper in einem Medium irgendwelcher Art (kosmische Staub- 
wolke oder ausgedehnte Gasmassen), so wird seine Bewegung in ver- 
schiedener Hinsicht beeinflußt. Das Mittel setzt durch den Zusammen- 
stoß seiner Teilchen mit dem bewegten Körper der Bewegung einen 
Widerstand entgegen, dessen Größe von der Dichte des Mediums, dem 
Wirkungsquerschnitt des Körpers und der Geschwindigkeit der auf- 
stürzenden Teilchen relativ zu dem Körper abhängt. Das Mittel übt 
außerdem durch seine Masse Gravitationswirkungen aus, wirkt also 
als störende Masse. Schließlich wird durch die Vereinigung von Teil- 
chen des Mittels mit dem bewegten Körper dessen Masse vergrößert. 
Alle diese Arten von Einwirkungen bedingen bei umlaufenden Kör- 
pern wie den Planeten, Monden und Kometen Veränderungen der 
Bahnelemente säkularer oder periodischer Natur. 


152) Problems, p. 257. 


1040 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Neben diesen Störungen der Bewegungen sind aber auch noch 
zu berücksichtigen die thermodynamischen Wirkungen, die mit den 
Zusammenstößen verknüpft sind, bei denen kinetische Energie in 
Wärme umgesetzt wird. Bei den großen Geschwindigkeiten, mit denen 
wir es bei kosmischen Vorgängen gewöhnlich zu tun haben, sind 
diese thermischen Wirkungen oft ganz erheblich und können, wie 
etwa das Beispiel der Meteore zeigt, zu teilweiser oder vollständiger 
Zerstörung führen. 

Die Theorie des „widerstehenden Mittels“ ist vor allem heran- 
gezogen worden zur Erklärung der bei periodischen Kometen beob- 
achteten Störungen.'°®) In dem einfachen Fall, wo ein Körper (Planet, 
Komet) in einem relativ zum Zentralkörper „ruhenden“ Medium um- 
läuft‘), das der Bewegung in der Richtung der jeweiligen Bahn- 
tangente einen Widerstand der Größe 


R»ıP.y72 


entgegensetzt (v = Geschwindigkeit, r2? —= Dichte des Mediums im 
Abstand r vom Zentralkörper), findet man durch Integration der Stö- 
rungsgleichungen '??), daß Knoten und Neigung nicht verändert wer- 
den, daß dagegen die große Achse der Bahn stets abnimmt (Säkular- 
beschleunigung der mittleren Bewegung). Die Exzentrizität nimmt ab, 
wenn gleichzeitig p>1 und 9g>2 ist, d.h. wenn der Widerstand 
mindestens mit der ersten Potenz der Geschwindigkeit geht und zu- 
gleich die Dichte des Mittels mindestens mit der zweiten Potenz des 
Radius nach außen abnimmt. 

Nölke°°) hat die Störungsgleichungen unter Mitberücksichtigung 
der Massenvergrößerung des bewegten Körpers durch Aufsammeln von 
Teilen des Mediums integriert und für die Fälle p=2,q=0,1,2 
zahlenmäßige Abschätzungen versucht. Dabei zeigt sich, daß auch für 
q<2 eine Abnahme der Exzentrizität auftritt, daß aber eine merk- 
liche „Abrundung“ der Bahn stets mit einer sehr erheblichen Ver- 





153) Encykl. VI», 22, Nr. 26. 

154) Eine ausführliche Darstellung der verschiedenen Originalarbeiten findet 
man bei See, Researches on the Evolution of Stellar Systems, Vol. II, Chapt. VII, 
mit einer Reihe historischer Bemerkungen. Ganz neuerdings sind diese Fragen 
von russischen Autoren aufgegriffen worden: vgl. N. Moisseiev, Über einige 
Grundfragen der Theorie des Ursprungs der Kometen, Meteore und des kos- 
mischen Staubes, Publ. de l’Inst. Astroph. Moscou, Vol. V 1, 1930, und Russian 
Astr. Journ. Vol. IX, No. 1—2; @. Doubochine, Sur le mouvement dans un milieu 
resistant, Russian Astr. Journ. Vol. IX, No. 1—2, 1932. 

155) Tisserand, Trait& de meec. cel. IV, Chap. XII. 

156) Entwicklungsgang ... Nr. 30—36, 48. Vgl. auch die Untersuchungen 
von Mac Millan, Amer. Math. Monthly 26 (1919), p. 326. 


13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen. 1041 


kleinerung der Bahndimensionen verbunden ist. Für qg= 0, 1,2 findet 
Nölke z. B. eine Abnahme der Exzentrizität auf \ ihres ursprüng- 
lichen Wertes han entsprechenden Verkleinerungen des Bahn- 
parameters auf ‚05, ;5, 5 des ursprünglichen Wertes. Je stärker die 
Konzentration des Mittels nach der Mitte zu ist, desto wirksamer ist 
es hinsichtlich der Verkleinerung der Bahnexzentrizitäten. 

Erfolgt die Bewegung eines Körpers in einem Medium, das selbst 
umläuft, sei es in gleichförmiger Rotation (etwa als ausgedehnte 
Aimosphäre eines Zentralkörpers) oder in freien Rönläsbaknien seiner 
Einzelteilchen (nach Art des Saturnringes), dann wird auch die Bahn- 
neigung beeinflußt in dem Sinn, daß eine etwa vorhandene Neigung 
der Bahnebene gegen die Symmetrie des Mittels sich zu ver- 
ringern sucht. Die Integration der Störungsgleichungen ist nur durch 
verwickelte Reihenentwicklungen und unter speziellen Annahmen mög- 
lich. Man findet auch hier”), wie im Fall des ruhenden Mittels, 
ganz allgemein eine Abnahme der Exzentrizität und der Bahndimen- 
sionen. 

Der Fall des rotierenden Mittels ist vor allem wichtig bei der 
Bewegung der Trabanten; er ist gewöhnlich bei der Behandlung des 
Einfangs kleiner Massen durch die Planeten zugrunde gelegt worden.'®) 
Die auf das rotierende Koordinatensystem bezogenen Bewegungsglei- 
chungen des eingeschränkten Dreikörperproblems sind dann zu er- 
gänzen durch ein Widerstandsglied, das von der Geschwindigkeit V7 
des bewegten Körpers relativ zu dem rotierenden Koordinatensystem 
und von der Dichte og des Mittels abhängt: 


= — f(e, Ei 
(il) ‘ + 2m: -%,— 1, NY, 
2 -5 fe Nr: 





An die Stelle des Jacobischen Integrals tritt ein Ausdruck von der 
allgemeineren Form 


2) -M2R2—0—2/[FRN)VÜ-2A—(CHD. 


Der Integrand ist stets positiv, d.h. die Größe I wächst kontinuier- 
lich mit der Zeit. Man kann die Bewegung des dritten Körpers da- 
her in erster Näherung so beschreiben, als ob sie in jedem Zeitpunkt 


157) Nölke, a. a. O. Nr. 37—43; Jeffreys, The Earth, Chapt. IV. 
158) Vgl. See, a. a. O, Chapt. VIII und X. 


1042 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


entsprechend einer „effektiven“ Jacobischen Konstante ("=ÜU-+-I er- 
folgte. Die durch die Gleichung 


(3) 3 — (0 


definierten Nullgeschwindigkeitsflächen bestehen für große Werte von 
C’ aus drei getrennten Teilen. Von diesen grenzen zwei um jede der 
beiden endlichen Massen geschlossene Bereiche ab, innerhalb deren 
reelle Bewegungen möglich sind, während der dritte Teil einen beide 
Massen umschließenden Bereich abgrenzt, außerhalb dessen wieder 
reelle Bewegungen möglich sind. Für kleinere Werte von €” nähern 
sich die Begrenzungen der Bereiche einander und fließen schließlich 
zusammen, so daß von einem gewissen Wert von Ü’ ab ein einfach 
zusammenhängender, bis ins Unendliche sich erstreckender Bereich 
reeller Bewegungen entsteht. Für einen unteren Grenzwert von U’ 
reduzieren sich die verbotenen Gebiete auf die beiden Lagrangeschen 
Dreieckspunkte. 

Beginnt die Bewegung im Zeitpunkt ?{= 0 mit einer Jacobischen 
Konstanten C, welche einem einfach zusammenhängenden Realitäts- 
bereich entspricht (C klein), so geht die Wirkung eines vorhandenen 
widerstehenden Mittels ganz allgemein dahin, daß es diesen Be- 
reich dauernd verkleinert. Wenn dann bei einem gewissen Wert von 
C’=(0)+ I das Zusammenfließen im Librationspunkt ZL, erfolgt, zer- 
fällt der Realitätsbereich in einen inneren Bereich um die beiden 
Massen und einen äußeren; bei noch größerem Wert von C’ teilt sich 
auch noch der innere Bereich in getrennte Bereiche um jede der 
beiden Massen. Der in dem rotierenden Mittel sich bewegende Körper 
wird also im Laufe der Zeit in einen dieser drei Bereiche einge- 
schlossen, dem er von da ab nicht mehr entweichen kann: er bewegt 
sich weiterhin entweder als Trabant um eine der beiden Massen (als 
Planetoid um die Sonne oder als Mond um den Jupiter in dem 
Spezialfall, wo Sonne und Jupiter die beiden endlichen Massen des 
eingeschränkten Dreikörperproblems sind) oder in großer Entfernung 
um den gemeinsamen Schwerpunkt beider. Welche dieser Möglich- 
keiten verwirklicht wird, kann nur durch vollständige Integration der 
Bewegungsgleichungen unter den Bedingungen des Einzelfalls ent- 
schieden werden; das Jucobische _— allein gestattet keine weiter- 
gehenden Aiilären! 

Rotiert das Mittel nicht mit der Winkelgeschwindigkeit des Um- 
laufs der beiden Massen, besitzen seine Teilchen also auch noch Be- 
wegungskomponenten relativ zu dem rotierenden Koordinatensystem, 
dann überlagert sich die Einwirkung des Mittels auf die relative Bahn 


13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen. 1043 


der beiden Massen und es können verhältnismäßig komplizierte säku- 
lare Störungen auftreten. 

Schließlich ist noch der Fall zu betrachten, daß etwa das Pla- 
netensystem als Ganzes sich durch ein interstellares Medium bewegt!?®) 
(„durchschrittenes Mittel“). Die Störungen hängen dann im allge- 
meinen noch von der Lage der Bahn relativ zu der Fortschreitungs- 
richtung im Medium ab. Unabhängig von dem speziellen Widerstands- 
gesetz und von der Bahnlage erfolgt in jedem Fall eine Verkleinerung 
der großen Achsen, und zwar rascher als in einem Mittel, das relativ 
zum Zentralkörper ruht. Die Exzentrizitäten können je nach der Bahn- 
lage zu- oder abnehmen; auch das Vorzeichen der Neigungsänderungen 
und der Drehung der Knotenlinien hängt von den besonderen Ver- 
hältnissen ab. Man wird im allgemeinen erwarten dürfen, daß ein 
durchschrittenes Mittel weniger ausgleichend auf etwa vorhandene Ver- 
schiedenheiten der Bahnelemente wirkt als vielmehr sie vergrößernd. 

Die Modifikationen, die durch die Rückwirkung des bewegten 
Körpers selbst auf das Mittel hervorgebracht werden, sind in der Lite- 
ratur kaum behandelt worden. Jeffreys‘°°) hat gezeigt, daß ein statio- 
närer Zustand des Mittels unter dem Einfluß des Potentials der Sonne 
und eines Planeten nur möglich ist, wenn das Medium keine Be- 
wegung relativ zu dem mit der mittleren Bewegung des Planeten 
rotierenden Koordinatensystems hat. Für den Einfluß eines wider- 
stehenden Mittels im Planetensystem käme daher nur der oben be- 
handelte Fall des „rotierenden“ Mittels in Frage, wenn man nicht 
den anderen Schluß ziehen will, daß im konkreten Fall ein statio- 
närer Zustand des Mittels nicht möglich ist, weil wir es z.B. im 
Planetensystem nicht mit der Wirkung eines einzigen Planeten zu 
tun haben, sondern mit mehreren, die sich zudem keineswegs in 
Kreisbahnen bewegen, wie im probleme restreint vorausgesetzt. In 
der Umgebung jedes Planeten wird sich also nur eine Art quasi- 
stationären Zustandes ausbilden können in dem Sinn, daß das Medium 
sich der Umlaufbewegung des Planeten anzupassen strebt. 

Der Einfluß der reinen Gravitationswirkung des Mittels auf die 
Bewegungen der in ihm umlaufenden Körper ist kosmogonisch be- 
deutungslos. Er spielt nur eine Rolle bei der Berechnung säkularer 
Störungen !®!) und ist in jedem Falle klein, verglichen mit den Wir- 


159) Tisserand, a. a. O. Chap. XIII, p. 97—100; Nölke, a. a. O. Nr. 44—46, 

160) The Earth, Chapt. IV, 3. 

161) Vgl. hierzu etwa die Untersuchungen Seeligers über das Zodiakallicht 
[Encykl. VI2,22 (Oppenheim), Nr. 25]; auch Silbernagel, Bewegung eines Punktes 
innerhalb einer nicht homogenen Staubmasse, Diss. München 1905. 


1044 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


kungen, die bei kosmogonischen Problemen dem widerstehenden Mittel 
zugeschrieben werden. 

Beim Einfang kleiner Massen müssen zwei Fälle unterschieden 
werden: 

a) Angliederung interstellarer Massen an das Planetensystem; 

b) Einfang interplanetarer Massen durch Planeten. 

Interstellare Massen können ohne die Einwirkung eines widerstehen- 
den Mittels dem Planetensystem angegliedert werden durch Umwand- 
lung ursprünglich hyperbolischer oder parabolischer Bahnen in ellip- 
tische beim Durchgang durch die Wirkungssphäre!#?) eines Planeten, 
rein unter dem Einfluß der Gravitationsstörungen. Auf solche Weise 
können z. B. dem Planetensystem Kometen angegliedert werden, vor 
allem durch die großen Planeten Jupiter und Saturn, die sehr aus- 
gedehnte Wirkungssphären haben (Kometenfamilie des Jupiter). 

Die Möglichkeit des Einfangs interplanetarer (oder auch inter- 
stellarer) Massen durch Planeten und deren Umwandlung in Trabanten 
dieser Planeten („eingefangene“ Monde) wird im allgemeinen als an 
die Existenz eines widerstehenden Mittels gebunden erachtet. Unter- 
lagen für diese Schlußweise liefert das Jacobische Integral und die 
daraus abgeleitete Existenz der Hillschen Grenzkurven. Aus den heu- 
tigen Werten der Jacobischen Konstanten für die einzelnen Monde 
folgt, daß sie alle, bis auf die beiden äußersten Monde des Jupiter, 
geschlossene Grenzflächen um ihren Planeten besitzen. Keiner dieser 
Monde kann sich also über die durch die geschlossene Grenzfläche 
gegebene Maximalentfernung hinaus von seinem Planeten entfernen. 

Umgekehrt wird aber auch für die Vergangenheit geschlossen, daß 
diese Monde nicht aus größeren Entfernungen, als der heutigen Aus- 
dehnung der Grenzflächen entspricht, von dem Planeten eingefangen 
worden sein können, es sei denn, daß ein widerstehendes Mittel wirk- 
sam war. Streng genommen gilt diese Schlußweise nur für den ideali- 
sierten Fall des eingeschränkten Dreikörperproblems. Versuche, die 
Hillschen Grenzflächen in dem allgemeinen Fall elliptischer Bewegung 
der beiden endlichen Massen durch eine einhüllende Fläche zu er- 
setzen !®), haben schon für kleine Exzentrizitäten auf sehr undurch- 
sichtige zeitliche Abhängigkeiten geführt. Was bei großen Exzentri- 
zitäten, wie sie etwa im Planetensystem anfangs geherrscht haben 
mögen, und unter dem Einfluß gegenseitiger Störungen in kosmogo- 
nischen Zeiträumen sich ereignet, darüber lassen sich nur Vermutungen 
aufstellen. 


162) Vgl. Encykl. VIa,18, p. 904. 
163) Wilkens, Seeliger- Festschrift. 


14. Massenänderungen und Energieaustausch. 1045 


Ob ein widerstehendes Mittel nötig ist, um einen kleinen Pla- 
neten in einen Mond des Jupiter oder Mars zu verwandeln, muß 
dahingestellt bleiben. Daß aber bei Vorhandensein eines solchen Mit- 
tels Wirkungen in diesem Sinne ausgeübt werden, so wie es die Ein- 
fangtheorien annehmen, ist nicht zu bezweifeln.!#) Schwierig, wenn 
nicht überhaupt unmöglich ist es, bei der Mannigfaltigkeit der Bahn- 
formen schon im idealisierten eingeschränkten Dreikörperproblem über 
diese allgemeinen Aussagen hinaus den Einzelvorgang des Einfangs 
zu beschreiben oder zu entscheiden, ob ein heutiger Trabant in frü- 
herer Zeit wirklich eingefangen worden ist. 

14. Massenänderungen und Energieaustausch. Änderungen der 
Masse bedingen Änderungen des Bewegungszustandes; und ebenso 
wirkt sich der Energieaustausch bei Begegnungen von Sternen aus. 
Diese Vorgänge haben daher besondere Bedeutung für die Entwick- 
lung von Doppelsternsystemen, wo man sie für gewisse Gesetzmäßig- 
keiten in den Bahnelementen verantwortlich zu machen versucht hat. 
Sie können auch eine Rolle spielen oder gespielt haben in der Ge- 
schichte des Planetensystems und sind sicherlich von Einfluß auf die 
Entwicklung der großen Sternsysteme. Neben den eigentlichen Massen- 
änderungen, die durch Abstoßen von materiellen Teilchen (etwa bei 
den Ausbrüchen einer Nova) oder durch Aufsammeln von Materie aus 
dem interstellaren Raum (Wachsen von Himmelskörpern aus kleinen 
Kondensationen) hervorgerufen werden, können in kosmogonischen 
Zeiträumen auch die Massenverluste eine Rolle spielen, die mit der 
Abgabe von Strahlungsenergie verbunden sind. 

Im Anschluß an einen Versuch Oppolzers'®), Massenänderungen 
der Erde und des Mondes durch aufstürzende Meteore zur Erklärung 
der Säkularstörungen des Mondes heranzuziehen, ist das Zweikörper- 
problem mit veränderlicher Zentralmasse oder Gesamtmasse mehrfach 
behandelt worden, zuletzt in einer Reihe von Abhandlungen von Dou- 
bochine.!°) Offenbar ohne Kenntnis der älteren Arbeiten, in denen 


164) Die gegenteilige Argumentation von $. Brodetsky, A. N. 184 (1910), 
p. 257, ist unrichtig. Man kann höchstens Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen 
darüber anstellen, ob die dritte Masse sich zu dem Zeitpunkt, in dem die Grenz- 
flächen sich schließen, sich gerade in dem äußeren oder inneren Teil aufhält. 
Da der äußere Bereich wesentlich größer ist als der innere, kann man vielleicht 
annehmen, daß die Wahrscheinlichkeit für ein wirkliches Einfangen nichtsehr groß ist. 

165) Vgl. die Literaturnachweise bei Oppenheim, Encykl. VI, 26, Fußnote 73) 
und bei Doubochine, Sur la forme des trajectoires dans le probleme de deux 
corps de masses variables, Russ. Astron. Journ. VII (1930), Heft 3/4. 

166) Unter dem Titel: Mouvement d’un point materiel sous l’action d’une 
force qui d&pend du temps, Russ. Astron. Journ. II (1925), p. 5; IV (1927), p. 123; 
V (1928), p. 138 (russisch mit franz. Resume); VI (1929), p. 162. 


1046 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


ganz allgemein die Lösungen des Systems von Differentialgleichungen 


d? da\ 2 
la 0 


„ds 
Ku Fr const. 


diskutiert!°”) sind, hat Jeans!‘®) noch einmal den Einfluß einer säku- 
laren Massenabnahme unter spezieller Anwendung auf Doppelstern- 
systeme untersucht. Im Anschluß an diese Arbeit von ‚Jeans, welche 
zu der Feststellung kam, daß die Exzentrizität konstant bleibe!*®), 
während die große Achse der Bahn umgekehrt proportional der Masse, 
die Periode umgekehrt proportional dem Quadrat der Masse sich 
ändere, ist es zu Meinungsverschiedenheiten gekommen über die Form, 
in der die Bewegungsgleichungen anzusetzen seien. Während Jeans, 
wie alle früheren Autoren, von der Grundgleichung des einzelnen 
Massenpunktes der Masse M unter dem Einfluß einer Kraft mit den 
Komponenten X, Y, Z in der Form 


(1) M.i—=X 
ausgeht, diskutiert Brown!‘®) noch die beiden weiteren Ansätze 
(2) Mi)— X 
und 
d? 
(8) dt® (Az)—=AX, 


wo A als Funktion der zeitlich variablen Masse M gedacht ist. 


Brown sagt über diese drei verschiedenen Ansätze: „These reduce 
to the same equation if the masses are constant, but there appears 
to be no information as to which should be chosen if mass is lost 
in any other way than that given by the classical laws of dynamies.“ 
Mae Millan'") schließt sich Jeans an, während Lew-Civita!"?) den 


167) Vgl. u.a. die Darstellung von Poincare im Anschluß an die Kosmo- 
gonie von Faye in Lecons Cosm. Nr. 64—66. 

168) Jeans, Cosmogonice Problems associated with a Secular Decrease of 
Mass, M.N. 85 (1924), p. 2. 

169) In dieser Formulierung, ma= const., e= const. z. B. bei Poincare, 
loe. eit. p. 80. 

170) E. W. Brown, The Effect of varying Mass on a Binary System, Proc. 
Nat. Ac, Sei. 11 (1925), p. 274. Erwiderung von Jeans unter dem gleichen Titel 
in M.N. 85 (1925), p. 912. 

171) W. D. Mac Millan, The Problem of Two Bodies with Diminishing 
Mass, M.N. 85 (1925), p. 904. 

172) Rendiconti dei Lincei 1928, p. 329. 


14. Massenänderungen und Energieaustausch. 1047 


Ansatz (2) für den richtigen hält. ZH. Mineur‘') hat in mehreren 
Noten den Einfluß des Massenverlustes durch Strahlung vom rela- 
tivistischen Standpunkt aus betrachtet. Indem er zunächst das Linien- 
element im Gravitationsfeld einer zeitlich variablen Masse ableitet und 
dann die Bewegung einer zweiten Masse in diesem Feld untersucht, 
findet er, daß diese Bewegung für eine veränderliche Masse die gleiche 
sei wie für eine variable. 

Selbst in den Schlußfolgerungen aus denselben Bewegungsglei- 
chungen stimmen die verschiedenen Autoren nicht überein. Die wesent- 
lichen Schritte bei Poincare und Jeans!) sind durch folgende Glei- 
chungen gekennzeichnet: 


@) En GE ee ee. 


beschreibt die Bewegung einer konstanten Masse um eine zeitlich 
veränderliche Zentralmasse M; die Klammer auf der linken Seite 
stellt die Gesamtenergie dar, die bei einer elliptischen Bahn mit der 


Halbachse a ersetzt werden kann durch — ai Also kommt 

" d /M 1 AM 

(8) Fre Ka er 

Unter Voraussetzung nur säkularer Massenänderungen wird der Mittel- 


1 1 
wert von - ersetzt durch —; also 


aM 1 AM 
(6) dr; 
Daraus folgt 
(7) M - a = const. 
(8) 1-e—#— 1 — const. 
(9) MP — M? = zus 2x(Ma)‘ — const. 


Für ein Doppelsternsystem gelten die gleichen Beziehungen, wenn M 
die Summe der variablen Massen bedeutet und a, e, P sich auf die 
relative Bahn beziehen. 

Brown hebt im Gegensatz dazu hervor, daß der Übergang ton (4) 
nach (5) bei veränderlichen Massen nicht der üblichen Definition von 


173) H. Mineur, Le champs de gravitation d’une masse variable, Paris 
©. R. 190 (1930), p. 625; La dynamique des masses variables d’apres les lois de 
Newton et d’Einstein, Paris C. R. 192 (1931), p. 663; Remarques ä propos de la 
mecanique des masses variables, Paris ©. R. 192 (1931), p. 1082. 

174) Vgl. die Darstellung bei Jeans, A.C., Nr. 268. 


1048 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


a entspreche und daß außerdem bei einer gestörten Bahn auch nicht 
der Mittelwert des gestörten Radius durch Z ersetzt werden dürfe, 


da periodische Störungen in r säkulare Störungen in a hervorrufen. 
Er erhält bei seiner Rechnung an Stelle von (7) die Beziehung!”°) 


(10) M-a-(1 — e) = const. 

und schließt, daß sowohl bei dem Ansatz (1) wie auch bei (2) Halb- 
achse und Exzentrizität beide mit abnehmender Masse zunehmen. 
Dabei gilt zwischen a und e noch die Beziehung 


(11) = — ge —= const. 


Die relative Bahn zweier sich begegnenden Sterne ist eine Hy- 
perbel. Sind die Geschwindigkeiten ,, ®%,, %,; Ug, U, w, vor der Be- 
gegnung und die relative Geschwindigkeit nach der Begegnung be- 
kannt, dann lassen sich die Geschwindigkeiten beider Sterne nach der 
Begegnung berechnen.'’®) Bezeichnet # den halben Winkel der Asym- 
ptoten der relativen Bahn, so ist die Änderung der kinetischen Energie 
der Masse M, durch Begegnung mit einer Masse M;: 


v v AM, M, 
(12) E, - BB =-3M,N’-N)- mim) BR 29[4M, Pie 


— IM, V? — EM, M,) uw + 9% + wWw)] 
Bei Gleichheit der Massen W, = M, = M geht dieser Ausdruck in 


die einfache Form über 
E, — E,=4M 008?3 (V,?— V,?) = cos’#(E, — E,), 


die unter Einführung der Relativgeschwindigkeit V und der Bezie- 
hungen für die Bewegung in einer Hyperbel 


»2 
Es y _g utM, _ 2M 
a a a 


geschrieben werden kann: 
(13) AE=-E— BE AT. 
IF 


Der Energieaustausch ist um so kleiner, je größer der Abstand der 
Massen" (b ist das Lot vom Brennpunkt der Hyperbel auf die Asym- 


175) Dieses Resultat findet sich auch schon in den älteren Arbeiten, z. B. 
bei Lehmann-Filhes, A. N. 145 (1898), p. 353 oder Strömgren, A. N. 163 (1903), 
p. 129. 

176) C. V. L. Charlier, Notes on statistical mechanics, Ark. t. Mat. Astr. och 
Fys. 10 (1915), Nr. 29 — Meddel. Lund I, 69/70; Statistical mechanics based on 
the law of Newton, Kungl. Fys. Sällsk. Handl. 28 (1917), Nr. 5 — Meddel Lund II, 16. 


14. Massenänderungen und Energieaustausch. 1049 


ptote) und je größer die Relativgeschwindigkeit ist. Die Masse mit 
der kleineren Energie gewinnt, die mit der größeren verliert kine- 
tische Energie; die Begegnungen wirken in der Richtung einer „Gleich- 
verteilung“ der Energie auf die verschiedenen Massen des Systems. 

Aus der Formel (13) ergibt sich die natürlichste Definition der 
„Relaxationszeit“ nach Rosseland‘””) als der Zeit, die ein Stern im 
Mittel braucht, um durch wiederholte Begegnungen insgesamt so viel 
Energie umzusetzen, als der mittleren kinetischen Energie eines Sternes 
im System entspricht. 

Zur Ableitung der Formel geht man am besten von der Vor- 
stellung aus, wie sie etwa der Theorie der Sternhaufen von Heckmann 
und Siedentopf"'?) zugrunde gelegt ist: in eine Sterngruppe mit der 
Geschwindigkeitsverteilung 


.ırte 
e 20? 





4 
(2 =) a 





Fu, vw)= 


werden Sterne hineingeschossen, deren Geschwindigkeiten einer Ver- 


teilungsfunktion 
Sry Arch 


Ei 242 


FD, 4 W) ar 3 
(2m)? 43 





genügen. Der quadratische Mittelwert der dabei umgesetzten Energie 
ist, unter Benutzung von (13) 


at + 4? i 
(«+ 49% 








D=t-4 Vz WM:o 


Rosselands Definition der Relaxationszeit lautet dann: 
D- 4MAY 
und führt auf die Formel: 
E 2,2 
(1 4) PTR: gr (+M A) 


4 4“ $ 
4 - KM:o A 2 
2 («? = A»)? 


Für «= 4A, d.h. gleiche Geschwindigkeitsverteilung für Gruppen- 
sterne und Feldsterne, erhält man einfach: 





1 a3 


u RT ya Me 


177) S. Rosseland, On the time of relaxation in closed stellar systems, 
M. N. 88 (1928), p. 208. Auch „Astrophysik“ (1931), Nr. 29. 

178) O. Heckmann und H. Siedentopf, Zur Dynamik kugelförmiger Stern- 
haufen, Ztschr. f. Astroph. 1 (1930), 67 = Veröffentl. Göttingen 13. 


1050 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Rosseland selbst kommt auf etwas anderem Weg zu der Beziehung?) 


gu 4MVN: 
ap) ® aktMtVo’ 


de mtVY=A=eceud V/ = 7 « identisch mit (15) wird. 
7 





Charlier *%°) geht aus von der Festsetzung, daß ein „Vorübergang“ 
dann stattfindet, wenn sich zwei Sterne auf weniger als den halben 
mittleren Abstand D nähern; genauer, wenn die oben eingeführte 
Größe b<4D wird. Daraus ergibt sich unmittelbar die Zeit zwischen 
zwei Vorübergängen nach der einfachen gaskinetischen Formel 

1 
( ) 7 Voo:’ 
wenn man für den „Wirkungsquerschnitt“ x6? eines Sternes den 
Wert +D? einsetzt. Für die Relaxationszeit folgt aus Charliers Theorie 
ein Ausdruck, den man unter Gleichsetzung der Massen schreiben kann: 


ach ED 
37,77 7% 
(18) I 
Fe 
In —.— 
KM 





Führt man die von Charlier angenommenen Zahlenwerte (in „plane- 
tarischen Einheiten“) ein?®?); 


k=22; D=1,611:-10%.2, &=3527.y M=1-;; 
oe = 0,239 : 10-8, 
unter Hinzufügung der Umrechnungsfaktoren x, y, z zum Übergang 


auf etwaige andere Zahlenwerte, so findet man: 


1,14 
(19) = ayt ?’ 
1+ 0,17 log seh 





d.h Charliers Definition ist praktisch völlig identisch mit der Rosse- 
lands."??) 


179) Formel (223) in „Astrophysik“, spezialisiert auf gleiche Massen 
m—=M, =, womit Dia + m/M,)"’=}e wird. 

180) Meddel. Lund II, 16, Chapt. II. 

181) COharlier setzt loc. eit. p. 83 « = o = 5,624, was nach Meddel. I, 70 aber 
der Wert für 2 —2 V% ist, 


182) Für die von Jeans (A. C, Nr. 286) benutzten Daten ((=4- 10°", 
V, = 10 kmjsec, d.h. z= 0,26, y = 0,60) wird c, =1,4; für die von Heckmann 


14. Massenänderungen und Energieaustausch. 1051 


Jeans'??) betrachtet die Ablenkung Y = 180 — 2%, welche ein 
Stern bei einer Begegnung erfährt. Sie ist gegeben durch 
1 K2M,® 
(20) g,u,= MANN 
oder, wieder für durchschnittlich gleich große Massen der mittleren 
Geschwindigkeit V;: 
1 KM 


(21) g;r nn“ 


Daraus läßt sich einmal der Wert ableiten für die Zeit zwischen 
zwei Begegnungen, deren jede eine Ablenkung größer als %, bewirkt. 
Sie ist: 
128 a 1 Eu 

At, = = eotg? 2 . ——— . ——. 
, N Vr ar 8Yrkt Mio 
Dem von Jeans für das Sternsystem angesetzten Zahlenwert für die 
mittlere Geschwindigkeit V, entspricht es, sein V, mit « zu identifi- 
zieren. Ablenkungen um volle 90° ereignen sich also in durchschnitt- 
lichen Zeitabständen von 








1 a® 
5, a a 184 no Fer 
(23) on Syke Mio’ 
die groß sind, verglichen mit den oben abgeleiteten Relaxationszeiten. 
Viel wirkungsvoller als die seltenen großen Ablenkungen sind in 
ihrer Gesamtheit die kleinen, aber um so häufigeren Ablenkungen. 


Durch sie wird eine „vollständige“ Änderung der Bahn, definiert durch 


nt? 
Swav m 7» 


bewirkt in der Relaxationszeit (das ist Jeans’ Definition) 











F% BB» MR, a3 
5 ? gyakt M:o 
(24) \. 2 re 
— B 
In Pa 
\ Y 





Da die großen Ablenkungen an und für sich selten sind, bereitet die 
Festsetzung der oberen Grenze y, der noch mitzunehmenden Ab- 


lenkungen keine Schwierigkeiten. Jeans setzt Y%, = = Schwieriger 


= 
ist es, anzugeben, was nach unten hin noch als „Begegnung“ gerechnet 
werden soll. Jeans wählt dafür Annäherung auf die mittlere Distanz, 


und Siedentopf für die Sternhaufen angesetzten Werte (o = 600 Sterne im Kubik- 
parsec, = «y3 = 14 km/see, d.h. z= 0,015, y= 0,68) wird = 1,8. 
183) Problems, Nr. 222—228; A. C., Nr. 285— 287. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 68 


1052 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


d.h. b< D, im Gegensatz zu COharlier, der b< 4 setzt. Nach (21) 


wird 1 kK!MD 
de a rag 
und damit 
3 
4n? 
(25) a: 
je EM 


Der numerische Vergleich mit (15) und (18) ergibt sich wieder durch 
Einführung der Zahlenwerte; es wird 
1,56 
(26) = BE 
1+ 0,16 log —- 
Jeans’ Definition der Relaxationszeit liefert also nur unwesentlich 
größere Werte als die beiden anderen Festsetzungen 
Die Größenordnung der Relaxationszeit selbst ergibt sich für das 
Sternsystem mit Charliers Daten zu: 


tr = 8,3 - 10'° Jahre. 
Sie reduziert sich mit den von Jeans angenommenen Zahlen auf 
tr —= 3,2 - 10"? Jahre. 


Für die Sternhaufen erhält man mit den Zahlenwerten von Heckmann 


und Siedentopf '**) 
tr = 0,9 - 10!% Jahre. 


Diese Zahlen sind bei den Betrachtungen über den dynamischen Zu- 
stand und die Entwicklung von Sternsystemen zu vergleichen mit 
den Angaben über die Entwicklungszeiten des einzelnen Sterns. 


IV. Die Entstehung des Planetensystems. 


15. Gesetzmäßigkeiten des Zustandes. Alle Theorien über die 
Entstehung des Planetensystems gehen aus von den Zügen größter 
Regelmäßigkeit und Gesetzmäßigkeit, die das System in seinem ganzen 
Aufbau aufweist und die eine Entstehung aus einheitlicher Ursache 
nahelegen. Betrachtungen über die verschwindend kleine Wahrschein- 
lichkeit, daß die Glieder des Planetensystems „zufällig“ zu solcher 
Einheitlichkeit zusammengetragen worden seien, hat schon Laplace'®) 


184) Die Verfasser setzen ©—=.« und erhalten dementsprechend r=1,6 
- 101° Jahre. 


185) Laplace, Exposition du systeme du monde, 


15. Gesetzmäßigkeiten des Zustandes. 1053 


angestellt. Die Tatsachen, auf deren Erklärung Wert gelegt werden 
muß, sind !#®); 


a) 


b) 


4) 


Alle Planeten bewegen sich rechtläufig um die Sonne in Ebenen, 
die nur wenig gegeneinander geneigt sind, und in Bahnen kleiner 
Exzentrizität. Ausnahmen finden sich nur unter den kleinen Pla- 
neten. Der Sonnenäquator ist gegen die unveränderliche Ebene 
des Systems um 6° geneigt. 
Alle Planeten außer Uranus und Neptun weisen rechtläufige Achsen- 
drehungen auf. Die Neigungen zwischen Äquator- und Bahnebene 
sind zum Teil erheblich. Bei den äußeren Planeten scheint ein 
systematischer Gang angedeutet: 

Jupiter 3° 

Saturn 27° 

Uranus 98° 

Neptun 151°. 
Die Mehrzahl der Monde bewegt sich in der Äquatorebene des 
dazugehörigen Planeten und gleichsinnig mit dessen Rotation. 
Ausnahmen sind die äußeren Monde des Jupiter und Saturn, die 
zum Teil rückläufig sind. 
Die Masse aller Planeten und Monde zusammengenommen ist nur 
ein kleiner Bruchteil (rund ,,,) der Gesamtmasse des Systems. 
Hingegen ist das Rotationsmoment der Sonne nur ein kleiner 
Bruchteil des gesamten Drehmomentes des Systems; je nach den 


Annahmen über die innere Konstitution der Sonne Pr bis PR 


e) Die Massen der Monde sind nur kleine Bruchteile der Massen 


ihrer Planeten (Größenordnung 10”* bis 10-®). Die Umlaufmomente 
der Monde sind nur Bruchteile der Rotationsmomente der Pla- 
neten. Der Erdmond mit ‚, Erdmasse und einem Umlaufmoment 
gleich dem 4fachen Rotationsmoment der Erde stellt eine Aus- 
nahme dar. 


Gelegentlich spielt auch die merkwürdige Gesetzmäßigkeit, die in 


der sogenannten Titius-bodeschen Reihe zum Ausdruck kommt, eine 
Rolle bei kosmogonischen Spekulationen, vor allem der älteren Zeit.!?”) 
Nicht unwesentlich erscheint die Verteilung der Massen und Dichten. 


Der 


Ring der kleinen Planeten trennt deutlich die nach Masse und 


Dichte verschiedenen Gruppen der inneren und äußeren Planeten. 


186) Vgl. die Tabellen der Elemente der Planeten, die sich in den meisten 


astronomischen Lehrbüchern befinden; sehr ausführlich z. B. bei Russell, Dugan, 
Stewart, Astronomy, Vol. I, Table IV, V. 


187) Zuletzt wieder bei Berlage, Erg.-Hefte zu Gerlands Beiträgen zur Geo- 


physik, Bd. 17 (1927). 


68* 


1054 VIs,23. H. Kienle. Kosmogonie. 


























Tabelle 9. 

Planet Masse Dichte Monde Masse Dichte 
Merkur; 7, 0,04 3,8 Erdmond . . 0,012 3,3 
VRBS, „ni. 0,81 4,9 Jupiter I. . 013 2,9 
3 1,00 5,5 = RE 008 2,9 
EN, BE 0,11 4,0 Mei. ig 026 2,2 

IV. 007 0,6 
G » e ’ 
Kleine Planeten) << 0,001 3,8 RN EEE ER 088 35 
Jupiter... ,..% 317 1,3 
Satum . ... 95 0,7 
Uranus . N 15 1,3 
Neptun... . 17 | DR. 
Plan 53 4 29.5 0,1 | ? 











Die größten Monde schließen sich in der Größenordnung an Merkur 
an, während die Summe aller kleinen Planeten noch nicht ;,,; Erd- 
masse erreicht. Die auf die planetarischen Körper verteilte Masse von 
rund ‚., Sonnenmassen zeigt eine starke Konzentration in der Gegend 
des Jupiter und Saturn, die zusammen 92°,, der Masse in sich ver- 
einigen. Innerhalb der Jupiterbahn liegen knapp 0,5°/,, außerhalb der 
Saturnbahn 7,5°/, der Gesamtmasse. 

Die kosmogonischen Theorien des Planetensystems lassen sich in 
drei Hauptgruppen unterteilen. Die eine Gruppe leitet die Entstehung 
der Planeten in irgendeiner Form von den Gleichgewichtsfiguren rotie- 
render Massen ab (Rotationshypothesen) und kommt auf diese Weise 
zu einer ausgezeichneten Symmetrieebene und einem ausgezeichneten 
Drehsinn; als typischer Vertreter kann die Theorie von Laplace gelten. 
Eine andere Gruppe, als deren ältester Vertreter Kant angesehen wer- 
den kann, betrachtet die Vorgänge in mehr oder weniger differen- 
zierten kosmischen Staubwolken (Meteoritenhypothesen) und versucht 
die allgemeinen Gesetzmäßigkeiten des heutigen Zustandes aus dem 
gesetzmäßigen Wirken bestimmter Kräfte (widerstehendes Mittel, Zu- 
sammenstöße) herzuleiten. Die letzte Gruppe, die ihren ersten Vor- 
läufer bereits in Buffon hat, läßt die Planeten durch Einwirken eines 
fremden Körpers (naher Vorübergang oder Zusammenstoß) entstehen 
(Kollisionshypothesen) und versucht dadurch die Besonderheiten in 
der Massenverteilung und den Unterschied zwischen Sonnenäquator 
und unveränderlicher Ebene zu erklären. Im einzelnen gibt es Über- 
gänge und Abwandlungen mannigfacher Art; in manchen Theorien 
finden sich Elemente aller drei Gruppen. 

Im folgenden soll keine Analyse der einzelnen Theorien und ihrer 
verschiedenen Abwandlungen gegeben werden. Diese findet man bei 


16. Rotationshypothesen. 1055 


4 


Poincare und Nölke. Es soll lediglich versucht werden, einige Grund- 
gedanken herauszuschälen. Alle Theorien über die Entstehung des 
Planetensystems sind mehr oder weniger „Erzählungen“. Die wesent- 
lichen Schwierigkeiten beruhen darin, daß wir es auf der einen Seite 
offenbar mit einem Ineinandergreifen der verschiedenartigsten Prozesse 
zu tun haben, die sich jeder für sich nur in ganz idealisierten Fällen 
mathematisch behandeln lassen; während auf der anderen Seite jede 
Möglichkeit einer „vergleichenden Morphologie“ fehlt, seit wir in den 
Spiralnebeln Systeme ganz anderer Größenordnung erkennen mußten 
und zweifeln, ob sich unter den uns bekannten anderen kosmischen 
Gebilden solche befinden, die wir als frühere Entwicklungsstufen eines 
Planetensystems ansprechen dürfen. 


16. Rotationshypothesen. Ausgangspunkt für die Kritik der Ro- 
tationshypothesen sind Betrachtungen über den Drehimpuls (Gesamt- 
impulsmoment des Systems), die zuerst von Babinet!°®) angestellt und 
später von anderen aufgegriffen und verbessert wurden.'®”) Wenn das 
System sich unbeeinflußt von äußeren Kräften entwickelt bat, dann 
kann das Gesamtmoment sich nicht verändert haben. In seinem heuti- 
gen Zustand hat das Planetensystem einen gesamten Drehimpuls von 


M—= IMr:o — 3,7 - 10-3 (astr. Einh.) bzw. 3,3 - 105° (e. g. s.). 


Davon entfallen rund 97%, auf die Umlaufmomente der äußeren Pla- 
neten und höchstens 2°, auf das Rotationsmoment der Sonne. Die 
Rotationsmomente der Planeten sind verschwindend. Der Trägheits- 
radius einer mit der Umlaufgeschwindigkeit des Neptun rotierenden 
Ursonne folgt daraus zu 


a nr st d.h. 2 astr. Einh. 


Man schließt daraus, daß die Masse der Ursonne sehr stark gegen die 
Mitte zu konzentriert gewesen sein muß.'”) In der Tat ist das auch 


188) Paris ©. R. 52 (1861), p. 481—484. 

189) Vgl. die Darstellungen bei Jeans, Jeffreys, Nölke, See; am ausführ- 
lichsten vielleicht bei Moulton, Ap. Journ. 11 (1900), p- 103—130. 

190) Gewöhnlich wird bei der Kritik der Laplaceschen Theorie im Anschluß 
an Babinet so argumentiert, als ob die Größe des Momentes allein schon die 
Unmöglichkeit der Rotationsinstabilität beweise. Dabei wird — offen oder still- 
schweigend — vorausgesetzt, daß die Ursonne den Raum bis zur Neptunsbahn 
mit homogener Dichte erfüllt habe bzw. daß das Dichtegesetz bei der Kontraktion 
stets das gleiche geblieben sei. So vor allem Moulton, a.a.0.; See, Researches 
on the Evolution of Stellar Systems, Chapt. XV; Jeans, Problems, Nr. 14, im 
Gegensatz zu Nr. 287; Nölke (a. a. O. p. 155) setzt die Ursonne als Gaskugel im 
Strahlungsgleichgewicht voraus 


1056 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


die Annahme, die Laplace seiner Kosmogonie zugrunde gelegt hat, 
und ohne die jede Art von Rotationshypothesen sich von vornherein 
verbietet. Wenn überhaupt, dann kann das Planetensystem nur aus 
der Reihe von Rotationsfiguren abgeleitet werden, die an das Modell 
von Roche anknüpfen. 

Man weiß, daß bei dem Modell von Roche äquatoreale Instabilität 
auftritt, wenn 


a) sr — 0,36 (6 = mittlere Dichte). 


Ist R, der Äquatorradius der kritischen linsenförmigen Grenzfigur des 
Rocheschen Modells, / der Trägheitsradius, und hat der Kern die 
Masse <M, so ist die Gesamtmasse 


(2) M — ;ao(0,81 R,)’= 2. 10° g, 

das Gesamtmoment 

(3) M= Mio —= 3,3 - 10° gem?sec-! 

und der die Konzentration der Masse charakterisierende Wert 
(4) jr — 0,523(1—a). 


Unter Einführung der bei der Entwicklung unveränderlichen Größen 
M und M wird 


(5) = 141: 10V}, 
aus (4) und (5) leitet man ab gt 
1-2 —- 27.10 V}-- 


Zur Zeit der Abtrennung des Neptun (R,=r„= 50) mußten also 
99,37%, (1 — x = 0,0013) der Gesamtmasse im Kern vereinigt sein; 
die Sonne war in ihrer heutigen Form bereits „fertig“. Die mittlere 
Dichte der „Atmosphäre“, aus der sich die Planeten durch Abtrennung 
von Ringen bzw. innere Kondensation — die verschiedenen Rotations- 
theorien unterscheiden sich nur durch die Art der Bildung der Pla- 
neten aus der Atmosphäre — muß demnach von der Größenordnung 
10-14 gem”? gewesen sein. 

Es ist zu bemerken, daß aus diesen Folgerungen nicht unmittel- 
bar Argumente gegen die Rotationshypothese gezogen werden können. 
Bei den außergalaktischen Nebeln schließen wir mit ziemlicher Sicher- 
heit auf Dichten von der Größenordnung < 10-*! und beobachten 
vielfach Formen, die dem kritischen Modell von Roche entsprechen. 
Allerdings gibt es gewisse Anzeichen dafür, daß die Nebel mit nach 
außen abnehmender Winkelgeschwindigkeit rotieren; womit eigentlich 


16. Rotationshypothesen. 1057 


die Möglichkeit der Anwendung der klassischen Theorie der Gleich- 
gewichtsfiguren entfällt. 

Jeans und Jeffreys haben aus dem Theorem von Poincare, daß 
bei stabiler, gleichförmiger Rotation #® = 2rk?g sein müsse, abge- 
leitet, daß die Dichte 9, des Ringes bei der Bildung die Ungleichung 
erfüllen müsse 

Or > 0,86 95 


(95 = mittlere Dichte der Ursonne). 
Poincare selbst hat, unter Berücksichtigung einer möglichen Un- 
gleichförmigkeit der Rotation, die Abschätzung gegeben 


(6) 30° + 200 R<4mg<°,, 


wo o’ die Ableitung von ® nach dem Radius, R den Radius des 
Ringes bedeutet. Im Fall der freien Keplerbahnen der einzelnen Teil- 


chen ist 
30’+20oR—=0, 


die Bedingung also sicher erfüllt. Ist dagegen »’ = 0, so ist der Ring 
instabil. 

Es ist keine Frage, daß die Ablösung von diskreten Ringen nicht 
ohne mehr oder weniger gekünstelte Zusatzhypothesen auch nur plau- 
sibel gemacht werden kann'?!); daß man vielmehr bei Rotationsinsta- 
bilität einer dem Laplaceschen Gasball ähnlichen Masse mit mehr oder 
weniger kontinuierlicher Massenabschleuderung rechnen muß. Die Mei- 
nungen darüber, ob und wie sich aus den abgeschleuderten Massen 
Planeten bilden können, sind geteilt und schwer auf eine mathema- 
tisch-physikalische Basis zu bringen. Jeans hat in seinen Unter- 
suchungen über Gravitationsinstabilitäten eine Näherungsformel ab- 
geleitet, welche die Zustandsgrößen des Gases mit den mittleren Ab- 
ständen A, der Kondensationen (d. i. Wellenlängen der zum Zerfall 
führenden Schwingungen) verbindet: 





ETRABN.) INNERER Ch 
(?) 4 — Med: BE —G 


(x biete r, c = mittlere Molekulargeschwindigkeit). 


Die Massen der sich bildenden Kondensationen ergeben sich dar- 


aus zu 
3 


(8) N 10 (75) 13-1000} 


191) Poincare, Legons, Nr. 22; Jeans, Phil. Trans. 199 A; A.C., p. 313—319. 


1058 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


(x = 3 gesetzt) oder, mit der oben abgeleiteten Dichte von 10-*, zu 
(9) M — 1,5: 10%. 08, 


Eine andere Abschätzung für M kann man einfach aus der Forde- 
rung erhalten, daß die Molekulargeschwindigkeit an der Oberfläche 
der Planeten kleiner sein müsse als die parabolische Entweichungs- 


geschwindigkeit, also 
e& = . 
(10) 5 
RM>1: NP’ 108,8, 


Für die Molekulargeschwindigkeit c bzw. die „Temperatur“ 7’ der 
Materie mit dem Molekulargewicht u ergibt sich!®), wenn man für 
M die Masse etwa des Neptun ansetzt (102°): 


c= 0,4. 10% cmsec”! nach (9) bzw. e< 10 cmsec”! nach (10) 
27-042 pt abe: z »„ T<0O8 u’ abs. ” 


Da das Molekulargewicht u sicher sehr klein angenommen werden 
muß, liegt 7 also nahe dem absoluten Nullpunkt. Ob man daraus ein 
Argument gegen die Möglichkeit von Kondensationen ableiten kann, 
muß dahingestellt bleiben; hier versagen thermodynamische Betrach- 
tungen. 

Will man statt durch unmittelbare Kondensationsprozesse die 
Planeten sich langsam durch Aufsammeln der mehr oder weniger 
gleichmäßig über die planetaren Räume verteilten Massen, infolge 
gegenseitiger Zusammenstöße, sich bilden lassen, so steht man vor 
einem hoffnungslos komplizierten Problem. Poincare'??) hat diesen 
Prozeß als selbstverständlich unterstellt, bleibt jedoch den Beweis 
schuldig; ganz abgesehen davon, daß er, um die Laplacesche Theorie 
zu retten, neue Annahmen hinzufügen muß zur Erklärung der beob- 
achteten rechtläufigen Rotation der Planeten. Bei dem Prozeß des 
Aufsammelns entstehen nach Poincard eigentlich rückläufige Rota- 
tionen (Kant und Darwin behaupten das Gegenteil!), die erst nach- 
träglich (etwa durch Gezeitenreibung) in rechtläufige verwandelt wer- 
den müssen. Poincard sieht in den rückläufigen Rotationen der äußer- 
sten Planeten eine gewisse Stütze für seine Theorie, da die Gezeiten- 


192) Die Molekulargeschwindigkeit geht mit der 3. Potenz ein, so daß die 
Formel sehr empfindlich gegenüber Änderungen von e ist. So hat denn auch 
Jeans 1919 mit einem „reasonable value“ von 1,6-10° die van Maanenschen 
Daten für die Spiralnebel dargestellt, während er im Jahre 1928 der durch 
Hubbles Entdeckungen veränderten Sachlage sich anpaßte mit c —= 10%. 

193) Lecons, Nr. 41/42, 54. 


17. Katastrophenhypothesen. 1059 


wirkung der Sonne (vgl. Nr.12) bei diesen Planeten infolge der großen 
Entfernung nicht ausgereicht habe, um die Umkehrung des Rotations- 
sinnes zu erzwingen. 

17. Katastrophenhypothesen. Die große innere Unwahrscheinlich- 
keit einer spontanen Entwicklung des Planetensystems durch Zerfall 
einer rotierenden Masse, in Verbindung mit der Beobachtungstatsache, 
daß die unveränderliche Ebene des Planetensystems deutlich abweicht 
von der Äquatorebene der Sonne, hat zur Aufstellung der Theorien 
geführt, welche die Entstehung des Systems auf die Begegnung zweier 
Himmelskörper zurückführen. Dabei tauchen alle Spielarten auf, von 
mehr oder weniger nahem Vorübergang bis zu unmittelbarem Zu- 
sammenstoß. In jedem Fall kommt man um die eine Schlußfolgerung 
nicht herum, die von den Kritikern der Katastrophentheorien gewöhn- 
lich ins Feld geführt wird: da Zusammenstöße oder auch nur nahe 
Begegnungen im Sternsystem wegen der großen freien Weglängen der 
einzelnen Sterne außerordentlich selten sind, muß das Planetensystem als 
ein seltener Ausnahmefall kosmischen Geschehens betrachtet werden. 

Man erhält aus der gaskinetischen Formel für die mittlere Zeit 
zwischen zwei Zusammenstößen (vgl. Nr. 14 (17)) 


I 
Ü) rn z0?oV 





mit den für die Umgebung der Sonne gültigen ungefähren Werten 
der Dichte: og = 1 Stern auf 10 Kubikparsec (= 1,1 - 10-16, wenn die 
astr. Einheit als Längeneinheit gewählt wird), 
der mittl. Geschwindigkeit: V = 20 km/sec (= 4 astr. Einh./Jahr) 
bei verschiedenen Werten des Wirkungsquerschnittes 0? die folgen- 


den Zeiten: 
6 —= Sonnenradius At = 5,0 . 10°° Jahre, 


Erdbahnradius Te 
Neptunbahnradius 08.108 _ 


Die Wahrscheinlichkeit für einen unmittelbaren Zusammenstoß eines 
bestimmten Sternes mit einem anderen ist daher klein gegen die mittlere 
Lebensdauer des Sternes, die wir wohl kaum höher als von der Größen- 
ordnung 10"? Jahre ansetzen dürfen. Daher hat Jeans bei der Aufstellung 
seiner Gezeitentheorie'?') geglaubt, eine Ausdehnung der Sonne zur 
Zeit der Begegnung mit dem fremden Stern bis zur Neptunsbahn an- 
nehmen zu müssen. Jeffreys'”) hat demgegenüber betont, daß es nur 


194) Vgl. die Darstellung in „Problems“, p. 292—295 oder in der Seeliger- 


Festschrift. 
195) The Earth, Appendix B und M. N. 92 (1932), p. 888. 


1060 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


darauf ankomme, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, daß 
überhaupt innerhalb der normalen Lebensdauer eines Sternes ein Zu- 
sammenstoß zwischen zwei Sternen des Systems erfolge. Bei einer 
Gesamtzahl der Sterne des Systems von 10°, die eher zu niedrig als 
zu hoch gegriffen ist, und einer mittleren Ausdehnung des einzelnen 
Sternes von der Größe des heutigen Sonnenradius erhält man für die 
Zeit, innerhalb deren mindestens einmal zwei Sterne sich so nahe ge- 
kommen sind, daß der eine von ihnen durch die Gezeitenwirkung des 
anderen teilweise zerbrochen ist, die Größenordnung 10"! Jahre. Größere 
Gesamtzahl der Sterne des Systems oder größere Dichte in früheren 
Zeiten (Expansion des ganzen Systems?) und damit verbunden zu- 
gleich größere mittlere Geschwindigkeiten wirken alle in dem Sinn 
einer Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit eines Zusammenstoßes. 

Da wir kein anderes Planetensystem außer dem unsrigen kennen 
und auch keine Möglichkeit sehen, die Existenz eines solchen Systems 
festzustellen, braucht die relative Seltenheit naher Vorübergänge nicht 
als zwingendes Argument gegen die Entstehung des Planetensystems 
auf solehem Wege betrachtet zu werden. Wenn hinreichend wahr- 
scheinlich gemacht werden könnte, daß Planetensysteme von der Eigen- 
art des unsrigen auf keine andere Weise entstehen können als eben 
durch die Wirkung eines nahen Vorübergangs oder sogar. eines di- 
rekten Zusammenstoßes, dann wäre die relative Seltenheit einfach als 
notwendige Folgerung hinzunehmen. 

Die Einwände, die gegen die Laplacesche Theorie und die ihr 
verwandten Theorien unter Berufung auf die Verteilung des Gesamt- 
momentes auf Umlauf- und Rotationsmomente erhoben wurden, wer- 
den bei den Katastrophentheorien gegenstandslos. Die Sonne braucht 
bei der Entstehung der Planeten keine von ihrer heutigen abweichende 
Ausdehnung gehabt zu haben; die Umlaufmomente der Planeten ent- 
stammen nicht dem ursprünglichen Rotationsmoment der Sonne, son- 
dern sind ihnen übermittelt worden durch den Energieaustausch bei 
der Begegnung mit dem fremden Stern; schließlich ist auch die Sym- 
metrieebene des Systems nicht gebunden an die Äquatorebene der 
Sonne, sondern gegeben durch die Ebene der relativen hyperboli- 
schen Bahn der beiden sich begegnenden Sonnen. 

Bei der Aufstellung der verschiedenen Formen von Katastrophen- 
theorien hat der Gedanke einer Analogie zu den Spiralnebeln stets 
eine große Rolle gespielt. Chamberlin und Moulton'”) lassen aus- 
drücklich als Folge der Gezeitenwirkung bei der Begegnung zunächst 


196) Vgl. die letzte Darstellung der Theorie durch Chamberlin, The Two 
Solar Families. Chapt. XIV: The Spiralisation of the Solar Projeectiles. 


17. Katastrophenhypothesen. 1061 


eine zweiarmige Spirale entstehen. Wie sie führt auch Jeans'””) Bilder 
von typischen Spiralnebeln als Zeugen für die Existenz von Gezeiten- 
wirkungen an. Diese formale Analogie ist indessen als Stütze für eine 
Gezeitentheorie des Planetensystems nur gering zu bewerten. Cham- 
berlin hebt selbst hervor, daß die von ihm zum Vergleich heran- 
gezogenen Spiralnebel viel größere Massen, vor allem aber eine voll- 
kommen andere innere Massenverteilung hätten, als einem werdenden 
Planetensystem entspricht. Die Massen der Arme sind vergleichbar 
mit der Masse des Kerns, während die Gesamtmasse der Planeten nur 
ein verschwindender Bruchteil der Sonnenmasse ist. Bei den kosmo- 
gonischen Spekulationen von Jeans spielt gerade dieser Unterschied 
in den Größenordnungen eine ganz wesentliche Rolle. Er bedingt 
nicht nur die Art des Instabilwerdens, sondern vor allem auch die 
Möglichkeit der Bildung von Kondensationen (vgl. die oben an- 
geführte Abschätzung über die Mindestmasse der Kondensationen). 
Eine quantitative Behandlung der Vorgänge bei einem Zusammen- 
stoß oder nahen Vorübergang ist unmöglich, eine qualitative Beschrei- 
bung schwer und kaum eindeutig zu geben. Jeffreys'®) kommt zu 
dem Ergebnis, daß ein typischer „slow encounter“, den man rechne- 
risch als statisches Problem behandeln kann, in der Natur nicht ver- 
wirklicht wird. Ein Losreißen von Teilen der Flutberge kann nur 
dann stattfinden, wenn sie die Rochesche Grenzfigur überschreiten, 
deren Äquatorradius für großes M’ genähert gegeben ist durch 


1 
M\5 
Die Periode der freien Gezeitenschwingung ist von der Größenordnung 
1 
a? \2 
(3) Lee 2a (5) y 


die Zeit des Vorüberganges von der Größenordnung 


ee ? 
@ nalen) 
Ihr Verhältnis wird also, mit Rücksicht auf den Wert von a, 
1 
Hr (DR TMINS 
®) ee ee 
d. h. sicher größer als 1, während die Bedingung eines „slow encoun- 
ters“ verlangt, daß r, <r, ist. 


197) Z.B. in A.C., plate XVI. 
198) The Earth, Chapt. II. 





1062 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Umgekehrt kann der typische „transitory encounter“ zwar ver- 
wirklicht werden, aber die in diesem Fall losgerissenen beiden Pro- 
tuberanzen werden wieder auf die Sonne zurückfallen, ohne Anlaß zur 
Bildung von selbständigen Planeten zu geben. Der wahre Vorgang 
wird also von intermediärem Typus sein müssen. Das Argument 
Nölkes'°), daß bei einem nahen Vorübergang keine selbständig die 
Sonne umlaufenden Massen zurückbleiben können, trifft diesen inter- 
mediären Typus nicht. 

Die von Chamberlin?) und Moulton?®') vorgeschlagene Theorie, 
die als „Planetesimalhypothese“ um die Jahrhundertwende die alte 
Laplacesche Theorie mit Erfolg zu verdrängen begann, hat, offenbar 
unter dem Einfluß der Schwierigkeiten, die bei genauer Durchrech- 
nung der zunächst so einleuchtenden Vorgänge auftauchen, mancher- 
lei Wandlungen im einzelnen durchgemacht. In der letzten Form, die 
Chamberlin selbst ihr gegeben hat, soll die Protuberanzentätigkeit der 
Sonne sich mit der Wirkung der Begegnung mit einer kleineren Masse 
in einer gegen den Äquator geneigten Bahn so kombinieren, daß je 
ein Paar Ausbrüche auf der dem begegnenden Stern zu- bzw. ab- 
gewandten Seite erfolgen, aus denen sich die äußeren bzw. inneren 
Planeten bilden. Die Eruptivität der Sonne im Gegensatz zu der Nicht- 
eruptivität des begegnenden Sternes ist hier der ausschlaggebende 
Faktor, die Gezeiten wirken nur verstärkend; so soll verständlich ge- 
macht werden, daß die größere Masse aufbricht und nicht die kleinere 

Im Gegensatz dazu betrachtet Jeans?"?) und ihm folgend Jeffreys?®) 
die Begegnung der Sonne mit einer merklich größeren Masse, die nur 


199) Z. B. Handb. d. Geophysik 1, p. 29. 

200) T.C.Chamberlin: a) A Group of Hypotheses bearing on Climate Changes, 
Journ. of Geology 5 (1897), p. 653. b) On & Possible Function of Disruptive 
Approach in the Formation of Meteorites, Comets and Nebulae, Ap. Journ. 14 
(1901), p. 17; Journ. of Geology 9 (1901), p. 369—393. c) Contributions to Cosmo- 
gony and the Fundamental Problems of Geology, Publ. Carnegie Inst. Washington 
106 (1908). d) The Origin of the Earth, 1916. e) Synopsis of Planetary Evo- 
lution, Carnegie Inst. Washington. Year Book Nr. 26. f) The Two Solar Fa- 
milies, 1928. 7.C. Chamberlin et al.: Contributions to Cosmogony and the Fun- 
damental Problems of Geology. The Tidal and Other Problems. Publ. Carnegie 
Inst. Washington 107 (1909). 

201) F. R. Moulton, On the Evolution of the Solar System, Ap. Journ. 22 
(1905), p. 165; An Introduction to Astronomy, 1916. 

202) Vgl. die Fig. 14 in der populären Darstellung von Jeans, The Universe 
around us. Deutsche Übersetzung: Sterne, Welten und Atome. 

203) H.Jeffreys, Collision and the Origin of Rotation in the Solar System, 
M. N. 89 (1929), p. 636; The Early History of the Solar System on the Collision 
Theory, M. N. 89 (1929), p. 731. 


17. Katastrophenhypothesen. 1063 


von dem ihr zugewandten Flutberg Massen losreißt, während der ab- 
gewandte sich als große Protuberanz aufwölbt und wieder von der 
Sonne aufgesogen wird. Die heutige Anordnung der Massen wird auf 
die Verteilung in dem losgerissenen und schließlich zerbrechenden 
„Filament“ zurückgeführt. Doch auch diese Theorie hat sich manche 
Umwandlungen gefallen lassen müssen, unter denen sie zur Zeit zu 
einer Kollisionstheorie im engeren Sinne geworden ist. Jeffreys?'*) 
glaubt heute nur noch durch einen wirklichen seitlichen Stoß die 
Vorbedingungen für eine Entstehung des Planetensystems schaffen zu 
können. Nölke?”®) geht noch einen Schritt weiter und setzt an den 
Anfang der Entwicklung einen Nebelarm, in dessen Massenverteilung 
die Sonne und die künftigen Planeten gewissermaßen embryonal be- 
reits vorgebildet sind; unter Verzicht auf die Beantwortung der be- 
rechtigten Frage, wie denn ein solcher ganz besonders gearteter Nebel- 
arm entstanden sei. 

Die von der Sonne losgerissenen und den planetarischen Raum 
zunächst mehr oder weniger gleichförmig erfüllenden Massen haben 
eine doppelte Aufgabe zu erfüllen: sie liefern das Material, aus dem 
sich die Planeten und ihre Monde aufbauen, und stellen zugleich ein 
widerstehendes Mittel dar, das die Bahnen und Rotationen beeinflußt. 
Chamberlin und Moulton sind der Meinung, daß die ursprünglich gas- 
förmigen Massen durch die mit der Expansion verbundene Abkühlung 
unter Durchschreiten des flüssigen Zustandes zu festen, meteoriten- 
artigen „Planetesimals“ werden, die durch vielfache Zusammenstöße 
zwar teilweise wieder verdampfen, aber im allgemeinen unter der Ein- 
wirkung der Gravitation sich zu größeren Massen ansammeln, wobei 
die von Anfang an vorhandenen Verdichtungen („bolts“) als Konden- 
sationskerne dienen. 

Jeffreys schreibt dem interplanetaren Medium gasförmigen Cha- 
rakter zu und kommt zu dem Schluß, daß die sich aus diesem Medium 
bildenden Planeten infolge adiabatischer Expansion nach ganz kurzer 
Zeit (Jupiter nach einer Woche, Erde schon nach einem Tag) einen 
kritischen Radius erreichen, numerisch nahe mit der heutigen Aus- 
dehnung der Mondsysteme übereinstimmend, bei dem Kondensation 
einsetzt. Die Planeten entstehen also praktisch in flüssiger Form durch 
Zusammenfließen der Kondensationstropfen. 

Die Verminderung der ursprünglich großen Exzentrizitäten auf 
ihre heutigen kleinen Werte auf den Einfluß eines widerstehenden 


204) Vgl. die zweite der unter Fußn. 203) genannten Arbeiten und die Er- 
widerung auf Nölkes Kritik in M. N. 92 (1932), p. 887. 
205) Fußnote 199. 


1064 VI2, 28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Mittels zurückzuführen, dürfte ernstlichen prinzipiellen Bedenken nicht 
begegnen. Es bleiben zwar noch gewisse Unstimmigkeiten, auf die 
vor allem Nölke?®) hingewiesen hat, und die auch Jeffreys®*) nur 
teilweise beseitigen konnte durch besondere Annahmen über das Ver- 
halten des gasförmigen widerstehenden Mittels. Aber man muß be- 
denken, daß es bei der rechnerischen Behandlung des Einflusses des 
widerstehenden Mittels nicht nur auf das Widerstandsgesetz ankommt, 
sondern auch auf die Gravitationswechselwirkung zwischen dem Mittel 
und dem sich bewegenden Körper. 


Die von den Planeten und ihren Monden nicht aufgesammelten 
Teile des interplanetaren Mediums werden sich zum Teil wieder mit 
der Sonne vereinigt, zum Teil in den interstellaren Raum verflüchtigt 
haben. Reste finden wir heute noch in den Massen des Zodiakallichtes 
und den Meteoriten und Sternschnuppen. Wenn Jeffreys?®) in Ver- 
folgung seiner Theorie von der gasförmigen Natur des interplanetaren 
Mediums auch die Zodiakallichtmaterie als Gas anspricht, so befindet 
er sich damit im Gegensatz zu fast allen Astronomen, die in Ana- 
logie zum Saturnring, dessen Natur ganz eindeutig geklärt ist, das 
Zodiakallicht als Wolke „kosmischen Staubes“ ansprechen.?””) 


Die gleichsinnig mit dem Umlauf um die Sonne erfolgende Ro- 
tation der Planeten wird von den Katastrophentheorien im allgemeinen 
darauf zurückgeführt, daß beim Aufsammeln der interplanetarischen 
Kleinmassen deren Umlaufmomente in Rotationsmomente umgewan- 
delt werden, wobei ein Überschuß in dem einen Sinn entsteht. Schon 
im vorigen Abschnitt wurde darauf hingewiesen, daß die SchluB- 
folgerungen über den Sinn der resultierenden Rotation verschieden 
ausfallen. Chamberlin und Moulton erhalten den richtigen Sinn da- 
durch, daß sie die Planeten in nahe kreisförmigen Bahnen, die Meteo- 
ritenteilchen des Mediums dagegen in stark elliptischen Bahnen sich 
bewegen lassen.?®) Daß bei den äußeren Planeten Abweichungen auf- 
treten, ist verständlich, weil hier der Einfluß des Mediums im all- 
gemeinen nur noch gering sein kann. Die Unmöglichkeit, die Rota- 
tion der Planeten quantitativ durch Aufsturz satellitischer Massen zu 
erklären (bei Jupiter müßten z. B. Massen von der Größenordnung 
des Sechshundertfachen der heutigen Jupitermonde aufgestürzt sein), 
ist der wesentliche Grund, der Jeffreys von der reinen Gezeitentheorie 
zu einer wirklichen Kollisionstheorie geführt hat. Er verlegt die Ent- 


206) The Earth, p. 59. 
207) Encykl. VI2, 27, Nr. 46. 
208) The Two Solar Families, Fig. 7. 


18. Monde und Kleinkörper. 1065 


stehung der Rotation?) in den Augenblick der Geburt des Systems 
selbst und macht die Scherungskräfte in dem zwischen den beiden 
Sonnen auseinandergezerrten „Flüssigkeitsband“ dafür verantwortlich. 


18. Monde und Kleinkörper. Die meisten, vor allem die älteren 
Kosmogonien übertragen das Schema der Entwicklung der Planeten 
auch auf die Entwicklung der Monde, so wie sie nach oben eine for- 
male Analogie zwischen Planetensystem und Spiralnebeln konstruieren. 
Es bestehen aber wesentliche Unterschiede, sowohl zwischen den Eigen- 
tümlichkeiten des Planetensystems und denen der Mondsysteme, als 
auch der Mondsysteme untereinander; die gleichen Argumente haben 
daher nicht immer die gleiche Überzeugungskraft. So versagt vor 
allem das gegen die Rotationshypothese angeführte „Kriterium von 
Babinet“ bei den Mondsystemen, da die Umlaufmomente der Monde 
(den Erdmond ausgenommen) nur Bruchteile der Rotationsmomente 
der Planeten darstellen. Nölke kommt daher bei den „regulären“ 
Monden wieder auf eine gewisse Form von Rotationsinstabilitäten 
zurück, die er für die Entstehung der Planeten mit Rücksicht auf 
das Babinetsche Kriterium ablehnen mußte. 

Chamberlin und Moulton unterscheiden drei Gruppen von Monden ®!P); 

a) Die beiden Marsmonde, die sieben inneren Monde des Jupiter 
und die acht inneren des Saturn laufen alle im gleichen Sinn 
um wie die rechtsläufig rotierenden Planeten; 

b) die beiden äußeren Monde des Jupiter und der äußerste des 
Saturn laufen im entgegengesetzten Sinne um wie die anderen 
Monde; 

c) die vier Monde des Uranus und der Mond des Neptun laufen 
im gleichen Sinn um wie ihre Planeten rotieren, aber Umlauf 
und Rotation sind rückläufig. 


Die Sonderstellung des Erdmondes wird von fast allen Kosmo- 
gonien anerkannt. Daß der eine der beiden Marsmonde rascher um- 
läuft als der Mars rotiert, hebt auch diesen Satelliten in einem ge- 
wissen Sinn aus der Reihe der übrigen heraus und stellt eine Beziehung 
zum Saturnring her, dessen innere Teile auch rascher umlaufen als 
der Saturn rotiert. Es erscheint daher nicht nur nicht angebracht, die 
Entstehung der Monde in das gleiche Schema zu pressen wie die der 
Planeten, sondern man kann angesichts der großen Verschiedenheiten 
der Mondsysteme auch damit rechnen, daß zu ihrer Erklärung ver- 
schiedene Entstehungsursachen herangezogen werden müssen. 


209) Fußnote 203. 
210) Fußnote 200 f. 


1066 VIs,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Aus der Tatsache, daß die fünf inneren Monde des Jupiter genau 
in der Äquatorebene des Planeten umlaufen, kann man allein noch 
nicht viel schließen, da diese Ebene selbst sehr nahe mit der Bahn- 
ebene zusammenfällt (© 3°). Daß aber die sieben inneren Monde 
des Saturn in der um 27° gegen die Bahnebene geneigten Äquator- 
ebene umlaufen, die vier Monde des Uranus in der um 98° geneigten, 
spricht unbedingt zugunsten solcher Hypothesen, die die Entstehung 
der Hauptmondsysteme in irgendeiner Form in Zusammenhang mit 
der Rotation der Planeten bringen. Die von Jeans vertretene und von 
Jeffreys zunächst übernommene Theorie®!!), daß die Monde durch Ge- 
zeitenwirkung der Sonne bei dem ersten Periheldurchgang der in 
stark elliptischen Bahnen sich bewegenden jungen Planeten losgerissen 
worden seien, ist inzwischen von Jeffreys?'*) selbst als unhaltbar er- 
klärt worden. Er kommt damit insofern wieder in Übereinstimmung 
mit der alten Planetesimalhypothese (die Jeans hatte verbessern wollen), 
als er den Monden von Anfang an selbständige Existenz neben den 
Planeten zuerkennt und beide Arten von Himmelskörpern in wesent- 
lich dem gleichen Akt als Kondensationen verschiedener Größe ent- 
stehen läßt. 

Das Hauptargument, das Jeffreys zu dieser veränderten Auffassung 
gebracht hat, daß die als Flüssigkeitskugeln entstehenden Planeten 
durch Gezeiteninstabilitäten nur in Massen von vergleichbarer Größen- 
ordnung zerfallen könnten, trifft auch die Rotationshypothesen. Nölke 
läßt daher, ähnlich wie früher Faye?"?) in Abwandlung der Laplace- 
schen Hypothese die Planeten aus inneren Ringen des rotierenden Gas- 
balls sich bilden ließ, die Monde als innere Kondensationen in den 
ausgedehnten ungleichförmig rotierenden atmosphärischen Hüllen der 
Planeten entstehen. Chamberlin und Moulton denken im Gegensatz 
dazu an Teilverdichtungen (sub knots), welche die Haupteruptionen 
begleiten und sich parallel mit der Umwandlung der „planetary bolts“ 
in „planetesimals“ zu einer Art „satellitesimals“ entwickeln, wobei sie 
stets innerhalb der Wirkungssphäre der Planeten bleiben. Das Wachsen 
der Monde soll unter dem Einfluß der Gravitationskräfte der Planeten 
erfolgen; die Umläufe haben die gleiche, aus diesem Wachstum resul- 
tierende dynamische Ursache wie die Rotationen und erfolgen daher 
im allgemeinen auch im gleichen Sinne wie die Rotation. 


211) Vgl. die Darstellungen von Jeans, The Origin of the Solar System, 
Supplement to Nature 2835 (1924) und Seeliger- Festschrift. Oder Jeffreys, The 
Origin of the Solar System, Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 7 (1928). 

212) Fußnote 204. 

213) Vgl. die ausführliche Darstellung der Theorie bei Poincare. 


18. Monde und Kleinkörper. - 1067 


Jeffreys’ letzte, nur ganz qualitative Formulierung ist diese: “The 
matter swept off the sun would form a ribbon-like mass, which would 
be unstable in a complicated way, and would probably break up 
longitudinally into nuclei after a few hours. Transverse rupture might 
also oceur, and offers a hint concerning the origin of the satellites 
of Uranus and Neptune. It seems probable from other considerations 
that the satellites were formed at nearly the same time as the planets 
and not at a later date.”?!*) “But the last word has not been said 
about direct condensation. It could proceed if the density reaches its 
saturation density at the actual temperature.” 21) 

Die irregulären Monde des Jupiter und Saturn sind ohne Zweifel 
aus dem interplanetaren Medium bzw. dem Schwarm der kleinen Pla- 
neten eingefangen worden und stellen den Übergang dar zu der Ko- 
metenfamilie des Jupiter und den kleinen Planeten. Ob man auch die 
beiden Marsmonde als solche irreguläre Monde ansehen darf (wofür die 
Wahrscheinlichkeit erheblich gestiegen ist, seit sich die Entdeckungen 
von kleinen Planeten mit großer Exzentrizität häufen) oder ob die 
Gezeitenreibung für die besonderen Verhältnisse beim Mars verant- 
wortlich gemacht werden kann, muß dahingestellt bleiben. Jedenfalls 
aber wird man die Auffassung von See?!) ablehnen dürfen, der alle 
Monde generell als „eingefangen“ betrachtet wissen will. Die Hypo- 
these wird nur in sehr gekünstelter Weise dem offenkundigen Unter- 
schied zwischen regulären und irregulären Monden und den Besonder- 
heiten gerade der regulären Monde gerecht. 

Die Ausnahmestellung des Erdmondes erhellt daraus, daß seine 
Masse ;; der Erdmasse beträgt, während das nächstgrößte Massen- 
verhältnis im Planetensystem (Titan zu Saturn) erst ,,,, ist. Entspre- 
chend ist sein Umlaufsmoment gleich dem vierfachen Rotationsmoment 
der Erde. Er kann sich also keinesfalls von einer rotierenden Erde 
abgelöst haben in einer Entfernung, die seiner heutigen vergleichbar 
ist. Hinsichtlich der absoluten Größe seiner Masse steht der Erdmond 
in einer Reihe mit den kleinsten Hauptplaneten (Merkur und Mars) 
und den größten Monden von Jupiter und Saturn (vgl. Tabelle 9). 

@G. H. Darwin ?'") hat die Vermutung ausgesprochen, daß die Ent- 
stehungsgeschichte des Erde-Mond-Systems möglicherweise ein Fall 


214) M. N. 89 (1929), p. 738. 
215) M. N. 92 (1932), p. 891. 
216) Researches on the Evolution of Stellar Systems (1910), sowie eine 
Reihe von Aufsätzen in den A. N. 180—182. 
217) Vgl. Collected Works II, Nr. 3, sowie die populäre Darstellung in 
„Ebbe und Flut“. Auch bei Jeffreys, The Earth, Chapt. III. 
Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 69 


1068 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


von Resonanz sei in dem Sinne, daß die halbtägige Periode der von 
der Sonne auf der Erde erzeugten Gezeitenschwingungen in einer frü- 
heren Zeit nahe gleich der Periode der freien Schwingung der flüs- 
sigen Erde gewesen ist. Die kürzeste freie Schwingung konstanten 
Volumens beträgt bei einer mittleren Dichte 1 rund 2!/, Stunden. Die 
halbe Rotationsdauer einer homogenen Erde gleicher Dichte, der das 
gesamte Moment des heutigen Erde-Mond-Systems erteilt wird, beträgt 
2,1 Stunden, wenn man sie als kugelförmig betrachtet, 2,4 Stunden, 
wenn man ihr die Grenzform des Rotationsellipsoides gibt. Die Mög- 
lichkeit einer Resonanz ist also in der Tat gegeben. Der Einwand 
Moultons?"?), daß die Rotationsdauer nicht hinreiche, die Erde so stark 
zu deformieren, daß die Resonanz wirksam werden könnte, ist von 
Jeffreys?'”) entkräftet worden durch den Hinweis, daß jede Dichte- 
konzentration zur Mitte hin den notwendigen kritischen Wert der 
Rotationsgeschwindigkeit vermindert, so daß durch relativ unbedeu- 
tende Änderungen in den Annahmen über die ursprüngliche Dichte- 
verteilung innerhalb der Erde die Bedingungen für die Loslösung 
eines Mondes durch Resonanz in einem früheren Stadium der Erd- 
entwicklung verwirklicht werden können (vgl. die analoge Argumen- 
tation bei der Laplaceschen Theorie). 

Ob der unmittelbare Entstehungsprozeß des Mondes wirklich 
diesem Bilde entspricht oder ob Mond und Erde als Geschwister 
gleichzeitig entstanden sind mit den übrigen Planeten, ist schwer zu 
entscheiden. Eine Folgerung wird man aber nicht von der Hand 
weisen können: daß die ursprüngliche Entfernung Erde—Mond nur 
ein Bruchteil der heutigen gewesen ist und daß Gezeitenreibung die 
Rotation des Mondes abgebremst, seine Entfernung von der Erde ver- 
größert hat. Denn diese Folgerung ergibt sich unmittelbar durelı Rück- 
wärtsrechnung aus den gegenwärtigen Verhältnissen des Systems. 

Die Probleme des Saturnringes, der kleinen Planeten und des 
Zodiakallichtes sind in mancher Hinsicht verwandt. Schon die Haupt- 
frage, ob es sich um Reste der Urmaterie handelt, aus der Planeten 
und Monde geformt wurden, oder aber um die Produkte von Kata- 
strophen, die im Laufe der Entwicklung des Planetensystems einge- 
treten sind, wird von den einzelnen Kosmogonien verschieden beant- 
wortet. Die meteoritische Natur des Saturnrings ist einwandfrei sicher- 
gestellt, die des Zodiakallichtes im allgemeinen (über die abweichende 
Auffassung von Jeffreys wurde oben berichtet) anerkannt. Auf Zusam- 
menhänge zwischen den Massen des Zodiakallichtes und dem Schwarm 


218) Fußnote 201. 
219) Fußnote 203. 


18. Monde und Kleinkörper. 1069 


der kleinen Planeten hat in der letzten Zeit vor allem Hoffmeister ??®) 
mit Nachdruck hingewiesen. 

Daß der Saturnring sich ganz innerhalb der Rocheschen Grenze 
befindet, kann als Bestätigung der Folgerungen angesehen werden, 
die aus der Theorie der Gleichgewichtsfiguren gezogen worden sind; 
innerhalb der kritischen Zone können keine größeren zusammenhän- 
genden Weltkörper existieren. Die meisten Kosmogonien haben in dem 
Saturnring eine Stütze der Vorstellung gesehen, daß ringscheiben- 
förmige Anordnungen eine Vorstufe der Planeten- und Mondbildung 
seien; so vor allem schon Kant und Laplace, aber auch Chamberlin 
und Moulton. Andere, die das Hauptgewicht auf den Einfluß des wider- 
stehenden Mittels bei der Entwicklung des Planetensystems legen, 
sehen in dem Saturnring die Folgen des Eindringens eines früheren 
Mondes in die kritische Rochesche Sphäre auf einer im widerstehen- 
den Mittel sich verengernden Bahn ??!); Vorbild des künftigen Schick- 
sals auch der anderen Monde. Eine klare Entscheidung zwischen bei- 
den Möglichkeiten kann nicht getroffen werden. 

Die kleinen Planeten ?””) nehmen räumlich eine ausgezeichnete 
Stellung ein, für die man aber, im Gegensatz zum Saturnring, vorerst 
keinerlei dynamische Erklärung hat. Sie markieren die deutliche Zwei- 
teilung des Planetensystems in die Zone der vier inneren Planeten, 
mit großen mittleren Dichten und kleinen Massen, und die Zone der 
vier äußeren, mit kleinen Dichten und großen Massen. Man wird da- 
her das Problem der kleinen Planeten nicht betrachten dürfen, ohne 
gerade auf diese Zweiteilung Rücksicht zu nehmen. 

Eine Möglichkeit ist, daß die kleinen Planeten Bruchstücke eines 
zerstörten Planeten sind, der zwischen Mars und Jupiter umlief, mit 
einer Masse von der ungefähren Größe eines der Jupitermonde. Wie 
die Zerstörung erfolgt sei, durch innere Explosion oder durch Ein- 
wirkungen des Jupiter (Gezeiten?), bleibt eine offene Frage. Im letz- 
teren Fall müßte der Planet dem Jupiter schon sehr nahe gekommen 
sein, was allerdings bei den vermutlich großen Exzentrizitäten der 
ursprünglichen Planetenbahnen nicht ganz von der Hand zu weisen 


220) Untersuchungen über das Zodiakallicht, Veröffenti. Berlin - Babelsberg 
X,1 (1932). 

221) Dies ist z. B. einer der Hauptpunkte in der Hörbigerschen Glazial- 
kosmogonie, derzufolge im Laufe der Erdentwicklung schon mehrere früher vor- 
handen gewesene Monde, beim Durchschreiten der Rocheschen Grenze sich auf- 
lösend, auf die Erde gestürzt sein sollen. 

222) Vgl. Stracke, Die kleinen Planeten, Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 4 
(1925); Klose, Die Struktur des Planetoidensystems, Mitteil. Riga Nr. 2 (1928). 

69* 


1070 VI», 28. H. Kienle. Kosmogonie. 


ist. Die große Verschiedenheit der heutigen Einzelbahnen, die ge- 
legentlich dagegen angeführt wird, daß all diese Körper einmal von 
einem einzigen Punkt explosionsartig ausgegangen seien, kann als 
ernstliches Argument nicht gewertet werden, da die Störungen durch 
die benachbarten Planeten. groß genug sind, um in so langen Zeit- 
räumen gründliche Umwandlungen der Bahnen hervorzubringen, ganz 
abgesehen davon, daß bei einer heftigen Explosion recht verschiedene 
Bahnen der Bruchstücke zustande kommen können. 

Die andere Annahme, daß es in der mittleren Entfernung der 
Planetoiden nie einen wirklichen Planeten gegeben habe, liegt vor 
allem im Rahmen der verschiedenen Meteoritenhypothesen. Verhältnis- 
mäßig zwanglos ergibt sich die mit Kleinkörpern angefüllte Zone bei 
der Planetesimalhypothese als Übergangsgebiet zwischen den von den 
beiden Protuberanzenpaaren belieferten Zonen. In dem kürzlich auf- 
gefundenen Pluto könnte man eine Bestätigung der Voraussage dieser 
Theorie erblicken, daß an die großen Planeten sich nach außen hin 
eine ähnliche Zone von kleinen Planeten anschließe. 

Jeffreys””) sah früher eine Schwierigkeit darin, daß das wider- 
stehende Mittel die Bahnen dieser Kleinkörper ebenso hätte abrunden 
müssen wie die der vier inneren Planeten, und schließt daraus, daß 
die Planetoiden sich erst hätten bilden können, nachdem das inter- 
planetare (gasförmige) Mittel verschwunden war. Da neuere Über- 
legungen von Brown?*) über den Gültigkeitsbereich der Störungs- 
theorie der Planeten erhebliche Änderungen der Exzentrizitäten auch 
ohne Zuhilfenahme eines widerstehenden Mittels innerhalb von Zeit- 
räumen von 10° Jahren wahrscheinlich machen, verliert dieses Argu- 
ment seine Bedeutung, da sowohl die ursprünglich großen Exzentri- 
zitäten der Planeten sich vermindert als auch ursprünglich kleine der 
Planetoiden sich auf ihre heutigen Werte vergrößert haben können, 
rein durch die gegenseitigen Störungen.???) 

Die von Hoffmeister*?°) aufgedeckten Zusammenhänge zwischen 
Zodiakallicht und kleinen Planeten und die zunehmende Zahl von 
Neuentdeckungen kleiner Planeten, die die Marsbahn, z. T. sogar die 
Erd- und Venusbahn kreuzen, legen die Vermutung nahe, daß es 
überhaupt keine untere Grenze für die Massen der dem Planetoiden- 
ring zuzuordnenden Körper gibt. Die fein verteilte Zodiakallicht- 
materie ist wahrscheinlich das letzte Auflösungsprodukt meteoriten- 
artiger interplanetarer Massen; nicht nur der Kometen, wie Fessen- 








223) The Earth, Chapt. IV, p. 7. 
224) U. S. Nat. Res. Council Bull. 80, Part V (1931). 
225) Jeffreys, M. N. 92 (1932), p. 890. 


19. Doppelsterne. 1071 


koff**°) will, sondern vor allem der dem Planetoidenring angehörigen 
Körper. 

Bezüglich aller bisher behandelten Körper besteht ziemliche Ein- 
stimmigkeit der Meinungen, daß sie dem Planetensystem seit seinem 
Bestehen angehören. Bei den Kometen und Meteoren gibt es eine 
Reihe von Argumenten, die auf eine Herkunft aus außerplanetaren 
Räumen hinweisen?) Da wir heute wissen, daß der interstellare 
Raum von unregelmäßigen Wolken kosmischen Staubes durchsetzt ist, 
bereitet es keine Schwierigkeiten, anzunehmen, daß bei dem Durch- 
schreiten einer solehen Wolke in früherer Zeit die Massen eingefangen 
wurden, die wir heute als periodische Kometen und Meteorschwärme 
die Sonne umlaufen und sich allmählich auflösen sehen. Es gibt aller- 
dings auch Stimmen, welche einer solaren Herkunft der kometarischen 
Massen das Wort reden; vorab Ohamberlin und Moulton, die spätere 
spontane Eruptionen der Sonne dafür verantwortlich machen im Gegen- 
satz zu den von dem begegnenden Stern erzwungenen, die zur Ent- 
stehung der Planeten führten.2). 


: V. Einzelprobleme. 


19. Doppelsterne. Die theoretischen Untersuchungen über Gleich- 
gewichtsfiguren lassen eine Erklärung der Entstehung von Doppel- 
sternen durch Teilung rotierender Massen zu. Dabei müßten zunächst 
Systeme entstehen, deren stark elliptisch deformierte Komponenten noch 
nahe in Kontakt miteinander stehen und bei denen Achsendrehung 
und Bahnumlauf die gleiche Periode haben. Solche Systeme sind in 
der Tat bekannt in den ß Lyrae- und W Ursae Majoris-Sternen ???), 
bei denen die Auswertung photometrischer und spektrographischer 
Daten zu einer genauen Kenntnis der physikalischen Verhältnisse 
führt.?°) Man kann kaum eine ungezwungenere Erklärung für die 
Entstehung eines engen Doppelsternsystems finden. Die Hypothese, 
daß es sich hier nicht um neu gebildete Systeme handle, sondern um 
solche, die — etwa unter dem Einfluß eines widerstehenden Mittels — 
mit abnehmenden Bahndimensionen ihrer künftigen Vereinigung in 


226) A. N. 198 (1914), p. 465. 

227) Vgl. Encykl. VI, 18a. 

228) Daher der Titel der letzten Veröffentlichung: The Two Solar Families. 

229) E. Schönberg, Encykl. VI, 27, Kap. III, vor allem Nr. 56 mit Tab. 17 
und A. Hnatek, Encykl. VIs, 25, Nr. 31. 

230) Ausführliche Tabellen bei H. Shapley, Contr. Princeton Univ. Obs. Nr. 3 
(1915) und S. Gaposchkin, Veröffentl. Berlin-Babelsberg IX, 5 (1932). Auswahl auch 
bei J. H. Jeans, A. C., table XIX. 


1072 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


einer Katastrophe entgegengehen, läßt sich nur unter sehr gezwun- 
genen Annahmen durchführen und dürfte heute kaum mehr ernstlich 
verteidigt werden. 

Die Frage aber, ob alle Doppelsternsysteme, auch die weiten vi- 
suellen Paare, einmal auf solche Weise entstanden sind, ist weniger 
leicht zu beantworten. Es läßt sich zwar eine Reihe von Prozessen 
angeben — vgl. die Ausführungen des vorigen Kapitels — die eine 
Vergrößerung der Bahndimensionen bewirken; aber die quantitative 
Durchrechnung der verschiedenen Möglichkeiten hat mit ziemlicher 
Sicherheit zu dem Schluß geführt, daß im allgemeinen aus einem 
engen spektroskopischen Doppelstern kein System vom Typus der be- 
kannten weiten visuellen Systeme entstehen kann. H. N. Russell ?®*) 
hat auf den Umstand hingewiesen, daß, solange nur innere Kräfte 
des Systems selbst in Frage kommen — vor allem die Gezeiten- 
reibung —, der Vergrößerung der Bahndimensionen sehr enge Gren- 
zen gesetzt sind durch die Bedingung, daß das Gesamtmoment des 
Systems erhalten bleibt. Die Gaskugel, aus der sich ein visuelles 
System der heute bekannten Art durch Teilung gebildet hätte, müßte 
einen Durchmesser gehabt haben von der Größenordnung des jetzigen 
Bahndurchmessers. Sterne solcher Art kennen wir aber nicht. 

Der Einfluß säkularer Massenabnahme vermag die Bahndimen- 
sionen nur um kleine Bruchteile zu vergrößern. Wesentliche Ver- 
änderungen können dagegen hervorgebracht werden durch äußere 
Kräfte, wie sie bei Begegnungen mit anderen Sternen ausgeübt werden. 
Dahingehende Untersuchungen verdankt man vor allem Jeans.”®?) Er 
hat für ein System von Sternen im statistisch stationären Zustand, in 
dem also durch den Energieaustausch bei Begegnungen über lange 
Zeiten hin Gleichverteilung der Energie hergestellt ist, die Vertei- 
lungsfunktion der Perioden P und Exzentrizitäten & der in dem Sy- 
stem vorhandenen Doppelsternsysteme abgeleitet, ausgehend von den 
in Nr. 14 dargelegten Formeln für den Energieaustausch. Die Funk- 
tion hat, wenn man mit A und H Konstante bezeichnet, die Gestalt: 





MM 7. Ch 
(1) f(P, )dPde — 3m? Acmımb \T’ AP.2eds, 
aus der hervorgeht, daß Perioden und Exzentrizitäten im stationären 
Endzustand sich unabhängig voneinander verteilen. In Wirklichkeit 
aber beobachtet man bei den Doppelsternen mit bekannten Bahn- 
elementen eine ganz ausgesprochene Korrelation zwischen Perioden 





231) H.N. Russell, On the Origin of Binary Stars, Ap. Journ. 31 (1910), p. 185. 
232) A.C., Nr. 271-273. 


19. Doppelsterne. 1073 


und Exzentrizitäten, indem zu größeren Perioden auch größere Ex- 
zentrizitäten gehören. Aitken?®”) gibt folgende Tabelle: 











Tabelle 10. 
Perioden und Exzentrizitäten von Doppelsternsystemen. 
Mittlere Mittlere 
Ansabl Periode Exzentrizität 

46 2,75 Tage 0,047 
Spektrosk. 19 Tao... 0,147 
Doppelsterne 25 23,00 „ 0,324 
29 1,5 Jahre 0,350 
Visuelle 30 hr 0,423 
Doppelsterne 2 fa a, RERR 
170,0 :73, 0,539 








Das Milchstraßensystem befindet sich demnach, wie wir auch aus 
anderen Überlegungen wissen, keineswegs in einem statistisch statio- 
nären Zustand. Man kann daher versuchen, aus der jetzigen Vertei- 
lung der Bahnelemente, in der die ursprüngliche Verteilung noch 
nicht ganz verwischt ist, Schlüsse auf die Art der Entstehung der 
Systeme zu ziehen. 

Untersucht man die Häufigkeiten der Exzentrizitäten für sich, so 
findet man einen ausgeprägten Unterschied zwischen spektroskopischen 
und visuellen Doppelsternen: die spektroskopischen bevorzugen gegen- 
über der stationären Verteilung 2&ds in hervorstechendem Maße die 
ganz kleinen Exzentrizitäten, während bei den visuellen Doppelsternen 
theoretische und beobachtete Verteilung bis zu Exzentrizitäten von 
etwa 0,6 sehr nahe parallel laufen; vgl. die folgende Tabelle: 











Tabelle 11. 

Verteilung der Exzentrizitäten der Doppelsterne. 
Exzentrizität | Spektr. | Vis. | Theor. 
0,0 bis 0,2 66%, 10 %, 4%, 
02 „ 04 15 27 12 
NA: 13 41 20 
0,6 „ 0,8 5 16 28 
08 ,..18 1 6 36 














(Anzahl der spektr. Doppelsterne 119, der visuellen 68.) 


Die Verteilung der Perioden im stationären Endzustand wird 
wesentlich bestimmt durch die mittlere kinetische Energie der Sterne 


233) R.G. Aitken, The Binary Stars (1918), p. 196. Ausführlichere Tabellen, 
die aber den gleichen Befund ergeben, bei R. E. Wilson, The Period-Eccentrieity 
Relation in Binary Systems, Astron. Journ. 33 (1921), p. 147. 


1074 VIs2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


des Systems; denn die Konstante H in der Verteilungsfunktion (1) 
ist gegeben durch 


(2) ZRH mr. 


Mit dem von F. H. Seares”*) unter Voraussetzung der Gleich- 
verteilung der Energie im Milchstraßensystem abgeleiteten Wert für 


die Energiekonstante 
MV? — 7,50 - 10% erg 





wird 
H == 2.107 
und die Verteilungsfunktion der Perioden nimmt die Gestalt an: 
int 
(3) fPJaP=D.e" (2) ar 
DB — 021 - FRI Jahre, 
RAM 


Für D=-MW—=1 wird P,=55 Tage. Die Mehrzahl der Doppel- 
sterne hat aber erheblich größere Perioden. Die Begegnungen im Stern- 
system werden also vor allem im Sinne einer Verkleinerung der großen 
Perioden wirken müssen, um eine Annäherung an den stationären 
Endzustand herbeizuführen. Man wird im ganzen nicht um die von 
Jeans gezogene Schlußfolgerung herumkommen, daß wir mit zwei 
grundsätzlich verschiedenen Arten der Entstehung von Doppelstern- 
systemen wirklich rechnen müssen ?°5): 

1. Teilung rotierender Massen liefert die kurzperiodischen (spektro- 
skopischen) Doppelsterne, deren Bahndimensionen sich unter dem 
Einfluß der Gezeitenreibung und der Begegnungen mit anderen 
Sternen im allgemeinen vergrößern. | 

2. Benachbarte Kondensationen in dem Nebel, aus dem das Milch- 
straßensystem entstanden ist, bilden langperiodische (visuelle) 
Doppelsterne, die durch Energieaustausch bei Begegnungen ent- 
weder zerstört werden (Übergang in hyperbolische Bahnen) oder 
aber ihre Dimensionen vorzugsweise verkleinern (Übergang in ellip- 
tische Bahnen größerer Energie). 

Die drei- und mehrfachen Sternsysteme sind durchwegs von dem 
Typus, wie man ihn theoretisch zu erwarten hat, wenn die Kompo- 


234) F. H. Seares, The Masses and Densities of the Stars, Ap. Journ. 55 
(1922), 165 —= Mt. Wilson Contr. 226. 

235) Zu teilweise abweichenden Feststellungen kommt neuerdings W. Mar- 
kowitz, The evolution of Binary Stars, Ap. Journ. 75 (1932), p. 69 und The pro- 
blem of two bodies with variable mass, Ap. Journ. 77 (1933), p. 337. 


20. Veränderliche Sterne. 1075 


nenten eines Doppelsternes durch Teilung selbst wieder Paare bilden: 
Die Dimensionen der sekundären Systeme sind kleine Bruchteile der 
Dimensionen des primären Systems. Als eines der eindrucksvollsten 
Beispiele führt Jeans den Stern 1502 in Jonckheeres Katalog an, dessen 
fünf Komponenten die folgenden mittleren Abstände haben: 


Ce=3"1, 0D=2%"'1, AB=4"2, A0— 235,1. 


H. N. Russell??') hat ganz allgemein die Bedingungen untersucht, denen 
ein durch fortgesetzte Teilung entstandenes mehrfaches Sternsystem 
genügen muß hinsichtlich der Verhältnisse der Massen, Dichten und 
Abstände der Komponenten. Jeans?®) hat ähnliche Betrachtungen 
angestellt, die ihn im Zusammenhang mit dem oben über die Ent- 
stehung weiter Doppelsterne Gesagten zu dem Schluß führten, daß 
die so bestechende Theorie der fortgesetzten Teilung nicht haltbar ist. 
Bei der Bildung von mehrfachen Sternsystemen haben offenbar beide 
Arten mitgewirkt: Die Hauptsysteme sind sicher nicht durch Teilung 
entstanden; wohl aber können die Komponenten sich mit zunehmender 
Kontraktion aufgespalten haben. 

Aus der Statistik der absoluten Leuchtkräfte und der Massen 
lassen sich kaum Schlüsse ziehen auf die Art der Entstehung der 
Doppelsterne. Die Tatsache, daß wir unter den frühen Spektraltypen 
einen überwiegenden Prozentsatz von spektroskopischen Doppelsternen 
vorfinden, kann so gedeutet werden, daß Doppelsternbildung durch 
Teilung bevorzugt bei Sternen großer Masse stattfindet. Da wir aber 
noch keine sicheren Kenntnisse über die reellen Verschiedenheiten in 
der Verteilungsfunktion der Doppelsterne und der einfachen Sterne 
haben (vgl. p. 1008), müssen wir uns mit diesen allgemeinen Aussagen 
begnügen. 

20. Veränderliche Sterne. Die kosmogonische Einordnung der 
veränderlichen Sterne wird wesentlich bestimmt durch die Anschau- 
ungen über die physikalischen Ursachen des Lichtwechsels. Im Rahmen 
der alten „Flecken“theorien, die die Veränderlichkeit auf oberfläch- 
liche Schlackenbildung bei fortschreitender Abkühlung zurückführen, 
erscheinen die Veränderlichen am Ende der Entwicklungsreihe der 
normalen Sterne. Die neueren Theorien, die die Ursachen des Licht- 
wechsels mehr in das Sterninnere verlegen (Pulsationen, Doppelstern- 
bildung, Schwankungen der Energieerzeugung im Innern), führen zu 
der Auffassung der typischen Veränderlichen als Jugendstadien der 
Sternentwicklung. Diese Auffassung erfährt eine starke Stütze von 
der Seite der empirischen Kosmogonie durch Einordnung der Ver- 


236) A.C., Nr. 280— 283. 


1076 VIa,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


änderlichen in das (ZL,7T)-Diagramm und durch das Studium der ver- 
wandtschaftlichen Beziehungen zwischen den einzelnen Klassen der 
Veränderlichen.??”) 

Auf Grund der Beobachtungstatsachen kann man die folgenden 
für die Einordnung der Veränderlichen wesentlichen Feststellungen 
machen: 

1. Die typischen Veränderlichen — d.h. abgesehen von Sternen wie 
etwa unsere Sonne, die streng genommen ja auch keine konstante 
Helligkeit hat — machen nur einen ganz kleinen Bruchteil der 
Sterne überhaupt aus. Shapley?®®) gibt die Zahl aller Veränder- 
lichen heller als 6. Größe zu 3%, an. Die Zahl der ö Cephei- 
Sterne wird von Jeans?®) auf vielleicht 1:10%, die der lang- 
periodischen Veränderlichen noch kleiner, vielleicht 1: 107 ge- 
schätzt. Die statistisch einwandfreie Diskussion der seit Jahren 
in Gang befindlichen „Überwachungsaufnahmen“ dürfte nach den 
bis jetzt gemachten Erfahrungen bezüglich der relativen Häufig- 
keiten der verschiedenen Typen das heutige Bild zwar merklich 
verschieben *°); dagegen scheint sich an der relativ geringen Häufig- 
keit der Veränderlichen überhaupt kaum etwas zu ändern. 

2. Alle typischen Veränderlichen sind Sterne hoher Leuchtkraft, zum 
Teil Übergiganten. Wahrscheinlich ist ein sehr großer Prozentsatz 
der Riesen der späteren Spektralklassen (X, M, N, R, S) über- 
haupt veränderlich. 

3. Die periodischen Veränderlichen erfüllen ein eng begrenztes Ge- 
biet des (Z,7)-Diagramms*!) und zeigen deutliche Korrelationen 
zwischen Leuchtkraft, Spektraltypus und Periode. 

Stellt man sich auf den Boden der Riesen-Zwerg-Theorie der 
normalen Sternentwicklung, so ordnen sich nach diesen Gesetzmäßig- 
keiten die Veränderlichen als frühe Jugend- bzw. Durchgangsstadien 
ein. Ein durchaus „normaler“ Weg führt möglicherweise von den 
langperiodischen roten Veränderlichen (Mira-Sterne) über RV Tauri- 
Sterne, ö Cephei-Sterne (lang- und kurzperiodische) und ß Cephei- 
Sterne zu den normalen Sternen der Hauptreihe. Ob dabei mit zu- 


237) Die ausführlichste Darstellung des ganzen Fragenkomplexes findet man 
bei H. Ludendorff, Handb. d. Astrophys. 6 (1928). Einen zusammenfassenden Be- 
richt gibt P. ten Bruggencate in Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 10 (1931). Vgl. auch 
E. Schönberg, Encykl. VI, 27, Kap. Ill und A. Hnatek, Encykl. VI», 25. 

238) Ap. Journ. 41 (1915), 3056 = Mt. Wilson Contr. 99. 

239) A. C., Nr. 354. 

240) C. Hofmeister, Zur Statistik der veränderlichen Sterne, Himmelswelt 
40 (1930), p. 37. 

241) Vgl. die von ten Bruggencate übernommene Fig. 20 bei Schönberg. 


21. Novae, Planetarische Nebel und weiße Zwerge. 1077 


nehmender Kontraktion nur ein Abklingen der den Lichtwechsel in 
erster Linie bestimmenden Schwingungen erfolgt, gemäß dem Gesetz 
P?o = const., oder ob, namentlich im Gebiet der eigentlichen 6 Cephei- 
Sterne, auch Rotationsinstabilitäten eine Rolle spielen, die über Pseudo- 
ellipsoide zu Doppelsternen führen, darüber sind die Ansichten noch 
sehr verschieden. Die Mannigfaltigkeit der Erscheinungen bei den 
verschiedenen Typen von veränderlichen Sternen ist im einzelnen so 
groß, daß man gar nicht erwarten darf, mit einer einfachen Theorie 
alles zu erfassen. Wahrscheinlich wird von all den verschiedenen An- 
sätzen und Erklärungsversuchen etwas in die endgültige Theorie über- 
gehen, die der Vielfältigkeit der Erscheinungen durch eine entsprechende 
Vielfältigkeit der zusammenwirkenden Ursachen gerecht wird. 


21. Novae, Planetarische Nebel und weiße Zwerge. Die Rolle, 
welche die Neuen Sterne innerhalb der kosmogonischen Spekulationen 
spielen, hat sich wesentlich gewandelt unter dem Einfluß der sich 
mehrenden Erkenntnisse über die Natur des einmaligen Aufleuchtens. 
Die relativ große Anzahl der bekannten Erscheinungen, verglichen mit 
der geringen Wahrscheinlichkeit naher Begegnungen von Sternen im 
Milchstraßensystem, macht es heute unmöglich, das Novaphänomen 
als das Ergebnis des zufälligen Zusammenstoßes zweier Sterne zu 
betrachten. Die genaue Verfolgung der Einzelvorgänge auf spektro- 
graphischem Wege?) — vor allem bei der besonders günstigen Er- 
scheinung der Nova Pictoris — hat allgemein der Ansicht zum Durch- 
bruch verholfen, daß auch die Ursachen für den Ausbruch einer Nova 
im Sterninnern zu suchen sind. Es kann sich hier nicht um eine 
dem Aufleuchten einer Sternschnuppe in der Erdatmosphäre vergleich- 
bare Episode handeln, wie Seeligers Theorie wollte. 

Die Existenz Novaähnlicher Veränderlicher *°), die über die U Ge- 
minorum-Sterne eine Verbindung zu den langperiodischen Veränder- 
lichen herstellen, spricht für eine Einordnung der Novae in das Ge- 
biet der aus inneren Gründen instabilen Sternzustände. Die Erkenntnis 
schließlich, daß die absolute Maximalhelligkeit, zu der die Neuen 
Sterne aufflammen, stets die gleiche ist”), mit einer Streuung von 


242) Einzelheiten bei F\..J. M. Stratton, Handb. d. Astrophys. 6, Chapt. 3. 

243) Vgl. das Verwandtschaftsdiagramm bei Ludendorff, 1. c. p. 248. 

244) Von K. Lundmark zuerst als Hypothese gewagt in: The relations of 
the globular clusters and spiral nebulae to the stellar system, Kungl. Svensk. 
Vet. Handl. 60 (1920), Nr. 8. In einer Reihe weiterer Arbeiten gestützt und be- 
stätigt: Publ. Astr. Soc. Pac. 35 (1923), p. 95; Pop. Astr. Tidskr. 4 (1923), p. 112; 
Uppsala Medd. Nr. 30 (1927); Pop. Astr. Tidskr. 9 (1929), p. 19 und 11 (1930), 
p. 85; Lund Medd. I Nr. 125 (1930). 


1078 VIs,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


kaum mehr als + 0,5”, läßt keinen Zweifel mehr darüber zu, daß 
das Novaphänomen an wohl definierte Zustände im Sterninnern ge- 
bunden ist. \ 

Als durch Ausdehnung der Untersuchungen auch auf schwächere 
Sterne durchschnittlich pro Jahr mindestens eine Nova gefunden 
wurde?®) und als E. B. Hubble seine zahlreichen Entdeckungen von 
Neuen Sternen im Andromedanebel machte, konnte ernstlich der Ge- 
danke erwogen werden, ob nicht das Novastadium überhaupt von 
jedem Stern während seiner Entwicklung einmal durchlaufen wird.*) 
Lönnguist”‘) hat neuerdings die allerdings für statistische Zwecke 
recht spärlichen Unterlagen im Hinblick auf diese Fragestellung dis- 
kutiert und für die „Nova-Periode“, d. i. die Zeit, innerhalb deren 
jeder Stern des Milchstraßensystems einmal als Nova aufleuchtet, die 
Größenordnung 5-10° Jahre gefunden. Diese Zahl ist klein, verglichen 
mit der Lebensdauer des einzelnen Sternes nach der „großen“ kosmo- 
gonischen Zeitskala; ließe also im Sinne der Theorie von v. Zeipel 
das Aufflammen als Nova sogar als ein periodisches Durchgangs- 
stadium aller Sterne zu. Sie ist gerade vergleichbar mit den Werten, 
die aus der Theorie des „expanding universe“ (vgl. Nr. 22) für 
das Alter (bzw. die Periode) des Milchstraßensystems abgeleitet wor- 
den sind. 

Der Zustand, dem die Novae nach dem mit dem Abstoßen von 
Nebelhüllen verbundenen Ausbruch zustreben, weist unzweifelhaft ver- 
wandte Züge mit den Wolf-Rayet-Sternen und den Planetarischen 
Nebeln auf, so daß es nahe liegt, diese Gebilde als späte Stufen 
früherer Novae anzusprechen. Leider besitzen wir so gut wie gar 
keine Kenntnisse über den physikalischen Zustand der Neuen Sterne 
während der Ruhezeit vor dem Ausbruch. Damit fehlt der eigentliche 
Schlüssel zur Lösung des Novaproblems. Aus einigen spärlichen Be- 
obachtungen *®) kann man auf ein A-Spektrum schließen, das während 
des Anstiegs zum Maximum der Lichtentfaltung c-Charakter annimmt. 
Aus der Helligkeit im Maximum und der durchwegs sehr großen 
Amplitude folgt die Zwergnatur im Normalzustand. Damit ergäbe 
sich eine mögliche Beziehung zu den weißen Zwergen, die ihrerseits 
wieder mit den Zentralsternen der Planetarischen Nebel in Verbindung 


245) S. Bailey, Pop. Astr. 29 (1921), p. 554. 

246) H. Shapley, Nature 1922, p. 580; K. Lundmark, Publ. Astr. Soc. Pac. 34 
(1922), p. 207 und Pop. Astr. Tidskr. 4 (1923), p. 112; H.v. Zeipel, Pop. Astr. 
Tidskr. 10 (1929), p. 127. 

247) Lund Circular Nr. 7 (1982). 

248) F. J. M. Stratton, 1. c. Nr. 19. 


22. Nebel und Sterusysteme. 1079 


gebracht worden sind.) So könnte sich möglicherweise der Kreis 
schließen, zu dem dann vielleicht der von K. F. Bottlinger *°°®) ver- 
mutete „3. Ast der Sternentwicklung“ als wesentliches Stück gehörte. 
So lange wir aber noch keine besseren empirischen Daten zur Ver-. 
fügung haben und noch so gut wie gar keine befriedigende physika- 
lische Theorie des Zustandes der weißen Zwerge, fehlt diesen nur auf 
mehr oder weniger deutliche phänomenologische Verwandtschaften 
gegründeten Spekulationen das tragende Gerüst. 


22. Nebel und Sternsysteme. Die phänomenologische Einteilung 
der heute allgemein als außergalaktisch anerkannten Objekte legt einen 
Zusammenhang mit den theoretisch gefundenen Gleichgewichtsfiguren 
rotierender Gasmassen nahe. Jeans hat im Sinne der vergleichend- 
morphologischen Methode der Kosmogonie aus den Hubbleschen Nebel- 
klassen Entwicklungsreihen abgeleitet, die von großen kugelförmigen 
Nebelmassen zu Sternsystemen von der Art unseres Milchstraßen- 
systems führen. Die Hauptklassen Hubbles?®') sind: 

1. Elliptische Nebel, EO bis ET, geordnet nach der Größe der 


scheinbaren Elliptizität, d.h. der Größe IP. 


2. Normale Spiralen, Sa, Sb, Sc, mit rundem bzw. ellipsoidischem 
Kern; Klasse Sa von der Kante gesehen, Klasse Sc ganz in der 
Aufsicht auf die Spirale. 

.„Barred Spirals“, früher vielfach als Spiralen vom &-Typus be- 
zeichnet, SBa, SBb und SBe; bei denen der sehr unbestimmte 
eigentliche Kern von einem länglichen „Balken“ durchkreuzt wird, 
an dessen Enden die Spiralarme ansetzen. Die Unterklassen 
haben die gleiche Bedeutung wie unter 2. 

4. Unregelmäßige Nebel vom Typus der Magellan-Wolken. 

Die Klassen S und SB schließen rein phänomenologisch an die 
späteren E-Klassen als getrennte Parallelreihen an, so daß man kosmo- 
gonisch an einen Verzweigungspunkt denken kann, von dem aus die 
durch Rotation bei einem bestimmten Wert der Abplattung instabil 
werdenden ellipsoidischen Gleichgewichtsfiguren sich fortsetzen in zwei 
Reihen verschiedenartiger Spiralen. 

Die Möglichkeit einer solchen kosmogonischen Deutung ist ge- 
geben durch Jeans’ Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren 
der intermediären Modelle zwischen dem Rocheschen Modell und der 


249) Vgl. den Bericht von F. Becker und W. Grotrian, Über die galaktischen 
Nebel und den Ursprung der Nebellinien, Ergebn. d. exakt. Naturwiss. 7 (1928). 

250) Veröffentl. Berlin-Babelsberg III, Heft 4 (1923). 

251) E. B. Hubble, The extragalactic nebulae, Ap. Journ. 64 (1926), p. 321. 


1080 VIe,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


homogenen Flüssigkeit (vgl. Nr. 9). Jeans?°”) selbst hat das Schema 
der Entwicklungsreihen im Anschluß an Hubbles Klasseneinteilung 
dureh die hier wiedergegebene Fig. 3 gekennzeichnet. 

Danach erscheinen die normalen Spiralen als Fortsetzung der 
Pseudo-Sphäroide, die „barred spirals“ als Fortsetzung der Pseudo- 
Ellipsoide. Jeans weist allerdings ausdrücklich auf die Schwierigkeit 
hin, daß die Pseudo-Ellipsoide nach seiner früher entwickelten Theorie 









































E16-2- 
E33} x ESST 
= 
S RS S 
8 & S 
:| |®| ik | |®© 
z £> & 
SS 
EO EO 
0.3, 0 Kerzen 
% Fig. 3. 


Schema der Entwicklung vom Kugelnebel zum Spiralnebel nach Jeans (A.C., Fig. 56/57). 


der Gaskugeln nur als Gleichgewichtsfiguren rotierender Massen mit 
geringer zentraler Verdichtung auftreten können, während die Theorie 
für den Aufbau von Gasmassen durchweg auf große Dichtegradienten 


i Ur 
führt (5 <3 bw. x< 22). 
A 


Aus den spektroskopisch beobachteten Rotationsgeschwindigkeiten 
einiger Nebel?®®), die einen linearen Gang mit dem Radius, d. h. 
gleichförmige Winkelgeschwindigkeiten ergeben haben, kann man zu 
einer Abschätzung der mittleren Dichte gelangen, wenn man für die 


kritische Größe en einen plausiblen Wert einführt. Jeans”t) setzt 


wo? ATABuR 


ET a 3 





252) A. C., Chapt. XIII. 

253) Slipher, Lowell Bull. 2 (1914), p. 65; Pop. Astr. 23 (1915), p. 21; 25 
(1917), p. 36; 29 (1921), p. 272; F.G@. Pease, Wash. Proc. Nat. Ac. 2 (1916), p. 517; 
Publ. A. S. P. 28 (1916), p. 191; Wash. Proc. Nat. Ac. 4 (1918), p. 21. 

254) A.C., Nr. 303, 304. 


22. Nebel und Sternsysteme. 1081 


und findet dann mit den Daten von Pease für Messier 31 und NGC 4594 
die Werte: 


Mesier 31: 12.10" sec"!, o—=5-11*gem”?, 
NGC 4594: © = 04.14 „ , 90 —=2:-.10-2 


Die linearen Dimensionen der Spiralnebel?®), aus den scheinbaren 
Durchmessern und den bekannten Entfernungen abgeleitet, liegen 
zwischen 150 und 10000 parsec; die Gesamtmassen werden zwischen 
10° und 10!° Sonnenmassen geschätzt. Aus dem Vergleich der linearen 
Dimensionen mit den mittleren freien Weglängen, die für einfache 
Moleküle bei den angegebenen Dichten von der Größenordnung 10? 
parsec sind, ergibt sich die Möglichkeit, die elliptischen Nebel und die 
Kerne der Spiralnebel wirklich nach den für rotierende Gaskugeln 
entwickelten Methoden zu behandeln. 


Dagegen treten ernstliche Schwierigkeiten auf, wenn man die 
außergalaktischen Objekte, wofür mancherlei Gründe angeführt werden 
können, als Sternsysteme auffassen will. Schon bei einer Größe der 
„Teilchen“ von der Ordnung 1 mm (entspr. 10° Molekülen) wird die 
freie Weglänge von der Ordnung des Durchmessers der Systeme 
selbst; und wenn man gar zu Sternen übergeht, dann führen die in 
Nr. 14 gemachten Angaben über die Wirkung von Begegnungen auf 
formale freie Weglängen von der Größenordnung 10° bis 10% Nebel- 
durchmesser. Unter solchen Verhältnissen verliert der Begriff des 
„Gasdruckes“ seinen Sinn und entfällt die Möglichkeit der unmittel- 
baren Übertragung der für Gaskugeln abgeleiteten Resultate. Man 
muß dann die allgemeinen statistischen Betrachtungen über stationäre 
bzw. nichtstationäre Sternsysteme heranziehen. 


Die Frage, ob die elliptischen Nebel auf Grund empirischer 
Befunde als rotierende Gasmassen oder als Sternsysteme anzusehen 
sind, ist noch keineswegs geklärt.?°®) Soweit überhaupt Spektralauf- 
nahmen vorliegen, entsprechen die Spektra fast aller außergalaktischen 
Nebel dem mittleren Spektrum der Milchstraße, d. h. einem mittleren 
Spektrum vom Typus G@. Emissionslinien, insbesondere die Nebel- 
linien, sind nur in ganz wenigen Ausnahmefällen beobachtet. Zwischen 
elliptischen Nebeln und Spiralnebeln scheint hinsichtlich der spek- 
tralen Eigentümlichkeiten kein wesentlicher Unterschied zu bestehen; 
nach Ausweis der Farbenindizes bzw. effektiven Wellenlängen gehören 
die elliptischen Nebel vielleicht einem etwas späteren Typus an als 


255) Vgl. H. D. Curtis, Handb. d. Astrophys. V/2 (1933), table 16. 
256) Ebenda Nr. 47—49. 


1082 VIe,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


die Spiralen. Shapley”) gibt folgende Mittelwerte für die Farben- 
indizes an: 


12 elliptische Nebel €. I. = + 0,33” 
18 Spiralnebel C.Il= + 0,2, 


Lundmark?°®) neigt daher dazu, die elliptischen Nebel als echte, nur 
wegen der großen Entfernung unaufgelöste außergalaktische Stern- 
systeme anzusehen, verwandt mit den kugelförmigen Sternhaufen im 
größeren galaktischen System; während Jeans an der Auffassung fest- 
hält, daß es sich um reine Gasmassen handle, die erst beim Übergang 
zur Linsenform durch Bildung von Kondensationen in den äußeren 
Teilen sich in Sternsysteme umformen. 

Diese Bildung eines Sternsystems aus einem Nebel versuchte 
Jeans?°°) theoretisch zu fassen durch Betrachtungen über „Gravitations- 
instabilitäten“, die zu den p. 1057 bereits angeführten Formeln für 
die gegenseitigen Abstände A, und Massen M — 4,°0 der Kondensa- 
tionen führten. Mit «— 3 erhält man folgende Übersicht der Werte 
für A, und M in Abhängigkeit von o und c. 























Tabelle 12. 
Mittlere Abstände und Massen der Kondensationen in einem Nebel. 

c = 10% cm sec! c = 10° cm sec”! 

) ho M A, M 

gcem-® cm g cm g 
10-3: . 10% 1,3 - 103° . 10? 1,3. 10%? 
107% - 10? 1,3 - 10°® «1023 1,8 ..10* 
10-22 . 1018 1,3 109% .. 1019 1,3 . 1097 
10-2 . 1017 1,3 - 108° . 1018 1,3 - 103° 
10-® . 1010 1,3 - 102% . 101 1,3 - 102° 
10-* .. 109 1,3 - 1025 . 1010 1,3. 10%8 

















Danach könnten Kondensationen von der Größenordnung der Sterne 
(10®—10% g) gerade bei den von Jeans errechneten mittleren Dichten 
der Nebel entstehen, wenn man die mittlere Molekulargeschwindigkeit 
zu c—= 10% cm sec”! ansetzt. Da man aber für diesen Wert so recht 
keinen Anhaltspunkt hat, während er die zahlenmäßigen Ergebnisse 
der Rechnung wesentlich bestimmt, darf man nicht zu großes Gewicht 
auf die numerischen Übereinstimmungen legen. Jeans selbst hat 


257) Wash. Nat. Ac. Proc. 15 (1925). p. 565. 
258) Publ. A.S.P.42 (1930), p. 23; Pop. Astr. Tidskr. 11 (1930), p. 85. 
259) Phil. Trans. 199 A (1902), p. 49; letzte Darstellung in A. C., Nr. 313—320. 


22. Nebel und Sternsysteme. 1083 


z. B. früher?%) ce = 1,6: 10° vorgezogen, um in Übereinstimmung mit 
den aus van Maanens Beobachtungen abgeleiteten wesentlich größeren 
mittleren Dichten zu kommen. 

Natur und Entwieklung der Spiralarme sind noch weitgehend in 
Dunkel gehüllt.?°) Aus den Beobachtungen lassen sich als allgemeine 
Gesetzmäßigkeiten ableiten: 

1.In der Regel setzen zwei Arme an gegenüberliegenden Punkten 
des Kernes an. Die Arme können bei keinem Nebel weiter ver- 
folgt werden als bis über zwei volle Windungen. 

2. In der Mehrzahl der untersuchten Fälle nähert sich die Form der 
Arme weitgehend der logarithmischen Spirale.?%) Die Archimedi- 
sche Spirale ist zur Darstellung der Beobachtungen ungeeignet. 
Doch gibt es auch Typen, die überhaupt keine einfache Dar- 
stellung erlauben, und Übergänge auf der einen Seite zu Typen 
mit stark verästelten Armen, auf der anderen bis zu solchen 
Typen, bei denen die beiden Arme zu einem fast völlig kreis- 
förmigen Ring verschmelzen (NGC 7217). 

3. Die spektrographischen Beobachtungen ?°?) deuten darauf hin, daß 
die Rotation in dem Sinn erfolgt, in dem die Arme sich auf- 
wickeln. Die Beobachtungen van Maanens’“*), denen zufolge die 
Materie längs der Spiralarme nach außen strömen sollte, haben 
einer strengen Kritik nicht standhalten können. Sie stehen in 
offenem Widerspruch mit den heutigen Kenntnissen über die Ent- 
fernungen. 

Es ist stets möglich, spiralförmige Bahnen für die vom Kern 
ausgeschleuderten materiellen Teilchen zu erhalten, wenn man irgend- 
welche Zusatzkräfte zu der einfachen Newtonschen Zentralkraft an- 
nimmt. Darauf läuft denn auch ein Teil der bisherigen Versuche zu 
einer dynamischen Deutung der Spiralarme hinaus. All diese Theorien 
geraten aber in Widerspruch mit der Beobachtungstatsache 3. Als 
typisches Beispiel kann der Versuch von Jeans?®®) zur Darstellung der 
Beobachtungen van Maanens gelten. 

H. Vogt?) hat den Versuch gemacht, die zur Erklärung der 


260) Problems Nr. 215. 

261) Ausführliche Literaturnachweise bei H. D. Curtis, 1. c. p. 878/879. 

262) E. von der Pahlen, A. N. 188 (1911), p. 249; J. H. Reynolds, M.N. 85 
(1924/25), p. 142 u. 1014. 

263) Fußnote 253. 

264) Literatur bei ZH. D. Curtis, 1. c. p. 847 u. 850. 

265) M. N. 84 (1923), p. 60. 

266) A. N. 242 (1931), p. 181; 243 (1931), p. 405; 245 (1932), p. 281; 246 
(1932), p. 343; 247 (1932), p. 169. 

Encyklop. d. math, Wissensch. VI2, B. 70 


1084 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


Spiralbahnen erforderliche Zusatzkraft als „kosmische Repulsivkraft“ 
in inneren Zusammenhang zu bringen mit der „Expansion der Welt“. 
B. Lindblad?®) erhält Spiralbahnen um ein stark abgeplattetes Rota- 
tionsellipsoid, die asymptotisch zu Kreisbahnen sind und in ihrem 
Hauptteil gut den Vergleich mit den Beobachtungen aushalten. Bei 
E. W. Brown®*®) dagegen erscheinen die Spiralarme nur als Einhüllende 
der unter Annahme einer rein harmonischen Zentralkraft elliptischen 
Bahnkurven der Einzelteilchen. 

Die Auszeichnung zweier diametraler Punkte als Ansatzstellen 
der Spiralarme (Ausströmungsstellen der Materie) könnte auf eine an 
jedem Ort vorhandene resultierende Gezeitenwirkung der übrigen 
Massen im Weltenraum zurückgeführt werden; eine Erklärung, die 
vor allem Jeans befürwortet hat. Daß kein Spiralnebel mehr als zwei 
vollständige Windungen der Arme aufweist, wird von H. Vogt als 
Ausdruck des geringen Alters all dieser Systeme betrachtet. 

Die meisten Autoren sind sich letzten Endes der Unzulänglich- 
keit aller bisherigen Versuche in qualitativer wie quantitativer Rich- 
tung bewußt, so daß H. D. Curtis?) zu dem abschließenden Urteil 
kommt: „Nothing is as yet definitely known as to the laws which 
govern the characteristie structure of the spifals, nor as to the direc- 
tion of the evolutionary process exhibited in them as a class. We 
do not know certainly whether the process as observed now is one 
of formation, permaneney, or disintegration.” 

Eines dürfte feststehen: Die Spiralstruktur ist eine so ausgeprägte 
Erscheinung unter den Objekten, die die Gesamtheit des von uns er- 
faßten Kosmos ausmachen, daß sie nicht als das Spiel eines seltenen 
„Zufalls“ betrachtet werden kann. Sie ist etwas Typisches, dessen 
Gesetzmäßigkeiten von allgemeinster Art sein müssen; welcher Art, 
das ist allerdings vorläufig noch eines der größten kosmogonischen 
Rätsel. 

Einiges neue Licht haben die Untersuchungen der letzten Zeit 
über die „Expansion der Welt“ auf die Frage geworfen.?”) Es scheint 
mit ziemlicher Klarheit daraus immer wieder hervorzugehen, daß die 
„Welt“ sich augenblicklich in einem ausgesprochen nichtstationären 
Durchgangsstadium befindet (im Sinne einer räumlichen Expansion) 

267) K. Sv. Vet. Handl. Ser. III, Bd. 4, Nr. 7 = Medd. Upsala Nr. 31 (1927). 

268) Obs. 51 (1928), p. 277. 

269) 1. c. p. 887, Nr. 66. 

270) Die Hauptarbeiten sind bei H. D. Curtis, 1. ce. p. 891/892 zitiert. Eine 
Diskussion der Lösungstypen findet man bei O. Heckmann, Gött. Nachr. 1931, 


p. 126 und 1932, p. 97. Ausführungen über die Zeitskala bei de Sitter, M. N. 93 
(1933), p. 628. 


22. Nebel und Sternsysteme. 1085 


und daß Zeiten von der Größenordnung 10° bis 10!% Jahre eine aus- 
gezeichnete Rolle in dem Weltgeschehen spielen; sei es als Periode 
bei den Lösungen, die auf eine pulsierende Welt führen, sei es als 
Zeitraum, innerhalb dessen sich der Radius der Welt von einem 
kleinsten Wert auf den heutigen vergrößert hat. Im Rahmen solcher 
Überlegungen ließen sich erheblich größere Gezeitenwirkungen in einer 
gar nicht so fernen Vergangenheit als Ursachen für das diametrale 
Ansetzen der Spiralarme wahrscheinlich machen; ebenso die relative 
„Jugend“ der Spiralnebel. Da wir aber zur Zeit noch keine hinreichen- 
den Gründe haben, uns für einen bestimmten Lösungstypus zu ent- 
scheiden, müssen auch die an spezielle nichtstatische Lösungen des 
kosmologischen Problems geknüpften Schlußfolgerungen noch mit 
Vorbehalt aufgenommen werden; sie sind kaum mehr als persönliche 
Meinungen. 

Die Ansichten über die kosmogonische Stellung unseres Milch- 
straßensystems sind wesentlich bedingt durch unsere Kenntnisse von 
seinem Aufbau und seinem Bewegungszustand.?”!) Die Parallele zu 
den Spiralnebeln ist schon sehr früh gezogen worden. Ihre Zulässig- 
keit wurde vorübergehend in den letzten Jahren in Frage gestellt, 
weil die für das größere galaktische System gefundenen Dimensionen 
ganz erheblich größer waren als die der größten Spiralnebel. Shapley??) 
befürwortet daher eine Parallele mit gewissen Nebelhaufen. Indessen 
scheint die Schwierigkeit sich bis zu einem gewissen Grade dadurch 
zu beheben, daß sich auf der einen Seite die Dimensionen des Milch- 
straßensystems durch Berücksichtigung der interstellaren Absorption 
merklich verkleinern, während auf der anderen Seite die genauere 
Untersuchung der größten außergalaktischen Systeme, vorweg des 
Andromedanebels, zur Entdeckung von Kugelhaufen innerhalb dieser 
Systeme geführt hat, die bis in sehr viel größere Entfernungen von 
dem Kern des Nebels verfolgt werden können als die als solche er- 
kennbaren „Arme“. Die Analogie zwischen Milchstraße und Andro- 
medanebel oder Messier 33 gewinnt dadurch wieder an Wahrschein- 
lichkeit. 

Während F. H. Seares??) aus den beobachteten Geschwindigkeiten 
der Sterne und ihren durchschnittlichen Massen den Schluß auf eine 
weitgehende Gleichverteilung der Energie ziehen zu können glaubt, 
sprechen eine Reihe von Argumenten dagegen, daß sich das Milch- 


271) B. Lindblad, Die Milchstraße, Handb. d. Astrophys. V/2, Kap. 7. 
272) Harvard Circular 350 (1930). 
273) Fußnote 234. Vgl. die merklich anderen Zahlen bei H. Siedentopf, 
Veröffentl. Göttingen, Heft 3, Tabelle 7. 
70* 


1086 VI2,28. H. Kienle. Kosmogonie. 


straßensystem in einem statistisch stationären Zustand befindet: die 
offenkundigen Unregelmäßigkeiten in der räumlichen Verteilung (Milch- 
straßenwolken, Sternhaufen) und die Existenz von Gruppen, die durch 
Besonderheiten des physikalischen Zustandes ihrer Mitglieder (Spek- 
traltypen, spezielle Veränderliche) und ihre gemeinsamen Bewegungen 
ausgezeichnet sind; die Größe der Relaxationszeit (von der Ordnung 
10'? Jahre bei plausiblen Annahmen über die gegenwärtigen Verhält- 
nisse, vgl. Nr. 14) verglichen mit dem maximalen Alter der Sterne. Ob 
sich die Theorie eines dynamisch stationären Zustandes‘) — im Sinne 
einer verallgemeinerten „Rotationstheorie“ — befriedigend wird durch- 
führen lassen, ist noch eine offene Frage. Eine Theorie nicht statio- 
närer Zustände erscheint aussichtslos angesichts des noch völlig un- 
zureichenden Beobachtungsmaterials. 


Die Einordnung der Untersysteme des größeren galaktischen 
Systems, der Milchstraßenwolken, Sternhaufen, hellen und dunklen 
Nebel, in den Ablauf eines zeitlichen Geschehens wird noch für eine 
geraume Weile spekulativ bleiben müssen. Wir besitzen eine befrie- 
digende Theorie der Kugelhaufen noch ebensowenig wie eine solche 
der Spiralnebel; nur mehr oder weniger viel versprechende Ansätze.?”®) 
Die langsame Auflösung der Haufen ist ein möglicher und wahr- 
scheinlicher Vorgang. Ob aber die heutigen galaktischen Haufen Auf- 
lösungsprodukte früherer Kugelhaufen sind und aus dem räumlich 
Gegebenen auf dem Weg einer zeitlichen Umdeutung eine Entwick- 
lungsreihe von Kugelhaufen über mehr oder weniger offene Haufen 
zu den kleinsten Bewegungsgruppen abgeleitet werden darf, erscheint 
mehr als fraglich. Dagegen sprechen die charakteristischen Unter- 
schiede in den (L, 7)-Diagrammen (vgl. p. 1009) und die Erkenntnis, 
daß die Absolutwerte der Dichten in Kugelhaufen, galaktischen Haufen 
und den dichtesten Milchstraßenwolken durchaus von der gleichen 
Größenordnung sind?’®), bis zum Mehrtausendfachen der Dichte der 
näheren Sonnenumgebung. Auch hier gilt entsprechend das bei den 
Veränderlichen Gesagte: Die Mannigfaltigkeit der Erscheinungen läßt 
sich nicht auf eine einzige Entwicklungsreihe zurückführen; wir haben 
es mit Parallelreihen zu tun, deren Anfangszustand an die besonderen 





274) Übersicht und Literatur darüber bei Lindblad, l.c. Kap.g. Vgl. auch 
O. Heckmann, Vjschr. der Astr. Ges. 68 (1933), p. 322. 

275) A. Martens, A research on the spherical dynamical equilibrium distri- 
bution of stars of unequal mass. Göteborg 1928. O. Heckmann und H. Sieden- 
topf, Zur Dynamik kugelförmiger Sternhaufen, Ztschr. f. Astrophys. 1 (1930), p. 67 
— Veröffentl. Göttingen, Heft 13. 

276) R. J. Trümpler, Lick Obs. Bull, Nr. 420, p. 169. 


22. Nebel und Sternsysteme. 1087 


Verhältnisse bei der Entstehung des großen Milchstraßensystems ge- 
knüpft ist und deren Gang durch die räumliche Lage innerhalb des 
Systems entscheidend beeinflußt wird. 


Eine Kosmogonie, die den Rahmen der „Wissenschaft“ nicht 
überschreiten will, muß notwendigerweise unbefriedigend ausklingen, 
wenn von ihr die Antwort verlangt wird auf die Frage, wie denn das 
Weltganze entstanden sei. Jede Zusammenfügung der von ihr auf- 
gezeigten Möglichkeiten und Stücke von Entwicklungsreihen zu einem 
„befriedigenden“ Ganzen bleibt mehr oder weniger spekulativ und wird 
die Kritik herausfordern. Diese Kritik muß unerbittlich sein gegenüber 
Gedankengängen, die um der fanatischen Verfechtung einer einmal ge- 
faßten Idee willen Tatsachen und wohlbegründete Gesetze vergewal- 
tigen. Sie wird aber nachsichtig und wohlwollend stets auch dessen 
eingedenk sein müssen, daß für allen Fortschritt unserer Erkenntnis 
gilt, was Kant in der Vorrede zu seiner „Allgemeinen Naturgeschichte 
und Theorie des Himmels“ gesagt hat: 

„Ich habe auf eine geringe Vermutung eine gefährliche Reise 
gewagt und erblicke schon die Vorgebirge neuer Länder. Diejenigen, 
welche die Herzhaftigkeit haben die Untersuchung fortzusetzen, 
werden sie betreten und das Vergnügen haben, selbige mit ihrem 
Namen zu bezeichnen.“ 


(Abgeschlossen im Oktober 1933.) 





Sachregister zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. 


Von B. Thüring in Breslau. 


Die Stichworte des Registers sind durch gesperrten Druck hervorgehoben. Die 
Wiederholung des Stichwortes ist durch einen Bindestrich angedeutet. Die Zahlen 
beziehen sich auf die Seiten des Bandes. 


A 


Abelsche Integralgleichung 883. 

Aberration 178, in der klass. u. re- 
lativ. Strahlenoptik 174, in der relativ. 
Wellenoptik 176. 

Abplattung, Definition 8; — der Erde 
90, 109, 113, 118; — der Planeten 10; 
Beziehung der — zur Exzentrizität 
11; — der Erde u. Präzessionskon- 
stante 18, 118; — der Erde u. Mond- 
theorie 19, 118, 131; Gesetz der — 24; 
Berücksichtigung höherer Potenzen der 
— 30; — des Mondes 53; — einer 
Atmosphäre 71, 446; —, Beziehung 
zum Verhältnis zw. Fliehkraft u. 
Schwere 8, 9, 110, 111; — u. Erd- 
potential 118; — bei Bedeckungsver- 
änderlichen 963 ff. 

Abschattung der Gravitation 148. 

Absorption (s. auch Extinktion) 
498 ff.; — der Gravitation 148; Ur- 
sachen für — des Lichtes im Welten- 
raum 323; —skoeffizienten im Stern- 
innern 458, 462, 471; —skoeff. der 
Nettostrahlung 464, 475, für schwarze 
Strahlung 464; — u. Strahlungsgleich- 
gewicht 476, 487, 498; prinzipieller 
Unterschied zw. — u. Streuung 479, 
482ff.; — u. Leuchtkrafteffekt der 
Fixsterne 804; interstellare selektive 
— 805; — photogr. Platten 859f.; 
— des Lichtes in Gasen 927ff.; —s- 
banden u. Extinktion der Erdatmo- 
sphäre 935; —sbanden bei langperio- 
dischen Veränderlichen 984. 

Absorptionskoeffizient 498ff., in 
der Reflexionsformel von Seeliger u. 
Lommel 899 ff.; Verhältnis von — u. 
Diffusionskoeff. 901. 





Absorptionslinien 525 ff. 

Additionsgesetz der Geschwindig- 
keiten in der spez. Relativitätstheorie 
174; — u. Aberration 174, 176. 

Adiabatisches Sternmodell (s. Poly- 
trope). 

Aktinometrie, Göttinger — 787, 842, 
857; Yerkes — 787, 842, 857. 

Albedo, Definition 903f.; — u. Gesetz 
v. Lambert 898, 903; — nach Seeliger 
904; sphärische — nach Bond 905 ff.; 
— der Planeten u. Trabanten 909; 
— der Planeten u. ihr Durchmesser 
913f.; — der Erde u. aschfarbenes 
Mondlicht 918; — u. Beleuchtung von 
Planetenatmosphären 936. 

Algolsterne (s. Bedeckungsver- 
änderliche). 

Alter der Sterne u. Energieerzeugung 
1011. 

Ammoniakbande im Sonnenspektrum 
604, 608. 

Andromedanebel, Spektrum 763. 

Antiapex der Sonnenbewegung 327 (s. 
auch Apex). 

Anzahl der Sterne der Größe m 282, 
284, 287, 318, 320; — u. Dunkelnebel 
326. 

Anziehungsgesetz von Newton 83; 
— im sphärisch-elliptischen Raum 84; 
— im Raum von n Dimensionen 84; 
Modifikationen des —es bei unend- 
licher Masse im unendlichen Raum 
86. 

Apex der Sonnenbewegung 327; — u. 
Rotation der Milchstraße 331, 767; 
— u. Radialbewegung der Sterne 332; 
— u. die Massen der Sterne 333; — u. 
systematische Bewegungen von Stern- 


1090 


gruppen 348 f.; — u. Spektralcharakter 
der benutzten Sterne 335, 350; — u. 
Sternauswahl 351. 

Äquivalent-Ladung, elektrochemische 
569. 

A-Ring des Saturn 949. 

A-Sterne, System der — 316, 363, 364. 

«-Teilchen 558. 

Äther u. absolute Erdbewegung 184. 

Atmosphäre der Himmelskörper 69, 
469; Potential auf inneren Punkt 70; 
Abplattung 71; Gleichgewichtsbedin- 
gungen 70; freie Oberfläche einer — 
70; — der Sonne 70; das Virial der 
— 388; polytrope — 395; Stabilität 
polytroper — 395; fundamentale Glei- 
chungen polytroper — 397; thermi- 
sche Energie einer — 399; potentielle 
Energie einer — 399; Temperatur- 
gradient einer — 399; isotherme — 
401; Massenverlust der — der Erde 
428; — im Strahlungsgleichgewicht 
469 ff., ihre Stabilität 472; Aufbau der 
äußersten Schichten einer — 524; re- 
lative Häufigkeit der Elemente in den 
—n der Fixsterne 729 f.; Beleuchtung 
der Planeten— 926 f., 930, 935 ff.; re- 
duzierte — 930; — im Farbfilter 937. 

Atombau 557ff.; Frequenzbedingung 
v. Bohr 557; Atomnummer 559; die 
Linienserien von H u. He* 561; die an- 
derer Elemente 572; das kontinuier- 
liche Spektrum an der Seriengrenze 576. 

Aufspaltung, Prestonsche Regel beim 
Zeemaneffekt 598; normale oder Lo- 
rentzsche — 598, Rungesche Regel 
599; — bei Starkeffekt 600, 601; — 
der Linie im Sonnenfleckspektrum 624. 

Auge, menschliches 846, 848 ff.; Emp- 
findlichkeitsgrenzen, physiol. Koeff. 
846; Empfindlichkeitsschwelle, Unter- 
scheidungsschwelle 848; Purkinje- u. 
Gallisot-Phänomen 849, 850; Gesetz 
von Fechner-Weber 852 ff.; Eigenlicht 
des —s 853. 

Auswahlfelder von Kapteyn u. Stern- 
verteilung in Abhängigkeit von gal. 
Breite 284. 

Avogadrosche Zahl 587. 


B 
Babinet, Kriterium von — (Kosmogonie) 
1065. 
Balmer-Serie des H 570; — ähnliche 





Äquivalent — Calcium 


Linien des He* 571; Erregungspoten- 
tial der — 584; — u. Starkeffekt 600; 
— im Flash-Spektrum 627. 

Bandenspektren 577; Bandenkopf, 
-kante, Teilbande, Bandensystem, 
-gruppe 577; Gesetze von Deslandres 
577, 580. 

Bedeckungsveränderliche, mittlere 
Dichte 107; Spektralanalyse 743; Ko- 
lorimetrie 810f.;, Nordmann-Tikhoff- 
sches Phänomen 811; Randverdunke- 
lung 877ff., 957, 962 f., 966, 970, 976; 
das Bedeckungsproblem 956ff.; der 
Fall totaler Bedeckung 959f.; partielle 
Bedeckung 961 ff.; Abplattung 963 ff., 
971ff.; ellipsoidische Figur der Kom- 
ponenten 963 ff., 971f., der Einfluß der 
gegenseitigen Beleuchtung der Komp. 
967 f., der Periastron-Effekt 968 ; Dichte 
der Komp. 968f., 973£.; Statistische 
Ergebnisse 969 ff.; relative Dimensionen 
der Komp. 970; relative Flächenhellig- 
keiten der Komp. 970f., hypothetische 
Parallaxen u. räumliche Verteiluug 
972 ff.; Dichten der Komp., nach Spek- 
traltypen geordnet 973f.; Kosmogo- 
nische Brauchbarkeit der Dichten der 
—n 997. 

Bergmann-Serie von H u. He* 568, 
570. 

Bertrand, Problem von — 131. 

Bestrahlung, Definition 844. 

Beugungserscheinungen im Fernrohr 
8535. 

Birnenförmige Gleichgewichtsfiguren 
48, 51, 57; kosmogonische Betrach- 
tungen 1025. 

Blaukeil Fessenkoffs zur Kalorimetrie 
781. 

Blendeffekt 707. 

Bogenspektrum 519. 

Boltzmannsche Konstante 517. 

Brechungsexponent u. Emissions- 
vermögen (Kirchhoff-Clausius) 874; — 
u. Gesetz von Rayleigh 927. 

B-Ring des Saturn 946. 

B-Sterne, System der — 316, 363. 


€ 


Cäsium u. lichtelektr. Photometrie 866. 
Calcium, Ionisation von — u. der Druck 
in der umkehrenden Schicht der Sonne 
615; —hydrid im Sonnenfleck 618; 
die H- und K-Linien des — 636; 


Capella — Druck 


—flocken; Flocceuli 637; 
Flocken“ 638; —wolken im 
stellaren Raum 766. 
Capella, Aufbau der — 500. 
Cepheiden 978 (s. auch ö Cephei- 
Sterne), Klassifikation 978. 
Ceres, Albedo 909; Phasenkoeff. 911. 
Chemische Konstante 517. 
Chromosphäre, Bildungsweise 528; 
Lage in der Sonnenatmosphäre 613; 
Ein- und Ausströmungsgeschwindig- 
keit über Sonnenflecken als Funktion 
der Höhe in der — 623; Spektrum 
der — 626 ff.; Höhe verschiedener Ele- 
mente in der -— 632; Höhenmessung 


„dunkle 
inter- 


in der — 632f.; Intensitäten der Linien 


als Funktion der Höhe 631. 

Clairautsche Differentialgleichung 17, 
115; Diskussion 23, 115; Integration 
36, 116; Anwendung auf die Erde 27, 
116; Theorie der -—— u. Präzessions- 
konstante 25; —sches Theorem 18, 
112. 

Clausiussches Gesetz 157. 

Collustrivity 479, 480, 483. 

Coronium 649. 

Cornusche Dispersionsformel 539, 601. 

Covolumen 495, 507. 

C-Ring des Saturn 946. 

Cyan, die Kanten der Bandengruppen 
des — 581; — im Sonnenspektrum 
607. 


D 


Daltonsches Gesetz 402. 

ö Cephei-Sterne, Spektralanalyse 752; 
Beziehung zw. Spektraltyp u. Periode 
754,981 f.; Theorien 755; Kalorimetrie 
812 ff.; — u. Pulsationstheorie 814f.; 
Photometrie der — 978ff., Asymmetrie 
der Lichtkurve 978; räumliche Vertei- 
lung 979; Raumgeschwindigkeit 979; 
die Perioden-Leuchtkraftkurve 979 ff.; 
1036, Zusammenhang zw. Leuchtkraft 
u. Spektraltypus 982 ff.; mittl. Dichte 
der — 983, Zusammenhang Dichte— 
Periode 983f., 1035. 

Dichte, — der Planeten 10, 1054; dis- 
kontinuierliche —verteilung 29; mittl. 
— von Bedeckungsveränderlichen 107; 
— der Sternverteilung 303 ff., 313, 314, 
318; — der Verteilung der Spektral- 
typen 316; scheinbare — 317; Stern—, 
berechnet nach Gastheorie 369; — im 





1091 


Sterninnern, s. Gaskugeln; hohe 
Mittelpunkts—n in der Theorie der 
Gaskugeln und ihre Deutung 424, 506; 
— und Lichtwechsel pulsierender 
Sterne 542, 455, 10385; — in den 
äußeren Sternschichten 494; Einfluß 
von — u.Druck auf die Linienstruktur 
594; — u. Breite der Fraunhoferschen 
Linien infolge Starkeffekt 614; die — 
der Bedeckungsveränderlichen 968 f., 
973, 997, nach Spektraltypen geord- 
net 973f.; — der ö Cephei-Sterne 983, 
1035; — der Riesen u. weißen Zwerge 
996. 

Diffusion des Lichtes 2. Ordnung 900; 
—sdiagramm 901, 927; —skoeffizient 
899; Verhältnisvon —s- u. Absorptions- 
koeff. 901f.; — des Lichtes in Gasen 
927ff.; —stheorie u. Planetenatmo- 
sphären 935 ff.; —skonstante und In- 
tensitätsverteilung im Spektrum 940. 

Dispersionstemperatur 402. 

Dispersion, anomale — auf der Sonne 
612, 624, 633, 640; —sformel v. Hart- 
mann 539. 

Dissoziationsspannung einer Molekel 
585. 

Doppelsterne, Masse 106; hypothe- 
tische Parallaxen 107; mittl. Dichte 
von Bedeckungsveränderlichen 107; 
Theorie der — 131; — u. Emissions- 
theorie des Lichtes v. Ritz 187; Be- 
stimmung von Masse u. Dichte 247; 
relat. Lage der Komp. im Russell- 
diagramm u. Massenverhältnisse 1007; 
Häufigkeiten von —n 1008; — u. Kos- 
mogonie 1012; Gezeitenreibung 1031; 
Stabilität 1031; Rochesche Grenze 
1030,1032 ff.; Massenabnahme von —n 
1046ff., 1072; Kosmogonie der — 
1071 ff.; Exzentrizitäten der — 1073; 
drei- u. mehrfache Systeme 1075. 

Dopplereffekt 242, 265, 522ff.; trans- 
versaler — 176; longitudinaler — 177; 
geschichtliche Bemerkungen 183, 242 
(Fußn. 3); — u. tellurische Spektral- 
linien 602; — u. Linienverbreiterung 
606, 614; — im Sonnenfleckspektrum 
619; — u. Rotationszeit der Planeten 
678f.; — u. Rotationszeit der Sonne 
666 ff. 

Druck, elektrischer — im Sterninnern 
508; Einfluß von — u. Dichte auf die 
Linienstruktur 594; — in der umkeh- 


1092 


renden Schicht der Sonne 613—617; 
— verschiebung der Linien 613; —ver- 
schiebung u. Intensität 631. 

Dunkelnebel u. Sternanzahlen 326; 
Hagensche — 823. 

Durchmesser, Bestimmung der — von 
Sternen 506, 809, 810; — u. Farbe 
809; — der Planeten u. Albedo 913f.; 
— als kosmogonische Zustandsgröße 
996. 

E 


Ebbe u. Flut, Theorie der — 119; 
Potential der fluterzeugenden Kraft 
121; Einfluß der — auf die Rotations- 
dauer der Erde 144. 

Eigenbewegungen 326 ff.; Kataloge 
259; Parallaxe u. Leuchtkraft 308; 
Häufigkeitsfunktion der Sterne für die 
auf einen bestimmten Betrag der — 
reduzierten Helligkeiten 319; Häufig- 
keitsfunktion der absoluten Bewegun- 
gen u. Sternverteilung im Raume 319; 
erste Versuche zur Bestimmung der — 
326 ff.; neue Methoden zur Bestimmung 
der — 328 ff.; parallaktische — 328; 
Querbewegung 328; Kobolds Kritik 
der Hypothese der Regellosigkeit der 
— 335; Zweischwarmhypothese Kap- 
teyns 336, 338ff.; Dreischwarmhypo- 
these 340; Schwarzschilds Ellipsoid- 
hypothese 340 ff., Anwendung derselben 
342, Erweiterung auf ein dreiachsiges 
Ellipsoid 343; Charliers Behandlung 
der Aufgabe 343; Exzentrizitätshypo- 
these Oppenheims 346 ff.; systemati- 
sche Bewegungen von Sterngruppen 
348; — der schwachen Sterne 350; 
Kleibersche Beziehungen zw. den ab- 
soluten Werten der verschiedenen Be- 
wegungsarten 351; die Beziehung 


m-u= const. 352; — u. Spektral- 
charakter 352, 359, 801; — u. Lage 
zur Milchstraße 353; — u. Radial- 
bewegungen 355, 359; — der Sterne 


eines Sternstromes 360. 

Eigenzeit eines Massenpunktes 162; 
Eigensystem 162. 

Eisendampf im Kometenspektrum 893. 

Eisensterne 711f. 

Elektrische Kräfte im Sterninnern 508. 

Elektronendruck in Sternatmosphä- 
ren 523. 

Elektronenterm in der Theorie der 
Bandenspektren 581. 





Dunkelnebel — Erde 


Ellipsoid (s. auch Rotationsellip- 
soid), homogenes dreiachsiges — als 
Gleichgewichtsfigur 32; heterogenes 
86; Exzentrizität 11; numerische Daten 
50; Riemannsches — 41, 51; Jacobi- 
sches — 33, 46ff.; Figur von ß Lyrae 
744; dreiachsiges u. das Bedeckungs- 
problem 957, 963 ff. 

Ellipsoidhypothese Schwarzschilds 
zur Verteilung der Eigenbewegungen 
340ff., 358; Anwendungen 342; Er- 
weiterung auf ein dreiachsiges EIl. 
343; Charliers Behandlung der Auf- 
gabe 343. 

Elliptizität, „mechanische“ — der 
Erde 101; — der Sonne u. die Sonnen- 
korona 134. 

Emission u. Strahlungsgleichgewicht 
477, über das Zustandekommen von 
Emissionslinien 532; —svermögen des 
schwarzen Körpers 543,544; Satz von 
Kirchhoff-Clausius über das —-sver- 
mögen 874; —sspektren in Nebeln 
885 ff. 

Emissivity (s. Ergiebigkeit). 

Energie 377; —kriterium für die Sta- 
bilität 41; Trägheit der — 164, 188, 
195; —prinzip 377; innere — 377; 
thermische — 377, 387; Gravitations— 
377, 385, 387; mechanische —quellen 
der Sternstrahlung 379; thermische — 
einer Atmosphäre 399; potentielle u. 
Gesamt — einer Atmosphäre 399; ther- 
mische — einer polytropen Gaskugel 
412; —umsatz bei Kontraktion einer 
Gaskugel 393 ; 417; —quellen im Stern- 
innern 458, 459, 462, 492, 496, 503; 
— quellen u. Strahlungsgleichgewicht 
462 ff., 470, 487, 498, 514; —erzeugung, 
kosmogonische Bedeutung 1001; —er- 
zeugung rotierender Sterne 1002; —er- 
zeugung u. Alter der Sterne 1011; 
— austausch bei Sternbegegnungen 
1045 ff. 

Enhanced lines 558, im Chromosphären- 
spektrum 631. 

Entropie 378f.; 3. Hauptsatz der 
Thermodynamik 378; — u. polytrope 
Temperatur 390. 

Entwicklungsgang eines Sternes 722 
(s. auch Kosmogonie). 

Erdbeben, Geschwindigkeit der trans- 
versalen —welle 122. 


Erde, Gleichgewichtsfigur 6; untere 


Erdschatten — Funkenspektrum 


Grenze für die Dichte im Erdmittel- 
punkt 25; Dichtegesetze im Erdinnern 
26; Theorie von Clairaut 27; diskon- 
tinuierliche Dichteverteilung 29; Erd- 
schwere u. Pendel 9, 112; Massenver- 
hältnis zur Sonne 89; mittl. Entfer- 
nung von der Sonne 89; Abplattung 
90, 109, 113, 118; Masse der — 92, 
93; Masse der — u. Sonnenparallaxe 
92; Trägheitsmomente 101; Schwere- 
beschleunigung, berechnet aus der 
Mondbewegung 108; Theorie der Erd- 
gestalt 109; Schwere auf der — 112; 
Potential auf einen äußeren Punkt 
118; Veränderungen in der Rotations- 
dauer der — 142; Massenvergrößerung 
der — und Mondbewegung 145; Ab- 
kühlung der — 384; Laplacesche Hy- 
pothese über den Aufbau des Erd- 
innern 406, 420; polytrope Gaskugel 
u. die Theorie des Erdinnern 420; 
Massenverlust der Erdatmosphäre 428; 
über das Strahlungsgleichgewicht der 
Erdatmosphäre 486; Albedo 909; Al- 
bedo der — u. aschfarbenes Mond- 
licht 918; Absorption u. Diffusion in 
der Erdatmosphäre 933 ff. 

Erdschatten, Vergrößerung des —s 
bei Mondfinsternissen 923 ff. 

Ergiebigkeit einer Atmosphäre 479, 
480, 483. 

Erregungspotential 584. 

Evershed-Effekt in Sonnenflecken 623. 

Exzentrizität des Ellipsoids 11; — u. 
Abplattung 11. 

Exzentrizitätshypothesen Oppen- 
heims zur Darstellung der Eigenbewe- 
gungen 346 ff. 

Extinktion des Lichtes im Welten- 
raum 321ff.; — in der Sonnenatmo- 
sphäre 663; Geschichtliches 833; — u. 
Photometrie 866 ff.; — u. Erdschatten 
bei Mondfinsternissen 924; — u. Streu- 
ung des Lichtes in der Erdatmosphäre 
935. 


F 
Fallbeschleunigung (s. Schwere- 
beschleunigung). 
Farbäquivalente 772; — u. Tempe- 


ratur 1003. 

Farbenexzeß 799. 

Farbenindex, Definition 245, 717, 782, 
843, 862ff.; — u. Spektraltypus 245, 





1093 


799, 864; — u. selektive Lichtabsorp- 
tion im Weltenraum 324 ff.; — u. effek- 
tive Temperatur 717, 864; visuelle 
—bestimmung 783; photogr. —bestim- 
mung 785, Methode Seares 789, Me- 
thode Tikhoff 790, Methode Rosen- 
berg 792; lichtelektrischer — 794, 
866; — u. Helligkeit 800; — u. ab- 
solute Helligkeit 800; — u. galak- 
tische Breite 805; Verteilungsfunktion 
der Farben 806; bevorzugte Farben 
807; Farbe und Sterndurchmesser 809; 
— als kosmogonischer Parameter 994. 
Farbfilter zur Untersuchung der Pia- 
netenatmosphären 937; — zur Unter- 
suchung des Saturnringes 949. 
Fechner-Webersches psychophysisches 
Gesetz 852 ff. 
Feldgleichungen der allgem. Rela- 
tivitätstheorie 197; näherungsweise 
Integration 200; das Feld diskreter 
Massenpunkte 202; strenge Lösung 
für das radialsymmetrische, statische 
Schwerefeld 207. 
Feldstärke 85. 
Fessenkoff, Reflexionsgesetz von — 
900. 
Filaments auf der Sonne 638, 640. 
Flocken, Floceuli (s. Sonne), 
Finsternisse, Literatur über — 128 
(Fußn. 144). 
Flashspektrum 613, 626 ff. 
Fliehkraft, Verhältnis zur Schwerkraft 
7; Tafel für die Planeten 10. 
Florring des Saturn 946. 
Fluoreszenzstrahlung (s. Resonanz- 
strahlung), — u. Resonanz 897. 
Flut (s. Ebbe u. Flut), —reibung 143; 
— u. Rotationsdauer der Erde 143. 
Fraunhofersche Linien im Sonnen- 
spektrum; Geschichtliches 535, 601; 
Rotverschiebung auf der Sonne 610, 
611; — u. Flashspektrum 613, 626 ff. ; 
Breite der — 614; — im Spektrum 
der Sonnenkorona 646 ff. ; — im Spek- 
trum der Kometen 687. 
Fredholmsche Integralgleichung 932. 
Frequenzbedingung von Bohr 557. 
Fresnelsche Formel 873. 
Fundamentalproblem 6, 110; Gleich- 
gewichtsbedingung des —s 7, 9. 
Fundamentaltensor der Relativitäts- 
theorie 191. 
Funkenspektrum 519. 


1094 
6 | 


Galileitransformation 174. 

Gallisotsches Phänomen 850. 

Gas— Gasgesetze, vollkommenes Gas 
u. Virialsatz 387; Einfluß der Kon- 
densierbarkeit der Gase auf den Auf- 
bau von Sternatmosphären 403; Ab- 
weichung von den Gasgesetzen 423ff.; 
die Zustandsgleichung von van der 
Waals u. der Bau der Sonne 423; 
Unterschied zw. Gas- u. Staubmanıen, 
433; Gasdruck u. Strahlungsdruck 489, 
490; Sternaufbau u. Gleichung van 
der "Waals 495; Verhalten hochioni- 
sierter Gase 507; Theorie der Diffu- | 
sion u. Absorption des Lichtes in Gasen 
927 ff. 

Gaskugeln 404ff.; polytrope u. adia- | 
batische 388; Stabilität von — 387, 
444 ff.. 492; Differentialgleichung der 
polytr. — 404 ff, 408, Lösungen der- 
selben 406, 412; Kontraktion einer — 
409; Schwerebeschleunigung auf der 
Oberfläche von — 411; die Masse | 
von — 405; — von endlichem Radius 
411, 440; thermische Energie einer 
polytr. — 412; Eigenpotential 412; 
— von unendlichem Radius 414; 
isotherme Gaskugel 414f., 416, 418; | 
polytr. — n>5 417, 419; — mil 
starrer Hülle 417, mit starrem Kern 420; 
zusammengesetzte — 422; eine Gas 


kugel besonderer Bauart: HR; Bart ()" 
2 r 


425; Massenverlust einer — 426 ff.; 
— n=5 u. Sternhaufen 440; freie 
Schwingungen einer — 448ff.; im 
Strahlungsgleichgewicht 487 ff. ; Mittel- 
punktsdichte einer — 489, 506; Mittel- 
punktstemperatur 489; Behandlung der 
äußeren Schichten 493, 524. 

Gastheorie, kinetische u. Sternaufbau 
426 ff.; freie Weglänge u. Wegzeit 433; 
die Voraussetzungen der kinetischen — 
434. 

Gauß, Einheit der Feldintensität 597. 

Gegenschein des Zodiakallichtes 952f. 

Geodätische Linien 192. 

Geoid, Theorie des — 114. 

Geschwindigkeit der Sterne u. ihre 
Masse 333ff., 359; Häufigkeitsfunk- 
tion der — 313, 314; — der Sterne 
u. Leuchtkraft 356; stellare — u. Ge- 
setz von Maxwell 356, 432; — u. Gauß- 








Galileitransformation — Größenklasse 


sche Fehlerkurve 356; — u. Spektral- 
typus 356, 359; Notwendigkeit von — 
im interstellaren Raum 430; Differen- 
tialgl. des Ausgleiches der — bei la- 
mellarer Bewegung elner reibenden 
Flüssigkeit 438. 

Geschwindigkeitsellipsoid s. Ellip- 
soidhypothese. 

‚Gezeitendeformationen von Sternen 
1029 ff.; Gezeitenreibung bei Doppel- 
sternen. 1031,1036 ff. ; Rochesche Grenze 
1030—1034; freie Gezeitenschwingung 
1061; Gezeitenreibungu.Erdmond 1068. 

Gezeitenhypothesen der Kosmogonie 
990, 1059 ff. 

‚Gips, Reflexion an — 902. 

|Gleichgewichtsbedingungen in der 
Theorie der Figuren der Himmels- 
körper 7, 9,20; — für die Figur eines 
Mondes 52; — ringförmiger Figuren 
57; — einer Atmosphäre 70, 396; in- 
differentes, konvektives — einer Atmo- 
sphäre 396; hydrostatisches Gleich- 
gewicht 445; — einer Atmosphäre 
im Strahlungsgleichgewicht 472, 473; 
thermodynamisches — 549. 

Gleichgewichtsfigur der Himmels- 
körper 444 f.; ihre kosmogonische Be- 
deutung 1024 ff. 

Gouldscher Gürtel 279. 

Gradation der photographischen Platte 
859. 


kan Fa nen (s. auch Anzie- 


hungsgesetz), die —konstante 87f., 
in absoluten Einheiten 88; Genauig- 
keit 91; Absorption der Gr. 148; Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit der Gr. 152, 
170, 202; —theorie von Jaumann 157; 
Einsteinsche —konstante 200, 205; 
—theorie von Newton u. Einsteinsche 
Theorie 204, 211. 

Gravitationsgleichgewicht der oberen 
Sonnenschichten u. der Druck der um- 
kehrenden Schicht 615. 

Grenzfiguren 43. 

Grenzflächen einer Atmosphäre 70. 

Grenzkurven, Hillsche (Jacobisches 
Integral) — im widerstehenden Mittel 
1042, 1044. 

Größenklasse, Definition 243, 854; 
— u. Belichtungszeit 796; bolome- 
trische u. instrumentelle — 808, 869; 
radiometrische — 869. 


Hagen — Kometen 


H 


Hagensche Dunkelwolken 823; Über- 
legenheit der visuellen Beobachtung 
derselben vor der photographischen 
852. 

Halmeffekt der Spektrallinien 222. 

Helium, Bildung von — aus Wasser- 
stoff 460; Linienserien 561; der Zee- 
maneffekt des — 599; — im Sonnen- 
fleck 617; — im Flashspektrum 629; 
Geschichte der Entdeckung des —s 
auf der Sonne (D,) 641; —-sterne 
699. 

Helligkeit, absolute — (s. Leucht- 
kraft); — u. Farbenindex 800; vi- 
suelle —, Geschichtliches 837 ff.; Me- 
thoden der —messung 837ff.; Me- 
thoden der photogr. Photometrie, die 
photogr. Skala 854; visuelle u. photogr. 
— als kosmogonischer Parameter 994, 
bolometrische Reduktion als Funktion 
der Temperatur 995. 

Hertzsprung-Russell - Diagramm 
Russell-Diagramm). 





(8. | 


Heterogene Flüssigkeiten, Theorie von | 


Clairaut 15; Anziehung auf äußeren 
Punkt 19; dreiachsige Ellipsoide 36. 
Höhenformel, polytrope u. isotherme 
— 398. 
Höhenstrahlung, durchdringende — 
u. Mirasterne 750. 
Horizontalrefraktion (s. Refrak- 
tion). 


I 


Invariantentheorie 189. 
Ionenladung, spezifische — 569. 
lonisation 558f., 583ff.; — der Stern- 
materie 497; — u. Strahlung 515 ff.; 
— u. Lichtdruck 524 ff.; thermische — 
585 ff.; Gleichung von Meg Nad Saha 
588, 590; — u. Spektraltypen 695. 
Ionisationsgleichgewicht 516; die 
Untersuchungen Sahas 519ff., 529. 
Ionisationspotential 584; — verschie- 
dener Elemente 587. 
Iris, Phasenkoeffizient 911. 
Isentrope 389, 442. 
Isochronen, Kurven der — 72. 
Isostatische Lagerung 112. 
Isotherme 389; — Atmosphäre 401; 
Differentialgl. der —n Gaskugel 405, 
415, 416. 





1095 


J 


Jacobisches Ellipsoid 33, 46 ff.; nu- 
merische Daten 51; Potential 33; kos- 
mogonische Betrachtungen 1025, 1028. 

Jacobisches Integral 1042f. 

Juno, Albedo 909. 

Jupiter, Gleichgewichtsfigur 6; Masse 
92, 94, 96,105; Massen der vier hellen 
Monde 104; Theorie der —bahn 125; 
Mondverfinsterungen u. Rotationsdauer 
der Erde 145; Mondverfinsterungen u. 
das Prinzip von der Konstanz der 
Lichtgeschwindigkeit 184, 186; Spek- 
trum des —s 676; Kolorimetrie der 
Monde 828; Albedo 909, 917; Licht- 
verteilung auf der Oberfläche 916f., 
Reflexionskoeff. 917; Verfinsterungen 
der Monde 918ff.; Atmosphäre u. 
Durchmesser des — 922; Diffusionskon- 
stante der —atmosphäre 940; —monde 
u. Rochesche Grenze 1034; die Hill- 
schen Grenzkurven der —monde 1044; 
Umlauf der —monde 1065; die irre- 
gulären Monde 1067. 


K 


Kalium u. lichtelektrische Photometrie 
865. 

Kant-Laplacesche Kosmogonie 991. 

Kataloge (s. Sternkataloge). 

K-Effekt u. Rotverschiebung 226 ff.; 
— der B-Sterne 354; — der verschie- 
denen Spektraltypen 355. 

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz 543. 

Kohlenmonoxyd u. Swanspektrum 
582, 893. 

Kohlenwasserstoff u. Swanspektrum 
581, 582; — im Sonnenspektrum 608. 

Koinzidenzmethode zur Ausmessung 
von Sternspektren 539. 

Kolorimetrie, Definition 770. 

Koma eines Kometen 893f. 

Kombinationsprinzip von Ritz 575. 

Kometen 71ff.; Gleichgewichtsfigur 71; 
dynamische Theorie der —schweife 
72; Schweiftypen von Bredichin 75ff.; 
—theorie von Schiaparelli 77; freie 
Oberfläche der — 71; Entdeckung der 
Materieausströmung 72 (auch Fußn. 
149); Komet 1892 I und 1903 IV, Be- 
wegung der Schweifmaterie 75 (Fußn. 
153); Molekulargewicht der Schweif- 
materie 76; Potential der gegensei- 


1096 


tigen Störung der Kernmaterie 73, 78; 
Schweife u. Strahlungsdruck 77; Ko- 
met Faye, Winnecke, Pons, Encke 96 
(Fußn. 41, 42, 43, 44, 45, 46), ferner 
97, 98, 127, 139, 140, 146 (Fußn. 185); 
Theorie der — 127; Komet 1886 I 
127 (Fußn. 140); Spektrum der — 
679 ff.; Kolorimetrie der — 828; Reso- 
nanzstrahlung der — 893 ff.; Helligkeit 
als Funktion des Abstandes von Sonne 
u. Erde 894; Komet Halley 894; Ko- 
met Morehouse 941; Kosmogonisches 
über — 1071. 

Kondensation, galaktische — 281; — 
der Spektraltypen 287. 

Kontinua, Mechanik der — in der 
allgemeinen Relativitätstheorie 194. 
Kontraktionstheorie von Helmholtz 
380; gleichförmige (homogene) Kon- 
traktion 391, 409; Energieumsatz bei 
— 393, 417; homogene — u. Strah- 

lung 394. 

Kontravariante Vektoren u. Tensoren 
190. 

Konvektionsströme als Wärmetrans- 
port im Sterninnern 459. 

Koordinaten, generalisierte 189. 

Korona der Sonne, Spektrum 646 ff.; 
Rotation 671° 

Kosmogenide 391, 490; kosmogene- 
tische Flächen 413, 490. 

Kosmogonie 988 ff.; Methoden der — 
992 f. 

Kovariante Vektoren u. Tensoren 190. 

Kreisprozeß 377. 

Kugel, Stabilität der — als Gleich- 
gewichtsfigur 45; Verhältnis der An- 
ziehung eines Rotationsellipsoids zu 
derjenigen einer — 8. 


L 


Lambertsches Emanationsgesetz u. 
Grundgesetz 845, 871ff., 898; — u. 
Mondoberfläche 916; Beleuchtung der 
Planetentrabanten 918; — u. Verfinste- 
rungen der Jupitermonde 920f. 

Laplace-Poissonsche Gleichung 85. 

Latenszeit 168. 

Laufterm einer Serie von Spektral- 
linien 568. 

Leuchtkraft, absolute — 247, 721; 
— funktion 299 ff., 303, 311, 312, 314, 
317; —, Eigenbewegung u. Parallaxe 
308; Verteilung der — als Gaußsche 





Kondensation — Masse 


Fehlerkurve 319; — u. Sonnenapex- 
bestimmung 335; — u. Radialbewe- 
gung 355; — u. Raumgeschwindigkeit 
356; — der Sterne eines Sternstromes 
360; Spektraltypen A u. B 362; Be- 
ziehungen zw. — u. Masse 505, 995, 
999,1001; — u. Farbe 800 ff.; (Leucht- 
krafteffekt) — von Bedeckungsver- 
änderlichen 973; abs. bolometrische 
— als kosmogonischer Parameter 995; 
Leuchtkraftkurven 1008; Perioden- 
Leuchtkraftgesetz 1036. 

Licht (s. auch Extinktion), —ablen- 
kung im Schwerefeld der Sonne 229, 
233, 235; — wechsel der pulsieren- 
den Sterne u. ihre Dichte 452, 455; 
lichtelektrische Beobachtungsverfah- 
ren 794. 

Lichtdruck (s. Strahlungsdruck). 

Lichtelektrische Photometrie 864 ff. 

Lichtgeschwindigkeit, Prinzip der 
Konstanz der — 173, 186; — u. Strah- 
lung 462; Bestimmung der — aus 
Jupitermondverfinsterungen 918. 

Liouvillesche Relationen 47. 

Lithium im Sonnenfleck 617. 

Lommelsches Reflexionsgesetz 900 f. 

Lorentztransformation 162, 173; — u. 
Michelsonversuch 185. 

Loschmidtsche Zahl der Venusatmo- 
sphäre 939. 

Luft, Transmissionskoeffizient der — 
868. 

Lyman-Serie des H 569; Erregungs- 
potential 584. 


M 
Maclaurinsches Ellipsoid 11 (s. auch 
Rotationsellipsoid), kosmogoni- 


sche Betrachtungen 1027. 
Magnesiumhydrid im Sonnenfleck 618. 
Magnesiumoxyd, Reflexion von — 

902. 

Mars, Masse 105; Spektrum 674; Al- 
bedo 909, 917; Phasenkoeffizient 911; 
Licbtverteilung auf der Oberfläche 
916f.; Reflexionskoeffizient 917; Monde 
u. Rochesche Grenze 1034, innerster 
Mond u. Gezeitenreibung 1038; die 
Marsmonde 1065. 

Masse der Sonne 89; — der Erde 92f.; 
Erdmasse u. Sonnenparallaxe 92; 
Massenverhältnis Erde : Sonne 89; — 
des Mondes 98ff.; — der Planeten 


Massenwirkungsgesetz — Mond 


91ff., 1054; — in der spez. Relativi- 
tätstheorie 163; Veränderlichkeit der 
— mit der Geschwindigkeit 163, 171; 
Identität von träger und schwerer 
— 192; — der Sterne u. Bestim- 
mung des Sonnenapex 333, 335; — u. 
Geschwindigkeit der Sterne 333 ff., 369; 
das Gesetz mv? = const. 359, 333; 
Massenverlust einer Gaskugel 426 ff.; 
Massenverlust kosmischer Staubmassen 
437; Beziehungen zw. Leuchtkraft u. 
— 505, 995, 999, 1001; Veränderlich- 
keit der Sternmasse 509; — als kos- 
mogonische Zustandsgröße 995; obere 
Grenze der Sternmasse 1001f., untere 
Grenze derselben 1002; Massenab- 
nahme bei Sternentwicklung 1013, 
1016 ff.; Einfang von Massen 1039ff.; 
Massenverluste durch Strahlung 1045 ff. 

Massenwirkungsgesetz 516. 

Mechanik, statistische u. Sternaufbau 
426 ff. 

Merkur, Masse 95, 96, 97; Perihelstö- 
rung 125, 132; Perihelstörung u. der 
Exponent des Newtonschen Gesetzes 
147; ein Mond des — 136; Perihel u. 
Zodiakallichttheorie von Seeliger 136 ff., 
139; Vorübergänge von der Sonne u. 
Rotationsdauer der Erde 145; Perihel- 
störung u. Absorption der Gravitation 
149; Perihelstörung u. Raumkrümmung 
bzw. Fortpflanzungsgeschwindigkeit 
der Gravitation 150, 152 ff.; Spektrum 
des — 673; Perihelbewegung u. Massen- 
veränderlichkeit 171; Perihelbewegung 
u. Gravitationstheorie von Einstein 
205 ff., 211; Großmanns Kritik am 
Newcombschen Zahlenwert 213; Al- 
bedo 909; Phasenkoeff. 911; Gezeiten- 
reibung 1037. 

Metastabilität 576. 

Meteore, Farben der — 829; reflek- 
tierte Strahlung der — 897 ff. 

Meteoritentheorie von Mayer 379. 

Meteoritenhypothesen der Kosmo- 
gonie 990f. 

Michelsonscher Versuch 173, 175, 185. 

Mie, Diffusionstheorie von — 901, 927. 

Mikrophotometer 843. 

Milchstraße 279; galaktische Kon- 
densation 281; äußere Erscheinung 
der — 287; Isophoten der — 288; 
Spektralcharakter der —nsterne 291; 
die Lage der Ebene der — 292f.; 





1097 


Dichteabnahme der — 320; Rotation 
der — u. Apex der Sonnenbewegung 
331, 767; Lage zur Ebene der — u 
Eigenbewegung 353; das mittl. Spek- 
trum der — 765f.; mittl. Sternmasse 
im —nsystem 995. 

Minkowskische Welt 160; Orthogo- 
nalitätsrelation 164; Viererkraft 163. 

Mirasterne, Spektralanalyse der — 
745; der Begleiter von o Ceti 748; 
Beziehung zw. Spektraltypus u. Pe- 
riodenlänge 750; — u. durchdringende 
Höhenstrahlung 750; Kolorimetrie der 
— si5ff.; Theorien 750f. 

Mitführungskoeff. von Fresnel 175; 
partielle Mitführung des Lichtes im 
strömenden Wasser 176; Mitführungs- 
hypothese von Fresnel 180. 

Molekulargewicht der Sternmaterie 
496 ff. 

Mond, Figur 51; Trägheitsmomente 53; 
Stabilität 54; —theorie u. Abplattung 
19; —abplattung 53; Gleichgewichts- 
bedingungen für die Figur eines —es 
52; Massenberechnung 94, 98ff., 105; 
Massenberechnung aus Ebbe- u. Flut- 
erscheinungen 98, aus Präzessions- u. 
Nutationstheorie 101, aus Ungleich- 
heiten der Sonnenbewegung 101; Par- 
allaxe des —es 103; Massenberechnung 
aus der parallaktischen Ungleichheit 
der —bewegung 103; Masse der —e 
der anderen Planeten 103; Theorie 
des Erd—es 128; Säkularakzelera- 
tion 141 (Fußn. 173); —theorie u. Ro- 
tationsdauer der Erde 143; —bewe- 
gung u. Relativitätstheorie 214; Peri- 
gäumeffekt der —bewegung 216; Pla- 
netensatelliten u. allgemeine Relati- 
vitätstheorie 220; Spektrum des —es 
671f.; Farbenindexu. scheinbare Hellig- 
keit 824; Kolorimetrie des — 824 ff.; 
Oberflächenbeschaffenheit 825; Ge- 
schichtliches zur —photometrie 835 f.; 
Albedo der —e 909; Phasenkoeff. 
911; Reflexionskoeff. von —gebilden 
913; Phasenkurve des —es 915f.; das 
aschfarbene —licht 917f.; die Be- 
leuchtung der Planetentrabanten 917f.; 
Erd— u. Rochesche Grenze 1034; Ge- 
zeitenreibung 1037f.; die Hillschen 
Grenzkurven der —e 1044; Kosmo- 
gonie der —e 1065 ff.; die Ausnahme- 
stellung des Erd—es 1067. 


1098 


Mondfinsternis, Vergrößerung des 
Erdschattens bei — 923 ff. 

Mourehouse, Komet, Anwendung der 
Verfärbungstheorie auf den Kopf des 
— 941. 


N 


Nachbareffekt photographischer Plat- 
ten 861. 

Natrium wolken im interstellaren Raum 
766; — u. lichtelektrische Photometrie 
865; — im Kometenspektrum 893. 

Nebelflecken, Spektralanalyse 757 ff.; 
planetarische Nebel 760, 886; Orion- 
nebel 761; Höhlennebel 762; Spiral- 
nebel 763; der Leuchtvorgang 762; 
Kolorimetrie der — 822 ff.; Resonanz- 
strahlung der — 884 ff.; Durchmesser 
der — u. Helligkeit der eingebetteten 
Sterne 886; ‘Theorie der Nebelstrah- 
lung 887 ff.; elliptische Nebel, Hellig- 
keitsverteilung 888 ff.; Beleuchtung 
der Nebel 941, 949; — und Russell- 
diagramm 1010; Novae in — 1010; 
— u. Modell von Roche 1056; Kosmo- 
gonisches 1077 ff.; Einteilung der Ne- 
bel 1079; die Nebel als rotierende 
Gasmassen 1080 ff. 

Nebularhypothese der Kosmogonie 
990. 

Nebulium im Nebelspektrum 758. 

Neptun, Theorie des — 126; Spektrum 
677; Rotationszeit 679; Albedo 909; 
die Monde des — 1065. 

Neue Sterne (s. Novae). 

Newtonsches Gesetz 83; Genauigkeit 
105,122; mögliche Korrektionen 147 ff.; 
— in der spez. Relativitätstheorie 164; 
— u. Michelson-Versuch 186; N. Gra- 
vitationstheorie in ihrer Beziehung zur 
Einsteinschen 204, 211; 3. Keplersches 
Gesetz u. Theorie von Einstein 212. 

Newtonsche Mechanik, ihr Unterschied 
gegen die Mechanik der spez. Rela- 
lativitätstheorie 160 ff. 

Nicol-Prisma 835. 

Novae, Theorie von Seeliger, Eindringen 
eines Körpers in eine kosmische Staub- 
wolke 382; Spektralanalyse der — 
730ff. (Behandlung einzelner Fälle); 
allgemeines Verhalten der — 739; 
Erklärungshypothesen 741f.; Kolori- 
metrie 818; Photometrie der nova- 





Mondfinsternis — Paschen- Back - Effekt 


ähnlichen Veränd. 986; — in Nebel- 
flecken 1010; Kosmogonisches 1077 f. 

Nutation, theoretischer Wert für die 
—skonstante 101. 


0 
Oberfläche, freie — einer Atmosphäre 
70; — der Kometen 71; — einer ro- 


tierenden Gasmasse 445, 
Objektivgitter zur Herstellung von 
Schwärzungsskalen 857 f. 
Objektivprisma, Verwendung zu sta- 
tistischen Zwecken 267, zur Bestim- 
mung der abs. Helligkeit 273, zur 
Aufnahme von Sternspektren 541; — 
u. Spektralklassifikation 706. 
Opazität der photographischen Platte, 
ihre Beziehung zur Schwärzung 860. 
Orionnebel, Spektrum 761. 
Orthohelium, Parhelium 576. 
Oszillation von Molekeln u. die Theorie 
der Bandenspektren 580. 
Osthoffsche Farbenskala 776. 
Ozonbanden im Sonnenspektrum 604. 


P 


Pallas, Albedo 909; Phasenkoeff. 911. 

Parallaxe der Fixsterne, Definition 241; 
Säkular— 241; spektroskopische — 
241; Einheiten der —, Siriometer, 
Siriusweite, Sternweite, Parsec 242; 
trigonometrische Methoden der —be- 
stimmung 268; relative 270£.; 
Grenze der trigonometrischen — 271; 
spektroskopische — 272, 725 ff.; mittl. 
— der Sterne der scheinbaren Größe 
m 301ff., 313, 315; mittl. — u. Ab- 
hängigkeit von galaktischer Breite 
306, 316; normale — der Sterne der 
scheinbaren Größe m 302 ff.; —, Eigen- 
bewegung u. Leuchtkraft 308, 310, 
317; Verteilung der individuellen — 
um die mittlere 310; wahrschein- 
lichste — 310, 317; — der Sterne 
eines Sternstromes 360, 362; mittl. — 
der Spektraltypen A, B 362; physika- 
lische Ursachen der Möglichkeit spek- 
troskopischer —n 529 ff. ;hypothetische 
—n von Bedeckungsveränderlichen 973. 

Parhelium, Orthohelium 576. 

Parsec 242. 

Partition-Funktion 521. 

Paschen-Back-Effekt 599. 


Paschen-Serie — Potential 


Paschen-Serie von H und He* 568, 
570. 

Pendel, Beziehung zur Erdschwere 9. 

Periastron-Effekt bei Bedeckungsver- 
änderlichen 968. 

Perihelstörung (s. auch Merkur), — 
eines Planeten 133; — eines Planeten- 
ringes 133; — u. der Exponent des 
Newtonschen Gesetzes 147; — in der 
spez. u. allgemeinen Relativitätstheorie 
212; — infolge Rotation der Sonne 
219. 

Perioden-Leuchtkraft-Gesetz veränder- 
licher Sterne 1036. 

Periodisches System der Elemente 
559, 560. 

Phasenwinkel 907; Phasenkurve 907, 
909£.; — von Venus 911; Phasenkoeff. 
verschiedener Gestirne 910£f.; Einfluß 
von Unebenheiten der Oberfläche auf 
die Ph.kurve (Mond) 914f.: Ph.kurve 
u. Saturnring-Beleuchtung 945 ff.; Ph.- 
kurve u. Zodiakallicht 952f.; Ph.kurve 
u. Beleuchtung von Staubmassen durch 
Sterne 954 ff. 

Photometer 839 ff., 850 ff., 865. 

Photosphäre 613; Undurchsichtigkeit 
der — 614; Temperatur der — 659. 

Photostrom 865. 

Photovisuelle Helligkeit 787, 864. 

Physiologischer Koeff. 846f. 

Piper-Regel über den Schwellenwert 
des Auges 851. 

Plancksches Strahlungsgesetz 551, 589, 
717, 771, 778, 993; — u. Energiever- 
teilung der Fixsternstrahlung 772. 

Planeten, Masse der — aus Monde- 
longationen 91f.; numerische Werte 
der Massen 93f., 105, 1054; Massen- 
bestimmung aus Störungen der — 93; 
Masse der kleinen — 95; Massenbest. 
aus Kometenstörungen 95; Theorie 
der — 123; Theorie der kleinen — 
126; Spektralanalyse der — 672ff.; 
spektroskopische Bestimmung der Ro- 
tationszeiten 678; Kolorimetrie der — 
826 ff.; reflektierte Strahlung der — 
897 ff.; Albedo 909; Phasenkoeff. 911; 
Flächenphotometrie der großen — 
916f.; Beleuchtung der —atmosphären 
926f., 930, 935 ff.; —atmosphären im 
Farbfilter 937, Entstehung des —sy- 
stems 1052 ff.; Zahlenwerte der Massen 
u. Dichten der — 1054; kleine — u. 

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2, B. 





1099 


die irregulären Monde des Jupiter u. 
Saturn 1067; Kosmogonisches über 
die kleinen Planeten 1059f. 

Planetensystem, Entstehung 1052 ff.; 
Rotationshypothese 1054ff.; Meteo- 
ritenhyp. 1054; Kollisionshyp. 1054, 
1059 ff, 

Planetesimalhypothese der Kosmo- 
gonie 991, 1062, 1070. 

Platten, photogr., Eigenschaften 858 ff. ; 
Schleier 861; Schwärzungskurven 859; 
Nachbareffekt 861; Gesichtsfeldkor- 
rektion 862. 

Polarisation des Lichtes, Geschicht- 
liches 834 f.; — des reflektierten Lich- 
tes 902. 

Polschwankungen, Eulersche Periode 
144; Chandlersche Periode 144; Zu- 
sammenhang mit Rotationsdauer der 
Erde u. Mondtheorie 144. 

Polsequenz, internationale — 842, 856. 

Polytrope 388; — Zustandsänderungen 
385, 388; — Kurven 388 ff.; Gleichung 
der — 389, 390; „Klasse“ der — 390; 
— Temperatur 390; — Temperatur u. 
Entropie 390; — Atmosphären 395; 
Differentialgleichung der—n Gaskugel 
404 ff., 408; thermische Energie u. 
Eigenpotential einer —n Gaskugel 412; 
— Gaskugeln n>5 417; — u. Sta- 
bilität 447; Polytrope n=3 u. Strah- 
lungsgleichgewicht 448, 467, 472, 474, 
476, 489; der Helligkeitsabfall am 
Sonnenrande u. polytroper Aufbau 875; 
polytrope rotierende Gasbälle 1027. 

Potential, Begriff 20; — eines Sphä- 
roids 22; — eines dreiachsigen Ellip- 
soids 33; — einer zylindrischen Gleich- 
gewichtsfigur 57; — des Saturnringes 
61; — aller auf das Teilchen einer 
Atmosphäre wirkenden Kräfte 70; 
— der gegenseitigen Störung der Ko- 
metenkernmaterie 73, 78; Newtonsches 
— im Raum von n Dimensionen 85; 
—gleichung von Laplace-Poisson 85; 
Modifikationen des — bei unendlicher 
Masse des unendlichen Raumes 86; 
— der Erde auf einen äußeren Punkt 
118; — der fluterzeugenden Kraft 121; 
effektives —- von Riemann 169 (Fußn.3); 
— der Viererkraft 169; — des rela- 
tivistischen Schwerefeldes 193; — u. 
Virial 386; Eigenpotential einer poly- 
tropen Gaskugel 412; — einer defor- 

Ti 


1100 


mierten Kugel 449; — des elektri- 
schen Druckes im Sterninnern 508; 
— der Coulombschen Anziehung 563; 
Erregungspotential u. Ionisationspo- 
tential 583. 
Präzessionskonstante u. Erdabplat- 
tung 18,118; — u.Clairautsche Theorie 
25; theoretische Werte der — 101; 
Präzessionsbewegung der Elektronen 
im magnetischen Kraftfeld 597. 
Prestonsche Regel der Zeemanaufspal- 
tung 598. 
Projektionsmethode zur Ausmessuug 
von Sternspektren 540. 
Protuberanzen, visuelle Beobachtung 
635, 641, 642; — u. dunkle H,„-Flocken 
639; das Spektrum der — 640ff.; „ru- 
hende —* 643; eruptive — 644; Er- 
klärung der enormen Höhen u. Ge- 


schwindigkeiten 645; — u. Kosmo- 
gonie des Planetensystems 1062. 

Pseudosphäroide bzw. -ellipsoide 
1028. 


Pulsationen von Gaskugeln 451ff., 
1035 ff.; Beziehung zw. Lichtwechsel 
u. Dichte pulsierender Sterne 452, 455; 
— der Mirasterne 751 ; — der ö Cephei- 
Sterne 756, 814f.; — u. Lichtwechsel 
der Sterne 977. 

Purkinje-Phänomen 849. 


Qq 


Quantenzahl 559; Nebenquantenzahl 
559; azimutale — 559, 565; — u. die 
Radien der Elektronenbahnen 562, 566; 
radiale — 565; totale — 566; äqua- 
toriale u. Breiten— 572. 

Querbewegung der Sterne u. Spektral- 
typus 357. 


R 


Radialbewegung 265; — u. Sonnen- 
apex 332; — u. Spektraltypus 353, 
355; — u. Eigenbewegung 355, 359; 
— u. Leuchtkraft 355; — im Stern- 
strom 360; — der A-Sterne in Ab- 
hängigkeit von der galaktischen Breite 
362. 

Radiometrie 844; radiometrische Mes- 
sungen der bolometrischen Größen- 
klassen 869. 

Radium, Zerfallsenergie 460. 

Randverdunkelung der Sonne (s. 





Präzessionskonstante — Riesenstern 


Sonne), — der Bedeckungsveränder- 
lichen, s. dort. 

Raffety-Bänder im Kometenspektrum 
685. 

Rayleighsches Gesetz u. Lichtabsorp- 
tion im Weltraum 323; — u. Verfär- 
bung 885; — u. Lichtzerstreuung 
900£., 927 ff. 

RCoronae-Sterne, Kolorimetrie 818; 
Photometrie 985. 

Reaktionsgleichgewicht 585. 

Reaktionsisichore 516. 

Reaktionswärme verschiedener Ele- 
mente 587: — bei Dissoziation des 
TiO, 616. 

Reflexion, diffuse 897 ff.; Lambertsche 
Formel 898; Formel von Seeliger 899, 
von Lommel 900, von Fessenkoff 900, 
von Schoenberg 901; — an einem 
Wolkenmeer 901; experimentelle Prü- 
fung der Gesetze 902; — an Gips u. 
Magnesiumoxyd 802; — an farbigen 
Substanzen 902 f.; —skoeff. u. Albedo 
905; —skoeff. von irdischen Substan- 
zen 912, von Mondgebilden 913; — u. 
Beleuchtung der Planetenatmosphären 
936. 

Refraktion, die jährliche — (Cour- 
voisier) und Einsteineffekt 236; — des 
Photosphärenlichts in der Sonnen- 
atmosphäre 633; — u. Erdschatten 
bei Mondfinsternissen 924; Horizon- 
tal— der Venus, Verlängerung der 
Hornspitzen 939. 

Relativitätsprinzip von Newton u. 
das — der spez. Relativitätstheorie 
161; — von Einstein 186; allgemeines 
— 189. 

Relaxationszeit eines Sterns in einem 
System 1049 ff. 

Repulsivkraft 70, der Sonne 73, 75ff. 

Resonanzlinie eines Atoms 558. 

Resonanzpotential 521, 584. 

Resonanzstrahlung der Nebel u. 
Kometen 884 ff. 

Ricco-Regel über den Schwellenwert 
des Auges 851. 

Riemannsches Ellipsoid 41, 51; —scher 
Skalar 198. 

Riesenstern, typischer — 492; Tren- 
nung der Sterne in Riesen- u. Zwerg- 
sterne 721 ff.; Temperaturunterschied 
zwischen Riesen- u. Zwergsternen des 


Ringförmige Gleichgewichtsfiguren — Seriengrenze 


gleichen Typus 724, 870; Dichte der 
—e 996. 

Ringförmige Gleichgewichtsfigu- 
ren 57; allgemeine Untersuchungen 
über — 60; — ohne Zentralkörper 
62; statische Stabilität der Ringe 64; 
dynamische Stabilität der Ringe 66; 
Gleichgewichtsbedingungen 57; Theo- 
rie des Saturnringes 58, 68. 

Rochesches Modell 69, 445 f., 1024, 1026, 
1030; —sches Modell u. Laplacesche 
Kosmogonie 1056; —sche Grenze für 
Satelliten u. Doppelsterne 1030, 1032 ff., 
1061. 

Rotation, Dauer der — der Planeten 
10; —smoment 14; veränderliche —s- 
geschwindigkeit im Inneren eines Kör- 
pers 37, 1002; Grenzen der —sge- 
schwindigkeit 37, 55; Veränderungen 
in der —sdauer der Erde 142; Ein- 
fluß der — in der allgemeinen Rela- 
tivitätstheorie 218; — von Gasmassen 
444, 445f., 1002; rotierende Massen im 
Strahlungsgleichgewicht 514, 1002; 
— von Molekeln u. Bandenspektren 
578; spektroskopische Bestimmung der 
— selemente der Sonne 666 ff.; dasselbe 
für die Planeten 678; —seffekt im 
Spektrum der Bedeckungsveränder- 
lichen 743; Energieerzeugung rotie- 
render Sterne 1002. 

Rotationsellipsoid (s.auch Ellip- 
soid), Anziehung des —s, Lösung 
von Newton 8; Verhältnis der Anzie- 
hung des —s zu derjenigen einer Ku- 
gel 8; das Maclaurinsche — 11, Ex- 
zentrizität 57 ff.; numerische Daten 
50; kosmogonische Betrachtungen 1025. 

Rotationsglied in dem Deslandres- 
schen Gesetz über Bandenspektren 578. 

Rotkeil Wilsings zur Kolorimetrie 778. 

Rubidium im Sonnenfleck 617; — u. 
lichtelektrische Photometrie 865. 

Rungesche Regel im Zeemaneffekt 599. 

Russellsches Diagramm 509, 994, 
1003 ff.; — u. Cepheiden 982f. 

RV Tauri-Sterne, Kolorimetrie 818. 

Rydberg-Konstante 564. 


Ss 


Sackur-Tetrodesche Gleichung 586. 

Saigey, Theorem von — 117. 

Satelliten (s. Mond), Theorie der 
— 131. 








-1101 


Saturn, Theorie des —ringes 58, 68; 
Stabilität der —ringe 64; Potential 
des —ringes 61; Masse des —s 92, 
94, 105; Masse des Mondes Titan 105; 
Masse des —ringes 105; Theorie der 
—bahn 125; Spektrum des —s 677; 
Rotationszeit des —ringes 679; Albedo 
909, 917; Lichtverteilung auf der Ober- 
fläche des —s 916f.; Reflexionskoeff. 
917; Beleuchtungstheorie des Ringes 
941 f., 944 ff.; Florring, B-Ring, C-Ring 
946; Schleier 949; A-Ring 949; Farb- 
filter zur Untersuchung des —ringes 
949; —monde u. Rochesche Grenze 
1034; Umlauf der —monde 1065; die 
irregulären Monde 1067; Kosmogoni- 
sches zum —ring 1068 f. 

Sauerstoff u. die Linien des Nebu- 
lium 759. 

Schoenberg, Reflexionsformel (Wol- 
kenmeer) von — 901. 

Schraffierkassette 841, 857. 

Schwärzungskurve, photogr. Plat- 
ten 858ff.; Schwärzungsgesetz von 
Schwarzschild 860, von Bunsen-Roscoe 
861. 

Schwereanomalien u. Lotabwei- 
chungen 114; Theorie der — durch 
die Anziehung von Sonne u. Mond 
120. 

Schwerebeschleunigung auf der 
Erde, berechnet aus der Mondbewe- 
gung 108. 

Schwerkraft, Verhältnis zur Flieh- 
kraft 7; Änderung der — auf der 
Erdoberfläche 9, 10, 18, 31, 83; Tafel 
für die Planeten 10; — auf der Ober- 
fläche eines heterogenen Ellipsoids 17; 
Schwere auf der Erde 112; — im. 
Erdinnern 115. 

Schwingungen von Gaskugeln 1035 ff. ; 
freie — einer Gaskugel 448 ff,; — bei 
konstantem Volumen 448; — bei kon- 
stanter Form (Pulsationen) 451. 

Seeligersches Gesetz der Reflexion 
899; — u. Verfinsterungen der Jupiter- 
monde 920 f. 

Selen u. lichtelektrische Photometrie 
864. 

Seltene Erden, Linien im Sonnen- 
spektrum 607, in Fixsternspektren 714. 

Seriengrenze 563; das kontinuier- 
liche Spektrum an der — 576; — u. 
lonisationspotential 584; — u. mittl. 

TEN 


1102 


Atomabstand (Druck in der umkeh- 
renden Schicht) 616. 

Silicium, Sterne mit ebenen kräf- 
tigen Linien 713. 

Siriometer 242. 

Sirius B 507. 

Siriusweite 242. 

Solarkonstante 652ff.; numerische 
Werte 655; — u. Sonnenfleckhäufig- 
keit 656. 


Sonne, Repulsivkraft der — 73, 75, 


76f.; Atmosphäre 70; Parallaxe 89; 
Parallaxe u. Erdmasse 92; Parallaxe 
u. Mondmasse 102f.; Elliptizität der 
— u. Sonnenkorona 134; Abplattung 
134; Rotation der — u. allgemeine 
Relativitätstheorie 218; Rotverschie- 
bung der Spektrallinien 220, 610, 611; 
Geschwindigkeit im Raume (s. Apex), 
Bau der — u. van der Waalssche Zu- 
standsgleichung 423; die Helligkeits- 
verteilung der —nscheibe 474 ff.,874 ff. ; 
Helligkeitsverteilung in den einzelnen 
Wellenlängen 476, 876; Einfluß der 
Streuung hierauf 478; Massenverlust 
der — durch Ausstrahlung 510; ab- 
solute Helligkeit 510; über die Ent- 
stehung des kontinuierlichen —nspek- 
trums 531; Geschichtliches hierzu 535; 
Spektralanalyse der — 601ff.; vor- 
handene und nicht vorhandene Linien 
u. Elemente im —nspektrum 605 ff.; 
umkehrende Schicht 612; Photosphäre, 
Chromosphäre 613; Flachspektrum 613; 
allgemeines magnetisches Feld der — 
625; elektrische Feldstärke der —n- 
atmosphäre 626; monochromatische 
Aufnahmen der — 634ff.; Extinktion 
in der —natmosphäre 663; Spektrum 
der Korona 646ff.; Temperatur der 
—noberfläche 652ff.; spektroskopische 
Bestimmung der Rotationselemente 
der — 666 ff.; Rotationsgeschwindig- 
keit der verschiedenen —nschichten 
667; —ntypus unter den Fixsternen 
702 f.; Kolorimetrie der — 824; schein- 








bare Helligkeit u. Farbenindex der — 


824; Geschichtliches zur Randverdun- 
kelung 833; Temperatur der — 877; 
Randverdunkelung 877 ff.; Helligkeits- 
verteilung der —noberfläche aus Fin- 
sternisbeobachtungen 881 ff. ; Parallaxe 
der — u. Jupitermondverfinsterungen 
918; Energiequellen der — 1015. 





Silieium — Spektraltypus 


Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919 
u. Lichtablenkung 231; Helligkeits- 
verteilung auf der Sonnenoberfläche 
aus Finsternisbeobachtungen 881 ff. 

Sonnenflecken, Spektrum der — 
617 ff.; Veränderungen im Aussehen 
der Linien gegenüber der Photosphäre 
618; Häufigkeit der verschiedenen Ele- 
mente 621; Wirbelstruktur 622, 624; 
Evershed-Effekt, Ein- u. Ausströmen 
623; Magnetfeld in — 624f.; ver- 
schiedene Polaritäten auf den beiden 
Hemisphären 625; Stark-Effekt in — 
625; Ca-Flocken in der Nähe von — 
637; — u. grüne Coronalinie 648; 
—häufigkeit, Schwankungen der Solar- 
konstante 656. 

Sonnengeschwindigkeit (s. Apex). 

Spektrallinien, Rotverschiebung auf 
der Sonne 220, 610f.; Störungen der- 
selben durch Druck, Dopplereffekt, 
Überlagerung, anomale Dispersion 
222 ff.;: Rotverschiebung der — der 
Fixsterne 226, 507, 723; Spektraltypen 
der Sterne 244; Rotverschiebung bei 
Sirius B 507; Gesetzmäßigkeiten in 
Spektren 557 #f.; Serien, Seriengrenze 
565, 567; Hauptserie, Nebenserie 567; 
Struktur u. Breite der — 591; die 
Messung der Intensitäten der — 591 ff.; 
Einfluß von Druck u. Dichte auf die 
Struktur der — 594; tellurische Linien 
602; Druckverschiebung der — der 
umkehrenden Schicht 613; im 
Sonnenfleckspektrum 617 ff.; —krüm- 
mung beim Spektroheliographen 635; 
Selbstumkehr u. doppelte Selbstum- 
kehr 636f.; Auftreten heller Linien 
bei roten Sternen 711; Sterne mit 
hellen Eisenlinien 711; Rotverschie- 
bung bei weißen Zwergen 723; statio- 
näre u. verlagerte — 766f. 

Spektraltypus der Fixsterne 244, 
692 ff., 773; — u. Farbenindex 245, 
799, 864; — u. Sternverteilung 286, 
305, 316; — u. galaktische Konden- 
sation 287; — u. Sonnenapex 335, 350; 
— u. Eigenbewegung 352, 359, 801; 
— u. Radialbewegung 353, 355; — u. 
Sterngeschwindigkeit 356, 357, 359; 
— u. Querbewegung 357; — der Sterne 
eines Sternstromes 361; mittl. Par- 
allaxe der Typen A u. B 362; Be- 
sonderheiten in den Spektren der Fix- 


Spektroheliograph — Stokes 1103 


sterne 708ff.; — u. Temperatur 720, 
864; Beziehung zwischen — u. Periode 
bei den Mirasternen 750, bei den 
ö Cephei-Sternen 754; Dichte von Be- 
deckungsveränderlichen nach Spektral- 
typen geordnet 973f.; — als kosmo- 
gonischer Parameter 994. 

Spektroheliograph 634ff; — u. 
Wirbelnatur der Sonnenflecken 624, 
639. 

Spektrokomparator 539. 

Spektroskop, Spektrograph 536. 

. Sphäroid, Begriff 21, Potential 22. 

Spiralnebel(s.auchNebelflecken), 
Spektralanalyse 763; Entfernungsbe- 
stimmung mit Hilfe der PLK der Ce- 
pheiden 980; die Arme der — 1083 ff. 

Stabgitter vor Objektiv zur Photo- 
metrie 842, 858. 

Stabilität der Gleichgewichtsfiguren 
37; ältere Literatur 39; dynamische — 
40; säkulare, statische, bedingte — 40, 
41, 42; statische — ringförmiger Fi- 
guren 64; dynamische — ringförmiger 
Figuren 66; — der Kugel als Gleich- 
gewichtsfigur 45; —skoeffizienten 43, 
45, 46, 58, 66; — eines Mondes 54; 


Energiekriterium 41; — polytroper 
Atmosphären 395, 472; — von Gas- 
kugeln 387, 444 ff., 492; — u. Poly- 
trope 447; — von Atmosphären im 


Strahlungsgleichgewicht 472; Rota- 
tionsinstabilität, 2 Arten 1027; — von 
Doppelsternen 1031; Gravitationsinsta- 
bilität 1082. 

Starkeffekt 600f.; — u. Breite der 
Fraunhoferschen Linien 614; — in 
Sonnenflecken 625. 

Starrheitskoeffizient der Erde 
122. 

Staubwolken, Staubmassen 430; 
Eindringen eines Körpers in eine kos- 
mische — 382; kosmische — u. Virial- 
satz 386; Zusammensturzzeit einer 
kugelförmigen — 431; Unterschied 
zwischen Gas u. — 433; die zulässige 
Steingröße 432; Bau kosmischer — 
433; Energetik einer — 436; Massen- 
verlust kosmischer — 437; Grenzver- 
hältnisse (Maxwellsches Verteilungs- 
gesetz) 437; Zähigkeit kosmischer 
Staubmassen 438; das Fixsternsystem 
als kosmische — 369, 370, 442; Be- 
leuchtung kosmischer — 941 ff. (See- 





liger); Beleuchtung kugelförmig be- 
grenzter — 944; Beleuchtung kosmi- 
scher — durch Sterne 953 ff.; wider- 
stehendes Mittel 1039 ff. 


Stefansches Strahlungsgesetz 543. 
Stereokomparator 263. 
Sternhaufen, kugelförmige — u. die 


polytrope Gaskugel n = 5 440; das 
mittl. Spektrum der — 764; Kolori- 
metrie der — 819ff.; Entfernungsbe- 
stimmung mit Hilfe der PLK der Ce- 
pheiden 980; mittl. Sternmasse in — 
995; Farbe der Sterne in — 1009; 
offene Sternhaufen u. das Alter der 
Sterne 1009f.; Sternhaufen u. Russell- 
diagramm 1009 f.; — u. weiße Zwerge 
1010; — u. Kosmogonie 1011, 1022; 
Kosmogonisches 1086. 


Sternkataloge, ältere — 248; Fun- 


damental— 249; — einzelner Stern- 
warten 252; photographische — 253; 
Sammel— 254; Durchmusterungs— 
255; — von Sternhaufen u. Nebeln 
256 ; Eigenbewegungsverzeichnisse 259; 
Photometrische — 276; — für Spek- 
traltypen u. Farben 278. 


Sternschnuppen, Thermodynamik 


der — 381; die Spektren der — 687 ff. 


Sternströme (s. Strombewegun- 


gen). 


Sternsystem, schematisches, typi- 


sches — 299, 365; Bau des —s 364 ff. ; 
Kapteyns Theorie über den Bau des 
—s 366; Oppenheims Theorie 346 ff.; 
367; Kinematik des — 368; Sterndichte, 
Zusammenstöße, mittl. freie Weglänge, 
mittl. Wegzeit im — 369, 370; Ed- 
dingtons Theorie 371; das — als kos- 
mische Staubmasse 369, 370, 442. 


Sternverteilung 307; scheinbare — 


279 ff.; Ebenen 292; räumliche — 294ff.; 
— u. Spektraltypus 286, 305; W. Her- 
schels Theorie 295; Seeligers Unter- 
suchungen 298; Folgerungen aus der 
Seeligerschen Theorie 305 ff.; Diskon- 
tinuität der — 307f.; — u. Häufig- 
keitsfunktion der absoluten Bewegung 
319; unregelmäßige — (Pannekoek) 320. 


Sternweite 242. 
Stickstoff, negative Bandengruppe 


des —s 583; — u. die Linien des 
„Nebulium‘“ 759. 


Stokesscher Satz über das Theorem 


von Clairaut 112. 


1104 Störung — Trägheitsmomente 

357; Parallaxen der Sterne eines Stern- 
stromes 360; — u. Spektraltyp 361; 
Einfluß des Sichdurchdringens von 
Sternströmen auf diese 361. 


Störung, gegenseitige — der Kometen- 
kernteilchen 73, 78; — im widerste- 
henden Mittel 1040. 

Strahlung 458ff., 462ff.; Ursprung 
der Stern- und Sonnen— 379ff.; — u. | Strontium, Sterne mit abnorm kräf- 
homogene Kontraktion 394; — u. ihr | tigen Linien 713. 

Einfluß auf den Aufbau der Sterne Swanspektrum 581; Spektrum der 
456 ff.; austretende — bei parallelerı Kometen 680, 893. 

Schichtung 467; Ionisation u. — 515ff.; Syndynamen, Kurve der — 72. 
—sgesetze 543 ff., 652 ff.; numerische 


Werte ihrer Konstanten 551; Abwei- T 
chung der Sonnen— von der schwar- Teilung von Himmelskörpern 446, 
zen — 661; Stern— u. schwarze — | 1025, 1027; — von Gaskugeln 447f., 


717; —svermögen, Definition 845; Re-| 10927 f. 


sonanz— 884 ff.; Theorie der Nebel— Temperatur, effektive 248, 467, 471, 
887f.; reflektierte — der Planeten u.| 771; Nullpunkt der absoluten — u. 
Meteore 897 ff. Entropie, 3. Hauptsatz der Thermo- 
Strahlungsdruck u. Kometenschweife | dynamik 379; adiabatische, polytrope, 
77; — u. Newtonsches Gesetz 142} kosmogenetische — 389; potentielle 


— u. Sternaufbau 457, 468, 493; — u- 
Strahlung 461; Lichtdruck an der 
Sonnenoberfläche 461; — u. Gasdruck 
488, 489, 490; — u. Ionisation 524 ff.; 
— u. planetarische Nebel 529. 

Strahlungsgleichgewicht462ff.; 
Definition u. Bedeutung für den Stern- 
aufbau 457; Differentialgleichung des 
—s 466, 487; Grenzbedingungen 467; 
Atmosphäre im — 469 ff.; Temperatur- 
verteilung bei — 470; Weggleichung 
bei — 473; — in den einzelnen 
Wellenlängen 476; die Näherung von 
Schuster 481; ein Maß für die Ab- 
weichung vom — 485; über das — 
der Erdatmosphäre 486; Gaskugeln 
im — 487ff.; die Weggleichung bei 
— 488; Weggleichung u. Polytrope 
489; Energetik bei — 491; rotierende 


— 390; polytrope — u. Entropie 390; 
Dispersions— 402; ÖOberflächen— u. 
Anziehungskraft eines Himmelskörpers 
402; —leitung 438; die dem Strah- 
lungsgleichgewicht entsprechende — 
464, 470 #f.; Mittelpunkts— u. poten- 
tielle — einer Gaskugel 487, 489; 
— der Gestirne u. Ionisation 589, 590, 
718f.; — u. Breite der Fraunhofer- 
schen Linien 614; — der Sonnen- 
flecken 621 f.; — der Sonnenoberfläche 
652 ff., 877; Farb—, Definition 662, 
717, 771; effektive — der Fixsterne 
714ff.; effektive — u. Farbenindex 
717, 864; —unterschied zwischen Rie- 
sen u. Zwergen des gleichen Typus 
724, 870; Strahlungs— 771; — u. 
Farbäquivalente 772; —skalen von 
Brill u. Wilsing 773; — u. Leucht- 


Massen im — 514; — u. Randver- krafteffekt 804; bevorzugte — 807; 
dunkelung der Sonne 875, 878, 962. Li; Spektraltypus 864; — u. Rand- 
Stratosphäre, Temperaturberech- |  verdunkelung 877; — u. Gesamtstrah- 
nung 486. lung 877; diskrete —werte der Sterne 


Streuung des Lichtes, Einfluß der — 1006. 
auf die Helligkeitsverteilung der Son- | Tensor 190. 
nenscheibe 478; Tinterschied zwischen Thermoelektrische Beobachtungs- 
— u. Absorption 479, 482ff.;, — u.| verfahren 795, 869. 
Leuchtkrafteffekt bei Fixsternen 804; | Titan, Albedo— 909. 
— in der Eıdatmosphäre 933 ff.; s. Titanoxyd, Dissoziation des —s u. 
auch Rayleighsches Gesetz u. Dif- der Druck in der umkehrenden Schicht 
fusion. der Sonne 616; — im Sonnenfleck 617. 
StrombewegungenderSterne360ff.,| Trabanten (s. Mond). 
s. auchZweischwarmhypothese | Trägheitsmomente des Mondes 53; 
338 ff.; Einfluß der — auf die Ermitt-| — der Erde (8. Präzessionskon- 
lung der Spezialbewegungen der Sterne | stante). 





Transmissionskoeffizient — Wirkungssphäre 


Transmissionskoeffizient des 
Weltraumes 321ff.; — der Luft 868; 
— der Erdatmosphäre u. ihre Licht- 
verteilung 933 ff. 

Troposphäre 486. 


U 


Überfunkenlinien 558. 

U Geminorum-Sterne,Kolorimetrie 
der — 818; Photometrie der — 986. 

Ultimate Lines 557. 

Umkehrende Schicht 612ff.; 
in der Sonnenatmosphäre 612; Höhe 
der — 613, 626; Druck in der — 
613 —617; Reflexionsfähigkeit 614, 

Umow, Betrachtungen von — über Re- 
flexion 903. 

Uran, Zerfallsenergie 460. 

Uranus, Theorie des — 126; Spek- 
trum 677; Rotationszeit 679; Albedo 
909; die Monde des — 1065. 


V 


Valenzelektronen 559. 

van der Waalssche Zustandsglei- 
chung u. Sternaufbau 423, 495. 

Vektor 19. 

Venus, Spektrum 673; Rotationszeit 
678; Albedo 909, 917, 939; Phasen- 
kurve 911; Phasenkoeff. 911; Licht- 
verteilung auf der Oberfläche 916f.; 
Reflexionskoeff. 917; Beleuchtung einer 
Atmosphäre 938; Horizontalrefraktion; 
Verlängerung der Hörnerspitzen 939; 
Loschmidtsche Zahl 939; Gezeitenrei- 
bung 1037. 

Veränderliche Sterne, Spektral- 
analyse 743ff.; Photometrie 956 ff.; 
Anzahl 977; Ursachen des Lichtwech- 
sels 977; — mit langer Periode 984; 
halbregelmäßige — 984f.; zyklische 
— 985; seltene Typen: R Coronae, 
U Geminorum u. Novae 985f.; Kosmo- 
gonie der — 1075ff.; Dichten 1035, 
s. auch Bedeckungsveränder- 
liche. 

Verfärbung u. Gesetz von Rayleigh 
885, 939 ff. 

Verschiebungsgesetz von Wien 
547; — von Kossel u. Sommerfeld 561. 

Verweilzeit in den einzelnen Stadien 
der Sternentwicklung 1014. 

Verzweigungsfiguren 43. 








1105 


Vesta, Albedo 909; Phasenkoeff. 911. 

Vierervektor 166; Viererkraft von 
Minkowski 163. 

Virial 386; —satz 385 ff. 

Volterrasche Integralgleichung 890. 

Vulkan, der Planet — 132 (Fußn. 160) 


Ww 


Wärmeindex 718, 796, 870, 

Wärmekapazität 388; „bleibender 
Wärmegehalt“ 390; — u. Entropie bei 
gleichförmiger Kontraktion 392; — in 
der Definition der Polytropen 388. 

Wärmeleitung,Differentialgleichung 
der — 438; Unmöglichkeit der — als 
Wärmetransport im Sterninnern 458. 

Wärmetod des Universums 378. 

Wasserdampflinien im Sonnenspek- 
trum 603, 608; — im Sonnenfleck 618, 
639. 

Wasserstoff, Linienserie 561; Ioni- 
sationspotential, Erregungspotential 
584; — u. Starkeffekt 600; abnormes 
Verhalten der —linien 615; —wirbel 
im Sonnenfleck 624; — u. Spektro- 
heliograph 639; „dunkle Flocken“ 639; 
—sterne 700ff.; helle —linien bei B- 
Sternen 709. ? 

Wasserzellenabsorption796,870. 

Weggleichung der Sternentwicklung 
1013, 1016 ff. 

Weglänge, mittl. freie — im Stern- 
system 369; — in der kinetischen Gas- 
theorie 433. 

Wegzeit, mitt. — im Sternsystem 
369; — in der kinetischen Gastheorie 
433. 

Wellenlänge, effektive — 246; vi- 
suelle effektive — 782; photographi- 
sche effektive — 792; Schaffung eines 
festen Systems von —n der Spektral- 
linien 541, 601f.; —nunterschiede zwi- 
schen Sonnenmitte u. -rand 611; iso- 
phote — 717. 

Welt, Minkowskische — 160; —punkte, 
—linie 161. 

WiderstehendesMittel im Raume 
1039 f., 1063. 

Wiensches Verschiebungsgesetz 
659. 

Wirkungsquantum 517, 557. 

Wirkungsquerschnitt 1050. 

Wirkungssphäre in der kinetischen 


547, 


1106 


Gastheorie 432f.; 
system 1044. 
Wolf-Rayet-Sterne 693, 696 ff. 
Wolken, Reflexion an einem —meer 
901, 913. 


im Planeten- 


Z 


Zeemaneffekt 596ff.;, Prestonsche 
Regel 598; Rungesche Regel 599; 
— in Sonnenflecken 624. 

Zentralwert der Sterngrößen 282. 

Zodiakallicht u. Theorie von See- 
liger 136, 213; — u. Perihelbewegung 
des Merkur 172, 213; Spektrum des 
—s 691f.; Beleuchtung des —s 949, 
950 ff.; Kosmogonisches zum — 1068 ff. 

Zusammenstoß, Zahlder Zusammen- 
stöße von Sternen 369f. 





Wolf-Rayet-Sterne — Zylindrische 


Zustandsgleichungnormaler Sterne 
998 ff. 

Zustandssumme 589. 

Zweig, positiver, negativer, Null— in 
der Theorie der Bandenspektren 579. 

Zweischwarmhypothese Kap- 
teyns 338 ff. 

Zwergsterne, Trennung der Sterne 
in Riesen- u. — 721ff.; weiße — 723, 
999; Dichte derselben 996; Tempera- 
turunterschied zwischen Riesen- u. —n 
des gleichen Typus 724, 870; weiße 
— u. Sternhaufen 1010; weiße — u. 
Sternentwicklung 1024; Kosmogoni- 
sches 1077£. 

Zyan in Kometenspektren 893. 

Zylindrische Gleichgewichtsfigur 57; 
Potential einer — 57. 


Namensverzeichnis zu Band VI2, A und B. 


Von B. Thüring in Breslau. 


A 


Abbot, C. G. A: 334. B: 
478, 483, 650, 655 ff., 570, 
718, 771, 868, 876 f., 934#f. 

Abel B: 882 

Abelmann A: 949 

Abetti, G. B: 270, 633, 
668, 670, 726, 728 

Abney B: 653, 934 

Adams, J. C. A: 389, 533, 
555, 669, 671, 677ff., 690, 
692 F., TISÄl., 817, 819, 
833, 872, 942, 1018. B: 
258f., 267, 272, 283, 348, 
619 ff. 

—,W.S. B: 353 ff., 507, 
529, 592, 596, 611, 617, 
629, 635, 667 ff., 701, 704 ff, 
711, 723 #f., 732 ff., 741, 746, 
752 f. 

Airy, G. B. A: 27ff., 98, 
128 f., 186, 237, 239, 247, 
401, 669, 671, 692, 695, 
697, 719, 925, 879f. B: 
2, 40, 100, 115, 117, 182, 
330, 349, 835 

Aitken, R. G. A: 468, 483. 
B::.131..748,.1073 

Albategnius B: 129 

Albrecht, M. F. A: 83 

—,8. B: 675, 682 f., 707, 
Ta 

IR Ze 36; 46,108, 
108, 160, 208, 2157T., 321, 
243, 278f., 290. 

—, W.S. B: 556 

Aldrich, L. B. B: 478, 483, 
655, 661, 913 

d’Alembert A: 168, 563f., 
668, 670, 678, 693, 995 £. 
B: 7, 12, 14, 18, 22, 30, 
39, 52, 69 

Alessio, A. A: 122 

Allegret A: 521 

Allen, L. B. B: 736, 748 

Al Sufi B: 277 

Ambarzumian, V. B: 664 

Ambronn, L. A: 164, 190, 
195, 201; 209, 264, 276. 
B: 255 

Amerigo, Vespucci A: 125 





Amerio A. B: 660f., 664 
Anderson, W.B:645 f., 651, 
657, 662, 732 

Anding, E. A: 116, 169, 
889. B: 137f., 213, 296, 
823, 347f., 351, 837, 915, 


“919 


Andoyer, H. A: 289, 518, 
532, 555, 680, 694f., 701, 
710, 721f., 783, 1014. B: 
129 

Andrade, J. A: 174, 186, 
521 

Andre, 
240 

Angelitti, F. A: 107 

Anger, C. F. A: 257 

Angström, A. J. B: 594, 
601, 603, 656 

—,K. A: 291, 333. B: 541, 
602 

Apian, P. A: 899 

Appell, P. A: 582ff., 733. 
B: 21,.141 

Arago, F. A: 117, 295, 
297. B: 179ff., 834f., 848, 
874 

Arctowski, H. B: 656 

Argelander, F. A: 29, 251, 
257, 295, 322. B: 253 ff., 
277, 296, 328, 348, 365, 
838 f. 

Aristarch A: 73 

Aristoteles A: 899 

Armellini, G., A: 923, 929. 
B: 141 

Arncke B: 289 

Arndt, L. A: 635 

d’Arrest, H. A : 932f., 942. 
Bi 757 

Arrhenius, Sv. B: 77 

Arzachel A: 84 

Arzichowsky, W. B: 678 

Aschkinaß, E. B: 602 

Aßmann, R. A: 299 

Asten, V. A: 909 ff. B: 96f., 
127, 139, 249 

Astrand, J. J. A: 99, 128, 
384 

Atkinson, R. B: 615f., 998, 
1017, 1023£. 


Ch, A2:251. Bi 





Aufseß, Erh. v. u. z. Be: 
931 

Auwers A: 27, 29, 30, 61, 
68 f., 74, 78, 91, 123, 136, 
160, 258, 267 ff., 485, 852, 
864. B: 102, 135f., 248 ff, 
260, 269, 352. 

Avogadro B: 587 

Ayyar, A., B: 610 
Azdarste, Th. de B: 648 
d’Azumbuja, L. B: 599 


B 


Baade, W. B: 744, 757, 
789 f., 797, 1036 
Babceock, H. D. B: 222, 
596, 600, 603, 610, 623, 
626, 632 

Babinet, B: 1055, 1065 
Bach A: 337 

Bache, A. D. A: 119 
Bachem, A. B: 223 ff. 
Backhouse, J. W. A: 919. 
B: 255, 731 

Backlund, O. A: 582, 679, 
710, 730, 803, 897, 909, 
910 ff., 918, 1018. B: 82, 
96f. 127, 140, 142 
Baeyer, J. B: 114 

Baffın, W. A: 122 

Bailey B: 288, 1078 
Baillaud, A. A: 907 

—, J. Bi: 716 

Baills A: 337 

Bailly, J. A: 810, 815 
Baily, F. A: 122. B: 254 
Baker, R. H. A: 493 ff. 
B: 766, 1025 

Bakhuyzen, H. G. van de 
Sande A: 255 ff., 289, 348 
Balanowsky, I. B: 335,803, 
805 

Baldet, F. B: 582, 681 ff. 
Ball, L. de A: 208, 289 f., 
325, 404f., 521, 861, 895, 
995, 1004 

Balmer, J. J. B: 569 ff. 
Bamberg A: 111 
Barabascheff, N. B: 672, 
676, 825, 912 

Barker, Th. A: 385 


1108 


Barnard, E. E. B: 
326, 734, 737, 822 
—, R. J.A. As 499f., 818. 
B: 276 
Barnes, J. B: 618 
Basset B: 41, 48 
Battermann, H. A : 32, 52ff., 
64, TLf., 76, 134f. 253, 
270, 272, 363, 874, 876 ff. 
B: 252 
Bauernfeind, C.M. A: 140, 
288, 310, 323 
Baume-Pluvinel, A. de la 
B: 646, 648, 681f., 686 
Bauschinger, A: 204 ff., 
238 f., 246, 272, 289, 295, 
315, 380, 385f., 404f., 
414 ff., 423, 425, 465, 508, 
T31f., 857, 865, 903, 936, 
963, 995, 1015. B: 82, 
93 #f., 101, 132, 213 
Baxandall, F. E. B: 607 ff., 
618, 631, 698F., TILff., 
736, 741, 747 
Bayer, J. J. A: 108, 313. 
B: 257 
Beck, A. As 112 
Becker B: 256 
—, E. A: 36, 
262, 270, 272 
— F., B: 823, 1079 
— L’BE 6% 
Beeck-ÜOalkoen, J.F.van A: 
139 
Beer A: 294f., 326. 
871 
Behrmann, C. A: 162. B: 
255, 257 
Belanger B: 669 
Beljawsky, S. B: 342, 815 
Bell B: 542 
Bellamy B: 263, 282 
Belopolsky, A. B: 183, 243, 
266, 324, 556, 619, 667, 
669, 678 f., 714, 743, 752 
Bemporad, A. As: 289, 
291f., 317, 321, 328. B: 
867 
Bender B: 849 
Benesch B: 49 
Bennet A: 521 
Benzenberg, J. F. A: 116, 
427 
Bequerel, E. B: 601 
Berberich, A. As 411, 918 
Bergmann B: 570 
Bergstrand, O. A: 248, 833, 
895. B: 93, 666, 792 ff. 
Bernard, A. B: 681 ff. 
Bernheimer, W. E. B: 865, 
877 


288, 


214, 243, 


B: 





Barnard — Bradley 


Bernoulli, D. A: 924 
Berry, C. A: 135, 337 
Berson, A. A: 154, 299 
Berthoud, F. A: 173 
Bertrand, J. B. A: 
515f. B: 131, 143 
Bessel, F. W. A: 21, 26 ff., 
36 ff., 45, 5öff., 6öff., 78, 
82, 85, 91, - 9%. 1068., 
127ff., 163 ff, 177 #F., 201 ff, 
218£., 230 ff., 269, 290, 
295, 299, 304 FM, 315, 
336 ff., 349 ff., 364, 385, 
387, 413, 428, 465, 485, 
508f., 619 ff., 811 ff., 826 ff, 
845 f., 850, 863, 865, 894 ff., 
903, 921, 1008. B: 3, 27, 
72ft., SI, 105, 114, 
139, 240, 248ff., 258 ff, 
268, 280, 292, 295, 329, 
360, 838 
Betti, E. As 521. B: 412 
Bevau, P. V. B: 640 
Beyrink B: 678 
Bezold, W. v. B: 390, 400 
Bialobjewski, T. B: 457, 
468 
Biela W. A: 900 
Biermann, L. B: 1002 
Bigourean, @. A: 134, 150. 
B: 275 
Bilt, J. van der B: 850 
Binet, J. A: 565, 588 
Biot, J. B. A: 295, 303, 
899. B: 179 
Birge, R. T. B: 608, 665 
Birk B: 824 
Birkenmeyer, L. A: 471 
Birt W. B: 622 
Biscoe, H. B: 658, 663. 
Bisconeini A: 553 
Biske, F. B: 659, 664 
Bjerrum, N. B: 578 
Blackburne, H. S. A: 162 
Blajko, S. B: 689 
Blancat, D. St. A: 725 
Blaserna, P. B: 647 
Blazko B: 975 
Blish, J. B. A: 143 
Block, E. A: 138 
— H.G. A: 389, 553, 596 
Blum, G. B: 643 
Blumenthal, O0. A: 644 
Bobrovnikoff, N. T. B: 681, 
684, 686, 828 
Boccardi, G. A: 424 
Bock, B. J. B: 767 
Bode, J. A 921. B: 257 
Boeddicker, O0. B: 288 
Boguslawski, G.v.A: 940f. 
B: 77 


483, 


Bohl, P. A: 752. B: 64 

Bohlin, K. A: 227,424, 538, 
540, 561, 596, 698, 731, 
805 ff., 967f., 992. Bi 276 

Bohnenberger, G. C. A: 41, 
45, 60, 82, 114, 126, 129, 
236, 356 

Bohnert, F. A: 159 

Bohr, N. B: 172, 557,559, 
571, 576, 649 

Bolte, F. A: 83 

—, W, B: 332 
Boltzmann, L. B: 400, 442, 
544 

Bond, W.C. A: 213, 819 ff., 
895, 962. B: 836, 840f., 
906 ff. 

Bonnet, OÖ. A: 641 
Boquet, F. A: 588f. 
Boraston, J. M. B: 285 
Borda, J. C. de A: 126, 129 
Borel, E. A: 684 

Borraß, E. A: 93 

Bos, H. van den B: 264 
Boseovich, R. G. A: 32. B: 
839, 182 

Bosler, J. B: 376, 681f., 
988 

Boß, B. B: 350, 857 

—, L. A: 29, 30, 39, 259. 
B: 252, 254, 260 ff., 272, 
274, 331, 353, 356 ff. 
Bosscha A: 812 

Bossert B: 260. 
Bottlinger, K. F. B: 82, 
150, 160, 186, 222, 227, 
228, 234f., 482, 506f., 
592, 718, 751, 775, 795 #., 
818, 843, 866, 1079 
Bouguer, P. A: 99, 123, 
290, 327 ff. B: 833f., 848, 
871 

Bouquet, A. de la Grye A: 
116 

Bour As 516, 521, 633 
Bourget, H. A: 412, 627. 
B: 761f. 

Bourne, W. A: 153 

| Boutarie B: 868 

Bouvard, A. A: 67,569. B: 
124 

Bowditch, N. A: 82, 128 

Bowen, J. S. B: 650, 759 

Bowie, W. B: 82, 113 

Böhm, J. G. A: 110 
Börgen, C. A: 151 

Bradley, J. A: 26, 32, 34, 
58, 61, 68, 78, 153, 268f., 
290, 319, 322, 465, 813f., 
996. B: 178, 241, 248 ff., 





260, 262, 309 


Brandes, H. W. A: 427, 944 
Braskett, F. S. B: 602 
Braun, C. A: 91, 150, 215. 
B: 141, 634 
Braunmühl, A. v. As 103, 
151 
Bravais, A. B: 333 ff. 
Bredichin, Th. A: 912, 
936 ff., 947 ff., 956. B: 3, 
72, Töf. 
Breen A: 870 
Bregnet A 192 
Bremiker, C As: 127 
Brendel, M. A: 36, 469, 
669, 671, 684, 687, 701, 
T10ff., 718, 731, 741, SOLf. 
Brester, A. B: 646, 751 
Breuding, A. A: 82, 162 
Brewster, D. B: 601, 603 
—, W. H. B: 601 
Brigham, L. A. B: 672 
Brill, A. B: 513, 661f., 
716 #., 735f., 77OF., 788, 
795fl., 807, 810, 864 
Brillouin, M. A: 183 
Brinckmeier, E. A: 366 
Brinkley A: 78 
Brodetsky, S. B: 1045 
Brodhun B: 848 
Brooks, E, E. B: 596, 618, 
686 f. 
Brooksbank, J.B: 698, 720 
Brorsen, Th. A: 921 
Brosinski, A. B: 923 
Brousseaud A: 117 
Brown, E. W. A: 513, 556, 
669 ff., T1Aff., 873 ff., 893, 
977. B:20, 28, 119, 128#f., 


148; 150, 217, 742, 1046f., 


1070, 1084 
Brown, F. G. B: 325 
—, Th. H. B: 142 
Browning, J. B: 687 
Bruggencate, P. ten B: 
510,756, 765,813 ff., 889 ff.., 
977, 1009 ff., 1023, 1076 
Brugsch, H. A: 367, 369, 
370 
Bruhns, ©. A: 288 
Brunn, A: v2 As: 721, 728; 
972. B: 95 
Bruns, H. A: 71, 109, 206, 
288, 294, 313, 402, 428, 
517,521 ff., 550f., 634, 680. 
B: 81, 114, 751 
Brunswig, H. A: 162 
Brunt, D. B: 472 
Brühl A: 294 
Brünnow, F. A: 16, 37, 82, 
196, 289, 336, 386, 704, 
760, 963. 








Brandes — Cherubin 


Bryan B: 41, 48 
Buchanan, J. Y. B: 655 

Buchholz, H. A: 365, 400, 
411, 802f. B: 3, 132 
Buchner A: 459 

Buffon B: 833, 990 
Buisson, H. B: 225, 243, 
604, 610f., 660f., 761. 

Burckhardt, H. A: 387, 
559 

—,J. 0. A: 67, 384f., 588, 
728, 898, 932E£. 
Burdwood, J. A: 152 
Burg, J. T. A: 728 
Burnham A: 468. B: 262, 
264 

Burns, K. B: 602, 628, 642, 
761 

Burrau A: 530, 967 ff., 983, 
990 

Burson, V. B: 599, 703. 
Burwell,C.G. B: 629, 710, 
727, 737 

Buß, A. A. B: 617, 644 
Butenschön, G. A: 142, 
154 

Burton, C V. B: 186 
Butler, C. P. B: 637, 678, 
699 

Bürg, O0. B: 678 

—, J. T. A: 67 


C 


 Cabot, S. A: 153 


Cacciatore B: 691 

Caesar, J. A: 374 
Callandreau, O, A: 381, 
405f., 563, 569, 573, 575, 
584, 635, 680, 698, 710, 
716, 758f., 819, 898, 905, 
9383£. B: 22, 24, 31, 66, 
113 

Cagnoli, A. A: 103, 133. 
Calvisius, S. A: 366, 368 
Camerer, J. W. v. A: 55, 


102 
Campbell, W. W. A:485f., 
493, 496. B: 183, 226, 
228, 240, 266, 268, 332, 
353 ff., 362, 556, 647 f., 671, 
674 f., 679, 681 ff., 709, 733, 
745, 748, 754, 758, 760ff., 
816 

Camphausen, v. A: 102 
Canete, de, del Pinar A: 
89, 102, 125 

Cannon, A. J. B: 278, 694 f., 
706, 736, 740f., 747 
Carasco, P. B: 649 
Cardani A: 189 





1109 


ı Carleman, P. B: 46 
Carlini As 417. Bi: 115 


Carpenter B: 731 
Carrigan, W. T. B: 337 
Carrington, R. A: 921 
Carol, J:A2B2712 
Carsten Niebuhr A: 
131 
Caspari, E. A: 164, 173, 
187 
Cassini, ©. F. de Thury A: 
117, 1021, 1023, 1042 
—,D.A: 78, 115, 138, 290, 
301, 317 


105, 


—;,.J. 3'188, 7138, 369, 
s13f. 

Catalan, M. A. B: 719 
—, E. A: 389 


Cauchy, A. A: 187, 401, 
552, 563, 565, 573, 594, 
620, 627, 636 ff, 645 ff, 
678, 750, 960 . 
Cayley, A. A: 134, 337, 
387 #., 513, 581, 601f., 
687 ff., 694 ff., 704,706, 719, 
721 
Cellerier, G. A: 176, 178 
Celoria B: 281, 289, 299 
Celsius B: 833 
Censorin A: 374 
Ceraski B: 824, 840 
Cerrulli, V. A: 291, 8328, 
424 
Chacornac B: 258 
Chadwick B: 559 
Challis, J. A: 237 
Chalonge, D. B: 604 
Chamberlin, T. ©. B: 991, 
1060, 1062, 1064 ff., 1069, 
1071 
Chandler, S. C. A: 36, 45, 
57, 88,104, 500, 854, 860 f., 
915, 933, 936, 1019. B: 
815 
Chang, Y. B: 754 
Chant, S. A. B: 675 
Chapman B: 283, 287, 842 
Charlier, C. V. L. A: 389, 
513, 528, 530, 551 ff., 559, 
599 630, 688, 731f., 750, 
T753f. 759, 783, 915f., 936, 
959, 96T fl, 976f., 1017. 
B: 74, 77f., 86, 132, 146, 
261, 267, 279, 283, 315f., 
343 ff, 363 f., 678, 855, 
1049 ff. 
Chase, F. L. A: 248, 275 
Chasles B: 33 
Chauvenet, W, A: 16, 82, 
129, 196, 289, 336, 362 


| Carl, Ph. As 195, 292,898 | Cherubin, R. B: 792 


1110 


Chessin, A. S. A: 592, 594 

Chevalier, S. B: 669 

Chevallier, T. A: 134, 337 

Ch’ing Sung Yü B: 701, 
127£., 754, 813 

Chladni A: 940 

Chmyrow, D. B: 903 

Chretien, H. B: 682 

Christie, W. H. M. A: 239. 
B: 282, 647f., 855 

Christoffel B: 189, 
206 

Chwolson, 0. D. B: 534, 
575, 597, 652 

Cicolini A: 368 

Cigala A: 537 

Cittert, P. H. van B: 223 

Clairaut, A.C. A: 564, 623, 
668, 670, 678, 693, 707, 
727, 814f., 901, 906, 959. 
B: 2,7,10,15 #f., 30, 111f., 
118 

Clark, J. S. B: 698 
Clarke, A,R, A: 134, 485, 
863, 872. B: 2, 27, 29, 
110 

—, F.W. A: 606, 730 
Claude A: 112 

Clausen, Th. A: 413, 422, 
932, 935 

Clausius, R. B: 154, 157, 
s7sf. 

Clayden, A. W. B: 674 
Clemens, H. A: 69 
Clerke, A. H. B: 745 

—, A. M. B: 749, 988 
Coblentz, W. W. B: 478, 
651, Tıöf., 7TY5M., 827, 
869 

Coculesceo, N. A: 660 
Coddington, E. A: 411 
Coffin, J. H. C. A: 63 
Cohn, B. A: 104 

—, F. At 27, 248, 268, 
258, 261 ff., 271, 273, 811, 
818f., 842, 864 
Columbus, Chr. 
153 

Columella A: 371 
Common, A. A. As 229 
Compton, K. T. B: 606 
Comstock, G. C. As 248, 
464. B: 262, 302, 306, 322, 
349 ff, 782 

Conrad, W. B: 400 
Contarino, F. As 109, 111 
Cook, 8. R. B: 426 
Cookson, B. A: 810, 812, 
817,.895. B: 93, 704 
Copeland, R. B: 687, 731, 
757 


193, 


A.12133, 





Chessin — Douwes 


Corlin, A. B: 750 

Cornu, A. As 116, 186, 192, 
818. B: 539, 602, 666, 
731, 836, 919 

Cortie, A.L., B: 618f., 629, 
647, 735f., 746 

Cottingham B: 232 

Coubet, P. A: 695 

Cournot, A. A: 925 

Courvoisier, L. As 111, 
221, 239, 241, 246, 289, 
295, 315. B: 236f., 271 
Cowell, P H. A: 592, 671, 
683, 701, 707, 720, 723 ff., 
838, ST5äff., 903, 962, 989. 
B: 217 

Cramer, H. B: 398 

Crew, H. B: 666 
Crommelin, A. C. A: 819, 
838, 903, 962, 989. B: 232, 
235 

Croßley, E. A: 468 

Crova B: 654 

Crudeli B: 38 

Cruls, L. A: 135. B: 687 
Cuenod, H. A: 190 
Curtis, H. D. A: 465, 496. 
B: 628, 683, 733, 1081, 
1084 

Curtiß,R.H B: 709f., 738, 
743f., 7521; 


D 


d’Abbadie A: 123 

Dale, As 294 

Dalton A: 308, B: 402 
Damoiseau, M.C.T.de A: 
338, 668, 670, 694, 728, 
810, 812, 816, 904. B: 
104 

Daniel, Z. B: 681, 687, 766 
Danjon, A. B: 811, 850, 
926 

Darboux, @. A: 382, 483, 
573, 580, 616, 640, 646, 
648 

Darwin, G. H. A: 580f., 
536, 538, 671, 700, 958, 
968. B: 3, 26, 31, 35, 
43, 4Tff., 57, 101, 119f., 
144, 430, 434 ff., 444, 456, 
964, 97Lf., 1025, 1030 ff., 
1058, 1067 

Daunt, R. A. C. B: 617 
Davidovich, P. B: 710, 738, 
741 ; 
Davidson, C, R. B: 232, 235, 
630, T15f., 794 

Davis, A. 8. A: 929 

—, B. B: 690 

—, P.L.H. A: 149, 152 





Dawes, W. A: 467. B: 622 
Debye, P. B: 508 
Decante, C. A: 143, 162 
Dedekind, R. B: 3 
Defant, A. B: 479, 661 
Defforges, Ch. A: 178 
Deichmüiller, F. A: 917 
Dejardin, G. B: 604 
Delafon, R. A: 149 
Delambre, J. B. J. A: 50, 
57, 58, 128f., 158, 338, 
368, 810, 812, 816, 837, 
856. B: 124, 918 
Delandre B: 225 
Delaunay, C. E. A: 512, 
541, 598, 602, 669, 671, 
681 F., 694 #f., 713 F.,721 ff, 
760, 832, 838, 872f., 879. 
B: 103, 129f., 143 
Delavan B: 687 
Dembowski, E. A: 467 
Demokritos A: 373 
Denning, W. F. A: 451, 
452, 454, 935, 944ff. B: 
738 
Dent, E. J. A: 92 
Deslandres, H. B: 577 ff., 
599, 627 ff, 668, 671, 679, 
681 ff, TOBf. 
Deutschland, G. A: 932. B: 
307 
Dewar, J. B: 594, 604 
Dietzius, R. B: 476, 605, 
825 
Dik, H. W. J. B: 649 
Dines, W. H. B: 235 
Diodor A: 375 
Dirichlet B: 33, 40f. 
Ditisheim, P. A: 119, 180, 
188 
Dobbin, E. E. A: 818 
Doberck A: 468, 484, 494 
Dobrowolski B: 848 
Dobson, G. M.B. B: 656 
Dodwell A: 368 
Doellen, W. A: 82, 93, 109, 
128, 149, 161, 270 
Doetsch, G. B: 807 
Doig, P. B: 765 
Dollond, J. A: 232 
Domke, F. A: 162 
Donati, G. B. B: 680 
Donitch, M. N. B: 629 
Donner, A. A: 86. B: 271 
Doolittle, E. A: 993 
Doppler, Ch. B: 183, 242, 
552 
Dorgelo B: 593 
Doubochine B: 1040, 1045 
Douglas, A. N. B: 727£. 
Douwes A; 95, 100f. 


Downing, A. A: 856. B: 
145 
Dörffel, G. S. A: 900 
Draper, H. B: 278, 680. 
—, J. W. B: 601 
Dreyer, J. L. E. A: 251ff. 
B: 257 
Droste, J. B: 206f., 214 
Drucker, W. A: 963, 989 
Drude, P. B: 82, 152 
Dubjago, D. A: 481 
Duffield, W. G. B: 222 
Dufour, H. A: 725. B: 657 
Dugan B: 967, 969 
Duglaux, J. B: 604 
Dulong B: 652f. 
Dun£r, N. C. A: 467, 484. 
B: 285, 666, 669, 705 
Duncan, Ch. B: 737 
—,J. C. A: 497. B: 691, 
697, 755, 766 
Dunham, Th. jr. B: 592 
Dunthorne, R. B: 126, 158 
Dyson, F. W. B: 60, 232, 
235, 319, 339f., 350, 627, 
630, 647f. 
Dziewulski, W. B: 334 
Dziobek, O. A: 513, 529, 
559, 688, 730, 776 


E 


Eastman, J. R. A: 239 

Easton, C. B: 276, 288 ff., 
367 

Eberhard, G. B: 540, 593, 
630, 703, 715, 735, 746, 
793, 855, S61f. 

Ebert, H. A: 154, 519. B: 
742 

—, W. A: 97£., 396, 400 
Eble, M. A: 87 

Ebsen, J. A: 152 

Eder, J. M. B: 582, 706, 
860 

Eddington, A. S. A: 923. 
B: 132, 227f., 232, 235, 
240, 319, 338 f. 347, 357 ff., 
364, 371, 376, 444, Ad1ff., 
487 ff., 524, 525, 530f.,548, 
615, 722, 751, 756, 759, 
808, 819, 875, 983, 992, 
1002, 1006, 1010, 1013 ff., 
1020 ff. 

Edwards, D. L. B: 726, 
728 

Eggert, J. B: 497, 501, 515 
Eginitis, As 554 

Egoroff, N. B: 604 
Ehrenfest, P. B: 187 
Eichelberger A: 840, 962, 
B: 105 





Downing — Fowler 


Einstein, A. A: 887, 894. 
B: 91, 171, 174, 186 ff, 
214 ff., 226 ff, 229 f., 235f., 
507, 548 
Ekholm, N. B: 423 
Eld A: 119 
Elford, J. M. A: 129 
Elkin, W. L. A: 78, 248, 
264. B: 102 
Ellermann, F. B: 
635, 637, 639, 705 
Ellis, W. A: 186 
Emden, R. B: 235, 376, 
384, 389, 397, 399, 408, 
412, 414f., 427, 435, 438, 
447, 449, 454, 459, 464, 
475, 486, 493, 504, 510, 
875, 992, 1000, 1001 
Encke,J. F. A: 77, 95, 101f., 
108, 129, 134, 136, 219, 
337f., 380, 384, 397, 399, 
405, 413 ff., 463, 475, 626, 
730 f., 777, 897, 900, 904, 
910 f., 960 ff, 968. B: 94, 
96, 127, 139 ff., 296 
Enebo, S. B: 735 
Engelhardt B: 262 
Engelmann B: 256 
Eötvös, v. B: 106 
Epstein, P. S. B: 600 
—,Th. A: 17, 108, 160. B: 
289 
Erman, A. A: 428, 940. B: 
330 
Ernst, M. A: 919 
Ertel A: 205, 270 
Espin, T. E. B: 286, 692, 
706, 749 
Estöve, P. B: 990 
Eucken, V. B: 586 
Euler, L. A: 34, 55, 71, 88, 
134, 363, 385, 388, 407, 
413, 562f., 568, 623, 668, 
670f.,695, 698f.,703,709f., 
727, 739, S14f., 959, 971, 
996. B: 7, 834 
Evans, E. J. B: 570 
Evershed, J. B: 222, 224 f., 
610F., 618f. 623 ff., 635, 
639, 642, 645, 667, 669, 
674, 681f., 738, 768 | 
Exner, F. A: 292. B: 540, 
595 
—, K. A: 292 


F 
Fabritius, W. A: 66, 400, 
405 ff. 
Fabry, Ch. B: 225, 243, 


624f., 





542, 604, 610ff., 659 ff., 
686, T61f., 824, 859 


1111 


Fabry, L. A: 898, 922 ff. 
Faddegon, J. M. A: 170 

Fath, A. B: 292, 691, 763, 
765 

Fatio, N. As 101 

Faxen, H. B: 662 

Faye, H. A. E. A: 160f, 
185. B: 641, 1046, 1066 
Fayet, G. A: 898, 909f,, 
929, 931, 935 

Fänge, B. B: 364 
Fechner, B: 848, 853f. 
Fenyi, J. B: 644f. 
Feraud, A. A: 607, 615, 644, 
661 

Ferguson, T. A: 143 
Ferkän, L. B: 744 
Fermat B: 230 f. 

Ferrel, W. A: 725. B: 100 
Fery, C. B: 655, 665 
Fessenkoff A: 929, 934. B: 
333, 781f.,900 f., 905, 1070 
Festings B: 653 

Fetlaar B: 811, 976 
Feuillee A: 465 

Finlay A: 275, 812, 817 
Fischer-Petersen, J. A: 958, 
973, I77f., 984 

Fisher, W. J. B: 926 
Fitz-Gerald, G. F. B: 185, 
650 

Fizeau, M. A: 237, 297. B: 
178, 180 ff., 242, 
Flamme, J. B. A: 642, 647, 
653, 716 

Flamsteed, J. A: 78, 133, 
268. B: 257 

Flaugergues A: 942 
Fleming, W. P. B: 704, 
709. 

Fleuriais A: 123, 142 
Flint B: 269 ff. 

Flotow, A. v. B: 349 
Fockens, G. R. A: 160 

Fokker, A.D. B: 217 
Folie, F. A: 34f. 
Foerster, W. A: 109 ff. 
Forbes, G. B: 333, 743 
—,J. D. A: 290, 881. 
B: 126 

Forel A: 141 

Forsythe B: 780 


| Fortrat, R. B: 578, 583 


Fotheringham, J. K. A: 720 
Foucault, L, A: 185ff. 
Fowle, F.E. B: 478, 483, 
655 f., 935 

Fowler, A. B: 570, 572, 
581f., 605, 608, 618fk., 
631, 646, 684, 690, 698, 
700, T719ff., 736, 747, 759 


1112 


Fowler, R. H. B: 498, 505, 
509,521 1f., 529,531,588 ff., 
616, 742 

Fox, Ph. B: 633, 638, 644 

Föppl, A. B: 86 

Förster, W. A: 196, 220, 
255 

Frankland, E. B: 594, 641 

Franklin B: 258f., 283 

Franks B: 279, 776 

Franz, J. A: 76, 122, 875f., 
1020. B: 53, 276 

Fraunhofer, J. A: 224, 231. 
B: 244, 535, 601, 692 

Fredholm B: 932 

Freeden, W.v. A: 161f. 

Freemann, J. M. B: 650 

Fresnel A: 32. B: 175 ff. 

Freundlich, E. B: 187, 222, 
226 fi., 232, 234 ff., 657 

Fri. I) 3,212 

Friesach, K. A: 136, 338 

Frischauf, J. A: 380 

Froley, J. W. A: 150 

Frost, E. B. B: 267, 339, 
353, 556, 627, 682, 740, 
746, 879 
—, F.B. B: 762 
Fulst, O. A: 149, 152 
Furtwängler A: 167 
Furuhjelm, R. B: 263, 658 
Fuß, V.v. A: 149, 310f. 
Führer, W. B: 792, 797 


6 


Gaillot, M. A. A: 745. B: 
120, 125. 

Gale, H. G. B: 121, 596, 
620 

Galilei, G. A: 115, 812. 
B: 104 

Galitzin, B. B: 183, 243 
Galle, A. A: 732 

—, J.C. A: 76, 281, 428, 
461, 898, 943 

Gallisot, Ch. B: 662, 851 
Gamov B: 1023 
Gaposchkin, S. B: 969 ff., 
1071 

Garbich, N. A: 134 
Gascheau A: 976 
Gasparis, A. de A: 396, 
965 

Gauß, C.F. A: 32, 58, 82, 
88, 89, 94, 101ff., 117, 
119, 134, 140, 145, 158, 
212, 368, 376, 380, 3844f., 
395 ff., 403 ff., 414 ff., 563, 
566, 568, 57Lf., 625, 630, 
734, 739f., 748, 756, 759, 
849, 927f., 959. B: 33, 





Fowler — Gyllenberg 


87, 88, 114, 189, 264, 296, 
329f. 337 

Gautier, A. A: 512, 669 

—, P, 23 286, 2% 

Gay A: 297 

Gehlhoff B: 784, 852 

Gehrke, E. B: 649 

Geiger B: 30, 122, 559 

Geißler, S. A: 160 

Geleich, E. A: 118, 142, 
160, 164 

Gemme-Frisius, R. A: 118 

Gerasimovit, B. P. B: 710, 
712, 714, 724, 729, 761f., 
984 f. 

Gerber, P. B: 156 
Gerland, E. A: 164 
Gerling, C. L. A: 261 
Gheury, M. E. J. A: 142 
Gibbs, J. W, A: 395, 399, 
406, 409 

Giebeler, H. B: 735 

—, P. B: 719 

Gießen B: 42, 52 
Gietermaker, ©. H. A: 101 
Gill, D. A: 75, 77f,, 206, 
208, 226, 245, 247 f., 257, 
260, 264, 275 f., 280, 281f., 
812, 817, 845, 852, 856. 
B: 102, 103, 256, 258, 
699,71 . 

Ginzel, F.K. A: 337, 358, 
360, 367, 386,425. B: 128 
Giulio, C. B: 115 
Gladstone A: 294 
Glaisher A: 311, 313, 721 
Glasenapp, S. v. A: 464, 
481, 856. B: 145 

Glaser, L. C. B: 225 
Glauser, J. A: 402, 938 
Gledhill, G. A: 468 
Gleißberg, W. B: 941 
Globa, B.-Michailevko B: 
4, 58 

Godfray A: 693, 719 
Gogou A: 683, 716 

Gold, E. B: 486 
Goldammer, D. A. B: 403 
Goldhammer, D. A. B: 664 
Gonnessiat, F. A: 250f., 
255 

Goodwin, H.B. A: 151 
—, M. A. A: 99 

Goos, F. B: 288, 610 
Goreynski, L. B: 655 
Gould, B. A: 484. B: 253, 
255, 257, 277, 280, 288, 
293, 839 

Gouy, M. B: 243 

Göring, H. A: 88 

Götz, P. B: 824f. 





Götze, W. C. A: 422, 424 f. 

Grabowski, L. A: 262 

Graefe A: 249 

Graff, K. B: 288, 293, 534, 
770, 827f. 

Gramatzki B:; 782, 784 

Gramont, de B: 557, 608 

Grant, R. A: 812 

Greaves, W.H.M. B: 715f£. 

Grebe, E. W. A: 148 

—, L. B: 223 ff. 

Green, G. B: 86, 412, 416 

Greg, R. P. A: 940, 943 

Gregor, XIII. A: 376 

Gregory, ©. C.L. B: 608 
Greswell, E. A: 367 

Griffin, F.L. As 532, 818 
Groombridge B: 262 

Groot, H. v. B: 479, 661 
Groß B: 874 

Großmann, E. A: 204, 205, 
207,::216, 239, 251, 279, 
289,315,469. B: 213, 214, 
270 

—, M. A: 164. B: 189 
Grotefend, H. A: 366, 377 
Grotrian, W. B: 650, 1079 
Gruey, L. J. A: 134 

—, M. A: 934 

Grunert, J. A. A: 102, 134, 
255, 336, 428, 750 
Grübl, H. B: 627 

Guckel B: 608 
Gudermann A: 150f. 
Guggenheimer, E. A. B: 
498, 509 

Guilhaumon, J.B. A: 161 
Guillaume, Ch. E. A: 170, 
1925:2.76, 180 

Guldberg B:; 399 
Gullstrand, A. A: 249 
Gutbnick, P. B: 187, 236, 
751, 755, 794f., 818, 828, 
843, 865, 976 

Guttenberg B: 30, 122 
Guyou, E. A: 112f., 145, 
151, 162 

Günther, S. A: 82, 160 
Güßfeldt, P. A: 160 
Güssow, M. B: 752, 754 
Gylden, H. A: 246, 288, 
310 ff., 317, 323, 513, 530, 
532, 545, 551, 559, 567, 
574 ff., 595, 597, 669, 671, 
678, 679f., 68öf., 707, 
710f., 731, 758, 782 f, 
897, 907 #., 967, 974, B: 
141, 298, 308, 337, 751 
Gyllenberg, W. B: 223, 267, 
316, 344f., 355, 3683, 369, 
749, 754, 813 


H 


Haas, J. B: 275 
Hadamard A: 538, 644 
Hadley, J. A: 142 
Hagen, J. G. A: 276. B: 42, 
326, 755, 776. 
Hahn, O. B: 1016 
Hain, E. A: 148 
Hale, G. E. B: 600, 611, 
61T7H., 634ff., 705, 732, 
822 
Hall, A. A: 468, 724, 811, 
820 f., 832f., 839, 894. 
B: 86, 93f., 104f., 147, 
691 
Hallaschka, C. A: 337 
Halley, E. A: 74, 116, 384, 
720, 900f. B: 130, 259. 
268, 398, 684, 687 
Halm, J. B: 339f., 359, 
364, 611, 666, 669, 742, 
806 ff., 1007 
Halphen, G. H. A: 483, 634 
Hamilton, W. A. A: 390 
Hammer, E. A: 95, 159 
Hamy, M. A: 237, 642,647, 
650 ff., 716. B: 4, 29, 36, 
47, 267, 537, 556, 648 
Hann, J. A: 299, 301 
Hansen, P. A. A: 50, 67, 
72, 82, 91f., 108, 134, 
136, 200, 203, 206 f., 219, 
230, 236, 238, 335 ff., 348, 
350 ff., 372, 381, 387, 399, 
404f., 513, 559, 567, 572, 
581f., 600, 619, 621, 623f., 
629f., 669 ff., 684f., 689, 
708 ff, TI5 ff, 738, 760 ff., 
805, 845, 862f., 872, 874, 
876, 897, 906, 909, 911, 
960, 963 ff., 1026, 1042. 
B: 20, 87, 103, 119, 126, 
128 ff., 150 
Hansky B: 655 
Happel A: 530, 685 
Harding B: 258 
Haretu A: 554 
Harkanyi, B. B: 716 
Harkness, W. A: 845, 847, 
854, 894. B: 29, 82, 94, 
100, 105, 115 
Harper, W.E. B: 728, 738 
Harrison, J. A: 118, 125 
Harshman A: 833 
Hartl, H. A: 140 
Hartley, W. E. B: 358 
Hartmann, J. A: 170, 179, 
188, 229, 250, 255, 263, 
360, 917. B: 536f., 539, 
542f., 555, 576, 601, 634, 





Haas — Hofbauer 


683, 701, 732f., 742, 761, 
763, 766, 829, 843, 923 
Hartwig, E. A: 501, 843, 

1020. B: 53, 977 
Harzer, P. A: 82, 93, 95, 
206, 207, 217, 237 f., 253, 
288, 381, 396, 400, 402, 
405, 485, 575, 598, 674, 
680, 751, 790, 800 f., 906 f., 
921,993. B: 82, 94 f.,132, 
135f., 148, 236, 336, 887 ff. 
Haschek, E. B: 540, 595 
Hase, J. B: 802£. 
Hasselberg, B. B: 583 
Hassenstein B: 854 
Hastings B: 611 
Hatt, Ph. A: 337 
Hauff, J.K. F. A: 103 
Hausdorff, F. A: 289, 291, 
294, 313 
Hayford B: 4, 20, 27, 82, 
89, 91, 110, 131 
Hayn, F. A: 102, 124, 228, 
1020 ff., 1033, 1039. B: 53, 
263 
Haynald A: 150, 215 
Haerdtl, E. v. A: 717, 894, 
910, 967f. 978. Br: 96f,, 
136 
Hearviside, O. B: 384 
Hecker, O. B: 82, 121, 338 
Heckmann, O.B: 580,881 ff., 
1023, 1049 ff., 1086 
Heger, H. B: 19 
—, M.L. B: 766 
Heiligenstein, A. v. A: 160 
Heine A: 533 
Heinrich, W. W. A: 804, 
988 
Heis, E. A: 428, 940, 943. 
B: 255, 288, 293, 839 
Hell, M. A: 105, 116 
Hellerich, J. B: 755 
Hellins, J. A: 563 
Helmert A: 17, 32ff., 45, 
73, 289, 298, 845f., 850, 
862f., 870ff. B: 2, 7, 9, 
16, 26, 27f., 31fl., 82, 
89 ff., 108 ff., 131 
Helmholtz, H. B: 143, 376, 
380, 389, 774, 852, 874, 
992 
Henderson B: 268 
Henie B: 283, 285, 287, 
290 
Hennert, J. F. A: 101, 103 
Henning B: 659, 780 
Henroteau, F. B: 539, 555, 
669, 700, 710, 753, 767 
Henry, Gebrüder A: 229, 
232. B: 258 





1113 


Henry, P. A: 292 
Hepperger, J. v. A: 289, 
424, 465, 502, 910, 916, 
936. B: 74, 153f., 635, 
684, 924f., 975 
Hergesell, H. B: 486 
Hermann, E.H. A: 700 
Hermite, Ch. A: 386, 800 
Herodot A: 376 
Herr-Tinter A; 17, 82 
Herrera, F. de A: 123. 
Herschel, A.S. A: 428, 459, 
940, 943 ff. Bi: 688 
—, J. A: 463, 467, 478, 
480, 692, 920. B: 280, 
835 
—,W. A: 466 ff., 819, 821. 
B: 126, 279, 287, 289 f., 
294 ff., 322, 326 ff., 365 
Hertz, H. B: 183, 404, 690 
Hertzsprung, E. B: 273, 
275, 287, 294, 310, 318, 
715,:718, 721, 72485278, 
77T f., 786, 788, 792, 794, 
798 ff., 810, 819, 842, 858, 
885, 956, 980, 994 
Herz, N. A: 109, 221, 250, 
384, 398, 425, 513, 559, 
731, 899, 940 
Herzfeld, K. B: 516 
Heß, C. A: 249 
—, R. B: 1003 
Heurlinger, T. B: 579 
Hevel, J. A: 900. B: 257 
Hicks B: 60 
Hilaire, M. St. A: 146,148, 
152 
Hilbert, D. B: 199, 462, 466 
Hilfiker, J. A: 119 
Hill, G. W. A: 67,397, 412, 
513, 530ff., 538ff., 545, 
555, 595, 600f., 621, 635, 
640, 669, 671,675 ff., 699 ff.., 
723, 767 ff., 778, 811, 821, 
840, 873, 882, 894f., 962, 
9705: 9778; B3 78, 1085 
124, 126, 129, A15f., 420 
Hillebrand, K. A: 929 
Hills, E. H. A: 113. B: 144 
Hind B: 258 
Hinks, A.R. A: 249, 278, 
852, 857. B: 102£. 
Hipparch A: 34, 373, 996. 
B: 259 
Hirayama, S. B: 658f. 
Hirn B: 67 
Hirsch, A. A: 255 
Hnatek, A. B: 324, 538, 
540, 592, 716 
Hoek, M. A: 937. B: 181£. 
Hofbauer, G. B: 607 


1114 


Hoffmeister, C. B: 786, 
944f., 951, 1049f., 1076 
Hofmann, A. W. A: 92 
Hogg, F. S. B: 593 f., 816. 
Holborn B: 659 

Holden, E. S. A: 895. B: 
279 

Holetschek, J. A: 898, 917f., 
921 ff., 938, 949. B: 140, 
279, 823, 8YAf. 

Holmes A: 254 
Holtzmark, J. B: 576 
Holzmüller, G. B: 155 
Homann, H. B: 265, 332 
Hooke A: 78. B: 72 
Hopmann B: 288, 751, 
7S0f., 797, 809, 813 ff, 
823, 352 

Hoppe A: 529 

Hornstein, 0. A: 92, 426 
Houäl, G. J. A: 626 
Hough, G.W. A: 241, 531, 
970 

—, S.S. B: 339 
Houtermans B: 1023 
Houzeau, J.C. A: 288,428f., 
812, 821,845, 921. B: 255, 
280, 288, 292f. 

Howe, M. B: 701 

Höffler, J. F. A: 52. B; 
186 

Hörbiger B: 1069 
Hubble, E.P. B: 737, 757f., 
764,800, 823, 884 ff., 1011, 
1058, 1078 ff. 

Huber, D. A: 127 
Hubrecht B: 669 

Hues, R. A: 101 
Hufnagel, L. B: 800 
Huggins, W. A: 486. B: 
183, 265, 620, 641, 650, 
673 ff., 693, 699, 701, 731, 
757, 762 

Highes, D. E. A: 193 
Hulburt, E. O, B: 615 
Humason, L. H. B: 637 

‚M. L. B: 710, 728, 
741 

Humboldt, A. v. A: 106, 
153 

Humphrey, W.J. B: 486, 
6951f., 613 i 

Hurwitz, A. A: 389 

Huschke, Ph. A: 367 
Hussey A: 468 

Hutton B: 115 

Huygens, Chr. A: 167, 171, 
189, 814. B: 9, 10, 111, 
833 

Hückel, E. B: 508 
Hügeler, P. B: 350, 818 





Hoffmeister — King 


I 


Ibn Yunis A: 103 

Ideler, J.L. A: 153, 366, 
368 

Immisch, M. A: 163 
Innes, R.T. A. A: 567, 572, 
592, 601, 635, 717, 818 
Insolera B: 58 
Israel-Holtzwart, K. A: 160 
Isenkrahe B: 83 

Ives, H.E. B: 324 

Ivory, J. A: 101, 290, 308, 
310, 312,.323. B: 13, 38 
Iwanow, A. A: 804, 846, 
863 

Iwaszkiewicz, K. B: 334 


J 


Jacobi, C. @. J. A: 388, 
515, 520, 564, 572, 577f., 
598, 610, 619, 622, 676, 
679, 688, 698, T50f., 906, 
972,990, 1017. B:'4, 83, 
230f., 444 

Jacobsen, T.S. B: 753 

Jacoby, H. A: 79, 275, 367 

Jaffe, G. B: 462, 466 

Jaffre, P. A: 337 

Jahn, G. A. A: 159 

Jakowkin, A. A: 1021 

James, G.O. A: 1015. B: 
139 

Jamin, J. ©: As 297 

Jannsen, J. B: 603, 634f., 
641, 674, 676 

Jaumann, G. B: 157 

Jägermann, R. B: 3, 72, 75 

Jeans, J.H. B: 6, 49, 58, 
132, 361, 366, 370f., 376, 
385, 394, 427 ff., 444, 475, 
Bi1ff., 529, 751, Tööf., 
815, 889, 964, 988, 992, 
1000 f., 1013 f., 1019 f., 
1033 ff., 1046 ff., 1066,1071, 
1075f., 1079, 1082 f. 

Jeantet, P. B: 604 

Jeffreys, H. B: 1016, 1034, 
1043, 1057, 1059, 1061 ff. 

Jentzsch, F. B: 874 

Jewdokimov B: 270 

Jewell, L. E. B: 222, 541, 
595, 602, 605, 610, 613, 
627, 632 

Jocob A: 820 

John, C. E. S. B: 222 ff., 
543, 596, 603ff., 622f., 
631f., 648, 668 ff., 752, 
439 

Johnson, M. G. B: 532, 609 

—, R.G. B: 582 





Jonckheere, H. A: 464. 
B: 1075 

Jones, H. S. B: 325, 788 
—, R.L. A: 185 

Jordan, F. C. B: 735 

—, W. A: 82, 92, 131, 160 

Jost B: 270 

Joukowski, N. A: 388 

Joy, A.H. B: 272, 348, 356, 
625, 701, 704, 707, TILf., 
725 ff., 737, 741, TAbf,, 
752f., sı6f. 

Jönsson, A. As 1021 

Julius, W.H. B: 223f., 486, 
611f., 622, 624, 633 f., 640, 
645, 647, 879f. 

Jullien A: 976 

Jürgensen, U. A: 163 


K 


Kaibura B: 35 

Kaiser, F. A: 207, 255 , 
Kalitin, N. N. B: 657 
Kallippos A: 373 

Kant, J. A: 920. B: 84, 143, 
430f., 990, 1054, 1058, 
1069 

Kapteyn, J.C. A: 79, 98, 
111, 226, 248, 277f., 285. 
B: 259 ff, 269 f., 281 ff, 
291, 300, 302ff., 309 ff., 
338 f., 350 ff., 363 ff., 801, 
855, 857 

Kayser, E. A: 141, 143, 238 
—,:H. .A2'292f., 296. B: 
534, 581f., 742 

Keeler, J. B: 265, 677, 679, 
761, 822 

Keil, W. B: 350 

Kelvin, Lord, siehe Thomson 
Kempf, P. A: 291, 296, 333. 
B: 292, 332, 541, 622, 
635, 776, 786, 839 

Kent, N. A. B: 599 
Kepinski A: 988 

Kepler, J. A: 72, 133, 396, 
813, 882, 900. B: 83 
Ketteler, E. B: 181£. 
Kiaer, H. J. B: 4 
Kielhorn, F. A: 371 
Kienle, H. B: 628, 715, 
767, 992, 1004, 1007 

Kieß, C. C. B: 602, 606, 
714 

—, H.H. B: 719 

Killing, W. B: 82, 84 

Kimball, H. H. B: 655 

Kimura, H. A: 45, 93,.279 
King, L. V. B: 932, 934f. 

—, A.S. B: 595, 600, 604, 
607, 614, 617, 621f., 703, 


716, 718, 750, 788, 824, 
826, 858 
King, W.F. A: 465, 492 
Kirchhoff, G. B: 535, 543, 
601, 636 
Kirkwood A: 757, 940 
Kleiber, J. A: 924. B: 351 
Klein, F. A: 32, 106, 995. 
B: 84, 200 
—, H. J. B: 679 
Kleostratos A: 373 
Klinkerfues, W. A: 32, 66, 
134, 380, 400, 411, 416, 
464f., 477, 480, 509, 943. 
B: 132, 182f., 360 
Kloock, H. A: 62 
Klose B: 1069 
Klug, J. A: 812 
Klumak, R. B: 348 
Klumpke B: 61 
Klußmann B: 30 
Klüber, H. v. B: 594, 792, 
794 
Klügel, G.S. A: 99 
Knipping, E. A: 119, 162 
Knobel B: 252 
Knorre, H. A: 104 
—, V. A: 202 
Knox-Shaw A: 917 
Kobb, C. A: 819, 838 
Kobold, H. A: 484. B: 240, 
260f., 286, 292f., 334, 336, 
347 ff, 443 
Koch, J. A. A: 89 
Kohl B: 227f. 
Kohlschütter, A. B: 242, 
272, 495f., 510f., 529f., 
725f., 735, 764, 813 
—, E. A: 102, 141, 143, 149 
Kohn B: 608 
Konkoly, N. v. B: 687£. 
Kopernikus A: 882, 996 
Kopff, A. B: 76, 188, 200, 
276 
Koppe, C. A: 113, 160 
Koref, A. A: 977 
Korteweg A: 534, 536, 538 
Kosirev, N. B: 664 
Koß, K. A: 141 
Kossell, W. B: 561, 573 
Kostersitz, K. B: 540 
Kostinsky, S. B: 268, 734, 
764 
Kostka B: 35 
Kottler, F. B: 190 
Kowalewski, S. B: 4, 60 ff. 
Kowalski, A. A: 214 
—, M. A: 288, 290, 310f., 
406, 423, 481. B: 365 
Köhler, J. G. A: 89 





König B: 774, 848 
Encyklop. d. math. Wissensch. 


King — Lehmann 


Köster, T. A: 162 
Köveslighety, R. v. A: 945. 
B: 332 

Krafft, W. L. A: 101, 126. 
Kramer, J. A: 802. 
Kramers, H. B: 501 
Kramp, C. A: 306f., 310, 
322, 328, 337 

Krassnow, A. W. A: 686, 
700 

Kratzer, A. B: 577 
Kreiken, E. A. B: 794, 1008 
Kreusler, H. B: 617 
Kreutz, H..A: 279, 9371. 
B: 74 

Krieger, C. J. B: 822 
Kritzinger, H. A: 919 
Kron, E. B: 660f., 861, 894, 
935 

Krüger, F. B: 94, 279, 776. 
—, 8. A: 78, 170, 89. 
B: 3, 35, 54 

Krueger B: 255 

Kugler, F. X. A: 369f. 
Kundt B: 612 
Kurlbaum, F. B: 
660 ff. 

Kutta B: 412 
Kühnert, F. A: 293, 422 
Küstner, F. A: 22, 35, 64, 
106f., 134, 204f., 221, 227, 
242, 252, 258 ff., 270, 272, 
sösfl. B: 253, 255, 258, 
271, 735, 824, 838 


L 


Labrosse, F. A: 152 
Lacaille, N. L. de A: 71, 
117, 127, 183. B: 257, 
262, 327, 833, 838 
Lagrange, J. L. A: 134,136, 
320, 338, 380, 386, 388, 
395f., 402, 514f., 521, 529, 
554, 563, 569, 678, 688, 
736, 739, 741, 747, 750, 
752, 754, 810, 812, 815f., 
920, 969, 971, 976. B: 2, 
30, 33, 155, 189 
Lalande, J. de A: 32, 71, 
134, 559. B: 249, 258, 
262, 326, 838 
Lamb, H. B: 3, 448, 456 
Lambert, J.H. A: 94, 133f., 
150f., 290, 327, 330, 380, 
387f., 402, 414, 615, 965, 
1018. B: 326, 833. 
—, P. B: 604, 871, 898, 
902fl., 909f., 915, 920, 
990 
Lam& A: 679 
Lamont, J. A: 213 


VI2,B. 


541, 655, 





1115 


Lamp, J. A: 910 
Lampland, T. O. B: 681, 
749, 827 
Lancaster A: 288, 429, 812, 
821 
Lande, A. B: 573f. 
Landerer, J. B: 647 
Landolt A: 294 
Lane, H. B: 391, 404, 412, 
992 
—, Poor, C. A: 932. 
Lang A: 294 
Langier, P. A. E. A: 168 
Langley, S.P. A: 291,332 ff. 
B: 602, 650, 655f., 660, 
666, 934 
Lans A: 154 
Laplace, P.S. de A: 9, 37, 
40, 76,,290, 294, 803f., 
316, 319, 323, 328 tf., 338, 
380, 382, 385 f., 400f., 
415, 512, 554, 559, 561, 
564, 569, 609, 624, 645, 
668 ff, 683, 685, 692 ff, 
699, 701, 715, T19f., 730, 
735 ff., 741, 748, 750, 754, 
757, 779 ff., 803, 810, 812, 
816 ff., 827 ff., 833 ff, 842, 
862f., 870f., 882 ff., 902, 
904f., 915, 920, 924 ff., 932, 
959, 995f., 1020f. B: 2,4, 
7, 12#., 19ff., 39, 52, 54, 
BTff., 69, 86, 100, 104f., 
111, 116, 119f., 124, 130, 
149 ff., 197, 404, 406, 420, 
430f., 684, 834, 918, 990f., 
1052 ff., 1069 
Lardner, D. A: 921 
Largeteau, C.L. A: 336,357, 
361 
Larmor, J. B: 144, 597, 612 
Lasby, J. B. B: 667 
Lassell A: 819 ff. 
Lau, H. E. A: 994. B: 262, 
744 
Laue, M. B: 181, 195, 221 
Laurent A: 142 
Lauricella B: 28 
Laussedat, A. A: 337, 428 
Laves, K. A: 77, 465. B: 
103, 556 
Leavitt B: 856, 979 £. 
Lebedew B: 77, 142, 324 
Lebeuf, A. A: 584 
Legendre, A. M. A: 128, 
563 ff., 576. B: 4, 7, 20f., 
27, 29, 111, 116 
Lehmann, E. B: 604 
IR 768 
—, J. W. A: 904. B: 88 
—, P. A: 336, 357, 361 


72 


1116 


Lehmann-Filhes, R. A: 34, 
402, 428, 439, 443, 464, 
489, 529, 725, 915, 922, 
933f£., 940, 954. B: 82, 141, 
153 f., 1048 

Lejeune, P.G. B: 3 

Lemann, A. A: 966 

Lemoine A: 148 

Lemon, H. B. B: 582 

Lense, J. B: 86, 132, 151, 
219f., 341, 343, 369 

Leonard B: 1007 

Leonhardi, W. A: 337 

Lepsius, R. A: 367 

Leroy, P. A: 173 

Lescarbault B: 132. 

Lespiault A: 719 

Lesser, O. A: 760 

Lester, O.C. B: 603 

Leuschner, A. OÖ. A: 417, 
426, 465, 510, 771, 932 

Leveau, G. B: 126 

Leverrier, U. J. A: 9f., 27, 
37, 51, 67, 77, 385, 387, 
421,512, 559, 569 ff., 578 £., 
588, 597, 601, 624, 626, 
717, 730, 734, 738f., 745, 
748, 751, T53f., 845, 882, 
885f., 890, 932, 942, 946, 
1008. B: 87f., 92, 94f., 
102, 124 ff., 132, 136 

Levi-Civita, T. A: 387, 537, 
558, 971. B: 63f., 189, 
218, 230, 1046 

Levy B: 26, 156 

Lewis, P. B: 687, 690 

Lewisohn, L. M. A: 367 

Lexell, A. J. A: 126 ff., 900, 
932 

Liais, F. B: 691 

Liapounoff A: 530, 685. 
B: 4, 22, 32, A1ff., 1025 

Lichtenstein, L. A: 1042. 
B: 4, 38, 43 ff., 444, 1030 

Lie A: 517 

Liebmann, H. B: 84 

Ligowski, J.O. A: 127,162 

Limann, O. B: 156 

Lindblad, B. B: 272£., 476, 
ATS f., 726 f., 793, 801, 
804f., 823, 876f., 1084 ff. 

Linde, J. C. van de B: 290, 
293 

Lindemann, A. F. A: 916. 
B: 231, 235, 684 

Linders, F. J. A: 530, 804, 
977 

Lindsay, J. L. A: 281 

Lindstedt A: 546, 548f., 
678 ff., 797, 935 

Lingg, F. A: 141 





Lehmann — Mason 


Linke, P. B: 657 
Liouville, J. A: 625, 976. 
B: 34f., 42 
Lipschitz B: 26, 116, 189 
Listing, J. B. B: 115 
Littlehales, G. W. A: 150 
Littrow, J. J. v. A: 92, 99, 
159, 336 f. B: 990 
—, K.v. Bi: 296. 
Liveing, G. D. B: 594, 604 
Lockyer, J.N. B: 183, 430, 
537, 558, 594 f., 607, 619 #f., 
626f., 631 ff., 641 4f., 656, 
680, 698 f., 711, 714, 723 f., 
732, 738, 741, 747, 991f., 
996, 1011 
Lodge, O. B: 185 
Loewy, M. A: 75, 97, 122, 
232, 237f., 244, 249, 277, 
854 
Lohmann, W. B: 599 
Lohse, OÖ. A: 994. B: 634, 
687 
Lommel, E. B: 836 f., 871, 
898 ff. 
Longley A: 992 
Loomis, E. A: 120 
Lorentz, H. A. A: 295. B: 
160, 165, 170, 172, 179, 
181 ff., 237, 615 
Lorentzen, G. A: 206 
Lorenz, L. A: 295 
Lorenzoni, @. A: 396 
Lossier, L. A: 164, 180 
Lous A: 983 
Love, A. E. B: 6, 40 
Lovenörn A: 130 
Lovett, E. O. A: 529. B: 141 
Lowater, F. B: 608, 746 
Lowell, P. A: 843. B: 10, 
126, 675, 677, 679 
Loys de Cheseaux, J. P. 
B: 321 
Löhle B: 851 
Lönngquist, C. B: 1010,1013, 
1016, 1018, 1020, 1023, 
1078 
Lubbock, J. W. A: 313, 
401, 668, 683, 694, 721 
Lucas, R. B: 659 
Ludendorff, H. A :227,248f., 
493,495, 597, 802. B: 227, 
267, 540, 651, 714, 745, 
750, 760, 812, 977, 1076 
Ludolph, W. A: 161 
Lukiesh, M. B: 913 
Lummer B: 659, 874 
Lundahl, C. F. A: 861. B: 
316, 363 
Lundblad, R. B: 662 
Lundmark, K. B: 228, 727, 





731, 764, 823, 1007, 1077£., 
1082 

Lunt, J. B: 699, 714, 736, 
738, 741 

Lury, R. E. de B: 623, 
668, 671 

Lussac A: 297 

Luther, E. B: 249 

—, R. A: 385 

Luyten, W. J. B: 261, 311, 
319, 349, 726 f., 1007 £. 
Lyman, Th. B: 569, 720 
Lynn, G. A: 116, 153 
Lyons, J. A: 95, 128 
Lysakowski, K. v. B: 678 


M 


Maanen, v. B: 261, 264, 
274 ff., 625, 723, 764, 1058, 
1083 

Mc Clean B: 286, 699, 707f. 

Mach, E. B: 91, 194 

Mackay, A. A: 123, 126 

Macklin, H. B: 728 

Me Laughlin, D. B. B: 743 

Maclaurin A: 959. B: 2, 
11, 13, 30, 444 

Mac-Millan A:680. B:1012, 
1040, 1046 

Magellans, F. de A: 123 

Maggini B: 812 

Magnac, A. de A: 83, 164 

Mahler, E. A: 231, 337 

Mahnkopf, J. A: 910 

Maier A: 707, 727 

Majorana B: 187 

Malmquist, K. G. B: 316, 
363, 789f., 1003 

Maraldi, J. D. A: 813f. 

Marcuse, A. A: 106, 113, 
154, 280. B: 74 

Margetts, G. A: 128, 262 

Marinus A: 84 

Mariotte A: 297 

Marius A: 812 

Markowitz, W. B: 1074 

Marsden B: 559 

Martens, A. B: 1086 

Marth, A. A: 238, 365, 406, 
465, 483, 508, 810, 812, 
817, 820f., 833 

Martin, E. B; 716, 794 

Martins A: 270 

Martus, H. C. E. A: 160 

Masal, H. A: 576, 790, 794 

Mascart, E. A: 294, 530 
B: 182 

Maslelyne, N. A: 26, 29£., 
121, 122, 128. B: 115, 
250f. 

Mason, C. A: 728 


Masson B: 848 

Matern, A. A: 102 

Mathieu A: 521, 554 

Matthiessen B: 35, 52, 57, 
63 

Mattuschka, H. G.v. A: 96 

Matzka, W. A: 366, 368 

Maunder, E. W. B: 627, 
674 

Maurer, J. A: 291, 294 

Mauritius, R. A: 109 

Maury, A.C. B: 694, 707 ff., 
744, 752, 800 

Maxwell, C. B: 4, 66ff., 
183 ff , 370, 400, 457, 852, 
991 

Mayer, C. A: 465 

—, J. C. B: 143, 992 

—, R. B: 376, 379 

—, 8. A: 812 
—, T. A: 68, 91, 106, 121, 
125, 131, 205, 233, 236, 
268, 290, 302, 318f., 670, 
727, 862. B: 260, 262, 
326 ff. 

Mädler, J.H. A: 122.. B: 
260, 328, 352, 360, 365, 
640 
Mechain A: 933 
Meggers, W. T. B: 602, 
606 
Meineke B: 61f. 

Meißner, K. W. B: 605 
—, 0. A: 251 
Melde, F. A: 160 

Mello e Simas, de A: 919 
Melotte A: 283, 287, 819. 
B: 842 
Mendeleef, D. A: 312 
Mendola, L. A: 291, 333 

Mendoza, J. A: 127, 161 
Menzel, D. H. B: 594, 679, 
702f., 746, 750, 827 
Mercator A: 144, 151 
Merfield, (©. J. A: 636 
M6riau, M. A: 465, 498 
Merrill, P.W.B: 617,694 ff., 
TOLL f., 740f., T74dfl., 758 
Merton, G. B: 349 
—, T.R. B: 582, 592, 698, 
715 
Merz A: 231 
Meschtschersky, J. B: 141 
Messerschmitt, J. B. A: 141 
Messier A: 932 
Meton A: 371, 373 
Meyer, M.W. A: 191. B: 
105 
—, W. A: 465, 509, 811, 820 
Meyermann, B. A: 503. 
B: 841, 857 





Masson — Newton 


Michele, J. A: 466 

Michell B: 279 

Michelson B: 173, 175, 181, 
185 ff., 553 

—, A. A. A: 469, 847. B: 
121 

Mie B: 901, 927 

Miethe, A. B: 604, 672, 
824 f. 

Milaan, v. B: 594 
Milankowich, M. B: 376, 
487, 827 

Miller, D.C. B: 186 

—, W.A. B: 731 
Millikan B: 935 
Millochau, G. B: 634, 655, 
665, 676 

Milne, E. A. B: 425, 427 ff., 
459f., 467,475 f., 479, 482, 
485 f., 502ff., 514, 521, 523, 
525, 527, 528f., 531, 588, 
590f., 616, 719f., 742, 
876f., 970, 992, 998, 1000, 
1016 

Mineur, H. B: 1048 
Minkowski B: 163 f., 171 
Minnaert, M. B: 594, 850, 
8830 

Mitchell, S. A. B: 627, 
629 ff, 727 

—, W M. B: 527, 618. 
Moebius, A. F. A: 137, 692 
Mohler, J. F. B: 595f., 613 
Mohn B: 399 
Moisseiev, N. B: 1040 
Mollweide, K. B. A: 
101, 138, 158 
Mommsen, T. A: 367, 370 
Monck, G. S. B: 726, 801 
—, W.H.S. B: 352f., 743 
Moore, B. E. B: 600 

—, C. E. B: 607 

—, J.M. B: 268, 538, 672 
—, J. H. B: 647, 671, 679, 
686, 737, 741, 749, 758, 
760, 762f. 

Morley, E.W. B: 181, 185f. 
Morse, S. F.B. A: 119 
Morstadt, J. A: 900 
Moschick, B. A: 428 
Mossotti, 0. A: 911 
Mouchez B: 256 

Moulton, F. R. A: 389, 393, 
407, 513, 529, 531, 559, 
680, 701, 731, 973, 976, 
983, 989, 993. B: 451, 756, 
991, 1055, 1060, 1062 
Moutard, M. A: 616 
Möbius, A. F, A: 82 
Möller, A. A: 894, 910, 993. 
B: 96 


89, 





1117 


Mönnichmeyer, O. A: 227 

Mudd, N. B: 49 

Murphy, D.W. B: 660 

Müller, E. A: 84 

—, F.C. A: 87 

—, @. A: 202, 291f., 296, 
332f.,;,917, 919. Bs 475; 
656, 660f., 776, 786, 837, 
839, 867, 933, 941, 977 
—, 0. A: 87 

—, P. B: 656 

—, R. B: 780 

Münch, W. B: 716 
Myers, G. W. A: 465, 504. 
B: 975 


N 


Nabl, T. B: 400, 442 
Naccari, G. A: 161 
Nagaraja, G. B: 617 
Natanson, S. A: 945 
Navrat, V. B: 903 
Necker, K. A: 428 
Neison-Nevill A: 671, 695, 
Zı1af., 7261. B3.129 
Neper A: 158 
Nernst, W. B: 378, 460, 586 
Neugebauer, P. V. A: 424, 
965 
Neuhof, O. B: 404 
Neumann, C. B: 60, 86, 
149, 151, 154, 156 
—, F.E. B: 834 
Neumayer, G. A: 159 
Nevermann, F.K. B: 335 
Newall, H. F. B: 235, 608, 
619, 629, 647, 704, 735 
Newcomb A: 9, 11, 13, 25, 
27, 29f., 39f., 43, 51, 57, 
64, 67, 69, 72, TSF, 91, 
256, 259, 280, 289, 336, 
358, 541, 556, 559, 567, 
570f., 578, 589, 591, 593, 
597, 601, 669, 671, 707, 
713, 716#., 739, 779, 811f., 
821, 833, 838 f., 845, 847, 
852,854,857 ff., 370, 872ff., 
965, 995, 1008, 1011, 1019. 
B: 28, 82, 88, 92, 94f., 
101ff., 109, 123ff., 145, 
148, 212f., 217, 251, 260, 
278, 292f., 345, 353 
Newkirk B: 275 
Newton, H. A. A: 452f., 
934, 940 ff., 951 
—, I. A: 72, 290, 294, 303, 
668f., 692, 815, 882, 900, 
996. B: 2, 5, 6ff., 15, 83, 
91,93,98f.,106, 108, 110ff., 
147, 161, 193 f., 205, 
210 ff., 229 ff., 653 


72* 


1118 


Nichols, E. F. B: 602 
Nicholls, S. F. B: 718 
Nicholson, J. W. B: 592, 
616, 625, 649, 758 
—,8.B. B: 637, 651, 673f,, 
718, 750, 809ff., 824, 826, 
869 f., 939, 984 
Nicolai, F.B.G. A: 122, 
385, 416 
Nießl, G.v. A: 428, 453, 
456, 460, 929, 940 
Nieuwland, P. A: 101 
Nijland, A. A. A: 148, 464, 
491. B: 743 
Nonius, P. A: 101 
Nordmann, C. B: 324, 659, 
665, Tiäf., 738, 784, 811 
Noren, G. A: 599, 753 
Norie, J. W. A: 162 
Nort, H. B: 278, 283, 285, 
287, 290, 293 
Norton, W. A. B: 72 
Nölke,F.B:742,988,1040f., 
1055, 1063 ff. 
Nuäüez A: 101 
Nuntius Sidereus A: 812 
Nusl, F. A: 112 
Nyren, M. A: 35, 40, 57, 
204 ff., 246, 263 


0 


Oberguggenberger, V. B: 
750, 794 

Öbrecht, A. A: 116, 818. 
B: 836, 919 

O’Connor, J. L. B: 623, 
669, 671 

Oddone, E. A: 291 
Oertel, K. A: 271 
Ogrodnikoff, C. B: 333 
ÖOinopides A: 373 

Okunew B: 812 

Olbers, W. A: 94f., 257, 
380, A14f., 418, 898, 921, 
960. B: 72, 76, 264, 321, 
329 f., 337 

Olivier A: 944f. 
Olmstedt, C. M. B: 618 
Olsson, K.G. A: 596, 774, 
801, 1018 

Oltmanns, J. A: 124 
Olufson, C. F. R. A: 50, 
71, 372 

Oort, J. H. B: 349, 767 
Oppenheim, S. A: 922, 996. 
B: 75, 110, 144, 152, 156, 
346f., 361, 367, 444 
Oppolzer, E.v. A: 292, 297, 
963 

N ER U RT 
40 ff., 58, 99, 288 f., 310, 





Nichols — Pingre 


312,323,336 f., 357 f.,361f., 
367, 374, 380, 384, 386, 
394 ff., 405, 409f., 415, 418, 
422 ff., 669, 671, 685, 707, 
857, 910f.,942f.,995, 1004. 
B: 88, 101, 128 ff, 141, 
145, 1045 

Oriani A: 319 

Orloff, A. A: 424. B: 76 
Orlov, 8. V. B: 683, 687 
—, 8. A: 919 

Orontius Finaeus A; 121 
Osthoff B: 245, 279, 775 ff, 
TITLE. 

Ostwald B: 33, 111 
Oudemans, J. A. C. A: 79, 
133,170, 179, 812. B: 275 
Öpik, E. B: 479, 791, 797, 
802, 908 


P 


Pabst, W. T. A: 89 
Paddock, G.T. B: 736, 760 
Pahlen, E. von der B: 346, 
1083 

Painleve A: 524, 526, 553 
Palisa, J. A: 88, 385. B: 
258 

Pannekoek, A. A: 173, 500. 
B: 278, 276, 288, 820%, 
367, 520, 530, 607, 649, 
729, Tö4f. 

Pape, K. F. A: 238. B: 73 
Paraskevopoulos, J. S. B: 
333 

Parkhurst, J. A. B: 682, 
705, 787f., 797, 818, 842, 
857 

Parkinson, T. A: 128 
Pascal, E. A: 151 
Paschen, F. B: 570, 572, 
605 

Pasquich, J. A: 159 
Pasquier, E. A: 415 
Paton, R. T. B: 699 
Patterson B: 225 

Pauli, W. jr. B: 505 
Pavanini A: 532 

Pavel, F. A: 994 

Payn, H. B: 684 

Payne, C. H. B: 376, 530, 
534, 557, 561, 591, 598f., 
609, 616, 696f., 700 ff., 706, 
709, 713, T16ff., 724, 726, 
729f., 816 ff, 983 

Pease, F.G. B: 736, 754, 
763, 996, 1080 

—, @. E. B: 732. 
Pedersen, P. A: 976, 984 
Peirce, B. A: 728. B: 72, 
541 





Peirce, 0. S. A: 178, 250, 
588 

Peiresc, N. C. F. de A: 115 
Penrose, F. C. A: 337 
Perchot, J. A: 97, 395, 519, 
530, 686, 698 

Percy, L. H. A: 152 
Perepelkin B: 633 
Perigaud A: 237 

Perot, A. B: 225f., 542, 
603, 613, 648, 668 
Perrin, E. A: 104, 152 
Perrine, C.D. A: 819. B: 
331, 340, 349, 355, 647, 
696, 710, 732, 734, 741, 
752, 755, 765 

Perrotin, J. A: 739, 847 
Perry, 8. J. B: 619 
Persico, E. B: 756 
Peschel, O. A: 84 
Peschüle, J. A: 936 
Petavius, D. A: 366, 368 
Peter, B. A: 78, 160, 208, 
245, 248, 264, 276 
Peters, C. A, F. A: 35, 40, 
45, 78, 88, 156, 207, 239, 
485, 860f., 933, 942, 995, 
1008. B: 120, 240, 258, 
297, 298, 365 

—, J. A: 135. B: 261 
Petersson, H. B: 802 
Petit, F. A: 428 

— B: 652 

Pettit, E. B: 646, 656, 674, 
718, 750, 795, S09f., 824, 
826, 869, 984 

—, P. B: 651 

Petzval B: 183 

Phillips, E. A: 163, 165, 
171 f., 181f. 

Piazzi A: 27, 78. B: 249, 
260, 262 

—-Smith, C. B: 691 
Picard, J. A: 78, 117, 140, 
524, 612, 691 

Picart, L. A: 415, 556, 913, 
915, 936. B: 77£., 139 
Pickering, E. C. A: 469, 
812, 818f., 832, 923, 934. 
B: 126, 267, 280, 285 ff., 
292, 297, 305, 322, 541, 
571, 591, 603, 683, 689, 
693 #f., 733, 741, 786, 824, 
839, Sa1f., SSAfl. 

—, W.H. B: 643, 678 
Pigafetta, A. A: 125, 133, 
153 

Pigott, E. A: 122 

Pihl, 0. A. L. A: 262 
Pingre, A. G. A: 126, 337, 
899 


Pio, A.D. A: 123 
Pistor A: 270 
Pizetti, P. A: 289, 313, 529. 
B: 3, 16, 28 
Pjewzow, M. A: 89, 102 
Plana, G.A.A. A: 288, 668, 
670, 694, 720f., 728. B: 
13, 26, 34, 64, 115 
Planck, M. B: 188, 195, 
237, 378, 480, 589, 877 
Plantamour, E. A: 255 
Plaskett, H. H. B: 571, 592, 
609,662,669f.,697f ‚T16f., 
729, 741, 759 
—,J. 8. A: 497. Bi: 266, 
537, 556, 668, 669, 738, 
738, 740, 746, 747, 767 
Plaßmann B: 289 
Platen zu Hallermund, v. 
A: 96 
Plauert, H. B: 144 
Plummer, H.C. A: 248f., 
464f., 530, 914, 970, 989, 
1007. B: 141, 285, 348, 
362, 756 
—, W.C. B: 440 
Plutarch A: 375 
Pocock, R. J. B: 320 
Pogo, A. B: 686 
Pogson, N. R. A: 943. B: 
626, 838 f., 854 
Poincare, H. A: 32, 295, 
402, 513, 516, 520, 522, 
524,526 ff.,545 ff., 559,565, 
589, 598, 604, 606 ff., 621f., 
631, 657f., 664, 669, 671, 
677 ff., 698, 7O2f., 730f., 
746f., 759f., 799f., 807, 
935, 972 f., 996,1018. B: 3, 
5, 21 ff, 28, 36 ff., 56, 60, 
62, 65, 69, 82, 113ff., 144, 
171, 185f., 369, 376, 379, 
384f., 410, 443f., 449, 460, 
988f., 1038, 1047, 1058, 
1058, 1066 
Poinsot, L. A: 995 
Poisson, S. D. A: 37, 538, 
554, 669, 671, 683, 695, 
995£.,1002. B: 22, 31, 197 
Pokrowsky, 8. B: 635, 903 
Pond A: 27, 29, 239, 485 
Pontecoulant, P. G. de A: 
512, 559, 569, 588, 602, 
669, 671, 675, 683, 694f., 
715, 720f., 730, 751, 904, 
911 
Poor, C. L. A: 98 
Popoff, M. K. A: 759 
Postelmann, A. A: 262 
Pothenot A: 110 
Pottier, L. A: 810, 816 





Pio — Roberts 


Pouillet B: 652, 654 
Poynting, J. H. A: 
B: 142, 655 

Prager B: 976. 
Prandtl, L. B: 388 
Pratt, J.H. B: 2 
Prazmowsky, A. B: 647 
Precht, J. B: 630 

Preßler, M. R. A: 87 
Prestel, M. A. F. A: 150 
Preston, T. B: 598 

Preuß, W.H. A: 151, 270 
Prevost, P. B: 326 f. 
Prey, A. A: 485, 995. B: 
285, 293 

Pringsheim, E. B: 223, 543, 
659 
Pritchard, C. B: 269, 840, 
855 

Proctor, R. A. B: 360 
Przybyllok, E. A: 1009, 
1018. B: 28 

Psilander, A. A. A: 732 
Ptolemäus A: 34, 84, 369, 
882. B: 129, 276. 
Puiseux, P.H. A: 244, 386, 
627, 669, 683, 695, 721, 
723 

Pulfrich, C. A: 144, 280, 
296 

Purkinje B: 849 

Pythea, v. Massilia A: 97 


q 


Quetelet, A. A: 428 


914. 


R 


Raab, S. A: 753 
Rabe, W. B: 723, 999f. 
Radau, R. A: 35, 124, 288, 
290, 297, 301, 309, 313, 
317, 322, 325, 386, 395, 
415, 422f., 524, 515f., 521, 
575f., 582, 584, 669, 671, 
678, 697, 707, 709f., 713, 
716ff., 727£., 1018. B: 4, 
24, 74, 116, 129, 141 
Raffety, C. W. B: 685 
Rahts, J. A: 215 
Rambal A: 180 
Rambaut, A. A. As 237, 
247f., 464, 488. B: 627, 
879 
Ramond A: 308 
Ramsay, W. B: 641 
Rancken, F. B: 332 
Ranyard, A. C. B: 652 
Raper, H. A: 82, 108 
Rasch, E. B: 659 
Rasmuson, N. H. B: 361 





1119 


Raven, G. B: 95 
Rayet, G. B: 693, 731 
Rayleigh, Lord A: 333f. 
B: 900 ff., 927 ff. 
Raymond, H. B: 342 ff. 
Rebeur-Paschwitz, E.v. A: 
56f., 911. B: 139 
Reesinck, J. B: 753f.,813 ff., 
1036 
Regiomontanus, J. A: 101, 
899, 920 
Reiche B: 874 
Reichenbach, v. A: 216f£., 
238, 940 
Reimann, E. A: 428 
Renan, H. A: 97 
Renz, F. A: 262, 264, 817 
Repsold A: 28, 108, 192, 
195, 217, 226, 232, 238 
—, J. A: 215 f., 238 
Resal, H. A: 163, 171f, 
177, 183f., 190, 559, 698, 
735: B: 2, 69 
Respighi, M. B: 181, 691 
Reuß, J. D. A: 813 
Reuter, W. A: 149 
Reynolds, J. H. B: 761, 
1083 
Rheinauer B: 871 
Rhijn, v. B: 262, 264, 284, 
287, 290, 300, 307, 316f., 
325, 801, 952, 1003, 1006, 
1022 
Ribera y Uruburu, L. de 
A: 161 
Ricca B: 691 
Ricei, @. B: 189 
Riceö, A. B: 635, 640, 643. 
Richardson, L. F. B: 235 
Richer, J. A: 74, 115. B: 5 
Riefler, S. A: 169, 179, 185 
Riemann, B. A: 616. B: 5, 
40f., 60, 156f., 169, 189, 
198, 382 
Rigge, W. A: 135 
Rimmer, W.E. B: 728 
Ristenpart, F. A: 62, 68f., 
79. B: 240, 248, 253, 258, 
293, 332 
Ritchey, G. W. B: 734 
Ritchie, F. J. A: 185 
Ritchey, G. W. A: 229 
Ritter, A. B: 376, 382, 388, 
392f., 399 ff., 412, 416, 418, 
421, Aö1ff., 756, 992 
Ritz, W. B: 184, 186f., 575 
Rizzo, G. B. B: 655 
Robbins, F. A: 567, 636 
Robert, S. A: 456 
Roberts, A. A: 465, 499, 
505, 507. B: 753, 964, 975 


1120 


Roche, E. A: 915. B: 5, 
26, 29, 54, 56, 69, 116, 
446, 447, 684, 991 
Rogers A: 28 

Rohlfs, G. A: 131 

Roller, M. A: 933 

Romberg A: 258 

Rosenberg, H. A: 428. B: 
662, 681 f., TI6f, 771, 
792 ff., 824f., 843, 865 
Rosenberger, O0. A. A: 904 
—, F. B: 83, 868 

Rosetti B: 653 

Roß, A. D. B: 630, 827 
—,.F.E. A: 819, 832. B: 
124, 861, 939 

Rosseland, S. B: 503, 508f., 
622, 1002, 1049. 

Roth, A. A: 83 

Routh A: 529, 534,970, 976 
Rowland, H. A. B: 224f., 
541, 602 #f. 

—., J. B: 629 

Roy, A. J. B: 252 

Royds, T. B: 224f., 610f., 
640, 667, 669 

Roze A: 176, 183 
Römer, O. A: 77£.,90,107 ff., 
117, 212, 219, 813. B: 184, 
327, 918 

Rubeus, H. B: 602 
Rudolph, K. B: 342 
Rudzki, P. B: 3, 32, 391 
Rue, Warren de la B: 840 
Rufus, W. C. B: 699, 705, 
749, 752 

Rundall, T. A: 122 
Runge, C. A: 113, 292 ff., 
624. B: 599, 605, 630 
Runkle, J. D. A: 576 
Russell, H. N. A: 278, 464, 
492. B: 269, 504 ff., 513, 
518, 523, 557, 574f., 585 ff., 
606 f., 613 ff., 650, 713, 719, 
T2Lff., 744, 751, 754, 810, 
824, 836, 885, 906, 908, 
957 ff., 992 ff., 1000, 1008, 
1010, 1018, 1021, 1038, 
1072 

Rutherford, E. B: 172, 269, 
557, 559 

Rühl, F. A: 367 

Rümker, C. A: 82, 110, 
128, 131, 134 

Rydberg, J. R. B: 564, 573 


Ss 
Sabler, G. A: 140 
Sackur, O. B: 586 
Safford, T.H. A: 27, 423 
Saha, M.N. B: 497, 515, 





Roche — Searle 


51Tff., 587, 609, 614ff., 
620, T18f., 768 

Saigey B: 117 
Saint-Blancat B: 147 
Salet, P. A: 464. B: 604, 
625, 673 

Samoilova, N. B: 335 
Sampson, R. A. A: 104, 
811f., 818, 837, 842. B: 
456, 605, 716, 918, 922 
Samter, H. A: 760, 961, 
965Ff., 972. B: 105, 126 
Sands, F. A: 459 
Sanford, R. F. B: 741, 749, 
758, 763 

San Martino, A. B: 133 
Sanutio, L. A: 153 
Saunders, F. A. B: 557, 
574f., 614, 719 

Sauve, A. B: 635 

Savary, F. A: 463, 471, 
4Taf. 

Sawitsch, A. A: 16, 82, 336 
Sawyer, R. A. B: 699 
Sämisch, T. A: 249 
Sealiger, J. J. A: 366, 368 
Schaeberle,J.M. A:293,485 
Schalen, C. B: 727 
Scharbe, S. B: 976 
Schaub, F. A: 161 
Schäfer, C. B: 927 
Scheibner A: 519f., 575, 
705, 707, 964 

Scheiner, J. A: 226 f., 232, 
263, 277,486. B: 265, 291, 
650, 655, 658, 671, 673, 
716, 758, 763, 824, 855, 
906, 912 

Schellen, H. A: 193 
Schering, E. B: 84, 784, 
852 

Schiaparelli, G. V. A: 82, 
428, 442, 456, 459, 461, 
467, 898, 922f., 927, 931, 
936,939 #. B: 2, 77,279 ff., 
288, 322, 382 

Schiller B: 770 

Schilling, C. B: 329 
Schilt, J. B: 744 
Schlesinger, F. A: 278, 465, 
493 ff. B: 269, 540f.,5ö4f., 
668f., 743, 766 

Schlitt A: 531 

Schlüter, H. A: 78, 122 
Schmidt, A. A: 367. B: 633 
—, E. A: 309 ff., 323 ff. 
—, J. A: 940. B: 815, 829 
—, W. A: 160 

Schnauder, G. B: 270, 275, 
779 f., 809 

—, M. A: 113 





Schneller, H. B: 976 
Schorr, R. A: 993. B: 260 
Schouten, J. A. B: 217f., 
307, 318, 764 
Schöberle, J. M. B: 665, 
687 
Schoenberg, E. B: 784, 
826 ff., 840, 868, 879, 885, 
901,906, 915 ff., 927,935 ff., 
947£. 
Schönfeld, E. A: 423, 425. 
B: 255, 258, 281, 331f., 
838 
Schrader, E. A: 369 
Schram, R. A: 134, 336, 
358, 367, 386, 707. B: 129 
Schreiber, O. A: 206 
Schröter, M. B: 388 
Schtschetkin, N. A: 89 
Schubert, F.T. A: 101 
—, J. T. A: 699, 777 
Schulhof, L. A: 425, 898, 
910, 934f. B: 82, 128, 260 
Schultz, H. B: 263, 337 
Schulze, J. K. A: 96 
Schumacher, H. C. A: 118, 
127, 130, 160. B: 296 
Schumann, R. A: 109, 178, 
279 
Schur, W. A: 221, 262, 264, 
276, 894. B: 53 
Schuster, A. B: 235, 407, 
478, 481f., 532, 655, 658f., 
663, 992 
Schürer, E. A: 369 
Schütte, K. B: 828 
Schwarz, A. A: 367 
—, H.A. A: 568, 632 
ar TA 3198 
Schwarzschild, K. A: 59, 
95, 114, 206, 280, 402, 464, 
469, 476, 490, 531f., 552, 
671. B: 5, 21, 41, 43f., 
48, 56, 77, 82, 151f., 170, 
207 ff., 222 ff., 230, 267,282, 
305,312 ff., 341 ff.,356, 358, 
370, 408, 457, 464, 467, 
470 ff., 537, 541, 578, 600, 
708, 774, 785, 787, 811, 
813. B: S41f., 856f., 860, 
875, 878f., 894, 992 
Schwaßmann, A. B: 689 
Schwend, K. B: 837, 951 
Schwerd B: 835 
Schweydar, W. A:996,1019. 
B: 82, 121£. 
Seabrocke, G. M. B: 634 
Seares, F.H. B: 284, 625, 
724, 764, 789 ff., 824, 842, 
856, 995, 1035, 1074, 1085 
Searle, A. B: 915 


Secchi, P. A: 940, 941. B: 

183, 244, 265, 286, 613, 
652, 654, 673, 677, 680, 
688, 692 ff., TOT£. 

See, J. J. A: 993. B: 93, 105 

—, T.J. A: 464, 484. B: 
406, 988, 1067 

Seegert, B. B: 672, 824f. 

Seeliger, H. A: 62, 115, 
230, 248f.,263, 267, 291f., 
332, 338, 361, 364, 464, 
471, 474f., 485, 635, 723, 
750, 859, 903, 913f., 918, 
928, 934, 993, 1015. B: 67, 
82, 86, 132, 136ff., 156, 
172, ::213, 2265 242,281, 
289, 298 ff., 318, 320, 323, 
365, 382, 415, 475, 657ff., 
663, 742, 836f., 898f., 
904f., 909f., 915, 920, 
923 ff, 941f., 947 ff., 1043, 
1077 

Seeling, H.W.T. A: 134 

‚Seidel, L. A: 92, 290, 292. 
B: 835 

Sejour, A. P. Dionis du A: 
414, 416 

Selga, M. B: 763 

Selivanow B: 926 

Sellmaier B: 612 

Seneca A: 899 

Serret, J. A. A: 37, 337,995 

Servus, H. B: 155 

Sestini B: 279, 776 £. 

Seydler A: 521 

Shadwell, C. F. A. A: 337 

Shajin, G. B: 510, 686, 728, 
802, 1008 

Shane, C.D. B: 672, 705, 
711, 737, 747, 749 

Shapley, M. B: 229, 273, 
325, 367, 592, T12f., 726f., 
753f., 805, 810, 813, 819, 
969, 970 ff., 980 ff., 1011 f., 
1071, 1076, 1078, 1082, 
1085 

Shaw, H. B: 581 

Shdanow A: 710£., 909 

Shepherd A. A: 128 

Shoock, G. A. B: 665 

Siacei A: 556 

Sidgreaves, W. B: 
744 ff. 

Siedentopf, H.B:880, 881ff., 
996, 1000, 1008, 1010, 
1012, 1021, 1023, 1036, 
1049, 1051f., 1085 f. 

Silbernagel, E. B: 1043 

Silberschlag B: 622 

Silberstein, L. B: 183, 185, 
234, 237, 720 


132, 





Seechi — Struve 


Silva, G. A: 610 

Simms, W.H. A: 108, 402 

Simonin, M. A: 532, 759. 
B: 147 

Simonoft, W. J. O. A: 127 
Simpson, A. B: 2 

—, T. A: 819. B: 13 

Sitter, W. de A: 810, 812, 
817f., 837, 842, 965. B: 
28, 54, 82, 104, 138, 150, 
160, 171£.,187, 200, 202 #f., 
226, 229ff., 262, 271, 1084 

Slatowratzki B: 903 

Slipher, V. M. B: 268, 556, 
673, 675ff., 7A6f., 760 Ff., 
835, 1080 

Slocum, F. B: 639, 643, 
645 

Sloudsky A: 529 

Smekal A. B: 517 

Smith, C. M. B: 617, 691 
—, M. F. A: 248 

Smoluchowski de Smolan 
B: 872 

Snyder, M. B. B: 649, 697 

Socoloff, A. A: 36, 243, 253, 
255 

Solinus A: 375 
Sommerfeld, A. A: 32,106, 
995. B: 173, 534, 559, 561, 
573 

Souchon, A. A: 67, 69, 816. 
B: 82, 123, 128 

Souillagouet, F. A: 149 

Souillart, C. A: 338, 364, 
810, 812, 817, 827f., 834, 
836 f., 842. B: 104 
Sourander, J. A: 750 
Spee, E. B: 650 
Spijkerboer, J. J. B: 479 
Spitaler, H. A: 1019 
Spottiswoode, W. A: 124 
Stanley of Alderley A: 125, 
153 

Stannyau B: 640 

Stark, J. B: 183, 600, 626 
Stäckel A: 526 

Stebbins, J. A: 500. B: 
745, 811, 828, 843, 864, 
967 

Stechert, C. A: 135, 164, 
336 ff., 362 f. 

Steckloff B: 41 

Stefan, J. B: 543 
Stefanik, M. B: 603, 634 
Steinhauser, A. A: 159 
Steinheil, C. A. v. As 92, 
B: 8335, 854 

Steng, E. B: 657 

Stern, OÖ. B: 586 
Sternberk, B: 789 ff. 





1121 


Sterneck, R. v. A: 97. B: 
117 

Stetson, H. T. B: 651 

Stewart, D. B: 556 

—,J. A. B: 504f. 528, 528, 
613 ff. 

—, E.Q.B8:789 

Sticker, B. B: 803 ff., 819, 
821, 1007 

Stieltjes, T. J. A: 386, 580. 
B: 25 

Stintzing, H. B: 576 

Stirling, J. B: 11 

Stockwell A:694,724,751f., 
827, 992, 1018 

Stokes, G. G. A: 170, 280. 
B: 5, 112, 182ff., 237 

Stolze, F. A: 113 

Stone, E. J. B: 731 

—, 0. A: 469, 697, 821, 
840, 870 

Stoney, G. Johnstone B: 
426 

Storer, N. W. B: 771, 800 

Storey B: 669 

Stoyanoff, N. B: 145 

Stracke, B: 1069 

Stratonoff B: 280, 285, 288 

Stratton, F. J. M. A: 1021. 
B: 540, 630, 712, 735 ff., 
1077 

Strobel, J. A: 385 

Stroobant B: 282, 237 

Strömberg, G. B: 274, 309, 
334, 348, 356, 364, 727 ff., 
763, 765, 767, 979, 1005 

Strömgren, E. A: 531,898, 
906, 909, 920, 929 ff., 958, 
967, 969, ITLE., 978 ff, 
984 ff. B: 132, 141, 1048 
Strutt, R. J. B: 581, 605, 
690 

—, J. W. A: 833 

Struve, G. A: 740 

—,H. A: 215, 229, 244, 
264,273 ff. 465, 468, S11f., 
818 ff., 827 ff., SA0fF.,S84ff,, 
894, 895. B: 93, 105 

—, L Ar 71, 1008 B: 
332 

—, 0. A: 39, 66, 108, 202, 
205, 231, 244, 246, 263, 
274 f., 290, 467, 821, 1008. 
B: 262, 697, 767f. 805, 
1008 

—, W. A: 29, 57, 78, 108, 
118, 140, 160, 196, 218, 

220, 231, 244, 257, 263, 

270, 274f.,466 ff., 509, 853. 

B: 240, 262, 280, 295 ff., 

s2lf. 


1122 


Stuchtey, K. B: 913 
Stumpe, O0. B: 332, 371 
Summer, T. H. A: 144ff. 
Sundman, K. F. A: 553, 
584, 595, 609, 966 

Sur, R. K. B: 644 

Surdo, L. B: 600 
Svedstrup, A. A: 922. B: 
127 

Svoboda, H. A: 944 
Swan, W. B: 581f. 
Swasey, A: 231 

Swinden, J.H.v. A: 126 
Sylvester, J. J. A: 389 


T 


Tacchini, P. B: 643, 691 
Tait, P. G. A: 726. B: 2, 
29, 41, 144, 406, 425 
Taleott A: 25, 90, 105f., 
220, 278 
Tamm B: 790 
Tammelander, A. J. A: 89 
Tasmann, A. A: 84 
Teege, H. A: 149 
Teisserene, L. de Bort A: 
299, 300, 309, 311, 312 
Tempelhof, G. T. v. A: 90 
Tennant, J. T. A: 108 
Terkän B: 784, 811 
Terry y Rivas A: 162 
Tetrode, H. B: 586 
Thackeray, W. G. B: 340, 
350 
Thalen B: 541 
Thebutt B: 687 
Thibaut, G. A: 371 
Thiele, T. N. A: 276, 454, 
472, 479, 482f., 530, 685, 
783, 967 ff. 
Thiesen, M. B: 401, 415 
Thirring, H. B: 219f. 
Thollon B: 243 
Thomas B: 815 
Thome B: 253, 838 
Thomson, W. A: 161f., 531, 
715. B: 2, 29, 41, 100, 
144, 376, 381, 384, 396, 
404, 406, 412, 414, 425, 
431, 448, 992 
Thraen, A. A: 930 
Thun-Hohenstein, E. v. A: 
141 
Thury, R. A: 190 
Tiarks, J. L. As 92, 118 
Tierey, G. B: 753, 813 
Tietjen, F. A: 384, 394, 
399, 404, 422 ff., 964. 
Tigerstedt, R. B: 848 
Tikhoff, G. A. B: 323 f., 
675, 677, 790f., 797 





Stuchtey — Watt 


Timiriazew B: 678 
Tisserand, F. A: 17, 32ff., 
179, 380, 395, 412, 483, 
500, 513, 520, 541, 5ö4f., 
559, 572, 574f., 579 f., 
600f., 621 f., 670, 681,688, 
692 F., 707, T10£., 716 FL, 
721, 726, 730, 754, 758f., 
810, 811, 818 f., 823 f., 
829, 833, 838, 840, 842, 
845, 857, 873, 878, 898, 
903, 911f., 920, 934, 995, 
1000, 1017f. B: 3, 5, 10, 
20, 24, 29f., 58, 62, 64, 
69, Sıf., 92, 94f., 104f., 
117, 124, 128, 132, 148, 
152, 155 

Tittel As 368 

Toaldo, J. A: 122 

Todd, D. P. A: 810, 816. 
B: 126 

Todhunter, J. B: 3, 5, 6, 
10 f., 83, 115 

Tomaselli, M. B: 141 
Trepied, C. A: 628 
Triesnecker, F. A: 135 
Trowbrigde, C. ©. B: 690 
Trümpler, R. J. B: 764f., 
820f., 827, 1009, 1086 
Tschebyscheff B: 50 
Tucker, R.H. A: 196. B: 
292, 297 

Tupmann A: 944 

Turner, H.:H. A 2.248, 259, 
B: 242, 263, 371, 647, 
728, 855 

Türr, R. A: 151 

Tycho de Brahe A: 22, 78, 
101, 117, 882, 899, 920 


U 


Uhler B: 225 

Uljanin B: 874 

Umow, N. B: 903 
Unsöld, A. B: 591 
Unthank, H. W. B: 320 
Urey, H. C. B: 521 
Uthoff B: 848 


V 


Valenta, E. B: 706 
Valentiner, W. A: 17, 138, 
196 

Vallot, B: 654 

Varnum, W. B. B: 264 
Vassenius, B: 640 
Vaughan B: 55 

Verdun de la Crenne A: 
126 2 

Verite A: 186 





Veronnet, A. B: 742 

—, P. B: 5, 37, 988 
Very,F.W.B: 657ff., 675, 
s25f., 879 

Vespuceci, A. A: 133 
Vieaire, E. A: 402. B: 91, 
653 

Vierow, C. S. A: 83 
Villarceau, X. A: 51, 54, 
59, 83, 145f., 163f., 175 ff., 
191, 237, 402, 463, 471, 
476, 764 

Villiger, W. A: 292, B: 
879 

Violle, B: 613f. 

Vischer, N. A: 84 

Vital, A. A: 149 

Viterbi B: 63 

Vodusek, M. A: 160, 338 
Vogel, H. C. A: 232, 486, 
494f. B: 183, 265, 286, 
332, 539, 603, 619, 644, 
658, 663, 673 ff., 691, 693, 
707 £., 716, T31f., 743, 745, 
757, 761, 763 

—, R. A: 400, 414 

Vogt, H. B: 510, 742, T55f., 
8ı8f., 992, 1000 ff., 1007, 
1021, 1083. 

Voigt, W. B: 185, 412 
Vos, de B: 217 

Voüte, J. B: 267, 354, 556, 
707 

Völkel, M. A: 1021 
Vsechsviatsky, S. B: 894 


W 


Wacker, F. B: 171 
Walbeck A: 251 

Walker, S. C. A: 119, 213, 
569 

Walkey, B: 275 
Wallberg, J. A. A: 599 
Wallenquist, A. B: 819 f. 
1008 

Walter, A. A: 141 

—, B. A: 899 

Walton, M. L. B: 754, 982 
Wanach, B. A: 109, 170, 
187, 237, 278, 1018. 
Warburg, E. B: 654 

Ware, L. W. B: 669f. 

Wargentin, P. W. A: 813 
Warner, A: 231 
Warnstorff, G. H.L. A: 160 

Washington, H. 8. B: 606 
Watermann, E. P. B: 701 
Watson, J. ©. A: 380, 385, 
405, 410. B: 738 

Watt A: 188 ff. 


Weber, H. B: 382 
—,.Ke419 

—, W.B: 152, 154 f. 853 
Weersma, H. A. B: 262, 
275, 316, 334 


Wegener, A. B: 690, 829, 


913 
Weiler A: 671, 708f. 723 
Weinek, L. A: 136 
Weiß, E. A: 381, 387, 395, 


400, A17f., 424, 428, 452, 


459, 898, 939, 942 ff., 955. 
B: 249 


Weiße, M. B: 249, 295, 


322 

Wellmann, V. B: 857, 919 
Wells B: 687 

Wendt, E. A: 88 

Werner, J. A: 121, 125 
Wessel, W. B: 516 
Westphal, W. B: 718 
Weyer,G.D.E. A: 83, 102, 
126, 129, 131, 152 

Weyl, H. B: 198, 200, 218, 
229 

Whittaker, E. T. A: 613, 
517, 519, 527, 541, 688, 
718 

Whittemore A: 529 
Wichmann, W.L.G.A : 78, 
122, 1020, 1023. B: 53 
Wicksell, S. D. B: 344 


Wiechert B:5, 30f., 82, 111, | 


1012 

Wiegand A. B: 604 
Wien, W. B: 547ff. 
Wilding A: 707 

Wilhelm IV. von Hessen 
A: 101, 138, 899 

Wilip B: 183, 243 
Wilkens, A. A: 532, 566, 
575, 759, 811, 835f., 963, 
977, 989. B: 139, 171, 
1044 

Wilkes, K. A: 119 

will, G. W. B: 119 
Willard, H. R. A: 977 
Williams, S. A: 128, 899 
—, 2.22.1653 

Willis A: 183 

Wilsing, J. A: 192, 244, 
247, 277, 464, 492. B: 86, 
269, 596, 660 f., 670 f., 


Weber — Zwiers 


| Tı5F, 732, 758, 771, 
| 774, T7SF., 797, 809f., 
824f., 906, 912, 934 
Wilson, D. T. A: 807 
—, E. B. B: 142 
—, H. B: 348 
eb AR 
RB, 2:752, 1073 
I—, W. E. B: 627, 665, 
879 
| Winawer, B. B: 606 
ı Winkelmann, A. A: 292 
ı Winlock, J. A: 63 
' Winnecke, T. A: 74ff.,, B: 
| 74 
| Winnerl A: 168, 176, 181, 
| 185, 188 
| Wirtz, C. W. A: 90, 105, 
40, 148,293. -B3 257, 
262f., 350, 823 
Wislicenus, W. F. A: 82, 
95, 102, 252, 255, 257, 
362, 366, 368 
Wißmann, H. A: 124 
Witchell, G. A: 128 
Witt, G. A: 962. B: 94f,, 
127 
Witting, R. B: 879 
Wittram, T. A: 253, 909, 
966 
| Woerner, H. B: 911 
| Wolf, C. A: 185 ff., 255, 
289. B: 693, 731, 988 
|—, M. A: 799. B: 258, 263, 
288, 294, 326, 686, 696, 
734, 758, T61f., 793 
>, U 84.47, 108. 008. 
812, 899, 940. B: 124 
Wolfe B: 274 
Wolfers A: 29, 66. B: 250 
Wollaston A: 26, 143 
Woltjer, J. B: 138f., 768 
—, J. jun. B: 651, 759 
Wolz, M A: 227 
Wood, R. W. B: 267, 505, 
576, 647, 651, 672, 824 
Woods, J. E. B: 712 
—.H. 6. Bi 728 
Woronkoff B: 903 
Worsell, W. M. B: 741 
Woolhouse, W. S.B. A: 
| 338 
| Wren, C. A: 133 





| 








1123 
Wright, A. W. B: 691 
—, T. B: 990 
—, W. H. B: 642, 674, 


676f., 697, 701, 706, 733, 
735, 738, 746, 749, 757, 
759 f., 825, 827 

Wronski A: 764 

Wundt, W. B: 655, 657f. 
Wurm, J. F. A: 135 
Wüllner, A: 294 
Wüstenfeld, F. A: 367 
Wylie B: 813 


x 
Young, (, A. B: 617, 626, 
628 f., 647f., 666, 680 
— B.K Bi 788, 706€ 
—, T. A: 313 
—,; W.;H.:A2.398 


Z 
Zacchini, P. B: 642 
Zach, F.X.v. A: 26,50, 125, 
129, 139 
Zanotti-Bianca, O. A: 898, 
920, 926 
Zanstra, H. B: 762, 887 f£., 
895 ft. 
Zapp, A. A: 993 
Zarlatti, F. S. Bs: 141 
Zarquala A: 84 
Zech A: 704, 964 
Zeemann, P. B: 178, 181, 
596, 600, 649 
Zeipel, H. v. A: 528, 546, 
574, 592, 596, 606 ff., 760, 
807, 935, 966. B: 37, 409, 
412, 440ff., 514, 819, 995, 
1002, 1029, 1078 
Zelbr, K. A: 381 
Zeuner, G. B: 288 
Zimmermann, G. B: 926 
—, W. A: 965 
Zinger, N. A: 82, 89, 102 
Zinner, E. A: 1004, 1017. 
Zöllner, C. F.B: 3, 76, 121, 
641, 750, 824, 835 ff., 871, 
898, 915 
—, E. B: 401 
Zurhellen, W. A: 202, 227, 
244, 464, 491 
Zwiers, H. J. A: 253, 464, 
472, 479, 485, 508 








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